Matemáticas 363 SABER
Matemáticas 365 MATEMÁTICAS SABER INFOGRAFÍA DE LA PRUEBA Introducción 11 1 2 3 En el marco de las pruebas Saber,se entiende razonamiento cuantitativo al conjunto de elementos de las matemáticas (sean estos componentes o competencias) que permiten a un ciudadano tomar parte activa e informada en el contexto social, cultural, político, administrativo, económico, educativo y laboral. 1. Interpretación y representación 2. Formulación y ejecución 3. Argumentación Se evaluan 3 Competencias, las cuales son: Es la capacidad de entender y manipular representaciones de datos cuantitativos o de objetos atemáticos en distintos formatos (textos, tablas, gráficos, diagramas, esquemas). Interpretación y representación Es la capacidad de establecer, ejecutar y evaluar estrategias para analizar o resolver problemas que involucren información cuantitativa y objetos matemáticos. Formulación y ejecución 4 Es la capacidad de justificar o dar razón de afirmaciones o juicios a propósito de situaciones que involucren información cuantitativa u objetos matemáticos a partir de consideraciones o conceptualizaciones matemáticas. Argumentación 5 Se han considerado tres categorías de conocimientos transversales a todas las competencias: estadística, geometría y álgebra y cálculo. Contenidos matemáticos (Componentes) Las situaciones o contextos utilizados para la evaluación en la prueba de matemáticas son:1) Familiares o personales,2) Laborales u ocupacionales,3) Comunitarios o sociales y 4) Referencias: Matemáticos o científicos https://www2.icfes.gov.co Contextos 6
366 Introducción “La matemática es el trabajo del espíritu humano que ésta destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla” Evaniste Galois (Matemático) Al hablar sobre matemáticas, muchas personas suelen sentir un poco de resistencia e incluso miedo al momento de aventurarse a comprenderlas. Para navegar por las encrucijadas de las matemáticas libremente es necesario una mirada particular. En este sentido, les invitamos de manera preliminar a la lectura del siguiente texto que sintetiza un poco el cuento del matemático Pablo Amster llamado “la mano de la princesa”: Esta es la historia de la hija de un rey, heredera del trono, conocida en el reino porque nunca había sonreído. El rey quería que su hija fuera feliz y propuso a los hombres del reino y sus vecinos, que su mano sería de aquel pretendiente que pudiese hacerla sonreír; todos acudieron en masa y cada vez los intentos de agradarle, eran de los más variados e imaginativos. Así, empleando diferentes recursos, algunos más sencillos y otros inmensamente magníficos, pasaba uno y otro pretendiente, pero ninguno lograba hacer sonreír siquiera un poco, a la princesa. Inclusive uno de ellos expuso una lluvia de luces y estrellas en el cielo; otro, efectuó un esplendoroso vuelo por el aire y llenó el espacio con sus movimientos y piruetas. Pero al final de cada presentación, el rostro de la hija del rey nunca dejó ver gesto alguno. El último hombre en la fila de pretendientes, en contraste con las maravillas ofrecidas por sus antecesores, extrajo con humildad de su capa un par de anteojos, que le dio a probar a la princesa; ésta se los puso, sonrió y le brindó su mano. En este cuento; cuando vemos el despliegue de imaginación de sus pretendientes, pensamos en cierto punto, que nada hará sonreír a la princesa. Con el paso de los pretendientes, la impotencia cada vez mayor por no poder poner una sonrisa en su rostro, nos hace enojarnos con esta princesa insaciable. ¿Qué cosa tan extraordinaria es la que está esperando? Hasta que, de pronto, aparece el dato que desconocíamos; la princesa no se emocionaba ante las maravillas ofrecidas, pues no podía verlas. Ciertamente, cuando hablamos de matemática no es solamente exponer un conjunto de leyes y procedimientos, se trata, además, de hablar del amor y contar historias. También en la matemática hay belleza. Como dijo el poeta Fernando Pessoa: "El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo: lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta". En este sentido, se ha concebido este texto a partir de tres competencias que se evalúan en la prueba de matemáticas saber, estas son: interpretar y representar, formular - ejecutar y argumentar, adicionalmente tienes de forma transversal a estas competencias el despliegue de los siguientes contenidos matemáticos (componentes): estadística, geometría y algebra y calculo. La prueba de Matemáticas es una de las 5 pruebas que se evalúan en el examen Saber 11 aplicado
Matemáticas 367 por el ICFES. Como sabes, el examen está pensado para ser presentado en dos sesiones (una en la mañana y otra en la tarde del mismo día). La prueba de Matemáticas la presentas en la primera sesión, compartiendo cuadernillo con la primera prueba de Lectura Crítica, ciencias naturales, ciencias sociales y competencias ciudadanas, para un total de 131 preguntas en la primera sesión y 147 en la segunda sesión, las cuales debes responder en 4:30 horas. Claro que, de Matemáticas son solo 25 preguntas en cada sesión; Recuerda, todas estas preguntas son de selección múltiple con única respuesta. El presente Módulo te ofrecerá herramientas para acercarte con éxito a la prueba de Matemáticas, pues conocer su estructura y estrategias para interactuar con los ejercicios y las preguntas, te dará la posibilidad de tener un desempeño satisfactorio y aspirar a que tus resultados confirmen el buen proceso de razonamiento que tienes y por qué no, te permitan conseguir un beneficio para continuar con tus estudios en Educación Superior. El Módulo cuenta con cuatro capítulos, los cuales se estructuran con dos unidades (excepto el primer capítulo), un cuadro resumen del capítulo y una prueba evaluativa. El Capítulo 1 titulado: “Lee, piensa, razona y resuelve” está constituido por la unidad: “Lee, piensa, razona y resuelve”, que tienen como objetivo acercarte a los procesos cognitivos que experimentas cada vez que te propones realizar un Ejercicio de Razonamiento, adicional te brinda herramientas para darle solución a los diferentes tipos de preguntas. Así mismo, se te explican los conceptos de esquemas de proporcionalidad, secuencias, fracciones porcentajes y operaciones mentales para abordar las diferentes situaciones problema. El Capítulo 2 “El mundo matemático y su lenguaje”, está integrado por dos unidades: “Nuestros amigos los números y sus relaciones?” y “¿Las variables en las matemáticas, las mil y una soluciones?” te ofrece una panorámica sobre los distintos conjuntos numéricos y formas de representación adicional como puedes apoyarte del lenguaje matemático para traducir una situación problema descrita en forma literal y encontrar valores desconocidos. La idea es que participes de cada una de las actividades o Ejercicios de manera consciente, ya que, solo así, se evidencia el proceso de formación que estás recibiendo. En el Capítulo 3 “Mide tu entorno”, constituido por las unidades: “Piensa como mides y como te mueves.” y “Cuerpos, caras y sus medidas”, se busca describir las herramientas con las que cuentas para medir en las diferentes dimensiones(1D-2D-3D) con que interactúas, perímetros, áreas y volúmenes de todas las construcciones geométricas conocidas. Finalmente, el Capítulo 4 “El orden de la información y la medida del azar”, integrado por las unidades: “La Matemática para resumir la información” y “Las Matemáticas del juego”, tiene como finalidad acercarte de forma fácil a todo lo que la estadística nos proporciona para analizar la información cuantitativa y poderla representar gráficamente en tablas o en los distintos diagramas tales como barras, circular y temporal; adicionalmente contar con herramientas para calculo de probabilidades y técnicas de conteo entre ellas las permutaciones y combinaciones. Ahora sí, la idea es que puedas recorrer este apartado del mundo de las matemáticas, sin frustraciones, con las gafas apropiadas, para poder disfrutar de su belleza, que logres pensar libremente e imaginar sin límites. Estas líneas tienen el propósito de entusiasmarte e invitarte a disfrutar de este camino. . Hernán Darío Estrada Sánchez
Lee, piensa, razona y resuelve Unidad 1 Capítulo 1
Lee, piensa, razona y resuelve Unidad 1 Capítulo 1
370 Unidad 1 Lee, piensa, razona y resuelve Objetivo: Desarrollar habilidades y destrezas de razonamiento lógico matemático que propicien la solución de situaciones problema. El razonamiento lógico suele parecer una estrategia no estructurada o una forma alternativa de abordar una situación problema sin ceñirse estrictamente a procedimientos matemáticos; sin embargo, en los estándares matemáticos se propone “Razonar” como uno de los cinco procesos generales de la actividad matemática de gran importancia. Se puede asumir entonces el razonamiento lógico, como un proceso susceptible de ser desarrollado a partir de los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones de la realidad, y el cual inicia en los primeros años de vida. El razonamiento permite ver que las matemáticas son lógicas, divertidas y potencian la capacidad de pensar (Ministerio de Educación Nacional, 2004). Profesor, ¿Cómo aprendo razonamiento lógico? ¿Bajarías estas escalas de espaldas y con los ojos cerrados? Obviamente no ¡me caería! Tu ya sabes razonamiento lógico, todo el mundo lo sabe y te lo demostraré con ejemplos sencillos
Matemáticas 371 A partir del año 2014, la prueba Saber enfatizó fuertemente en el razonamiento lógico, asumiéndolo a partir de la sub-prueba de “Razonamiento Cuantitativo”, prueba que se encuentra en los componentes de álgebra y cálculo, geometría y estadística. Las preguntas que se relacionan con esta sub-prueba se denominan genéricas y hacen referencia a situaciones de la cotidianidad de cualquier profesión. Esta sub-prueba tiene el mayor porcentaje de representación en el área de matemáticas evaluada por el ICFES con las pruebas Saber 11. También se estableció por el ICFES que se evaluarían en menor porcentaje los conocimientos no genéricos, que son aquellos que hacen referencia a conceptos difícilmente utilizados por otras ramas del conocimiento o por otras profesiones. Recuerda que en total responderás 50 preguntas de matemáticas todas de selección múltiple con única respuesta. Estas preguntas estarán divididas en dos sesiones de 25 preguntas. Ahora adéntrate en ese mundo del razonamiento lógico que encontrarás a continuación y que te ayudará a fortalecer tus competencias para mejorar tus resultados en el razonamiento cuantitativo. Si no te has caído y nadie te lo ha enseñado, entonces has aplicado tu razonamiento lógico. ¿Te subirías a este barco si tuviera un hueco en el medio? Si tu respuesta es no y no te lo han enseñado antes, entonces lo haces por que razonas lógicamente. Ya voy comprendiendo el razonamiento lógico. Claro, lógicamente no me subiría. ¿Queda claro para ti lo que es la lógica? Por ahora se ve muy fácil, pero ya tengo ansias de ver más.
