Matemáticas 463 2. Si los dígitos no pueden repetirse ¿Cuál es el número de claves diferentes que puede registrarse para una tarjeta normal? A. 100 B. 1000 C. 720 D. 900 Para resolver este problema debes conocer los siguientes conceptos. • Principio Multiplicativo Este método te permite hallar la cantidad de formas en que dos o más variables pueden combinarse entre sí dentro de un mismo evento. Si una variable de un problema tiene “m” elementos y otra variable tiene “n” elementos, la cantidad de formas total en que estas dos variables se pueden combinar está dada por “m x n” Resolvamos el ejemplo anterior utilizando el principio multiplicativo. Lo primero que debes hacer para resolver ese tipo de problemas es identificar las variables, luego determinar los elementos propios de cada una de ellas que pueden intervenir en la resolución de la situación. Como puedes ver en la pregunta número uno se te pide encontrar el número de claves de dos dígitos cualquiera que puedes formar con el tablero. En este caso puedes ver que lo que cambiará en el ejercicio son los números de cada dígito de la clave, así que las variables serán los dos dígitos de la clave. Ahora bien la cantidad de elementos que tiene cada dígito está dado por la cantidad de números que pueden ser utilizados para escribir la clave, como puedes ver en el tablero hay 10 números diferentes, así que la cantidad de elementos de cada variable es 10. Para resolver el problema ubica una línea por cada variable que tengas, y, sobre cada línea debes poner la cantidad de elementos que tiene cada una de sus variables, para posteriormente multiplicarlas. 10 x 10 =100 Digito 1 Digito 2 Resolviendo el problema por el principio multiplicativo la respuesta seria la D Ahora la pregunta número dos presenta una condición diferente en cuanto a los elementos que puede tomar la clave, ya que, en el primer punto podrías utilizar dos números cualquiera, en este debes utilizar 3 números diferentes. En ese caso ya cada variable reducirá la cantidad de elementos, pues, al utilizar un dígito en la primera casilla, este no se puede tener en cuenta en la segunda casilla y así sucesivamente. Esto quiere decir que para el problema, la primera casilla contará con 10 elementos, la segunda con 9 ya que no se puede utilizar el número utilizado en el digito anterior y la última casilla solo contará con 8 posibles elementos. 10 x 9 x 8 =720 Digito 1 Digito 2 Digito 3 En ese caso la respuesta para la segunda pregunta sería la C • Permutación La permutación es el cambio de orden de un arreglo establecido de elementos diferentes. Situación1: 5 amigos se forman en una fila uno al lado del otro en un acto cívico. ¿La cantidad de formas diferentes en que estos 5 amigos se pueden formar es? De acuerdo con lo anterior podrás inferir que el cambio de posición de al menos un elemento del arreglo, construirá un arreglo diferente. En el ejercicio si cambias de posición a los dos primeros amigos y sólo a estos dos tendrás dos arreglos diferentes.
464 Este tipo de problemas también puedes resolverlos utilizando el principio multiplicativo. En este caso las variables serán los 5 puestos que pueden ocupar los amigos y los elementos serán los 5 amigos; sin embargo, como una misma persona no puede estar 2 veces en diferentes sitios, en el primer sitio se podrán ubicar cualquiera de los 5 amigos, en el segundo sitio se podrán ubicar 4, ya que tenemos a uno de ellos ya ubicado en el primer sitio, y así sucesivamente. 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P1 P2 P3 P4 P5 En total serian 120 formas diferentes en que los 5 amigos se pueden formar. Situación 2: para una persona ir de la ciudad “A” a la ciudad “B” puede ir por aire usando 5 aerolíneas, por tierra puede utilizando 4 flotas de buses o en carro particular y por mar puede tomar 2 barcos diferentes. El número de formas diferentes en que una persona puede ir de “A” a “B” es: Para resolver este problema debes conocer los siguientes conceptos. • Principio Aditivo. Cuando un problema está basado en un evento en el que las variables no tienen forma de combinarse entre sí o no se puedan ejecutar simultáneamente, se debe aplicar el principio aditivo. Este principio determina que cuando en un evento hay una variable que puede tomar “m” formas y otra diferente que puede tomar “n” formas y estas no pueden ser realizadas simultáneamente, el número de formas en que se pueden realizar ambas está dado por “m + n” Teniendo en cuenta esto puedes resolver el ejercicio. • # de formas de viajar por aire: 5 • # de formas de viajar por tierra: 4 • # de formas de viajar por mar: 2 • # Total de formas = 5 + 4 + 2 = 11 formas diferentes.
