SOAL SOAL MTK WAJIB dan kunci jawabn

Matematika Kelas XII i

Matematika Kelas XII 1 mencakup Kedudukan Jarak Sudut mempelajari Dimensi Tiga Titik Garis Bidang terdiri atas Titik terhadap Garis Titik terhadap Bidang Garis terhadap Garis Garis terhadap Bidang Bidang terhadap Bidang Titik dan Titik Titik terhadap Garis Titik terhadap Bidang Garis dan Garis Garis terhadap Bidang mencakup Bidang dan Bidang Garis dan Garis Garis dan Bidang Bidang dan Bidang mencakup 1. Peserta didik mampu menjelaskan kedudukan suatu unsur ruang (titik, garis, dan bidang) dengan benar melalui Pendalaman Materi dan Contoh Soal. 2. Peserta didik mampu menentukan jarak antara dua unsur ruang dengan tepat melalui kegiatan Pendalaman Materi dan Contoh Soal. 3. Peserta didik mampu menentukan sudut yang dibentuk oleh dua unsur ruang dengan tepat melalui kegiatan Pendalaman Materi dan Contoh Soal. 4. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan dimensi tiga setelah mengerjakan soalsoal pada Uji Kompetensi dan Penilaian Harian. • Titik • Sudut • Tegak Lurus • Garis • Sejajar • Proyeksi • Bidang • Berpotongan • Siku-Siku • Jarak • Bersilangan • Bangun Ruang

2 Dimensi Tiga A B D C E F H G P 1. Jawaban: e 1) Garis BC tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis BC. 2) Garis AD tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis AD. 3) Garis AC melalui titik A, titik O, dan titik C maka titik O terletak pada garis AC. 4) Garis BD melalui titik B, titik O, dan titik D maka titik O terletak pada garis BD. 5) Garis AB tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis AB. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 2. Jawaban: c Kedudukan titik P pada kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. (i) Titik P terletak pada garis CF, sedangkan garis CF terletak pada bidang CDEF. Dengan demikian titik P terletak pada bidang CDEF. (ii) Titik P terletak pada garis BG, sedangkan garis BG terletak pada bidang ABGH. Dengan demikian titik P terletak pada bidang ABGH. (iii) Titik P terletak pada garis CF dan garis BG, sedangkan kedua garis itu terletak pada bidang BCGF. Dengan demikian titik P terletak pada bidang BCGH. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 3. Jawaban: e Bangun tersebut merupakan limas T.PQRS. Bidang alasnya yaitu bidang PQRS yang melalui titik P, Q, R, dan S. Bidang alas PQRS tidak melalui titik T, berarti titik T terletak di luar bidang PQRS. Jadi, titik yang terletak di luar bidang alas limas adalah titik T. A. Pilihan Ganda 4. Jawaban: d 1) Garis DT dan garis AB tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis DT bersilangan dengan garis AB. Pernyataan (i) salah. 2) Garis CD dan garis BT tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis CD bersilangan dengan garis BT. Pernyataan (ii) benar. 3) Garis BT dan garis DT terletak pada bidang yang sama yaitu bidang TBD. Keduanya mempunyai titik persekutuan di titik T. Dengan demikian, garis BT berpotongan dengan garis DT. Pernyataan (iii) salah. 4) Garis AB dan garis CT tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian garis AB bersilangan dengan garis CT. Pernyataan (iv) salah. 5) Garis AT dan garis CT terletak pada bidang yang sama yaitu bidang TAC. Keduanya mempunyai titik persekutuan di titik T. Dengan demikian, garis AT berpotongan dengan garis CT. Pernyataan (v) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah (ii) dan (v). 5. Jawaban: c 1) Garis AB dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang ABFE. Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis AB sejajar dengan garis EF. 2) Garis BF dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang ABFE. Kedua garis mempunyai titik persekutuan yaitu titik F. Dengan demikian, garis BF berpotongan dengan garis EF. 3) Garis DH dan garis EF tidak terletak pada bidang yang sama. Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis DH bersilangan dengan garis EF. 4) Garis EH dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang EFGH. Kedua garis mempunyai titik persekutuan yaitu titik E. Dengan demikian, garis EH berpotongan dengan garis EF.

Matematika Kelas XII 3 5) Garis CD dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang CDEF. Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis CD sejajar dengan garis EF. Jadi, garis yang bersilangan dengan garis EF adalah garis DH. 6. Jawaban: e 1) Bidang EFGH melalui titik E, F, G, dan H. Garis BG melalui titik B dan titik G. Oleh karena titik B terletak di luar bidang EFGH maka garis BG memotong/menembus bidang EFGH. 2) Bidang CDHG melalui titik C, D, H, dan G. Garis AC melalui titik A dan titik C. Oleh karena titik A terletak di luar bidang CDHG maka garis AC memotong/menembus bidang CDHG. 3) Garis AD memotong/menembus bidang CDHG di titik D. 4) Garis AE memotong/menembus bidang EFGH di titik E. 5) Bidang ABFE dan bidang CDHG saling sejajar. Oleh karena garis AB terletak pada bidang ABFE maka garis AB sejajar dengan bidang CDHG. Jadi, pasangan garis dan bidang yang saling sejajar adalah garis AB dan bidang CDHG. 7. Jawaban: d Bidang AFH melalui titik A, F, dan H. Bidang AFH dibatasi oleh garis AF, FH, dan AH. Garis AF sejajar dengan garis DG, garis FH sejajar dengan garis BG, dan garis AH sejajar dengan garis BG. Dengan demikian bidang AFH sejajar dengan bidang BDG. Jadi, bidang yang sejajar dengan bidang AFH adalah bidang BDG. 8. Jawaban: d Bidang ABGH melalui titik A, B, G, dan H. Bidang ABFE melalui titik A, B, F, dan E. Kedua bidang itu melalui titik A dan titik B, berarti kedua bidang tersebut berpotongan pada garis AB. Jadi, perpotongan antara bidang ABGH dan bidang ABFE adalah garis AB. 9. Jawaban: c 1) Garis g merupakan perpotongan antara bidang U dan bidang V, berarti garis g terletak pada bidang U dan pada bidang V. 2) Garis h merupakan perpotongan antara bidang U dan bidang W, berarti garis h terletak pada bidang U dan bidang W. 3) Bidang V sejajar dengan bidang W sehingga garis g dan garis h tidak berpotongan. 4) Garis g dan garis h pada bidang U sehingga garis g dan garis h tidak bersilangan. Oleh karena garis g dan garis h tidak berpotongan dan tidak bersilangan berarti kedua garis itu sejajar. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 10. Jawaban: a Garis k merupakan perpotongan antara bidang α dan bidang β, berarti garis k terletak pada bidang α dan bidang β. 1) Garis k terletak pada bidang α, sedangkan garis h sejajar dengan bidang α. Dengan demikian, garis k sejajar dengan garis h. 2) Garis k sejajar dengan garis h, sedangkan garis g tidak sejajar dengan garis h. Dengan demikian, garis k tidak sejajar dengan garis g. 3) Garis k tidak sejajar dengan garis g, sedangkan garis k dan garis g terletak pada bidang α. Dengan demikian, garis k memotong garis g. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan a. B. Uraian 1. a. Titik yang terletak pada garis TM Garis TM melalui titik T dan titik M. Dengan demikian, titik sudut yang terletak pada garis TM adalah titik T dan titik M. b. Titik yang terletak di luar garis KL Garis KL melalui titik K dan titik L. Titik-titik selain itu terletak di luar garis KL. Dengan demikian, titik sudut yang terletak di luar garis KL adalah titik T, titik M, titik N, dan titik O. c. Titik yang terletak pada bidang TMN Bidang TMN melalui titik T, titik M, dan titik N. Dengan demikian, titik sudut yang terletak pada bidang TMN adalah titik T, titik M, dan titik N. d. Titik yang terletak di luar bidang TKN Bidang TKN melalui titik T, titik K, dan titik N. Titik-titik selain itu terletak di luar bidang TKN. Dengan demikian, titik sudut yang terletak di luar bidang TKN adalah titik L, titik M, dan titik O. C G E A B D F

4 Dimensi Tiga 1) Garis CD sejajar dengan garis GH. Dengan demikian, garis CD sejajar dengan bidang ABGH. 2) Garis EF sejajar dengan garis AB. Dengan demikian, garis EF sejajar dengan bidang ABGH. Jadi, garis yang sejajar dengan bidang CDEF adalah garis CD dan EF. 4. Perhatikan gambar berikut. a. Oleh karena garis g tegak lurus dengan bidang V maka garis g tegak lurus dengan semua garis pada bidang V. Dengan demikian, garis g tegak lurus dengan garis h dan garis g tegak lurus dengan garis k. Jadi, pernyataannya bernilai benar. b. Misalkan bidang PQR melalui garis g. Garis PQ terletak pada bidang PQR dan garis PQ sejajar dengan garis h. Dengan demikian, bidang PQR sejajar dengan garis h. Jadi, pernyataannya bernilai benar. c. Misalkan garis m terletak di luar bidang V memotong garis g. Garis m sejajar dengan garis k maka garis m tegak lurus dengan garis h. Jadi, pernyataannya bernilai benar. d. Bidang yang tegak lurus dengan garis g akan sejajar dengan bidang V. Oleh karena garis h pada bidang V maka bidang tersebut akan sejajar dengan garis h. Jadi, pernyataannya bernilai salah. 5. a. Perhatikan gambar berikut. Titik P terletak pada garis g, berarti semua garis yang melalui titik P pasti memotong garis g. 2. Titik P dan titik Q pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. a. Titik P terhadap bidang ABFE Titik P terletak pada garis EF, sedangkan garis EF terletak pada bidang ABFE. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang ABFE. b. Titik Q terhadap bidang ADHE Titik Q terletak pada garis GH, sedangkan garis GH memotong bidang ADHE di titik H. Dengan demikian, titik Q terletak di luar bidang ADHE. c. Garis AD terhadap garis PQ Garis AD terletak pada bidang ADHE, sedangkan garis PQ sejajar dengan bidang ADHE. Dengan demikian, garis AD sejajar dengan bidang PQ. d. Garis DH terhadap garis BC Garis DH dan garis BC tidak terletak pada bidang yang sama. Kedua garis juga tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis DH bersilangan dengan garis BC. e. Garis PQ terhadap garis EF Garis PQ dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang EFGH. Keduanya mempunyai titik persekutuan di titik P. Dengan demikian, garis PQ berpotongan dengan garis EF. 3. a. Kedudukan garis CE terhadap garis DF Garis CE dan DF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang CDEF. Kedua garis mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis CE berpotongan dengan garis DF. b. Bidang yang melalui garis AE dan CG Garis AE dan CG saling sejajar. Dengan menghubungkan titik A dengan titik C dan titik E dengan titik G diperoleh bidang ACGE. Jadi, bidang yang melalui garis AE dan CG adalah bidang ACGE. c. Garis yang sejajar dengan bidang ABGH Garis AB dan garis GH terletak pada bidang ABGH. Q G C A B E H P F D P Q V R g h k h P g A α β

Matematika Kelas XII 5 Titik P terletak pada garis g, sedangkan garis g dan garis h saling bersilangan sehingga titik P tidak terletak pada garis h. Dengan demikian, dapat dibuat sebuah bidang α yang melalui titik P dan garis h. Pada bidang α terdapat tak hingga banyak garis yang melalui P dan memotong garis h. b. Perhatikan gambar berikut. 1) Titik P tidak terletak pada garis g, berarti hanya dapat dibuat satu bidang α yang melalui titik P dan garis g. F h P g α 2) Titik P tidak terletak pada garis h, berarti hanya dapat dibuat satu bidang β yang melalui titik P dan garis h. 3) Garis g dan garis h bersilangan, berarti hanya terdapat sebuah garis A yang merupakan perpotongan bidang α dan bidang β serta tidak sejajar dengan garis g dan garis h. 4) Titik P terletak pada bidang α dan bidang β. Dengan demikian, titik P terletak pada garis A. 5) Garis g dan garis A terletak pada bidang α dan garis g tidak sejajar dengan garis A, berarti garis g memotong garis A. 6) Garis h dan garis A terletak pada bidang β dan garis h tidak sejajar dengan garis A, berarti garis h memotong garis A. Jadi, terdapat tepat satu garis melalui titik P yang memotong garis g dan garis h.