372 Actividad 1: Las tarjetas de cambio Un juego de mesa cuenta con 28 tarjetas de cambio, distribuidas en 6 tipos marcados con las letras “A”, ”B”, ”C”, ”D”, ”E” y “F” y que pueden ser cambiadas por puntos al momento de poseerlas. Todas las tarjetas están en desorden sobre una mesa, tal y como se muestra en la figura: Las tarjetas, de acuerdo con su denominación, dan los siguientes puntos: • Tarjeta A: 2 puntos. • Tarjeta B: 4 puntos. • Tarjeta C: 5 puntos. • Tarjeta D: 2 puntos. • Tarjeta E: 1 punto. • Tarjeta F: 6 puntos. Observa y analiza la figura y a partir de tu análisis responde las siguientes preguntas: • La cantidad total de puntos que se pueden obtener canjeando todas las tarjetas en el juego es de . • Si a un jugador le ha tocado la mitad de las tarjetas marcadas por la letra D y todas las tarjetas marcadas con la letra C, la cantidad de puntos que puede canjear en el juego es de . • Si las tarjetas se dividen entre 6 participantes repartiendo de a una carta a cada uno de ellos y continuamos así hasta completar las 28, la cantidad máxima de puntos que puede canjear un jugador es de . Empieza L a prueba a la que te enfrentarás próximamente evaluará todos los conocimientos aprendidos hasta hoy a partir de situaciones problema que pueden ser percibidas en tu día a día; para esto es importante prepararse, pero prepararse para resolver situaciones problema es mucho más que solo aprender cómo se resuelven ciertos ejercicios con características similares. Es importante que abramos un espacio para discutir ¿qué es el pensamiento? ¿Cómo está compuesto? Y ¿qué operaciones se desprenden de él? Comprendiendo esto, puedes tener un esquema global de lo que necesitas para resolver correctamente una situación problema. El pensamiento implica una actividad global del sistema cognitivo con intervención de los mecanismos de memoria, atención, procesos de comprensión, aprendizaje, etc. Como primera medida, trabajaremos algunos ejercicios para reconocer cómo fortalecer estos mecanismos y su utilidad en la resolución de problemas. E E E E E E A A A B B E E A B B B D D D D D D C C C F F
Matemáticas 373 ¿Qué estrategia utilizaste para darle solución a estas preguntas? Al enfrentarte a una situación problema, tu cerebro empieza a realizar una serie de procesos mentales con el fin de hallar una solución, como los que usaste para resolver el anterior, algunos de ellos fueron: • Identificación: Observando de manera general las cartas dispersas en la mesa y percibiendo los elementos necesarios para la resolución del problema. • Diferenciación: Determinando la diferencia de las cartas de acuerdo con su valor alfanumérico. • Clasificación: Contando la cantidad de tarjetas que se tienen de cada una de las letras y asociándolas con su valor alfanumérico. En el ejercicio exhibido en el recuadro de "Curiosidades", has utilizado una serie de operaciones mentales para llegar a la solución, algunas de estas son: • Decodificación: Relacionando los números con las letras faltantes en el mensaje • Síntesis: Al percibir la realidad de manera integrada con el fin de darle un significado y un sentido. Para desarrollar problemas es importante interpretar de manera correcta la información dispuesta en él, esto genera la necesidad de hacer diferentes tipos de representaciones de lo que ocurre. Mapas Mentales Un mapa mental es un esquema construido para representar palabras, dibujos, ideas, conceptos o términos asociados a una idea central. Al resolver situaciones problema un mapa mental es de gran utilidad para sintetizar la información presentada. A partir de ese tipo de esquemas podemos observar con mayor facilidad la relación de las variables, los parámetros del problema y podemos planear los procedimientos que ejecutaremos sobre él. A continuación, puedes observar un mapa mental realizado para tener en cuenta todo lo necesario a la hora de aprender nuevos conceptos matemáticos. Curiosidades… ¿PU3D35 133R 3573 M3N54J3? 51 3R35 C4P42 D3 L33R 3S73 P4RR4FO, H45 D354RRO114D0 D3 M4N3R4 1MP0R74N73 14 C4P4C1D4D D3 D3C0D1F1C4R M3NS4J3S 3NCR1P74D05 3N 7U C3R38R0, ¡F3L1C1T4C10N35!
374 Tomado de: https://matematicas1esomaristas.wordpress.com/2011/11/ Situación 1 Un señor entra en una taberna y pide cuatro litros de vino. ¿No le daría lo mismo cinco o tres? -pregunta el tabernero-. Sólo tengo un barril de ocho litros y dos vasos vacíos para medir, uno de tres y otro de cinco. Elabora un mapa mental de la situación y escribe como podrías servir la cantidad exacta de vino que pidió el cliente: Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
Matemáticas 375 Test de Pensamiento Lateral El pensamiento lateral es un método indirecto para la resolución de situaciones problema; el enfoque creativo de este método abre las puertas a caminos diferentes hacia una solución de un problema. Este test tiene como finalidad probar qué tan desarrollado tienes tu pensamiento lateral, para esto debes ponerte la meta de resolverlo en menos de 3 minutos. 1. Algunos meses tienen 31 días, otros sólo 30. ¿Cuántos tienen 28 días? Respuesta: 2. A Pedrito se le cayó un anillo dentro de una taza llena de café, pero el anillo no se mojó. ¿Cómo puede ser? Respuesta: 3. ¿Cómo se puede transportar agua en un colador? Respuesta: 4. ¿Cuánta tierra hay en un hoyo de un metro de largo por un metro de ancho y un metro de profundidad? Respuesta: 5. ¿Cuántas veces podría restarse el número 1 del número 1111? Respuesta: 6. ¿De qué color son los zapatos de serpiente? Respuesta: 7. Un hombre muere y va al cielo. Mira a su alrededor para ver si reconoce a alguien. Ve a una pareja y sabe de inmediato que son Adán y Eva. ¿Cómo sabe que son ellos? Respuesta: 8. ¿Cuál es la mitad de dos más dos? Respuesta: 9. ¿Cuál es el juguete más egoísta? Respuesta: 10. ¿Cuál es el cereal que, leído al revés, se convierte en animal? Respuesta:
376 Situación 2: Explora Hasta este momento llevas un proceso formativo bastante importante, en el que has aprendido una gran cantidad de conceptos matemáticos y has enfrentado un sin número de problemas que, aplicando estos conceptos, has logrado solucionar. Algunos de estos conceptos han sido más fáciles de aprender que otros; sin embargo, todo este proceso te ha sido de utilidad para desarrollar diferentes tipos de pensamientos asociados al uso de las matemáticas. Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento. Cada símbolo representa un número natural diferente. En la figura se muestran 5 operaciones entre estos símbolos. Los valores que deben tomar cada uno de los símbolos para que todas las igualdades se cumplan son: Cuadro: Circulo: Rombo: Triángulo: Estrella: Investiga: • ¿Cuáles son y en qué se diferencian los tipos de razonamientos que el ser humano adquiere a través del tiempo? • ¿Cuáles son los tipos de aprendizaje que puede tener una persona? Esta investigación te dará un referente sobre cómo identificar cuál es el mejor medio de aprendizaje con el que cuentas, esto es de suma importancia ya que si optimizas el medio de recepción de información, el análisis y la representación se te hará mucho más fácil la comprensión de nuevos temas. ¿Sabes qué son los patrones mentales? ¿Cuál es el número que, usándolo tres veces en una operación aritmética el resultado total es 12? Sin incluir el 4. Te invito a que te enteres de ellos a través de este video:
Matemáticas 377 Actividad 2: El código secreto En medio de una guerra entre dos países del continente asiático, un preso de guerra, recluido por uno de los ejércitos, se las ingenió para enviar un mensaje codificado a partir de símbolos matemáticos al cuartel general, con el fin de evitar que al ser interceptado el mensaje por el enemigo, este se diera cuenta de la información que llevaba el mensaje. El sistema de codificación del mensaje se encuentra descrito en la siguiente tabla: LETRA CÓDIGO LETRA CÓDIGO LETRA CÓDIGO LETRA CÓDIGO LETRA CÓDIGO LETRA CÓDIGO A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 0 K % L $ M & N @ O + P - Q / R * S # T ? U ¿ V ! X ¡ Y ∃ Z ∆ Utiliza el siguiente espacio para construir tu propio mensaje codificado y compártelo con un compañero para que este lo descifre En el ejercicio anterior has utilizado una serie de operaciones mentales para llegar a la solución, una de estas es: • Codificación: Aplicando un lenguaje especial a una realidad que utiliza uno diferente. Situación reto La logística para preparar un evento dirigido a 1000 personas es programada de la siguiente manera: Tarea Descripción Tiempo 1 Limpieza del auditorio 45 minutos 2 Ubicar asientos 90 minutos 3 Preparar el escenario 120 minutos 4 Decorar el auditorio 50 minutos 5 Realizar pruebas de operación 60 minutos En la tabla se explica el tiempo necesario para cada tarea y los requerimientos de orden establecidos, así: las tareas 1 y 2 pueden ser realizadas simultáneamente, la tarea 3 puede comenzar una vez se finalice la 1, la tarea 4 puede iniciarse cuando finalice la tarea 2 y la tarea 5 pude realizarse en cuanto finalicen las tareas 2 y 3. 1. ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario para la preparación del evento? Respuesta: Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
