Matemáticas 413 Resumen Capítulo 2 EL NÚMERO Números racionales Representaciones Para resolver Situaciones Problema Fraccionarios Decimales Recta Numérica Razones EL MUNDO MATEMÁTICO Y SU LENGUAJE Expresiones Algebraicas Resolución de problemas matemáticos Ecuaciones Funciones Lenguaje matemático Problema enunciado Lectura Comprensión Traducción Cálculo Revisión o comprobación
414 2. Un hombre que pinta postes de energía eléctrica, cada día pinta 15 postes menos que el día anterior, por el cansancio acumulado. Si al quinto día llevaba pintados un total de 750 postes, la cantidad de postes que pintó el primer día es A. 120 B. 135 C. 150 D. 180 Responda las preguntas 3 a 5 de acuerdo con la siguiente información Para realizar los afiches de la campaña publicitaria, un hombre sabe que la empresa “T” cobra $200.000 por el diseño más $1.000 por cada afiche. También conoce la empresa “W” que cobra $100.000 por el diseño y $1.500 por cada afiche adicional. 3. La ecuación que mejor representa la situación descrita para una de las empresas es: A. Costo de T = 200.000 + 1500 x Cantidad de afiches B. Costo de W = 200.000 + 1500 x Cantidad de afiches C. Costo de T = 100.000 + 1500 x Cantidad de afiches D. Costo de W = 100.000 + 1500 x Cantidad de afiches 4. Si se quiere enviar a imprimir 100 afiches, la empresa que generaría un menor costo es A. la T, a la que se le pagarían $300.000. B. la W, a la que se le pagarían $300.000. C. la T, a la que se le pagarían $250.000. D. la W, a la que se le pagarían $250.000. 5. La cantidad de afiches que es necesario encargar para que las empresas cobren la misma cantidad de dinero es A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. En un cine hay 630 personas, de las que 4 7 son mujeres, la cantidad de hombres es A. 360 B. 300 C. 315 D. 270 Evalúo A continuación encontrarás algunos problemas tipo SABER 11º para que tú mismo evalúes lo que has aprendido en este repaso por “El mundo matemático y su lenguaje” + + = 30 + = 18 - = 2 + + = ??? + 1. Teniendo en cuenta la imagen, se puede afirmar con certeza que el resultado pedido es A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
Matemáticas 415 7. Un compuesto químico está formado por 2 5 de agua, 1 6 de edulcorante y el resto por una composición de distintos elementos. La cantidad de edulcorante que hay en 10 gramos de dicho compuesto químico es A. 3/13 gr B. 17/3 gr C. 5/3 gr D. 3/17 gr 8. Un automóvil, que sale con el tanque lleno, consume 1 8 de la gasolina que lleva. En el regreso a su casa, y gracias a que tomó otro camino, consume 2 3 de lo que le quedaba. Si sabe que le quedan en el depósito 21 litros, la capacidad en litros del tanque lleno es A. 72 B. 76 C. 82 D. 86 9. Si en un reclutamiento para el servicio militar la cantidad de bachilleres aptos es al de no aptos como 3 es a 7 y la cantidad total de bachilleres es de 130, entonces los valores respectivos de los estudiantes aptos y no aptos para prestar servicio militar son A. 39 y 70 B. 30 y 100 C. 39 y 91 D. 31 y 99 10. Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. En un viaje de 192 km, la cantidad de litros de gasolina que consumirá, es A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 Resuelva los problemas 11 a 13 de acuerdo con la siguiente información Manuel, Felipe y Augusto acordaron que cada uno de ellos pintaría la tercera parte de la cantidad total de artesanías que había en el taller y luego llevarían para su casa lo pintado, pero sólo Manuel sabía la cantidad total y fue el primero en realizar el trabajo sin informarle a los otros; luego Felipe, sin decirle a sus compañeros, pintó y se llevó la tercera parte de lo que Manuel había dejado; por último Augusto pintó y se llevó la tercera parte de lo que dejó Felipe. 11. La fracción que pintó Augusto con respecto al total de las artesanías es A. 1/3 B. 5/6 C. 6/9 D. 4/27 12. La fracción de artesanías, con respecto al total, que dejó Felipe cuando salió del taller es A. 4/9 B. 1/3 C. 2/3 D. 3/4 13. La fracción que dejó Manuel después de pintar la parte que le correspondía es A. 1/3 B. 4/9 C. 2/3 D. 3/4
416 Unidad 4 Piensa cómo mides y cómo te mueves. Unidad 5 Cuerpos, caras y sus medidas Mide tu entorno Capítulo 3
Matemáticas 417 Unidad 4 Piensa cómo mides y cómo te mueves. Unidad 5 Cuerpos, caras y sus medidas Mide tu entorno Capítulo 3
418 E n los lineamientos curriculares de matemáticas publicados en el año de 1998 emerge la idea de consolidación de la estandarización de la enseñanza de esta legendaria ciencia. A partir de este momento se determinó que esta iba a girar en torno a los pensamientos matemáticos, y se nombraron a su vez el numérico, métrico, geométrico, variacional y aleatorio como los que serían tenidos en cuenta para el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes. Se abordó el tema del trabajo por competencias, pero no se enfatizó en cuáles serían tenidas en cuenta; adicionalmente se enunciaron los procesos básicos de esta ciencia, estos son: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar; y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. Los estándares de matemáticas publicados en el año 2004 retomaron ideas fundamentales de los lineamientos curriculares, pero profundizaron en el discurso sobre la necesidad de nombrar las competencias matemáticas que luego, en el ICFES, hicieron su aparición con una notable relación con los procesos generales. Con toda esta revolución y la constante reestructuración de las pruebas SABER ICFES de la década del 2000, se abrió paso a los componentes que tenían relación con los pensamientos, encontrando, por ejemplo, que el pensamiento espacial y los sistemas geométricos se convirtió en el componente espacial y sistemas geométricos, luego se transformó en el componente geométrico métrico y por fin retornó a sus inicios y actualmente se llama GEOMETRÍA. En el presente módulo “MIDE TU ENTORNO” encontrarás los pormenores del componente geométrico de la prueba, con las unidades “PIENSA CÓMO MIDES Y CÓMO TE MUEVES” en la que se abordarán los conceptos de medida longitudinal y superficial, además de algunas situaciones que te ayudarán a comprender la importancia y aplicación del plano cartesiano como sistema de referencia universal. También podrás encontrar en la unidad “CUERPOS, CARAS Y SUS MEDIDAS”, la forma y estrategia de medir capacidades y volúmenes de los objetos. Todos estos conceptos de geometría que programa el Icfes anualmente para las pruebas Saber serán abordados utilizando la resolución de situaciones cotidianas para motivarte a adentrarte en la tarea maravillosa de medir tu entorno. Introducción
Matemáticas 419 • Conocimientos Geomètricos Pruebas SABER 11. En el componente geométrico se abarcan los conceptos que hacen referencia a una, dos y tres dimensiones, pasando por las relaciones de paralelismo, perpendicularidad entre rectas, perímetros y áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos. Se abordan también los tipos de coordenadas, el plano polar y el plano cartesiano y los teoremas clásicos de la geometría. Se estudian las unidades de medida de figuras longitudinales, superficiales tridimensionales regulares de más de tres lados o más. Los tópicos abordados en el módulo los discrimina el ICFES en conocimientos genéricos y no genéricos haciendo referencia respectivamente a los conceptos que se pueden aplicar casi a cualquier contexto y otros que son propios del conocimiento matemático, un poco abstractos y son difícilmente aplicables a situaciones cotidianas. A continuación aparece la clasificación realizada para la geometría: GEOMETRÍA CONOCIMIENTOS GENÉRICOS CONOCIMIENTOS NO-GENÉRICOS * Desigualdad triangular. * Coordenadas cartesianas. * Paralelismo y ortogonalidad entre rectas. * Triángulos, círculos, paralelogramos, esferas, hexaedros rectos, cilindros, y sus medidas. * Razones trigonométricas. * Coordenadas polares. * Transformaciones en el plano. * Relaciones de congruencia y semejanza * Pirámides y polígonos regulares de más de cuatro lados. * Teorema de Tales, de Pitágoras, de Seno y de Coseno. (ICFES, 2014-2) Mide tu Entorno OBJETIVO: • Reconocer los principales conceptos geométricos evaluados en las pruebas Saber 11. • Aplicar los conocimientos aprendidos a la resolución de situaciones problema.