Matemáticas 465 Situación 3: Carlos ha sido el ganador de un concurso. El ganador tiene la oportunidad de escoger 4 regalos diferentes de 9 que hay disponibles. ¿De cuántas formas diferentes puede Carlos seleccionar los 4 regalos? Para poder resolver este tipo de situaciones es importante que conozcas el siguiente concepto. • Combinación Permite hallar el número de selecciones diferentes que se puedan hacer de un grupo de elementos general. Dado un grupo de “n” elementos, para hallar la cantidad de selecciones “x” diferentes de “k” subgrupos se debe realizar la siguiente operación. X = n! k! * (n - k)! De esta forma si se desean hacer selecciones de grupos de a 3 elementos, teniendo un total de 5 de estos, la operación sería X = 5! X = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 =10 3! * (5 - 3)! (1 * 2 * 3) * (1 * 2) 12 Resolviendo la situación 3 tienes que: X= 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = Simplificamos = 6 * 7 * 8 * 9 (1 * 2 * 3 * 4) * (1 * 2 * 3 * 4 * 5) 1 * 2 * 3 * 4 X= 3024 = 126 24 En total se podrían hacer 126 selecciones de 4 regalos. Una importante diferencia que tienen la combinación o combinatoria y la permutación es que en la combinación no importa el orden de la selección de elementos, mientras que en la permutación, sí. • Diagrama de Árbol SITUACIÓN 4: De cuántas formas distintas se puede llegar desde A hasta B, si solo se puede mover hacia arriba y hacia la derecha B A Solución: Lo primero que algunas personas hacen al ver este tipo de problemas es comenzar a dibujar los caminos sobre la ilustración e irlos contando, sin embargo es un procedimiento en el cual te puedes equivocar fácilmente. Para este tipo de problemas se utiliza el método de diagrama de árbol, que permite identificar la cantidad de rutas que puede tomar una persona de un punto a otro.
466 Para utilizar este método el primer paso es etiquetar todos los puntos del camino en donde se deba tomar una decisión. B A Teniendo las etiquetas debes proceder a darle seguimiento a los posibles caminos que pueda seguir en un diagrama. Inicia con la primera decisión, salir de A nos lleva a la posición 1 o 2, después de 1 podrás ir a 3 o 4 y de la posición 4 podrás llegar a 5 o a B A 1 2 2 4 5 B Continuando con este proceso tendrás el siguiente diagrama A 1 2 6 7 5 B 8 B B B 7 B 8 8 B B 8 B B B B 3 3 4 7 5 8 B 8 B B 5 B B B B B B 6 2 7 3 1 8 5 4
Matemáticas 467 Al finalizar solo debes contar la cantidad de letras B que hay y la respuesta seria 20 maneras distintas Después de haber comprendido estos conceptos estás listo para iniciar con una nueva temática. La prueba Saber evalúa a través de diferentes tipos de ejercicios la capacidad de un estudiante para determinar qué tan probable o no es un evento. A continuación trabajarás algunos conceptos importantes de la probabilidad y podrás conocer preguntas tipo saber que te permitan afianzar tales conceptos. ¿Qué es la probabilidad? Es el proceso matemático por el cual se pueden calcular las posibilidades que existen de que un evento aleatorio ocurra o no; dicho cálculo permite establecer una medida dada por la razón entre la cantidad de casos que son favorables y la cantidad de posibilidades totales que arroja un evento determinado. Algunos eventos aleatorios son: Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de dos dados Seleccionar un naipe al azar Al lanzar una moneda esta podría caer de dos formas diferentes: cara o sello. Al lanzar dos dados estos podrían caer de 36 formas: 1 y 1; 1 y 2; 2 y 1; 1 y 3; 3 y 1; 1 y 4; 4 y 1; etc. Al sacar una carta al azar esta podría ser cualquiera de las 52 que compone el mazo. Existen muchos métodos que permiten calcular la probabilidad de que ocurra un evento, el más utilizado es la ley de Laplace que determina que la probabilidad de un evento está dada por la razón existente entre los casos favorables del evento y los casos posibles que tiene el mismo. P(Evento)= Casos favorables = CF Casos posibles CP Se sugiere en esta ley que los casos posibles son la cantidad total de formas en que pueda ocurrir un evento y los casos favorables son aquellos que busco que ocurran dentro del evento. Al tratarse de una razón en donde el denominador siempre será mayor que el numerador, se puede afirmar con certeza que la probabilidad de que un evento ocurra es un número que está entre 0 y 1. Ejemplo: La probabilidad de lanzar un dado y que al caer este muestre un número par es: El número de formas en que puede caer un dado es 6, estos serán nuestros casos posibles, ahora bien, nos piden la probabilidad de que al caer caiga un número par, en el dado encontramos tres números pares (2,4 y 6), estos serán nuestros casos favorables ya que es por el evento que nos preguntan. De acuerdo con esto, la probabilidad sería: P(#PAR) Casos favorables = 3 =0,5 Casos Posibles 6