378 La criba de eratóstenes (s. III. a.C) Para obtener los números primos existentes entre los primeros 100 números naturales, en la siguiente tabla, a partir del 2, tacha todos los números saltando de dos en dos. A continuación, a partir del 3, tacha todos los números saltando de tres en tres, y así sucesivamente. Los números que queden sin tachar son los números primos. Compruébalo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 ¿Conoces otro método para realizar multiplicaciones? Te invito a que te enteres de ellos a través de este video: Situación 3 Un huracán derriba 7 postes de luz que abastecen 45 casas cada uno y 3 más que abastecen 27 casas cada uno. ¿Cuántas casas se han quedado sin luz? Método de Solución 1: 45+45+45+45+45+45+45 = 315 27+27+27 = 81 Total de casas = 315 + 81 = 396 Método de Solución 2: 45 x 7 = 315 27 x 3 = 81 Total de casas 315 + 81 = 396 Ambos métodos de solución son válidos y llegan a la respuesta correcta. En este caso, la selección de cuál método es el mejor depende estrictamente de la habilidad que tengas en el manejo de los recursos utilizados: si eres más eficiente sumando cantidades entonces el método 1 es el más adecuado a tu proceder; si la multiplicación de cantidades Explico El método empleado por las personas para resolver una situación problema puede ser diferente, tal vez porque cada persona tiene más desarrollada una habilidad matemática diferente; además, a la hora de utilizar recursos matemáticos, sean estos conceptuales o metodológicos, cada uno lo hace de la forma en que más apropiados tiene dichos conceptos. Observa el siguiente ejemplo: Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
Matemáticas 379 no te genera ninguna dificultad, el método 2 sería el más adecuado. Lo cierto de todo esto es que para resolver situaciones problema existen diferentes formas de llegar al mismo resultado y que, en algunas situaciones, por abstractas que sean, si se dispone de una buena estrategia de solución, llegar a la respuesta correcta puede ser bastante simple. En la Prueba Saber 11º te encontrarás con algunos problemas en los que aplicar una estrategia a partir del razonamiento lógico te puede ser de mucha ayuda, veamos algunos casos: Seguimiento de Instrucciones Una de las acciones que resultan importantes al momento de enfrentar situaciones es saber seguir instrucciones con detenimiento. Este proceso, aunque parezca sencillo, implica elementos del pensamiento complejos pues requieren de toda la atención posible. Un ejemplo de ello se puede apreciar en el siguiente ejercicio: Situación 4 Una obra de ingeniería requiere realizarse en 6 fases A, B, C, D, E y F, durante un periodo de 3 meses, de agosto a octubre. Cada fase comenzará el primer día de cada mes y será completada durante el mes. Las fases requeridas para realizar la obra están sujetas a las siguientes restricciones: • B debe realizarse en agosto o en septiembre. • C debe realizarse en septiembre o en octubre. • C no puede realizarse en el mismo mes en el que se realiza D. • D debe realizarse en uno de los meses anteriores al mes en que se realiza F. 1. De los siguientes órdenes indicados para la ejecución de la obra, el único posible es: agosto septiembre octubre A. A, B C, D E, F B. B, C D, E A, F C. B, D C, E A, F D. E, F B, C A, D 2. De las siguientes fases, la que no se puede realizar en agosto es: A. A B. B C. D D. F 3. Si C se realiza en septiembre, de las afirmaciones siguientes, de la única que se tiene certeza es: A. A se realiza en agosto. B. B se realiza en septiembre. C. D se realiza en agosto. D. E se realiza en septiembre. La aritmética es fundamental como elemento del pensamiento numérico, para esto las personas deben tener muy claro el concepto y las propiedades de cada operador (suma, resta, multiplicación y división) y su aplicación en las situaciones problema. Dentro de este capítulo iremos trabajando algunos conceptos que, en el marco del razonamiento lógico, presentan diferentes métodos para la resolución de situaciones problema.
380 Situación 5: En una institución educativa de la ciudad, la profesora decide realizar un examen sorpresa a los 3 4 de los estudiantes de un salón, proponer un taller a los 2 5 del resto, y a los demás estudiantes que no hicieron examen ni taller les permitió realizar una actividad libre. Si en el salón hay 40 estudiantes, la cantidad de estudiantes que realizaron el taller es de A. 16 B. 8 C. 4 D. 10 Fracciones y su representación gráfica Las fracciones son de la forma a = Numerador b Denominador , donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. En la Prueba Saber 11º las fracciones son muy utilizadas para simular situaciones problema en las que se requieren diferentes divisiones de una misma unidad. Así podemos hacer una interpretación de los fraccionarios como la partición de una unidad en partes iguales (denominador) y la cantidad de esas partes que son tomadas (numerador); esta situación puede ser representada gráficamente: Representamos la unidad como un rectángulo tal y como se muestra en la figura. Para representar la fracción 3 5 , el denominador 5 determina el número de divisiones que se hicieron a la unidad y el numerador 3 determina la cantidad de esas divisiones que son tomadas y que se sombrean. Recuerda que las fracciones pueden tener equivalencias, ya que sobre una misma unidad se pueden hacer diferentes cantidades de divisiones y tomar la misma proporción de partes de acuerdo con la cantidad de divisiones que se hicieron: fracciones equivalentes 1 2 4 8 2 4 8 16 La representación gráfica de fracciones como estrategia de solución a situaciones problema puede ser de gran utilidad ya que, al poder observar qué es lo que pasa con la unidad, podemos hacer una interpretación global de cómo las partes de la unidad van siendo repartidas. Veamos a continuación como se utilizaría la representación gráfica en dos ejercicios muy similares:
Matemáticas 381 Situación 6 Pedro y sus amigos ordenan una pizza para el almuerzo y se comen la mitad. Al día siguiente Pedro consume los 2 5 de lo que sobró el día anterior. La fracción de la pizza que queda sin consumir es: A. 3 10 B. 3 5 C. 1 10 D. 1 5 El primer día se comieron la mitad de la pizza Pizza El segundo día se comieron las dos quintas partes de lo que sobró Al partir la pizza en partes iguales podemos ver cuál fue la fracción que se comieron de la pizza y que sobro de ella. 3 10 • Solución gráfica • La respuesta sería la opción A Situación 7 Pedro y sus amigos ordenan una pizza para el almuerzo y se comen la mitad. Al día siguiente Pedro consume 2 3 de la pizza. La fracción de la pizza que queda sin consumir es: A. 3 10 B. 3 5 C. 1 10 D. 1 5 El primer día se comieron la mitad de la pizza Pizza El segundo día se comieron las dos quintas partes de la pizza En total se comieron 9 pedazos de 10 El primer día se comieron 5 pedazos de 10 El segundo día se comieron 4 pedazos de 10 Ya que ambas divisiones fueron hechas sobre el total de la pizza, partimos la pizza en partes iguales. 1 10 • Solución gráfica • La respuesta correcta, opción C
382 Ahora que conocemos una nueva forma de resolver ejercicios que impliquen operaciones con fracciones, vamos a darle solución a la Situación 5: ESTUDIANTES Las dos quintas partes de los estudiantes que restaban, hacen el taller y los restantes realizan una actividad libre Al dividir a todos los estudiantes en grupos iguales, podemos observar que la fracción de estudiantes que deben hacer el taller es 2 20 Las tres cuartas partes de los estudiantes realizarán el examen sorpresa Si dividimos entonces los 40 estudiantes en 20 grupos iguales, significa que cada grupo cuenta con 2 estudiantes, así podemos entonces determinar que los estudiantes que realizan el taller son 4, y la respuesta correcta sería la C. En la Prueba Saber 11º no solo te encontrarás con situaciones problema en que existan aumentos o disminuciones de una sola cantidad, el ejemplo a continuación trae consigo una situación problema en la que se ven relacionados diferentes elementos en proporciones distintas: Situación 8 Una pastelería tiene su receta secreta para hacer las más deliciosas tortas. En su receta siempre tiene en cuenta que: • Por cada dos libras de azúcar utiliza cuatro libras de mantequilla. • Por cada dos libras de mantequilla usa tres libras de frutas. • Por cada dos libras de frutas añade una libra de harina. • Por cada dos libras de harina utiliza una libra de su combinación secreta. 4. Si se usan seis libras de azúcar, la cantidad de combinación secreta que se debe utilizar para conservar la proporción de la receta, es de A. 4 1 2 Lb B. 6 Lb C. 4 Lb D. 5 1 2 Esquemas de Proporcionalidad La proporción es la relación de correspondencia entre las partes y el todo, o entre varias cantidades relacionadas entre sí; la proporción es representada como: A es a B, como C es a D / A:B :: C:D / A B = C D La proporción entre dos cantidades dependerá estrictamente de la relación que existe entre las variables; dichas relaciones pueden ser:
