Ww

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

บทที่ 10 จำนวนเชงิ ซอ้ น

10.1 การสร้างจานวนเชิงซ้อน

จานวนเชิงซ้อน คือจำนวนที่เขียนอยูใ่ นรูปของคู่อนั ดบั (a , b) เมื่อ a และ b เป็ นจำนวน

จริงใดๆ

จำนวนเชิงซอ้ นสำมำรถแบง่ ไดเ้ ป็น 3 ประเภทยอ่ ย ไดแ้ ก่

1. จานวนจินตภาพ คือจำนวนเชิงซอ้ น (a , b)   Y
ซ่ึงมีค่ำ a  0 และ b  0 ( คือคู่อนั ดบั ท่ีไม่อยบู่ นแกน X 4 (0 , 4)
2 (3 , 2)
และแกน Y ) เช่น (4 , 5) , (6 , 14) เป็นตน้
(2 , 0)
2. จานวนจินตภาพแท้ คือจำนวนเชิงซอ้ น (-3 , 0)

(a , b) ซ่ึงมีค่ำ a = 0 ( คือคู่อนั ดบั ที่อยบู่ นแกน Y พอดี ) -2 2 4 X
เช่น (0 , 4) , (0 , –12) เป็นตน้ -2
(0 , -3)
3. จานวนจริง คือจำนวนเชิงซอ้ น (a , b) ซ่ึงมี

ค่ำ b = 0 (คือ คู่อนั ดบั ที่อยบู่ นแกน X พอดี ) เช่น (3 , 0) , (–5 , 0) เป็ นตน้

หมายเหตุ กรณีที่เป็ นจำนวนจริง (a , 0) อำจเขียนเป็น a กไ็ ด้ เช่น (3 , 0) อำจเขียนเป็น 3

หรือ (–5 , 0) เขียนเป็น –5 เป็นตน้

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจำนวนจินตภำพ

1. (5 , 0) 2. (0 , 8) 3. (7 , 9) 4. (–3 , 0)

2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจำนวนจินตภำพแท้

1. (5 , 0) 2. (0 , 8) 3. (7 , 9) 4. (–3 , 0)
4. (10 , –5)
3. จำนวนจริง 5 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (5 , 5) 2. (0 , 5) 3. (5 , 0)

1

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

การเท่ากัน , การบวก และ การคูณจานวนเชิงซ้อน

1. กำรเท่ำกนั

(a , b) = (c , d) กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d

2. กำรบวก

(a , b) + (c , d) = ( a + c , b + d )

3. กำรคูณ

(a , b) x (c , d) = ( ac – bd , ad + bc )

4. ผลบวกและผลลบของ (3 , 5) กบั (1 , 2) มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (4 , 7) , (2 , 3) 2. (–4 , 7) , (2 , –3)

3. (–4 , –7) , (2 , 3) 4. (4 , 7) , (–2 , –3)

5. ผลคูณของ (3 , 5) กบั (1 , 2) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (–13 , –1) 2. (2 , 8) 3. (13 , 1) 4. (–7 , 11)

6. ผลลพั ธ์ของ (0 , 1) x (0 , 1) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1 2. 0 3. 1 4. (0 , –1)

ข้อต้องรู้เก่ยี วกบั i
1. คำ่ ของ i ต่อไปน้ีเป็นค่ำพ้ืนฐำนท่ีสำคญั ควรจำใหแ้ ม่น
i2 = (0 , 1) x (0 , 1) = ( [0x0 – 1x1] , [0x1 + 1x0] ) = (–1 , 0) = – 1
i3 = ( i )( i2 ) = ( i ) (–1) = –i
i0 = +1

สาหรับค่า i ยกกาลงั สูง สามารถหาค่าได้โดยทาตามข้ันตอนต่อไปนี้
ข้นั 1 ใหน้ ำหลกั สิบและหลกั หน่วยของเลขช้ีกำลงั มำหำรดว้ ย 4 เพื่อหำเศษที่เหลือ
ข้นั 2 ใหห้ ำคำ่ i ยกกำลงั เศษที่เหลือจำกข้นั 1 มำใชเ้ ป็ นคำตอบ

2

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

ตวั อย่าง จงหำค่ำ i8759

แนวคดิ ข้นั ที่ 1 ใหน้ ำหลกั สิบและหลกั หน่วยของเลขช้ีกำลงั คือ 59 มำหำรดว้ ย 4 เพ่อื หำเศษ
549 =
ข้นั ท่ี 2 จะไดว้ ำ่ 14 เศษ 3 = –i
i8759 = i3

ตวั อย่าง จงหำคำ่ i84

แนวคดิ ข้นั ท่ี 1 ใหน้ ำหลกั สิบและหลกั หน่วยของเลขช้ีกำลงั คือ 84 มำหำรดว้ ย 4 เพอ่ื หำเศษ
844 =
ข้นั ที่ 2 จะไดว้ ำ่ 21 เศษ 0 +1
i84 = i0 =

2. จำนวนเชิงซอ้ น (a , b) สำมำรถเขียนไดเ้ ป็ น a + bi ได้ และเรำจะเรียก a วำ่ เป็ นส่วน

จริง ( Re ) และเรียก b วำ่ เป็นส่วนจินตภาพ ( Im ) ของจำนวนเชิงซอ้ น

ตวั อย่าง (2 , 3) = 2 + 3i ส่วนจริง คือ 2 , ส่วนจินตภำพคือ 3

(4 , –9) = 4 –9i ส่วนจริง คือ 4 , ส่วนจินตภำพคือ –9

(0 , 8) = 0 + 8i = 8i ส่วนจริง คือ 0 , ส่วนจินตภำพคือ 8

(7 , 0) = 7 + 0i = 7 ส่วนจริง คือ 7 , ส่วนจินตภำพคือ 0

3. กำรบวก กำรลบ กำรคูณ จำนวนเชิงซอ้ นที่อยูใ่ นรูป a + bi สำมำรถทำไดโ้ ดยใชว้ ธิ ี
ของพชี คณิตธรรมดำดงั ตวั อยำ่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่าง จงหำผลลพั ธ์ของ (3 –2i ) + (4 + 3i ) – 6i
แนวคดิ (3 –2i ) + (4 + 3i ) – 6i = ( 3 + 4 ) + (–2i + 3i – 6i) = 7 – 5i

ตัวอย่าง จงหำผลลพั ธ์ของ (3 – 2i) . (4 + 3i)
แนวคดิ (3 – 2i).(4 + 3i) = 12 + 9i – 8i – 6i2 = 12 + i –6 (–1) = 18 + i

4. หำก a + bi = c + d i จะไดว้ ำ่ a = c และ b = d

7. i24 + i177 + i258 + i4803 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 1 – i
1. 0 2. i 3. 1 + i

3

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
8. i3 + i4 + i5 + i6 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. 2
1. 1 2. –1 3. 0

9(แนว En) คำ่ ของ i8 + i9 + i10 + i11 + i12 + i13 +… .. .. + i80 + i81 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. i 3. 1 + i 4. 1 – i

ฝึ กทา. จงหำส่วนจริง ( Re ) และส่วนจินตภำพ ( Im ) ของจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ี

1. 1 + 2i Re คือ ............ Im คือ ............ 2. 2x – i Re คือ ............ Im คือ ............

3. a – 5i Re คือ ............ Im คือ ............ 4. 3 i Re คือ ............ Im คือ ............
5. 2 Re คือ ............ Im คือ ............ 6. i2 Re คือ ............ Im คือ ............

10. ผลลพั ธ์ของ (5 – 6i) + (–3 + i) เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 2 – 5i 2. –2 – 5i 3. 2 + 5i 4. –2 + 5i

11. ผลลพั ธ์ของ (7 – 11i) – (2 + 3i ) เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 5 + 14i 2. 5 – 14i 3. –5 + 14i 4. –5 – 14i

12. ผลลพั ธ์ของ (3 + 2i ) . ( 4 + 7i ) เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 2 + 29i 2. 2 – 29i 3. –2 + 29i 4. –2 – 29i

4

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

13. ผลลพั ธ์ของ (2 – 3i) . (6 + 4i) เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. –24 – 10i

1. 24 + 10i 2. 24 – 10i 3. –24 + 10i

14. ผลลพั ธ์ของ (4 + i)2 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 15 + 8i 2. 15 – 8i 3. –15 + 8i 4. –15 – 8i

15. กำหนดให้ 2a – 3b i = 4 + 6 i คำ่ a และ b ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำรน้ีเทำ่ กบั ขอ้ ใด

1. a = –2 , b = –2 2. a = 2 , b = –2

3. a = –2 , b = 2 4. a = 2 , b = 2

16. กำหนดให้ 2a + b i = 10 คำ่ a และ b ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำรน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใด

1. a = 5 , b = 5 2. a = 5 , b = 0

3. a = –5 , b = 5 4. a = –5 , b = 0

17. กำหนดให้ 3a + (a – b) i = 2 + i คำ่ a และ b ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำรน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใด
1. a = 23 , b = – 23 2. a = 23 , b = – 13
3. a = 23 , b = 1 4. a = 23 , b = 0

5

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

18. จำนวนจริง x และ y ซ่ึง (1 – i) x + (1 + i) y = 1 – 3i เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. x = 2 , y = 1
3. x = –2 , y = 1 2. x = 2 , y = –1

4. x = –2 , y = –1

10.2 สมบัติพชี คณติ ของจานวนเชิงซ้อน

คุณสมบัตกิ ารบวกและการคูณจานวนเชิงซ้อน

ถำ้ C เป็นเซตของจำนวนเชิงซอ้ น และ Z1 , Z2 , Z3 เป็นสมำชิกของ C

ลาดับท่ี คุณสมบัติ การบวก การคูณ

1 ปิ ด Z1+ Z2  C Z1 Z2  C

2 กำรสลบั ที่ Z1+ Z2 = Z2+ Z1 Z1 Z2 = Z2 Z1

3 กำรเปล่ียนกลุ่ม (Z1+ Z2)+ Z3 = Z1+ (Z2+ Z3 ) (Z1Z2)Z3 = Z1(Z2Z3)

