Física General ( Paginas 1-300) Parte 1/2

Física General

mueve, pues al aplicar la fuerza al carro estamos em- la aplicada para empujar al carro, de ahí que la resultan-
pujando hacia atrás el suelo con nuestro pie, por consi- te de estas fuerzas es la que logra mover el coche.
guiente, la Tierra nos empuja con una fuerza mayor que

R

figura 5.8 A

El coche logra moverse porque la fuerza que produce la acción (A) actúa sobre un cuerpo (la Tierra) y la fuerza de reacción (R) actúa sobre otro (el coche).

Resolución de problemas aplicando las leyes de Newton

1 Calcular la magnitud de la aceleración que pro- 3 Determinar la magnitud de la fuerza que recibe
duce una fuerza cuya magnitud es de 50 N a un un cuerpo de 30 kg, la cual le produce una ace-
cuerpo cuya masa es de 5 000 g. Expresar el re- leración cuya magnitud es de 3 m/s2.
sultado en m/s2.
Solución:

Solución: Datos Fórmula

Datos Fórmula F 5 ? a 5 F [ F 5 ma
m 5 30 kg m
a 5 ? a 5 F
F 5 50 N m

a 5 3 m/s 2

m 5 5 000 g 5 5 kg Sustitución y resultado
F 5 30 Kg 3 3 m/s2 5 90 kg m/s2 5 90 N
Sustitución y resultado

a 5 50 kg m/s2 5 10 m/s2 4 Determinar la magnitud del peso de un cuerpo
5 kg cuya masa es de 60 kg.

2 Calcular la masa de un cuerpo si al recibir Solución:
una fuerza cuya magnitud de 100 N le produ-
ce una aceleración cuya magnitud es de 200 Datos Fórmula
cm/s2. Exprese el resultado en kg.
P 5 ? P 5 mg

m 5 60 kg

Solución: g 5 9.8 m/s 2

Datos Fórmula Sustitución y resultado
P 5 60 kg 3 9.8 m/s 2 5 588 N
m 5 ? a 5 F despejando m
m
5 Calcular la masa de un cuerpo cuyo peso tiene
se obtiene: una magnitud de 980 N.

F 5 100 N m 5 F Solución:
a 5 200 cm/s 2 5 2 m/s2 a
Datos Fórmula
Sustitución y resultado
m 5 ? P 5 mg [ m 5 P
P 5 980 N g
100 kg m/s2
m 5 2 m/s2 5 50 kg

g 5 9.8 m/s2

140 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Sustitución y resultado

m5 980 kg m/s2 5 100 kg
9.8 m/s2

6 Determinar la magnitud de la fuerza neta que B5? FX 5 ?
debe aplicarse a un cuerpo cuyo peso tiene una
magnitud de 400 N para que adquiera una ace-
leración cuya magnitud es de 2 m/s2.

Solución:

Datos Fórmula P

F 5 ? F 5 P a
g
P 5 400 N
horizontal cuya magnitud es de 6 m/s en 2 se-
a 5 2 m/s 2 gundos a partir del punto de reposo.

g 5 9.8 m/s 2 Considere despreciable la fricción entre el piso
y el bloque.
Sustitución y resultado

F 5 400 kg m/s2 32 m/s2 5 81.6 N Solución:
9.8 m/s2
Datos Fórmulas

7 Calcular la magnitud de la aceleración que re- m 5 4 kg a) P 5 mg
cibirá el siguiente cuerpo como resultado de las
fuerzas aplicadas: a) R 5 ? b) Fx 5 ma x
c) Fy 5 ma y
b) Fx 5 ?
F1 5 30 N F2 5 20 N yx 5 6 m/s
t52s
m 5 2 Kg
g 5 9.8 m/s 2

Solución: Sustitución y resultados

Datos Fórmulas a) Para calcular la magnitud de la fuerza de re-
acción que el piso ejerce sobre el bloque, con
a 5 ? FR 5 F1 1 F2 la Segunda Ley de Newton determinamos la
suma de fuerzas en el eje vertical:
F1 5 30 N a FR
F2 5 2 20 N 5 m SFy 5 R 1 (2P) 5 may
m 5 2 kg
El signo (2) del peso es porque su sentido es
Sustitución y resultado hacia abajo, como el bloque se desplaza única-
La magnitud de FR se obtiene restando F2 de F1, mente en forma horizontal no hay movimiento
ya que F2 es de sentido contrario a F1. vertical; por tanto, la aceleración vertical (ay)
es cero.
FR 5 30 N 1 (2 20 N) 5 10 N
La magnitud de la aceleración es igual a: donde: SFy 5 ma y 5 0 [ R 2P 5 0

a5 FR 5 10 kg m/s2 55 m/s2 Lo anterior indica que la magnitud de la
m 2 kg fuerza de reacción (R) es igual a la magnitud
del peso del cuerpo (P ):

8 Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado me- R 5 P 5 mg 5 4 kg 3 9.8 m/s2 5 39.2 N
diante una fuerza horizontal (Fx), como se ve en
la siguiente figura: b) Para calcular la magnitud de la fuerza horizon-
tal (Fx ) requerida para mover el bloque con una
Calcular: velocidad horizontal (yx ) con una magnitud de
a) La magnitud de la fuerza de reacción (R ) que 6 m/s en 2 s, tenemos que la única fuerza que
actúa sobre el eje horizontal es la fuerza de la
ejerce el piso sobre el bloque. cual calcularemos, su magnitud de donde, se-
gún la segunda ley de Newton:
b) La magnitud de la fuerza horizontal (Fx ) que
se requiere para dar al bloque una velocidad Fx 5 max

Grupo Editorial Patria 141

Física General

Para calcular la magnitud de la aceleración Sustitución y resultados
horizontal (ax ):
a) Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido
ax 5 yx 2 y0 5 6 m/s 2 0 53 m/s2 por el cable, la magnitud de tensión en éste
t 2s sería igual a la magnitud del peso del cuer-
po: T 5 P, pero como tiene un movimiento
donde: descendente el peso debe ser mayor que la
tensión. De donde, sustituyendo en la fórmu-
Fx 5 ma x 5 4 kg 3 3 m/s 2 5 12 N la de la suma de las fuerzas en el eje vertical
(SF y), se tiene que ésta es igual al producto
9 En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso de la masa del cuerpo (m) por la magnitud de
tiene una magnitu de 500 N, como se ve en la su aceleración (a y).
siguiente figura.

Por tanto:

Fy 5 P 1 T 5 may

como m 5 P
g

SFy 5 P 1T 5 P ay
g

Sustituyendo valores tenemos:

SFy 52 500 N 1T 5 2500 N (22 m/s2 )
29.8 m/s2

Recuerde: El signo (2) tanto del peso como
el de la aceleración de la gravedad y el de la
aceleración del cuerpo es porque actúan en
dirección vertical con sentido hacia abajo.

SFy 5 2500 N 1 T 5 2 102.04 N

Despejando a la tensión (T) tenemos:

T 5 500 N 2 102.04 N 5 397.96 N

P 5 500 N b) Al ascender el cuerpo con una aceleración
vertical (a y) la tensión en el cable debe ser
mayor al peso del cuerpo. Sustituyendo va-
lores en la ecuación:

SFy 5 P 1T 5 P ay
g
Calcular:
Observamos que los valores son los mismos
a) La magnitud de la tensión en el cable que lo que sustituimos para responder el inciso a)
sujeta cuando desciende con una aceleración del problema, pero ahora el signo de la ace-
cuya magnitud es de 2 m/s2. leración del cuerpo será positivo, pues actúa
hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El
b) La magnitud de la tensión en el cable que lo signo del peso y de la aceleración de la gra-
sujeta cuando asciende con la misma acele- vedad sigue siendo (2) porque actúa hacia
ración. abajo.

Datos Fórmulas

P 5 500 N Como el movimiento SFy 5 2500 N 1 T

a) Tal descender 5 ? es vertical: 2500 N 32 m/s2
5 29.8 m/s2
b) Tal ascender 5 ? SFy 5 P 1 T 5 may
5 2500 N 1 T 5 102.04 N
ay 5 2 m/s2 Como: P 5 mg

g 5 9.8 m/s2 al despejar m tenemos: m5 P Despejando la tensión tenemos:
g
T 5 500 N 1 102.04 N 5 602.04 N

142 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

10 Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es 11 Una persona pesa 588 N y asciende por un ele-
de 980 N, aplicando una fuerza cuya magnitud vador con una aceleración cuya magnitud es de
es de 1 400 N, como se ve en la figura. Determi- 0.8 m/s2.
ne la magnitud de la aceleración que adquiere
el cuerpo.

ay 5 0.8 m/s2

T 5 1 400 N R5?
ay 5 ?
P 5 588 N
P 5 980 N
Calcular:

a) La magnitud del peso aparente de la per-
sona, es decir, la fuerza de reacción (R) que
ejercerá el piso del elevador al subir.

b) La magnitud del peso aparente de la persona
al bajar.

Solución: Solución:

Datos Fórmulas Datos Fórmula

P 5 980 N SFy 5 P 1 T 5 may P 5 588 N SFy 5 P 1 R 5 P ay
g
ay 5 0.8 m/s2
T 5 1 400 N como m5 P R5?
g
g 5 9.8 m/s2
P
ay 5 ? SFy 5 P 1T 5 g ay a) Si el elevador estuviera en reposo la magnitud
de la fuerza de reacción del piso del elevador
Sustitución y resultado sería igual a la magnitud del peso de la per-
sona, pero como sube, la magnitud del peso
2980 N 1 1 400 N 5 2980 N ay aparente de la persona aumenta, toda vez que
29.8 m/s2 la magnitud de la fuerza de reacción del piso
del elevador debe ser mayor a la magnitud del
420 N 5 100 kg ay peso de la persona para lograr que suba. Por
tanto:
Despejando la magnitud de la aceleración del
cuerpo tenemos: 2588 N m/s2
29.8 m/s2
420 kg m/s2 SFy 5 2588 N 1 R 5 3 0.8
100 kg
ay 5 5 4.2 m/s2 5 2588 N 1 R 5 48 N

Grupo Editorial Patria 143

Física General

Nota:  Recuerde que el signo (2) del peso de la T5?
persona y el de la aceleración de la gra-
vedad se debe a que actúan en dirección
vertical hacia abajo.

La magnitud del peso aparente lo encontramos
al despejar la magnitud de la fuerza de reacción
( R ).

R 5 588 N 1 48 N 5 636 N

b) Al bajar, la persona se siente más ligera, es a5?
decir, como si de repente pesara menos; esto
se debe a que al descender con cierta acele- y0523 m/s
ración, la magnitud de la fuerza de reacción
del piso del elevador es menor a la magnitud d 525 m P 5 5 880 N
de su peso. (Si en un momento dado un ele-
vador bajara con una aceleración de 9.8 m/
s2, la persona que estuviera dentro de él sen-
tiría que ha desaparecido su peso, pues en
realidad estaría sufriendo una caída libre al
no existir ninguna fuerza de reacción con el
piso del elevador.)

Para calcular la magnitud del peso aparente la aceleración que experimenta hacia arriba, a
de la persona al descender, sustituimos los fin de lograr que se detenga al ir descendiendo
mismos valores en la ecuación, pero ahora el el elevador. Para ello, aplicamos la fórmula para
signo de la aceleración (ay ) es negativo pues calcular la magnitud de la velocidad final ( yf ),
actúa hacia abajo. vista en la parte correspondiente a cinemática

SFy 5 2588 N 1 R 5 2588 N 3 20.8 m/s2 (unidad 4, sección 9: Deducción de las ecuaciones utilizadas
29.8 m/s2 en el MRUA) empleada cuando el movimiento es
rectilíneo uniformemente acelerado:
5 2588 N 1 R 5 248 N

La magnitud del peso aparente lo encontra- y 2 5 y02 1 2ad
mos al despejar el valor de la fuerza de reac- f
ción ( R ):

R 5 588 N 2 48 N 5 540 N Despejando a la magnitud de la aceleración:

12 Un elevador y su carga pesan 5 880 N. Calcular a 5 y2f 2 y02
la magnitud de la tensión del cable del elevador 2d
si éste desciende con una velocidad cuya mag-
nitud de 3 m/s y se detiene a una distancia de Sustituyendo valores:
5 m, manteniendo una aceleración constante,
como se muestra en la siguiente figura: a5 0 2 (23 m/s)2 5 0.9 m/s2
2 (25 m)

Solución: La velocidad final es cero, pues se detiene a los
5 m, la velocidad inicial y la distancia son (2)
Para un cuerpo cuyo movimiento es con una porque actúan hacia abajo.
aceleración constante, tenemos:

Datos Fórmulas Para calcular la magnitud de la tensión (T ) apli-
camos la segunda ley de Newton.
P 5 5 880 N y 2 5 y02 1 2ad
f
T 5 ? P
De la segunda SFy 5 P 1T 5 g a

y 5 3 m/s ley de Newton:

d 5 5 m SFy 5P 1T 5 P ay SFy 5 25 880 N 1 25880 N 3 0.9 m/s2
g 29.8 m/s2

a5? 5 25 880 N 1 T 5 540 N

Para calcular la magnitud de la tensión del cable T 5 5 880 N 1 540 N 5 6 420 N
del elevador debemos calcular la magnitud de

144 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Ejercicios propuestos

1 Determine la magnitud de la fuerza que se debe horizontal con una magnitud de 4 m/s en 1.5 s
aplicar a un carrito de baleros que tiene una a partir del reposo.
masa de 40 kg para que cambie la magnitud de Desprecie la fricción entre el piso y el bloque.
su velocidad de 0 a 3 m/s en un segundo. 10 En un montacargas está suspendido un cuerpo
cuyo peso tiene una magnitud de 950 N, como
2 Calcule la masa de un cuerpo en kilogramos si se ve en la figura:
al recibir una fuerza cuya magnitud es de 300 N
le produce una aceleración con una magnitud de P 5 950 N
150 cm/s2.
Calcular:
3 Determine la magnitud de la aceleración en m/s2 a) La magnitud de la tensión en el cable que lo
que le produce una fuerza cuya magnitud es de
75 N a un cuerpo con una masa de 1 500 g. sujeta cuando desciende con una aceleración
con una magnitud de 3 m/s2.
4 Calcular la magnitud de la fuerza que se le apli- b) La magnitud de la tensión en el cable que lo
ca a un cuerpo de 10 kg de masa si adquiere una sujeta cuando asciende con la misma magni-
aceleración con una magnitud de 2.5 m/s2. tud de aceleración.
11 Si un elevador vacío tiene un peso con una mag-
5 Hallar la magnitud del peso de un cuerpo cuya nitud de 2 500 N y suben a él cuatro personas
masa es de 100 kg. que pesan en total 2 352 N. Determinar la mag-
nitud de la tensión del cable del elevador, si éste
6 Determinar la masa de un cuerpo cuyo peso tie- sube con una aceleración constante cuya magni-
ne una magnitud de 1 500 N. tud es de 1.3 m/s2.
12 Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso tie-
7 Calcular la magnitud de la fuerza neta que ne una magnitud de 2 310 N con una fuerza cuya
debe aplicarse a un cuerpo cuyo peso tiene una magnitud es de 2 935 N. Determine la magnitud
magnitud de 25 N para que adquiera una acele- de la aceleración con que sube el cuerpo.
ración cuya magnitud es de 3 m/s2. 13 Una persona pesa 686 N y asciende por un ele-
vador con una aceleración cuya magnitud es de
8 Determinar la magnitud de la aceleración que 2 m/s2.
recibirá el cuerpo de la figura siguiente, como Calcular:
resultado de las fuerzas aplicadas. a) El peso aparente de la persona, es decir, la
magnitud de la fuerza de reacción que ejer-
F1 = 30 N m = 3 kg F3 = 40 N cerá el piso del elevador al subir.
F2 = 50 N b) La magnitud del peso aparente de la persona
al bajar.
9 Un bloque cuya masa es de 8 kg es jalado me- 14 Un elevador y su carga pesan 7 458 N. Calcular
diante una fuerza horizontal, como se ve en la la magnitud de la tensión del cable del elevador
figura: si éste desciende a una velocidad cuya magnitud
es de 4 m/s y se detiene a una distancia de 6 m,
R=? manteniendo una aceleración constante.

m = 8 kg Fx = ?

P

Calcular:
a) La magnitud de la fuerza de reacción (R ) que

ejerce el piso sobre el bloque.
b) La magnitud de la fuerza horizontal (Fx ) que

se requiere para dar al bloque una velocidad

Grupo Editorial Patria 145

Física General

3 Gravitación universal

El hombre ha observado desde tiempos muy remotos a Primera ley de Kepler

los astros y al Universo en general, tratando de explicar- Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo
se el porqué de su origen, su constitución, sus movimien- órbitas elípticas, en las cuales el Sol ocupa uno de los focos
tos y su evolución. Debido a las limitaciones que tenían (figura 5.9).
para hacer una interpretación correcta del Universo, los
hombres de la antigüedad interpretaban lo que sus ojos Planeta
veían. Por lo cual consideraban a la Tierra sin movimien-
to y como el centro del Universo, pues creían que todo figura 5.9
giraba alrededor de ella (Teoría Geocéntrica). Los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas.

Hiparco, astrónomo griego que vivió en 125 a.C. aproxi- Segunda ley de Kepler
madamente, logró hacer una lista con más de mil estre-
llas. Sin embargo, afirmaba que la Tierra era plana y El radio vector que enlaza al Sol con un planeta recorre
ocupaba el centro del Universo. áreas iguales en tiempos iguales.
Esta ley explica el porqué es posible que los planetas gi-
Claudio Ptolomeo, geógrafo y astrónomo griego (siglo ren en órbitas elípticas manteniéndose cerca del Sol por
ii d.C.), basándose en las enseñanzas equivocadas de la fuerza de gravedad sin llegar a ser absorbidos por él;
Hiparco proponía sus teorías considerando a la Tierra esto se debe a la variación de la magnitud de la velocidad
inmóvil y plana; en ellas suponía a los planetas girando con que se mueven los planetas en el espacio, mientras
alrededor de la Tierra describiendo trayectorias circu- más cerca están del Sol más rápido se mueven y vicever-
lares. Fue considerado un gran sabio, sus ideas perdura- sa. Por ejemplo: el planeta Mercurio, con una distancia
ron durante más de 1 300 años. de 58 millones de kilómetros, es el más cercano al Sol y
tarda 88 días en recorrer su órbita con una velocidad me-
Nicolás Copérnico, astrónomo polaco (1473-1543), corri- dia de 50 km/s. La Tierra, a una distancia de 149 millones
gió la teoría de Ptolomeo y basándose en la teoría de de kilómetros del Sol, tarda un año en recorrer su órbita
Aristarco (astrónomo griego que en el siglo iii a.C. había con una velocidad media cuya magnitud es de 30 km/s,
dicho que la Tierra se movía alrededor del Sol), propuso que equivalen a 108 000 km/h.
que la Tierra era redonda y giraba sobre su propio eje En la figura 5.10 se observa el movimiento de la Tierra al-
cada 24 horas, además de dar una vuelta alrededor del rededor del Sol. La Tierra se mueve sobre su órbita a una
Sol cada 365 días. No obstante, lo revolucionario de sus velocidad variable, la cual aumenta su magnitud conforme
ideas chocaba completamente con las ideas de su épo- se aproxima al Sol. Kepler descubrió que en tiempos igua-
ca, motivo por el cual su obra sobre las revoluciones de les las áreas descritas por el radio vector que va del Sol a
las esferas celestes fue publicada hasta 1543, año en el la Tierra son iguales: a1 5 a2. Por tanto, el tiempo en que
que murió. La Iglesia Católica condenó como prohibido
el libro de Copérnico, pues iba en contra de las creencias figura 5.10
religiosas. En tiempos iguales las áreas descritas por el radio vector que va del Sol a la Tierra
son iguales: a1 5 a2.
Tycho Brahe, astrónomo danés (1546-1601), logró descu-
brir algunas leyes sobre el movimiento de la Luna, ade-
más calculó la posición de 777 estrellas y obtuvo datos
interesantes sobre los cometas. Todo lo anterior lo realizó
gracias a las facilidades proporcionadas por Federico II,
rey de Dinamarca, quien le mandó construir un observa-
torio asignándole un sueldo para que pudiera realizar sus
investigaciones. Cuando el rey Federico II murió, se vio
obligado a marcharse a Praga, lugar en donde tuvo como
discípulo a Johannes Kepler.

Johannes Kepler, astrónomo alemán (1571-1630), apro-
vechó todas las enseñanzas de Copérnico, mismas que
aunadas a su gran interés por encontrar cómo se mo-
vían los planetas alrededor del Sol, después de muchos
años de estudio, pudo descubrir que éstos no se movían
formando círculos sino describiendo órbitas elípticas
(ovaladas). Sus grandes estudios le permitieron formular
tres leyes sobre el movimiento de los planetas, las cuales
actualmente sirven de base a la astronomía.

146 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

el radio vector pasa del punto A al B es el mismo que tarda tudiar las teorías de Kepler sobre el movimiento de los
en pasar de C a D. planetas, decidió investigar la causa de que éstos pudie-
ran girar alrededor de órbitas bien definidas.
Tercera ley de Kepler
Desde tiempos remotos, el hombre trató de encontrar una
Los cuadrados de los periodos de revolución sideral de explicación al porqué del peso de un cuerpo, por qué todo
los planetas (t 2) son proporcionales a los cubos de sus cuerpo suspendido en el aire al cesar la fuerza que lo sos-
distancias medias al Sol (d 3). tiene cae al suelo, por qué todo cuerpo lanzado hacia arri-
ba va disminuyendo la magnitud de su velocidad hasta
De donde la relación t2 es la misma para todos los pla- que se anula y regresa al suelo.
d3
netas, por lo que matemáticamente la Tercera Ley de Ahora sabemos que todos los fenómenos anteriores se
deben a la existencia de una fuerza llamada gravedad.
Kepler se escribe como: Aunque todavía no se conoce mucho acerca de la na-
turaleza de esta fuerza, el hombre trata de estudiar sus
t2 5K efectos sobre los cuerpos.
d3
El primero en describir la forma en que actúa la grave-
donde: K 5 constante para todos los planetas dad fue Newton, quien encontró que todos los cuerpos
ejercen entre sí una fuerza de atracción a la cual llamó
Con sus leyes, Kepler explicó con precisión la cinemática fuerza gravitacional.
del sistema planetario sin llegar a la explicación diná-
mica del mismo, es decir, cuáles son las causas que lo Newton explicó que la atracción gravitatoria mantenía a
originan. Sin embargo, su contribución a la astronomía es los planetas en sus órbitas alrededor del Sol, al igual que
digna de elogio si se considera que sus observaciones las la misma fuerza mantiene a la Luna en órbita alrededor
realizó cuando todavía no se inventaba el telescopio. de la Tierra.