Matemáticas 383 Relación Directa Relación Inversa Dos cantidades son directamente proporcionales cuando una de ellas crece, la otra crece en igual proporción, es decir, si una cantidad se duplica la otra se duplica. Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando una de ellas crece, la otra decrece en igual proporción, es decir, si una cantidad se duplica la otra se divide por dos. Ejemplo Si un saco de 1kg cuesta mil pesos, un saco de 10kg cuesta diez mil pesos. Ejemplo Si un estudiante realiza 30 ejercicios en 6 días, tres estudiantes realizan 30 ejercicios en 2 días. 1Kg 10Kg $1.000 $10.000 6 días 2 días El peso del saco y el costo de cada saco son cantidades directamente proporcionales La cantidad de estudiantes y los días que tardan en hacer los 30 ejercicios son cantidades inversamente proporcionales. Regla de Tres Simple Para hallar cantidades desconocidas entre dos variables que estén relacionadas de forma proporcional, sea esta directa o inversa, se utiliza la regla de tres simple, método por el cual se halla una cuarta cantidad donde se conocen tres: Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa Sabiendo que el esquema de proporcionalidad planteado es A B = C D Cuando las variables están directamente relacionadas se debe cumplir la igualdad: A x D = B x C Ejemplo Si para comprar 12 libras de carne me gasto $19.200, ¿Cuántas libras de carne se pueden comprar con $40.000? Solución 12 19200 = X 40000 12 * 40000 = X * 19200 X = 12*40000 19200 X = 25 Sabiendo que el esquema de proporcionalidad planteado es A B = C D Cuando las variables están inversamente relacionadas se debe cumplir la igualdad: A x C = B x D Ejemplo Si para terminar una obra en 18 días se necesitan 6 obreros, ¿cuántos obreros se necesitarán para terminarla en 3 días? Solución 18 6 = 3 X 18 * 3 = 6 * X X = 18 * 3 6 X = 9 Cuando un problema presenta una relación de más de dos variables, se llama un esquema de proporcionalidad. Un esquema de proporcionalidad puede estar relacionado directa o inversamente, dependiendo de las variables en cuestión. Para esta situación lo más apropiado es construir una tabla de proporción así:
384 Tabla de proporciones directas Ejemplo: Carlos, Juan y Andrés trabajan doblando camisas. Cuando Carlos dobla 3 camisas, Juan y Andrés doblan 4 y 7 camisas respectivamente. Si en una noche Andrés ha doblado 56 camisas, ¿cuántas camisas ha doblado Juan? Nombre Camisas (Evento 1) Camisas (Evento 2) Carlos 3 ( Y ) Juan 4 ( X ) Andrés 7 56 Al tratarse de una relación directa se debe cumplir que 56 7 = X 4 = Y 3 Lo que significa que todos los cocientes deben ser exactamente iguales, donde el cociente de 56 dividido 7 es igual a 8. De esta forma podemos determinar que para que el cociente de cada razón sea exactamente igual, el valor de X debe ser 32 y el valor de Y debe ser 24. Tabla de proporciones inversas Ejemplo: Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿En cuánto lo harán 8 operarios? ¿Y 3 operarios? Operarios Días 12 6 8 (X) 3 (Y) Al tratarse de una relación inversa se debe cumplir que 12 * 6 = 8 * X = 3 * Y Lo que significa que todos los productos deben ser exactamente iguales, donde el producto de 12 por 6 es igual a 72. De esta forma podemos determinar que para que el producto de cada razón sea exactamente igual, el valor de X debe ser 9 y el valor de Y debe ser 24. Ahora que conocemos una nueva forma de resolver ejercicios de esquemas de proporcionalidad, vamos a darle solución a la situación 8: Para resolver este ejercicio, plantearemos cada una de las relaciones que nos presentan las premisas en un cuadro de proporcionalidad, de tal forma que podamos observar el marco global del problema. Premisa azúcar Mantequilla Frutas Harina Combinación secreta Premisa 1 2 4 Premisa 2 2 3 Premisa 3 2 1 Premisa 4 2 1 Pregunta 6 (X) Ahora para darle solución seguiremos cada uno de los siguientes pasos:
Matemáticas 385 1. Dado que todas las variables tienen una relación directa, determinaremos los valores de acuerdo a las razones que nos dieron en la premisa; para esto nos basamos en la primera premisa en donde la cantidad de azúcar se triplicó, así que la cantidad de mantequilla, manteniendo la misma proporción, se debe triplicar quedando así la mantequilla con 12 unidades. Premisa azúcar Mantequilla Frutas Harina Combinación secreta Premisa 1 2 4 Premisa 2 2 3 Premisa 3 2 1 Premisa 4 2 1 Pregunta 6 (12) (X) 2. La segunda premisa establece la relación entre la mantequilla y las frutas. De acuerdo con el dato obtenido en el paso anterior, la mantequilla tiene 6 veces mayor cantidad que en la proporción de la premisa 2, así que la cantidad de frutas también se debe aumentar en 6 veces su cantidad, quedando así con 18 unidades de frutas: Premisa azúcar Mantequilla Frutas Harina Combinación secreta Premisa 1 2 4 Premisa 2 2 3 Premisa 3 2 1 Premisa 4 2 1 Pregunta 6 (12) (18) (X) 3. En la tercera premisa se ven relacionadas la cantidad de frutas y la cantidad de harina. De acuerdo con el dato obtenido en el paso 2, la cantidad de frutas pasó de 2 a 18, lo que significa que su cantidad es ahora 9 veces mayor, este mismo aumento debe ocurrir con la harina quedando esta con 9 unidades de harina: Premisa azúcar Mantequilla Frutas Harina Combinación secreta Premisa 1 2 4 Premisa 2 2 3 Premisa 3 2 1 Premisa 4 2 1 Pregunta 6 (12) (18) (9) (X) 4. Por último, la premisa 4 muestra la relación entre la harina y la combinación secreta. Al tratarse de una relación directamente proporcional se debe cumplir que (9) x 1 = 2 x (X), con lo cual podemos determinar que la cantidad de combinación secreta debe ser 4,5. • La respuesta correcta es la A
386 Es momento de una pausa activa Un Cuadrado Mágico es una cuadrícula dividida en celdas cuadradas menores. En este se debe cumplir que la suma de los números en cualquier fila, columna o diagonal debe ser la misma. Intenta resolver el siguiente cuadrado mágico en el menor tiempo posible: Continuando con la temática de proporcionalidad, verás una de las medidas más utilizadas en la actualidad para representar una proporcionalidad entre un valor respecto a otro: Porcentajes un porcentaje es la relación directamente proporcional de una cantidad “A” respecto a una cantidad “B”, donde a la cantidad “B” se le determina como el valor de base porcentual, dándole a este un valor del 100%. La Prueba Saber 11º utiliza de manera importante esta medida, ya que es requerida mundialmente para determinar conclusiones económicas, poblacionales, estadísticas e informáticas. El uso del porcentaje permite dar una idea clara de lo que ocurre en una situación sin necesidad de conocer específicamente las cantidades que surgen de dicha situación. Situación 9 En una institución educativa hay dos cursos en grado once. El número de hombres y mujeres de cada curso se relaciona en la tabla: Curso 11A Curso 11B Total Número de mujeres 22 23 45 Número de Hombres 18 12 30 Total 40 35 75 Tabla 1. El porcentaje que representan los hombres de grado 11B respecto al total de hombres es del A. 50% B. 40% C. 60% D. 30% Como ya has visto en los problemas anteriores, las situaciones de porcentaje, al tratarse de relaciones directamente proporcionales, puedes resolverlas a partir de una regla de tres simple. No obstante, el porcentaje, al tratarse de una razón entre dos cantidades, se está refiriendo estrictamente a una fracción, en donde el denominador es el valor de base porcentual y el numerador es el valor que estamos comparando a esa base. En este caso, suponiendo un valor de base porcentual “n”, las fracciones a continuación se pueden calcular mediante una fracción en términos de n; a estos porcentajes se les denomina porcentajes básicos: Porcentaje 100% 75% 50% 33% 25% 20% 10% 5% Fracción Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento. 3 6 4 9 3 8 8 4 5 9 8 2 3 1 8 6 1 7 8 4 2 5 8 3 6 8 8 1
