etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 ตรรกศาสตร ์
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 60 ประพจน์ (statement) ค่อ ประโยคĀร่อข้อความที�เป็นจริงĀร่อเท็จอย่างใดอย่างĀนึ�งเท่านั้น ซึ�งประโยคĀร่อข้อความดังกล่าวจะอย่่ในร่ปบอกเล่าĀร่อปฏิเÿธก็ได้ การเป็นจริงĀร่อเท็จของแต่ละประพจน์เรียกว่า ค่าความจริง (truth value) ของประพจน์ ประโยคĀร่อข้อความที�ไม่อย่่ในร่ปบอกเล่าĀร่อปฏิเÿธจะไม่เป็นประพจน์เช่น ประโยคคำถาม ประโยค คำÿั�ง ประโยคขอร้อง คำอ่ทานĀร่อแÿดงปรารถนา ตัวอยางประยeหรือcอeวามที่เปÌนประจน • โลกมีดวงจันทร์เป็นบริวาร 1 ดวง (จริง) • 27 เป็นจำนวนเฉพาะ (เท็จ) • 11 + 1 ≠ 1 + 11 (เท็จ) • ∅ ⊂ A (จริง) • 15 – 2 = 11 (เท็จ) • ขอนแก่นอย่่ในภาคอีÿานของประเทýไทย (จริง) ตัวอยางประยeหรือcอeวามที่¡มเปÌนประจน • ÿบายดีĀร่อเปล่า • กินข้าวไĀม • Ā้ามÿ่งเÿียงดัง • อยากพักเĀล่อเกิน • ช่วยทำการบ้านใĀ้Āน่อย 2.1 7รLพ$5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 61 เขียน ✓ Āน้าข้อความที�เป็นประพจน์และĀาค่าความจริงของประพจน์ เขียน ✗ Āน้าข้อความที�ไม่เป็นประพจน์ แบบฝกหัดที่ 1 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9 14 5 10 15 1, 2, 3, 4, … {a, b, c} = {3, 4, 5} y + 1 = 1 y = 2x – 1 เป็นÿมการเÿ้นตรง A ∩ B = B ∩ A x + 9 = 0 เม่�อ x = –9 ทำไมไม่ไปโรงเรียน กร่ณาปิดประต่เบาๆ {1, 5} ∩ {{5}} = ∅ โปรดอย่่ในความÿงบ a ∈ {{a}, b, c} 0 เป็นจำนวนค่่ 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแÿดงวิธีทำ 18 Āาร 190 ได้ลงตัว
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 62 การเช่�อมประพจน์จะใช้ตัวเช่�อม (connective) “และ” “Āร่อ” “ถ้า...แล้ว...” “ก็ต่อเม่�อ” “ไม่” เรียกประพจน์ที�นำมาเช่�อมด้วยตัวเช่�อมต่างๆ ว่า ประพจน์ย่อย (atomic statement) Āร่อ ประพจน์ เชิงเดียว (simple statement) เรียกประพจน์ที�เกิดจากการเช่�อมประพจน์เชิงเดียวด้วยตัวเช่�อมว่า ประพจน์เชิงประกอบ (compound statement) เพ่�อความÿะดวกในการเช่�อมประพจน์จะใช้ตัวอักþร ภาþาอังกฤþตัวพิมพ์เล็ก เช่น p, q, r, s แทนประพจน์ที�นำมาเช่�อม ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆ แล้วค่าความจริงของ p เป็นได้2 กรณี ค่อ จริง (true) ซึ�งแทนด้วย ÿัญลักþณ์T Āร่อ เท็จ (false) ซึ�งแทนด้วยÿัญลักþณ์F แÿดงได้ดังตาราง P T F เรียกตารางซึ�งแÿดงเกี�ยวกับค่าความจริงที�เกิดขึ้นได้ทั้งĀมดของประพจน์p ว่า ตารางค่าความจริง (truth table) ของ p พิจารณาค่าความจริงของประพจน์p และ q ที�เป็นไปได้ทั้งĀมดดังตาราง p q T T T F F T F F จะเĀ็นว่าค่าความจริงที�เกิดขึ้นได้ทั้งĀมดมี4 กรณี 2.2.1 การเkื่อมประจน ดวยตัวเkื่อม ·และ¸ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆแลว ้การเช่�อมประพจน์p กับประพจน์q ดวยต้วัเช่�อม “และ” (and) ได้ประพจน์ใĀม่เป็น “p และ q” ซึ�งเขียนแทนด้วยÿัญลักþณ์p ∧ q และเขียนตารางค่าความจริงของ p ∧ q ได้ดังนี้ 2.2 fflารเ&S่Iม7รLพ$5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 63 p q p ∧ q T T T T F F F T F F F F ในการเช่�อมประพจน์ด้วย “และ” จะมีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ทั้งค่่ต้องเป็นจริงเท่านั้น ใĀ้ P แทน 3 × 3 = 32 q แทน (–2)2 = 4 r แทน 32 = 6 จงĀาค่าความจริงของ 1. p ∧ q 2. p ∧ r 3. q ∧ r 4. r ∧ q วิธีทำ ค่าความจริงของ p, q และ r เป็น จริง (T), จริง (T) และเท็จ (F) ตามลำดับ จะได้ 1. p ∧ q ➮ T ∧ T ➮ T มีค่าความจริงเป็นจริง 2. p ∧ r ➮ T ∧ F ➮ F มีค่าความจริงเป็นเท็จ 3. q ∧ r ➮ T ∧ F ➮ F มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. r ∧ q ➮ F ∧ T ➮ F มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2.2.2 การเkื่อมประจน ดวยตัวเkื่อม ·หรือ¸ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แลว ้การเช่�อมประพจน์p กับประพจน์q ดวยต้วัเช่�อม “Āร่อ” (or) ได้ประพจน์ใĀม่เป็น “p Āร่อ q” ซึ�งเขียนแทนด้วยÿัญลักþณ์p ∨ q และเขียนตารางค่าความจริงของ p ∨ q ได้ดังนี้ p q p ∨ q T T T T F T F T T F F F ในการเช่�อมประพจน์ด้วยตัวเช่�อม “Āร่อ” จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่�อประพจน์ย่อยมีค่าความจริง เป็นเท็จเท่านั้น ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 64 ใĀ้ p แทน 2 + 3 = 5 q แทน 2 เป็นจำนวนตรรกยะ r แทน 3 Āาร 25 ลงตัว จงĀาค่าความจริงของ 1. p ∨ q 2. p ∨ r 3. q ∨ r 4. r ∨ p วิธีทำ พบว่าค่าความจริงของ p, q และ r เป็น จริง (T), เท็จ (F) และเท็จ (F) ตามลำดับ จะได้ 1. p ∨ q ➮ T ∨ F ➮ T มีค่าความจริงเป็นจริง 2. p ∨ r ➮ T ∨ F ➮ T มีค่าความจริงเป็นจริง 3. q ∨ r ➮ F ∨ F ➮ F มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. r ∨ p ➮ F ∨ T ➮ T มีค่าความจริงเป็นจริง 2.2.3 การเkื่อมประจน ดวยตัวเkื่อม ·w า...แลว...¸ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเช่�อมประพจน์p กับประพจน์q ด้วยตัวเช่�อม “ถ้า...แล้ว...” (if.. then...) ได้ประพจน์ใĀม่เป็น “ถ้า p แล้ว q” ซึ�งเขียนแทนด้วยÿัญลักþณ์p → q และเขียนตารางค่าความจริงของ p → q ได้ดังนี้ p q p → q T T T T F F F T T F F T การเช่�อมประพจน์ด้วย ถ้า...