Física General ( Paginas 1-300) Parte 1/2

Física General

Ejercicios propuestos 4 Se tira una piedra verticalmente hacia abajo con
una velocidad inicial cuya magnitud es de 8 m/s.
1 ¿Cuál es la magnitud de la aceleración que ex-
perimenta una maceta que cae desde una ven- Calcular:
tana? a) ¿Qué magnitud de velocidad llevará a los

2 Un balón de fútbol se deja caer desde una ven- 4 segundos de su caída?
tana y tarda en llegar al suelo 5 segundos.
b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
Calcular:
a) ¿Desde qué altura cayó? 5 Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota
con una velocidad cuya magnitud es de 20 m/s.
b) ¿Con qué magnitud de velocidad choca contra
el suelo? Calcular:
a) ¿Qué distancia recorre a los 2 segundos?
3 Una piedra se suelta al vacío desde una altura
de 120 m. b) ¿Qué magnitud de velocidad lleva a los 2 se-
gundos?
Calcular:
a) ¿Qué tiempo tarda en caer? c) ¿Qué altura máxima alcanza?

b) ¿Con qué magnitud de velocidad choca contra d) ¿Cuánto tiempo dura en el aire?
el suelo?

10 Tiro parabólico

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento reali- figura 4.8
La trayectoria de esta pelota de golf es un tiro parabólico.
zado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano.
Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria correspon-
de a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la
superficie de la Tierra o desde un avión, el de una pelota
de fútbol al ser despejada por el portero con un cierto
ángulo con respecto al suelo, o el de una pelota de golf
al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal
(figura 4.8). El movimiento de un cuerpo es parabólico si
su trayectoria es una parábola, es decir, una curva abier-
ta, simétrica respecto a un eje y con un solo foco. El tiro
parabólico, para su estudio, puede considerarse como
la combinación de dos movimientos que son un movi-
miento horizontal uniforme y un movimiento vertical
rectilíneo uniformemente acelerado. En otras palabras,
el tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de
un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento
vertical rectilíneo uniformemente acelerado. El tiro pa-
rabólico es de dos tipos: horizontal y oblicuo.

Tiro parabólico horizontal

Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que tante. La forma de la curva descrita es abierta, simétrica
sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacío, respecto a un eje y con un solo foco, es decir, una pará-
resultado de dos movimientos independientes: un movi- bola. Por ejemplo, en la figura 4.9 se grafica el descenso
miento horizontal con velocidad constante y otro vertical, al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del
el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de
su magnitud en la misma proporción de otro cuerpo que 15 m/s. Al término del primer segundo ambas pelotas han
cayera al vacío desde el mismo punto en el mismo ins- recorrido 4.9 m en su caída; sin embargo, la pelota de la

90 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

1S 4.9 m medio del método del paralelogramo; para ello, basta re-
presentar mediante vectores las componentes horizontal
15 m 19.6 m y vertical del movimiento. Al primer segundo de su caída
la componente vertical tendrá una magnitud de 9.8 m/s,
2 S 30 m 44.1 m mientras la magnitud de la componente horizontal de su
velocidad será la misma que llevaba el avión al soltar el
3 S 45 m 78.4 m proyectil, es decir, 250 m/s.Trazamos el paralelogramo y
obtenemos la magnitud resultante de las dos velocida-
4S des. A los dos segundos la componente vertical tiene una
60 m magnitud de 19.6 m/s y la horizontal, como ya señalamos,
conserva su misma magnitud: 250 m/s. Así continuaría-
figura 4.9 mos hasta que el proyectil llegue al suelo. En la figura 4.10
Ejemplo de trayectoria seguida por un cuerpo en el tiro parabólico horizontal. vemos cuáles serían las componentes rectangulares de
la velocidad de un cuerpo, el cual sigue una trayectoria
derecha también ha avanzado 15 m respecto a su posición parabólica horizontal.
inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han recorrido
19.6 m en su caída, pero la pelota de la derecha ya lleva Tiro parabólico oblicuo
30 m recorridos como resultado de su movimiento hori-
zontal. Si se desea calcular la distancia recorrida en forma Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo
horizontal puede hacerse con la expresión: d 5 yt, pues cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma
la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá un ángulo con el eje horizontal. Por ejemplo, la trayec-
una rapidez constante durante su recorrido horizontal e toria seguida por una pelota de voleibol después de re-
independiente de su movimiento vertical originado por cibir el golpe durante el saque inicial, o el de un balón
la aceleración de la gravedad durante su caída libre. de fútbol al ser despejado con un cierto ángulo por el
portero. En la figura 4.11 se muestran las diferentes trayec-
yH torias parabólicas que sigue un balón de fútbol después
yH de ser pateado, de tal manera que se le imprime la misma
magnitud de velocidad inicial, pero formando ángulos di-
yV yR ferentes con respecto al eje horizontal. En dicha figura
yH se aprecia que cuando el ángulo de tiro es de 20° y de
70°, el alcance horizontal es el mismo. Obsérvese que la
yV yR yH suma de 20° 1 70° 5 90°. Una característica del tiro pa-
rabólico oblicuo es que cuando se lanza un cuerpo con
una determinada magnitud de velocidad inicial, tendrá
el mismo alcance horizontal, es decir, recorrerá la misma
distancia en forma horizontal con dos ángulos diferentes
de tiro, la única condición es que la suma de dichos án-
gulos dé un resultado de 90°. De esta manera, un cuer-
po lanzado con un ángulo de 30° tiene un alcance hori-
zontal igual a un cuerpo lanzado con un ángulo de 60°

70°

yV yR 60°

figura 4.10 45°
30°
Componentes rectangulares de la velocidad resultante (yR) de un cuerpo 152°0°
que sigue una trayectoria parabólica horizontal. Se observa cómo la
velocidad horizontal (yH) permanece constante, mientras la velocidad figura 4.11
vertical (yv) aumenta su magnitud durante su caída libre por acción de la El alcance horizontal del cuerpo es el mismo para los ángulos de 20º y 70º.
gravedad de la Tierra. De igual manera, el alcance horizontal es el mismo para los ángulos de 30º y
60º. Por tanto, el alcance horizontal de un objeto en tiro parabólico oblicuo será
La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es el mismo con dos ángulos diferentes de tiro, sean cuales sean, mientras que la
desde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro suma de dichos ángulos dé un resultado de 90°. El alcance máximo horizontal
parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela se presenta cuando el ángulo de tiro es de 45º.
a 250 m/s y deja caer un proyectil, la magnitud de la ve-
locidad adquirida por dicho proyectil, en los diferentes
momentos de su caída libre, se puede determinar por

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(30° 1 60° 5 90°). Un cuerpo lanzado con un ángulo de 15° ángulo de tiro respecto al eje horizontal, un cuerpo ad-
tiene un alcance horizontal igual al de un cuerpo lanzado quiere una mayor altura y durará más tiempo en el aire,
con un ángulo de 75° (15° 1 75° 5 90°), entre otros. El sin embargo, al ser menor la magnitud de la componente
alcance máximo horizontal tiene lugar cuando el ángu- horizontal de la velocidad inicial, su alcance horizontal
lo de tiro es de 45°. En conclusión, cuanto mayor es el también será menor.

