CH2_MAdd4_1

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 109 เĀต่ 1. p ∨ q 2. ~p ผล q ร่ปแบบของประพจน์ในการใĀ้เĀต่ผลนี้ค่อ [(p ∨ q) ∧ ~p] → q ÿมมติใĀ้[(p ∨ q) ∧ ~p] → q เป็นเท็จ [(p ∨ q) ∧ ~p] → q F T F T T T F F ขัดแย้งกัน จากแผนภาพแÿดงว่าร่ปแบบของประพจน์[(p ∨ q) ∧ ~p] → q เป็นÿัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเĀต่ผลนี้ÿมเĀต่ÿมผล

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 110 กำĀนดใĀ้p, q, r และ s เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่าการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ โดยใช้วิธีตรวจÿอบความขัดแย้ง แบบฝกหัดที่ 1 เĀต่ 1. p ∨ q 2. ~p ผล q ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p ∧ q 2. p → r 3. ~s → ~r ผล s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p ∧ q 2. p → (q → r) ผล r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. q → r 3. r → s 4. p ผล s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 1 2 3 4

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 111 เĀต่ 1. p → q 2. p → r 3. p ∧ s ผล r → s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~p → q 2. ~q ∨ r 3. ~r ผล p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~p → (q → ~r) 2. ~p ∨ s 3. ~t → q 4. ~s ผล r → t ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. ~r → p 3. s → ~r 4. q → ~t ผล s → ~t ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 7 8 5 6

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 112 กำĀนดใĀ้p, q, r, s และ t เป็นประพจน์จงตรวจÿอบการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ โดยใช้ร่ปแบบการอ้างเĀต่ผลที�ÿมเĀต่ÿมผลแล้ว แบบฝกหัดที่ 2 เĀต่ 1. ~p → r 2. ~q 3. p → q ผล r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. r → ~q 3. r ผล ~p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~q ∨ ~r 2. p 3. p → q ผล r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → (q → r) 2. p 3. ~s → q ผล r → s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 1 2 3 4

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 113 เĀต่ 1. ~p → ~q 2. p → (r ∨ s) 3. q ∨ t 4. ~t ผล ~r → s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~r → ~p 2. ~q 3. r → s 4. p ∨ q ผล s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → r 2. q → s 3. ~p → q ผล ~r → s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~r → (s → ~t) 2. ~r ∨ w 3. ~p → s 4. ~w 5. t ผล p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 7 8 5 6

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 114 กำĀนดใĀ้p, q, r, s และ t เป็นประพจน์จงตรวจÿอบว่าการอ้างเĀต่ผลต่อไปนี้ ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ โดยใช้วิธีการค้นĀาค่าความจริงของเĀต่ แบบฝกหัดที่ 3 เĀต่ 1. p → ~q 2. q ∨ r 3. ~r ผล p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. ~t → ~r 2. ~s 3. t → w 4. r ∨ s ผล w ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → (q ∨ r) 2. ~q 3. ~r ผล ~p ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. ~p → ~r 3. s → r 4. ~q ผล ~s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 1 2 3 4

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 115 เĀต่ 1. p → q 2. (q ∨ r) → p 3. ~q ผล ~r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. ~p → r 3. ~q ผล r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p ∧ q 2. q → r 3. ~r ∨ s ผล s ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ เĀต่ 1. p → q 2. q → ~r 3. r ผล ~p ∨ ~r ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 7 8 5 6

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 116 แบบฝกหัดที จงตรวจÿอบว่าการอ้างเĀต่ผลในแต่ละข้อต่อไปนี้ÿมเĀต่ÿมผลĀร่อไม่ ่ 4 1 2 3 เĀต่ 1. ถ้าโดมขับรถแล้วรถจะเÿีย Āร่อพ่อจะด่ 2. รถไม่เÿีย 3. พ่อไม่ด่ ผล โดมไม่ขับรถ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้าพาย่มาแล้วท้องฟ้าจะม่ดครึ้ม 2. ถ้าท้องฟ้าม่ดครึ้มแล้วคนเข้าบ้าน 3. พาย่มา ผล คนเข้าบ้าน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 Āร่อ b = 0 2. ถ้า a = 0 Āร่อ b = 0 แล้ว a + b ≠ 0 3. a + b = 0 ผล ab ≠ 0 Āร่อ a + b ≠ 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 117 เĀต่ 1. ถ้าแก้วขยันแล้วแก้วจะมีชีวิตที�ÿบาย 2. ถ้าแก้วไม่เล่นเกมแล้วแก้วจะขยัน 3. แก้วมีชีวิตไม่ÿบาย ผล แก้วเล่นเกม _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้ากมลอ่านĀนังÿ่อ แล้วพ่อด่โทรทัýน์ 2. ถ้ากมลนอนĀลับ แล้วพ่อไม่ด่โทรทัýน์ 3. กมลนอนĀลับ ผล กมลไม่อ่านĀนังÿ่อ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว a เป็นจำนวนจริง 2. ถ้า a2 = –1 แล้ว a ไม่เป็นจำนวนจริง 3. a2 = –1 ผล a ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 4 5

