SOAL SOAL MTK WAJIB dan kunci jawabn

50 Statistika A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Rata-rata: x = 8354658715 10 + + + + + + + ++ = 52 10 = 5,2 Modus = data yang sering muncul = 5 Jadi, mean/rata-rata dan modus data tersebut berturut-turut adalah 5,2 dan 5. 2. Jawaban: c n = 4 + 5 + 1 + 7 + 3 = 20 Me = nilai data ke-10 + nilai data ke-11 2 = 7 8 2 + = 15 2 = 7,5 Jadi, median dari data di atas adalah 7,5. 3. Jawaban: e Data urut: 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 Desil ke-8 (D8) D8 = data ke- 8 (12 1) 10 × + = data ke-10 2 5 = data ke-10 + 2 5 (data ke-11 – data ke-10) = 8 + 2 5 (9 – 8) = 8 + 0,4 = 8,4 Jadi, nilai desil ke-8 adalah 8,4. 4. Jawaban: b Mean/rata-rata: x = n i i i 1 n i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 660 40 = 16,5 Modus = data yang memiliki frekuensi tertinggi = 15 Kuartil atas (Q3): Q3 = data ke- 3 (40 1) 4 × + = data ke-30 3 4 = data ke-30 + 3 4 (data ke-31 – data ke-30) = 25 + 3 4 (25 – 25) = 25 + 0 = 25 Persentil ke-20: P20 = data ke- 20 (40 1) 100 × + = data ke-8 1 5 = data ke-8 1 5 (data ke-9 – data ke-8) = 5 + 1 5 (10 – 5) = 5 + 1 = 6 Jadi, pernyataan yang benar adalah i dan iv. 5. Jawaban: a Tabel di atas dapat dilengkapi sebagai berikut. Nilai 5 6 7 8 9 f 4 5 1 7 3 fk 4 9 10 17 20 Nilai 5 10 15 20 25 30 n i 1 = ∑ fi 8 6 10 5 4 7 40 fk 40 60 150 100 100 210 660 xi 5 10 15 20 25 30 n i 1 = ∑ fi 8 6 10 5 4 7 40 fk 8 14 24 29 33 40 fi ⋅ xi 40 60 150 100 100 210 660 Berat Badan (kg) 40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 Jumlah fi 3 5 7 2 3 20 xi 42 47 52 57 62 fi xi 126 235 364 114 186 1.025

Matematika Kelas XII 51 Nilai 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 fi 4 5 3 2 6 fk 4 9 12 14 20 ← Kelas Me f kMe ← Rata-rata berat badan setiap siswa adalah x – = 5 i i i 1 5 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 1.025 20 = 51,25 Jadi, rata-rata berat badan siswa 51,25 kg. 6. Jawaban: b Kelas interval yang mempunyai frekuensi paling banyak adalah kelas interval 25–29, berarti kelas modus di kelas interval 25–29. Lo = 25 – 0,5 = 24,5 d1 = 11 – 7 = 4 d2 = 11 – 10 = 1 p = 29 – 25 + 1 = 5 Modus = Mo= L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 24,5 + 4 4 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 5 = 24,5 + 4 = 28,5 Jadi, modus dari data tersebut 28,5. 7. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data = n = 20 Median= nilai data ke- 1 2 (20 + 1) = nilai data ke-10 1 2 Median adalah nilai data ke-10 1 2 di kelas interval 61–70. L = 61 – 0,5 = 60,5 fkMe = 9 fMe = 3 p = 70 – 61 + 1 = 10 Median = L + Me e 1 k 2 M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 60,5 + 1 2 20 9 3 ⎛ ⎞ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 10 = 60,5 + 10 3 ≈ 60,5 + 3,33 = 63,83 Jadi, median dari data tersebut adalah 63,83. 8. Jawaban: a 1) Menentukan rata-rata Tabel frekuensi dapat di lengkapi sebagai berikut. Rata-rata nilai setiap siswa. x – = 5 i i i 1 5 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 2.135 30 = 71 1 6 Jadi, rata-rata berat badan adalah 71,166 kg. 2) Menentukan median Median= L + Me e n 2 k M f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 69,5 + 15 13 11 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 10 = 69,5 + 20 11 = 69,5 + 1,82 = 71,32 Jadi, mediannya adalah 71,32 meter. 3) Menentukan modus Modus = L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ × p = 69,5 + 3 7 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 10 = 69,5 + 30 10 = 69,5 + 3 = 72,5 Jadi, modusnya adalah 72,5. Kesimpulannya adalah rata-rata < median < modus. 9. Jawaban: e ← Kelas Me dan Mo Nilai 50–59 60–69 70–79 80–89 90–99 fi 5 8 11 4 2 fk 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 fi xi 272,5 516 819,5 338 189 fi 6 8 9 18 13 6 6 i i=1 ∑ f = 60 f i xi 132 216 288 666 546 282 6 i i i=1 ∑ fx = 2.130 Titik Tengah (xi ) 1 2 (19,5 + 24,5) = 22 1 2 (24,5 + 29,5) = 27 1 2 (29,5 + 34,5) = 32 1 2 (34,5 + 39,5) = 37 1 2 (39,5 + 44,5) = 42 1 2 (44,5 + 49,5) = 47

52 Statistika Rata-rata usia karyawan bagian produksi: x – = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 2.130 60 = 35,5 tahun Jadi, rata-rata usia karyawan bagian produksi adalah 35,5 tahun. 10. Jawaban: b Histogram di atas dapat dibuat tabel distribusi frekuensi berikut. Perhatikan data tentang berat badan 20 siswa berikut. Median terletak di tengah-tengah data. Median data terletak pada interval 10–12. L = 10 – 0,5 = 9,5 fkMe = 3 + 4 + 11 = 18 fMe = 4 p = 3 n = 40 Median = L + Me e n 2 k M f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 9,5 + 20 18 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 3 = 9,5 + 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 3 = 9,5 + 1,5 = 11,0 Jadi, mediannya adalah 11,0 meter. 11. Jawaban: a x – = i i i f x f ∑ ∑ = 1.360 50 = 27,2 Modus terletak di kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Modus data terletak pada kelas interval 28 – 32. L = 28 – 0,5 = 27,5 d1 = 15 – 10 = 5 d2 = 15 – 10 = 5 p = 17 – 13 + 1 = 5 Mo = L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 27,5 + 5 5 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 27,5 + 25 10 = 27,5 + 2,5 = 30 Jadi, mean dan modus dari data di atas adalah 27,2 dan 30. 12. Jawaban: e Banyak data = n = 20 Kuartil bawah = Q1 Q1 = nilai data ke- 1 4 × 20 = nilai data ke-5 Data ke-5 di kelas interval 50–54. L1 = 49,5 fkQ1 = 2 fQ1 = 3 p = 5 Q1 = L1 + Q1 1 1 k 4 Q n – f f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 49,5 + 5 2 3 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 49,5 + 5 = 54,5 Jadi, nilai kuartil tengah adalah 54,5. 13. Jawaban: a Panjang Tali (m) 1–3 4–6 7–9 10–12 13–15 16–18 19–21 Frekuensi 3 4 11 4 8 5 5 fk 3 7 18 22 30 35 40 ← Kelas Me Nilai 13–17 18–22 23–27 28–32 33–37 38–42 fi 6 7 10 15 10 2 50 fk 15 20 25 30 35 40 fi xi 90 140 250 450 350 80 1.360 ← Kelas Mo ← Kelas Q1 Data 45–49 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 Frekuensi 2 3 3 6 4 2 fk 2 5 8 15 18 20 ← Kelas D4 Data 1–15 16–20 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 Frekuensi 1 4 8 10 9 6 2 f k 1 5 13 23 32 38 40

Matematika Kelas XII 53 Banyak data = n = 40 Letak D4 = data ke- 4 10 × 40 = data ke-16 Nilai data ke-16 terletak di kelas interval 26–30. L4 = 25,5 fkD4 = 13 fD4 = 10 p = 5 D4 = L4 + D 4 4 4 n 10 k D f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 25,5 + 16 13 10 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 25,5 + 1,5 = 27,0 Jadi, nilai desil ke-4 adalah 27,0. 14. Jawaban: d P45 = nilai data ke- 45 100 × 40 = nilai data ke – 18 Nilai data ke-18 terletak di kelas interval 58– 63 L = 58 – 0,5 = 57,5 fkP45 = 2 + 4 + 6 = 12 fP45 = 12 p = 45 – 40 + 1 = 6 P45 = L + P45 45 k P 45 n–f 100 f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 57,5 + 18 –12 12 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 6 = 57,5 + 3 = 60,5 Jadi, persentil ke-45 adalah 60,5. 15. Jawaban: c Kuartil bawah (Q1) Q1 = nilai data ke- 1 4 × 40 = nilai data ke-10 Nilai data ke-10 terletak di kelas interval 41–60 L = 41 – 0,5 = 40,5 fkQ1 = 9 fQ1 = 10 p = 20 – 1 + 1 = 20 Q1 = L + Q1 1 k Q 1 n–f 4 f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 40,5 + 30 –19 10 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 20 = 40,5 + 2 = 42,5 Q3 = nilai data ke- 3 4 × 40 = nilai data ke-30 Nilai data ke-30 terletak di kelas interval 61–80 L = 61 – 0,5 =60,5 fkQ3 = 19 fQ3 = 16 Q3 = L + Q3 3 k Q 1 n–f 4 f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 60,5 + 30 –19 16 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 20 = 60,5 + 220 16 = 74,25 Jadi, kuartil bawah dan kuartil atas adalah 42,5 dan 74,25. B. Uraian 1. a. Mean/rata-rata x – = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 970 50 = 19,4 Jadi, mean di atas adalah 32,6. Nilai 40–45 46–51 52–57 58–63 64–69 70–75 76–81 f 2 4 6 12 10 4 2 fk 2 6 12 24 34 38 40 ← Kelas P45 Skor 1–20 21–40 41–60 61–80 81–100 Frekuensi 5 4 10 16 5 fk 5 9 19 35 40 ← Kelas Q1 xi 5 10 15 20 25 30 = ∑ 6 i 1 fi 2 8 9 13 11 7 50 fk fi ⋅ xi 10 80 135 260 275 210 970 2 10 19 32 45 50

54 Statistika b. Median Me = nilai data ke-25 + nilai data ke-26 2 = 20 20 2 + = 20 c. Desil ke-2 D2 = data ke- 2 (50 1) 10 × + = data ke-10 1 5 = data ke-10 + 1 5 (data ke-11 – data ke-10) = 10 + 1 5 (15 – 10) = 10 + 1 = 11 Jadi, nilai desil ke-2 adalah 11. d. Persentil ke-70 P70 = data ke- 70 (50 1) 100 × + = data ke-35 7 10 = data ke-35 + 7 10 (data ke-36 – data ke–35) = 25 + 1 5 (25 – 25) = 25 Jadi, persentil ke-70 adalah 25. 2. a. Mean/rata-rata x – = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 1.630 50 = 32,6 Jadi, mean data di atas adalah 32,6 tahun. b. Modus Modus terletak di kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Modus data terletak pada kelas interval 32–36. L = 32 – 0,5 = 31,5 d1 = 12 – 10 = 2 d2 = 12 – 7 = 5 p = 21 – 17 + 1 = 5 Mo = L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 31,5 + 2 2 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 5 = 31,5 + 10 7 = 31,5 + 1,43 = 32,93 Jadi, modus data di atas adalah 30 tahun. c. Median Median terletak di data ke- 1 2 × n = 1 2 × 50 = 25 Data ke-25 berada pada interval kelas 32 – 36. L = 32 – 0,5 = 31,5 fkMe = 5 + 7 + 10 = 22 fMe = 12 p = 42 – 34 + 1 = 9 Me = L + M 3 1 k 2 M n–f f e e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 31,5 + 25 – 22 12 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 31,5 + 15 12 = 31,5 + 1,25 = 32,75 Jadi, median data di atas adalah 32,75 tahun. 3. a. Kuartil bawah (Q1) Q1 = nilai data ke- 1 4 × 40 = nilai data ke-10 Nilai data ke-10 terletak di kelas interval 73–77 L = 73 – 0,5 = 72,5 fkQ1 = 8 fQ1 = 10 p = 77 – 73 + 1 = 5 Q1 = L + Q1 1 1 k 4 Q n–f f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 72,5 + 10 – 8 10 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 72,5 + 1 = 73,5 Jadi, kuartil bawah dari data di atas adalah 73,5. Interval 17–21 22–26 27–31 32–36 37–41 42–46 = ∑ 6 i 1 fi 5 7 10 12 7 9 50 xi 19 24 29 34 39 44 fi ⋅ xi 95 168 290 408 273 396 1.630 ← Kelas Mo dan Me Skor 63–67 68–72 73–77 78–82 83–87 88–92 Frekuensi 3 5 10 9 8 5 fk 3 8 18 27 35 40 ← Kelas Q1 ← Kelas P60 ← Kelas D7

Matematika Kelas XII 55 b. Menentukan Desil ke-7 D7 = nilai data ke- 7 10 × 40 = nilai data ke-28 Nilai data ke-28 terletak di kelas interval 83–87 L = 83 – 0,5 = 82,5 fkD7 = 27 f D7 = 8 D7 = L + D7 7 7 k 10 D n–f f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 82,5 + 28 – 27 8 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 82,5 + 5 8 = 82,5 + 0,625 = 83,125 Jadi, desil ke-7 adalah 83,125. c. Persentil ke-60 P60 = nilai data ke- 60 100 × 40 = nilai data ke-24 Nilai data ke-24 terletak di kelas interval 78–82. L = 78 – 0,5 = 77,5 fkP60 = 18 fP60 = 9 P60 = L + P32 32 60 k 100 P n–f f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 77,5 + 24 –18 9 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 77,5 + 30 9 = 77,5 + 3,33 = 80,83 Jadi, persentil ke-60 adalah 80,83. 4. Rata-rata diameter pohon: x – = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 2.390 100 = 23,9 cm Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota tersebut 23,9 cm. 5. a. Diketahui jumlah data (n) = 100 Median = 36,25 yaitu pada kelas interval 35–39. L = 34,5 fkMe = 28 + a fMe = 20 p = 5 Median = L + Me e 1 k 2 M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p 36,25 = 34,5 + 50 (28 a) 20 ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 ⇔ 36,25 – 34,5 = 22 a 4 − ⇔ 1,75 = 22 a 4 − ⇔ 7 = 22 – a ⇔ a = 15 Menentukan nilai b Jumlah nilai data = 100 12 + 16 + a + 20 + 13 + 11 + 8 + b = 100 ⇔ 12 + 16 + 15 + 20 + 13 + 11 + 8 + b = 100 ⇔ 95 + b = 100 b = 5 Jadi, nilai a dan b adalah 15 dan 5. b. Jumlah karyawan yang usiannya di atas 50 tahun = 8 + b = 8 + b = 8 + 5 = 13. Jadi, sebanyak 13 orang yang usianya di atas 59 tahun. fi 15 17 21 20 16 11 6 i i=1 ∑ f = 100 fi xi 180 289 462 540 512 407 6 i i i=1 ∑ fx = 2.390 Titik Tengah (xi ) 1 2 (9,5 + 14,5) = 12 1 2 (14,5 + 19,5) = 17 1 2 (19,5 + 24,5) = 22 1 2 (24,5 + 29,5) = 27 1 2 (29,5 + 34,5) = 32 1 2 (34,5 + 39,5) = 37

56 Statistika A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Data urut : 1, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 8. ↑↑↑ Q1 Q2 Q3 Simpangan kuartil: Qd Qd = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (7 – 3) = 1 2 × 4 = 2 Jadi, simpangan kuartilnya adalah 2. 2. Jawaban: a Banyak data = n = 8 x = 65525674 8 +++++++ = 40 8 = 5 Simpangan rata-rata: SR = n f x –x i i i = 1 n ∑ = | 7–5 | 2 | 6–5 | 3 | 5–5 | | 4–5 | | 2–5 | 8 + + ++ = 22013 8 + + ++ = 8 8 = 1 Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1. 3. Jawaban: b x = i i i f x f ∑ ∑ = 140 20 = 69,6 Variansi data: S2 = 6 2 i i i = 1 6 i i = 1 f (x – x) f ∑ ∑ = 52 20 = 2,6 Jadi, variansi datanya adalah 2,6. 4. Jawaban: e Banyak data = n = 8 x = 11 12 9 8 11 12 9 8 8 + +++ + ++ = 80 8 = 10 n 2 i i i 1 f (x x) = ∑ − = 2(11 – 10)2 + 2(12 – 10)2 + 2(9 – 10)2 + 2(8 – 10)2 = 2 × 12 + 2 × 22 + 2 × (–1)2 + 2 × (–2)2 = 2 + 8 + 2 + 8 = 20 Simpangan baku: s = 2 s = n 2 i i i 1 f (x x) n = ∑ − = 20 8 = 10 4 = 1 2 10 Jadi, simpangan bakunya adalah 1 2 10 . 5. Jawaban: d x = i i i f x f ∑ ∑ = 1.300 20 = 65 Simpangan rata-rata: SR = 6 i i = 1 6 f x –x i i i = 1 f ∑ ∑ = 152 20 = 7,6 Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 7,6 kg. xi fi fi × xi i x –x ( )2 i x – x fi ( )2 i x – x 4 5 6 7 8 9 = ∑ 6 i 1 2 2 4 2 6 4 40 8 10 24 14 48 36 140 –3 –2 –1 0 1 2 9 4 1 0 1 4 18 8 4 0 6 16 52 Kelas fi xi fi × xi i x –x fi i x –x 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 = ∑ 6 i 1 3 4 5 2 2 4 20 52 57 62 67 72 77 156 228 310 134 144 308 1.300 13 8 3 2 7 12 39 32 15 4 14 48 152