แล้ว... ค่าความจริงของประพจน์ใĀม่จะเป็นเท็จกรณีเĀต่เป็นจริงและ ผลเป็นเท็จเท่านั้น ใĀ้ p แทน 8 เป็นจำนวนค่่ q แทน 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ r แทน {1} ∈ {1, 2, 3} จงĀาค่าความจริงของ 1. p → q 2. p → r 3. q → r 4. r → q ตัวอยาง ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 65 วิธีทำ พบว่าค่าความจริงของ p, q และ r เป็น จริง (T), จริง (T), และเท็จ (F) ตามลำดับ จะได้ 1. p → q ➮ T → T ➮ T 2. p → r ➮ T → F ➮ F 3. q → r ➮ T → F ➮ F 4. r → q ➮ F → T ➮ T 2.2.4 การเkื่อมประจน ดวยตัวเkื่อม ·ก ¤ ตอเมื่อ¸ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว การเช่�อมประพจน์p กับประพจน์q ด้วยตัวเช่�อม “ก็ต่อเม่�อ” (if and only if) ได้ประพจน์ใĀม่เป็น “p ก็ต่อเม่�อ q” ซึ�งเขียนแทนด้วยÿัญลักþณ์p ↔ q และเขียน ตารางค่าความจริงของ p ↔ q ได้ดังนี้ p q p ↔ q T T T T F F F T F F F T การเช่�อมประพจน์ด้วย “ก็ต่อเม่�อ” ประพจน์ใĀม่จะเป็นจริงกรณีที�ประพจน์ที�นำมาเช่�อมกันเป็นจริง ทั้งค่่Āร่อเป็นเท็จทั้งค่่ ใĀ้ p แทน 1 ∈ {1, 2} q แทน 5 ∈ {2, 3} r แทน ∅ ⊄ {4, 5, 6} จงĀาค่าความจริงของ 1. p ↔ q 2. p ↔ r 3. q ↔ r 4. r ↔ q วิธีทำ พบว่าค่าความจริงของ p, q และ r เป็นจริง (T), เท็จ (F) และ เท็จ (F) จะได้ 1. p ↔ q ➮ T ↔ F ➮ F 2. p ↔ r ➮ T ↔ F ➮ F 3. q ↔ r ➮ F ↔ F ➮ T 4. r ↔ q ➮ F ↔ F ➮ T ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 66 2.2.5 นิเสycองประจน ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว นิเÿธ (negation) ของ p เขียนแทนด้วยÿัญลักþณ์~p และเขียน ตารางค่าความจริงของ ~p ได้ดังนี้ p ~p T F F T ตัวอยาง 1. ถ้า p แทนประพจน์“{1} ∪ {2} = {1, 2}” แล้ว ~p Āร่อประพจน์“{1} ∪ {2} ≠ {1, 2}” มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะค่าความจริงของ p ค่อ จริง 2. ถ้า q แทนประพจน์“–1 เป็นคำตอบของÿมการ x 2 + 1 = 0” แล้ว ~q Āร่อประพจน์ “–1 ไม่เป็นคำตอบของÿมการ x 2 + 1 = 0” มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะค่าความจริงของ q ค่อ เท็จ
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 67 แบบฝกหัดที่ 1 จงĀาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1 6 2 7 3 4 5 3 เป็นจำนวนจริง แต่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 8 เป็นจำนวนค่่ ก็ต่อเม่�อ 12 เป็นจำนวนคี� _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า π เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว π เป็นจำนวนจริง _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเม่�อ 7 มีตัวประกอบค่อ 1 กับ 7 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ร่ปÿามเĀลี�ยมมี4 ด้าน Āร่อ 5 + 5 = 9 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ร่ปÿี�เĀลี�ยมจัต่รัÿเป็นร่ปÿี�เĀลี�ยมผ่นผ้า และร่ปÿี�เĀลี�ยมผ่นผ้าเป็นร่ปÿี�เĀลี�ยมจัต่รัÿ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 2 Āาร 21 ลงตัว แล้ว 21 เป็นจำนวนค่่ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 68 11 12 8 13 9 14 10 15 11 + 11 ≠ 22 Āร่อ 122 = 144 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ a ∈ {a, b, c} Āร่อ c ∈ {a, b, c} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 1 ปี มี15 เด่อน แล้ว 1 ÿัปดาĀ์ มี7 วัน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 12 Āาร 48 ลงตัว ก็ต่อเม่�อ มีจำนวนเต็มค่ณกับ 12 แล้วได้48 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 4 + 5 = 10 ก็ต่อเม่�อ 7 > –1 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 9 > 10 แล้ว 92 > (–10)2 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 7 และ 8 เป็นÿมาชิกของ {1, 5, 7} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ π เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 22 7
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 69 จงĀานิเÿธของประโยคต่อไปนี้ และบอกค่าความจริงของประพจน์ที�เป็นนิเÿธของ ประพจน์ที�กำĀนดใĀ้แบบฝกหัดที่ 2 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 π เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ Ā.ร.ม. ของ 6 กับ 12 เท่ากับ 12 _______________________________________________________________________ {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {4} _______________________________________________________________________ (18 + 12)3 Āารด้วย 102 ลงตัว _______________________________________________________________________ 11 เป็น 2 เท่าของ 22 _______________________________________________________________________ ∅ ∪ {0} ≠ {∅, 0} _______________________________________________________________________ 5 Āาร 35 ได้ลงตัว _______________________________________________________________________ 7 เป็นตัวประกอบของ 231 _______________________________________________________________________ 5 + 12 = 10 + 7 _______________________________________________________________________ {a, b, c} = {0, 1, 2} _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 70 แบบฝกหัดที่ 3 1 2 ใĀ้ p แทนข้อความ “อารีเป็นเด็กเรียนดี” q แทนข้อความ “อารีตั้งใจเรียน” จงเขียนประพจน์ต่อไปนี้ใĀ้อย่่ในร่ปข้อความ 1.1 ~p _________________________________________________________________ 1.2 p ∩ q _________________________________________________________________ 1.3 p → ~q _________________________________________________________________ 1.4 ~p ∨ ~q _________________________________________________________________ 1.5 p ↔ q _________________________________________________________________ 1.6 ~p ∨ (p → q) _________________________________________________________________ ใĀ้ p แทนข้อความ 5 เป็นจำนวนตรรกยะ q แทนข้อความ ( 5 ) 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ จงเขียนข้อความต่อไปนี้ในร่ปÿัญลักþณ์และĀาค่าความจริง 2.1 5 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ และ ( 5 ) 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ _________________________________________________________________ 2.2 5 เป็นจำนวนตรรกยะ Āร่อ ( 5 ) 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ _________________________________________________________________ 2.3 ถ้า ( 5 ) 2 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว 5 เป็นจำนวนตรรกยะ _________________________________________________________________ 2.4 5 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ก็ต่อเม่�อ ( 5 ) 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ _________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 71 ตารางค่าความจริงของประพจน์ช่วยในการตรวจÿอบค่าความจริงของประพจน์ที�ได้จากการเช่�อม ประพจน์ย่อย เม่�อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย การĀาค่าความจริงของประพจน์ที�มีตัวเช่�อมตั้งแต่ÿองตัวขึ้นไป ทำได้โดยĀาค่าความจริงของ ประพจน์เชิงประกอบในวงเล็บก่อน แต่ถ้าประพจน์เชิงประกอบนั้นไม่ได้ใÿ่วงเล็บ ใĀ้Āาค่าความจริงของ ประพจน์ที�มีตัวเช่�อม “~” ก่อน แล้วจึงĀาค่าความจริงของประพจน์ที�มีตัวเช่�อม “∧”, “∨” จากนั้นจึงĀา ค่าความจริงของประพจน์ที�มีตัวเช่�อม “→” และลำดับÿ่ดท้ายเป็นการĀาค่าความจริงของประพจน์ที�มี ตัวเช่�อม “↔” กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ และเท็จ ตามลำดับ จงĀาค่าความจริงของประพจน์(p ∧ q) ↔ r วิธีทำ จาก p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จะได้p ∧ q เป็นเท็จ จาก p ∧ q เป็นเท็จ และ r เป็นเท็จ จะได้(p ∧ q) ↔ r เป็นจริง ในการĀาค่าความจริงของประพจน์ที�มีตัวเช่�อมนั้น อาจทำได้รวดเร็วขึ้นโดยใช้แผนภาพ ดังตัวอย่าง ต่อไปนี้ กำĀนดใĀ้p, q, r และ s เป็นประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็น จริง จริง เท็จ และเท็จ ตามลำดับ จงĀาค่าความจริงของประพจน์~[(p → ~q) ∨ r] → (~r ∧ s) วิธีทำ กำĀนดใĀ้T แทนจริง และ F แทนเท็จ ~[(p → ~q) ∨ r] → (~r ∧ s) T F F T F F F F T F ดังนั้น ประพจน์~[(p → ~q) ∨ r] → (~r ∧ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ตัวอยาง ตัวอยาง 2.3 fflารGาคาคCาม$ริ#ffI#7รLพ$5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 72 กำĀนดใĀ้p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นจริง จริง จริง เท็จ และเท็จ ตามลำดับ จงĀาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ แบบฝกหัดที่ 1 ~s ∧ t ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (p → s) → t ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ [~(p ∧ s)] ∧ (~p ∧ q) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (s ↔ t) ↔ (~p ∧ r) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (q ∧ s) → (p → t) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ p → (q → r) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (s ∨ t) ∧ (s ∨ ~p) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ [(s ∧ r) ∨ t] → [p ∨ (q ∧ t)] ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ~p ∨ ~s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (~p ∨ q) → (s ∨ r) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 1 2 7 8 3 4 5 6 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 73 (s ↔ t) ↔ p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ [(p ∧ q) ∨ r] → (s ∨ t) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (p → q) → (q → p) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ p → (q ∧ r) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ p → (~p ∨ ~s) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ~(p ↔ q) ↔ (~p ↔ ~q) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ [~(p → q)] ∨ ~(s ↔ r) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (q → t) ↔ (~t → q) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (p → s) → (s ∧ t) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ (~p ∧ ~q) ∨ (s ∧ ~t) ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 11 16 12 1 13 18 14 19 15 20
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 74 กำĀนดใĀ้ประพจน์p ∧ q มีค่าความจริงเป็นจริง r → ~q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ s ∨ t มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาคว่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ แบบฝกหัดที่ 2 1 2 3 4 5 (~p ∨ q) → ~s _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p → (q → s) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~(~p) ∧ ~q → ~t _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~(p ∧ q) ↔ (~s ∨ t) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [p → (q → r)] ∧ (~s ∨ t) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 75 [(r ∧ ~q) ∨ s] ∧ ~t _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ t → (~s → q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p ∧ q) ∨ r] → [p ∨ (q ∧ r)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p → (~q ∧ t) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p ∧ ~(s ∨ ~q ∨ t) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 76 แบบฝกหัดที่ 3 จงĀาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ 1 2 3 4 5 (p ↔ q) ∧ ~p เม่�อ p เป็นจริง _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p ∧ (q → r) เม่�อ p เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∧ s) → (q ∧ r) เม่�อ p เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p → (q ∨ r) เม่�อ p เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ p) เม่�อ p เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 77 (p → q) ↔ (p ∨ q) เม่�อ p ∨ q เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∧ ~q) → r เม่�อ p ∨ q เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p → q) ↔ (~p ∨ q) เม่�อ p ↔ q เป็นจริง _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∨ q) → (r ∧ s) เม่�อ p เป็นจริง, r เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p → q) ↔ (q ∨ p) เม่�อ p → q เป็นเท็จ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 78 แบบฝกหัดที่ 4 กำĀนดใĀ้p, q, r และ s เป็นประพจน์ 1 6 2 3 4 5 ถ้า (p ∧ ~q) → (q ∨ ~r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของประพจน์p, q และ r _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า q ∨ [(q ↔ r) ∨ (r → s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของ q, r และ s _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า ~[~(p ∨ q) ∧ (~r ∧ s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของประพจน์p, q, r และ s _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของประพจน์ (p ∨ ~q) ↔ (~r → s) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า [(p ∧ q) ∧ r] → (p ∧ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของ p, q, r และ s _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า [~p ∨ (~q → r)] ∨ (~s → ~p) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของประพจน์ ~(p ∨ q) → (r ∨ s) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 79 พิจารณาประพจน์ที�มีตัวเช่�อม p ∧ q, p → q, p ↔ q, ~p และ (p ∧ q) → r เป็นต้น จะเĀ็นว่า ประพจน์เĀล่านี้มีประพจน์ย่อย p, q และ r และเรียก p, q และ r ว่าเป็นตัวแปรแทนประพจน์ใดๆ และ เรียกประพจน์ที�มีตัวเช่�อม เช่น p ∧ q, p ∨ q, ~p, p ↔ q เป็นต้น ว่าร่ปแบบประพจน์ ดังนั้นในการ พิจารณาค่าความจริงของประพจน์p, q, r จะต้องพิจารณาท่กกรณีที�เป็นไปได้เช่น • ถ้ามีประพจน์เดียว จะพิจารณาได้ทั้งĀมด 2 กรณี • ถ้ามีÿองประพจน์จะพิจารณาได้ทั้งĀมด 4 กรณี • ถ้ามีÿามประพจน์จะพิจารณาได้ทั้งĀมด 8 กรณีเป็นต้น ประพจน์เชิงประกอบที�ประกอบด้วยประพจน์ย่อย n ประพจน์ จะพิจารณาได้ทั้งĀมด 2n กรณี กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงÿร้างตารางค่าความจริงของ ~q ∧ (~p ∨ ~q) วิธีทำ ร่ปแบบของประพจน์(~q) ∧ (~p ∨ ~q) ประกอบด้วยประพจน์ย่อย ค่อ p และ q จึงมีกรณีเกี�ยวกับค่าความจริงที�อาจเกิดขึ้นได้ทั้งĀมด 4 กรณีจะได้ตารางค่าความจริงของ ~q ∧ (~p ∨ ~q) ดังนี้ p q ~p ~q ~p ∨ ~q ~q ∧ (~p ∨ ~q) T T F F F F T F F T T T F T T F T F F F T T T T ตัวอยาง 2.4 fflารสร า#ตารา#คาคCาม$ริ#
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 80 p q r ~q ~q → p (~q → p) → r T T T F T T T T F F T F T F T T T T T F F T T F F T T F T T F T F F T F F F T T F T F F F T F T กำĀนดใ ตัวอยาง Ā้p, q และ r เป็นประพจน์จงÿร้างตารางค่าความจริงของ (~q → p) → r วิธีทำ ร่ปแบบของประพจน์(~q → p) → r ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 3 ประพจน์ ค่อ p, q และ r จึงมีกรณีเกี�ยวกับค่าความจริงที�อาจเกิดขึ้นได้ทั้งĀมด 8 กรณีจะได้ตารางค่าความจริงของ (~q → p) → r ดังนี้
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 81 กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงÿร้างตารางแÿดงค่าความจริงของร่ปแบบ ของประพจน์ต่อไปนี้ แบบฝกหัดที่ 1 1 2 ~(p ∨ q) ∧ (q ∧ ~p) p q ~p p ∨ q ~(p ∨ q) q ∧ ~p ~(p ∨ q) ∧ (q ∧ ~p) T T T F F T F F (p → q) ↔ (~p ∨ q) p q ~p p → q ~p ∨ q (p → q) ↔ (~p ∨ q) T T T F F T F F (~p ∨ q) ↔ (q → p) p q ~p ~p ∨ q q → p (~p ∨ q) ↔ (q → p) T T T F F T F F [~(p ↔ q) ∧ (p ↔ ~q)] → p p q ~q p ↔ q ~(p ↔ q) p ↔ ~q ~(p ↔ q) ∧ (p ↔ ~q) [~(p ↔ q) ∧ (p ↔ ~q)] → p T T T F F T F F 3 4
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 82 6 5 (p → q) ↔ (~q → ~p) p q ~p ~q p → q ~q → ~p (p → q) ↔ (~q → ~p) T T T F F T F F (p ∨ ~q) → (~r ∨ q) p q r ~q ~r p ∨ ~q ~r ∨ q (p ∨ ~q) → (~r ∨ q) T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F [p → (~q ∧ r)] → [(p ∧ ~q) → ~r] 7 p q r ~p ~q ~r ~q ∧ r p ∧ ~q p → (~q ∧ r) (p ∧ ~q) → ~r [p → (~q ∧ r)] → [(p ∧ ~q) → ~r] T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 83 (~p ∨ r) ∧ (~q ∨ r) p q r ~p ~q ~p ∨ r ~q ∨ r (~p ∨ r) ∧ (~q ∨ r) T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F [p ∨ (~q ∧ r)] → (~p ∧ q) ~r → (~p ∨ q) p q r ~p ~r ~p ∨ q ~r → (~p ∨ q) T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 8 9 10 p q r ~p ~q ~q ∧ r p ∨ (~q ∧ r) ~p ∧ q [p ∨ (~q ∧ r)] → (~p ∧ q) T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 84 รูปแบบของประพจน์ที�ÿมมูลกันÿองร่ปแบบใดๆ จะต้องมีค่าความจริงเĀม่อนกันกรณีต่อกรณี ซึ�งÿามารถนำไปใช้แทนกันได้เช่น p ∧ q กับ q ∧ p เป็นร่ปแบบของประพจน์ที�ÿมม่ลกัน ซึ�งแÿดงการ ตรวจÿอบความÿมม่ลกันได้ดังนี้ p q p ∧ q q ∧ p T T T T T F F F F T F F F F F F จะเĀ็นว่า ค่าความจริงของ p ∧ q กับ q ∧ p ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p ∧ q ÿมม่ลกับ q ∧ p เขียนแทนด้วย p ∧ q ≡ q ∧ p วิธีการตรวจÿอบว่าประพจน์ÿองประพจน์ÿมม่ลกันĀร่อไม่ มี2 วิธี ดังนี้ 1. ใช้ตารางค่าความจริง 2. ใช้ร่ปแบบของประพจน์ที�ÿมม่ลกัน รปแบบcองประจน ที่สมมลกันที่eวรทราบ 1. ~(~p) ≡ p, ~(~(~p)) ≡ ~p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p, p ∧ q ≡ q ∧ p 3. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 4. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r 5. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 6. p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q 7. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q 8. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ~q ↔ ~p 9. p ∨ F ≡ p ∧ T ≡ p 10. p ∧ ~p ≡ F, p ∨ T ≡ T, p ∨ ~p ≡ T, p ∧ F ≡ F 11. p ∧ ~p ≡ F, p ∨ ~p ≡ T 2.5 รU7[66ffI#7รLพ$53Q่สมมUAfflM5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 85 กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่า ~(p ∧ q) ÿมม่ลกับ ~p ∨ ~q Āร่อไม่ วิธีทำ ÿร้างตารางค่าความจริงของ ~(p ∧ q) กับ ~p ∨ ~q ได้ดังนี้ p q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ~q ~p ∨ ~q T T T F F F F T F F T F T T F T F T T F T F F F T T T T จะเĀ็นว่า ค่าความจริงของ ~(p ∧ q) กับ ~p ∨ ~q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น ~(p ∧ q) ÿมม่ลกับ ~p ∨ ~q กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่า p → (q → r) ÿมม่ลกับ q → (p → r) Āร่อไม่ วิธีทำ เน่�องจาก p → (q → r) ≡ ~p ∨ (q → r) ≡ ~p ∨ (~q ∨ r) ≡ ~p ∨ ~q ∨ r และ q → (p → r) ≡ ~q ∨ (p → r) ≡ ~q ∨ (~p ∨ r) ≡ ~q ∨ ~p ∨ r ≡ ~p ∨ ~q ∨ r ดังนั้น ประพจน์p → (q → r) ÿมม่ลกับ q → (p → r) การตรวจÿอบว่าประพจน์ÿองประพจน์ที�อย่่ในร่ปข้อความÿมม่ลกันĀร่อไม่ÿามารถทำได้โดยเปลี�ยน ประพจน์ที�อย่่ในร่ปข้อความใĀ้อย่่ในร่ปÿัญลักþณ์แล้วพิจารณาว่าร่ปแบบของประพจน์ทั้งÿองÿมม่ลกัน Āร่อไม่ จงตรวจÿอบว่าประพจน์ÿองประพจน์ต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ “ถ้า xy = 0 แล้ว x = 0 Āร่อ y = 0” “ถ้า x ≠ 0 และ y ≠ 0 แล้ว xy ≠ 0” วิธีทำ ใĀ้ p แทน xy = 0 q แทน x = 0 และ r แทน y = 0 ตัวอยาง ตัวอยาง ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 86 ดังนั้น p → (q ∨ r) แทน ถ้า xy = 0 แล้ว x = 0 Āร่อ y = 0 และ (~q ∧ ~r) → ~p แทน ถ้า x ≠ 0 และ y ≠ 0 แล้ว xy ≠ 0 เน่�องจาก p → (q ∨ r) ≡ ~p ∨ (q ∨ r) ≡ (q ∨ r) ∨ ~p ≡ ~(~q ∧ ~r) ∨ ~p ≡ (~q ∧ ~r) → ~p ดังนั้น ประพจน์ทั้งÿองประพจน์จึงÿมม่ลกัน บทนิยาม ร่ปแบบของประพจน์ที�เป็นนิเÿธกัน ค่อ ร่ปแบบของประพจน์ÿองร่ปแบบที�มีค่าความจริงต่างกันท่กกรณี จากนิยาม ร่ปแบบประพจน์A เป็นนิเÿธของ ร่ปแบบประพจน์B ก็ต่อเม่�อ ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันท่กกรณี ก็ต่อเม่�อ ค่าความจริงของ A และ ~B เĀม่อนกันท่กกรณี ก็ต่อเม่�อ A ≡ ~B ดังนั้น A เป็นนิเÿธของ B ก็ต่อเม่�อ A ÿมม่ลกับ ~B จงĀานิเÿธของประพจน์~p → (q ∧ ~r) วิธีทำ จากประพจน์ ~p → (q ∧ ~r) ≡ ~(~p) ∨ (q ∧ ~r) ≡ p ∨ (q ∧ ~r) ดังนั้น นิเÿธของ ~p → (q ∧ ~r) เท่ากับ ~[~p → (q ∧ ~r)] ÿมม่ลกับ ~[p ∨ (q ∧ ~r)] ÿมม่ลกับ ~p ∧ (~q ∨ r) ดังนั้น ÿร่ปว่า นิเÿธของประพจน์~p → (q ∧ ~r) ค่อ ~p ∧ (~q ∨ r) ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 87 แบบฝกหัดที่ 1 จงเขียนข้อความที�ÿมม่ลกับข้อความต่อไปนี้ 1 6 2 3 4 5 ถ้ากมลด่�มÿ่ราĀร่อÿ่บบ่Āรี�แล้วกมลจะเป็นโรคĀัวใจ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ใĀ้ABC เป็นร่ปÿามเĀลี�ยมใดๆ ถ้า A + B = 120 ํ แล้ว C = 60° _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 30 ÷ 5 = 6 ก็ต่อเม่�อ 5 × 6 = 30 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้าปอขยันเรียนแล้วปอจะÿอบได้และถ้าปอฉลาดแล้วปอจะÿอบได้ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 2 × 3 ≠ 6 แล้ว 4 × 5 ≠ 20 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 2 × 3 = 0 แล้ว 2 = 0 Āร่อ 3 = 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ^ ^ ^
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 88 11 7 12 8 9 10 ถ้า x เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว x เป็นจำนวนอตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า |x| < 1 แล้ว –1 < x < 1 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 5 มากกว่า 1 ก็ต่อเม่�อ 5 – 1 เป็นจำนวนจริงบวก _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้าน้ำมันแพงและขาดแคลนแล้วคนจะเดินไปทำงาน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า 5 × 3 = 0 แล้ว 5 = 0 Āร่อ 3 = 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้าฉันมีเงินแล้วฉันไปเที�ยวและถ้าฉันไปเที�ยวแล้วฉันมีเงิน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 89 p ∧ ~q ≡ ~q ∧ ________ ~p ↔ q ≡ q ↔ ________ ~p ∨ q ≡ p → ________ p → q ≡ ________ → ________ ~p → q ≡ ________ ∨ ________ p ∨ q ≡ ________ → p p → ~q ≡ ________ → ________ ~p ∨ ~q ≡ ~(________) ~p ∨ q ≡ ________ ∨ q p → ~q ≡ ________ ∨ ________ p ∨ q ≡ ~q → ________ ~p ∨ q ≡ ________ → q ~p → ~q ≡ ________ ∨ ________ p ∨ q ≡ ________ → q ~p ∨ q ≡ ________ → ~p ~p → q ≡ ________ → ________ p ∨ q ≡ ~p → ________ ~p ∨ q ≡ ~q → ________ p ∨ ~q ≡ ~(________) ~(p ∨ ~q) ≡ ________ แบบฝกหัดที่ 2 จงเติมประพจน์ในช่องว่างทำใĀ้ร่ปแบบประพจน์ที�กำĀนดใĀ้ÿมม่ลกัน 1 11 3 13 5 15 7 1 9 2 12 4 14 6 16 8 18 10 19 20