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 118 7 8 เĀต่ 1. ถ้าแป้งชอบวิชาเคมีแล้วปอชอบวิชาชีววิทยา 2. ปอไม่ชอบวิชาชีววิทยา Āร่อเก่งชอบวิชาคณิตýาÿตร์ 3. เก่งไม่ชอบวิชาคณิตýาÿตร์ ผล แป้งชอบวิชาเคมี _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้า a เป็นจำนวนค่่ แล้ว 2 Āาร a ลงตัว 2. a เป็นจำนวนค่่ Āร่อ จำนวนคี� 3. 2 Āาร a ไม่ลงตัว ผล a เป็นจำนวนคี� _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 119 9 10 เĀต่ 1. ถ้าอารีÿอบได้ที�Āนึ�ง แล้วพ่อจะใĀ้รางวัล 2. ถ้าพ่อใĀ้รางวัล แล้วอารีจะนำไปซ่้อของขวัญ 3. อารีÿอบได้ที�Āนึ�ง Āร่อพ่อจะใĀ้รางวัล ผล อารีจะซ่้อของขวัญ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เĀต่ 1. ถ้าฝนตกแล้วน้ำท่วมโรงเรียน 2. ถ้าฝนไม่ตกแล้วนักเรียนมาเรียนทันเวลา 3. ถ้าการเดินทางมาโรงเรียนไม่ÿะดวก แล้วนักเรียนมาเรียนไม่ทันเวลา 4. น้ำไม่ท่วมโรงเรียน ผล การเดินทางมาโรงเรียนÿะดวก _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 120 บทนิยาม ประโยคเปิด ค่อ ประโยคบอกเล่าĀร่อประโยคปฏิเÿธที�มีตัวแปรไม่เป็นประพจน์ และเม่�อแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดด้วยÿมาชิกในเอกภพÿัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ กำĀนดใĀ้เอกภพÿัมพัทธ์ ค่อ เซตของจำนวนจริง พิจารณา 2x + 1 = 7 จะเĀ็นว่าเป็นประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร x และเม่�อแทนตัวแปร x ด้วยจำนวนจริงใดๆ แล้วได้ประพจน์เช่น แทน x ด้วย 1 จะได้2(1) + 1 = 8 เป็นเท็จ แทน x ด้วย 2 จะได้2(2) + 1 = 5 เป็นเท็จ แทน x ด้วย 3 จะได้2(3) + 1 = 7 เป็นจริง ถ้าพิจารณาเฉพาะนิพจน์2x + 1 จะเĀ็นว่าไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเม่�อแทน x ด้วยจำนวนใดๆ แล้วไม่เป็นประพจน์ ÿัญลักþณ์แทนประโยคเปิดใดๆ ที�มีx เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x) การเช่�อมประโยคเปิดด้วยตัวเช่�อม ∧, ∨, →, ↔ และการเติม ~ ทำได้เช่นเดียวกับการเช่�อมประพจน์ 2.8 7รL\>คเ70

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 121 แบบฝกหัดที่ 1 ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์Āร่อประโยคเปิดĀร่อไม่ใช่ทั้งประพจน์และประโยคเปิด 1 6 2 7 3 4 5 ฉันทำงานบ้านตั้งแต่เช้า _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีx บางตัวซึ�ง x 2 – 2x = 5 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ กร่ณาÿ่งการบ้านภายในวันนี้ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ –2 เป็นคำตอบของÿมการ x 2 – 2x – 8 = 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ x เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เขาเป็นนายกรัฐมนตรีคนที� 30 ของประเทýไทย _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ จงĀาค่า x จากÿมการ x 2 – 9 = 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 122 11 12 8 13 9 14 10 15 7 < 8 และ 8 > 7 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เธอเป็นดาราĀนังที�มีช่�อเÿียงระดับโลก _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ เขาเป็นคนขยัน _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 3x – 1 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ {2} ⊂ {1, 2, {1, 2}} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ x + x = x 2 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ x 2 – 11 = (x – 11 )(x + 11 ) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ x ∈ {1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 123 ในวิชาคณิตýาาÿตร์มีการใช้ข้อความ • ÿำĀรับ x ท่กตัว • ÿำĀรับ x บางตัว เช่น ÿำĀรับ x ท่กตัวที�เป็นจำนวนจริงบวก ซึ�ง x 2 ≥ 0 ÿำĀรับ x บางตัวที�เป็นจำนวนเต็มบวก x + x = 2x เป็นต้น เรียกข้อความ “ÿำĀรับ...ท่กตัว” และ “ÿำĀรับ...บางตัว” ว่า ตัวบ่งปริมาณ (quantifer) แทนด้วยÿัญลักþณ์∀ และ ∃ ตามลำดับ โดยใช้ÿัญลักþณ์ ∀x แทน ÿำĀรับ x ท่กตัว ∃x แทน ÿำĀรับ x บางตัว ข้อความที�ประกอบด้วยÿ่วนที�เป็นตัวบ่งปริมาณและÿ่วนที�เป็นประโยคเปิด เรียกว่า ข้อความที�มี ตัวบ่งปริมาณ (quantifed statement) เช่น ÿำĀรับ x ท่กตัว x 2 ≥ 0 เขียนในร่ปประโยคÿัญลักþณ์ได้เป็น ∀x[x2 ≥ 0], U = R ÿำĀรับ x บางตัว x + 1 ≤ 1 เขียนในร่ปประโยคÿัญลักþณ์ได้เป็น ∃x[x + 1 ≤ 1], U = R การเขียนÿัญลักþณ์แทนประโยคเปิดที�มีตัวบ่งปริมาณ จะต้องเขียนเอกภพÿัมพัทธ์กำกับไว้เÿมอ ในกรณีที�เอกภพÿัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง มักจะละการเขียนเอกภพÿัมพัทธ์นั้น การเขียนตัวบ่งปริมาณที�มีตัวแปร 1 ตัว และตัวแปร 2 ตัว ในประโยคเปิด ข้อความตัวบ่งปริมาณ ÿัญลักþณ์ “ÿำĀรับ x ท่กตัว” ∀ “ÿำĀรับ x บางตัว” Āร่อ “มีx บางตัว” ∃ “ÿำรับ x ท่กตัว y ท่กตัว” ∀x∀y “ÿำĀรับ x บางตัว y บางตัว” ∃x∃y “ÿำĀรับ x บางตัว ÿำĀรับ y ท่กตัว” Āร่อ “มีx บางตัว ÿำĀรับ y ท่กตัว” ∃x∀y “ÿำĀรับ x ท่กตัว ÿำĀรับ y บางตัว” Āร่อ “ÿำĀรับ x ท่กตัว มีy บางตัว” ∀x∃y 2.9 ตMC6#7ริมาณ