Galileo Galilei, astrónomo y físico italiano (1564-1642), En 1687 Newton publicó su Ley de la Gravitación Uni-
escuchó decir a principios de 1609, que en los Países versal, en ella expuso que la atracción gravitatoria está
Bajos habían inventado un telescopio. En diciembre de en función de la masa de los cuerpos y de la distancia
ese mismo año, Galileo construyó un telescopio con el entre ellos.
cual se podían ver los cuerpos 30 veces más grandes que
a simple vista. Con este instrumento pudo observar un Cuanto mayor masa tenga un cuerpo mayor será la mag-
considerable número de estrellas hasta entonces desco- nitud de la fuerza con que atraerá a los demás cuerpos.
nocidas. Descubrió en la Vía Láctea gran cantidad de Debido a ello, un hombre tiene una menor magnitud de
estrellas imposibles de ver sin la ayuda del telescopio. peso en la Luna que en la Tierra, pues la masa de la
Al estudiar la Luna, notó la presencia de montes y otras Tierra es mayor a la de la Luna y, por tanto, también será
irregularidades sobre su superficie. Observó las manchas mayor la magnitud de su fuerza gravitatoria.
del Sol y debido al movimiento de ellas demostró que el
Sol giraba alrededor de su eje en un periodo de 27 días. La fuerza gravitatoria con la cual se atraen dos cuerpos
También encontró cuatro cuerpos girando alrededor será mayor a medida que disminuya la distancia existen-
de Júpiter y determinó la periodicidad de cada uno de te entre ellos (figura 5.11).
ellos. Descubrió que Venus presentaba fases similares a
las de la Luna, con esto explicó que los planetas brillan
porque reflejan la luz del Sol. Todos los descubrimientos
hechos por Galileo apoyaban las teorías de Copérnico,
las cuales consideraban que la Tierra y los demás plane-
tas giraban alrededor del Sol. Ante tales hechos, la Iglesia
de Roma calificó de herejía a la doctrina de Copérnico,
pues estaba en desacuerdo con la Biblia; por tanto, exigió
a Galileo que se abstuviera de difundir sus ideas. En 1632
Galileo publicó un libro en el que representaba las teorías
de Ptolomeo y de Copérnico por medio de dos persona-
jes, esto provocó que fuera sancionado por la Inquisición
y obligado a renunciar públicamente a sus ideas.

Isaac Newton y la figura 5.11
ley de la gravitación universal
Dos cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria mayor a medida que
Newton, el gran físico y matemático inglés, nació en disminuye la distancia existente entre ellos.
1642, año en que murió Galileo Galilei. Después de es-

Grupo Editorial Patria 147

Física General

La Ley de Gravitación Universal se enuncia de la si- Cuando se coloca un cuerpo cualquiera, como el bloque
guiente manera: de la figura 5.12, sobre una superficie horizontal, su peso
ejerce una acción vertical hacia abajo sobre dicha su-
Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza cuya perficie y como reacción la superficie ejerce una fuerza
magnitud es directamente proporcional al producto de igual en magnitud al peso del bloque, en la misma di-
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la rección, pero con sentido contrario. Esta fuerza recibe el
distancia que los separa. nombre de fuerza de reacción normal (N), toda vez que
es perpendicular al plano o superficie horizontal.
Matemáticamente se expresa como:

F 5 G m1 m2 N
d2

donde:  F5 m agnitud de la fuerza de atracción gravita- P
cional en newtons (N) o dinas figura 5.12
En una superficie horizontal la magnitud del peso (P ) de un cuerpo es igual
G 5 c onstante de gravitación universal cuya mag- a la magnitud de la fuerza de reacción normal (N ).
nitud en el Sistema Internacional es G 5 6.67
3 10211 Nm2/kg2 En la figura 5.13 vemos un bloque colocado sobre una ram-
pa o plano inclinado que forma un ángulo de 30º respecto
m1 y m2 5 masa de los cuerpos en kilogramos (kg) al plano horizontal. El peso del bloque experimenta una
descomposición vectorial en dos direcciones perpendi-
d 5 d istancia que hay entre los centros de grave- culares entre sí, una es normal o perpendicular al plano
dad de ambos cuerpos en metros (m) y la otra es paralela al mismo.

Con la ecuación anterior es posible calcular la fuerza de N
atracción de dos cuerpos cualesquiera, como una silla y
una mesa, una persona con otra, un automóvil y una bi-
cicleta, o el Sol y la Tierra entre otros. Cabe señalar que
la fuerza de atracción entre dos cuerpos de poca masa es
muy pequeña, razón por la cual no es observable ningún
efecto al acercar dos cuerpos de masa no muy grande. No
sucede esto con la atracción de la Tierra sobre los cuerpos
que están sobre su superficie o cerca de ella, pues por su
gran masa los atrae hacia su centro con una gran fuerza
gravitacional.

Relación entre la magnitud del peso P 5 20 N
de un cuerpo y la magnitud de la
fuerza de gravedad

D escomposición del peso en un plano 30º
inclinado
figura 5.13
El peso de un cuerpo depende de la fuerza de gravedad;
por tal motivo, éste será mayor si es atraído por una fuerza Bloque colocado sobre un plano inclinado. Su peso se descompone en dos
gravitatoria mayor o viceversa. Por ello, un hombre que direcciones perpendiculares entre sí.
pese 686 N (70 kgf ) en la Tierra, en la Luna sólo pesará
114.3 N (11.6 kgf ); su masa será la misma, 70 kg, ya que Para encontrar gráficamente las magnitudes de las com-
tiene la misma cantidad de materia, pero su peso disminu- ponentes rectangulares del peso se procede de la si-
ye a la sexta parte. La razón es que la fuerza de gravedad guiente manera: se representa el plano inclinado por una
en la superficie lunar es menor a la fuerza de gravedad en línea con su ángulo correspondiente respecto al plano
la superficie terrestre, pues como sabemos la Tierra tiene horizontal. Se considera al centro del cuerpo como origen
una masa seis veces mayor que la Luna. del plano coordinado y, a partir de él, se trazan a escala el
vector vertical que representa al peso del cuerpo y des-
El peso de un cuerpo en la Tierra será mayor si éste pués sus componentes rectangulares. Una componente
se encuentra al nivel del mar que si está a cierta altura es en dirección perpendicular a la línea del plano inclina-
sobre él. Lo anterior se debe a que la distancia entre el do y la otra es en dirección paralela al mismo. Por último,
cuerpo y el centro de gravedad de la Tierra es menor sus magnitudes se obtienen al medir sus longitudes de
al nivel del mar. acuerdo con la escala establecida (figura 5.14).

148 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Escala: 1 cm 5 10 N Toda masa (m) origina un campo gravitacional a su al-
N rededor, pero evidentemente una masa pequeña produ-
cirá un campo poco intenso; es por ello que su acción
30º no logra mover a otro cuerpo cercano a él. El Sol, estre-
Px lla alrededor de la cual gravitan la Tierra y los demás
astros del Sistema Solar, tiene una masa equivalente a
30º 333 432 veces la de la Tierra, debido a ella la intensidad
Py de su campo gravitacional es muy grande. Nuestro pla-
neta, cuya masa es de 5.9 3 1024 kg, origina un campo
P 5 20 N gravitacional a su alrededor provocando que cualquier
figura 5.14 cuerpo localizado dentro de él reciba la acción de una
Descomposición del peso de un cuerpo en un plano inclinado. fuerza con dirección dirigida hacia el centro de la Tie-
rra. En virtud de que la fuerza se ejerce sobre la masa,
Como se observa, el peso del bloque es una fuerza que si utilizamos una masa de prueba es posible conocer la
actúa verticalmente sobre él y se descompone en dos intensidad del campo gravitacional en cada punto del
fuerzas menores, Py que es perpendicular al plano y Px espacio. Dicha masa de prueba equivale a la unidad de
paralela al mismo. La fuerza de reacción normal (N ) es masa. Por tanto, la magnitud de la fuerza que ejerce el
igual y opuesta a la componente Py del peso. De acuer- campo gravitacional terrestre sobre la unidad de masa
do con nuestra escala, las magnitudes respectivas son: en determinado punto, representará la magnitud de la
intensidad del campo gravitacional en dicho punto.

Py 5 N 5 17.3 N Definimos como intensidad de campo gravitacional en
un punto cualquiera a la magnitud de la fuerza por uni-
Px 5 10 N dad de masa que actúa sobre un cuerpo colocado en
ese punto.
La magnitud de las componentes rectangulares obtenidas
como resultado de descomponer al peso en un plano in- De la segunda ley de Newton tenemos que:
clinado, la podemos calcular analíticamente encontrando
la magnitud del cateto adyacente para conocer Py que es F 5 mg [ g 5 F
igual a N y la magnitud del cateto opuesto para conocer m
Px, toda vez que como se ve en la figura 5.14 tenemos un
triángulo rectángulo. donde:  g 5 i ntensidad de campo gravitacional en un
punto determinado en N/kg 5 m/s2
Por tanto:
F 5 m agnitud de la fuerza ejercida por el campo
Py 5 P cos 30º 5 20 N 3 0.8660 5 17.32 N en un punto determinado en newtons (N)

m 5 m asa del cuerpo que es atraído por el campo
en kilogramos (kg)

como N 5 Py Por ejemplo, si en un lugar la aceleración de la gravedad
tiene una magnitud de 9.8 m/s2, entonces habrá una fuerza
N 5 17.32 N con una magnitud de 9.8 N sobre un cuerpo de 1 kg coloca-
do en dicho punto, de manera que la intensidad del campo
Cálculo de Px gravitacional de la Tierra en ese punto sería de 9.8 N/kg y
le provocaría al cuerpo una aceleración con una magnitud
Px 5 P sen 30º 5 20 N 3 0.5 5 10 N de 9.8 m/s2. En general, para puntos localizados cerca de
la superficie de la Tierra se considera una intensidad del
Debido a la descomposición vectorial que sufre el peso campo gravitacional igual a 9.8 N/kg. Como el peso de un
de un cuerpo en un plano inclinado resulta más fácil su- cuerpo representa la magnitud de la fuerza que sobre él
bir un barril a un camión rodándolo por una rampa que ejerce el campo gravitacional, tenemos que para conocer
levantarlo en forma vertical. cuál es la magnitud del peso de un cuerpo cualquiera sólo
debemos multiplicar la masa (m) del cuerpo por el valor de
Campo gravitacional de los cuerpos la intensidad del campo gravitacional ( g ):
y su intensidad

Todo cuerpo por el hecho de ser materia tiene un campo P 5 mg
gravitatorio, el cual se manifiesta por la fuerza de atrac-
ción que se ejerce entre dos cuerpos cualesquiera. De El cosmos
donde el campo gravitacional de un cuerpo es la zona en
la cual ejerce su influencia sobre otros cuerpos. A me- Cuando nos referimos al cosmos, estamos hablando
dida que aumenta la distancia, la intensidad del campo del Universo como un todo, incluidos los planetas y sus
gravitatorio de un cuerpo disminuye notablemente; no
obstante, se dice que se extiende hasta el infinito.

Grupo Editorial Patria 149

Física General

satélites, los cometas y meteoros, las estrellas y la materia alrededor de una estrella sin ser una; además debe ser
interestelar, los sistemas de estrellas llamados galaxias, lo suficientemente grande en masa del orden de 500
así como de los conjuntos de galaxias llamados cúmulos trillones de kilogramos para que su propia gravedad le dé
galácticos. La astronomía es la ciencia que estudia los as- una forma esférica y haya limpiado o despejado la zona
tros (también llamados cuerpos celestes) del Universo. alrededor de su órbita. De acuerdo con esta definición,
el planeta Plutón fue eliminado debido a su tamaño, ya
A pesar de su gran tamaño, la Vía Láctea es sólo uno de que es mucho más pequeño que la Tierra e incluso que la
los muchos sistemas de estrellas, llamados galaxias, que Luna terrestre. Las dimensiones del sistema solar se de-
conforman el Universo (figura 5.15). terminan en función de la distancia media que existe del
centro de la Tierra al centro del Sol, denominada unidad
astronómica (UA) y que equivale a 149,597,870.691 de ki-
lómetros.

Actualmente, el Sistema Solar es el único conocido; no
obstante, muchos astrónomos consideran la posibilidad
de la existencia de numerosos sistemas planetarios en
el Universo.

El Sol

figura 5.15 Es la estrella alrededor de la cual gravitan la Tierra y los
La Vía Láctea es sólo uno de los muchos sistemas de estrellas llamadas demás astros del Sistema Solar. Dentro del espacio forma-
galaxias. do por los millones de astros existentes en el Universo, el
Sol es una estrella, cuya temperatura en su interior denso
Origen del Universo con base es del orden de 10 millones de grados centígrados, y en su
en la teoría del Big Bang o superficie es de unos 4 800 ºC.
de la gran explosión
Su masa es de 2 3 1030 kg, 333 432 veces más grande que
la Tierra y su diámetro es de 1 390 000 km, equivalente a
109 veces más que el diámetro terrestre. La energía ra-
diante del Sol se genera por reacciones termonucleares
de fusión, debido a la conversión del hidrógeno en helio
en el interior denso y caliente del Sol (figura 5.16).

El físico ruso, nacionalizado estadounidense, George figura 5.16
Gamow propuso en el año de 1948 que el Universo se
creó en una gran explosión o Big Bang y que los diver- La temperatura en el interior del Sol es del orden de 10 millones de grados
sos elementos que actualmente existen se produjeron centígrados.
durante los primeros minutos de haber ocurrido la gran
explosión, como resultado de la gran temperatura y alta
densidad que poseía originalmente el Universo, lo que
provocó que se fusionaran partículas subatómicas for-
mando átomos de elementos químicos. Se considera que
el hidrógeno y el helio fueron los productos primarios de
la gran explosión y los elementos más pesados se produ-
jeron después, dentro de las estrellas.

Sistema Solar

Actualmente se considera que el Sistema Solar está for- Los ocho planetas que se conocen actualmente se dividen
mado por una estrella llamada Sol, ocho planetas, seis de en dos grupos: los planetas interiores que se caracterizan
ellos con satélites, excepto, Mercurio y Venus, asteroides, por ser densos, pequeños y estar compuestos principal-
cometas y meteoroides. Esto en virtud de que la Unión mente de roca y hierro, éstos son: Mercurio, Venus, Tierra
Astronómica Internacional, reunida en Praga, República y Marte; los planetas exteriores son más grandes y están
Checa, el 24 de agosto de 2006, definió el concepto de constituidos principalmente de hidrógeno, helio y hielo,
planeta de acuerdo con los siguientes términos: un pla- éstos son: Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
neta es aquel cuerpo celeste que se encuentra en órbita

150 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Existen otros componentes del Sistema Solar, como los as- El diámetro de la Luna es de 3 476 km y comparado con
teroides que son pequeños cuerpos rocosos que se mueven el de la Tierra, que es de 12 742.9 km, equivale al 27.27%
en órbitas, sobre todo entre órbitas de Marte y Júpiter. del diámetro de ésta. La masa de la Luna es aproximada-
Los cometas son astros luminosos que están compues- mente de 7.25 3 1022 kg y equivale al 1.229% de la masa
tos básicamente de polvo y gases helados, sus diámetros terrestre cuyo valor es de 5.9 3 1024 kg.
están comprendidos entre 5 y 10 km. La palabra cometa La Luna al girar alrededor de la Tierra en ocasiones se
significa en griego cabellos largos. El cometa Halley fue encuentra más cerca de ella (perigeo) a una distancia de
visto a simple vista desde la Tierra en el año de 1986 y se 356 500 km y en otras más lejos (apogeo) a una distancia
regresa al Sistema Solar interior cada 75 años por lo que de 406 700 km. La fuerza de gravedad de la Luna ejerce
será observado nuevamente en el año 2061 (figura 5.17). su efecto sobre la Tierra provocando las mareas, que son
ascensos o descensos regulares de los océanos.
figura 5.17 La Luna carece de luminosidad propia (figura 5.18). Su luz se
Cuando los cometas se aproximan al Sol, desprenden polvo y gases debe a que su superficie refleja la luz del Sol y su cantidad
adquiriendo la forma de una cabellera y una larga cola. varía debido a los cambios cíclicos de la posición relativa
de la Luna respecto a la Tierra. Dichas variaciones hacen
La Luna, satélite natural que su hemisferio sea visto alumbrado en forma diferen-
de la Tierra te por el Sol a lo largo de una lunación. La lunación es el
tiempo que transcurre entre dos lunas nuevas consecuti-
La Luna es el cuerpo celeste (astro) más cercano a la Tie- vas, lo cual da lugar a las llamadas fases de la Luna: la
rra. Gira alrededor de ella a una velocidad cuya magni- luna nueva se presenta cuando todo el disco lunar queda
tud es de 3 664 km/h. Tarda 27 días con 7.716 horas en en la oscuridad. Después de dos o tres días entra la fase de
dar una vuelta alrededor de la Tierra (traslación) y es la luna creciente en la que se ve al satélite iluminándose
exactamente el mismo tiempo que tarda en girar sobre en el borde del disco. La iluminación sigue aumentando
su propio eje (rotación), esto origina que veamos siempre hasta que siete días después de la luna nueva se ve la mi-
un mismo lado; por ello, para conocer su otra cara los tad del disco iluminado, esta fase se conoce como cuarto
rusos y estadounidenses han enviado diferentes sondas creciente. La Luna continúa su movimiento iluminándose
espaciales a nuestro satélite natural. hasta que todo el disco se ve completamente brillante, esta
Una sonda espacial consta de equipo instrumental y de ra- fase se llama luna llena. Después empieza la segunda par-
diocomunicación, que permite efectuar investigaciones en te del ciclo en el cual el disco va a menguar su iluminación.
el espacio interplanetario y en los astros del Sistema Solar. Cuando sólo la mitad del disco queda iluminada, tenemos
Algunas sondas están provistas de instrumentos ópticos la fase llamada cuarto menguante. Finalmente todo el dis-
como telescopios, cámaras fotográficas o de televisión. Las co queda en completa oscuridad dando inicio a un nuevo
sondas más perfeccionadas se posan en la superficie de los ciclo, cuya duración es de 29 días 7 horas 43 minutos 11.5
astros, pues están provistas de cohetes de retropropulsión segundos y recibe el nombre de revolución sinódica, luna-
para frenar la caída. El lanzamiento de una sonda se reali- ción o mes lunar.
za mediante el empleo de cohetes propulsores.
Las fotografías de la parte oculta de la Luna que han sido figura 5.18
enviadas a la Tierra por las sondas espaciales, muestran La Luna carece de luminosidad propia y gira alrededor de la Tierra a una
que esa zona es bastante parecida a la ya conocida. velocidad cuya magnitud es de 3 664 km/h.

Grupo Editorial Patria 151

Física General

La Luna carece de atmósfera, pues su fuerza de gravedad figura 5.19
es incapaz de retener a las moléculas gaseosas; esto im- El 20 de julio de 1969 el hombre pisó por primera vez la superficie lunar.
plica que tenga una carencia total de humedad, además
de estar expuesta a los constantes bombardeos de me-
teoritos, mismos que al no encontrar ninguna resistencia
producen cráteres en su superficie. En la Tierra, gracias a
su atmósfera (capa de aire que la envuelve), las variacio-
nes en el clima no son muy drásticas. El aire suministra
energía calorífica de los lugares más calientes a los más
fríos, sirve también de filtro para evitar que lleguen a la
Tierra radiaciones solares en exceso y retiene una parte
del calor que por radiación pierde el suelo. En la Luna, la
temperatura del suelo alcanza valores mayores a 120 °C
cuando está expuesta a la radiación solar y desciende a
menos de 150 °C bajo cero cuando no la recibe. Los rayos
cósmicos llegan a la superficie lunar con toda su energía,
pues no existe nada que logre atenuarlos.

Las condiciones en la Luna obligan a los astronautas que
pisan su suelo a tomar una serie de medidas tendentes
a permitirles subsistir por medio de una atmósfera ar-
tificial. Para ello, deben transportar desde la Tierra el
oxígeno, los alimentos y demás elementos necesarios.
Para protegerse de las radiaciones cósmicas y que pue-
dan respirar, los astronautas deben usar una vestidura
hermética que cubre todo su cuerpo, misma que recibe
el nombre de escafandra espacial.

El día y la noche duran dos semanas terrestres cada una.
Además, sus noches son iluminadas por la luz solar que
refleja la Tierra y cuya intensidad es mayor a la que ella
nos envía.