6 Dimensi Tiga 1. Jawaban: d Titik X pada balok PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Jarak antara titik P dan titik X yaitu panjang ruas garis PX. Perhatikan ΔQRV siku-siku di R maka: QV = 2 2 QR + RV = 2 2 4 +3 = 16 + 9 = 25 = 5 cm Panjang QX = 1 2 QV = 1 2 × 5 = 2,5 cm. Perhatikan ΔPQX siku-siku di Q maka: PX = 2 2 PQ + QX = 2 2 6 + (2,5) = 36 + 6,25 = 42,25 = 6,5 cm Jadi, jarak antara titik P dan titik X adalah 6,5 cm. 2. Jawaban: c Titik A pada kubus KLMN.PQRS disajikan seperti berikut. panjang AL = 3 4 × 8 = 6 cm. Pada ΔALQ sikusiku di L dengan panjang AL = 6 cm dan LQ = 8 cm. QA = 2 2 AL + LQ = 2 2 6 +8 = 36 + 64 = 100 = 10 cm Jadi, jarak antara titik Q dan titik A adalah 10 cm. 3. Jawaban: d Limas T.KLMN disajikan seperti berikut. Jarak antara titik T dan titik M yaitu panjang ruas garis TM. Bidang alas berbentuk persegi dengan panjang KL = LM = 8 cm sehingga panjang KM = 8 2 cm. Panjang OM = 1 2 KM = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. Perhatikan ΔTOM siku-siku di O maka: TM = 2 2 TO + OM = 2 2 4 + (4 2) = 16 + 32 = 48 = 4 3 cm Jadi, jarak antara titik T dan titik M adalah 4 3 cm. 4. Jawaban: e Kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. A. Pilihan Ganda P Q R S T U W V X 6 cm 4 cm 3 cm S R M K A L N 8 cm P Q T 8 cm M K L N O4 cm 4 cm W O V T P U Q R S Jarak antara titik Q dan titik A yaitu panjang ruas garis QA. Oleh karena KA : AL = 1 : 3 maka

Matematika Kelas XII 7 Jarak titik P terhadap diagonal UW yaitu panjang ruas garis PO. Pada segitiga PUW diperoleh panjang PU = UW = PW = 4 2 cm. Titik O terletak di tengah UW sehingga panjang UO = 1 2 UW = 1 2 × 4 2 = 2 2 cm. Perhatikan ΔPUO sikusiku di O maka: PO = 2 2 PU UO − = 2 2 (4 2) (2 2) − = 32 8 − = 24 = 2 6 cm Jadi, jarak titik P terhadap diagonal UW adalah 2 6 cm. 5. Jawaban: a Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik E terhadap garis PG yaitu panjang ruas garis EO. Pada ΔEPG siku-siku di E dengan panjang EP = 6 cm dan EG = 12 2 cm. PG = 2 2 EP + EG = 2 2 6 + (12 ) 2 = 36 + 288 = 324 = 18 cm Pada ΔEPG berlaku: EO × PG = EP × EG ⇔ EO × 18 = 6 × 12 2 ⇔ EO × 18 = 72 2 ⇔ EO = 4 2 cm Jadi, jarak titik E terhadap garis PG adalah 4 2 cm. 6. Jawaban: c Limas beraturan T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik A terhadap rusuk TB yaitu panjang ruas garis AP. Pada ΔAOT siku-siku di O dengan panjang AO = 6 cm dan TA = 10 cm. TO = 2 2 TA AO − = 2 2 10 − 6 = 100 36 − = 64 = 8 cm Pada ΔABT berlaku: AP × TB = AB × TO ⇔ AP × 10 = 12 × 8 ⇔ AP × 10 = 96 ⇔ AP = 9,6 cm Jadi, jarak titik A terhadap rusuk TB adalah 9,6 cm. 7. Jawaban: a Balok KLMN.PQRS disajikan seperti berikut. Jarak titik R terhadap diagonal PM yaitu panjang ruas garis RT. Perhatikan ΔPMR siku-siku di R dengan: 1) Panjang PR PR = 2 2 PQ + QR = 2 2 3 +4 = 9 + 16 C A B E P F D H G O AO B P T 12 cm C B T A D P 10 cm K L N M P Q S R T 3 cm 4 cm 12 cm M P R T

8 Dimensi Tiga = 25 = 5 cm 2) Panjang RM = 12 cm 3) Panjang PM PR = 2 2 PR + RM = 2 2 5 +12 = 25 + 144 = 169 = 13 cm Pada ΔPMR berlaku: PR × RM= PM × RT ⇔ 5 × 12 = 13 × RT ⇔ 60 = 13 × RT ⇔ RT = 60 13 cm Jadi, jarak titik R terhadap diagonal PM adalah 60 13 cm. 8. Jawaban: b Titik M pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik M terhadap diagonal AG yaitu panjang ruas garis MN. Perhatikan segitiga AMG dengan: 1) Panjang AM AM = 2 2 AE + EM = 2 2 8 +4 = 64 + 16 = 80 = 4 5 cm 2) Panjang MG = AM = 4 5 cm 3) Panjang AG = 8 3 cm (diagonal ruang) Segitiga AMG merupakan segitiga sama kaki sehingga titik N terletak di tengah AG maka panjang AN = 1 2 AG = 1 2 × 8 3 = 4 3 cm. Perhatikan ΔANM siku-siku di N maka: MN = 2 2 AM AN − = 2 2 (4 5) (4 3) − = 80 48 − = 32 = 4 2 cm Jadi, jarak antara titik M dan diagonal AG adalah 4 2 cm. 9. Jawaban: b Titik O dan titik E pada limas segi empat beraturan T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik O terhadap garis TE yaitu panjang ruas garis OP. Pada ΔTOE siku-siku di O dengan panjang TO = 12 cm dan OE = 9 cm. TE = 2 2 TO + OE = 2 2 12 + 9 = 144 + 81 = 225 = 15 cm Pada ΔTOE berlaku: OP × TE = TO × OE ⇔ OP × 15 = 12 × 9 ⇔ OP × 15 = 108 ⇔ OP = 7,2 cm Jadi, jarak titik O terhadap garis TE adalah 7,2 cm. 10. Jawaban: e Limas beraturan T.ABCD disajikan seperti berikut. A B D C E F H G M N 8 cm 18 cm C B T A D 12 cm P O E O T P E T O C A B D 26 cm 16 cm 12 cm

Matematika Kelas XII 9 Jarak titik T terhadap bidang alas yaitu panjang ruas garis TO. 1) Pada ΔABC siku-siku di B dengan panjang AB = 16 cm dan BC = 12 cm. AC = 2 2 AB + BC = 2 2 16 + 12 = 256 + 144 = 400 = 20 cm 2) Pada ΔAOT siku-siku di O dengan panjang AO = 10 cm dan TA = 26 cm. TO = 2 2 TA AO − = 2 2 26 10 − = 676 100 − = 576 = 24 cm Jadi, jarak titik T terhadap bidang alas limas adalah 24 cm. 11. Jawaban: c Kubus KLMN.PQRS disajikan seperti berikut. Jaraktitik P terhadap bidang LRN yaitu panjang ruas garis PO. 1) Panjang PR = 12 2 cm. 2) Pada ΔPKA siku-siku di K degan panjang PK = 12 cm dan KA = 6 2 cm. PA = 2 2 PK + KA = ( ) 2 2 12 + 6 2 = 144 + 72 = 216 = 6 6 cm 3) Panjang AR = PA = 6 6 cm. Pada ΔPAR berlaku: PO × AR = PR × AB ⇔ PO × 6 6 = 12 2 × 12 ⇔ PO × 6 6 = 144 2 ⇔ PO = 144 2 6 6 = 24 3 = 8 3 cm Jadi, jarak titik P terhadap bidang LRN adalah 8 3 cm. 12. Jawaban: b Jarak titik A terhadap bidang TBC sama dengan jarak titik A terhadap garis TF yaitu panjang ruas garis AE. 1) Segitiga ABC siku-siku di A BC = 2 2 AB + AC = 2 2 6 +6 = 36 + 36 = 72 = 6 2 cm 2) Titik F terletak di tengah BC sehingga panjang BF = 1 2 BC = 1 2 × 6 2 = 3 2 cm. AF = 2 2 AB BF − = 2 2 6 (3 2) − = 36 18 − = 18 = 3 2 cm 3) Perhatikan segitiga TAF siku-siku di A maka TF = 2 2 TA + AF = 2 2 6 + (3 2) P S K L R O M A 12 cm Q N P B R O A A B C E F T 6 cm 6 cm

10 Dimensi Tiga = 36 + 18 = 54 = 3 6 cm Pada ΔTAF berlaku: TA × AF = TF × AE ⇔ 6 × 3 2 = 3 6 × AE ⇔ 6 2 = 6 × AE ⇔ AE = 6 2 6 = 6 3 = 2 3 cm Jadi, jarak titik A terhadap bidang TBC adalah 2 3 cm. 13. Jawaban: b Jarak rusuk LM terhadap rusuk OR disajikan seperti berikut. Oleh karena volume balok 540 cm3 maka: V = p × A × t ⇔ 540 = 12 × 9 × t ⇔ 540 = 108 × t ⇔ t = 5 Tinggi balok = t = 5 cm Rusuk LM dan rusuk OR saling sejajar. Untuk menentukan jarak keduanya yaitu pilih titik yang terletak pada rusuk LM, misalkan titik L. Tarik garis dari titik L sehingga tegak lurus dengan rusuk OR. Titik potongnya di titik O. Dengan demikian, jarak rusuk LM terhadap rusuk OR yaitu panjang ruas garis LO. Perhatikan ΔOKL siku-siku di K maka: LO = 2 2 KO + KL = 2 2 5 + 12 = 25 + 144 = 169 = 13 cm Jadi, jarak rusuk LM terhadap rusuk OR adalah 13 cm. 14. Jawaban: c Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Panjang EH = 10 cm. Oleh karena EP : PH = 3 : 2 maka panjang EP = 6 cm dan PH = 4 cm. Panjang AD = 10 cm. Oleh karena AQ : AD = 3 : 5 maka panjang AQ = 6 cm dan QD = 4 cm. Rusuk CG dan bidang BFPQ saling sejajar. Untuk menentukan jarak keduanya yaitu pilih titik yang terletak pada rusuk CG, misalkan titik G. Tarik garis dari titik G sehingga tegak lurus dengan bidang BFPQ. Titik potongnya di titik T. Dengan demikian, jarak rusuk CG terhadap bidang BFPQ yaitu panjang ruas garis GT. Perhatikan ΔPFG dengan: 1) Panjang FG = BC = 10 cm 2) Panjang PF PF = 2 2 EP + EF = 2 2 6 +8 = 36 + 64 = 100 = 10 cm 3) Panjang PG PG = 2 2 PH + GH = 2 2 4 +8 = 16 + 64 = 80 = 4 5 cm Perhatikan segitiga PFG berikut. Oleh karena panjang PF = FG = 10 cm maka ΔPFG sama kaki. Titik O terletak di tengah PG sehingga panjang PO = 2 5 cm. R Q O P M N K 12 cm L 9 cm A B D C E F H G O P Q 4 cm 6 cm 8 cm 8 cm 10 cm T P O G T F

Matematika Kelas XII 11 Segitiga POF siku-siku di O maka: OF = 2 2 PF PO − = 2 2 10 − (2 5) = 100 20 − = 80 = 4 5 cm Pada ΔPFG berlaku: PG × OF = PF × GT ⇔ 4 5 × 4 5 = 10 × GT ⇔ 80 = 10 × GT ⇔ GT = 8 cm Jadi, jarak garis CG terhadap bidang BFPQ adalah 8 cm. 15. Jawaban: d Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Bidang PQRS dan bidang KLMN saling sejajar. Untuk menentukan jarak keduanya yaitu pilih titik yang terletak pada bidang KLMN, misalkan titik K. Tarik garis dari titik K sehingga tegak lurus dengan bidang PQRS. Titik potongnya di titik O. Jarak antara bidang KNRO dan bidang LMQP yaitu panjang ruas garis LO. Perhatikan ΔQRL dengan: 1) Panjang QR QR= 2 2 AQ + AR = 2 2 6 +8 = 36 + 64 = 100 = 10 cm 2) Panjang QL = QR = 10 cm 3) Panjang RL = BC = 12 cm Dengan demikian ΔQRL merupakan segitiga sama kaki. Pada ΔQRL berlaku: LR × AR = QR × LO ⇔ 12 × 8 = 10 × LO ⇔ 96 = 10 × LO ⇔ LO = 9,6 cm Jadi, jarak antara bidang PQRS dan bidang KLMN adalah 9,6 cm. B. Uraian 1. a. Jarak antara titik A dan titik G Jarak antara titik A dan titik G yaitu panjang ruas garis AG. Oleh karena AG merupakan diagonal ruang kubus maka panjang AG = 6 3 cm. Jadi, jarak antara titik A dan titik G adalah 6 3 cm. b. Jarak antara titik C dan titik P Jarak antara titik C dan titik P yaitu panjang ruas garis CP. Pada ΔPCH siku-siku di H dengan panjang PH = 3 cm dan CH = 6 2 cm. CP = 2 2 PH + CH = ( ) 2 2 3+6 2 = 9 + 72 = 81 = 9 cm Jadi, jarak antara titik C dan titik P adalah 9 cm. A B D C E F H K G L M N P Q R S 8 cm 8 cm 6 cm 6 cm 10 cm A B D C M 8 cm 8 cm R 6 cm 6 cm Q L 12 cm O H G C F E A B D 12 cm E D P B C H G F A