420 Unidad 4 Piensa cómo mides y cómo te mueves. Empieza ¿y la geometría para qué sirve? ¿en este puente, para qué me serviría la geometría? Para determinar la amplitud de todo este campo se utilizan medidas superficiales. Y además de la longitud, la superficie y el volumen, ¿qué otras dimensiones se miden en geometría? Pues en la que debes aprender en la escuela, sólo estas tres, pero hay otras que se han estudiado por la humanidad ¡wow!. en todos lados está la geometría Como puedes ver, todo el mundo se puede medir con geometría. Eso veo, pero falta mucho por aprender, ¡Ahora sigues tú! ¿y en el océano qué? Geométricamente se mide su superficie y su profundidad. Pues ella establece los parámetros de longitud para determinar la medida. Pues la geometría es la forma como la humanidad estableció la manera de medir el mundo.
Matemáticas 421 Simetría, regularidad, orden, ritmo, similitudes entre cosas, recurrencia de eventos, organización de objetos de acuerdo con características y proporción son algunas de las características que el número y la forma comparten y que van más allá de la abstracción matemática, se ubican en el mundo de la vida. El ordenamiento del ritmo y sonido, tiempo y silencio en una composición musical no es muy diferente de la organización sintáctica o rítmica de una poesía y también se asemeja a la lógica de la forma y del color. Además de esa lógica común, la geometría genera un nexo entre estas expresiones artísticas. Ambas pueden ejercer distintas codificaciones y sus aplicaciones pueden también ser distintas, pero los elementos que su actividad enriquece, son los mismos. (Carvajal, 1997); así pues, se evidencia cómo la geometría se puede hallar en situaciones artísticas de la cotidianidad. Algunos artistas como Escher utilizan figuras geométricas para realizar construcciones progresivas que permiten visualizar una metamorfosis y un cambio; también utiliza las transiciones entre la segunda y tercera dimensión (plano y volumen) para dar realismo a sus obras como se muestra a continuación: (thales, 2016) En la naturaleza se pueden encontrar un sinnúmero de elementos geométricos que ayudan a entender la estrecha relación existente entre la el mundo y las ciencias matemáticas. Paralelismo, fractales, figuras hexagonales y simetrías, entre otras, son susceptibles de ser encontradas en la naturaleza, la geometría nos ayuda a establecer la medida de todo lo que puedes ver. En el siguiente link encontrarás algunas de las construcciones artísticas con una alta influencia geométrica:
422 Por su parte, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) propone el estudio de la geometría intencionado a desarrollar el pensamiento espacial y los sistemas geométricos, entendiendo cómo desarrollar de manera directa habilidades y destrezas o procesos cognitivos geométricos permite que las personas afronten con mayor pericia situaciones relacionadas con la manipulación y construcción de objetos del espacio, relaciones entre ellos, sus transformaciones y diferentes tipos de representaciones materiales y traducciones (MEN, 2004). Explora A hora para que continúes tu desarrollo en este tipo de pensamiento matemático, resuelve los siguientes ejercicios espaciales: • Actividad Aplicativa A continuación encontrarás una serie de figuras construidas con palillos del tamaño de un fósforo o una aguja, cada uno de estos equivale a un lado de la figura. En cada ejercicio propuesto resuelve la situación siguiendo la indicación y procurando obtener el resultado pedido con la intención de que actives tu pensamiento espacial y lo desarrolles junto con el pensamiento geométrico. Retira dos palillos y que queden 4 cuadrados Retira 3 palillos y que queden 3 triángulos Retiren 4 palillos y que queden 5 cuadrados Halla dos soluciones diferentes Cambia de lugar 3 palillos y haz que queden 3 cuadrados iguales Retira dos palillos y haz que queden 6 cuadrados Construye 8 triángulos equiláteros usando 6 palillos iguales: Pista: Estrella En el siguiente link encontrarás algunos juegos que te pueden ayudar a afianzar conceptos geométricos.
Matemáticas 423 Retira 6 palillos y que queden 4 triángulos Cambie de lugar 2 palillos y haz que queden 7 cuadrados Retira 6 de los 24 palillos y haz que queden 6 cuadrados Cambia de lugar 4 palillos y haz que queden 5 rombos Situación 1 El padre de cuatro hermanos ha dejado por herencia un terreno cuadrado, en donde se encuentran 8 árboles tal y como se muestra en la figura. El terreno debe ser dividido en partes iguales y cada hijo debe quedar con la misma porción de terreno. ¿De cuántas formas posibles se podría dividir el terreno? ¿Si cada hermano desea tener dos árboles en su terreno, se podría dividir el terreno en 4 partes iguales de la misma forma? Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
424 Solución Para resolver esta situación cada persona podría encontrar una manera diferente, te invito a que compartas con algunos de tus compañeros la solución propuesta por ellos. A continuación, en la gráfica, podrás observar una de las posibles soluciones. Este tipo de ejercicios, como lo afirma el psicólogo Arturo Torres, ayudan a desarrollar la inteligencia espacial, esta se define como el conjunto de habilidades mentales relacionadas directamente con la navegación y la rotación de objetos en nuestra mente; es decir, su visualización imaginaria desde distintos ángulos (Torres, 2016). Él mismo afirma que de nuestro nivel de inteligencia espacial puede depender nuestro desempeño en actividades como conducir, parquear autos, orientarse, dar y recibir instrucciones, entre otras. Situación 2 Un padre tiene un terreno rectangular, en el que el largo es el doble del ancho, y desea repartirlo entre sus tres hijos, para esto determina como condiciones innegociables que: I. El hijo mayor debe tener la mitad del terreno (z1). II. Las divisiones del terreno deben ser triangulares. III. Los dos hijos menores deben tener partes de igual medida superficial (z2 y z3). Opción 1 m Opción 2 m Opción 3 n z2 z1 z2 z3 z1 z3 z2 z1 z3 Si se sabe que “m” y “n” son puntos medios del lado al cual pertenecen, de las tres opciones planteadas en la figura 1, las que cumplen con las exigencias del padre, son A. sólo la opción 2. B. sólo la opción 3. C. sólo las opciones 2 y 3. D. las opciones 1, 2 y 3.
Matemáticas 425 Solución Para resolver esta situación se deben tener en cuenta las condiciones propuestas. • En primer lugar se puede observar que las áreas sombreadas equivalen a la mitad del área del rectángulo, y estas serían el área destinada al hermano mayor. • En segundo lugar todas las áreas son triangulares y con esto se cumple la segunda exigencia. • En cuanto a la tercera exigencia, se debe aplicar la fórmula para hallar el área de un triángulo A= b x h 2 y con esto determinar si las áreas no sombreadas, que corresponderían a los hijos menores, son iguales. Para el triángulo de la opción 1, se sabe que en ambos triángulos la base es la mitad del ancho del terreno, y la altura es equivalente con el largo del terreno, por tanto esta opción cumple con las condiciones. De manera homóloga se puede hacer el razonamiento en los triángulos de las opciones 2 y 3, con esto se puede concluir que las tres opciones aplican y por tanto la respuesta correcta es la D. Aunque probablemente ya los has estudiado en tu colegio, estás invitado a estudiar por tu cuenta algunos teoremas clásicos que pertenecen a los conocimientos no genéricos, por ejemplo Explico Para resolver este tipo de problemas debes tener claros los siguientes conceptos que te enseñarán una de las formas de MEDIR TU MUNDO • Punto: Es una ubicación que no se puede medir pues no tiene largo, ni ancho, ni profundidad; se hace importante pues a partir de él se da inicio a otros conceptos fundamentales. Se acostumbra ser nombrado a partir de una letra mayúscula. • Recta: Se puede entender como una longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos (Clemens, 1998). Para entender una noción de recta podrías imaginarte un rayo de luz del sol o una carretera larguísima; estos ejemplos pueden aproximarse; aunque es importante que entiendas que cuando se pensó en la recta, se asumió que esta no tiene origen ni final y por eso en su representación gráfica tiene flechas en ambos lados que expresan la continuidad eterna de la misma. Se acostumbra denotarlas o nombrarlas con una letra minúscula. r La recta r
426 Rectas Paralelas: Son aquellas que no se encuentran en todo su recorrido, no tienen puntos de intersección. Se denota paralelismo entre dos rectas de la siguiente manera s II j. s m n j Estos pares de rectas son paralelas entre sí: s II j y n II m Rectas Secantes o Transversales: Son aquellas que se cortan en cualquier punto de su trayectoria o recorrido. Estos pares de rectas son secantes entre sí, porque se cortan (cruzan) o se cortarán en el futuro. h s n t j m Rectas Perpendiculares: Son rectas secantes que forman un ángulo recto (90º) en su punto de intersección. 90" Semirrecta: se considera a partir de un punto determinado llamado origen y se extiende infinitamente en un único sentido. r Segmento de Recta: Es una parte de una recta que está delimitada por dos puntos pertenecientes a la misma. Esos puntos se denotan con letras mayúsculas y el segmento se nombra con las dos letras que lo delimitan. Segmento de recta CD Segmento AB AB CD EF A B E D F C Curiosidades… ¿Sabias qué? Todas las medidas en las que se utilizan líneas rectas se denominan medidas longitudinales y a nivel universal se usan principalmente los centímetros (cm), los metros (m) y las pulgadas con todos sus múltiplos y equivalencias entre ellos.