468 La probabilidad puede representarse como una fracción, como un decimal o también puede mostrarse como un porcentaje. Fracción Decimal Porcentual 0,5 50% 0,25 25% 0,4 40% Situación 4: En una urna se tienen 80 balotas en total, estas pueden ser de color rojo, amarillo o azul, si se sabe que: • Las balotas amarillas superan a las azules en dos. • Se tiene el 35% de probabilidad de sacar una balota amarilla de la urna. • Hay igual cantidad de balotas azules y rojas. Entonces, la probabilidad de sacar una balota al azar de la urna y que esta sea roja es: A. 30% B. 25% C. 35% D. 32.5% • Probabilidad De Eventos Independientes: Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no interfiere en la ocurrencia del otro, esto quiere decir que si un evento tiene una probabilidad de “n” y el otro de “m”; la probabilidad de que ambos ocurran estará dado por m+n Por ejemplo: 0. Si al jugar lanzando dos dados, gana la persona que obtenga un 7 o que los dos dados caigan sobre la misma cara, la probabilidad de ganar el juego es: A. 50% B. 25% C. 33% D. 30% Solución: Dado que los eventos son independientes, pues no es posible obtener un 7 cuando las caras de los dados son iguales. Debes calcular la probabilidad de cada evento y sumarlas, para hallar el valor resultante. Es importante que observes primero los casos posibles: RESULTADOS POSIBLES AL LANZAR UN PAR DE DATOS (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (1,3) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (1,4) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (1,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (1,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) P(#SIETE)= Casos Favorables = 6 P(CARAS=S)= Casos Favorables = 6 Casos Posibles 36 Casos Posibles 36
Matemáticas 469 Entonces al sumar las probabilidades: P(EVENTO)= 6 + 6 = 12 = 1 =33% 36 36 36 3 La respuesta seria la C • Probabilidad de eventos en cadena Dos eventos m y n serán encadenados si se espera que sucedan de manera sucesiva, es decir uno tras otro. Para calcular la probabilidad de este tipo de eventos, debes utilizar el principio multiplicativo, pues hay diferentes formas en que estos pueden interactuar entre ellos. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en dos lanzamientos de dos dados, en el primero salga un número par y en el segundo un número impar? Solución: Dado que los eventos están conectados, o sea un evento no puede ocurrir sin el otro, significa que la probabilidad de que uno ocurra depende directamente de la ocurrencia del otro, para esto debes calcular cada una de las probabilidades de ambos eventos y las debes multiplicar. (#PAR)= Casos Favorables = 18 P(#IMPAR)= Casos Favorables = 18 Casos Posibles 36 Casos Posibles 36 Entonces al multiplicar las probabilidades: P(EVENTO) = 18 * 18 = 1 * 1 = 1 =25% 36 36 2 2 4 • Permutación con repetición La permutación con repetición, se usa cuando en un total de “n” elementos, el primero se repite “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces… La fórmula para calcular el número de permutaciones u ordenamientos, es la siguiente: permutación con elementos repetidos fórmula Donde: P n a;b;c;... = n! a! b! c!... n = a+b+c Ejemplo 1 ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA? Solución: Coloquemos algunas palabras como ejemplos: ANANAB. BANAAN. NAANAB. En este caso, podemos ver que algunos elementos se repiten: la letra A aparece 3 veces en la palabra BANANA, mientras que la letra N aparece 2 veces. Además, importa el orden en el que se coloquen las letras, ya que ANANAB no es la misma palabra que BANAAN. Finalmente, participan todos los elementos en los ordenamientos, es decir, las 6 letras de la palabra BANANA. Entonces, podemos aplicar la fórmula de permutación con repetición, teniendo en cuenta que: RECUERDA QUE… Hay tres condiciones en la permutación con repetición: Importa el orden. Hay elementos repetidos. Participan todos los elementos en los ordenamientos.:
470 1. Un candado de seguridad tiene cuatro discos numerados con los dígitos del 0 al 9 que permiten construir claves de cuatro cifras para la apertura del mismo. Calcula el número de claves diferentes que se pueden arreglar con este candado si: 1. Se pueden repetir dígitos : ____ 2. No se pueden repetir dígitos: ____ 3. El último número debe ser par: ____ 4. Debe tener al menos un número impar: ____ 5. Dos dígitos consecutivos no pueden ser iguales:____ 2. Una persona tiene un manojo de 7 llaves diferentes, si la persona debe seleccionar 3 llaves para abrir las puertas mostradas a continuación, la probabilidad de que las 3 llaves seleccionadas abran las tres puertas es: A. 3/7 B. 3/35 C. 1/3 D. 1/35 3. Una persona desea ver 4 películas durante la tarde: dispone de 4 películas de acción y 6 de terror. ¿De cuántas formas puede hacer la elección si quiere ver al menos una película de terror? 4. Sofía tiene 7 libros en un estante, 2 son rojos, 2 son amarillos, uno azul, uno verde y el otro morado. El número de formas diferentes en que Sofía puede arreglar los libros en el estante entendiendo que cada forma es diferente si se cambia la combinación de colores sabiendo que al cambiar dos libros de un mismo color no se altera el arreglo, es: 1 2 3 Elabora Número de veces que se repite la letra B = 1 Número de veces que se repite la letra A = 3 Número de veces que se repite la letra N = 2 Número total de elementos: n = 1+3+2 n = 6 P 6 1;3;2 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 =60 1! 3! 2!... 1 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1 12 En total, se pueden formar 60 palabras diferentes con las letras de la palabra BANANA
Matemáticas 471 Resumen Capítulo 4 EL ORDEN DE LA INFORMACIÓN Y LA MEDIDA DEL AZAR LA MATEMÁTICA PARA RESUMIR LA INFORMACIÓN POBLACIÓN MUESTRA Es la cantidad total de elementos que deseamos estudiar para obtener alguna conclusión. Es el porcentaje de la población que estudiaremos directamente, los resultados obtenidos representarán a la población en general. La información recolectada puede ser bastante dispersa por eso es importante organizarla en una tabla de doble entrada que nos permita una mejor percepción de los datos. REPRESENTACIONES GRÁFICAS Los datos recopilados pueden ser representados mediante gráficas que permitan visualizar con mayor facilidad las proporciones de los elementos estudiados. DIAGRAMA DE BARRAS DIAGRAMA CIRCULAR DIAGRAMA TEMPORAL Representa los datos recopilados en un diagrama de dos ejes, donde cada variable estudiada será representada por una barra. Representa los datos porcentualmente dentro de una circunferencia. Recuerda que: 100% = 360° Es utilizado para representar el cambio que ha tenido una variable a través del tiempo. LAS MATEMÁTICAS DEL JUEGO TÉCNICAS DE CONTEO PRINCIPIO MULTIPLICATIVO PRINCIPIO ADITIVO Se utiliza para hallar el número de formas en que se pueden combinar “n” variables diferentes. Multiplicamos el número de elementos que tiene cada variable. Se utiliza para hallar el número de formas en que variables independientes pueden ocurrir simultáneamente. Sumaremos la cantidad de elementos que tiene cada variable. OTRAS TÉCNICAS DE CONTEO PERMUTACIÓN COMBINATORIA Busca el número de formas diferentes en las que se puede cambiar un arreglo, cambiando de posición los elementos de cada variable (Importa el orden) Busca el número de selecciones que se pueden hacer de un grupo de elementos (No importa el orden). PROBABILIDAD La probabilidad es la cuantificación del número de posibilidades que tiene un evento para ocurrir: P(E)= CF CP EVENTOS INDEPENDIENTES cuando la ocurrencia de uno no interfiere en la ocurrencia del otro, es decir es uno O el otro y se deben sumar sus probabilidades. EVENTOS EN CADENA: Dos eventos están encadenados si se espera que sucedan de manera sucesiva, es decir sucede uno y el otro, para resolver Se deben multiplicar las probabilidades.
