Ww

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 10 จานวนเชิงซ้อน

109. ตอบข้อ 3. 110. ตอบข้อ 1. 111. ตอบข้อ 1. 112. ตอบข้อ 3.
113. ตอบข้อ 1. 116. ตอบข้อ 3.
117. ตอบข้อ 2. 114. ตอบข้อ 4. 115. ตอบข้อ 4. 120. ตอบข้อ 3.
121. ตอบข้อ 1. 124. ตอบข้อ 3.
125. ตอบข้อ 3. 118. ตอบข้อ 2. 119. ตอบข้อ 2. 128. ตอบข้อ 1.
129. ตอบข้อ 2. 132. ตอบข้อ 3.
133. ตอบข้อ 3. 122. ตอบข้อ 2. 123. ตอบข้อ 3. 136. ตอบข้อ 4.
137. ตอบข้อ 1. 140. ตอบข้อ 4.
141. ตอบข้อ 3. 126. ตอบข้อ 3. 127. ตอบข้อ 2. 144.ตอบ ข้อ 2
145. ตอบข้อ 4. 148. ตอบข้อ 4.
149. ตอบข้อ 3. 130. ตอบข้อ 4. 131. ตอบข้อ 2. 152. ตอบข้อ 1.
153. ตอบข้อ 1. 156. ตอบข้อ 3.
157.ตอบข้อ 1. 134. ตอบข้อ 1. 135. ตอบข้อ 1. 160. ตอบข้อ 4.
161. ตอบข้อ 3. 164. ตอบข้อ 3.
165. ตอบข้อ 2. 138. ตอบข้อ 2. 139. ตอบข้อ 2. 168. ตอบข้อ 2.
169. ตอบข้อ 1.
142. ตอบข้อ 2. 143. ตอบข้อ 2.

146. ตอบข้อ 3. 147. ตอบข้อ 1.

150. ตอบข้อ 3. 151. ตอบข้อ 4.

154. ตอบข้อ 2. 155. ตอบข้อ 1.

158. ตอบข้อ 1. 159. ตอบข้อ 4.

162. ตอบข้อ 4. 163. ตอบข้อ 2.

166. ตอบข้อ 4. 167. ตอบข้อ 1.

51

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

บทที่ 12 ความน่าจะเป็ น

12.1 กฏเกณฑ์เบอื้ งต้นเกย่ี วกบั การนับ

การคานวณหาจานวนวิธีท่ีจะจดั เรียงสิ่งของต่างๆ น้ัน อาจทาไดห้ ลายวิธี เช่นการเขียน
แผนภาพตน้ ไม้ หรือการใชก้ ฎการนบั เป็นตน้

กฎการนบั เบ้ืองตน้ ไดแ้ ก่
กฎข้อท่ี 1 ถา้ มีงาน 2 ชิ้น แตล่ ะชิ้นทาได้ n1 และ n2 วธิ ี ตามลาดบั จะไดจ้ านวนวธิ ี
เรียงสับเปลี่ยนท้งั หมดเทา่ กบั n1 x n2 วธิ ี
กฎข้อท่ี 2 ถา้ มีงาน k ชิ้น แต่ละชิ้นทาได้ n1 , n2 , … จนถึง nk วธิ ี ตามลาดบั จะ
ไดจ้ านวนวธิ ีเรียงสับเปลี่ยนท้งั หมดเทา่ กบั n1 x n2 x … x nk วธิ ี

ตวั อย่าง นายสมชาติมีกางเกง 2 ตวั คือสีแดง และสีเหลือง มีเสื้ออีก 3 ตวั สีมว่ ง สีเขียว และสีฟ้ า
นายสมชาติจะใส่เส้ือและกางเกงสลบั ไปมาเป็นชุดๆ ไดท้ ้งั หมดกี่ชุด

แนวคดิ วธิ ีที่ 1 เขียนแผนภาพตน้ ไม้

เสอื ้ สมี ว่ ง

กางเกงสแี ดง เสอื ้ สเี ขยี ว

เสอื ้ สฟี ้ า

กางเกงสเี หลอื ง เสอื ้ สมี ว่ ง
เสอื ้ สเี ขยี ว

เสอื ้ สฟี ้ า

จากแผนภาพ จะไดว้ า่ สามารถสวมเส้ือและกางเกงที่มีสลบั ไปมาได้ 6 ชุด

วธิ ีที่ 2 ใชก้ ฎการนบั

โจทยข์ อ้ น้ีมีงานที่ตอ้ งทา 2 งาน จานวนแนวคิดงานแต่ละงานมีดงั ตาราง

งาน เลือกกางเกง เลือกเส้ือ

จานวนวธิ ี 2 3

สุดทา้ ยจะไดว้ า่ จานวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียน ( จานวนชุด ) = 2 x 3 = 6 วธิ ี (ชุด)

1

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

1. นายเอกบุรุษมีกางเกง 2 ตวั คือสีแดง สีเหลือง และมีเสื้ออีก 5 ตวั สีมว่ ง สีเขียว สีขาว สีส้ม

และสีฟ้ า นายเอกบุรุษจะใส่เส้ือและกางเกงสลบั ไปมาเป็นชุดๆ ไดท้ ้งั หมดกี่ชุด

1. 5 2. 7 3. 8 4. 10

2. นางสาวสมศรีตอ้ งการซ้ือทีวี ตูเ้ ยน็ และวทิ ยุ อยา่ งละ 1 เครื่อง โดยร้านที่ไปเลือกมีทีวใี ห้เลือก
ซ้ือ 10 เครื่อง มีตเู้ ยน็ 5 เคร่ือง และวทิ ยุ 20 เครื่อง จะเลือกซื้อเคร่ืองใชไ้ ฟฟ้ าคร้ังน้ีไดก้ ี่แบบ
1. 35 2. 250 3. 300 4. 1000

3. สนามกีฬาแห่งหน่ึงมีประตูเขา้ ออก 10 ประตู คนๆ หน่ึงจะเดินเขา้ และออกจากสนามกีฬาน้นั
ทาไดก้ ี่วธิ ี ถา้ เขา้ ประตใู ดออกประตูใดกไ็ ด้
1. 10 2. 20 3. 100 4. 1000

4. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา ถา้ ใหเ้ ขา้ และออกจากสนามกีฬาโดยไม่ซ้าประตูเดิม จะเขา้ และออกจากสนาม
กีฬาน้นั ไดก้ ่ีวธิ ี
1. 10 2. 90 3. 190 4. 900

5. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ถา้ ใหเ้ ขา้ ออกสนามกีฬาโดยเขา้ ประตูใดตอ้ งออกประตูน้ัน จะเขา้ และออกจาก
สนามกีฬาน้นั ไดก้ ี่วธิ ี
1. 10 2. 90 3. 190 4. 900

2

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

6. ในการเลือกคณะกรรมการชุดหน่ึงซ่ึงประกอบดว้ ยประธาน รองประธาน เหรัญญิก และเลขานุ-

การโดยให้กรรมการแต่ละคนดารงตาแหน่งไดเ้ พียงตาแหน่งเดียว ถา้ มีผูส้ มคั รเลือกต้งั 6 คน

ผลการเลือกต้งั กรรมการชุดน้ีจะมีแตกต่างไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี

1. 360 2. 240 3. 120 4. 24

7(แนว En) ในการเลือกต้งั คณะกรรมการนกั เรียนจากผสู้ มคั รเขา้ รับการเลือกต้งั 6 คน จะมีวธิ ีเลือก
ประธาน รองประธาน และเลขานุการไดก้ ี่วธิ ี ถา้ ผสู้ มคั รคนหน่ึงไมส่ มคั รท่ีจะเป็ นประธาน

8. จานวนวิธีจะสร้างจานวนสามหลกั จากเลขโดด 4 ตวั คือ 4 , 7 , 8 , 9 โดยไม่มีเง่ือนไข
เพิม่ เติม จะเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 12 2. 24 3. 48 4. 64

9. จากขอ้ ที่ผา่ นมา จานวนวธิ ีจะสร้างจานวนสามหลกั โดยเลขตอ้ งไม่ซ้ากนั เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 12 2. 24 3. 48 4. 64

3

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

10. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา จานวนวิธีจะสร้างจานวนสามหลกั โดยเลขไม่ซ้ากนั และจานวนน้ันตอ้ งไม่

เกิน 800 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 12 2. 24 3. 48 4. 64

11. มีเลข { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } จะสร้างเลข 3 หลกั โดยไมซ่ ้าไดก้ ี่แบบ
1. 12 2. 24 3. 48 4. 64

12(แนว En) วธิ ีในการเขียนจานวนคู่ที่มีสามหลกั จากตวั เลข 0 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 โดยหลกั ร้อย
และหลกั หน่วยเป็นตวั เลขที่แตกต่างกนั และมีค่ามากกวา่ 600 มีจานวนวธิ ีเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 72 2. 71 3. 60 4. 59

13. จานวนเตม็ บวกท่ีหาร 2540 ลงตวั มีกี่จานวน 4. 13
1. 10 2. 11 3. 12

14. จานวนเตม็ ลบท่ีหาร 3500 ลงตวั มีกี่จานวน 4. 96
1. 12 2. 24 3. 48

4

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

12.2 แฟกทอเรียล

บทนิยาม เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n หรือ n แฟกทอเรียล หมายถึงผล
คูณของจานวนเตม็ บวกต้งั แต่ 1 ถึง n

แฟกทอเรียล n หรือ n แฟกทอเรียล เขียนแทนดว้ ย n!
นนั่ คือ n = n (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) ……3 . 2 . 1

ตัวอย่าง 5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

3 = 3 . 2 . 1 = 6

2 = 2 . 1 =2

1 = 1 =1

0 = 1 ( เป็นสิ่งท่ีนกั คณิตศาสตร์ตกลงกนั ไว้ )

–1 = หาคา่ ไมไ่ ด้

( แฟกทอเรียลจะหาค่าไดต้ อ้ งเป็นแฟกทอเรียลของจานวนเตม็ บวกเทา่ น้นั )

15. 84!! มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 2. 8 x 7 x 6 x 5
1. 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4. 4 x31x 2 x1
3. 4 x38x 2 x1

16. 75!! มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 35 2. 42 3. 48 4. 64

17. (n n !2) ! มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี



1. (n + 2) (n + 1) 2. (n + 1) n 3. n (n – 1) 4. (n – 1) (n – 2)

5

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น
18. คา่ n จากสมการ (n n!2)! = 42 มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. –8 2. 5 3. –8 , 5 4. ไม่มีขอ้ ใดถูก

19. กาหนดให้ (18 18r!)! r!  (16  r1)8!!(r  2)! แลว้ คา่ ของ (88r!)! r! คือคา่ ในขอ้ ใด
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8

12.3 วธิ เี รียงสับเปลยี่ น

วธิ ีการเรียงสับเปลยี่ น ( Permutation ) เป็ นการจดั เรียงสิ่งของโดยถือลาดบั หรือตาแหน่งของ

สิ่งของเป็ นสาคญั หากมีการสลบั ลาดบั หรือตาแหน่งของสิ่งของ จะถือวา่ รูปแบบการจดั เรียงมีการ

เปล่ียนแปลงไปดว้ ย

ตวั อยา่ งเช่น มีดินสอสี 3 แท่งซ่ึงมีสีตา่ งกนั ไดแ้ ก่ สีแดง สีเขียว สีม่วง หากนามาเรียงหนา้

กระดานบนโตะ๊ จะเรียงสลบั สับเปล่ียนไปมาได้ 6 แบบ ดงั น้ี

แบบท่ี 1) แดง เขียว ม่วง แบบท่ี 2) แดง ม่วง เขียว

แบบท่ี 3) มว่ ง แดง เขียว แบบท่ี 4) ม่วง เขียว แดง

แบบท่ี 5) เขียว แดง มว่ ง แบบที่ 6) เขียว มว่ ง แดง

จากตวั อยา่ งน้ีจะเห็นไดว้ า่ ในการจดั เรียงแต่ละรูปแบบน้นั หากตาแหน่งของดินสอต่างกนั

จะถือว่าเป็ นการจดั เรียงคนละแบบกนั ทนั ที การจดั เรียงสิ่งของโดยถือตาแหน่งของสิ่งของเป็ น

สาคญั เช่นน้ี จะเรียกเป็นการเรียงสบั เปลี่ยน ( Permutation )

หมายเหตุ หากการจดั เรียงสิ่งของไม่ถือลาดบั หรือตาแหน่งของสิ่งของเป็ นสาคญั จะเรียก

เป็นการจดั หมู(่ Combination ) เช่นการจดั ดินสอสี 9 แทง่ ใส่ถุงถุงละ 3 แทง่ เป็นตน้

20. ขอ้ ใดต่อไปน้ี ไม่ถือวา่ เป็นการเรียงสับเปลี่ยน ( Permutation )
1. ปลูกตน้ ไม้ 5 ตน้ เรียงหนา้ กระดาน
2. นกั วงิ่ 5 คน วงิ่ เขา้ เส้นชยั ไดอ้ นั ดบั ต่างๆ
3. เลือกประธานและรองประธาน จากกรรมการ 8 คน
4. ถุงใบหน่ึงมีลูกแกว้ สี 15 ลูกต่างๆ กนั เอามือกาข้ึนมา 3 ลูกโดยสุ่มพร้อมกนั

6

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

3.3.1 วธิ ีเรียงสับเปลย่ี นเชิงเส้น

ตวั อย่างของเรียงสับเปล่ียนเชิงเส้นเช่น การเรียงสิ่งของเป็ นแถวหน้ากระดาน หรือการ

สลับสับเปลี่ยนตวั อกั ษรในคาว่า ANT เป็ นตน้ ซ่ึงการคานวณหาจานวนรูปแบบของการเรียง

สบั เปล่ียนเชิงเส้นอาจทาไดโ้ ดยใชก้ ฎตอ่ ไปน้ี

กฎข้อที่ 3 หากมีสิ่งของ n ชิ้น แลว้ นามาเรียงทีละ n ชิ้น จะได้

จานวนวธิ ีเรียงสับเปล่ียน = Pn , n = n !