4 เอกลกั ษณ์ คือ 0 คือ 1

เพรำะ Z + 0 = Z เพรำะ Z . 1 = Z

5 ตวั ผกผนั และ 0 + Z = Z และ 1 . Z = Z

ตวั ผกผนั กำรบวกของ Z คือ ( –Z ) ตวั ผกผนั กำรคูณของ Z คือ Z–1
เพรำะ Z + (–Z) = 0 เพรำะ Z( Z–1 ) = 1

ตวั ผกผนั กำรบวกของ a + bi = – (a + bi) = –a – bi

หำก z = a + bi
ตวั ผกผนั กำรคูณของ Z = Z–1 = aa2 bbi2

ตวั อย่าง จงหำตวั ผกผนั กำรบวกของจำนวนเชิงซอ้ น 5 – 4 i
แนวคดิ ตวั ผกผนั กำรบวกของ 5 – 4i = – (5 – 4i) = –5 + 4 i

ตวั อย่าง จงหำตวั ผกผนั กำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 3 + 4i

แนวคดิ (3 + 4 i)–1 = 3 44i2 = 3  4 i
32 25 25

6

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

19. จงหำตวั ผกผนั กำรบวกของจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ี ข. –2 + i
ข. 2 – i
ก. –4 – 3i ข. 2 + i

1. ก. –4 + 3i ข. 2 – i 2. ก. 4 – 3i

3. ก. 4 + 3i ข. –2 – i 4. ก. –4 – 3i

20. ตวั ผกผนั กำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น –4 – 3i มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 245 + 235 i 2. – 245 + 235 i 3. 4 + 3 i
4. –4 + 3 i

21. ตวั ผกผนั กำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 3 + 5i มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 334 – 354 i 2. – 334 – 354 i
3. –3 + 5 i 4. –3 – 5 i

สังยคุ ของจานวนเชิงซ้อน

นิยาม สังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น a + bi คือจำนวนเชิงซ้อน a – bi
เขียนแทนสังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น a + bi ดว้ ย a  bi
จำกบทนิยำมจะได้ a  b i = a – bi

ฝึ กทา. จงหำค่ำตอ่ ไปน้ี 2. 8  2i = ……………..
1. 4  3i = …………….. 4.  6  3i = ……………..
3.  9 8i = …………….. 6. 7 = ……………..
5. 9i = ……………..

7

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

สมบัติของสังยุคของจานวนเชิงซ้อน

ให้ z , z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น จะไดว้ ำ่
1) Re(z) = 12 (z + z ) และ Im(z) = 21i (z – z )

2) z = z
3) ( 1z ) = 1z
เม่ือ z  0

4) z1  z2 = z1  z2
5) z1  z2 = z1  z2
6) z1z2 = z1z2
zz12
7)   = zz12 เม่ือ z2  0
 
8) ( zn )  ( z )n

22. พจิ ำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี ข. ( zz  43 ) = zz 43
ก. (z3)(z2) = ( z +3)( z –2) 

ขอ้ ใดสรุปไดถ้ ูกตอ้ ง 3. ก ถูก ข ถูก 4. ก ผดิ ข ผดิ
1. ก ถูก ข ผดิ 2. ข ถูก ก ผดิ

ข้อควรเพม่ิ เตมิ ทราบเกย่ี วกบั สังยคุ
1) (a + bi) (a  bi) = (a + bi)(a – bi) = a2 – b2 i2 = a 2 + b2

โปรดจำใหแ้ ม่น (a + bi)(a – bi) = a 2+ b2
จะเห็นวำ่ ผลคูณของจำนวนเชิงซอ้ นกบั สงั ยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ นน้นั เป็นจำนวนจริง

2) เก่ียวกบั กำรหำรจำนวนเชิงซอ้ น อำจใชส้ งั ยคุ ช่วยดงั ตวั อยำ่ งตอ่ ไปน้ี

8

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
ตวั อย่าง จงหำผลลพั ธ์ของ 1324ii
แนวคดิ วธิ ีท่ี 1 ใชส้ ังยคุ ตวั หำรคูณท้งั เศษและส่วน
13 24ii 31311165224iii2i42xi2118i 22ii
 =
 =

=

= 151 – 25 i

วธิ ีที่ 2 ใชส้ ูตร ac  db ii = ac  (b4cd)21(22)(cdb2(212[a4d]) i
 (3)(1)

ดงั น้นั 13  24ii = 11 5 2 i 3[2]) i


=

= 151 – 25 i

23. ผลลพั ธ์ของ (4 + 5i) (4 – 5i) เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 16 2. 25 3. 32 4. 41

24. ผลลพั ธ์ของ (1 + 3 i) (1 – 3 i) เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. 16
1. 2 2. 4 3. 8

25. ผลลพั ธ์ของ 13  24 ii เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 334 – 354 i  2. – 334 – 354 i
3. 151 + 25 i 4. 151 – 25 i

9

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 22 ii http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

26. ผลลพั ธ์ของ  เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. – 35 – 45 i
1. 35 + 45 i
 2. 53 – 45 i 3. – 35 + 45 i

27. จำนวนเชิงซอ้ น z ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร ( 2 – i ) z = 4 + 2 i คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
3. 65 + 85 i 4. 65 – 85 i
1. 6 + 8 i 2. 6 – 8 i

28(แนว En) ถำ้ (x , y)(3 , 4) = (20 , 15) จำนวนเชิงซอ้ น (x , y) คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2205 , 1255 2. 240 , 135 3. 230 , 145 4. 254 , 57.

29. ถำ้ จำนวนเชิงซอ้ น z ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร z ( 1 + i ) = 4 แลว้ z คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
3. 12 + 12 i 4. 12 – 12 i
1. 2 + 2 i 2. 2 – 2 i

30. ถำ้ จำนวนเชิงซอ้ น z ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร 2 i z = 12 – 8 i แลว้ z คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –4 + 6 i 2. –4 + 6 i 3. –8 + 12 i 4. –8 – 12 i

10

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

31. ถำ้ z = 4 + 3i และ z w – 2 w – 1 = 0 แลว้ ตวั ผกผนั กำรคูณของ w เท่ำกบั ขอ้ ใด

1. 2 + 3i 2. 2 – 3i 3. 1 + i 4. 1 – i

32. ถำ้ z1 = 2 + 3i และ z1. z2 + 2 z2 = 1 แลว้ z21 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 4 + 3i 2. 4 – 3i 3. 1 + i 4. 1 – i

พจิ ารณาดงั ตัวอย่างต่อไปนี้ 4. – 4i
(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i
(1 – i)2 = 12 – 2i + i2 = 1 – 2i – 1 = –2i

จาให้แม่น (1 + i) 2 = 2 i และ (1 – i) 2 = –2i

33. คำ่ ของ (1 + i)4 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 4 2. –4 3. – 4i

34. ค่ำของ (1 i)5 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –3 + 3i 2. –4 + 4i 3. 2 – 2i 4. 3 – 3i

11

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน
35. คำ่ ของ (2 + 2 i )8 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. –4096i
1. 4096 2. –4096 3. 4069i

36. คำ่ ของ  1 1 100 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
 2 2 i

1. 1 2. –1 3. i 4. –i

37. ถำ้ z = a + bi และ 1z = 11  ii 2 +2+ i แลว้ a+b มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
1. 12 2. 43  3. 1 4. 3

จาให้แม่น ( a + b 3 i )3 = (–8) a3
( a 3 + b i )3 = (–8)(b i)3

ตัวอย่าง ( 1 + 3 i )3 = (–8) (1)3 = –8

( – 12 + 23 i )3 = (–8) (– i12)3)3 = (–8) (– i813)) =1
(3 3 + 2 i )3 = (–8) (2 = (–8) (8 = (–8) ( – 8 i ) = 64 i

(– 23 – 12 i )3 = (–8) (– 12 i)3 = (–8) (– 81 i3) = (–8) (– 81 )(– i ) = – i

12

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

38. คำ่ ของ (1 2 3 i)15 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. – i
1. 1 2. –1 3. i

39(แนว En) ให้ Z = –1 – 3 i แลว้ Z6 – Z 6 เทำ่ กบั เท่ำใด

40(แนว En) ถำ้ 2 z3 = 1 + 3 i แลว้ i z1z827 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 12 + 12 i 2. 12 – 12 i
3. 2 + 2 i 4. 2 – 2 i

10.3 รากทส่ี องของจานวนเชิงซ้อน

กำหนดจำนวนเชิงซอ้ น z = a + b i และ ให้ r  a2  b2

จะไดว้ ำ่ รำกที่สองของ z คือ

   r 2 a  r 2 a i เมอื่ b  0


  r 2 a  r 2 a i เมอื่ b  0
 

41. รำกที่สองของ 5 + 12 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (2 + i) 2.  (2 – i) 3.  (3 + 2 i ) 4.  (3 – 2 i )

13

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

42. รำกท่ีสองของ 3 + 4 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4.  (3 – 6 i )

1.  (2 + i) 2.  (2 – i) 3.  (3 + 6 i )

43. รำกท่ีสองของ –15 – 8i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (1 + 4 i) 2.  (1 – 4 i) 3.  (3 + 3 i ) 4.  (3 – 3 i )

44. รำกที่สองของ 18i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (1 + 4 i) 2.  (1 – 4 i) 3.  (3 + 3 i ) 4.  (3 – 3 i )

45(แนว มช) ผลคูณคำตอบของสมกำร x2 + 1 – 3 i = 0 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 1 + 3 i 2. 1 – 3 i 3. 2 + 2 3 i 4. 2 – 2 3 i

14

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

10.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซอ้ น 3 + 2i แทนไดด้ ว้ ยจุด ( 3 , 2 ) หรือแทนดว้ ยเวกเตอร์ท่ีมีจุด ( 0 , 0 )
เป็นจุดเริ่มตน้ และจุด ( 3 , 2 ) เป็นจุดเริ่มตน้ และจุด ( 3 , 2 ) เป็นจุดสิ้นสุด ส่วนจำนวน
เชิงซอ้ นอื่นๆ เช่น –3 , 2i , 4 – i , –2 + 3i อำจเขียนแทนไดด้ งั รูป

