Física General ( Paginas 1-300) Parte 1/2

Física General

1 Características de un vector

Un vector cualquiera tiene las siguientes caracterís- 
embargo, su sentido es diferente, F1 es (1) o a la dere-
ticas: cha, y F2 es (2) o a la izquierda.

1. Punto de aplicación u origen. a) N
()
2. Magnitud, intensidad o módulo del vector. Indica su
valor y se representa por la longitud del vector de nv1
acuerdo con una escala convencional.
O () nv4 nv2 () E
3. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, puede
ser horizontal, vertical u oblicua. nv3

4. Sentido. Queda señalado por la punta de la flecha e ()
indica hacia dónde actúa el vector. El sentido de éste S
se puede identificar de manera convencional con sig-
nos (1) o (2) (figura 3.1). b)
 
F1  10 N F2  10 N
En la figura 3.1 (a) se representan dos vectores (V1 y V3),
cuya dirección es vertical, pero uno es vertical hacia arriba, figura 3.1
es decir, positivo (por convención); el otro es vertical hacia
abajo,o sea, negativo. También se aprecian dos vectores a) Representación del sentido de los vectores por medio de signos
(V2 yV4), cuya dirección es horizontal, pero uno es horizon- convencionales de acuerdo con un sistema de coordenadas carte-
tal a la derecha, es decir, positivo (por convención), y el otro sianas y a los puntos cardinales. En b) se observan gráficamente
es horizontal a la izquierda, o sea, negativo. dos vectores cuya dirección y magnitud es la misma, pero su sen-
tido es diferente.
 
En la figura 3.1 (b) se muestran dos vectores (F1 y F2), cuya
magnitud (1O N) y dirección (horizontal) es la misma; sin

Nota:  Con respecto a las características de un vector, algunos autores sólo manejan tres: punto de aplicación, magnitud
y dirección, en donde la dirección se define como el ángulo que forma la línea de acción del vector con respecto
al eje X positivo, por lo que el sentido es una consecuencia de la dirección. Por nuestra parte, con fines didácticos
que facilitan hablar de equilibrante y resultante, fuerzas colineales, negativo de un vector, tercera ley de Newton,
etc., nos referimos al sentido como una característica más de un vector.

2 Cómo establecer la escala de un vector

Para representar un vector necesitamos una escala con- En general, lo recomendable es usar escalas de 1:1, 1:10,
1:100 y 1:1 000, siempre que sea posible. Por ejemplo, si te-
vencional, la cual estableceremos según nuestras necesi- nemos cuatro vectores, todos ellos de dirección horizontal
dades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño y con el mismo sentido (1), cuyos valores son:
que se le desee dar. Si queremos representar un vector
en una cartulina no usaremos la misma escala que si lo F1 5 3.5 N;    F2 5 40 N;
hacemos en una hoja de nuestro cuaderno. Por ejemplo, F3 5 580 N;    F4 5 4 200 N
si se desea representar en la cartulina un vector fuerza
de 350 N dirección horizontal y sentido positivo, pode- y queremos representarlos gráfica e individualmente en
mos usar una escala de 1 cm igual a 10 N; así, con sólo
medir y trazar una línea de 35 cm estará representado. nuestro cuaderno, las escalas recomendables serían:
Pero en nuestro cuaderno esta escala sería muy grande,  
lo recomendable es una escala de 1 cm 5 100 N, por lo Para F1 : 1 cm 5 1 N; para F2 : 1 cm 5 10 N
que dicho vector estará representado por una flecha de para F3 : 1 cm 5 100 N; para F4 : 1 cm 5 1 000 N
3.5 cm de longitud, es decir:

Escala: 1 cm 5 100 N F 5 350 N (La longitud del vector es de 3.5 cm)

40 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

3 Vectores coplanares, no coplanares, deslizantes y libres

Los vectores son coplanares si se encuentran en el mis- Vectores deslizantes. Son aquellos que se pueden des-
plazar o deslizar a lo largo de su línea de acción, es de-
mo plano, o en dos ejes, y no coplanares si están en dife- cir, en su misma dirección (Ver en esta unidad la sección 7,
rente plano, es decir, en tres ejes (X, Y, Z) (figura 3.2). Propiedades de los vectores).

Y Vectores libres. Son aquellos que no tienen un punto de

un nr aplicación en particular. rEenprleasseingtuaideonstepfoirgaaua,rabbbsyeccmc: ues-
mn a) Vectores coplanares tran tres vectores libres,

sn na
tn
n
nn X
Z b) Vectores no coplanares b

figura 3.2 nc

En a) se observan cuatro vectores coplanares ( rW, sW, tW, uW ), en b) se mues-
tran dos vectores no coplanares (mW y nW ).

4 Sistema de vectores colineales

Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos Fn3 Fn1
Fn2
o más vectores se encuentran en la misma dirección o
línea de acción (figura 3.3).

figura 3.3 Fn4
Sistema de vectores concurrentes o angulares.

5 Sistema de vectores concurrentes o angulares

Un sistema de vectores es concurrente cuando la 1) nv1 nd 1
vn2 dn2
dirección o línea de acción de los vectores se cruza en 2)
algún punto; el punto de cruce constituye el punto de Fn1
aplicación de los vectores (figura 3.4). A estos vectores se
les llama angulares o concurrentes porque forman un
ángulo entre ellos.

figura 3.4 Fn3
Tres ejemplos de vectores concurrentes o angulares. 3)

Grupo Editorial Patria Fn2

41

Física General

6 Resultante y equilibrante de un sistema de vectores

La resultante de un sistema de vectores es el vector que nv1 n
Resultante
produce, él solo, el mismo efecto que los demás vectores R
del sistema. Por ello, un vector resultante es aquel capaz
de sustituir un sistema de vectores. Equilibrante vn2

La equilibrante de un sistema de vectores es el vector que n figura 3.5
es capaz de cancelar el vector resultante de un sistema de E Tres ejemplos de vectores concurrentes o angulares.
vectores. Por tanto, tiene la misma magnitud y dirección
que la resultante, pero con sentido contrario (figura 3.5).

7 Propiedades de los vectores

a)  Igualdad de dos vectores aal 1vbe(2ctaoc)r5ba0, .dEcban ucn resultado igual a cero. Por tanto,
conclusión, el negativo de un vector tie-

ne la misma magnitud y dirección de dicho vector, pero

Dos vectores son iguales cuando su magnitud, direc- su sentido es contrario.

ción y sentido también son iguales. Esta propiedad po- d)  Ley conmutativa de la adición
de vectores
sibilita el traslado de un vector en un diagrama, siempre

y cuando se haga en ofobrsmeravapnarlaolselvaeactodriechsaoaa,vbebbcytocccr., En
la siguiente figura se los

cuales son iguales entre sí, no obstante que su punto de Cuando se suman dos vectores, la resultante de la adi-

aplicación u origen no es el mismo. cmcaoiaóe1nnnbubeln,oscsovlcaebvceimteaconitrso,mbrse,easl,.ascsuPirmnoearsaiumelbtjpae1nomcrteptaal.sorLe,beraáal laolcdarsdiucmemiónisanmrevnauencqstiuovsereeiacssletuoyrmsulaaa- 
b
y c

adición escalar siguen las mismas reglas. Por ejemplo, es

lo mismo sumar 3 1 2 que 2 1 3. En la siguiente figura se

nc na demuestra la ley conmutativa:
nb x
a) b) Adición nb nb

Rn5 na 1 nb Ley conmutativa de la
na adición de vectores:
na na 1 nb 5 nb 1 na
nb na

nR 5 nb 1 na

Sólo se pueden sumar dos o más vectores si tienen las e)  Propiedad de transmisibilidad
mismas unidades de medida. Por ejemplo, no es posible del punto de aplicación
sumar un vector fuerza con un vector desplazamiento. Las
magnitudes escalares tampoco se pueden sumar si no tie- El efecto externo de un vector deslizante no se modifica
nen las mismas unidades de medida. Por ejemplo, no se si es trasladado en su misma dirección, es decir, sobre
puede sumar el tiempo con el volumen. su propia línea de acción. Por ejemplo, si se desea mo-
ver un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el
c)  Negativo de un vector resultado será el mismo si empujamos el cuerpo o si lo
jalamos (figura 3.6).
El nveegctaotrivao, de ducenfinveecctoormocuaaqlquueilervae,ctpoorrqeujeemsupmloaddoe
un sbe

42 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

a)
F1 5 40 N

figura 3.6 F2 5 30 N
Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación de un vector. 40°

f)  Propiedad de los vectores libres b) F2 5 30 N
F1 5 40 N 40°
Los vectores no se modifican si se trasladan paralela-
mente a sí mismos (figura 3.7). Esta propiedad la utilizare- figura 3.7
mos al sumar vectores por los métodos gráficos del para-
lelogramo, triángulo y polígono, los cuales estudiaremos Propiedad de los vectores libres. En a) vemos dos vectores libres; en b) los
más adelante. vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos.

8 Suma de vectores

Cuando necesitamos sumar dos o más magnitudes ya mencionamos aparte de magnitud tienen dirección y
sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una sim-
escalares de la misma especie lo hacemos aritmética- ple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos
mente. Por ejemplo, 2 kg 1 5 kg 5 7 kg; 20 m2 1 l0 m2 o analíticos, pero en ambos casos se consideran, además
1 5 m2 5 35 m2; 3 h 1 4 h 5 7 h; 200 K 1 100 K 5 300 K. Sin de la magnitud del vector, su dirección y sentido.
embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como

Resolución de problemas de suma de vectores

1 Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y equivalente a la suma vectorial de los dos des-
después 4 km al oeste. plazamientos. El origen del vector resultante
R es el mismo que tiene el origen del vector
Calcular: d1, y su extremo coincide con eldel vector d2.
Para calcular la magnitud de R medimos su
a) ¿Cuál es la distancia total que recorren?
Escala: 1 cm 5 1 km N
b) ¿Cuál fue su desplazamiento? nd2 (km)

Solución: 3

a) Como la distancia es una magnitud escalar, R 5 5 km 2 dn1
encontramos la distancia total recorrida al su- 1
mar aritméticamente las dos distancias: E
a 5 37° 0 (km)
d t 5 d1 1 d25 3 km 1 4 km 5 7 km O (Oriente)

b) Para encontrar su desplazamiento, que es 432 1
una magnitud vectorial toda vez que corres-
ponde a una distancia medida en una direc- (Poniente)
ción particular entre dos puntos (el de partida
y el de llegada), debemos hacer un diagrama S
vectorial. Para ello, dibujamos a escala el pri-
mer desplazamiento de 3 km realizado al nor- figura 3.8
te, representado por d1, y después el segundo
desplazamiento de 4 km al oeste representa- Suma vectorial de dos desplazamientos:dW1 1 dW2.
do por d2 (figura 3.8). Posteriormente, unimos el
origen del vector d1 con el extremo del vector
d2 a fin de encontrar el vector resultante R

Grupo Editorial Patria 43

Física General

longitud de acuerdo con la escala utilizada 3 Una ardilla camina en busca de comida efec-
y su dirección se determina por el ángulo a tuando los siguientes desplazamientos: 15 m al
que forma. Así, encontramos que sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con
un ángulo de 35º medido respecto al este, 30 m
 en dirección noroeste que forma un ángulo de
R 5 5 km con un ángulo a de 37º 60º medido con respecto al oeste, y finalmente
15 m en una dirección suroeste con un ángulo
en dirección noroeste. de 40º medido respecto al oeste.

2 Una lancha de motor efectúa los siguientes des- Calcular:
plazamientos: 300 m al oeste, 200 m al norte,
350 m al noreste y 150 m al sur. a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?

Calcular: b) Mediante una escala conveniente represente
gráficamente los desplazamientos; determi-
a) ¿Qué distancia total recorre? ne la magnitud del desplazamiento resultan-
te, la dirección en que se efectúa y el valor
b) Determinar gráficamente cuál es su despla- del ángulo formado respecto al este.
zamiento resultante, en qué dirección actúa
y cuál es el valor de su ángulo medido res- Solución:
pecto al oeste.
a) La distancia total es igual a:
Solución:
dt 5 15 m 1 23 m 1 40 m 1 30 m 1 15 m 5 123 m
a) La distancia total es igual a: d t 5 d 1 1 d 2 1
d 3 1 d 4 b) Al medir el desplazamiento resultante en-
contramos que es igual a 38 m en una direc-
d t 5 300 m 1 200 m 1 350 m 1 150 m 5 1 000 m ción noreste con un ángulo de 40º medido
respecto al este.
b) Como se ve en la figura, el desplazamiento
total de la lancha es de 300 m en una direc-
ción noroeste que forma un ángulo de 80.5º
medido con respecto al oeste.

Escala: 1 cm 5 100 m N Escala: 1 cm 5 100 m
d4 5 150 m N

40°

d3 5 350 m 38 m d5 5 15 m d4 5 30 m
d R5 60°
40°
R 5 300 m O
d1 5 15 m
d2 5 200 m E
d2 5 23 m
80.5° S d3 5 40 m
O
E 35°
d1 5 300 m

S

Ejercicios propuestos

1 Un ciclista efectúa dos desplazamientos, el pri- b) Encuentre gráficamente cuál es su desplaza-
mero de 7 km al norte y el segundo de 5 km al miento resultante, así como la dirección en
este. que actúa y el valor del ángulo medido res-
pecto al este.
Calcular:
2 Un jugador de fútbol americano efectúa los si-
a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el de- guientes desplazamientos: 6 m al este, 4 m en
portista?

44 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

dirección noreste y finalmente 2 m al norte. b) Determine gráficamente cuál fue su despla-
zamiento resultante, su dirección y el valor
Calcular: del ángulo medido respecto al este.

a) ¿Cuál es la distancia total que recorre? 4 Una lancha de vela realiza los siguientes des-
plazamientos: 300 m al oeste, 200 m al norte, 350
b) Encuentre en forma gráfica cuál fue su des- m en dirección noroeste formando un ángulo de
plazamiento resultante, en qué dirección 40º medido respecto al oeste, 600 m al sur y fi-
actúa y cuál es el valor del ángulo medido nalmente 250 m en dirección sureste formando
respecto al este. un ángulo de 30º medido respecto al este.

3 Un camello en el desierto realiza los siguientes Calcular:
desplazamientos: 3 km al sur, 4 km al este, 2.5 km
en dirección noreste con un ángulo de 37° medi- a) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
do respecto al este y 2.4 km al norte.
b) Determinar gráficamente la magnitud del
Calcular: desplazamiento resultante, la dirección en
que se efectúa y el valor del ángulo formado
a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el ca- respecto al oeste.
mello?

9 Composición y descomposición rectangular de vectores

por métodos gráficos y analíticos

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equi- componentes rectangulares y se les llama rectangulares
valente, el cual contenga un número mayor o menor porque las componentes forman entre sí un ángulo recto
(90°). También se les denominan componentes perpen-
de vectores que el sistema considerado. Si el sistema diculares.

equivalente tiene un número mayor de vectores, el pro- Revisemos el siguiente ejemplo:

cedimiento se llama descomposición. Si el sistema equi- Encontrar gráfica y analíticamente las componentes rec-
tangulares del siguiente vector:
valente tiene un número menor de vectores, el procedi-

miento se denomina composición. 
cubyo
En la siguiente figura, se muestra un vector a cpunto

de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de Escala: 1 cm 5 10 N
Y
acopoardrteirndadelasexctarretmesoiadnealsvoeccotoorrdaetnrabazdaamcs orescutannagluínlaeraeps.eSr-i F 5 40 m

Ype, nlodsicvuelcatrohreasciaax reyeblcaetyjaecanbsdgíeufloclaarrmseXsaddyoeslovtrreeaccithboaercniaae.leElnbseotjmeecbpdrreeocldaees-
las componentes

so se conoce como descomposición de un vector en sus

Y 30° X

nay na

Solución por el método gráfico

X Para encontrar en forma gráfica las componentes rectan-
nax gulares o perpendiculares del vector, primero tenemos
que establecer una escala. Para este caso puede ser:
1 cm 5 10 N.

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30° con el
transportador. Después, a partir del extremo del vector,

Grupo Editorial Patria 45

Física General

trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y gulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de
otra hacia el eje de las Y. En el punto de intersección del las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y.
eje X, quedará el extremo del vector componente Fx. En Trabajaremos sólo con el triángulo rectángulo formado
el punto de intersección del eje Y quedará el extremo del al proyectar la línea hacia el eje delas X. Las compo-
vector componente Fy. En ambas componentes su origen nentes perpendiculares del vector F serán: para Fx el
será el mismo que tiene el vector F cuya magnitud es de cateto adyacente y para Fy el cateto opuesto al ángulo
40 N, el cual estamos descomponiendo: de 30°. Por tanto, debemos calcular cuánto valen estos
dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigo-
Escala: 1 cm 5 10 N nométricas seno y coseno (ver Nociones Matemáticas
Y en el apéndice de este libro).

35° Cálculo de Fy :
nFx 5 ?
F 5 40 N sen 30º 5 cateto opuesto F
Fx 5 34 N
Fy 5 20 N 5y
hipotenusa F
n X
despejamos Fy :
Fy 5 ?

Fy 5 F sen 30º 5 40 N 3 0.5 5 20 N

Cálculo de Fx :

Para encontrar la magnitud de la componente en X del cos 30º 5 cateto adyacente F
vector F es decir Fx, basta medir con la regla la longitud, y
de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso 5X
mide aproximadamente 3.4 cm que representan 34 N. hipotensa F
Para hallarla magnitud de la componente en Y del vec-
tor F o sea Fy es suficiente medir con la regla la longitud, despejamos Fx :
y según la escala encontrar su magnitud que en este
caso es de casi 2.0 cm, es decir, de 20 N. Fx 5 F cos 30º 5 40 N 3 0.8660 5 34.64 N

Solución por el método analítico Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcu-
lar la magnitud de Fy y Fx en forma gráfica y analítica,
A fin de determinar la magnitud de las componentes encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica
en forma analítica observemos que se forma un trián- si consideramos que al hallar las componentes en forma
gráfica estamos expuestos a cometer errores al trazar el
vector y al medir la magnitud de las componentes. En
cambio, en forma analítica se eliminan estos errores y
la magnitud de las componentes es obtenido con mayor
precisión.

Resolución de problemas de descomposición
y composición rectangular de vectores

1 Encontrar en forma gráfica y analítica los com- Y
ponentes rectangulares o perpendiculares del 45°
siguiente vector:

Solución: F53N

En forma gráfica, de acuerdo con una escala
convencional de 1 cm = 1 N las componentes
rectangulares tienen los siguientes valores:

Método analítico:

Fy 5 F sen 45º 5 3 N 3 0.7071 5 2.1213 N X

Fx 5 2F cos 45º 5 23 N 3 0.7071 5 22.1213 N

El signo menos de la componente en X, es decir,
Fx se debe a que su sentido es a la izquierda.

46 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

Escala: 1 cm 5 1 N Y F1 5 40 N
F53N Fx 5 22.1 N
Fy 5 2.1 N 90°
Fny 5 ? F2 5 30 N

45° X Solución:
Fnx 5 ? Método gráfico del paralelogramo:
Para encontrar la resultante, es decir, aquel vec-
2 Mediante una cuerda un niño jala un carro con tor capaz de sustituir un sistema de vectores al
una fuerza de 80 N, la cual forma un ángulo de usar el método gráfico, b asta con trazar primero
40º con el eje horizontal como se ve en la figura. las componentes F1  y F2 utilizando una escala
conveniente y, después, unaparalela a F1, a par-
Calcular: tir de F2 y una paralela a F2 a partir de F1. La
a) La magnitud de la fuerza que jala el carro resultante será la línea que une el origen de los
dos vectores con el punto donde hacen intersec-
horizontalmente. ción las dos paralelas. Este método se llama del
paralelogramo, porque se forma un cuadrilátero
b) La magnitud de la fuerza que tiende a levan- cuyos lados opuestos son paralelos.
tar el carro. La resultante tiene su origen en el mismo punto
que las componentes. Medimos la longitud de la
Fny F 5 80 N resultante y vemos que aproximadamente mide
5 cm, éstos equivalen a 50 N y el ángulo de la
40° R 5 50 Nresultante a 53º.
Fnx Si se desea que el sistema quede en equilibrio,
será necesario tener un vector de la misma
Solución: magnitud y dirección de la resultante, pero de
a) La fuerza que jala el carro horizontalmente sentido contrario; a este vector se le llama equi-
librante.
es la componente horizontal (Fx ) de la fuerza
de 80 N, cuya magnitud es: Escala: 1 cm 5 10 N
F1 5 40 N
Fx 5 F cos 40º
Fx 5 80 N 3 0.7660 5 61.28 N 53° F2 5 30 N
b) La fuerza que tiende a levantar el carro es la
componente vertical (Fy ) de la fuerza de 80 Método analítico:
N, cuya magnitud es: Para encontrar analíticamente la magnitud de
la resultante utilizaremos el Teorema de Pitá-
Fy 5 F sen 40º
Fy 5 80 N 3 0.6428 5 51.42 N
3 Dadas las componentes rectangulares de un vec-
tor, encontrar el vector resultante por los metodos
gráfico y analítico. Encuentre también el ángulo
que forma la resultante respecto al eje horizon-
tal.

Grupo Editorial Patria 47

Física General

goras, pues observamos que este vector es la hi- Para calcular el ángulo que forma la resultante,
potenusa y F1 y  F2 son los catetos (revisar la sec-
ción 6 de nociones de matemáticas en el ápendice utiRliz5amFo12s1laFf22un5ció4n0t2a1ng30e2nt5e:50 N
de este libro).
tan a 5 cateto opuesto 5 40 N 5 1.333
cateto adyacente 30 N
R 5 F12 1 F22 5 402 1 302 5 50 N
[ a es igual a un ángulo cuya tangente es 1.333.
cateto opuesto 40 N
tan a 5 cateto adyacente 5 30 N 5 1.333 a 5 53.1° 5 53°6’.