Matemáticas 427 Los ángulos están clasificados de acuerdo con la medida de su abertura, teniendo como parámetro el ángulo recto o de 90° de tal manera que si la abertura es menor de 90°, será un ángulo agudo, si es mayor, será un ángulo obtuso y si es el doble, será un ángulo llano. Según lo aprendido escribe el nombre de cada uno de los siguientes ángulos: C B A F D I G L J • Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si después de sumar sus medidas, el resultado es igual a 90° o un ángulo recto. Por ejemplo, un ángulo de 37,3° y otro de 52,7° son complementarios, pues 37,3° + 52,7° = 90°. A" A B A' b = 52,7° a = 37,3° a b c • Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si después de sumar sus medidas, el resultado es igual a 180° o un ángulo llano. Por ejemplo, un ángulo de 128° y otro de 52° son complementarios, pues 128° + 52° = 180°. A" B A A' β = 128° α = 52° a b c RECUERDA QUE… Existe un instrumento diseñado para la medición de los ángulos y se llama transportador. Da la medida en grados sexagesimales y una vuelta o circunferencia completa, mide 360º sexagesimales. 0 90 10 80 20 30 70 60 40 50 50 40 60 30 70 20 80 10 90 0 90 180 170 80 160 70 60 150 50 140 40 130 30 120 20 110 10 100 (emaze, 2016) • Ángulos: Son la abertura comprendida entre dos segmentos de recta que se intersecan en un mismo punto al que se denomina vértice. Los ángulos rectos o de 90º son los que le posibilitaron a la humanidad la construcción de edificaciones más altas utilizando materiales de menores costos. Si quieres ver más información al respecto observa el video
428 • Polígonos: Un polígono es la unión de segmentos de recta, cada segmento de recta recibe el nombre de lado, pertenecientes a un mismo plano, que se unen únicamente en sus extremos y, encontrándose como máximo dos segmentos en un mismo punto llamado vértice y cada segmento toca exactamente a otros dos. (Clemens, 1998). De acuerdo con la definición anterior, se denomina vértice al punto en el que se encuentran dos lados del polígono. Un polígono es cóncavo si al menos una de sus diagonales (línea que une dos vértices no adyacentes del polígono) está por fuera de la figura, de lo contrario se le llama convexo. Los polígonos se nombran de acuerdo con el número de sus lados o ángulos, por lo que hay triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc. • Diagonal: Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro. Actividad Aplicativa 0. Escribe el nombre de cada polígono según su número de lados. B A C E D F G I H L K J En los siguientes polígonos traza todas las diagonales y determina en cada uno de ellos si es cóncavo o convexo. A cualquier polígono se le puede determinar el área o el perímetro. El PERÍMETRO es la medida de todos los segmentos de recta que conforman un polígono. Cuando se habla de una figura curvilínea se dice que es la medida del contorno o líneas que conforman la figura. • Área: Del latín arĕa, el concepto de área se refiere a un espacio de tierra que se encuentra comprendido entre ciertos límites. En este sentido, un área es un espacio delimitado por determinadas características geográficas, zoológicas, económicas o de otro tipo. (Definiciónde.com, 2016) El área se mide en unidades de medida cuadradas que pueden ser cm2 , m2 , km2 o cualquier otra medida longitudinal con un exponente cuadrado
Matemáticas 429 El área es la cantidad de superficie de una figura plana. Dicho de otra manera es el tamaño de la región interna de una figura geométrica (Martinez, 2016). Así, por ejemplo, los dueños de un apartamento deciden poner baldosas en las paredes de la sala, que son iguales. Según la figura A y teniendo en cuenta que cada baldosa mide 1 u2 , ¿cuál de los dos ha completado una mayor área embaldosada? Para determinar un área es necesario establecer una comparación entre lo que queremos medir y un “Patrón de medida” previamente seleccionado; en el ejemplo actual la unidad de medida sería una baldosa representada por uno de los cuadrados grises de la figura que equivaldrían a 1 u2 . Así, medir el área de un polígono es determinar cuántas veces puede caber tu patrón o unidad de medida, en este. • Área de un rectángulo: Es el número de veces que cabe en la base del rectángulo, la unidad o patrón de medida seleccionado previamente, multiplicado por el número de veces que cabe el mismo patrón en uno de los lados verticales del mismo. 1 m2 En el ejemplo anterior, en los muros que están decorando en la figura caben 5 baldosas en la base, y 5 baldosas hacia arriba, para que quede totalmente cubierta la pared, por eso el área de la pared sería el producto 5 x 5 y la expresión que generaliza es A = B x H Donde B es la base y H es la altura y se da porque H es la cantidad de veces (x) que cabe la B. • Área de un triángulo: Si se traza una de las diagonales del rectángulo se obtiene un triángulo equivalente a la mitad del mismo, y sabiendo que el área del rectángulo es A = B x H entonces el área del triángulo será la mitad de esta; es decir A = B x H 2 17 Unidades 15 Unidades
430 Actividad Aplicativa En la siguiente gráfica, todas las medidas están dadas en metros, escribe cuál es el área de cada sector de la casa. T LAVADERO L : m2 TERRAZA T : m2 COCINA C : m2 COMEDOR M : m2 RECIBIDOR R : m2 BAÑO B : m2 BAÑO B : m2 PASILLO P : m2 HABITACIÓN H : m2 HABITACIÓN H : m2 HABITACIÓN H : m2 SUPERFICIE TOTAL : m2 L C M R B1 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 5 4 4 4 2 2 2 B2 H3 3 2 1 2 1 H2 H1 P Situación 3 Un yate sale del puerto con instrucciones de que cada 30 minutos debe girar 90º hacia la derecha con relación a la dirección que lleve y aumentar su velocidad de tal manera que recorra 1 km más durante la próxima media hora. Si el yate parte del puerto y durante la primera hora de recorrido se desplaza 5 km al oriente, entonces ¿cuál será su ubicación, con relación al puerto después de tres horas? ¿A cuántos km se encuentra hacia el norte o sur y a cuántos hacia el oriente u occidente después de 3 horas? Solución Para resolver la situación es importante representarla gráficamente en un plano cartesiano siguiendo las reglas que sugiere el problema. 9 5 7 6 10 0 0 2 2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -10 4 4 6 6 8 8 10 8 Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento. Curiosidades… ¿Sabías que? La estrategia de organización de calles y carreras de las principales ciudades del mundo está basada en forma de plano cartesiano, de tal manera que la componente o eje X es la carrera y el componente Y es la calle.