Resolución de un problema de tiro parabólico oblicuo

En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida Una vez calculada la magnitud de la componente
lvaevretilcoacli,dvaidst(ays0ve )nylautsieliczcaiónndoClaaís-
por una pelota de golf lanzada con una velocidad inicial vertical de
de 40 m/s formando un ángulo de 60º respecto a la ecuaciones de tiro

horizontal. da libre de los cuerpos y tiro vertical, podemos de-

terminar con facilidad la altura máxima alcanzada

yV yV por la pelota, el tiempo que tarda en subir y el tiem-
po que permanece en el aire; así pues, la magnitud

yV yHyH yH yH de la velocidad inicial vertical para la pelota de golf
hmáx yV yH será igual a 34.64 m/s. Por tanto, sustituyendo esta
magnitud en la ecuación de la altura máxima tene-
mos:

60° yV yH hmáx 5 2 y2 5 2 (34.64 m/s)2 5 61.22 m
yH dH 0v 2(29.8 m/s2 )
60°
y0 5 40 m/s yV 2g

hPaacraemcaotl(sscuubuirls)ao5r d2eelytgl0iaev me5cp2uoa32cq4iu9ó.6.en84tcmamor/r/dssrae5sepn3o.5ns3udbiseirnltae pelota,
que se
yf 5 40 m/s dtueddudjeotl(apaiarhce)rmoa5ámx e25plo22tnyigre2y0ovn02gvtve5eri2ntiicc2(a3i(2al4,l.96sv.u48esrmmttiit/c/ussa)y22l)e: 5nd6o1.l2a2mmagni-

Como se observa, la pelota inicia su ascenso con una dHt(5subyir)H5222ygy0vh0 mgs5eáx2n5u32249.62y.8402gvmm5//s2s 52(3(324..5963.48smm//ss)22) 5 61.22 m
velocidad inicial cuya magnitud es de 40 m/s y con Etiel mtiepmodpqHotu(5aeqire2u)ta5eyrd02dcau2oreygsan0utv(esg2sunbuyirb0)e5silre:a2niruyeg0ve5s i2gu324a9.l6.8a4lmmd//ossb5le3d.5e3l s
un ángulo de 60º; si descomponemos esta velocidad
en sus componentes rectangulares encontraremos la dHd5H 252yyH02c2ostg2(auyir0es)ges5enn2uu2yg0v
magnitud de la velocidad vertical que le posibilita
avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada dspPeeaobrrmaeloumceqoddovnuHHseodde55ccHH:eoetn2255(nraie(s222re4eisyl)d0a2y025aey0m2sldgr0c2ce2ai9/oacnddrsr.3sone8)HH22sugqccm55s3uugceu2e.isy/e52óynhse03nHo22nmysr(se0d6ui2inzc50eeoo)unb2sn7ytidu.rt00aaogg2s6lseyadsn0e. Hlssuaetdénmeuealnagipetuel dlaoitdraee,
en tiro vertical; por esta razón, la magnitud de la ve-
locidad disminuye debido a la acción de la gravedad

de la Tierra, hasta anularse y la pelota alcanza su al-
tura máxima. Después inicia su descenso y la mag-
nitud de la velocidad vertical comienza a aumentar,
tal como sucede en un cuerpo en caída libre, de
manera que al llegar al suelo nuevamente tendrá la
92 ehinP Pumhah(npnloeooaoniieyrrrcryriscen0riiaiemcHizzvtzmloiuraoooc55aaáneladnniniuarrcmmnttetyypeeraaaoe00oas.sollnlsccsuttguqsednrieoenvtoumoensaancoiestnoso6e,l6ucaunltvj0ie0edeeennsiºsºvnmmdtpttd5ea5oasmeipeilcondeorml4ao.4tomolnce0av0P,ait)leidiooamgtvmmllearaendtm/di/sodilsieeseottea:ntuc3mcr3isgatodiepodpnm0n0pladoi.ae.rtpa5d8eezunqro6ca5dtvuvn6teureeeies0,d2nlrleínolet0ean5aitccl.cee0miolccao3dsamouml4aamveuvq.gdo/6erensupnp4lrplioGeooitoftemionrchuctrdureieaadm/dmpunnslraoraatííedayeae-l.Editorialln2 S ecLpaPi0xuoaaóapbecnmmvtdroe:draeame/mi rasHsgí;ttttdihhspoan((((ó5accaepHmmsoaaiinittttrrddhhreeááyoeetn((((q55rrxxaccay)):uHHmm))raaiicerr55uHeee5555áádee2a22555rrtxxn))))ental225522d55st55(c:(222anee1enuiy22222r22222yytnle2((ug2602lohyyggh0014)22ad(gg92y022evv2,222yys00o0d2g5g6.vve2u002yyesggph00228r5(g96o0vvstm200n2i55sttttaddd9hmyg.rvv2p0z02dm(((ttdddhe825ccao.ar2HHHm((069/oaaisal082 5HHHmnrd9aH2vmmuseeaiá/ue0.mrn255552rrbxá(cp/)8e)s.H))mm52z555i9x82)225cs()tr55[22am5a55g/2)aa52222.m2as5(/us32/s0/522mry9)m52yes22l)sy92ls2ot22/((022cH.2209n2iH3.92/2014ds2y73i)53r8.uyy222s.t22yse2.8202y0282egt062y.0i920022yyel2g9mdyh02(n5m(e7(g09c22y3a.a6g07g0v22.6m2c002mng.80se8tilvnog.c0vv2..060r/rvs720om/aoe805ve66sso9/e2s0/u5)mysl)5dng956m)s msh 60a2su./m s7gv20u85).H2su8)220/ou822geg222sm/)sms/5snrm2ssee1s/lu5ssyi2em2io(2egs)3ae2nm4/2z0355n45/(2csn14u23n/1oss4)u.5m9pisu4.1125e.ni24.d06u9132.e69l15.(n8t.a3.e48a4.6n114.8.a78mg.031a4ud0m5.t5lm68m2e.2mmnr),7mt364/es7a/il/ssd/02mstmamsmsmue)552s2oddbc)/ssu1ui35((dé(4.ac23l515nea61-)))l311.3..s82m422ms

dH 5 yH 2 g 

y2 m/s)2 y0 cos u 2y0 sen u
0v m/s2 ) g UNIDAD
hmáx 5 2 52 (34.64 5 61.22 m 4dH 52 Cinemática
2g 2(29.8