Matematika Kelas XII 57 ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 fk 8 14 19 23 32 40 fi 8 6 5 4 9 8 xi 8 13 18 23 28 33 fk 5 11 15 23 33 37 47 Nilai 80–83 84–87 88–91 92–95 96–99 100–103 104–107 fi 5 6 4 8 10 4 10 ← Kelas Q1 ← Kelas P45 ← Kelas Q3 6. Jawaban: e S = 6 2 i i i = 1 6 i i = 1 f (x – x) f ∑ ∑ = 1.490 20 = 74,5 = 8,63 Jadi, simpangan baku datanya adalah 8,63 kg. 7. Jawaban: d Banyak data = n = 47 Q1 = nilai data ke- 1 4 × 47 = nilai data ke-11,75 Q1 adalah nilai data ke-11,75 terletak di kelas interval 88–91. L1 = 88 – 0,5 = 87,5 fkQ1 = 11 f Q1 = 4 p = 91 – 88 + 1 = 4 Q1 = L1 + Q1 1 1 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 87,5 + 47 4 11 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 87,5 + 11,75 11 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 87,5 + 0,75 = 88,25 Q3 = nilai data ke- 3 4 × 47 = nilai data ke-35,25 Nilai data ke-35,25 terletak di kelas interval 100–103. L3 = 100 – 0,5 = 99,5 fkQ3 = 33 f Q3 = 4 Q3 = L3 + Q3 3 3 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 99,5 + 141 4 33 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 99,5 + 35,25 33 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 99,5 + 2,25 = 101,75 Jangkauan antarkuartil: H = Q3 – Q1 = 101,75 – 88,25 = 13,5 Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut adalah 13,5. 8. Jawaban: c Banyak data = n = 40 Q1 = nilai data ke- 1 4 × 40 = nilai data ke-10 Q1 adalah nilai data ke-10 terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 13. L1 = 1 2 (8 + 13) = 10,5 fkQ1 = 8 f Q1 = 6 p = 13 – 8 = 5 Q1 = L1 + Q1 1 1 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 10,5 + 1 4 40 8 6 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 10,5 + 1 3 × 5 ≈ 10,5 + 1,67 = 12,17 Q3 = nilai data ke- 3 4 × 40 = nilai data ke-30 Interval fi xi 2 i x –x fi 2 i x –x 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 = ∑ 6 i 1 3 4 5 2 2 4 20 52 57 62 67 72 77 169 64 9 4 49 144 507 256 45 8 98 576 1.490

58 Statistika Q3 adalah nilai data ke-30 terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28. L3 = 1 2 (23 + 28) = 25,5 fkQ3 = 8 + 6 + 5 + 4 = 23 f Q3 = 9 Q3 = L3 + Q3 3 3 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 25,5 + 3 4 40 23 9 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 25,5 + 7 9 × 5 ≈ 25,5 + 3,89 = 29,39 Simpangan kuartil: Qd = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (29,39 – 12,17) = 1 2 (17,22) = 8,61 Jadi, simpangan kuartilnya adalah 8,61. 9. Jawaban: a x – = 6 i i r 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 840 40 = 21 6 i i i 1 f |x x| = ∑ − = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| + 4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21| = 8 × 13 + 6 × 8 + 5 × 3 + 4 × 2 + 9 × 7 + 8 × 12 = 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96 = 334 SR = 6 i i i 1 6 i i 1 f |x x| f = = ∑ ∑ − = 334 40 = 8,35 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 8,35. 10. Jawaban: d 2 6 i i i 1 f (x x) = ∑ − = 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18 – 21)2 + 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2 = 8 × (–13)2 + 6 × (–8)2 + 5 × (–3)2 + 4 × 22 + 9 × 72 + 8 × 122 = 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152 = 3.390 Ragam: s2 = 6 2 i i i 1 6 i i 1 f (x x) f = = ∑ ∑ − = 3.390 40 = 84,75 Jadi, ragam data adalah 84,75. B. Uraian 1. a. Jangkauan antarkuartil Data urut : 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9. ↑ ↑↑ Q1 Q2 Q3 Jangkauan antarkuartil = H H= (Q3 – Q1) = 8 – 5 = 3 Jangkauan antarkuartil data adalah 3. b. Banyak data = n = 10 x = 3455666889 10 +++++++++ = 60 10 = 6 Ragam data: s2 = ( ) n 2 i i i = 1 f x –x n ∑ = 2 2 2 22 (3 – 6) 2(5 – 6) 3(6 – 6) 2(8 – 6) (9 – 6) 10 +++ + = 92089 10 ++++ = 28 10 = 2,8 Jadi, ragam datanya adalah 2,8. 2. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut. xi 8 13 18 23 28 33 8 i 1 = ∑ fi 8 6 5 4 9 8 40 fi xi 64 78 90 92 252 264 840 fi 8 5 3 5 6 3 30 Banyak Pengunjung (xi ) 15 18 20 24 25 30 6 i 1 = ∑ fi xi 120 90 60 120 150 90 630

Matematika Kelas XII 59 a. x– = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 630 30 = 21 6 i i i 1 f | x x | = ∑ − = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21| + 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21| = 8 × 6 + 5 × 3 + 3 × 1 + 5 × 3 + 6 × 4 + 3 × 9 = 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27 = 132 SR = 6 i i r 1 6 i i 1 f |x x| f = = ∑ ∑ − = 132 40 = 3,3 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 3,3. b. 6 2 i i i 1 f (x x) = ∑ − = 8(15 – 21)2 + 5(18 – 21)2 + 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2 + 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2 = 8 × (–6)2 + 5 × (–3)2 + 3 × (–1)2 + 5 × 32 + 6 × 42 + 3 × 92 = 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243 = 720 s = 6 2 i i i 1 6 i i 1 f |x x| f = = ∑ ∑ − = 720 40 = 18 = 9 2 × = 3 2 Jadi, simpangan baku data adalah 3 2 . 3. x – = i i i f x f ∑ ∑ = 2.300 50 = 46 a. Simpangan rata-rata: SR = 6 i i r 1 6 i i 1 f |x x| f = = ∑ ∑ − = 292 50 = 5,84 Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,84. b. Simpangan baku s = ( ) 6 2 i i i 1 6 i i 1 fx x f = = ∑ ∑ − = 2.450 50 = 49 = 7 Jadi, simpangan bakunya adalah 7. 4. a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data n = 20 Q1 = nilai data ke- 1 4 × 20 = nilai data ke-5 Q1 adalah nilai data ke-5 terletak di kelas interval 65–74. L1 = 65 – 0,5 = 64,5 fkQ1 = 4 fQ1 = 3 p = 74 – 65 + 1 = 10 Q1 = L1 + Q1 1 1 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 64,5 + 1 4 20 4 3 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 64,5 + 1 3 × 5 ≈ 64,5 + 1,67 = 66,17 Q3 = nilai data ke- 3 4 × 20 = nilai data ke-15 Q3 adalah nilai data ke-15 terletak di kelas interval 95–104. Selang Waktu fi xi fi × xi i x –x fi i x –x 31–35 36–40 41–45 46–50 51–55 56–60 = ∑ 6 i 1 4 8 10 15 8 5 50 33 38 43 48 53 58 132 304 430 720 424 290 2.300 13 8 3 2 7 12 52 64 30 30 56 60 292 ← Kelas Q1 fi 2 2 3 4 3 4 2 Panjang (cm) 45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114 fk 2 4 7 11 14 18 20 ← Kelas Q3 Interval fi xi 2 i x –x fi 2 i x –x 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 = ∑ 6 i 1 4 8 10 15 8 5 50 52 57 62 67 72 77 169 64 9 4 49 144 676 512 90 60 392 720 2.450

60 Statistika L3 = 95 – 0,5 = 94,5 fkQ3 = 14 fQ3 = 4 Q3 = L3 + Q3 3 3 4 k Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 94,5 + 3 4 20 14 4 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 10 = 94,5 + 1 4 × 10 = 94,5 + 2,5 = 97 Simpangan kuartil: Qd = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (97 – 66,17) = 1 2 (30,83) = 15,415 Jadi, simpangan kuartil data tersebut adalah 15,415. b. x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 1.630 20 = 81,5 Simpangan rata-rata: SR = 7 i i i 1 7 i i 1 fx x f = = ∑ − ∑ = 122 20 = 6,1 Jadi, simpangan rata-rata data tersebut adalah 6,1. 5. a. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut. x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ∑ ∑ ⋅ = 1.600 40 = 40 Jadi, rata-rata data adalah 40. b. Ragam data s2 = 7 2 i i i 1 7 i i 1 f (x x) f = = ∑ − ∑ = 152 40 = 3,8 Jadi, ragam data adalah 3,8. fi 2 2 3 4 3 4 2 20 Panjang (cm) 45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114 7 i 1 = ∑ xi 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 109,5 f i xi 99 119 208,5 318 268,5 398 219 1.630 x x i − 32 22 12 2 8 18 28 122 xi 37 38 39 40 41 42 43 7 i 1 = ∑ fi 6 8 6 8 6 9 2 40 fi · xi 222 114 234 320 246 348 86 1.600 fi 6 8 6 8 6 9 2 40 xi 37 38 39 40 41 42 43 7 i 1 = ∑ xi – x –3 –2 –1 0 1 2 3 fi (xi – x ) 2 54 32 6 0 6 36 18 152

Matematika Kelas XII 61 Tabel, Distribusi Frekuensi, Histogram, dan Poligon StatistikaUkuran Pemusatan Data Mean/Rata-rata Modus Median x = ∑=∑=k f xi i i 1k fi i 1 Mo = L + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 1 1 2 d d d × p Me = L + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Me 1 k 2 Me n – f f × p Langkah-langkah: 1. Menentukan Range (Interval) 2. Menentukan Banyak Kelas 3. Menentukan Panjang Kelas 4. Menentukan Interval Kelas 5. Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Ukuran Penyebaran Data Membaca Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi, Histogram, dan Poligon Tabel Distribusi Frekuensi Histogram dan Poligon Simpangan Rata-Rata Simpangan Baku Jangkauan Jangkauan Antarkuartil Simpangan Kuartil Variansi/Ragam J = Xterbesar – Xterkecil H = Q3 – Q1 Qd = 12 (Q3 – Q1) SR = = = ∑ − ∑ k i i i 1 k i i 1 f | x x | f s2 = = = ∑ − ∑ k 2 i i i 1 k i i 1 f(x x) f s = = = ∑ − ∑ k 2 i i i 1 k i i 1 f(x x) f Ukuran Letak Data Kuartil Desil Persentil Q1 = L + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Qi i k 4 Qi n–f f × p Di = L + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Di i k 10 Di n–f f × p Pi = L + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Pi i k 100 Pi n–f f × p

62 Statistika A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a Batas bawah = Bb = 48,5 Panjang kelas = p = 5 Batas atas = Ba Ba = Bb + p – 1 = 48,5 + 5 – 1 = 52,5 Titik tengah = 1 2 (Bb + Ba) = 1 2 (48,5 + 52,5) = 1 2 × 101 = 50,5 Jadi, titik tengahya adalah 50,5. 2. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi relatif data sebagai berikut. Dari tabel distribusi frekuensi relatif di atas: Sebanyak 33,33 % siswa memiliki berat badan 40–44 kg. Sebanyak 20% siswa memiliki berat badan 45–49 kg. Dengan demikian, persentase banyak siswa yang memiliki berat badan 40–49 adalah 33,33% + 20% = 53,33%. 3. Jawaban: c Dari tabel frekuensi relatif di atas, diperoleh sebanyak 13,33% siswa memiliki berat badan 50–54 kg. 4. Jawaban: b Berat badan tidak kurang dari 55 kg, maka kelas interval yang memenuhi 55–59 dan 60–64. Persentase siswa yang memiliki berat badan tidak kurang dari 55 kg = 15% + 10% = 25%. Jadi, siswa yang dapat berpartisipasi dalam kegiatan donor darah sebanyak 25 %. 5. Jawaban: d Kelas interval yang memiliki nilai kurang dari 61 adalah 41–50 dan 51–60. Sebanyak 10% siswa memperoleh nilai 41–40 dan sebanyak 20% siswa memperoleh nilai 51–60. Berat Badan (kg) 35–39 40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 Frekuensi 5 20 12 8 9 6 frelatif 8,33% 33,33% 20% 13,33% 15% 10% Banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 61 = (10% + 20%) × 120 = 36 Jadi, banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 61 adalah 36 siswa. 6. Jawaban: d Banyak siswa yang memperoleh nilai 41–50 = 10% × 120 = 12 Banyak siswa yang memperoleh nilai 51–60 = 20% × 120 = 24 Banyak siswa yang memperoleh nilai 71–80 = 15% × 120 = 18 Banyak siswa yang memperoleh nilai 81–90 = 12,5% × 120 = 15 Jadi, sebanyak 15 siswa memperoleh nilai 81–90. 7. Jawaban: c Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai berikut. Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurang dari 26 cm adalah 21. Presentase = 21 30 × 100% = 70%. Jadi, persentase banyak tanaman tersebut adalah 70%. 8. Jawaban: d Banyak tanaman yang memiliki tinggi 10–17 = 3 + 6 = 9 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 14–21 = 6 + 5 = 11 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–21 = 5 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–25 = 5 + 7 = 12 Jadi, sebanyak 12 tanaman memiliki tinggi 18–25 cm. 9. Jawaban: e Rata-rata: x = 4665795684 10 +++++++++ = 60 10 = 6 Modus = data yang sering muncul = 5 Jadi, rata-rata dan modus data tersebut adalah 6 dan 5. fi 3 6 5 7 9 Tinggi Tanaman (cm) 10–13 14–17 18–21 22–25 26–29 fk 3 9 14 21 30 ––––––––––––––––––––––––––  Tinggi tanaman kurang dari 26 cm

Matematika Kelas XII 63 10. Jawaban: c x = 35956a 438638 12 +++++++++++ ⇔ 5,5 = 60 a 12 + ⇔ 60 + a = 66 ⇔ a = 66 – 60 ⇔ a = 6 Jadi, nilai a adalah 6. 11. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Oleh karena banyak data genap, nilai median: Me = nilai data ke-30 + nilai data ke-31 2 = 17 18 2 + = 32 2 = 17,5 Jadi, median data adalah 17,5. 12. Jawaban: c Sumbangan kelompok I: x1 = 6 × Rp5.000,00 = Rp30.000,00 Sumbangan kelompok II: x2 = 8 × Rp4.500,00 = Rp36.000,00 Sumbangan kelompok III: x3 = 10 × Rp3.500,00 = Rp35.000,00 Sumbangan kelompok IV: x4 = 11 × Rp4.000,00 = Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V: x5 = 15 × Rp2.000,00 = Rp30.000,00 Rata-rata sumbangan setiap anggota: x = 12345 xx xx x 6 8 10 11 15 ++++ ++ + + = 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000 50 ++++ = 175.000 50 = 3.500 Jadi, rata-rata sumbangan setiap anggota sebesar Rp3.500,00. 13. Jawaban: a Banyak siswa di kelas A = nA = 15 Banyak siswa di kelas B = nB = 10 Banyak siswa di kelas C = nC = 25 Rata-rata nilai gabungan = x = 58,6 Rata-rata nilai di kelas A = x A = 62 Rata-rata nilai di kelas C = x C = 60 x = AA BBCC ABC nx nxnx nnn ×+×+× + + ⇔ 58,6 = B 15 62 10 x 25 60 15 10 25 × +× +× + + ⇔ 58,6 = B 10x 2.430 50 + ⇔ 2.930 = B 10x + 2.430 ⇔ B 10x = 500 ⇔ x B = 50 Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50. 14. Jawaban: e Misalnya: banyak siswa laki-laki = nA Banyak siswa perempuan = nB Rata-rata nilai siswa laki-laki = x A = 5 Rata-rata nilai siswa perempuan = x B = 8 Rata-rata nilai gabungan = x gab = 7,5 x gab = AA BB A B nx nx n n ⋅+⋅ + ⇔ 7,5 = A B A B n 5n 8 n n ⋅+ ⋅ + ⇔ 7,5nA + 7,5nB = 5nA + 8nB ⇔ 7,5nA – 5nA = 8nB –7,5nB ⇔ 2,5nA = 0,5nB ⇔ 5nA = 1nB ⇔ A B n n = 1 5 nA: nB = 1 : 5 Jadi, perbandingan banyaknya siswa laki-laki dan perempuan adalah 1 : 5. 15. Jawaban: c Data 15 16 17 18 19 20 fi 9 15 6 8 12 10 fk 9 24 30 38 50 60 Data 1–3 4–6 7–9 10–12 13–15 16–18 = ∑ 6 i 1 fi 10 5 9 6 8 2 40 fk 2 5 8 11 14 17 fi × xi 2 5 8 11 14 17 329