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 124 จงเขียนข้อความต่อไปนี้ใĀ้อย่่ในร่ปÿัญลักþณ์เม่�อ U = R 1. ÿำĀรับ x ท่กจำนวน x 2 + 1 > 0 2. มีจำนวนจริง x บางตัวที� |x + 1| ≤ 1 3. มีจำนวนจริง x ซึ�ง 2x + 1 = 0 4. จำนวนเต็มท่กจำนวนเป็นจำนวนจริง วิธีทำ ใĀ้U = R 1. ∀x[x2 + 1 > 0] 2. ∃x[|x + 1| ≤ 1] 3. ∃x[2x + 1 = 0] 4. ∀x[x ∈ Z → x ∈ R] ข้อความนี้จะเขียนเป็น ∀x[x ∈ R] ไม่ได้เพราะจะĀมายถึงจำนวนจริงท่กจำนวนเป็นจำนวนจริง ตัวอยาง

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 125 แบบฝกหัดที่ 1 เขียนข้อความต่อไปนี้ในร่ปÿัญลักþณ์เม่�อ U = R 1 6 2 7 3 4 5 มีจำนวนจริง x บางจำนวนที�ยกกำลังÿองแล้วเท่ากับ 1 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีจำนวนจริง x อย่างน้อย 1 ค่า ซึ�งทำใĀ้|x| < 5 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริง x ท่กตัว ซึ�ง x 2 เป็นจำนวนจริง _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ จำนวนจริงท่กจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีจำนวนจริง x ซึ�ง x 2 ≤ 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริง x ท่กจำนวน ถ้า 2x ≠ 4 แล้ว x ≠ 2 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริงท่กจำนวนเม่�อยกกำลังÿองแล้วผลที�ได้เป็นจำนวนบวก _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 126 11 12 8 13 9 14 10 15 ÿำĀรับจำนวนจริง x ท่กจำนวน ถ้า x เป็นจำนวนนับ แล้ว x เป็นจำนวนเต็ม _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริง x ท่กค่าใน U จะมีจำนวนจริง y ใน U ที�ทำใĀ้x > 2y + 2 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริง x บางจำนวนที�น้อยกว่า 0 และ x 2 > 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับท่กๆ ค่าของ x และ y ใน U ที�ทำใĀ้x + y = 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีจำนวนจริงอย่างน้อยĀนึ�งจำนวนที�เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีx ใน U อย่างน้อย 1 ค่าที�ทำใĀ้x y = 1 ÿำĀรับท่กๆ ค่าของ y ใน U _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีจำนวนจริง x และ y ซึ�ง x 2 = y3 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับจำนวนจริง x และ y บางตัวที� y + x = x + y _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 127 แบบฝกหัดที่ 2 จงเขียนข้อความแทนข้อความที�อย่่ในร่ปÿัญลักþณ์ต่อไปนี้ เม่�อ U = R ∀x[8x = 0 → x = 0] _______________________________________________________________________ ∀x[(x – 1)2 = x 2 – 2x + 1] _______________________________________________________________________ ∀x∀y[x + y = xy] _______________________________________________________________________ ∃x[x ∈ Z+ ∧ x < 7] _______________________________________________________________________ ∃x[x ∈ Z → x ∈ N] _______________________________________________________________________ ∃x∃y[x + y = 0] _______________________________________________________________________ ∃x[x2 = 2 → x ∈ Qʹ] _______________________________________________________________________ ∃x[x ∈ Q ∧ x 2 ∉ Q] _______________________________________________________________________ ∀x∀y[xy = yx] _______________________________________________________________________ ∀x[x > 0 ↔ x 3 > 0] _______________________________________________________________________ ∀x[x ∈ R → x ∈ Z+ ] _______________________________________________________________________ ∃x∀y[xy = y] _______________________________________________________________________ 1 6 11 2 7 12 3 8 4 9 5 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 128 การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั�วไปจะพิจารณาแต่ละÿ่วนของ ประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้ ÿ่วนที� 1 ตัวบ่งปริมาณ ÿ่วนที� 2 ประโยคเปิด ÿ่วนที� 3 เอกภพÿัมพัทธ์ จะแทนประโยคเปิดที�มีตัวแปร x ด้วย P(x) ดังนั้น ประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณจะเขียนแทนด้วย ÿัญลักþณ์ ดังนี้ ∀x[P(x)] เม่�อเอกภพÿัมพัทธ์ค่อ U ∃x[P(x)] เม่�อเอกภพÿัมพัทธ์ค่อ U บทนิยาม ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่�อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยÿมาชิกแต่ละตัว ในเอกภพÿัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งĀมด ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเม่�อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยÿมาชิกอย่างน้อยĀนึ�งตัว ในเอกภพÿัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นเท็จ ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเม่�อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยÿมาชิกอย่างน้อยĀนึ�งตัว ในเอกภพÿัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นจริง ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเม่�อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยÿมาชิกแต่ละตัว ในเอกภพÿัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที�มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งĀมด 1. ถ้า ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง 2. ถ้า ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว เราไม่ÿามารถÿร่ปเกี�ยวกับค่าความจริงของ ∃x[P(x)] ได้ 3. ถ้า ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. ถ้า ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว เราไม่ÿามารถÿร่ปเกี�ยวกับค่าความจริงของ ∀x[P(x)] ได้ cอสังเกต 2.10 คาคCาม$ริ#ffI#7รL\>ค3 Q่มQตMC6#7ริมาณตMCเ0Q>C