Matemáticas 387 Veamos algunos ejemplos: • El 25% de 800 es 200, dado que la cuarta parte de 800 es 200. • El 40% de 1000 es 400, dado que el 40% son las dos quintas partes de 1000. • 350 es el 50% de 700, dado que la mitad de 700 es 350. Solución Situación 9 • La cantidad de hombres del grado 11B es: 12 • La cantidad total de hombres de grado 11 es: 30. En ese caso la razón que representa el porcentaje de hombres de grado 11B con respecto al total de hombres es 12 30 = simplificando la fracción = 2 5 Las dos quintas partes de una cantidad son el 40% de dicha cantidad La respuesta es la opción B. Otro pensamiento importante para desarrollar es el progresivo o secuencial aquel que nos permite identificar el cambio de un elemento a través de un patrón, por ejemplo cuánto ha crecido una planta al pasar los días, o el número de autos que pasan por una autopista a diferentes horas. Este pensamiento es evaluado también por la Prueba Saber 11º y lo hace en forma de secuencias. Situación 10 1. Un virus está compuesto por tres bacterias A, B y C. El virus se reproduce diariamente, sus bacterias al reproducirse generan, a su vez, una bacteria de la que está compuesto el virus así: • Al reproducirse la bacteria A se generan dos bacterias A y una bacteria C. • Al reproducirse la bacteria B se generan dos bacterias B y una bacteria C. • Al reproducirse la bacteria C se genera una bacteria A, una B y una C. Así, los dos primeros días el virus tendría la siguiente estructura: Día 1: ABC Día 2: AAACBBBCCABC Continuando con la misma tasa de crecimiento, la cantidad total de bacterias entre A, B y C que tendría el virus en el 4 día sería de: A. 120 B. 144 C. 186 D. 192 • Solución Si observas, del día 1 al día 2 la combinación resultante presenta una recurrencia en cuanto a que cada una de las bacterias se cuadruplicó, lo que permite pensar que para el tercer y cuarto día sucederá lo mismo. Si tienes en cuenta este razonamiento, lo único que debes hacer es multiplicar la cantidad de bacterias del día por 4, para obtener la cantidad del día siguiente, así: Clave D Para resolver este tipo de situaciones requieres claridad en los siguientes conceptos: Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 3 x 4 x 4 x 4 = 192
388 Secuencias Las secuencias son un conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido, por tanto, se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero, etc. Al tratarse de un cambio establecido, las secuencias pueden tener dos comportamientos (creciente y decreciente) y pueden tener dos tipos de avances (lento o rápido): SECUENCIA CRECIENTE DECRECIENTE ARITMÉTICA (Cambian lentamente) El patrón de este tipo de secuencia es a partir de sumas, por ejemplo 2,4,6,8,10,…. El patrón de este tipo de secuencia es a partir de restas, por ejemplo 60,54,48,42,36,…. GEOMÉTRICA (Cambian Rápidamente) El patrón de este tipo de secuencia es a partir de multiplicaciones o potencias, por ejemplo 4,16,64,256,… El patrón de este tipo de secuencia es a partir de divisiones o raíces, por ejemplo 5000, 1000, 200, 40,…. 1. Con lo aprendido en la lección, completa con los valores faltantes la siguiente tabla, sin utilizar reglas de tres. 100% 75% 50% 33% 25% 20% 10% 5% 2400 1600 320 3750 72000 18000 900 2. Halla los términos restantes en cada secuencia: A. 15, 9, 3, … B. -13, -9, -5, … C. 3, 12, 48, D. 27, 9, 3, 1, E. 1, 3, 6, 10, F. 50, 48, 44, 38, G. 6, 12, 36, 144, H. 63, 21, 27, 9, 15, I. 5, 9, 16, 29, 51, J. 1, 3, 2, 7, 6, 12, 24, 18, 3. Augusto quiere comprar 3 hamburguesas con los $23.000 que tiene, pero comprueba que todavía le faltan $4.900, ¿cuánto cuesta cada hamburguesa? 4. Diana Carolina, que se dedica a la carpintería, corta un tablón que mide 117 cm en tres piezas iguales. Si cada centímetro vale $1.500, ¿cuánto costará cada pieza? Elabora
Matemáticas 389 • Responda las preguntas 5 a 7 de acuerdo con la siguiente información. En una encuesta realizada en una institución educativa del distrito, se indagó entre sus estudiantes respecto a la preferencia por géneros musicales que acostumbran utilizar palabras soeces en sus letras encontrando los siguientes resultados; SI NO TOTAL HOMBRES 180 90 270 MUJERES 360 60 420 TOTAL 540 150 690 5. De acuerdo con la información suministrada, el porcentaje de hombres que gustan de este tipo de géneros musicales, con respecto al total de hombres es igual a: 6. El porcentaje de mujeres que no gustan de este tipo de géneros musicales en la institución es de 7. El porcentaje de mujeres que no gustan de este tipo de géneros musicales con respecto al total de mujeres es de
390 Resumen Capítulo 1 Resumen Capítulo 1 Regra de Tres Relación directa Porcentajes Fracciones Representación gráfica Secuencias Aritmética Geométrica Decreciente Creciente Relación inversa Esquemas de proporcionalidad Resolver situaciones problema - Identificación - Diferenciación - Clasificación - Decodificación - Codificación Operaciones mentales - Representacion mental Lee, piensa, razona y resuelve
Matemáticas 391 1. Manuel confecciona sábanas para su nueva casa. Para cada una emplea 2,3 m de tela. Si el metro de tela vale $15.500, el costo de cada sábana es de A. $35.650 B. $6.739 C. $32.950 D. $8.920 2. Mario y Rocío compran para su almacén de confecciones 5.760 m de cordón decorativo. Venden 1.710 m, y el resto lo distribuyen en 45 rollos iguales. La cantidad de metros que tiene cada rollo es de A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 3. Con la intención de hacer un cóctel, un barman prepara una mezcla con 50 cm3 de limonada, 20 de soda y 80 de un licor importado. La proporción de limonada utilizada en la mezcla es A. 5/13 B. 1/2 C. 1/3 D. 5/8 4. Sobre una vía, un policía de carretera ubica 4 conos rotulados con las letras A, B, C y D; las distancias entre ellos están de tal forma que AB BC = 1 2 , BC CD = 8 5 Luego, la razón de las distancias entre AB y BD es: A. 4/13 B. 3/8 C. 2/5 D. 2/7 5. Tres quintos del total de los paquetes alimenticios destinados para una ayuda humanitaria son enviados para la tercera parte de la cantidad total de hogares, en la que está la mayor cantidad de damnificados de una tragedia; si faltan 60 hogares por recibir paquetes alimenticios, el número de paquetes que había en principio para ser entregados es A. 20 B. 30 C. 48 D. 50 6. Un diseñador fue contratado para decorar un piso rectangular. Cuando terminó de decorar un tercio del piso, le faltaban 8 metros cuadrados para completar la mitad de su trabajo. Si él cobra $4.000 por cada metro cuadrado decorado, el costo total por decorar este piso, en pesos, es: A. 96.000 B. 90.000 C. 200.000 D. 192.000 7. El tiempo total requerido por una camioneta para ir de Santa Marta a Bolivia con carga completa es de 6 días y 18 horas. Sin carga el tiempo de viaje se reduce en 1 3 . El tiempo que tarda la camioneta en viajar vacía es A. 4 días y ¾ de hora B. 2 días y 6 horas C. 4 días y 12 horas D. 5 días 8. En una biblioteca comunitaria la cantidad de libros es al de revistas como 5 es a 3. El número que no corresponde a un posible total de textos que cumpla la relación anterior es A. 240 B. 300 C. 320 D. 480 9. Seis personas pueden hospedarse en un balneario durante 12 días por $792.000. El costo de 15 personas hospedados en el mismo balneario durante 8 días, en pesos, es A. 1´320.000 B. 1´200.000 C. 950.000 D. 892.000 10. Tres compañeros de trabajo desean realizar una donación de caridad a una fundación de $18’000.000, la cantidad que aporte cada uno deberá ser directamente proporcional a sus edades: 25, 30 y 35 años. El compañero de mayor edad aportó en $ A. 5´500.000 B. 6´700.000 C. 7´000.000 D. 7´500.000 A continuación encontrarás una prueba con problemas de razonamiento lógico similares a los de las Pruebas Saber 11º y a los estudiados en esta sección: Evalúo
Unidad 2 Nuestros amigos los números y sus relaciones Unidad 3 Las variables en las matemáticas, las mil y una soluciones El mundo matemático y su lenguaje Capítulo 2
Unidad 2 Nuestros amigos los números y sus relaciones Unidad 3 Las variables en las matemáticas, las mil y una soluciones El mundo matemático y su lenguaje Capítulo 2
394 Introducción Competencias saber Objetivo: Identificar algunas características fundamentales de la prueba de matemáticas a partir de la resolución de situaciones y la conceptualización de dichas soluciones. Uno de los componentes evaluados se llama "Álgebra y cálculo" Con situaciones que te lleven a pensarlas y modelarlas analizando sus regularidades utilizando variables y haciendo uso del lenguage algebraico. No, todo lo evaluarán a partir de las diferentes competencias, pero si será necesario que los conocimientos más básicos los sepas de memoria. No te preocupes, a continuación las encontrarás con su respectiva explicación. Fenómenos de cambio, tablas, gráficas y todas las formas como se puedan reprecentar las variaciones. Maestro, ¿Qué nos evaluará el ICFES con las pruebas Saber? ¿Qué tamáticas conforman este componente? ¿Cómo evaluarán todo eso? ¿Quieren que ¿Competencias? aprendamos todo eso de memoria?