64 Statistika x = i i i f x f ∑ ∑ = 329 40 = 8,225 Jadi, rata-rata gol yang dicetak pemain adalah 8,225. 16. Jawaban: d Data yang berada di tengah adalah data ke- 1 2 × n = 1 2 × 40 = 20 Data ke-20 berada pada interval kelas 7 – 9. L = 7 – 0,5 = 6,5 fkMe = 10 + 5 = 15 fMe = 9 p = 3 – 1 + 1 = 3 Me = L + 1 kMe 2 Me n–f f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 6,5 + 20 –15 9 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 3 = 6,5 + 15 9 = 6,5 + 1,67 = 8,17 Jadi, mediannya adalah 8,17. 17. Jawaban: c Data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi sebagai berikut. x = 6 i i i 1 6 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 3.730 40 = 93,25 Jadi, rata-rata berat pasir dalam karung 93,25 kg. 18. Jawaban: e Mo terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah 93–95. L = 93 – 0,5 = 92,5 d1 = 10 – 7 = 3 d2 = 10 – 5 = 5 p = 95 – 93 + 1 = 3 Mo= L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 92,5 + 3 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 3 = 92,5 + 9 8 = 92,5 + 1,125 = 93,625 Jadi, modus berat pasir dalam karung 93,625 kg. 19. Jawaban: b Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. Banyak data = n = 40 Median = nilai data ke- 40 + 1 2 = nilai data ke-20,5 Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelas interval 93–95. L = 93 – 0,5 = 92,5 fkMe = 17 fMe = 10 p = 3 Me= L + Me e 1 2 k M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 92,5 + 20 17 10 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 3 = 92,5 + 0,9 = 93,4 Jadi, median berat pasir dalam karung 93,4 kg. Gol 1–3 4–6 7–9 10–12 13–15 16–18 fi 10 5 9 6 8 2 fk 10 15 24 30 38 40 Berat Pasir (kg) 84–86 87–89 90–92 93–95 96–98 99–101 6 i 1 = ∑ fi 4 6 7 10 5 8 40 xi 85 88 91 94 97 100 f i xi 340 528 637 940 485 800 3.730 fk 4 10 17 27 32 40 Berat Pasir (kg) 84–86 87–89 90–92 93–95 96–98 99–101 fi 4 6 7 10 5 8

Matematika Kelas XII 65 20. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. Nilai (xi ) Frekuensi (fi ) fi · x– i 1 2 (30,5 + 40,5) = 35,5 4 142 1 2 (40,5 + 50,5) = 45,5 6 273 1 2 (50,5 + 60,5) = 55,5 20 1.110 1 2 (60,5 + 70,5) = 65,5 45 2.947,5 1 2 (70,5 + 80,5) = 75,5 18 1.359 1 2 (80,5 + 90,5) = 85,5 7 498,5 7 i 1 = ∑ 100 6.430 x = 6 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ∑ ∑ ⋅ = 6.430 100 = 64,3 Jadi, rata-rata data tersebut adalah 64,3. 21. Jawaban: d Mo terletak di kelas interval 61–70. L = 60,5 d1 = 45 – 20 = 25 d2 = 45 – 18 = 27 p = 10 Mo= L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 60,5 + 25 25 27 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 10 ≈ 60,5 + 4,81 = 65,31 Jadi, modus data tersebut adalah 65,31. 22. Jawaban: a Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. Banyak data = n = 100 Median = nilai data ke- 1 2 × 100 = nilai data ke-50 Data ke-50 terletak di kelas interval 61–70. LMe = 60,5 fkMe = 302 fMe = 45 p =10 Me = LMe + Me e 1 2 k M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 60,5 + 50 35 45 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 10 ≈ 60,5 + 3,33 = 63,83 Jadi, median data tersebut adalah 63,83. 23. Jawaban: e Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data = n = 44 Median= nilai data ke- 1 2 (44 + 1) = nilai data ke-22 1 2 Median adalah nilai data ke-22 1 2 di kelas interval yang mempunyai titik tengah 8. L = 5 8 2 + = 6,5; Me k f = 8; fMe = 16; p = 8 – 5 = 3 Median = L + Me e 1 k 2 M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 6,5 + 1 2 44 8 16 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 3 = 6,5 + 14 16 × 3 ≈ 6,5 + 2,63 = 9,13 Jadi, median data adalah 9,13 cm. Nilai 31–40 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 ← Kelas Mo Frekuensi 4 6 20 45 18 7 Nilai 31–40 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 ← Kelas Me Frekuensi 4 6 20 45 18 7 fk 4 10 30 75 93 100 fi 8 16 6 7 4 3 Titik Tengah 5 8 11 14 17 20 fk 8 24 30 37 41 44 ← Kelas Me f kMe ←

66 Statistika 24. Jawaban: c Data setelah diurutkan: 5 6 7 7 9 9 10 10 11 12 12 15 18 18 21 21 Q1 = nilai data ke- 16 + 1 4 = nilai data ke-4,25 = x4 + 0,25(x5 – x4) = 7 + 0,25(9 – 7) = 7 + 0,5 = 7,5 Q3 = nilai data ke- 3(16 + 1) 4 = nilai data ke-12,75 = x12 + 0,75(x13 – x12) = 15 + 0,75(18 – 15) = 15 + 2,25 = 17,25 Simpangan kuartil = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (17,25 – 7,5) = 1 2 (9,75) = 4,875 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875. 25. Jawaban: c Jumlah siswa = n = 40 Kuartil bawah (Q1)= nilai data ke- 1 4 (40 + 1) = nilai data ke-10 1 4 Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Kuartil bawah adalah data ke-10 1 4 pada kelas interval 155–159. L1 = 155 – 0,5 = 154,5 fQ1 = 10 fkQ1 = 4 p = 159 – 155 + 1 = 5 Kuartil bawah: Q1 = L1 + k Q1 1 1 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 154,5 + 1 4 40 4 10 × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 154,5 + 3 = 157,5 Jadi, kuartil bawah dari data tinggi badan adalah 157,5 cm. 26. Jawaban: c Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data = n = 50 D4 = nilai data ke- 4 10 × 50 = nilai data ke-20 D4 adalah nilai data ke-20 terletak pada kelas interval 70–74. L4 = 69,5 fkD4 = 16 fD4 = 15 p = 5 D4 = L4 + D4 4 4 10 k D n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 69,5 + 20 16 15 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 69,5 + 1,33 = 70,83 Jadi, desil ke-4 adalah 70,83. 27. Jawaban: e P80 = nilai data ke- 80 100 × 50 = nilai data ke-40 P80 adalah nilai data ke-40 terletak pada kelas interval 75–79. L80 = 74,5 fkP80 = 31 fP80 = 10 p = 5 Tinggi Badan (cm) 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 175–179 fi 4 10 6 8 4 8 fk 4 14 20 28 32 40 f kQ1 ← ← Kelas Q1 Frekuensi 4 12 15 10 4 5 Nilai 60–64 65–69 70–74 75–79 80–84 85–89 fk 4 16 31 41 45 50

Matematika Kelas XII 67 P80 = L80 + P80 80 8 100 k P n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 74,5 + 40 31 10 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 74,5 + 4,5 = 79 Jadi, nilai persentil ke-8 adalah 79. 28. Jawaban: e x = 87546675 8 +++++++ = 48 8 = 6 s = n ii 2 i 1 f (x – x) n = ∑ = 2 2 2 22 (4 – 6) 2(5 – 6) 2(6 – 6) 2(7 – 6) (8 – 6) 8 ++++ = 42024 8 ++++ = 12 8 = 1 2 6 Jadi, simpangan bakunya adalah 1 2 6 . 29. Jawaban: d x = 4 i i i 1 4 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 460 20 = 23 s2 = 4 2 i i i 1 4 i i 1 f (x x) f = = ∑ − ∑ = 198 20 = 9,9 Jadi, ragam data adalah 9,9 m. 30. Jawaban: c x = 5 i i i 1 5 i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 1.380 60 = 23 5 i i i 1 f |x x| = ∑ − = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23| + 12|27 – 23| + 18|32 – 23| = 15 × 11 + 6 × 6 + 9 × 1 + 12 × 4 + 18 × 9 = 165 + 36 + 9 + 48 + 162 = 420 Simpangan rata-rata: SR = 5 i i i 1 5 i i 1 f |x x| f = = ∑ ∑ − = 420 60 = 7 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 7. B. Uraian 1. Tabel distribusi frekuensi data di atas. Jumlah siswa = 3+2+12+10+7+18+8 = 60 a. Persentase banyak siswa yang memiliki tinggi badan 155 – 159 = 10 60 × 100 = 16,67% Jadi, persentase banyak siswa yang memiliki tinggi badan 155 – 159 adalah 16,67%. b. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan 165–169 ada 18 siswa. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan 150–154 ada 10 siswa. Selisih antara siswa yang memiliki tinggi badan 165–169 dan 150–154 = 18 – 10 = 8 siswa. Jadi, selisih antara siswa yang memiliki tinggi badan 165–169 dan 150–154 ada 8 siswa. c. Tinggi badan lebih dari 159 cm, maka kelas interval yang memenuhi adalah 160–164, 165–169, dan 170–174. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan lebih dari 159 cm = 7 + 18 + 8 = 31 siswa. Jadi, siswa yang diperbolehkan mengikuti seleksi tim basket ada 31 siswa. fi 9 4 5 2 20 Tinggi (meter) 19–21 22–24 25–27 28–30 4 i 1 = ∑ xi 20 23 26 29 f i xi 180 92 130 58 460 xi – x– –3 0 3 6 f i (xi – x–) 2 81 0 45 72 198 fi 15 6 9 12 18 60 fi xi 180 102 198 324 576 1.380 xi 1 2 (9,5 + 14,5) = 12 1 2 (14,5 + 19,5) = 17 1 2 (19,5 + 24,5) = 22 1 2 (24,5 + 29,5) = 27 1 2 (39,5 + 34,5) = 32 5 i=1 ∑ Tinggi Badan (cm) 140–144 145–149 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 Frekuensi 3 2 12 10 7 18 8

68 Statistika 2. Data setelah diurutkan sebagai berikut. 1234666777 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Banyak data = n = 40 Nilai data terkecil = 1 Nilai data terbesar = 28 Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil = 28 – 1 = 27 Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 × 1,602 = 1 + 5,2866 = 6,2866 ≈ 6 Panjang kelas (p) = jangkauan banyak kelas = 27 6 = 4,5 ≈ 5 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb1 = nilai data terkecil = 1 Ba1 = Bb1 + p –1 = 1 + 5 – 1 = 5 Diperoleh kelas interval pertama = 1–5 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval kedua. Bb2 = Ba1 + 1 = 5 + 1 = 6 Ba2 = Bb2 + p – 1 = 6 + 5 – 1 = 10 Diperoleh kelas interval kedua = 6–10 Dengan cara yang sama diperoleh: Kelas interval ketiga : 11–15 Kelas interval keempat : 16–20 Kelas interval kelima : 21–25 Kelas interval keenam : 26–30 Tabel distribusi frekuensi data pemakaian air PDAM per keluarga dalam sebulan di Kampung Palapa sebagai berikut. 3. Tabel distribusi frekuensi data di atas sebagai berikut. a. Mean/rata-rata: x = i i i f x f ∑ ∑ = 289 40 = 7,225 Jadi, mean data adalah 7,225. b. Median Me = nilai data ke 20 nilai data ke 21 2 −+ − = 7 7 2 + = 7 Jadi, mediannya adalah 7. c. Modus Modus adalah data yang sering muncul atau frekuensinya terbanyak. Jadi, modus data usia anak-anak di Desa Asri adalah 6. 4. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data = n = 20 Q1 = nilai data ke- 1 4 (20 + 1) = nilai data ke-5,25 = x5 + 0,25(x6 – x5) = 2 + 0,25(4 – 2) = 2 + 0,5 = 2,5 Volume Air (m3) 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25 26–30 fi 4 13 8 7 5 3 xi 5 6 7 8 9 10 fi 8 10 5 6 4 7 40 fi × xi 40 60 35 48 36 70 289 xi 5 6 7 8 9 10 fi 8 10 5 6 4 7 fi × xi 8 18 23 29 33 40 Nilai (xi ) 2 4 7 10 13 fi 5 2 8 3 2 fk 5 7 15 18 20

Matematika Kelas XII 69 Q3 = nilai data ke- 3 4 (20 + 1) = nilai data ke-15,75 = x15 + 0,75(x16 – x15) = 7 + 0,75(10 – 7) = 7 + 2,25 = 9,25 Simpangan kuartil = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (9,25 – 2,5) = 1 2 (6,75) = 3,375 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 3,375. 5. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Me= nilai data ke- 34 1 2 + = nilai data ke-17,5 Median adalah nilai data ke-17,5 terletak di kelas interval 65–69. L = 65 – 0,5 = 64,5 p = 69 – 65 + 1 = 5 fkMe = 16 fMe = 6 Me= L + Me e n 2 k M f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 64,5 + 34 2 6 10 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 64,5 + 0,5 = 65 Jadi, median data di atas adalah 65 cm. 6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak adalah 32. Berarti modus data terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28. Tepi bawah kelas modus L = 1 2 (27 + 32) = 29,5 p = 32 – 27 = 5 d1 = 9 – 3 = 6 d2 = 9 – 5 = 4 Mo = L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 29,5 + 6 6 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 5 = 29,5 + 30 10 = 29,5 + 3 = 32,5 Jadi, modus data adalah 32,5. 7. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Q1 = nilai data ke- 1 4 × 80 = nilai data ke-20 Q1 adalah nilai data ke-20 terletak di kelas interval 149–152. L1 = 149 – 0,5 = 148,5 fkQ1 = 15 f Q1 = 20 Q1 = L1 + Q1 1 1 k 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 148,5 + 1 4 80 15 20 ⎛ ⎞ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 148,5 + 5 20 × 4 = 148,5 + 1 = 149,5 Q3 = nilai data ke- 3 4 × 80 = nilai data ke-60 Q3 adalah nilai data ke-60 terletak di kelas interval 157–160. L3 = 157 – 0,5 = 156,5 fkQ3 = 53 f Q3 = 14 ← Kelas Me fk 3 7 16 22 24 29 34 Tinggi Badan Balita (cm) 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 80–84 fi 4 3 9 6 2 5 5 ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 fi 15 20 18 14 8 5 Tinggi Badan (cm) 145–148 149–152 153–156 157–160 161–164 165–168 fk 15 35 53 67 75 80

70 Statistika Q3 = L3 + Q3 3 3 k 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 156,5 + 3 4 80 53 14 ⎛ ⎞ × − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 4 = 156,5 + 7 14 × 4 = 156,5 + 2 = 158,5 Jangkauan antarkuartil: H = Q3 – Q1 = 158,5 – 149,5 = 9 Jadi, jangkauan antarkuartil tinggi siswa putri 9 cm. 8. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Banyak data = n = 70 D7 = nilai data ke- 7 10 × 70 = nilai data ke-49 D7 adalah nilai data ke-49 terletak di kelas interval 37–41. L7 = 37 – 0,5 = 36,5 fD7 = 10 fkD7 = 47 p = 41 – 37 + 1 = 5 D7 = L7 + D7 7 7 10 k D n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 36,5 + 7 10 × 70 – 47 10 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 36,5 + 2 10 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 36,5 + 1 = 37,5 Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5. 9. Banyak data = n = 35 + p P30 terletak di kelas interval 105–109. L30 = 105 – 0,5 = 104,5 fkMe = 8 fMe = p p = 109 – 105 + 1 = 5 P30 = L30 + P30 30 30 100 k P n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p ⇔ 108,5 = 104,5 + 0,3( ) 35 p 8 p ⎛ + −⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 ⇔ 4 = 10,5 0,3p 8 p ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 ⇔ 0,8 = 2,5 0,3p p + ⇔ 0,8p = 2,5 + 0,3p ⇔ 0,5p = 2,5 ⇔ p = 5 Banyak potongan logam yang beratnya kurang dari 110 gram = 8 + p = 8 + 5 = 13. 10. Banyak data = n = 28 a. rata-rata data: x = 7 i i i 1 7 i i 1 f x f = = ∑ ∑ ⋅ = 1.764 28 = 63 Jadi, rata-rata data adalah 63. b. Variansi data: s2 = 5 2 i i i 1 5 i i 1 f (x x) f = = ∑ ∑ − = 1.400 28 = 50 Jadi, variansi data adalah 50. ← Kelas D7 fi 10 5 8 6 18 10 13 Nilai 12–16 17–21 22–26 27–31 32–36 37–41 42–46 fk 10 15 23 29 47 57 70 fi 6 4 8 4 6 28 Data 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 5 i 1 = ∑ xi 53 58 63 68 73 fi · xi 318 232 504 272 438 1.765 f i · x– –10 –5 0 5 10 fi · (xi – x–)2 600 100 0 100 600 1.400