21. นกั วงิ่ แขง่ 4 คน จะวงิ่ เขา้ เส้นชยั อนั ดบั ตา่ งๆ กนั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี 4. 42
1. 12 2. 24 3. 36

22. จานวนวธิ ีท่ีแตกต่างกนั ที่จะจดั เรียงตวั อกั ษรจากคาวา่ PHYSIC ใหเ้ ป็ นคาใหม่โดยใชต้ วั อกั ษร
ท้งั หมด (ไมส่ นใจความหมายของคา) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 120 2. 240 3. 360 4. 720

กฏข้อท่ี 4 หากมีสิ่งของ n ชิ้น แลว้ นามาเรียงทีละ r ชิ้น จะได้
จานวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียน = P n , r = (nn!r)!

23. จานวนวธิ ีท่ีจะจดั เรียงนกั เรียนชาย 7 คน เขา้ แถวหนา้ กระดานทีละ 3 คน มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด
1. 120 2. 210 3. 320 4. 480

24. ในการวงิ่ แข่งมีผวู้ งิ่ 5 คน แตว่ ง่ิ ถึงเส้นชยั เพียง 3 คน อยากทราบวา่ จะมีผชู้ นะท่ี 1 , 2 และ
3 ไดก้ ่ีวธิ ี
1. 24 2. 36 3. 60 4. 64

25. บริษทั แห่งหน่ึงมีตาแหน่งต่างๆ กนั ว่างอยู่ 2 ตาแหน่ง มีคนสมคั รเขา้ ทางานดงั กล่าว 7 คน
ผจู้ ดั การจะมีโอกาสเลือกผสู้ มคั รเขา้ ทางานใหเ้ ตม็ ท้งั สามตาแหน่งก่ีวธิ ี
1. 42 2. 240 3. 480 4. 720

7

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

26. มีตาแหน่งงานวา่ งอยู่ 5 ตาแหน่ง สาหรับชาย 3 ตาแหน่ง สาหรับหญิง 2 ตาแหน่ง ถา้ มี

ผสู้ มคั รเป็นชาย 7 คน หญิง 4 คน จะมีวธิ ีบรรจุคนเหล่าน้นั เขา้ ทางานไดก้ ี่วธิ ี

1. 1280 2. 2520 3. 3080 4. 4220

27. มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จานวนวิธีท่ีจะจดั ใหค้ นท้งั 5 มายนื เป็ นแถว โดยท่ีชายท้งั 3 คน
ตอ้ งยนื ติดกนั และหญิง 2 คน ยนื ติดกนั มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 24 2. 36 3. 60 4. 64

28(แนว En) มีขวดน้าอดั ลมสีแดง 4 ขวดต่างๆ กนั สีเขียว 3 ขวดต่างๆ กนั สีเหลือง 2 ขวด

ต่างกนั และสีน้าเงิน 1 ขวด จะมีวิธีเรียงขวดบนช้ันได้ต่างๆ กนั กี่วิธี ถ้าตอ้ งการให้ขวดสี

เดียวกนั อยตู่ ิดกนั ดว้ ย

1. 288 2. 6912 3. 12600 4. 24000

29(แนว A–Net) จดั คน 6 คน ซ่ึงมีนาย A , B และ C รวมอยูด่ ว้ ย เขา้ นงั่ เรียงกนั เป็นแถวตรงโดยท่ี
B ตอ้ งนงั่ ระหวา่ งกลาง A กบั C เสมอ จานวนวธิ ีการจดั ท่ีนงั่ ดงั กล่าวมีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด
1. 24 2. 36 3. 48 4. 64

8

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

30. ในการจดั ใหพ้ ่อแม่และลูกสาว 3 คน กบั ลูกชาย 2 คน นงั่ เรียงแถวถ่ายรูป จานวนวิธีที่จดั ให้

พอ่ แม่นงั่ กลางลูกสาวท้งั หมดอยขู่ า้ งหน่ึงและลูกชายท้งั หมดอยอู่ ีกขา้ งหน่ึง มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 24 2. 48 3. 96 4. 144

31. นาตน้ มะม่วง 4 ตน้ มะปราง 2 ตน้ มาเรียงเป็ นแนวตรงโดยมะปรางท้ัง 2 ตน้ เรียงติดกนั
จะเรียงไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 720

32. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา ถา้ ตอ้ งการใหม้ ะปรางท้งั 2 ตน้ ตอ้ งไม่เรียงติดกนั จะเรียงไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 720

33. จานวนวิธีที่จะนาตวั อกั ษรจากคาว่า HONESTY มาจดั เป็ นคาใหม่โดยที่ไม่สนใจความหมาย

ของคาที่ได้ ถา้ S และ T ตอ้ งอยตู่ ิดกนั มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 1280 2. 1440 3. 3600 4. 5040

34. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา จานวนวธิ ีท่ี S และ T ไม่อยตู่ ิดกนั มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1280 2. 1440 3. 3600 4. 5040

9

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

35. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา จานวนวธิ ีท่ี S อยหู่ นา้ สุด มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 720

1. 120 2. 240 3. 480

36. จากขอ้ ที่ผา่ นมา จานวนวธิ ีที่ S และ T อยหู่ นา้ สุดหรือหลงั สุด มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 720

กฎข้อที่ 5 หากตอ้ งการเรียงสิ่งของที่ไมแ่ ตกต่างกนั ท้งั หมด จะได้
จานวนวธิ ีเรียงสับเปลี่ยน = n1!. n2n!!...nk!
เมื่อ n คือจานวนสิ่งของท้งั หมด
n1 คือจานวนซ้าสิ่งของท่ี 1
n2 คือจานวนซ้าสิ่งของท่ี 2
nk คือจานวนซ้าสิ่งของที่ k

37. จานวนวธิ ีที่จะจดั เรียง ตวั อกั ษร E E E U U U U P P โดยไม่สนใจความหมายของคาที่

ได้ มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 630 2. 1260 3. 2520 4. 5040

38. มีหนังสือคณิตศาสตร์ที่เหมือนกนั 3 เล่ม หนงั สือเคมีที่เหมือนกนั 3 เล่ม หนงั สือฟิ สิกส์ที่
ต่างกนั 3 เล่ม ตอ้ งการนาหนงั สือท้งั หมดไปเรียงกนั โดยใหห้ นงั สือฟิ สิกส์อยูต่ ิดกนั เสมอและ
หนงั สือเคมีอยตู่ ิดกนั เสมอดว้ ย จะมีวธิ ีจดั ท้งั หมดกี่วธิ ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 720

10

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

3.3.2 วธิ ีเรียงสับเปลย่ี นเชิงวงกลม

พิจารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี จงหาจานวนวธิ ีท่ีจะจดั ใหน้ าย A , B , C ไปนงั่ ลอ้ มโตะ๊ กลมซ่ึง

มีจานวนที่นงั่ 3 ที่นงั่ พอดี

แนวคิด หากเขียนแผนภาพการสบั เปลี่ยนดูจะไดด้ งั น้ี
หมนุ
A B หมนุ
BC C
CA
วิธีเดยี วกนั
AB

A หมนุ หมนุ
CB B C

AC B A วิธีเดยี วกนั

ดูแลว้ เหมือนจะได้ 6 แบบ แตห่ ากหมุนตามแนวลูกศร จะพบวา่ บางแบบซ้ากนั
เมื่อดูรูปแบบที่ไม่ซ้ากนั จะพบวา่ จริงๆ แลว้ จดั เรียงไดเ้ พยี ง 2 แบบ เท่าน้นั
การคานวณเก่ียวกบั การเรียงสับเปล่ียนเชิงวงกลมน้ัน อาจทาไดโ้ ดยจบั สิ่งของ 1 ชิ้นให้อยู่
กบั ท่ีก่อนแลว้ จึงเรียงสับเปล่ียนสิ่งของท่ีเหลือแบบแนวเส้นธรรมดา หรืออาจคานวณโดยใช้กฎ
ต่อไปน้ีก็ได้

กฎข้อที่ 6 การเรียงสิ่งของ n สิ่ง เป็นวงกลมจะไดว้ า่
จานวนวธิ ี = (n – 1) !

ตัวอย่าง จงหาจานวนวธิ ีที่จะจดั ใหน้ าย A , B , C ไปนัง่ ลอ้ มโตะ๊ กลมซ่ึงมีจานวนที่นงั่ 3 ที่พอดี

แนวคดิ วธิ ีที่ 1 ก่อนอ่ืนจบั ใครคนใดคนหน่ึงใหอ้ ยนู่ ิ่งกบั ที่ จบั อยกู่ บั ที่
แลว้ สับ เปลี่ยนเฉพาะคนที่เหลือ เช่นขอ้ น้ี ให้ A A
อยกู่ บั ท่ี แลว้ เรียงสับเปล่ียนเฉพาะ 2 คนที่เหลือ จะได้

จานวนวธิ ี = 2! = 2 วธิ ี BC

วธิ ีที่ 2 ใชก้ ฎการนบั วา่

การเรียงสิ่งของ n สิ่ง เป็นวงกลมจะไดว้ า่

จานวนวธิ ี = (n – 1) !

ดงั น้นั การจดั เรียงคน 3 คน เรียงเป็นวงกลม จะไดว้ า่

จานวนวธิ ี = (3 – 1)! = 2! = 2 วธิ ี

11

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

39(แนว En) จะจดั คน 7 คน เขา้ นงั่ ประชุมโตะ๊ กลมไดก้ ่ีวธิ ี 4. 720

1. 24 2. 120 3. 240

40(แนว En) มีหนงั สือภาษาไทย วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ วิชาละ 3 เล่ม ซ่ึงต่างกนั หมด ตอ้ ง

การจดั หนงั สือท้งั หมดลอ้ มเป็ นรูปวงกลม โดยให้หนงั สือวชิ าเดียวกนั อยตู่ ิดกนั เสมอ จะทาให้
ท้งั หมดก่ีวธิ ี

1. 16 2. 54 3. 432 4. 1296

41. ครอบครัวหน่ึงมี พอ่ แม่ และ ลูกอีก 3 คน จะจดั คนท้งั หมดนงั่ รับประทานอาหารรอบโตะ๊
กลมไดท้ ้งั สิ้นกี่วธิ ี เมื่อกาหนดวา่ ลูกคนเลก็ ตอ้ งนงั่ ระหวา่ งพอ่ กบั แม่เสมอ
1. 4 2. 12 3. 24 4. 48

42(แนว มช) มีตน้ มะม่วง 5 ตน้ และตน้ ชมพู่ 2 ตน้ ซ่ึงแต่ละตน้ แตกต่างกนั หมด ถา้ นาตน้
ไมท้ ้งั หมดมาปลูกรอบสนามหญา้ โดยใหต้ น้ ชมพูท่ ้งั สองตน้ อยตู่ ิดกนั จะมีวธิ ีปลูกก่ีวธิ ี

12

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

43(แนว มช) จากขอ้ ท่ีผานมา ถ้านาตน้ ไมท้ ้ังหมดมาปลูกรอบสนามหญา้ โดยไม่ให้ตน้ ชมพู่อยู่

ติดกนั จะมีวธิ ีปลูกกี่วธิ ี

44. มีตน้ เบญจมาส 4 ตน้ ตน้ คริสต์มาส 3 ต้น และตน้ ดาวเรือง 2 ตน้ โดยที่ต้นไมท้ ุกตน้

แตกต่างกนั ท้งั หมด นาตน้ ไมท้ ้งั หมดมาปลูกรอบโคนเสาธง และตอ้ งปลูกให้ตน้ คริสตม์ าสทุก

ตน้ แยกกนั จะปลูกไดท้ ้งั สิ้นก่ีวธิ ี

1. 716 2. 2400 3. 14400 4. 40316

กฎข้อท่ี 7 หากตอ้ งการเรียงสิ่งของ n สิ่งเป็นวงกลมทีละ r สิ่ง จะได้
จานวนวธิ ี = (n n!r)! r

45(แนว En) บ่อปลาแห่งหน่ึงเป็นวงกลม อนุญาตใหเ้ ขา้ ตกปลาไดท้ ีละ 4 คน โดยใหน้ ัง่ อยรู่ อบบ่อ
ถา้ ครอบครัวหน่ึงมากนั 6 คน จะจดั คนในครอบครัวน้ี นงั่ รอบบ่อตกปลาไดก้ ่ีวธิ ี
1. 15 2. 24 3. 45 4. 90

13

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

สรุปสูตรเกยี่ วกบั การเรียงสับเปลยี่ น

การเรียงสับเปล่ียน (Permutation)

เส้นตรง

มี n ชิ้นเรียงทีละ n

จานวนวธิ ี = Pn.n = n!
มี n ชิ้นเรียงทีละ r ชิ้น
n!
จานวนวธิ ี = P n, r = (n  r)!

เรียงสิ่งของที่ไมแ่ ตกต่างกนั ท้งั หมด
จานวนวธิ ี = n1! . n2n!!.....nk!
เมื่อ n คือ จานวนสิ่งของท้งั หมด
n1 คือ จานวนซ้าสิ่งของที่ 1
n2 คือ จานวนซ้าสิ่งของท่ี 2
nk คือ จานวนซ้าสิ่งของที่ k

วงกลม
มี n ชิ้นเรียงทีละ n ชิ้น
จานวนวธิ ี = ( n – 1)!

