etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 159 ∃x∃y[x2 = y2 ] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[x + y > y2 – 5] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[x2 > y2 – 7] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[x2 + y = y – 1 → x ∈ Qʹ] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[xy > 0 → (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 16 1 18 19 20
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 160 1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1. 2 และ 3 เป็นตัวประกอบของ 9 2. x2 – 2x + 1 ≥ 0 3. ประโยคนี้เป็นจริงĀร่อเท็จ 4. ∅ ⊂ {1, 2, 3} ข้อความในข้อใดเป็นประพจน์ ก. ข้อ 1 และ 2 ข. ข้อ 2 และ 3 ค. ข้อ 3 และ 4 ง. ข้อ 1 และ 4 2. ข้อใดไม่เป็นประโยคเปิด ก. P เป็นจำนวนเฉพาะ ข. 5 + 6 ≠ 12 ค. เขาเป็นน้องชายของดาราดัง ง. (x + 1)2 = 0 3. กำĀนดใĀ้(~p → q) ↔ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1. p ∧ ~q มีค่าความจริงเป็นจริง 2. p → q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. ข้อ 1 และ 2 ถ่กต้อง ข. ข้อ 1 ถ่กต้อง และ 2 ผิด ค. ข้อ 1 ผิด และ 2 ถ่กต้อง ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด 4. ถ้ากำĀนดใĀ้p ∨ q, p → r และ ~r เป็นข้อความที�มีค่าความจริงเป็นจริง แล้วข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. [~(p ∧ q)] ∨ (~p ∧ r) ข. (p ∨ r) ∨ (q ∧ ~p) ค. [~p ∧ (p → r)] → q ง. [q ∧ (r → p)] → p 5. กำĀนด (p ∧ q) → (r ∧ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p → ~r มีค่าความจริงเป็นเท็จ ค่าความจริงของ p, q, r และ s เรียงตามลำดับค่อข้อใด ก. T, T, T, T ข. T, T, T, F ค. T, T, F, T ง. T, T, F, F 6. ใĀ้p แทน 22 เป็นจำนวนค่่, q แทน 213 เป็นจำนวนคี�, r แทน 215 เป็นจำนวนคี� และ s แทน 24 เป็นจำนวนค่่ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1. ประพจน์[(p ∧ q) → r] → (p ∨ s) มีค่าความจริงเป็นจริง 2. ประพจน์[~(p ∧ ~s)] ∨ (q ∧ ~r) มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. ข้อ 1 และ 2 ถ่กต้อง ข. ข้อ 1 ผิด และ 2 ถ่กต้อง ค. ข้อ 1 ถ่กต้อง และ 2 ผิด ง. ข้อ 1 และ 2 ผิด แบบทดสอบทายบทที่ 2 จงเล่อกคำตอบที�ถูกที�ÿุด
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 161 7. นิเÿธของประพจน์(p → q) → r ค่อข้อใด ก. (p ∧ ~q) ∧ ~r ข. (p ∨ ~q) ∨ ~r ค. (~p ∨ q) ∧ ~r ง. (p ∧ ~q) ∨ ~r 8. กำĀนดเอกภพÿัมพัทธ์ค่อ {–2, –1, 0, 1, 2} ข้อความใดต่อไปนี้เป็นเท็จ ก. ∃x[– x + 6 = x] ข. ∃x[x2 = 2x] ค. ∀x[ = x – 2] ง. ∀x[x3 + 6 ≥ x] 9. “ถ้า a = 3 แล้ว a2 = 9” ÿมม่ลกับข้อความใดต่อไปนี้ ก. a ≠ 3 Āร่อ a2 = 9 ข. a ≠ 3 Āร่อ a2 ≠ 9 ค. a = 3 Āร่อ a2 = 9 ง. ถ้า a2 = 9 แล้ว a = 3 10. ประพจน์ใดต่อไปนี้ไม่เป็นÿัจนิรันดร์ ก. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) ข. [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r] ค. [p ↔ (q ↔ r)] ↔ [(p ↔ q) ↔ r] ง. [((p ∧ q) → r) ∧ (p → q)] → (p → r) 11. ข้อใดต่อไปนี้ผิด ก. ~(p ∧ ~r) ∨ ~q กับ q → (r ∨ ~p) เป็นข้อความที�ÿมม่ลกัน ข. กำĀนดใĀ้ประพจน์p มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ค่าความจริงของข้อความ [(q → p) ∨ ~r] ↔ r เป็นจริง ค. กำĀนดใĀ้เอกภพÿัมพัทธ์ค่อ {0, 1, 2, 3} ประโยค ∀x[ 3 – x ≥ 0] มีค่าความจริงเป็นจริง ง. กำĀนดใĀ้เอกภพÿัมพัทธ์ค่อเซตของจำนวนนับ ข้อความ (∃x[x2 – 1 เป็นจำนวนนับ] ∧ ∀x[x + 1 ≥ 0]) → ∀x[ < 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 12. ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. [~(p ∨ q) → (p ∧ q)] ↔ [~(p ∧ q) → (p ∨ q)] ข. ~(p ↔ q) ↔ (~p ↔ ~q) ค. (p ∧ q) → (p ↔ q) ง. ~(p → q) ↔ p ∧ ~q 13. กำĀนดใĀ้p, q และ r เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. r ∨ (p ∧ ~q) ไม่ÿมม่ลกับ ~(p → q) ∨ r ข. (~p ∨ q) ∨ r ไม่ÿมม่ลกับ (p → q) ∨ r ค. (p ∧ q) → r ไม่ÿมม่ลกับ ~r → (~p ∨ ~q) ง. [q ∧ (r ∨ ~r)] ∨ [q ∧ (q ∧ ~q)] ÿมม่ลกับ q x 2 − 4 x + 2 2 x
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 162 14. จงพิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ 1. (p ∨ ~q) ↔ (p ∧ q) 2. (p ∨ q) ↔ (p ∧ ~q) 3. (~q → ~p) ↔ (p → q) 4. (~q → p) ↔ (p ∨ q) ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นÿัจนิรันดร์ ก. ข้อ 1 และ 2 ข. ข้อ 2 และ 3 ค. ข้อ 1 และ 3 ง. ข้อ 3 และ 4 15. พิจารณาข้อความการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ 1. เĀต่ 1. ถ้าลอนดอนไม่อย่่ในอินเดีย แล้วกร่งเทพฯ ไม่อย่่ในไทย 2. กร่งเทพฯ อย่่ในไทย ผล ลอนดอนอย่่ในอินเดีย 2. เĀต่ 1. ถ้าฉันขยันเรียน ฉันจะไม่ÿอบตกวิชาคณิตýาÿตร์ 2. ฉันไม่ขยันเรียน ผล ฉันÿอบตกวิชาคณิตýาÿตร์ ข้อใดÿร่ปได้ÿมเĀต่ÿมผล ก. ข้อ 1 และ 2 ÿมเĀต่ÿมผล ข. ข้อ 1 เท่านั้นที�ÿมเĀต่ÿมผล ค. ข้อ 2 เท่านั้นที�ÿมเĀต่ÿมผล ง. ข้อ 1 และ 2 ไม่ÿมเĀต่ÿมผล 16. กำĀนดใĀ้เĀต่ 1. ~p → q 2. q → ~r 3. r ข้อใดÿร่ปได้ÿมเĀต่ÿมผล ก. p ข. ~p ค. q ง. ~r 17. กำĀนดใĀ้R เป็นเซตของจำนวนจริง Q เป็นเซตของจำนวนตรรกยะ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม และเอกภพÿัมพัทธ์เป็น R ข้อความใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง ก. ∀x[x ∈ Z ∨ |x + 3| > 8] ข. ∃x[x ∉ Q ∧ x > 2 ] → ∀x[x2 > 9 → x > 3] ค. ∃x[x2 + 5x – 1 < 4] ∧ ∀x[|x2 – 1| < 0 → x ≥ –2] ง. {x | x ∈ Q และ x เป็นเýþÿ่วนที�มีตัวเýþเป็นý่นย์} เป็นเซตอนันต์↔ ∃x[x2 ≤ 0 ∨ x 2 + x + 1 = 0]
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 163 18. ถ้าเอกภพÿัมพัทธ์ค่อเซตของจำนวนเต็มแล้วข้อใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. ∃x[x2 ≤ 0 Āร่อ x 2 + 1 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. ∃x[x + 4 = 0 และ x – 2 = –6] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ค. ∀x[x2 > 0] มีค่าความจริงเป็นจริง ง. ∀x[ถ้า x < 3 แล้ว x < 5] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 19. พิจารณาการใĀ้เĀต่ผลต่อไปนี้ 1. เĀต่ 1. p → (q → r) 2. p 3. ~t → q ผล r → t 2. เĀต่ 1. p → (q → ~s) 2. p ∧ s ผล q ข้อใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. 