YY

(–2,3) (–2,3) (0,2) (3,2)
(0,2) (3,2)

(–3,0) 0 X X

(4 ,–1) (–3,0) 0 (4 ,–1)

คำ่ ของจำนวนเชิงซอ้ น a + b i ใดๆ คือควำมยำวจำกจุด (0 , 0) ตรงไปถึงจุดจำนวนเชิงซอ้ น
น้นั ๆ บนระนำบ XY

ค่ำสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น a + b i เขียนแทนดว้ ย  a + b i  ซ่ึงหำคำ่ ไดจ้ ำก
 a + b i  = a2  b2

ฝึ กทา. จงหำค่ำตอ่ ไปน้ี
1.  4 + 3 i  = ………………… ………………… …………………
2.  6 – i  = ………………… ………………… …………………
3.  8  = ………………… ………………… …………………
4.  –7  = ………………… ………………… …………………
5.  5 i  = ………………… ………………… …………………
6.  3 i  = ………………… ………………… …………………
7.  –8 i  = ………………… ………………… …………………

15

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

คุณสมบตั สิ าคัญของค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน

ให้ z และ w เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ แลว้ (7) wz = wz เม่ือ w  0
(1) | z |  0 เสมอ

(2) | z | = | –z | = z =  z (8) | z + w |  | z | + | w |

(3) z2 = z . z หรือ | z | = z  z (9) | z – w |  | z | – | w |
(4) zn = | z |n เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ (10) | z | = 0 กต็ ่อเม่ือ z = 0

(5) z 1 = z1 = 1z เมื่อ z  0 (11) ส่วนจริงของ z  | z |

(6) | z w | = | z | | w | และส่วนจินตภำพของ z  | z |

46. ให้ z1 , z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น และ z1 เป็นสงั ยคุ ของ z1 จงพิจำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ี
ก. z1 = z1 ข. z1 z2 = z1 + z2 ค. z1  z2 = z1  z2

ขอ้ ควำมต่อไปน้ีสรุปเก่ียวกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้ ได้ ถูกต้อง

1. มีขอ้ ถูกเพยี งขอ้ เดียว 2. มีขอ้ ถูก 2 ขอ้

3. มีขอ้ ถูก 3 ขอ้ 4. ผดิ ทุกขอ้

47(แนว มช) (2  3 i)  (1 i) มีคำ่ เทำ่ กบั ..............
( 6  i) (1 i)

48. ค่ำสมั บูรณ์ของ (1 – 3 i)2 (3 – 4 i) เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 15 2. 30 3. 42 4. 50

16

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

49. ถำ้ (a + b i) (3 – 4 i) = –4 + 3 i แลว้  a + b i  เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1 2. 5 3. 15 4. 25

50(แนว En) ถำ้ z เป็ นจำนวนเชิงซอ้ นซ่ึง z  0 และ (5 – 12i) z2 (–3 + 4i) = 130 z

แลว้  z  ( ค่ำสมั บูรณ์ของ z ) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
2. 12 3. 12
1. 2 4. 2

51(แนว En) ถำ้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นซ่ึง  (7 – 24 i) (3 + 4 i ) z4  = 500 แลว้ z . z
มีค่ำเท่ำใด

52. ถำ้ z คือจำนวนเชิงซอ้ นท่ีมี  z  = 13 และ z = x – 2i เมื่อ x > 0 แลว้ z คือขอ้ ใด

1. 3 + 2i 2. 9 + 2i 3. 3 – 2i 4. 9 – 2i

17

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

53. ถำ้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นซ่ึงมีส่วนจริงมำกกวำ่ 0 และมีส่วนจินตภำพเป็น 1 และ
| z |2 = 5 แลว้ z–1 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 5 i 2. 2 5 i 3. 4 5 i 4. 4 5 i

54(แนว En) ถำ้ z เป็ นจำนวนเชิงซ้อนซ่ึง  z  = 3 – 4 i  และ z – 1 = 30 แลว้ ส่วน
จริงของ z มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –2 2. –4 3. 2 4. 4

55. กำหนดให้ z1 = 3 + 4 i และ z2 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น ถำ้ z1. z2 เป็นจำนวนจริง และ
z1 + z2 เป็นจำนวนจริง แลว้  z1  +  z2  เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 5 2. 5 + 2 3. 5 + 2 2 4. 10

56(แนว มช) กำหนดให้ z = x + y i เป็ นจุดใดๆ บนระนำบเชิงซ้อน จะได้ว่ำกรำฟของ

สมกำร  z – i  = 2 เป็นกรำฟรูปใดตอ่ ไปน้ี

1. เส้นตรง 2. วงกลม 3. วงรี 4. ไฮเพอร์โบลำ

18

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

10.5 จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั

จำนวนเชิงซอ้ น a + bi อำจเขียนใหอ้ ยูใ่ นรูปเชิงข้วั ไดด้ งั น้ี

a + bi = r . (cos + i sin  )

เม่ือ r =  a + bi  = a2  b2

 เรียกวำ่ argument of z ซ่ึงหำคำ่ ไดจ้ ำก
กรณีที่ 1 หำก z อยใู่ นควอดรันที่ 1 กรณีท่ี 2 หำก z อยบู่ นแกน X พอดี  = 0o
 = tan –1 ba หำก z อยบู่ นแกน Y พอดี  = 90o

หำก z อยใู่ นควอดรันท่ี 2 หำก z อยบู่ นแกน –X พอดี  = 180o
 = 180o – tan –1 ab หำก z อยบู่ นแกน –Y พอดี  = 270o

หำก z อยใู่ นควอดรันท่ี 3 X 90oY 0o X
 = 180o + tan –1 ab 180o 270o

หำก z อยใู่ นควอดรันท่ี 4 Y
 = 360o – tan –1 ba

57. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น 1 + i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 3 2 (cos 45o + i sin 30o) 2. 3 2 (cos 315o + i sin 315o)
3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 315o + i sin 315o)

58. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น –2 + 2 3 i คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 4 (cos 120o + i sin 120o) 2. 4 (cos 210o + i sin 210o)
3. 10 (cos 120o + i sin 120o) 4. 10 (cos 210o + i sin 210o)

19

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

59. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น –5 3 – 5 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 4 (cos 120o + i sin 120o) 2. 4 (cos 210o + i sin 210o)
3. 10 (cos 120o + i sin 120o) 4. 10 (cos 210o + i sin 210o)

60. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น 3 – 3 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 3 2 (cos 45o + i sin 30o) 2. 3 2 (cos 315o + i sin 315o)
3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 315o + i sin 315o)

61. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น –3i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. (cos 90o + i sin 90o) 2. 3 (cos 90o + i sin 90o)
3. (cos 270o + i sin 270o) 4. 3 (cos 270o + i sin 270o)

การคูณ และการหาร จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั

ทฤษฎบี ท ให้ z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) และ z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)
จะไดว้ ำ่ 1. z1 . z2 = r1 . r2 [cos (1+2) + i sin (1+ 2)]
zzz1212 rrr1122
2. = (cos 2 – i sin 2)
3. = [cos(1– 2) + i sin (1– 2)]

4. z1 = r1 [cos(–1) + i sin (–1)]

20

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
62. ถำ้ กำหนด z1 = 2 (cos 25o + i sin 25o) และ z2 = 3 (cos35o + i sin35o)
แลว้ คำ่ ของ z1 . z2 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 3 + 3 3 i 2. 3 – 3 3 i 3. –3 + 3 3 i 4. –3 – 3 3 i

63. ถำ้ กำหนด zzz112 = 6 (cos110o + i sin110o) และ z2 = 2 (cos80 + i sin80)
แลว้ คำ่ ของ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 3 + 3 3 i 2. 3 – 3 3 i 3. 3 23 + 23 i 4. 3 23 – 23 i

การยกกาลงั จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั

ทฤษฎบี ท ถำ้ z = r . (cos  + i sin ) และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก
จะได้ zn = rn . (cos n + i sin n)

64. ถำ้ z = 2 (cos 30o + i sin 30o) แลว้ ค่ำของ z3 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 3 + i 2. 3 – i 3. 8 i 4. –8 i

65. ค่ำของ ( 3 + i)9 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 512 i 4. –512 i
1. 3 + 3 3 i 2. 3 – 3 3 i

21

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
ให้ Z1 = cos12o + i sin 12o และ Z2 = –cos 16o – i sin 16o
66(แนว En) เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี แลว้ สงั ยคุ ของ
 ZZ12 15
1. 12 3i 2. 12 3i 3.  23i i 4.  23i i

67(แนว En) ถำ้ z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนซ่ึง z1 = cos 16 + i sin 16 4 และ
z2  2  i  z12 แลว้ ส่วนจินตภำพของ z2 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 0 2. 1 3. –1 4. 2

10.6 รากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน

ทฤษฎบี ท ถำ้ z = r . (cos  + i sin )

 แลว้ รำกที่ n ของ z = n r cos (n  36n0o k)  i sin (n  36n0o k)

เมื่อ k  0 , 1 , 2 ,…, n –1
68. เซตคำตอบท่ีสอดคลอ้ งกบั รำกที่ 3 ของ –64 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { 2 + 2 3 i , –5 , –2 + 2 3 i } 2. { 2 + 2 3 i , –6 , 2 – 2 3 i }
3. { 2 + 2 3 i , –7 , –2 + 2 3 i } 4. { 2 + 2 3 i , –4 , 2 – 2 3 i }

22

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
69. เซตคำตอบท่ีสอดคลอ้ ง z4 = 16 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. {2 , 2 i , –4 , –4 i} 2. { 4 , 4 i , –2 , –2 i}

3. {2 , 2 i , –2 , –2 i} 4. { 3 , 2 i , –4 , –2 i}

70. คำตอบในควอดรันตท์ ่ี 2 ของสมกำร z4 = 2 + 2 3 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 (cos 105o + i sin 105o) 2. 2 (cos 135o + i sin 135o)
3. 2 (cos 105o + i sin 105o) 4. 2 (cos 135o + i sin 135o)