Ejercicios propuestos F 5 400 N
30°
1 Encontrar por el método gráfico y analítico las
componentes rectangulares de los siguientes
vectores:

a)

F 5 33 N

50° 3 Determinar gráfica y analíticamente las compo-
nentes perpendiculares de la fuerza de 2 200 N
que ejerce el cable para sostener un poste, como
se aprecia en la siguiente figura:
b) F 5 2.5 N

35° 40°

F 5 2 200 N
c)
4 Encontrar gráfica y analíticamente la magnitud
60° de las componentes perpendiculares de los si-
guientes vectores, cuyos ángulos están medidos
F 5 200 N respecto al eje horizontal positivo, es decir, el
eje X positivo:
a) Fx 5 320 N
2 Con ayuda de una cuerda se jala un bote apli- ] 25º
b) d 5 45 m
cando una fuerza de 400 N, la cual forma un ] 70º
ángulo de 30° con el eje horizontal, como se ve c) v 5 8 m/s
en la figura siguiente: ] 130º
a) Determinar con el método analítico la magnitud

de la fuerza que jala el bote horizontalmente.
b) Calcular en forma analítica la magnitud de

la fuerza que tiende a levantar el bote.

48 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

5 Por medio de los métodos gráfico y analítico, ha- c) v1 5 400 m/s
llar para cada uno de los casos el vector resultan- 90°
te y el ángulo que forma respecto a la horizontal.

a)

F1 5 3 N

v2 5 320 m/s



90° 6 La magnitud resultante de la suma de dos velo-

F2 5 2.5 N cidades perpendiculares equivale a 100 m/s. Si
una de las velocidades tiene una magnitud de


b) 60 m/s, calcular la magnitud de la otra veloci-

d1 5 25 m dad.

90°

d2 5 35 m

10 Vectores unitarios

Cuando descomponemos un vector en sus componen- tores unitarios ∧i, ∧j y ∧k, forman un conjunto de vectores
perpendiculares entre sí, tal como se aprecia en la figura
tes rectangulares, algunas veces se considera útil em- anterior:
plear vectores unitarios en las direcciones de los ejes de
las coordenadas rectangulares o cartesianas. Un vector Vale la pena señalar que no es forzoso que los vectores ∧i,
unitario es aquel que tiene una magnitud igual a uno ∧j y ∧k estén localizados en el origen del sistema de coor-
y no tiene dimensiones. Se utiliza con el único fin de
especificar una dirección determinada, ya que no tiene denadas, ya que como todos los vectores, también ellos
ningún otro significado físico.
se pueden trasladar a cualquier lugar en el espacio de
En un sistema de coordenadas rectangulares es común
utilizar los símbolos especiales ∧i, ∧j y ∧k para representar las coordenadas con la condición de que conserven su
vectores unitarios en las direcciones y sentidos positivos
de los ejes X, Y y Z, respectivamente. Por tanto, los vec- misma dirección y sentido respecto a los ejes de las co-

Y ordenadas.

Así pues, las componentes rectangulares de un vector a  c
b

en función de los vectores unitarios, se expresan de la

siguiente manera: 
Ax
5 Ax ∧i

 5 Ay ∧j
Ay

^j Az 5 Az ∧k

^k ^i Ax, A y y Az representan respectivamente la magnitud de
Z X la componente en X, en Y y en Z, toda vez que como ya

señalamos, la magnitud de cada vector unitario es igual

a la unidad, es decir: i 5 j 5 k 5 1.

En la siguiente figura observamos un vecator  enc un pla-
b

no con coordenadas cartesianas o rectangulares X, Y, di-

cho vector puede especificarse como un vector unitario

en los siguientes términos:

Grupo Editorial Patria 49

Física General

Y a  5cbx ∧i 1 by ∧j
bny b

Como se observa, las componentes ad e  enc las coorde-
b

nb 5 bx^i 1 by^j nadas X y Y, son bx y b∧iy.eEs lepl rvoedcutoctrobdxe∧i,lamcisommopoqnueenetes
bx y el vector unitario

X mpeytbasaxena∧irllngaaevelusceerlooclaaomtt,rorbaaeprlynbop∧ejnyoejee∧esjlsineeXbustjienelyoidrtvXsreaeuacddctpmtaedoonlaersvggidrbeuneeciliplatatmioudrreradaesgdbneen,ndseietetlbcausexrrd.dejlePpeabocrYyceirprosad,tameaearnnlpabttvloaoexeanr.,lcoeaeDctanolabetrvleyiee,bgrqcjc.ueetuocaYecr-l
nbx

11 Suma de dos vectores angulares o concurrentes

Cuando en forma gráfica se desean sumar dos vecto- Respuestas:

res concurrentes se utiliza el método del paralelogramo, R 5 65 N
ya descrito en la sección anterior. Mientras que para en- a 5 13.2º 5 13º 129
contrar la resultante por el método analítico se usará el
teorema de Pitágoras si los dos vectores forman un ángu- Método analítico
lo de 90°, pero si originan cualquier otro ángulo se usará
la Ley de los Cosenos y para calcular el ángulo de la Para calcular la resultante debemos encontrar uno de los
resultante se aplicará la Ley de los Senos. (Ambas leyes tres ladosde un triángulo oblicuo, cuyos lados conocidos
están descritas en la sección de Nociones Matemáticas son F1  y F2. Aplicamos la ley de los cosenos, tomando en
que se encuentra en el apéndice de este libro.) cuenta que en el triángulo oblicuo el ángulo b formado
por los dos vectores es de 150°. Veamos:
Ejemplo:
Ángulo formado por los dos Lado desconocido nR
Por los métodos gráfico y analítico hallar la resultante lados en el triángulo que
y el ángulo que forma con la horizontal en la siguiente estamos trabajando
suma de vectores:
F 1 5 30 N nR 5 ?
F 1 5 30 N
a b 5 150° 30°
30°
F2 5 38 N Lado conocido Fn2 Lado conocido F1
F2 5 38 N

Método gráfico Aplicamos la ley de los cosenos para encontrar la resul-
tante:
Establecemos primero la escala y trazamos los vectores
con su ángulo de 30°. Dibujamos la paralela de cada vec- R 5 F12 1 F22 2 2F1F2 cos b
tor y obtenemos el paralelogramo. Medimos la resultan-
te y el ángulo formado. SustituyeRnd5o: FR12 51 F232 022 21F13F822c2os2b3 30 3 38 3 cos150°
R 5 3R0251 3980202121344340232338 330c3os318503°20.8660
Escala: 1 cm 5 10 N nR 5 ?
F 15 30 N Como el Rán5gul9o0f05o1rm12a43d44o442p1o21r39lo73s40.d43o8s358la3d4o2s301c.88o6.n46o80cidos es
dLmcoeeaney3mlo0ar°ossdycigeeolsseunse9eiF5na10nel1ag5ºnaa,0rct5be2eº5assgu5l3ee3casFs64nxn0uce1m254pRaanaaN.1or7crl5bed5eso131smos5e[3is9r6ó0l(0Noea7s15n.Rssn5e4N.8ei:7gne.b05l413nlºav85[0co2a505No.l2sm.os5e12Feren5815n4dn02asoRe0oºe35).lsn1d25:c8e2bFo.81412s28se5Rcen0onºosbdd3ee0lºaácunegrudloo
a5?
cos 30º 5 0.8660 [ 2cos 30º 5 20.8660
F2 5 38 N

50 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

R 5 F12 1 F22 2 2F1F2 cos b R 5 F12 1 F22 2 2F1F2 cos b

R 5 302 1 382 2 2 3 30 3 38 3 cos150° R 5 302 1 382 2 2 3de30903º 3e8n3cocnotsr1a5m0o° s
el ángulo es mayor
R 5 900 11 444 2 2 3 30 3 38 320.8660 Como el valor
del sen 1R505º de90a0cu1e1rd44o4c2on2l3a 3si0g3ui3e8n3te2e0x.p8r6e6s0ión:
5 2 3R4451 1F912714.F4282 252F41F321c8o.s4b8
sen 1550º2534s4e1n (1198704º.2481550º)4531s8e.n4830º 5 0.5
tPoaraalssacee5aFnhn1lcoaa6ur55i5lz.a7o3rRRs16n0ee55t555RnlaN.N7álb,1n35a392[gp000N3us02.l45leio1c14n5a1a31am08q415.o242u9s242eF7l8124a2f2so.R43le2re8mn3y35ba0d330lea34l3ro8e33ss138su8e3lc.t4noa28osns01t:.5e806r°e6s0pec-
SustituyesneFdn1oa: 5 R [ sen a 5 F1 sen b
sen R
b

F1 sen sen a 5 30 N 3 0.5 5 0.2282
R 65.715 N
F1 R sen a b
sen a 5 sen b [ 5
a 5 ángulo cuyo seno es 0.2282

Como b 5 15s0eºntaen5e3m605oN.s7q135u0eN.5se5n0b.2528s2en 150º. a 5 13.2° 5 13°129

Resolución de problemas de la suma de dos vectores angulares

o concurrentes por los métodos gráfico y anRal5íticF1o2 1 F22 2 2F1F2 cos 40°

1 En la siguiente suma de vectores encontrar, por 5 R25502 1F124100F22222223F12F52 0c3os44000° 3 0.7660
los métodos gráfico y analítico, la resultante y el
ángulo que forma con el eje horizontal. CáselF55cn1ualRo665925d55555se35el00Rn6áF200662125bn2952510g01553[21220u0061F610sl0002oe3215144n.02q200101au520026066e25N2F0023212f0F.0Fo2102102r2550m0cs333RNeo22a2ns2210145l5ba50500033°r33e22s0404u0000l00ta33n0t0e..77: 666600
SusFes2 tn5itauss5syFeeeeF5F1nnn221n1 5a1aad0o6525R5:9N6223ss323e5.e02RRn0n02520bFNb65.N613R[4[3.2226css580eo3e.Nns5.6n214aa50825.°N58615FF01140ssR.Ree6nn10bb4
F1 5 250 N

140°

F2 5 400 N 2 auDansFo55sea2esFn,n555á31pua7naen.sFFgssFF65sr5e3223ee922seubºFFn50non55055n553551al51s0no7a0aaúe0a20a0n03lc5F5153153s3F9303Fu72d918N15010550220ºy8je1238s4sa0730751o°3e00.15e01ml29062200n00a0Fn0[8F2s53191R0031R0a2n021e2N8168N.2sN25d23851,n2.83148e492e50°32°.om35.n155122920r920[80[a285e0a05e2000N0F3282F,8.s21Fds.2NsN25625.312c.1e9e35iR0954R50oan5n02.520F02209m6nc30c51a.08aN003N143o0to6os3e25009s525s5eF37314s01Nn4u2029e00F2860F8501n517.051°.°v60486a6s3s3e19°e3Fe7F70c0n4e2n42994u065n15717.e08098lr°a53°3d1af010ig..c99ua55rd11aa11:

Solución:
Método gráfico:

Escala: 1 cm 5 100 N Lado desconocido Rn
Lado conocido F1
Rn5 ? 250 N sen a 5 300 N 3 0.3090 5 0.4906
140° 40° 5 b a5? F 15 188.1985° N

a5? Este

R 5 260 N F2 5 400 N Lado conocido Fn2 n
a 5 37°
F 25?
Método analítico:
Una de las personas aplica una fuerza F1 de 300
Recordar: Para la ley de los cosenos debemos N con un ángulo de 18° respecto al este. De-
utilizar el ángulo formado por los dos lados co- terminar gráfica y analíticamente la fuerza F2
nocidos en el triángulo oblicuo que estamos tra- que debe aplicar la otra persona y el ángulo que
bajando. debe formar respecto al este para que el baúl se
desplace hacia el este con una fuerza resultante
de 450 N.

Cálculo de la resultante: Solución:

R 5 F12 1 F22 2 2F1F2 cos 40° Método gráfico:
5 2502 1 4002 2 2 3 250 3 400 3 0.7660
5 62 500 1160 000 2153 200 Se establece una escala conveniente: 1 cm 5 100
N. Se traza la fuerza F1 de 300 N con un ángulo

5 69 300 5 263.25 N Grupo Editorial Patria 51

F1 5 R [ sen a 5 F1 sen b
sen a sen R
b

Física General R 5 F12 1 F522 2225F01F221co4s04002 °2 2 3 250 3 400 3 0.7660

de 18° respecto al este. Después se traza la re- 5 2502 15400622250203121560030040020 31503.7260600
sultante R cuya magnitud es de 450 N dirigida 5R 652 5F01025111F6262902300200F0152F212c56o3s.2420050°N
al este. Unimos el extremo de F1 con el extremo tfSorusFFsiráe22esmF5ntnn5551sRisagtaesFaesudF5555e2unen5F16555yo5nn53Fl9a1a9eo10a02pa2ns5366F205e51oe0566d21sFF02955s2s2RF0rn0e222925eo020s11R153F02d2n5l0n55Nesb:65525351o00251Ree012n3a41F00a02sR02[n31.5200221Nb62R25251d54033FNb8669s3255120024o0152[e03330º1.2F2.220sN22.[0s36n012.7.126521e0622s05R0254620F0Rl06aesn0325502.2a0222013N1Re63nc0.F0.F52dN0b86NN236n4.o102502a1223oR45422s500a22[3Fc53.5s321518N0221co230205088N8s25c00o2s5s2052e.F8°RFo.12se5624N56F61n2.311n150n19501R054s507a8o3.050R°202esb6433.9°cRc4e652038n15N37oi2n1040d2bs504F00034ob1310040020s80s050.3°Ree66.339n1n07500.b49n714.5776u1066e630s0t0ro.9511
de R y e sta línea representará la paralela de la
fuerza F2 buscada. Medimos su valor y el ángu- lSCeussáyeeslFncdtn51sFFisuetaesF22aesuFle2nen55lo555F1y5on3n555a1aeds5aa3ns5e75s033Fe95ds5les03310590n0e2F3e1oán3s50F0732n101n8Ne0s:no1072050e8008n0aFags210301Rn°03.0F:21118N3u915052251[8N8188540l5812o8°384.53.1sNs9°233..5001[ee89a95220000[082nn8550FF0.129sNq2382.12.21aes8NN0N93R2u5.0e8n9855052095en°35c.209a00N93ofa[000FN35o025s51.325.r541sN33s0m2e0F98e00F2005F1n.0°na942051.6s36a40961es3FF790e85nF45272906n°4,2591760F5a01781.0p8°43s°l39eiF0c0n20.a691.n958d51°1o11la
lo formado respecto al este. Trazamos con estos
datos la fuerza F2 y encontramos una magnitud a 5 ángulo cuyo seno es 0.4906
de 190 N con un ángulo a de 29º respecto al este,
como se ve en la siguiente figura: a 5 29.4º 5 29º249

Escala: 1 cm 5 100 N Nota:  Existe una pequeña diferencia entre el resul-
tado obtenido gráficamente y el obtenido ana-
n F1 5 300 N Lado desconocido F2 líticamente; sin embargo, este último es más
29° preciso.
Lado conocido F1

18° a5? R 5 450 N
29°
Lado conocido Rn
F2 5 190 N

Método analítico:  conocemos   aplica-
Como dleeyscdoenolocsemcoossenFo2 sy. Si sabemos qFu1 ey R ángulo
mos la el

Ejercicios propuestos

1 Encontrar por los métodos gráfico y analítico la 2 Determinar por los métodos gráfico y analítico la
resultante, así como el ángulo que forma con el fuerza F2 y el ángulo correspondiente para que
eje horizontal en cada una de las siguientes su- la lancha de la figura siguiente se mueva hacia
mas de vectores. el este con una fuerza resultante de 650 N.

a) n F1 5 400 N

F1 5 2 N 20° Este
a5? Fn2 5 ?
35° Fn2 5 3 N

b)

F1 5 35 N

120° 3 Determinar gráficamente el peso de un cuerpo
que está suspendido y sostenido por dos cuer-
das, como se ve en la figura:

F2 5 25 N F2 5 43 N F1 5 51 N


c)

60°



52 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

4 Encuentre en forma gráfica el peso de un cuer- 6 Mediante dos cables enganchados en la proa,
po que se encuentra suspendido del techo por un barco es remolcado por dos lanchas de motor.
dos cuerdas, las cuales ejercen una fuerza cu- Una lleva una velocidad de 18 m/s al sur y la otra
yas magnitudes son de 320 N y 400 N, y forman una velocidad de 15 m/s con dirección suroeste,
un ángulo de 80°. formando un ángulo de 60° respecto al sur. En-
contrar por cualquiera de los métodos mencio-
5 Dos caballos arrastran un tronco mediante sen- nados la magnitud de la velocidad resultante del
das cuerdas que llevan atadas a uno de los ex- barco y el ángulo que forma respecto al sur.
tremos de dicho tronco. Uno de los caballos ejer-
ce una fuerza de 500 N hacia el este y el otro 7 Una lancha de motor lleva una velocidad de 16
una fuerza de 800 N en dirección noreste. Deter- m/s al cruzar perpendicularmente hacia el norte
minar gráfica y analíticamente la magnitud de la corriente de un río cuya velocidad es de 4 m/s
la fuerza resultante, así como el ángulo formado al este. Determinar gráfica y analíticamente la
respecto al este. velocidad resultante que lleva la lancha y el án-
gulo formado respecto a la corriente del río.

12 Suma de más de dos vectores concurrentes o angulares

Método gráfico del polígono de tal manera que al tomar uno de los vectores como
base los otros se colocarán uno a continuación del otro,
Para sumar más de dos vectores angulares o concurren- poniendo el origen de un vector en el extremo del otro y
tes en forma gráfica, se utiliza el llamado método del así sucesivamente hasta colocar el último vector. La re-
polígono. Dicho método consiste en trasladar paralela- sultante será el vector que una el origen de los vectores
mente a sí mismo cada uno de los vectores sumados, con el extremo libre del último vector sumado y su sen-
tido estará dirigido hacia el extremo del último vector.

Resolución de problemas de la suma de más
de dos vectores angulares o concurrentes

Encontrar en forma gráfica y analítica la resultante 
de la suma de los siguientes vectores. Determinar entonces trasladamos el origen de F2 al extremo de
también el ángulo que forma la resultante respecto F1; el origen deF3 al extremo de F2 ; y el origen de F4
al eje horizontal. al extremo de F3. La resultante será el vector que una
Solución: el origen de F1 con el extremo de F4:

F1 5 2.5 N Escala: 1 cm 5 1 N Fn3

F25 3 N nF 2 40°
25° nF 4
25°
40° F3 5 4 N nR 5 ?

Fn1

F4 5 2 N 26.5°

Método gráfico del polígono: R 5 5.6 N
Para hallar la resultante podemos tomar como base a 5 26.5° 5 26° 30’
cualquiera de los cuatro vectores. Si tomamos a F1,

Grupo Editorial Patria 53

Física General

Método analítico: Cálculo de las componentes de cada vector:

Para encontrar la resultante por el método analítico
se procede de la siguiente forma: F1 : F 1x 5 0
 F1y 5 F1 5 2.5 N
Paso 1.  Descomponer cada vector en sus compo- F2 : F2x 5 F2 cos 25º 5 3 N 3 0.9063
nentes rectangulares. 5 2.7189 N
F2y 5 F2 sen 25º 5 3 N 3 0.4226
Paso 2.  Calcular la magnitud de la componente en  5 1.2678 N
X, usando la función coseno y la magnitud F3 : F3x 5 F3 5 4 N
de la componente en Y, con la función seno  F3y 5 0
para cada vector. (Si la componente es hori- F4: 2 F 4x 5 2F4 cos 40º 5 22 N 3 0.7660
zontal a la derecha o vertical hacia arriba, 5 21.532 N
es positiva. Si la componente es horizontal 2F4y 5 2F4 cos 40º 5 22 N 3 0.6428
a la izquierda o vertical hacia abajo, es ne- 5 21.2856 N
gativa.)
Cálculo de la magnitud de la resultante de la suma
Paso 3.  Al conocer las magnitudes de todas las com- de todas las componentes en el eje X, es decir, Rx:
ponentes en X y en Y para cada vector, hacer
la suma de las componentes en X y en Y, de R x 5 SFx 5 F2x 1 F3x 1 (2F4 x)
tal forma que el sistema original de vectores
se reduzca a dos vectores perpendiculares: En función de sus magnitudes y tomando en cuenta
uno, representando la resultante de todas las sus sentidos, tenemos que
componentes en X, y otro, representando la
resultante de todas las componentes en Y. R x 5 2.7189 N 1 4 N 2 1.532 N
5 5.1869 N
Paso 4.  Encontrar la magnitud resultante de los dos
vectores perpendiculares utilizando el teo- Nota:  La letra griega S, llamada sigma, indica suma.
rema de Pitágoras. 

Paso 5.  Por medio de la función tangente calcular Como se observa R x es positiva, lo que quiere decir
el ángulo que forma la resultante con la ho- que es horizontal hacia la derecha.
rizontal. Veamos:
Cálculo de la magnitud de la resultante de la suma
F1 5 2.5 N F2 5 3 N de todas las componentes en el eje Y, es decir, R y :

Fn4x Fn2 y 25° Fn3 5 4 N R y 5 SFy 5 F1 y 1 F2 y 1 (2F4 y)
40° Fn4y Fn2x
Ry 5 2.4822 NEn función de sus magnitudes y tomando en cuenta
F4 5 2 N sus sentidos, tenemos:

R y 5 2.5 N 1 1.2678 N 2 1.2856 N
5 2.4822 N


Como se observa R y es positiva, lo que quiere decir
que es vertical hacia arriba.

 
Al encontrar R x y R y todo nuestro sistema inicial se
redujo a dos vectores rectangulares:

Al trazar las componentes rectangulares para cada nR 5 ?
vector tenemos que:
 a5?
F1 no tiene componente horizontal, porque está to-
 talmente sobre el eje vertical positivo. Rx 5 5.1869 N
F2 t iene componente horizontal y componente ver-
 tical, ambas son positivas. La magnitud de la resultante se calcula con el teo-
F3 no tiene componente vertical, pues está total- rema de Pitágoras:
 mente sobre el eje horizontal positivo.
F4 t iene componente horizontal y componente ver-

tical, ambas son negativas.