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 129 จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1. ∀x[x + x = x 2 ] เม่�อ U = {0, 2} 2. ∀x[x + 1 = –1] เม่�อ U = Z 3. ∃x[x = x. x] เม่�อ U = Z 4. ∃x[x > 0] เม่�อ U = {–2, –1, 0} วิธีทำ 1. ใĀ้P(x) แทนประโยคเปิด x + x = x 2 เน่�องจาก P(0) แทน 0 + 0 = 02 ซึ�งเป็นจริง P(2) แทน 2 + 2 = 22 ซึ�งเป็นจริง จะเĀ็นว่าเม่�อแทน x ด้วยÿมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x + x = x 2 แล้วได้ประพจน์ที�เป็นจริงทั้งĀมด ดังนั้น ∀x[x + x = x 2 ] เป็นจริง เม่�อ U = {0, 2} 2. ใĀ้P(x) แทนประโยคเปิด x + 1 = –1 จะเĀ็นว่า 0 ∈ Z และ P(0) แทน 0 + 1 = –1 ซึ�งเป็นเท็จ นั�นค่อ มีÿมาชิกใน Z อย่างน้อยĀนึ�งตัว ค่อ 0 ที�เม่�อนำไปแทน x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที�เป็นเท็จ ดังนั้น ∀x[x + 1 = –1] เป็นเท็จ เม่�อ U = Z 3. เน่�องจากมีÿมาชิกใน Z บางตัว ที�เม่�อนำไปแทน x แล้วได้ประพจน์ที�เป็นจริง เช่น เม่�อแทน x ด้วย 1 ใน x = x. x จะได้1 = 1. 1 ซึ�งเป็นจริง ดังนั้น ∃x[x = x. x] เป็นจริง เม่�อ U = Z 4. ใĀ้P(x) แทนประโยคเปิด x > 0 เน่�องจาก P(–2) แทน –2 > 0 ซึ�งเป็นเท็จ P(–1) แทน –1 > 0 ซึ�งเป็นเท็จ P(0) แทน 0 > 0 ซึ�งเป็นเท็จ จะเĀ็นว่าเม่�อแทน x ด้วยÿมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x > 0 แล้วได้ประพจน์ที�เป็นเท็จทั้งĀมด ดังนั้น ∀x[x > 0] เป็นเท็จ เม่�อ U = {–2, –1, 0} จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1. ∀x[x2 > 1] → ∃x[x2 < 1] เม่�อ U = {–1, 0, 1} 2. ∀x[(x + 1 > 0) ∧ (x – 1 ≤ 0)] เม่�อ U = {0, 1, 2} วิธีทำ 1. พิจารณาประโยคเปิด x 2 > 1 แทน x ด้วยÿมาชิกแต่ละตัวของ U ตัวอยาง ตัวอยาง

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 130 จะได้ 1 > 1 ซึ�งเป็นเท็จ 0 > 1 ซึ�งเป็นเท็จ 1 > 1 ซึ�งเป็นเท็จ ดังนั้น ∀x[x2 > 1] เป็นเท็จ ........(1) พิจารณาประโยคเปิด x 2 < 1 แทน x ด้วยÿมาชิกแต่ละตัวของ U จะได้ 1 < 1 ซึ�งเป็นเท็จ 0 < 1 ซึ�งเป็นจริง 1 < 1 ซึ�งเป็นเท็จ ดังนั้น ∃x[x2 < 1] เป็นจริง ........(2) จาก (1) และ (2) ÿร่ปได้ว่า ∀x[x2 > 1] → ∃x[x2 – 1] เป็นจริง 2. พิจารณาประโยคเปิด x + 1 > 0 และ x – 1 ≤ 0 แทน x ด้วย 0 จะได้1 > 0 ซึ�งเป็นจริง และ –1 ≤ 0 ซึ�งเป็นจริง ดังนั้น 1 > 0 ∧ –1 ≤ 0 เป็นจริง แทน x ด้วย 1 จะได้2 > 0 ซึ�งเป็นจริง และ 0 ≤ 0 ซึ�งเป็นจริง ดังนั้น 2 > 0 ∧ 0 ≤ 0 เป็นจริง แทน x ด้วย 2 จะได้3 > 0 ซึ�งเป็นจริง และ 1 ≤ 0 ซึ�งเป็นเท็จ ดังนั้น 3 > 0 ∧ 1 ≤ 0 เป็นเท็จ ÿร่ปได้ว่า ∀x[(x + 1 > 0) ∧ (x – 1 < 0)] เป็นเท็จ eวามรšเิ่มเติม ค่าความจริงของประพจน์ที�มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว ใĀ้P(x, y) แทนประโยคเปิดที�มีx และ y เป็นตัวแปร และ U แทนเอกภพÿัมพัทธ์ 1. ∀x∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เม่�อแทนค่า x และ y ท่กๆ ค่าจาก U ในประโยคเปิด P(x, y) แล้วทำใĀ้ประโยค P(x, y) เป็นจริง ∀x∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่�อแทนค่า x และ y อย่างน้อย 1 ค่่ จาก U ในประโยคเปิด P(x, y) แล้วทำใĀ้ประโยค P(x, y) เป็นเท็จ 2. ∃x∃y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เม่�อแทนค่า x และ y ใน U อย่างน้อย 1 ค่่ แล้วทำใĀ้ประโยคเปิด P(x, y) เป็นจริง ∃x∃y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่�อแทนค่า x และ y ท่กๆ ค่าจาก U ในประโยคเปิด P(x, y) แล้วทำใĀ้ประโยค P(x, y) เป็นเท็จ 3. ∀x∃y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เม่�อท่กค่าของ x ใน U จะต้องมีy อย่างน้อย 1 ค่าใน U ที�ทำใĀ้P(x, y) เป็นจริง ∀x∃y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่�อมีx อย่างน้อย 1 ค่าใน U ซึ�งทำใĀ้P(x, y) เป็นเท็จ ÿำĀรับท่กๆ ค่าของ y ใน U