El viaje del hombre a la Luna Lograr la exploración de la Luna fue una labor ardua, como
lo exige cualquier tarea importante que el hombre asume.
Desde tiempos muy remotos el hombre se ha inspirado en Para ello, fue necesario realizar varios lanzamientos, algu-
la Luna para dar rienda suelta a sus sueños y fantasías, nas veces mediante el uso de cápsulas espaciales tripula-
aparte de conferirle las más increíbles características, das y otras mediante el envío de sondas espaciales.
asociándola a sentimientos nobles, amorosos o catastrófi-
cos. Sin embargo, uno de sus sueños más ambiciosos era El proyecto Apolo fue puesto en marcha por Estados
poder posar sus pies sobre la superficie lunar. Escritores Unidos en 1962. Dicho proyecto tenía como finalidad
como Julio Verne, novelista francés (1828-1905), se an- colocar a un hombre sobre la Luna. Hazaña que se lo-
ticiparon a la exploración de la Luna a través de sus no- gró mediante la construcción de un potente cohete de
velas de ficción científica, pero fue hasta el 20 de julio de tres fases capaz de poner en órbita terrestre la cápsula
1969 cuando la ficción se hizo realidad al pisar el hombre espacial llamada Apolo. Dicha cápsula estaba constitui-
por primera vez la superficie de la Luna (figura 5.19). da por tres módulos: el de mando, servicio y alunizaje.
Tres astronautas viajaron hasta colocarse en órbita alre-
La astronáutica es la ciencia que se encarga de la navega- dedor de la Tierra para posteriormente entrar en órbita
ción en el espacio cósmico. Se diferencia de la navegación alrededor de la Luna. Utilizando el módulo de alunizaje,
aérea porque ésta no se encuentra involucrada en proble- dos de ellos bajaron a la superficie lunar, mientras el otro
mas como: viajes realizados a través de espacios carentes se mantuvo en órbita. Después de realizar algunos expe-
de atmósfera o de gravedad; altas magnitudes de veloci- rimentos y tomar muestras de rocas y polvo, el módulo de
dades que alcanzan las astronaves o las variaciones en las alunizaje con los dos tripulantes a bordo debía elevarse
magnitudes de aceleración a la salida y llegada de éstas. para realizar la fase de acoplamiento con el módulo de
mando e iniciar el regreso a la Tierra.
El 4 de octubre de 1957, los rusos fueron los primeros en
iniciar la era espacial mediante el lanzamiento del Sput- El proyecto Apolo llegó a feliz término después de ha-
nik I, primer satélite artificial en órbita alrededor de la ber efectuado varios vuelos como el del Apolo VIII en
Tierra. Tres meses más tarde los estadounidenses lanza- el que tres astronautas dieron diez vueltas alrededor de
ron su primer satélite llamado Explorer I. la Luna. El Apolo IX se lanzó en marzo de 1969, tres
meses después que el Apolo VIII, su objetivo era probar

152 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

los módulos lunar, de servicio y de mando en una órbita figura 5.20
terrestre, además de ensayar el acoplamiento entre los
mismos. Las naves espaciales requieren transportar, además del combustible, el
oxígeno para lograr la combustión.
En mayo de 1969 lanzaron el Apolo X cuyo propósito
era realizar todas las fases previstas menos el verdadero 3. Para determinar la trayectoria que seguirá una nave
descenso del hombre en la Luna. El Apolo XI se lanzó en su viaje a la Luna debe considerarse que su vuelo
la mañana del 16 de julio de 1969 y alunizó 4 días más estará afectado por: la rotación y la traslación de la
tarde, descendiendo Edwin E. Aldrin y Neil Armstrong. Tierra, la atracción creciente de la Luna y la atrac-
Después de dos horas y media sobre el suelo lunar, en ción decreciente de la Tierra, y por la atracción del
las que se recogieron más de 20 kg de rocas y se rea- Sol. Por otra parte, como las posiciones de la Luna,
lizaron algunos experimentos, regresaron a su módulo, la Tierra y la nave cambian constantemente, la in-
dando saltos con facilidad pese al peso de sus trajes y fluencia de los astros también varía sobre ésta. Así, la
al equipo de supervivencia, pues la fuerza de gravedad trayectoria que debe seguir la nave, considerando los
de la Luna les permitía reducir la magnitud de su peso a efectos que sobre ella se ejercerán, debe ser calcu-
la sexta parte. Pusieron a funcionar los cohetes de pro- lada anticipadamente con toda precisión valiéndose
pulsión y se acoplaron con el de mando para finalmente del uso de computadoras.
iniciar su regreso a nuestro planeta.
4. Para evitar que la nave parta con una velocidad con
Después del éxito obtenido con el Apolo XI se realizaron una magnitud excesiva o menor de la necesaria, el
otros cinco alunizajes: en 1969, el Apolo XII; en 1971, los lanzamiento se hace en dos fases: la primera consis-
Apolos XIV y XV; y en 1972, los Apolos XVI y XVII. Du- te en ponerla en órbita estacionaria alrededor de la
rante estos vuelos se hicieron importantes estudios, por Tierra, esto sucede cuando alcanza una velocidad
ejemplo, las muestras de rocas y polvo permitieron a los llamada orbital cuya magnitud es de 28 000 km/h.
científicos obtener más información para poder encontrar Durante el tiempo que dura en órbita estacionaria se
las posibles causas que dieron origen al Sistema Solar. revisan los instrumentos y se determina el punto de
la órbita más conveniente para orientar su dirección.
También midieron la distancia entre la Tierra y su saté- La segunda fase consiste en verificar constantemente
lite natural por medio de un rayo láser enviado desde las posiciones de la Tierra, la Luna, la nave y los obje-
nuestro planeta, el cual fue reflejado por un espejo es- tos que se estén moviendo en todas direcciones. Por
pecial instalado en la Luna. Al determinar el tiempo que medio de las computadoras se conocerá el momento
empleó el rayo en ir y regresar y conocer la magnitud de preciso y la velocidad que deberá llevar la nave im-
su velocidad de propagación (aproximadamente 300 000 pulsada por el cohete propulsor para salir de la órbita
km/s), se calculó la distancia con una gran precisión. terrestre e iniciar su recorrido a la Luna. La magnitud
de la velocidad que se requiere para vencer la fuer-
Se instaló un instrumento para registrar cualquier tipo de za de gravedad terrestre es de 40 000 km/h.
vibraciones sobre la superficie lunar, así como otro para
medir el viento solar, producido por flujos de partículas 5. Al alejarse de la Tierra la magnitud de la fuerza de
con carga eléctrica procedentes del Sol. atracción terrestre disminuirá sobre la nave y au-
mentará la de la Luna hasta llegar a un punto en que
Mediante diferentes magnetómetros instalados se en- las dos fuerzas se equilibren. Dicho punto, llamado
contró que la intensidad del campo magnético lunar muerto, se encuentra aproximadamente a 57 000 km
equivale a la centésima parte del terrestre.

Algunas consideraciones sobre
los viajes interplanetarios

Para poder realizar un viaje por el espacio cósmico,
como es un viaje a la Luna, deben tomarse en cuenta las
siguientes situaciones:

1. Puesto que el vuelo de la nave espacial se realiza en
ausencia de atmósfera, no cuenta con el oxígeno del
aire para lograr la combustión. Por tal motivo, además
del combustible debe transportar oxígeno (figura 5.20).

2. El arranque de la astronave debe ser pausado, evitan-
do aceleraciones cuyas magnitudes sean muy grandes
que pongan en peligro la resistencia del organismo
humano, el cual soporta grandes velocidades, pero no
cambios bruscos en la aceleración.

Grupo Editorial Patria 153

Física General

del centro de la Luna; al rebasar este punto la nave canzar el punto muerto e iniciar su retorno en caída
penetra en el campo gravitacional lunar, por lo que su libre. La magnitud de velocidad que llega a alcanzar
velocidad comienza a incrementarse. Si no existiera es de unos 40 000 km/h (misma magnitud de veloci-
alguna manera de frenar la nave, ésta se estrellaría dad que requirió para vencer la fuerza de gravedad
contra la superficie lunar a una velocidad cuya mag- que le permitió partir de la Tierra).
nitud es de 8 000 km/h.
8. Al penetrar a la atmósfera terrestre la nave debe des-
6. Para frenar la nave se usa la retropropulsión, dirigien- cender con una cierta inclinación, pues si lo hiciera
do el chorro de los motores hacia la superficie lunar se verticalmente la fricción con el aire la desintegraría
reduce la magnitud de la velocidad aproximadamente a rápidamente. La inclinación permite que sea frena-
3 000 km/h. Esta velocidad permite que la nave quede da por el aire, pero la fricción provoca que algunas
en órbita alrededor de la Luna. Posteriormente, puede partes de la nave alcancen temperaturas de 5 000  ºC.
descenderse hasta la superficie lunar haciendo funcio- Por tal motivo se recubre con un plástico especial, el
nar el motor de descenso que deberá actuar después cual con el calor se funde lentamente y se desprende.
como retrocohete para amortiguar la caída. Por último, el descenso final a la superficie terrestre
se realiza por medio de paracaídas, aprovechando la
7. El regreso a la Tierra requiere una velocidad inicial resistencia de la atmósfera.
de la nave con una magnitud de 8 600 km/h para al-

Resolución de problemas de la ley de gravitación universal

1 Calcular la magnitud de la fuerza gravitacio- Sustitución y resultado
nal con la que se atraen dos personas, si una de
ellas tiene una masa de 60 kg y la otra de 70 kg, m1 5 P1 5 98 kg m/s2 5 10 kg
y la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m. g 9.8 m/s2

Solución: m1 5 P2 5 300 kg m/s2 5 30.61 kg
Datos Fórmula g 9.8 m/s2

F 5 ? F 5 6.67 3 10211 Nm2 10 kg 3 30.61 kg
kg2 3 (0.5 m)

m1 5 60 kg F 5 G m1m2 5 81667 3 10211 N
d2
3 ¿A qué distancia se encuentran dos masas de
m2 5 70 kg 4 3 1022 kg y 9 3 1023 kg, si la magnitud de la
fuerza con la que se atraen es de 9 3 1029 N?
d 5 1.5 m

G 5 6.67 3 10211 Nm2 Solución:
kg2
Datos Fórmulas

Sustitución y resultado d5? F 5G m1m2 [
d2
Nm2 60 kg 3 70 kg m1 = 4 3 1022 kg
F 5 6.67 3 10211 kg2 3 (1.5 m)2 m2 = 9 3 1023 kg
F = 9 3 1029 N Gm1m2
5 12 450.66 3 10211 N d2 5 F

2 Calcular la magnitud de la fuerza con la que se G 5 6.64 3 10211 Nm2
atraen dos cuerpos cuyos pesos son 98 N y 300 N kg2
al haber entre ellos una distancia de 50 cm. Dar
el resultado en unidades del SI. Sustitución y resultados

F 5 G 4 3 1022 kg 3 9 3 1023 kg 5 G 36 3 1025 kg2
d2 d2
Solución:
Datos Fórmulas Despejando d2

F5? P 5 mg [ m 5 P d2 5 Gm1m2
g F
P1 5 98 N
P2 5 300 N F 5G m1m2 6.67 3 10211 Nm2 3 36 3 1025 kg
d 5 50 cm 5 0.5 m d2 kg2
d2 5 5 26.68 3 1027 m2
9 3 1029 N

154 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

d 5 2.668 3 1026 m2 5 1.63 3 1023 m d54m

4 ¿Qué distancia debe haber entre un cuerpo de G 5 6.67 3 10211 Nm2
600 g de masa y otro de 400 g para que se atrai- kg2
gan con una fuerza cuya magnitud es de 2 3 1025
dinas? Sustitución y resultado

m1 5 40 3 10211 N(4 m)2 5 4.79 kg

Solución: 6.67 3 10211 Nm2 3 20 kg
kg2
Datos Fórmulas

d5? F 5G m1m2 [ 6 Determinar la magnitud de la fuerza gravitacional
m1 5 600 g d2 que ejercerá la Tierra sobre un cuerpo cuya masa
m2 5 400 g es de 1 kg al estar colocado en un punto donde el
d2 5 Gm1m2 radio terrestre es de 6.336 3 106 m. La masa de la
F Tierra es de 5.9 3 1024 kg.

F 5 2 3 1025 dinas Datos Fórmula

G 5 6.67 3 1028 dina cm2 m1 5 1 kg F 5 G m1m2
g2 d 5 6.336 3 106 m d2

Sustitución y resultado m2 5 5.9 3 1024 kg
F5?
6.67 3 1028 dina cm2 3 600 g 3 400 g
g2
d2 5 Nm2
2 3 1025 dinas G 5 6.67 3 10211 kg2

5 800 400 3 1023 cm2

d 5 800.4 cm2 5 28.29 cm Sustitución y resultado

5 Calcular la masa de una silla si la magnitud de F 5 6.67 3 10211 Nm2 1 kg 3 5.9 3 1024 kg 5 9.8 N
la fuerza gravitacional con que se atrae con una kg2 3 (6.336 3 106 m)
mesa de 20 kg es de 40 3 10211 N y la distancia a
la que se encuentran uno del otro es de 4 m. Nota:  La distancia entre el cuerpo y la Tierra se
tomó igual al radio de la Tierra, pues se consi-
Datos Fórmulas dera al centro de ésta como el punto donde se
concentra su peso. En general, para calcular
m1 5 ? F 5G m1m2 [ la magnitud de la fuerza de atracción gravita-
m2 5 20 kg d2 cional entre los cuerpos se mide la distancia
F 5 40 3 10211 N a partir de sus centros de gravedad, es decir,
m1 5 Fd2 del lugar donde se considera concentrado su
Gm2 peso.

Ejercicios propuestos que la distancia entre sus centros de gravedad
es de 80 cm. ¿Con qué magnitud de fuerza se
1 Un muchacho cuya masa es de 60 kg se encuen- atraen?
tra a una distancia de 40 cm de una muchacha
cuya masa es de 48 kg, determine la magnitud 4 ¿A qué distancia se encuentran dos elefantes
de la fuerza gravitacional en newtons con la cuyas masas son 1.2 3 103 kg y 1.5 3 103 kg,
cual se atraen. y se atraen con una fuerza gravitacional cuya
magnitud es de 4.8 3 1026 N ?
2 Determine la magnitud de la fuerza gravitacio-
nal con la que se atraen un miniauto de 1 200 5 Calcular la distancia que debe haber entre un
kg con un camión de carga de 4 500 kg, al estar libro de 850 g y un pisapapel de 300 g para que
separados a una distancia de 5 m. se atraigan con una fuerza cuya magnitud es de
1.9 3 1025 dinas.
3 Una barra metálica cuyo peso tiene una magni-
tud de 800 N se acerca a otra de 1 200 N hasta

Grupo Editorial Patria 155

Física General

6 Determine la masa de un cuerpo, si la magnitud 7 Determinar la magnitud de la fuerza gravita-
de la fuerza gravitacional con que se atrae con cional que ejercerá la Luna sobre una roca cuya
otro de 100 kg es de 60 3 10210 N y la distancia masa es de 1 kg al encontrarse en un punto don-
entre ellos es de 10 m. de el radio lunar es de 1.74 3 106 m. La masa de
la Luna es de 7.25 3 1022 kg.

4 Estática

Relación de la estática Y
con la dinámica Fuerzas coplanares

La palabra estática se deriva del griego statikós que sig- Z X
nifica inmóvil. En virtud de que la dinámica estudia las Fuerzas no coplanares
causas que originan el reposo o movimiento de los cuer-
pos, tenemos que la estática queda comprendida dentro Por ejemplo, si deseamos mover un cuerpo horizontal-
del estudio de la dinámica y analiza las situaciones que mente aplicando una fuerza, el resultado será el mismo
permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de si lo empujamos o si lo jalamos (ver la siguiente figura).
la estática se sustentan en las leyes de Newton.
F 5 600 N F 5 600 N
En general, la estática estudia aquellos casos en que
los cuerpos sometidos a la acción de varias fuerzas no =
se mueven, toda vez que éstas se equilibran entre sí.
También considera los casos en que la resultante de las Empujar = Jalar
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento es
nula y el cuerpo sigue desplazándose con movimiento Sistema de fuerzas colineales
rectilíneo uniforme.
Un sistema de fuerzas colineales se forma cuando so-
En esta sección nos ocuparemos del estudio del equilibrio bre un cuerpo actúan dos o más fuerzas con una mis-
de los cuerpos rígidos, aquellos cuya deformación pro- ma línea de acción, es decir, en la misma dirección. Por
vocada por una fuerza es mínima al compararla con su ejemplo, si sobre un carrito aplicamos dos o más fuerzas
tamaño. Ejemplos: vigas de madera, armaduras de acero colineales, la resultante de las mismas dependerá del
o hierro colado, bolas de acero o vidrio, herramientas me-
tálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas y motocicie-
tas, entre otros.

Fuerzas coplanares y no coplanares.
Principio de transmisibilidad
de las fuerzas

Las fuerzas pueden clasificarse en coplanares si se en- F1 5 30 N Caso 1
cuentran en el mismo plano, o sea, en dos ejes, y no copla- F2 5 20 N
nares si están en diferente plano, es decir, en tres ejes. figura 5.21
Fuerzas colineales con sentidos contrarios.
El principio de transmisibilidad del punto de aplicación
de las fuerzas dice:

El efecto externo de una fuerza no se modifica cuando
se traslada en su misma dirección, es decir, sobre su
propia línea de acción.

156 Grupo Editorial Patria

Fuerzas colineales con sentidos contrarios.

5UNIDAD Dinámica

sentido en que estén actuando. Veamos los siguientes n
tres casos (figuras 5.21, 5.22 y 5.23):
F1
La magnitud de la resultante de las dos fuerzas será
igual a la suma algebraica: 1 Fn2
Fn1
R 5 SF 5 F1 1 F2 5 2 30 N 1 20 N 5 210 N

Como la resultante tiene signo negativo nos indica que
el carrito se moverá hacia la izquierda con una fuerza
neta o resultante de 10 newtons.

Caso 2 Fn2
2
F1 5 25 N n
4
F1 Fn1
Fn1
Fn1
F2 5 35 N Fn2
3
figura 5.22 Fn1 Fn1
Fuerzas colineales con el mismo sentido.
n

F2

La magnitud de la resultante de las dos fuerzas colinea- 5 6 Fn3
les será igual a la suma algebraica: Fn3 Fn4
n
R 5 SF 5 F1 1 F2 5 25 N 1 35 N 5 60 N
F5
Como las dos fuerzas colineales actuán hacia la derecha
su signo es positivo y producen una resultante de 60 N.

Caso 3 figura 5.24
Seis ejemplos de fuerzas concurrentes o angulares.

F1 5 30 N se les suele llamar angulares porque forman un ángulo
entre ellas (figura 5.24).
F2 5 30 N
Cuando en forma gráfica se desea sumar dos fuerzas
figura 5.23 concurrentes, como los ejemplos del 1 al 4, se utiliza el
Fuerzas colineales con magnitudes iguales y sentidos contrarios. método del paralelogramo. Para sumar más de dos fuer-
zas concurrentes, como en los ejemplos 5 y 6, se utiliza
La resultante de las dos fuerzas colineales será igual a su el método del polígono. (ver en la unidad 3 la sección: Suma de
suma algebraica: dos o más vectores concurrentes).

R 5 SF 5 F1 1 F2 5 2 30 N 1 30 N 5 0 Fuerzas paralelas
Puesto que al sumar las dos fuerzas la resultante es igual
a cero, el carrito estará en equilibrio, es decir, en reposo, Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cu-
o bien, en movimiento rectilíneo uniforme toda vez que yas líneas de acción son paralelas, la resultante tendrá
las dos fuerzas se equilibran entre sí. una magnitud igual a la suma de ellas con su línea de
acción también paralela a las fuerzas, pero su punto
Sistema de fuerzas concurrentes de aplicación debe ser determinado con precisión para
o angulares que produzca el mismo efecto que las componentes. Vea-
mos los siguientes ejemplos en los que se determinará en
Las fuerzas concurrentes son aquellas cuyas direcciones forma gráfica el punto de aplicación de la resultante de
o líneas de acción pasan por un mismo punto. También dos fuerzas paralelas con igual y diferente sentido:

En la figura se tiene una barra de 90 cm de longitud, so-
portando una fuerza cuya magnitud es de 20 N y otra

Grupo Editorial Patria 157

Física General

Caso 1 F1’ Par de fuerzas
F1 5 20 N
90 cm Se produce un par de fuerzas cuando dos fuerzas para-
lelas de la misma magnitud, pero de sentido contrario
F2’ F2 5 30 N actúan sobre un cuerpo. Su resultante es igual a cero y
54 cm R 5 50 N su punto de aplicación está en el centro de la línea que
une a los puntos de aplicación de las fuerzas compo-
de 30 N. La resultante evidentemente es la suma de las nentes. No obstante que la resultante es cero, un par de
fuerzas produce siempre un movimiento de rotación tal
como sucede con el volante de un automóvil (figura 5.25).

F1 5 0.1 N

dos magnitudes de fuerzas, o sea 50 N, pues actúan en

forma paralela y con el mismo sentido. Para encontrar el

punto donde debe actuar la resultante, se procede de la

siguiente forma, tal como se ve en la figura: se traza una Equilibrio de
paralela de F2 sob re F1 en el mismo sentido (F29), después traslación, pero
una paralela de F1 a partir del origen de F2, pero en senti- no de rotación
do contrario (F19). Se traza una línea uniendo los extremos R50
de F19 y F29 de tal forma que en el punto preciso en que la
línea corta la barra, se tendrá el origen o punto de aplica-
ción de la resultante a 54 cm de F1.

fEunerlazabdaerra20cuNyhaalocinagaitbuadjoe(sFd19)ey1o.2trmad(cea3s0o 2) actúa una F2 5 0.1 N
N hacia arri-
figura 5.25
ba (F29), a una distancia de 0.4 m de F1. La resultante de Par de fuerzas.
las dos fuerzas es la suma de las mismas: R 5 F1 1 F2 5
220 N 1 30 N 5 10 N, como es positiva se traza vertical-

mente hacia arriba.

Para encontrar el punto donde debe actuar la resultante, La magnitud resultante es igual a la suma de las dos
magnitudes de las fuerzas: R 5 F1 1 F2 5 0.1 N 1
se procede de la siguiente forma: se traza una paralela de (20.1 N) 5 0. Sin embargo, todos sabemos que el vo-
F2 con su mismo sentido a partir del punto de origen de F1 lante gira, y la razón es que los efectos que una fuer-
(F29), dpeasrtpiruédselupnuanptoardaeleolaridgeenF1d, epeFr2o(Fc19o).n sentido contra- za provoca en un movimiento de rotación depende
rio a del punto donde se aplique. Una mayor explicación
la tendremos al leer las siguientes tres secciones.
Caso 2
Momento de una fuerza
F2 5 30 N o momento de torsión
F2’
El momento de una fuerza, también llamado momento
F1’ R 5 10 N de torsión o simplemente torque o torca (torcer), se defi-
ne como la capacidad que tiene una fuerza para hacer
0.4 m girar un cuerpo. También se puede definir como la in-
tensidad con que la fuerza, actuando sobre un cuerpo,
F1 5 20 N tiende a comunicarle un movimiento de rotación.