Matematika Kelas XII 71 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e 1) Titik A terhadap garis BC Garis BC melalui titik B dan titik C, tetapi tidak melalui titik A. Dengan demikian, titik A terletak di luar garis BC. 2) Titik T terhadap garis TC Garis TC melalui titik T dan titik C. Dengan demikian, titik T terletak pada garis TC. 3) Titik D terhadap bidang TCD Bidang TCD melalui titik T, titik C, dan titik D. Dengan demikian, titik D terletak pada bidang TCD. 4) Titik T terhadap bidang ABCD Bidang ABCD melalui titik A, titik B, titik C, dan titik D, tetapi tidak melalui titik T. Dengan demikian, titik T terletak di luar bidang ABCD. 5) Titik C terhadap bidang TAD Bidang TAD melalui titik T, titik A, dan titik D, tetapi tidak melalui titik C. Dengan demikian, titik C terletak di luar bidang TAD. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 2. Jawaban: d 1) Ruas garis AB terhadap EF Ruas garis AB dan EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang ABFE. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, ruas garis AB sejajar dengan ruas garis EF. 2) Ruas garis BF terhadap EF Ruas garis BF dan EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang ABFE. Keduanya mempunyai titik persekutuan yaitu titik F. Dengan demikian, ruas garis BF berpotongan dengan ruas garis EF. 3) Ruas garis CD terhadap EF Ruas garis CD dan EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang CDEF. Keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, ruas garis CD sejajar dengan ruas garis EF. 4) Ruas garis DH terhadap EF Ruas garis DH dan EF tidak terletak pada bidang yang sama. Dengan demikian, ruas garis DH bersilangan dengan ruas garis EF. 5) Ruas garis EH terhadap EF Ruas garis EH dan EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang EFGH. Keduanya mempunyai titik persekutuan yaitu titik E. Dengan demikian, ruas garis EH berpotongan dengan ruas garis EF. Jadi, ruas garis yang bersilangan dengan ruas garis EF adalah DH. 3. Jawaban: d 1) Garis AB terhadap bidang BCGF Garis AB menembus bidang BCGF di titik B. Pernyataan (i) salah. 2) Garis CD terhadap bidang ABGH Garis CD sejajar dengan garis GH, sedangkan garis GH terletak pada bidang ABGH. Dengan demikian, garis CD sejajar dengan bidang ABGH. Pernyataan (ii) benar. 3) Garis EF terhadap bidang ACGE Garis EF menembus bidang ACGE di titik E. Pernyataan (iii) benar. 4) Garis AD terhadap bidang BDHF Garis AD menembus bidang BDHF di titik D. Pernyataan (iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah (ii) dan (iii).

72 Penilaian Akhir Semester 1 4. Jawaban: b Titik A pada balok PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Jarak titik P terhadap titik A yaitu panjang ruas garis PA. Pada ΔPOA siku-siku di O dengan panjang AO = RV = 8 cm. 1) PO = 2 2 PS SO + = 2 2 12 9 + = 144 81 + = 225 = 15 cm 2) PA = 2 2 PO AO + = 2 2 15 8 + = 225 64 + = 289 = 17 cm Jadi, jarak titik P terhadap titik A adalah 17 cm. 5. Jawaban: a Limas beraturan T.KLMN disajikan seperti berikut. Jarak titik T terhadap titik K yaitu panjang ruas garis TK. Pada ΔKOT siku-siku di O dengan panjang TO = 10 cm. 1) KM = 2 2 KL LM + = 2 2 8 6 + = 64 36 + = 100 = 10 cm 2) KO = 1 2 × KM = 1 2 × 10 = 5 cm 3) TK = 2 2 KO TO + = 2 2 5 10 + = 25 100 + = 125 = 5 5 cm Jadi, jarak titik T terhadap titik K adalah 5 5 cm. 6. Jawaban: b Titik K pada kubus PQRS.TUVW disajikan seperti berikut. Jarak titik K terhadap garis QS yaitu panjang ruas garis KO. Pada ΔQKS dengan panjang QS = 12 2 cm. 1) QK = 2 2 QR RK + = 2 2 12 6 + = 144 36 + = 180 = 6 5 cm 2) Panjang SK = QK = 6 5 cm sehingga titik O di tengah garis QS. 3) KO = 2 2 QK QO − = 2 2 (6 5) (6 2) − = 180 72 − = 108 = 6 3 cm Jadi, jarak titik K terhadap garis QS adalah 6 3 cm. 7. Jawaban: c Limas beraturan T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik T terhadap rusuk TC yaitu panjang ruas garis AP. Pada ΔACT dengan panjang TA = TC = 20 cm. 1) AC = 2 2 AB BC + = 2 2 16 12 + = 256 144 + = 400 = 20 cm 2) Oleh karena panjang AC = TA = TC = 20 cm maka ΔACT merupakan segitiga sama sisi. Akibatnya titik P terletak di tengah rusuk TC. T P W S A O Q U V R 12 cm 8 cm 18 cm W T U V S O K R P 12 cm Q T D A P C B 20 cm 16 cm 12 cm T K N M 8 cm L 6 cm 10 cm O

Matematika Kelas XII 73 3) AP = 2 2 AC PC − = 2 2 20 10 − = 400 100 − = 300 = 10 3 cm Jadi, jarak titik T terhadap rusuk TC adalah 10 3 cm. 8. Jawaban: d Titik K, titik L, dan titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik P terhadap bidang ABKL sama dengan jarak titik P terhadap garis MN yaitu panjang ruas garis PO. Pada ΔPMN dengan panjang PM = 10 cm. 1) MN = BK = 2 2 BC CK + = 2 2 10 5 + = 100 25 + = 125 = 5 5 cm 2) Panjang PN = MN = 5 5 cm sehingga ΔPMN merupakan segitiga sama kaki. Pada ΔPMN berlaku: PO × MN = PM × RN ⇔ PO × 5 5 = 10 × 10 ⇔ PO × 5 5 = 100 ⇔ PO = 100 5 5 = 20 5 = 4 5 cm Jadi, jarak titik P terhadap bidang ABKL adalah 4 5 cm. 9. Jawaban: a Titik M pada limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik M terhadap bidang TBC sama dengan jarak titik M terhadap garis TN yaitu panjang ruas garis MP. Pada ΔTMN dengan panjang MN = 18 cm dan TO = 12 cm. 1) TN = 2 2 TO ON + = 2 2 12 9 + = 144 81 + = 225 = 15 cm 2) Panjang TM = TN = 15 cm sehingga ΔTMN merupakan segitiga sama kaki. Pada ΔTMN berlaku: MP × TN = MN × TO ⇔ MP × 15 = 18 × 12 ⇔ MP × 15 = 216 ⇔ MP = 14,4cm Jadi, jarak titik M terhadap bidang TBC adalah 14,4 cm. 10. Jawaban: d Titik M dan titik N pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak garis MN terhadap garis BD yaitu panjang ruas PO. Pada ΔPKO siku-siku di K dengan panjang PK = 12 cm. 1) AC = 2 2 AB BC + = 2 2 12 12 + = 144 144 + = 288 = 12 2 cm 2) KO = 1 4 × AC = 1 4 × 12 2 = 3 2 cm 3) PO = 2 2 PK KO + = 2 2 12 (3 2) + = 144 18 + = 162 = 9 2 cm Jadi, jarak garis MN terhadap garis BD adalah 9 2 cm. 11. Jawaban: c Titik K dan titik L pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. P R M O N A B D C E F G H L K M O P 10 cm N T A B N C P D M O M O N P T A B C D E F G H P M N O K 12 cm A P K E M 12 cm A B C D E F G H P K L 9 cm 8 cm

74 Penilaian Akhir Semester 1 A B D C E F G H P 6 cm Jarak garis EH terhadap bidang AKLD yaitu panjang ruas garis EP. Pada ΔAKE dengan panjnag AE = 12 cm. 1) AK = 2 2 AB BK + = 2 2 8 6 + = 64 36 + = 100 = 10 cm 2) Panjang AK = EK = 10 cm sehingga ΔAKE merupakan segitiga sama kaki. Pada ΔAKE berlaku: EP × AK = KM × AE ⇔ EP × 10 = 8 × 12 ⇔ EP × 10 = 96 ⇔ EP = 9,6 cm Jadi, jarak garis EH terhadap bidang AKLD adalah 9,6 cm. 12. Jawaban: b Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak garis FH terhadap bidang BDG sama dengan jarak titik P terhadap garis OG yaitu panjang ruas garis PT. Pada ΔPOG siku-siku di P dengan panjang PO = 12 cm. 1) PG = 1 2 × EG = 1 2 × 12 2 = 6 2 cm 2) OG = 2 2 PO PG + = 2 2 12 (6 2) + = 144 72 + = 216 = 6 6 cm Pada ΔPOG berlaku: PT × OG = PO × PG ⇔ PT × 6 6 = 12 × 6 6 ⇔ PT × 6 6 = 72 2 ⇔ PT = 72 2 6 6 = 12 3 = 4 3 cm Jadi, jarak garis FH terhadap bidang BDG adalah 4 3 cm. A B D C E F G H P T O 12 cm 13. Jawaban: e Balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Garis BF dan garis CE saling bersilangan. Garis BF terletak pada bidang ABFE, sedangkan garis CE menembus bidang ABFE di titik E. Pilih garis yang sejajar BF dan memotong ruas garis CE yaitu AE. Sudut antara garis BF dan CE yaitu ∠AEC. Pada ΔACE siku-siku di A dengan panjang AE = 20 cm. 1) AC = 2 2 AB BC + = 2 2 12 9 + = 144 81 + = 225 = 15 cm 2) CE = 2 2 AE AC + = 2 2 20 15 + = 400 225 + = 625 = 25 cm Dengan demikian: cos ∠AEC = AE CE = 20 25 = 4 5 Jadi, nilai kosinus sudut antara garis BF dan garis CE adalah 4 5 . 14. Jawaban: c Titik P pada kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis HP dan bidang ABCD yaitu ∠DPH = α. Pada ΔDPH siku-siku di D dengan panjang DH = 6 cm. A B C D E F H G 12 cm 20 cm 9 cm

Matematika Kelas XII 75 1) DP = 2 2 DC CP + = 2 2 6 3 + = 36 9 + = 45 = 3 5 cm 2) HP = 2 2 DH DP + = 2 2 6 (3 5) + = 36 45 + = 81 = 9 cm Dengan demikian: sin α = DH HP = 6 9 = 2 3 Jadi, nilai sin α adalah 2 3 . 15. Jawaban: c Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD yaitu ∠TNM. Pada ΔTMN dengan panjang MN = 6 cm. 1) TN = 2 2 TC NC − = 2 2 (3 5) 3 − = 45 9 − = 36 = 6 cm 2) Panjang TM = TN = 6 cm dan MN = 6 cm sehingga ΔTMN merupakan segitiga sama sisi. Akibatnya besar ∠TNM = 60°. Jadi, besar sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD adalah 60°. 16. Jawaban: e Nilai kurang dari 75 yang memenuhi adalah nilai 60, 65, dan 70. Banyak siswa yang mendapat nilai 60 ada 5 orang. Banyak siswa yang mendapat nilai 65 ada 7 orang. Banyak siswa yang mendapat nilai 70 ada 3 orang. Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari 75 = 5 + 7 + 3 = 15 orang. Jadi, siswa yang mengikuti remedi sebanyak 15 orang. 17. Jawaban: d Persentase siswa yang gemar sepak bola = 100% – 25% – 15% – 20% = 40% Misalkan: x = banyak siswa gemar sepak bola 20% 40% = 36 x ⇔ x = 36 × 40% 20% = 36 × 2 = 72 Jadi, siswa yang gemar olahraga sepak bola sebanyak 72 siswa. 18. Jawaban: c Misalkan: y = banyak siswa seluruhnya 20% 100% = 36 y ⇔ y = 36 × 100% 20% = 36 × 5 = 180 siswa Jadi, banyak siswa seluruhnya adalah 180 siswa. 19. Jawaban: b Jumlah siswa = 12 + 8 + 6 + 5 + 9 = 40. Tinggi badan tidak kurang dari 160 cm yang memenuhi adalah 160 – 164 dan 165 – 169. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan 160 – 164 ada 5 orang. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan 165 – 169 ada 9 orang. Banyak siswa yang memiliki tinggi badan tidak kurang dari 160 = 5 + 9 = 14. Persentase banyaknya siswa yang memiliki tinggi badan tidak kurang dari 160 cm = 14 40 × 100% = 35% Jadi, persentase siswa yang memiliki tinggi badan tidak kurang dari 160 cm sebesar 35%. 20. Jawaban: e Modus = data yang memiliki frekuensi terbanyak = 6 T D M A B N C 6 cm 3 5 cm Nilai (xi ) 4 5 6 7 8 9 Frekuensi (fi ) 3 6 12 9 7 3 40 fi × xi 12 30 72 63 56 27 260

76 Penilaian Akhir Semester 1 Data fi 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 46–50 9 12 8 10 5 6 fk 9 21 29 39 44 50 Data fi 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 46–50 Jumlah 9 12 8 10 5 6 50 xi 23 28 33 38 43 48 fi xi 207 336 264 380 215 288 1690 Rata-rata data tersebut: x = n i i i 1 n i i 1 f x f = = ∑ ∑ = 260 40 = 6,5 Jadi, modus dan rata-rata data tersebut berturutturut adalah 6 dan 6,5. 21. Jawaban: a Banyak siswa perempuan = nA Banyak siswa laki-laki = nB Tinggi rata-rata siswa perempuan = Ax = 158 Tinggi rata-rata siswa laki-laki = Bx = 168 Tinggi rata-rata keseluruhan siswa = gab x = 165 nA + nB = 30 ⇔ nB = 30 – nA gab x = AA BB A B nx nx n n ×+× + ⇔ 165 = A A n 158 (30 n ) 168 30 ×+− × ⇔ 4.950 = 158nA + 5.040 – 168nA ⇔ 4.950 – 5.040 = 158nA – 168nA ⇔ –90 = –10nA ⇔ nA = 9 Jadi, banyak siswa perempuan adalah 9 orang. 22. Jawaban: a x = 215 + 10p p + 29 ⇔ 7,5 = 215 + 10p p + 29 ⇔ 7,5(p + 29) = 215 + 10p ⇔ 7,5p + 217,5 = 215 + 10p ⇔ 7,5p – 10p = 215 – 217,5 ⇔ –2,5p = –2,5 ⇔ p = 1 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 1. 23. Jawaban: b Data disajikan dalam tabel berikut. Me = Nilai data ke- 50 + 51 2 = Nilai data ke-50 1 2 = 27 Jadi, median data tersebut adalah 27. 24. Jawaban: d x = i i i f x f ∑ ∑ = 1.690 50 = 33,8 Jadi, rata-ratanya adalah 33,8. 25. Jawaban: c Median terletak di data ke- 1 2 × n = 1 2 × 50 = 25. Data ke-25 berada pada interval kelas 31-35. L = 31 – 0,5 = 30,5 fkMe = 9 + 12 = 21 fMe = 8 Nilai (x) 6 7 8 9 10 Jumlah Frekuensi (f) 7 8 9 5 p p + 29 f × x 42 56 72 45 10p 215 + 10p Data 25 26 27 28 29 30 Jumlah Frekuensi 20 14 21 30 6 9 100 fk 20 34 55 85 91 100