54 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

R 5 Rx2Ry2 Al comparar los resultados obtenidos por el méto-
do gráfico y el analítico, se observa una pequeña
RR55 R(5x2.R1y2869)2 1 (2.4822)2 5 5.75 N diferencia, la cual, como ya señalamos anterior-
CálcRtutaal5nonaad5e(55l .RRá1RRyxn8yx 6g559u)52l252o....11414a8888(2626f92o.294r58m520a02.d.)442o77588p555o.r7l5aNresultante: mente, se debe a que por el método gráfico estamos
expuestos a cometer varios errores al medir los vec-
a 5 ángulo cuya tangente es 0.4785 tores y los ángulos. Por tanto, la ventaja de utilizar el
a 5 25.6º 5 25º369 método analítico es que nos dará un resultado más
confiable.

Ejercicios propuestos guientes velocidades y el ángulo que ésta forma
respecto al eje X positivo:
1 Encontrar la magnitud resultante de las siguien-
tes fuerzas concurrentes, así como el ángulo v3 5 45 m/s
que forma respecto al eje X positivo, utilizando
el método gráfico del polígono: Y

Y F1 5 40 N

F4 5 30 N 45° 60° X
X 30° v1 5 35 m/s

60° v2 5 30 m/s

F2 5 35 N 4 Hallar gráfica y analíticamente la magnitud re-
sultante de la suma de los siguientes vectores.
F3 5 40 N Determinar también el ángulo formado con res-
pecto al eje X positivo.
2 Determinar por el método gráfico del polígono
la magnitud resultante de las siguientes fuerzas F2 5 3.5 N
concurrentes, así como el ángulo formado res-
pecto al eje X positivo. Los ángulos de las fuer- F1 5 3 N
zas están medidos respecto al eje X positivo.
F3 5 2.5 N
F1 5 200 N a 30º; F2 5 300 N a 90º
F3 5 150 N a 120º; F4 5 250 N a 220º 45° 50° F4 5 4 N
3 Encontrar por el método gráfico del polígono 20° 30°

y por el método analítico de las componentes F6 5 2 N F5 5 3 N
rectangulares la magnitud resultante de las si-

13 Método del triángulo

El método del triángulo se utiliza para sumar o res- ningún punto en común. Este método se basa en el prin-
cipio de los vectores libres, ya mencionado en la sección
tar dos vectores no concurrentes, es decir, que no tienen 3 de esta unidad.

Grupo Editorial Patria 55

Física General

Resolución de problemas del método del triángulo

1 Encontrar por el método gráfico del triángulo la Para sumar los vectores trasladamos el origen
resultante de la suma de los siguientes vectores: de cualquiera de ellos al extremo del otro y la
resultante será el vector que una el origen de
F15 40 N F2 5 30 N uno con el extremo del otro. El sentido estará
dirigido del origen al extremo.

Como el resultado es el mismo si trasladamos el
origen de F2al extremo de F1 o el origen de F1 al
40° extremo de F2, podemos comprobar que con los

vectores también secumple laLey Conmutativa
de la Adición F1 1 F2 5 F2 1 F1.
Solución: 2 Hallar la resta de los vectores a a2bb pc ocr el mé-
a)
todo gráfico ddeellatrrieásantgaublo2ycae.ncbuenc tre también
Escala: 1 cm 5 10 N el resultado
R 5 64 N F2 5 30 N

40° na 5 25 N nb 5 35 N
50° 20°
F1 5 40 N
b)
nF 5 30 N n Solución:

2 F1 5 40 N Para encontrar la resta de estos vectores debe-
nR 5 64 N mos revisar el siguiente concepto, es decir, pro-
ducto de un vector por un escalar.

14 Producto de un vector por un escalar

Ek rl producto de un escalar k y de un vector r se escribe: aa2bb 5cca 1ba(2bc) c
y se define como Por tanto, la resta de los vectores a 2bbW dcel ejemplo 2 de
un nuevo vdeectro. r cuya magnitud es k la sección anterior que había quedado pendiente, es:
magnitud
veces mayor que la

Por ejemplo: rr 5 5 N y k56 a 5 25 N
5 6 3 5 N 5 30
si N 2b 5 35 N
k
El nuevo vector tiene el mismo sentido que r si k es positi-

vo; sin embargo, si k es negativo, el vector resultante cam-

biará su sentido y magnitud, o sólo su sentido, es decir: R 5 49 N
rr
si 5 4Ny k 5 21 N La resta de los vectoraes  2ca  c
k 5 21 3 4 N 5 24 b esb:
De manera que el nuevo vector es opuesto al vector r, con
a  2caa5bb 1cc(2a )  c
lraiom. Lisamsuammaadgeniutundveycdtoirrercccioónn,supevreoctcoornospeunetsidtooecsoingturaa-l b b

a cero: b 5 35 N

rW 1 (2 rW ) 5 0 2a 5 25 N

De acuerdo con el concepto visto, podemos definir la res- R 5 49 N
ta de dos vectores como la suma al vector minuendo del
vector opuesto del sustraendo:

56 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

15 Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, llamado también De donde: a  5cab
b
producto punto, da como resultado una magnitud esca- ? cos u
lar, pues carece de dirección y sentido. Por definición, el
producto escalar de dos vectores es igual a multiplicar la Algunas magnitudes físicas que resultan del producto
magnitud de un vector por la componente perpendicu- escalar de dos vectores son: el trabajo mecánico, la po-
lar del otro vector en la dirección del primero. tencia eléctrica y la densidad de energía electromag-
nética.

Resolución de un problema de producto escalar

Calcular el producto escalar de los siguientes vec- Solución:
tores: F ? d 5 Fd cos 35º
 
F53N F ? d 5 3 N 3 4 m 3 0.8192 5 9.83 N m
35°
d54m

16 Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores, llamado también En el producto vectorial de aaybb lcac multiplicación de

producto cruz, da como resultado otro vector, el cual avabecsbtoerncu, nos proporciona únicamente la magnitud del
siempre es perpendicular al plano formado por los dos porque si deseamos conocer su sentido se debe
vectores que se multiplican.
usar la regla de la mano derecha, misma que describire-
aa3bb 5cccW
mos en el ejemplo de la resolución de un problema de

Por definición, la magnitud del producto vectorial de dos producto vectorial. La dirección, como ya mencionamos,

vectores es igual a multiplicar la magnitud de un vector siempre es perpendicular al plano formado por los vec-

por la componente perpendicular del otro respecto al tores que se multiplican.

primero. u aa3bb uc5c ab sen u Algunas magnitudes físicas que resultan del producto
vectorial son: el momento de una fuerza, la fuerza que
Emnareslepernodcuucetnotav,epctuoersianloeleos rlodemnidsme olos fa3ctorqeusedeb3eto -.  recibe una carga en movimiento al penetrar a un cam-
po magnético y la cantidad de movimiento angular.

Resolución de un problema de producto vectorial

Calcular el producto vectorial de los siguientes nc F 5 25 N
rveescutaoltraensbt,eFcy. d determinando el sentido del vector 0 40°
Solución:
Para conocer únicamente lamagnitud del resultado d55N
del producto vectorial F 3 d, tenemos:

Grupo Editorial Patria 57

Física General

u  3  u 5 Fd sen 40º Se analiza primero la dirección que llevará la resul-
F d
uF  tante, la cyuadl. resulta perpendicular al plano forma-
3 d u 5 25 N 3 5 m 3 0.6428 5 80.35 Nm do por F Consideramos la dirección del vector

LalapdlairneoccdieónFdyeldv, epcotrolroreqsuueltlaandteireecscpióenrpeesncdoimcuolasri resultante como si fuera un eje, alrededor de él ce-
saliera de la hoja. El sentido del vector resultante
se determina con la regla de la mano derecha, que rramos los dedos de la mano derecha con el pulgar
a continuación se explica:
extendido. Las puntas de los dedos señalarán el

sentido del giro producido por el efecto de la fuerza;

mientras el dedo pulgar indicará el sentido del vec-

tor rveescutlotranretesu. aCltaonmbteo cseepsohdarcáiacoamrripbrao,bcaorm, eol sentido
del está re-

presentado en la figura de la pagina anterior.

Actividad experimental 4

Equilibrio de fuerzas colineales res se cruza en algún punto; dicho punto constituye
y de fuerzas angulares el punto de aplicación de los vectores. La resultante
o concurrentes de un sistema de vectores es aquel vector que pro-
duce el mismo efecto de los demás vectores inte-
 Objetivo grantes del sistema. El vector capaz de equilibrar
un sistema de vectores recibe el nombre de equili-
Encontrar la resultante y la equilibrante de un sis- brante, tiene la misma magnitud y dirección que la
tema de fuerzas colineales y de fuerzas angulares o resultante, pero con sentido contrario. Para sumar
concurrentes. magnitudes vectoriales empleamos métodos gráfi-
cos, como el del paralelogramo o el del polígono, y
  Consideraciones teóricas métodos analíticos, porque los vectores no pueden
sumarse aritméticamente por tener dirección y sen-
Para definir las magnitudes escalares sólo se requie- tido.
re la cantidad expresada en números y el nombre de
la unidad de medida. Ejemplos: longitud, masa y vo- El efecto que una fuerza produce sobre un cuerpo
lumen. Las magnitudes vectoriales son las que para depende de su magnitud, así como de su dirección
definirse, además de la cantidad expresada en núme- y sentido, por tanto, la fuerza es una magnitud vec-
ros y el nombre de la unidad, necesitan que se señale torial. Para medir la intensidad o magnitud de una
la dirección y el sentido. Ejemplos: desplazamiento, fuerza se utiliza un instrumento llamado dinamóme-
velocidad, aceleración y fuerza. Cualquier magnitud tro, su funcionamiento se basa en la Ley de Hooke,
vectorial puede ser representada en forma gráfica por la cual dice: dentro de los límites de elasticidad las
medio de una flecha llamada vector. Gráficamente, deformaciones sufridas por un cuerpo son directa-
un vector es un segmento de recta dirigido. Un vector mente proporcionales a la fuerza recibida. El dina-
cualquiera tiene las siguientes características: a) pun- mómetro consta de un resorte con un índice y una
to de aplicación; b) magnitud; c) dirección; e) sentido. escala graduada; la deformación producida en el
Para representar un vector gráficamente se necesita resorte al colgarle un peso conocido, se transforma
una escala, la cual es convencional porque se estable- mediante la lectura del índice en la escala gradua-
ce de acuerdo con la magnitud del vector y el tama- da, en un valor concreto de la fuerza aplicada. La
ño que se le quiera dar. Una recomendación práctica unidad de fuerza usada en el Sistema Internacional
es utilizar escalas sencillas, como 1:1, 1:10, 1:100 y es el newton (N ), aunque en ingeniería se utiliza
1:1 000, cuando sea posible. todavía mucho el llamado kilogramo-fuerza (kgf )
o kilopondio: 1 kgf 5 9.8 N. También se utiliza el
Un sistema de vectores es colineal cuando dos o más gramo-fuerza (g f ) o pondio: 1 kgf 5 1 000 gf .
vectores se encuentran en la misma dirección o lí-
nea de acción.   Material empleado

Un sistema de vectores es angular o concurrente Tres dinamómetros, tres prensas de tornillo, una re-
cuando la dirección o línea de acción de los vecto- gla graduada, un transportador, una argolla metálica,
tres trozos de cordón, un lápiz y tres hojas de papel.

58 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

  Desarrollo de la actividad n Fn2
experimental
F1
1. A la mitad de un lápiz ate dos cordones de tal
manera que uno quede a la izquierda y otro a la 90°
derecha. Pídale a un compañero sujetar uno de
los extremos y usted tire del otro, evitando mover Fn3
el lápiz. ¿Qué se puede concluir de la magnitud
de las dos fuerzas que actúan sobre el lápiz? Para figura 3.9
cuantificar la magnitud de las fuerzas enganche
un dinamómetro en cada extremo de los cordones Sistemas de fuerzas concurrentes.
y vuelvan a tirar de ambos dinamómetros sin mo-
ver el lápiz. Registren las lecturas que marcan los todo del paralelogramo. ¿Cómo son ambas mag-
dinamómetros. ¿Cómo son esas lecturas? nitudes? Cualquiera de las fuerzas puede ser la
equilibrartede las otras dos, por ello F2 es la equi-
2. Sujete tres cordones a la argolla metálica como se librante de F1 y F3, así como F1, es la equilibrante
ve en la figura 3.9. Con ayuda de otros dos compa- de F2 y F3. Reproduzca un sistema similar al de
ñeros tire cada uno un extremo de los cordones, de la figura 3.10, pero con ángulos diferentes, trace un
tal manera que la argolla no se mueva. ¿Cuál es diagrama vectorial representativo de esta nueva
su conclusión acerca de las fuerzas que actúan so- situación; sume dos vectores cualesquiera por el
bre la argolla? Enganche un dinamómetro a cada método del paralelogramo y compare la magni-
extremo de los cordones y monte un dispositivo tud de la resultante obtenida con la tercera fuerza.
como el mostrado en la figura 3.10. Registre la lectu- ¿Cómo son estas magnitudes?
ra de cada dinamómetro cuando el sistema quede
en equilibrio.

3. Coloque debajo de la argolla una hoja de papel y
trace sobre ella las líneas correspondientes a las
posiciones de los cordones. Anote en cada trazo la
magnitud de la lectura de los dinamómetros, así
como el ángulo que forman entre sí, medido con
su transportador. Con los trazos hechos en la hoja
y mediante una escala conveniente, represente el
diagrama vectorial. Considere la fuerza F3, la cual
se lee en el dinamómetro C,como la equilibran-
te de las otras dos fuerzas: F1 y F2. Compare la
magnitud de F3, leída en el dinamómetro, con la
obtenida gráficamente al sumar F1 y F2 por el mé-

b
a

c Dinamómetro

Prensa de tornillo

figura 3.10 59
Lectura de la magnitud de las fuerzas concurrentes mediante el uso de los dinamómetros.

Grupo Editorial Patria

Física General

Cuestionario

1 ¿Qué condición se debe cumplir para que un cuerpo esté en equilibrio?
2 ¿Cómo lograron que el lápiz no se moviera?
3 ¿Qué sistema de fuerzas contruyeron de acuerdo con el punto 1 de su actividad experimental?
4 ¿Cómo se determina la resultante de dos fuerzas concurrentes en forma gráfica?
5 ¿Cómo define a la resultante de un sistema de fuerzas?
6 ¿Qué características tiene la equilibrante de un sistema de fuerzas?
7 ¿Qué método gráfico utilizaría para sumar tres o más fuerzas concurrentes?
8 ¿Por qué decimos que cualquiera de las fuerzas concurrentes puede considerarse como la equilibrante de

las otras fuerzas que forman al sistema?

Resumen

1. Para definir las magnitudes escalares sólo se re- res es angular o concurrente cuando la dirección o
quiere la cantidad expresada en números y el línea de acción de los vectores se cruza en algún
nombre de la unidad de medida. Ejemplo: longi- punto; el punto de cruce constituye el punto de
tud, masa y volumen. Las magnitudes vectoria- aplicación de los vectores.
les son aquellas que para definirse, además de la
cantidad expresada en números y el nombre de 6. Un vector resultante es aquel capaz de sustituir
la unidad, necesitan que se señale la dirección y un sistema de vectores. El vector que es capaz
el sentido. Ejemplos: desplazamiento, velocidad, de cancelar el vector resultante de un sistema de
aceleración y fuerza. Cualquier magnitud vecto- vectores recibe el nombre de equilibrante, tiene
rial puede ser representada en forma gráfica por la misma magnitud y dirección que la resultante,
medio de una flecha llamada vector. Gráficamen- pero con sentido contrario.
te, un vector es un segmento de recta dirigido.
7. Los vectores tienen las siguientes propiedades:
2. Todo vector tiene las siguientes características: a) Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales
a) Punto de aplicación. b) Magnitud: intensidad o cuando su magnitud, dirección y sentido también
módulo del vector. c) Dirección: que puede ser ho- son iguales. b) Adición. Sólo se pueden sumar dos
rizontal, vertical u oblicua. d) Sentido: queda seña- o más vectores si tienen las mismas unidades de
lado por la punta de la flecha, se puede identificar medida. c) Negativo de un vector. El negativo
de manera convencional con signos (1) o (2). de un vector aW es aquel vector que sumado al vector
aW da un resultado igual a cero. d) Ley conmutati-
3. Para representar un vector se necesita una esca- va de la adición de vectores. Cuando se suman dos
la convencional, la cual se establece de acuerdo vectores, la resultante de la adición es la misma sin
con la magnitud del vector y el tamaño que se le importar el orden en que se sumen los vectores. e)
quiera dar. Una recomendación práctica es utilizar Transmisibilidad del punto de aplicación. El efecto
escalas sencillas, como 1:1, 1:100, 1:1 000, cuando externo de un vector deslizante no se modifica si es
sea posible. trasladado en su misma dirección, es decir, sobre su
propia línea de acción. f) Vectores libres. Los vec-
4. Los vectores que se localizan en un mismo plano, tores se modifican si se trasladan paralelamente a
es decir, en dos ejes, reciben el nombre de copla- sí mismos.
nares. Son no coplanares cuando se ubican en di-
ferente plano, es decir, en tres ejes (X, Y y Z ). Los 8. Un sistema de vectores puede sustituirse por otro
vectores deslizantes son aquellos que se pueden equivalente que contenga un número mayor o
desplazar o deslizar a lo largo de su línea de ac- menor de vectores que el sistema considerado.
ción, o sea, en su misma dirección. Los vectores Si el sistema equivalente tiene un número mayor
libres son aquellos que no tienen un punto de apli- de vectores, el procedimiento se llama descompo-
cación en particular. sición. Si el sistema equivalente tiene un núme-
ro menor de vectores, el procedimiento se llama
5. Un sistema de vectores colineales se presenta cuan- composición. Se llaman componentes de un vector
do dos o más vectores se encuentran en la misma aquellos que lo sustituyen en la descomposición.
dirección o línea de acción. Un sistema de vecto- Las componentes rectangulares o perpendiculares

60 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

de un vector se pueden encontrar en forma grá- se reduzca a dos vectores perpendiculares. d) Se
fica haciendo lo siguiente: se traza el vector de encuentra la resultante de los dos vectores per-
acuerdo con una escala convencional y a partir pendiculares utilizando el teorema de Pitágoras.
del extremo del vector se dibuja una línea hacia el e) Se determina el ángulo que forma la resultan-
eje de las X y otra hacia el eje de las Y. En el punto te con la horizontal, por medio de la función tan-
de intersección del eje X quedará el extremo del gente.
vector componente Fx. En el punto de intersec-
ción del eje Y quedará el extremo del vector com- 11. El método del triángulo se utiliza para sumar o
ponente FY. A fin de encontrar en forma analítica
las magnitudes de las componentes rectangula- restar dos vectores libres, es decir, dos vectores
res o perpendiculares, se usan las expresiones:
FX 5 F cos u para la componente horizontal y, que no se localizan en un solo punto fijo en el
FY 5 F sen u para la componente vertical.
espacio.
  9. Un vector unitario es aquel que tiene una mag-
nitud igual a 1 y no tiene dimensiones, se utiliza 12. eEcuslcypraribomed:augckntroityduedseeusndkeefvsicenaceleascrolkammyo daugennuintnuuvdeevdcoetovrre. rcStisoker
con el único fin de especificar una dirección de-
terminada, ya que no tiene ningún otro signifi- avelal vlveee1ccttyoorrsurr signo es negativo, al multiplicarlo por
cado físico. se obtendrá un nuevo vector opuesto
, el cual tendrá la misma magnitud y
10. Para hallar la resultante, es decir, aquel vector
capaz de sustituir a un sistema de vectores, se dirección pero diferente sentido.
pueden usar métodos gráficos como el del para-
lelogramo cuando se trata de sumar dos vectores 13. El producto escalar de dos vectores, llamado
angulares o concurrentes o el del polígono cuan-
do se suman más de dos vectores concurrentes. Si también producto punto, da como resultado una
la resultante se desea encontrar por métodos ana-
líticos se usa el teorema de Pitágoras, siempre y magnitud escalar. Por definición, el producto
cuando los dos vectores formen un ángulo de 90°;
pero si forman cualquier otro ángulo se empleará escalar de dos vectores es igual a multiplicar la
la ley de los cosenos, y para calcular el ángulo de
la resultante se aplicará la ley de los senos. Cuan- magnitud de un vector por la componente per-
do se trata de encontrar por el método analítico
la suma de más de dos vectores concurrentes, se pperinmdeicrou:laaar ?dbbel5occtarbo vector, en la dirección del
procede de la siguiente forma: a) Se descompone cos u.
cada vector en sus componentes rectangulares.
b) Se calcula la magnitud de la componente en 14. El producto vectorial de dos vectores, llamado c
X usando la función coseno y la magnitud de la también producto cruz, da como resultado otro
componente en Y usando la función seno. c) Se
hace la suma de las componentes en X y en Y, aa fvboebr5cmtcoacrd. oqPuopreodrselioefismndipcorisóenve,eslcatpomererapsgemnniutdulitdcipudlliaecrlapdarolospd: luaacnt3oob
de tal forma que el sistema original de vectores vectorial de dos vectores es igual a multiplicar
la magnitud de un vector por la componente
ppprereirmspeeennrotda:ic)úauanlia?cbrabmd ) e5ceclnatoebtrlosaevmneaucg.tonEristutcaodnedxerpelrsveapeseicóctbnotorreca-l,
de manera que si se desea conocer su sentido se
debe usar la regla llamada de la mano derecha.
La dirección siempre es perpendicular al plano
formado por los vectores multiplicados.