12 Dimensi Tiga c. Jarak antara titik B dan titik Q Jarak antara titik B dan titik Q yaitu panjang ruas garis BQ. Pada ΔBFQ siku-siku di F dengan panjang BF = 6 cm dan CH = 3 2 cm. BQ = 2 2 BF + FQ = ( ) 2 2 6 +3 2 = 36 + 18 = 54 = 3 6 cm Jadi, jarak antara titik B dan titik Q adalah 3 6 cm. 2. Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik A dan titik P yaitu panjang ruas garis AP. Pada DAPH siku-siku di H dengan: 1) AH = 2 2 AD + DH = 2 2 4 + 3 = 16 + 9 = 25 = 5 cm 2) HP = 3 4 × 16 = 12 cm 3) AP = 2 2 AH + PH = 2 2 5 +12 = 25 +144 = 169 = 13 cm Jadi, jarak antara titik A dan titik P adalah 13 cm. 3. a. Jarak titik Q terhadap rusuk VW Jarak titik Q terhadap rusuk VW yaitu panjang ruas garis QV. Oleh karena QV merupakan diagonal sisi kubus maka panjang QV = 12 2 cm. Jadi, jarak titik Q terhadap rusuk VW adalah 12 2 cm. b. Jarak titik P terhadap rusuk UW Jarak titik P terhadap diagonal UW yaitu panjang ruas garis PA. Pada ΔTPA siku-siku di T dengan panjang TP = 12 cm dan TA = 6 2 cm. PA = 2 2 TP + TA = ( ) 2 2 12 + 6 2 = 144 + 72 = 216 = 6 6 cm Jadi, jarak titik P terhadap diagonal UW adalah 6 6 cm. c. Jarak titik R terhadap rusuk PV E F D A B C 6 cm H G Q H P G E F A B C D 16 cm 4 cm 3 cm W V R T P Q S U 12 cm W V R T P Q S U A W V R T P Q S U 12 cm A

Matematika Kelas XII 13 Jarak titik P terhadap rusuk TR yaitu panjang ruas garis PA. Pada ΔPQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = 8 cm dan QR = 6 cm. PR = 2 2 PQ + QR = 2 2 8 +6 = 64 + 36 = 100 = 10 cm Pada ΔTPQ dengan panjang TP = 10 cm, TR = 10 cm, dan PR = 10 cm sehingga ΔTPQ merupakan segitiga sama sisi. Akibatnya titik A terletak di pertengahan rusuk TR. Pada ΔPAR siku-siku di A dengan panjang PR = 10 cm dan RA = 5 cm. PA = 2 2 PR RA − = 2 2 10 5 − = 100 − 25 = 75 = 5 3 cm Jadi, jarak titik P terhadap rusuk TR adalah 5 3 cm. 5. Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik F terhadap garis HP yaitu panjang ruas garis FR. Perhatikan ΔABD siku-siku di A maka: BD= 2 2 AB + AD = 2 2 8 +6 = 64 + 36 = 100 = 10 cm Oleh karena BP : PD = 4 : 1 diperoleh: PD = 1 1+4 × 10 = 1 5 × 10 = 2 cm Perhatikan ΔPFH dengan: 1) Panjang FH = BD = 10 cm 2) Panjang PH PH = 2 2 DH + PD = 2 2 4 +2 = 16 + 4 = 20 = 2 5 cm Pada ΔPFH berlaku: FH × PQ= PH × FR ⇔ 10 × 4 = 2 5 × FR ⇔ 10 × 2 = 5 × FR ⇔ FR = 20 5 = 4 5 cm Jadi, jarak titik F terhadap garis HP adalah 4 5 cm. 6. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik R terhadap diagonal PV yaitu panjang ruas garis RA. Pada ΔPRV siku-siku di R dengan panjang PR = 12 2 cm, RV = 12 cm, dan PV = 12 3 cm. Pada ΔPRV berlaku: RA × PV = PR × RV ⇔ RA × 12 3 = 12 2 × 12 ⇔ RA = 3 12 2 = 12 6 3 = 4 6 cm Jadi, jarak titik R terhadap diagonal PV adalah 4 6 cm. 4. Limas beraturan T.PQRS disajikan seperti berikut. T Q R P S A 6 cm 8 cm 10 cm B C D E F G H P Q R A 4 cm 6 cm 8 cm H G F E C A B Q D L M R K 4 cm P P K O L M

14 Dimensi Tiga Jarak titik P terhadap bidang BCRQ sama dengan jarak titik P terhadap garis KL yaitu panjang ruas garis PM. Perhatikan segitiga LKP dengan: 1) Panjang KL = BQ BQ= 2 2 AB + AQ = 2 2 4 +2 = 16 + 4 = 20 = 2 5 cm 2) Panjang PK = KL = 2 5 cm 3) Panjang PL PL = 2 2 PL + PO = 2 2 2 +2 = 4+4 = 8 = 2 2 cm Oleh karena panjang PK = KL maka ΔLKP sama kaki sehingga titik O terletak di tengah PL maka panjang LO = 1 2 PL = 2 cm. Perhatikan ΔKOL siku-siku di O maka: KO = 2 2 KL LO − = 2 2 (2 5) ( 2) − = 20 2 − = 18 = 3 2 cm Pada ΔLKP berlaku: LP × KO = KL × PM ⇔ 2 2 × 3 2 = 2 5 × PM ⇔ 12 = 2 5 × PM ⇔ 6 = 5 × PM ⇔ PM = 6 5 = 6 5 5 cm Jadi, jarak titik P terhadap bidang BCRQ adalah 6 5 5 cm. 7. Titik P pada limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik P terhadap bidang TBC sama dengan jarak titik P terhadap garis TQ yaitu panjang ruas garis PR. Pada ΔTOQ siku-siku di O dengan panjang TO = 12 cm dan OQ = 9 cm. TQ = 2 2 TO OQ − = 2 2 12 9 + = 144 81 + = 225 = 15 cm Pada ΔTPQ berlaku: PR × TQ = PQ × TO ⇔ PR × 15 = 18 × 12 ⇔ PR × 15 = 216 ⇔ PR = 14,4 cm Jadi, jarak titik P terhadap bidang TBC adalah 14,4 cm. 8. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis PQ dan bidang DBG saling sejajar. Pilih titik yang terletak pada PQ, misalkan titik S. Tarik garis dari titik S sehingga tegak lurus ruas garis OG. Jarak ruas garis PQ terhadap bidang DBG yaitu panjang ruas garis ST. Perhatikan ΔSOG dengan: 1) Panjang OG Panjang AC = 8 2 cm (diagonal sisi) sehingga panjang OC = 4 2 cm. B C A Q T R P D 12 cm T R P O Q 18 cm 8 cm H G P E A C B R F T D O S Q

Matematika Kelas XII 15 OG = 2 2 OC + CG = 2 2 (4 2) + 8 = 32 + 64 = 96 = 4 6 cm 2) Panjang SG = 3 4 EG = 3 4 × 8 2 = 6 2 cm 3) Panjang SO SO = 2 2 SR + RO = 2 2 (2 2) + 8 = 8 + 64 = 72 = 6 2 cm Oleh karena panjang SG = SO maka ΔSOG merupakan segitiga sama kaki. Dengan demikian, titik T terletak di tengah OG sehingga panjang OT = 1 2 OG = 1 2 × 4 6 = 2 6 cm. Perhatikan ΔSTO siku-siku di T maka: ST = 2 2 SO OT − = 2 2 (6 2) (2 6) − = 72 24 − = 48 = 4 3 cm Jadi, jarak ruas garis PQ terhadap bidang DBG adalah 4 3 cm. 9. Kubus KLMN.OPQR disajikan seperti berikut. Bidang KPR dan bidang LQN saling sejajar. Pilih titik yang terletak pada bidang KPQ, misalkan titik B. Tarik garis dari titik B sehingga tegak lurus dengan ruas garis AG. Jarak antara bidang KPR dan bidang LQN yaitu panjang ruas garis BT. Perhatikan ΔABQ siku-siku di B dengan: 1) Panjang AB = MQ = 12 cm 2) Panjang BQ Panjang OQ = 12 2 cm (diagonal sisi) sehingga panjang BQ = 1 2 OQ = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm. 3) Panjang AQ AQ = 2 2 AB + BQ = 2 2 12 + (6 2) = 144 + 72 = 216 = 6 6 cm Pada ΔABQ berlaku: AB × BQ = AQ × BT ⇔ 12 × 6 2 = 6 6 × BT ⇔ 12 × 2 = 6 × BT ⇔ BT = 12 2 6 = 3 12 = 4 3 cm Jadi, jarak antara bidang KPR dan bidang LQN adalah 4 3 cm. 10. Kerangka kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. 12 cm R Q O K M L B P T N A Tinggi titik G dari permukaan meja yaitu panjang ruas garis GG′. Berdasarkan gambar di atas diperoleh: 1) Panjang CC′ = 4 cm 2) Panjang AC = 4 2 cm (diagonal sisi) Perhatikan ΔAC′C siku-siku di C′ maka: AC′= 2 2 AC CC − ′ = 2 2 (4 2) 4 − A B C D E F G H C′ 4 4 4 C G P A G′ C′ 4 4

16 Dimensi Tiga = 32 16 − = 16 ` = 4 cm Oleh karena panjang AC′ = CC′ maka ΔACC′ merupakan segitiga siku-siku sama kaki sehingga ∠CAC′ = 45°. Besar ∠PCA = ∠CAC′ = 45° (pasangan sudut dalam berseberangan). Pada kubus ABCD.EGH diketahui besar ∠ACG = 90° maka besar ∠PCG = 45°. Pada ΔPCG berlaku: sin ∠PCG = PG CG ⇔ sin 45° = PG 4 ⇔ 2 2 = PG 4 ⇔ PG = 2 2 cm Dengan demikian: GG′ = PG + PG′ = 2 2 + 4 Jadi, ketinggian titik G dari permukaan meja adalah (2 2 + 4) cm.

Matematika Kelas XII 17 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis PF dan PB berpotongan di titik P. Sudut antara ruas garis PF dan PB yaitu ∠BPF. Oleh karena perbandingan AP : PB = 2 : 1 maka panjang PB = 1 3 × 12 = 4 cm. Pada ΔPBF siku-siku di B dengan panjang PB = 4 cm dan BF = 4 cm sehingga ΔPBF merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Akibatnya besar ∠BPF = ∠PFB = 45°. Jadi, besar sudut antara ruas garis PF dan PB adalah 45°. 2. Jawaban: b Limas T.PQRS disajikan seperti berikut. Ruas garis TR dan PR berpotongan di titik R. Sudut antara ruas garis TR dan PR yaitu ∠TRO. Bidang alas limas berbentuk persegi dengan panjang PQ = 12 cm sehingga panjang PR = 12 2 cm. Titik O terletak di tengah ruas garis PR sehingga panjang OR = 1 2 PR = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm. Perhatikan ΔTOR siku-siku di O maka: cos ∠TRO = OR TR = 6 2 12 = 1 2 2 Oleh karena nilai cos ∠TRO = 1 2 2 maka besar ∠TRO = 45°. Jadi, besar sudut antara ruas garis TR dan PR adalah 45°. A B C D E H G 4 cm 12 cm 6 cm F T R Q P S O 12 cm 12 cm 3. Jawaban: c Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis BD dan DG berpotongan di titik D. Sudut antara ruas garis BD dan DG yaitu ∠BDG. Ruas garis BD, DG, dan BG merupakan diagonal sisi kubus sehingga ketiganya sama panjang. Akibatnya ΔBDG merupakan segitiga sama sisi. Besar setiap sudut pada segitiga sama sisi yaitu 60°. Jadi, besar sudut antara ruas garis BD dan DG adalah 60°. 4. Jawaban: b Balok PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Ruas garis PR dan PV berpotongan di titik P. Sudut antara ruas garis PR dan PV yaitu ∠RPV = α. Perhatikan ΔPRV siku-siku di R dengan panjang RV = 3 cm. 1) BE = 2 2 PQ QR + = 2 2 6 2 + = 36 4 + = 40 = 2 10 cm 2) PV = 2 2 PR RV + = ( )2 2 2 10 3 + = 40 9 + = 49 = 7 cm 6 cm A H G F E D B C P Q R S T W V 3 cm 6 cm 2 cm U α

18 Dimensi Tiga Dengan demikian: sin α = RV PV = 3 7 Jadi, nilai sin α adalah 3 7 . 5. Jawaban: d Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. H G E F A B C D P 8 cm Ruas garis EP dan GH saling bersilangan. Ruas garis GH terletak pada bidang DCHG dan ruas garis EP menembus bidang DCHG di titik P. Pilih ruas garis sejajar GH dan memotong EP di titik P yaitu ruas garis CD. Sudut antara ruas garis EP dan GH yaitu ∠DPE. Perhatikan ΔDPE siku-siku di D dengan: 1) Panjang DP = 1 2 CD = 1 2 × 8 = 4 cm 2) Panjang DE = 8 2 cm (diagonal sisi kubus) 3) Panjang EP EP = 2 2 DE + DP = 2 2 (8 2) + 4 = 128 + 16 = 144 = 12 cm Dengan demikian: sin ∠DPE = DE EP = 8 2 12 = 2 3 2 Jadi, nilai sinus sudut antara ruas garis EP dan GH adalah 2 3 2 . 6. Jawaban: a Sudut antara ruas garis CH dan AE disajikan seperti berikut. Ruas garis CH dan AE saling bersilangan. Ruas garis AE terletak pada bidang ADHE dan ruas garis CH menembus bidang ADHE di titik H. Pilih ruas garis yang sejajar AE dan memotong CH di titik H yaitu ruas garis DH. Sudut antara ruas garis CH dan AE yaitu ∠DHC. Perhatikan ΔDHC sikusiku di D dengan: 1) Panjang DH = 9 cm 2) Panjang DC = 12 cm 3) Panjang CH CH = 2 2 DH + DC = 2 2 9 + 12 = 81 + 144 = 225 = 15 cm Dengan demikian: cos ∠DHC = DH CH = 9 15 = 3 5 Jadi, nilai kosinus sudut antara ruas garis CH dan AE adalah 3 5 . 7. Jawaban: d Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. E H F G D A B C 12 cm 9 cm 8 cm T C A O B D 8 cm 8 2 cm