1.11 m La magnitud del momento de una fuerza (M ) se calcula
multiplicando la magnitud de la fuerza aplicada (F ) por
1.2 m el brazo de la palanca (r ), donde:

Se traza una línea uniendo los extremos de F19 y F29, de M 5 Fr
tal forma que en el punto preciso en que la línea corta
la barra se tiene el orig en o punto de aplicación de la Para comprender mejor el significado físico del momento
resultante a 1.11 m de F1. de una fuerza, observemos los cuatro casos que se mues-
tran en la figura 5.26:
El método analítico para encontrar el punto de aplica-
ción de la resultante lo veremos más adelante en la parte
correspondiente a la resolución de problemas.

158 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

F 5 20 N Por tal motivo, su momento es ahora la mitad y con signo

1. negativo, toda vez que tiende a hacer girar a la viga en el

A mismo sentido de las manecillas de un reloj.

Finalmente, en el caso 4 la fuerza se está aplicando exac-

tamente en el punto de apoyo de la viga, por lo que, no

5 m obstante que la fuerza sigue siendo la misma (20 N), su
brazo de palanca es cero y no tiene ninguna capacidad

Momento (–) para hacer girar a la viga, por tanto, su momento es

2. nulo. La magnitud del momento de la fuerza para cada
caso es:
A
1. M 5 Fr 5 2 20 N 3 5 m 5 2 100 Nm
Momento (+)

2. M 5 Fr 5 20 N 3 5 m 5 100 Nm

5 m 3. M 5 Fr 5 2 20 N 3 2.5 m 5 250 Nm

4. M 5 Fr 5 20 N 3 0 5 0

F 5 20 N Por todo lo anterior, podemos concluir que el momento de
una fuerza es una magnitud vectorial cuya dirección es
3. F 5 20 N

A perpendicular al plano en que se realiza la rotación del

cuerpo y su sentido dependerá de cómo se realice ésta.

2.5 m Momento (–) Centro de gravedad, centroide
y centro de masa
4.
A Momento 5 0 El centro de gravedad de un cuerpo es el punto don-
de se encuentra aplicada la resultante de la suma de
F 5 20 N todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una
de las partículas del mismo. Si el cuerpo es simétrico y
figura 5.26 homogéneo la resultante de todas las fuerzas gravitatorias
se localizará en el centro geométrico. Si se suspende un
Ejemplos de momentos de una fuerza. cuerpo de su centro de gravedad queda en completo equi-
librio, tanto de traslación como de rotación. Si un cuerpo
En los cuatro casos tenemos una viga con una longitud de no es simétrico, como es el caso de un bate de beisbol o el
5 metros, dicha viga recibe la misma magnitud de fuerza de una piedra, su centro de gravedad puede encontrarse
a diferentes distancias del punto de apoyo A excepto en fácilmente si se suspende el cuerpo en dos puntos diferen-
el 1 y 2 en los que la distancia del punto de apoyo en la tes. El cruce de las dos líneas que sucesivamente ocupan
cual se aplica la fuerza es la misma, es decir, tienen igual la posición vertical, es el centro de gravedad.
su brazo de palanca. Como se observa, la magnitud del
momento de la fuerza en el caso 1 es igual a la magnitud Por centroide se entiende el punto donde estaría el cen-
del momento de la fuerza en el caso 2, lo que es diferente tro de gravedad, si el espacio vacío fuera ocupado por
es su efecto, pues mientras en el caso 1 el momento es un cuerpo. Por ejemplo, un cubo hueco hecho con placas
negativo, en el caso 2 es positivo. Esto se debe a que por de vidrio, metal, madera, etc., tiene centroide, pero un
convención se considera que el momento de una fuerza trozo de madera cuadrangular tiene centro de gravedad,
es positivo cuando su tendencia es hacer girar a un cuer- lo mismo sucede con un tubo metálico, éste tiene centroi-
po en sentido contrario al giro de las manecillas de un de, pero una barra metálica cilíndrica presenta centro de
reloj, y negativo cuando la tendencia de la fuerza aplica- gravedad.
da es hacer girar al cuerpo en sentido de las manecillas
del reloj. Tales son los casos 2 y 1, respectivamente. El centro de masa de un cuerpo se localiza en aquel
punto en el cual para cualquier plano que pasa por él
En el caso 3 se aplica la misma magnitud de la fuerza a los momentos de las masas a un lado del plano son igua-
la viga de 5 m de longitud, pero la fuerza de 20 N está les a los momentos de las masas del otro lado.
aplicada a una distancia de 2.5 m del punto de apoyo,
es decir, se ha reducido su brazo de palanca a la mitad. Con base en su centro de gravedad un cuerpo puede
tener un equilibrio estable, inestable o indiferente. Para
que un cuerpo apoyado esté en equilibrio se requiere que
la línea de acción de su peso, o sea, la vertical que pasa
por su centro de gravedad, pase también por su base de
apoyo (figura 5.27).

Grupo Editorial Patria 159

Física General

Condiciones de equilibrio

Reacción Primera condición de equilibrio

Peso Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo en equilibrio,
ya sea que se encuentre en reposo o con movimien-
figura 5.27 to rectilíneo uniforme, de acuerdo con la Segunda Ley
En el dibujo se muestra un cuerpo que está en equilibrio porque en el apoyo de Newton, le provocará una aceleración, misma cuya
se produce una reacción con la misma magnitud y dirección que el peso, magnitud será mayor mientras mayor sea la magnitud
pero con sentido contrario. de la fuerza aplicada. Por tanto, para que un cuerpo esté
en equilibrio de traslación la fuerza neta o resultante de
Cuando la vertical del centro de gravedad no pasa por todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a
el apoyo, el peso y la reacción dejan de ser colineales y cero. En otras palabras, la suma de todas las fuerzas que
se transforman en un par de fuerzas con su correspon- actúan sobre el cuerpo en el eje de las ordenadas y en el
diente momento de rotación, ocasionando que el cuerpo eje de las abscisas debe ser cero.
gire o caiga.
Un cuerpo está en equilibrio estable cuando al moverlo Con lo anteriormente expuesto podemos establecer la pri-
vuelve a ocupar la posición que tenía debido al efecto de
la fuerza de gravedad. Cuando se mueve, su centro de gra- mera condición de equilibrio que nos dice: para que un
vedad sube, por ello trata de regresar a su posición inicial.
Un cuerpo tiene equilibrio inestable cuando al moverlo cuerpo esté en equilibrio de traslación, la resultante de
baja su centro de gravedad, por lo que trata de alejarse de
su posición inicial buscando tener un equilibrio estable. todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero.
El equilibrio de un cuerpo es indiferente cuando en cual-
quier posición su centro de gravedad se mantiene a la RR5500
misma altura, por lo cual no trata de conservar su posi-
ción original ni alejarse de ella. o sea SSSSFFFFyx
En general, la estabilidad de un cuerpo apoyado sobre
su base aumenta a medida que es mayor la superficie x550 0
de sustentación y disminuye al ser mayor la altura de y550 0
su centro de gravedad. Por ello, los autos de carreras
tienen su centro de gravedad lo más bajo posible para En los siguientes ejemplos, se muestran varios casos de
una mayor estabilidad. equilibrio:

Segunda condición de equilibrio

Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación
si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero.
Sin embargo, puede estar girando sobre su propio eje,
como fue señalado en la sección: Par de fuerzas, debido
al efecto que le produce un par de fuerzas. Así, la rota-
ción del volante de un automóvil se debe a la capacidad
que tiene cada fuerza para hacerlo girar, y como tanto

Rn

n FFnn12 nT

F3 SFnx 5 0 n
SFny 5 0
Pn E
Estable nT

Indiferente

Pn n n

SFny 5 0 SFx 5 0 nP
figura 5.29 SFy 5 0
Ejemplos de equilibrio de traslación.
Inestable

figura 5.28
Ejemplos de los tres tipos de equilibrio.

160 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

  Estrategia para resolver problemas
la fuerza F1 y F2 lo hacen girar en el mismo sentido, sus de equilibrio de los cuerpos
momentos no se neutralizan (ver figura 5.25). y diagrama de cuerpo libre

Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe Para resolver problemas de equilibrio de los cuerpos es
cumplirse la segunda condición que dice: para que un importante aislarlos unos de otros, ello permite hacer un
cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los mo- análisis de las fuerzas conocidas que actúan sobre
mentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él res- un cuerpo, así como de las que se desconocen y se de-
pecto a cualquier punto debe ser igual a cero. sea calcular.

SM 5 0 Cuando se aísla un cuerpo sobre él aparecen únicamente
las fuerzas externas que soporta, las cuales son ocasiona-
En la figura 5.30 tenemos varios casos de equilibrio de das por tener contacto con otros cuerpos o por atracción
rotación. gravitacional. Este procedimiento gráfico para aislar un
cuerpo recibe el nombre de diagrama de cuerpo libre.
Nota: Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento
puede estar desplazándose de un punto a otro, girando Los pasos a seguir para hacer un diagrama de cuerpo
sobre su propio eje, o bien, realizando ambos movimien- libre son:
tos. Por ejemplo, cuando vemos pasar un autobús, los
pasajeros efectúan un movimiento de traslación, pero a) Hacer un dibujo que represente claramente el pro-
las ruedas realizan un movimiento de rotación y de blema que se desea resolver (sólo si no se propor-
traslación. En general, cualquier movimiento por com- ciona la figura; si aparece, siga con el paso B).
plejo que sea puede ser reducido para su estudio a dos
tipos de movimiento: de traslación y de rotación. b) Construya un diagrama de cuerpo libre sustituyen-
do por medio de fuerzas todo aquel efecto que re-
SM 5 0 cibe el cuerpo, provocado por su contacto con otros
cuerpos o por la fuerza gravitacional y que originan
n Pna2) Balanza aritmétiPcna1 Pn2 que se encuentre en equilibrio. Indique la magni-
tud, dirección y sentido de las fuerzas conocidas.
P1 Use símbolos para señalar las cantidades que se
desconocen.
b) Balanza romana
Después de hacer el diagrama de cuerpo libre continúe
la resolución del problema de equilibrio al realizar los si-
guientes pasos:

1. Haga un sistema de referencia utilizando ejes rectan-
gulares y coloque al cuerpo en equilibrio en el origen
del sistema de coordenadas. Cabe señalar que los
ejes no necesariamente deberán ser verticales y hori-
zontales, ya que ello dependerá de las condiciones de
equilibrio en que se encuentre el cuerpo.

Pn1 Pn2 Pn1 Pn2

SM 5 0

nn Pn1 Pn2 Pn1 Pn2 Pn1 Pn2

P1 P2

c) Balanza de dos platillos d) Sube y baja

figura 5.30
Ejemplos de equilibrio de rotación.

Grupo Editorial Patria 161

Física General RR 55 00

2. Dibuje las componentes rectangulares en los ejes X y 1 . SSSSSSSFFFFFFMyxyyxx 555 000000
en Y de cada vector mediante líneas punteadas. Se- 2. 555 0
ñale también el valor de los ángulos conocidos. 3. 5

3. Aplique las ecuaciones de equilibrio que necesite para
encontrar las respuestas a las incógnitas buscadas. Di-
chas ecuaciones son:

Resolución de problemas de equilibrio de los cuerpos

1 Dos niños sostienen una piñata cuyo peso tiene [ T1 cos 20+ 5 T2 cos 20+
una magnitud de 196 N, formando un ángulo de T1 5 T2
140º con ambas cuerdas, como se ve en la figu-
ra. Calcular la magnitud de la fuerza aplicada SFy 5 T1 sen 20+ 1 T2 sen 20+ 2 196 N 5 0
por cada niño. [ T1 sen 20+ 1 T2 sen 20+ 5 196 N

140º como T1 5 T2 5 T
2T sen 20+ 5 196 N

T 5 196 N 5 2 196 N 5 286.54 N
2 sen 20° 3 0.3420

D onde la magnitud de la fuerza aplicada por cada
niño es de 286.54 N

2 Un cuerpo tiene un peso con una magnitud de
490 N se encuentra suspendido del techo por
medio de dos cuerdas como se ve en la figura.
Determine la magnitud de la tensión en cada
una de ellas.

Solución: 408 508
Diagrama de cuerpo libre:
Tn1
Tn2

n n Tn1 Y
T1y Tn2 Tn1
T2 P
T2y X T2y T1y
208 208 408
Tn2x Tn1x 508 X
Tn2x
P 5 196 N n

T 1x

Como el cuerpo está en equilibrio, tenemos que: P 5 490 N
SFx 5 0 5 T1x 1 (2T2x )
Solución:
SFy 5 0 5 T1y 1 T2y 1 (2P ) Como el cuerpo está en equilibrio:

Sustitución: SFx 5 0 5 T1x 1 (2T2x )
SFx 5 T1 cos 20+ 2 T2 cos 20+ 5 0 SFy 5 0 5 T1y 1 T2y 1 (2P)

162 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Sustitución:

SFx 5 T1 cos 50+ 2 T2 cos 40+ 5 0 Y

[ T1 0.6428 5 T2 0.7660 n

T2 nT2y

T1 5 0.7660 5 1.192
T2 0.6428

Despejando a T1 tenemos:

T1 5 T2 1.192 50º nT1
Tn2x X
Para encontrar las magnitudes de T1 y T2, traba-
jaremos con la suma de las magnitudes de las
fuerzas en el eje Y:

SFy 5 T1 sen 50º 1 T2 sen 40+ (2490 N) 5 0

[ T1 0.7660 1 T2 0.6428 5 490 N P 5 680 N

Como desconocemos T1 y T2, expresamos en esta
última ecuación a T1 en términos de T2, esto es:

T1 5 T2 1.192 Sustitución:
SFx 5 T1 2 T2 cos 50º 5 0
[ T2 1.192 3 0.7660 1 T2 0.6428 5 490 N
[ T1 5 T2 cos 50+
Como T2 es factor común tenemos:
Para encontrar T1 y T2 tenemos que trabajar con
T2 (1.192 3 0.7660 1 0.6428) 5 490 N la suma de las magnitudes de las fuerzas en el
eje de las Y:
T2 (0.9131 1 0.6428) 5 490 N

T2 5 490 N 5 314.93 N SFy 5 T2 sen 50+ 2 680 N 5 0
1.5559

Como T1 5 T2 1.192 [ T2 5 sen 50+ 5 680 N

T1 5 314.93 N 3 1.192 5 375.39 N T2 5 680 N 5 887.73 N
0.7660
3 Un cuerpo tiene un peso cuya magnitud es de 680
N y está sujeto por dos cuerdas, como se ve en la Sustituyendo este valor en T1 tenemos:
figura. Calcular la magnitud de la tensión en cada
una de ellas. T1 5 T2 cos 50+ 5 887.73 N 3 0.6428 5 570.63 N

40º 4 Un cuerpo cuyo peso tiene una magnitud de
500 N está suspendido de una armadura, como
se ve en la figura. Determinar la magnitud de la
tensión de la cuerda y la magnitud del empuje
de la barra.

35º

Solución:
Como el cuerpo está en equilibrio:

SFx 5 0 5 T1 2 T2x
SFy 5 0 5 T2y 2 P

Grupo Editorial Patria 163

Física General

Solución: Calcular:
Como el cuerpo está en equilibrio: a) La magnitud del peso que se debe aplicar en

SFx 5 0 5 E 1 (2Tx ) el otro extremo para que la barra quede en
SFy 5 0 5 Ty 1 2P equilibrio.

Y b) La magnitud de la tensión que soporta el cable
que sujeta la barra. Considere despreciable el
peso de la barra.

Solución:

T5?

nT Tny

r1 5 3 m r2 5 2 m
0
35º n X
Tnx
E

P1 5 60 N P2 5 ?

Pn a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de tras-
lación y de rotación tenemos que:

Sustitución: SF 5 0 5 T 1 (2P1) 1 (2P2) (1)
SFx 5 E 2 T cos 35+ 5 0
[ E 5 T cos 35+ SM0 5 0 5 MP1 1 (2MP2) 5 0 (2)

Sustituyendo en la ecuación 1:

SFy 5 T sen 35+ 2P 5 0 SF 5 T 2 60 N 2 P2 5 0
[ T sen 35+ 5 P [ T 5 60 N 1 P2

T 5 P 5 500 N 5 871.68 N b) Para calcular la magnitud de la tensión de-
sen 35° 0.6736 bemos conocer la magnitud del peso que
equilibrará al sistema, de donde al sustituir
Sustituyendo la magnitud de la tensión para en- en la ecuación 2, tenemos que la suma de las
contrar la magnitud del empuje tenemos: magnitudes de los momentos en el punto 0 es
igual a:
E 5 T cos 35+ 5 871.68 N 3 0.8192 5 714.08 N
SM0 5 P1r1 2 P2r2 5 0
5 Sobre una barra uniforme de 5 m se coloca un
peso con una magnitud de 60 N a 3 m del punto [ P1r1 5 P2r2
de apoyo como se ve en la figura.
P1r1 60 N33 m
P2 5 r2 5 2m 5 90 N

3m 2m Por tanto, el peso que equilibra tiene una
magnitud de 90 N y la magnitud de la ten-
sión del cable es:

T 5 P1 1 P2 5 60 N 1 90 N 5 150 N

6 Una viga uniforme de peso despreciable sopor-
ta dos cargas como se ve en la figura.

60 N ? Calcular:

a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de reacción
(R ) que se ejerce para equilibrar a la viga?

164 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

6m tudes de los esfuerzos de reacción a que se en-
AB cuentran sujetos los apoyos, considerar despre-
ciable el peso de la viga.

F2 5 400 N

C1 5 300 N C2 5 400 N F1 5 200 N
1m 2m
1m

AB

b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción Solución:
respecto al punto A?

Solución:

6m

F2 5 400 N

rR 5 ? F1 5 200 N
1m 2m

C1 5 300 N

R5? C2 5 400 N

a) Para que el cuerpo esté en equilibrio: RA RB

SF 5 0 5 R 1 (2C1) 1 (2C2) (1) Para que la viga esté en equilibrio de traslación
y de rotación tenemos que:
SMA 5 0 5 R rR 1 (2C2rC2) (2)
Sustituyendo en 1: SF 5 0 5 RA 1 RB 1 (2F1) 1 (2F2) 5 0 (1)

SF 5 R 2 300 N 2 400 N 5 0 SMA 5 0 5 RB 3 4 m 1 (2F2 3 3 m) 1
(2F1 3 1 m) 5 0
[ R 5 700 N (2)

b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos res- Sustituyendo valores en la ecuación 2, donde se
pecto al punto A: consideran los momentos respecto al punto A
tenemos:

SMA 5 700 N rR 2 400 N 6 m5 0 SMA 5 RB 3 4 m 2 400 N 3 3 m 2 200 N 3
1m50
[ 700 N rR 5 400 N 6 m

rR 5 400 N 6 m 5 3.43 m SMA 5 RB 3 4 m 2 1 200 Nm 2 200 Nm 5 0
700 N [rR R5B 4307040N0mN65m1 54030.4N3 mm

Por tNan, qtou,RelaBe5rqeu1aic4vc04ai0lómeNnamtilea5nse3u5mu0naNadme alagsnmituadgndie- RB 5 1 400 Nm 5 350 N
700 4m
3tu.4d3esmddeeRllapBsu5dno5tos9A66c6a.mrNgmas5y9q9u4e.3d3aNcolocada a
aPpaorayocaAlcuselahrRaBlac5em5loa9g66mn6miiNtsummdo,5dep9e9lra4o.r3ae3ahNcocraióntomenane-l
7 Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas,
una cuya magnitud es de 200 N y otra de 400 N, do momentos respecto al punto B; toda vez que
como se ve en la figura. Determinar las magni-
cuando un cuerpo está en equilibrio la suma

Grupo Editorial Patria 165

Física General

de sus momentos en cualquier punto es igual a Como la fuerza F1 forma un ángulo de 60º res-
cero, por lo que SMB 5 0. Sin embargo, es más pecto al eje horizontal debemos calcular la mag-
sencillo calcular la magnitud de la reacción en B nitud de su componente rectangular sobre el eje
partiendo de la ecuación 1, misma que al susti- vertical, pues es la única que tiene capacidad de
tuir valores queda: hacer girar al cuerpo debido a que la componen-
te rectangular horizontal tiene su línea de acción
SF 5 RA 1 350 N 2 200 N 2 400 N 5 0 sobre el plano de la viga y, por tanto, su momento
es igual a cero. Por otra parte, el peso de la viga
[ RA 1 350 N 5 600 N se considera concentrado en su centro de grave-
dad, esto es, a la mitad de su longitud. Al aplicar
RA 5 600 N 2 350 N 5 250 N las condiciones de equilibrio tenemos:

Como se observa, la suma de RA 1 RB es igual SF 5 0 5 RA 1 RB 1 (2F1y) 1 (2P ) 1 (2F2)   (1)
a 600 N, magnitud igual a las fuerzas que so-
portan: SMA 5 0 5 RB 3 6 m 1 (2F2 3 6 m) 1 (2P 3 3 m)
1 (2F1y 3 1 m) (2)
F1 1 F2 5 600 N
Sustituyendo valores en la ecuación 2:
8 Una viga de 6 m de longitud, cuyo peso tiene
una magnitud de 700 N, soporta una carga de SMA 5 RB 3 6 m 2 500 N 3 6 m 2 700 3 3 m
1 000 N que forma un ángulo de 60º y otra carga 2 1 000 N sen 60 3 1 m 5 0
cuya magnitud es de 500 N, como se ve en la
figura. Determinar la magnitud de la reacción SMA 5 RB 3 6 m 2 3 000 Nm 2 2 100 Nm
en el apoyo A y B. SMArR55R42B0780306N066NN6mmm255503 9.6463 Nmm 5 0

1m F1 5 1 000 N F2 5 500 N RB [5R1B43040m6Nmm5553 59066NN
A 60° B

RB 5 5 966 Nm 5 994.33 N
6m

6m Para calcular RA sustituimos el valor de RB en la
ecuación 1:
Solución:
F2 5 500 N SF 5 RA 1 994.33 N 2 1 000 N 3 0.866 2 700 N
F1 5 1 000 N B 2 500 N 5 0
F1y
SF 5 RA 1 994.3 N 2 2 066 N 5 0
60° [ RA 1 994.3 N 5 2 066 N
A
RA 5 2 066 N 2 994.3 N 5 1 071.7 N

RA P 5 700 N RB
1m 2m
3m

Ejercicios propuestos

1 Encontrar la magnitud de la tensión que soporta b) T2 34° 56° T1
cada una de las cuerdas que sostienen diferen-
tes pesos de acuerdo con las siguientes figuras:

a) T2 10° 10° T1

100 N 300 N

166 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

c) T2 4 Calcular la tensión en la cuerda que sostiene a
35° la siguiente viga y a qué distancia se encuentra
del punto A. Considere despreciable el peso de
50 N la viga.
d)
T1 r T
40° T1 A
B
10 m 60 N

200 N

T2 5 Encontrar los valores de los esfuerzos de re-
400 N acción a que se encuentran sujetos los apoyos
en la siguiente viga. Considere despreciable el
2 Calcular la magnitud de la tensión y la magni- peso de la viga.
tud del empuje de la barra en las siguientes ar-
maduras: F1 5 100 N 3m F2 5 150 N
2m 3m
a) T

25° RA 5 ? RB 5 ?
E
700 N 6 Encontrar el valor de los esfuerzos de reacción
en cada uno de los apoyos en la siguiente viga,
b) T misma que tiene un peso de 200 N.