t(subir) 52 y0v 52 34.64 m/s 5 3.53 s dH 52 2y02 cos u sen u
g 29.8 m/s g

cSS S RdP 1ouuuoo emrnsssSufvtttsdtoiiiiregentttoe:iuuulg:uaaCbollyyi)o)arucmaa ee anniELvllnndc:ocotzahaldduuasmiat5amóoodlr5iaeaeul2tttttttttddddddhhh28an62rote(((((((((cmsaaaaaccan22tttttttttttttttttdddddddddddddgHHHHHHhhmmmrh0hh:usaaiiiiiisun(((((((((((((((((yerrrrrrcaaaaaccaísaaaaaccabeeáááaHHHHHHeeeeeemmHHHHHHmmmenpeuaadaaiiiiiiam5555555iiiiiisrrsixxx2yn))))))orrrrrrrrrrrrr))eebeeááááá34eeeeeeeeeeeen)eieo55555555555555255555rrtttttttttrrddddddxxixxxahhh5)))))55)s55))))))6pt2))r))sse5222222(((((((((7nyny)usaaaaacca5555552555555eHHHHHHmmm5555555ee550qiu22aauiiiiiis222222522222222222HHyyrrrrrr222edmsbeeu22áááneeeeee2gn((22eyu5555555rrp222222ixxx222222ed))))))HH1422sm222drs))suuy55((2((noyyu022)222222d22yy22222eay55y555y5en1ee555550e142142y2g6r022y5y222222r5500c22yyysyyyyy0222222yy0222222enggggg2,222gh000g22222222yy32yyy:nnna0(0gggm292022yg2gt06062220vvv22y222222om2oc00s00000cH22002yyyyyc22yyyyy222gggggdgggggssvch9200gh220003u222q3anld2gg(((.gg(22gggvvvvv92y90u02200e02vv2vvvsooaomue2e6mc2s000008cs0000025214u55oos.hsvy9292Hyr6u59gg5/gg.ibyy0.222vvvv222v2vvvvv228u0u0n222e2eyyys5us5osonn4cge6e0689058t5d25mm55ss2ey0.vg.yo5602206.6m9/9e005/c22yyyyyggggg88u22nngh0002223us5ous55u..58n)g4ng04.g09209(gggg29mlm2e0smasss0220r2vvv060o.m8.y2m2m2dcs000002(dosv222292emduus.8.)g8e)0g.0t/ggu.2i2.glvvvvvs2ymg22m2ssu202s2Hemm6s26oy2s8228e622(8(5o/auzr55es/(d(d.2Hy23mmmemn6e2e/9u5//ue903sysuy28em0nss2(2sm)mams0(m5u225y2y2s[n42sg5(0co9((/:u/unmsg/ess/024HHm23mne0/mnemn.m2.sn429e090232n02e0ue22s0s((s)(/su)020(93.22i8/[)g2 [020.ns2g2m2gsg2.s2224)qe2nn5/6d/822s..s.2s42s2926un0n(0ldu92u2m(/2.(/3293/22/2e600/usastm2svy022.n2)le)8me9m5522y2uasss(.(s./49s59u9us9/.6ua5d9H3em(22.e7mn42222263890em.3m0820e0sn(.ns69)8sd90(222[2e..u8u.99.49/9g.5 254ml8g2(en( 7/ 7m4.0.m8s42383.8.2n80u0.s1.m6(/m6m93 2/:05ms..8m.u.8u/e/2.8vm8)6e5a 2s..08.0m)8s96ud)m/930/s10ms1m2.m22m65m5m/2mm2ns0e6n6869/2/res7s22/)).49/9.)m.)m5s33/(74mmss38/52.2r81s0/e6s6.6//s7/ns7s///.a.8u//..)ms8)ltms52s.0sm82s8s1s10s/0/20ss12mamit/5m5/ml2)))))6mmmssc22522)e288ss)m32/2t2/m55s/s2325)2))65a)/s/s7s22//1.si/u//ssss.135)si50)/lsc5/rs5s411sg)5)ms465e22q8.so22G315o4542)55)u.14462lnud11/.o131sr35)5...13sis1ee52.1111u...e.p8.3u3s547255s.52.mp46ln488(31((((ln(d772am.1moe7t598642mm4411.eae.3s-))))))r2m2mm52.Es8a72dmss4ib2mmtoósrialilcabdvdoEemnusSL(qecc2riPiiectlsueoóauninge ódorcoedaáalseuasionvaudiecldDabacUdycSbSccnttun.acie; dirielephoc)))ávH))vee)u)oddogtEmlanari s ntunauaednelt,svaeciuprLydat5a5l3tttttt1dddddduhhht(yicnrarytoHjdcl((((((ymc2eop2desaaaccaH7la5uiomaHHHHHHmmmtctpluceaaiiiostiaosmsrrree22ieune5orvºbeepááácigó2ueeetttttttedddhh icd5na5rm5555555rrlóixxx5oa)))(((((((5ónr)))mcastáicsaaaaccaneancab6)HHHmmcirdid555noaa5iiiiivs55555inego?mrrrrrgdos5222222i/0eedááotytlóeeeeedi2?ebuosda5ó:5552 rricxxs,n)))))eatiinnu))i/222n oHnm2225nmanra?sdaon955555ne2((i22y5555qnacv29ar222214rh,arern aynrd2nayy0u222m2ioo222u2ayyyri.eyl)2222202gr2oylelcgd2260s2cg8use00c22.etyyy((gggm2negh000e222lesavl(dggg9oe0ron14c/0steiovvvorm2ylcis000n2a5py22222sv2sa2ams22a2ieyyggld.nenvvv2e,ou00pobte2rgsso6022ezp8u550d2yyyyyeggggoh006n223l95/eaesas3e(sggha9nsedes2euo50nog2vv/9uim2ms0000s20slecs0u9.mttsnluggsn.vvvv222tlolguu0nme8e)gecm.e2eg2ae628s5ntp2lh5.a2l822m639tp/dt2rdopm8tniatenbt5/u5n4syn09etmrseoma22odsev0(i3oaa(.m/.duse3eo2aemn2e.l8ú)9o00z3.522atresm(cr)2(tsae[r26avdla822dge2r4e2b(nd2/rmios.vs42rft/unlmuid9322/modm20f2ysisusonaib(./u,ieis)/cae5oHeemun.misimp96ue9922e.0lres(2rs2)602c[s20cmoinng8i9522.nsi/tpeln.49)o.r.2ld2n0(s7n4a(/i32/o38n.c0aa8nsai.26edt)5ec.8uubsea5sm89eiabal2a.0um22lims0n08emnmoc95ma2emerl(.9c9n65(2dan7iaap)m3d8v.i7/noain.6c/ds2i..86c/tl/ó/8s7jses/ae./n.08aseeta0os1omdluss5d5meus0/hsinl6nora21)cd)l)lg)mcbam3s,nas52e2ammre2o2oo26l/t5s79mae/2,)c)o)).avqu)azcehsr,tr1s0//af.lr/u3a5mu5ee)araim6usiissuo21dc8sey2csó2Fttttttteddddddp.zg5hhhTy2r)nde54o2r(((((((aeHe52ccascs4aaacca6mndo/nrtóHHHHHHmmmsan5)iuiaaooiiiis31msísoeii1rrrron.1ezcnbeeeááátaeeee5r,uóc5e11id.55555559rrb/ixxxm4e))))noa.rr5et))um3shct4oarnspn)52.nd5555leura155555n8e2rrite.ony5222222fglay72oamu11ue2sreeo.adli4tdmHrt32222t,lg,Htgr222e.s5.aunnjllp22im(m(a22iiy8etqacsaedar14penaazu7lmLyre5ryy0222242io2222yyyodpusnásc0oe2en2oyeglir60m2emo00c22y3yyy2mggggtgh000am222heaniean(gggs90yer20p2vvvuossme2cs00002vsv2uua.lp:ggodgs.tvvvv2eu0egusoaeddeu85eu55ayc6dle9s5/llecuns5u5nrrrgn0tt9llrnms0nol:0.meotnaoáaaaa22lau8l)g0.2gi22sino2aoya822ssr--------d2lm,e/usymm2y2s((/usH3emn29032es()0(2[2g242n/.s42nu(932/0s92.)e5.s96u92.22603n892.499.(7438.8.6..8um8.0m80mm5mm62)m/m/26//s7s//ssss0/s/))ms522s2252))2/35)5s1.