Matematika Kelas XII 19 Sudut antara ruas garis TA dan bidang ABCD yaitu ∠TAO. Perhatikan ΔTAO siku-siku di O dengan: 1) Panjang TA = 8 2 cm 2) Panjang AO Panjang AC = 8 2 cm sehingga panjang AO = 1 2 AC = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. Dengan demikian: cos ∠TAO = AO TA = 4 2 8 2 = 1 2 Oleh karena nilai cos ∠TAO = 1 2 maka besar ∠TAO = 60°. Cara lain: Perhatikan ΔTAC dengan panjang AC = 8 2 cm. Oleh karena panjang AC = TA = TC maka ΔTAC sama sisi sehingga besar setiap sudutnya 60°. Jadi, besar sudut antara ruas garis TA dan bidang ABCD adalah 60°. 8. Jawaban: b Kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis PT dan bidang PUW yaitu ∠TPO = α. Perhatikan ΔTPO siku-siku di P dengan panjang TP = 4 cm. 1) Panjang TV = 4 2 cm sehingga panjang TO = 2 2 cm. 2) EP = 2 2 PT + TO = ( ) 2 2 4 2 + 2 = 16 + 8 = 24 = 2 6 cm Dengan demikian: cos α = PT PO = 4 2 6 = 2 6 = 1 3 6 W V T U P Q R S 4 cm O α Jadi, nilai cos α adalah 1 3 6 . 9. Jawaban: a Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut yang dibentuk oleh ruas garis PQ dan bidang alas yaitu ∠CPQ = α. Perhatikan ΔPBC siku-siku di B dengan: 1) Panjang PB = 1 2 AB = 1 2 × 12 = 6 cm 2) Panjang BC = 8 cm 3) Panjang PC PC = 2 2 PB + BC = 2 2 6 +8 = 36 + 64 = 100 = 10 cm Perhatikan ΔCPQ siku-siku di C dengan: 1) Panjang CQ = 1 2 CG = 1 2 × 10 = 5 cm 2) Panjang PQ PQ = 2 2 PC + CQ = 2 2 10 + 5 = 100 + 25 = 125 = 5 5 cm Dengan demikian: cos α = PC PQ = 10 5 5 = 2 5 = 2 5 5 Jadi, nilai kosinus sudut yang dibentuk oleh ruas garis PQ dan bidang alas balok adalah 2 5 5 . H G E F A B C D P 12 cm α Q 8 cm 10 cm

20 Dimensi Tiga 10. Jawaban: a Limas T.ABCDEF disajikan seperti berikut. Salah satu rusuk tegak yaitu TA. Sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas yaitu ∠TAO = α. Perhatikan ΔΤAO siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 12 3 cm (tinggi limas) 2) Panjang AO Pada ΔABO diketahui besar ∠AOB = 360° 6 = 60°. Berarti ΔABO sama sisi sehingga panjang AO = AB = 12 cm. 3) Panjang TA TA = 2 2 TO + AO = ( ) 2 2 12 + 12 3 = 432 + 144 = 576 = 24 cm Dengan demikian: cos α = AO TA = 12 24 = 1 2 Jadi, nilai cos α adalah 1 2 . 11. Jawaban: c Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. T A D C O E B F 12 cm α H G E F A B C D P 12 3 cm 10 cm 16 cm Q H Q G P E F′ F O α Sudut antara ruas garis PQ dan bidang BCGF yaitu ∠PQO. Perhatikan ΔPQO siku-siku di O dengan: 1) Panjang PO = HQ = 2 3 × 12 3 = 8 3 cm 2) Panjang QO = HP = 1 2 × 16 = 8 cm Dengan demikian: tan α= PO QO = 8 3 8 = 3 Oleh karena tan α = 3 maka besar α = 60°. Jadi, besar sudut antara ruas garis PQ dan bidang BCGF adalah 60°. 12. Jawaban: c Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD yaitu ∠COG. Perhatikan ΔOCG siku-siku di C dengan: 1) Panjang CG = 6 cm (rusuk) 2) Panjang OC Panjang AC = 6 2 cm (diagonal sisi) sehingga panjang OC = 1 2 AC = 1 2 × 6 2 = 3 2 cm. 3) Panjang OG OG = 2 2 OC + CG = 2 2 (3 2) + 6 = 18 + 36 = 54 = 3 6 cm Dengan demikian: tan ∠COG = CG OC = 6 3 2 = 2 2 = 2 Jadi, nilai tangen sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah 2 . H G E F A B D C O 6 cm

Matematika Kelas XII 21 13. Jawaban: c Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD yaitu ∠TPO = α. Titik P terletak di tengah BC sehingga panjang PC = 1 2 BC = 1 2 × 6 = 3 cm. Perhatikan ΔTOP siku-siku di O dengan: 1) Panjang TP TP = 2 2 TC PC − = 2 2 5 3 − = 25 9 − = 16 = 4 cm 2) Panjang OP = 1 2 AB = 1 2 × 6 = 3 cm 3) Panjang TO TO = 2 2 TP OP − = 2 2 4 3 − = 16 9 − = 7 cm Dengan demikian: cos α = OP TP = 3 4 Jadi, nilai cos α adalah 3 4 . 14. Jawaban: d Titik A pada kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. T C A P α O D 6 cm B 5 cm W V T U P Q R S A 10 cm O Sudut antara bidang AQS dan bidang PQRS yaitu ∠AOR. Perhatikan ΔAOR siku-siku di R dengan: 1) Panjang AR = 1 2 RV = 1 2 × 10 = 5 cm 2) Panjang OR Panjang PR = 10 2 cm sehingga panjang OR = 1 2 PR = 1 2 × 10 2 = 5 2 cm. 3) Panjang OA OA = 2 2 OR + AR = 2 2 (5 2) + 5 = 50 + 25 = 75 = 5 3 cm Dengan demikian: sin ∠AOR = AR OA = 5 5 3 = 1 3 = 1 3 3 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AQS dan bidang PQRS adalah 1 3 3 . 15. Jawaban: b Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang BDE dan bidang BDG yaitu ∠EOG. Perhatikan ΔEOG dengan: 1) Panjang EG = 8 2 cm (diagonal sisi) 2) Panjang EO Panjang AC = EG = 8 2 cm sehingga panjang AO = 1 2 AC = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. EO = 2 2 AE AO + = 2 2 8 (4 2) + = 64 32 + = 96 = 4 6 cm 3) Panjang OG = EO = 4 6 cm Pada ΔEOG berlaku aturan kosinus: cos ∠EOG = 2 22 EO + OG EG 2 × EO × OG − = 222 (4 6) + (4 6) (8 2) 2×4 6×4 6 − E G O H G E F A B D C O 8 cm

22 Dimensi Tiga = 96 + 96 128 192 − = 64 192 = 1 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adalah 1 3 . B. Uraian 1. Titik O pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis OG dan OC berpotongan di titik O. Sudut antara ruas garis OG dan OC yaitu ∠COG. Pada ΔOCG siku-siku di C dengan panjang CG = 5 cm. a. AC = 2 2 AE +EO = ( )2 2 8 + 2 2 = 64 36 + = 100 = 10 cm b. OC = 1 2 × AC = 1 2 × 10 = 5 cm Oleh karena panjang OC = CG = 5 cm maka ΔOCG merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Akibatnya besar ∠COG = ∠CGO = 45°. Jadi, besar besar sudut antara ruas garis OG dan OC adalah 45°. 2. Limas T.ABC disajikan seperti berikut. Sudut antara rusuk TA dan bidang ABC yaitu ∠TAP = α. Perhatikan ΔTAP dengan: a. Panjang TA = 4 cm A B C D E H G 5 cm 8 cm 6 cm F O T A B C OO 4 cm P 4 cm α A O P T b. Panjang AP AP = 2 2 AB BP − = 2 2 4 2 − = 16 4 − = 12 = 2 3 cm c. Panjang TP = AP = 2 3 cm Oleh karena panjang TP = AP maka ΔTAP sama kaki. Titik O di tengah AT maka: OP = 2 2 AP AO − = ( ) 2 2 2 2 3 − = 12 4 − = 8 = 2 2 cm Dengan demikian: sin α = OP AP = 2 2 2 3 = 2 3 = 1 3 6 Jadi, nilai sin α = 1 3 6 . 3. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Hasil proyeksi ruas garis AF pada bidang ABGH yaitu AO. Sudut antara diagonal AF dan bidang ABGH yaitu ∠FAO. Perhatikan ΔAFO siku-siku di O dengan: a. Panjang AF = 4 2 cm (diagonal sisi) b. Panjang FO Panjang CF = AF = 4 2 cm sehingga panjang OF = 1 2 CF = 1 2 × 4 2 = 2 2 cm Dengan demikian: sin ∠FAO = FO AF = 2 2 4 2 = 1 2 H G E F A B C D O 4 cm

Matematika Kelas XII 23 Oleh karena nilai sin ∠FAO = 1 2 maka besar ∠FAO = 30°. Jadi, besar sudut antara diagonal AF dan bidang ABGH adalah 30°. 4. Limas T.PQRS disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TAB dan bidang TPR yaitu ∠CTO. Perhatikan ΔCTO siku-siku di O dengan: a. Panjang TO = 15 cm (tinggi limas) b. Panjang OC Panjang SQ = 12 2 cm sehingga panjang OC = 1 4 SQ = 1 4 × 12 2 = 3 2 cm c. Panjang TC TC = 2 2 TO + OC = 2 2 15 + (3 2) = 225 + 18 = 243 = 9 3 cm Dengan demikian: sin ∠CTO = OC TC = 3 2 9 3 = 2 3 3 = 1 9 6 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang TPR adalah 1 9 6 . T R A P O S B 12 cm Q C H G E F A B C D O 8 cm 5. Titik K dan titik L pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang AKL dan bidang EFGH yaitu ∠AOE. Pada ΔAOE siku-siku di E dengan panjang AE = 8 cm. Oleh karena panjang EG = 8 2 cm panjang EO = 1 4 × 8 2 = 2 2 cm. AO = 2 2 AE EO + = ( ) 2 2 8 22 + = 64 8 + = 72 = 6 2 cm Dengan demikian: cos α = EO AO = 2 2 6 2 = 1 3 Jadi, nilai cos α adalah 1 3 .

24 Dimensi Tiga Dimensi Tiga Jarak Titik, Garis, dan Bidang Dua Garis Bersilangan Garis Terletak pada Bidang Garis Sejajar Bidang Garis Menembus Bidang Dua Bidang Sejajar Dua Bidang Berpotongan Titik Terletak pada Garis Titik Terletak di Luar Bidang Titik Terletak di Luar Garis Titik Terletak pada Bidang Dua Garis Sejajar Dua Garis Berpotongan Keududukan Titik, Garis, dan Bidang Sudut Garis dan Bidang Jarak Dua Titik Jarak Titik terhadap Garis Jarak Titik terhadap Bidang Jarak Dua Garis Sejajar Jarak Garis terhadap Bidang Jarak Dua Bidang Sejajar Sudut Dua Garis Berpotongan Sudut Dua Garis Bersilangan Sudut Garis dan Bidang Sudut Dua Bidang

Matematika Kelas XII 25 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. 1) Titik P terhadap bidang ADHE Titik P terletak pada ruas garis DE, sedangkan ruas garis DE terletak pada bidang ADHE. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang ADHE. Pernyataan (i) salah. 2) Titik P terhadap bidang ACGE Bidang ACGE melalui ruas garis AC, CG, EG, dan AE. Oleh karena titik P terletak di luar keempat ruas garis itu maka titik P terletak di luar bidang ACGE. Pernyataan (ii) salah. 3) Titik P terhadap bidang ABGH Titik P terletak pada ruas garis AH, sedangkan ruas garis AH terletak pada bidang ABGH. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang ABGH. Pernyataan (iii) benar. 4) Titik P terhadap bidang BCHE Bidang BCHE melalui ruas garis BC, CH, HE, dan BE. Oleh karena titik P terletak di luar keempat ruas garis itu maka titik P terletak di luar bidang BCHE. Pernyataan (iv) benar. 5) Titik P terhadap bidang CDEF Titik P terletak pada ruas garis DE, sedangkan ruas garis DE terletak pada bidang CDEF. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang CDEF. Pernyataan (v) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah (iii) dan (iv). 2. Jawaban: d 1) Rusuk KL dan rusuk TK terletak pada bidang satu bidang yaitu bidang TKL. Kedua rusuk mempunyai titik persekutuan yaitu titik K. Dengan demikian, rusuk KL dan rusuk TK saling berpotongan. 2) Rusuk KN dan rusuk LM terletak pada bidang satu bidang yaitu bidang KLMN. Kedua rusuk tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, rusuk KN dan rusuk LM saling sejajar. 3) Rusuk TK dan rusuk TM terletak pada bidang satu bidang yaitu bidang TKM. Kedua rusuk mempunyai titik persekutuan yaitu titik T. Dengan demikian, rusuk TK dan rusuk TM saling berpotongan. 4) Rusuk TL dan rusuk MN tidak terletak pada bidang yang sama. Kedua rusuk tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, rusuk TL dan rusuk MN bersilangan. 5) Rusuk TN dan rusuk KN terletak pada bidang satu bidang yaitu bidang TKN. Kedua rusuk mempunyai titik persekutuan yaitu titik N. Dengan demikian, rusuk TN dan rusuk KN saling berpotongan. Jadi, salah satu pasangan rusuk saling bersilangan adalah rusuk TL dan rusuk MN. 3. Jawaban: c 1) Ruas garis CF dan bidang ABCD Ruas garis CF berpotongan dengan bidang ABCD di titik C. Dengan demikian, ruas garis CF menembus dengan bidang ABCD. 2) Ruas garis BC dan bidang EFGH Ruas garis BC sejajar dengan ruas garis FG, sedangkan ruas garis FG terletak pada bidang EFGH. Dengan demikian, ruas garis BC sejajar dengan bidang EFGH. 3) Ruas garis BG dan bidang ADHE Ruas garis BG sejajar dengan ruas garis AH, sedangkan ruas garis AH terletak pada bidang ADHE. Dengan demikian, ruas garis BG sejajar dengan bidang ADHE. 4) Ruas garis BE dan bidang ABFE Ruas garis BE terletak pada bidang ABFE. 5) Ruas garis BF dan bidang BCHE Ruas garis BF berpotongan dengan bidang BCHE di titik B. Dengan demikian, ruas garis BF menembus dengan bidang BCHE. Jadi, pernyataan yang benar ada pada pilihan c. 4. Jawaban: c 1) Kedudukan BC terhadap TAB Ruas garis BC berpotongan dengan bidang TAB di titik B. Dengan demikian, ruas garis BC berpotongan dengan bidang TAB. Pernyataan (i) benar. P A B D C E H G F