3m F1 5 300 N F2 5 300 N
3m 2m 2m
E

5m
900 N

RA 5 ? P 5 200 N RB 5 ?

3 Calcular la magnitud del peso que se debe apli- 7 Calcular la reacción en el apoyo A y B de la si-
car para que la barra quede en equilibrio y de- guiente viga, cuyo peso es de 400 N.
terminar la magnitud de la tensión en la cuerda
que sujeta a la barra, si el peso de ésta es des-
preciable:

T5? 6m F1 5 50 N F2 5 40 N F3 5 60 N
3m 70° 50°

1m 1m 1m 1m
RA 5 ?
P5? 50 N P 5 400 N RB 5 ?

Grupo Editorial Patria 167

Física General

5 Fricción

Siempre que se quiere desplazar un cuerpo que está en Si le colocamos al bloque una pesa encima, cuya magni-
tud sea igual al peso del bloque, tendremos que al aumen-
contacto con otro se presenta una fuerza llamada fricción tar el peso se ejercerá sobre la mesa una mayor acción, y
que se opone a su deslizamiento. La fuerza de fricción o como reacción la magnitud de la normal (N) será igual al
de rozamiento sobre un cuerpo es opuesta a su movimien- peso del bloque más el de la pesa. Si ahora jalamos nue-
to, o movimiento inminente respecto de la superficie. vamente el sistema bloque-pesa se observará que el dina-
La fricción es una fuerza tangencial, paralela a las super- mómetro señala una fuerza máxima estática al doble que
ficies que están en contacto. Existen dos tipos de fuerza cuando se tenía al bloque solo. Si se triplica el peso del
de fricción: estática y dinámica o de movimiento. bloque la normal también se triplicará y la fuerza máxima
La fuerza de fricción estática es la reacción que presen- estática registrada en el dinamómetro señalará el triple.
ta un cuerpo en reposo oponiéndose a su deslizamiento
sobre otra superficie. Por lo anterior, podemos concluir que la magnitud de la
La fuerza de fricción dinámica tiene una magnitud igual fuerza máxima estática (Fme) es directamente propor-
a la que se requiere aplicar para que un cuerpo se des- cional a la magnitud de la fuerza normal (N) que tien-
lice a velocidad constante sobre otro. de a mantener unidas ambas superficies debido al peso
La magnitud de la fuerza máxima de fricción estática será donde: Fme a N. Podemos transformar esta relación en
en cualquier situación un poco mayor que la de fricción una igualdad, si cambiamos el signo de proporcionalidad
dinámica, ya que se requiere aplicar más fuerza para lo- (a) por un signo de igual e incluimos una constante de
grar que un cuerpo inicie su movimiento, que la necesa- proporcionalidad que será me. Por tanto, tenemos que
ria para que lo conserve después a velocidad constante.
Un experimento sencillo para estudiar las características Fme 5 meN
de la fricción consiste en colocar sobre una mesa hori-
zontal un bloque de peso conocido, al cual se le ata un donde:  Fme 5 magnitud de la fuerza máxima de fric-
hilo, mismo que tiene en su otro extremo un dinamóme- ción estática en newtons (N)
tro, como se ve en la figura 5.31.
N 5 magnitud de la fuerza normal que tiende
N a mantener unidas las superficies en con-
tacto debido al peso en newtons (N)
F
me 5 constante de proporcionalidad llamada co-
P eficiente de fricción estático, sin unidades

figura 5.31 Si de la ecuación anterior despejamos me tenemos:
Experimento para estudiar la fricción.
Fme (adimensional)
Se jala poco a poco el dinamómetro y se observa que la me 5 N
magnitud de la fuerza aplicada por la mano va aumen-
tando hasta que llega un momento en que si se incre- Fd
menta un poco más, el bloque comenzará a deslizarse Por definición, eml dc5oefNiciente de fricción estático es la re-
sobre la superficie. Por tanto, observamos que la fuerza
de fricción estática no es constante, sino que a medida lación entre la magnitud de la fuerza máxima de fricción
que jalamos el cuerpo aumenta. La fuerza máxima está-
tica (Fme) se alcanza un instante antes de que el cuerpo estática y la magnitud de la normal. Como se observa, es
inicie su deslizamiento.
adimensional, o sea que carece de unidades, ya que es el

resultado de dividir dos magnitudes de fuerzas.

Para estudiar ahora la fuerza de fricción dinámica (Fd) le
quitamos las pesas al bloque a fin de registrar la magni-
tud de la fuerza que se necesita para moverlo con velo-
cidad constante. Observaremos que la fuerza de fricción
dinámica actuará siempre en la misma dirección, pero
en sentido contrario al movimiento del bloque, es decir,
en sentido contrario a la velocidad, provocando una acele-
ración negativa y consecuentemente un frenado. Una vez
iniciado el movimiento la fuerza de fricción dinámica se
mantiene constante, independientemente de que la mag-
nitud de la velocidad sea grande o pequeña. Si se aumen-
ta la magnitud del peso del bloque al doble y al triple se
observa también que la magnitud de la fuerza de fricción

168 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

dinámica se duplica o triplica respectivamente, por tanto, Ventajas y desventajas de la fricción
es directamente proporcional a la magnitud de la normal
entre las superficies (Fd a N), por lo que puede escribirse: La fuerza de fricción se manifiesta en nuestra vida diaria
prácticamente en todo momento, pues se presenta cuan-
Fd 5 mdN do caminamos, ya que sin la fricción de los zapatos con el
suelo nos resbalaríamos. También gracias a la fricción es
donde:  Fd 5 m agnitud de la fuerza de fricción dinámica posible la escritura; sostener cualquier objeto con las ma-
en newtons (N ) nos; lavar pisos, paredes o ropa; frenar un vehículo, pues
al aplicar el freno el roce de las balatas con el tambor de
N 5 m agnitud de la fuerza normal entre las su- los neumáticos y el roce de éstos con el suelo permiten
perficies debido al peso en newtons (N ) detenerlo si se desea; cuando llueve o cae granizo la fric-
ción con el aire evita que las gotas de agua o los trozos de
md 5 c oeficiente de fricción dinámico, sin unida- hielo caigan con más fuerza sobre nosotros una vez que
des alcanzan su velocidad límite o terminal (ver caída libre en
la sección 9 de la unidad 4), pulir metales, brillantes o pe-
Al despejar a md tenemoFsm: e drería para joyería; los meteoritos que penetran a nuestra
me 5 N atmósfera se desintegran por el calor producido al rozar
con el aire, ello nos evita los graves riesgos a los que esta-
Fd (adimensional) ríamos expuestos si de repente cayera sobre nosotros una
md 5 N gran masa proveniente del espacio.

Por definición, el coeficiente de fricción dinámico es la La fricción no siempre está ofreciéndonos ventajas, pues
relación entre la magnitud de la fuerza de fricción di- debido a ella se presentan los siguientes inconvenientes:
námica y la magnitud de la fuerza normal que tiende a se produce un considerable desgaste en la ropa, zapa-
mantener unidas dos superficies. Es adimensional. tos, neumáticos, piezas metálicas, pisos, alfombras, pa-
redes, etc.; una gran parte de la energía suministrada a
Al continuar con nuestro experimento podemos cambiar las máquinas se pierde por el calor no aprovechable que
la superficie por la que se desliza el bloque, colocando se produce por la fricción.
una placa de vidrio, una cartulina, una tela o una placa
metálica. Observaremos que la magnitud de la fricción Actualmente, el hombre ha encontrado varias formas
depende del grado de rugosidad de la superficie, es para reducir la fricción y para ello usa aceites, lubrican-
decir, que en las superficies lisas la fricción es de una tes, cojinetes de bolas o baleros, pues el rozamiento es
magnitud menor. menor en superficies rodantes que en las deslizantes.
Asimismo, emplea superficies lisas en lugar de rugosas.
Finalmente, apoyamos el bloque sobre una de sus caras
de menor área y comprobaremos que la magnitud de la De lo anterior podemos concluir que la magnitud de la
fuerza de fricción es prácticamente independiente de fuerza de fricción se puede aumentar o disminuir cuan-
la superficie de deslizamiento, por tanto, obtendremos do sea conveniente.
aproximadamente las mismas magnitudes de la fuerza de
fricción para un cuerpo que se desliza sobre una superficie
plana, si es arrastrado por cualquiera de sus caras.

Resolución de problemas de fricción

1 Un instante antes de que una viga de madera que N 5 490 N
tiene un peso con una magnitud de 490 N comien-
ce a deslizarse sobre una superficie horizontal de F 5 392 N
cemento, se aplica una fuerza máxima de fricción P 5 490 N
estática cuya magnitud es de 392 N, como se ve
en la figura. Calcular el coeficiente de fricción es-
tático entre la madera y el cemento.

Solución: Fme 5 392 N

Datos Fórmula

P 5 N 5 490 N Fme
Fme 5 392 N me 5 N
me 5 ?
me 5 392 N 5 0.8
490 N

md 5 Fd
N
NNGr5u0p.o35Editorial Patria 169
md 5 21
60

45 N

Física General

Fme magnitud es de 150 N y el coeficiente de fricción
Sustitución y resmuelt5adoN dinámico es de 0.3.

me 5 392 N 5 0.8 Solución:
490 N

2 Para que un mbalmogdqn5uiteuFNdddedem6a0dNerianiqcuiaeratiesunedeusn-
peso con una
luinzaammieensatodecomnamuddne5ara62,v01eselNNoacp5idli0ac.dó35uconnasftuaenrtzeascoubyrea N

n
dagCmcacCFfStDFPmPSDmmSSCmruouppodoououddaaaaoi555aiidncyllnlllcssr555ttmlligiuuuccocatoomcacdui5?Ndcccniuuaoass,te2óa0?cn0iiiaue illrrpóóó1:on.talaa50vc4uamnnnpeaer5rieNdvNdó:::rfa06lflaiueolianoucra00ngelnaciFeodmeásynNimrdNcdecdnmiadzriute 5aatdesgaeueiespgdeascnddFaFaFaFaFFF[F[dyymmmmmmmmlrq02audnndoiRRci00pzmmdddd.5555ee155u555555trqleti4o55c5555ouetatai555555ddeuanduN22oFfnrdFF113aammgPPg9955rc11d66ePPggmmdosn4422sdRRdt..ttF3a46...F2FFiNNNu22d00t00yyo88erc882255seddd5l990a15CNlmcaa55dd55ey33de0022cat00kks1155200mmonbraNN99o99i55eNaN00hhellle55mm66óf0mnFFtln..ia77aNPPNl//uo00e11qp00NNznRRctldtssggPPs522N22qfa,..e55rae33euuN2277uNN555dasdruraasNNi((l110s33efiz445rliea11o11oeouon0.1155itra3322mm3r6611rsob2200i99ez55.55átde..e285..33,hd00i22ae00rrs9966..kk//22m55een077ez00tssu00a88oelF22..66mmq..eNNndaFaFF[Fym22emmmmm08822a..55liprpc22uNNómm33cR((anfNNue055mmimddd55ee555o5ul55500mmrNenr66ozq5eei55is55e555dmmmu55ncr//mm99o33acss2NNum//iFe1assmsfPg9fa))5ngn1css6Pgmi4i2epRu))es2211s.//tF346.2FFcNNrc22o222330ia0ytu8ss8u25e..lddó9901Nmai55da5nid5s77322s0a2e3306655ei11peks1n520mmeNle9ee1195NN55s000hqesomne5m226Fhhn.22c227NPN.d00/a001mmur11td0NdRce22tsePge52fg.2i55.5mme..sse3eue24is7n33N//n55c..11n:aibdssy.55N(5510f883//áttl4i11i22i00sseaeaeae550.15---32m36111mm22112095.5.mm85.663995502096.k/257..0..s082.6//66m33.N28442.ss52N66m399(N5m2244550m6mm..NNm995/m93sN/s00..)//s)21/ss223sNN.5723651lft D DqC c S tdfrpnc150aiarue2ooh2eecue2u0ioeeml1ddncm2ins,qesm5em.lsucolltp3t/aiuaa.1osstiiegcs5o58/oótid,ee:20eifsu5uee rFneneups1m2F1nyccadtnyelmdte6o9F5aeuueilebddr.rd,.dol/6naa3szuloe4.pFsomSbopl6ccd9anPo24xesqlliiFl,ohom.Noaóóaaerá59uyqoatornnz4rS0nf.i/fe5ucvavoususFFdgF12eieNFaomteeeaxe::uarxnN,cxarNrsal5ell5azoszla,5uo3an1paerbasF5:mrcdof.nFalfF2yuiodosduSe(,tbrxPd02eqmPieteila(ad22eºra5Pu52rsPlpfoz0,5zceermaaF)2loºmaoi1oaFccrdn1ry5anFpdnecyetqcFe0N5gt uusoiso2t0urFynónueNaper0) im.enyt0b m9neirs°eet 5upt3ldsucesaovhey9otrodneloo0áen7abtarsd Ft erFarpialueeexeeaznll5rnnolaFitálleefceeayaanu?hlavmsitvcemgoaacaeosorruunlzuamrlsiFetazta:gpbairxplocnelr(((((pd(enoo562a3a4l1riooes-----))))))ll
3
4

N ituyenFdyo5m6Fey5s7eFenNmn2e50:º 5 F 0.3420 (7)
P 5 150 N Sust
F 0.939m7e 55 034.99320(1NN505N0.82 F 0.3420)
F5?

Fd 20° F mm00..dd99F553319962F.N770d01351NN974F55500N.14.35525N4F50N.1
F
170
F 5 45 N 5 43.28 N
1.0397

a5 FR 5 FR 5 15.7 N 5 1.71 m/s2
m P 90 N
Grupo Editorial Patria
at2 5 1.71 m/s2 (5 s)2
d 5 2 2 5 21.38 m

md 5 N

md 5 21 N 5 0.35 5UNIDAD Dinámica
60 N

F 5 45 N 5 43.28 N
1.0397

a5 FR 5 FR 5 15.7 N 5 1.71 m/s2
m P 90 N
Donde la fuerza que se debe aplicar al bloque
es de 43.28 N con un ángulo de 20º respecto a la d 5 at2 5 1.71 m/s2 (5 s)2 5 21.38 m
horizontal para que se desplace con una veloci- 2 2
dad constante.
6 dUen1a 8m00oyt0No5csiec6l0metkuahmecv3ueya1o10up0nke0amsmvoe3tlioec3nid61e0ahu0dnscau5ym1a6am.g6na6gimtnu/id-s
5 Se aplica una fuerza cuya magnitud es de 40 N 7 CFdVStCrPae ccaeLSfp1SPbndDatPln0aoeueoiccnueeeeoroaru00auuolor 555m5dceoemu 5aflmrmsem1tmnlamnulautdFaaFFF[ymlmmmmmmotaaaeai9sumetoepn?21aediFaaFFF[oocymRmmmmmyl06aocasmdddsa55eett5.555urídnaFFaFF[seymR5mmmmmilvrd0ss05o3u8i5m0odddd555needn2d5gaFaaFF[Fónym555immmmm55d555dzRlo::0nde5co25mddd555ee9ut5aF[FFy0am555RmeFd55mcen10i555dambatgP9ne1mddd55eenk5o55a15552lq56siPgmiRo4F255eR1555dst0ami5gP9.otoFo3m4d6d5.:F25Fl5l5NNo55i1N2t2c655ePgó0555dmm0yid864F28uRa1uo2a,55mgP9.tntF3246.5uF2aFdd9c590NN1Nulm1aa26F5Pg5d1di05mam0yNPg92sn834uu2u80R2250e05.tiqF12346.F2Fc6ddne.kPgl99m0NN1dNm1n5iq204am22n5Rd05/d0mNygP9.83n9ztF38046.22FF925a505NNN,dN1d0n2nhddPgke9ml0901u0Nym1528uh0am55m86kdi525oNcaf39Fa0.auF2e9.dd90N9501N7NNmi;02NaPlhNd5ked5/y1a45r82300m85mi0o612Ns009ediFamRdd9.mkd5dátN7N152s0a0NPmhNefed5sgPi/Nae529050m26a1d,f92a0e0N.5t5aNNF0Rohc.e371a2smNP,N5m6une7Pgau/95oN20F51c5.s2nd50N.d57ad0RNP/Ncs3/dr2sa056d17dPgN(0N5N12ea05sgdR5e.es32ac.5hs4ecm3gPgel/i21a1502a7e2N0N(.N5y10l5e5t03.seóa13cri2s4elugP73.2o121Namae3sm55612siNn(c10c20f0392.z155.s2n25c4eatt23NsA2(1Ni11.0m361l3n85fn.l24030u9.15ag0i52.u0di1aFFaFF[a15ymmmmmmopei956.k32/p2Ntm(2u.em53/d61530.8515et.207ó39po3052.0012l5srm0R83l6196.sk0/2uy2.6.cu0a205m9F8mdddt555e5eeee..5.c5N5e73555ad2na082n2002sma.0r8:c.6e96.k58/252a5..622e5um3N5a5y50m.20r3Ndj7rul2(5596.ok8bN/2555d025sm0m8.en5p5ee2.N.6na55237mN25a0mz.nm00N39sl08aF926(68N1.2am252.6ymgP9ms.5Mm5e.55N2l1sNm5620Pgn8mt0mma32dm4.3(625R:N5aod2/cm.C596em.3,2tiF3N4a6.F2Fsa.Nem5lNN13nf/522(08Nm005cysmmm8.6558deD/25m9a05:3e2i)os5osdd0N9mR90d31cNmoa/a65d5a5)ómsma231d/502/mm950d3a)os02ekNsmºr23l15mo2/06m5eae/s a)msN9Us23291v/lns9.mrlN5NaN)e0/mhc25se23imscs75m6c2/smm9)a321d)65F/a1..Nseo7a/NPNl25Afet2p3/)st2107au/l12s1o0N3165o1R5.2s0gr23uiasmal5aPg2s)e52l/7of2h.a21qde.325o652n1l5:i2502s3el0272s72ncummr3N1ca65515hnp12a2r52n0cuo0a2r21fNm3s(mc15150mc5h3.0selir2et242a2r0i11a3e/otehatem215l2im5i0...1is15da02ernu3lsmo2aó51rm533ó/r61d8a/252sm202.9.1as5.z5clya2hasn05.553sm/vdn.858c5sn/.2g3o.da1020ee3a/96.ek2s/21055fm25sdm15lm.o15o8/ei7)s05s058eman2l8d2c1m0/.6m2eqsl5c61m.1d5.9.5Nrs22802ed5s.55/1mm2fuma261eNes.l9imi53u.eu(N01oi5sm2ms/615mrmet3ze565g0.9m5ann.406tseme2uad16/6vnl6935io9t.i.4ma5nc24sm/m9;sa3/6ascf9.e6Na35eid.9a/nddl4s/624smi3msr.Nm)dil6sgai.4n9ó9s)21t//t2e4ei36óm.N19d223e4eou(2s4ac9snde0n.o/.mtt.iN9nvf52e72429csenscm3.N0dii65.l.1i/ei,9ee0iNgst1su.N0.ni/50dssltt92u0dNó.innd/h(s22auoeeat0ltsN1esm01N.dneaeeaoe2s------N):5m.sN3/.1s558/20s51m21m695../634s6924m.N90./sN
durante 5 segundos, sobre un bloque cuyo peso
tiene una magnitud de 90 N para desplazarlo
sobre una superficie horizontal, con un coefi-
ciente de fricción dinámico de 0.27.

Calcular:
a) La magnitud de la aceleración del bloque.

b) La magnitud de la velocidad que llevará a los
cinco segundos.

c) La distancia que recorre el bloque al cabo de
los cinco segundos.

N

F 5 40 N

md 5 0.27 P 5 90 N

P

Solución:

Datos

F 5 40 N a)  a = ?

t 5 5 s b)  v5s 5 ?
P 5 90 N c )  d5s 5 ?
md 5 0.27

a) La aceleración que recibe el cuerpo se debe a
la fuerza resultante (FR ) que actúa sobre él y
cuya magnitud es:

FR 5 F 2 Fd

como  Fd 5 mdN

FR 5 40 N 2 0.27 3 90 N 5 40 N 2 24.3 N
5 15.7 N

a5 FR 5 FR 5 15.7 N 51.71 m/s2
m P 90 N

g 9.8 m/s2

b) Como la aceleración es constante la magnitud
de la velocidad a los cinco segundos será:

y 5 at 5 1.71 m/s2 3 5 s 5 8.55 m/s

c) La distancia recorrida a los cinco segundos ra. Si el bloque adquiere una aceleración cuya
es:

Grupo Editorial Patria 171

Física General

magnitud es de 2 m/s2 calcular el coeficiente de eficiente de fricción dinámica de 0.3. Calcular
fricción dinámico. la magnitud de la fuerza que se debe aplicar al
bloque para que se mueva con una velocidad
F 5 120 N constante si:

P 5 220 N 30° a) La tabla se encuentra sobre una superficie
horizontal [figura a)].
a 5 2 m/s2
b) La tabla forma un ángulo de 30º respecto al
me 5 Fme plano horizontal [figura b)].
Solución:
N a) N

me 5 392 N 5 0.8
490 N N

md 5 Fd md 5 0.3 F5?
N b) N
P 5 50 N
md 5m62e015NNF5Nme0.35 F 5 120 N F5?