มี n ชิ้นเรียงทีละ r ชิ้น
จานวนวธิ ี = (n nr!)! r

12.4 วธิ ีจดั หมู่

การจัดหมู่ ( Combination ) เป็ นการจดั เรียงสิ่งของน้นั ๆ ไม่ถือลาดบั หรือตาแหน่งของสิ่ง
ของเป็ นสาคญั

การคานวณหาจานวนวธิ ีของการจดั หมู่สิ่งของต่างๆ สามารถใชก้ ฎต่อไปน้ีได้

กฎข้อที่ 8 ถา้ เรานาสิ่งของ n สิ่ง มาจดั หมู่ทีละ r สิ่ง หรือเรียกอีกอยา่ งวา่
Combination n , r จะไดว้ า่

14

 ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 จานวนวธิ ีจดั หมู่ =http:/nr/www=.pe(nc9.ncro!)m! r! บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น
 หมายเหตุ nr อาจเขียนเป็ น nCr หรือ nCr หรือ Cn , r

อา่ นวา่ “คอมไบนาชนั่ เอน็ อาร์”

46. จานวนวธิ ีที่จะเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากคณะกรรมการ 8 คน จะเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 28 2. 56 3. 48 4. 96

47. จากจุด 5 จุด บนวงกลมวงหน่ึงจะสร้างรูป  โดยใชจ้ ุดเหล่าน้ีไดท้ ้งั หมดก่ีรูป
1. 5 2. 8 3. 10 4. 13

48. บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหน่ึงมีจุด 7 จุด จะสร้างรูปเหล่ียมบรรจุในวงกลมโดยใช้จุด

เหล่าน้ีเป็นจุดยอดมุมไดท้ ้งั หมดกี่รูป

1. 35 รูป 2. 64 รูป 3. 99 รูป 4. 121 รูป

49. มีจุดอยู่ 7 จุด ในจุดเหล่าน้ีมี 4 จุด อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ถา้ โยงเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ จะเกิด
สามเหลี่ยมมากที่สุดไดก้ ่ีรูป
1. 18 2. 28 3. 31 4. 35

50. ขอ้ สอบชุดหน่ึงมีขอ้ สอบ 8 ขอ้ นกั เรียนตอ้ งทาขอ้ สอบ 6 ขอ้ โดยที่ตอ้ งเลือกทา 4 ขอ้ จาก
5 ขอ้ แรก และ 2 ขอ้ จาก 3 ขอ้ หลงั จงหาจานวนวธิ ีท้งั หมดท่ีจะเลือกทาขอ้ สอบ
1. 5 2. 10 3. 15 4. 20

15

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

51(แนว มช) ถา้ ตอ้ งการคดั เลือกนกั เรียนจากตวั แทนนกั เรียน 3 กลุ่ม โดยเลือก 1 คน จาก 5 คน

ในกลุ่มท่ีหน่ึง เลือก 2 คน จาก 4 คน ในกลุ่มที่สอง และเลือก 3 คน จาก 6 คน ในกลุ่ม

ที่สาม จะมีวธิ ีการเลือกไดเ้ ทา่ กบั กี่วธิ ี

1. 60 2. 100 3. 600 4. 1000

52(แนว En) โรงงานแห่งหน่ึงมีคนงานหญิง 9 คน ชาย 6 คน ผจู้ ดั การรับงานมา 3 ชนิด โดย

งานชนิดท่ีหน่ึงใชค้ นงานหญิง 5 คน งานชนิดท่ีสองใชค้ นงานชาย 3 คน ส่วนงานชนิดที่สาม

ใชค้ นงานชายหรือหญิงกไ็ ดจ้ านวน 3 คน จานวนวธิ ีที่จะเลือกคนงานให้แกะสลกั ไมเ้ ทา่ กบั ขอ้

ใดตอ่ ไปน้ี

1. 37800 2. 68250 3. 75600 4. 88200

53. มีดินสอสีต่างๆ 9 แท่ง จะใหเ้ ด็ก 3 คน โดยจะใหค้ นโต 4 แทง่ คนกลาง 3 แทง่
คนเลก็ 2 แทง่ จะมีวธิ ีใหก้ ี่วธิ ี
1. 240 2. 630 3. 1260 4. 2520

54. นาหนงั สือ 9 เล่มที่แตกต่างกนั ไปเรียงบนช้นั หนงั สือท่ีเรียงซ้อนกนั 3 ช้นั โดยช้นั ล่างบรรจุ

หนังสือได้ 4 เล่ม ช้นั กลางบรรจุได้ 3 เล่ม และช้ันสุดทา้ ยบรรจุได้ 2 เล่ม จงหาจานวนวิธี

ของการเรียงหนงั สือ 9 เล่มน้ี
2. 4!39!! 2!
1. 4! 3! 2! 3. 4! 3! 2! (3 !) 4. 9!

16

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

55. มีชาย 5 คน หญิง 5 คน ตอ้ งการนาชาย 3 คน หญิง 3 คน มายนื เป็นวงกลมจะทาไดก้ ี่วธิ ี

1. 6200 2. 7500 3. 9000 4. 12000

56. มีคน 8 คน เป็ นชาย 3 คน หญิง 5 คน เลือกคนมาคราวละ 4 คน ทุกคร้ังที่เลือกตอ้ งมีชาย
อยดู่ ว้ ยเสมอจะทาไดก้ ี่วธิ ี
1. 60 2. 65 3. 70 4. 75

57. จากชาย 4 คน หญิง 6 คน เลือกชายมา 3 คน หญิง 3 คน แลว้ นาไปนัง่ รอบโตะ๊ กลม โดย
ผหู้ ญิงตอ้ งนงั่ แยกกนั หมด จะทาไดก้ ่ีวธิ ี
1. 144 2. 720 3. 840 4. 960

58. มีหมวกสีขาว 6 ใบ และสีดา 5 ใบ จานวนวิธีที่จะหยิบหมวก 4 ใบ แล้วได้หมวกเป็ นสี
เดียวกนั มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 18 2. 20 3. 75 4. 330

17

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

59(แนว มช) มีลูกแก้วสีแดง 6 ลูก สีขาว 6 ลูก สุ่มเลือกมา 10 ลูก จานวนวิธีที่จะหยิบไห้

ลูกแกว้ สีแดงอยา่ งนอ้ ย 5 ลูก เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1.5 2. 36 3. 41 4. 51

60. กล่องใบหน่ึงมีสลาก 12 ใบ เป็ นสลากท่ีถูกรางวลั 4 ใบ นอกน้ันเป็ นสลากที่ไม่ถูกรางวลั
จานวนวธิ ีที่หยบิ สลาก 3 ใบ แลว้ ถูกรางวลั อยา่ งนอ้ ย 1 ใบ ตรงกบั ค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 4 2. 80 3. 110 4. 164

61. ในการเลือกกรรมการชุดหน่ึงจากชาย 6 คน หญิง 4 คน ถา้ จะเลือกกรรมการ 3 คน ที่มีท้ัง
ชายและหญิง จะทาไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 36 2. 48 3. 60 4. 96

62. มีชาย 5 คน หญิง 4 คน ตอ้ งการนาชาย 3 คน หญิง 2 คน มายนื เป็นวงกลม จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 720 2. 1440 3. 2520 4. 3600

18

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

12.5 ทฤษฏบี ททวนิ าม

ทฤษฏีบททวนิ าม เมื่อ a , b เป็นจานวนจริง และ n , r เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ

โดย 0  r  n จะไดว้ า่

(a + b)n = an + 1n  an –1 b +  n  an –2 b2 + … +  n  an –r b r +…. +  n -1 a b n –1 + bn
2 r n

สาหรับ  n  เรียกสัมประสิทธ์ิทวนิ าม
r

ข้อสังเกตจาก (a + b)n

1. จานวนพจน์ท่ีไดท้ ้งั หมด = n + 1 พจน์

2. ในพจน์ที่ n ใดๆ

เลขช้ีกาลงั ของ b = n – 1

เลขช้ีกาลงั ของ a + เลขช้ีกาลงั ของ b = n
สัมประสิทธ์ิทวนิ าม =  n -n1

ตัวอย่าง จงหาการกระจาย (a + b)5

แนวคิด (a + b)5 =  5  a5 b0 + 15 a4 b1 +  5  a3 b2 +  35  a2 b3 +  5  a1 b4 +  55  a0 b5
0 2 4
= 1 a5 (1) + 5 a4 (b) + 10 a3 (b)2 + 10 a2 (b)3 + 5 a1 (b)4 + 1(1) (b)5
= a5 + 5 a4 b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5
ฝึ กทา จงใชท้ ฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย (a + 2b)4

63(แนว มช) พจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย 23  136 มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 76209 2. 172209 3. 176209 4. 724290

64. ในการกระจาย (2a – b)8 พจนท์ ี่มี b5 คือพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. –448 a3 b5 2. –56 a3 b5 3. –78 a3 b5 4. –92 a3 b5

19

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น
65. สมั ประสิทธ์ิของ a b3 ซ่ึงไดจ้ ากการกระจาย (2a + 3b)4 มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 64 2. 126 3. 216 4. 254

66. ในการกระจาย (a + b2)10 สมั ประสิทธ์ิพจนท์ ี่มี b12 มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 48 2. 105 3. 210 4. 424

67. ในการกระจาย (x2 + x1 )12 พจน์ที่ไม่มี x ปรากฏเลย คือคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

12.6 ความน่าจะเป็ นและกฏทสี่ าคญั บางประการของความน่าจะเป็ น

12.6.1 การทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ และความน่าจะเป็ น

การทดลองสุ่ม หมายถึงการทดลองหรือการกระทาซ่ึงทราบวา่ ผลลพั ธ์ที่ไดจ้ ากการทดลอง

น้นั อาจจะเป็ นอะไรไดบ้ า้ ง แต่ไม่สามารถระบุไดแ้ น่ชดั ว่าในการทดลองแต่ละคร้ังจะเกิดผลลพั ธ์

อะไรจากผลลพั ธ์ท้งั หมดเหล่าน้นั เช่น การโยนเหรียญ การโยนลูกเต๋า เป็นตน้

ปริภูมิตวั อย่าง ( Sample space ) หมายถึงเซตของผลลพั ธ์ที่อาจจะเกิดข้ึนไดท้ ้งั หมดจาก

การทดลองสุ่ม และเป็นสิ่งท่ีเราสนใจ แตล่ ะสมาชิกของปริภมู ิตวั อยา่ งเรียกวา่ จุดตวั อยา่ ง

เหตุการณ์ (Event) คือสับเซตของปริภูมิตวั อยา่ ง

ถา้ S เป็นปริภูมิตวั อยา่ ง ซ่ึงเป็นเซตจากดั ซ่ึงแต่ละผลลพั ธ์ใน S มีโอกาสเกิดข้ึนเทา่ ๆ

กนั และ E เป็นเหตุการณ์ซ่ึง E  S ถา้ ให้ P(E) แทนความน่าจะเป็น (Probability) ของ

เหตุการณ์ E แลว้ จะไดว้ า่

P(E) = จานวนสมาชกิ ในเหตกุ ารณ์ E
จานวนสมาชกิ ในปริภูมิตวั อย่าง S
นนั่ คือ P(E) = nn ((ES))

20

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

ตัวอย่าง ในการออกรางวลั เลขทา้ ย 2 ตวั ของสลากกินแบ่งรัฐบาลงวดหน่ึง จงหาความน่าจะเป็ นท่ี

รางวลั ที่ออกจะเป็นเลข 25 หรือ 06

แนวคิด ในการออกรางวลั เลขทา้ ย 2 ตวั คร้ังหน่ึงๆ น้นั จะไดว้ า่

ปริภมู ิตวั อยา่ ง (S) = { 00 , 01 , 02 , 03 , …. , 98 , 99 }

จะไดว้ า่ n(S) = 100 ( คือจานวนสมาชิกของ S )

เหตุการณ์ท่ีโจทยส์ นใจคือออกหมายเลข 25 หรือ 06 นัน่ คือ

เหตุการณ์ ( E ) = { 25 , 06 }

จะไดว้ า่ n(E) = 2 ( คือจานวนสมาชิกของ E )
สุดทา้ ย จะได้ ค่าความน่าจะเป็น = P(E) = nn((ES)) = 1020 = 0.02

68. นายวทิ ย์ ซ้ือเลขทา้ ย 2 ตวั ไว้ 3 หมายเลข คือ 02 , 45 และ 85 ความน่าจะเป็ นท่ีนายวทิ ย์

จะถูกเลขทา้ ย 2 ตวั ในงวดน้ีมีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 0.01 2. 0.03 3. 0.1 4. 0.3

69(แนว มช) จากนักเรียนหญิง 40 คน และนักเรียนชาย 10 คน ในจานวนน้ีมีนักเรียนที่สวม
แวน่ ตาเป็ นนกั เรียนหญิง 12 คน และเป็ นนกั เรียนชาย 5 คน ถา้ สุ่มนกั เรียนจากกลุ่ม 1 คน
ความน่าจะเป็นท่ีไดน้ กั เรียนชายสวมแวน่ ตาเท่ากบั

70(แนว มช) บริษทั ขายรถยนต์แห่งหน่ึง พบว่าจานวนลูกคา้ ท่ีซ้ือรถยนต์จานวน 200 คน ซ้ือ
รถยนตส์ ีตา่ งๆ ดงั น้ี
สี ขาว บรอนซ์ แดง ดา น้าเงิน
จานวนลูกคา้ 60 35 25 38 42

ความน่าจะเป็ นท่ีลูกคา้ คนหน่ึงที่เดินเขา้ มาในบริษทั น้ี แลว้ เลือกซ้ือรถยนตส์ ีขาวหรือสีแดง คือ

คา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 0.175 2. 0.190 3. 0.365 4. 0.425

21

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

71(แนว Pat1) ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูกหน่ึงคร้ัง ความน่าจะเป็นท่ีจะไดล้ ูกเต๋าลูกหน่ึงข้ึนแตม้ ไม่

เกิน 3 และแตม้ รวมเป็น 7 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 13 2. 14 3. 16 4. 112