Matematika Kelas XII 77 p = 35 – 31 + 1 = 5 Me = 30,5 + Me 1 k 2 Me n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 30,5 + 25 21 8 − × 5 = 30,5 + 5 2 = 30,5 + 2,5 = 33 Jadi, mediannya adalah 33. 26. Jawaban: a Data tersebut disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut. Nilai modus 9,75 terletak pada interval 9–11. L = 8,5 d1 = a – 7 d2 = a – 5 p = 3 Mo = L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p ⇔ 9,75 = 8,5 + a 7 (a 7) (a 5) ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −+− × 3 ⇔ 9,75 – 8,5 = a 7 2a 12 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − × 3 ⇔ 1,25 × (2a – 12) = (a – 7) × 3 ⇔ 2,5a – 15 = 3a – 21 ⇔ 2,5a – 3a = –21 + 15 ⇔ –0,5a = –6 ⇔ a = 12 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 12. 27. Jawaban: b Kuartil atas = Q3 dan n = 50. Q3 terletak pada data ke- 3 4 × 50 = 37,5. Q3 terletak pada kelas interval 44–49. Tb = 43,5, p = 6, fQ3 = 12, fk = 27 Q3 = Tb + 3 3 k 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 43,5 + 37,5 27 12 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 6 = 43,5 + 5,25 = 48,75 Jadi, kuartil atas dari data tersebut adalah 48,75. 28. Jawaban: d x = 12 n x x ... x n + ++ = 12 3 11 3 4 7 5 11 8 ++ +++++ = 56 8 = 7 SR = |12 7 | | 3 7 | |11 7 | | 3 7 | | 4 7 | | 7 7 | | 5 7 | |11 7 | 8 −+−+ −+−+−+−+−+ − = 54443024 8 +++++++ = 26 8 = 3,25 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 3,25. 29. Jawaban: c x – = 2n 2n 1 3n 2 n 1 4 + ++ − + + ⇔ 8 = 8n 4 ⇔ 8n = 32 ⇔ n = 4 Data menjadi: 8, 9, 10, 5 Σ(xi – x–)2= (8 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (5 – 8)2 = 0 + 1 + 4 + 9 = 14 Variansi: s2 = 2 i (x x) n Σ − = 14 4 = 3,5 Jadi, variansi data tersebut adalah 3,5. 30. Jawaban: c 3–5 6–8 9–11 12–14 15–17 Data 3–5 6–8 9–11 12–14 15–17 Frekuensi 2 7 a 5 4 ← Kelas Mo Kelas Ke- Data f fk ≤ 5 6 6 10 12 7 4 50 20–25 26–31 32–37 38–43 44–49 50–55 56–61 Jumlah 1 2 3 4 5 6 7 5 11 17 27 39 46 50 Data 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 f 6 4 8 4 6 28 xi 53 58 63 68 73 fi xi 318 232 504 272 438 1.764 xi – x –10 –5 0 5 10 f i (xi – x )2 600 100 0 100 600 1.400

78 Penilaian Akhir Semester 1 A T C P O A B C D E F H G O P 18 cm A B D C K L T 12 cm 12 cm O A B D C E F G H P 4 cm 6 cm 12 cm 2 cm T L O K x = 1.764 28 = 63 Simpangan baku data tersebut: s = 5 2 ii i 1 5 i i 1 f (x x) f = = ∑ − ∑ = 1.400 28 = 50 = 5 2 Jadi, simpangan baku data tersebut adalah 5 2 . B . Uraian 1. a. Kedudukan titik A terhadap garis BE Garis BE melalui titik B dan titik E, tetapi tidak melalui titik A. Dengan demikian, titik A terletak di luar garis BE. b. Kedudukan titik B terhadap bidang ABGH Bidang ABGH melalui titik A, titik B, titik G, dan titik H. Dengan demikian, titik B terletak pada bidang ABGH. c. Kedudukan garis BG terhadap bidang ACGE Garis BG menembus bidang ACGE di titik G. d. Kedudukan garis AD terhadap bidang BCHE Garis AD sejajar garis EH, sedangkan garis EH terletak pada bidang BCHE. Dengan demikian, garis AD sejajar dengan bidang BCHE. 2. Titik P pada balok ABCD.EFGH disajikan seperti berikut. Jarak titik E terhadap titik P yaitu panjang ruas garis EP. Oleh karena BP : PC = 2 : 1 maka panjang BP = 2 3 × 6 = 4 cm. Pada ΔEBP sikusiku di B dengan panjang BP = 4 cm. 1) EB = 2 2 AB AE + = 2 2 12 6 + = 144 36 + = 180 = 6 5 cm 2) EP = 2 2 EB BP + = 2 2 (6 5) 4 + = 180 16 + = 196 = 14 cm Jadi, jarak titik E terhadap titik P adalah 14 cm. 3. Titik K dan titik L pada limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Jarak titik T terhadap ruas garis KL yaitu panjang ruas garis TO. Pada ΔKTL diketahui panjang: 1) KL = 2 2 AK AL + = 2 2 6 6 + = 36 36 + = 72 = 6 2 cm 2) TK = 2 2 TA AK − = 2 2 12 6 − = 144 36 − = 108 = 6 3 cm 3) Panjang TL = TK sehingga ΔKTL merupakan segitiga sama kaki. Akibatnya titik O di tengah ruas garis KL. 4) TO = 2 2 TK KO − = 2 2 (6 3) (3 2) − = 108 18 − = 90 = 3 10 cm Jadi, jarak titik T terhadap ruas garis KL adalah 3 10 cm. 4. Kubus ABCD.EFGH disajikan seperti berikut.

Matematika Kelas XII 79 Jarak titik C terhadap bidang AFH sama dengan jarak titik C terhadap garis AO yaitu panjang ruas garis CP. Pada ΔACT diketahui panjang: 1) AC = 2 2 AB BC + = 2 2 18 18 + = 18 2 cm 2) AO = 2 2 AE EO + = 2 2 18 (9 2) + = 324 162 + = 486 = 9 6 cm 3) Panjang AO = CO = 9 6 cm sehingga ΔACT merupakan segitiga sama kaki. Pada ΔACT berlaku: CP × AO = AC × OT ⇔ CP × 9 6 = 18 2 × 18 ⇔ CP × 6 = 36 2 ⇔ CP = 36 2 6 = 36 3 = 12 3 cm Jadi, jarak titik C terhadap bidang AFH adalah 12 3 cm. 5. Limas T.ABCD disajikan seperti berikut. Sudut antara ruas garis TA dan bidang TBD yaitu ∠ATO = α. Pada ΔAOT siku-siku di O dengan panjang TO = 8 cm. 1) AO = 1 2 × AC = 1 2 × 4 2 = 2 2 cm 2) TA = 2 2 AO TO + = 2 2 (2 2) 8 + = 8 64 + = 72 = 6 2 cm Dengan demikian: sin α = AO TA = 2 2 6 2 = 1 3 Jadi, nilai sin α adalah 1 3 . A B D C T O 4 cm 8 cm α 6. Data setelah diurutkan sebagai berikut. 22 25 25 27 30 32 32 34 35 37 38 41 42 44 45 47 47 48 49 51 51 52 53 54 54 55 57 57 58 59 59 60 63 64 64 66 67 68 68 69 71 72 73 73 75 76 76 78 80 86 Banyak data = n = 50 Nilai data terkecil = 22 Nilai data terbesar = 86 Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil = 86 – 22 = 64 Banyak kelas = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 × 1,699 = 1 + 5,6 = 6,6 ≈ 7 Panjang kelas: p = Jangkauan Banyak kelas = 64 7 = 9,142 ≈ 10 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb1 = data terkecil = 22 Ba1 = Bb1 + (p – 1) = 22 + (10 – 1) = 31 Diperoleh kelas interval pertama: 22 – 31 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval kedua. Bb2 = Ba1 + 1 = 31 + 1 = 32 Ba2 = Bb2 + (p – 1) = 32 + (10 – 1) = 41 Diperoleh kelas interval kedua: 32 – 41 Dengan cara yang sama diperoleh: Kelas interval ketiga : 42 – 51 Kelas interval keempat : 52 – 61 Kelas interval kelima : 62 – 71 Kelas interval keenam : 72 – 81 Kelas interval ketujuh : 82 – 91 Tabel distribusi frekuensi data nilai ulangan matematika kelas XII IPS sebagai berikut. Nilai Frekuensi 22–31 32–41 42–51 52–61 62–71 72–81 82–91 5 7 9 11 9 8 1

80 Penilaian Akhir Semester 1 Berat Badan 45–49 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 Frekuensi 4 12 15 18 6 5 fk 4 16 31 49 55 60 Histogram data nilai ulangan matematika kelas XII IPS. 7. a. Tabel distribusi berkelompok b. Mean, modus, dan median Mean Mean/rata-rata: x = 3.165 50 = 63,3 Modus Mo terletak di kelas interval 53–62. L = 52,5 d1 = 13 – 8 = 5 d2 = 13 – 7 = 6 p = 10 Mo= L + 1 1 2 d d d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × p = 52,5 + 5 5 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + × 10 = 52,5 + 4,55 = 57,05 Median Median = nilai data ke- 1 2 × 50 = nilai data ke-25 Data ke-25 terletak di kelas interval 53–62. LMe = 52,5 fkMe = 13 fMe = 13 p = 10 Me = LMe + Me e 1 k 2 M n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 52,5 + 25 13 13 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 10 = 52,5 + 9,23 = 61,73 Jadi, rata-rata data 63,3, modus data 57,05, dan median data 61,73. 8. Kuartil bawah = Q1 Letak Q1 = data ke- 1 4 × 60 = data ke-15 Data ke-15 terletak di kelas interval 50–54. L1 = 49,5 fkQ1 = 4 fQ1 = 12 p = 5 Q1 = L1 + Q1 1 1 k 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 49,5 + 15 4 12 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 49,5 + 4,58 = 54,08 Kuartil atas = Q3 Letak Q3 = data ke- 3 4 × 60 = data ke-45 Data ke-45 terletak di kelas interval 60–64. L3 = 59,5 fkQ3 = 31 fQ3 = 18 p = 5 Nilai 33–42 43–52 53–62 63–72 73–82 83–92 Frekuensi 5 8 13 7 11 6 Nilai 33–42 43–52 53–62 63–72 73–82 83–92 f 5 8 13 7 11 6 50 fk 5 13 26 33 44 50 x 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 fx 187,5 380 747,5 472,5 852,5 525 3.165 12 10 8 6 4 2 0 Frekuensi Nilai 22 – 31 32 – 41 42 – 51 52 – 61 62 – 71 72 – 81 82 – 91

Matematika Kelas XII 81 Q3 = L3 + Q3 3 3 k 4 Q n f f ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × p = 59,5 + 45 31 18 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × 5 = 59,5 + 3,89 = 63,39 Simpangan kuartil: Qd = 1 2 (Q3 – Q1) = 1 2 (63,39 – 54,08) = 1 2 (9,31) = 4,655 Jadi, simpangan kuartil data tersebut adalah 4,655 kg. 9. a. Rata-rata x = i i i f x f ∑ ∑ = 280 40 = 7 Jadi, rata-rata data adalah 7. b. Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata: SR = n i i i 1 n i i 1 f |x x| f = = ∑ − ∑ = 40 40 = 1 Jadi, simpangan rata-rata data adalah 1. c. Variansi Variansi: s2 = n 2 i i i 1 n i i 1 f (x x) f = = ∑ − ∑ = 60 40 = 1,5 Jadi, variansi data tersebut adalah 1,5. 10. Misalnya: Banyak siswa laki-laki = nA = nB + 8 Banyak siswa perempuan = nB Rata-rata nilai siswa laki-laki = Ax = 7 Rata-rata nilai siswa perempuan = Bx = 8 Rata-rata nilai gabungan = xgab = 7,4 x gab = AA BB A B nx nx n n ×+× + ⇔ 7,4 = B B B B (n 8) 7 n 8 (n 8) n + ×+ × + + ⇔ 7,4 = B B B 7n 56 8n 2n 8 + + + ⇔ 7,4 × (2nB + 8) = 15nB + 56 ⇔ 14,8nB + 59,2 = 15nB + 56 ⇔ 14,8nB – 15nB = 56 – 59,2 ⇔ –0,2nB = –3,2 ⇔ nB = 3,2 0,2 − − ⇔ nB = 16 nB = 16 substitusi ke persamaan nA = nB + 8 nA = nB + 8 = 16 + 8 = 24 Banyaknya siswa seluruhnya di kelas tersebut = nA + nB = 24 + 16 = 40 Jadi, banyak seluruh siswa di kelas tersebut adalah 40 siswa. xi 5 6 7 8 9 Jumlah fi 6 8 10 12 4 40 f i xi 30 48 70 96 36 280 xi 5 6 7 8 9 Jumlah fi 6 8 10 12 4 40 xi – x –2 –1 0 1 2 f|xi – x | 12 8 0 12 8 40 xi 5 6 7 8 9 Jumlah fi 6 8 10 12 4 40 xi – x –2 –1 0 1 2 f(xi – x )2 24 8 0 12 16 60

82 Kaidah Pencacahan 1. Peserta didik mampu mendeskripsikan kaidah pencacahan dengan benar setelah menyimak Pendalaman Materi dan Contoh Soal; 2. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah menggunakan aturan penjumlahan dengan benar setelah mengerjakan soal-soal Uji Kompetensi; 3. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah menggunakan aturan perkalian dengan benar setelah mengerjakan soal-soal Uji Kompetensi; 4. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah permutasi dengan benar setelah mengerjakan soal-soal Uji Kompetensi; 5. Peserta didik mampu menyelesaikan masalah kombinasi dengan benar setelah mengerjakan soal-soal Uji Kompetensi. mempelajari Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi Kaidah Pencacahan • Percobaan • Diagram Pohon • Aturan Penjumlahan • Aturan Perkalian • Faktorial • Permutasi • Permutasi Siklis • Kombinasi Percobaan dan Hasil Percobaan Aturan Penjumlahan Aturan Perkalian Faktorial Permutasi Kombinasi meliputi meliputi

Matematika Kelas XII 83 No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Moka 2 1 1 0 0 0 Cokelat 0 1 0 2 1 0 Keju 0 0 1 0 1 2 Urutan ke 13 14 15 16 17 18 Kata KADU KAUD KDAU KDUA KUAD KUDA A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e Banyak buku = 8 Banyak catatan = 2 Banyak teks = 8 – 2 = 6 Dari 2 buku catatan dan 6 buku teks dipilih 4 buku. Hasil pemilihan yang mungkin adalah: – 2 buku catatan dan 2 buku teks – 1 buku catatan dan 3 buku teks – 4 buku teks Jadi, jawaban yang benar adalah pilihan e. 2. Jawaban: c Sebuah bilangan disusun dengan syarat-syarat berikut. 1) Terdiri atas angka-angka 1, 2, 4, 5, dan 6. 2) Bilangan ratusan berarti terdiri atas 3 angka. 3) Bilangan ganjil berarti angka terakhirnya 1 atau 5. 4) Bernilai kurang dari 400 berarti angka pertamanya 1 atau 2. Bilangan 105 tidak memenuhi syarat pertama. Bilangan 214 tidak memenuhi syarat ketiga. Bilangan 245 memenuhi semua syarat. Bilangan 315 tidak memenuhi syarat pertama. Bilangan 421 tidak memenuhi syarat keempat. Jadi, salah satu bilangan yang mungkin adalah 245. 3. Jawaban: b Banyak roti yang dibeli adalah 20. Ada 3 pilihan rasa roti, masing-masing rasa minimal dibeli 6 roti. Sisa pilihan = 20 – 3 × 6 = 2 Komposisi pilihan 2 rasa roti yang mungkin disajikan dalam tabel berikut. Jadi, banyak komposisi roti yang mungkin adalah 6. 4. Jawaban: d Urutan huruf penyusun kata berdasarkan urutan alfabetik adalah A, D, K, dan U. Banyak kata yang dapat dibentuk dari keempat huruf tersebut ada 24 dengan perincian sebagai berikut. Kata dengan huruf pertama A ada 6 pada urutan 1–6. Kata dengan huruf pertama D ada 6 pada urutan 7–12. Kata dengan huruf pertama K ada 6 pada urutan 13–18. Kata dengan huruf pertama U ada 6 pada urutan 19–24. Kata dengan huruf pertama K ada 6 pada urutan 13–18 dapat dituliskan sebagai berikut. Jadi, berdasarkan urutan alfabetik kata KUDA pada urutan ke-18. 5. Jawaban: b Banyak pilihan baju ada 4. Banyak pilihan kaus ada 5. Banyak pilihan baju atau kaus ada 4 + 5 = 9. Jadi, banyak pilihan baju atau kaus yang dapat dipakai Rini adalah 9. 6. Jawaban: d Banyak pasangan sepatu ada 2 pilihan. Banyak pasangan kaus kaki ada 5 pilihan. Banyak pasangan sepatu dan kaus kaki ada 2 × 5 = 10 pilihan. Jadi, banyak pasangan sepatu dan kaus kaki yang dapat dipakai Firman ada 10 pilihan. 7. Jawaban: e Jumlah anggota tim ada 6 + 4 = 10. Banyak pilihan ketua ada 10. Banyak pilihan sekretaris ada 10 – 1 = 9. Banyak pilihan ketua dan sekretaris ada 10 × 9 = 90. Jadi, banyak pilihan untuk menjadi ketua dan sekretaris ada 90. 8. Jawaban: d Banyak jalan yang menghubungkan kota A dan kota B ada 5. Banyak pilihan jalan untuk berangkat ada 5. Banyak pilihan jalan untuk pulang ada 5 – 1 = 4. Banyak pilihan jalan = 5 × 4 = 20 Jadi, pilihan jalan yang dapat dilalui Dita sebanyak 20.