F 5 1m4.0e535N9734995204NN3.5280N.8 30° Fy

Cmc nelaoqioatmfduaaFFFymumguR0idp55555envo555dFaymmmmoraid2tF0zamndgP9aFFymddmm5eel551u6Pgeem2Reat5.e055255dd50y58dl55825nlFa155admdaS02550a6k452mRtb.tF3462FeeF1Na5mgP0hF00e5m256PglF4df29Rl901sNm.t5P62Fa/3Nox1fu0N0Rk25520s(rdNPg012F95NqN.d3h e5e3F2dmi7kdF557NcNP9eurNNa1hx(1Rim3cFz5 117f)FPe.53115ei7Ra22m5561ó520Rd9.55r3107.435n00r1reem96.k/250.51107ee3Pms3014n2.6019m..5Nd2F.8c1s.2/855352mc3N1020mFs.0k(/29u5iim557.5i05mbs0n285x020mal.k/2N22mt75e/má3sN08smeN2(/Nam2sNe2)5m1ssN0)mn21/(Nn2232u55sF3s.tieN5t702en)c36515d3rsv211a503ae)2N5(i.h22215F0d7 m3F611(x2l. 15eF5ama70.sRmy6123h/n c.1d)10m0s15582/m la)het2q00sa.s,5me1 3l/1m21audes.58m63/95qgr2eos5.8a.1umnna/623l4cs6ge6dai1m9i24t.ó6enu6m.Npln9.:aid66rt0./ou6msmdcvdNmeuo/asd(ycg/l1aeaas-) 5 0.3 P 5 50 N
Fmxd5m5aF5FN5dcPgo2s2y3d020º5521(12260.36N6235mm/0s.)82 65620 55.5150m3./9s22 N 30°
m d
c dc ooemmFs[pdmooe5FaFF  djRFaFF[m555NFR5Rmmd52x55gP955d515om129.92y85s816m.Fad.F2NP0020088FFmdxa2255005dR2N1m209/5:0NNt6s5gP.2e/0NF20NFsnPg25ay(123dNe12a05N320m6235..313962.o559262.6s9.2852509022.5q.m85.0m5N2N3um5/m0m6N/es2s3m9)N//22Nss/422s35se4v52322n.a5922l5m30e2.1m0:5/510sº5/210s5m95219.95/3.4s0.9324429.N49N.N0.90.NN
Solución:
a) Como la fuerza que se aplica para que el blo-

que se mueva a velocidad constante tiene una
magnitud igual a la fuerza de fricción dinámi-
ca, tenemos:

F 5 Fd 5 mdN

Dado que el bloque está apoyado horizontal-
mente y la fuerza para moverlo es paralela al
plano, la magnitud de la normal es igual a la
magnitud del peso del bloque.

Sustituyendo tenemos:

F 5 Fd 5 0.3 3 50 N 5 15 N

b) Y

N
F5? X

md 555FNd216200 N 2 120 N 3 0.5
N
F x Fd
[md 5 59.02 N 5 0.369 Py30°
160 N
P 5 50 N

8 Un bloque cuyo peso tiene una magnitud de 50
N se desliza sobre una tabla existiendo un co-

172 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Como se observa, el peso del bloque es una De acuerdo con la ecuación 1 tenemos:
fuerza que actúa verticalmente sobre él y
se descompone en dos fuerzas menores, una N 5 Py 5 43.3 N
perpendicular al plano, es decir, Py y otra pa-
ralela al plano, es decir, Px. La fuerza normal Por tanto, la magnitud de la fuerza de fric-
que tiende a mantener unido el bloque a la ción dinámica es:
tabla será igual y opuesta a la magnitud de la
componente Py del peso, ya que su componen- Fd 5 mdN 5 0.3 3 43.3 N 5 12.99 N
te Px actúa paralelamente al plano oponiéndo-
se al movimiento ascendente del bloque, tal Por lo que al sustituir valores en la ecuación
como se opone la fuerza de fricción dinámica. 2 tenemos:
Por tanto, de acuerdo con las ecuaciones de
equilibrio tenemos: F 1 (225 N) 1 (212.99 N) 5 0

SFy 5 N 1 Py 5 0 (1) F 5 37.99 N (magnitud de la fuerza necesaria
para que el bloque ascienda con
SFx 5 F 1 Px 1 Fd 5 0 (2) una velocidad constante)

Las magnitudes de las componentes del peso Nota:  Si tuvo dificultad para comprender cómo
son: se descompone el peso del cuerpo en un
plano inclinado, consulte la sección 4: Re-
Px 5 P sen 30º 5 50 N 3 0.5 5 25 N lación entre el peso de un cuerpo y la fuer-
Py 5 P cos 30º 5 50 N 3 0.8660 5 43.3 N za de gravedad y descomposición del peso
en un plano inclinado.

Ejercicios propuestos

1 Un bloque de madera cuyo peso tiene una mag- a) F 5 ?
nitud de 20 N es jalado con una fuerza máxima 30°
estática cuya magnitud es de 12 N; al tratar de
deslizarlo sobre una superficie horizontal de ma- P 5 200 N
dera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático
entre las dos superficies? b) F 5 ?

2 Se aplica una fuerza cuya magnitud es de 85 30°
N sobre un cuerpo para deslizarlo a velocidad
constante sobre una superficie horizontal. Si la P 5 200 N
masa del cuerpo es de 21.7 kg, ¿cuál es el coefi-
ciente de fricción dinámico? 5 Un camión de carga cuyo peso tiene una mag-
nitud de 98 000 N viaja a una velocidad cuya
3 Se requiere mover un bloque cuyo peso tiene magnitud es de 70 km/h, el conductor aplica los
una magnitud de 30 N sobre una superficie ho- frenos y lo detiene a una distancia de 100 m.
rizontal a una velocidad constante, si el coefi- ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción
ciente de fricción dinámico es de 0.5, determine promedio que lo detiene?
la magnitud de la fuerza que se necesita para
moverlo y la magnitud de la aceleración que ad- 6 Sobre un bloque de 40 N se aplica una fuerza
quirirá el bloque si se le aplica el doble de la cuya magnitud es de 15 N formando un ángulo
magnitud de la fuerza calculada. de 25º con la horizontal, como se ve en la figu-
ra. Si el bloque adquiere una aceleración cuya
4 Calcular la magnitud de la fuerza que se debe magnitud es de 1.5 m/s2 calcular el coeficiente
aplicar para deslizar un bloque cuyo peso tiene de fricción dinámico.
una magnitud de 200 N con velocidad constante
sobre una superficie con coeficiente de fricción
igual a 0.4, al presentarse las siguientes situa-
ciones:

a) Se empuja el bloque con un ángulo de 30º
[figura a)].

b) Se jala el bloque con un ángulo de 30º [figu-
ra b)].

Grupo Editorial Patria 173

Física General

P 5 40 N F 5 15 N b) F 5 ?
25°
P 5 30 N
7 Un bloque cuyo peso tiene una magnitud de 30 20°
N se desliza sobre una tabla al existir un coefi-
ciente de fricción dinámico de 0.4. Determinar 8 Se aplica una fuerza cuya magnitud es de 25 N
la magnitud de la fuerza que se debe aplicar al durante 4 segundos sobre un bloque de 55 N para
bloque para que se mueva con una velocidad desplazarlo en una superficie horizontal con un
constante cuando: coeficiente de fricción dinámico de 0.3. Calcular
la magnitud de la velocidad que adquiere el blo-
a) La tabla se encuentra sobre una superficie que a los 4 segundos y la distancia recorrida en
horizontal [figura a)]. ese tiempo.

b) La tabla forma un ángulo de 20º respecto al N
plano horizontal [figura b)].

md 5 0.3 F 5 25 N

a)

P 5 30 N F5?

P 5 55 N

6 Trabajo mecánico

En nuestra vida diaria es muy común escuchar a al- T 5 Fd cos u

guien decir que le costó mucho trabajo encontrar tal o cual donde:  T 5 trabajo realizado en Nm 5 joule 5 J
herramienta, prenda de vestir, libro, calle o cualquier otra F cos u 5 m agnitud de la componente de la fuerza en la
cosa. De igual manera, se dice que triunfar en la vida, ob-
tener un diploma y destacar como técnico especializado o dirección del movimiento en newtons (N)
profesional en alguna de las ramas del conocimiento huma- d 5 m agnitud del desplazamiento en metros (m)
no, requiere esfuerzo, dedicación y trabajo constante. Pero
entonces, ¿qué es trabajo? Si esta pregunta se la hacemos Si la fuerza que mueve el cuerpo se encuentra totalmen-
a diferentes personas nos encontraremos con una gran di- te en la misma dirección en que se efectúa el desplaza-
versidad de respuestas, pues lo que para unos es trabajo miento, el ángulo u es igual a cero y el cos u 5 cos 0° 5 1,
para otros es una diversión, pasatiempo, objeto de estudio donde el trabajo será igual a:
o tema de interés. Por fortuna, desde el punto de vista de
la Física, el trabajo sólo tiene una interpretación y es la si- T 5 Fd
guiente:
Se realiza un trabajo de un joule (1 J) cuando al aplicar
El trabajo es una magnitud escalar producida sólo cuan- una fuerza cuya magnitud es de un newton a un cuer-
do una fuerza mueve un cuerpo en la misma dirección en po, éste se desplaza un metro. De donde:
que se aplica. Su valor se calcula multiplicando la magni-
tud de la componente de la fuerza localizada en la misma 1 J 5 Nm
dirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, por
la magnitud del desplazamiento que éste realiza. Nota:  El trabajo mecánico es la magnitud física que se

T 5 F cos u d obtiene como resultad o del producto escalar de
dos vectores: fuerza (F ) y desplazamiento (d) (ver
Es común expresar el trabajo de la siguiente manera:
la sección 14 de la ?undid5adFd3)c,odseudonde:
T5 F

174 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Resolución de problemas en los que se realiza trabajo mecánico

1 En la siguiente figura vemos a un cuerpo cuyo Solución:
peso tiene una magnitud de 10 N y se levanta a
una altura de 1 m. ¿A cuánto equivale el trabajo Al observar la figura vemos que la fuerza cuya
realizado? magnitud es de 6 N, puesto que está formando
un ángulo de 30º respecto al desplazamiento,
F 5 10 N d51m debe descomponerse en sus dos componentes
P 5 10 N rectangulares que son Fx y Fy. Como el cuerpo
se mueve horizontalmente, de acuerdo con la
Solución: definición del trabajo sólo la componente hori-
zontal de la fuerza, o sea Fx, es la que produce
T 5 Fd 5 10 N 3 1 m 5 10 J un trabajo, por tanto, la magnitud de éste será

2 Si el mismo cuerpo es empujado ahora en for- T 5 Fd cos 30º 5 6 N 3 2 m 3 0.8660 5 10.39 J
ma horizontal con una fuerza cuya magnitud es
de 3 N suficiente para vencer la fuerza de fric- 4 Si ahora le aplicamos al cuerpo anterior una
ción y desplazarlo 2 m con velocidad constante, fuerza cuya magnitud es de 6 N, primero con un
¿a cuánto es igual el trabajo realizado por dicha ángulo de 20º respecto a la dirección del despla-
fuerza? zamiento, después con un ángulo de 10º y final-
mente con un ángulo de 0º, calcular:
P 5 10 N F53N
a) ¿Cuál es el valor del trabajo realizado en cada
d52m caso si el desplazamiento del cuerpo siempre
es de 2 m?
Solución:
b) ¿Cuál será el ángulo más apropiado para que
T 5 Fd 5 3 N 3 2 m 5 6 J la fuerza realice un mayor trabajo?

3 En la siguiente figura tenemos al mismo cuer- c) Si aplicáramos la fuerza con un ángulo de
po anterior, pero ahora es jalado por una fuerza 90º respecto a la dirección en que se efectua-
cuya magnitud es de 6 N que forma un ángu- ron los desplazamientos, ¿cuánto valdría el
lo de 30º respecto a la dirección del desplaza- trabajo?
miento. ¿Cuál será el valor del trabajo realizado
si el desplazamiento del cuerpo es de 2 m? Solución:

Fy F 5 6 N a) Cálculo del trabajo realizado cuando la fuer-
za forma un ángulo de 20º respecto a la di-
P 5 10 N 30º Fx rección del desplazamiento:

d52m T 5 Fd cos 20º 5 6 N 3 2 m 3 0.9397 5 11.28 J

Trabajo realizado cuando la fuerza forma un
ángulo de 10º respecto a la dirección del des-
plazamiento:

T 5 Fd cos 10º 5 6 N 3 2 m 3 0.9848 5 11.82 J

Trabajo realizado cuando la fuerza actúa en
la misma dirección en que se efectúa el des-
plazamiento.

T 5 Fd 5 6 N 3 2 m 5 12 J

b) Como se observa, la fuerza realiza un ma-
yor trabajo a medida que se aplica cada vez
con un ángulo menor respecto al desplaza-
miento del cuerpo. El mayor trabajo se ob-
tiene cuando la dirección en que se aplica
la fuerza es la misma que tiene el desplaza-
miento (u 5 0º)

c) Si aplicamos la fuerza con un ángulo de 90º,
su dirección es perpendicular al desplaza-

Grupo Editorial Patria 175

Física General

miento del cuerpo y, por tanto, el trabajo rea- b) No realiza ningún trabajo, ya que éste se
lizado será cero, toda vez que cos 90º 5 0.
produce sólo cuando un cuerpo se mueve
5 Una persona cuyo peso tiene una magnitud de
588 N sube por una escalera que tiene una lon- en la misma dirección en que actúa la fuer-
gitud de 17 metros hasta llegar a una altura de
10 m. za. Así, como el peso de la pesa está dirigi-

Calcular: do verticalmente hacia abajo, la fuerza para
a) ¿Qué trabajo realizó?
sostenerlo actúa verticalmente hacia arriba
b) Si la longitud de la escalera aumenta o varía
su inclinación, ¿cambia el valor del trabajo y como el desplazamiento es horizontal no
que es necesario realizar para alcanzar una
altura de 10 m? existe componen-

Solución: Fuerza te de la fuerza en
a) Puesto que para poder subir, la persona debe
la dirección del
realizar una fuerza igual en magnitud a su
peso a fin de alcanzar la altura de 10 m, el Peso desplazamiento.
trabajo será: Por tanto, para
a)
Datos realizar trabajo se
T5?
P 5 588 N necesita levantar
d 5 10 m
Fuerza más la pesa.
Sustitución y resultado
Para una mayor
T 5 Fd 5 588 N 3 10 m 5 5 880 N
aclaración con res-
b) El trabajo necesario para que la persona suba
una altura de 10 m es independiente de la pecto a este inciso
longitud o de la inclinación de la escalera,
pues desde el punto de vista físico lo único im- b) observe la figura a
portante es la fuerza que se efectuará vertical-
mente hacia arriba y la altura que alcanzará el Desplazamiento la izquierda.
cuerpo.
7 Un bloque cuya masa es de 5 kg es jalado por
6 Una persona levanta una pesa cuya magnitud una fuerza cuya magnitud es de 60 N con un
es de 1 470 N desde el suelo hasta una altura de ángulo de 30º, como se ve en la figura. Si el des-
1.9 m. plazamiento del bloque tiene una magnitud de
3 m y existe un coeficiente de fricción dinámico
Calcular: con el suelo de 0.3, calcular:
a) ¿Qué trabajo realiza?
a) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por cada una
b) Si mantiene la pesa a la misma altura y cami- de las fuerzas que actúan sobre el bloque?
na sobre el suelo 3 m, ¿realiza trabajo?
b) ¿Cuál es el valor del trabajo resultante?
Solución:
a) Como la fuerza que se necesita aplicar para md 5 0.3 m 5 5 kg F 5 60 N

elevar la pesa a velocidad constante es igual 30º
y opuesta al peso de la misma, tenemos: d53N

Datos Solución:
P 5 1 470 N Y
d 5 1.9 m
T5? F 5 60 N

Sustitución y resultado N Fy 5 F sen 30º

T 5 Fd 5 1 470 N 3 1.9 m 5 2 793 J 30º X

Fd Fx 5 F cos 30º

m 5 5 kg

P 5 mg

176 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

a) Como se observa, las fuerzas que actúan so- b) Si se le aplica al bloque el doble de la fuerza
bre el cuerpo son F y Fd debida a la fricción, calculada, ¿cuál será el valor del trabajo re-
P y N. Dado que el cuerpo se desplaza hori- sultante sobre él si se desplaza 3 m?
zontalmente las únicas fuerzas que producen
trabajo son la componente horizontal de F o Solución:
sea Fx y la fuerza causada por la fricción Fd
localizada en la misma dirección del despla- N F5?
zamiento. Donde el trabajo realizado por la
componente horizontal (Fx) de la fuerza de 60
N es:

TFx 5 Fd cos 30º 5 60 N 3 3 m 3 0.8660
5 155.88 J
P y 5 P cos 30º
Para calcular el trabajo realizado por la fuer- Fd 30º Px 5 P sen 30º
za de fricción dinámica, misma que como sa- 30º P
bemos actúa en sentido contrario al despla-
zamiento del cuerpo, tenemos que:

Fd 5 mdN , pero N es igual a: a) Para que el bloque ascienda con velocidad
N 5 P 2 Fy 5 mg 2 F sen 30º constante sobre el plano inclinado, se debe
aplicar una fuerza cuya magnitud sea igual a
5 5 kg 3 9.8 m/s2 2 60 N 3 0.5 la fuerza de fricción dinámica más la fuerza
producida por la componente horizontal del
5 49 N 2 30 N 5 19 N peso Px, pero de sentido contrario, donde:

Fd 5 0.3 3 19 N 5 5.7 N

Trabajo realizado por Fd :

TFd 5 2 Fdd 5 2 5.7 N 3 3 m 5 217.1 J
El signo del trabajo es negativo porque se rea-
liza en sentido contrario al desplazamiento.

b) El trabajo resultante (TR ) de las dos fuerzas SFx 5 F 1 Fd 1 Px 5 0 (1)
es:
[ F 5 Fd 1 Px (2)

TR 5 TFx 1 TFd 5 155.88 J 1 (217.1 J) 5 138.78 J Cálculo de Px y Py:
8 Determinar:

a) La magnitud de la fuerza que se debe aplicar Px 5 P sen 30º 5 mg sen 30º
para jalar un bloque cuya masa es de 10 kg, a 5 10 kg 3 9.8 m/s2 3 0.5 5 49 N
velocidad constante, sobre un plano inclinado
que forma un ángulo de 30º con la horizontal, Py 5 P cos 30º 5 mg cos 30º
como se ve en la figura, si el coeficiente de 5 10 kg 3 9.8 m/s2 3 0.8660 5 84.87 N
fricción dinámico es 0.1.
Cálculo de la magnitud de la fuerza de fric-
ción dinámica:

Fd 5 mdN

F5? Como N 5 Py

m 5 10 kg Fd 5 0.1 3 84.87 N 5 8.49 N

Sustituyendo en la ecuación 2:

m d 5 0.1 F 5 8.49 N 1 49 N 5 57.49 N
30º
P 5 mg b) Si aplicamos ahora al bloque el doble de la
magnitud de la fuerza calculada, esto es,
114.98 N, el trabajo resultante realizado so-
bre él será:

TR 5 FRd 5 (114.98 N 2 57.49 N) 3 3 m 5 172.47 J

Grupo Editorial Patria 177

Física General

9 Calcular el trabajo útil realizado por una bomba minar el trabajo útil hecho por la bomba en 30
que descarga 500 litros de aceite en un tanque de minutos. El peso específico del agua es de 9.8 3
almacenamiento que se encuentra a 7 m de altu- 103 N/m3.
ra. El peso específico del aceite es 7 840 N /m3.
Datos
Datos
V 5 50 litros/min
T5?
h59m
V 5 500 litros
T5?
h57m
t 5 30 min
Pe 5 7 840 N/m3

Solución: PeH2O 5 9.8 3 103 N/m3

T 5 Fd SVoolluucmióPenen:5deVaoPglueusmaoesnub5idVPo

Como la magnitud de la fuerza requerida para [ P 5 PeV
subir el aceite es igual a su magnitud de peso, en 30 minutos:
P 5CaPbcmCa))p)ePTao a lsmS¿SncvlegiVo5cQcaVaiiinuoae,dlsc5uiFelnr15tVVe¿dEEEEPPEmhaelaéudacdpeWmlCCCCCr555q55du55ot95:laa5m0urTTTTTái.dtgra12TT1T5n85EEEEFE[[[yyylTttelrnPga55555a5ae1bui0a5arfddaCCCCCy55rg3tt5FF4aJa0saa0ob5rsEEEEFE[[[ptyyympa111122225n55TTTTTc.bo2jub0557afdeCCCCCylo1e55sFvomm0i1mFFpaias4i555bmaj5ts5tu0lttasd5/2.35oTTTTTcj62uiarro3Ejai012c55yyyom3bytoleormo3.1111222i4dr,r2c5553g0ersC1d3222502iaN12a1saos025se6t2aFidi1p83E5h9mm4ce1tyu0n3ndTesd°l3m23.a1111222m./d2ar3g2iC1d3kn02503amlm152ek3mo500oyy0zlE1F2:3v25h59mm4egyi11ct3TN°adg225m2m1Cmzdmkadil2l3rmom121200?mgn5aka5u0yy0aNa(1/2132gru2(T3s45y00c33shig221c59mmydbi2mo0ksf2rmm0mmao2200312mig51.u2dsoNtaa/m3gd9(1012ys00rm5r95shl9me?(yej2inmq/.aoi25°moa2s3m0lmm35ml.ts9r23mtidau3i9m61t2ry0a.z253pen2t.r)40oym/oe/8/.kr25°ag2e0a3mo8ss9as3.os5225g61kau.)eam)r2l3.sq4022mt5/8.k4amgll3a3l8u5s1.lu/i551ag1tkla)m/zsm03rt(rei21mes4g2aa353umn11a1.2m0/5s5d0033s4.9b/ursm.(d55á13seáam2o0i6.3a1tm7ge0qN05oq,m?033j93rJl5o3u.usu/3¿eli68m5m3s,atiNca05iúq61nr)nJsu.l21o/t16p0u85mao5asiá0as5036e3lis)en393216tetJ5s1era1t.N50s39uoe81--0:90014m1.9080JN/04ms JN/s
tenemos: 76P atduaSdtmrr)eaenaio asb cCevapcuasepualjyarcleolEEE[[immcazaacrruáCCCmyppalme55nlao5TTTcaau5daz5[[umyy12lr24555cgnoiffedd.Ezu2m3e9l5an5555[[rmyy1e2o111222a2Cy5l.pEiy86ff1d?k1Efto0mvmmt6PgET(o5055Cu20mug0r1.meC1P25146Cae5yp(6ydyym01T0a5n23PgmT6mFb/0r2022y00e2Tmgcm1P2d0s.Fdzm1v6a025(sk1y/kye25dae35PeomFsjmy202gd/0m2rgom02Fdul2s/202e1oyat/12ds()5gem50rm1i2sn2dc022eelh0s2)/50ia5222/102nstad.gfso4/mo2N1.2eflah0)4si2ur52ykqd22.z6/m24u4qe1s02gau5(.)2rkncu26adke2z2(o4gae22og259a(.nhl2064.afmmd(ps8oo52.29kt6refro1/aam4.uimg2ms8r.gzfn.7e6/rom/unatm5sri2sen(c2zni1/uJ,/tctmas3a0usan¿i)2ód2cla/m1fás3nuup5s5)12n/oá2ely1s8i1mgbrn5c)52d2zuratN)1aeoe1m--.22)13.2J3 J