Matemáticas 431 Para resolver este tipo de problemas debes tener claros los siguientes conceptos que te enseñarán una de las formas de MEDIR TU MUNDO • Plano Cartesiano Está compuesto por un par de rectas numéricas reales que se entrecruzan formando un ángulo de 90º y las cuales reciben el nombre de ejes coordenados. El punto en el que se encuentran “o” coinciden las dos rectas se le llama origen y tiene coordenadas (0,0). Estos ejes sirven para ubicar puntos en forma precisa. Generalmente al eje dibujado en forma horizontal se le denomina eje “X” y el otro en forma vertical como eje “Y”. Cada punto se identifica a través de un par de números entre paréntesis que se llaman “pares ordenados”, pues el orden es muy importante. Observa en la imagen el punto B, ¿Con cuál eje crees que tiene relación el primer número? Y ¿el segundo número? Si observaste detenidamente, pudiste descubrir que el número 6 corresponde al eje X y el número 5 al eje Y. Actividad Aplicativa 1. Escribe el par ordenado que le corresponde al punto A y al punto C de la figura siguiente. Escribe los pares ordenados de cada punto: A. es ( , ) B. es ( , ) C. es ( , ) D. es ( , ) E. es ( , ) F. es ( , ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x y (0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B A D F E C 1 2 3 4 5 6 7 x y (0,0) C A B (6,5) 1 2 3 4 5 6 7
432 1. En la siguiente sopa de letras localiza y define con tus palabras cada uno de los siguientes conceptos: A N Y U A A Y P U N T O A. Semirrecta B. Segmento C. Angulo D. Punto E. Plano F. recta. A U S E M I P L A N O X S N N R S Y V R S Q P Ñ R E G K M S Ñ W E P O O A I M U U D W T G F M M A P V I L W K R M I Z E P Y S V R O I L E W Q I L M I P X R Ñ X N C V T A X L G F T E J T V T Y N E K U W U O C O O H A O B U E Z W Y J T B M M O U M L E E E J C A Ñ S 2. Completa los enunciados. A. La suma de dos ángulos suplementarios es _____________________ B. La suma de dos ángulos complementarios es ___________________ C. La medida de un ángulo recto es _____________________ D. Si un ángulo mide 137° se clasifica como _______________ E. Si un ángulo mide 86° se clasifica como __________________ 3. En la siguiente figura señala y cuenta los segmentos de recta, los ángulos y los vértices (wehartit, 2016) Elabora
Matemáticas 433 L as figuras geométricas tridimensionales son una enorme fuente de inspiración para arquitectos en todas partes del mundo y en cualquier momento de la historia. Es posible encontrar una enorme cantidad de edificios con formas piramidales, cúbicas y hasta cónicas, en términos generales las figuras geométricas sirven de inspiración para la construcción de lugares en todas partes del mundo. A continuación podrás encontrar algunos ejemplos de lugares que te sorprenderán por su forma claramente geométrica. Unidad 5 Cuerpos, Caras y sus Medidas Empieza El pentágono es la sede del departamento de justicia de los Estados Unidos, fue inaugurado en 1943 y continúa siendo el edificio de oficinas más grande del mundo. Se encuentra en el condado de Arlington en Virginia. Es la capilla de los cadetes de la fuerza aérea en Colorado Springs (EEUU). Tiene 46 metros de altura y fue construida en 1962, su interior se divide en diversas capillas, entre ellas budistas, católicas, protestantes, judías y budistas; son 17 estructuras triangulares las que conforman esta belleza arquitectónica. La universidad Sertoriana de Huesca construyó en 1690 su edificio en forma de Octágono que actualmente sirve como museo provincial de la población de Huesca en España. Las pirámides de Giza o Gizeh, llamadas Keops, Kefrén y Micerino deben sus nombres al del faraón sepultado en cada una de ellas ya que fueron construidas para servir como tumba. Estas pirámides fueron construidas entre el año 2550 y 2470 a.c. y están ubicadas en el predio de Necrópolis de Giza, cerca de El Cairo. Algunos ejemplos de los edificios más reconocidos que tienen formas cilíndricas son:
434 E n astronomía se le denomina Unidad Astronómica (UA) a la distancia que hay entre la tierra y el sol, sabiendo esto y utilizando algunas medidas de aproximación y algunas razones trigonométricas se puede concluir que el sol tiene un radio aproximado de 695.000 Kilómetros (Km) y asumiendo que éste es un cuerpo con tendencia esférica por efectos gravitacionales, se puede asumir que el volumen del sol es aproximadamente: Las torres de Hércules localizadas en Cádiz España, inauguradas en 2009 y con una altura de 126 metros; El edificio Westhafen Tower es un rascacielos de 109.826 m de 30 plantas y la torre inclinada de Pisa, la cual iniciaron su construcción en 1173 y tiene una altura aproximada de 55,7 metros, es el campanario de la catedral de Pisa en el país de Italia. Actividad exploratoria Explora V = 4 3π R3 → Vsol = 4 3π (695.000 km)3 → Vsol = 447.603.166,667 x 109 km3 Actividad Aplicativa Ahora, conociendo las medidas de los radios de la luna terrestre y los planetas del sistema solar, busca los volúmenes de los planetas, y la razón entre el volumen del sol y cada uno de ellos para que analices cuán grande es esta estrella con respecto a los planetas, esta información organízala en la siguiente tabla. Para que conozcas algunas otras edificaciones con formas de figuras geométricas regulares observa el video que se te presenta a continuación:
Matemáticas 435 ASTRO RADIO VOLÚMEN RAZÓN ENTRE EL SOL Y EL ASTRO RAZÓN ENTRE LA TIERRA Y EL ASTRO Luna 1.737 Km Mercurio 2.440 Km Venus 6.052 Km La Tierra 6.378 Km Marte 3.397 Km Júpiter 71.492 Km Saturno 60.268 Km Urano 25.559 Km Neptuno 24.746 Km Plutón 1.160 Km Las siguientes gráficas te ayudarán a entender aproximadamente los volúmenes de otros planetas con respecto a la tierra. Y si quieres conocer más con respecto a las medidas planetarias visita
436 Situación 1 En la heladería le ofrecen a un niño un cono relleno con helado de vainilla, él dice que prefiere que no le den el cono, sino que le llenen un vaso del mismo helado. 4 cm H 4 cm H Si el vaso y el cono son como los que aparecen en la figura, se puede afirmar con respecto a la cantidad de helado que le podrían servir al niño, que es A. la cuarta parte en el cono que en el vaso. B. el doble en el vaso que en el cono. C. el triple en el vaso que en el cono. D. 2/3 del vaso si se le sirven en el cono Solución a la situación 1 Para resolver esta situación es importante conocer que cualquier pirámide tiene la tercera parte del volumen del sólido en el que se podría inscribir por ende este cono o pirámide de base circular, mide la tercera parte del cilindro y cabría 3 veces dentro del mismo. Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento. • Cuerpos Geométricos Son aquellas estructuras sólidas en las que podrás apreciar las tres dimensiones: largo, ancho y alto; también puedes identificar un cuerpo geométrico porque es susceptible de ser palpado o tocado. Estos pueden clasificarse en dos grandes grupos: Poliedros y cuerpos esféricos • Los cuerpos geométricos que se generan a partir de la rotación de una figura plana alrededor de un eje determinado, se denominan sólidos de revolución o cuerpos esféricos. • Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se denominan poliedros. Explico
Matemáticas 437 • Poliedros: Cualquier cuerpo geométrico que esté totalmente limitado por polígonos se le llama Poliedro. Triangulo Cuadrangular Pentagonal Hexagonal Cuadrangular (Aplicaciones.info, 2016) En todos los poliedros se pueden identificar las siguientes partes o elementos: • Caras: polígonos que limitan el poliedro. • Aristas: lados de las caras del poliedro. • Vértices: Puntos donde se intersectan los lados de cada polígono que delimita al poliedro. • Orden de un vértice: Se llama orden de un vértice al número de caras que concurren en el vértice. • Ángulos diedros: formados por cada dos caras del poliedro que tengan una arista en común. • Ángulos poliedros: formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común. • Diagonales: segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara. • Planos diagonales: formados por cuatro vértices de los cuales sólo dos pertenecen a la misma cara. Los poliedros se denominan según su número de caras: • Tetraedro (cuatro caras) • Pentaedro (cinco) • Hexaedro (seis) • Heptaedro (siete) • Octaedro (ocho) • Neaedro (nueve) • Decaedro (diez) • Endecaedro (once) • Dodecaedro (doce) • Pentadecaedro (quince) • Icosaedro (veinte) Los poliedros que tienen una cantidad de caras, mayor a 20 se denominan poliedro de n caras, de acuerdo con el número n de sus caras. Ángulos Poliedros Ángulos Diedros Caras Aristas Vértices Planos Diagonales Diagonales