72. ในกล่องใบหน่ึงมีหลอดไฟอยู่ 5 หลอด มีหลอดดีอยู่ 3 หลอด หลอดเสียอยู่ 2 หลอด ถา้

หยิบหลอดไฟฟ้ าข้ึนมาโดยสุ่ม 2 หลอด ความน่าจะเป็ นท่ีจะไดห้ ลอดเสีย 1 หลอด และได้

หลอดดี 1 หลอด มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 0.40 2. 0.45 3. 0.55 4. 0.60

73(แนว En) มีผชู้ าย 7 คน ผหู้ ญิง 3 คน สุ่มเลือกคนในกลุ่มน้ีมา 2 คน ความน่าจะเป็ นที่จะสุ่ม

เลือกไดผ้ ชู้ าย 1 คน และผหู้ ญิง 1 คน เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 175
1. 211 2. 110 3. 92

74(แนว En) ในการเลือกกรรมการนกั เรียนจานวน 4 คน จากผสู้ มคั รซ่ึงประกอบดว้ ยชาย 4 คน
และหญิง 2 คน ความน่าจะเป็ นท่ีคณะกรรมการชุดน้ีจะประกอบดว้ ยนกั เรียนชายไม่นอ้ ยกว่า
3 คน เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 175 2. 185 3. 195 4. 1105

22

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

75(แนว มช) มีถุง 2 ใบ มีลูกแกว้ อยู่ ถุงละ 7 ลูก ถุงใบแรกมีลูกแกว้ สีเขียว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก

และสีขาว 2 ลูก ถุงใบที่สองมีลูกแกว้ สีเขียว 3 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีขาว 1 ลูก ถา้ สุ่มหยบิ

ลูกแก้วจากแต่ละถุง ถุงละ 1 ลูก ความน่าจะเป็ นที่จะไดถ้ ุงละ 1 ลูก ความน่าจะเป็ นท่ีจะได้

ลูกแกว้ สีเหมือนกนั เป็นเท่าไร
1. 1449 2. 1459 3. 1479 4. 3449

76(แนว En) ในจานวนเด็ก 12 คน มีเด็กสายตาปกติ 8 คน สายตาส้ัน 4 คน ถา้ เลือกเด็ก 5 คน
โดยการสุ่มจากเดก็ เหล่าน้ีแลว้ ความน่าจะเป็นท่ีจะมีเดก็ สายตาส้ันอยใู่ นกลุ่มที่เลือกเท่ากบั ขอ้ ใด
1. 9395 2. 9497 3. 9693 4. 9929

77. ถุงใบหน่ึงมีกระดุมสีขาว 2 เมด็ สีม่วง 3 เม็ด หยิบกระดุมอย่างสุ่มคร้ังละ 1 เม็ด 2 คร้ัง
โดยหยบิ กระดุมเมด็ แรกแลว้ ไมใ่ ส่คืนถุง จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดก้ ระดุมท้งั สองเมด็ ต่างสีกนั
1. 130 2. 53 3. 25 4. 45

23

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

78. จดั ชาย 5 คน ยนื เรียงเป็ นแถวแนวตรง ความน่าจะเป็ นท่ีชาย 2 คน ท่ีกาหนดตอ้ งยนื ติดกนั

เสมอมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 15 2. 25 3. 35 4. 45

79(แนว En) ชาย 4 คน และหญิง 2 คน เขา้ คิวในแถวเดียวกนั เพอ่ื ซ้ือตวั๋ ภาพยนตร์ ความน่าจะ
เป็นท่ีหญิงท้งั 2 คน จะยนื เรียงติดกนั ท้งั หมดในแถวมีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 29 2. 15 3. 12 4. 13

80(แนว En) ในการประกวดร้องเพลงรอบสุดทา้ ยมีผเู้ ขา้ รอบ 3 คน ผูเ้ ขา้ รอบแต่ละคนตอ้ งร้อง

เพลงเพียงหน่ึงเพลงโดยเลือกเพลงจากเพลงท้งั หมด 6 เพลง ท่ีกองประกวดจดั ไวใ้ หค้ วามน่าจะ

เป็นจะมีผเู้ ขา้ รอบอยา่ งนอ้ ย 2 คน เลือกร้องเพลงเดียวกนั เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 285 2. 29 3. 1225 4. 49

24

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

12.6.2 กฎสาคญั บางประการของความน่าจะเป็ น

กฎข้อท่ี 1 ถา้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ ที่เป็ นสบั เซตของแซมเปิ ลสเปซ S แลว้

P(A  B ) = P (A) + P (B) – P (A  B)

กฎข้อที่ 2 ถา้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ ท่ีไม่เกิดร่วมกนั แลว้ จะไดว้ า่

P(A  B ) = P (A) + P (B)

กฎข้อที่ 3 ถา้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ ที่เป็นสบั เซตของแซมเปิ ลสเปซ S แลว้
P(A/ ) = 1 – P (A )

81. กาหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A , B และ A  B ดงั น้ี 4. 0.3
P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 , P (A  B) = 0.1

แลว้ P (A/ B/) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 0.01 2. 0.03 3. 0.1

82. ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิ ลสเปซ ถา้ P(A) = 0.71 , P(B) = 0.50
และ P(A  B) = 0.23 แลว้ ค่าของ P(A/ B/) มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 0.02 2. 0.12 3. 0.20 4. 0.98

83(แนว En) ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ โดยท่ี P(A) = 0.7 , P(B) = 0.4 และ
P(A/ B/) = 0.2 แลว้ P(A  B) เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 0.1 2. 0.3 3. 0.8 4. 0.9

25

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

84. จากการสารวจประชากรของหมู่บา้ นแห่งหน่ึง ปรากฏวา่ ความน่าจะเป็ นของครอบครัวท่ีทา

สวนลาไยเท่ากบั 0.5 ความน่าจะเป็ นของครอบครัวที่ทาสวนลิ้นจี่เท่ากบั 0.7 ความน่าจะเป็ น

ของครอบครัวท่ีทาสวนลาไยและสวนลิ้นจ่ีเท่ากับ 0.3 ถา้ หมู่บา้ นแห่งน้ีประชากรอยู่ 200

ครอบครัวแลว้ จานวนครอบครัวท่ีทาสวนลาไยหรือสวนลิ้นจี่เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 200 2. 180 3. 140 4. 120

85(แนว มช) ถา้ ในการสัมมนาคร้ังหน่ึง พบวา่ มีผเู้ ขา้ ร่วมสัมมนาประมาณ
50% มองเห็นตวั หนงั สือบนกระดานไมช่ ดั
60% ไดย้ นิ คาบรรยายไมช่ ดั

อีก 20% มองเห็นตวั หนงั สือบนกระดานและไดย้ นิ คาบรรยายไมช่ ดั ท้งั 2 อยา่ ง
จากการคดั เลือกสุ่มผเู้ ขา้ ร่วมสัมมนาคร้ังน้ีมาคนหน่ึง จงหาความน่าจะเป็ นท่ีผเู้ ขา้ ร่วมสัมมนา
คนน้ี จะมองเห็นตวั หนงั สือบนกระดานและไดย้ นิ คาบรรยายชดั ท้งั 2 อยา่ ง

86. ในการสอบคร้ังหน่ึง ความน่าจะเป็นที่นายสมชายจะสอบผา่ นวชิ าคณิตศาสตร์มีค่าเทา่ กบั 0.6
ความน่าจะเป็นที่จะสอบผา่ นวชิ าองั กฤษเป็น 0.4 ถา้ ความน่าจะเป็นในการสอบผา่ นอยา่ งมาก
1 วชิ าเป็น 0.7 แลว้ ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผา่ นอยา่ งนอ้ ย 1 วชิ า มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
1. 0.7 2. 0.6 3. 0.5 4. 0.4

26

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

87. ในการแข่งขนั ตอบปัญหามีผูแ้ ข่งขนั 3 คนคือ A , B และ C ถา้ A มีโอกาสชนะเป็ น 2

เท่าของ B และ B มีโอกาสชนะเป็น 2 เท่าของ C ถา้ มีผชู้ นะเพยี งคนเดียว ความน่าจะเป็นที่

A หรือ B เป็นผชู้ นะมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 67
1. 25 2. 45 3. 47

88. ชาย 12 คน ไปรับประทานอาหารท่ีร้านแห่งหน่ึง ถา้ มีผสู้ ั่งขา้ วผดั 8 คน ก๋วยเต๋ียวผดั 4 คน

และสั่งท้งั ขา้ วผดั และก๋วยเต๋ียวผดั 2 คน ความน่าจะเป็ นในการที่ชายคนใดคนหน่ึงจะสั่งขา้ ว

ผดั หรือก๋วยเตี๋ยวผดั มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. 49 4. 290
1. 29 2. 65

89(แนว En) นกั เรียนกลุ่มหน่ึง 100 คน มีผชู้ อบกีฬา 50 คน ชอบดนตรี 30 คน ชอบกีฬาและ
ดนตรี 10 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีผชู้ อบกีฬาหรือดนตรีมีคา่ เทา่ ไร
1. 0.8 2. 0.7 3. 0.6 4. 0.3

27

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

1. ตอบข้อ 4. เฉลยบทที่ 12 ความน่าจะเป็ น 4. ตอบข้อ 2.
5. ตอบข้อ 1. 8. ตอบข้อ 4.
9. ตอบข้อ 2. 2. ตอบข้อ 4. 3. ตอบข้อ 3. 12. ตอบข้อ 3.
13. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ 1. 7. ตอบ 100 16. ตอบข้อ 2.
17. ตอบข้อ 3. 10. ตอบข้อ 1. 11. ตอบข้อ 3. 20. ตอบข้อ 4.
21. ตอบข้อ 2. 14. ตอบข้อ 2. 15. ตอบข้อ 2. 24. ตอบข้อ 3.
25. ตอบข้อ 1. 18. ตอบข้อ 2. 19. ตอบข้อ 1. 28. ตอบข้อ 2.
29. ตอบข้อ 3. 22. ตอบข้อ 4. 23. ตอบข้อ 3. 32. ตอบข้อ 3.
33. ตอบข้อ 2. 26. ตอบข้อ 2. 27. ตอบข้อ 1. 36. ตอบข้อ 2.
37. ตอบข้อ 2. 30. ตอบข้อ 2. 31. ตอบข้อ 2. 40. ตอบข้อ 3.
41. ตอบข้อ 4. 34. ตอบข้อ 3. 35. ตอบข้อ 4. 44. ตอบข้อ 3.
45. ตอบข้อ 4. 38. ตอบข้อ 1. 39. ตอบข้อ 4. 48. ตอบข้อ 3.
49. ตอบข้อ 3. 42. ตอบ 240 43. ตอบ 480 52. ตอบข้อ 4.
53. ตอบข้อ 3. 46. ตอบข้อ 2. 47. ตอบข้อ 3. 56. ตอบข้อ 2.
57. ตอบข้อ 4. 50. ตอบข้อ 3. 51. ตอบข้อ 3. 60. ตอบข้อ 4.
61. ตอบข้อ 4. 54. ตอบข้อ 4. 55. ตอบข้อ 4. 64. ตอบข้อ 3.
65. ตอบข้อ 3. 58. ตอบข้อ 2. 59. ตอบข้อ 4. 68. ตอบข้อ 2.
69. ตอบ 0.10 62. ตอบข้อ 2. 63. ตอบข้อ 1. 72. ตอบข้อ 4.
73. ตอบข้อ 4. 66. ตอบข้อ 3. 67. ตอบข้อ 3. 76. ตอบข้อ 4.
77. ตอบข้อ 2. 70. ตอบข้อ 4. 71. ตอบข้อ 3. 80. ตอบข้อ 4.
81. ตอบข้อ 4. 74. ตอบข้อ 3. 75. ตอบข้อ 3. 84. ตอบข้อ 2.
85. ตอบ 0.1 78. ตอบข้อ 2. 79. ตอบข้อ 4. 88. ตอบข้อ 2.
89. ตอบข้อ 2. 82. ตอบข้อ 1. 83. ตอบข้อ 2.
86. ตอบข้อ 1. 87. ตอบข้อ 4.