VPe5VP5e55V0505oPV0lluei0otsmPrllooueietssmrno3oes5n130VP510100VP[m0l1i0P3t[mrl5oiP3tsrP5o5esVP05e.5V0m.53m3
P 5V75V 81455010N050/lim0trl3oits3r3o0s1.35010m100m30l15i03tmrlo3i3tsr9o52s015.N51m.553mF3

1E10 j eUaumUSrgnnnu.cuaaa¿siaQtcmbpitpuioeuao1dEPPEohémrgyrWCCs55s55etnb1odEPPEhTmrTTnianaWpCC12TTT5t5555Tttd5i55buanrdTTaror5adaJ12TTsT5autmTtte312lo55jbe2ebtor adr9Fm5oaauanvJspaattm1e22drjbas2jb12hyoeT0oFumoaan4a2ataadsj9Npt5j1e2dsyoltuoairt22oNazmsaosE3Fp5umatudtCdriu2?nhmnuoo7éE12,5TnaaidcsCtismamssinet5ut12sdTitrniacc(iaaos5amlmi5eoltlddtturapm2(u)yoaoe2a2nmor2dlco7tarape2a)yuo s42ovll:2adya4aaraole0mtlml5aua9pJá0rámemmaqqlsuáiuád,otqiqridennoutueaias0ieitnn.edn37aaree5-1300100
bfsD¿uQileoesutqreeézuradmemeEEmaidaspCCnpeg5EEmlaTTirnCCcr3ePg555iacetTTmduil1122gP55aadtm0rsle1122a.doa0ysbbem002fda.r80rpyejeio02kecu82csgrn5oeikó(aa4gNntl0esi(.0nz4yua0dpmdl0rea/áomrsmf)aui2/clsnai)deg2cenuhsiepoturrlapidzzooadnsreituaalnlal,
2 UttmlUjeoarnanvandbagcvleanainiaajd1tioatj9srEEE[mmeurdei.rCCC6lmdloeol55lEEE[mmoTTTeJd5l8CCCmav?e24555et558aTTTiv.23ue95.51na211122224555.nn9E8yt1nk.02mm39jeó65a(C2otg01112221.m.aE4d8yyyu10uNkT0a0mmm(6/C222es0lg0n1.mlsemu4tlhyyk0/Tk0a2usm6s/s220ag/pg?s2rmusmsk/kea2()em5st12g/tgaa2las5dos20()cm5u1e2a/m.sa4s5ni202d16/ca/sm.s.e54use5)ka226/yg1rsl25mo5te)k0u2kapg52r5gksle1a0ie,gzs.57d¿koó1ra5ege.tu7Jiaq0en5l.uGni5Jtzérermauaudpb.unioasna--Editorial
3

4
5

178

ECT15 1 m2 y2

5UNIDAD Dinámica

lo de 25º respecto a la horizontal, al despla- N F 5 45 N
zar una magnitud de 2 metros al cuerpo que m 5 3 kg 30º
se ve en la siguiente figura:

F 5 200 N Fd
25º d 5 2 m

P

b) Calcular el trabajo si la fuerza es paralela al b) ¿Cuál es el valor del trabajo resultante?
desplazamiento.
11 Se requiere jalar, a una velocidad constante, un
c) Determinar el trabajo si la fuerza es perpen- bloque cuya masa es de 4 kg sobre un plano in-
dicular al desplazamiento. clinado que forma un ángulo de 30º con la hori-
zontal.
8 Una persona cuyo peso es de 686 N sube por
una escalera que tiene una longitud de 25 m Determinar:
hasta llegar a una altura de 15 m.
a) La magnitud de la fuerza que se debe aplicar
Calcular: si se tiene un coeficiente de fricción dinámi-
co de 0.1
a) ¿Qué trabajo realizó?
b) El trabajo resultante sobre el bloque, al apli-
b) ¿Qué trabajo realiza si sube a la misma altura carle el doble de la magnitud de la fuerza
de 15 m, pero usando una escalera cuya lon- calculada y desplazarse 5 m.
gitud es de 35 m?
m 5 4 kg F5?
9 Una persona levanta un bulto de cemento cuyo
peso tiene una magnitud de 490 N desde el sue- m d 5 0.1
lo hasta colocarlo sobre su hombro a una altura 30º
de 1.45 m.
12 Una bomba descarga 1 500 litros de aceite en un
Calcular: tanque de almacenamiento que se encuentra a
12 m de altura sobre ella; el peso específico del
a) ¿Qué trabajo realiza? aceite es de 6 250 N/m3, ¿cuál es el trabajo útil
que realiza la bomba?
b) Si se queda parado 30 segundos, ¿cuánto tra-
bajo realiza? 13 Una bomba eleva 200 litros de agua por minuto
hasta una altura de 8 m de ella, ¿qué trabajo útil
c) Si mantiene el bulto a la misma altura y ca- realiza al funcionar durante 15 minutos? El peso
mina 5 m, ¿cuánto trabajo realiza? específico del agua es de 9.8 3 103 N/m3.

10 Un bloque cuya masa es de 3 kg es jalado por
una fuerza cuya magnitud es de 45 N con un
ángulo de 30º, como se ve en la figura, despla-
zándolo con una magnitud de 5 m. Consideran-
do que el coeficiente de fricción dinámico con el
suelo es de 0.25.

Calcular:

a) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuer-
zas que actúan sobre el bloque?

Grupo Editorial Patria 179

Física General

7 Energía

La energía siempre ha estado estrechamente ligada con

las actividades cotidianas del ser humano, toda vez que
el hombre primitivo realizaba sus tareas utilizando pri-
mero la energía de su cuerpo. Posteriormente, aprendió
a domesticar animales y a utilizar su energía para hacer
más fáciles sus actividades. Más tarde, descubrió otras
fuentes de energía y aprendió a usar la del viento para la
propulsión de sus barcos de vela; así como a aprovechar
la energía de las corrientes del agua al construir en los
ríos, molinos de granos.

Tipos de energía

Existen varios tipos de energía como son:

Energía calorífica

Se produce por la combustión de carbón, madera, pe-
tróleo, gas natural, gasolina y otros combustibles (figura
5.32).

figura 5.32 figura 5.33
El hombre obtiene energía calorífica por medio de la combustión de la En nuestros hogares utilizamos la energía eléctrica para el funcionamiento
materia. de diversos aparatos.

Energía eléctrica Energía química

Es la que se obtiene principalmente, por medio de ge- Se produce cuando las sustancias reaccionan entre sí al-
neradores eléctricos, pilas secas, acumuladores y pilas terando su constitución íntima, como es el caso de la ener-
solares. Se utiliza para producir una corriente eléctrica, gía obtenida en los explosivos o en las pilas eléctricas.
es decir, un movimiento o flujo de electrones a tráves de
un material conductor. (figura 5.33). Energía hidráulica

Se aprovecha cuando la corriente de agua mueve un
molino o la caída de agua de una presa mueve una tur-
bina (figura 5.34).

180 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

unión de dos núcleos ligeros para formar uno mayor, o
bien, cuando se produce una reacción de fisión al desin-
tegrarse el núcleo de un elemento de peso atómico eleva-
do, como es el caso del uranio, liberándose gran cantidad
de energía que se utiliza para calentar agua.

Energía mecánica

Es la que tienen los cuerpos cuando por su posición o su
velocidad, son capaces de interaccionar con el sistema
del cual forman parte para realizar un trabajo. Se divide
en energía cinética y potencial.

figura 5.34 Definición de energía
La energía potencial del agua almacenada se transforma en cinética y se utiliza
para mover turbinas. Encontrar una definición precisa para la energía no es
algo sencillo, sin embargo podemos decir:
Energía eólica
La energía es una propiedad que caracteriza la interac-
Es la producida por el movimiento del aire y se aprove- ción de los componentes de un sistema físico que tienen
cha en los molinos de viento o en los aerogeneradores de la capacidad de realizar un trabajo. Es importante seña-
alta potencia para producir electricidad (figura 5.35). lar que la energía se manifiesta de diferentes formas, sin
embargo, no se crea de la nada, ya que cuando hablamos
figura 5.35 de producir energía en realidad nos referimos a su trans-
La energía éolica producida por el movimiento del aire, es decir, el viento, es una formación de una energía a otra, ya que la energía no se
inestimable fuente de energía. crea ni se destruye, sólo se transforma. En conclusión: un
cuerpo tiene energía si es capaz de interaccionar con el
Energía radiante sistema del cual forma parte para realizar un trabajo.
La unidad de energía en el Sistema Internacional es el
Es la energía producida por ondas electromagnéticas que joule (J ).
se caracterizan por su propagación en el vacío a una ve-
locidad cuya magnitud es de aproximadamente 300 000 1 J 5 N m 5 kg m/s2 ? m 5 kg m2/s2
km/s, tal es el caso de las de radio, los rayos gamma, rayos
X, ultravioleta, infrarrojos o luminosos. La energía radiante Nota:  Un sistema físico cualquiera está constituido por una
del Sol, así como su intensidad, las estudiaremos en la uni- combinación de cuerpos u objetos que se relacionan
dad 11 de este libro. entre sí. Un sistema físico propicia a la observación,
el estudio, la investigación y de ser posible, la ma-
Energía nuclear nipulación de las distintas variables involucradas en
el mismo.
Es la originada por la energía que mantiene unidas a
las partículas en el núcleo de los átomos, misma que es En virtud de la importancia que representa la energía po-
liberada en forma de energía calorífica y radiante cuando tencial y la energía cinética en muchos acontecimientos
se produce una reacción de fusión, caracterizada por la cotidianos, las estudiaremos con detalle a continuación.

Energía potencial gravitacional
(EPG)

Cuando levantamos un cuerpo cualquiera, como el que
ilustra la figura 5.36 a una cierta altura (h), debemos efec-
tuar un trabajo igual al producto de la magnitud de la
fuerza aplicada por la altura a la que fue desplazado.
Este trabajo se convierte en energía potencial gravita-
cional, llamada así pues su origen se debe a la atracción
gravitacional ejercida por la Tierra sobre el cuerpo. Así
pues, debido a la atracción de la Tierra, si el cuerpo se
deja caer, será capaz de realizar un trabajo del mismo va-
lor sobre cualquier objeto en el que caiga, ya que puede
comprimir un resorte, perforar el piso e introducir pilotes
hechos de hormigón armado en terrenos frágiles.

Grupo Editorial Patria 181

Física General

figura 5.36 altura es de 1 m y se levanta a una altura de 0.6 m de la
mesa, el bloque tendrá una energía potencial gravitacio-
Un cuerpo tiene energía potencial gravitacional cuando se encuentra a nal respecto a la mesa igual a:
cualquier altura con respecto al suelo.
EPG 5 mgh 5 2 kg 3 9.8 m/s2 3 0.6 m 5 11.76 J
Como el trabajo (T ) realizado para elevar un cuerpo es
igual a la energía potencial gravitacional (EPG), tenemos: Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 m, por tanto,
considerando este nivel de referencia su energía poten-
EPG 5 T 5 Ph cial gravitacional es de:

La magnitud de la fuerza requerida para elevar un cuer- EPG 5 mgh 5 2 kg 3 9.8 m/s2 3 1.6 m 5 31.36 J
po a cierta altura es igual a la magnitud de su peso, por
tanto: ¿Puede ser la energía potencial gravitacional de valor
negativo? La respuesta es sí. Veamos:
F 5 P 5 mg
En la figura 5.38 se ve un cuerpo suspendido a cierta altura
Donde la energía potencial gravitacional es igual a: respecto al suelo, el cual se toma como nivel de referen-
cia, y se observa también otro cuerpo, pero en un lugar
EPG 5 Ph 5 mgh por debajo del suelo. El cuerpo elevado a una altura h
del nivel de referencia tiene una energía potencial gra-
g 5 9.8 m/s2 vitacional positiva, pues al regresar al suelo será capaz
de realizar un trabajo equivalente a su energía potencial
Las unidades de EPG en el Sistema Internacional son: gravitacional: T 5 EPG 5 mgh. Pero el cuerpo localizado
a una altura h abajo del nivel de referencia tiene una
EPG 5 kg m m 5 kg m2 /s2 5 joules (J) energía potencial gravitacional negativa, pues al bajar
s2 a ese punto cede energía y para subirlo de nuevo al nivel
del suelo se debe realizar un trabajo considerado negati-
La energía potencial gravitacional de un cuerpo locali- vo cuyo valor será igual a:
zado a cierta altura depende del nivel tomado como re-
ferencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg de 2T 5 2EPG 5 2mgh
masa, como el de la figura 5.37 está sobre una mesa cuya
m T 5 EPG 5 mgh

h2

EPG 5 0

Nivel del suelo

h1

m 2T 52 EPG 52mgh

figura 5.38
Si el nivel del suelo se considera como nivel cero de energía potencial
gravitacional, un cuerpo que se localice abajo de dicho nivel tendrá una
energía potencial gravitacional negativa.

1.6 m

1m Un cuerpo exactamente colocado en el suelo, conside-
rado como nivel de referencia, no tiene ninguna altura y
figura 5.37 por tanto su valor de EPG será igual a cero.
La energía potencial gravitacional de un cuerpo es mayor a medida que
aumenta su altura de acuerdo con el nivel considerado como referencia. En la figura 5.39 vemos cómo por medio de una polea fija
podemos subir una cubeta con agua, colocando una pesa
en el otro extremo de la cuerda. Al bajar la pesa, se trans-
forma su energía potencial gravitacional en trabajo, pues
logra subir a la cubeta, así, ésta recibe energía potencial

182 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

Energía cinética

Todo cuerpo en movimiento tiene energía cinética. Por
ejemplo, cuando una persona camina o corre, un avión
en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para
su despegue, una corriente de agua, un disco que gira,
la rueda de la fortuna, un pájaro al volar, una canica al
rodar por el suelo, una manzana que cae de un árbol y,
en fin, todo aquello que está en movimiento tiene ener-
gía cinética (figura 5.41).

figura 5.39 figura 5.41
Al ir bajando la pesa, transforma su energía potencial gravitacional en
trabajo al elevar el otro cuerpo. Cuando un cuerpo está en movimiento tiene energía cinética.

gravitacional de la pesa, conservándose la energía si la Seguramente habrá observado cómo unos cuerpos tie-
fricción en la polea es despreciable. nen movimiento de traslación y otros de rotación, o una
combinación de ambos. Decimos que un cuerpo presen-
Energía potencial elástica ta un movimiento de traslación cuando todas sus partes
siguen una dirección constante, por ejemplo, un avión
Por el estado en que se encuentran un resorte compri- en vuelo, o una piedra cayendo al suelo desde la cima de
mido o estirado, una liga tensa o los muelles de espiral, un precipicio. Un cuerpo tiene movimiento de rotación
como la cuerda enrollada de un reloj, tienen la capacidad cuando lo lleva a cabo alrededor de una recta llamada
de realizar trabajo, es decir, de desplazar algún cuerpo eje de rotación, cuyos puntos permanecen inmóviles, por
por la acción de una fuerza. Debido a ello tienen energía ejemplo, una rueda de la fortuna, un disco compacto, un
potencial elástica (figura 5.40). engrane o una polea fija. Hay cuerpos con movimiento
de traslación y rotación, tal es el caso de la Tierra y tam-
bién el de un yoyo.

Resorte comprimido Energía cinética traslacional (ECT)

Resorte estirado Un cuepo tiene energía cinética traslacional cuando todas
sus partes siguen una misma dirección, por ejemplo, una
figura 5.40 persona cuando camina o corre, un automóvil en movi-
miento, etcétera.
Cuando se estira o comprime un cuerpo elástico adquiere energía potencial
elástica. Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado trans-
forma su energía potencial gravitacional en energía ci-
nética traslacional. Por ejemplo, para construir la Torre
Latinoamericana, edificio ubicado en el centro de la ciu-
dad de México, fue necesario reforzar el suelo blando de
esa área mediante pilotes, los cuales fueron introducidos
o clavados por medio de un martinete (figura 5.42), elabo-
rado básicamente por un gran mazo dentro de guías para
mantenerlo correctamente en la dirección del blanco u
objetivo.

Grupo Editorial Patria 183

Física General

También sPaeb5emVoosPlueqsmuPoeeenc5u5aVnVPoPdlueo[smuoPenn5cu5PeeVrPVpo[sPe 5 PeV des-
acelera
adlecealbroepdoeVsco5i,elr5at0o0mtilaeitgmrVnopsi5to3u5de10sd00: 0e1l0itmlraloi3tvsroe3slo15c0i0d01.a05mdlmi3tqr3ouse5ad0q.5umie3re

Si elevamVos5a1l c5u0a0dlirVtarod5so13yla5150e00ca01lut0i tmarlcoi3tisróo3ns 6150t1e01.n05melmim3tr3ooss:51.5 m(63)

d 5 12 at2 d 5y122 5at2(at)2 (7)
Por lo queEaCl Tsu5stmitaui12Er aClatT2e5cum12amaci12ó(anat)t722 5en125mn(oast)2queda:

ECT 5 1 myE2CT;E5oC12bTime5nym:2 2y2ECT 5 my2
2 2

De donde1pWod5emJsos c1oWncl5uiJsr que la energía cinética tras-

dlaecisounmaladsPea 5uponTtrceulecrupPaod5erasTtdigoudael a un medio del producto
la magnitud de la veloci-

figura 5.42 dLaadunqiudeadllPeuv5saa.Tdt a5enFtdePl T Fd para la ener-
La energía potencial gravitacional que tiene el mazo se utiliza para introducir S5istte5matInternacional
pilotes en suelos blandos, para reforzarlos y construir edificios más seguros. glaíaenlaerpgoídahecmi5noéTsTtirrecaaanbbctaarojajonhostl5srpauarcmrToTiodsrrianuaubasbicstaliaitdltjrjaouoayduspeuonronmioardddilalonauadicemsmidntdráeáaolqqamdpuuoeaoiincnsaruaaallaa(3ckmmig1óá)0ánqy0qduulaeiinnaa 3100
uEnCiTdaednduenEviCdeaTlod5ceids12admdeyEl(m2CSI/Tse)5sei12lgemuvaaydl2aa:aklgcuma2d/rsa2d5o:joule 5 J
Para que un cuerpo en reposo adquiera energía cinética
traslacional, es necesario realizar un trabajo sobre él, de EnergEíaCTci5n12é0t.i0Ec0Ca8Trk5ogt(124a0c.0i0o0mn8/ska)g2l ((4E0C0 Rm)/s)2
tal manera que una fuerza constante al actuar sobre el
cuerpo lo desplace aumentando la magnitud de su velo- Lcuaaenndeorggíiamrac5ningPséotibcrae rmsout5apcgPiroonpaiol la presentan los cuerpos
eje. Antes de soltar una

cidad, acelerándolo desde el reposo hasta cierta veloci- ecanneircgaíappoorEteCunnTc5ipalla12gnmroayEvi2niCtcaTlci5nioan12daoml iy(gfi2uguarlaa5s.4u3)p, eéssotapotiresnueaultnua-
dad. Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza al actuar rztaceaaadn,neacpimcigeaaárilrosyag,rarldaalaEmevdisbCriuqt5icaTdpuacoe4i5yirro.ia9e5fen12i.ncnq8ka0idduelg.mo4oeEemdm6/nsCteesae5k/x2lTemsgivpn2s45balte(.a5e195ir12étn5.grf80knora0ím.iagn4.mcei4nc6/sncm6/sfciiesoó)knlk/22irrngsénggm52taoíi(aac5d51rna1o5co0di,.ztn7m.orla4a5éam6/stsJsciul)ckiaae2agncen5iinrtocooe5natr1aeage.cnl7mí.iat5oPrpnepJeiaeorllao--.
sobre el cuerpo será igual al cambio en la energía cinéti- SniongoireaxríiastEyieCúraTni5fcraic12mcmieónyEnt2CeeTntet5rned12lramíasyeu2npeerrgfiícaieciynélaticcaantriacasl,aécsiota-
ca del mismo, de donde: nlaali,mapl odretas[nlizmcaiar5sqe2upeEyoC2rre[Tepmlrpe5slaen2notEyaiC2nlaTclifnuaedrzoa.
¿Se da cuenta de
Cambio de energía cinética traslacional (DECT) 5 de fricción cuan-
Trabajo (T).