Matemáticas 395 Interpretación y representación Esta competencia vislumbra todas las habilidades que se enmarcan en la comprensión y la transformación de la información procedente de cualquier medio de comunicación (escrito, formatos gráficos, diagramas de conjuntos, tablas, conjuntos de datos, esquemas, mapas conceptuales, diagramas de flujos, mapas mentales, etcétera). También abarca todas las capacidades para asimilar información valiosa o relevante que pueda llevar a la resolución de situaciones problema. Esta competencia contempla la posibilidad que un estudiante identifique diferentes representaciones de un mismo suceso, pero teniendo la capacidad de crear modelos propios de la situación. Debe establecer relaciones matemáticas y reconocer patrones o tendencias subyacentes en una situación dada • (ICFES, 2014-2). SITUACIONES PROBLEMA INTERPRETACIÓN Y REPRESENTACIÓN COMPRENDER IDENTIFICAR MANIPULAR RELACIONAR INFORMACIÓN ESQUEMAS MAPAS CONCEPTUALES MAPAS MENTALES DIAGRAMAS TABLAS INFOGRÁFICOS GRÁFICOS PRESENTADA EN PARA RESOLVER
396 Argumentación Esta competencia está relacionada con las capacidades para descartar o reafirmar soluciones, argumentos, metodologías, algoritmos, estrategias, interpretaciones, representaciones o conclusiones en una situación problema a partir de razonamientos justificables y teniendo, adicionalmente, la capacidad para explicar las propias razones y justificaciones. Esta competencia se relaciona con las habilidades para explicar cómo se llega a diferentes conclusiones y cómo se refutan los motivos, caminos de solución o estrategias establecidas por otros, partiendo del planteamiento de ejemplos, contraejemplos o razonamientos lógicos concatenados, que permitan entender la correcta solución al problema o que permitan identificar inconsistencias presentes en las soluciones propuestas. ARGUMENTACIÓN SITUACIONES PROBLEMA RAZONES • METODOLOGÍAS • ESTRATEGIAS • MOTIVOS • SOLUCIONES AFIRMACIONES • CONCLUSIONES • INCONSISTENCIAS JUSTIFICAR INVALIDAR RECHAZAR REAFIRMAR EXPLICAR PARA LA RESOLUCIÓN DE UTILIZANDO COLORARIOS TEOREMAS CONCEPTO PROPIEDADES DESCARTAR ACEPTAR Formulación y Ejecución Con la evaluación de esta competencia se espera determinar si un estudiante está en la capacidad de diseñar estrategias utilizando todo tipo de conocimientos matemáticos; también se evalúa el desarrollo del alumno a la hora de proponer rutas posibles para la solución de un problema o de elegir adecuadamente entre las rutas establecidas; se evalúa la capacidad para seguir alguna estrategia propuesta para la solución de las situaciones basándose en los conocimientos de las operaciones y propiedades matemáticas y, por último, permite observar las habilidades de un estudiante para resolver las diferentes situaciones que afronta. FORMULACIÓN Y EJECUCIÓN SITUACIONES PROBLEMA ESTRATEGIAS SOLUCIONES PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE RUTAS ASERTIVAS SEGUIR PLANTEAR DISEÑAR SELECCIONAR VERIFICAR PROPONER DECIDIR
Matemáticas 397 Así pues, es fácil encontrar una relación directa entre la evolución de la humanidad y de la matemática, de ahí que sea tan importante que la mayor cantidad posible de sujetos conozca y manipule los conceptos más básicos de esta hermosa ciencia y, con esto, posibilite una mayor evolución de las ciencias y las tecnologías útiles para todos los ciudadanos del mundo. Si se piensa en iniciar un proceso de aprendizaje matemático, se hace imprescindible pensar en el concepto de número, su evolución, sus operaciones y todo lo relacionado con este. Inicia familiarizándote con el número y sus representaciones, resuelve la siguiente actividad relacionada con los monogramas y pon en práctica parte de lo mucho que has aprendido en la escuela. Un monograma es una figura construida a partir de la unión de diferentes signos, letras o números. Por ejemplo, algunas marcas reconocidas de ropa utilizan monogramas para sus logos, en donde los caracteres que los conforman son las iniciales de su marca: ¿Puedes encontrar todos los elementos, letras o números que conforman el siguiente monograma? Escríbelos en el recuadro de la derecha: Unidad 2 Nuestros amigos los números y sus relaciones Empieza C omo lo dice Stephen Hawking en su libro Dios creó los números: Desde el comercio por internet hasta los vuelos espaciales, las matemáticas rigen casi todos los aspectos de nuestra vida en esta era postindustrial. Por otra parte, tanto las revoluciones intelectuales como nuestra propia percepción del mundo son hijas de revoluciones en el pensamiento matemático. Las obras de Karl Weierstrass, Georg Cantor, George Boole, Alan Turing, Kurt Gödel y otros grandes matemáticos se han construido sobre la obra de sus predecesores, desde los matemáticos babilonios, y ellas, a su vez, alimentan las nuevas teorías que desarrollan los investigadores contemporáneos. (Hawking, 2006).
398 Actualmente existen muchas teorías sobre cómo surgieron los números tal y como los conocemos hoy en día como los números indoarábigos. Una de las teorías asocia la forma de los números con la cantidad de ángulos internos que encontramos en su figura. Números Arábigos Como en todas las áreas, la matemática también cuenta con historias muy interesantes, si deseas conocer la historia del número 1, te sugerimos ver el siguiente video. Ahora, inténtalo tú Número 785 (Ejemplo) 965 783 894 Paso 1 785 + 4 = 789 Paso 2 789 9 = 81 Paso 3 81 - 9 = 72 Paso 4 72 8 = 9 Paso 5 9 - 9 = 0 ¡Cero! Curiosidades… ¿Sabias qué? Se desconoce el inicio real de los cálculos aritméticos en la humanidad pero se sabe que en Babilonia, 3000 años A.C. los “aprendices” debían calcular distancias, pesos de cosas y definitivamente reparticiones de herencia. Se cree que la aritmética es incluso anterior a la escritura. Explora A hora con la intención de que te sigas relacionando con los números, utiliza tus conocimientos y resuelve los siguientes ejercicios a manera de juegos: Juego Matemático: Al cero en cinco pasos El juego consiste en reducir un número que este entre 0 y 1000 utilizando únicamente operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) que puedes repetir las veces que desees; estas operaciones se realizarán con los números del 1 al 9 y puedes utilizarlos las veces que quieras. Cada operación realizada cuenta como un paso y el juego consiste en reducir el número en cinco pasos:
Matemáticas 399 Se coloca cada uno de los cinco números 1, 5, 9, 13 ,17 en cada uno de los cinco cuadrados de la cruz del diagrama de tal modo que la suma de los tres números de la fila (horizontal), sea igual a la suma de los tres números de la columna (vertical), por tanto el menor valor que puede tener la suma horizontal es: A. 15 B. 19 C. 23 D. 31 Los dígitos 1, 2, 3, 4 y 9 son usados una sola vez para formar el más pequeño número par de 5 cifras. El dígito en el lugar de las decenas es: A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 Explico Acontinuación encontrarás una serie de situaciones con su respectiva solución y con la explicación de las operaciones matemáticas utilizadas para resolverlos; todo esto encaminado a fortalecer tu comprensión del concepto de número y a desarrollar las competencias evaluadas en las pruebas SABER 11. Situación 1: El dueño de una tienda desea dividir el estante donde almacena sus productos para la venta al público de tal manera que los productos perecederos ocupen 2 5 de la estantería, las golosinas ocupen 1 6 de la estantería, los implementos de aseo 2 9 de la estantería y las frutas y verduras se ubiquen en la parte restante. La fracción de la estantería correspondiente a las frutas y verduras es A. 10 45 B. 19 90 C. 29 90 D. 18 45 • Solución: Para resolver el problema se puede conocer el mínimo común múltiplo entre los valores pedidos, luego homogeneizar las fracciones y por último realizar la resta de las fracciones propuestas con respecto a 1, de la siguiente manera. 1 – 2 – 1 – 2 = 90 - 36 - 15 - 20 =19 5 6 9 90 90 Como al valor total de la estantería se le restan las fracciones correspondientes a los productos perecederos, las golosinas y los implementos de aseo, Entonces a las frutas y verduras les corresponden una fracción de estantería igual a 19 90. Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