Física GeneralE1 jechauSySypdDabCnUbCytur()0))a)) ouuemH0n5Haaan civ5lrséáaLEEtll22attettttttttttttttddddddddddddu5hhhhhhu5x5itcco(((((((((((((((()s3ssaaaaaaaaccccaaaillcHHHHHHHHHHHHmmmmmmc3vnuuuu1aaaaiiiiiiiiii5sss5tp7rrrrrrrrrrbbeeeeydáááááá7itaueeeeeeeeee?ee 5illaa55555555555555rrrróiixxxxxx))))))))))iºerr))))°0 aaoelycnne)) ?l?5555555555nc5555555555lm22mrrtc552202222222222iyy m ot22a5ó:su::oa2222222222sHH222222tss/uunan22((((r2222pyysaenssee1144pagyyc55yyyy00222222222222 oe22222222nyyyyyynnyau002222yygg6600e22en0000cc2222yyyyyyyyyyggggggggggmggghh000000222222ry((gggggg9900q2200u22vvvvvv5oorscmm22ccss000000000022i0ssvv22hougggg..vvvvvvvvvv22etuu00eeuássoooee8855555555yyuo66l9955//nsnnssx55euun55pnngga0099mmss100r00ud..mmd2222uui88))gg001..22nigg22225ss22dl881u22um22z((odd22hmm5eet//uudssyyz22mmmmu22yy522ss((ao((//muunmsssHH33eemmnn22e99a00a33em22ee00ss(())00((22[[22r.dnágg2244da22nnm//..ss4422dnn00xauu/((993322///s00assotH122..))ee55ss..ss9966uuaa99v22..222266/lsmm0t00lnn889922c..449999s3..eal((77443388..88o..66ha....88uu//mlmmd883..00mm88po00ssmmmmo55mmnmms66e022))))mm//ec/rmm//22z66//.//ss77sss////0issill7ssassss00//ssdoza//.))))9ycyybammss5522d226ssot2222a5522)))H0)p8)))a22a0n c d//v 3355))556ess.111d5ate2tttttttttdddddd25ttttttttthhhFdddddd..hhhla(((((((((i8(((((((((5544eH555saaaaaccansaaaaaccao4466HHHHHHmmmnHHHHHHómmmuaauiiiiiisaaiiiiiils3311yrrrrrrrrrrrrbeet..11yááábee5áááeeeeeemeeeeeeer5iea11555555511rre5555555ixxx..arr0ixxx))))))))))))cr))0..r))m33ss1n)n)5522..l555555l555555.55555e555c55i2882152s222225222222yyy977a22mm2sa2uon44e.222222 222222H222HH.u222slsu9iu2((sl222((y022mmmm22tnyre e14a14teeq7yy5yy502222222yye022222222222u2 yyy2222yyyn(n0sss2022uyg9l2ya6g022602u200c22yyyyy700c22.yyyyygggggggggggh000o2223gh0002223di(ggg90(ggg920022vvv0ro2vvvm2cose000002m2cs000002svm92sve92ggem.ggvvvvv2.vvvvv2u0eu0dseo)seo685e68555.55y.y695/6ts95/8n8ns5/u5ens45ug50n94g09msi/0ms00d.0ms.me2222su.8u)gs0..8)g20.g22m2sg2m22s26e8622822(d2--(dm2me/ue/usysy2mm22y2mms2y2(s(/(u(s//us/H3mH3emmn2emn29039203e0s2(e0s)s(0(2s)[20(2[2g24g224n/2n/.s42.2s42n02un0u(/932(//0932/s0s2.2.)e5)e5s.ss.96us996u92.22.26226m0m0n89n2892.499..4995.5(7(47438.838.8.6.6..8u/..8u/m8m8.0m8.0m80s1mm0s1mm5mm5mm6622)))m33)/m3/mm/2/266//s7s//s7s/ ///.s.sssss1s0/1ss0/s//)))m)sm5s25228s2aaccCdbyDabbaUSecS8s2222552)2b)))2))2u))))n))Ho)u0// snaas35) 35 5)) 5 sE1sy1ElLs5EEs dut2u2lt.22.tt5ttttttttttttddddddddduuhhhh2ytttttt5t4dddddt(co54hhap5((((((((((((((le5al46a46uuaaaaaaaaccccaa(((((((illHHHHHHHHHH55mmmmcnaaaacca0u313aaaa1iiiiiiiiiiHHHHHmmissstran.1trrrrrrrrrraa.1iiiiismrv2eeee2ááááiátrrrrrueeeeeeeeee5511a11eeo. eee.ááil55555eeeee5555555rrrróxxxxe.l))))))))))i.3bs5555553srre))))5xx0 )a5 )))))?1n52.c55c22.nnle))ya5555555555nn8855555555t55555l5 22mr0855557222a22222222i3á7g20meyu2mmua222222g224yó:4:62 y.72222222222nn0cH2222ussn22222mpuu2mr8m5nn2mm22H((((s22p?yu40.((22tyeecga11447lce8yyo t1455miyy02222222222i.22oyso2222s225yyyyseyy/022222nny(2t00262262uyy22loggn0a66002222º0m002c22sgyyyyyyyye6ugg0gggggg22hh0000222233q00c22yyyyigggg ((gggg99h00º223q22c.00lsr 22vvvvh(ggor9mm225css00000000222nm0l2vvs6edo992om2cs00002ugggg..sáevvvvvvvv22e9oouu00eeu)ggso.ovvvv2e6688u055e551s..oye68566599//e.sn5x1c88e/nn6c9s/55eu551rn44g00998n2lmmsss50u5n4g0s00u9..mmms8aiiua0s22.m8u..88))g00..d222g5mm2esu2z.m8)g0t.662l88m22222.2l((ddn6122ymm8°22daet//uu(d8u2syomli22mm/mmu22yysssy5((a1//2uss//mmo2yHHzsmmaz(emmn/ures/8990nHm22creee00mss((ss))00229.0[[2223de0s(ggdas)022a2[2n//a9g..s222uº22tnnn00s/ua((//.2s33222//2900n0ssod(/223a2/a))7e055sess2ss)99uea55cls22e0s22229usmm002o9n22lc9922mn0..99n999o55le2((n770.9953388..(7a..d6638.om....88u.//an26nd88..8u/..00888n00mss11mm.08eeab55mm0s1m0e665m22e))/26))mm33lu2)lz)lmm))m322s0b66m//lss77/ 2s//  6/..s7a5e/panss.s11ss00//e3s2ttttttt//1ds0/2hhtttttttdmhh))d00;/mmgssir22a((((((()88ss(((((((ms222aaaaccay8saaaacca55rHmm2o22sH))mm.s0a5aaiiiiias22aa2iiiii)srrrrre6/2rrrrr0//ee1ááisseeveeeeeeyáá55))eeeeee/es55srrrv5xx)ss55rr11))))1)xx.)))))mp)).ss1))Feern8n5555544555555255a553e5555552o444222lcó522l44,211o25la1r..t22222dr222222.22s11c1122u..sycu(i0b11(.nm33eee1lea355..10yis5.y5.222225l.882222222222yyzd22l2nyy83sn77la2gmm62022gus60722yyyy5m44ggggcyyyyah0022gggg3eh00p22432a(gg9n(egg2902vv20l2vv2s000022mmu2s0000d29a2m9d3gra.vvvv2g.un0vvvv2ceu0e685658o52.lo5.60sss69o8nqa8s5n5450594i2m0y9u.m0m0.m.n2ru2.0.2.8.0e.m2m682:6082(d2mi(d2em/uc/u2cm2y2m6m(2y/s(//Hsm/mHmmt9290si(2ds)002s([2s)02[2gi2gam2./22.022l0(/é32/(/032/0s2).2l5)s5ss9s922m0m09292.995.9957738.38.....8/..88/8.08.08s1ms1m5m5m662)2m)3m3mm226/6s7//s7/..ss1s0/1s0///)m)s2ms82s82s2552)2)22//s5)s5)s1s144554411..11.11.335.5.887m7m44
¿¿ttAA((aaiirrqeeq)) uu55éé22ad22lit22su33t99ra66a..n8844sc..mme66ia//mmesscn22//acsseu55ela11n33tpr..e11a88lolasstavednetalanba?ase
a) del 3 Calcular el ángulo de elevación con el cual debe
b) ser lanzado un proyectil que parte con una velo-
cidad cuya magnitud es de 350 m/s para batir un
edificio?
blanco situado al mismo nivel que el arma y a