Partiendo de la igualdad entre el cambio de la energía ci-
nética y el trabajo, deduciremos la expresión matemática

de la energía cinética traslacional. Considerando que el pdoroupnonadsruíapmep5rafirc2aie3esl1e(p010mld0a0enm5skop/g2slia)nm32zca2l1i/(ns01soa020bd05mroke2/gaso0)mtf2rkina2g?/ds¿2eQ5luoé2g0rsaukrpgqeurfeicliae
cuerpo parte del reposo, tenemos que DECT 5 ECT, de ccaamniceantreedyEunzCocTag5isrue12?frmicyEc2iCónTd5e12taml my2anera que se deslice úni-

donde: ECT 5 T 5 Fd (1)


De la Segunda Ley de Newton tenemos que:

F 5 ma (2) Otro ejemplo de c2uEeCrpTo con2eEnCerTgía cinética rotacional y
184S rDrD S eeuueepcssdoottauiirscttdcouuuec,yyeimleeóradnnnododdsidooscqetolluaaannel1VVdPEEaeecleWCCcs5ccio55auuu5TTeea12155aal55casnV0cc5autiiJd0E0uctmo12óóaP20oaCld1lVVnndPEPEcmuaeililtiecWTCCusmai55r42o1255ytuoon5drTTn52eaeelos12T155oaen55tnncs3V05mas2mue3J0sE5013tmo5121enoP2ua0C:ll1rmt us0aeVidtP12eplltTi00smia1r cl12nytoomio005o1r[z2meeauos0nlas(mmntisna3Pme3ldt2litr3io3E52ata5d5)oy1ar2sCsosa21ec 0:VPP12sdTex500e1elp5m005n1eV4[m00rlr(,1m.eiaa5Pme3lt.ssitr53l2temi5)oydGró2mcosM2en3rcPss5u3:ieRdó5pV0Uneo1.(((5A534eE.95)))mld:, mit3o3ritarlaPseAgflinranaagettvercuirgstiaíiraoacdainecoinna5[E[hyydaéle.ltChy55,5si4ecllia5aT35zsa5rc5reosuE2t92klmeaa0cP12lgy3gpigosFEE[yyGokomh53nemr2dyCCya55gtl0yeE[[ohyyr,95TTcalm0é2.3.Chyn555ops8455Astklsk252T5afa62Eomnl5/gg3.cr1122253gosC1mtoE029,/2k2FeEFE[[yymmmh9m4a5sT°02Pl12ngdda3CCgyo552Fem5g2k50yGekmhnc3c5/TT5ccgm2m2or5akgs2oo1e2nl4n055y2/91ogns(sis262cms023e9me3E2..a5828cre33.11m22.23ggC1d3ku3k92y4n00t5íFemahi9m4/g/egT2°°nr21msds9mn3ccom65/k150y20e2mii.nsal/8c.k3g25ml3é8ks2u2dao2123gtn)mNi/eg(cd/5s2m.a4s9m2as3laom/523m2.e13/sm3t9yf0nr5sar.2a1e5/i82m°csmrs93339cclg46a2i.6í2ióc/a8.ke053nm8i/so1J.grsp.)mn8mt2mo324aat6l3/5e/sm6ny5a.s3c210leia3t3399nul .6mr905aJ.2m8m/6s/6s52 09.9 m/s

5UNIDAD Dinámica

y soltarlo transforma su energía potencial gravitacional B
a energía cinética traslacional, pues se desplaza hacia el A
suelo hasta casi tocarlo, pero también adquiere energía
cinética rotacional al girar sobre su propio eje. Cuando el figura 5.44
yoyo llega casi al suelo y allí se le deja girando, observará El cilindro sólido A rodará más rápido en el plano inclinado que el anillo B, no
que debido a la fuerza de fricción entre la cuerda y el eje obstante que tengan la misma masa o el mismo diámetro exterior, ya que el
del yoyo, éste se detiene al cabo de cierto tiempo. Sin em- anillo presenta una mayor inercia rotacional.
bargo, si le da un tirón leve cuando todavía está girando,
puede lograr que transforme parte de su energía cinética Ley de la conservación de la energía
rotacional en energía cinética traslacional al subir, por su- y su degradación
puesto, a una menor altura y, por tanto, también adquiere
energía potencial gravitacional. Luego vuelve a bajar y a Ya hemos mencionado que la energía se manifiesta de
subir cada vez a una menor altura hasta que se detiene diferentes formas, pero que no se crea de la nada, por lo
por la fuerza de fricción. que al hablar de producir energía, en realidad nos refe-
rimos a su transformación de una energía a otra. La ley
Rapidez traslacional y rapidez rotacional de la conservación de la energía señala que la energía
existente en el Universo es una cantidad constante, no
Cuando se coloca una moneda pequeña cerca del centro se crea ni se destruye, sólo se transforma. Por ejemplo,
de giro de un disco musical de 33 revoluciones o vueltas cuando se enciende un cerillo, se utiliza la energía quí-
por minuto y otra moneda, también pequeña, alejada del mica que éste contiene para que arda. La sustancia de la
centro de giro del disco, es decir, donde se localiza la pri- que está hecha el cerillo reacciona con el oxígeno del aire
mera melodía, se observa lo siguiente: las dos monedas y se desprende energía hacia el ambiente calentándose,
tienen la misma rapidez rotacional, ya que ambas rea- aunque sea de manera insignificante. La energía radian-
lizan 33 revoluciones por minuto, pero la moneda más te del Sol se debe a las reacciones nucleares de fusión
alejada del centro de giro o eje de rotación tiene una que se producen en su interior. El Sol se compone casi
mayor rapidez de traslación medida en m/s respecto a la por completo de hidrógeno, cuyos átomos se fusionan
moneda más cercana al eje de rotación. Este fenómeno produciendo helio. Durante dicho proceso se desprenden
se puede relacionar con la rapidez rotacional y trasla- enormes cantidades de energía. El Sol (figura 5.45) hace
cional para dos personas, una cerca del polo norte y otra
cerca del Ecuador. Ambas tendrán la misma rapidez ro- figura 5.45
tacional, pero la que se encuentra en el Ecuador tendrá Casi toda la energía de que se dispone en la Tierra tiene su origen en el
una mayor rapidez traslacional. Sol. En la ilustración se aprecia, además del Sol, una máquina escavadora
de petróleo.
Inercia rotacional

Un objeto en reposo procura seguir en esa condición y
uno en movimiento procura seguir su movimiento en lí-
nea recta. De igual manera, un cuerpo que gira trata de
continuar así, y uno sin girar trata de continuar igual. La
propiedad de los cuerpos de oponerse a cambios en su
estado de movimiento de rotación recibe el nombre de
inercia rotacional, también llamado momento de inercia.
La inercia rotacional, al igual que la inercia traslacional
del cuerpo, depende de su masa, pero, a diferencia del
movimiento traslacional depende de la distribución de la
masa del cuerpo respecto a su eje de rotación. Por ello,
si se dejan caer por un plano inclinado (ver figura 5.44) un
cilindro sólido y un anillo o un tubo, con o sin la misma
masa o diámetro exterior, el cilindro sólido rodará hacia
abajo más rápido porque el anillo, al tener su masa con-
centrada más lejos de su eje de giro, tendrá una mayor
inercia rotacional oponiéndose más a su giro y rodan-
do más despacio. Esta situación no se presenta igual si
se deslizan dos bloques de diferente masa por un pla-
no inclinado o se dejan caer al suelo al mismo tiempo,
pues, como sabemos, ambos tardarán el mismo tiempo
en caer al suelo. En conclusión, al intervenir la rotación,
un objeto con mayor inercia rotacional presentará mayor
resistencia a un cambio en su movimiento, tardando más
tiempo en rodar por un plano inclinado.

Grupo Editorial Patria 185

Física General

que crezcan los árboles y las plantas que sirven para ali- el cuerpo desciende. Por tal motivo, la fuerza de grave-
mentar a los animales. Todos ellos producen restos orgá- dad es una fuerza conservativa.
nicos que posteriormente dan lugar al carbón, petróleo y
gas natural. También por el Sol se producen los vientos Cuando la esfera está a punto de chocar contra el resor-
y las lluvias que contribuyen a almacenar agua en las te como consecuencia de su caída libre, tendrá en ese
presas. Así pues, casi toda la energía de que disponemos instante la misma magnitud de la velocidad y la energía
en la Tierra tiene su origen en el Sol; éste hace posible la con que fue disparado. La energía cinética traslacional
vida en nuestro planeta al suministrar los recursos ener- (ECT) se transformará en trabajo al chocar contra el re-
géticos indispensables. Algunos usos de la energía solar sorte comprimiéndolo nuevamente.
se tienen en la calefacción de agua, así como en el fun-
cionamiento de motores provistos de celdas solares. Si se repite el experimento, pero ahora la esfera en lu-
gar de caer sobre el resorte cae sobre la superficie de la
La biomasa es una fuente de energía y se obtiene de la Tierra, la energía de la esfera se transformará en trabajo
materia orgánica producida por los seres vivos, como en realizado al incrustarse y hacer un hoyo en el suelo.
los casos de la madera, la paja, los azúcares, las grasas,
el alcohol, entre otros. La biomasa es una de las fuentes Finalmente, si se vuelve a disparar la esfera y al caer
de energía más antiguas de la Tierra. choca contra una superficie metálica resistente al im-
pacto, ¿qué sucederá con la ECT de la esfera? Al chocar
Existen tres fuentes principales de biomasa: la ECT se transformará en sonido y energía calorífica,
aumentando la temperatura de la superficie metálica y
a) Los desechos animales. de la esfera.

b) Los residuos vegetales. Cuando la energía se convierte en calor y después ya no
es posible volver a transformarla en otro tipo de energía,
c) Los cultivos específicos. decimos que se ha degradado.

Tanto en Brasil, Estados Unidos de Norteamérica como Con base en lo expuesto, podemos apreciar que la ener-
en otros países, se han realizado con éxito cultivos de gía no se crea ni se destruye, sólo se transforma.
caña de azúcar para la producción de alcohol que se usa,
entre otras cosas, como combustible para vehículos au- Mediante los siguientes ejemplos podemos comprobar la
tomotores, se mezcla con gasolina y recibe el nombre de conservación de la energía mecánica:
gasohol.
a) En la figura 5.46 observamos un balín deslizándose
En las transformaciones que ocurren en la naturaleza por un plano inclinado, después ascender por otro
se produce transferencia de energía de unos sistemas a plano inclinado hasta alcanzar una altura igual a la
otros, interaccionando entre sí. A continuación revisare- original. Esto, por supuesto, si la fuerza de fricción
mos el siguiente ejemplo de interconversiones de energía es despreciable; de esta manera el balín continua-
potencial y cinética: con un tubo y un resorte se puede rá el proceso de bajar por el plano inclinado trans-
construir un disparador de esferas metálicas. Para com- formando su energía potencial gravitacional (EPG)
primir el resorte se debe realizar un trabajo, el cual se en energía cinética traslacional (ECT). Cuando se
convertirá en energía potencial elástica (EPE) del resorte. encuentra en la parte inferior del plano inclinado,
Al apuntar en dirección vertical hacia arriba y accionar el la energía potencial gravitacional es nula, pero la
disparador, la esfera saldrá disparada con una energía ci-
nética taslacional (ECT) igual al trabajo desarrollado por Balín BA
el resorte. Al subir la esfera realizará un trabajo contra la
fuerza de gravedad y tanto la magnitud de su velocidad h
como su ECT disminuirán, pero al mismo tiempo su ener-
gía potencial gravitacional (EPG) aumentará al elevar su figura 5.46
altura respecto al suelo. Cuando la esfera alcanza su al- Al descender el balín siguiendo la trayectotia A o B, en ausencia de la fuerza
tura máxima, la velocidad en ese instante es cero y toda de fricción alcanzará su altura original h y conservará su energía mecánica
su ECT se transforma en EPG. Al iniciar su descenso, la total.
fuerza de gravedad realiza un trabajo sobre la esfera pro-
vocándole un incremento en la magnitud de su velocidad
y en ECT, mientras que la EPG disminuye.

No obstante, la energía mecánica total de la esfera, es
decir: ET5 EPG 1 ECT, en cualquier instante de su tra-
yectoria es la misma. Esto se debe a la interacción de
la esfera y la Tierra por la fuerza gravitacional, lo cual
constituye un sistema conservativo, pues cualquier tra-
bajo realizado por un cuerpo en contra de la fuerza de
gravedad de la Tierra se recupera íntegramente cuando

186 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

energía cinética traslacional es la máxima. Al al- sa. Sin embargo, una fricción despreciable es difícil de
canzar su altura máxima, la energía potencial obtener y la masa del péndulo alcanzará cada vez menor
gravitacional alcanza su mayor valor y la energía altura al desplazarse hasta que se detiene por comple-
cinética traslacional es nula. En conclusión: en au- to. Por tanto, cuando en un problema o en una actividad
sencia de fricción, la energía mecánica total (ET) se experimental se desprecia la fricción, debemos entender
conserva: que se hace con fines prácticos para lograr una primera
aproximación de lo que sucede en un caso determinado,
ET 5 EPG 1 ECT 5 k 5 constante pero sabemos que en nuestras actividades cotidianas la
fuerza de fricción siempre está presente, por lo que al
En la realidad, una fricción despreciable es difícil de no considerarla se provocarán discrepancias entre teo-
obtener, por lo que el balín perderá altura y disipará su ría y experimento. Bien, una vez hecha esta importan-
energía por medio del calor generado en el mismo y en te aclaración, se procede a analizar qué sucede con las
la superficie del plano. Por tal motivo, tarde o temprano transformaciones de la energía de la masa del péndulo,
se detendrá. considerando despreciable la fuerza de fricción. Veamos:

En la figura 5.47, en a) se observa que la masa del pén- Antes de soltar la masa del péndulo, que se encuen-
dulo, cuyo peso es de 1.5 N, se eleva a una altura de 20 tra en la posición A en la figura 5.47 a), tiene una ener-
cm para colocarse en su posición A. Al soltar la masa del gía potencial gravitacional igual a: EPG 5 1.5 N 3 0.2
péndulo, éste oscila al otro extremo y alcanzará nueva- m 5 0.3 J. Al descender, la energía potencial disminuye
mente la altura de 20 cm. Esto siempre y cuando la fuerza y el punto B tiene su valor mínimo igual a: EPG5 Ph5
de fricción que exista entre el hilo que sujeta la masa y 1.5 N 3 0.155 m 5 0.23 J. El valor que disminuyó la ener-
el punto de apoyo donde se ata dicho hilo sea pequeña y gía potencial gravitacional, es decir: 0.3 J 2 0.23 J 5 0.07
se pueda despreciar, al igual que se desprecia la fuerza J, se ha transformado en energía cinética traslacional, por
de fricción o fuerza viscosa que se presenta con el aire lo que ésta tendrá un valor máximo de 0.07 J cuando la
al desplazarse la masa del péndulo. Esta consideración masa pase por su posición de equilibrio. Después la ener-
de fricción despreciable, la hacemos con fines prácticos gía potencial gravitacional se incrementa hasta alcanzar
para analizar las transformaciones de energía cinética su valor máximo (0.3 J ) al llegar a su altura original de 20
traslacional a energía potencial gravitacional y vicever- cm y la energía cinética traslacional en ese momento ten-
drá un valor nulo. Este ciclo se repetiría una y otra vez si
A C la fricción fuera nula. Como realmente no es así, la masa
h 5 20 cm del péndulo se detendrá poco a poco y alcanzará cada vez
B menor altura.
h 5 15.5 cm
En la figura 5.47 b) observamos el mismo péndulo, pero se
a) coloca un clavo como obstáculo y de todas maneras la
masa del péndulo alcanza la misma altura, conserván-
dose la energía mecánica.

Degradación de la energía

Clavo Una de las principales causas por las cuales se investi-
gan nuevas fuentes de energía de manera que se pue-
h 5 20 cm h 5 20 cm dan utilizar a gran escala y de forma rentable, como es el
caso de las energías solar, eólica, hidráulica, geotérmica
b) y mecánica de los mares (mareomotriz), es la imposibili-
dad de convertir en trabajo todo el calor que suministra
figura 5.47 una fuente. Sin embargo, el trabajo sí puede convertirse
en calor en su totalidad. Dicha imposibilidad hace que
En a) la masa del péndulo oscila a uno y a otro lado de su posición de proceso tras proceso la energía disminuya su capacidad
equilibrio (punto B), en A y C tiene su mayor energía potencial gravitacional y de producir trabajo. Cuando se realiza un trabajo, no se
en B tiene su valor mínimo. La energía cinética traslacional vale cero en A y pierde energía, lo que ocurre es que disminuye la can-
C y tiene su valor máximo en B. En b) la masa del péndulo alcanza su altura tidad de trabajo que se podrá producir en procesos su-
original, pese al clavo colocado como obstáculo en su trayectoria. cesivos.

En virtud de que la energía de un sistema al someterse
a diversas transformaciones termina por convertirse en
calor, y parte de éste ya no puede utilizarse para pro-
ducir trabajo, podemos decir que cuando la energía se
transforma en energía calorífica se ha degradado.

Grupo Editorial Patria 187

Física General

Importancia de la energía, sus usos e) Humo constituido por pequeñas partículas de car-
y sus consecuencias bono en suspensión que daña los pulmones y enne-
grece la ropa, rostros, casas y edificios, entre otros.
El progreso de nuestra sociedad no sería posible sin los
diferentes tipos de energía que existen, cuyo uso ha he- El caso del ozono es particular, ya que es beneficioso en
cho posible el desarrollo de la ciencia, así como las di- la atmósfera alta porque nos protege de una radiación
versas aplicaciones en la tecnología. Gracias al uso de intensa de rayos ultravioleta provenientes del Sol, pero
la energía, hoy en día nos trasladamos rápidamente por perjudicial en la superficie porque irrita las vías respi-
tierra, aire, mares y ríos; las comunicaciones entre los ratorias. El ozono se produce aquí por la acción de la luz
cinco continentes son prácticamente instantáneas; en solar sobre el oxígeno y los gases de escape de los mo-
síntesis, disfrutamos de las múltiples aplicaciones de la tores. El conjunto de éstos forma lo que se llama esmog
energía y nuestra vida es más activa y placentera. (vocablo inglés que proviene de la contracción de las pa-
labras smoke que significa humo y fog niebla), que apare-
Sin embargo, no podemos olvidar que el uso de los dife- ce como una niebla contaminante y persistente sobre los
rentes energéticos provoca consecuencias como la con- grandes núcleos urbanos (figura 5.48).
taminación del suelo, agua y aire. Si bien las ventajas
que representa la electricidad frente a los otros combus- Los automóviles no son el único problema; también las
tibles son múltiples porque es limpia y permite disponer industrias y las plantas termoeléctricas completan el pa-
con facilidad y de inmediato de la energía que necesi- norama contribuyendo con sus propios contaminantes,
tamos, debemos tener presente que un alto porcentaje como vapores de disolventes, productos químicos, pol-
de energía eléctrica se obtiene quemando combustibles vos de metales, cemento, entre otros.
en las plantas eléctricas. Con ese procedimiento se evita
la contaminación doméstica, pero se traslada al medio En la lucha contra la contaminación es importante ins-
ambiente donde se concentra. talar convertidores catalíticos en los tubos de escape de
los automóviles para que transformen los gases nocivos
Por otra parte, el aire, en especial de los grandes núcleos en otros no dañinos. En las industrias deben construir-
urbanos e industriales, contiene sustancias nocivas, inclu- se torres de lavado que eliminen humos y polvos, entre
so peligrosas, que contribuyen a la contaminación. Estas otros sistemas anticontaminantes.
sustancias provienen de la combustión de carbón, leña e
hidrocarburos. Así, la gasolina en exceso produce dióxi-
do de carbono y agua durante su combustión, pero las
condiciones del motor son diferentes, más propicias para
una combustión parcial. Entonces, además del dióxido de
carbono y agua en forma de vapor produce sustancias no-
civas como:

a) Monóxido de carbono, que es un gas venenoso.

b) Hidrocarburos no quemados, que pueden causar
daños al hígado, incluso cáncer.

c) Dióxido de azufre formado a partir de la pequeña Pe 5 Peso 5 P [ P 5 PeV
cantidad de azufre que contiene el petróleo, que Volumen V
ocasiona enfermedades de las vías respiratorias y
lluvia ácida. V 5 500 litros 3 1 1 m3 5 0.5 m3
000 litros
d) Monóxido y dióxido de nitrógeno, productos de la figura 5.48
reacción entre nitrógeno y oxígeno a la temperatu- LmaoctoornetsamdeincaocmióbnuusrtbióannainetenrnfoarVmdea5adue1toem5sm0óv0oilgelssi,tecrdaoemsbieo3nper1sin0eci0pi1na0dlmmulsiet3tnrritaeos.sa l5os1.5 m3
ra del motor; ocasiona los mismos efectos pernicio-

sos que el dióxido de azufre. d 5 1 at 2
2

8 Potencia mecánica ECT 5 ma 1 at2 5 1 m(at)2
2 2
La potencia mecánica se define como la rapidez con
ECT 5 1 my2 ECT 5 my2
que se realiza un trabajo. Se mide en watts (W) y se 2 2
dice que existe una potencia mecánica de un watt cuan-
do se realiza un trabajo de un joule en un segundo: 1W 5 J
s

Praorunejebmulptolod, emcieemnteranstoudnPea55p0Tet rksgonaausnubdeeppaorrtaumnaenetsocaqluee-
T Fd
188 Grupo Editorial Patria P 5 t 5 t

h 5 Trabajo producido por la máquina 3 100
Trabajo suministrado a la máquina

Volumen V

5V 5 500UliNtrIoDsA3D10010mli3tDroinsá5m0ic.5am3

dcjCcmsEufdhpds5mmdoióeio0eienecaolooáeadlcidznsohemRnkoutnypené21teidnoaa,g osnocz souqoeeemcloarruateuJeca:euySmDS CEEnSdDnb¿Pspstnt vatbeolehrCem5nreeuooaaaaiCColaaaaom5nesarmaPTtajcn5lldrullusotte,ál:uoTTuumbócali4ctooceqtnqbám5iu55qauui4enncccrasuo0ss8sstmpu55olsu.atu.liiumuajin i0lic5eeóódt uWdooteepsePeagilyeclircenrinnmmo???omeoneiomsroNazriadvlepsan 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