26 Dimensi Tiga 2) Kedudukan AB terhadap TCD Ruas garis AB sejajar ruas garis CD, sedangkan ruas garis CD terletak pada bidang TCD. Dengan demikian, ruas garis AB sejajar dengan bidang TCD. Pernyataan (ii) salah. 3) Kedudukan TC terhadap ABCD Ruas garis TC memotong bidang ABCD di titik C. Ruas garis TC berpotongan dengan bidang ABCD. Pernyataan (iii) salah. 4) Kedudukan BC terhadap TAD Ruas garis BC sejajar ruas garis AD, sedangkan ruas garis AD terletak pada bidang TAD. Dengan demikian, ruas garis BC sejajar dengan bidang TAD. Pernyataan (iv) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i) dan (iv). 5. Jawaban: a Hasil perpotongan kedua bidang disajikan seperti berikut. Bidang PQVW dan bidang QRWT pada garis QW. Jadi, hasil perpotongannya adalah garis QW. 6. Jawaban: c Bidang α dan bidang β disajikan seperti berikut. Berdasarkan gambar di atas diperoleh: 1) Titik A terletak pada bidang α. 2) Titik A terletak pada bidang β. 3) Garis g terletak pada bidang β. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (ii), dan (iv). 7. Jawaban: c Titik A pada kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. W V T U P Q R S A g α β h W V T U P Q R S A 8 cm Jarak antara titik A dan titik V yaitu panjang ruas garis AV. Pada ΔAQV siku-siku di Q dengan panjang AP = 4 cm dan 8 2 cm. AV = 2 2 AQ + QV = 2 2 4 2 + (8 ) = 16 + 128 = 144 = 12 cm Jadi, jarak antara titik A dan titik V adalah 12 cm. 8. Jawaban: d Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik A dan titik P yaitu panjang ruas garis AP. Perhatikan ΔAHP siku-siku di H dengan: 1) Panjang AH AH = 2 2 AD + DH = 2 2 2 +2 = 4+4 = 8 = 2 2 cm 2) Panjang HP = 1 2 CH = 1 2 × 4 = 2 cm 3) Panjang AP AP = 2 2 AH + HP = 2 2 (2 2) + 2 = 8+4 = 12 = 2 3 cm Jadi, jarak antara titik A dan titik P adalah 2 3 cm. 9. Jawaban: b Limas T.KLMN disajikan seperti berikut. H 2 cm G E C P 2 cm F 4 cm A B D E T K M L N O 8 cm 8 cm 4 cm

Matematika Kelas XII 27 Jarak antara titik T dan titik L yaitu panjang ruas garis TL. Perhatikan ΔTOL siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 4 cm (tinggi limas) 2) Panjang OL Bidang alas limas berbentuk persegi dengan panjang KL = 8 cm maka panjang LN = 8 2 cm. Titik O terletak di tengah LN sehingga panjang OL = 1 2 LN = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. 3) Panjang TL TL = 2 2 TO + OL = 2 2 4 + (4 2) = 16 + 32 = 48 = 4 3 cm Jadi, jarak antara titik T dan titik L adalah 4 3 cm. 10. Jawaban: a Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik B terhadap ruas garis PG yaitu panjang ruas garis FO. Perhatikan ΔPFG siku-siku di F dengan: 1) Panjang FG = 12 cm 2) Panjang PF = 3 1+3 × EF = 3 4 × 12 = 9 cm 3) Panjang PG PG = 2 2 PF + FG = 2 2 9 + 12 = 81 + 144 = 225 = 15 cm Pada ΔPFG berlaku: PF × FG = PG × FO ⇔ 9 × 12 = 15 × FO ⇔ 108 = 15 × FO ⇔ FO = 7,2 cm Jadi, jarak titik B terhadap ruas garis PG adalah 7,2 cm. 11. Jawaban: a Titik A pada kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Jarak titik V terhadap ruas garis TA yaitu panjang ruas garis OV. Perhatikan ΔTAV siku-siku di V dengan panjang AV = 3 cm dan TV = 6 2 cm. TA = 2 2 TV + AV = 2 2 (6 2) + 3 = 72 + 9 = 81 = 9 cm Pada ΔTAV berlaku: OV × ΤΑ = TV × AV ⇔ OV × 9 = 6 2 × 3 ⇔ OV × 9 = 18 2 ⇔ OV = 2 2 cm Jadi, jarak titik V terhadap garis TA adalah 2 2 cm. 12. Jawaban: e Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti gambar berikut. Jarak titik B terhadap diagonal EG yaitu panjang ruas garis BP. Segitiga BEG mempunyai panjang BE = BG = EG = 4 2 cm. Berarti ΔBEG sama sisi sehingga titik P terletak di tengah EG. Panjang PG = 1 2 EG = 1 2 × 4 2 = 2 2 cm. H G E F A B D 12 cm P C O F G O P W A V S Q T P 6 cm R U O H G E A 4 cm B C F D P

28 Dimensi Tiga Segitiga BPG siku-siku di P maka: BP = 2 2 BG PG − = 2 2 (4 2) (2 2) − = 32 8 − = 24 = 2 6 cm Jadi, jarak titik B terhadap diagonal EG adalah 2 6 cm. 13. Jawaban: a Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik C terhadap rusuk TA yaitu panjang ruas garis CP. Perhatikan ΔTAC dengan: 1) Panjang TA = TC = 8 2 cm 2) Panjang AC Bidang alas limas ABCD berbentuk persegi. Oleh karena panjang AB = 8 cm maka panjang AC = 8 2 cm. Pada ΔATC diketahui panjang TA = TC = AC = 8 2 cm berarti ΔTAC sama sisi. Titik P terletak di tengah AT sehingga AP = 1 2 AT = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. Perhatikan ΔAPC siku-siku di P maka: CP = 2 2 AC AP − = 2 2 (8 2) (4 2) − = 128 32 − = 96 = 4 6 cm Jadi, jarak titik C terhadap rusuk TA adalah 4 6 cm. T A C P T C B A D P 8 cm 8 2 cm 14. Jawaban: d Titik T pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik A terhadap ruas garis CT yaitu panjang ruas garis AP. Perhatikan ΔTAC dengan: 1) Panjang AC = 12 2 cm (diagonal sisi kubus) 2) Panjang AT AT = 2 2 AE + ET = 2 2 12 + (6 2) = 144 + 72 = 216 = 6 6 cm 3) Panjang TC = AT = 6 6 cm Pada ΔATC berlaku: AC × TQ = TC × AP ⇔ 12 2 × 12 = 6 6 × AP ⇔ 24 2 = 6 × AP ⇔ AP = 24 2 6 ⇔ AP = 24 3 ⇔ AP = 8 3 cm Jadi, jarak titik A terhadap ruas garis CT adalah 8 3 cm. 15. Jawaban: b Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. T A C P Q H G E F A B C D P 12 cm T T O P Q C T A B D Q O 12 cm P

Matematika Kelas XII 29 Jarak titik O terhadap bidang TBC yaitu panjang ruas garis OQ. Perhatikan ΔTOP siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 8 cm 2) Panjang OP = 1 2 AB = 1 2 × 12 = 6 cm 3) Panjang TP TP = 2 2 TO + OP = 2 2 8 +6 = 64 + 36 = 100 = 10 cm Pada ΔTOP berlaku: TO × OP = TP × OQ ⇔ 8 × 6 = 10 × OQ ⇔ 48 = 10 × OQ ⇔ OQ = 4,8 cm Jadi, jarak titik O terhadap bidang TBC adalah 4,8 cm. 16. Jawaban: a Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik K terhadap bidang BDHF yaitu panjang ruas garis KO. Perhatikan ΔKBD dengan: 1) Panjang BD = 8 2 cm 2) Panjang KD Perbandingan KA : KD = 1 : 3 maka perbandingan KA : AD = 1 : 2. Oleh karena panjang AD = 8 cm maka panjang KA = 4 cm. KD = KA + AD = 4 + 8 = 12 cm Pada ΔKBD berlaku: KD × AB = BD × KO ⇔ 12 × 8 = 8 2 × KO ⇔ 12 = 2 × KO ⇔ KO = 6 2 cm Jadi, jarak titik K terhadap bidang BDHF adalah 6 2 cm. H G E F A B D C K 12 cm D K B O A 17. Jawaban: d Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis BC dan EH saling sejajar. Untuk menentukan jarak keduanya yaitu pilih titik yang terletak pada ruas garis BC, misalkan titik B. Tarik garis dari titik B yang tegak lurus dengan ruas garis EH. Titik potongnya di titik E. Dengan demikian, jarak antara ruas garis BC dan EH yaitu panjang ruas garis BE. Pada ΔABE siku-siku di A dengan panjang AB = 8 cm dan AE = 6 cm. BE = 2 2 AB + AE = 2 2 8 +6 = 64 +36 = 100 = 10 cm Jadi, jarak antara ruas garis BC dan EH adalah 10 cm. 18. Jawaban: d Kubus PQRS.TUVW disajikan seperti gambar berikut. Jarak antara bidang PUW dan bidang QVS yaitu panjang ruas garis BC. Perhatikan ΔABV siku-siku di B dengan: 1) Panjang AB = 6 cm 2) Panjang BV Panjang TV = 6 2 cm sehingga panjang BV = 1 2 TV = 1 2 × 6 2 = 3 2 cm. 3) Panjang AV AV = 2 2 AB + BV = 2 2 6 + (3 2) H 6 cm G E C 5 cm F A 8 cm B D E W V B T R P Q S C U 6 cm A

30 Dimensi Tiga = 36 + 18 = 54 = 3 6 cm Pada ΔABV berlaku: AB × BV = AV × BC ⇔ 6 × 3 2 = 3 6 × BC ⇔ 6 2 = 6 × BC ⇔ BC = 6 2 6 = 6 3 = 2 3 cm Jadi, jarak antara bidang PUW dan bidang QVS adalah 2 3 cm. 19. Jawaban: d Limas T.ABCD disajikan seperti gambar berikut. Sudut antara ruas garis TA dan TC yaitu ∠ATC. Perhatikan ΔATC dengan: 1) Panjang TA = TC = 6 cm 2) Panjang AC = 6 2 cm Pada ∠ATC berlaku aturan kosinus: cos ∠ATC = 22 2 AT + TC AC 2 × AT × TC − = 22 2 6 + 6 (6 2) 2×6×6 − = 36 + 36 72 2×6×6 − = 0 2×6×6 = 0 Oleh karena nilai cos ∠ATC = 0 maka besar ∠ATC = 90°. Cara lain: Perhatikan pada ΔATC berlaku AT2 + TC2 = AC2 maka ΔATC siku-siku di T. Jadi, besar sudut antara ruas garis TA dan TC adalah 90°. T C A B D 6 cm 6 cm 20. Jawaban: b Balok PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis TQ dan ruas garis QW yaitu ∠TQW = α. Perhatikan ΔTWQ siku-siku di T dengan: 1) Panjang TW = 20 cm 2) Panjang TQ TQ = 2 2 TP + PQ = 2 2 9 + 12 = 81 + 144 = 225 = 15 cm 3) Panjang QW QW= 2 2 TQ + TW = 2 2 15 + 20 = 225 + 400 = 625 = 25 cm Dengan demikian: cos α = TQ QW = 15 25 = 3 5 Jadi, nilai cos α adalah 3 5 . 21. Jawaban: d Kubus KLMN.OPQR disajikan seperti gambar berikut. W V R T P Q S U 12 cm 9 cm 20 cm α 2 cm R Q O P M N K L