84 Kaidah Pencacahan 9. Jawaban: d Perlengkapan skateboard: Papan ada 3 pilihan. Set roda ada 2 pilihan. Set sumbu ada 1 pilihan. Set perlengkapan kecil ada 2 pilihan. Jadi, banyak skateboard berbeda yang dapat dibuat = 3 × 2 × 1 × 2 = 12 10. Jawaban: c Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk nilainya lebih dari 200 maka angka yang menempati nilai tempat ratusan adalah 2, 3, 4, atau 5. Berarti terdapat 4 cara untuk menempati nilai tempat ratusan. Angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan adalah 1, 2, 3, 4, atau 5 ada 5 angka. Oleh karena angka dalam setiap bilangan berbeda, terdapat (5 – 1) angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan. Berarti ada (5 – 1) = 4 cara untuk menempati nilai tempat puluhan. Begitu juga dengan nilai tempat satuan, terdapat (4 – 1) = 3 cara untuk menempati nilai tempat satuan. Dengan demikian, banyak bilangan lebih dari 200 yang dapat dibentuk adalah 4 × 4 × 3 = 48. Jadi, banyak bilangan ada 48. 11. Jawaban: b Bilangan tiga angka terdiri atas ratusan, puluhan, dan satuan. Angka-angka penyusun bilangan ada 10, yaitu 0, 1, 2, 3, ..., 9. Bilangan kelipatan 5 maka angka satuannya hanya mempunyai 2 pilihan yaitu 0 atau 5. Jika angka satuannya 0 maka angka tersisa untuk ratusan dan puluhan ada 9 yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Angka untuk ratusan mempunyai 9 pilihan dan angka untuk puluhan mempunyai 8 pilihan. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah 9 × 8 = 72. Jika angka satuannya 5, maka angka tersisa untuk ratusan dan puluhan ada 9 yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Angka untuk ratusan tidak 0 maka mempunyai 8 pilihan. Angka untuk puluhan mempunyai 8 pilihan. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah 8 × 8 = 64. Banyak bilangan = 72 + 64 = 136 Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun adalah 136. 12. Jawaban: e Huruf konsonan yang tersedia = 21 huruf Angka yang tersedia = 10 angka Angka kedua hanya dapat diisi oleh angka prima 2, 3, 5, dan 7 sehingga ada 4 cara. Sebuah angka sudah digunakan pada angka kedua sehingga angka pertama hanya dapat diisi 10 – 1 = 9 angka. huruf angka I angka II 21 cara 9 cara 4 cara Banyak nomor undian = 21 × 9 × 4 = 756. Jadi, nomor undian yang dapat dibuat sebanyak 756. 13. Jawaban: b Banyak pilihan celana panjang ada 4. Banyak pilihan baju atau kaus ada 3 + 5 = 8. Banyak pilihan pakaian ada 4 × 8 = 32. Jadi, banyak variasi pakaian yang dapat digunakan Amir ada 32. 14. Jawaban: d Dari kota A ke kota C lewat jalur utara: Kota A ke kota B ada 3 jalur. Kota B ke kota C ada 2 jalur. Dari kota A ke kota C melalui B = 3 × 2 = 6 jalur. Dari kota A ke kota C lewat jalur selatan: Kota A ke kota D ada 2 jalur. Kota D ke kota C ada 4 jalur. Dari kota A ke kota C melalui D = 2 × 4 = 8 jalur. Banyak jalur dari kota A ke kota C ada: 6 + 8 = 14 jalur. Jadi, banyak pilihan jalur yang dapat dilalui ada 14. 15. Jawaban: c Dony hanya boleh meminjam dua buku dan satu buku untuk setiap jenis yang diinginkannya, maka pilihannya ekonomi dan sosiologi, ekonomi dan geografi, atau sosiologi dan geografi. Banyak pilihan buku ekonomi ada 4. Banyak pilihan buku sosiologi ada 3. Banyak pilihan buku geografi ada 5. Banyak pilihan buku ekonomi dan sosiologi ada 4 × 3 = 12. Banyak pilihan buku ekonomi dan geografi ada 4 × 5 = 20. Banyak pilihan buku sosiologi dan geografi ada 3 × 5 = 15. Banyak pilihan buku yang dipinjam Dony ada 12 + 20 + 15 = 47. Jadi, Dony mempunyai 47 pilihan untuk buku yang dipinjam.

Matematika Kelas XII 85 Siti (Anto, Siti) (Budi, Siti) (Gani, Siti) (Endro, Siti) Anto Budi Gani Endro Dita (Anto, Dita) (Budi, Dita) (Gani, Dita) (Endro, Dita) Erna (Anto, Erna) (Budi, Erna) (Gani, Erna) (Endro, Erna) Anto Budi Gani Endro Siti Dita Erna Siti Dita Erna Siti Dita Erna Siti Dita Erna (Anto, Siti) (Anto, Dita) (Anto, Erna) (Budi, Siti) (Budi, Dita) (Budi, Erna) (Gani, Siti) (Gani, Dita) (Gani, Erna) (Endro, Siti) (Endro, Dita) (Endro, Erna) B. Uraian 1. Banyak anggota laki-laki ada 4 anak yaitu Anto, Budi, Gani, dan Endro. Banyak anggota perempuan ada 3 anak yaitu Siti, Dita, dan Erna. Banyak pasangan laki-laki dan perempuan yang dapat mewakili tim adalah 4 × 3 = 12. a. Daftar pasangan laki-laki dan perempuan dalam bentuk tabel sebagai berikut. b. Daftar pasangan laki-laki dan perempuan dalam bentuk diagram pohon sebagai berikut. No. I II III Komposisi Hadiah 1. 9 1 0 (19, 11, 10) 2. 8 2 0 (18, 12, 10) 3. 7 3 0 (17, 13, 10) 4. 7 2 1 (17, 12, 11) 5. 6 4 0 (16, 14, 10) 6. 6 3 1 (16, 13, 11) 7. 5 4 1 (15, 14, 11) 8. 5 3 2 (15, 13, 12) Jadi, banyak komposisi hadiah yang mungkin adalah 8. 3. Bilangan ribuan yang terdiri atas empat angka dengan nilai tempat dari depan berturut-turut ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan. a. Bilangan terkecil diperoleh jika angka ribuannya terkecil adalah 2. Oleh karena angka 2 telah digunakan, maka angka ratusan terkecil adalah 3. Oleh karena angka 2 dan 3 telah digunakan, maka angka puluhan terkecil adalah 5. Oleh karena angka 2, 3, dan 5 telah digunakan, maka angka satuan terkecil adalah 7. Jadi, bilangan terkecil adalah 2.357. b. Bilangan terbesar diperoleh jika angka ribuannya terbesar yaitu 8. Oleh karena angka 8 telah digunakan, maka angka ratusan terbesar adalah 7. Oleh karena angka 8 dan 7 telah digunakan, maka angka puluhan terbesar adalah 5. Angka yang belum digunakan adalah 2 dan 3. Oleh karena bilangan yang diinginkan genap, maka angka satunnya 2. Jadi, bilangan genap terbesar adalah 8.752. c. Angka satuan pada bilangan ganjil adalah 3, 5, atau 7 yaitu 3 pilihan. Angka ribuan, ratusan, dan puluhan berturutturut mempunyai 4 pilihan, 3 pilihan, dan 2 pilihan. Banyak bilangan = 3 × 4 × 3 × 2 = 72 Jadi, banyak bilangan ganjil ada 72. d. Angka ribuan pada bilangan yang bernilai kurang dari 5.000 adalah 2 atau 3 yaitu 2 pilihan. Angka ratusan, puluhan, dan satuan berturutturut mempunyai 4 pilihan, 3 pilihan, dan 2 pilihan. Banyak bilangan = 2 × 4 × 3 × 2 = 48 Jadi, banyak bilangan bernilai kurang dari 5.000 ada 48. 2. Ada 3 peserta penerima hadiah dan masingmasing minimal menerima 10 buku tulis, berarti ada 30 buku tulis digunakan dan tersisa 10 buku tulis sebagai tambahan hadiah. 10 buku tulis tersebut dibagikan dengan ketentuan peserta berperingkat lebih tinggi harus menerima buku lebih banyak. Komposisi pembagian 10 buku tulis yang mungkin disajikan dalam tabel berikut.

86 Kaidah Pencacahan 4. Banyak pilihan buku Matematika ada 4. Banyak pilihan buku Bahasa Indonesia ada 3. Banyak pilihan buku Bahasa Inggris atau Biologi ada 3 + 2 = 5. Banyak pilihan yang dibeli adalah 4 × 3 × 5 = 60. Jadi, Azka mempunyai 60 pilihan variasi buku yang dapat dibelinya. 5. Tabel anggota klub bulu tangkis Tangkas sebagai berikut. Pemain Pemain Jumlah Putra Putri Kelompok anak 8 7 15 Kelompok remaja 6 3 9 Jumlah 14 10 24 a. Banyak pilihan pemain putra dari kelompok remaja ada 6. Banyak pilihan pemain putri dari kelompok remaja ada 3. Banyak pilihan ganda campuran dari kelompok remaja ada 6 × 3 = 18. Jadi, banyak ganda campuran yang dapat dibentuk dari kelompok remaja adalah 18 pasangan. b. Pasangan ganda campuran terdiri atas pemain putra dari kelompok anak dan pemain putri dari kelompok remaja atau sebaliknya. Banyak pilihan pemain putra dari kelompok anak adalah 8. Banyak pilihan pemain putri dari kelompok remaja adalah 3. Banyak ganda campuran terdiri atas pemain putra dari kelompok anak dan pemain putri dari kelompok remaja adalah 8 × 3 = 24. Banyak pilihan pemain putri dari kelompok anak adalah 7. Banyak pilihan pemain putra dari kelompok remaja adalah 6. Banyak ganda campuran terdiri atas pemain putri dari kelompok anak dan pemain putra dari kelompok remaja adalah 7 × 6 = 42. Banyak ganda campuran = 24 + 42 = 66. Jadi, banyak ganda campuran dengan satu pemain dari masing-masing kelompok adalah 66 pasangan. 1. Jawaban: d 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7654321 7654321 ×××××× ×××××× = 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 7654321 × × ××××××××× ×××××× = 12! 7! Jadi, 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 12! 7! . 2. Jawaban: a 15! 4! 16! 14! × − = 15! 4 3 2 1 16 15! 14! × ×× ×− × = 15! 24 16 15! 14! × −× = 15! (24 16) 14! × − = 15! 8 14! × = 15 14! 8 14! × × = 15 × 8 = 120 Jadi, 15! 4! 16! 14! × − = 120. 3. Jawaban: c (n 2) (n 1) (n 2) (n 1) +×+ −×− = (n 2) (n 1) 1 +×+ × 1 (n 1) (n 2) −× − = (n 2) (n 1) n ... 2 1 n ... 2 1 + × + ×× ×× × ×× × (n 3) ... 2 1 (n 1) (n 2) (n 3) ... 2 1 − × ×× − × − × − × ×× = (n 2)! n! + × (n 3)! (n 1)! − − = (n 2)! (n 3)! n! (n 1)! + ×− × − Jadi, (n 2) (n 1) (n 2) (n 1) +×+ −×− = (n 2)! (n 3)! n! (n 1)! + ×− × − . A. Pilihan Ganda

Matematika Kelas XII 87 8. Jawaban: c Posisi duduk berselang-seling: ahli gizi - dokter - ahli gizi - dokter - ahli gizi - dokter - ahli gizi Banyak kemungkinan susunan ahli gizi adalah 4P4. Banyak kemungkinan susunan dokter adalah 3P3. Banyak kemungkinan susunan ahli gizi dan dokter: 4P4 × 3P3 = 4! × 3! = 24 × 6 = 144 Jadi, banyak kemungkinan posisi duduk ada 144. 9. Jawaban: a B, C, dan D selalu berdampingan berarti dianggap 1 kelompok atau 1 unsur yaitu BCD. Banyak unsur yang disusun ada 4 yaitu A, BCD, E, dan F, berarti banyak cara menyusun ke-4 unsur = 4P4 = 4!. Banyak cara menyusun B, C, dan D = 3P3 = 3!. Banyak cara berfoto = 4P4 × 3P3 = 4! × 3! = 24 × 6 = 144 Jadi, cara berfoto ada 144. 10. Jawaban: d Banyak susunan ketiga jenis buku ada 3P3 = 3!. Banyak susunan 4 buku Matematika ada 4P4 = 4!. Banyak susunan 3 buku pengetahuan umum ada 3P3 = 3!. Banyak susunan 2 buku ensiklopedia ada 2P2 = 2!. Banyak susunan buku = 3! × 4! × 3! × 2! = 6 × 24 × 6 × 2 = 1.728 Jadi, banyak susunan buku adalah 1.728. 11. Jawaban: a Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata ARJUNA = permutasi 6 elemen dengan 2 elemen sama = 6! 2! = 6 5 4 3 2! 2! ×××× = 360 Jadi, banyak kata yang dapat dibentuk ada 360. 12. Jawaban: c Banyak angka penyusun bilangan ada 8. Angka pertama bilangan adalah 3, maka banyak angka penyusunnya tersisa tujuh terdiri atas dua 4. Jawaban: b Akan dipilih 3 orang sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara merupakan pemilihan yang memperhatikan urutan (permutasi). Banyak cara memilih 3 pengurus dari 6 pengurus = permutasi 3 unsur dari 6 unsur = 6P3 = 6! (6 3)! − = 6 5 4 3! 3! ××× = 6 × 5 × 4 = 120 Jadi, banyak hasil yang mungkin dari pemilihan pengurus adalah 120 cara. 5. Jawaban: c Peserta yang tersisa = 36 – 28 = 8 Banyak susunan juara = 8P5 = 8! (8 5)! − = 8! 3! = 8 7 6 5 4 3! 3! ××××× = 6.720 Jadi, banyak susunan juara ada 6.720. 6. Jawaban: a n + 1P3 = 8 × nP2 ⇔ (n 1)! (n 1 3)! + + − = 8 × n! (n 2)! − ⇔ (n 1)! (n 2)! + − = 8 × n! (n 2)! − ⇔ (n 1)! (n 2)! + − × (n 2)! − n! = 8 ⇔ (n 1) n! n! + × = 8 ⇔ n + 1 = 8 ⇔ n = 7 Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8. 7. Jawaban: d Masuk Keluar 3P1 3P2 Banyak cara masuk dan keluar pintu GOR = 3P1 × 3P2 = 3! 2! × 3! 1! = 3 × 6 = 18 Jadi, banyak cara mereka masuk dan keluar ada 18.

88 Kaidah Pencacahan angka 2 dan tiga diantara angka 4. Banyak bilangan berbeda yang diperoleh merupakan permutasi 7 unsur dengan 2 dan 3 unsur sama. Banyak susunan: P = 7! 2! 3! × = 7 6 5 4 3! 2 1 3! ×××× × × = 7× 6 × 5 × 2 = 420 Jadi, banyak bilangan berbeda yang diperoleh adalah 420. 13. Jawaban: b Ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 anggota dewan akan duduk melingkar. Ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipandang sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi permutasi siklis dari 1 + 3 = 4 unsur. Banyak susunan duduk ketua di antara wakil ketua dan sekretaris = 2! Banyak susunan duduk dari ketujuh anggota DPRD = (4 – 1)! × 2! = 3! × 2! = 6 × 2 = 12 Jadi, banyak cara duduk dalam rapat tersebut ada 12 cara. 14. Jawaban: a Kelompok matematika dan bahasa dipandang sebagai 1 unsur sehingga banyak cara duduk merupakan permutasi siklis dari 6. Pada kelompok matematika dapat duduk dalam 3! cara dan pada kelompok bahasa 2! cara. Banyak cara duduk seluruhnya ada = (6 – 1)! × 3! × 2! = 1.440 cara Jadi, banyak cara duduk ada 1.440. 15. Jawaban: b Setiap tim yang terbentuk terdiri atas 3 orang dan urutan pemilihan ketiga orang tersebut tidak diperhatikan. Oleh karena itu, soal ini merupakan permasalahan kombinasi. Banyak susunan tim yang dapat dibentuk: 8C3 = 8! 3! (8 3)! × − = 8 7 6 5! 3 2 1 5! ××× × ×× = 8 × 7 = 56 Jadi, banyak tim yang dapat dibentuk ada 56. 16. Jawaban: d Jumlah soal yang harus dikerjakan 5. Dua soal (nomor 1 dan 2) wajib dikerjakan, berarti ada 3 soal yang harus dipilih siswa. Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 6 soal, yaitu nomor 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakan siswa = memilih 3 soal dari 6 soal = 6C3 = 6! 3! (6 3)! × − = 6 5 4 3! 3 2 1 3! ××× × ×× = 5 × 4 = 20 Jadi, banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakan ada 20. 17. Jawaban: d 2 × n + 1C4 = 3 × nC3 ⇔ 2 × (n 1)! 4! (n 3)! + × − = 3 × n! 3! (n 3)! × − ⇔ 2 × (n 1) n! 4 3! (n 3)! + × ×× − × 3! (n 3)! n! × − = 3 ⇔ 1 2 (n + 1) = 3 ⇔ n + 1 = 6 ⇔ n = 5 Jadi, nilai n = 5. 18. Jawaban: e Banyak cara memilih 1 dari 4 pria yang tersedia adalah 4C1. Banyak cara memilih 2 dari 6 wanita yang tersedia adalah 6C2. Banyak cara memilih 1 pria dan 2 wanita = 4C1 × 6C2 = 4! 3! 1! × × 6! 4! 2! × = 4 × 15 = 60 Jadi, banyak cara memilih 1 pria dan 2 wanita adalah 60. 19. Jawaban: e Dari 7 orang peserta dipilih 3 orang untuk menempati kamar pertama, banyak cara ada 7C3. Tersisa 7 – 3 = 4 orang. Dari 4 orang peserta yang tersisa dipilih 2 orang untuk menempati kamar berikutnya, banyak cara ada 4C2. Tersisa 4 – 2 = 2 orang. Dari 2 orang peserta yang tersisa dipilih 2 orang untuk menempati kamar terakhir, banyak cara ada 2C2.