10.7 สมการพหุนาม

กำรแก้สมกำรพหุนำมในระบบจำนวนเชิงซ้อนสำมำรถทำได้หลำยวิธี เช่นกำรแยกตัว

ประกอบ กำรใชส้ ูตร กำรจดั ให้เป็ นกำลงั สองสัมบูรณ์ เป็ นตน้ รำยละเอียดของกำรแกส้ มกำรพหุ

นำมใหศ้ ึกษำจำกตวั อยำ่ งตอ่ ไปน้ี

71. รำกของสมกำร x2 + 2x – 1 = 0 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. –3  2 2. –2  2 3. –1  2 4.  2

23

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

72. กำหนดให้ x เป็ นรำกของสมกำร x2 + 8x + 25 = 0 แลว้ คำ่ ของ  x  เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 3 2. 5 3. 8 4. 13

73. รำกของสมกำร z2 + 2z + 2 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
3 1
1. 2  2 i 2. –1  7 i 3. 1  2i 4. –1  i

74. กำหนดให้ x1x2,2x2 เป็ นรำกท้งั สองของสมกำร x2 + 2x – 2 + 4i = 0 แลว้ จะได้ว่ำค่ำ
ของ  x12 + เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 4 2. 8 3. 10 4. 12

75. รำกของสมกำร x2 – 6i x + 7 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1  2 2. –1  2 3. –i , 7 i 4. –i , 8 i

24

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
76. รำกของสมกำร z2 + i z + 2 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. i , –2 i
1. i , –2i 2. i , –i 3. –i , 2 i

77. รำกของสมกำร z2 + (1 + i) z + i = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. i , 3 + i 2. –1 , –i 3. 7 i , –i 4. 8 i , –i

78. รำกของสมกำร x4 + 5x2 – 36 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { i , –i , 5 i , –5 i } 2. { 2 i , –2 i , 3 i , –3 i }

3. { i , –i , 2 i , –2 i } 4. { 2 i , –2 i , 5 i , –5 i }

79. เซตคำตอบของสมกำร x4 – 2x2 – 3x – 2 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. {–1 , 1 , 1 2 3 i , 12 3 i } 2. {–2 , 1 , 1 2 3 i , 1 2 3 i }
3. {–3 , 3 , 1 2 3 i , 12 3 i } 4. {–1 , 2 , 12 3 i , 12 3 i }

25

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

โดยทวั่ ไปแล้วสมกำรพหุนำมดีกรีสูง ( ตวั แปรยกกำลงั สูง ) มกั จะมีคำตอบหลำยคำตอบ

หำกตอ้ งกำรหำว่ำ เม่ือนำคำตอบท้งั หมดมำบวกกนั หรือมำคูณกนั จะไดค้ ่ำเท่ำใด อำจหำไดจ้ ำก

สูตรต่อไปน้ี

ผลบวกของคำตอบ = สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 2
สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ี่ 1
(–1)กำลงั สูงสุดของพหุนำม คา่ คงตวั
ผลคูณของคำตอบ = ( สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 1)

ตวั อย่าง จำก z2 + 5z + 6 = 0

จะไดว้ ำ่ ผลบวกของคำตอบ = – สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ี่ 2 = – 15 = –5
สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 1
(–1)กำลงั สูงสุดของพหุนำม คา่ คงตวั
ผลคณู ของคำตอบ = (–1)2 ( 16 ) ( สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 1)
=

=6

ตวั อย่าง จำก z3 + 2 z2 + 2 z + 1 = 0

จะไดว้ ำ่ ผลบวกของคำตอบ =– สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 2 = – 12 = –2
สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ี่ 1
(–1)กำลงั สูงสุดของพหุนำม คา่ คงตวั
ผลคณู ของคำตอบ = (–1)3 ( 12 ) ( สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ่ี 1)
=

= –2

80. ให้ z1 และ z2 คือรำกสมกำรของ z2 + 2z – 2(1 + 2i) = 0 แลว้ ขอ้ ใดคือคำ่ ของ z1 + z2
1. 2 2. –2 3. 2i 4. –2i

81. ผลบวกของค่ำ x จำกสมกำร x2 – ix – 3i + 1 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 0 2. 1 3. –1 4. i

26

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
82. ให้  และ  เป็นคำตอบของสมกำร z2 + (2i – 3) z + (5 – i) = 0 แลว้ ต่อไปน้ีขอ้ ใดถูก

1.  +  = 3 – 2i ;   = 5 – i 2.  +  = –1 + 4i ;   = –5 – i

3.  +  = –1 + 2i ;   = 1 + 5 i 4.  +  = –3 – 4i ;   = –1 + 5 i

83(แนว มช) ถำ้ Z3 – 3Z2 + 5Z – 3 = 0 มี Z1 , Z2 , Z3 เป็ นรำกของสมกำรแลว้
( Z1 + Z2 + Z3 )2 มีค่ำเทำ่ กบั เทำ่ ใด

84. เซตที่กำหนดใหใ้ นขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี เป็นเซตคำตอบของสมกำร w3 + 2w2 + 2w + 1 = 0

1. 1 , 23 + 12 i , 23  12 i  2. 1 , 23 + 12 i , 23  12 i 
 
   

3. 1 ,  12 + 23 i ,  12  23 i  4.  23 + 12 i , 23  12 i 
  

27

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน
85. ผลบวกของคำตอบท้งั หมดของสมกำร x5 + 9x3 – 8x2 – 72 = 0 เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. –2 2. –1 3. 0 4. 2

86. ผลบวกของคำ่ สัมบูรณ์ของรำกสมกำร x3 + 2x2 + 9x + 18 = 0 คือขอ้ ใด
1. 2 2. –2 3. 8 i 4. 8

ทฤษฎบี ท กำหนด P(x) = 0 เป็นสมกำรพหุนำมกำลงั n เมื่อ n  1
และมี “สมั ประสิทธ์ิของตวั แปรเป็ นจำนวนจริง”
“ ถำ้ a + b i เป็นรำกของสมกำร แลว้ a – b i จะเป็ นรำกของสมกำรดว้ ย
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง โดยท่ี b  0 ”

ทฤษฎบี ท กำหนด P(x) = 0 เป็นสมกำรพหุนำมกำลงั n เม่ือ n  1
และมี “สัมประสิทธ์ิของตวั แปรเป็ นจำนวนตรรกยะ”
“ ถำ้ a + b เป็นรำกของสมกำร แลว้ a – b ก็จะเป็นรำกของสมกำรดว้ ย
เมื่อ a เป็ นจำนวนตรรกยะ และ b เป็นจำนวนอตรรกยะ ”

87. สมกำรของพหุนำมที่มีคำตอบเป็ น 2 และ 3 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. x2 – 5x + 5 = 0 2. x2 – 5x + 6 = 0
3. x2 – 5x + 7 = 0 4. x2 – 5x + 8 = 0

28

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

88. สมกำรที่มีจำนวนเชิงซอ้ น 8 + 3 i และ 8 – 3 i เป็นคำตอบของสมกำร คือสมกำรใด
1. x2 + 16x + 67 = 0 2. x2 – 16x – 67 = 0
3. x2 + 16x – 67 = 0 4. x2 – 16x + 67 = 0

89. รำกหน่ึงของสมกำร x2 – px + q = 0 คือ 2 – 3i แลว้ แลว้ ค่ำของ q – p เทำ่ กบั ขอ้ ใด

1. 5 2. 9 3. 17 4. 23

90. กำหนดให้ x3 + ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a , b , c เป็นจำนวนจริง ถำ้ 1 + 2 i และ –1
เป็นคำตอบของสมกำรน้ี แลว้ ค่ำ a + b + c เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 2. 3 3. 5 4. 7

91. กำหนดให้ x4 – 12x3 + bx2 + cx + 125 = 0 โดยท่ี b , c เป็นจำนวนเตม็ ถำ้ 2 – i และ
4 + 3 i เป็นบำงคำตอบของสมกำรน้ี แลว้ ค่ำของ b – c เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 82 2. –82 3. 164 4. 202

29

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

1. ตอบข้อ 3. เฉลยบทที่ 10 จำนวนเชงิ ซอ้ น 4. ตอบข้อ 1.
5. ตอบข้อ 4. 8. ตอบข้อ 3.
9. ตอบข้อ 3. 2. ตอบข้อ 2. 3. ตอบข้อ 3. 12. ตอบข้อ 3.
13. ตอบข้อ 2. 6. ตอบข้อ 4. 7. ตอบข้อ 1. 16. ตอบข้อ 2.
17. ตอบข้อ 2. 10. ตอบข้อ 1. 11. ตอบข้อ 2. 20. ตอบข้อ 2.
21. ตอบข้อ 1. 14. ตอบข้อ 1. 15. ตอบข้อ 2. 24. ตอบข้อ 2.
25. ตอบข้อ 4. 18. ตอบข้อ 2. 19. ตอบข้อ 3. 28. ตอบข้อ 4.
29. ตอบข้อ 1. 22. ตอบข้อ 1. 23. ตอบข้อ 4. 32. ตอบข้อ 2.
33. ตอบข้อ 2. 26. ตอบข้อ 1. 27. ตอบข้อ 3. 36. ตอบข้อ 2.
37. ตอบข้อ 3. 30. ตอบข้อ 2. 31. ตอบข้อ 2. 40. ตอบข้อ 2.
41. ตอบข้อ 3. 34. ตอบข้อ 2 35. ตอบข้อ 1. 44. ตอบข้อ 3.
45. ตอบข้อ 2. 38. ตอบข้อ 3. 39. ตอบ 0 48. ตอบ ข้อ 4.
49. ตอบ ข้อ 1. 42. ตอบข้อ 1. 43. ตอบข้อ 1. 52. ตอบข้อ 2.
53. ตอบข้อ 2. 46. ตอบข้อ 2. 47. ตอบ 1 56. ตอบข้อ 2.
57. ตอบข้อ 3. 50. ตอบข้อ 4. 51. ตอบ 2 60. ตอบข้อ 2.
61. ตอบข้อ 4. 54. ตอบข้อ 1. 55. ตอบข้อ 4. 64. ตอบข้อ 4.
65. ตอบข้อ 4. 58. ตอบข้อ 1. 59. ตอบข้อ 4. 68. ตอบข้อ 4.
69. ตอบข้อ 3. 62. ตอบข้อ 1. 63. ตอบข้อ 3. 72. ตอบข้อ 2.
73. ตอบข้อ 4. 66. ตอบข้อ 2. 67. ตอบข้อ 1. 76. ตอบข้อ 1.
77. ตอบข้อ 2. 70. ตอบข้อ 3. 71. ตอบข้อ 3. 80. ตอบข้อ 2.
81. ตอบข้อ 4. 74. ตอบข้อ 4. 75. ตอบข้อ 3. 84. ตอบข้อ 3.
85. ตอบข้อ 3. 78. ตอบข้อ 4. 79. ตอบข้อ 4. 88. ตอบข้อ 4.
89. ตอบข้อ 2. 82. ตอบข้อ 1. 83. ตอบ 9
86. ตอบข้อ 4. 87. ตอบข้อ 2.
90. ตอบข้อ 2. 91. ตอบข้อ 4.