1 และ 2 ÿมเĀต่ÿมผล ข. 1 ÿมเĀต่ÿมผล 2 ไม่ÿมเĀต่ÿมผล ค. 1 ไม่ÿมเĀต่ÿมผล 2 ÿมเĀต่ÿมผล ง. 1 และ 2 ไม่ÿมเĀต่ÿมผล 20. นิเÿธของข้อความ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] ค่อข้อใดต่อไปนี้ ก. ∀x[P(x) → ~Q(x)] ข. ∃x[~P(x) → Q(x)] ค. ∀x[P(x) → Q(x)] ง. ∃x[Q(x) → P(x)] 21. ∀x[~P(x) → Q(x)] ÿมม่ลกับประพจน์ใด ก. ∀x[P(x) ∨ Q(x)] ข. ∀x[P(x) ∨ ~Q(x)] ค. ∃x[P(x) ∨ Q(x)] ง. ∃x[P(x) ∨ ~Q(x)] 22. นิเÿธของประพจน์∃x[x. x = x 2 ] ∧ ∀x[x เป็นจำนวนคี�] ค่อประพจน์ใด ก. ∀x[x. x ≠ x 2 ] ∧ ∃x[x เป็นจำนวนค่่] ข. ∀x[x. x = x 2 ] ∨ ∃x[x เป็นจำนวนค่่] ค. ∀x[x. x = x 2 ] ∧ ∃x[x เป็นจำนวนคี�] ง. ∀x[x. x ≠ x 2 ] ∨ ∃x[x ไม่เป็นจำนวนคี�] 23. เอกภพÿัมพัทธ์ในข้อใดที�ทำใĀ้ประโยคทั้ง 4 ประโยคต่อไปนี้เป็นจริงทั้งĀมด 1. ∀x[x(x + 1)(x – 2) = 0] 2. ∃x[2x = 1] 3. ∃x[x2 ≤ –x] 4. ∀x[x3 – x = 0] ก. {0, 1, 2} ข. {–1, 0, 1} ค. {0, –1} ง. {0, 1} 24. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นÿัจนิรันดร์ ก. [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] ข. [(p → r) ∨ (p → q)] ↔ [p → q ∧ r] ค. [(p ∨ q) → r] ↔ [p → (q → r)] ง. (p → q) → (~p ∧ ~q)
etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 164 25. ข้อความใดถ่กต้อง ก. กำĀนดเอกภพÿัมพัทธ์เท่ากับ {1, 2, 3} ข้อความ ∀x∀y[x + y < 6] เป็นจริง ข. กำĀนดเอกภพÿัมพัทธ์ค่อเซตของจำนวนเต็ม ข้อความ ∃x∃y[y = x 3 ] เป็นเท็จ ค. กำĀนดเอกภพÿัมพัทธ์ค่อ {2, 3} ข้อความ ∃x∃y[y = x 4 ] เป็นจริง ง. กำĀนดเอกภพÿัมพัทธ์ค่อ {–2, 2} ข้อความ ∀x∃y[x + y = 0] เป็นจริง 26. นิเÿธของข้อความ “ÿำĀรับ a ท่กตัว จะมีb บางตัว ซึ�งถ้า x < b แล้ว f(x) < a” ค่อข้อความใด ก. ÿำĀรับ a ท่กตัว จะมีb บางตัว ซึ�งถ้า x < b และ f(x) ≥ a ข. ÿำĀรับ a ท่กตัว จะมีb บางตัว ซึ�งถ้า x ≥ b แล้ว f(x) ≥ a ค. มีa บางตัว ซึ�งÿำĀรับ b ท่กตัว ถ้า x > b แล้ว f(x) < a ง. มีa บางตัว ÿำĀรับ b ท่กตัว โดยที� x < b และ f(x) ≥ a 27. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1. ∃x∀y[xy = 0 → (x = 0 ∨ y = 0)] เป็นนิเÿธกับ ∀x∃y[xy = 0 ∧ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)] 2. ~∃x∀y∃z[(x > 0 ∧ y ≤ 0) → (z2 ≥ 0 ∨ xy < z)] ÿมม่ลกับ ∀x∃y∀z[z2 < 0 ∧ xy ≥ z ∧ x > 0 ∧ y ≤ 0] 3. ข้อความ “ไม่จริงที�ว่า ผ่้Āญิงบางคนเม่�อไม่ÿวยแต่เก่ง แล้วจะไม่ได้แต่งงาน” ÿมม่ลกับข้อความ “ผ่้Āญิงท่กคนที�ไม่ÿวยแต่เก่งก็จะได้แต่งงาน” ข้อความที�กำĀนด ข้อความใดถ่กต้อง ก. ข้อ 1 และ 2 ข. ข้อ 1 และ 3 ค. ข้อ 2 และ 3 ง. ข้อ 1, 2 และ 3 28. ถ้า E แทนเซตของจำนวนเต็มบวกค่่, O แทนเซตของจำนวนเต็มบวกคี� และ P แทนเซตของจำนวนเฉพาะ แล้วประพจน์ใดต่อไปนี้เป็นจริง ก. ∀x[(x ∈ P) → (x ∈ O)] ข. ∀x[(x ∈ E) → (x2 + 1 ∈ P)] ค. ∃x[(x ∈ E) ∧ ( x ∈ P)] ง. ∃x[(x ∈ P) ∧ (x + 7 ∈ P)] 29. ถ้าเอกภพÿัมพัทธ์ค่อเซตของจำนวนจริงแล้วข้อความใดต่อไปนี้ถ่กต้อง ก. ∀x[x + x = x 2 ] เป็นจริง เพราะ 2 + 2 = 22 ข. ∀x[x + x = x 2 ] เป็นจริง เพราะ 1 + 1 ≠ 2 ค. ∀x[x + x = x 2 ] เป็นจริง เพราะ ∃x[x + x = x 2 ] เป็นจริง ง. ∀x[x + x = x 2 ] เป็นเท็จ เพราะ ∃x[x + x ≠ x 2 ] เป็นจริง 30. กำĀนดใĀ้เอกภพÿัมพัทธ์ค่อ {–1, 0, 1} ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง ก. ∀x∀y[x2 – y = y2 – x] ข. ∀x∀y[x2 – y ≠ y2 – x] ค. ∀x∃y[x2 – y = y2 – x] ง. ∃x∀y[x2 – y = y2 – x]