Matematika Kelas XII 89 Jadi, banyak susunan berfoto dengan dua anak perempuan berdiri di ujung adalah 36. 2. a. 10 × 9Cn = 3! × 10Cn + 1 ⇔ 10 9! n! (9 n)! × × − = 6 × 10! (n 1)! (10 n 1)! + × −− ⇔ 10! n! (9 n)! × − = 6 n 1 + × 10! n! (9 n)! × − ⇔ 1 = 6 n 1 + ⇔ n + 1 = 6 ⇔ n = 5 Jadi, nilai n = 5. b. 2n + 1C2 = 3 × nP2 ⇔ (2n 1)! 2! (2n 1 2)! + × +− = 3 n! (n 2)! × − ⇔ (2n 1)(2n)(2n 1)! 2(2n 1)! + − − = 3n(n 1)(n 2)! (n 2)! − − − ⇔ (2n + 1) × n = 3n(n – 1) ⇔ 2n + 1 = 3(n – 1) ⇔ 2n + 1 = 3n – 3 ⇔ n = 4 Jadi, nilai n = 4. 3. a. Bola merah ada 9 buah. Banyak cara pengambilan tiga bola merah = kombinasi 3 dari 9 = 9C3 = 9! 3! (9 3)! × − = 9 8 7 6! 3 2 1 6! ××× × ×× = 84 Jadi, banyak cara pengambilan ketiga bola merah adalah 84. b. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola biru. Artinya, bola yang terambil 2 bola biru dan 1 bola merah. Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan 1 bola merah = 5C2 × 9C1 = 5! 2! 3! × × 9! 1! 8! × = 5 4 3! 2 1 3! × × × × × 9 8! 1 8! × × = 10 × 9 = 90 Jadi, banyak cara pengambilan 2 bola biru adalah 90. Banyak cara penempatan peserta ekspedisi 7C3 × 4C2 × 2C2 = 7! 3! (7 3)! × − × 4! 2! (4 2)! × − × 2! 2! (2 2)! × − = 7 6 5 4! 3 2 1 4! ××× × ×× × 4 3 2! 2 1 2! × × × × × 2 1 2 1 0! × × × = 21 × 6 × 1 = 126 Jadi, banyak cara penempatan peserta ekspedisi ada 126. 20. Jawaban: c Banyak huruf ada 26. Banyak cara memilih 4 huruf dari 26 huruf ada 26C4. Banyak angka ada 10. Banyak cara memilih 4 angka dari 10 angka ada 10C4. Banyak cara menyusun 4 angka dan 4 huruf yang sudah terpilih ada 8P8 = 8!. Jadi, banyak kata sandi yang dapat disusun adalah 26C4 × 10C4 × 8!. B. Uraian 1. a. Menentukan banyak susunan dari lima anak berdiri merupakan permasalahan permutasi. Banyak susunan = 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Jadi, banyak susunan berfoto yang mungkin adalah 120. b. Menentukan banyak susunan dari 2 anak lakilaki di ujung dan 3 anak perempuan di antaranya merupakan permasalahan permutasi. Banyak susunan = 2P2 × 3P3 = 2! × 3! = 2 × 6 = 12 Jadi, banyak susunan berfoto dengan dua anak laki-laki berdiri di ujung adalah 12. c. Menentukan banyak susunan dari 2 anak perempuan di ujung dan 3 anak lainnya di antara kedua anak perempuan tersebut merupakan permasalahan permutasi. Banyak susunan = 3P2 × 3P3 = 3! (3 2)! − × 3! = 6 1 × 6 = 36

90 Kaidah Pencacahan 4. Banyak cara memilih 3 huruf konsonan dari 5 huruf konsonan 5C3 = 5! 3! 2! × = 5 4 3! 2 1 3! × × × × = 10 cara Banyak cara memilih 2 huruf vokal dari 3 huruf vokal 3C2 = 3! 2! 1! × = 3 2! 2! 1 × × = 3 cara Banyak cara menyusun 5 huruf 5P5 = 5! = 120 cara Banyak password yang terbentuk = 5C3 × 3C2 × 5P5 = 10 × 3 × 120 = 3.600 Jadi, banyak password yang terbentuk ada 3.600. 5. Jawaban: Kemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1 putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri), (1 putra dan 2 putri), atau (3 putri). n1 = banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan 1 putri = memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih 1 putri dari 6 putri = 5C2 × 6C1 = 5! 2! 3! × × 6! 1! 5! × = 10 × 6 = 60 n2 = banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan 2 putri = memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih 2 putri dari 6 putri = 5C1 × 6C2 = 5! 4! 1! × × 6! 4! 2! × = 5 × 15 = 75 n3 = banyak kemungkinan anggota tim 3 putri = memlih 3 putri dari 6 putri = 6C3 = 6! 3! 3! × = 20 Banyak cara memilih anggota tim = n1 + n2 + n3 = 60 + 75 + 20 = 155 Jadi, banyak cara memilih anggota tim ada 155.

Matematika Kelas XII 91 Menentukan semua hasil menggunakan tabel dan diagram pohon Aturan penjumlahan, kejadian 1 (n1 cara) atau kejadian 2 (n2 cara) terjadi dengan n1 + n2 cara Aturan perkalian, kejadian 1 (n1 cara) dan kejadian 2 (n2 cara) terjadi dengan n1 × n2 cara Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian Kaidah Pencacahan Faktorial: n! = n × (n – 1) × (n – 2) × . . . × 3 × 2 × 1 Permutasi, dirumuskan nPr = n! (n r)! − Kombinasi, dirumuskan nCr = n! r! (n r)! × − Permutasi dan Kombinasi

92 Kaidah Pencacahan Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yang akan dibeli, komposisi banyak buah yang mungkin dibeli Andi ada 10. 3. Jawaban: a Banyak kaus polos = 3 Banyak kaus bergambar = 6 Doni dapat memilih kaus polos atau kaus bergambar. Banyak pilihan kaus = 3 + 6 = 9 Jadi, Doni mempunyai 9 pilihan. 4. Jawaban: e Banyak model mug = 4 Banyak pilihan gambar = 8 Pembeli dapat memilih model mug dan memilih gambar pada mug. Banyak pilihan mug bergambar = 4 × 8 = 32 Jadi, banyak pilihan mug bergambar adalah 32. 5. Jawaban: d Jumlah anggota kelompok ada 4 + 6 = 10. Banyak pilihan ketua ada 10. Banyak pilihan wakil ketua ada 10 – 1 = 9. Banyak pilihan ketua dan wakil ketua ada 10 × 9 = 90. Jadi, banyak pilihan untuk menjadi ketua dan wakilnya ada 90. 6. Jawaban: c Terdapat 6 angka, yaitu 3, 5, 6, 7, 8, dan 9, disusun 3 angka berbeda. Bilangan genap jika angka ketiga 6 atau 8 yaitu ada 2 pilihan. Satu angka telah digunakan maka angka pertama ada 5 pilihan. Dua angka telah digunakan maka angka kedua ada 4 pilihan. Banyak bilangan = 2 × 5 × 4 = 40 Jadi, banyak bilangan ada 40. 7. Jawaban: c Angka I dapat ditempati angka 5, 6, 7, 8, 9 sehingga ada 5 cara. Angka II dapat ditempati semua angka sehingga ada 10 cara. Angka III dapat ditempati semua angka kecuali 0 sehingga ada 9 cara. A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Sebuah bialangan disusun dengan syarat-syarat berikut. 1) Angka-angka penyusun adalah 2, 3, 5, 6, dan 7. 2) Terdiri atas 3 angka berbeda. 3) Bilangan genap. 4) Bernilai kurang dari 500. Bilangan 234 tidak memenuhi syarat pertama. Bilangan 235 tidak memenuhi syarat ketiga. Bilangan 376 memenuhi semua syarat di atas. Bilangan 432 tidak memenuhi syarat pertama. Bilangan 532 tidak memenuhi syarat keempat. Jadi, salah satu bilangan yang mungkin adalah 376. 2. Jawaban: c Jumlah buah yang dibeli Andi = 18 Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiap jenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiri atas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pasti dibeli Andi. Dengan demikian, sebanyak 3 buah belum diketahui komposisi masing-masing jenis buah yang akan dibeli Andi. Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicari menggunakan cara berikut. Apel (a) Jeruk (j) Mangga (m) Komposisi Buah (0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan 8 mangga. (0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan 7 mangga. (0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan 6 mangga, dan seterusnya. 0 1 (0a, 0j, 3m) (0a, 1j, 2m) (0a, 2j, 1m) (0a, 3j, 0m) (1a, 0j, 2m) (1a, 1j, 1m) (1a, 2j, 0m) (2a, 0j, 1m) (2a, 1j, 0m) (3a, 0j, 0m) 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 2 3 3 2 1 0 2 1 0 1 0 0 ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 5 cara 10 cara 9 cara Angka I Angka II Angka III

Matematika Kelas XII 93 Banyak cara menyusun nomor lebih dari 500 = 5 × 10 × 9 = 450 cara Jadi, ada 450 peserta ujian yang bernomor lebih dari 500. 8. Jawaban: d Susunan kode kupon sebagai berikut. Kode urutan ke-1 sampai ke-6. Kode urutan ke-7 sampai ke-9. Kode urutan ke-10 sampai ke-12. Kode urutan ke-13 sampai ke-36. Kode urutan ke-37 sampai ke-39. Kode urutan ke-40 adalah 53238. Kode urutan ke-41 adalah 53283. Jadi, kode 53283 pada urutan ke-41. 9. Jawaban: d Juara I dapat dipilih dari 10 finalis. Juara II dapat dipilih dari 9 finalis. Juara III dapat dipilih dari 8 finalis. Banyak susunan juara = 10 × 9 × 8 = 720 Jadi, banyak susunan juara yang mungkin terjadi adalah 720. 10. Jawaban: c A ⎯→ B ⎯→ C A ←⎯ B ←⎯ C Banyak cara mengadakan perjalanan dari A ke C melalui B = 4 × 5 = 20. Banyak cara mengadakan perjalanan dari C ke A melalui B dengan jalur yang berbeda = 4 × 3 = 12. Banyak cara pulang–pergi dari A ke C melalui B dengan jalur bus yang berbeda = 20 × 12 = 240. Jadi, banyak pilihan jalan adalah 240. 11. Jawaban: d 13 × 12 × 11 × 10 × 3 × 2 × 1 = 13 12 11 10 9 3 2 1 9 321 × × × ×× ××× × ××× " " × 3 × 2 × 1 = 13! 9! × 3! = 13! 3! 9! × Jadi, 13 × 12 × 11 × 10 × 3 × 2 × 1 = 13! 3! 9! × . 12. Jawaban: c 1 9! – 4 10! = 10 10 9! × – 4 10! = 10 10! – 4 10! = 6 10! = 321 10! × × = 3! 10! Jadi, 1 9! – 4 10! = 3! 10! . 13. Jawaban: d Banyak cara menempatkan tamu ke dalam kamar merupakan permasalahan permutasi yaitu permutasi 3 tamu dari 8 kamar yang tersedia. Banyak cara menempatkan tamu: 8P3 = 8! (8 3)! − = 8 7 6 5! 5! ××× = 8 × 7 × 6 = 336 Jadi, banyak cara menempatkan tamu ada 336. 14. Jawaban: c Banyak cara duduk berjajar pada bangku panjang merupakan permasalahan permutasi. Banyak cara duduk 2 laki-laki di ujung kiri dan kanan bangku adalah 2P2 = 2!. Banyak cara duduk 4 perempuan di antara kedua laki-laki adalah 4P4 = 4!. Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V 2 5   3! 2! = 3 cara Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V 2 3   3P3 = 6 cara Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V 2 8   3! 2! = 3 cara Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V 3   4P4 = 24 cara Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V 5 2   3! 2! = 3 cara

94 Kaidah Pencacahan Banyak cara duduk = 2! × 4! = (2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1) = 2 × 24 = 48 Jadi, banyak cara duduk mereka adalah 48. 15. Jawaban: b 2nP2 + n = n + 1P3 ⇔ (2n)! (2n 2)! − + n = (n 1)! (n 1 3)! + + − ⇔ 2n(2n 1)(2n 2)! (2n 2)! − − − + n = (n 1)n(n 1)(n 2)! (n 2)! + −− − ⇔ 2n(2n – 1) + n = n(n + 1)(n – 1) ⇔ 2(2n – 1) + 1 = (n +1)(n – 1) ⇔ 4n – 2 + 1 = n2 – 1 ⇔ n2 – 4n = 0 ⇔ n(n – 4) = 0 ⇔ n = 0 atau n = 4 2nP2 mempunyai syarat 2n ≥ 2 atau n ≥ 1, sedangkan n + 1P3 mempunyai syarat n + 1 ≥ 3 atau n ≥ 2. Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 4. 16. Jawaban: b Terdapat 3 kelas. Banyak susunan duduk berdasarkan kelasnya ada 3! cara. Wakil kelas XI IPA 1 dapat duduk dengan 4! cara. Wakil kelas XI IPA 2 dapat duduk dengan 2! cara. Wakil kelas XI IPA 3 dapat duduk dengan 3! cara. Banyak cara mereka duduk = 3! × 4! × 2! × 3! = 6 × 24 × 2 × 6 = 1.728 Jadi, banyak cara duduk ada 1.728. 17. Jawaban: d Bilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angka dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan permutasi. Banyak bilangan yang dapat disusun sebagai berikut. a. 0, 0, dan 6 ada 3! 2! 1! × = 3 bilangan b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilangan c. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan d. 0, 3, dan 3 ada 3! 2! 1! × = 3 bilangan e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan f. 1, 4, dan 1 ada 3! 2! 1! × = 3 bilangan g. 2, 2, dan 2 ada 3! 3! = 1 bilangan Banyak bilangan kurang dari 1.000 dengan jumlah angka penyusunnya 6 = 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 28 Jadi, banyak bilangan ada 28. 18. Jawaban: a Susunan yang diinginkan: KVKVKVK Oleh karena ada 2 huruf S, gunakan permutasi dengan elemen sama untuk menyusun huruf konsonan. Banyak cara menyusun konsonan (K): PK = 4! 2! = 4321 2 1 ××× × = 12 Oleh karena ada 2 huruf U, gunakan permutasi dengan elemen sama untuk menyusun huruf vokal. Banyak cara menyusun vokal (V): PV = 3! 2! = 321 2 1 × × × = 3 P = PK × PV = 12 × 3 Jadi, banyak cara menyusun huruf ada 36 cara. 19. Jawaban: b Banyak uang logam = 4 + 3 + 1 = 8 keping karena uang logam 200-an saling berdekatan dianggap 1 unsur. Banyak cara menyusun 2 uang logam 200-an = 2! Penyusunan uang logam tersebut merupakan permutasi dengan beberapa elemen sama. Banyak cara menyusun kesembilan mata uang: = 8! 4! 3! × × 2! = 8 7 6 5 4! 4! 3 2! ×××× × × × 2! = 560 Jadi, banyak cara menyusun uang logam ada 560. 20. Jawaban: e Banyak susunan huruf pembentuk kata ”Razan” yang terdiri atas 5 huruf dengan 2 di antaranya sama adalah 5! 2! . Banyak susunan 2 angka berbeda adalah 10P2. Banyak password = 5! 2! × 10P2 = 60 × 10 × 9 = 5.400 Jadi, password yang dapat dibuat sebanyak 5.400.