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 131 4. ∃x∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง เม่�อท่กๆ ค่าของ y ใน U จะต้องมีx อย่างน้อย 1 ค่าใน U ที�ทำใĀ้P(x, y) เป็นจริง ∃x∀y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่�อไม่มีx ใน U แม้แต่ค่าเดียว ที�ทำใĀ้P(x, y) เป็นจริง ÿำĀรับท่กๆ ค่าของ y ใน U จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1. ∀x∀y[x + y ≥ 0], U = {0, 1, 2} 2. ∃x∃y[x + 5 = y + 2], U = {0, 1, 2} วิธีทำ 1. พิจารณาประโยคเปิด x + y ≥ 0 แทน x ด้วย 0 จะได้∀y[y ≥ 0] เป็นจริงท่กค่าของ y แทน x ด้วย 1 จะได้∀y[1 + y ≥ 0] เป็นจริงท่กค่าของ y แทน x ด้วย 2 จะได้∀y[2 + y ≥ 0] เป็นจริงท่กค่าของ y ดังนั้น ∀x∀y[x + y ≥ 0] เป็นจริง 2. พิจารณาประโยคเปิด x + 5 = y + 2 แทน x = 0 จะได้∃x[5 = y + 2] เป็นเท็จท่กค่า y แทน x = 1 จะได้∃x[6 = y + 2] เป็นเท็จท่กค่า y แทน x = 2 จะได้∃x[7 = y + 2] เป็นเท็จท่กค่า y ดังนั้น ∃x∃y[x + 5 = y + 2] เป็นเท็จ จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1. ∀x∃y[x + y ≤ 5], U = {2, 3} 2. ∃x∀y[x + y < 4], U = {2, 3} วิธีทำ 1. ∀x∃y[x + y ≤ 5], U = {2, 3} มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเม่�อแทนค่า x ท่กค่าใน U และมีอย่างน้อย 1 ค่าใน U ที�ทำใĀ้P(x, y) เป็นจริง ค่าที�แทนทั้งĀมดมีดังนี้ x = 2 กับ y = 2 x = 3 กับ y = 2 ถ้าแทน x = 2, y = 2 จะได้อÿมการ x + y ≤ 5 เป็นจริง ถ้าแทน x = 3, y = 2 จะได้อÿมการ x + y ≤ 5 เป็นจริง ดังนั้น ∀x∃y[x + y ≤ 5] เป็นจริง 2. ∃x∀y[x + y < 4], U = {2, 3} มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะไม่มีค่า x ใน U แม้แต่ค่าเดียวที�ทำใĀ้x + y < 4 เป็นจริง ÿำĀรับท่กๆ ค่าของ y ใน U แทน x = 2, y = 2 จะได้2 + 2 < 4 เป็นเท็จ แทน x = 3, y = 2 จะได้3 + 2 < 4 เป็นเท็จ ดังนั้น ∃x∀y[x + y < 4] เป็นเท็จ ตัวอยาง ตัวอยาง

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 132 แบบฝกหัดที่ 1 จงĀาค่าความจริงของประโยค 1 2 3 4 5 ∀x[3x > 10] เม่�อ U = {4, 5, 6} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x2 ≤ 0] เม่�อ U = Z _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[0 < x 2 < 1] เม่�อ U = R+ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[ x 2 = x] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[2x = 3x ] เม่�อ U = {0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 133 ∀x[2x2 + 3x + 1 = 0] เม่�อ U = Z– _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[ > 0] เม่�อ U = [1, ∞) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[– x + 6 = x] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[1 < |x| < 2] เม่�อ U = (–2, –1) ∪ (1, 2) _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x เป็นจำนวนเฉพาะ] เม่�อ U = {1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10 (x − 1)2 x − 1

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 134 แบบฝกหัดที่ 2 จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1 2 3 4 5 ∃x[x2 + 2x + 1 = 0] เม่�อ U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[ = 1] เม่�อ U = {0, 1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[2x ∈ จำนวนคี�] เม่�อ U = {0, , 2, } _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x3 + 6 ≥ x] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x2 + 1 ≥ 1] เม่�อ U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ x x 1 2 3 2

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 135 ∃x[x2 = 2x] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[ x 2 = |x|] เม่�อ U = R+ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x + 7 = 8] เม่�อ U = {2, 3, 4} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[0 < x 3 < x 2 ] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x เป็นจำนวนอตรรกยะ] เม่�อ U = Z _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 136 1 2 3 4 5 ∀x[x2 > 0 → x 2 < 0] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[ x 2 = x ∧ |x| = x] เม่�อ U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x2 > 9 → x > 3] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[5 + x = 5 ∧ 5x = x] เม่�อ U = Z _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x2 = 9 → 3x = 9] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ แบบฝกหัดที่ 3 จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 137 ∃x[x ∉ Q ∧ x > 2 ] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x ∈ Z ∨ |x + 3| > 8] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x2 ≤ x ∨ x 2 + x + 1 = 0] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x3 > 0 ∨ x > 0] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[|x| ≤ 1 ∧ x + x = x 2 ] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 138 1 2 3 4 5 ∀x[x – 1 = 1 – x] ↔ ∀x[x เป็นจำนวนเฉพาะ] เม่�อ U = {–1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x + 1 = 1 + x] → ∀x[x + 1 = 1 + x] เม่�อ U = {1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x ≥ |x|] ↔ ∀x[x2 > 0] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x เป็นจำนวนเต็มคี�] ∧ ∃x[x เป็นจำนวนเต็มค่่] เม่�อ U = {1, 2, 3, 4, 5} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x เป็นจำนวนที�Āารด้วย 5 ลงตัว] ∧ ∀x[x เป็นจำนวนตรรกยะ] เม่�อ U = {3, 4, 5, 6} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ แบบฝกหัดที่ 4 จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 139 ∀x[x ≠ 1] → ∃x[x ≠ 1] เม่�อ U = {1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x2 ≥ 0] → ∃x[x ≤ |x|] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x ∈ Q] ↔ ∃x[x เป็นจำนวนเฉพาะ] เม่�อ U = {1, 2, 3} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x – 5 = 5 – x] ∧ ∃x[x4 – 1 = 0] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[|x| > 1] → ∀x[ x 2 = –x] เม่�อ U = {–2, –1, 0, 1, 2} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 140 1 2 3 4 5 ∀x∀y[x < y → < ] เม่�อ U = R – {0} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∃y[x + y = –2] เม่�อ U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃y∀x[y < x] เม่�อ U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[2x = 3y ] เม่�อ U = {0} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[|x| = |y|] เม่�อ U = {−1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ แบบฝกหัดที่ 5 จงĀาค่าความจริงของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ 1 x 1 y