Autoevaluación

Escriba en su cuaderno las respuestas a las siguien- 3 Explique por medio de un dibujo qué es un vec-
tes preguntas. Si se le presentan dudas al responder tor y cuáles son sus características. (Introducción
vuelva a leer la sección correspondiente del libro, de la unidad 3 y Sección l)
la cual viene señalada al final de cada pregunta
para su fácil localización. 4 Dibuje dos vectores que tengan la misma magni-
tud y dirección, pero diferente sentido. (Sección l)
1 Defina qué es una magnitud escalar y mencione
tres ejemplos. (Introducción de la unidad 3) 5 Dibuje los siguientes vectores, utilizando una
escala conveniente para vca5da2c3a.5som: a/)s F 5 5 000
2 Defina qué es una magnitud vectorial y nombre N dirección vertical; b) dirección
tres ejemplos de ellas. (Introducción de la uni-
dad 3) horizontal; c) d 5 45 m, ] 5 30° respecto al eje

horizontal. (Sección 2)

6 Represente en forma gráfica dos vectores copla-
nares y dos vectores no coplanares. (Sección 3)

Grupo Editorial Patria 61

Física General

7 Explique qué es un sistema de vectores colineales 24 Al sumar más de dos vectores usando el método
y cite un ejemplo observable en su entorno. (Sec- gráfico del polígono, ¿importa el orden en que
ción 4) se sumen los vectores? Sí o no y por qué. (Sec-
ción 12)
8 Explique qué es un sistema de vectores concurren-
tes y dibuje un ejemplo observable en su vida coti- 25 Describa brevemente por el método analítico en
diana. (Sección 5) qué consiste el procedimiento para encontrar la
resultante de la suma de más de dos vectores
9 ¿Cómo se define la resultante de un sistema de concurrentes. (Sección 12)
vectores y cómo la equilibrante? (Sección 6)
26 Explique por medio de un dibujo el método grá-
10 Dé un ejemplo de su vida cotidiana en el cual se fico del triángulo. (Sección 13)
compruebe el principio de transmisibilidad del
punto de aplicación de un vector. (Sección 7) 27 Si un vector r tiene una magnitud de 50 N direc-
ción horizontal y se multiplica por un escalar k, cuál
11 Mencione en qué consiste la propiedad de los sería el nuevo vector en cada caso si k tiene los si-
vectores libres. (Sección 7) guientes valores: a) k 5 21; b) k 5 10; c) k 5 20.5.
(Sección 14)
12 Explique por qué no es posible sumar aritméti-
camente los vectores y diga de qué manera sí se 28 Cuando se multiplican dos vectores y se obtie-
puede hacer. (Sección 8)
ne una magnitud escalar, ¿qué nombre recibe el
13 ¿Utilice un ejemplo de su entorno que le sea útil
para explicar la diferencia que existe entre dis- producto de los vectores? (Sección 15)
tancia y desplazamiento? (Sección 8)
29 Syiusneorpea, l¿iczóameol producto escalar de un vector s
14 Explique, mediante un ejemplo gráfico, en qué se expresa matemáticamente di-
consiste el procedimiento llamado descomposi-
ción rectangular de un vector. (Sección 9) cho producto? (Sección 15)

15 Describa brevemente en forma analítica cómo 30 u¿tiQnplunicéuaterivpuoonvdveeeccptotrorordzdu?c(ptSooersceoctieróofnevc1et6úc)atocruhWansdeooabltmieunle-
se encuentran los componentes rectangulares o
perpendiculares de un vector. (Sección 9) 31 Pdaerlaoscovneoctcoerrelsadmayghn,it¿uqduédeelxpprreosdiuócntomvaetecmtoáritai-l
ca se usa? (Sección 16)
16 ¿Por qué es más preciso emplear un método ana-
lítico que uno gráfico? (Sección 9) 32 Mencione dos ejemplos de magnitudes físicas
que sean el resultado de un producto: a) escalar;
17 Explique en qué consiste el método gráfico del b) vectorial. (Secciones 15 y 16)
paralelogramo para encontrar la resultante de la
suma de dos vectores concurrentes. (Sección 9) Coevaluación

18 Si se le pide encontrar analíticamente la resul- Instrucciones: Consolide su aprendizaje, para ello
tante y el ángulo que ésta forma respecto al eje lea y conteste en una hoja las siguientes preguntas.
horizontal de dos vectores concurrentes que Luego, intercambie con un(a) compañero(a) sus res-
componen un ángulo de 90°, ¿qué conocimientos puestas. Coméntenlas, pónganse de acuerdo y den
de trigonometría aplicaría? (Sección 9) respuestas comunes. Discútanlas con las demás pa-
rejas y enriquezcan sus conocimientos con las apor-
19 Explique qué es un vector unitario y para qué se taciones de todos.
utiliza. (Sección 10)
1 Investigue en la bibliografía, en Internet o pre-
20 Al sumar vectores concurrentes, ¿cuándo se uti- guntando a algún conocido, cómo se construye
liza la ley de los cosenos y la ley de los senos? una cometa o papalote. Construya uno y póngalo
(Sección 11) a volar. Después, conteste lo siguiente:

21 Al aplicar la ley de los cosenos, ¿qué ángulo nos a) ¿Cómo explica la causa del vuelo de su cometa
interesa para calcular la resultante de la suma de o papalote?
dos vectores concurrentes? (Sección 11)
b) ¿Cómo puede lograr que una cometa vuele
22 Si en un triángulo oblicuángulo el ángulo que más alto o bajo?
forman los dos lados conocidos mide 130º, ¿cuán-
to vale el coseno de 130°? (Sección 11)

23 Describa por medio de un dibujo, en qué consis-
te el método gráfico del polígono para encontrar
la resultante de la suma de más de dos vectores
concurrentes. (Sección 12)

62 Grupo Editorial Patria

3UNIDAD Vectores

2 Necesita subir una carretilla a la planta alta de ¿Qué le resultará más conveniente, empujar o jalar
una casa utilizando la escalera. la carretilla para poder subir cada uno de los es-
calones? ¿Por qué?

Glosario Vector

Equilibrante de un sistema de vectores Segmento de recta dirigido.

Es el vector que es capaz de cancelar el vector de la Vectores coplanares
fuerza resultante de un sistema de vectores. Por tanto,
tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, Son aquellos que se localizan en el mismo plano, es de-
pero con sentido contrario. cir, en dos ejes (X, Y).

Magnitud escalar Vectores deslizantes

Es aquella que queda perfectamente definida con sólo Son aquellos que se pueden desplazar o deslizar a lo
indicar su cantidad expresada en números y la unidad largo de su línea de acción, es decir, en su misma direc-
de medida. ción.

Magnitud vectorial Vectores libres

Es aquella que para quedar definida, además de la can- Son aquellos que no tienen un punto de aplicación en
tidad expresada en números y el nombre de la unidad particular.
de medida, necesita indicarse claramente la dirección y
el sentido en que actúa. Vectores no coplanares

Resultante de un sistema de vectores Son aquellos que se localizan en diferente plano, es de-
cir, en tres ejes (X, Y, Z).
Es el vector que produce por sí solo el mismo efecto que
los demás vectores del sistema. Vectores unitarios

Sistema de vectores colineales Son aquellos que tienen una magnitud igual a 1 y no
tienen dimensiones. Se utilizan con el único fin de espe-
Cuando dos o más vectores se encuentran en la misma cificar una dirección determinada.
dirección o línea de acción.

Sistema de vectores angulares o concurrentes

Cuando la dirección o línea de acción de los vectores se
cruza en algún punto.

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Física General 4ª. edición de Héctor Pérez Montiel e ingresa la clave PRZFS74G para que puedas utilizar los

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Grupo Editorial Patria 63

4 Todo el Universo se encuentra en constante movimiento. Los
cuerpos presentan movimientos rápidos, lentos, periódicos y
CONTENIDO azarosos. La Tierra describe un movimiento de rotación girando
sobre su propio eje, al mismo tiempo describe un movimiento de
Importancia del estudio traslación alrededor del Sol. La Luna gira alrededor de la Tierra;
de la cinemática los electrones alrededor del núcleo atómico. Así, a nuestro alrede-
dor siempre observaremos algo en movimiento: niños corriendo y
Concepto de partícula saltando, nubes desplazándose por el cielo, pájaros volando, árboles
material en movimiento… balanceándose a uno y otro lado por un fuerte viento. Todo es movi-
miento. La mecánica es la rama de la Física encargada de estudiar
Sistemas de referencia los movimientos y estados de los cuerpos. Se divide en dos partes: 1)
Cinemática, estudia los diferentes tipos de movimiento de los cuer-
Distancia, pos sin atender las causas que lo producen. 2) Dinámica, estudia las
desplazamiento, causas que originan el movimiento de los cuerpos. La estática que
velocidad y rapidez analiza las situaciones que posibilitan el equilibrio de los cuerpos,
queda comprendida dentro del estudio de la dinámica.
Movimiento rectilíneo
uniforme (MRU) Un cuerpo tiene movimiento cuando cambia su posición a medida
que transcurre el tiempo. Para poder expresar en forma correcta
Velocidad media un movimiento o cambio de posición, debemos relacionarlo con un
marco o sistema de referencia claramente establecido. Un sistema
Velocidad instantánea de referencia es absoluto cuando toma en cuenta un sistema fijo de
referencia, tal es el caso de considerar a la Tierra como sistema fijo
Interpretación de gráficas para analizar el movimiento de automóviles, trenes, barcos o aviones,
de la magnitud de entre otros. En cambio, un sistema de referencia relativo considera
desplazamiento-tiempo móvil al sistema de referencia; un caso representativo lo tenemos al
y magnitud de la determinar las trayectorias a seguir por una nave espacial que parte
velocidad-tiempo de la Tierra a la Luna, pues se debe considerar que las posiciones de
la Tierra, la Luna y la nave cambian constantemente. En realidad, el
Aceleración y movimiento sistema de referencia absoluto no existe porque todo se encuentra
rectilíneo uniformemente en constante movimiento. El movimiento de los cuerpos puede ser
acelerado (MRUA) en una dimensión o sobre un eje, por ejemplo, el desplazamiento
en línea recta de un automóvil o el de un tren; en dos dimensiones
Tiro parabólico o sobre un plano, como el movimiento de la rueda de la fortuna, de
un disco fonográfico, el de un avión al despegar o aterrizar, o el de
Movimiento circular un proyectil cuya trayectoria es curva; en tres dimensiones o en el
espacio, como el de un tornillo que al hacerlo girar con un desarma-
Movimiento circular dor penetra en la pared.
uniformemente acelerado
(MCUA) La Tierra, la Luna, un avión, un tren, un automóvil, una pelota y, en
general, un cuerpo físico cualquiera, puede ser considerado como
Movimiento armónico una partícula, lo cual nos facilita describir su movimiento.
simple (MAS)
La velocidad experimentada por un cuerpo puede ser constante o
Actividades experimen- variable y es una magnitud vectorial; su dirección queda determina-
tales: 5, 6, 7, 8, 9 y 10 da por la dirección del desplazamiento.

Resumen

Autoevaluación

Coevaluación

Glosario

64

Cinemática

65

Física General

1 Importancia del estudio de la cinemática

Cuando decimos que un cuerpo se encuentra en mo- pacio. Para ello, debemos disponer de instrumentos que
nos posibiliten hacer mediciones, como es el caso de las
vimiento, interpretamos que su posición está variando cintas métricas, los relojes y las cámaras fotográficas con
respecto a un punto considerado fijo. El estudio de la ci- luz estroboscópica; estas últimas permiten ver, aparen-
nemática nos posibilita conocer y predecir en qué lugar temente inmóviles o con movimientos lentos, aquellos
se encontrará un cuerpo, qué velocidad tendrá al cabo cuerpos que tienen movimientos rápidos, ya sean de ro-
de cierto tiempo, o bien, en qué lapso llegará a su desti- tación o alternativos.
no. Hacer la descripción del movimiento de un cuerpo
significa precisar, a cada instante, su posición en el es-

2 Concepto de partícula material en movimiento

e interpretación de su trayectoria

En la descripción del movimiento de cualquier objeto su desplazamiento de un punto a otro. Pensemos en la
trayectoria de un balón de fútbol cuando es pateado; en
material, también llamado cuerpo físico o simplemen- realidad, mientras se desplaza en el aire puede ir giran-
te cuerpo, resulta útil interpretarlo como una partícula do, pero si lo suponemos una partícula eliminamos los
material en movimiento, es decir, como si fuera un solo diferentes giros que hace y consideramos únicamente
punto en movimiento. Para ello, se considera la masa de un solo movimiento, de manera que cualquier cuerpo
un cuerpo concentrada en un punto. Por supuesto, no físico puede ser considerado como una partícula.
se requiere que el cuerpo sea de dimensiones peque-
ñas para considerarlo como una partícula material, pues La trayectoria de una partícula, o el camino recorrido al
sólo se pretende facilitar la descripción de sus cambios pasar de su posición inicial a su posición final, puede
de posición al suponer que todas sus partes constitutivas ser recta o curva, resultando así los movimientos recti-
están animadas del mismo movimiento. líneos o curvilíneos, los cuales pueden ser uniformes o
variados dependiendo de que la velocidad permanezca
El considerar a un cuerpo físico como una simple par- constante o no.
tícula nos evita analizar en detalle los diferentes movi-
mientos experimentados por el mismo cuerpo durante

3 Sistemas de referencia

En la descripción del movimiento de un objeto o de una movimientos que se producen sobre la superficie de la
Tierra, suponiendo a ésta como un sistema de referencia
partícula es necesario señalar perfectamente cuál es su absoluto, es decir, fijo (figura 4.1).
posición; para ello, se usa un sistema de referencia. Exis-
ten dos tipos de sistemas de referencia: el absoluto y el La importancia de definir claramente
relativo. el sistema de referencia empleado
al describir el movimiento de un
El sistema de referencia absoluto es aquel que consi- cuerpo, se comprenderá mejor
dera un sistema fijo de referencia, y el sistema de refe- con los siguientes ejemplos:
rencia relativo es el que considera móvil al sistema de en un tren cuya marcha es
referencia. En realidad, el sistema de referencia absolu- de 80 km/h viaja una persona
to no existe; por ejemplo, si una persona parada en una a la cual se le ocurre cami-
esquina observa a un automóvil circular a una velocidad
de 50 km/h hacia el norte podría considerarse que el au- figura 4.1
tomóvil se mueve respecto a un punto fijo, el cual es la El movimiento de los esquiadores se analiza suponiendo a la Tierra como un
persona misma parada en la esquina; pero en realidad la sistema fijo de referencia.
persona también se mueve, pues la Tierra está en con-
tinuo movimiento de rotación y de traslación alrededor
del Sol. Sin embargo, resulta útil tomar en cuenta los

66 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

nar en el vagón en la misma dirección que la máquina y a Localización de una partícula
una velocidad cuya magnitud es 5 km/h, esto lo hace con- en el espacio utilizando
siderando al tren como un sistema de referencia inmóvil; un vector de posición
sin embargo, si otra persona observa el paso del tren, su
sistema de referencia será la Tierra, y para él la magnitud Lpoarpeolsivceiócntodr er la partícula también puede representarse
de la velocidad del pasajero se obtendrá al sumar la mag- llamado vector de posición, cuyas com-
nitud de la velocidad de éste y la del tren, dando como re-
sultado 85 km/h. De igual manera, cuando viajamos en un ponentes rectangulares son X, Y. Según el cuadrante en
avión y observamos el movimiento de las azafatas por el
pasillo central, lo referimos respecto al avión, considerado que se encuentren las coordenadas, éstas tendrán signo
como un sistema de referencia fijo. Pero para el piloto que
supervisa meticulosamente el vuelo del avión y mira en positivo o negativo:
forma permanente hacia el exterior, tendrá como sistema
de referencia a la Tierra considerada fija o inmóvil. P nr Y M
Segundo 3 Primer
Sistema de cuadrante 2
coordenadas cartesianas o 1 cuadrante
coordenadas rectangulares 32
D 1 nr 1 rn
Para describir la posición de una partícula sobre una su- 2
perficie, se utiliza un sistema de coordernadas cartesia- Tercer 12 X
nas o coordenadas rectangulares. En este sistema, los cuadrante rn 3
ejes se cortan perpendicularmente en un punto 0 lla-
mado origen. El eje horizontal es el de las abscisas o de Cuarto
las X y el eje vertical es el de las ordenadas o de las Y. cuadrante
Observemos la siguiente figura:
S

Y M En el primer cuadrante X, Y son positivas, M 5 (2, 2).
40
En el segundo cuadrante X es negativa, Y positiva,
30 P
P 5 (22, 3).
20
En el tercer cuadrante X, Y son negativas,
nr
10 D 5 (22, 21).

QX En el cuarto cuadrante X es positiva, Y negativa,
0 10 20 30 40 50
S 5 (3, 22).
Para determinar la posición de una partícula, también
se utilizan las llamadas coordenadas polares. Conside-
remos la siguiente figura:

La posición de una partícula M situada en el plano está nr 5 4.5 km Q
determinada por dos magnitudes: la abscisa o distancia 35°
0Q medida entre el origen y la intersección en Q de una X
línea que pasa por M, y la ordenada o distancia 0P exis- O
tente entre el origen y la intersección en P de una línea 67
que pasa por M.

Por tanto, la posición de la partícula es:

M 5 (X, Y )

donde: X 5 40

Y 5 30

M 5 (40, 30)

Grupo Editorial Patria

Física General

La posición de la partícula Q queda determinada por la Q las coordenadas polares son r 5 4.5 km, u 5 35°. Ob-
distancia de esta partícula al origen 0, así como por el án-
gulo formado por 0Q respecto a 0X, recta del plano que sneardvaempoorseql uveeclatopr odseicpióonsicdieónlarpcaurytíacumlaagQneitsutdá determi-
recibe el nombre de eje polar. Por tanto, para la partícula es de 4.5

km con un ángulo de 35° respecto al eje polar.

4 Distancia, desplazamiento, velocidad y rapidez

Distancia y desplazamiento de tiempo, su rapidez y velocidad permanecen constan-
tes; en cambio, si en una trayectoria curva el móvil logra

conservar una rapidez constante, por ejemplo, 30 km/h,

La distancia recorrida por un móvil es una magnitud es- su velocidad va cambiando, aunque su magnitud, o ra-
calar, ya que sólo interesa saber cuál fue la magnitud de pidez, no varía, pero su sentido sí va modificándose. En
la longitud recorrida por el móvil durante su trayectoria conclusión, cuando en Física se habla de velocidad, no
seguida, sin importar en qué dirección lo hizo. Por ejem- se refiere sólo a la rapidez con que se mueve un cuerpo,
plo, si a una persona le recomiendan correr 3 km todos sino también en qué dirección lo hace.

los días para tener buena condición física, no importa La dirección de la velocidad de un cuerpo móvil queda
si lo hace en línea recta corriendo 1.5 km de ida y 1.5 determinada por la dirección o línea de acción en la cual
km de regreso, o los recorre dando vueltas a un parque se efectúa su desplazamiento. La velocidad de un cuerpo
hasta completar los 3 kilómetros. En cambio, el despla- puede ser constante o variable. Por ejemplo, un ciclista al
zamiento de un móvil es una magnitud vectorial, pues inicio de una carrera va aumentando paulatinamente la
corresponde a una distancia medida en una dirección magnitud de su velocidad y durante algunos tramos en lí-
particular entre dos puntos: el de partida y el de llega- nea recta, la conserva constante; al subir una cuesta reduce
da. Así, una persona puede caminar 10 m al norte y 10 la magnitud de su velocidad, misma que se incrementa du-
m al sur para regresar al mismo punto de donde partió. rante la bajada. Al final de la carrera, trata de incrementar al
Tendremos entonces que su distancia recorrida es de 20 máximo la magnitud de su velocidad hasta llegar a la meta,
m, sin embargo, su desplazamiento es igual a cero, por- después la va disminuyendo hasta detenerse totalmente.
que regresó al mismo lugar de partida. Encontrará más
ejemplos en la sección 8 de esta unidad. La velocidad se define como el desplazamiento realiza-
do por un móvil dividido entre el tiempo que tarda en

Velocidad y rapidez efectuarlo: v d
t
La velocidad y la rapidez generalmente se usan como 5
sinónimos en forma equivocada, no obstante que la ra-
pidez es una cantidad escalar que únicamente indica la donde: v 5 vdeelsopcliadzaadmdieenl7tmokómdvei3ll m11ó00vk0iml m 5 7 000 m
magnitud de la velocidad, y la velocidad es una magni- d 5
tud vectorial, pues para quedar bien definida requiere
que se señale, además de su magnitud, su dirección y t 5 tiempo en que6 msseoi7nnre:03a0l01i6zmma0 iesnl 5de3s6p0laszamiento
su sentido. Cuando un móvil sigue una trayectoria en lí- 5 360 s 5 19.44 m/s al norte
nea recta, recorriendo distancias iguales en cada unidad Las unidades de velocidadv
En el SI v 5 m/s
En el CGS v 5 cm/s
v 5 d [ d 5 vt
t

Resolución de problemas de distancia, 35 km 3 1000 m 3 3 1h s 5 9.7 m
h 1 km 600 s

desplazamiento, velocidad y rapidez 1.5 min 3 60 s 5 90 s
1 min
cDmSEdvtuonai555ylnctuooou6c7?sntid ommótkersnma.i/s:nsrpallaalznavo merltoieec nidtoade sende m7/sk dme aulnnaoFuró67vttGoerm5krmmumeidó7untpnv3lo03ai60lE101d106mim0t0ko0misrnmia5l 5P3a76tT00rr0isaa0nmsform637vvva637vvv5m555kc5km555ikmóihkddm7mnttihnddm733ntt03[363300d3[160300d1e1011006d1sm511m1u00060skdvv6m51m000n00kkmiv0s555550n00ikmimvtms5dn0s1mt22mm95va19m5.5Lvd379.3354.1eL.376m1344ss1760304mvsm03300s16Rvm00s160/aR5h9s000/lmh0s50a6omsasl.e2s55ln5s56ntmo9se8.or9.577tr1.em7t3smes3ms1.4
1

m 5 9.9 m al este
s s

3.4 m
s

68

v 5 d vvv555777303300606600000000sssmmm555111999...444444mmm///sssaaalll nnnooorrrttteee Cinemática
t
43v33vv555555kkkhdmhhtddmmtt [[[333ddd1115155011000k00vkkvv000mtmmttmmm333333161166000hhh0U00Nsss5I55D9A99...D777mmmsss
7 km 3 1000 m 5 7 000 m
1 km