Matematika Kelas XII 95 21. Jawaban: d Ketua dan sekretaris dipandang sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi permutasi siklis dari 5 unsur. Banyak susunan duduk ketua dan sekretaris = 2P2 = 2!. Banyak susunan duduk dari keenam pengurus: = 2P2 × (5 – 1)! = 2! × 4! = 2 × 24 = 48 cara Jadi, banyak cara duduk ada 48 cara. 22. Jawaban: b Banyak warna = 7 Banyak warna baru = 7C2 = 7! 2! 5! × = 7 × 6 2 × 5 = 21 Jadi, banyak warna baru yang dapat dibuat adalah 21. 23. Jawaban: d Banyak cara memilih 3 orang dari 10 orang yang ada merupakan masalah kombinasi. Banyak cara = 10C3 = 10! 3! 7! × = 10 9 8 7! 3 2 1 7! ××× × ×× = 120 Jadi, banyak cara memilih ada 120. 24. Jawaban: b Dari 14 soal sebanyak 4 soal terakhir harus dikerjakan, artinya tersisa 10 pilihan soal. Oleh karena harus mengerjakan 10 soal maka masih harus memilih 6 soal untuk dikerjakan. Banyak pilihan 6 soal dari 10 soal tersisa adalah 10C6 = 10! 6! (10 6)! × − = 10! 6! 4! × = 10 9 8 7 6! 6! 4 3 2 1 ×××× ×××× = 10 × 3 × 7 = 210 Jadi, banyak kemungkinan komposisi soal yang dikerjakan Radit adalah 210. 25. Jawaban: a Ada 10 siswa (7 putra dan 3 putri). Tim yang terbentuk beranggotakan 2 siswa putri dan 3 siswa putra. Banyak cara memilih 2 siswa putri dan 3 siswa putra. = 3C2 × 7C3 = 3! 2! 1! × × 7! 3! 4! × = 3 1 × 7 × 6 × 5 3 × 2 × 1 = 3 × 35 = 105 Jadi, banyak tim yang dapat dibentuk ada 105. 26. Pelat nomor kendaraan di suatu kota terdiri atas 4 huruf dan 4 angka. Setiap nomor kendaraan diawali huruf AD dan diakhiri dua huruf lain yang berlainan. Jika angka setiap pelat nomor berlainan, banyak cara menyusun pelat nomor ada . . . . a. 225 × 10C4 cara b. 552 × 10C4 cara c. 225 × 10P4 cara d. 525 × 10P4 cara e. 552 × 10P4 cara 27. Diketahui 5 buku yang berbeda. Dari 5 buku tersebut diambil 3 buku dan diletakkan secara berderetan. Banyak cara mengambil dan meletakkan buku tersebut adalah . . . . a. 10 d. 60 b. 20 e. 120 c. 40 28. Jawaban: a 8 orang dipilih untuk menempati kamar I, II, dan III secara berurutan. Banyak cara penempatan peserta wisata = 8C2 × 6C3 × 3C3 = 8! 2! 6! × × 6! 3! 3! × × 3! 3! 0! × = 8 7 2 1 × × × 654 321 × × × × × 1 1 = 28 × 20 × 1 = 560 Jadi, banyak cara penempatan peserta wisata ada 560. 29. Jawaban: e Mobil pertama mampu menampung 5 orang, sedangkan mobil kedua 6 orang. Ada dua pilihan pembagian penumpang yaitu mobil pertama 5 orang dan mobil kedua 5 orang atau mobil pertama 4 orang dan mobil kedua 6 orang. Banyak cara memlih 5 orang untuk mobil pertama dan 5 orang untuk mobil kedua adalah 10C5 × 5C5. Kamar I (2 orang) 8C2 cara Kamar II (3 orang) 6C3 cara Kamar III (3 orang) 3C3 cara

96 Kaidah Pencacahan Banyak cara memlih 4 orang untuk mobil pertama dan 6 orang untuk mobil kedua adalah 10C4 × 6C6. Banyak cara pembagian peserta = 10C5 × 5C5 + 10C4 × 6C6 = 10! 5! 5! × × 5! 5! 0! × + 10! 4! 6! × × 6! 6! 0! × = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 1 1 + 10 × 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1 + 1 1 = 252 + 210 = 462 Jadi, banyak cara pembagian peserta tour ke dalam kedua mobil adalah 462. 30. Jawaban: c 1) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A = 78 nC2 = 78 ⇔ n! 2!(n 2)! − = 78 ⇔ n(n 1)(n 2)! 2(n 2)! − − − = 78 ⇔ n(n – 1) = 156 ⇔ n2 – n – 156 = 0 ⇔ (n + 12)(n – 13) = 0 ⇔ n = –12 atau n = 13 Nilai n yang memenuhi adalah 13. Banyak siswa sekolah A = 13 orang. 2) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B = 105 nC2 = 105 ⇔ n! 2!(n 2)! − = 105 ⇔ n(n 1)(n 2)! 2(n 2)! − − − = 105 ⇔ n(n – 1) = 210 ⇔ n2 – n – 210 = 0 ⇔(n – 15)(n + 14) = 0 ⇔ n = 15 atau n = –14 Nilai n yang memenuhi adalah 15. Banyak siswa sekolah A = 15 orang. Jumlah siswa = 13 + 15 = 28 orang Banyak jabat tangan dari 28 orang = 28C2 = 28! 2! 26! × = 28 27 26! 2 26! × × × = 14 × 27 = 378 Jadi, banyak jabat tangan ada 378. B. Uraian 1. a. Banyak pilihan kemeja atau kaus ada 3 + 4 = 7. Banyak pilihan celana ada 2. Banyak fariasi pakaian adalah 7 × 2 = 14. b. Daftar variasi pakaian yang dapat dipakai Toni dalam bentuk tabel sebagai berikut. 2. Martabak manis terdapat 3 pilihan rasa dan 3 pilihan ukuran. Banyak pilihan martabak manis ada 3 × 3 = 9. Martabak telur terdapat 2 pilihan rasa dan 3 pilihan ukuran. Banyak pilihan martabak telur ada 2 × 3 = 6. a. Dina membeli satu martabak, yaitu martabak manis atau martabak telur. Banyak pilihan = 9 + 6 = 15 Jadi, banyak pilihan martabak yang dapat dibeli Dina ada 15. b. Doni membeli dua martabak, yaitu martabak manis dan martabak telur. Banyak pilihan = 9 × 6 = 54 Jadi, banyak pilihan martabak yang dapat dibeli Doni ada 54. 3. Bilangan 4 angka disusun dari angka-angka 6 pilihan angka yaitu 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. a. Boleh ada angka yang sama, maka banyak pilihan untuk angka pertama, kedua, ketiga, dan keempat masing-masing ada 6. Banyak bilangan = 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296 Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 1.296. b. Hanya angka kedua dan keempat yang sama. Banyak pilihan untuk angka pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut 6, 5, dan 4, sedangkan angka keempat sama dengan angka kedua. Banyak bilangan = 6 × 5 × 4 = 120 Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 120. c. Tidak ada angka yang sama, maka banyak pilihan untuk angka pertama, kedua, ketiga, dan keempat berturut-turut 6, 5, 4, dan 3. Banyak bilangan = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 360. Celana 1 Celana 2 Baju 1 (C1, B1) (C2, B1) Baju 2 (C1, B2) (C2, B2) Baju 3 (C1, B3) (C2, B3) Kaus 1 (C1, K1) (C2, K1) Kaus 2 (C1, K2) (C2, K2) Kaus 3 (C1, K3) (C2, K3) Kaus 4 (C1, K4) (C2, K4)

Matematika Kelas XII 97 d. Bernilai antara 4.000 dan 6.000, maka banyak pilihan angka pertama ada 2 yaitu 4 atau 5. Tidak ada angka yang sama, maka banyak pilihan angka kedua, ketiga, dan keempat berturut-turut 5, 4, dan 3. Banyak bilangan = 2 × 5 × 4 × 3 = 180 Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 180. 4. a. Novi dan Tyas berdekatan dianggap sebagai 1 unsur. Permasalahan menjadi permutasi dari 6 – 1 = 5 unsur yaitu ada 5P5 cara. Penyusunan Novi dan Tyas yang berdekatan ada 2P2 cara. Banyak cara menyusun = 2P2 × 5P5 = 2! × 5! = 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 240 Jadi, banyak susunan duduk dengan Novi dan Tyas selalu berdekatan ada 240. b. Banyak susunan duduk 6 orang = 6P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 Banyak susunan 6 orang dengan Dewi dan Heni tidak berdekatan = 2P2 × 5P5 = 2! × 5! = 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 240 Jadi, banyak susunan duduk 6 orang dengan Dewi dan Heni tidak berdekatan ada 720 – 240 = 480 cara. 5. Susunan balon K MMKMKMM 3B K 8 unsur Banyak cara menyusun balon merupakan permutasi 8 unsur dengan 5 unsur sama dan 2 unsur sama. Banyak cara menyusun balon = 8! 5! 2! × = 8 7 6 5! 5! 2 1 ××× × × = 168 Jadi, banyak cara menyusun balon ada 168 cara. 6. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkar dengan (4 – 1)! = 3!. 3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara. 2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara. 4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara. 2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara. Banyak cara duduk 11 orang = 3! × 3! × 2! × 4! × 2! = 6 × 6 × 2 × 24 × 2 = 3.456 cara Jadi, banyak cara peserta duduk adalah 3.456. 7. a. Banyak cara memilih 6 orang dari 9 orang yang ada: 9C6 = 9! 6! 3! × = 9 × 8 × 7 3 × 2 × 1 = 84 Jadi, banyak cara menunjuk anggota ada 84 cara. b. Banyak cara menunjuk (6 – 2) orang dari (9 – 2) orang yang ada: 7C4 = 7! 4! 3! × = 7 × 6 × 5 3 × 2 × 1 = 35 Jadi, banyak cara menunjuk anggota dengan dua sudah pasti ditunjuk ada 35 cara. c. Banyak cara menunjuk 6 orang dari (9 – 1) orang yang ada: 8C6 = 8! 6! 2! × = 8 × 7 2 × 1 = 28 Jadi, banyak cara menunjuk anggota dengan satu orang tidak ditunjuk ada 28 cara. 8. a. 3 × nC3 = n + 1P2 ⇔ 3 n! 3! (n 3)! × × − = (n 1)! (n 1 2)! + + − ⇔ 3 n! 6(n 3)! × − = (n 1)! (n 1)! + − ⇔ n! 2(n 3)! − = (n 1)n! (n 1)(n 2)(n 3)! + −− − ⇔ (n – 1)(n – 2) = 2(n + 1) ⇔ n2 – 3n + 2 = 2n + 2 ⇔ n2 – 5n = 0 ⇔ n(n – 5) = 0 ⇔ n = 0 atau n = 5 nC3 mempunyai syarat n ≥ 3 dan n + 1P2 mempunyai syarat n + 1 ≥ 2 atau n ≥ 1 sehingga nilai n = 5. b. Nilai n! 3! (n 1)! × − + (n 1)! n! 2! − × . n! 3! (n 1)! × − + (n 1)! n! 2! − × = 5! 3! (5 1)! × − + (5 1)! 5! 2! − ×   dipandang 1 unsur karena saling berdekatan

98 Kaidah Pencacahan = 5! 3! 4! × + 4! 5! 2! × = 5 4! 3 2 1 4! × × ×× + 4! 5 4! 2 1 × ×× = 5 6 + 1 10 = 25 3 30 + = 28 30 = 14 15 Jadi, nilai n! 3! (n 1)! × − + (n 1)! n! 2! − × = 14 15 . 9. Password terdiri atas 4 huruf. Huruf pertama diawali dengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih dari huruf p, q, r, t, u, dan v. Banyak cara memilih 3 huruf dari 6 huruf = 6C3 = 6! 3! 3! × = 6 5 4 3! 3! 3 2 1 ××× ××× = 20 cara Angka prima kurang dari 10 ada 4 yaitu 2, 3, 5, dan 7. Banyak cara memilih 2 angka dari 4 angka = 4C2 = 4! 2! 2! × = 4 3 2! 2! 2 × × × = 6 cara Banyak susunan 3 huruf dan 2 angka yang terpilih = 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara. Banyak password yang dapat disusun = 20 × 6 × 120 = 14.400 cara Jadi, banyak password yang dapat disusun ada 14.400 cara. 10. a. Banyak cara membentuk kelompok = banyak cara memilih 7 siswa dari 12 siswa = 12C7 = 12! 7! (12 7)! × − = 12 11 10 9 8 7! 7! 5 4 3 2 1 × × ××× ××××× = 12 × 11 × 2 × 3 = 792 Jadi, banyak cara membentuk kelompok ada 792. b. Kemungkinan anggota tim yang terpilih adalah 6 siswa putra dan 1 siswa putri atau 7 siswa putra. n1 = banyak cara membentuk kelompok beranggotakan 6 putra dan 1 putri = 8C6 × 4C1 = 8! 6! (8 6)! × − × 4! 1! (4 1)! × − = 8 7 6! 6! 2 1 × × × × × 4 3! 1 3! × × = 4 × 7 × 4 = 112 n2 = banyak cara membentuk kelompok beranggotakan 7 siswa putra = 8C7 = 8! 7! (8 7)! × − = 8 7! 7 1! × × = 8 Banyak cara membentuk kelompok dengan anggota paling sedikit enam siswa putra = n1 + n2 = 112 + 8 = 120 Jadi, banyak cara membentuk kelompok ada 120.

Matematika Kelas XII 99 Oleh karena terdapat 10 komposisi toping 3 donat tambahan yang akan dibeli maka komposisi banyak donat yang mungkin dibeli Mira ada 10. Jadi, terdapat 10 komposisi donat yang mungkin dibeli Mira. 3. Jawaban: e Menu makanan ada 6 pilihan. Menu minuman ada 8 pilihan. Banyak pasangan menu makanan dan minuman = 6 × 8 = 48 Jadi, terdapat 48 pasang menu makanan dan minuman yang dapat dipilih pelanggan. 4. Jawaban: a Perjalanan pergi: Dari kota A–kota C ada 4 jalur bus Dari kota C–kota B ada 5 jalur bus Perjalanan pulang: Dari kota B–kota C ada 4 jalur bus Dari kota C–kota A ada 3 jalur bus Banyak jalur bus = 4 × 5 × 4 × 3 = 240 Jadi, terdapat 240 pilihan jalur bus dari kota A ke kota B pergi pulang dengan tidak menggunakan jalur bus yang sama lebih dari sekali. 5. Jawaban: c Bendahara harus perempuan maka banyak pilihan bendahara ada 5. Banyak pilihan ketua setelah pemilihan bendahara ada 4 + 5 – 1 = 8. Banyak pilihan bendahara dan ketua ada 5 × 8 = 40. Jadi, banyak hasil pemilihan yang mungkin ada 40. 6. Jawaban: b Dari 8 angka yang tersedia akan dibuat bilangan terdiri atas tiga angka berlainan yang bernilai antara 300 dan 700. Angka pertama (ratusan) adalah 3, 4, atau 6, berarti ada 3 pilihan. A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Sebuah bilangan disusun dengan syarat-syarat berikut. 1) Terdiri atas empat angka berbeda. 2) Bilangan genap. 3) Bernilai kurang dari 4.000. Bilangan 2.845 tidak memenuhi syarat kedua. Bilangan 2.582 tidak memenuhi syarat pertama. Bilangan 3.814 memenuhi ketiga syarat di atas. Bilangan 3.749 tidak memenuhi syarat kedua. Bilangan 4.258 tidak memenuhi syarat ketiga. Jadi, salah satu bilangan yang mungkin adalah 3.814. 2. Jawaban: a Jumlah donat yang dibeli Mira = 18 Mira membeli paling sedikit 5 buah untuk setiap jenis toping sehingga sebanyak 15 donat yang terdiri atas 5 donat toping keju, 5 donat toping cokelat, dan 5 donat toping misis sudah pasti dibeli Mira. Dengan demikian, sebanyak 3 donat belum diketahui komposisi masing-masing toping yang akan dibeli Mira. Komposisi toping 3 donat tambahan tersebut dapat dicari menggunakan cara berikut. Keju (k) Cokelat (c) Misis (m) Komposisi Toping 3 2 1 0 2 1 0 1 0 0 ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 0 1 (0k, 0c, 3m) (0k, 1c, 2m) (0k, 2c, 1m) (0k, 3c, 0m) (1k, 0c, 2m) (1k, 1c, 1m) (1k, 2c, 0m) (2k, 0c, 1m) (2k, 1c, 0m) (3k, 0c, 0m) 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 2 3