28

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

ตะลุยโจทย์ท่วั ไป บทที่ 12 ความน่าจะเป็ น

12.1 กฏเกณฑ์เบอื้ งต้นเกยี่ วกบั การนับ

1. นางสาวเก๋ตอ้ งการแต่งตวั โดยที่ในการแต่งตวั แบ่งออกเป็ น 2 ข้นั ตอน คือใส่เส้ือ และใส่กระ
โปรง ถา้ นางสาวเก๋มีเส้ืออยู่ 5 ตวั และมีกระโปรงอยู่ 3 ตวั แลว้ นางสาวเก๋จะแตง่ ตวั ไดก้ ี่แบบ
1. 8 2. 10 3. 15 4. 32

2. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ทอดลูกเต๋า 1 ลูก และหยิบไพ่ 1 ใบจากไพ่สารับหน่ึง จะเกิด
ผลลพั ธ์ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 1 2. 72 3. 624 4. 1248

3. ในการมอบรางวลั ที่หน่ึง รางวลั ท่ีสอง และรางวลั ที่สาม ให้แก่เด็ก 8 คน โดยเด็กแต่ละคน
จะไดร้ างวลั เกิน 1 รางวนั ไม่ได้ จะทาไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 24 2. 280 3. 336 4. 512

4. วิชยั มีลูกชาย 3 คน หญิง 4 คน เขามีความประสงค์จะให้ลูกชายเขา้ เรียนโรงเรียนชาย ลูก
หญิงเขา้ เรียนโรงเรียนหญิง ปรากฏวา่ เขตการศึกษาท่ีบา้ นเขาต้งั อยมู่ ีโรงเรียนชาย 4 แห่ง โรง
เรียนหญิง 3 แห่ง จานวนวธิ ีท่ีเขาจะส่งลูกชายและหญิงเขา้ โรงเรียนมีคา่ เท่ากบั ค่าในขอ้ ใด
1. 64 2. 81 3. 145 4. 5184

5. นายสมชายมีลูกดอกป่ าเป้ า 3 ลูก เขาตอ้ งการปาเป้ าวงกลมที่แบ่งออกเป็ น 5 ช่อง จานวนวิธี
ท้งั หมดที่นายสมชายจะปาเป้ าดว้ ยลูกดอก 3 ลูก ตรงกบั คา่ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 60 2. 125 3. 215 4. 216

6. ในงานลีลาศคร้ังหน่ึงมีชาย 4 คน หญิง 5 คน ชายท้งั ส่ีคนจะเลือกคูเ่ ตน้ ราไดก้ ่ีวธิ ี
1. 24 2. 120 3. 625 4. 1024

7. ขอ้ สอบประเภทให้เลือกคาตอบว่าถูกหรือผิดชุดหน่ึงมี 5 ขอ้ นักเรียนท่ีทาขอ้ สอบน้ีจะมีวิธี
ตอบขอ้ สอบชุดน้ีไดต้ ่างๆ กนั กี่วธิ ี ( สมมุติวา่ ตอบคาถามทุกขอ้ โดยไม่มีการเวน้ )
1. 10 2. 16 3. 24 4. 32

29

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

8. ขอ้ สอบมี 6 ขอ้ แต่ละขอ้ เป็ นขอ้ สอบแบบปรนยั ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลือก เด็กนกั เรียนคน

หน่ึงจะมีวธิ ีเลือกทาขอ้ สอบโดยการเดาและตอ้ งทาทุกขอ้ ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี

1. 36 2. 80 3. 144 4. 256

9. ขอ้ สอบชุดหน่ึงมี 5 ขอ้ แต่ละขอ้ มี 4 ตวั เลือก นกั เรียนคนหน่ึงทาขอ้ สอบน้ีทุกขอ้ จานวนวธิ ี

ท่ีนกั เรียนคนน้ีทาขอ้ สอบแลว้ ผดิ หมดทุกขอ้ ตรงกบั คา่ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 243 2. 781 3. 1020 4. 1023

10. บงั กาโลแห่งหน่ึงมีห้องพกั 4 ห้อง ถา้ มีนกั เที่ยว 3 คน มาพกั บงั กะโลแห่งน้ี โดยพกั กนั คน
ละหอ้ ง จานวนวธิ ีที่จะเลือกพกั มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 10 2. 16 3. 24 4. 32

11. ถา้ กล่องใบหน่ึงมีบตั รอยู่ 6 ใบ โดยที่แต่ละใบมีหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 เขียนกากบั อยู่
หมายเลข 1 ใบ แลว้ จะนาบตั ร 2 ใบ มาวางเรียงกนั เป็นเลขสองหลกั ไดก้ ี่วธิ ี
1. 12 2. 30 3. 36 4. 48

12. ห้องประชุมแห่งหน่ึงมีประตูอยู่ 3 ประตู ถา้ จะเดินเขา้ และเดินออกประตูใดก็ได้ จะเดินเขา้
และออกไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 3 2. 6 3. 9 4. 18

13. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา ถา้ เดินเขา้ และเดินออกประตูหา้ มซ้ากนั จะเดินเขา้ และออกไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 3 2. 6 3. 9 4. 18

14. จะสร้างเลข 3 หลกั จากตวั เลข 1 , 3 , 5 , 7 ไดก้ ่ีจานวน 4. 64
1. 16 2. 24 3. 48

15. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ถา้ หา้ มใชเ้ ลขซ้ากนั ในแตล่ ะหลกั จะสร้างไดก้ ี่จานวน
1. 16 2. 24 3. 48 4. 64

16. จะสร้างเลข 4 หลกั จากตวั เลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 โดยห้ามใชเ้ ลขซ้ากนั ในแต่ละหลกั และเป็ นเลข
คี่ จะสร้างไดก้ ี่จานวน
1. 16 2. 24 3. 48 4. 72

30

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

17. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ถา้ หา้ มใชเ้ ลขซ้ากนั ในแต่ละหลกั และเป็นเลขคู่ จะสร้างไดก้ ่ีจานวน

1. 16 2. 24 3. 48 4. 72

18. การสร้างเลข 3 หลกั จากตวั เลข 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ที่มีค่าไม่นอ้ ยกวา่ 200 โดยใชเ้ ลขซ้ากนั ได้
ในแต่ละหลกั จะสร้างไดก้ ่ีจานวน

1. 36 2. 80 3. 144 4. 256

19. จากขอ้ ท่ีผ่านมา การสร้างเลข 3 หลกั ที่มีค่าไม่น้อยกว่า 200 โดยห้ามใช้เลขซ้ากนั ในแต่ละ
หลกั จะสร้างไดก้ ่ีจานวน

1. 36 2. 80 3. 144 4. 256

20. จากตวั เลข 1 , 3 , 5 , 6 , 8 จะนามาสร้างเป็ นจานวนเตม็ บวก 4 หลกั ที่มีค่านอ้ ยกวา่ 5000 ได้

ท้งั หมดก่ีจานวน เมื่อในแต่ละหลกั หา้ มใชเ้ ลขซ้ากนั
1. 12 2. 48 3. 180 4. 720

21(แนว มช) จานวนเต็ม 4 หลกั ท่ีมีค่าระหวา่ ง 4000 ถึง 7000 โดยแต่ละหลกั ไม่มีตวั เลขใด
ซ้ากนั เลยจะมีก่ีจานวน

22. จากเซต A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} จะนาตวั เลขจากเซต A มาสร้างจานวนท่ีมี 3 หลกั ท่ีเป็ น

จานวนคู่บวกและมีค่านอ้ ยกวา่ 400 โดยไมใ่ ชเ้ ลขซ้าในแตล่ ะหลกั จะสร้างไดก้ ี่จานวน
1. 24 2. 32 3. 36 4. 54

23. กาหนดให้ A = {0 , 1 , 2 , 3 , 5} นาตวั เลขจากเซต A มาสร้างจานวนท่ีมี 3 หลกั ซ่ึงหารดว้ ย

2 ลงตวั และแตล่ ะหลกั หา้ มใชเ้ ลขซ้ากนั ไดก้ ี่จานวน
1. 16 2. 18 3. 21 4. 24

24. จากเลข 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 นามาสร้างเป็ นเลขจานวนเต็มบวก 4 หลกั แต่ละหลกั ห้ามใชเ้ ลข

ซ้ากนั และเลขจานวนดงั กล่าวน้ีตอ้ งหารดว้ ย 5 ลงตวั ดว้ ย จะสร้างไดก้ ่ีจานวน
1. 210 2. 140 3. 108 4. 100

25. ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกนั หน่ึงคร้ัง จานวนวิธีท่ีลูกเต๋าทุกลูกจะขื้นแตม้ เป็ นเลขคู่ หรือทุกลูก
ข้ึนแตม้ เหมือนกนั มีค่าตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 33 2. 32 3. 31 4. 30

31

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

26. จานวนเตม็ บวกท้งั หมดท่ีหาร 5760 ลงตวั มีกี่จานวน 4. 48

1. 18 2. 24 3. 36

27. จานวนเตม็ ท้งั หมดที่หาร 12700 ลงตวั มีกี่จานวน 4. 48
1. 18 2. 24 3. 36

12.2 แฟกทอเรียล

28. 23!! 64!! มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 90 4. 120
1. 30 2. 45

29. 23!! 64!! 87!! มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 7! 4. 8!
1. 5! 2. 6!

30. 3!9!6!  2!6!4! มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 1540 4. 3080
1. 630 2. 1260

31. ถา้ M = 3!4!5!6!7! , N = 190!!65!!128!! แลว้ M + N มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 7128 2. 7296 3. 7310 4. 7338

32. (n (1n)! (1n)!1) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. n21 n
2. n1 3. n3 – n – 1
1. (n – 1) 4. 1
4. n3 – n – 3
33. ((nn 12))!! มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. n3 – 1 2. n3 – n

34. n (n2 – 1) (n2 – 4) (n2 – 9) มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 4. ((nn219))!!

1. (n n!4)! 2. ((nn  34))!! 3. ((nn  34))!!
 

35. n (n – 1) (n – 2) (n – 3) มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. (n n!2)! 2. (n n!3)! 3. (n n!4)! 4. (n n!5)!

32

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น
36. ถา้ ((nn 13))!! = 12 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
4. 10
1. 2 2. 5 3. 7

37. ถา้ (n n!2)! = 56 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 10
1. 7 2. 8 3. 9

38. ถา้ ((nn  12))!! = 720 แลว้ (n + 1)  มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี


1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

39. ถา้ (n n!3)!  52!! แลว้ (n + 1)  มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 720
1. 6 2. 24 3. 120

40. ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวกซ่ึงทาให้ 3!(nn! 2)! = 70 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด

41. กาหนดให้ ((nn 13))!!  30 และ (mm!3)! = 24 แลว้ m + n มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 6 2. 7 3. 8 4. 9

42. ถา้ 2  (n n!2)!  50  (2(n2n)2!)! แลว้ 2n มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

43. กาหนด (n 2)!n!(n  4)!  168 แลว้ ค่าของ ((nn11))!! มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 30 2. 42 3. 56 4. 72

44. ถา้ r เป็นเศษที่ไดจ้ ากการหาร 47 ดว้ ย 2538 แลว้ r มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

12.3 วธิ ีเรียงสับเปลย่ี น 4. 11
4. 10
45. ถา้ Pn , 2 = 72 แลว้ n มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 8 2. 9 3. 10

46. ถา้ 7 Pn , 3 = 20 Pn+1 , 2 แลว้ n มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 6 2. 7 3. 8

33

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

47. ถา้ 10 Pn , 2 = 20 Pn+1 , 4 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 7

1. 4 2. 5 3. 6

48. ถา้ 9(!2(0nn9))!!  7(!2(0nn7))!! แลว้ Pn , 2 มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 212 2. 218 3. 240 4. 282

49. การจดั ลาดบั สิ่งของ 7 สิ่งท่ีแตกต่างกนั ในแนวเส้นตรงสามารถทาไดก้ ่ีวธิ ี
1. 24 2. 120 3. 720 4. 5040

50. จดั เรียงดินสอสี 5 แท่ง ที่แตกต่างกนั เรียงแถวหน้ากระดานบนโต๊ะตวั หน่ึง จานวนวิธีที่จะ
จดั เรียงมีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 24 2. 120 3. 720 4. 5040

51. ในท่ีทาการแห่งหน่ึงมีตาแหน่งต่างๆ กนั วา่ งอยู่ 3 ตาแหน่ง มีคนสมคั รเขา้ ทางานน้ี 7 คน

ผจู้ ดั การจะเลือกผสู้ มคั รเขา้ ทางานใหเ้ ตม็ ท้งั สามตาแหน่งไดก้ ี่วธิ ี

1. 21 2. 35 3. 210 4. 840

52. ในการเลือกนกั เรียน 3 คน จากนกั เรียนท้งั หมด 20 คน มาเป็นหวั หนา้ หอ้ ง รองหวั หนา้ ห้อง

และเลขานุการ จะเลือกไดก้ ่ีวธิ ี

1. 540 2. 720 3. 6840 4. 30240

53. มีคน 10 คน จะจดั ยนื เรียงแถวเพ่อื ถ่ายรูปทีละ 5 คน จะไดภ้ าพท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมดก่ีภาพ

1. 540 2. 720 3. 6840 4. 30240

54. ในการจดั ลาดบั สิ่งของ 12 ชิ้น จากสิ่งของที่ต่างกนั 24 ชิ้น จะจดั ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
3. 1224!! 4. 122!41!2!
1. 2  2. 24 

แบ่งหลายงาน

55. มีหนังสือฟิ สิ กส์ 7 เล่ม คณิตศาสตร์ 4 เล่ม ต้องการเลือกหนังสือฟิ สิกส์มา 3 เล่ม

คณิตศาสตร์มา 2 เล่ม แลว้ นามาเรียงบนช้นั วางตามตาแหน่งตา่ งๆ จะทาไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี

1. 1280 2. 2520 3. 3080 4. 4220

34

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

มดั ติด

56. มีกระถางตน้ ไมต้ ่างชนิดกนั 8 กระถาง เป็ นขนาดเล็ก 3 กระถาง ขนาดใหญ่ 5 กระถาง นา

กระถางเหล่าน้ีท้งั หมดมาเรียงเป็ นแนวตรงท่ีระเบียงบา้ น จะจดั วางไวก้ ่ีวิธีเม่ือกาหนดวา่ กระ

ถางขนาดเลก็ ตอ้ งเรียงติดกนั เสมอ

1. 120 2. 720 3. 1440 4. 4320

57. มีชาย 3 คน หญิง 3 คน นามายนื เรียงเป็นแถวตรงจะทาไดก้ ่ีวธิ ี ถา้ กาหนดวา่ คนเพศเดียวกนั
ตอ้ งยนื ติดกนั เสมอ
1. 54 2. 72 3. 684 4. 1520

58. สามีภรรยา 6 คู่ นงั่ อยบู่ นมา้ นงั่ ยาว จะนงั่ ไดก้ ี่วธิ ีเมื่อสามีภรรยาแต่ละคูต่ อ้ งนงั่ ชิดกนั เสมอ
3. 1226! 4. 6 (26)
1. 6 6 2. 6 6 2

59. มีหนงั สือวทิ ยาศาสตร์ 4 เล่ม คณิตศาสตร์ 3 เล่ม ภาษาองั กฤษ 2 เล่ม ซ่ึงแตกตา่ งกนั หมด