2 TcS3l SSlUcDDCddvd1i6d37lvvvvtviu.zruuoeedaan.4555555aa55my555555klvsstltaaunkrettcoammamdáiii22hc19?38vurddms7snlttttmmi.a.f/5uu71l6d 37vvvv3viLld3vmu3ó075osan31a6d[3vvvv3.ncc563ae.0n1ni.L5k5m555555kr.mr15nmii1c03s5gc5m555550kdm:m11óó:mm3mca1hmi1vk022ho96vnddsms7inmttnn5m3ii5122hr1m9av0nad0rm7.0R/cvnkt3iLa3iv3607.rnc3eht00[k3liLayyvm30k67mR53i9l.v001s5Luin3di[ilmn106lsm3e1.0103sLmó0ts0mad5rr0md111eidts03s6o11n0m1uvnd0ee1m6an15lss/se1m136dm375.vvvvvve1s1m9e620tmh0ssss0rR5v5ksm3516s.51m5ea5sd0.0uuRs3v0535u5am555555km6k4pmR65i9v0tms5dlo0ea76nsllmk0kleR5di9vm0r4d89s5.m0ltmmtt5tnvui022hi5l90av s3ddm768o0m0aa1etntt7o0n5uem5i1ismr6.soz1.n3eiL073vmdd9am23s3501r67na55ssn63s[a.e5592u6s303.j.013oo05L/33nid4.5m5a61hmstm.1s303sd35n07610sd.4e161tmtm4m89r.e416ms1v0e5e60aa3i48ss9.0m70ms3s51eh1m510r30m30m0Rldvk700m1ss3a61615ímnsa.s00amn/mos3ek160mR54i9.v00ss5/r3stscn50hl5sos0/mr30o9t1m05.,mihimhss64oos1r10an..mm5ase4s7t9sa.el923aim5le5slens5.53i5cs.m.ml3al39nnss464l5tma.i76nsme45auo489.m9sum5s05v3o1s096d37ruvvvvv70t.me1mns7et9oer.0.m5s316rets5a57m5t55s5559kas.ll0rme0/39koalFs..hmomsme9i1022h.s9vvcddm7meónmtts4ussa.eims3iL3vs30r7sq3tdnn3ml[tl6sme3.501La.euoam1an4103sa0dl11cdeu5eo19m1v0l6vmsseism35lrs11m.r00dqe0eRvkas7t96e0e0stladaumkmR5.i9v0s5aoemt9n0lsdeem0etm5--is6o1mnm5ss.e925555s.33a46tm76sle489.503e0701ms0ms316sstN00/3ehso10.m4taasaS bc3ml:s 5)).)on 4Edh l1d5vvotrE119dduvvvveamloe.sr...s5bc5c555s55d755t9555555cceiiiec.omógama22mm99v2222s99vvinnal.ódilL..v3m7aiiLLvv33n77a:synonne.q1L:..11LLLm1mm113sli(33uss1qaN1z211mvpmmvvsleouqss31c33)11aRvreRRvv6eum66vtdarmsR59aae0mmRR559900iaalltee0ll5l00ei555ls6iioessnr66hooelnnsd.eassv2..eela22515555osaa5555sscv6tmg66ttmmrsmieessd89.eeá8899..ar555l70ea77001/o11lem3slmmm33sascssssl3e33iloo1d.j11a..4e.44ean3ms33dXmmscss.t..4e.h44d555maemm(sssp,999leoa...999mnlmaimmspssenlneacaatlahell era)ee,sess(otttvleeeLsm)eséae-,


3

y 5 7.3 m/s

a) L a velocidad de la lancha si va en la misma Oeste 63° ynR Este
dirección y sentido que la corriente del río. (Poniente) Sur (Oriente)

b) La velocidad de la lancha si va en la mis-
ma dirección, pero en sentido contrario a la
corriente del río.

c) La velocidad de la lancha si se requiere cru- Como se aprecia, la velocidad de la lancha es de 7.4
zar perpendicularmente el río de una orilla a m/s con un ángulo de 63º en dirección noreste.
la otra. Determinar también cuál será la di-

Ejercicios propuestos Calcular:

1 Determinar el desplazamiento en metros de un a) La velocidad del barco si va en la misma
automóvil que va a una velocidad de 80 km/h al dirección y sentido que la corriente del río.
este, durante 0.5 min.
b) La velocidad del barco si va en la misma di-
2 Calcular el tiempo en segundos que tardará un rección, pero en sentido contrario a la corrien-
tren en desplazarse 3 km en línea recta hacia el te del río.
sur con una velocidad de 70 km/h.
c) La velocidad del barco al cruzar perpendicu-
3 Un barco navega a una velocidad cuya magni- larmente el río de una orilla a la otra. Encon-
tud es de 60 km/h en un río cuya velocidad es de trar también la dirección que llevará el barco.
15 km/h al norte.

Grupo Editorial Patria 69

Física General

4 Si un barco navega en el mismo sentido de la corriente. ¿Cómo explicaría este comportamien-
corriente de un río, consume menos combus- to en el consumo de combustible?
tible que cuando va en sentido contrario a la

y 5 Dd 5 d2 2 d1
Dt 5 t2 2 t1
5 M (MRU)ovimiento rectilíneo uniforme DDDddt
Dt constante.
Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual Donde:  5 k

realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales se

dice que efectúa un movimiento rectilíneo uniforme (figura

4.2). Supongamos que en 1 segundo un móvil se desplaza

2 metros; al transcurrir 2 segundos, se habrá desplazado 4

metros; al transcurrir 3 segundos, se habrá desplazado

6 metros y así sucesivamente; en este caso observaremos

que la velocidad permanece constante, ya que por cada

incremento en el tiempo de 1 segundo, tendrá un incre-

mento de 2 metros en su desplazamiento. Para represen-

tar algún cambio en una variable se utiliza la letra griega

D (delta), por tanto, podemos escribir la fórmula de la ve-

locidad en función de los cambios en su desplazamiento

respecto al cambio en el tiempo de la siguiente forma: figura 4.2
Snpioeeasmirgpeucreatalqe, sur,eelcasoerrretileraanctdyieDDDDóodd5nttdd:e5DeDlyDDDDsdktmdd5ptt55lo5aDsDvzeddikttamr22ám5522ieuidetdnnt1n221tovt22oadstdl1oei1rguucnoanlmesstóaveninlteet.inemlí--
Todo cuerpo que describe una trayectoria recta en la cual recorre distancias
iguales en tiempos iguales efectúa un movimiento rectilíneo uniforme.

Resolución de un problema de MRU

En el movimiento de un cuerpo se obtuvieron los d (m)
siguientes datos: 14
12
cuadro 4.1 Datos del movimiento de un cuerpo 10 La pendiente de la recta
8 representa la magnitud
Número t1 d1 t2 d2 Dt Dd Dd /Dd 6 de la velocidad del cuerpo
de intervalo (s) (m) (s) (m) (s) (m) (m/s) 4
2 d2

1 001212 2 t1
01
2 122412 2 Dd

3 233612 2

4 344812 2 a d1
Dt t2 56
5 4 5 5 10 1 2 2
234
6 5 6 6 12 1 2 2 t (s)

Si graficamos los datos de la magnitud del despla- Como se observa, al graficar las diferentes magnitu-
zamiento en función del tiempo que utilizó el cuer- des del desplazamiento en función del tiempo y al
po para realizarlo, tendremos:

70 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

unir los puntos se obtuvo una línea recta. La pen- de la recta o de la curva obtenida representará la
diente de la recta representa la magnitud de la ve- magnitud o de la velocidad del móvil.
locidad e indica que ésta permanece constante, ya
que sólo para una línea recta las variaciones igua- Con los mismos datos del cuadro 4.1 graficaremos
les a lo largo de un eje corresponden a variaciones la magnitud de la velocidad (relación Dd/Dt) en fun-
iguales sobre el otro eje. Por tanto, existe una rela- ción del tiempo:
ción de proporcionalidad directa entre la variable
desplazamiento del cuerpo y la variable tiempo. y 5 (m/s) En una gráfica de la magnitud de la velocidad
2 en función del tiempo, el área bajo la recta
También podemos decir que la pendiente de la rec- o una curva representa la magnitud del
ta obtenida en la gráfica desplazamiento-tiempo es desplazamiento del móvil.
la constante de proporcionalidad entre las dos va-
riables y representa a la magnitud de la velocidad. Dd 5 yDt
Mientras mayor es la pendiente de la recta, mayor
será la magnitud de la velocidad del móvil. 1

Para calcular la magnitud de la velocidad basta de- 0 1 2 34 5 t 5 (s)
terminar la tangente de la recta, es decir, el valor de
su pendiente en cualquier punto de ella. Por tanto, Cuando se grafican la magnitud de la velocidad y
se dibuja un triángulo rectángulo entre dos puntos el tiempo, y permanece constante la magnitud de
cualquiera de la recta, misma que equivaldrá a la la velocidad, se obtiene una línea recta paralela al
hipotenusa. De acuerdo con el triángulo rectángu- eje t. Para cualquier tiempo, el área del rectángulo
lo que trazamos en nuestra gráfica, su tangente es representa el producto yDt equivalente a la magni-
igual a: tud del desplazamiento realizado por el móvil, pues
Dd 5 yDt.
tatnaan a55cacctaacettateeottteooatodapydoaupyceauescentesotnteote55y 5y 5DDdDtDdt
y 5y 5dt22dt2222 22td11td151 510150m5sm2s221221s2msm55848m4sms552 2msms Por tanto, la magnitud del desplazamiento a un
lEanmcaogncnyliutmyusm5idó5nddt,edt5slid5e1em211s8.p2p158r.kl5haemkzhqmau5me58ige58nr.53at.of3kiqdmkuem/ehum/nhoms ólovsildeantofsudne- tiempo de 5 segundos con una velocidad cuya mag-
ción del tiempo que tarda en realizarlo, la pendiente nitud es de 2 m/s será de 10 m.

6 Velocidad media

La mayoría de los movimientos que realizan los cuerpos Cuando un móvil experimenta dos o más magnitudes de
no son uniformes, es decir, sus desplazamientos general- velocidades distintas durante su movimiento se puede ob-
tener una magnitud de la velocidad media o promedio si
mente no son proporcionales al cambio de tiempo; debido sumamos las magnitudes de las velocidades y las dividi-
mos entre el número de las magnitudes de las velocidades
a ello es necesario considerar el concepto de velocidad me- sumadas.

dia; por ejemplo, cuando oímos decir que de la ciudad de figura 4.3
La magnitud de la velocidad de un vehículo es mayor en las rectas que en
mMiénxuitcoosa, alal rdeectaoPrnuraeerb5llaacsdacetiasethtteaaotncoacedoiaepynaudceeaesu1ntto2ote8bú5ksilyuó5mnaeDDhtdrtoorsaqtureeinlatas las curvas.
sdeiapadruar,apnotdeeemlyvo5isacjdeta22:lc22utlda11r5la1m05amsg2n2i1t2usdmd5e l8a4mvse5loc2idmsad me-

ym 5 d 5 128 km 5 85.3 km/h
t 1.5 h

Evidentemente, la magnitud de la velocidad del autobús
durante el viaje no puede ser constante, pues en las par-
tes rectas su magnitud de velocidad será mayor que en
las curvas (figura 4.3). Por tanto, una magnitud de veloci-
dad media representa la relación entre la magnitud del
desplazamiento total hecho por un móvil y el tiempo en
efectuarlo.

Grupo Editorial Patria 71

Física General

Resolución de problemas de velocidad media

1 Encuentre la velocidad promedio de un móvil Calcular:

que durante su recorrido hacia el norte tuvo las a) La magnitud de la velocidad media del au-

siguientes magnitudes de velocidades: tomóvil durante el intervalo de t1 5 3 s a
t2 5 7 s.
y 1 5 18.5 m/s, y 2 5 22 m/s

y 3 5 20.3 m/s, y 4 5 21.5 m/s Solución:

Solución: Para encontrar la magnitud de la velocidad me-

Datos Fórmula dia calcularemos la pendiente de una recta hi-
potética trazada desde C hasta G, como se ve en
Syyyy SSyDyySyt62112[yyyyyyyystCttC5m4mf0231050550uuommmimmmdmoyui0aunyó5oal55555sssvkt55(5tm5555555u5d3mnttovl3hoa5miicce2e522122s0tt)tm6l[yyyyyyyy??l8d8dud2yyi1uuttl. o8l1t20óuDa 7502emimmmmmm21o380mm22lnccy/m.sS.[[A.n1anst.5s.1c5.ml43s1kii2s2m2tm3555555535íyd3óó:/rt13→4ih/itdm5m5saemdgmmsnn/ma5y1tyl0/d50mm md8dud2yys1a5ttsau1t2tfc110D0k//2/B2yy1o3/0m t22d2//m/iSs[[sov1s0y0os54tm.yes1sls4sd1D222 2 D 3rrenímmy1f5→4nm/tdsmm.eedd5y1itl7sm2y1tytd50tnossóue315Ce32122f11uum7030ckav2/n102l10y0slligm54lmiay2dsD2a/ttd.Dl3m5aayrsf5msm.2dymaemtuá76v272dd14tD453dnfe02e23aoom73i/mh1600cls2mgfmdoss/a.u/m.3ns51ysec3se2:n5E627ii14555dt2dayc50t6[2yyyyyyyy3umihl6.mi1a01500immmmmmm2a7ódny1nsd61s./m.n/kstm5555555d33466mFso3.ds3h65mi55erdyte56[anyy0yyyyyymsm5am6/td8dd2yyttt6[2yyyyyyyy5e0ltslemimmmmmmmuDil1n2Fy130m225c0/.m/mmmmmmimmdlS[[1s1n5n6eynGkt.s7tm1ó5555555l4s1/2i223s3t46e3íhoky.sat1ms55555555m→/4/tdimr361m53h4syt0ress5mmmyl1tymd8dsmdd25yy0aett65tp01t35mmD1d8dd22yye2dfóm1113tt0m02l02k2t//lmS[[Du12m28130mt.21va0y201e5sl4s1e25p/1m24m2Sy[[3dD2/ílytD.11l4s1→4z/m2itd2sm2.s3a5/o5mísm.y2ly1sdy5→m4y/4t1tadytmd75s025t1se5t4smy1ty31ds520mf110202kmm1m5/m73i(1e225f1110100ysk0s0/54mypdD22mi)D10y0s/s///m.54meoyd53D2msm.a5sDssysdySmt27bn52mstm.62d7yr143t75yy222t---m73033122m0h6m730m12s0/.s3m5/ym.ss/.s233s56y2s7142555627014a535mh600l3m21mh6s021n/m.6ss3/s45/m.46os.s3s556 ar555msa6ta5lm1e ySDuSEdDmDd4t mvCll2211lm1anu1m6dme5e5e5500uone/sdt1anoea0m46eo6od.sl/gtlss6a46/t5tnl5o5o.tld(4ures4tt6mstoec[syyyyyyyym6/aaor6tdrdecicsims5eáu0ar6mimmmmmmsdtltscamrn?)y33ie.eivuemm lefsd5eleóiiktm05555555imeec3cds5/gmel3chsslnaA/15misalltai4t5eussma0nul/doió:mad8dd2yyett/a4tsstplDecnnsmevn23130ms22ttm/mS[[ mdeiaaedit.c1l4s122d23yg/meíyB2n1dile→oi4/tdsm/5aosaludsmyd1tyrdsosd50/tdc15eui1,s2taf11i0i0kei/diesai2ddr1n0ym0esa54mnnyCudetD623[nyyyyyyyaDeamcmdl5tmdts5m0.lemmmmmmmtndy1std7yeit2seet3iadapd3tk:mu25555555c20em3733hdmqi6e1oma0e4ra5Dm0o0.msu/d8dd2.yyn1ttme33t5eysqd22e130m022dk/6m2S7[[n14m5au.e14s12220r3ims3y1s5al4m/etdhe6e507iq2semy1tyda50p/sEt15/m.dudg12slrfhu11s03krs/loe2eeuue10ye0s5t554mydt2a6a[yyyyyyyys5ol6gsrmvn5ms5m.l0umlmmmmmimmya1eaqnu7ya2dFt1nson63nnuktm2un55555552/oóFm73364to3he.G1suttt5m02de6vsó5oeamm7r0ssmms/d8d.d2nyya6ttot3idm5ttrysdrDes2ll2130m2eaó2es1em6/m27Sa2[[14mi5t.e51,ól4s1.v2l22c03í3y1m→um4vs/vtldhlm6i/o508i2als4mylt1tysde50linseri1e5/ma.la1s2gf11l0r30rvkmtsm/og2eefe1t0yu0s55a54myduaD2c5nDar/rc(ma5mssml.sáiemvdy1goit7u)d2ltt1na63rnu2u2/nadam7364ro.l1s0in6dd:oeeamr-sms/.a6t35yse2l62714m55e03msh6/024tsse/m.s3sm55a5/lsm11n6/46o.s6rmsa6telm5e
2
3

72 Grupo Editorial Patria  5 lím 0 Dd
yinst Dt → Dt

5 0f d2 2 d1 22 m 2 6 m 16 m
5 t2 2 t1 7 s23 s 4 s
ym 5 2 ym 5 5 5 5 4 m/s
 Cinemática
ym 2 m/s 1 2.7 m/s 5 2.35 m/s al esytme d d UNIDAD
2 t ym
4ym m 5 [ t 5
s
d2 2 d1 5 22 m 2 6 m 5 16 5t45m33/0smm/s 510 s
t2 2 t1 7 s23 s 4

Solución: ym 5 d [ t 5 d Transfyomr5madtc[iódn5deymutnidades
t ym

tyDm5at5o10s6 s0 km/h ty5m 533F0ómdtrm/[ms du5l5a10ymst 60 km 3 1 000 m 3 1h s 516.66 m/s
h 1 km 3600 m
Sdu5sti1t6uy.ic6nsi6tó5nmyD/stlríe→3msu10l0tDDasdtd5o 166.6
d5? km 1 000 m 1h
h 1 km 3600
60 3 3 s 516.66 m/s

Ejercicios propuestos  5 lím 0 Dd
yinst Dt → Dt

1 Calcular la magnitud de la velocidad prome- 3 Encuentre el desplazamiento en metros que realiza-

dio de un autobús de pasajeros que recorre una rá un ciclista durante 7 segundos si lleva una veloci-

distancia de 120 km en 90 minutos. Exprese el dad media de 30 km/h al norte.

resultado en km/h. 4 Calcular el tiempo en horas en que un automóvil
efectúa un desplazamiento de 3 km si lleva una ve-
2 dDeeteurnmminóevlial ymqmua5egnyl1liet1uvday2du14enyala3 1veyl4ocidad media locidad media de 50 km/h al sur.
velocidad inicial
munaagnmitaug[dnyeimtsu5ddedS4e3y
cuya m/s y su velocidad final
tiene 4.2 m/s.
 82.3 m/s
ym 5 4 5 20.57 m/s al norte

7 V ym 5 y0 1 yf
2
elocyimd5ad2 mi/ns 1s2t2.a7 nm/tsá5n2.e35am/s al este

L(ltfoáigsnuaedraave,e4ct.l4ioue)c.amiSndpidaoedolcemionnentedseliirdamvyyesammorelav55oadimpdoddttrsei22oe[2sx2ntotiitemtdn5o1m1adcyp5deaamoduu2aenn27savmcsetuv2az2eenlr3mo6ppcsoámeisdlqoa5pusdeei1qniñ64nutoesmsetrqñavu5onaes--4 m/svelocidad en un momento dado, debemos calcular su ve-
locidad instantánea.

casi tMienadteemaáctiecraom, leant vt5eel33po0ocmidmd/esam5dod1s0edlseccuierrqpuoeselarávienlsotcaindtaád-
nea. ecdtsu[aenlddl5íomyeimtlet idnetelravavelolodceidtaidemmpeo-

instantánea en un ppuuynnmtt5oo
dia alrededor del

(sDetn)teasdteanlapseigquuieeñnoteq6m0ueakhnmtieer3nad:1e10a0k0mcemro3(D3t61W0h00s) y se repre-
516.66 m/s

 5 lím 0 Dd
yinst Dt → Dt

Cuando la velocidad de un móvil permanece constan- figura 4.4
te, la velocidad media y la velocidad instantánea son
iguales. La velocidad media y la instantánea son iguales cuando la velocidad de un
móvil permanece constante.
Sin embargo, como es muy común que la velocidad de
un móvil varíe constantemente, para conocer cuál es su

Resolución de un problema de velocidad instantánea

Con los datos de la magnitud del desplazamiento de Para calcular la magnitud de la velocidad instantá-
un móvil en función del tiempo, se construyó la grá- nea en cualquier momento, se traza una tangente a la
fica de la página siguiente y se determinó la magni- curva en el punto considerado; tomando dos puntos
tud de la velocidad instantánea a los 6 segundos: de la tangente se determina la pendiente, es decir,

Grupo Editorial Patria 73

Física General

d (m) la magnitud de la velocidad instantánea. En nuestro
40 caso, el instante considerado es a los 6 segundos. Al
trazar la tangente a la curva, tomamos los puntos 1 y
2 cuya pendiente tiene el siguiente valor

2 yinst 5 d2 2 d1 5 28 m 210 m 5 18 m 5 4.18 m
30 d2 t2 2 t1 7 s 2 2.7 s 4.3 s s

20 Este resultado indica que a los seis segundos, la
magnitud de la velocidad instantánea del móvil es
de 4.18 m/s.

1 d1
10

t1 t2

t (s)
0 12345678

8 Interpretación de gráficas de la magnitud de
desplazamiento-tiempo y magnitud de la velocidad-tiempo

Para interpretar correctamente el movimiento de un cuer- Ejemplo de desplazamientos cuya magnitud es ne-
po mediante el empleo de gráficas: magnitud del despla- gativa:
zamiento-tiempo y magnitud de la velocidad-tiempo, de- Dd 5 d2 2 d1 5 24 m 2 (21 m)
bemos considerar lo siguiente: Dd 5 23 m
a) La magnitud del desplazamiento puede ser positiva o Dd 5 d2 2 d1 5 1 m 2 4 m
Dd 5 23 m
negativa: si d2 es mayor que d1 la magnitud del despla-
zamiento es positiva y si d2 es menor que d1, la magni- d2 d1 d2 d1
tud del desplazamiento es negativa.
Ejemplo de desplazamientos cuya magnitud es po- 24 23 22 21 0 1 2 3 4
sitiva:
Dd 5 d2 2 d1 5 21 m 2 (24 m) b) El desplazamiento de un móvil no representa su dis-
Dd 5 3 m tancia recorrida, sino su desplazamiento desde el pun-
Dd 5 d2 2 d1 5 4 m 2 1 m to de origen al punto final. Por ejemplo, si decimos que
Dd 5 3 m un móvil tiene un desplazamiento igual a cero en un
intervalo de 20 segundos puede significar que no se ha
d1 d2 d1 d2 movido o que se movió de un punto inicial y regresó al
mismo, con lo cual, aunque recorrió una distancia, su
24 23 22 21 0 1 2 3 4 desplazamiento fue cero.

c) La magnitud de la velocidad será positiva o negativa de
acuerdo con el signo que tenga el desplazamiento.