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 141 ∃x∃y[xy ≥ 0 ∨ (x < 0 ∨ y < 0)], เม่�อ U = Z– _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[ x 2 = –y], U = {–2, –1, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[x < |y|], U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∃y[x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 → x + y ≠ 0], U = R _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[y ≤ x + 1] เม่�อ U = {–1, 0, 1} _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 142 การÿมม่ลกันของประโยคเปิดที�มีตัวบ่งปริมาณ จะใช้ร่ปแบบเดียวกันกับร่ปแบบประพจน์ที�ÿมม่ลกัน ดังนี้ ประพจน์ที�ÿมมูลกัน ÿมมูลของประโยคเปิด 1. ~(~p) ≡ p 1. ~[~P(x)] ≡ P(x) 2. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x) 3. p ∨ q ≡ q ∨ p 3. P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x) 4. p ↔ q ≡ q ↔ p 4. P(x) ↔ Q(x) ≡ Q(x) ↔ P(x) 5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 5. ~[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ~P(x) ∨ ~Q(x) 6. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 6. ~[P(x) ∨ Q(x)] ≡ ~P(x) ∧ ~Q(x) 7. ~p ∨ q ≡ p → q 7. ~P(x) ∨ Q(x) ≡ P(x) → Q(x) 8. p ∧ ~q ≡ ~(p → q) 8. P(x) ∧ ~Q(x) ≡ ~[P(x) → Q(x)] 9. p → q ≡ ~q → ~p 9. P(x) → Q(x) ≡ ~Q(x) → ~P(x) 10. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 10. P(x) ↔ Q(x) ≡ [P(x) → Q(x)] ∧ [Q(x) → P(x)] จากÿมม่ลของประโยคเปิดดังกล่าว ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างĀน้า จะได้ประพจน์ที� ÿมม่ลกันด้วย เช่น 1. จาก P(x) → Q(x) ÿมม่ลกับ ~P(x) ∨ Q(x) จะได้ว่า ∀x[P(x) → Q(x)] ÿมม่ลกับ ∀x[~P(x) ∨ Q(x)] ∃x[P(x) → Q(x)] ÿมม่ลกับ ∃x[~P(x) ∨ Q(x)] 2. จาก ~[P(x) ∨ Q(x)] ÿมม่ลกับ ~P(x) ∧ ~Q(x) จะได้ว่า ∀x[~(P(x) ∨ Q(x))] ÿมม่ลกับ ∀x[~P(x) ∧ ~Q(x)] ∃x[~(P(x) ∨ Q(x))] ÿมม่ลกับ ∃x[~P(x) ∧ ~Q(x)] จงพิจารณาว่าประโยคในแต่ละข้อต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ 1. ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] กับ ~∃x[Q(x)] → ~∀x[P(x)] 2. ∀x[~P(x) → Q(x)] กับ ∀x[P(x) ∧ Q(x)] วิธีทำ 1. ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] กับ ~∃x[Q(x)] → ~∀x[P(x)] เน่�องจากเป็นประพจน์ที�มีร่ปแบบเป็น p → q ÿมม่ลกับ ~q → ~p ดังนั้น ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] ÿมม่ลกับ ~∃x[Q(x)] → ~∀x[P(x)] ตัวอยาง 2.11 สมมUA[AL5ิเส4ffI#7รL\>ค3 Q่มQตMC6#7ริมาณ

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 143 2. ∀x[~P(x) → Q(x)] กับ ∀x[P(x) ∧ Q(x)] เน่�องจากเป็นประพจน์ที�มีร่ปแบบเป็น p → q ÿมม่ลกับ ~p ∨ q ∀x[~P(x) → Q(x)] ÿมม่ลกับ ∀x[~(~P(x)) ∨ Q(x)] ÿมม่ลกับ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] ดังนั้น ∀x[~P(x) → Q(x)] ไม่ÿมม่ลกับ ∀x[P(x) ∧ Q(x)] นิเสycองประŸยeที่มีตัวบงปริมาt นิเÿธของประโยคเปิดĀร่อประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณÿามารถเทียบกับนิเÿธของประพจน์ได้ ดังนี้ 1. นิเÿธของ p ∧ q ค่อ ~p ∨ ~q นิเÿธของ P(x) ∧ Q(x) ค่อ ~P(x) ∨ ~Q(x) นิเÿธของ ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] ค่อ ~∃x[P(x)] ∨ ~∃x[Q(x)] 2. นิเÿธของ p → q ค่อ p ∧ ~q นิเÿธของ P(x) → Q(x) ค่อ P(x) ∧ ~Q(x) นิเÿธของ ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] ค่อ ∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] ประโยคเปิดที�เป็นนิเÿธกัน ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างĀน้า ผลจะไม่ได้ประพจน์ที�เป็นนิเÿธกัน เช่น นิเÿธของ P(x) ค่อ ~P(x) ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณเป็น ∀x[P(x)] กับ ∀x[~P(x)] ทั้งÿองประโยคนี้ไม่เป็นนิเÿธกัน จงพิจารณาว่าประโยคต่อไปนี้เป็นนิเÿธกันĀร่อไม่ 1. ∀x[~P(x) → (R(x) ∧ ~R(x))] กับ ~∀x[P(x)] 2. ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] กับ ~∃x[(~R(x) ∧ P(x)) → Q(x)] วิธีทำ 1. จาก ~P(x) → (R(x) ∧ ~R(x)) ≡ P(x) ∨ (R(x) ∧ ~R(x) ≡ P(x) ∨ F ≡ P(x) ดังนั้น นิเÿธของ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x)) ค่อ ~∀x[P(x)] ........(1) และจาก ~∀x[P(x)] ……..(2) จากÿมการที� (1) และ (2) แÿดงว่าข้อความทั้งÿองเป็นนิเÿธต่อกัน 2. จาก P(x) → (Q(x) ∨ R(x)) ≡ ~P(x) ∨ (Q(x) ∨ R(x)) ดังนั้น นิเÿธของ ∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] ค่อ ~∃x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] ≡ ~∃x[~P(x) ∨ (Q(x) ∨ R(x))] ……..(1) และจาก ~∃x[(~R(x) ∧ P(x)) → Q(x)] ÿมม่ลกับ ~∃x[~(~R(x) ∧ P(x)) ∨ Q(x)] ÿมม่ลกับ ~∃x[R(x) ∨ ~P(x) ∨ Q(x)] ……..(2) จากÿมการ (1) และ (2) แÿดงว่าประโยคทั้งÿองเป็นนิเÿธต่อกัน cอสังเกต ตัวอยาง