Matematika Kelas XII 31 Diagonal LQ dan diagonal PR saling bersilangan. Diagonal LQ terletak pada bidang LMQP. Buat ruas garis sejajar PR dan memotong LQ yaitu ruas garis LN. Ruas garis LN dan LP berpotongan di titik P. Sudut antara diagonal LQ dan diagonal PR yaitu ∠QLN. Pada ΔQLN diketahui panjang LQ = LN = QN sehingga ΔQLN sama sisi. Dengan demikian, besar ∠QLN = 60°. Jadi, besar sudut antara diagonal LQ dan diagonal PR adalah 60°. 22. Jawaban: b Ruas garis EH dan BD saling bersilangan. Ruas garis EH terletak pada bidang ADHE, sedangkan ruas garis BD menembus bidang ADHE. Pilih ruas garis yang sejajar EH dan berpotongan dengan ruas garis BD yaitu AD. Sudut antara ruas garis EH dan BD yaitu ∠ADB = α. Pada ΔABD siku-siku di A dengan panjang AB = 12 cm dan AD = 6 cm. BD = 2 2 AB + AD = 2 2 12 + 6 = 144 + 36 = 180 = 6 5 cm Dengan demikian: sin α = AB AD = 12 6 5 = 2 5 = 2 5 5 Jadi, nilai sin α adalah 2 5 5 . 23. Jawaban: a Limas T.ABC disajikan seperti berikut. Sudut antara rusuk TC dan bidang ABC yaitu ∠TCD = α. Perhatikan ΔTCD dengan: 1) Panjang TC = 6 3 cm 2) Panjang CD CD = 2 2 BC BD − = 2 2 6 3 − = 36 9 − = 27 = 3 3 cm 3) Panjang TD TD = 2 2 TB BD − = 2 2 (6 3) 3 − = 108 9 − = 99 = 3 11 cm Pada ΔTCD berlaku aturan kosinus: cos α = 222 TC + CD TD 2 × TC × CD − = 22 2 (6 3) + (3 3) (3 11) 2×6 3×3 3 − = 108 + 27 99 108 − = 36 108 = 1 3 Jadi, nilai cos α adalah 1 3 . 24. Jawaban: d Limas T.KLMN disajikan seperti berikut. Sudut antara rusuk TK dan bidang KLMN yaitu ∠TKM. Perhatikan ΔTKM dengan: 1) Panjang TK = TM = 4 2 cm 2) Panjang KM Bidang KLMN berbentuk persegi dengan panjang KL = 4 cm sehingga panjang KM = 4 2 cm. H 4 cm G E C 6 cm F A 12 cm B D E T A C B D 6 3 3 6 3 T D C α 6 3 T K 4 cm L M N 4 2 cm

32 Dimensi Tiga Oleh karena ΔTKM mempunyai tiga sisi sama panjang sehingga ΔTKM sama sisi. Dengan demikian, besar ∠TKM = 60°. Jadi, besar sudut antara rusuk TK dan bidang KLMN adalah 60°. 25. Jawaban: c Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis PF dan bidang ACGE yaitu ∠OAF′. Perhatikan ΔOAF′ siku-siku di O dengan: 1) Panjang AO Panjang EO = 1 4 EG = 1 4 × 8 2 = 2 2 cm AO = 2 2 AE + EO = 2 2 8 (2 2) + = 64 + 8 = 72 = 6 2 cm 2) Panjang OF′ = 1 4 FH = 1 4 × 8 2 = 2 2 cm Dengan demikian: tan ∠OAF′ = OF AO ′ = 2 2 6 2 = 1 3 Jadi, nilai tangen sudut antara ruas garis PF dan bidang ACGE adalah 1 3 . 26. Jawaban: b Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara rusuk BF dan bidang BEG yaitu ∠PBF = α. Perhatikan ΔPBF siku-siku di F dengan: 1) Panjang BF = 4 cm 2) Panjang PF = 1 2 FH = 1 2 × 4 2 = 2 2 cm H G E F A B C D F′ 4 cm 8 cm O P 4 cm H G E F A B C D α P 3) Panjang BP BP = 2 2 BF + PF = ( )2 2 4+22 = 16 + 8 = 24 = 2 6 cm Dengan demikian: sin α = PF BP = 2 2 2 6 = 1 3 = 1 3 3 Jadi, nilai sin α = 1 3 3 . 27. Jawaban: e Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TAD dan bidang TBC yaitu ∠PTQ = θ. Perhatikan ΔTPQ dengan: 1) Panjang TP TP = 2 2 TA AP − = 2 2 5 1 − = 25 1 − = 24 = 2 6 cm 2) Panjang PQ = 2 cm 3) Panjang TQ = TP = 2 6 cm Pada ΔTPQ berlaku aturan kosinus: cos θ = 222 TP + TQ PQ 2 × TP × TQ − = 2 22 (2 6) + (2 6) 2 2×2 6×2 6 − = 24 + 24 4 48 − = 44 48 = 11 12 Jadi, nilai cos θ = 11 12 . 2 cm 5 cm A T C B Q D P θ

Matematika Kelas XII 33 28. Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang BPD dan bidang ABCD yaitu ∠POC. Perhatikan ΔPOC dengan: 1) Panjang PC = 1 2 TC = 1 2 × 12 = 6 cm 2) Panjang OC = 1 2 AC = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm 3) Panjang OP ΔPOC sebangun ΔTAC sehingga berlaku: PC TC = PO TA ⇔ 6 12 = PO 12 ⇔ PO = 6 cm Pada ΔPOC diketahui panjang PO = PC sehingga ΔPOC sama kaki. Titik Q terletak di tengah OC sehingga: cos ∠POC = OQ PO = 3 2 6 = 1 2 2 Oleh karena nilai cos ∠POC maka besar ∠POC = 45°. Jadi, besar sudut antara bidang BPD dan bidang ABCD adalah 45°. 29. Jawaban: c Balok PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. T P A C B O D 12 cm P O C Q P Q T W V R X U O Y S 8 cm 4 cm 3 cm 2 cm Sudut antara bidang PQXY dengan bidang PQUT yaitu ∠OQX. Perhatikan ΔOQX siku-siku di O dengan: 1) Panjang OX = QR = 4 cm 2) Panjang QO = RX = 3 3+2 × 5 = 3 cm 3) Panjang QX QX = 2 2 QO + OX = 2 2 3 +4 = 9 + 16 = 25 = 5 cm Dengan demikian: sin ∠OQX = OX QX = 4 5 Jadi, nilai sinus sudut antara bidang PQXY dengan bidang PQUT adalah 4 5 . 30. Jawaban: b Limas T.ABCDEF disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TAB dan bidang alas yaitu ∠TPO = α. Perhatikan ΔTOP siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 8 3 cm 2) Panjang PO Besar ∠AOB = 60° sehingga segitiga ABO sama sisi maka panjang AO = AB = BO = 8 cm. PO = 2 2 AO AP − = 2 2 8 4 − = 64 16 − = 48 = 4 3 cm A T D B C 8 cm O F E P α

34 Dimensi Tiga 3) Panjang TP TP = 2 2 TO + PO = 2 2 (8 3) + (4 3) = 192 + 48 = 240 = 4 15 cm Dengan demikian: sin α = TO TP = 8 3 4 15 = 2 5 = 2 5 5 Jadi, nilai sin α = 2 5 5 . B. Uraian 1. a. Kedudukan titik C terhadap garis AH Garis AH tidak melalui titi C. Dengan demikian, titik C terletak di luar garis AH. b. Kedudukan titik B terhadap bidang ABFE Bidang ABFE melaui titik A, B, F, dan E. Oleh karena titik B dilalui bidang ABFE maka titik B terletak pada bidang ABFE. c. Kedudukan garis CE terhadap garis BG Garis CE dan garis BG tidak terletak pada bidang yang sama. Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis CE bersilangan dengan garis BG. d. Kedudukan garis CE terhadap bidang ABGH Bidang ABGH melalui titik A, B, G, dan H akibatnya garis BH terletak pada bidang ABGH. Garis CE berpotongan dengan garis BH. Dengan demikian, garis CE menembus bidang ABGH. 2. Bidang α dan bidang β disajikan seperti berikut. a. Kedudukan titik T terhadap bidang β Berdasarkan gambar di atas, titik T terletak di luar bidang β. b. Kedudukan garis p terhadap garis r Berdasarkan gambar di atas, garis p dan garis r saling bersilangan. r β T q p α 3. Cermati gambar berikut. Jarak antara titik A dan titik T yaitu panjang ruas garis AT. Perhatikan ΔAOT siku-siku di O dengan: a. Panjang AO Panjang AE = 8 cm dan EH = 8 cm maka panjang AH = 8 2 cm. Titik O di tengah AH sehingga panjang AO = 1 2 AH = 4 2 cm. b. Panjang OT Segitiga BPT siku-siku di P dengan panjang BP = AO = 4 2 cm dan panjang TB = 6 cm. PT = 2 2 TB BP − = 2 2 6 (4 2) − = 36 32 − = 4 = 2 cm Panjang OT = OP + PT = 5 + 2 = 7 cm c. Panjang AT AT = 2 2 AO + OT = 2 2 (4 2) + 7 = 32 + 49 = 81 = 9 cm Jadi, jarak antara titik A dan titik T adalah 9 cm. 4. Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. H G E F A B C D T 5 cm 8 cm 6 cm 8 cm P O T O D C P A B 9 cm 6 cm 3 cm 3 cm

Matematika Kelas XII 35 Jarak titik P terhadap rusuk TA yaitu panjang ruas garis PO. Perhatikan ΔTAP dengan: a. Panjang TA = 9 cm b. Panjang AP AP = 2 2 AB + BP = 2 2 6 +3 = 36 + 9 = 45 = 3 5 cm c. Panjang TP TP = 2 2 TC PC − = 2 2 9 3 − = 81 9 − = 72 = 6 2 cm Untuk menentukan panjang OP dapat digunakan pemisalan panjang TO = x cm sehingga panjang AO = (9 – x) cm. Pada ΔTAP berlaku: AP2 – AO2 = TP2 – TO2 ⇔ (3 5 )2 – (9 – x)2 = (6 2 )2 – x2 ⇔ 45 – (81 – 18x + x2) = 72 – x2 ⇔ –36 + 18x – x2 = 72 – x2 ⇔ –36 + 18x = 72 ⇔ 18x = 108 ⇔ x = 6 Dengan demikian: OP = 2 2 TP TO − = 2 2 (6 2) 6 − = 72 36 − = 36 = 6 cm Jadi, jarak titik P terhadap rusuk TA adalah 6 cm. 5. Titik K pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik C terhadap bidang BDK yaitu panjang ruas garis CP. Pada ΔOCK siku-siku di C dengan panjang CK = 3 cm dan OC = 3 2 cm. OK = 2 2 OC CK + = ( ) 2 2 3 3 2 + = 18 9 + = 27 = 3 3 cm Pada ΔOCK berlaku: CP × ΟΚ = ΟC × CΚ ⇔ CP × 3 3 = 3 × 3 2 ⇔ CP × 3 3 = 9 2 ⇔ CP = 9 2 3 3 = 9 6 9 = 6 cm Jadi, jarak titik C terhadap bidang BDK adalah 6 cm. 6. Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik G terhadap bidang OPQ yaitu panjang ruas garis GY. Perhatikan ΔXOG dengan: a. Panjang OG AC= 2 2 AB + BC = 2 2 16 + 12 = 256 + 144 = 400 = 20 cm OG = 2 2 OC + CG = 2 2 10 + 10 = 100 + 100 = 200 = 10 2 cm b. Panjang XG = 3 4 EG = 3 4 × 20 = 15 cm c. Panjang OX OX= 2 2 OT + TX E H G A C O X T P D F Y B 10 cm 12 cm 16 cm Q T X G Y O

36 Dimensi Tiga = 2 2 10 + 5 = 100 + 25 = 125 = 5 5 cm Pada ΔXOG berlaku: XG × OT = OX × GY ⇔ 15 × 10 = 5 5 × GY ⇔ 150 = 5 5 × GY ⇔ 30 = 5 × GY ⇔ GY = 30 5 = 6 5 cm Jadi, jarak titik G terhadap bidang OPQ adalah 6 5 cm. 7. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik P terhadap bidang ACGE yaitu panjang ruas garis PR. Perhatikan ΔPEG dengan: a. Panjang PE = 1 2 EH = 1 2 × 12 = 6 cm b. Panjang EG = 12 2 cm (diagonal sisi kubus) Pada ΔPEG berlaku: PE × HG = EG × PR ⇔ 6 × 12 = 12 2 × PR ⇔ 6 = 2 × PR ⇔ PR = 6 2 = 3 2 cm Jadi, jarak titik P terhadap bidang ACGE adalah 3 2 cm. 8. Limas beraturan T.ABCD disajikan seperti berikut. H G F P E R H G E F A B C D P 12 cm Sudut antara rusuk TA dan TC yaitu ∠ATC = α. Perhatikan ΔTAC dengan: a. AC= 4 2 cm b. TC = 2 2 TO OC + = 2 2 4 (2 2) + = 16 8 + = 24 = 2 6 cm Pada ΔTAC berlaku aturan kosinus: cos α = 22 2 TA TC AC 2 TA TC + − × × = 222 (2 6) (2 6) (4 2) 2 26 26 + − × × = 24 24 32 48 + − = 16 48 = 1 3 Jadi, nilai cos α adalah 1 3 . 9. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis CP dan bidang EFGH yaitu ∠GEC′ = α. Perhatikan ΔGEC′ siku-siku di G dengan: a. Panjang GC′ = 1 2 CG = 1 2 × 6 = 3 cm b. Panjang EG = 6 2 cm c. Panjang EC′ EC′ = 2 2 EG + GC′ = 2 2 (6 2) + 3 = 72 + 9 = 81 = 9 cm Dengan demikian: sin α = GC EC ′ ′ = 3 9 = 1 3 Jadi, nilai sin α adalah 1 3 . 10. Titik P, titik Q, dan titik R pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. T A 4 cm B D C 4 cm 12 cm H G E F A B C D R P O Q

Matematika Kelas XII 37 Sudut antara bidang PQR dan bidang ABCD yaitu ∠COR = α. Perhatikan ΔCOR siku-siku di C dengan ukuran: a. CR = 1 2 × 12 = 6 cm b. OC = 3 4 × 12 2 = 9 2 cm Dengan demikian: tan α = CR OC = 2 6 9 = 6 18 2 = 1 3 2 Jadi, nilai tan α adalah 1 3 2 .