2 Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial 4 000 m de distancia.

cuya magnitud es de 400 m/s y un ángulo de ele- 4 Un avión vuela horizontalmente con una veloci-

vación de 35°. dad cuya magnitud es de 800 km/h y deja caer

94 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

un proyectil desde una altura de 500 m respecto 5 Un jugador batea una pelota con una velocidad
al suelo. inicial cuya magnitud es de 22 m/s y con un án-
gulo de 40° respecto al eje horizontal.
Calcular:
a) ¿ Cuánto tiempo transcurre antes de que el Calcular:
a) La altura máxima alcanzada por la pelota.
proyectil se impacte en el suelo?
b) El alcance horizontal de la pelota.
b) ¿ Qué distancia horizontal recorre el proyectil
después de iniciar su caída?

11 Movimiento circular

Un cuerpo o una partícula describe un movimiento figura 4.12

circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Cuando la rueda de la fortuna se pone en movimiento, las personas (consi-
En este movimiento el vector velocidad varía constante- deradas partículas), experimentan un movimiento circular, ya que su trayec-
mente de dirección, y su magnitud o módulo puede estar toria es una circunferencia.
variando o permanecer constante. Por tanto, en un movi-
miento circular una partícula se puede mover con rapi- Para estudiar este movimiento es necesario recordar
dez constante o no, pero su aceleración formará siempre conceptos ya mencionados, como son: desplazamiento,
un ángulo recto (90°) con su velocidad y se desplazará tiempo, velocidad y aceleración, ya que son aplicados a
formando un círculo. La aceleración que recibe la par- cada una de las partículas de un cuerpo en movimien-
tícula está dirigida hacia el centro del círculo y recibe to circular. No obstante, es conveniente resaltar que las
el nombre de aceleración normal, radial o centrípeta. El trayectorias de éstas son circunferencias concéntricas de
movimiento circular se efectúa en un mismo plano y es longitud diferente y de radio igual a la distancia entre
el movimiento más sencillo en dos dimensiones y en dos la partícula considerada y el eje de rotación. Debido a
direcciones. ello debemos introducir los conceptos de ángulo y radián
(figura 4.13).
En nuestra vida cotidiana observamos diferentes partícu-
las (recuerde que cualquier cuerpo puede ser considera-
do como una partícula para su estudio), describiendo mo-
vimientos circulares, tal es el caso de una persona que se
sube a una rueda de la fortuna, una niña que disfruta en
un carrusel, o una piedra atada al extremo de una cuerda
y que se hace girar.

Es importante señalar que el movimiento circular es un
caso particular del movimiento de traslación de una par-
tícula, ya que el eje de giro está fuera de dicha partícula,
como puede apreciarse en la figura 4.12, la partícula (perso-
na) tiene un movimiento circular, pero el eje de giro está
en el centro de la rueda de la fortuna. No sucede así en el
movimiento de rotación de un cuerpo rígido en donde el
eje de giro se localiza dentro de un cuerpo rígido. Ade-
más, el movimiento circular se describe con el modelo de
partícula y el movimiento de rotación con el modelo del
cuerpo rígido.

Las expresiones matemáticas del movimiento circular se
expresan generalmente con magnitudes angulares como
el desplazamiento angular, la velocidad angular y la ace-
leración angular.

En el movimiento circular de una partícula, resulta prác-
tico considerar que el origen del sistema de referencia se
encuentra en el centro de su trayectoria circular.

Grupo Editorial Patria 95

Física General

Arco de longitud B
igual al radio (r)
u
radián nr A
rr

rn

figura 4.13
Un radián equivale a 57.3º 5 57º18’.

Ángulo rW 5 vector de posición
u 5 desplazamiento angular
Es la abertura comprendida entre dos radios que limitan A 5 posición inicial del objeto
un arco de circunferencia. B 5 p osición final del objeto, después de un intervalo de tiempo

Radián figura 4.14

Al pasar una partícula o un objeto de una posición inicial A a una posición
final B, experimenta un desplazamiento angular u que se mide en radianes,
grados sexagesimales o en revoluciones.

Es el ángulo central al que corresponde un arco de lon- B
gitud igual al radio. La equivalencia de un radián en gra-
dos sexagesimales se determina sabiendo que:

2 p rad 5 360º C A
D
[ 1 rad 5 360° 5 180° 5 57.3° 5 57°189 u2 u1
2p p u3 nr

VectoTr 5dseegpunodsoi1scctiriaócnlnoscurridos
y despf l5anzúam1mesreoigedunendctoiocloas ngular

Sobi joebtosecrovlaTomc5aods1foeeelnnmccoiimcvsliaomdieentuonddeisucnoaqupeargtíicrual,apooddeemuons rW 5 vector de posición
dpererceisfearresnufcip5aoTe1silcecióennnctsriiocstlodome alamtorasyceocmtoorioaricgirecnuldaer.l u1, u2, u3 5 desplazamientos angulares en radianes
vdvee5cttioeutrmqpuoesenoesncinodnitcraarráá sistema  A, B, C, D 5 diferentes posiciones de un cuerpo o de una partícula en
De esta
trayectoria circular
forma el su posición para cada figura 4.15
intervalo determinado por el ra- Al pasar un cuerpo o una partícula por las diferentes posiciones A, B, C y D
experimenta los correspondientes desplazamientos angulares representados
dddcteoiei.sonclPsdaooteacrsneiltratacdencuevvyitnsro55cfps,euulera2DnDedlcpfutnieevTrc5,rreeaiesccadunutct.o22ci5Ccóri22aanud2m,tTuaes1pm1enbpridiseoáoomnsdliaeocrelaimqópoduniob/ssesjmteiecptanioeódqrncmruoáselaeountcepneanoacdgdeomarcásaeoogelnbxnrsraptieatdruneeido--l por u1, u2 y u3.
sar mediavnt5e 2dpesfplazamientos del vector de posición, lo
60 minutos, y éstos en 60 segundos. Una revolución se
tcou,aellddaersápvllaumzg5aamrviafe1n2dtevos0palnagzualmarieenstolas angulares. Por tan- efectúa cuando un objeto realiza una vuelta completa al-
magnitud física que rededor de un eje de rotación. Una revolución es igual a
360°= 2prad.
cuantifica la magnitud de la rotación que experimenta
Periodo y frecuencia
un objeto de acuerdo con su ángulo de giro (figuras 4.14 y
Periodo
4.15). El desplazamiento angular se representa con la letra
Es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta com-
griega u (theta) y sus unidades de medida son: el radián, pleta o en completar un ciclo. En el sistema Internacio-
nal, las unidades del periodo son:
cuando el sistema usado es el Internacional; así como