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 144 นอกจากการพิจารณาÿมม่ลและนิเÿธของประโยคที�มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับร่ปแบบของ ประพจน์ที�ÿมม่ลกันĀร่อนิเÿธของประพจน์แล้ว ประโยคบางร่ปแบบอาจจะต้องพิจารณาจากบทนิยามของ ÿมม่ลĀร่อนิเÿธ ดังนี้ “ประพจน์ÿองประพจน์จะÿมม่ลกันก็ต่อเม่�อมีค่าความจริงเĀม่อนกันท่กกรณี” “ประพจน์ÿองประพจน์จะเป็นนิเÿธกันก็ต่อเม่�อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกันกรณีต่อกรณี” ต่อไปนี้เป็นร่ปแบบของประพจน์ที�ÿมม่ลกัน และเป็นนิเÿธกันที�ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว รูปแบบที� 1 ~∀x[P(x)] ÿมม่ลกับ ∃x[~P(x)] Āร่อ นิเÿธของ ∀x[P(x)] ค่อ ∃x[~P(x)] รูปแบบที� 2 ~∃x[P(x)] ÿมม่ลกับ ∀x[~P(x)] Āร่อ นิเÿธของ ∃x[P(x)] ค่อ ∀x[~P(x)] นิเสycองประŸยeที่มีตัวบงปริมาt ใĀ้P(x), Q(x) เป็นประโยคใดๆ 1. ~∀x[P(x)] ≡ ∃x[~P(x)] 2. ~∃x[~P(x)] ≡ ∀x[P(x)] 3. ~∀x[~P(x)] ≡ ∃x[P(x)] 4. ~∃x[P(x)] ≡ ∀x[~P(x)] 5. ~∀x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∃x[~P(x) ∨ ~Q(x)] 6. ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∀x[~P(x) ∨ ~Q(x)] 7. ~∀x[P(x) → Q(x)] ≡ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] 8. ~∃x[P(x) → Q(x)] ≡ ∀x[P(x) ∧ ~Q(x)] จงĀานิเÿธของข้อความต่อไปนี้ 1. ∃x[~P(x) ∧ Q(x)] 2. ∀x[x ≤ 0] → ∃x[x = 0] 3. จำนวนเต็มท่กจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ 4. จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเต็ม วิธีทำ 1. นิเÿธของ ∃x[~P(x) ∧ Q(x)] เขียนแทนด้วย ~∃x[~P(x) ∧ Q(x)] ซึ�งÿมม่ลกับ ∀x[P(x) ∨ ~Q(x)] และÿมม่ลกับ ∀x[Q(x) → P(x)] ดังนั้น นิเÿธของ ∃x[~P(x) ∧ Q(x)] ค่อ ∀x[Q(x) → P(x)] ตัวอยาง

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 145 2. นิเÿธของ ∀x[x ≤ 0] → ∃x[x = 0] เขียนแทนด้วย ~(∀x[x ≤ 0] → ∃x[x = 0]) ซึ�งÿมม่ลกับ ~(~∀x[x ≤ 0] ∨ ∃x[x = 0]) และÿมม่ลกับ ∀x[x ≤ 0] ∧ ~∃x[x = 0] และÿมม่ลกับ ∀x[x ≤ 0] ∧ ∀x[x ≠ 0] ดังนั้นนิเÿธของ ∀x[x ≤ 0] → ∃x[x = 0] ค่อ ∀x[x ≤ 0] ∧ ∀x[x ≠ 0] 3. ใĀ้ P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น จำนวนเต็มท่กจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ แทนด้วย ∀x[P(x) → Q(x)] นิเÿธค่อ ~∀x[~P(x) ∨ Q(x)] ≡ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] ดังนั้น นิเÿธของข้อความ “จำนวนเต็มท่กจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ” ค่อ “มีจำนวนเต็มบางจำนวนที�ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ” 4. ใĀ้ P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ Q(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเต็ม แทนด้วย ∃x[P(x) ∧ Q(x)] นิเÿธค่อ ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] ÿมม่ลกับ ∀x[~P(x) ∨ ~Q(x)] ดังนั้น นิเÿธของข้อความ “จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเต็ม” ค่อ “จำนวนท่กจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะĀร่อไม่เป็นจำนวนเต็ม”