Resolución de un problema de desplazamiento de un móvil

1 Una persona caminó 3 m al norte y después re- Solución:
corrió 5 m al este. ¿Cuál fue su desplazamiento? Como se observa en la gráfica, su desplazamiento

74 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

N es de 5.8 m en dirección noreste; no obstante, la
(m) distancia que recorrió fue de 8 m.
3
2 Un automóvil partió hacia el norte recorriendo
2 3 km y después recorrió otros 3 km al sur. ¿Cuál
1 d 5 5.8 m fue su desplazamiento?

O E Solución:
0 1 2 3 4 5 (m)
Resulta evidente que aunque recorrió 6 km en
total, su desplazamiento es cero, pues regresó al
mismo punto de partida.

S

Resolución de problemas de la magnitud del
desplazamiento-tiempo y magnitud de la velocidad-tiempo

1 ¿Qué representa la curva obtenida en la gráfica Solución:
siguiente al unir los puntos de la magnitud del El resultado obtenido al unir los puntos del grá-
desplazamiento de un móvil contra el tiempo? fico d vs t indica que al transcurrir el tiempo, la
d (m) magnitud del desplazamiento era el mismo, es
decir, el móvil no se movió y, por tanto, su ve-
d vs t locidad es cero porque también es cero el valor
de la pendiente de la recta.
t (s) 3 Interprete el movimiento de un móvil que al
Solución: graficar los datos de las distintas magnitudes de
La curva que resulta de graficar las distintas su desplazamiento en función del tiempo nos da
magnitudes del desplazamiento de un cuerpo la siguiente gráfica:
contra tiempo (magnitud del desplazamiento ver-
sus tiempo, o d vs t ) indica que la magnitud de la d (m)
velocidad, es decir, su rapidez, está variando al
transcurrir el tiempo. d vs t
2 Explique cómo se interpreta la siguiente gráfica
de d vs t. t (s)

d (m) Solución:
Como se observa, a medida que transcurre el
t (s) tiempo la magnitud de su desplazamiento dis-
minuye, lo cual indica que su posición original
ha invertido el sentido de su recorrido, por tanto,
la magnitud de su desplazamiento es negativo
pues d2 es menor que d1. En consecuencia, la
magnitud de la velocidad también será negati-
va, porque el desplazamiento lo es. Por último, el

Grupo Editorial Patria 75

Física General

y 5 d2 2 d1 5 30 m 210 m 5 20 m 5 10 m/s
t2 2 t1 2 s20 2 s

móvil detiene su movimiento totalmente, porque yC2D 5 d2 2 d1 5 20 m 2 30 m 5 210 m 5 25 m/s
la magnitud del desplazamiento es el mismo al t2 2 t1 7s 25 s 2s
transcurrir el tiempo.
Ltyiavmom5, aydgta22n22qitutdu1e1d5dlae20m2lacsamvg2en20loit0cui5dda2dd20etlsmiedn5ees1p0sliacgsmznaomnieegnato-
4 Con los datos de la magnitud del desplazamien- mgeeyyysl)CBEe m222EqnpnnFDCóouleoó555segrvmsiaiucqddadólttttiu2222ó22virilvnee22on22i22alvcsdtd;dtdtodri1811 1re1er11e.trg5ssi551ióertd0oe3g5o0s10sumu0,s02ócens6c,r5smea3dmesmo20osce22sbs2i2ounc8ss,55rmcmes22rip0usnri0uad5svcesncmoatnqa2mttuyoenr53,eant52d0ep2tdesovce3e2emr1in0p0n3rntíastccaas5quurmmndutea2itevdl55od1oai,t5en21e,de0cir2p cqn2smm0coiueasmlcriaes--rsm
to de un móvil en función del tiempo, se obtuvo 5 CyoF2snGul5omsdodt22va22itmotds1i1edn5etol21a. 22m0sac2gm1n02itus0d5d2el22d0escsmpla5z2am10iecnsm-
la siguiente gráfica:

d (m) B C
40 d1
30 d2 t1 D
20 t2
10 A to de un móvil en función del tiempo, se obtuvo
E

la siguiente gráfica:

t (s) d (m) C
0 123456 789 50

a) ¿Qué posición tenía el móvil antes de iniciar 40 Dd D E
su movimiento? 30 B Dd Dt
20
b) ¿Cómo se comporta la magnitud de la veloci- Dt
dad del móvil durante los primeros 2 segundos 10
y cuál es su valor? 0 A Dt Dd Dd Dt F t (s)
1 23
c) ¿Qué magnitud tiene la velocidad durante el 210 4 5 6 7 8 9 10 11 12
intervalo de tiempo entre los puntos B y C ?
220 Dd G
d) ¿Cuál fue la posición más alejada del móvil? Dt
230

e) ¿En qué instante invirtió el sentido de su re- a) ¿Qué posición tenía el móvil antes de iniciar
corrido? su movimiento?

f) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del mó- b) ¿Cómo se comportó la magnitud de la veloci-
vil del punto C al D? dad en el intervalo de tiempo de 0 a 2 segun-
dos? ¿Cuál es la magnitud de la velocidad
g) ¿Regresó al punto de partida? media durante este intervalo de tiempo?

Solución:

a) La posición del móvil era de 10 m antes de c) ¿Cómo es la magnitud de la velocidad en

iniciar su movimiento. el intervalo de tiempo de 2 a 5 segundos y

b) La magnitud de la velocidad del móvil per- cuánto vale?

manece constante y su magnitud es: d) ¿En qué instante invirtió el sentido de su re-

y5 d2 2 d1 5 30 m 210 m 5 20 m 5 10 m/s corrido?
t2 2 t1 2 s20 2 s e) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del pun-

c) EdyenC2tteDren5idlodots22, 22ppuutd1en1st5onso2B0s7emysm22Cu53ee0vsl memdó5uvr2ial 1n2p0tesemreml5ain2net5ecrme- /s to C al D?
dvtyaaomnlso5t,odc,dtoel22ant22siveeetdm1rl1vop5acoind2dqa02oudcesmse2uvsa20cped0ores5oil.co2isó20n2smad5elo1s3005cssmme.guPno-r
d) LyaB2pCo5sicdti22ó22n mtd11á5s a5l0ejca5mdsa22d2e20lsmcmóv5il f3u03ecdsme 3501m0 .csm f) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del pun-
e) ELCcsyyeaalCEga2l2scFDumeDu55nnla,adtgtddiorttdcn22a22soo22iz22ntyaudtdtddl1ad1ea11al5pso5deuesen3n0130rld0l2e0aac6icsmem3gosv2n0rr22etáerec8lifn55omdidsc0coseeai5cld:llmopaa2udri53nne20dctv2osteic2arm1lC0tqism.óc5umóea2vv5l1ioal52sdsc2e5esm0 csm to D al E?
f)
g) ¿En qué instante pasó por el mismo punto de
donde partió al iniciar su movimiento?

h) ¿Cuál fue la magnitud de su máximo despla-
zamiento y en qué instante?

i) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del pun-
to E al F y de F a G?

j) ¿Cuál fue su posición final y a qué tiempo?

76 yF2G 5 d2 2 d1 5 220 cm 2 0 5 220 cm 5 210 cm Patria
t2 2 t1 12 s 210 s 2s Grupo Esditorial

k) Determine la magnitud de la velocidad del 4hiyyyyyyy)) CFCBmEyyyyyyy5 22222CBCFLLeytmE55GFDCD2o2222dsaat5G5dFDC5D555:22ddfettm55m55u5222222ddddddttttteFta22222222a22d22d22d22dtddttttgt122g22d22222222a22222222122ttddn1122ne22222222115tdtGdttdtddtdi1111i11t1155t5d11t1t1tdtddtdu13111ue1510515151515d032sd5555c5:30022md2250211mm030e20mc2020502s2221s102c7m6á0c0020cla2s22m2s5sms2a3c7mx6ms10s2cm2c225s2ml0s0s30i022vom2s21msmc2220220s0ec8s0102222mm5355m22l02ac8105s225mo00U5355mss0250scs225d0s005scmNss2i5e0secm0d5s5c2m20I2g2mDcma520522s0sum52m2d3Au520sm52ns2m50232D2ds5md52d22s001c2235e225oe20sm1s1010lc2c035s3s2s100m1sm1pm0.scp0cs3c0s510cummmsmlcc0sms5am55cn2mmszmm555t5C/2221oas55i/522n2111m5Es0e50c21125mismma000ccce2mslsmms/mn0cccásFssms/mm-tcsismca
móvil en cada segundo de su recorrido y, con
los datos de la magnitud de la velocidad en Son velocidades cuyas magnitudes son negativas
función del tiempo, construya la gráfica mag- porque el desplazamiento es negativo (d2 menor
nitudes de la velocidad-tiempo e interprétela. que d1).

l) Determine la magnitud del desplazamiento to- j) La posición final es con una magnitud del des-
tal del móvil, calculando las áreas obtenidas de plazamiento de 220 cm a los 12 segundos.
la gráfica magnitud de la velocidad-tiempo.
k) Las magnitudes de las velocidades del mó-
Sugerencia:  Antes de ver las respuestas trate de vil durante cada segundo de su recorrido los
contestar las preguntas con el objetivo de verifi- podemos determinar fácilmente:
car si ya aprendió a interpretar las gráficas mag-
nitud del desplazamiento-tiempo. y al 1er. segundo: 10 cm/s magnitud de la velocidad
y al 2o. segundo: 10 cm/s media de 0 a 2 s
Solución: y al 3er. segundo: 10 cm/s magnitud de la velocidad
y al 4o. segundo: 10 cm/s permanece constante
a) La posición del móvil antes de iniciar su mo- y al 5o. segundo: 10 cm/s del 2o. al 5o. s
vimiento se encuentra en el origen, es decir, magnitud de la velocidad de
desplazamiento cero a un tiempo cero. y al 6o. segundo: 220 cm/s CaD

b) La magnitud de la velocidad fue aumentan- y al 7o. segundo: 0 m agnitud de velocidad
do en el intervalo de 0 a 2 segundos. Como y al 8o. segundo: 0 constante del 8o. al 10o. s
mtlaraaymzga5namgidttonu22sdi22tuudtddn11eaf5ulraee3c0vvtea2malrohsi2cia2pin1do00datéodmt,imcd5aeet2dde20eirasmmA; ip5naaa1Brm0acomeoslm/lslooa, y al 9o. segundo: 215 cm/s magnitud de velocidad
dseeyvsCue2Dpe5enndldta22ie22gnrtdtá1e1f:i5ca2y07mdse22te53r0msmina5m2o12s0seml v5a2lo5r m/s y al 10o. segundo: 215 cm/s constante del 10o. al 12o. s
y al 11o. segundo: 210 cm/s
yyyyBCm5decyyyyyyy22)))5CCBFCmED 5 d22222tIELelgmcuEctd555GFDCD22oundoadsoatunnlt5sa22555dv225enld22yyyyysddanvctmgtti226sCFBmE22e222222tidddarduddldd2nm222t1tntttattal2222221el22oa5tGldF22DC22s2222tidiot1ag1óates22nie51222222m522155l5rtdtdtuddn,ngdga111tr5te115t1ddetadtatdtvddit22nd3u1ddddep111vlt11t,tt5t5g5ea1111022ui22enc222r2222eu3st5ylnv55o5d225s0ude2222022l2olme225tda2oaain1ndosd30t0dc10t2dm2dc2s5t0tdtdd2ls1u11qs2t07111epmo1eli5d0ec201i1c10m22s22da5ddsude2rc75mme6s15l05525cdetam2e2e5somna0s2sp0:30d0i22ms1dsgeec320d2220e02s2lve5000d02212m2u1cm0mra53inee022cete0c8e21022msn225ml0icsd53ml55p6lmass00n2e5co02:5íssm225ss00sá3iomnmstsp2csue5d0sc2v22ec00n.s5s0cme22i02a2nm2eempd,dcm22r520a5c82102s0tslsem2moae55oeomó52002psms2c25d5sdm2s052sc3sldaosd0ms5ee522a0i05scdd12d22r2e35e5zu2cms0reB051e2120c2a035a22ms3iln10c0l0m1s21dd0amc0smms53ca2o0i13p0smocmrs5m2cccr00pau,s5i2smCcm2d5emm5em2aes0nslmm5c5e3c5n22a5/r2tm1es1l0tc5s50tmdo3/3o221a0s1moms5ssuc0sc5,2C1s501ea5crmmarmt005cegscmcn52cai2mgasmeumcue0scmc/n55snl2s1tnsmys/mcnectaDsi52eaaee11sm---.00c2sm0ccsmsmcsm y al 12o. segundo: 210 cm/s
yyyCFEfLlm222a)aGFD em5Lp55mnuaaoadddegrtttvg222222snqen222222liluaitottdeuttddc1up111d1i1dded5515dnad.edd3e2011l0idel0222dac6ne0esms3vltssec220epp22mldulc8o1a55enm0c2zs0tislaosda05cmaDmr5d2eieac52e3ntl2s0a2t2Eo2ns0ct2eaemse1c0gsmsmsca5inbgmt5eii2uvég5a2an1al521pteai0cosv2scmr0accqesm:ecrudrsmooe2,
por no producirse ningún desplazamiento l) Finalmente, puesto que en una gráfica de
durante el intervalo de 6 a 8 segundos. rapidez o magnitudes de velocidad-tiempo
el área bajo la curva representa la magnitud
g) El instante en que el móvil pasa por el ori- del desplazamiento de un móvil, en nuestra
gen, o el punto donde inició su movimiento, gráfica podemos determinar la magnitud del
es a los 10 segundos (punto F). desplazamiento total del móvil, sumando las
magnitudes de su desplazamiento positivo y
su desplazamiento negativo.

y (cm/s) Magnitudes del
15 desplazamiento
positivo
10

5 A1

0 t (s)
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A4
210 A3
215 A2

220

Magnitudes de los desplazamientos
negativos

Grupo Editorial Patria 77

Física General

Determinación de la magnitud del desplaza- Interpretación de la gráfica:
miento positivo:
En la gráfica de rapidez o magnitud de la velo-
A1 5 yt 5 10 cm/s 3 5 s 5 50 cm cidad-tiempo vemos que hasta el quinto segun-
Determinación de la magnitud de su despla- do la magnitud de la velocidad media del móvil
zamiento negativo: es de 10 cm/s, después su velocidad es cero y
cambia de sentido. En el sexto segundo alcan-
A2 1 A3 1 A4: za una magnitud de máxima velocidad 220
A2 5 yt 5 220 cm/s 3 1 s 5 220 cm cm/s (el signo menos indica un desplazamiento
A3 5 yt 5 215 cm/s 3 2 s 5 230 cm negativo). En el séptimo y octavo segundos su
A4 5 yt 5 210 cm/s 3 2 s 5 220 cm velocidad es cero, por tanto, el móvil permanece
A2 1 A3 1 A4 5 220 1 (230) 1 (220 cm) en reposo. En el noveno y décimo segundos la
magnitud de su velocidad media es de 215 cm/s
Magnitud del desplazamiento negativo 5 para, finalmente, disminuirla a 210 cm/s del dé-
270 cm cimo al doceavo segundos.
Magnitud del desplazamiento total 5 magni-
tud del desplazamiento positivo 1 magnitud En general, en una gráfica de rapidez o magni-
del desplazamiento negativo: tud de la velocidad-tiempo las magnitudes de
las velocidades arriba del eje t (tiempo) son posi-
dt 5 50 cm 1 (270 cm) 5 220 cm tivas y abajo del eje t son negativas, esto signifi-
ca que si la magnitud de la velocidad es positiva
Este resultado significa que finalmente el mó- la magnitud del desplazamiento también lo es y
vil quedó a 20 cm del punto de donde partió viceversa.
y con un sentido contrario al inicio de su des-
plazamiento.

9 Aceleración y movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado (MRUA)

Aceleración

En nuestra vida cotidiana observamos distintos cuerpos en figura 4.5
movimiento. La mayoría de ellos no se mueven a veloci- Un cuerpo tiene aceleración cuando cambia su velocidad, ya sea que la
dad constante, pues ésta varía, ya sea aumentando o dis- aumente o la disminuya, o bien, cuando cambia su dirección.
minuyendo su magnitud o cambiando de dirección. Por
ejemplo: un autobús de pasajeros en un día de tránsito La aceleración es una magnitud vectorial, ya que requie-
pesado aumenta y disminuye constantemente la magni- re que se especifique su dirección y sentido para que-
tud de su velocidad, lo que fuerza a los pasajeros a mante- dar definida. En conclusión: La aceleración representa
nerse alertas, sujetándose fuertemente para no sufrir una el cambio en la velocidad de un cuerpo en un tiempo
caída. Un auto de carreras aumenta la magnitud de su determinado, por tanto, la magnitud de la aceleración la
velocidad cuando la pista tiene un tramo recto; sin embar- podemos calcular así:
go, al acercarse a una curva disminuye la magnitud de su
velocidad y luego la vuelve a aumentar (figura 4.5).

Siempre que un cuerpo tiene un cambio en la magnitud
de su velocidad, ya sea positivo, cuando la magnitud de
la velocidad final es mayor que la de la velocidad inicial
o bien un cambio negativo, cuando la magnitud de la
velocidad final es menor a la de la velocidad inicial, o
cuando cambia su dirección decimos que ha tenido una
aceleración. Cuando la aceleración es negativa, es co-
mún decir que existe una desaceleración. Así pues, la
aceleración será positiva si el cambio en la velocidad
también es positivo, y será negativa si el cambio en la
velocidad es negativo.