grados sexagesimales y revoluciones que son unidades

prácticas. El grado sexagesimal es aquel que tiene como

base el número 60. La circunferencia tiene 360 grados

sexagesimales, cada uno de los cuales se subdivide en

96 Grupo Editorial Patria

[ 1 rad 5 360° 5 180° 5 57.3° 5 57°189 4TTff5555vvvvnT1s1f5555úeegme122uDtDnunpepustUnreTfcodc5rNgiaiocscdsuId1ulDstloeno22Act5drc22iDacoi2cnltTuo1lps1ocsuernrirdCaoidns/esmática
2p p
Velocidad angvu5lvautmr5mvf e12dvi0a
tEúsaFeurl enncúmumT[óeev51nriolrcsaedeidnTTfafge555u55uvnTn[fun3T1s1fd52e6úe51sope0lgme1trs1ng°nsauaneúectsu5sdnrrigme,canc1odc5gui1rnlideocseoscdsu8nps1lrso3evloe0cnodo2.6goct°udoprc0diul1ar5csuoi°erncnlcicto5l5ddrscioiao7ccoois1cnul.s3ol8psero°0rcssi5°udor5o5rcsi75di°c7o1l.so839s° 5 57°189 van5guDDlutar5dute22 2 u1
que efec- u2nt1cuerpo

Cuando la velocidad no es cons-

dCeomlaofrpeucfeu5deenncoúivbam1s5yesTrelutovag5adufrr1fenseedcce,ouinceelloncpscicseilaroiaoldionveeqrusiovadleel al inverso tvaenloteciodaudniafonrgmuela, rpomdeevdmi5aos2apdl Tecrtaoednrmo5cien2Traprlalesanmmraaadgg/nnsiittuuddedsedlae
periodo. la velocidad angular invic5ia2lpyf su velocidad angular final:

dNootna:d  e Enmc:oúnómdvTovvfeiecl5555raeposnaT11fDutiDodsuutvvvvneeean5nme555nvsqmvvv5f,uu2cu2DtDc522iie555pspieuvcnstces22lTfltuTlf51so2ruDtDaosatt1eup2su1otud1ueTtrev5or22(ne5aRl022epdruPtcre222teTuMoi51vpcs122sdolc)o2u,ltuTueu1pct1ncacehilreoaeaennrndser/qeusasulndqec/ufasosesenoóeedgfxeerpcaurtfúeonsaeqduuiesne-l vm 5 vf 1 v0
2

donde:  vm 5 m agnitud de la velocidad angular media
en rad/s

vf 5 m agnitud de la velocidad angular final en
rad/s

v0 5 m agnitud de la velocidad angular inicial en
rad/s

zlLe LLdc duq(a3ainaaaneouVe6msnten0fmcemeimdugitu°rteelae5anmuaagrdenoeg:ggrciieer ietrdv2inpnnncbnvoaóunoatpioivvvaietintttatla555rurumudeumeyre55nd3dsdacdnmgom ts5m raeile3id2ia2eaosudselddddiapaadpgenTTl8vaCCavva4v4vffvml1et3temaoenggaiTTrTf[vvvvfu2e35n55imfefciuursrna555555enrnnplal05Ran0ssea1loam5s551a5555eenr2tr5taiuciovvc°Tg0d1dPspnntoa1t17rfrr522ust5oarvnpun3u).TvvnmTp1ppo20Mms:1eof5215fuD.tTT5vaD.p[vvvvvfvn5m3c0e1faoodgúede.ispm0ootncpDDdeL5u52itt1.lr5m7ffs5rel551.llgm55552tt3ecru5beííoTfuq(la3od→→1av2mmmAB722q5e1S5nosrlTps3u5rd5nrcdird.cuvnsuo00peeas.T1)2as:os1ufc11e2isuDe:taDlnia3efuiDDtDserúveped6dD3efdpi4u2sd14svcpdae5TxT50dl[vvvvvfr°tuvodlctdm2faeluvg60m1e6etga227eppi0/tea12pTftet51ie55scomc5mraps5ef555n51s0a5555r0cdcau72ndsu22enodi5dlvr5u1sdinelsa1dvfnltsr°25coee5n5rnri11ereesond2soerrddrTc123eransu1ft2cticDulTutaa0Dst5load2c4dsacDl521saooprvúrseacoeD6gparan22ii10ipoandpuviadea.5tt.odcec5doópdessisenmvgm0cd530su.22gúteclTf1cg101ndglell/s1ampn/5vf5nol3r°g6ue1aooei3nnlscu8a.so72puenps/ua3d1olot7ctsTu2nzucna5a(0asdqcl1.rprrrclld93enasl1eui1T5c5a1a1o5etaemalaodca°guuzc2ouivr6ga22dlid77r mn1c7sitrfdna5dl)raocnrrcpsr5e0cdraee0sboud22,./loa8e.ro1amsl/pssidi3aroit3irl°ncioeeoained.s0tesvceaceod2r5ed°n/oos°tctuTtusinne5es°ude/vsm1npr7uvcreogi51pds5peapeedrac/uro5i.tnuasu13bcusrolnnslsrdesn2ardettoi2l8°leie5upsdoilc/opaa7ézne9elo0s5csd7aioisraonlfer0:az°u5.ernrsrs,mr3et5n4aneare05uiegs°nm7r5eetvdg9ceileiua5e°.xmd5odu./u6trsi15lnsppni7leaoea:le°e8p5u°at.urusdsnrl3mo97ocerpet/c°°icsosleedpóddi15aaoannneoaee8--r,957°1dembcCcqefncymEtStsitmy8gorieiouusl9ueeeiceamIdsM(gaosrooásnupmytenalMenmuymudevvsnncáar(earmvee,ooeuaeoiipénaolemmtoemmeemcvgdcnnCsaoogrullvgeetnssiitouaalscvaii.soubaumrnaooeeUete,cgvicnrlierlaanramsmnncimenisoinlillepórcnevmaaMtt)iitmammsgaaiiieoonncrtóuettrecegloiamruaniirtouoinnescuiago,zyeeCneddlrv4ev-syniatppauesericoocua,iitdtdnttrcUdmismcduasioauedeepcruasiiutamlelmccsdtcoiieeieeesaldnsineebceuaosrezporsardedidnimtnilerplnliedmaagaepeaayeeqttceóvauraorunaoccrrrneoouaoanevepndnosidiundnnirdreutctnedsitidee,unrdrrdsofiii,enliiloóeflocuelaldeoeicílceaidalafntdncarsmmccuren,couiym)utvetalnerviefl.trppiiíniopqadauaeanrlmneEaeceílavorgupmaenltmleurtngrareeiasedeaeriaeteoomaeuadrzrplclrn(rcomcipnzaaaauMeaniaogltvgcloáernyadazfnuaam,oguuaeudreeenCe,g,ofigdpncaettnecmfntcrbrspiuarUonnatoioulrtetutafociee-calmperrorioocni)ayrtrmisirrtiaodrortuló,sqeraaáme.fcoemvi.ieerinedcuusgacucEorreelranPsqtneteeaionueádilldróeonrdoulocmdneeriníeleotnretyutercncepomrclisurndeinaoccaigelttotmiócdldpaaiulegoayoraofianladoeoánrnneeeoílvcod,cvdnutreftrcnatdvpoeiiumiecetopelntcesiniolamooll,rodamoatnidcaaodrseafnrc.seeuaeotetrcimaicinsiAíaandneerpsidcctuecdunmócvnarétduadiasiniuapónrtvenanteerltdeeeiinondioaeaazs------ll.,,
Como T = 1/f, ldave12mtmaea5rmgvninifta1u2rdvpdo0 er: la velocidad angular tam- circular uniforme sólo permanece constante la rapidez,
bién se puede o sea, la magnitud de la velocidad lineal o tangencial,