30

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

ตะลยุ โจทย์ท่วั ไป บทที่ 10 จำนวนเชงิ ซอ้ น

10.1 การสร้างจานวนเชิงซ้อน

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจำนวนจินตภำพ

1. (3 , 0) 2. (0 , 9) 3. (–2 , 4) 4. (–9 , 0)

2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจำนวนจินตภำพแท้

1. (3 , 0) 2. (0 , 9) 3. (–2 , 4) 4. (–9 , 0)
4. (10 , 18)
3. (2 , 3) + (5 , 6) มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. (10 , 18)
4. (6 , 20)
1. (–3 , –3) 2. (7 , 9) 3. (9 , 7) 4. 2
4. i
4. (2 , 3) + (5 , 6) มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. i
4. i
1. (–3 , –3) 2. (7 , 9) 3. (9 , 7) 4. 212ii

5. (3 , 4) . (2 , 5) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (5 , 9) 2. (1 , –1) 3. (–14 , 23)

6. i2538 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. 0
1. 1 2. –1

7. i1995 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. – i
1. 1 2. –1

8. i20 . i46 . i38 . i31 . i16 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 2. –1 3. – i

9. i215 + i77 + i88 + i99 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 – i 2. –1– i 3. –i

10. i8i888i1i0305 ii14051 ii51605 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 1–i 2. –1–i 3. 313ii

31

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน
11. i + i2 + i3 + i4 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. 2
1. 1 2. –1 3. 0 4. 2

12. i107 + i108 + i109 + i110 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 2. –1 3. 0

13. ขอ้ ใดต่อไปน้ีผดิ 2. i + i2 + i3 + … + i121 = i
1. i + i2 + i3 + … + i100 = 0 4. i + i2 + i3 + … + i723 = 1
3. i + i2 + i3 + … + i254 = –1 + i

14. i + i3 + i5 + i7 + i9 + i11 + … .. .. .. + i729 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. i 3. 1 + i 4. 1 – i

15. i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + i13 – i15 + i17 – i19 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. i 2. 10 i 3. 1 + i 4. 1 – i

16. i2 + i4 + i6 + i8 + … + i280 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 2
1. 1 2. –1 3. 0

17. i + i3 + i5 + i7 + … + i729 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 2
1. 1 2. – i 3. 0

18. i15 + i17 + i19 + … + i97 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. 2
1. 1 2. –i 3. 0

19. i – i2 + i3 – i4 + … + i35 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 2
1. 1 2. –i 3. 0

20. i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + … – i39 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 21 2. –21i 3. 20 4. 20i

21. i2 – i4 + i6 – i8 + … + i100 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. –50
1. 21 2. –21i 3. –50i

32

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
22. คำ่ ของ 1i  + 1i 2 + 1i 3 + … + 1i 79 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 2. –1 3. i 4. –i
4. –i
23. i . i2 . i3 . i4 . i5 . … . i37 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1 2. –1 3. i

24. (3 – 5i) + (–7 + 2i) มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –44 – 3i 2. –5 – 3i 3. –6 – 3i 4. –7 – 3i

25. (7 – 2i) + (3 – 2i) + (7 + 8i) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –4 – 3i 2. –5 – 3i 3. –6 – 3i 4. 17 + 4i

26. (3 – 2i) + (5i) + (7 – i) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 10 + 2i 2. –5 – 3i 3. –6 – 3i 4. –7 – 3i

27. (3 + 2i) – (4 – 5i) มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 10 + 2i 2. –5 – 3i 3. –6 – 3i 4. –1 + 7i

28. (–2 + i) – (–1 + 2i) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 10 + 2i 2. –1 – i 3. –6 – 3i 4. –1 + 7i

29. (1 + 2i) (3 + 4i) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –5 + 10i 2. –4 + 10i 3. –6 + 10i 4. –7 + 10i

30. ( 3 – i) ( 2 + 3 i) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. ( 6 + 3 ) + (3 – 2 i ) 2. ( 7 + 3 ) + (3 – 2 i )

3. –6 + 10i 4. –7 + 10i

31. (2 – 2i)2 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 8i 4. –8i
1. 4 2. –4i

32. (2 – 3i)2 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. –5 –12i 2. –4 + 10i 3. –6 + 10i 4. –7 + 10i

33

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
33. (2 + 3i)3 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. –46 – 9i
1. –5 –12i 2. –4 + 10i 3. –6 + 10i

34. 2i (1 – i) (3 + 2i) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –5 –12i 2. 2 + 10i 3. –6 + 10i 4. –46 – 9i

35. (5 + 4i) (–2 – i) (5 – 4i) (–2 + i) มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –5 –12i 2. 205 3. 250 4. –46 – 9i

36. ถำ้ a , b  R และ 3a + (a + b) i = 6 + i แลว้ ค่ำของ a – 2b2 ตรงกบั ขอ้ ใด
1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

37. ถำ้ x , y  R และ x(1 + 2i) – y(1 – i) + 1 = 0 แลว้ คำ่ ของ x2 + y2 ตรงกบั ขอ้ ใด
1. 95 2. 69 3. 79 4. 89

38. ถำ้ (x + yi) + i = (2y – 3 , –2x) แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่ำของ x + yi

1. 1 + i 2. –1 + i 3. 1 – i 4. –1 – i

39. ค่ำของ x y จำกสมกำร 1x9  2yii = 5 – 7i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี


1. 2 2. 3 3. 5 4. 8

40. ถำ้ x , y  R และ (2 + 3i)x2 – (3 – 2i)y = 2x – 3y + 15i แลว้ x + y มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใด
1. 5 2. 7 3. 9 4. 11

41. เซตคำตอบท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร (2 + 3i) x2 – (3 – 2i)y = 2x – 3y + 15i มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
112255 112255
1. {0 , } หรือ {1 , 6} 2. {1 , } หรือ {1 , 6}
3. {2 , } หรือ {1 , 6} 4. {3 , } หรือ {1 , 6}

42. กำหนด z1 = a1 + b1i และ z2 = a2 + b2 i เง่ือนไขที่ทำให้ z1 + z2 เป็นจำนวนจริง คือ
ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. b1 = –b2 2. b1 = b2 3. b1 = –b2 + 1 4. b1 = –b2 + 2

34

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

43. กำหนด z1 = a1 + b1i และ z2 = a2 + b2 i เง่ือนไขท่ีทำให้ z1 + z2 เป็ นจำนวนจินต-
ภำพแท้ คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. a1 = –a2 , b1  –b2 2. b1 = b2
3. a1 = –a2 , b1 = –b2 4. b1 = –b2 + 2

44. กำหนด z1 = a1 + b1i และ z2 = a2 + b2 i เง่ือนไขที่ทำให้ z1 . z2 เป็ นจำนวนจริง คือ
ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. a1 b2 = a2 b1 2. a1 b2 = –a2 b1
3. a1 b2 = –a2 b1 + 1 4. a1 b2 = –a2 b1 + 2

10.2 สมบัติพชี คณติ ของจานวนเชิงซ้อน

45. ตวั ผกผนั กำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น (3 , –7) คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
153308 157708 )) 153308 157708
1. (–3 , 7) , ( , 2. (7 , –3) , ( , )
3. (–3 , 7) , ( , 4. (7 , –3) , ( , )

46. ตวั ผกผนั กำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 3 – 4i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –4 + 3i , 235 + 245 i 3535 545 i
3. –3 + 4i , 235 + 245 i 2. –4 + 3i , + 545 i
4. –3 + 4i , +

47. ตวั ผกผนั กำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 2 – 2 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (–2 + 2i , 1 + 2 i) 2. ( 2 – 2 i , 1 + 2 i)
6 6 6 6

3. (–2 + 2 i , 13 + 62 i ) 4. ( 2 – 2 i , 13 + 62 i )

48. ตวั ผกผนั กำรบวกและกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น –3 – 2 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (– 2 – 3i , – 131 + 112 i ) 2. (3 + 2 i , – 131 + 112 i )
2 2
3. (– 2 – 3i , – 3 + 11 i) 4. (3 + 2i , – 3 + 11 i)
11 11

49. อินเวอร์สกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น (2 – 3i)2 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
3. – 1669 + 11629 i 4. – 1659 + 11629 i
1. 4 + 4i 2. –4 + 4i

35

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน
50. อินเวอร์สกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น (i 1 +  4 )3 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 11215 + 1225 i 2. 11215 + 1225 i 3. – 1669 + 11629 i 4. – 1659 + 11629 i

51. อินเวอร์สกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ น 144ii คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. – 13 – 12 i
1. 187 + 1175 i 2. – 14 – 12 i 3. 187 + 1175 i

52. กำหนดให้ z1 = 1 + 2i , z2 = 2 + i แลว้ z1  z2 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 1 – i 2. –1 – i 3. 3 – 3 i 4. i