78 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

Cambio de la magnitud currir el tiempo. Por ejemplo, si un automóvil al viajar en lí-

Ci  PSd uC Sletyeycgaesacaiinoouusursslurmniivattaaladgauaeeldaaaaaadanneloauncmmdimmleen5555dvddoiaiasDe:ódyataao5oylaleMdtayany5ftaaaaaadcam0tcegasssCIeueessfmmiydneea5r:55n555555an1tlunlD2esmffrectttg5t.5ilmtmaoietgM22lteas5y tmmm yy5imm e mmtncmíiuyrlss→ielmnó smssfvmmóieyfdinea0(tdaytaa/z/asa/t2Dcva2y0e2vmffrecsaustg50saigggp0mg0aritlm22l2ie52cddlndooíonn5plynovcn→lyDlmDis5moepacioea0teoniiioiy ictc2ec0yótt0ttisra:tlsDulnD0 ouuumdcm0mnnaous2er(u0daymddtda5ucCcptdD/nD/)5enledaaaaaadiissad/dyGódldt(iaaaaaadDimyaeDsn555d5dqdSrenceiaemise2cSn555y5nTttta5eueIuldselMle5a)l)tyy5i5aaaaaadltaicldmlaeaa:M:cssaealyy5tcssfmmylimdyeerealn5555ssaitavmCdDssvfme2masysaffevrcsaTsttg5t5tleD2eeepaMltffa22lceeialpteg55yy5tdcanmiaíleytlssc22l→oemeedlm5olrolssfsnmmoíygcecyiapm0toa i→aytelmslmtDdci2csm20ócioeeff0cbrtnstfuyrecg5o0aptc20icm0eapveitn22lonr2esludp5iii0n,dnd0acímyo5eadotce→r2oedDlmsDdolasmsuemia5ee0tscriyalaDqsi,lDt2uucyd0ódotlddaodrsniuDee0Ddesu0cmbyóactnvce2,DceDtnvdeiyart5eneeicieenDdieDfrda5oeydgltmóiinlqaaieno5yócnletoadúecDnDoubciCntctssamdilenócyoTestaueCueiila5iodnuTdcnralircgedadomemmar,aecigdeluameecCmeasmddelrnebsiTdonumudlconesaiblipivmbidr5esstemoiameempieruol(itntilooameeymóoeliedolnddóiDbtsóaec0lmcvcrduetvevipeivoynaeei(ca5ei?oveieieasnaollincnamllmlneall)qallidlomiD((ee0detlóeqacuoneb21tolvleocmnn)nnynaeauabsse-ic))eim,,oldmeaiilqaoodoaaguobccamgdncueiidnodiuavn6panlSmCdCimumdrtDnqudntrtoenoiaarauglreernnAAeiiiuieitGeuuecdroanattcttmrucidsdnlallemuaeuueuaavmhoaaggaietmdlccrimóñ/credddarrin5cntognnesvmceóariunváeeóo5idódóuriemiyedaeddcvccevdsattDinvfollonistuslreiaeeae,uztilDnaoiliseeeoiyld5slndmtdedl2leeqctseselgys,qmavloerratelltsuunrculbodamuadseDradainaaaasaatea,ecnrinveecenyeecsco/eícemclaccoudamtanasgastdi:eltsnreecónáon2eoiiimbuuudel.aslreoeanm,nsseóóaennuitvsmnmcelbtuaeeraeroesamdaoanneecganiarvciaonpr2novollreocumvcaeeeaeo.mmaoiaaaaaadtmniceimnyimlldrmcdeóaaaaaadvóiomideoeaolenc5555ncdinepinmioeune/scórnn5555eaicoacenot5olsesraaclinMeinsasetmv5noyy5ndlettmcim,ótgidnMcassctanoyy5dtrecicmcssfmdtasyanaddssioeaeattlenessfmsDioalóyi2adovndfflaoactdteeog5dmdDtis2adtdnnffustc22elteg5atsa5acaclinaeaínueyte22ilae→n5lpclmnidnmictdmíasmmlyormietsm0→stcdyclmoasstmuo2crat0oiet0u,ctmyresuece0btáa2ancesóc00meydoa,srisu2eá0deoled0gdmonigdssva5idóad2scseoéDxdDnnset5nuaecnnieivDiraDsnsampyyqolótatdivaanDuieicDnypóaddtstrnslue,DepDd.qodaengyutectnoernenenceuyn5ogueltaoaooudsnrboo5.ipene.ixnátnellmleónidaCPdcdDaeiipendvTitnuCmoaeoesacequnmeaTtaemon:icderagaudamresvresiuilapdalmímaenteatmeedsdcaenaabayoogmidmtnlñuvneeabtsaonnpainnuedoeotluecnpciercadtctodlaediodouoezanuáitnleolgeqvdeurrdeua,elynedcmcadnlmavelurealrd2enccaaeasrevaaeerieeendiraptauuálimmenanaluqdaaacmmm4elmcoosatlqatloandcuebosyi/eecinmmeaaparubsinzcdecmliilódddsssogoggndeaeeeilaisao/nuuuoeoeadossar--------agl,ocagdncudniurtirurteruded55DtDyty
Comúnmente, al conocer la magnitud de la aceleración desplazamiento-tiempo, magnitud
de un móvil y la magnitud de su velocidad inicial se de- del desplazamiento-tiempo
sea calcular la magnitud de la velocidad final al cabo de al cuadrado, magnitud de la
cierto tiempo. Por tanto, despejando por pasos yf de la velocidad-tiempo y magnitud de la
ecuación 1 tenemos: aceleración-tiempo, para el MRUA

at 5 yf 2 y0

[ yf 5 y0 1 at

De acuerdo con lo estudiado en la parte correspondiente al

Movimiento rectilíneo movimiento rectilíneo uniforme, se concluye lo siguiente:
uniformemente acelerado (MRUA) siempre que tengamos una gráfica magnitud del despla-
zamiento-tiempo, la pendiente de la curva representará la

magnitud de la velocidad, y en una gráfica magnitud de

Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelera- la velocidad-tiempo, el área bajo la curva representará la
do cuando la magnitud de la velocidad experimenta cam- magnitud de desplazamiento del móvil.

bios iguales en cada unidad de tiempo. En este movimiento Al estudiar ahora las gráficas para un MRUA encontra-

la magnitud de la aceleración permanece constante al trans- remos que en una gráfica magnitud del desplazamiento-

Grupo Editorial Patria 79

Física General

tiempo al cuadrado, la pendiente de la curva representa representa la magnitud de la aceleración y, finalmente,
la mitad de la magnitud de la aceleración experimentada en una gráfica magnitud de la aceleración-tiempo, el área
por un móvil durante su recorrido. En una gráfica mag- bajo la curva representa la magnitud de la velocidad del
nitud de la velocidad-tiempo, la pendiente de la curva móvil.

Resolución de un problema de MRUA
e interpretación de gráficas

Como resultado del movimiento rectilíneo unifor- Solución:
memente acelerado de un móvil se obtuvieron los
datos del cuadro 4.2. Al unir los puntos no se obtiene una línea recta,
esto es evidente, pues la magnitud de la velocidad
cuadro 4.2 Datos del móvil Magnitud de la no es constante, sino que varía uniformemente
velocidad instantánea en cada unidad de tiempo. Por tanto, la magnitud
Tiempo Magnitud del del desplazamiento no es directamente propor-
(s) desplazamiento (m/s) cional al tiempo. Si se eleva el tiempo al cuadrado
y graficamos las magnitudes del desplazamiento
0 (s) 0 en función del tiempo al cuadrado, obtenemos la
1 siguiente gráfica:
0 2

1

24 4 Gráfica 2 k 5 —12 a
39 6
4 16 8 d (m)
5 25 10
25

20

1 Grafique las magnitudes del desplazamiento en 15 Dd
función del tiempo e interprete la gráfica. Si al
unir los puntos la línea no es recta, ¿qué sugiere 10 En una gráfica de la magnitud del
hacer para que lo sea? desplazamiento-tiempo2
5 Dt2 la pendiente de la recta representa
2 Grafique los datos de la magnitud de la veloci- 1/2 de la magnitud de la aceleración
dad instantánea en función del tiempo. ¿Qué ob-
tuvo al unir los puntos? ¿Cuál es el valor de la t2 5 (s2)
pendiente de la recta?
0 5 10 15 20 25
3 Grafique los datos de la magnitud de la acele-
ración en función del tiempo e interprete el sig- Al unir los puntos hemos obtenido una línea
nificado físico del área obtenida bajo la curva al recta, la cual indica que la magnitud del des-
unir los puntos. plazamiento es directamente proporcional al
tiempo elevado al cuadrado:
Gráfica 1
d a t 2 (1)
d (m)
Si cambiamos el signo de proporcionalidad a
La curva indica que la por un signo de igual e incluimos una constante
magnitud de la velocidad de proporcionalidad k, tendremos la expresión 1
25 no es constante de la siguiente manera:

20 d 5 kt 2 (2)

15 Despejando a k tenemos:

10 k 5 d (3)
t2

5 t (s) Nuestra cqounestraensuteltadked5ep11rd66oipvsmo2idr22ciri99olnasm2aml5ida77gadnsm2itk5udt1iedsmn2eel
un valor
0
012345 desplazamiento Deenbtaried5os2uakcqo5urer2eksms2pesoncdoniesntatentteie, men-
po al cuadrado.

Dy 8 m 2 4 m 4 m m
Dt s s s2
80 Grupo Editorial Patria a5 5 s 5 52
4 s22 s 2s

y 5 at 5 2 m 3 5 s 510 m

4k5 d Cinemática
5 t2
k5 16
a 16
a5
todos rleocstkcaa5(sgotdr2sásfiucava2l)o. r será igual a la pendiente 2k m 222d8yy4mmsmm599s2s55msy222mdyt5t24f [1m2sUs77dNysm5052ID542yAm1fDss12sm25y02tsm2
de la s2
Dy 5
Dt
5

k 5 16 m 2 9 m 5 7 m 5 1 m cpCooonmtsetonaelnamtyemo5, sasagiltaln5asitig2ugrdydsmuam25ifdei35ecnya5tl0yema1fsgao125acrs2átey1e10fl0eincmrysafa0u:ctniócniópnedrmelatnieemce-
16 s2 2 9 s2 7 s2 s2

Etusdtedveallaoara5ecse2leekxr5aakcc52tiaósmtmnd22 eqnutee la mitad de la magni-
el móvil experimenta
Lldndaeeuaamrlmacaoenavsltgeeecnrlooasayinctuc55uiidlórdaaeDaDntcddypt5soeeei5raaknn2rrl55a5ási8dsmdt42iaaim2o11DeDsgncs3.66nkytuet22Ptásma5l55eoe2nl24srr222de8aam5stsea4:smcma99s2i1senló5sma0n22tn2om4gsf25,24turamlsásmsnas77mfci5msbci5ó2ai2aén54g2nmsmdmn21ssaeliosmgtl25untoidbie2ttmudsmed2e--
d 5 y0 1 at t rectángulo
El 2área del
d 5 yrd0etep1lraesave2etn2lotacidlaamd agnitud
a (m/s2)
2 d 5 at 2 y 5 at
1 2

d 5 yf 1 y0 t
2
po (gráfica 3). y 5 at 5 2 m 3 5 s 5 10 m
s2 s
a 5 yf 2 y0
2
Gráfica 3
0tcdaEialeeltlmudámrerpaeoóla(a,voiomr1mlbe. aptaAaakkegrgnle55n55nismidite211DttDduauu22n66kytdldttasma55iddddaa2dlpedd222ell8u555ai4cl55nsmlma99asay(22y3imsyr0r((aasm2fat222yyf2accll212ff2aoege524a22sl2tnleabyemss772ipytr02yarta2)a4u0u02sms5c)c)ed2nii(ót5óy4(o2ndonfsm1es)1set2,seminte52l5nyeamf0nu2)uepvtnnsmmoec2a)liooópsgcn:otirdr(ádsaf)elida-l
yinst El valor de la pendiente de
la recta, representa la magnitud

(m/s) de la aceleración del móvil
10

8
6 Dy

4
Dt

2 De donde pdyaer5lamaeótl v5qiudydddl2ime5555nsms5t2oyayyd3m2dty2sffet2e22f252[1ga12s0yyudy5002nm05td1/o0sy.lmfas12mya0gtnitud de la
velocidad
t (s)
0 12345

Deducción de las ecuaciones t24::addddddydddadddyyyyyymmmmmm55555555555555ddddddddddaddddyyyaayydddy555d555iddmmmmmfv55555555555555yyyy555aayyyyyyyy52i255500555mm55(tt0000ffdffdyyyytdtttyyyy(2a2yyyyayyyytty2yy1212y1111ffff2y2222221i1220ym0t((00tf00dyffyy2afy[[efft2ft1111tt2yyf22222220t1212myyyy11aa11ffaa1ftn222221212222affa2dd[1000011tt1tttyyyyd22a2222ytt2 yyyyaaaa2ty1t1tt00t0025522a2aoyd000ttyytty0a2 2t)yt02y1tt100tyt0y5et22tyy)002(00n ) y f)fyyyttt11(2200ry f1ett1fyy21y2002y:tt)y0 0t) t (((((((2845376)))))))81
utilizadas en el MRUA

Como hemos observado en el movimiento rectilíneo unifor- Sustituyendo 3 en

memente acelerado; la velocidad cambia constantemente

de magnitud; por ello, si se desea conocer la magnitud del Sabemos que:
desplazamiento en cualquier tiempo, se puede obtener si
utilizamos el concepto de velocidad media que ya estudia-

mos: Sustituyendo 5 en

ym 5yymf 15 yy0f 1 y0
2 2

como: d 5 ydmt5[ydmt5[ydf 15 yy0f 1 y0 t
2 t2

A partir de uetsitlaizsayenmxpp5areyrdtasmiyoc5mnaled5tcsuydlafe1r2dluyac0sirmemagonsitluads eescudaeclioos- Multiplicando por
nes que se
mdeisepnltaoztaimenieenatcoesleyyrmavc5eilóyoynmcfdi1c5d2o5aynyd0ysfemt1s2atny[fit0neda. 5lesyfc1u2ayn0dto el movi-
d 5 yd0 51ymay2t0511dtya20 t t1 y0 t (1)

si  y0 5 0

d 5 yd0 512ymayt05t12yaf t12t y0 Grupo Editorial Patria

d 5 ydt51dy5a0tt2y10 1ata2 t 1 y0 t

Física GeneralDL M sc a EDzdhP suSc viiiaua)aaenaan  oee umaryssbryynEplRsiMca1nlpea00pelseitlooc aerdeliasime55scRanupgannozejaUszeceuldaUoataoicl00aeloncoicconsncumuAelmsuvaiu.adsqlanolmeianayilupioceuntómalecsdeoioalnneeroiclnasoccoóavrt:,snstlutioitnifpoad1ieoómmópavsm:a0ascrleam1dddaddddddddddddddddddaddddddddaaaayyyyniaemerdioqelpra2cddddmmmmgnso5555555555555555555555555555555asanuuiolcncdn55e55gs5555tpuedlricyyyayye(o(iaa2a2aa22yyyyyyyyyyyyyyyytiyyyydn22yoyntyeceaa22422u0l000mm((((saattaatt00002ffffff2dffffffd22dddadddddddddddduff22yffaayyyyatddddaddddddddddticaapyfttttied2yyf2yyf2ddaddddddddddddl22aa22yy:tt22sa1121122t2tl1111m2dd2fpfummmddcr2222222222dd22y1111mrsu25ff2555555555555555ffa2e2add55555555555555mmp5aa[el1e1555555555555555udddadddddddddddaalaeafa22,ddddddaddddddddd222aayyyd55m2r2u555oyyya55yyyyydaa52aast2tyyse552255ddsleaaraayyyryay(5ddda2a2yyyyyyyyyyymmmyy(u555555555555555aa22yyyyyyyynr000v0000yy0ettatt2yyyy505555555555555550e22(ya2a2222yyyyyyyy22tcyyyo22ymyttdtt00d0m202yo2((y22aattf000002fyfffffd22((ffyyaatt55e00m22ffffffin22t1i22t1fftytt0ttt0rl00ttt555((t22uaa2t25552yyif002fffffftt22)ffy22)2syyf00mttf22a2e002le2yytt12122t(n22yyfa2a211yyyyyyyy2112ffyy2yyt222(2221122oaa22t2fyyyyyyyy1112oyy22a2222)112)b222tff11lay211d2))2f2ffe222222s22ay2m[e1100((aaatt211y22ffy00a2f2afffff0022ffm1((saattad002a22ffffffdi22ffa2yyrttal2c21yy2t f2((entytyy22y2aa2a2yyfty2yyyev2y222aa21a120tml02tyl2ts21122myyyy1aa12yy2t2222e222aay2t112ey2ád1d1adaiffey222222ff2 2112000l0ettaayy2ff02000ay 2ne0ttó22ys02tta[22y0t00tf0lfltt0ay2ya11s0sy2ttmse2 0222y2a2a222r1yt2ettatty00yyty50aa2y22lt12t2yttn0ttyyyy)22aa2t10p1ym21tm)tt0da0at20ey vop222220g2aao)dy0mesd000 0tt020)2 0000a:22tt))yy02ey)tt22p0 2ecy)yeyttn)02nyyey1totttyy22ey1tgtt00u(t)5220ej(i0l)2on00a0(i02yvafdy00oc)0tt)lnunn)y)sdty)o)uf1itryusfac2ty(mnftoii(tt0i1sdy01iefta2dye2f1ld o2uytydMifeactdnf1ae2yar0fydi1sy1a2idmoecn2e0dRt0nmey0tde)onxt)yoe)Uayse0otletepas0Mtsde0lm,tAds):ge)lrecefotetanre,uioRsslnidtniatnlmetdiaUdoostulonieelese:zcdseAecsnaiidasmitdp(((((((dtrudc1111111e,o((aleoaeaa690442531esssnss----)))))))))li. 5d(y52f 2 add552y(a2fyf 2 y0 ) (yf 1 y0) t
2yfy102 )y0 d a55(yy2f 2f2a22yy020) t 2
ad 22 t

d 5 (ya2f522ayyf022)2 y0 d a5d2y5a2f (yf 2 y0) (yadfd5125yy0(0ty)12ft 22a2ty202 )
t

d 5 ya2fd 5 (yf 2 y0 )d(ya5fd1y250ty(10y)2fta222t2 y02 ) d 5 (yy2f2f 22yy0202 )
2a t 22aa

1.  d 5 ya0td15a(2ty22f  222y.02 )d d55y2f(2y2a2f 2y2a02 y  02 )3.  d 5 y2f 2 y0 t
2a 2

Cualqdu5ieryda2f 252dae(yy02e2fs22tasy02t)redsd5e5cyuf2ay22ac2f iyo0ntes d 5daya2e0tt2l1mai2stm2 o
nos

Crdreaeuslduapenlrtdddaeodlbo55loales,sayemdd2tpfs2e55d2oa2r,eeyy2yysts00aae2fcsttnaio1étgcoseao,t2rtonsá2suolpcddaueudd55sqreou55dla2yaes2eat2fyóy2nnm0l2ftoos22a1usadgsyreante02i2ptitst2ueuunildrtdseddeedm55eedlnáeyy2sd2ca2ffl2fesuo22t2e2sasapnlyydqlc0a02auilzttiloaeas--.
b) Edsmeaciduerenaidctdnddouii1o555ccd.nie ae2yyeyn2ddddlafsf2fuva15555t2npalayla2yymayer20at2ffs2faó22t22c2sv aeciigyyral o0u02lyctiy2eué.ndlds latatdddd55eress5555lptyya2eraffea2yyxy2mr1t22satffp2ft2ea2tr2ye egd0cysnuet i0oilattnuc3reie.do psnddddd:odese55555sol,2aayyyya2l2atnff2ffsa21t1t22evvreyeyil0l0ooottrcceiis--
ldeardaedso.finadle5s ey2nf tun movdim5ieynft1o2 uyn0 itformemente ace-

d 5 yf 1 y10. tyf 5 y0 1 at
2 2.  y f2 5 y02 1 2ad

Igual que en el caso de los desplazamientos, para
calcular la magnitud de la velocidad de un móvil uni-
formemente acelerado tenemos la opción de emplear
cualquiera de las dos ecuaciones, dependiendo de los
datos o de la que nos resulte más sencilla.

Cuando se desea conocer la magnitud de la velocidad

final que alcanzará un móvil cuando parte del reposo,

tendremos que en esa circunstancia la velocidad ini-

cial es cero y las dos ecuaciones anteriores se reducen

a las siguientes expresiones: d 5 at2
2

1.  yf 5 at 1.9 m (3 s)2
2.  yf2 5 2ad 5 s2
d 5 8.55 m
2

40 km 3 1 000 m 3 3 1h s 5 11
h 1 km 600

a 5 11.1 m/s \ a 5 2.77 m/s2 al
4 s

Sustitucióndy5rea2stu2 ltado a 5 yf 2 y0
t

una aceleración cuya magnitud es de 1.9 m/s2. 2 aUlnsauur teonm4ód4vs0.i5l¿kaCh1mdu.q9á3usmli22ee1(s1r03es0ksuu0)m2nmaa5cev38lee.l53ro5a61cc0imhdi0óandaasd555e5dne116y1.m403mt.013/1s/kmms2sm3?a2/2tss/222h m/s 1.33 m/s2
¿Qué distancia habrá recorrido después de 3 se- 5
gundos?
al sur
Solución:

Datos Fórmula
dd4055kh1am2.t923smG221r(u103p0kso0)m2Em5di3t8o.r53i5a61l0mhP0astSaDtyr5o5ai55al1tuo414?cs.0si1m ó kmn/sms:2daaa/h5555a16yyl 10fsmt.u241t1/rssmy3a202/tss22\ma /5s 25.717.3mF3ó/md0a5sr.02m535/skaum2h2ytmllsiamnudday3/r3f5s5515311014y6209m3kf0m8022msitsm/nmm1sy/530s3a1l1a.133s8l23us61ssrum0h1r02/ss225(m31/s3s)
y0 5 0
a 5 1.9 m/s2
 t53s
 d 5 ?