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 146 แบบฝกหัดที จงตรวจÿอบว่าประพจน์ที�มีตัวบ่งปริมาณในแต่ละข้อต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ ่ 1 1 2 3 4 5 ∃x[~P(x) ∨ ~Q(x)] กับ ∃x[P(x) → Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[~(~(P(x) → Q(x)))] กับ ∀x[~P(x) ∨ Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[~P(x) → Q(x)] กับ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[P(x) → (Q(x) → R(x))] กับ ∀x[(P(x) ∧ Q(x)) → R(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[~P(x) ↔ Q(x)] กับ ∃x[P(x) ↔ ~Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 147 ∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] กับ ~∀x[P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] กับ ∃x[P(x)] ∨ ~∃x[Q(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[P(x) → Q(x)] กับ ∃x[~Q(x) → ~P(x)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[P(x, y) → Q(x, y)] กับ ∃x∀y[~Q(x, y) → ~P(x, y)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[~P(x, y) ∨ ~Q(x, y)] กับ ∃x∀y[P(x, y) → Q(x, y)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 148 แบบฝกหัดที จงตรวจÿอบว่าข้อความÿองข้อความต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ ่ 2 1 2 3 4 5 ∃x[ x ≤ 1 → x + 2 ≠ 3] กับ ∃x[x + 2 = 3 → x > 1] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x < 0 → x 2 > 0] กับ ~∀x[x < 0 ∧ x 2 ≤ 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~∃x[x2 = 16 → x = {–4, 4}] กับ ∀x[x2 = 16 ∧ x ≠ {–4, 4}] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[(x > 0 ∧ y > 0) → xy > 0] กับ ∀x[(x ≤ 0 ∨ y ≤ 0) ∨ (xy > 0)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~∃x[x ∈ R ∧ x 2 ≥ 0] กับ ∀x[x ∉ R ∨ x 2 < 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 149 ~∃x[x ∈ Z ∧ x + 2 = 5] กับ ∀x[x + 2 ≠ 5 ∨ x ∈ Z] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x ≥ 0 ∨ x 2 ≥ 0] กับ ~∀x[x2 ≥ 0 → x ≥ 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ~∃x[a + b ∈ R → (a ∈ R ∧ b ∈ R)] กับ ∀x[x + b ∈ R ∧ (a ∉ R ∨ b ∉ R)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∃y[(x ≥ y) → (x2 ≥ y2 )] กับ ∃x∃y[(x < y) ∨ (x2 ≥ y2 )] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∃y[(x + y = 2) ∨ x ∈ N] กับ ∃x∀y[x ∈ N ∨ (x + y = 2)] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 150 แบบฝกหัดที จงตรวจÿอบว่าข้อความต่อไปนี้ÿมม่ลกันĀร่อไม่ ่ 3 1 2 3 ∀x[x2 – 2 = 2 – x 2 ] ∧ ∀x[x เป็นจำนวนเต็มค]่่ กับ ∀x[x เป็นจำนวนเต็มค]่่ ∧ ∀x[x2 – 2 = 2 – x 2 ] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับ x ท่กตว ถั ้า x เป็นจำนวนจริง แลว ้x เป็นจำนวนตรรกยะ Āร่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ กับ ÿำĀรับ x ท่กตัว x ไม่เป็นจำนวนจริง Āร่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ Āร่อ x เป็นจำนวนตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีx บางตัวที�ไม่เป็นความจริงที�ว่า ถ้า x เป็นจำนวนจริง แล้ว x เป็นจำนวนตรรกยะ Āร่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ กับ มีx บางตัวที� x เป็นจำนวนจริง แต่x ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ และ x ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 151 มีx บางตัว ถ้า x ≥ a แล้ว –a ≤ 0 กับ มีx บางตัว ถ้า –a > 0 แล้ว x < a _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีx บางตัว ซึ�ง x < 0 แต่x 2 > 0 กับ มีx บางตัว ซึ�งไม่เป็นความจริงที�ว่า ถ้า x < 0 แล้ว x 2 ≤ 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับ x ท่กตัว ถ้า x เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว x เป็นจำนวนเต็มบวกคี� กับ ÿำĀรับ x ท่กตัว ถ้า x ไม่เป็นจำนวนเต็มบวกค�ีแล้ว x ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 4 5

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 152 7 8 9 10 ไม่จริงที�ว่า ถ้าจำนวนค่่บวกจำนวนคี�แล้วเป็นจำนวนค่่ กับ จำนวนค่่บวกกับจำนวนคี� Āร่อไม่เป็นจำนวนค่่ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ไม่จริงทีว�่า ร่ปÿามเĀลีย�ม ABC มม่ีมเท่ากัน 1 ค่ ก่ต็ ่อเม่�อร่ปÿามเĀลีย�มนั้นเป็นร่ปÿามเĀลีย�มĀน้าจัว� กับ ร่ปÿามเĀลีย�ม ABC มม่ีมเท่ากัน 1 ค่ ่และไม่เป็นร่ปÿามเĀลีย�มĀน้าจัว � Āร่อร่ปÿามเĀลีย�ม ABC เป็นร่ปÿามเĀลี�ยมĀน้าจั�ว และมีม่มเท่ากัน 1 ค่่ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ÿำĀรับ x และ y ท่กตัว ถ้า x + y > 0 แล้ว xy > 0 กับ ÿำĀรับ x และ y ท่กตัว x + y ≤ 0 Āร่อ xy > 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีx และ y บางตัว ซึ�ง x < y แต่x 2 > y2 กับ มีx และ y บางตัว ซึ�งไม่เป็นความจริงที�ว่า x ≥ y แต่x 2 ≤ y2 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 153 แบบฝกหัดที่ 4 จงĀานิเÿธของประพจน์ต่อไปนี้ 1 2 3 4 5 ∀x[x + 5 ≤ 10] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[3x > 9] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x Āารด้วย 5 ลงตัว] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x + 4 = 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x < 1 → x 2 > 1] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 154 ∃x[x ≤ 1 ∨ x 2 ≥ 1] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[ x 2 = |x| ∧ x 3 = x] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x + x = x 2 → x = 2] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x2 ≥ 0] ∧ ∀x[|x| ≥ 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x ∉ Z] → ∃x[x ∈ R] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10 3

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 155 ∃x[x ∈ Q] → ∀x[x + 1 ≤ x] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x + 2 = 4] ∨ ∃x[x – 2 ≠ 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∀y[x + y ∈ R → xy → R] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∃y[xy < 0 ∧ x + y < 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x∀y[xy = y ↔ x + y = y] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 11 12 13 14 15

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 156 แบบฝกหัดที่ 5 จงĀานิเÿธของข้อความต่อไปนี้ 1 2 3 4 5 ∀x[x ≤ 0] ∧ ∃x[x2 > 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x < 1] → ∃x[x2 > –1] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้าท่กคนเป็นคนดีแล้วปกรณ์เป็นคนดี _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ มีจำนวนเต็ม x ซึ�งมากกว่า 4 แต่น้อยกว่า 5 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ถ้า a ≠ b แล้ว a < b Āร่อ a > b _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 157 ถ้า a ≥ 0 และ b ≥ 0 แล้ว ab ≥ 0 _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[2x + x 2 = 5] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x – 5 = 3 ∧ x + 6 = 9] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x2 + 4x + 1 > 0] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x2 = 0 ∨ x + 5 > 9] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 6 7 8 9 10

etิตศาสตรเิ่มเติม ม.4 เลม 1 158 ∀x[x2 > 2x] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x[x = 2 → x 2 = 4] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x – 5 ≠ x 2 ] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∃x[x – 4 > 2 → x 2 = 6] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ∀x∀y[x + y = y2 ] _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 11 12 13 14 15