53. กำหนดให้ z1 = 1 + 2i , z2 = 2 + i แลว้ z1  z2 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 1 – i 2. –1 – i 3. 3 – 3 i 4. i

54. กำหนดให้ z1 = 1 + 2i , z2 = 2 + i แลว้ z1 z2 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 1 – i 2. –1 – i 3. 3 – 3 i 4. i

55. กำหนดให้ z1 = 1 + 2i , z2 = 2 + i แลว้ 3.zz1265  มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 1 – i 2. –1 – 3 i 53 i 4. 45 – 35
– i

56. จำนวนเชิงซอ้ น 32  23 ii มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 25 – 15 i  25 + 15 i 3. 27 12
2. – i 4. i

57. จำนวนเชิงซอ้ น 413ii มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 25 – 15 i 2. 25 + 15 i 3. 72 12
– i 4. i

58. จำนวนเชิงซอ้ น 2 13 i มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 123 – 133 i 2. 123 + 133 i 3. 27 12
– i 4. i

59. จำนวนเชิงซอ้ น 2 4 i2 i มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. – 12 – 12 i 2. 12 + 12 i
3. 1 – i 4. 1 + i

60. จำนวนเชิงซอ้ น z ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร z ( 1 – 3 i ) = 2 + 7i คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
3. – 1109 – 1103 i 4. – 1109 + 1103 i
1. –8 + 19 i 2. –8 – 19 i

36

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

61. จำนวนเชิงซอ้ น z ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร (2+ i) z + i = 3 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1 – i 2. –1 + i 3. 1 – i 4. 1 + i

62. ถำ้ จำนวนเชิงซอ้ น z ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร 3 i z = 18 – 9 i แลว้ z คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –3 + 6 i 2. –3 – 6 i 3. 3 – 6 i 4. 3 + 6 i

63. จำนวนเชิงซอ้ น z ที่สอดคลอ้ งกบั สมกำร z–1 ( 1 + 3 i ) = 1 – 3 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 25 – 15 i 2. 53 – 15 i 3. – 12 + 23 i 4. – 12 – 23 i

64. ถำ้ z = 1i  i12  i13  ...  i19 แลว้ คำ่ ของ (z1) มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 25 – 15 i 2. 441 – 451 i 3. – 23 – 23 i 4. – 12 – 23 i

65. คำ่ ของ (1 + i)10 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1 2. –1 3. –32i 4. 32i

66. คำ่ ของ (2 + 2i)8 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1096 2. –1096 3. –4096 4. 4096

67. คำ่ ของ (1 – i)5 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 4 + 4i 2. –4 + 4i 3. –32i 4. 32i

68. อินเวอร์สกำรคูณของจำนวนเชิงซอ้ นของ z = (11  i2)i4 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 11215 + 1225 i 2. – 14 – 12 i 3.  1669 + 11629 i 4. – 13
– 12 i
–

69. ถำ้ จำนวนเชิงซ้อน z ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมกำร z = (1 i)3 แลว้ z คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 25 – 15 i 2. 53 – 15 i 1 i3 4. 2
3. –2

70. ถำ้ z1 , z2 zเป2็นจ+ำนzว2น1เชิงเซทอ้่ำกนบัซข่ึงอ้ ใดzต1่อ=ไปน11้ี  ii 27 และ z2 = 2 i50 – i177 แลว้
ค่ำของ z1 + 

1. 15 (i –12) 2. 15 (11i –12) 3. 15 ( i +12) 4. 15 (11i +12)

37

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

71. ค่ำของ (i 2 3 )21 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. i 4. – i
1. 1 2. –1

72(แนว En) กำหนดให้ z = 12  23 i ส่วนจริงของ z5 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –1 2. – 1 3. 1 4. 1
2 2

73. ถำ้ m = 132 i , n = 13 2 i แลว้ m2 + n2 – 2nm มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –1 – i 2. –1 + i 3. 196 4. – 196

74. กำหนดให้ w = i1izz แลว้ z มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. w2w22iw11
1. w2w22iw11 w 2w22iw1 1 3. w2w22iw1 1
2.

75. กำหนดให้ x และ y เป็ นจำนวนจริงซ่ึงสอดคลอ้ งกบั สมกำร 3 + i x2y = x2  y  4 i

แลว้ คู่อนั ดบั (x , y) คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. (–1 , –1) 2. (–1 , 1) 3. (1 , –1) 4. (2, –1) หรือ (–2, –1)

76. กำหนดให้ z และ w เป็นจำนวนเชิงซ้อน แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีผดิ
1. ถำ้ a , b เป็นส่วนจริงของ z , w ตำมลำดบั แลว้ a + b จะเป็นส่วนจริงของ z + w
2. z  z
3. ถำ้ z = –z แลว้ ส่วนจริงของ z = 0
4. ถำ้ ส่วนจินตภำพของ z  0 แลว้ z  z

10.3 รากทสี่ องของจานวนเชิงซ้อน

77. รำกท่ีสองของ 8 + 6i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (3 + i) 2.  (4 + i) 3.  (5 + i) 4.  (6 + i)
4.  (4 – i)
78. รำกท่ีสองของ 5 + 12i เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (3 + 2i) 2.  ( 22 + 22 i) 3.  (2 2 +2 2 i)

38

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

79. รำกท่ีสองของ 15 – 8 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4.  (4 – i)

1.  (3 + 2i) 2.  ( 22 + 22 i) 3.  (2 2 +2 2 i)

80. รำกท่ีสองของ 8 – 6 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (3 – i) 2.  (3 + i) 3.  (10 – i) 4.  (10 + i)

81. รำกท่ีสองของ 4 – 3 i เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3
3 1 2 1
1.  (3 + 2i) 2.  ( 2 + 2 i) 3.  ( – 2 i) 4.  (3 – 2i)

82. รำกที่สองของ i เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (3 + 2i) 2.  ( 22 + 22 i) 3.  (2 2 +2 2 i) 4.  (4 – i)

83. รำกที่สองของ 16 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (3 + 2i) 2.  ( 22 + 22 i) 3.  (2 2 +2 2 i) 4.  (4 – i)

84. รำกท่ีสองของ –2 i เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1.  (1 + i) 2.  (1 – i) 3.  (2 + i) 4.  (2 + i)

10.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน

85. คำ่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ นของ 3 + 4i มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

86.  5 + 2i  +  6 – 8 i  มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 72
1. 18 2. 23 3. 35

87.  3i  +  2  มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 13 4. 15
1. 5 2. 11

88. ค่ำสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น (1 – i)(1 + i)(3 + 4 i)(12 – 5i) มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 150 2. 140 3. 130 4. 5

39

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

89. คำ่ สัมบรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น (2  3 i) (3 4i)(1 i) มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
( 6  i)(1  i)

1. 5 2. 4 3. 3 4. 5

90. คำ่ สมั บรู ณ์ของ ( 32i)2 (33i)24i)3 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
(1
1. 1010 2.  110 3. 110 4. 1010
4. 8
91. ถำ้ z = 3 3  5i ค่ำสัมบรู ณ์ของ z จะเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 2. 2 3. 6

92. ถำ้ (a + b i) (3 – 4 i)2 = (4 – 3i) แลว้  a – bi  คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 5 2. 5 3. 5 5 4. 25

93. ค่ำสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น z จำกสมกำร 22  ii + 13  24ii = z2 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
 

1. 2 3 2. 3 2 3. 3 3 4. 2 2

94. ค่ำสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น (2 + 3i)2 – (1 – 4i)2 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 50 2. 40 3. 30 4. 10 5

95. ถำ้ z = i – 1 แลว้  z – 1z 2 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 3
1. 1 2. 23 3. 25

96. ถำ้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นท่ีอยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 1 บนระนำบเชิงซอ้ น โดยมี  z 2 = 5 และ
ส่วนจินตภำพ = 1 แลว้ z–1 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 25 i 2. 2 5 i 3. 2 5i 4. 2 5i

97. ถำ้ 3z + 4 i = z i + 4 แลว้  z 2 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 156
1. 16 2. 17 3. 18

98. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ กรำฟของ  z  = 1 จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 1 2. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 2
3. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (3 , 0) , รัศมี = 1 4. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (3 , 0) , รัศมี = 2

40

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

99. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ กรำฟของ  z – 3  = 2 จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 1 2. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 2

3. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (3 , 0) , รัศมี = 1 4. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (3 , 0) , รัศมี = 2

100. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ กรำฟของ  z – 1 – 3 i  = 2 จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , –2) , รัศมี = 2 2. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , –2) , รัศมี = 3
3. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (1 , 3) , รัศมี = 2 4. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (1 , 3) , รัศมี = 3

101. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ กรำฟของ  z 2 = z + z จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (0 , –2) , รัศมี = 2 2. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , –2) , รัศมี = 3
3. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (1 , 3) , รัศมี = 2 4. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (1 , 3) , รัศมี = 3

102. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ กรำฟของ  2z + i  =  z + 2 i  จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใด
1. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 1 2. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 2
3. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (–1 , 0) , รัศมี = 1 4. วงกลมจุดศนู ยก์ ลำง = (–1 , 0) , รัศมี = 2

103. ให้ z เป็นจำนวนเชิงซอ้ นใดๆ กรำฟของ  z 2 + z + z = 3 จะมีลกั ษณะตำมขอ้ ใด
1. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 1 2. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (0 , 0) , รัศมี = 2
3. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (–1 , 0) , รัศมี = 1 4. วงกลมจุดศูนยก์ ลำง = (–1 , 0) , รัศมี = 2

10.5 จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั

104. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น z = 3 + 3 i คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 3 2 (cos 45o + i sin 45o) 2. 3 2 (cos 135o + i sin 135o)
3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 135o + i sin 135o)

105. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น z = –1 + 3 i คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 2 (cos 60o + i sin 60o) 2. 2 (cos 120o + i sin 120o)
3. 2 (cos 60o + i sin 60o) 4. 2 (cos 120o + i sin 120o)

106. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น – 3 – i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 (cos 120o + i sin 120o) 2. 2 (cos 210o + i sin 210o)
3. 4 (cos 120o + i sin 120o) 4. 4 (cos 210o + i sin 210o)