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 90 กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่าร่ปแบบของประพจน์ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่แบบฝกหัดที่ 3 1 6 2 3 4 5 (p ∧ q) → r กับ p → (q → r) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~(p ∧ q) → r กับ ~r → (~p ∨ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~[p ∧ (q ∨ r)] กับ (~p ∨ ~q) ∧ (~p ∨ ~r) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p ↔ q กับ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p → (q ∧ r) กับ (p → q) ∧ (p → r) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~[(p → ~q) ∨ ~r] กับ r ∧ (p ∧ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 91 11 7 12 8 9 10 ~p → [q → (r ∨ p)] กับ (p ∨ ~q) ∨ r _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p → q) → (r ∧ q) กับ (p ∧ q) → (~r ∨ ~p) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p → q) ∧ [(q ∧ r) ∨ s] กับ [(~p ∨ q) ∧ (q ∧ r)] ∨ [(~p ∨ q) ∧ s] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∧ ~q) → (r ∧ ~r) กับ p → q _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ p ∨ (~q ∧ ~r) กับ (q → p) ∧ (r → p) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (~p ∧ ~q) → (p ∧ q) กับ (~p ∧ ~q) → (p ∨ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 92 แบบฝกหัดที จงพิจารณาว่าข้อความที�กำĀนดใĀ้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ ่ 4 1 2 3 4 A : ถ้าพ่อและแม่ของปอยมีเล่อดĀม่่ O แล้วปอยมีเล่อดĀม่่ O B : พ่อĀร่อแม่ของปอยไม่มีเล่อดĀม่่ O Āร่อปอยมีเล่อดĀม่่ O _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม และ x 2 เป็นจำนวนค่่ แล้ว x เป็นจำนวนค่่ B : ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม และ x เป็นจำนวนคี�แล้ว x 2 เป็นจำนวนคี� _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ไก่และเป็ดเป็นÿัตว์ปีกĀร่อนกและไก่เป็นÿัตว์ปีก B : ไก่เป็นÿัตว์ปีกและเป็ดĀร่อนกเป็นÿัตว์ปีก _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้า 2 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว 2 เป็นจำนวนค่่ B : 2 ไม่เป็นจำนวนค่่ และ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 93 A : ∈ Z ก็ต่อเม่�อ 5 ไม่เป็นตัวประกอบของ 12 B : ∈ Z แล้ว 5 ไม่เป็นตัวประกอบของ 12 และถ้า 5 ไม่เป็นตัวประกอบของ 12 แล้ว ∈ Z _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้าแป้งกินÿ้มตำ แล้วแป้งปวดท้องĀร่อท้องเÿีย B : ถ้าแป้งไม่ท้องเÿียและปวดท้อง แล้วแป้งกินÿ้มตำ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้าน้ำเน่าแล้วปลาตาย B : ถ้าน้ำไม่เน่าแล้วปลาไม่ตาย _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้า 12 ไม่น้อยกว่า 11 แล้ว 12 เป็นจำนวนค่่ B : 12 น้อยกว่า 11 Āร่อ 12 เป็นจำนวนค่่ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 5 12 5 12 5 12 5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 94 11 12 9 10 A : เด็กĀญิงใบบัวไปโรงเรียนก็ต่อเม่�อพ่อไปÿ่งที�โรงเรียน B : ถ้าเด็กĀญิงใบบัวไปโรงเรียน แล้วพ่อไปÿ่งที�โรงเรียน และถ้าพ่อไปÿ่งที�โรงเรียน แล้วเด็กĀญิงใบบัวไปโรงเรียน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ไม่เป็นความจริงที�ว่า 2 Āาร 5 ลงตัว และ 2 Āาร 6 ไม่ลงตัว B : 2 Āาร 5 ไม่ลงตัว Āร่อ 2 Āาร 6 ลงตัว _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a เป็นจำนวนนับ B : ถ้า a ไม่เป็นจำนวนนับ แล้ว a เป็นจำนวนนับ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ไม่เป็นความจริงที�ว่า 8 เป็นจำนวนค่่Āร่อจำนวนคี� B : 8 ไม่เป็นจำนวนค่่ Āร่อ 8 ไม่เป็นจำนวนคี� _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 95 แบบฝกหัดที่ 5 จงเขียนข้อความที�เป็นนิเÿธกับข้อความที�กำĀนดใĀ้ 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 ถ้า 3 + 6 = 9 แล้ว 92 = 81 _______________________________________________________________________ a เป็นจำนวนตรรกยะĀร่ออตรรกยะ _______________________________________________________________________ 6 เป็นจำนวนเต็มค่่ และ 7 เป็นจำนวนเต็มคี� _______________________________________________________________________ 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ _______________________________________________________________________ A ∩ B = A ก็ต่อเม่�อ A ⊂ B _______________________________________________________________________ ถ้า ab เป็นจำนวนคี�และ b เป็นจำนวนค่่ แล้ว ab เป็นจำนวนค่่ _______________________________________________________________________ ถ้า (x + 1)2 ≥ 0 แล้ว x ∈ R _______________________________________________________________________ ถ้า a × b = 1 แล้ว a กับ b เป็นอินเวอร์ÿการค่ณซึ�งกันและกัน _______________________________________________________________________ 8 ≥ 9 Āร่อ 7 < 11 _______________________________________________________________________ 1 เป็นจำนวนเต็มและจำนวนเฉพาะ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 96 แบบฝกหัดที จงตรวจÿอบว่าร่ปแบบประพจน์A กับ B เป็นนิเÿธกันĀร่อไม่ ่ 6 1 2 3 4 5 A : ~(p → q) B : p ∧ ~q _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : ~q → ~p B : p ∧ ~q _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ∧ q) → r B : (~p ∧ ~q) ∨ r _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : p ↔ q B : (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : (p ∨ q) → r B : (p ∨ q) ∧ r _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 97 A : ~q → ~p B : ~p → ~q _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : (p ∧ ~q) → (r ∧ ~r) B : ~(p → q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : p → (q ∨ r) B : p ∧ ~q ∧ ~r _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : p → (q ∨ r) B : (~r ∧ p) → ~q _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ A : p ∨ (q ∧ r) B : ~p ∧ (~q ∨ ~r) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 98 บทนิยาม ร่ปแบบของประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นจริงท่กกรณีเรียกว่า ÿัจนิรันดร์ การตรวจสอบeวามเปÌนสัจนิรันดรcองประจน 1. ใช้ตารางค่าความจริง โดยการÿร้างตารางด่ค่าความจริง ถ้าเป็นจริงท่กกรณีแÿดงว่าประพจน์นั้น เป็นÿัจนิรันดร์ 2. เม่�อร่ปแบบของประพจน์อย่่ในร่ป “p → q” และ “p ↔ q” ใĀ้p และ q เป็นประพจน์ ถ้าร่ปแบบของประพจน์ที�พิจารณาเป็น p → q จะพิจารณาว่าร่ปแบบประพจน์p → q มีโอกาÿ เป็นเท็จได้เพียงกรณีเดียวเท่านั้น ค่อ เม่�อเĀต่เป็นจริง และผลเป็นเท็จ Āลักในการตรวจÿอบ อาจจะใĀ้p เป็นจริง แล้วพิจารณาค่าความจริงของ q Āร่อใĀ้q เป็นเท็จแล้ว พิจารณาค่าความจริงของ p ซึ�งถ้าไม่อย่่ในร่ป T → F แÿดงว่า p → q เป็นÿัจนิรันดร์ ถ้าร่ปแบบประพจน์เป็น p ↔ q จะใช้ความร่้เร่�องการÿมม่ลของประพจน์มาพิจารณา กล่าวค่อ p ↔ q เป็นÿัจนิรันดร์แÿดงว่า ประพจน์p และ q ÿมม่ลกัน นั�นค่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน แÿดงว่า p ↔ q ต้องมีค่าความจริงเป็นจริงแน่นอนĀร่อ เป็นÿัจนิรันดร์ 3. วิธีการĀาข้อขัดแย้ง ใĀ้พิจารณาว่า ประพจน์นั้นมีโอกาÿเป็นเท็จĀร่อไม่ ถ้าเป็นเท็จได้แÿดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็น ÿัจนิรันดร์เพราะÿัจนิรันดร์ต้องเป็นจริงท่กกรณี ÿมมติใĀ้ประพจน์นั้นเป็นเท็จ Āลังจากนั้นใĀ้Āาค่าความจริงของประพจน์ย่อย แล้วด่ว่าประพจน์ย่อย ขัดแย้งกันĀร่อไม่ ถ้าขัดแย้งกันก็ไม่มีโอกาÿเป็นเท็จได้ ดังนั้นประพจน์นั้น ต้องเป็นจริงแน่นอน Āร่อเป็น ÿัจนิรันดร์นั�นเอง ถ้าไม่ขัดแย้งกัน แÿดงว่าประพจน์นั้นมีโอกาÿเป็นเท็จ แÿดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นÿัจนิรันดร์ 2.6 สM$5ิรM50ร }ɶÊÉÄÁļÎ~
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 99 จะเĀ็นว่าร่ปแบบของประพจน์[(p → q) ∧ ~q] → ~p เป็นจริงท่กกรณี ดังนั้น [(p → q) ∧ ~q] → ~p เป็นÿัจนิรันดร์ กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่าประพจน์[(p → q) ∧ p] → q เป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ วิธีทำ ตรวจÿอบโดยวิธีĀาข้อขัดแย้ง ÿมมติว่า [(p → q) ∧ p] → q เป็นเท็จ [(p → q) ∧ p] → q F T F T T T F F ดังนั้น ร่ปแบบของประพจน์[(p → q) ∧ p] → q เป็นÿัจนิรันดร์ กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่าประพจน์~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ วิธีทำ ใช้ความร่้เร่�องการÿมม่ลของประพจน์ในการตรวจÿอบ พิจารณาประพจน์ในร่ป p ↔ q ถ้า p ≡ q แÿดงว่า p ↔ q เป็นÿัจนิรันดร์ จาก ~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) ~(p → q) ≡ ~(~p ∨ q) ≡ p ∧ ~q ดังนั้น ร่ปแบบของประพจน์~(p → q) ↔ (p ∧ ~q) เป็นÿัจนิรันดร์ ตัวอยาง ตัวอยาง ตัวอยาง กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงแÿดงว่า [(p → q) ∧ ~q] → ~p เป็นÿัจนิรันดร์ วิธีทำ ÿร้างตารางค่าความจริงของ [(p → q) ∧ ~q] → ~p ได้ดังนี้ p q p → q ~q (p → q) ∧ ~q ~p [(p → q) ∧ ~q] → ~p T T T F F F T T F F T F F T F T T F F T T F F T T T T T ขัดแย้งกัน
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 100 กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงตรวจÿอบร่ปแบบของประพจน์ที�กำĀนดใĀ้ ว่าเป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ โดยใช้ตารางค่าความจริง แบบฝกหัดที่ 1 1 2 [(p ∨ q) ∧ ~p] → q p q p ∨ q ~p (p ∨ q) ∧ ~p [(p ∨ q) ∧ ~p] → q T T T F F T F F [p ∧ (p → q)] → q p q p → q p ∧ (p → q) [p ∧ (p → q)] → q T T T F F T F F (p ∧ q) → (p ∨ q) p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) T T T F F T F F 3 ดังนั้น____________________________________________________________________ ดังนั้น____________________________________________________________________ ดังนั้น____________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 101 (p → q) ∨ (q → p) p q p → q q → p (p → q) ∨ (q → p) T T T F F T F F [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) p q r p → q q → r p → r [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F ดังนั้น____________________________________________________________________ ดังนั้น____________________________________________________________________ 4 5