400 IMPORTANTE: Algunas de las operaciones o términos utilizados para la resolución del problema pueden ser ajenos para ti, por esta razón, a continuación se presentan los conceptos que deberás tener claros para abordar este tipo de situaciones. Suma y resta de números racionales: Una estrategia que se aplica a la suma y resta de fracciones algebraicas (fracciones con variables en vez de números) y a funciones racionales, es aplicar el siguiente algoritmo: a ± c = ad ± bc b d bd 13 + 2 = (13 * 5) + (7 * 2) = 65 + 14 = 79 7 5 7 * 5 35 35 13 - 2 = (13 * 5) - (7 * 2) = 65 - 14 = 51 7 5 7 * 5 35 35 Para sumar y restar números decimales es necesario poner la coma que separa la parte entera de la parte decimal de los sumandos, una sobre la otra. Ejemplo: 3,5 + 122,76 = 126,26 3,5 - 122,76 = -119,26 3,5 + 122,76 - 122,76 3,5 126,26 119,26 En la resta de cualquier número real, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo (tiene un mayor valor absoluto), se realiza la resta del mayor menos el menor, pero la diferencia (resultado de la resta) tendrá el signo del número de mayor valor absoluto como lo muestra el ejemplo anterior. • PRACTICA: resuelve las siguientes operaciones con fraccionarios. a) 1 + 2 b) 3 + 1 c) 2 - 1 + 7 d) 7 - 4 + 5 3 5 8 5 5 2 10 2 9 6 Situación 2: En una fiesta de cumpleaños, después de atender a todos los invitados, el anfitrión quiere comerse el sobrante de uno los ponqués y puede elegir entre el de fresa, que fue partido en 20 pedazos, de los cuales quedan 3, o el de chocolate, que se dividió en 15 partes y de los cual quedan 2 trozos. Si la intención es comer más, debe elegir A. el de chocolate porque 3/20 es mayor que 2/15. B. el de fresa porque 3/20 es mayor que 2/15. C. el de chocolate porque 2/15 es mayor que 3/20. D. el de fresa porque 2/15 es mayor que 3/20. Curiosidades… ¿Sabias qué? Los números racionales toman su nombre porque se pueden escribir en forma de razón a b ; de la misma manera los irracionales no se llaman así por ser locos, sino porque no pueden escribirse en forma de razón o no hay alguna razón que los pueda representar. Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
Matemáticas 401 • Solución La cantidad de torta de fresa se puede interpretar como 3 20, mientras que la cantidad de torta de chocolate se puede interpretar como 2 15; dado que el anfitrión quiere comer la mayor porción, lo único que se debe hacer es determinar cuál de los dos trozos es mayor, para lo que se realiza la división en ambos casos: 30 20 20 15 100 0,15 50 0,133' 0 50 5 Después de realizar las divisiones vemos que la parte entera de ambos es igual, es cero; la primera cifra decimal es igual, 1; pero la segunda cifra decimal es mayor en 3 20. Por lo tanto 3 20 es mayor que 2 15. Entonces la respuesta correcta es la “B” que dice que el anfitrión debe elegir la torta de fresa ya que 3 20 es mayor que 2 15. Los conceptos necesarios para la resolución de este tipo de problemas, son los siguientes: Recta numérica real Como todas las rectas, esta es infinita, pero tiene la característica de que cada uno de sus puntos equivale a un número real y que entre cada par de números real hay una cantidad infinita de números reales; estas cualidades hacen que los números reales sean infinitos. Si en cada una de las siguientes rectas numéricas haces un acercamiento en la parte resaltada te encontrarás con la recta siguiente: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 Los números racionales abarcan a los fraccionarios que pueden ser expresados también como decimales. Si deseas realizar comparaciones para saber cuál número es mayor o menor, en el caso de los números racionales, puedes compararlos entre fraccionarios, decimales entre sí o fracciones con decimales. Esto puede ser una labor complicada si no se utiliza una estrategia de solución adecuada. • En caso de que la comparación sea entre dos números fraccionarios: • Realizar la división propuesta en la fracción, y comparar con los números decimales obtenidos ubicados en la recta real, comparando inicialmente la parte entera y después cada uno de los números contiguos a la coma. • Homogeneizar los fraccionarios, de tal manera que el denominador sea el mismo en cada una de las fracciones, y comparar los numeradores con respecto a su ubicación en la recta real.
402 Homogeneizar Fracciones Vamos a homogeneizar los fraccionarios 5 8 , 3 9 y 4 3 : Paso 1: Encontramos el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que en este caso sería 2x2x2x3x3 = 72 Paso 2: Multiplicamos el denominador de cada fracción por el número necesario para que el denominador se convierta en 72: , y 8x(9) 9x(8) 3x(24) Paso 3: Multiplicamos el numerador por el mismo número que multiplicamos el denominador: 5x(9) , 3x(8) y 4x(24) 8x(9) 9x(8) 3x(24) Paso 4: Realizamos las multiplicaciones respectivas: 45 , 24 y 96 72 72 72 Así podemos identificar fácilmente que, de mayor a menor, las fracciones serían 4 > 5 > 3 3 8 9 • Dos números decimales: • Ubica los números en la recta real y recuerda que el número que se encuentre a la derecha será mayor al que se encuentre a la izquierda. – Para multiplicar o dividir números fraccionarios se debe seguir el procedimiento evidenciado en el siguiente ejemplo: a * c = a * c ; 7 * 13 = 7 * 13 = 91 b d b * d 4 9 4 * 9 36 a : c = a * d ; 7 : 13 = 7 * 9 = 93 b d b * c 4 9 4 * 13 52 – Para multiplicar decimales se debe realizar una multiplicación de enteros (teniendo en cuenta el producto de signos) desestimando en el procedimiento la coma que distingue la parte entera de la parte decimal. Al final del proceso se debe sumar la cantidad de cifras decimales que tenga cada uno de los factores; el resultado de esa suma es la cantidad de cifras decimales que debe tener el producto. • Ejemplo: 13,2x Una cifra decimal -12,135 tres cifras decimales 660 396 132 164 132 -160,1820 Total: Cuatro cifras decimales m.c.m 8 9 3 2 4 9 3 2 2 9 3 2 1 9 3 3 1 3 1 3 1 1 1
Matemáticas 403 – Para dividir decimales se deben igualar las cifras decimales del numerador y del denominador con ceros. Una vez realizado este paso se deben quitar las “comas” y desarrollar la división como si fueran números enteros. Ejemplo: 6144 1200 -6,144 = 6144 1440 -5,12 1,2 1200 2400 0000 Situación 3: En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés vence a Carlos por 50 metros. En la misma distancia Carlos gana a Belisario por 100 metros y Belisario vence a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganará Andrés a Danilo en una carrera de 1200 metros? • Solución: En cualquier situación problema que quieras resolver, se hace importante que representes la situación de una manera gráfica que te permita entender algunos detalles adicionales: 160 100 50 800 metros En la representación puedes ver que, en los 800 metros, la distancia entre Andrés (el ganador) y Danilo (el último de los cuatro) es de 310 metros. Si se maneja una situación proporcional durante la carrera, como lo propone la SITUACIÓN 3 entonces 800 metros =1200 metros 310 metros X metros Al resolver la proporción propuesta tienes que x= 1200metros * 310 metros =475 metros 800 metros Los conceptos utilizados para resolver esta situación los encontrarás a continuación Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
404 Fracciones y razones para comparar cantidades Si comparas dos o más cantidades semejantes o diferentes utilizando una fracción, estás generando una razón1 . Las razones las puedes representar como una fracción, como una comparación o como una analogía: 3 7 a 2 9 : 11 5 Se puede decir que dos razones son equivalentes si al simplificarse dan como resultado el mismo número. 72 = 72 : 3 = 24 : 3 = 8 45 45 : 3 15 : 3 5 120 = 120 : 3 = 40 : 5 = 8 75 75 : 3 25 : 5 5 Por lo tanto 72 = 120 45 75 También se puede decir que dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda se obtiene el mismo valor que al multiplicar el numerador de la segunda por el denominador de la primera: a es equivalente a c si se cumple que a * d = b * c b d 2 es equivalente a 6 porque se cumple que 2 * 9 = 3 * 6 3 9 Actividad 1 1. De acuerdo con las anteriores reglas responde si se puede afirmar que, A. 1 es a 3 como 100 es a 300 B. 11 es a 3 como 111 es a 30 C. 21 es a 3 como 3 es a 1 1 Algebra elemental, un ajuste justo a tiempo Curiosidades… Para simplificar una razón, fracción o relación, es necesario dividir el numerador y el denominador por el mismo valor; si uno de los dos no es divisible, la razón no se puede simplificar.