Grupo Editorial Patria 97

Física General

ya que ésta cambia de dirección, misma que siempre será Velocidad lineal o tangencial (yL)
tangente a la circunferencia y, por tanto, perpendicular al yL yL
radio de la misma, como se ve en la figura 4.16. La velocidad
tangencial o lineal representa la velocidad que llevará un
cuerpo al salir disparado en forma tangencial a la circun-
ferencia que describe (figura 4.17). Este concepto lo vere-
mos con mayor detalle más adelante.

figura 4.16 yL

La velocidad lineal o tangencial ( y L ) cambia constantemente de dirección,

ésta siempre es tangente a la circunferencia y, por tanto, perpendicular al
radio de la misma.

yL

Resolución de un problema de interpretación de gráficas para MCU

En el movimiento circular uniforme de un cuerpo u (rad)
se obtuvieron los datos contenidos en el cuadro 4.3.

cuadro 4.3 Datos de un movimiento circular 50 El valor de la pendiente de la recta
Tiempo Magnitud del desplazamiento angular representa la magnitud de la velocidad
(s) angular de un cuerpo
u 5 (rad) (v)
0 0 40 (v)
1 9
2 18 30
3 27 Du
4 36
5 45 20

Dt
10

t (s)
0 12 345

1 Graficar las magnitudes del desplazamiento an- Como se observa, el valor de la pendiente de
gular en función del tiempo, interpretar el signi- la recta obtenida representa la magnitud de la
ficado físico de la pendiente obtenida al unir los velocidad angular, cuyo valor permanece cons-
puntos y obtener el valor de dicha pendiente. tante, igual a 9 rad/s.

2 Graficar la magnitud de la velocidad angular del b) Como la velocidad angular no cambia en su
cuerpo en función del tiempo e interpretar el sig- magnitud, graficamos el mismo valor para
nificado físico del área obtenida al unir los pun- cada segundo.
tos.
v (rad/s) El “área” representa la magnitud
Solución: 20 del desplazamiento angular del
Cálculo del valor de la pendiente de la recta: cuerpo (u)

a) v 5 Du 5 36 rad 2 18 rad 10
Dt 4s 2 2s
u 5 vt
v 5 18 rad 5 9 rad/s
2s t (s)
0 12345

98 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

11

33
Como se ve, en una gráfica velocidad angu- ldiezal ddoesppol8a8r22z0ea0°l°m3c3iue151e5n7r7r.tap3.oa3do°d°a.55nP1go14ur4.l3.ta3a11rnrrrtaeaodad,ilailaianzneamesdsaogennituudn
lar en función del tiempo, si la magnitud de