472 Evalúo Responde las preguntas 1 y 2 de acuerdo con la siguiente información Un ingeniero de producción de una empresa de lácteos analizó la venta mensual de cuatro de los productos ofrecidos por la empresa en tres de sus almacenes. La información fue recopilada y representada en la siguiente tabla. Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Producto 1 800 unidades 400 unidades 200 unidades Producto 2 800 unidades 600 unidades 200 unidades Producto 3 600 unidades 300 unidades 800 unidades Producto 4 200 unidades 700 unidades 600 unidades 1. De acuerdo con la información anterior, es correcto afirmar que A. el porcentaje de ventas del almacén 1 en el producto 2 es mayor que el realizado por otro almacén en este producto. B. el porcentaje de productos vendidos por el almacén 2 es mayor que los del almacén 1 respecto al total de productos vendidos. C. el almacén 3 fue el que menor porcentaje de producto 4 vendió con respecto al total de productos vendidos. D. la razón entre la cantidad total de producto 2 respecto a la cantidad total de productos vendidos por el almacén 1 es 2/3. 2. El promedio de ventas de la empresa de lácteos en el producto 4 teniendo en cuenta todos sus almacenes, es A. 600 B. 500 C. 618 D. 518 Responde las preguntas 3 y 4 de acuerdo con la siguiente información Una empresa de taxis solo permite el requerimiento de sus servicios por teléfono, para ello cuenta con un programa que recolecta la información en los tres barrios donde presta sus servicios. La información recopilada se representa gráficamente sabiendo que las llamadas realizadas antes de las 6 am aparecen justo a esa hora que se inicia el programa y luego cada tres horas muestra el informe de llamadas de ese intervalo de tiempo. A continuación se muestra la demanda de servicios realizada a la empresa en cinco instantes diferentes de un día de la semana para los tres barrios. Barrio 1 Demanda de sevicios Cantidad de servicios 0 5 10 15 20 25 30 35 40 35 35 35 30 25 30 30 15 0 0 12:00 pm 03:00pm 0 30 25 25 06:00 am 09:00 am 06:00 pm 20 Barrio 2 Barrio 3
Matemáticas 473 3. El promedio de demanda por hora, de servicios requeridos por personas del barrio 2 entre las 9:01 am y las 3 pm, es A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. Si se sabe que la capacidad máxima de servicios simultáneos de la empresa es de 70 taxis, entonces afirmar que la empresa NO puede responder en al menos una ocasión a algún requerimiento de servicio es A. verdadero, pues si contamos el total de servicios requeridos por el barrio 1 es un total de 100 que supera la capacidad máxima. B. falso, pues el requerimiento de los servicios no ocurren de forma simultánea, y esto permite que haya un tiempo de respuesta oportuno. C. verdadero, pues en las horas pico (6:00 am y 6:00 pm) el requerimiento de los servicios en los barrios supera la capacidad máxima en 20 y 10 respectivamente. D. falso, pues la cantidad de servicios que se requieren en cada uno de los barrios por separado no excede a la capacidad máxima. Responda las preguntas 5 y 6 de acuerdo con la siguiente información La siguiente tabla presenta el rendimiento de uno de los mejores jugadores de futbol de Inglaterra en los cuatro torneos en los que participó el pasado año. TORNEO PARTIDOS JUGADOS GOLES ASISTENCIAS TARJETAS A 30 35 24 5 B 30 56 18 8 C 28 28 24 4 D 32 28 20 4 5. De acuerdo con la información presentada en la tabla es posible afirmar que A. el número de tarjetas adquiridas por el jugador tienen una relación directa con el número de goles anotados en el torneo. B. la cantidad de goles realizados por partido por el jugador dependen directamente de la cantidad de partidos jugados. C. el número de asistencias realizadas por el jugador tienen una relación directa con el número de goles anotados en el torneo. D. la cantidad de tarjetas adquiridas por el jugador guardan una relación inversamente proporcional al número de asistencias en el torneo. 6. En la sección de deportes de un noticiero local, se presentó el siguiente gráfico el cual hace referencia a una parte de la información suministrada en la tabla: 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4
474 De acuerdo con lo anterior podemos afirmar que el gráfico hace referencia a A. una comparación en los valores obtenidos por el jugador en dos de los torneos en los que participó. B. un análisis de correlación de los goles y las asistencias realizadas por el jugador en uno de los torneos en que participó. C. un análisis entre la cantidad de partidos jugados y las asistencias realizadas por el jugador en uno de los torneos en que participó. D. una comparación entre los goles anotados por partido y el número de partidos que jugó en cada uno de los torneos en los que participó. 7. En la tabla se presentan las cartas que conforman una baraja de póquer. NEGRAS ROJAS Picas Tréboles Corazones Diamantes 1 A A A A 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 J J J J 12 Q Q Q Q 13 K K K K Tomado de: www.Icfes.gov.co Si se separara el mazo de naipes por figura haciendo cuatro grupos de 13 cartas, entonces la probabilidad de que al extraer 3 cartas de un grupo, 2 de estas sean letras es A. 24/215 B. 18/151 C. 27/143 D. 17/143 Tomado de: clasesdeperiodismo.com