และภาษาไทย 1 เล่ม ตอ้ งการเรียงหนงั สือท้งั หมดบนช้นั หนงั สือ จะทาไดก้ ี่วธิ ี เมื่อกาหนดวา่

หนงั สือในหมวดวชิ าเดียวกนั ตอ้ งเรียงติดกนั เสมอ

1. 288 2. 12,600 3. 6,912 4. 1,728

60. มีหนงั สือแตกต่างกนั 9 เล่ม เป็นหนงั สือภาษาไทย 4 เล่ม ภาษาองั กฤษ 3 เล่ม ภาษาฝรั่งเศส

2 เล่ม จดั เรียงหนงั สือท้งั หมดบนช้นั หนงั สือ โดยใหห้ นงั สือภาษาเดียวกนั เรียงติดกนั เสมอ จะ

ทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 4 3 2 2. 4 3 2 (3) 3. 11 (3) 4. 11

61. น้าหอม 4 ขวด ครีมทาผวิ 3 ขวด และแป้ งฝ่ นุ 2 กระป๋ อง ขนาดต่างๆ กนั หมด จานวนวิธี
เรียงของท้งั หมดบนช้นั โดยใหข้ องชนิดเดียวกนั อยตู่ ิดกนั และน้าหอมอยรู่ ะหวา่ งแป้ งฝ่ ุนกบั ครีม
ทาผวิ มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 288 2. 576 3. 864 4. 1728

62. มีผา้ เช็ดหน้าขาว 3 ผืน สีฟ้ า 2 ผืน สีชมพู 2 ผืน ท้ังหมดมีลายต่างกนั จานวนวิธีเรียง

ผา้ เช็ดหนา้ 7 ผนื ซอ้ นกนั โดยที่ผา้ เช็ดหนา้ สีขาวอยตู่ ิดกนั ท้งั สามผนื ไม่ได้ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 720 2. 1680 3. 2440 4. 4320

35

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

63. เรียงสับเปลี่ยนอกั ษรจากคาวา่ “ VENUS ” โดยใหส้ ระตอ้ งอยตู่ ิดกนั เสมอ จะเรียงไดก้ ี่วธิ ี

1. 12 2. 24 3. 36 4. 48

64. จากขอ้ ท่ีผา่ นมา จานวนวธิ ีเรียงโดยไม่ใหส้ ระอยตู่ ิดกนั มีท้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 72 2. 84 3. 100 4. 112

65. นาตน้ มะม่วง 4 ตน้ มะปราง 3 ตน้ มาเรียงเป็ นแนวตรงโดยมะปรางท้ัง 3 ตน้ ตอ้ งไม่เรียง
ติดกนั ( ไมม่ ีมะปราง 2 ตน้ ใดเลยอยตู่ ิดกนั ) จะเรียงไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี

66. นาชาย 2 คน หญิง 3 คน เด็ก 2 คน มายืนเรียงเป็ นแถวตรง จะยืนไดก้ ่ีวิธี เมื่อกาหนดว่า
ชายตอ้ งยนื ติดกนั แตห่ ญิงตอ้ งยนื แยกกนั ท้งั หมด
1. 24 2. 48 3. 144 4. 288

ใช้กฎการนับช่วย

67. คน 7 คน ซ่ึงมีนางสาวเรวดีและนางสาวนุชจรีรวมอยูด่ ว้ ย ถา้ นาท้งั หมดมาเรียงเป็ นแถวหนา้

กระดาน โดยเรวดีและนุชจรีจะตอ้ งอยูต่ ิดกนั เสมอ จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 6 2. 2 (5) 3. 2 (6) 4. 5 (6)

68. จากขอ้ ท่ีผ่านมา ถา้ นาท้งั หมดมาเรียงเป็ นแถวหน้ากระดาน โดยเรวดีและนุชจรีจะตอ้ งไม่อยู่

ติดกนั จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 6 2. 2 (5) 3. 2 (6) 4. 5 (6)

69. จากขอ้ ที่ผ่านมา ถา้ นาท้งั หมดมาเรียงเป็ นแถวหนา้ กระดาน โดยเรวดีจะตอ้ งอยูห่ ัวแถวเสมอ

จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 6 2. 2 (5) 3. 2 (6) 4. 5 (6)

70. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ถา้ นาท้งั หมดมาเรียงเป็ นแถวหนา้ กระดาน โดยเรวดีและนุชจรีจะตอ้ งอยูห่ วั

แถวหรือทา้ ยแถว จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 6 2. 2 (5) 3. 2 (6) 4. 5 (6)

36

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

71. มีหนงั สือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม เคมี 5 เล่ม สังคมศึกษา 3 เล่ม และหนงั สือทุกเล่มแตกต่างกนั

ท้งั หมด จดั เรียงหนงั สือท้งั หมดบนช้นั หนงั สือโดยให้หนงั สือคณิตศาสตร์อยูห่ วั แถว กลางแถว

และทา้ ยแถวจะจดั ไดก้ ่ีวธิ ี

1. 11 2. 3 8 3. 3 5 3 4. 5 3

72. เรียงสับเปล่ียนดว้ ยอกั ษรจากคาวา่ “ MATRIX ” (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) ไดท้ ้งั หมดกี่วิธี
ถา้ การเรียงแต่ละคร้ังจะตอ้ งไมข่ ้ึนตน้ และลงทา้ ยดว้ ยสระ
1. 48 2. 240 3. 288 4. 672

73. จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตวั อกั ษรในคาวา่ “ MATRIX ” โดยไม่คานึงถึงความหมายของคา
และในการเรียงจะตอ้ งใหส้ ระอยหู่ วั แถวหรือทา้ ยแถวเสมอ มีค่าตรงกบั ค่าในขอ้ ใด
1. 288 2. 432 3. 480 4. 528

74. จากอกั ษรในคาวา่ “EDUCATION” นามาจดั เรียงสบั เปล่ียนท้งั หมด โดยใหส้ ระอยตู่ ิดกนั และ

อยตู่ รงกลางเสมอ จะจดั เรียงไดก้ ี่วธิ ี (การจดั เรียงน้ีไมค่ านึงถึงความหมายที่ได)้
4. 59!!
1. 4 5 2. 5 5 3. 9

75. มีผชู้ าย 5 คน หญิง 4 คน จดั คนท้งั หมดเขา้ แถวโดยใหผ้ หู้ ญิงยนื ในตาแหน่งคู่ จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 480 2. 920 3. 1440 4. 2880

76. ชาย 5 คน หญิง 4 คน ยนื เรียงแถวตรงโดยชาย 1 คน ยนื สลบั หญิง 1 คน จะจดั เรียงไดก้ ่ีวธิ ี
3. 5!9!4! 4. 5! 49!!(2)
1. 5 4 2. 5 4 (2)

77. ชาย 6 คน หญิง 6 คน ยนื เรียงเป็ นแถวแนวตรง และชายกบั หญิงยนื สลบั กนั ทลี่ ะ 3 คน จะ

ทาไดก้ ่ีวธิ ี 2. (6 6) 2 3. (5 6) 2 4. 4 (3)4
1. 6 6

78. มีอกั ษร E 3 ตวั F 4 ตวั G 5 ตวั จะมีวธิ ีเรียงสับเปล่ียนตวั อกั ษรน้ีไดก้ ่ีวธิ ี

1. 5420 2. 18080 3. 24880 4. 27720

79. ในการเรียงลาดบั อกั ษณจากคา MATHEMATICS ที่แตกต่างกนั โดยไม่คานึงถึงความหมาย

ของคาท่ีเรียงได้ จะเรียงไดท้ ้งั หมดกี่แบบที่แตกตา่ งกนั 4. 2!.121!!. 2!
1. 11 2. 121!! 3. 21!1. !2!

37

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

80. มีหนงั สือคณิตศาสตร์ท่ีเหมือนกนั 3 เล่ม หนงั สือเคมีที่ตา่ งกนั 3 เล่ม หนงั สือฟิ สิกส์ท่ีต่างกนั

2 เล่ม ตอ้ งการนาหนงั สือท้งั หมดไปเรียงกนั โดยให้หนงั สือฟิ สิกส์อยูต่ ิดกนั เสมอ จะมีวิธีจดั

ท้งั หมดกี่วธิ ี

1. 540 2. 720 3. 1680 4. 2448

81. จานวนวธิ ีจดั เรียงอกั ษรในคา “ENTRANCE” ซ่ึงอกั ษร E ไม่อยตู่ ิดกนั เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 1540 2. 3600 3. 5440 4. 7560

82. จากรูป มดตวั หน่ึงจะไต่ตาข่ายลวดน้ี จากจุด A ไปยงั
จุด B โดยที่ทุกคร้ังที่ไต่มนั จะตอ้ งไต่ไปในแนวทิศเหนือ
หรือทิศตะวนั ออกเท่าน้นั จานวนเส้นทางที่อาจจะเป็น
ไปไดท้ ้งั หมดมีก่ีเส้นทาง
1. 10 2. 45

3. 90 4. 126

83. จากขอ้ ที่ผา่ นมา ถา้ กาหนดให้มดตวั น้ีจะตอ้ งไต่ผา่ นจุด C เสมอ จานวนเส้นทางท่ีอาจจะเป็ น
ไปไดท้ ้งั หมดมีกี่เส้นทาง
1. 10 2. 45 3. 90 4. 126

84. นาคน 6 คน ไปรับประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม จะทาไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี
1. 24 2. 120 3. 720 4. 5040

85. วธิ ีการจดั ใหค้ น 7 คนใหน้ งั่ รับประทานอาหารรอบโตะ๊ ซ่ึงมี 7 ท่ีนงั่ ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 24 2. 120 3. 720 4. 5040

86. ชาย 5 คน หญิง 5 คน เขา้ ประชุมรอบโตะ๊ กลม จะมีวิธีท่ีจะจดั ใหห้ ญิงท้ัง 5 คน นงั่ ติดกนั

เสมอ ไดเ้ ทา่ กบั ค่าในขอ้ ใด

1. 4 5 2. 5 5 3. 4 4 4. 4 5 (2)

87. มีธงของชาติต่างๆ 5 ผนื ชาติละ 1 ผนื และธงไทยขนาดไม่เท่ากนั 2 ผืน นามาจดั ประดบั
รอบวงเวยี น โดยไมใ่ หธ้ งไทยอยตู่ ิดกนั จานวนวธิ ีจดั คือค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 600

38

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

88. จานวนวิธีจดั คน 6 คน นั่งรอบโต๊ะรูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ โดยท่ีมีคนอยู่ 2 คน ปฏิเสธท่ีจะนั่ง

ติดกนั จะมีค่าตรงกบั คา่ ในขอ้ ใด

1. 16 2. 28 3. 37 4. 72

89. สมชายและภรรยา ไดเ้ ชิญเพื่อนสนิทมาทานอาหารที่บา้ น 5 คน เวลาท่ีนัง่ โต๊ะอาหารซ่ึงเป็ น
โต๊ะกลม เพ่ือที่จะไดค้ ุยกบั เพื่อนไดท้ วั่ ถึง สมชายและภรรยาจึงตอ้ งนัง่ แยกกนั เสมอ ดงั น้นั จะ
จดั ใหค้ นท้งั 7 นงั่ โตะ๊ กลมไดก้ ี่วธิ ี
1. 120 2. 240 3. 480 4. 720

90. จดั เด็ก 1 คน หญิง 3 คน และผชู้ าย 3 คนนัง่ รอบโตะ๊ กลม โดยท่ีผชู้ ายไม่นงั่ ติดกบั เด็กจะจดั
ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี
1. 72 2. 144 3. 180 4. 200

91. ชาย 2 คน หญิง 6 คน ตอ้ งการยนื ลอ้ มเป็ นวงกลม โดยที่เง่ือนไขวา่ ชายท้งั 2 คนน้นั จะตอ้ ง

อยตู่ รงขา้ มกนั จะยนื ไดก้ ่ีวธิ ี

1. 6 2. 2 (6) 3. 2 (5) 4. 5 (6)

92. ชาย 8 คน หญิง 2 คน ยืนลอ้ มกนั เป็ นวงกลม โดยกาหนดให้ หญิง 2 คน ตอ้ งยืนตรงกนั

ขา้ มเสมอ จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 7 2. 7 2 3. 8 4. 8 2

12.4 วธิ จี ัดหมู่

93. ถา้ 7  n   3  n  แลว้ n มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
2 3

1. 7 2. 9 3. 11 4. 13
4. หาคา่ n ไมไ่ ด้
94. ถา้ 7 . nC3 = 4 . nC4 แลว้ n มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

2n 

95. ถา้ แลว้ n มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
3 44  2. 10 3. 14
n 3 



2 


1. 6

39

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น
96. ถา้  r355   2r 351 แลว้ r มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
4. 13
1. 19 2. 18 3. 14

97. ขอ้ สอบวิชาหน่ึงมีท้งั หมด 8 ขอ้ ถา้ ให้นักเรียนเลือกทาเพียง 6 ขอ้ นกั เรียนจะมีวิธีเลือกทา
ขอ้ สอบไดก้ ่ีวธิ ี
1. 28 2. 36 3. 42 4. 56

98. จานวนวธิ ีท้งั หมดท่ีจะเลือกหยบิ สลาก 3 ชิ้น จากสลากท้งั หมด 12 ชิ้น มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
1. 120 2. 220 3. 330 4. 440

99. ในงานเล้ียงฉลองศิษยเ์ ก่าของโรงเรียนแห่งหน่ึง ปรากฎวา่ มีผไู้ ปร่วมงาน 150 คน ถา้ ทุกคนใน

งานทกั ทายกนั โดยการจบั มือทีละ 2 คน อยากทราบวา่ จะมีการจบั มือกนั ท้งั หมดก่ีคร้ัง
150
1. 150! 2.  2  3. 150P2 4. 2150