38 Penilaian Tengah Semester 1 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. 1) Kedudukan titik P terhadap bidang ACGE Bidang ACGE tidak melalui titik P, berarti titik P terletak di luar bidang ACGE. Pernyataan (i) salah. 2) Kedudukan titik P terhadap bidang BCHE Bidang BCHE tidak melalui titik P, berarti titik P terletak di luar bidang BCHE. Pernyataan (ii) benar. 3) Kedudukan titik P terhadap bidang CDEF Titik P terletak pada garis CF, sedangkan garis CF terletak pada bidang CDEF. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang CDEF. Pernyataan (iii) benar. 4) Kedudukan titik P terhadap bidang BCGF Titik P terletak pada garis CF dan garis BG, sedangkan kedua garis itu terletak pada bidang BCGF. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang BCGF. Pernyataan (iv) benar. 5) Kedudukan titik P terhadap bidang ABGH Titik P terletak pada garis BG, sedangkan garis BG terletak pada bidang ABGH. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang ABGH. Pernyataan (v) salah. Jadi, pernyataan yang benar yaitu (ii), (iii), dan (iv). 2. Jawaban: c 1) Kedudukan garis TK dan garis TM Garis TK dan garis TM terletak pada bidang yang sama yaitu bidang TKM. Keduanya mempunyai titik persekutuan di titik T. Dengan demikian, garis TK berpotongan dengan garis TM. 2) Kedudukan garis TM dan garis KN Garis TM dan garis KN tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis TM bersilangan dengan garis KN. 3) Kedudukan garis TL dan garis MN Garis TL dan garis MN tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis TL bersilangan dengan garis MN. 4) Kedudukan garis KN dan garis LM Garis KN dan garis LM terletak pada bidang yang sama yaitu bidang KLMN. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis KN sejajar dengan garis LM. 5) Kedudukan garis TK dan garis MN Garis TK dan garis MN tidak terletak pada bidang yang sama. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis TK bersilangan dengan garis MN. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 3. Jawaban: e 1) Garis BG dan bidang EFGH Bidang EFGH melalui titik E, F, G, dan H. Garis BG melalui titik B dan titik G. Oleh karena titik B terletak di luar bidang EFGH maka garis BG memotong/menembus bidang EFGH. 2) Garis AC dan bidang ABCD Bidang ABCD melalui titik A, B, C, dan D. A B D C E F H G P

Matematika Kelas XII 39 A B D C E F H G 8 cm O K L M N T 4 cm 2 cm K M P O T O Garis AC melalui titik A dan titik C. Oleh karena titik A dan titik C terletak pada bidang ABCD maka garis AC terletak pada bidang ABCD. 3) Garis AD dan bidang CDHG Garis AD memotong/menembus bidang CDHG di titik D. 4) Garis AE dan bidang ACGE Garis AE terletak pada bidang ACGE. 5) Garis BE dan bidang CDHG Bidang ABFE dan bidang CDHG saling sejajar. Oleh karena garis BE terletak pada bidang ABFE maka garis BE sejajar dengan bidang CDHG. Jadi, pasangan garis dan bidang yang saling sejajar adalah garis BE dan bidang CDHG. 4. Jawaban: b Balok KLMN.OPQR disajikan seperti berikut. Jarak antara titik P dan titik N yaitu panjang ruas garis PN. Perhatikan ΔLPN siku-siku di L dengan: 1) Panjang LP = MQ = 10 cm 2) Panjang LN LN = KL KN 2 2 + = 2 2 16 12 + = 256 144 + = 400 = 20 cm 3) Panjang PN PN = 2 2 LP LN + = 2 2 20 10 + = 400 100 + = 500 = 10 5 cm Jadi, jarak antara titik P dan titik N adalah 10 5 cm. 5. Jawaban: c Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik B dan diagonal EG yaitu panjang ruas garis BO. Pada segitiga BGE diperoleh panjang BE = BG = EG = 8 2 cm. Titik O terletak di tengah EG sehingga panjang EO = 1 2 EG = 1 2 × 8 2 = 4 2 cm. Perhatikan ΔBOE sikusiku di O maka: BO = 2 2 BE EO − = 2 2 (8 2) (4 2) − = 128 32 − = 96 = 4 6 cm Jadi, jarak antara titik B dan diagonal EG adalah 4 6 cm. 6. Jawaban: a Limas beraturan T.KLMN disajikan seperti berikut. Jarak antara titik K dan rusuk TM yaitu panjang ruas garis KO. Perhatikan ΔTKM dengan: 1) Panjang KM = 2 2 cm 2) Panjang TK = TM = 4 cm 3) Panjang PM = 1 2 KM = 2 cm K L N M O P R Q 16 cm 12 cm 10 cm

40 Penilaian Tengah Semester 1 4) Panjang TP TP = 2 2 TM PM − = 2 2 4 ( 2) − = 16 2 − = 14 cm Pada ΔTKM berlaku: KM × TP = TM × KO ⇔ 2 2 × 14 = 4 × KO ⇔ 2 28 = 4 × KO ⇔ 4 7 = 4 × KO ⇔ KO = 7 cm Jadi, jarak antara titik K dan rusuk TM adalah 7 cm. 7. Jawaban: b Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik A dan diagonal CE yaitu panjang ruas garis AO. Perhatikan ΔACE siku-siku di A dengan: 1) Panjang AE = CG = 20 cm 2) Panjang AC AC= 2 2 AB BC − = 2 2 12 9 + = 144 81 + = 225 = 15 cm 3) Panjang CE CE = 2 2 AC AE − = 2 2 15 20 − = 225 400 + = 625 = 25 cm Pada ΔACE berlaku: AC × AE = CE × AO ⇔ 15 × 20 = 25 × AO ⇔ 300 = 25 × AO ⇔ AO = 12 cm Jadi, jarak antara titik A dan diagonal CE adalah 12 cm. 8. Jawaban: e Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik P dan bidang BDG yaitu panjang ruas garis PO. Perhatikan ΔPKG siku-siku di P dengan: 1) Panjang PK = AE = 12 cm 2) Panjang PG = 1 2 EG = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm 3) Panjang KG KG= 2 2 PK PG + = 2 2 12 (6 2) + = 144 72 + = 216 = 6 6 cm Pada ΔPKG berlaku: PK × PG = KG × PO ⇔ 12 × 6 2 = 6 6 × PO ⇔ 12 2 = 6 × PO ⇔ PO = 12 2 6 ⇔ PO = 12 3 ⇔ PO = 4 3 cm Jadi, jarak antara titik P dan bidang BDG adalah 4 3 cm. A B C D E F H G O 20 cm 9 cm 12 cm A B C D E F H G P 12 cm K O P G O K

Matematika Kelas XII 41 A B C D E F H G 6 cm 3 cm 2 cm α 9. Jawaban: a Titik O pada limas T.PQRS disajikan seperti berikut. Jarak antara titik O dan bidang TQR yaitu panjang ruas garis OV. Perhatikan ΔTOU siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 4 cm 2) Panjang OU = 1 2 PQ = 1 2 × 6 = 3 cm 3) Panjang TU TU = 2 2 TO OU + = 2 2 4 3 + = 16 9 + = 25 = 5 cm Pada ΔTOU berlaku: TO × OU = TU × OV ⇔ 4 × 3 = 5 × OV ⇔ 12 = 5 × OV ⇔ OV = 2,4 cm Jadi, jarak antara titik O dan bidang TQR adalah 2,4 cm. 10. Jawaban: d Balok KLMN.OPQR disajikan seperti berikut. Rusuk PQ dan bidang LMRO saling sejajar. Untuk menentukan jarak keduanya yaitu pilih titik yang terletak pada rusuk PQ, misalkan titik P. Tarik garis dari titik P sehingga tegak lurus dengan bidang LMRO. Titik potongnya di titik T. Dengan demikian, jarak antara rusuk PQ dan bidang LMRO yaitu panjang ruas garis PT. Perhatikan ΔLPO siku-siku di P maka: LO = 2 2 LP PO + = 2 2 9 12 + = 81 144 + = 225 = 15 cm Pada ΔLPO berlaku: LP × OP = LO × PT ⇔ 9 × 12 = 15 × PT ⇔ 108 = 15 × PT ⇔ PT = 7,2 cm Jadi, jarak antara rusuk PQ dan bidang LMRO adalah 7,2 cm. 11. Jawaban: e Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis AE dan CE berpotongan di titik E. Sudut antara ruas garis AE dan CE yaitu ∠AEC = α. Perhatikan ΔAEC siku-siku di E dengan: 1) Panjang AE = CG = 2 cm 2) Panjang AC AC= 2 2 AB BC + = 2 2 6 3 + = 36 9 + = 45 = 3 5 cm 3) Panjang CE CE = 2 2 AC AE + = 2 2 (3 5) 2 + = 45 4 + = 49 = 7 cm Dengan demikian: sin α = AC CE = 3 5 7 Jadi, nilai sin α = 3 7 5 . P Q R S T U V O4 cm 6 cm K L M N O P R Q T 12 cm 6 cm 9 cm

42 Penilaian Tengah Semester 1 12. Jawaban: a Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Ruas garis AP dan EF saling bersilangan. Ruas garis EF terletak pada bidang EFGH dan ruas garis AP menembus bidang EFGH di titik P. Buat ruas garis sejajar EF dan memotong AP di titik P yaitu ruas garis GH. Sudut antara ruas garis AP dan EF yaitu ∠APH. Perhatikan ΔAPH siku-siku di H dengan: 1) Panjang PH = 1 2 GH = 1 2 × 4 = 2 cm 2) Panjang AH = 4 2 cm 3) Panjang AP AP = 2 2 AH PH + = 2 2 (4 2) 2 + = 32 4 + = 36 = 6 cm Dengan demikian: cos ∠APH = PH AP = 2 6 = 1 3 Jadi, nilai kosinus sudut antara ruas garis AP dan EF adalah 1 3 . 13. Jawaban: d Kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Diagonal QV dan diagonal UW saling bersilangan. Diagonal QV terletak pada bidang QUWS. Buat ruas garis sejajar UW dan memotong QV yaitu ruas garis QS. Ruas garis QS dan QV berpotongan di titik Q. Sudut antara diagonal QV dan diagonal UW yaitu ∠VQS. Pada ΔQVS diketahui panjang QS = QV = SV = 4 2 cm sehingga ΔQVS sama sisi. Dengan demikian, besar ∠VQS = 60°. Jadi, besar sudut antara diagonal QV dan diagonal UW adalah 60°. 14. Jawaban: b Kubus KLMN.OPQR disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis MQ dan bidang LQN yaitu ∠MQT = α. Perhatikan ΔMQT siku-siku di M dengan: 1) Panjang MQ = 12 cm 2) Panjang TM Panjang KM = 12 2 cm sehingga panjang TM = 1 2 KM = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm. 3) Panjang TQ TQ = 2 2 TM MQ + = 2 2 (6 2) 12 + = 72 144 + = 216 = 6 6 cm Dengan demikian: sin α = TM TQ = 6 2 6 6 = 1 3 = 1 3 3 Jadi, nilai sin α = 1 3 3 . A B C D E F H P G 4 cm P Q R S T U W V K L M N O P Q T α 12 cm R

Matematika Kelas XII 43 A B D C E F H G O P 16 cm 5 cm 12 cm A B D C E F H G P Q 15. Jawaban: c Limas T.ABCDEF disajikan seperti berikut. Salah satu rusuk tegak yaitu TA. Sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas yaitu ∠TAO = α. Perhatikan ΔTAO siku-siku di O dengan: 1) Panjang TO = 12 3 cm 2) Panjang AO Pada ΔABO diketahui besar ∠AOB = 360 6 ° = 60°. Berarti ΔABO sama sisi sehingga panjang AO = BO = AB = 12 cm. Dengan demikian tan α = TO AO = 12 3 12 = 3 Oleh karena nilai tan α = 3 maka besar α = 60°. Jadi, besar sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah 60°. B . Uraian 1. Titik P dan titik Q pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. a. Kedudukan titik P terhadap bidang ADHE Titik P terletak pada garis EH, sedangkan garis EH terletak pada bidang ADHE. Dengan demikian, titik P terletak pada bidang ADHE. b. Kedudukan titik Q terhadap bidang ABFE Titik Q terletak pada garis FG, sedangkan garis FG memotong bidang ABFE di titik F. Dengan demikian, titik Q terletak di luar bidang ABFE. c. Kedudukan garis AB terhadap garis PQ Garis AB terletak pada bidang ABFE, sedangkan garis PQ sejajar dengan bidang ABFE. Dengan demikian, garis AB sejajar dengan garis PQ. d. Kedudukan garis DH terhadap garis EF Garis DH dan garis EF tidak terletak pada bidang yang sama. Kedua garis juga tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis DH bersilangan dengan garis EF. 2. Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik F dan garis PH yaitu panjang ruas garis FO. Perhatikan ΔABD siku-siku di A maka: BD = 2 2 AB AD + = 2 2 16 12 + = 256 144 + = 400 = 20 cm Oleh karena titik P di tengah diagonal BD maka panjang PB = PD = 10 cm. Perhatikan ΔPFH dengan: a. Panjang FH = BD = 20 cm b. Panjang PH PH = 2 2 DH PD + = 2 2 5 10 + = 25 100 + = 125 = 5 5 cm Pada ΔPFH berlaku: FH × PQ = PH × FO ⇔ 20 × 5 = 5 5 × FO ⇔ 100 = 5 5 × FO ⇔ FO = 100 5 5 = 4 5 cm Jadi, jarak antara titik F dan garis PH adalah 4 5 cm. T A B C D F E O 12 cm