438 • Teorema de Euler Euler, famoso matemático Suizo con gran trascendencia en la evolución de las matemáticas mundiales, desde su arduo trabajo en la academia de ciencias de San Petersburgo Suiza (Nesterenko, 1994) descubrió que el número de caras de un poliedro más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos. Actividad Aplicativa: En los siguientes poliedros, debes contar la cantidad de caras, aristas y vértices y comprueba si se cumple o no el teorema enunciado por el maravilloso matemático Leonard Euler. (1) (2) (3) (4) POLIEDRO NÚMERO DE CARAS NÚMERO DE VÉRTICES NÚMERO DE ARISTAS (1). (2). (3). (4). Dentro de los poliedros existen tres grupos importantes, que son los prismas, los paralelepípedos y las pirámides. Para ahondar en esta temática puedes ver el siguiente video: Un aporte importante para tener en cuenta es la forma de hallar áreas y volúmenes de algunos sólidos de los que hemos estudiado y más. TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES a cuadrado A = a2 triángulo A = B · h / 2 B h B h rectángulo A = B · h romboide A = B · h B h d D rombo A = D · d / 2 trapecio A = (B + b) · h / 2 B h b
Matemáticas 439 TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES a polígono regular A = P · a / 2 (1) círculo A = π · R2 P = 2 · π · R R R r corona circular A = π · (R2 - r2 ) sector circular A = π · R2 · n / 360 R n° a cubo A = 6 · a2 V = a3 Cilindro tapado A = 2 · π · R · (h + R) V = π · R2 · h R h c b a ortoedro A = 2 · (a·b + a·c + b·c) V = a · b · c Cono A = π · R2 + π · R· g (2) g = · √h2 + R2 ; h= · √g2 – R2 V = π · R2 · h / 3 R h g h a prisma recto A = P · (h + a) V = AB · h (3) tronco de cono A = π · [g·(r+R)+r2 +R2 ] V = π · h · (R2 +r2 +R·r) / 3 R h g r a tetraedro regular A = a2 · √3 V = a2 · √2 / 12 esfera A = 4 · π · R2 V = 4 · π · R3 / 3 R a octaedro regular A = 2 · a2 · √3 V = a3 · √2 / 3 huso. cuña esférica A = 4 · π ·R2 · n / 360 V = VEsf · n / 360 n° R a a’ h Pirámide recta de base cuadrada A = P · (a + a’) / 2 V = AB · h / 3 casquete esférico A = 2 · π · R · h V = π · h2 · (3·R - h) / 3 h R a h tronco de pirámide A=½(P+P’)·a+AB+AB’ V = (AB + AB’+√AB · √AB’) · h/3 zona esférica A = 2 · π · R · h V = π · h · (h2 +3·r2 +3·r’2 ) / 6 h R r r’ (1).P es el perímetro (suma de la longitud de los lados); a es la apotema (medida de la recta perpendicular trazada entre el punto central de un polígono regular y cualquiera de sus lados) (2).g es la generatriz (medida de la línea exterior de un cilindro o cono que al hacerla girar alrededor de un eje, permite la formación de dicho sólido); √ es la raíz cuadrada del número (3).AB es el área de la base; h es la altura; R y r son los radios;
440 Actividad Aplicativa 1. Teniendo en cuenta lo explicado hasta ahora, completa la siguiente tabla: Nº de caras(C) Nº de vértices(V) Nº de aristas(A) Nº de vértices de orden 3 Nº de vértices de orden 4 Nº de vértices de orden 5 4 4 4 0 6 3 8 0 10 7 12 18 4 14 3 16 10 18 20 30 12 2. Dibuja las siguientes figuras en una hoja de block o de cartulina, recórtalas por los bordes externos e intenta realizar dobleces por cada una de las líneas marcadas en la figura, para con esto construir algunos de los poliedros estudiados. Nómbralos de acuerdo con el número de caras y verifica sus propiedades. Elabora La Medida De la tierra Perímrtros Áreas Rectas Polígonos Punto Conos Esferas Cilíndros Se encuentra en las artes, en las ciencias y en la naturaleza Paralelas, Sacantes, Perpendiculares, Semirectas, Segmentos, Ángulos Triángulos, Cuadriláteros, Pentágonos, ETC. El Plano Carteciano Cuerpos Esféricos Poliedros LosPoliedros se ditinguen por -Caras -Aristas -Vertices -Ángulos Diedros -Ángulos Poliedros -Diagonales Área y volumen Se les mide Se nombran por sus caras La geometría en la Arquitectura Cuerpos Geométricos Sirve de referencia para moverse en el espacio bidimensional La ubicación se da a partir de pares ordenados y sirve de representación gráfica de los movimientos. Nombre Número de caras tetraedro 4 pentaedro 5 hexaedro 6 heptaedro 7 octaedro u octoedro 8 eneaedro o nonaedro 9 decaedro 10 endecaedro o undecaedro 11, etc Resumen Capítulo 3 Piensa cómo mides y cómo te mueves Cuerpos, Caras y sus Medidas
Matemáticas 441 La Medida De la tierra Perímrtros Áreas Rectas Polígonos Punto Conos Esferas Cilíndros Se encuentra en las artes, en las ciencias y en la naturaleza Paralelas, Sacantes, Perpendiculares, Semirectas, Segmentos, Ángulos Triángulos, Cuadriláteros, Pentágonos, ETC. El Plano Carteciano Cuerpos Esféricos Poliedros LosPoliedros se ditinguen por -Caras -Aristas -Vertices -Ángulos Diedros -Ángulos Poliedros -Diagonales Área y volumen Se les mide Se nombran por sus caras La geometría en la Arquitectura Cuerpos Geométricos Sirve de referencia para moverse en el espacio bidimensional La ubicación se da a partir de pares ordenados y sirve de representación gráfica de los movimientos. Nombre Número de caras tetraedro 4 pentaedro 5 hexaedro 6 heptaedro 7 octaedro u octoedro 8 eneaedro o nonaedro 9 decaedro 10 endecaedro o undecaedro 11, etc Resumen Capítulo 3 Piensa cómo mides y cómo te mueves Cuerpos, Caras y sus Medidas
442 Resuelve los puntos 1 y 2 de acuerdo con la siguiente información. La bandera de Colombia utilizada en el colegio para celebrar los actos cívicos mide tres metros de ancho por dos metros de alto y se sabe que el color amarillo ocupa la mitad del área de la bandera. 1. Si se quiere poner un cordón dorado que delimite todo el contorno de la bandera y las divisiones entre colores, la cantidad en metros de cordón que se deberá comprar es de A. 10 B. 13 C. 16 D. 21 2. Si se determinara que la bandera tenga 2 metros de ancho por un metro de alto, la razón entre las áreas de la bandera original y la nueva es A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. Un perro sale de la fuente central del parque y corre desesperadamente 50 metros al norte, 40 al oriente y 80 al sur. si se realiza un plano cartesiano del parque donde el norte es la parte positiva del eje Y, y el oriente es la parte positiva del eje X, la ubicación actual del perro está dado por las coordenadas (X,Y) A. (40, -30) B. (120, 80) C. (130, 40) D. (40, 80) Resuelva las preguntas 4 y 5 de acuerdo con la siguiente información El volumen de la esfera Ve y el del cilindro Vc están dados respectivamente por las expresiones. Ve = · 4 3π · r3 y Vc = π · r2 · h Además se sabe que las expresiones algebraicas que permiten hallar el área superficial de la esfera y el cilindro son Ae = 4· π · r2 y Ac = 2π · r · h r Evalúo
Matemáticas 443 4. Al introducir una esfera en el cilindro como lo muestra la figura anterior, del espacio del cilindro que no ocupa la esfera, se puede concluir con certeza que es equivalente a A. el volumen de media esfera. B. el volumen de medio cilindro. C. 2/3 del volumen de la esfera. D. 1/3 del volumen del cilindro. 5. La razón entre las áreas superficiales del cilindro y la esfera de la figura es A. 1/3 B. ½ C. 1 D. 2 6. En una caja se acomodan ocho latas de base circular como lo muestra la figura, la razón entre el volumen de la caja y el volumen de las ocho latas juntas es 8 cm 16 cm 2cm 10 cm 10 cm A. 4 / π B. 8 / π C. 16 / π D. 32 / π
444 2012 2013 2014 2015 100% 80% Unidad 6 La Matemática para resumir la información Unidad 7 Las Matemáticas del juego El orden de la información y la medida del azar Capítulo 4
Matemáticas 445 2012 2013 2014 2015 100% 80% Unidad 6 La Matemática para resumir la información Unidad 7 Las Matemáticas del juego El orden de la información y la medida del azar Capítulo 4
446 Los hallazgos más antiguos del uso de la estadística se remontan al año 3000 a.c. en donde los babilonios utilizaban unas tablillas de arcilla con inscripciones de símbolos que representaban datos de la producción agrícola. La mayoría de las personas utilizan este pensamiento en su diario vivir, al momento de intentar comprender la información de vista en las noticias televisivas, escritas e incluso radiales; también cuando procuran determinar qué número elegir para jugar a la lotería o cuando en un juego de azar como los dados, el dominó o las cartas, toman la decisión de seguir apostando o no. Este tipo de procesos se van interiorizando y hacen que los procedimientos, algoritmos y operaciones matemáticas que se realizan para concluir esos actos, pasen desapercibidos. A continuación encontrarás algunas estadísticas que sin duda llamarán tu atención. • En promedio una persona en toda su vida • Caminará el equivalente a darle tres vueltas al mundo • Comerá 30 toneladas de comida • Beberá más de 9.000 tazas de café (si le gusta el café) • Pasará 10 años en el trabajo. • Pasará 20 años durmiendo. • Pasará 3 años sentado en el inodoro. • Pasará 7 meses esperando en el tráfico. • Pasará 2 meses y medio esperando en el teléfono. • Pasará 12 años viendo televisión Empieza El pensamiento aleatorio es aquel que mediante procesos estadísticos, probabilísticos o estocásticos, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o ambigüedad. Unidad 6 La Matemática Para Resumir La Información Objetivos: • Comprender la noción de población y muestra en el desarrollo de situaciones problema. • Interpretar y comparar resultados de estudios con información estadística. • Concluir y validar resultados a partir de información proveniente de tablas, gráficas, diagramas o esquemas.