41

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

107. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น 2 – 2 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 2 (cos 45o + i sin 30o) 2. 2 2 (cos 315o + i sin 315o)
3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 315o + i sin 315o)

108. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น z = 3 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 3 (cos 0o + i sin 0o) 2. 3 (cos 90o + i sin 90o)
3. 3 (cos 180o + i sin 180o) 4. 3 (cos 270o + i sin 270o)

109. รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น z = –2 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 2 (cos 0o + i sin 0o) 2. 2 (cos 90o + i sin 90o)
3. 2 (cos 180o + i sin 180o) 4. 2 (cos 270o + i sin 270o)

110. ถำ้  เป็นมุมบวกท่ีเล็กที่สุดจำกสมกำร 2 (cos  + i sin ) = 1 – i แลว้  คือขอ้ ใด
1. 315o 2. 300o 3. 325o 4. 345o

111. จำนวนเชิงซอ้ น z = 2 (cos 4 + i sin 4 ) เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. 2 + 2 i
1. 2 + 2 i 2. 3 + 2 i 3. 1 + 2 i

112. จำนวนเชิงซอ้ น z = 3 (cos 6 + i sin 6 ) เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
3. 23 + 23 i
1. 2 + 2 i 2. 3 + 2 i 4. 2 + 2 i

113. จำนวนเชิงซอ้ น z = 23 (cos 3 + i sin 3 ) เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 43 + 43 i 3. 23 + 23 i
2. 3 + 2 i 4. 2 + 2 i

114. กำหนดให้ z1 = 2 (cos 56 + i sin 56 ) และ z2 = 3 (cos 76 + i sin 76 )
แลว้ z1. z2 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 43 + 43 i 3. 23 + 23 i
2. 3 + 2 i 4. 2 3

115แ. ลกว้ ำหนzz12ดใหม้ ีค่ำzเ1ท=่ำก4บั ข(cอ้oใsด4ต3อ่ ไป+นi้ี sin 43 ) และ z2 = 2 (cos 3 + i sin 3 )
1. 43 + 43 i 2. – 63 – 16 i 3. 23 + 23 i
4. –2

42

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
116แ. ลกว้ ำหนzz12ดใหม้ ีคำ่zเ1ท=่ำก6บั (ขcoอ้ sใด70ตoอ่ +ไปiนs้ีin 70o) และ z2 = 3 (cos 10o + i sin 10o)
1. 12 + 23 i 2. 12 – 23 i
3. 1 + 3 i 4. 1 – 3 i

117. จำนวนเชิงซอ้ น (1 3 i)8 เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 128 + 128 3 i 2. –128 – 128 3 i 3. 128 i 4. –128 i

118. จำนวนเชิงซอ้ น (1 – i)10 เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. –32 i 2. 32 i 3. 30 i 4. –30 i

119. กำหนด (1 – i)4 = r (sin  + i cos ) โดยที่ r > 0 และ –     จะไดว้ ำ่

1. r = 4 ,  = 3 2. r = 4 ,  = – 2
3. r = 4 ,  =  2 4. r = 4 ,  = 

120. จำนวนเชิงซอ้ น [ 3 (cos 56 + i sin 56 ) ] –1 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 43 + 43 i 2. – 63 – 16 i 3. 23 + 23 i
4. 2 3

121. จำนวนเชิงซอ้ น (– 12 + 23 i)–4 เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. – 12 – 23 i 2. 12 – 23 i 3. 1– 23 i 4. 2– 23 i

122. กำหนดให้ z14 .z1z8=2 4 (cos 30o + i sin 30o) และ z2 = 12 (cos 45o + i sin 45o)
แลว้ คำ่ ของ มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 12 (–2 + 3 i) 2. 12 (–1 + 3 i)
3. 12 (–3 + 3 i) 4. 12 (–4 + 3 i)

10.6 รากท่ี n ของจานวนเชิงซ้อน

123. รำกที่ 4 ของจำนวนเชิงซอ้ นของ 1 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { 2 , –2 , 2 i , –2 i } 2. { 2 , –2 , i , –i }

3. { 1 , –1 , i , – i } 4. { 1 , –1 , –2 i , –2 i }

43

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

124. รำกท่ี 4 ของจำนวนเชิงซอ้ นของ –1 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { 2 , –2 , 2 i , –2 i } 2. { 2 , –2 , i , –i }

3. { 1 , –1 , i , – i } 4. { 1 , –1 , –2 i , –2 i }

125. รำกที่ 3 ของ 8 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. {–2 , – 3 – i , – 3 + i }
1. {–2 , –1 + 3 i , –1 – 3 i } 4. { 2 , – 3 – i , – 3 + i }
3. { 2 , –1 + 3 i , –1 – 3 i }

126. รำกท่ี 3 ของ –1 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. { 1 , – 12 + 23 i , – 12 – 23 i }
1. {–1 , – 12 + 23 i , – 12 – 23 i } 4. { 1 , 12 + 23 i , 12 – 23 i }
3. {–1 , 12 + 23 i , 12 – 23 i }

127. รำกท่ี 3 ของจำนวนเชิงซอ้ นของ i มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. {– i , 32 i ,  23  i } 2. { – i , 32 i ,  23  i }
3. { i , 32 i ,  23  i } 4. { i , 32 i ,  23  i }

128. รำกที่ 3 ของจำนวนเชิงซอ้ นของ 8 i มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { –2i , 3 + i , – 3 + i } 2. { –2i , 3 – i , – 3 – i }

3. { 2i , 3 + i , – 3 + i } 4. { 2i , 3 – i , – 3 – i }

129. รำกท่ี 3 ของจำนวนเชิงซอ้ นของ –8 i มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { –2i , 3 + i , – 3 + i } 2. { –2i , 3 – i , – 3 – i }

3. { 2i , 3 + i , – 3 + i } 4. { 2i , 3 – i , – 3 – i }

130. รำกที่ 6 ของ 1 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. { –1 , 1 , 1  3 i , –1  3 i }
4. { –1 , 1 , 1 2 3 i , 12 3 i }
1. { –1 , 1 , 3  i , – 3  i }
3. { –1 , 1 , 32 i ,  23  i }

44

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

10.7 สมการพหุนาม 4. –1  2 i

131. รำกของสมกำร z2 + 2z + 8 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1  7 i 2. –1  7 i 3. 1  2 i

132. รำกของสมกำร z2 – 2z + 5 = 0 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 1  2 i 2. –1  2 i 3. 1  2 i 4. –1  2 i

133. กำหนดให้ x เป็ นรำกของสมกำร x2 – 6x + 45 = 0 แลว้ คำ่ ของ  x  เทำ่ กบั ขอ้ ใด

1. 3 2. 5 3. 3 5 4. 5 5

134. รำกของสมกำร z2 – (3 + 2i) z + (–1 + 3i) = 0 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. i , 3 + i 2. 2 i , –3 i 3. 7 i , –i 4. 8 i , –i

135. รำกของสมกำร z2 – 2z – 2 + 4 i = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1 + 2 i , 3 – i 2. 4 – 2 i , –4 + 2 i

3. 1 – 2 i , –3 + i 4. 2 – 4 i , –2 + 4 i

136. รำกของสมกำร z2 – 4 z + (4 – 2 i) = 0 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. i , 3 + i 2. –1 , –i 3. 7 i , –i 4. 3 – i , 1 – i

137. คำตอบในควอดรันตท์ ่ี 2 ของสมกำร z5 = 2 – 2 3 i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 5 4 (cos 132o + i sin 132o) 2. 5 4 (cos 164o + i sin 164o)
3. (cos 132o + i sin 132o) 3. (cos 164o + i sin 164o)

138. รำกของสมกำร x2 + i x + 6 = 0 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1  2 2. –3 i , 2 i 3. –i , 7 i 4. –i , 8 i

139. รำกของสมกำร z2 + 2 i z – 1 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 1 , –2
1. i 2. – i 3. i , – i

140. รำกของสมกำร i x2 – (1 + i ) x + 1 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใด

1. i , –i 2. i , 1 3. –i , –i 4. –i , 1

45

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
141. รำกของสมกำร x4 + 5x2 + 4 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { i , –i , 3 i , –3 i } 2. { 2 , –2 , 3 i , –3 i }

3. { i , –i , 2 i , –2 i } 4. { 3 , –3 , 2 i , –2 i }

142. รำกของสมกำร x4 + 5x2 – 36 = 0 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. { i , –i , 3 i , –3 i } 2. { 2 , –2 , 3 i , –3 i }

3. { i , –i , 2 i , –2 i } 4. { 3 , –3 , 2 i , –2 i }

143. กำหนดให้ x เป็ นรำกของสมกำร x4 – 8x2 + 16 = 0 แลว้ คำ่ ของ  x  เทำ่ กบั ขอ้ ใด
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8

144. เซตคำตอบของสมกำร z4 + 2z3 – z – 2 = 0 คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. {–1 , 1 , 12 3 i , 12 3 i } 2. {–2 , 1 , 12 3 i , 12 3 i }
3. {–3 , 1 , 12 3 i , 12 3 i } 4. {–4 , 1 , 12 3 i , 12 3 i }

145. เซตคำตอบของสมกำร x4 – 2x2 – 3x – 2 = 0 มีสมำชิกท้งั หมดก่ีตวั
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

146. ให้ –1 – 3 i เป็ นคำตอบหน่ึงของสมกำร x5 + 9x3 – 8x2 – 72 = 0 ผลบวกของคำตอบ

ท้งั หมดของสมกำรน้ีเทำ่ กบั เท่ำใด

1. –2 2. –1 3. 0 4. 2

147. กำหนดให้ z1 , z2 คือรำกของสมกำร z2 + (1+ i) z + i = 0 แล้ว z1 + z2 มีค่ำ
เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. –1 – i 2. –2 – i 3. 6 i 4. – i

148. กำหนดให้ z1 , z2 คือรำกของสมกำร z2 + i z + 6 = 0 แลว้ z1 + z2 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
1. –1 – i 2. –2 – i 3. 6 i 4. – i

149. กำหนดให้ z1 , z2 คือรำกของสมกำร z2 – 6i z + 7 = 0 แลว้ z1 + z2 มีค่ำเท่ำกบั
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. –1 – i 2. –2 – i 3. 6 i 4. – i

46

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
150. กำหนดให้ x1 , x2 คือรำกของสมกำร 2x2 + (5– i)x + 6 = 0 แล้ว x1 + x2 มีค่ำ
เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
3. – 25 + 12 i 4. 25 + 65 i
1. –1 – i 2. –3 – i

151. กำหนดให้ z1 , z2 คือรำกของสมกำร (3 – i) x2 + 4i x + 3 + i = 0 แลว้ z1 + z2 มีค่ำ
เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
3. – 25 + 12 i 4. 25 + 65 i
1. –1 – i 2. –3 – i

152. ผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร x4 + 2x2 + 9 = 0 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 9 2. 10 3. 18 4. 27

153. ผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –18 2. –9 3. 9 4. 18

154. ผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร x3 – 4x2 + 9x – 10 = 0 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 9 2. 10 3. 18 4. 27

155. ผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร x3 – 4x2 + 9x – 10 = 0 มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. –1 2. 1 3. 2 4. 0

156. ถำ้ z1 , z2 , z3 เป็นรำกของสมกำร z3 – 7z2 + 13z – 15 =0 ในระบบจำนวนเชิงซอ้ น
แลว้ ค่ำของ ( z1 z2 . z3)2 เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
.