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 102 กำĀนดใĀ้p, q, r และ s เป็นประพจน์จงตรวจÿอบร่ปแบบของประพจน์ที�กำĀนดใĀ้ ว่าเป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่โดยใช้วิธีการĀาข้อขัดแย้ง แบบฝกหัดที่ 2 1 2 3 4 5 [(p → q) ∧ ~q] → ~p _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p → (q ∨ r)) ∧ (~q ∧ ~r)] → ~p _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∨ q)] → (r ∨ s) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p → q) ∧ (q → r)] → (p ↔ r) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p ∧ ~q) → ~p] → (p → q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 103 {[~(p ∧ q) → (r ∨ q)] ∧ ~(p ∧ q)]} → (r ∨ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p → r) ∧ (s → q) ∨ (p ∨ ~p)] → (r → s) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [~p → (q ∨ r)] ∨ [q ↔ ~(p ∧ r)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (~p → ~q) ∨ (p ↔ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (~p → q) → (p ∧ ~p) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 104 1 2 3 4 5 ~(p ↔ q) ↔ (p ↔ ~q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p ∧ q) → ~r] ∨ ~[(p ∧ q) → ~r] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงตรวจÿอบร่ปแบบของประพจน์ที�กำĀนดใĀ้ว่า เป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ โดยใช้ความร่้เร่�องการÿมม่ล แบบฝกหัดที่ 3
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 105 [~(p ∨ q) → (p ∧ q)] ↔ [~(p ∧ q) → (p ∨ q)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ [p → (q → r)] ↔ [q → (r → p)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~(p ∧ ~p) ∨ (p ∨ q) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 106 การอ้างเĀตุผล ค่อ การอ้างว่า เม่�อมีประพจน์p1, p2, ..., pn ช่ดĀนึ�ง แล้วÿามารถÿร่ปประพจน์C ประพจน์Āนึ�งได้ การอ้างเĀต่ผลประกอบด้วยÿ่วนÿำคัญÿองÿ่วน ค่อ ÿ่วนที�Āนึ�ง : เĀต่Āร่อÿิ�งที�กำĀนด ได้แก่ ประพจน์p1, p2, ..., pn ÿ่วนที�ÿอง : ผลĀร่อข้อÿร่ป ค่อ ประพจน์C เม่�อใชต้วัเช่�อม ∧ เช่�อมเĀต่ทั้งĀมดเข้าดวยก้ ัน และใช้เคร่�องĀมาย → เช่�อมÿว่นที�เป็นเĀต่กับผลไดด้ังนี้ (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → C การอ้างเĀต่ผลนี้จะÿมเĀต่ÿมผล (valid) Āร่อไม่ÿมเĀต่ÿมผล (invalid) มีวิธีการตรวจÿอบดังนี้ 1. ใช้การตรวจÿอบร่ปแบบประพจน์ (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → C เป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ • ถ้าร่ปแบบของประพจน์ (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → C เป็นÿัจนิรันดร์ แล้วการอ้างเĀต่ผลนี้ÿมเĀตุÿมผล • ถ้าร่ปแบบของประพจน์ (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → C ไม่เป็นÿัจนิรันด์ แล้วการอ้างเĀต่ผลนี้ไม่ÿมเĀตุÿมผล กำĀนดใĀ้p และ q เป็นประพจน์จงพิจารณาว่าการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ เĀต่ 1. p ∨ q 2. ~p ผล q วิธีทำ ขั�นที� 1 ใช้∧ เช่�อมเĀต่เข้าด้วยกัน และใช้→ เช่�อมÿ่วนที�เป็นเĀต่กับผล จะได้ร่ปแบบประพจน์ ค่อ [(p ∨ q) ∧ ~p] → q ขั�นที� 2 ตรวจÿอบร่ปแบบประพจน์ที�ได้ว่าเป็นÿัจนิรันดร์Āร่อไม่ ÿมมติใĀ้ [(p ∨ q) ∧ ~p] → q เป็นเท็จ [(p ∨ q) ∧ ~p] → q F T F T T F F F F ตัวอยาง ขัดแย้งกัน 2.7 fflารI า#เGตT8A
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 107 จากแผนภาพ แÿดงว่าร่ปแบบของประพจน์[(p ∨ q) ∧ ~q] → q เป็นÿัจนิรันดร์ ดังนั้นการอ้างเĀต่ผลนี้ÿมเĀต่ÿมผล 2. ใช้ร่ปแบบการอ้างเĀต่ผลที�ÿมเĀต่ÿมผลแล้ว ร่ปแบบการอ้างเĀต่ผลที�ÿมเĀต่ÿมผลที�นิยมใช้ในทางคณิตýาÿตร์ 1. Modus Ponens 2. Modus Tollens เĀต่ 1. p → q เĀต่ 1. p → q 2. p 2. ~q ผล q ผล ~p 3. Law of Syllogism 4. Low of contrapositive เĀต่ 1. p → q เĀต่ p → q 2. q → r ผล p → r ผล ~q → ~p 5. Disjunctive Syllogism 6. Constructive Dilemma เĀต่ 1. p ∨ q เĀต่ 1. p → r 2. ~q 2. q → s 3. p ∨ q ผล p ผล r ∨ s 7. Law of Simplifcation 8. Law of Addition เĀต่ p ∧ q เĀต่ p ผล p ผล p ∨ q กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงพิจารณาการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ เĀต่ 1. p → q 2. q → r 3. ~r ผล ~p วิธีทำ จากเĀต่ 2. q → r 3. ~r ผล ~q ตัวอยาง
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 108 จากเĀต่ 1. p → q ~q ผล ~p ดังนั้น การอ้างเĀต่ผลนี้ÿมเĀต่ÿมผล 3. วิธีการค้นĀาค่าความจริงของเĀต่ เน่�องจาก (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → C เป็นเท็จมีกรณีเดียว ค่อ p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn มีค่าความจริงเป็นจริง และ C มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นในการอ้างเĀต่ผลเราอาจจะ กำĀนดใĀ้เĀต่แต่ละเĀต่มีค่าความจริงเป็นจริง Āลังจากนั้นก็ตรวจÿอบค่าความจริงของ ประพจน์ที�เป็นผล • ถ้า p1, p2, ..., pn ทั้งĀมดเป็นจริง แล้วทำใĀ้C เป็นจริง จะได้ว่าการอ้างเĀต่ผลนั้น ÿมเĀต่ÿมผล • ถ้า p1, p2, ..., pn ทั้งĀมดเป็นจริง แล้วทำใĀ้C เป็นเท็จ จะได้ว่าการอ้างเĀต่ผลนั้น ไม่ÿมเĀต่ÿมผล กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์จงพิจารณาการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ เĀต่ 1. p ∧ q 2. q → r 3. ~r ∨ s ผล s วิธีทำ จากเĀต่ข้อ 1 ใĀ้p ∧ q เป็นจริง จะได้p และ q เป็นจริง จากเĀต่ข้อ 2 ใĀ้q → r เป็นจริง แทนค่า q เป็นจริง จะได้r เป็นจริง จากเĀต่ข้อ 3 ใĀ้~r ∨ s เป็นจริง แทน ~r เป็นเท็จ จะได้s เป็นจริง จะเĀ็นว่า ผลค่อ s มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น การอ้างเĀต่ผลนี้ ÿมเĀต่ÿมผล จงพิจารณาการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ เĀต่ 1. โอมซ่้อรถคันใĀม่Āร่อโอมขายรถคันเก่า 2. โอมไม่ซ่้อรถคันใĀม่ ผล โอมขายรถคันเก่า วิธีทำ ใĀ้ p แทนประพจน์โอมซ่้อรถคันใĀม่ q แทนประพจน์โอมขายรถคันเก่า เขียนข้อความข้างต้นในร่ปÿัญลักþณ์ได้ดังนี้ ตัวอยาง ตัวอยาง