100(แนว Pat1) ในการแข่งขนั ฟุตบอล คณะกรรมการจดั การแข่งขนั จดั ให้มีการแข่งขนั แบบพบ
กนั หมด ปรากฏว่าจะตอ้ งจดั ให้มีการแข่งขนั ท้งั หมด 21 คู่ การแข่งขนั น้ีมีทีมเขา้ ร่วมแข่งขนั
จานวนเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 6 2. 7 3. 9 4. 12

101. จุด 12 จุด คือ A , B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , L ซ่ึงไมม่ ี 3 จุดใดๆ อยใู่ นแนว
เส้นตรงเดียวกนั ถา้ โยงเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ จะมีก่ีเส้นท่ีไมผ่ า่ นจุด D และไม่ผา่ นจุด K
1. 20 2. 35 3. 45 4. 90

102. บนเส้นรอบวงของวงกลมมีจุด 12 จุด จะลากเส้นตรงเชื่อมจุดเหล่าน้ีท้งั หมดไดก้ ี่เส้น

1. 56 เส้น 2. 61 เส้น 3. 66 เส้น 4. 71 เส้น

103. รูป 10 เหลี่ยมดา้ นเทา่ จะมีเส้นทแยงมุมไดก้ ี่เส้น 4. 90
1. 20 2. 35 3. 45

104. ถา้ รูปสี่เหลี่ยม n เหลี่ยมดา้ นเท่ารูปหน่ึงมีเส้นทแยงมุม 20 เส้น แลว้ รูปน้ีจะมีท้งั หมดก่ีเหลี่ยม

40

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

105. รูปหลายเหล่ียมรูปหน่ึง มีจานวนเส้นทแยงมุมเป็ น 3 เท่าของจานวนดา้ น รูปหลายเหล่ียมน้ี

เป็ นรูปกี่เหล่ียม

1. 6 เหลี่ยม 2. 7 เหลี่ยม 3. 8 เหลี่ยม 4. 9 เหล่ียม

106. มีจุดอยู่ 8 จุด ที่ไม่มี 3 จุดใดๆ อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั เลย ถา้ โยงเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ จะเกิด
สามเหลี่ยมมากท่ีสุดไดก้ ี่รูป
1. 14 2. 28 3. 56 4. 112

107. มีจุด 8 จุด อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลม จะสร้างรูปเหลี่ยมท่ีบรรจุภายในวงกลมน้ี โดยมีจุด
เหล่าน้ีเป็นจุดยอดมุมไดท้ ้งั หมดก่ีรูป
1. 219 2. 220 3. 251 4. 261

108. มีจุด 12 จุด คือ A , B , C , D , … , L อยู่บนระนาบโดยที่ไม่มี 3 จุด ใดๆ อยู่ในแนว
เส้นตรงเดียวกนั จะมีวิธีลากเส้นเชื่อมจุดท้งั 12 จุด เพ่ือให้ไดร้ ูปสามเหลี่ยมซ่ึงมี A เป็ นจุด
ยอดไดก้ ่ีวธิ ี
1. 55 2. 110 3. 660 4. 1200

109. มีจุดอยู่ 8 จุด ในจุดเหล่าน้ีมี 4 จุด อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ถา้ โยงเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ จะเกิด
สามเหล่ียมมากท่ีสุดไดก้ ี่รูป
1. 26 2. 32 3. 52 4. 64

110. กาหนดจุด 6 จุด ดงั รูป จานวนรูป A
สามเหลี่ยมที่มีจุดท่ีกาหนดใหเ้ ป็นจุด B
ยอดมุม มีค่าเทา่ กบั ค่าในขอ้ ใด C
1. 10 2. 12
3. 15 4. 20 DE F

111. คนกลุ่มหน่ึงประกอบดว้ ยผชู้ าย 6 คน ผหู้ ญิง 4 คน ตอ้ งการเลือกกรรมการคณะหน่ึงท่ีประ
กอบดว้ ยผชู้ าย 4 คน และผหู้ ญิง 3 คน จะเลือกไดก้ ่ีวธิ ี
1. 19 2. 60 3. 380 4. 5040

41

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

112. ถุงใบหน่ึงมีลูกหินสีขาว 6 ลูก และลูกหินสีดา 5 ลูก จานวนวธิ ีที่จะหยบิ ลูกหิน 4 ลูก แลว้

ไดล้ ูกหินสีขาว 2 ลูก และสีดา 2 ลูก ตรงกบั คา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 25 2. 120 3. 150 4. 330

113. เด็กชายอนั ดามีหนงั สือการ์ตูน 7 เล่ม เด็กหญิงฟ้ าใสมีหนงั สือการ์ตูน 9 เล่ม เด็กท้งั สอง
ตอ้ งการแลกหนงั สือกนั คนละ 2 เล่ม จะมีวธิ ีแลกหนงั สือท้งั สิ้นกี่วธิ ี
1. 540 2. 588 3. 686 4. 756

114. ถา้ มีลูกแกว้ อยู่ 12 ลูก เป็นลูกแกว้ สีขาว 5 ลูก สีดา 4 ลูก และสีแดง 3 ลูก หากตอ้ งการ
หยบิ ลูกแกว้ สีขาว 3 ลูก สีดา 1 ลูก และสีแดง 2 ลูก จะทาไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี
1. 120 2. 220 3. 330 4. 440

115. ถา้ หยบิ ไพ่ 5 ใบ จากไพท่ ้งั สารับท่ีมี 52 ใบ โดยใหม้ ีไพโ่ พดา 1 ใบ , โพแดง 2 ใบ ,

ขา้ วหลามตดั 1 ใบ และดอกจิก 1 ใบ แลว้ จะมีวธิ ีหยบิ ไดเ้ ทา่ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 28561 2. 57122 3. 171366 4. 342732

116. ไพ่สารับหน่ึงมี 52 ใบ หยิบข้ึนมา 5 ใบ จานวนวิธีท่ีหยิบแลว้ ไดไ้ พ่ K 3 ใบ และท่ีเหลือ
เป็นไพด่ อกจิก มีค่าตรงกบั ค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 264 2. 282 3. 290 4. 320

117. หยบิ ไพ่ 5 ใบ จากไพส่ ารับหน่ึง จานวนวธิ ีที่หยบิ แลว้ ไดไ้ พ่ A 2 ใบ และ J , Q , K อยา่ ง

ละหน่ึงใบตรงกบั คา่ ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 384 2. 768 3. 1320 4. 1440

118. จานวนวิธีหยบิ ไพ่ 4 ใบ จากไพ่ท้งั สารับท่ีมี 52 ใบ ให้ไดไ้ พ่ A , K , Q , J ต่างชุดกนั (ต่าง
ดอก) จะตรงกบั คา่ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 24 2. 64 3. 180 4. 256

119. มีของเล่นท่ีแตกต่างกนั 8 ชิ้น ตอ้ งการแบ่งให้ ก , ข และ ค คนละ 1 , 2 และ 3 ชิ้น
ตามลาดบั จะแบง่ ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
1. 60 2. 360 3. 720 4. 1680

42

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

120. จะจดั นกั เรียน 10 คน เขา้ พกั ในห้องพกั 3 หอ้ ง โดยห้องหน่ึงอยูไ่ ด้ 4 คน ส่วนอีก 2 ห้อง

อยไู่ ดห้ อ้ งละ 3 คน จะจดั ไดก้ ่ีวธิ ี

1. 2100 2. 3500 3. 4200 4. 8400

121. ถา้ ตอ้ งการแบง่ นกั เรียน 40 คน ออกเป็น 4 กลุ่ม กลุ่มละ 5 , 7 , 12 และ 16 คน แลว้

จานวนวธิ ีท่ีจะแบง่ นกั เรียนเหล่าน้ีมีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด 4. 5! .7!4.01!2! .16!
1. 40 ! 2. 1490!! 3. 5!4.01!6!

122. ถา้ ตอ้ งการแบ่งตารวจท่ีมีอยู่ 15 นายออกเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 3 , 4 และ 8 นาย แลว้ จานวน

วธิ ีที่จะแบ่งตารวจเหล่าน้ีมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด 3. 31!5.!8! 4. 3! 1. 45!! .8!
1. 15 ! 2. 175!!

123. ถ้ามีเส้นขนาน 5 เส้นในแนวนอน ตัดกับเส้นขนาน 4 เส้นในแนวต้ัง แล้วจานวนรูป
สี่เหล่ียมดา้ นขนานที่เกิดจากเส้นขนานเหล่าน้ีเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 12 2. 24 3. 30 4. 60

124. เส้นขนานแนวนอน 4 เส้น ตดั กนั กบั เส้นขนานแนวดิ่ง 3 เส้น จะเกิดสี่เหล่ียมดา้ นขนานกี่รูป
1. 18 2. 16 3. 12 4. 9

125. กล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีแดง 3 ลูก สีม่วง 2 ลูก หยบิ ลูกบอลพร้อมกนั 3 ลูก
จงหาจานวนวธิ ีท่ีหยบิ แลว้ ไดล้ ูกบอลสีแดง 1 ลูกเสมอ
1. 30 2. 63 3. 108 4. 120

126. มีปากกาอยู่ 12 แท่ง ซ่ึงแต่ละแท่งมีสีตา่ งกนั ตอ้ งการหยิบคร้ังละ 5 แท่ง โดยที่แตล่ ะคร้ังท่ี
หยบิ จะตอ้ งมีปากกาสีน้าเงินอยดู่ ว้ ยเสมอ จานวนวธิ ีการหยบิ ท้งั หมดเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 120 2. 220 3. 330 4. 440

127. มีชาย 6 คน หญิง 5 คน ตอ้ งการเลือกตวั แทนเพียง 5 คน โดยเป็ นชาย 3 คน หญิง 2 คน
และในการเลือกทุกคร้ังนายดาตอ้ งถูกเลือกเสมอ จะทาไดก้ ี่วธิ ี
1. 60 2. 80 3. 100 4. 120

43

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

คดิ ได้หลายกรณี

128. ถุงใบหน่ึงมีลูกหินสีขาว 6 ลูก และสีดา 5 ลูก จานวนวธิ ีท่ีจะหยบิ ลูกหิน 4 ลูก แลว้ ไดล้ ูก
หินเป็นสีเดียวกนั มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 18 2. 20 3. 75 4. 330

129. กล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก สีม่วง 3 ลูก สีขาว 1 ลูก หยิบลูกบอลพร้อมกนั 3 ลูก
จานวนวธิ ีที่หยบิ แลว้ ไดบ้ อลสีเหมือนกนั 2 ลูก มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 13 2. 15 3. 17 4. 21

130. ลูกแกว้ 9 ลูก แตกตา่ งกนั และเป็นสีแดง 4 ลูก สีขาว 3 ลูก สีฟ้ า 2 ลูก หยบิ ลูกแกว้ 3 ลูก
อยา่ งไมเ่ จาะจง จานวนวธิ ีท้งั หมดที่จะไดล้ ูกแกว้ สีแดงอยา่ งนอ้ ย 2 ลูก มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด
1. 4 2. 30 3. 34 4. 50

131. กล่องใบหน่ึงมีลูกแกว้ 10 ลูก เป็นสีแดง 3 ลูก สีเหลือง 4 ลูก สีฟ้ า 3 ลูก จานวนวธิ ีที่หยบิ
ลูกแกว้ พร้อมกนั 2 ลูก แลว้ ไดล้ ูกแกว้ สีต่างกนั มีค่าตรงกบั ค่าในขอ้ ใด
1. 28 2. 33 3. 42 4. 48

132. นกั เรียนคนหน่ึงจะตอ้ งตอบขอ้ สอบ 8 ขอ้ จากจานวนท้ังหมด 10 ขอ้ เขาจะมีวิธีตอบกี่วิธี
ถา้ เขาตอ้ งตอบอยา่ งนอ้ ย 4 จาก 5 ขอ้ แรก
1. 7 2. 18 3. 27 4. 35

133(แนว มช) ในการสอบคร้ังหน่ึงผสู้ อบตอ้ งทาขอ้ สอบ 10 ขอ้ จากขอ้ สอบท้งั หมด 12 ขอ้ และ
ตอ้ งทาขอ้ สอบอยา่ งนอ้ ย 5 ขอ้ จาก 6 ขอ้ แรก ดงั น้ันจานวนวิธีท้งั หมดท่ีผเู้ ขา้ สอบจะเลือกทา
ขอ้ สอบเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 1.5 2. 36 3. 41 4. 51

134. ตูใ้ บหน่ึงมีเส้ือสีแดง 6 ตวั เส้ือสีขาว 4 ตวั ซ่ึงแตกตา่ งกนั หมด ถา้ สุ่มเลือกเส้ือจากตนู้ ้ีมา 5
ตวั โดยใหม้ ีสีตา่ งกนั จานวนวธิ ีท่ีจะเลือกไดเ้ ส้ือสีแดงมากกวา่ สีขาวเท่ากบั ขอ้ ใด
1. 90 2. 120 3. 180 4. 200

44

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

135(แนว En) จากอาจารย์ 4 คน นกั เรียนชาย 3 คน นกั เรียนหญิง 2 คน ตอ้ งการเลือกตวั แทน 4 คน

โดยใหม้ ีอาจารย์ 1 คน และนกั เรียนหญิงอยา่ งนอ้ ย 1 คน จานวนวธิ ีเลือกเท่ากบั ในขอ้ ใด

1. 20 2. 36 3. 48 4. 64

136. ต้องการเลือกสมาชิก 4 คน จากสมาชิกท้ังหมด 12 คน เพื่อเป็ นตวั แทนเขา้ ร่วมในการ
ประชุม โดยท่ีสมาชิกท้งั 12 คนน้ีมีสามีภรรยาคู่หน่ึง ซ่ึงถา้ คนหน่ึงไดเ้ ป็ นตวั แทนอีกคนหน่ึง
ตอ้ งไดเ้ ป็นดว้ ย ดงั น้นั จานวนวธิ ีเลือกตวั แทนเท่ากบั เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 120 2. 180 3. 255 4. 325