44 Penilaian Tengah Semester 1 3. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak antara titik S dan bidang ETUH sama dengan jarak antara titik S dan garis VW yaitu panjang ruas garis SO. Perhatikan segitiga SVW dengan: a. Panjang VW = ET ET = 2 2 EF FT + = 2 2 8 4 + = 64 16 + = 80 = 4 5 cm b. Panjang SV = VW = 4 5 cm c. Panjang SW SW = 2 2 4 4 + = 16 16 + = 32 = 4 2 cm Misalkan panjang OW = x cm maka panjang OV = (4 5 – x) cm. Pada ΔSVW berlaku: SW2 – OW2 = SV2 – OV2 ⇔ (4 2 )2 – x2 = (4 5 )2 – (4 5 – x)2 ⇔ 32 – x2 = 80 – (80 – 8 5 x + x2) ⇔ 32 – x2 = 8 5 x – x2 ⇔ 32 = 8 5 x ⇔ x = 4 5 5 Dengan demikian: SO2 = SW2 – OW2 = (4 2 )2 – ( 4 5 5 )2 = 32 – 16 5 = 144 5 SO = 144 5 = 12 5 = 12 5 5 Jadi, jarak antara titik S dan bidang ETUH adalah 12 5 5 cm. 4. Kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Hasil proyeksi ruas garis PU pada bidang PQVW yaitu PO. Sudut antara diagonal PU dan bidang PQVW yaitu ∠UPO. Perhatikan ΔUPO siku-siku di O dengan: a. Panjang PU = 2 2 cm b. Panjang UO = 1 2 UR = 1 2 × 2 2 = 2 cm Dengan demikian: sin ∠UPO = UO PU = 2 2 2 = 1 2 Oleh karena nilai sin ∠UPO = 1 2 maka besar ∠UPO = 30°. Jadi, besar sudut antara diagonal PU dan bidang PQVW adalah 30°. 5. Limas T.PQRS disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TQR dan bidang alas yaitu ∠TUO = α. Titik U terletak di tengah QR sehingga panjang RU = QR = 1 2 × 16 = 8 cm. Perhatikan ΔTOU siku-siku di O dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut. S O V W A B C D E F H G O S T U V W 8 cm P Q R S T U W V O 2 cm P Q R S T α 17 cm O 16 cm U

Matematika Kelas XII 45 a. Panjang TU TU = 2 2 TR RU − = 2 2 17 8 − = 289 64 − = 225 = 15 cm b. Panjang OU = 1 2 PQ = 1 2 × 16 = 8 cm c. Panjang TO TO = 2 2 TU OU − = 2 2 15 8 − = 225 64 − = 161 Dengan demikian: cos α = OU TU = 8 15 Jadi, nilai cos α = 8 15 .

46 Statistika 1. Peserta didik mampu membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, histogram dan poligon setelah melakukan kegiatan Pemantapan. 2. Peserta didik mampu mendeskripsikan dan menghitung berbagai ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data setelah menyelesaikan soal-soal latihan Uji Kompetensi. 3. Peserta didik mampu menerapkan konsep ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran dalam menyelesaikan masalah setelah melakukan kegiatan Aktivitas Peserta Didik. • Data • Mean • Kuartil • Tabel • Modus • Simpangan Baku • Histogram • Median mempelajari Statistika Ukuran Pemusatan Data dan Letak Data Tabel Distribusi Frekuensi, Histogram, dan Poligon Membaca Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi, Histogram, dan Poligon Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Penyajian Data dalam Bentuk Histogram dan Poligon Ukuran Penyebaran Data Ukuran Pemusatan Data Mean/Rataan Modus Median Ukuran Letak Data Kuartil Desil Persentil Jangkauan Jangkauan Antarkuartil Simpangan Kuartil Simpangan Rata-Rata Variansi/Ragam Simpangan Baku mencakup mencakup mencakup

Matematika Kelas XII 47 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Panjang interval = batas atas – batas bawah + 1 = 47 – 42 + 1 = 6 Jadi, panjang interval kelas adalah 6. 2. Jawaban: b Banyak siswa yang nilai ulangannya di bawah 60 = 8 + 6 + 3 = 17 Jadi, siswa yang nilainya di bawah 60 ada 17 orang. 3. Jawaban: d Banyak siswa yang nilai ulangannya kurang dari 67 = 8 + 6 + 3 + 7 = 24 Banyak siswa yang nilai ulangannya lebih dari 72 = 9 + 5 = 14 Selisihnya = 24 – 14 = 10 orang Jadi, selisih banyak siswa yang nilai ulangannya kurang dari 67 dan lebih dari 72 adalah 10 orang. 4. Jawaban: a Interval kelas keempat adalah 56–62. Pada kelas tersebut diperoleh Tepi bawah = 56 – 0,5 = 55,5 Tepi atas = 62 + 0,5 = 62,5 Jadi, tepi bawah dan tepi atas pada kelas keempat adalah 55,5 dan 62,5. 5. Jawaban: e Jumlah siswa = 3 + 8 + 6 + 12 + 9 + 2 = 40 Banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 62 kg. = 9 + 2 = 11 Persentase banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 62 kg. = 11 40 × 100% = 27,5% Jadi, persentase banyak siswa yang memiliki berat badan lebih dari 62 kg adalah 27,5%. 6. Jawaban: c Kelas interval yang memiliki batang tertinggi menunjukkan nilai yang paling banyak diperoleh siswa. Batang tertinggi berada di kelas interval yang memiliki tepi bawah 60,5 dan tepi atas 70,5, maka: batas bawah kelas interval = 60,5 + 0,5 = 61 batas atas kelas interval = 70,5 – 0,5 = 70 Dengan demikian, diperoleh kelas interval 61–70. Jadi, nilai yang paling banyak diperoleh siswa adalah 61–70. 7. Jawaban: e Perbandingan banyak benda yang berusia antara 8–10 tahun dan 14–16 tahun adalah 1:5. Misalkan banyak benda yang berusia 8–10 tahun = x, maka banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x Jumlah benda = 10 + 20 + x + 15 + 5x + 5x ⇔ 100 = 45 + 11x ⇔ 11x = 55 ⇔ x = 5 Banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x = 5 × 5 = 25 Banyak benda yang berusia 17–19 tahun = banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 25 Jadi, benda yang berusia antara 17–19 tahun sebanyak 25 buah. 8. Jawaban: d Nilai siswa yang lebih dari 66 berada di kelas interval 67–75, 76–84, dan 85–93. Frekuensi kelas interval 67–75 = p + 4 Frekuensi kelas interval 76–84 = p – 3 Frekuensi kelas interval 85–93 = 2 Banyak siswa yang memiliki nilai lebih dari 66 ada 19 orang, maka: (p + 4) + (p – 3) + 2 = 19 ⇔ 2p + 3 = 19 ⇔ 2p = 16 ⇔ p = 8 Banyak data pada kelas interval 40–48 = 2p – 1 = 2(8) – 1 = 15 Jadi, banyak siswa pada kelas interval 40–48 ada 15 orang. 9. Jawaban: e Poligon frekuensi merupakan diagram yang menyajikan titik-titik tengah nilai data. Titik tengah kelas interval 152–157 = 1 2 (152 + 157) = 154,5 Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6. Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan 152–157 cm ada 6 anak. 10. Jawaban: e Titik tengah kelas interval yang mempunyai frekuensi 9 adalah 160,5. Titik tengah 160,5 berada pada kelas interval keempat.

48 Statistika Titik tengah kelas 154,5 dan 160,5 saling berurutan, maka panjang kelas: p = 160,5 – 154,5 = 6. Letak tepi bawah, titik tengah, dan tepi atas kelas interval keempat dapat digambarkan pada diagram berikut. Dari diagram di atas diperoleh tepi bawah Tb4 = 157,5 dan tepi atas Ta4 = 163,5, maka: batas bawah = Tb4 + 0,5 = 157,5 + 0,5 = 158 batas atas = Ta4 – 0,5 = 163,5 – 0,5 = 163. Dengan demikian, diperoleh kelas interval keempat yaitu 157–163. Jadi, sebanyak 9 siswa mempunyai tinggi badan 158–163 cm. B. Uraian 1. a. Bambu yang panjangnya tidak kurang dari 6,7 meter berada di kelas interval 6,7–8,0 dan 8,1–9,4. Frekuensi kelas interval 6,7–8,0 = 15 Frekuensi kelas interval 8,1–9,4 = 20 Banyak bambu yang panjangnya tidak kurang dari 6,7 meter = 15 + 20 = 35 Jadi, banyak bambu yang dapat digunakan Pak Ahmad untuk membuat kepang 35 batang b. Bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2 meter berada di kelas interval 2,5–3,8 dan 3,9–5,2. Frekuensi kelas interval 2,5–3,8 = 12 Frekuensi kelas interval 3,9–5,2 = 16 Banyak bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2 meter = 12 + 26 = 28 Jadi, banyak bambu yang dapat digunakan Pak Ahmad untuk membuat pagar adalah 28 batang. 2. Dari histogram diperoleh batas bawah, batas atas, dan kelas interval sebagai berikut. Dari kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi relatif sebagai berikut. 3. Data setelah diurutkan sebagai berikut. 48 57 57 62 64 65 68 68 68 71 71 71 72 74 75 75 75 75 75 79 80 80 81 82 82 84 88 88 89 89 Banyak data = n = 30 Nilai data terkecil = 48 Nilai data terbesar = 89 Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil = 89 – 48 = 41 Banyak kelas = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 × 1,477 = 1 + 4,8741 = 5,8741 ≈ 6 Panjang kelas: p = Jangkauan Banyak kelas = 41 6 = 6,833 ≈ 7 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb1 = data terkecil = 48 Ba1 = Bb1 + (p – 1) = 71+ (7 – 1) = 54 Diperoleh kelas interval pertama : 48–54 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb2 = Ba1 + 1 = 54 + 1 = 55 Ba2 = Bb2 + (p – 1) = 55 + (7 – 1) = 61 Diperoleh kelas interval kedua : 55–61 Dengan cara yang sama diperoleh: Kelas interval ketiga : 62 – 68 Kelas interval keempat : 69 – 75 Kelas interval kelima : 76 – 82 Kelas interval keenam : 83 – 89 Tabel distribusi frekuensi skor ujian penerimaan siswa baru SMA Angkasa Jaya sebagai berikut. 3 3 p = 6 Tb4 = 157,5 x4 = 160,5 Ta4 = 163,5 Nilai 52–58 59–65 66–72 73–79 80–86 87–93 94–100 Frekuensi 14% 6% 16% 20% 30% 10% 4% Batas Bawah 51,5 + 0,5 = 52 58,5 + 0,5 = 59 65,5 + 0,5 = 66 72,5 + 0,5 = 73 79,5 + 0,5 = 80 86,5 + 0,5 = 87 93,5 + 0,5 = 94 Jumlah Batas Atas 58,5–0,5 = 58 65,5–0,5 = 65 72,5–0,5 = 72 79,5–0,5 = 79 86,5–0,5 = 86 93,5–0,5 = 93 100,5–0,5 = 100 Kelas Interval 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 Frekuensi 7 3 8 10 15 5 2 50 Skor 48–54 55–61 62–68 69–75 76–82 83–89 Frekuensi 1 2 6 10 6 5

Matematika Kelas XII 49 Histogram data skor ujian penerimaan siswa baru SMA Angkasa Jaya sebagai berikut. 4. Jumlah apel = 22, maka: n + (n + 2) + 3 + 2 + (n + 1) + 5 = 22 ⇔ 3n + 13 = 22 ⇔ 3n = 9 ⇔ n = 3 Tabel distribusi frekuensi berat apel secara lengkap sebagai berikut. Histogram berat apel sebagai berikut. 5. Berdasarkan data di atas, diketahui panjang kelas (p) adalah selisih nilai tengah = 45 – 40 = 5 atau 50 – 45 = 5. Menentukan interval kelas yang memiliki titik tengah 14. Batas bawah = 40 – (p – 1) 2 = 40 – 2 = 38 Batas atas = 14 + (p – 1) 2 = 40 + 2 = 42 Sehingga interval kelas pertama adalah 38 – 42. Dengan cara yang sama diperoleh tabel distribusi frekuensi sebagai berikut: 12 10 8 6 4 2 0 48–54 55–61 62–68 69–75 76–82 83–89 Frekuensi Skor Frekuensi 3 5 3 2 4 5 Berat Apel (gram) 200–204 205–209 210–214 215–219 220–224 225–229 6 5 4 3 2 1 0 Berat Apel (gram) 220–224 225–229 Frekuensi 200–204 205–209 210–214 215–219 Skor 38–42 43–47 48–52 53–57 58–62 63–67 Frekuensi 8 12 15 9 6 10