Matemáticas 405 1. En este inicio de semestre Luz gastó $60.000 pesos en papelería, mientras que Miriam gastó $45.000 pesos por el mismo concepto. ¿Cuál es la razón gastada por Miriam con respecto a lo gastado por Luz? 2. En el mes de julio Rocío pagó a la tarjeta de crédito un 3.83% de intereses (tasa mensual) mientras que el crédito de vivienda le cobró el 1.61% de intereses (tasa mensual). ¿Cuál es la expresión que representa la razón entre el interés del crédito de vivienda y la tarjeta de crédito? 3. Un tazón lleno al ras contiene 150g de harina y 240g de azúcar. A. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que puede contener la taza? B. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que pueden contener 2 tazas? ¿Y tres tazas? 4. Eduardo compró 9 chocolates en $12.000, si Julio compró 5 de los mismos chocolates ¿Cuánto pagó por ellos? • ¿Qué relaciones encontraste? • ¿Cómo resolviste el problema? 5. Con 1/2 kilo de harina. El panadero del barrio acostumbra preparar 5 panes. La demanda semanal por los panecillos obedeció a la siguiente tabla: Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Demanda 100 200 250 250 300 400 550 A. ¿Qué cantidad de harina usó el panadero cada día? B. ¿Cuánta harina ocupó en la semana? Elabora
406 “si tienes seis cosas y las repartes equitativamente entre tres personas, habrá dos cosas por persona”. Luego se intentó resumir las palabras más usadas del enunciado escribiéndose: “si tienes seis c y las repartes equitativamente entre tres p, habrán dos c por cada p”. Después de ir evolucionando en los métodos de abreviación, aparecieron símbolos que parecían no tener relación alguna con las situaciones que representaban, dando la entrada a números y variables: “si tienes seis cosas y las repartes equitativamente entre tres personas, habrán dos cosas por persona” 6c =2 3p p c ↔ Notablemente la expresión ha sido simplificada y por ende más fácilmente tratada en busca de su solución, siempre y cuando se entienda el lenguaje que se está queriendo simplificar. Para resolver problemas es importante implementar una estrategia o metodología que permita seguir un camino previamente establecido. En 1945 George Polya, en su texto titulado “How to solve it” (Cómo resolverlo), planteó una serie de pasos encaminados a la resolución de problemas: 1. Leer y comprender el problema. 2. Elaborar un plan o definir una estrategia. 3. Ejecutar el plan. 4. Hacer la verificación. (Fajardo Valderrama, 2015) En Kulm (1979) se presenta otra posible forma de abordar un problema en busca de su solución, pero esta estrategia se enfoca a problemas más específicos de la matemática. El siguiente esquema la resume: Situación Problemática Revisión o comprobación Lectura Comprensión Traducción Cálculo Unidad 3 Las variables en las matemáticas, las mil y una soluciones Empieza L a notación matemática ha pasado por tres etapas sucesivas: la primera se caracteriza porque no existían símbolos; las cantidades, los objetos y las operaciones entre estos se expresaban en lenguaje hablado o escrito. Por ejemplo podrías haber escuchado:
Matemáticas 407 Es importante rescatar en ambas posturas, más allá de sus diferencias, sus similitudes, entendiendo que sea cual sea el problema es importante que lo leas, lo entiendas y, si su estrategia de solución requiere de procedimientos matemáticos, se hace importante una traducción del lenguaje natural al lenguaje matemático. Allí hace su ingreso triunfal el álgebra con sus variables, que facilitan la posibilidad de reescribir una situación cotidiana en terminología matemática de tal manera que permita hallar una solución más fácilmente. Explora L os números también nos pueden servir para realizar juegos y hasta magia. A continuación verás un par de ejemplos que te permitirán ver algunas de las mil y una soluciones que nos dan los números y las variables. Juega a Adivinar • Piensa en un número del 1 al 9. • ahora multiplícalo por 9. • Ese resultado multiplícalo por el número 12345679 (sin el 8). • ¿Qué número obtienes? Adivina de Nuevo • Piensa un número. • Multiplícalo por 9. • Suma los dígitos del número obtenido hasta que llegues a un único dígitoi; así, si el número obtenido es 47, entonces sumas 4 + 7 = 11 y 1 + 1 = 2. • Piensa en la letra del abecedario que corresponde con ese número, por ejemplo 1-A, 2-B, 3-C… • Piensa en un animal que empiece por esa letra. • Al último número que obtuviste, réstale 5. • Piensa en la letra del abecedario que corresponde con ese número, por ejemplo 1-A, 2-B, 3-C… • Piensa en un país. ¿Sabes cómo, dónde y cuándo la humanidad vio la necesidad de inventar el álgebra?. Entérate en:
408 Situación 1 Resuelve esta situación encontrada en el papiro egipcio de Ahmes en el siglo XVII a.c. “Una cantidad y la mitad de esa cantidad es igual a 16” • Solución 1: Para resolver este tipo de situaciones los egipcios utilizaban un método llamado “método de la falsa proposición” y consistía en ensayar un número para luego comparar el resultado encontrado y el esperado, así: Supón que la cantidad buscada es 2 por lo que 2+ 1 * 2 = 3 2 Para que el resultado llegue a 16 sería necesario multiplicar por (5 + 1 3 ) por lo cual se multiplica por este valor a ambos lados de la igualdad obteniendo 2 * (5 + 1 ) + 1* (5 + 1 ) = 3* (5 + 1 ) 3 3 3 Por lo tanto, la solución correcta es 2(5 + 1 3 ) = 32 3 • Solución 2: Tú que tienes la posibilidad de utilizar todo lo que la humanidad ha encontrado durante la historia en términos algebraicos, puedes resolverlo utilizando variables: C + 1 2 C = 16 → 3 2 C = 16 → C = 2*16 3 → C = 32 3 Para poder resolver este tipo de problemas, debes tener muy claro los siguientes conceptos: Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica busca representar una o más cantidades desconocidas en una situación dada con la intención de hallar, por métodos matemáticos, la solución a la misma. Dichas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras; cuando se combinan variables con números (coeficientes) que determinan la cantidad de variables existentes en el problema, se dice que se tiene una expresión algebraica. Un término algebraico es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente real. Consta de: A. signo: ( + ó - ) B. coeficiente numérico o número C. factor literal o letra D. Exponente Explico Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento. coeficiente Signo Exponente Parte literal
Matemáticas 409 Lenguaje Matemático Ya sabiendo que el lenguaje matemático busca representar situaciones, representa los siguientes enunciados en terminología matemática. A. La mitad de un número. B. Añadir 5 unidades al doble de un número. C. La suma de un número y el doble del mismo. Situación 2 Un hombre quiere sembrar en sus predios 630 semillas y decide repartir ese trabajo para realizarlo en 3 días; además determina sembrar cada día 40 semillas menos que el día anterior porque los recorridos serán más largos. La cantidad de semillas que deberá cargar el primer día es A. 250 B. 210 C. 170 D. 130 • Solución Para resolver esta situación, analízala y plantea en lenguaje matemático lo que entiendes de ella: La cantidad de semillas del primer día, sumado con esa misma cantidad menos 40 semillas, sumado con esa misma cantidad menos 80 semillas (por ser dos días), debe ser igual a 630: C + (C - 40) + (C - 80) = 630 C + C + C - 120 = 630 3C = 630 + 120 C = 750 3 C = 250 Por lo tanto, el primer día el hombre debe llevar consigo 250 semillas. Los conceptos utilizados para resolver este problema son los siguientes: Ecuación: Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras o variables: X + 1 = 2 X = 1 Cada una de las expresiones que aparecen a lado y lado del signo igual se llaman miembros de una ecuación. Los términos son los sumandos que forman los miembros: Primer miembro 2x - 3 = 3x + 2 Segundo miembro Términos
410 Para resolverla basta con despejar la x. Así: ax + b = 0 → ax = -b → x = -b a (Con frecuencia, la ecuación aparecerá con más términos, pero operando términos semejantes siempre se puede llegar a la forma anterior más simple). Si aparecen denominadores y paréntesis, primero se resuelven los paréntesis, a continuación se quitan denominadores. • Ejemplo La imagen te muestra otra forma de plantear una ecuación, de esta manera puedes intentar hallar los pesos de cada uno de los animales de la gráfica y encontrar la suma de los tres pesos. 3 veces el Gato es igual a 12 kg 3 x G = 12 G = 12/3 ↔ G = 4 El pato y el gato suman 5 kg. P + G = 5 ↔ P + 4 = 5 kg ↔ P = 1 kg El peso de la oveja menos el peso del pato serían 99 kg. O – P = 99 kg ↔ O – 1 = 99 kg ↔ O = 100 kg. O + G + P =? reemplazando los valores de cada uno 100 + 4 + 1 = 105 Situación 3 En la gráfica se detalla la curva de crecimiento de la velocidad de un corredor en una carrera de 100 metros planos. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,00 2.00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 v (m’s) s (m) (Física y Química, 2016) De acuerdo con la gráfica se puede asegurar con certeza que el corredor tiene un mayor cambio de velocidad en el intervalo comprendido entre los A. 0 y 10 metros. B. 10 y 20 metros. C. 20 y 30 metros. D. 80 y 90 metros. Para resolver este tipo de situaciones debes estudiar más a fondo los conceptos relacionados con función lineal + + = 12 kg + = 5 kg - = 99 kg + + = ???
Matemáticas 411 1. Escribe los siguientes enunciados en terminología matemática: A. El área de un triángulo de base b y altura h. B. La resta de un número par y su siguiente. C. La suma de dos números consecutivos es 21. D. Dos números pares consecutivos suman 10. E. El producto de tres números consecutivos es 120. F. El producto de dos números pares consecutivos es 48. G. Unos pantalones y una camisa cuestan en total 12000 $. La camisa cuesta 6000 $ menos que los pantalones. 2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: A. 3x + 5 = 5x – 13 B. 5(7 – x) = 31 – x C. 4(2 – 3x) = -2x – 27 D. 6x – 8 = 4(-2x + 5) E. 3(2x – 2) = 3(3x + 9) F. 3(4x + 7) = 4x – 25 G. 7x + 15 = 3(3x – 7) Elabora • Solución la razón de cambio de una función se obtiene al dividir la diferencia entre dos valores de la función correspondientes a dos valores de su variable independiente y la diferencia entre esos valores de la variable. Si evaluamos cada opción tenemos: La opción A. 10 – 0 = 1 10 – 0 La opción B. 11 – 10 = 1/10 20 – 10 La opción C. 11.5 – 11 = 1/20 30 – 20 La opción D. 12 – 12.5 = - 1/20 90 – 80 Por lo que podemos observar el intervalo comprendido en la opción A, entre 0 y 10 metros tuvo el mayor cambio de velocidad.
412 Resumen Capítulo 2 EL NÚMERO Números racionales Representaciones Para resolver Situaciones Problema Fraccionarios Decimales Recta Numérica Razones EL MUNDO MATEMÁTICO Y SU LENGUAJE Expresiones Algebraicas Resolución de problemas matemáticos Ecuaciones Funciones Lenguaje matemático Problema enunciado Lectura Comprensión Traducción Cálculo Revisión o comprobación