1. 15 2. 25 3. 225 4. 625

157. ผลคูณของค่ำสัมบรู ณ์ของรำกสมกำร z3 + 2i z2 + 2 i = 0 เท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

158. ถำ้ z1 , z2 และ z3 เป็นรำกของสมกำร x3 – 3x2 + 6x – 8 = 0 แลว้ คำ่ ของ z1 + z2 + z3
และ z1 . z2 . z3 มีค่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด (ตำมลำดบั )
1. 3 , –4 2. –3 , 4 3. –3 , –4 4. 3 , 8

47

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน
159. ผลบวกและผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร x6 – x5 + 3x4 – x2 + x – 3 = 0 มีคำ่ เท่ำกบั

ขอ้ ใด (ตำมลำดบั )

1. –1 , –3 2. –1 , 3 3. 1 , –3 4. 1 , 3

160. กำหนดสมกำร x4 + 5x2 – 30 = 0

ถำ้ A เป็นผลบวกของรำกท้งั หมดของสมกำร

และ B เป็นผลคูณของรำกท้งั หมดของสมกำร 4. 0
แลว้ AB มีค่ำเทำ่ ใด

1. 16 2. – 16 3. 2

161. กำหนดให้ z1 , z2 เป็ นรำกของสมกำร z2 – 8z – 3i z + 13 + 13 i = 0 คำ่ ของ
z1 + z2 – z1. z2 มีคำ่ เท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 5 2. 10 5 3. 5 5 4. 50

162. กำหนดให้ z1 , z2 เป็ นรำกของสมกำร z2 + ( 2i –3) z + (5– i) = 0 แลว้ ค่ำของ z12  z22
มีค่ำเทำ่ ใด

1. 5 + 2 i 2. 3 + 7 i 3. 6 – 10 i 4. –5 – 10 i

163. พิจำรณำขอ้ ควำมต่อไปน้ี
ก. (1 – i) เป็ นคำตอบหน่ึงของสมกำร x2 – 2x + 2 = 0
ข. – i เป็นคำตอบหน่ึงของสมกำร x3 – i x2 + 3x + 5 i = 0

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง

1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถูก ข. ผดิ

3. ก. ผดิ ข. ถูก 4. ก. ผดิ ข. ผดิ

164. สมกำรของพหุนำมที่มีคำตอบเป็ น 2 – i และ 2 + i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. x2 – 5x + 5 = 0 2. x2 – 5x + 6 = 0
3. x2 – 2 2 x + 3 = 0 4. x2 – 2 2 x + 2 = 0

165. สมกำรของพหุนำมท่ีมีคำตอบเป็ น –2 , –3i และ 3i คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. x3 + 2x2 + 9x + 10 = 0 2. x3 + 2x2 + 9x + 18 = 0
3. x2 – 2 2 x + 3 = 0 4. x2 – 2 2 x + 2 = 0

48

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

166. สมกำรพหุนำมดีกรี 4 ท่ีมีสัมประสิทธ์ิเป็ นจำนวนเต็ม และมี 3 , –4 , 3 + i เป็ นคำตอบ

คือขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. x4 – 2x3 + 5x2 – 72x – 120 = 0
1. x4 – 4x3 + 32x2 – 64x + 256 = 0 4. x4 – 5x3 – 8x2 + 82x – 120 = 0
3. 2x4 – 2x3 + 5x2 – 64x + 256 = 0

167. สมกำรพหุนำมดีกรี 4 ท่ีมีสัมประสิทธ์ิเป็ นจำนวนเต็ม และมี 2 – 2 3 i และ –4i เป็ น

คำตอบ คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 2. x4 – 2x3 + 5x2 – 72x + 256 = 0
1. x4 – 4x3 + 32x2 – 64x + 256 = 0 4. x4 – 6x3 + 15x2 – 18x + 256 = 0
3. 2x4 – 2x3 + 5x2 – 64x + 256 = 0

168. สมกำรพหุนำมดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธ์ิเป็ นจำนวนเตม็ และมี – 23 , –1 + i และ 3 + 3 i
เป็นคำตอบ คือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 3x5– 22x4 + 56x3 – 24x2 – 48x + 256 = 0
2. 3x5– 22x4 + 56x3 – 24x2 – 48x = 0
3. x5 – 11x4 + 23x3 – 24x2 – 48x + 256 = 0
4. x5 – 11x4 + 23x3 – 24x2 – 48x = 0

169. สมกำรพหุนำมดีกรีสำม p(x) = 0 ที่มี –3 , –1 , 4 เป็นคำตอบ และ p(2) = 5 คือขอ้

ใดต่อไปน้ี – 1166 + 24x2 – 13x – 12)
1166 (x3 (x3 + 24x2 – 13x – 12)
1. – (x3 – 13x – 12) = 0 2. (x3 = 0
3. – 13x – 12) = 0 4. = 0

49

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชงิ ซ้อน

เฉลยตะลยุ โจทย์ท่วั ไป บทที่ 10 จำนวนเชงิ ซอ้ น

1. ตอบข้อ 3. 2. ตอบข้อ 2. 3. ตอบข้อ 2. 4. ตอบข้อ 1.
5. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ 2. 7. ตอบข้อ 3. 8. ตอบข้อ 3.
9. ตอบข้อ 1. 10. ตอบข้อ 1. 11. ตอบข้อ 3. 12. ตอบข้อ 3.
13. ตอบข้อ 4. 14. ตอบข้อ 2. 15. ตอบข้อ 2. 16. ตอบข้อ 3.
17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 3. 19. ตอบข้อ 1. 20. ตอบข้อ 4.
21. ตอบข้อ 4. 22. ตอบข้อ 2. 23. ตอบข้อ 4. 24. ตอบข้อ 1.
25. ตอบข้อ 4. 26. ตอบข้อ 1. 27. ตอบข้อ 4. 28. ตอบข้อ 2.
29.ตอบ ข้อ 1 30. ตอบข้อ 1. 31. ตอบข้อ 4. 32. ตอบข้อ 1.
33. ตอบข้อ 1. 34. ตอบข้อ 2. 35. ตอบข้อ 2. 36. ตอบข้อ 2.
37. ตอบข้อ 1. 38. ตอบข้อ 2. 39. ตอบข้อ 2. 40. ตอบข้อ 2.
41. ตอบข้อ 1. 42. ตอบข้อ 1. 43. ตอบข้อ 1. 44. ตอบข้อ 2.
45. ตอบข้อ 1. 46. ตอบข้อ 4. 47. ตอบข้อ 3. 48. ตอบข้อ 2.
49. ตอบข้อ 4. 50. ตอบข้อ 1. 51. ตอบข้อ 2. 52. ตอบข้อ 3.
53. ตอบข้อ 2. 54. ตอบข้อ 4. 55. ตอบข้อ 4. 56. ตอบข้อ 4.
57. ตอบข้อ 3. 58. ตอบข้อ 2. 59. ตอบข้อ 1. 60. ตอบข้อ 4.
61. ตอบข้อ 3. 62. ตอบข้อ 2. 63. ตอบข้อ 3. 64. ตอบข้อ 2.
65. ตอบข้อ 4. 66. ตอบข้อ 4. 67. ตอบข้อ 4. 68. ตอบข้อ 2.
69. ตอบข้อ 3. 70. ตอบข้อ 1. 71. ตอบข้อ 4. 72. ตอบข้อ 3.
73. ตอบข้อ 4. 74. ตอบข้อ 1. 75. ตอบข้อ 4. 76. ตอบข้อ 2.
77. ตอบข้อ 1. 78. ตอบข้อ 1. 79. ตอบข้อ 4. 80. ตอบข้อ 1.
81. ตอบข้อ 3. 82. ตอบข้อ 2. 83. ตอบข้อ 3. 84. ตอบข้อ 2.
85. ตอบ ข้อ 1. 86. ตอบข้อ 2. 87. ตอบข้อ 1. 88. ตอบข้อ 3.
89. ตอบข้อ 1. 90. ตอบข้อ 4. 91. ตอบข้อ 2. 92. ตอบข้อ 2.
93. ตอบข้อ 4. 94. ตอบข้อ 4. 95. ตอบข้อ 3. 96. ตอบข้อ 2.
97. ตอบข้อ 4. 98. ตอบข้อ 1. 99. ตอบข้อ 4. 100. ตอบข้อ 2.
101. ตอบข้อ 3. 102. ตอบข้อ 1. 103. ตอบข้อ 4. 104. ตอบข้อ 1.
105. ตอบข้อ 4. 106. ตอบข้อ 2. 107. ตอบข้อ 2. 108. ตอบข้อ 2.

50