Matemáticas 447 • Y 19 días buscando el control remoto. • Conocerá a más de 1.700 personas. • 4 de cada 10 personas deciden no leer nada. • El 60% restante leerá 533 libros en toda la vida. • Llorará 61 litros de lagrimas • Y tendrá 140.328 sueños. (YORIENTO.COM, 2016).
448 Ussain Bolt: Actualmente es considerado como el hombre más rápido del mundo, ha batido en dos ocasiones los records de velocidad en 100 y 200 metros planos que el mismo había impuesto en pasadas ocasiones, actualmente sus records son: • 100mt en 9,58 segundos • 200mt en 19,19 segundos Lionel Messi Actualmente es considerado por muchos como el mejor jugador de futbol, a sus 28 años de edad ha logrado alcanzar por quinta vez el máximo galardón de este deporte “El balón de oro”, el cual es otorgado al jugador con mejor desempeño en Europa en una temporada. Jaime García S. Colombiano de 59 años de edad, es reconocido mundialmente como la persona capaz de realizar operaciones matemáticas más rápidamente en el mundo. Está certificado con cuatro record Guinees, uno de ellos fue sacar la raíz trece de una cifra de 100 números en tan solo 15 centésimas de segundo. Explora L a estadística ha permitido resaltar grandes logros realizados por las personas, algunos de ellos prevalecerán en la historia como los únicos y grandes exponentes del logro que realizaron, otros quizás con el tiempo, serán superados por personas que en algún momento mejoren sus resultados. Algunos exponentes son: Curiosidades… ¿Sabías que? Si en la tierra vivieran solo 100 personas, solo 84 de ellas sabrían leer y escribir.
Matemáticas 449 Actividad 1: Esta actividad está dirigida a grupos de cinco personas máximo, la idea es que cada participante ocupe una de las casillas marcadas, debajo de estas casillas se ven 5 espacios que serán diligenciados dándole respuesta a estas 5 preguntas 1. Edad 2. Estatura 3. Peso 4. Nota obtenida en el último examen de matemáticas 5. Numero de amigos en Facebook Participante 1 2 3 4 5 Nombre Edad Estatura Peso Nota Amigos Después de diligenciar la tabla, debes darle un puntaje a cada una de las respuestas de tus compañeros, aquel que tenga el mayor valor en una pregunta obtendrá 5 puntos, el que le sigue obtendrá 4, el que le sigue 3 y así sucesivamente. El participante que más puntos obtenga será el ganador de la competencia, en caso de que dos personas tengan los mismos valores se les asignara a ambos el mayor puntaje. Ejemplo: • Juan tiene 15 años y 4 meses = 3 puntos. • María tiene 14 años y 2 meses = 2 puntos. • Andrés tiene 13 años y 8 meses = 1 punto. • Carlos tiene 16 años y 1 mes = 5 puntos. • Tomas tiene 15 años y 6 meses = 4 puntos. ¿Cuál de los participantes fue el ganador? Es importante: La prueba saber es un método de evaluación integral que permite identificar tanto tus competencias como la de los profesores que te enseñan día a día, se expande hasta el punto de evaluar departamentalmente cómo está el nivel de desempeño. Entra a http://www.icfesinteractivo.gov.co/ explora la página y te invito a que encuentres: • Cuál fue el último puntaje obtenido por tu colegio. • Cuál fue el último puntaje promedio del municipio en el que vives. • Cuál fue el último puntaje promedio de tu departamento.
450 En la prueba Saber se te evaluará principalmente en situaciones problema que requieran de la estadística descriptiva para llegar a su solución. Esta rama de las matemáticas, como su nombre lo dice, es aquella que describe a la población estudiada, se encarga de tabular, representar y estudiar los datos de cualquier situación problema de la cotidianidad. Para iniciar con el estudio de la estadística descriptiva debes conocer los siguientes algunos conceptos básicos que se enunciarán después de ver una situación aplicativa. Situación 1 Muestra de sangre puede sustituir a la biopsia para detectar cáncer “Una muestra de sangre que se hace pasar por un pequeño filtro de plástico podría sustituir en muchos casos las biopsias para la detección de cánceres, según un hematólogo francés, que va a utilizar su invento para realizar pruebas con pacientes a comienzos de 2014 y pretende comercializarlo en unos meses.” (RPP NOTICIAS, 2013) Continúa con la lectura de la noticia en http://rpp.pe/vida-y-estilo/salud/muestra-de-sangre-puede-sustituir-a-la-biopsia-para-detectarcancer-noticia-653309. En esta noticia puedes observar cómo para descubrir una enfermedad del cuerpo humano se debe tomar sólo una pequeña parte de la sangre para ser analizado, sin tener la necesidad de analizar cada una de las partes del cuerpo por separado, esta es una técnica tomada de la estadística y aplicada a la medicina. • Población Estadísticamente se define población como el conjunto de elementos sobre los cuales se desea llegar a conclusiones o hacer inferencias a partir de un estudio sobre sus datos. • Muestra Algunos estudios se realizan a poblaciones demasiado grandes, así que es poco funcional recopilar información de todos los elementos de la población. Para estos casos se toma una muestra significativa de la población, la muestra es una menor cantidad de datos seleccionados de la población, la finalidad de la muestra es representar la totalidad de los datos que serán estudiados, a partir de los resultados obtenidos del estudio de los elementos de esa muestra se tomarán conclusiones de la población en general. Por ejemplo, en Colombia habitan aproximadamente 49 millones de personas, en caso de querer realizar un estudio sobre el nivel de vida de los colombianos, sería demasiado complicado estudiar la información suministrada por los 49 millones de colombianos, para esto es necesario tomar una muestra significativa de la población, en este caso es un 20% de la población; es decir, 9.8 millones de Explico L a estadística es la rama de las matemáticas que se encarga de recoger, organizar, analizar e interpretar los datos numéricos implícitos en una situación problema, con el fin de tomar determinaciones que permitan darle solución a dicha situación. Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
Matemáticas 451 personas, aunque 9.8 millones es una gran cantidad, es una pequeña muestra que representará a los 49 millones de colombianos; dicha muestra es importante que abarque más de un departamento y más de una región con la intención de que sea representativa. © d-maps.com 200 km 100 mi MUESTRA POBLACIÓN Muestra del 20% APROXIMADA DE COLOMBIA: 49’000.000 DE PERSONAS Pregunta Tipo Saber 0. Al departamento de planeación y desarrollo de la gobernación llegó un informe sobre una población indígena que vive en uno de los municipios del departamento, en este informe se encontró que a partir de una encuesta realizada a una muestra del 60% de la población total, 120 personas que equivalen a un 40% de los encuestados les gustaría tener electricidad en su vida cotidiana. La cantidad total de personas de la población indígena es A. 500 B. 450 C. 300 D. 550 Solución: Lo primero que debes hacer para poder llegar a la respuesta correcta es interpretar correctamente la situación presentada. Para esto vamos a verla gráficamente. MUESTRA 60% 120 PERSONAS 40%