82

11.1 m/s  2 a 5 1.33 m/s2 al sur m at2

4mmam0asnnmmls0l1t)5/5ss.es2557su)3u3127852r5r1.3.5.3sm533870112357261611.ss3[m4003mmhh3.00572/a/sms4ssm52255(/m3s0a211.sl731)s27..u8134smr9  m2sTmsabtyDSbmyaaUCmSlqmDyDSSSyratyoab0ff0l)))uo)5ouuunaaaefas)5 )/// 55 55sll5sssisss5dadtltttttddddddaaa[[[aaaaaaaaaaaaaaaaayyyyyy444uuSnS5uectttooem32.555000iii5affffffccuuu6355555555555555555555r5r255555551rtttss3tttssyt?ddaaaaay4555555esoiiluuum kkkl.e555222s óóf5mmam0daf111222222221115mt111s333222hhh55555666pc5cc5?mmm6?guonno000000ct5ddaaaaaa...111ruiy4222e111222000iiika3332000m//n/(((:mmmun333mmm222ceóóó::/r5121yyy...0555555mf1222s32h6...r...ss333555555sm55333999...sr0003334441110ddd555000ein;nnla.1n000222p3332yyy5m 10 000/ct//////aaa3e333k0888...12m3m555...ayyyvvv.es5555mmm12213330002sssdsssl..sssmmm1155532h ...6la39.0ryyy555111lm3415a0255503330003i222000999.15552111a333a222o1ammm5550//3lc8.c1113s0///(5.000(zm3555m///vo5m3ssmmm.rrr9991115s111m251.cs.35ssssss333te5co1sss3mmm9.0 30004a13 5mmmeee0///r093335s222akkk31,32.m2225immm0.000//l13n8/mmmsssi.0a0005/5ó.msss///9222aaavme9s5m13ssmmm///aaasmss353.ó000///smsssmmm51aaal0uuup333mn/53sssaaai3aaa///2ttt8kr095sss2ummm1 lll///3l2m0m5msi1lll111nsss0/2220emmmllla/i5s/aadddsss5[[[emm/a9///1sss5550tttn/dss3mm222777asm3ssse0222svcmsssat/aaal3/uuus2kmlaaan/2)))333m0uuu111ea[[[l1mmsttt2smg0disa/baddd[sss555222/elll555srrr5m/at555ó07/...2szmsrrr555a23sosuau/333tar...aooo111esaaannndml3/333nu1t777l1s352 am111888 ss22233352l5r[njs/qsooo5222i.e5552r75777111n666as2p555...s3ac222.u1una3d)rrr3333u000nummm71000tr185a1...3iu.ttts52mmmhhhvvvl5r222o21115333o...d0007.eaaa1n6eeer000515.p23333y.222///e1nr0003s3vsm...07e..///ssssss18mmmt22255523333mohvisss)yyyas139lo2e0sssae071z2226sd5.lddd9995552eeee2/r00002225555222r83(((l.e///0mum0/sbasm.3o333s999tnnnimhvsssau13s5mmmv.0at2e0aaan))1115eF3c22252/v20i3a( /ndy sssmmma.dddlll/ses222m3111i9mn5i3ós///se)))1gtdddddddddddaaaaacyyyyyddf0d0ddsaaa5aFydaar2eeessssssm2221em...295e///5r5l92á5s111(im..600660fftd/nuuufló222ttta555555o21ssso5555555555553555535a9pmns)seee.ssst55pm/5e55srrr222aid2mmmr0a.c1k2/lusssesynnnt1l555(((umms22mt1d1oul11sh5801y4yi2yy6y21uayy00777atm/de0n)5n27eeedi9271r2.9.me922s.23l0s220.ft0..fnt1f1ds3ii12/nuy5me1mrrr8(0mdt11a00t37sssa1ut0nn222st.42.s27m21sss11.39c4i33)))e5e18t20lt1s7138di.17er2.cmkeee3222m1kk/t/am9.1e.[33msi47rn.9s(.a36/h4sms1scihh6ymy9mysms1175.mmms4n1e)4saem3/at44a/4a5lem2t23m4032.00d211s1ss2/3tas2ir41l20/ts4atm2tm/m566ess(sasm3/tsme22s3302)lm/2s4110ad1dlmm03k2ts22e6200(tsm52/03/saa803l2.ee10e/2/m0amk/ss111uasii2msssds0sass.0/nn2mmls0sm1611l5a202r2u1ss0t0-/l3)1/ass.e2m501s0sd2055r07sk3ankku)3u.501206071555lsmommr5r123.3195nm53r1mm1sms380251t.1m23o34me132611.s0rs1s633343[m/40t361/...h12se3232.0sm5076232/a233h3810s(m  5s m421m/61566112.TTmsss352(0/010m/CabytbuyaUaSabSDabyDSbattC03hhhsrr(e0s05.0/00f0)))))m.6)s5u5)o))o)n2123naaaa25aa2s . s)57ll055sss¿3sa222¿¿¿dydalttl)ddddd0ddd0ddddd0ddddddddd3aaaaaaaaaa555aaaaas444y6/uunnmccQtoo27(.t00QCC.s)5f...550000008fffi655dd0d0ddddddaaaaa5aa8cc4yruu5555555555555555533555555555555555555555m52..ss00tss/sme..u52uu035ii..c09u0uf(0kkkkk ll7135555s55 m531óó555555555256ffmmmmaan411/eé111hhháá111111hh522266yyyyé11cyyyyy20000?aaaattmmmmm9??s?koomkm9mnns.9krrk8...ms(222lmm2222211133a5i1nls0000)...i0001....ffffhttttt11h.2333iii6yy112yy.v00eaa:t:mpmmmmmmó::999drrttt23377n11tt4)nnnn9mm44422222222......5l.mfii2222t2213m3330.520333..ef333tt4411188r3/iitttna77711n88nu114mmmomiu9t4...371tsssmmmnns//4//mm22s..a3333ms772l999/3m/334//r185mmmdd0dd0dddssssts sssaaaa5aa2222edd0d0dddddd4u7taaaa5a1sss8mmm4yo21yyysssmm.hsstyc221smm111111h/444ss/mmto33)337aaa9/aa..0a..0aa22220mmm/03322frm0000c(((sse2m/2s22m1111i555555y5555553s11mss5555551153///s555555555ss222 220019///s1003334satt22órtts3mm/na156666/ai/ss((ssscc2m32uss 0k222(kkk. 2222211e2221110003d1ss1000/ls2mmmmsdne20333kkk/22mmkk03mm2222at1240000t(1c1h m11h1sssh2161hy6612ii556yyyy1s0(syyaatm00maatmsms288000.\\3002aee210t90ea)))mmml.mmmm4aaóó.i23k22k2213222213000.(aaa0ssscu.iiiii.mmmftt0..sftt3iir2222sssss3ii50aaammsd9mm80t97\3nnnnn01tc37lmmm1tmmmennllss4nn40022..4)22mom..annulll2m23l111m3ttas3iim3418334182sst)))t5557e0a1871///8s555t1sss.s...rnnre.msmmlsssm//sss0l/2222 /my335555l733m77a7ss919teuu)el/mlssm2)s5s333s2muuu33s/ym5smysss.m111seddo2222es121e1477ss12888d4s555355p2273ascarrr55/a2u)m322m03(2rrr110(3...233u113e211r1s1v/1s11../22s20/oee205503/...7ov3330t38at25osssmmmtm255333m33366ra566s(888s777s(s0 s111 rs12a2.3211102s0102222330r.ammldmm3k2ks53k.22k355200cs00m(777s53s32266511668115?7110ruu1..80\ss080\3o0ss1lee2)m3m)ma33ima[[[mmm5e444000asiio00mas7iim3mmm2ss2621óss61a10amm.Ushhhshhnnmnnssmnnlm33sml0s0...300la00rl[m154010nt3me77222p///)aaa5)5m/5/s5h.hsNs.e3//s2ls2ssiie.05mm50755ssss7s5444nssulu)sssm72/a3u33555u3edd222211a2/sIe78785s5m22222s2r5555D5554r5((s//smr1nmmmr1.3e.53z2aa33s..d.sss35.3s00m2sm533aaa535358(A78bFFaab07/10tsó1m2222111111123dd3e2m3..esss55ll0e7))72a6)óó)17772616D161133.111.sss)))21s1  e  3ssee.3[0ms[m4l222207774000rr/m...3y...m7tmm31dd0dddd0dddhaaaa5aahyuu4yhndd0d0dddha5a)ydd0dd0ddd883aaaa5111aa4y3s.mm.0sss0.0i02573sss7.mmm2/...af702/0ea..f02rr..999f00ufe5555558/15355555555555/53555555555mm55s53e5m555555s2222m?ss54s4sssuus5mssm5sm5m5rx9k5k2k2mmksm22mmsss2mm155llm5m(15aaash(11h1/12h6yy/1112myyhpy0011hmaaty2m6em00yyatmyy00aptm3aa3m9as9/s.9020ll221s3.a023.2a0..a2f13tt0..03iiet0..sfiit3iissm21mo1921m1tt371tmm37t1nnt.t374.n212nts..sss42nnsl.m4l2C2..lm213tmdddddddd7r2aaaayy373418i333?18t3313471818)71t)uuu8171.81.esms./is/m/s9md2335/7/m2i76066733t9733..97..9/55555nmm/oss55552u/srrsumm8sysm1usm81smsmsy.2ssssm1s1tu4s1s4s154s3a0as/mae3sm/aa2m/3ar229m0(r392m3r221102l555111s1e/2111sms222m1s20s1r/2/03210s22pat5280y20t/ay2mstamat2ystm66sm(66s(665ss2(as272nsm2210m2029210l.2mm010l23kmm2okftsl3k2mms1f1003k(21k2a002(say50m01(5tn5050á80t\32s0.803e80\3e2?)me11m1.am9alm43mla5a1t20asiim1sii32-ssas.iimt0ssa0sss01asktnnsm9.nnml1m.s[nn0l4mss0l.iss0l361lh4t1c1th16ymt9)5y11)./mmu5)4sus.se/s.5ses.se2a4424s5527a5sm55t740557.0us)u)u)r3u233r3413/u31t2412m1/7287557525arm5ts2mr2s30r5m/rs141.13r.130.3.265.35ts3ms5m.3s2m53/033sm3873830180710/021/10mk/2s312312325s7s26a16s17206/112621.16ms1ss.m1ss61s223ss0[m3/[40ml30[40m34m0103a3m2m50hhmhsd3h03k3.0a0n.k05.00557.25/a72/a72/a06155/lsmoms/mssssm4ss4341smsms5m9552n52r1m12s252552(5t(/55.(m/mom3343me13s30s0a0a0r1s6321411211..stl.s61s
5 10.5 m/s aS)u s0dyt.fi55t5umc09i.ió3nmnm3/ddyys/f155sa2r562elm0(y0s3e90ui.s0s3ntmlt1tsem5a)/2sd/a3s2o5a2t022sl(13se30s5tse)m2 5 135 m

5 Una lancha de motor parte del reposo hacia el
sur y en 0.3 minutos alcanza una velocidad de
50 km/h.

Grupo Editorial Patriad 5 y0t 1 at2 83
2

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d4209555m1t1340n32.m50053e0ss2109.235a/212034122a/5m5t/4tm/nm19o115/e0s5s3a/m3tsmssm2s33m0912lm1a/0s4S1mt0aqs1s/3302ksm2s62i0mmm0tsm/322kms/03s0d2dlm/2i20a0u/2/dmsm/a0m0k/ks10//2as11umd2a3m/assssaa0/ata/ás0s/mlsae2mlm/3esm1sa6a/tm1102l1rs2aseums2ls/0m0/dsl-3t[l/11s:as 25m2m5ds0271s0[ds/i20s5r0sk3an2kku75cas/)32s.5u1[u0ta06)03155lsums1h[52alo50mmrt5.s2r35251l5r5953n.m.r1r1anmm513s37.521an183t.23m7o3o2184me152371635o.22570r11s663r3335.40m20/.rt36t10m/mhv..02.113.2se.0tae20mhv322s13m03.0a2/e00322333.h32/8/0ssm1025(3.s5ym2/ssms125/36s12y6611.d9s5e0m225ss2s3(2d/95e00201052/0(39n/hshh(m3s9n05as.0/0m1.6sm22a3221ssm2dl)21smss/dsl2)22321s6//esm)s2.(

2 Una avioneta parte del reposo y alcanza una ra- a) Su aceleración.
pidez de 95 km/h en 7 segundos para su despe- b) Su desplazamiento en ese tiempo.
gue. ¿Cuál fue la magnitud de su aceleración en Dé los resultados en el SI.
m/s2?

Grupo Editorial Patria 85

Física General

4 Una lancha de motor parte del reposo y alcanza 8 Un camión de pasajeros arranca desde el repo-
una velocidad de 60 km/h al este en 22 segun- so manteniendo una aceleración constante cuya
dos. magnitud es de 0.6 m/s2.

Calcular: Calcular:
a) Su aceleración en m/s2. a) ¿En qué tiempo recorrerá 0.3 km?

b) Su desplazamiento en m. b) ¿Qué rapidez llevará en ese tiempo en m/s y
en km/h?
5 Una pelota al ser soltada en una pendiente ad-
quiere una aceleración cuya magnitud es de 9 Un automovilista que lleva una rapidez de 80
6 m/s2 en 1.2 segundos. km/h aplica los frenos para detenerse en 5 se-
gundos ante un semáforo, considerando la acele-
Calcular: ración constante.
a) ¿Qué rapidez lleva en ese tiempo?
Calcular:
b) ¿Qué distancia recorrió? a) La magnitud de su aceleración.

6 Un motociclista que se dirige hacia el sur lleva b) La distancia total recorrida desde que aplicó
una velocidad de 10 km/h, si después acelera los frenos hasta detenerse.
uniformemente 3 m/s2 durante 5 s.
c) La rapidez que lleva a los 2 segundos de ha-
Calcular: ber aplicado los frenos.
a) La velocidad obtenida al término de los
d) La distancia que recorrió durante los prime-
5 segundos. ros 2 segundos de haber frenado.

b) El desplazamiento que tuvo a partir de su 10 Una caja se cae accidentalmente de una camio-
aceleración. neta que lleva una velocidad de 60 km/h hacia
el este, recorriendo 15 m antes de detenerse. Si
7 Un automóvil que viaja al este aumenta su velo- la aceleración es constante.
cidad de 30 km/h a 60 km/h en 4 segundos, si
se considera que su aceleración fue constante. Calcular:
a) La aceleración.
Calcular:
a) Su aceleración. b) El tiempo que tarda la caja en detenerse.

b) La distancia que recorrió en los 4 segundos. c) La distancia que recorre el primer segundo
de su caída.

Caída libre de los cuerpos da del cuaderno es vertical y es el primero en llegar al
y tiro vertical suelo. Ahora, hagamos una bolita con la hoja de papel
comprimiéndola con las manos y dejémosla caer en for-
Caída libre ma simultánea con el cuaderno; el resultado será que
ambos cuerpos caen verticalmente y al mismo tiempo,
Un cuerpo tiene una caída libre si desciende sobre la porque al comprimir la hoja de papel casi hemos elimi-
superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia nado los efectos de la resistencia del aire. Cuando en un
originada por el aire o cualquier otra sustancia. De ma- tubo al vacío se dejan caer simultáneamente una pluma
nera práctica, cuando la resistencia del aire sobre los de ave, una piedra, una moneda y un pedazo de metal,
cuerpos es tan pequeña que se puede despreciar es posi- su caída será vertical y al mismo tiempo, independien-
ble interpretar su movimiento como una caída libre. Para temente de su tamaño y peso, por tanto, su movimiento
cualquiera de nosotros es muy común observar la caída es en caída libre (figura 4.6). Aunque al caer al suelo un
de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra, pero, ¿nos cuerpo sufre los efectos de la resistencia del aire, por lo
hemos puesto a pensar en el tiempo que tardan en caer general son despreciables y los consideramos como si
dos cuerpos de diferente tamaño desde una misma al- fueran en caída libre.
tura y de manera simultánea? Demos respuesta a esta
interrogante experimentando con una hoja de papel y El científico italiano Galileo Galilei fue el primero en de-
un cuaderno. Observemos que la hoja de papel cae más mostrar en 1590 que todos los cuerpos, ya sean grandes
despacio y con un movimiento irregular, mientras la caí- o pequeños, en ausencia de fricción, caen a la Tierra
con la misma aceleración. Por tanto, si dejamos caer
simultáneamente desde cierta altura una piedra gran-

86 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

memente acelerado, resumidas en la Deducción de las
ecuaciones utilizadas en el MRUA, pero se acostumbra
cambiar la letra a de la magnitud de la aceleración por
g que representa la magnitud de la aceleración de la
gravedad, y la letra d de distancia por h que representa
la altura. Por tanto, las ecuaciones generales para caída
libre de los cuerpos serán:

1. h 5 yyyy000222ffftt22211g yygg00022222tt 222
2. h 5 2g
hh 5
5

3. ytthhhhy(((sssf2mmmfuuu55bbbááá55iiixxxrrr)))yy55y55yfff 002222222221122yyyyyygggg0000002222000ttgh
4.
5.

figura 4.6 CepnoEploVornsofeuseesrljceeoccagmlcturuaiapordeliysrodar,teadrpodeosnctnoireceassuorctsnumcdeaieuounriabdnnnttarhhhhhhhhca(((adaaajaaiii55555555iarrrolleeeaad)))ndyy22ggggv55a2222000soitttttd;99ttae22222222e..11sojne88a[[22slggmmggcsyyartt22uátt000c2255ua//222paissóin222idn((rcd4422oeaoggqsshhe))uív222nsdea55ouaeenb22xnap77rb88eue..rin44cimimmcaeluenttotaa-,
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Al extraer casi totalmente el aire del interior del recipiente, se elimina la
fricción y los cuerpos caen al mismo tiempo. minal cuando su peso tenga la misma magnitud que la

de y una pequeña, las dos piedras caerán al suelo en el fuerza debida a la resistencia del aire.
mismo tiempo. Con base en estos resultados podemos
afirmar que la aceleración gravitacional produce sobre
los cuerpos con caída libre un movimiento uniforme-
mente acelerado, motivo por el cual la magnitud de su
velocidad aumenta en forma constante, mientras la ace-
leración permanece fija. La caída libre de los cuerpos
es un ejemplo práctico de movimiento uniformemente
acelerado.

Al hacer la medición de la magnitud de la aceleración de
la gravedad en distintos lugares de la Tierra, se ha encon-
trado que ésta no es igual en todas partes, pues existen
pequeñas diferencias; sin embargo, para fines prácticos
la magnitud aceptada es de 9.8066 m/s2, cantidad que
redondeada puede considerarse en forma aproximada
como 9.8 m/s2.

Para hacer una correcta interpretación del fenómeno que
se presenta durante una caída libre, en un tiro vertical o en
un tiro parabólico, que veremos más adelante, al resolver
problemas, debemos considerar que la aceleración de la
gravedad es una magnitud vectorial cuya dirección está
dirigida hacia el centro de la Tierra. Como ya se ha seña-
lado, los vectores dirigidos hacia arriba son positivos, y los
dirigidos hacia abajo son negativos; entonces, puesto que
la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo
tendrá signo negativo. Generalmente, se acostumbra re-
presentar a la aceleración de la gravedad con la letra g, y
para fines prácticos se le da una magnitud de:

g 5 29.8 m/s2

Para resolver problemas de caída libre se utilizan las
mismas ecuaciones del movimiento rectilíneo unifor-

Grupo Editorial Patria 87

Física General

Fuerza de la fricción viscosa del aire (F) máxima y el tiempo de permanencia en el aire; por tal
motivo, haremos la deducción de las ecuaciones nece-
sarias para calcular dichas magnitudes a partir de las
ecuaciones generales para la caída libre de los cuerpos.

Para calcular la altura máxima que alcanza un cuerpo
lanzado verticalmente hacia arriba usamos la ecuación:

yf2 5 y02 1 2 gh

lCouciadnaddofeinl aclueesrpcoeraol,capnohzr5acoysnu0tsa1igltguu2tire2anmteá:xima (hmáx) su ve-

yf2 5 0h 5 yy02f2221gy202 ghmáx
Despejando a la alturahm5áxyifm22ayt0enemos:

Peso (P) h 5 2 y02
figura 4.7 máx 2g
El paracaidista alcanza su velocidad terminal cuando F 5 P.
Para calcular el tiempot(suqbuir)e5t2ardyg0a en subir utilizamos la

88dEdeprEyatpicsvEnpnaeuaelloaeeoinssanctgTltrtam,rlsuRrdelaptetrt1selioeepidyiecqi sairócevmlssm,gastaurao.cemtdeopUCaebsr2auoniaieDllaee)edo)0cmotoveovnzaln p cimecrar0iciapLLclsaetaeaemlfulucíiautoairipouaadkdrirnactuglpdlnisaiaosamaaittecdnvllmauciiuoteriasmdeoinseteqrzlla/microtlatadnyllaathuólehdulai:aom,ogaassridl.mgeeautrcsteanimnlatsaooauadmlcirfmetaeidrlvauriarssaettdnednaadaiauueupperrsmmnaedeaddaderlrrmmaellledrrazeabuielbeaáreveodamaeasályynra,empnea.deejgixeuljaienpdbmtanailsnásirndlolfloeammsratecisxieoa.itdacctguasgiminuovaofEioeemmbeebcormaetd.bsmniinure.pilracslIlisraasoenadnuempcdceaegyhacrnmiuecnoorelgmaónaailadvnytldscslunevessiaoíámdeouactatddemnauenlnaenedvvduluieadcdoadsdplzieoannsoolucsctaloolalinltcaimesoiodóacdc4sbed,odmanhaccnaeuauryeasserdiianze,eeqadeoyaedqpooszernfsngaudctqutoapuplducetaedeeuerrueeaoeotoelnasntiaescnlrultG.íairsolldusendnhodaeanaradusliroiuoeanumlaiacmlvebsmccrclaapzlieb.aeciuuptuaaianborluarnuraenoeidrzstssegrjaaEbrrriiuoaoaees-----rldlriteoryiemeDCjmdCaascaleouroátuPd,dsmassiaeap:ernfyocntagStyDiecod,nri0)to5ijóeaioc5 raoaa5lnl:htovunnloe4t:m2cdecei05lsesieso o9ócr ms?cu.nty8aeepe:ialrlmorcopttmiai,q/oeespeulmm2yanoe flpprcc5tiootaaotttddahhhhhhhhhhttttttttddddhhhhhhhhhhhyhhhhhhhhhrn((0((((((ndas5sasqssan55341td1fm3434mmummiuu555555555uuiz55555555i555555r(arres5sbssssb5bssbbáuetaááeaááeaix)iiiioixx)xxm)r555r5rrr5555 reyyyy)2ggyyy)2)yyypyy2))gggg5ye55555:e55yys522255000)5522202220000002ttoff0e2t2tff2tt22222292n22tttu09t9tttt0ttt52222222222222222sr222a(9229.92(9111(921.122.212111111552g555258m2,g88sa[r.[.[...222222282u4y4882edyyyyymy2ml6myvymmyv6mgggmg6(gggggmgaggmggygggyytt(g0tgt2bn020022a0022022202gg2mt0022m02022um0202m02mtttnt0tttttebCat9t025t0//2525/9(////9i//222(2222s2222srsssssers)esc.m9)ssmum/.e//.//ou8a442s3b32us2ssns3.3s33ebnm8(ttti)(hhhhhhhh(y2)e)22irm33acm((4sm4rm4)2as5223f4)3m344uFmoii5555555csg5g5gi5rea5b/s1áá1ess/n/huihóhsissxs)ss)ssr)l)yso/xyy)223sggyy2b3e2235srs1s)1151110myn5it222002.m.2ttff.n2i512m15559a5tt5055er2222)22222i22(2922.2n11use21sg852sa2s2s232[[.tm29909ll99892tyyyqey6ggmag7(g7y7y.99s.4.,.tgg.a.s0002288o022808u8m88ustt88a0..s425lit/8b8222are..u.mmsp.mmmmmi4/44enr1sd2smm)a22]222v2/(/o/)/m//2mmasm4rs2sssss2e//etan222gs25s2s2els(r((((h(u2o:23b)n43á344((23cb11:aesss.sisse55---)))s)s))222222))2s22 78.4 m

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