( แบบเอาท้งั หมด – ทไ่ี ม่ต้องการ)

137. ในชมรมส่งเสริมศีลธรรมมีสมาชิกเป็ นพ่อบา้ น 4 คน แม่บา้ น 2 คน และเยาวชน 5 คน
ตอ้ งการเลือกกรรมการชุดหน่ึงที่มี 3 คน โดยจะต้องมีเยาวชนอย่างน้อย 1 คน จานวนวิธี
เลือกเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 120 2. 145 3. 182 4. 215

138. กล่องใบหน่ึงมีกระดุมสีเหลือง 6 เมด็ สีฟ้ า 3 เมด็ และสีขาว 2 เมด็ หยบิ กระดุมข้ึนมา 3 เมด็

พร้อมกนั จานวนวธิ ีท้งั หมดที่จะหยบิ กระดุมแลว้ ไดก้ ระดุมสีขาวอยา่ งมาก 2 เม็ด มีค่าตรงกบั

ค่าในขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 165 2. 156 3. 93 4. 81

139. มีหลอดไฟในกล่องทึบ 10 หลอด เป็นหลอดชารุด 4 หลอด ถา้ หยบิ หลอดไฟข้ึนมา 4 หลอด
จานวนวธิ ีที่หยบิ แลว้ จะไดห้ ลอดที่ชารุดไมเ่ กิน 3 หลอด เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 70 2. 105 3. 209 4. 210

140. กล่องใบหน่ึงมีลูกบอล 6 ลูก ต่างกนั เป็นลูกบอลสีแดง 1 ลูก ชมพู 2 ลูก เขียว 3 ลูก หยบิ
ลูกบอล 3 ลูกพร้อมกนั โดยทุกคร้ังที่หยบิ จะตอ้ งไดล้ ูกบอลอยา่ งนอ้ ย 2 สี จะหยบิ ไดก้ ่ีวธิ ี
1. 6 2. 13 3. 19 4. 24

141. กล่องใบหน่ึงมีลูกหิน 15 ลูกท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมด โดยเป็ นลูกหินสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก
และสีเหลือง 6 ลูก หยบิ ข้ึนมา 2 ลูก จะหยบิ ไดก้ ่ีวธิ ีถา้ ลูกหินท้งั สองลูกน้นั ตอ้ งมีสีตา่ งกนั
1. 31 2. 74 3. 105 4. 136

45

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

142. มีนกั เรียน 12 คน สมคั รเป็ นคณะกรรมการนักเรียน ซ่ึงคณะกรรมการน้ีตอ้ งการสมาชิกเพียง

4 คน เท่าน้นั จงหาจานวนวธิ ีเลือกคณะกรรมการ โดยมีเงื่อนไขวา่ นายดาและนายแดง (ซ่ึงเป็ น

นกั เรียนในกลุ่ม 12 คนน้ี) จะตอ้ งไม่ถูกเลือกเป็นกรรมการพร้อมกนั

1. 240 วธิ ี 2. 280 วธิ ี 3. 360 วธิ ี 4. 450 วธิ ี

143. มีนกั เรียนท่ีอยใู่ นข่ายที่จะไดร้ ับรางวลั 12 คน (โดยมี ก. และ ข. อยูใ่ นกลุ่มคนน้ีดว้ ย) แต่มี
รางวลั เพียง 4 รางวลั จานวนวิธีท่ีเด็กชาย ก. และเด็กชาย ข. จะไม่ไดร้ ับรางวลั พร้อมกนั
เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 45 2. 210 3. 240 4. 450

144. มีสามี-ภรรยา 4 คู่ ตอ้ งการเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากกลุ่มคน 8 คนน้ี จะเลือกไดก้ ี่วธิ ี
ถา้ สามีภรรยาคู่เดียวกนั จะเป็นกรรมการพร้อมกนั ไม่ได้
1. 24 2. 26 3. 32 4. 56

จัดหมู่แล้วเรียงสับเปลย่ี นต่อ

145. ในการสัมภาษณ์ผสู้ มคั รเขา้ ทางานของบริษทั หน่ึง มีผสู้ มคั รเป็ นชาย 5 คน เป็ นหญิง 5 คน

ถา้ ผสู้ มั ภาษณ์ตดั สินใจเรียกผสู้ มคั รมาสัมภาษณ์เพียง 5 คน โดยเลือกชาย 3 คน และหญิง 2 คน

จากผสู้ มคั รท้งั หมดโดยการสุ่ม ดงั น้นั การจดั ลาดบั เขา้ สอบสัมภาษณ์ทีละคนโดยให้ผสู้ มคั รที่

เป็นชายเขา้ สอบติดตอ่ กนั จะมีจานวนวธิ ีเท่ากบั เท่าใด

1. 1200 2. 1800 3. 3600 4. 4520

146. มีชาย 5 คน หญิง 5 คน ตอ้ งการนาชาย 3 คน หญิง 3 คน มายนื เป็นวงกลม จะทาไดก้ ี่วธิ ี

1. 6200 2. 7500 3. 9000 4. 12000

147. มยุราเชิญเพ่ือนมารับประทานอาหารท่ีบา้ น 12 คน โดยจดั เล้ียงเป็ นโตะ๊ จีน (โตะ๊ กลม) โดย

โตะ๊ หน่ึงนงั่ ได้ 7 คน อีกโตะ๊ หน่ึงนงั่ ได้ 5 คน จะมีวธิ ีจดั ใหเ้ พื่อน ๆ นงั่ ไดก้ ี่วธิ ี
1. 71!25!! 2. 27(!152!!) 3. 712!5
4. 6 4 (2)

148. จากชาย 4 คน หญิง 6 คน เลือกชายมา 3 คน หญิง 4 คน แล้วนาไปนัง่ รอบโต๊ะกลม

โดยผชู้ ายตอ้ งนงั่ แยกกนั หมด จะทาไดก้ ่ีวธิ ี

1. 144 2. 2160 3. 8640 4. 30240

46

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

149. นกั เรียนช้นั อนุบาลห้องหน่ึงมี 10 คน เป็ นเด็กชาย 5 คน เด็กหญิง 5 คน ครูประจาช้ันคิด

จะจดั เกมใหเ้ ล่นร่วมกนั โดยการจดั ใหเ้ ขา้ นงั่ รอบโตะ๊ กลมคร้ังละ 6 คน และให้เด็กชายนงั่ สลบั

กบั เดก็ หญิงคนต่อคน ครูจะมีวธิ ีการจดั ใหเ้ ขา้ นงั่ ไดต้ ่างๆ กนั กี่วธิ ี

1. 300 2. 600 3. 1200 4. 2400

150. ชาย 4 คน หญิง 3 คน ยนื เขา้ แถวเป็นวงกลมโดยใหช้ ายคนหน่ึงอยูก่ ลางวง ส่วนคนท่ีเหลือ
ใหช้ าย 1 คน ยนื สลบั กบั หญิง 1 คน จะจดั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี
1. 48 2. 36 3. 24 4. 12

12.5 ทฤษฏบี ททวนิ าม

151. ในการกระจาย (2a + b)8 พจน์ท่ีมี b6 คือ พจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 4 a2b6 2. 28 a2b6 3. 112 a2b6 4. 224 a2b6

152. สมั ประสิทธ์ิของ x11 จากการกระจาย (x3  31x )9 มีคา่ เท่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 79 2. 191 3. 194 4. 293

153. ในการกระจาย (x3  x12 )15 พจน์ท่ีไมม่ ี x ปรากฏอยคู่ ือขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. พจนท์ ่ี 9 พจน์น้นั คือ C15 , 8 2. พจนท์ ่ี 9 พจน์น้นั คือ C15 , 9
3. พจน์ท่ี 10 พจน์น้นั คือ C15 , 9 4. พจน์ที่ 10 พจน์น้นั คือ C15,10

154. ในการกระจาย (y3  y12 )10 พจน์ท่ีไม่มี y ปรากฏอยคู่ ือขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. พจนท์ ่ี 6 พจนน์ ้นั คือ 210 2. พจน์ที่ 6 พจนน์ ้นั คือ 252

3. พจน์ท่ี 7 พจน์น้นั คือ 210 4. พจน์ที่ 7 พจน์น้นั คือ 252

155. ในการกระจาย (x3  x26 )6 พจนท์ ี่ไมม่ ี x อยเู่ ลย มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด

156. ถา้ พจน์ที่ไม่มี x จากการกระจาย  x xk2 10 คือ 405 แลว้ ค่าของ k คือคา่ ในขอ้ ใด



1. –3 2. 3 3. 3 หรือ –3 4. 9

157. จากการกระจาย (x2  2y)4 ถา้ ไดพ้ จน์ x s y t จานวน 1 พจน์ แลว้ s + t มีคา่ เทา่ ใด
1. 2 2. 3 3. 4 4. 8

47

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

158. ถา้ ใชท้ ฤษฎีทวนิ ามหาค่าของ (1.01)3 จะไดค้ า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 1.0422

1. 1. 0011 2. 1.0222 3. 1.0303

159. ถา้ ใชท้ ฤษฎีทวนิ ามหาค่าของ (0.99)10 จะไดค้ ่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 0.9045 2. 0.9344 3. 0.9688 4. 0.9888

160. ถา้ ใชท้ ฤษฎีทวนิ ามหาคา่ ของ 115 จะไดค้ ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 155222 2. 158444 3. 161051 4. 166266

12.6 ความน่าจะเป็ นและกฏทสี่ าคญั บางประการของความน่าจะเป็ น

161. ในการหยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่ 1 สารับ ซ่ึงมี 52 ใบ ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ท่ีไดไ้ พ่

ใบน้นั เป็นโพดามีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 1532 4. 5226
1. 512 2. 542

162. ในการทอดลูกเต๋าเท่ียงตรงลูกเดียวหน่ึงคร้ัง ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ไดแ้ ตม้ 5 มีค่า
เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 16 2. 62 3. 63 4. 65

163. ในการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรงสองลูกหน่ึงคร้ัง ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าท้ังสองมี

แตม้ เหมือนกนั มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 63 4. 65
1. 16 2. 26

164. ในการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรงสองลูกหน่ึงคร้ัง ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ผลบวกของแตม้

มากกวา่ หรือเทา่ กบั 10 มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 65
1. 16 2. 26 3. 63

165. ในการทอดลูกเต๋าเท่ียงตรงสองลูกหน่ึงคร้ัง ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ท่ีผลบวกของแตม้

หารดว้ ย 3 ลงตวั มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 3. 63 4. 65
1. 16 2. 26

166. กล่องใบหน่ึงมีลูกปิ งปองสีขาว 3 ลูก สีแดง 7 ลูก สีเขียว 4 ลูก สุ่มหยิบลูกปิ งปองจาก

กล่อง 1 ลูก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีจะไดส้ ีขาวหรือสีแดง มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 134 2. 174 3. 1140 4. 1141

48

ตวิ สบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทท่ี 12 ความน่าจะเป็ น

167. กล่องใบหน่ึงมีลูกปิ งปองสีขาว 3 ลูก สีแดง 7 ลูก สีเขียว 4 ลูก สุ่มหยิบลูกปิ งปองจาก

กล่อง 1 ลูก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะไดส้ ีเขียวหรือสีแดง มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 134 2. 174 3. 1140 4. 1141

168. ในกล่องใบหน่ึงมีลูกปิ งปองขนาดเดียวกนั 4 ลูก เป็ นสีขาว 2 ลูก สีเหลืองและสีเขียวอยา่ ง

ละ 1 ลูก ถา้ หยิบลูกปิ งปองข้ึนมาหน่ึงลูก ความน่าจะเป็ นท่ีหยิบได้ลูกปิ งปองสีขาวหรือลูก

ปิ งปองสีเหลือง มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3. 12 4. 14
1. 18 2. 43

P(E) กบั จัดหมู่

169. ถา้ หยบิ ลูกหิน 3 ลูก จากกล่องท่ีมีลูกหินสีน้าเงิน 4 ลูก และสีแดง 7 ลูก ความน่าจะเป็ นท่ี

หยบิ ไดล้ ูกหินสีน้าเงิน 3 ลูก คือขอ้ ใดต่อไปน้ี 4. 136341
1. 1645 2. 47 3. 141

170. กล่องใบหน่ึงบรรจุปากกา 1 โหล เป็ นปากกาสีแดง 3 ดา้ ม สีเขียว 4 ดา้ ม ที่เหลือเป็ นสีน้า
เงิน ความน่าจะเป็นท่ีสุ่มหยบิ ปากกามา 3 ดา้ ม แลว้ ไดค้ รบทุกสีมีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1. 610 2. 212 3. 131 4. 132

171. มีลูกบอลในกล่อง 10 ลูก เป็ นบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก สีน้าเงิน 2 ลูก สุ่มหยิบลูก
บอลข้ึนมา 3 ลูก ความน่าจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีต่างกนั ท้งั 3 ลูก มีคา่ ตรงกบั คา่ ในขอ้ ใด
1. 14 2. 15 3. 23 4. 47

172. ในกล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีเหลือง 5 ลูก ถา้ หยิบลูกบอลมาสองลูกพร้อมกนั
โดยวธิ ีสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลท้งั สองลูกจะมีสีเดียวกนั มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 258 2. 1238 3. 1258 4. 2285

173. กล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีน้าเงิน 1 ลูก หยิบลูกบอล 2 ลูก

จากกล่องใบน้ีอยา่ งสุ่ม ความน่าจะเป็นที่หยบิ ไดล้ ูกบอลสีเดียวกนั มีคา่ ตรงกบั คา่ ในขอ้ ใด
1. 15 2. 145 3. 25 4. 1151

49