452 Como puedes ver 120 personas equivalen al 40% de la muestra con esto podemos hallar la cantidad de personas en total que había en la muestra. 120 * 100 =300 40 Sabiendo entonces que la muestra de la población está compuesta por 300 indígenas y que estos representan el 60% de la población, puedes hallar la cantidad total de indígenas que habitan en dicha población. 300 * 100 =500 60 La respuesta correcta sería la A. Después de conocer la cantidad de personas que se estudiarán de una población, se debe recolectar la información correspondiente y compilarla de modo que su lectura sea clara, exacta y práctica. Recuerda que: Al recolectar información te puedes encontrar con dos tipos de variables, estas son: Variable cualitativa Variable cuantitativa. Son aquellas variables que no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas), cada forma en que pueda expresarse es denominada como modalidad. Son aquellas variables que requieren los números para ser expresadas, cada forma en que se expresa es un número y este representa el valor de una variable de la muestra. Nominales Ordinales Discretas Continuas Si las variables no se pueden ordenar. Si las variables se pueden ordenar (Grado de satisfacción, Intensidad) Son discretas las variables numéricas que solo pueden ser expresadas por números enteros. Son continuas las variables numéricas expresadas con números decimales. EJEMPLOS Sexo o género Religión Partido político Nacionalidad Estrato socioeconómico. Grado de satisfacción. Intensidad. Edad. Cantidad de hermanos. Número de visitas. Estatura. Peso. Distancia recorrida. • Tablas de datos: La forma más frecuente para organizar los datos recopilados es la tabla de datos. La prueba Saber evalúa en gran medida la competencia de interpretación y representación sobre datos dispuestos en este tipo de tablas. La siguiente tabla contiene información recolectada de un grupo de 20 estudiantes de grado décimo de una institución educativa. NOMBRE EDAD (años) ESTATURA (cm) NOMBRE EDAD (años) ESTATURA (cm) Carlos 15 175 Melissa 15 165 Augusto 16 164 Gabriel 15 180 Johan 15 156 Carolina 15 154 Mariana 15 155 Teresa 14 150 Laura 16 163 Juan 16 172 Felipe 17 178 Lorena 14 164 Manuel 17 182 Iván 15 156 Eduardo 17 175 Yeisson 16 174 Isabel 18 152 Catalina 14 148 Jairo 16 160 Julia 15 153
Matemáticas 453 Basándote en esta información puedes realizar diferentes análisis e interpretaciones que lleven a conclusiones importantes sobre la población. Este análisis puede ser comparativo entre los datos encontrados en la muestra o puede ser realizado teniendo como referente algún valor dispuesto por una entidad o factor externo. Para realizar un análisis comparativo de la información es importante tener un referente central con el cual se pueda identificar cuándo un dato está por encima o por debajo de tal referente. La prueba Saber evalúa este tipo de análisis por medio de preguntas en las que se deben hallar las medidas de tendencia central (Moda – Media – Mediana). Sobre estas preguntas se asocian conceptos como las razones, proporciones y porcentajes. • Medidas de tendencia central: Permiten localizar el centro del conjunto de los datos encontrados en la muestra, a partir de allí, se puede identificar el comportamiento de los datos encontrados, posibilitando hallar una proyección o un estimado de los posibles valores que pueda tomar la población estudiada. Moda: Para hallarla debes contar las veces que aparecen los datos encontrados en la muestra, la moda será entonces el dato más repetido, así entonces, podrás ver que la moda con respecto a la edad en el ejemplo inicial es: EDAD CANTIDAD DE ESTUDIANTES Contando la cantidad de estudiantes que tienen determinada edad, puedes ver que la mayor cantidad de estudiantes que tienen una misma edad es 8, con esto entonces se puede concluir que la moda es 15 años. 14 3 15 8 16 5 17 3 18 1 Media Aritmética o Promedio: Para hallarla debes sumar los valores de todos los datos y dividir esta suma por el número de datos que hay en la muestra. A continuación, encontrarás cual es la estatura media en el ejemplo anterior. 75+164+156+155+163+178+182+175+152+160+165+180+154+150+172+164+156+174+148+153 20 x ̃=163.8 Al realizar la operación puedes observar que la estatura media de los estudiantes de grado décimo de la institución educativa estudiada es 163,8 cm. • Mediana: Una vez dispuestos todos los valores que toma la variable en una serie creciente o decreciente, el valor central de esa serie, si existe (si es una cantidad impar de valores), es la mediana. Así pues, la mediana deja el mismo número de valores arriba y debajo de ella. Cuando no existe un valor central (si hay una cantidad par de valores) se puede definir como la media aritmética de los valores medios. (Pérez Quintero, 2011) Para hallarla debes organizar los datos encontrados en la muestra de menor a mayor, después de estar organizados debes sumarlos siguiendo este procedimiento entonces el valor de la mediana se encuentra en la posición 10,5, dado que este valor se encuentra entre la posición 10 y 11, la mediana será el promedio entre los valores ubicados en la posición 10 y 11. Mediana 15+15 =15 2
454 Pregunta Tipo Saber Mario ha sido postulado por el rector de su institución para adquirir una beca completa en una de las mejores universidades del país, para esto, Mario debe obtener un promedio igual o superior a 3,8 en la materia de matemáticas. Las notas de Mario hasta ahora son: 4,3- 1,8 – 4,2 – 4,7. Sabiendo que a Mario sólo le falta una nota, el puntaje mínimo que debe obtener en la nota, para alcanzar el promedio requerido para la beca, es A. 3,9 B. 3,8 C. 3,7 D. 4,0 Solución: Llamemos “N” la nota faltante de Mario, entonces la expresión que permite hallar el promedio requerido por la universidad es: 4,3 + 1,8 + 4,2 + 4,7 + N = 3.8 5 Esto significa que se debe cumplir la siguiente igualdad 4,3 + 1,8 + 4,2 +4,7 + N = 3.8 * 5 Realizando las operaciones 15 + N = 19 N debe de ser 4 para que la igualdad se cumpla. La respuesta correcta seria D • Representaciones Gráficas La prueba Saber utilizará diferentes representaciones gráficas para mostrar algún tipo de información recolectada en una situación problema, es importante saber reconocer e interpretar la información dispuesta en estas representaciones para poder llegar a las conclusiones respectivas. Para comprender mejor la estructura y función de estas representaciones, puedes basarte en la siguiente información y encontrarás algunas propuestas de preguntas tipo Saber. Situación 1: Una campaña de reciclaje dispuesta en una institución educativa, ha propuesto una competencia entre los grupos que conforman el grado 9°. La competencia consiste en premiar con una salida de campo al grupo que mayor cantidad de reciclaje recoja, el reciclaje es dividido en tres tipos (vidrio, papel y plásticos). Al finalizar la jornada de competencia se contabilizó la cantidad de reciclaje obtenido por cada grupo, los resultados son mostrados a continuación. Grupo Vidrio (kg) Papel (kg) Plástico (kg) 9°A 7 14 5 9°B 4 11 11 9°C 11 10 5 9°D 8 10 4 Ahora encontrarás una situación que te ayudará a afianzar nuevos conceptos del razonamiento.
Matemáticas 455 • Diagrama de Barras El diagrama de barras es un gráfico dispuesto en un plano cartesiano con coordenadas (x,y) donde a cada eje le corresponde una variable cuantitativa dispuesta en un estudio. El diagrama de barras permite identificar de forma práctica todos los valores de los datos recolectados. Así la información dispuesta en la Situación 1 podría ser representada de la siguiente forma: Interpretación: En este tipo de gráficas es muy importante que inicialmente reconozcas los ejes que se presentan, en ocasiones estos no vienen con una etiqueta que los nombre, así que debes inferir a qué se refiere. En este caso en el eje horizontal encontramos los grupos que participan en la competencia, y en el eje vertical encontramos los kg de reciclaje recolectado por cada tipo, diferenciado por colores, de esta forma cada grupo cuenta con tres barras de colores diferentes que representan la cantidad total de reciclaje que obtuvo por tipo. Como puedes observar los grupos que más kg de vidrio, papel y plástico obtuvieron respectivamente son 9°C, 9°A y 9°B. Diagrama Circular: Este tipo de diagrama utiliza un círculo en representación de la totalidad de los datos recolectados. A cada conjunto de datos se le asigna un área del círculo proporcionalmente al porcentaje que ocupan estos datos dentro de la muestra. Se utiliza normalmente para cuando se tiene una cantidad pequeña de datos y suele ser práctica para el manejo de porcentajes. De acuerdo con la información dispuesta en la Situación 1 al calcular las cantidades totales de reciclaje, recolectadas por tipo y grupo se obtendrán las dos tablas mostradas a continuación. Reciclaje total por tipo Reciclaje total por grupo Vidrio (kg) Papel (kg) Plástico (kg) 9°A 26 30 45 25 9°B 26 9°C 26 9°D 22 Estos valores podrían representarse en diagramas circulares así: 26% 26% 22% 26% 25% 45% 30% 9°A 9°B 9°C Papel (Kg) Plástico (Kg) Vidrio (Kg) 9°D Reciclaje por grupo Reciclaje por tipo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Cantidad en Kg 9°A Vidrio (Kg) Papel (Kg) Plástico (Kg) Competencia de reciclaje 9°B 9°C 9°D
456 360° 100% 180° 180° 50% 50% 90° 90° 90° 90° 25% 25% 25% 25% • Gráfica de Línea Temporal Este tipo de gráfica permite representar los valores alcanzados por una variable a través del tiempo, es utilizada con mayor frecuencia en el área de la economía, ya que ayuda a los expertos a predecir los posibles cambios que ocurrirán en un futuro La gráfica a continuación muestra el cambio en la economía colombiana con respecto al producto interno bruto (PIB) logrado en 10 años. 2005 4,7 6,7 6,9 Crecimiento de la economía colombiana (Ne Porcentaje) *Proyección 6,6 5,0* 6,0* 1,7 4,0 3,5 4,0 4,3 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 20123 2014 2015 Tomado de: http://www.elpais.com.co • Interpretación: En este tipo de gráfica es importante identificar el incremento y disminución que ocurre con los elementos que son analizados. La prueba saber normalmente te preguntará por: • El crecimiento ocurrido en un espacio temporal determinado. • Que reconozcas en qué periodo se dio el cambio más evidente. • De acuerdo a la tendencia de crecimiento o de decrecimiento puedas determinar un valor que se pueda alcanzar en un futuro. • Analizar los máximos y mínimos de una variable a través del tiempo RECUERDA QUE… La relación existente entre los grados de una circunferencia y el porcentaje es directa. Eso significa que para hallar los grados de la porción de área que cubrirán un porcentaje lo puedes hacer mediante una regla de tres: De esta forma si se sabe que el 30% de la población tiene una característica, los grados necesarios para representarlo en un diagrama circular se hallan así: 360 * 30 = 108° 100
Matemáticas 457 Actividad 1: EQUIPO # CAMISETA GOLES ASISTENCIAS Equipo 1 9 6 1 Equipo 4 10 5 0 Equipo 3 9 4 1 Equipo 2 8 3 2 Equipo 2 7 3 2 Equipo 3 9 2 1 Equipo 1 8 1 4 Equipo 2 10 1 2 • Responde: • ¿cuál es el equipo que tiene un mayor promedio de goles por partido y cuál tiene el menor promedio? • ¿Cuál es el equipo con un mayor promedio de asistencias por encuentro y cuál tiene el menor promedio en este ítem? • En todo el torneo, ¿cuál es el número de camiseta que sobresale por anotar más goles? • En todo el torneo, ¿cuál es el número de camiseta que sobresale por realizar más asistencias? Elabora
458 Actividad 2: • Se preguntó a un grupo de 60 personas sobre cuál era su deporte favorito, a partir de su respuesta fueron uniformados de diferentes colores. Fútbol Básquetbol Tenis Utilice la siguiente tabla y organice la información presentada en el grafico anterior. Deporte Hombres Mujeres Fútbol Básquetbol Tenis El porcentaje de mujeres que gustan del futbol con respecto del total de mujeres ______. El porcentaje de hombres que gustan del fútbol respecto a la cantidad total de hombres es: _______. El porcentaje de mujeres que gustan del tenis respecto a la cantidad total de encuestados es: _______. La diferencia en el porcentaje de hombres y de mujeres que gustan del futbol, cada uno con respecto a su mismo género. Actividad 3: • De acuerdo con el gráfico anterior es correcto afirmar que A. la suma de vehículos vendidos entre los años 2008 y 2010 es mayor que la suma de vehículos vendidos entre los años 2013 y 2014. B. la suma de vehículos vendidos entre los años 2010 y 2011 es mayor que la suma de vehículos vendidos entre los años 2012 y 2013. C. la diferencia de vehículos vendidos entre los años 2010 y 2009 es mayor que la diferencia de vehículos vendidos entre los años 2014 y 2013. D. la diferencia de vehículos vendidos entre los años 2014 y 2012 es menor que la diferencia de vehículos vendidos entre los años 2010 y 2008. 0 50 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Fuente: Fenalco, Comportamiento del Mercado Automotor, 2014. ANDL 100 150 200 250 300 350 Miles de unidades Venta de vehículos nuevos en Colombia (2008 - 2014)
Matemáticas 459 Contar es un proceso matemático por el cual se le asigna un número cardinal a cada uno de los elementos encontrados en un conjunto específico. Desde hace miles de años, diferentes culturas han utilizado las unidades, decenas y centenas para contar, lo único que difiere entre estas culturas es su representación simbólica. CULTURA REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA EGIPCIA 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ROMANA 1 5 10 50 100 500 1.000 MAYA 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 Empieza Historiadores han descubierto extrañas figuras inscritas en piedras dentro de cuevas donde se asegura vivieron los hombres de las cavernas, estas figuras, encontradas en la pared, son un fuerte indicio de la simbología utilizada por los hombres hace miles de años para cuantificar la cantidad de elementos que fueran de su propiedad. Unidad 7 Las Matemáticas del Juego Objetivos: • Reconocer los principios básicos del conteo y su aplicación en la estadística. • Comprender el planteamiento de eventos probabilísticos. • Interpretar conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.
460 Actividad ¿Cuántos triángulos hay en la figura? ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? Respuesta: _______ Respuesta:____________ Explora Muchas de las preguntas sobre técnicas de conteo que utiliza el Icfes para evaluar el pensamiento aleatorio, tienen que ver con combinaciones realizadas entre diferentes elementos. ACTIVIDAD: De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 5 camisas 4 pantalones 4 zapatos Respuesta
Matemáticas 461 En la antigüedad, el azar era parte fundamental del destino, y los dados, eran utilizados para determinar lo que le esperaba a la persona en el futuro. Muchas culturas diferentes interpretaron el azar o lo aleatorio como algo divino, algunas de estas rezaban a los dioses para que todo lo aleatorio y lo impensable trajera cosas buenas a su comunidad, de forma contraria, otras culturas buscaban en la brujería nativa el cómo evadir lo aleatorio. Hace 3000 años aproximadamente los chinos comenzaron a formular procesos matemáticos que describían qué tan posible era que ocurriera un evento. Los chinos fueron de alguna manera los primeros en formalizar las probabilidades y la estadística. Fue hasta el siglo XVI cuando los matemáticos italianos comenzaron a formalizar las probabilidades asociadas a los juegos de azar. ¿Qué harías tú? En un juego de cartas el dealer (repartidor de las cartas) ubica tres naipes boca abajo tal y como se muestra a continuación; se conoce que uno de los naipes es el As de corazones, los otros dos son Ases de picas. El juego consiste en que una persona debe elegir una carta de las tres y, si ésta es el as de corazones, será la ganadora; sin embargo, cuando el jugador seleccione una carta cualquiera, el dealer volteará una de las 2 cartas que quedan; si es el as de picas, esta le permitirá al jugador decidir si desea quedarse con la carta que ya seleccionó o bien cambiar de carta, por la restante. Si tú fueras el participante de este juego ¿qué harías? ¿Te quedarías con la carta seleccionada? ¿Por qué? En este video podrás ver cuál es la decisión más acertada y por qué:
462 ¿Qué es el análisis combinatorio? El análisis combinatorio permite, a través de procesos matemáticos, hallar las diferentes maneras en que se pueden formar combinaciones o agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos. Dependiendo de la estructura que presente la situación problema, debes realizar diferentes procedimientos que te permitan llegar a la respuesta. Para poder utilizar estos métodos de manera efectiva, es importante que repasemos el concepto de factorial de un número. El factorial de un número entero “n” está definido como el producto de los “n” términos correspondientes desde 1 hasta n. Esta operación es simbolizada por el operador (!), de esta forma n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5…. x(n-1)x(n). Por ejemplo: 5! = 1x2x3x4x5 = 120 7! = 1x2x3x4x5x6x7 = 5040. 9! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 362880 • Técnicas de Conteo En algunas situaciones, se puede percibir una gran cantidad de cambios y situaciones que no permiten un conteo intuitivo. Para esto son utilizadas las técnicas de conteo, que permiten la cuantificación del número de variaciones que puede tener un evento; así pues, las técnicas de conteo son estrategias que se utilizan para resolver esos casos de conteo que se complican por la cantidad de variables que intervienen en ellas. Para poder comprender de una manera más intuitiva las técnicas de conteo, es importante que aprendas a utilizar los métodos que verás luego. Variables: Es todo aquello que pueda cambiar en el evento de una situación problema. Elementos: Son todas las opciones que tiene una variable para poder cambiar. • Ejemplo tipo saber: Un cajero electrónico cuenta con un tablero digital numérico para registrar las claves de los usuarios, la clave que debe tener una tarjeta infantil es de dos números cualquiera y la clave para una tarjeta normal tiene la restricción de que debe ser de tres dígitos diferentes. 1. El número de claves diferentes que puede registrarse para una tarjeta infantil es A. 10 B. 20 C. 90 D. 100 Explico C ontinuando con los diferentes conceptos que evaluará la prueba Saber sobre el pensamiento aleatorio, es el turno de trabajar sobre el análisis combinatorio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0