OmR2134 buetlSpUSSvfDDtDSuU¿uDlSs¿esvseta CCeiiq5uooo5oonrPlslno5nnaaeepr55aaggeelllluuusaaetttluuuuylBplutooeim0?imcáá1imrauvir??crccccov rra.sstnul5aTTnl8CCvv4v4fvfu1e32aiiiióeubaamra oscóóóódee235t55ecelvsgriuutcc55ls5555ospnnnnofrsg0o0eiiuiaecdTTiio8CCavv4v4vfvfreern13esnpócoó::::°lTs0oenud1lnpea1a2n1357frrr5522umtnai?iuuiaorn553.5555Trnrclppp0 ctimtl0dn150.5pslaee3qq0rreeur1auo85mtu.omoo°Tf0ya1pAi2d111n.7r5rfrr722suauudtn52nó3lse53.Teuda3ppp0dmABa1a5.75itp1crve0si3358rCC0vvvfvfn1r13adde.lr.moonetetpgsr.Dat4:11e2:1º2.er57a355ffsrcmalnoegt3euup5rsí,6a55557de4na32→141vem5a5AB07°22d1imnrucs35erliee6rr0e27rtda./qa01iy°Ts.0ra:1p151ceomio5:rlidtgl1ssi3rr022ust72DdtaDagi5eve3ít6.Tuosadu4i21dpp40vr5d501nr5°5enpau5cmf5r3ei10ncu1dm60sntrdd7a0rdi./d1oeornuusld5cem52v1lia2.tor5s40se5ae72odroii55póae5so0ecicpa35aodtaABunda.7.5dsc5cs5s5ri1i513usslrt.robrdr.do0rnedls.a/na1l:ai1o5:ao3p2i643ee1D5a3rdonrsrD5.7ea0/dn34p241azl5e57edal.n.°:lnn5dssvvv75.3rear.ta97a5e1e10c551dld1/0?15c5acc5ap.e3613t72szcsm35.t77r7vám./3e7isiid,dr7rirrar5.á5camsra1.º.1er/ear9re.sra1a/e5r5i131rci5l3ardanl:ea2a¿4didslaevoserdpdea7l7°auaó7os°dAdraddraa.n.r.d/nsvrv5./3aaincen.5cal/s5is3dra/oev3ra/at3a6cd1dsu3rveisde,Feso°c/sse°dFnarana2e/v2ascdvu8eróCCvvvmr153l1s55óaeal1st87TeCC85vvvCCvvvffal/1r9oa313el2eárao7sudues1ner2s27555d55rdi0rcm02reuuuu5l5255nd555?sm.e5ac0ee0.gacai4/i3°a7q0y3eeee9mtdaao1dsc°rru°2ouT0dtm5u1°oru3119nT°1rr2frru22u0utpp0tnarta5533pTn.Tal.ppo0app0usl5.155ál5pg4pr6.5aooidel0350ada2.s1.oovr5ooinon5°u2su211s9r5°.gqór5rasteAB27a52a.aase3graABAB.n7l7d6rurjvss7r5.r5cal:9a8d:d.nne3naeu.s.ea:a:°1:e:u°3d34h0ir2555°gdatd4dl42455m550°°7et4oea10id0-osu757.11l.72r555c55º9oee272s72--55.5.ii1.r655cr1511errar4rarl°aa2°44aaorrda.dn3dada...ddsd53331dd3/t336/1133s//sor1s5s15rrra11551155aaa77d6r57r777cddrd.rar.ra i3..a3a..aaa/i3id3i3d3°aad°dsddrnSftcpSSSD sEDdvuHdS°°°° nnvfT5u5iceue55uoeouun55aa5a5ae5e5slrlsss5r5cugttt2ls2usuuiódd2tttoo2li432o2o?7ua9eiii?4ccnl77eess59ttt n9??d3 ram0mii3luuu5 s 0óó0tad5o544r0pmccc0lrr4nn4pirp0a0i35aiii9nlds55róóóu::vToT98aCCaa9vv4v4vffvimc.013r.c6mpne..nnn5.2TT8.35aCCaz5uvv4v4vffv551261im635iouu5TdT5n855C5Cvv4v4vff5555°lrn1u3m°0a2035551s°2ayu°aimsTTeiaCCa°uvv4v4uvffv°ayyy2eern5535et5555555nttTT°duuaCCaT0vv4v4vvff0m550155551spagvns 1vo1357055rf1rra52e22er02uimtt55ituumn553°555355.TrrrTe08eer55n125im1ppp0pminuu1o15s0a.1tn55°57Trfrrs555505p22unvt1si5eeemp30a1eer11037t.rfrTr52230sutte..ppps0moomtTl01a5eeri.3DD5a.1Tt54pp5sv2tpssspp1011m37.r5rfrr057T1u225r1ff0su.t5t51pllptt3n.1moo53ta1.ííT07rfrr15e22gDDuuuuap5t3ppsu0→→5ummm2.AB115moo.75.r5227.pT1ffscv3llppp0s33tt523mr0t1115g5..rr5íí57spgd.9.av3lll→→nmoo00tdmm33eAB0s.15DDo7a2i2:111e2a3.r.:ttts3moo.5trrAB73ffs7rDDoll1n1DDdtt.3t2Dusv00355aadaríí.i6rDs7.pffsdr4aa32:→→14llv1d1mm.ret5tAB53:0522°tíís31.da4n:am3→→s1D31De5tmm:DAiBvuvdrdd60an6232tDa1a7dd.um402/1t400vs13555s0tr°6:1d15ce4dm.52:me14ve0055ss0uvd60°uooot7:2dDD7n13t10edDm/t:i5v16D5s604i21q4v75DcD5m55t/,0Dsn1vs6D045csmss2721455dcv/mo5g5i51i50u1vl60sts5s070ri/7t2m1urnai5nsuav60lst5dc7mi0p5c/t751as2is14n01uD5as72or5cr5cmi5D5eri15esnss100isl.72re3noi5da.a2r.n455sdD515caivslol5rcvíi1D5na32ss4.t05ra5coar50rnir1dda./.g1l7s50deorsav23rc6n5d1a.D53al.3o.l5trdssD.rd705a25d0/3/3D5aa1.moirln7odaD.036,d51d/0351ssrsvo5..da37.re6r.t195/d33s1s0v55md17.51s/7a15.t/3aasi3c0v67u.dr3/sr19s.1s7n7375516.1/r397r3s59d4asdrai751e.ri755r1o1c/3n5saad.7.r/77au9e.7as1d.sd/55r1i31l.rr7r7o5r3ra9r7FFsd1a5dra551o.ra1d/ssar5vlee.tdaav e7/a74°i3.vr/n7aus°TTd83ae.aCCarvv4v4vvffraoóó1ru3/n7ri7a3crdds7/svv3edrdrv.rvd/era5°are.dsa52°ve35/d551s2.53rime.rr/ni°5ae53iruaue.//°5avun55m5555/nve3dsrndve/3dr05/v0mmae°sss5vrdsss°mevde5da/eerstnes55°2lt/ev°2a°Ta/0vn1aspov5s21/1v7frr2rs5522u/vtuu5s7a2s/sd95o23d.Ts5gpgpp02smcp15/2.5tpspve7ll309v01s25.7fimoo2nutaa9DDf22ar1fd2.rr5470ffsi7ll0tt3595ssíílái0mae3→→7mm5nAB97522a4at19s305r0r4d.5cu000sg.0.5adrd:11e5.:9i4365uDD0t5Dd9ve6D4.d4u214ev055.0y5°°6.m9ae°5.nuv605t70/t:91l5.d°5cm5.nn°as60.t°e725.i5°5s6ieo5nr--°5cl5°i11s°r°rnla24D5aorD0da..5dsv53.t0d/13613s.7/37s.rr9155115aa777sddrrr./ae.a/i3r3radsvede°°n/vv5s5e/ss22
T 5 0v.5inssat i5nstD5ltí→mT0DlDtD5í→mut01fDDvt ff45350T1T1rpm v 42v.73i1ns3tr5.a1d4D/ltí3→sm03D0D.ut17850resv5/s 5 4.71 rad/s
3 1 min 5 7.17 rev/s u 5 847.8 rad
60 s 5
imnst5152vatDffltí→m22T403Dtv5D00v0t7r5p.1m7DD13vrt1e1vm6/ms0in5isn05.173.vf91Tvf4575s555/r0r120eep1.7215.vv30m15.301/.ss5G.7s33535.1r5sr1.su11e24D6p24vmu05co/5csiisciE1nc51ld2ol25oi.0st5.so5/.60/1s6rs.3ir7ara95aldPsdr//e/asrsvetr/vsia vf 2 v0 Dv
a am 5 tf 2 t0 5 Dt
a
a inst 5 lím Dv 99
Dt→0 Dt

1

Física General

Ejercicios propuestos

1 ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento an- 6 Determinar la magnitud de la velocidad angu-

gular de una rueda que gira con una velocidad lar y la frecuencia de un rehilete que gira con

angular cuya magnitud es de 63 rad/s durante un periodo de 0.1 s.

10 s? 7 Calcular la magnitud de la velocidad angular

2 Una persona se subió a la rueda de la fortuna y de una rueda q1ue gira a 600 RPM, así como

E12 M (MCUA)yldctdrCsvLmcloaiíeueeeAVeoaeauinálcqsn,vcamots345eptmtcludidoetanco eoealeeeeneliardmrodlogsUrgcaCeUrcisamlolaaceaqaianutlnupucennamliadmcduoaieddccgponnmlitonrvieeocniduuamaeuaddarsrmtiauasmrdcrdingremcsrulnooósaagaiileiqua.cgnsóeoc.aadóvnivnragu.dluevioisoedr?eitaentid7nen.¿ólleixtuollraglglCu evai¿2topaadcsntroeAuaddiec0uuuro1mirnnvluTT8lCCdvv4v4vffvenei13sm0dafná add2ceo2arme35ms55ea°iuug5l5r5555neeuu0alau0.0ddlgstopiTTn8peeraCCavv4v4vfvfo1ee3td0áu°nT0¿ren1vespude1ndc172efrrr2235u55r1t2v5nimsaCiuu3un.Tn55a5555anpppsg0mneei1a5r.05re0npiislyst30d1taeserpttter5ml.mutmoossaa°nTD0aai1u2pro1aueu.1ír571s7rfrrl5a22uletelpv5t35áíat3.uTaagc3→pmpp0AaBsmiac71ad5.15rodpnvs3om5rl3e0rlm1ned.ea0.uomootsnzta.ca:DD11seg:2lt1ae3n.r57odffslDatlldDcdtt3uáp6e5ailzííde4214iveaa3→→55mmoABsr°7g22rat1meens35ruri60aantlcrn7oc/ado.gr100issc.seca5c:m5ur11el:sg0a3aeim72dclDDdi5tDemvusn6Diodr4q214vrain55sm0ecm°c5cuo5mii1oa1eorsuv60caatrn7i0/tirn1iucrnilina5ctmt5av2le4scrno5ssau0óonrd72nei5iau05esiccevda.ei.nan5ndretcfsny5cd55uiie31só1.rsudiero0cedr/nla1tlsgó36ao12nq24n3yodD5asooirlauru.p7Dnp/t30nf7nandda.i.me05cadsusv.nro5uro3l9ir.tae1iate551r01ds5/le1eaainaa3ir6g1r3aneaqadsnrn7st7.7áv7s/3dnmdrrdtar7raaunssnm.g/uaae.gre.craa9cr/t1mi3r5e51n13rn5duaaraaelgddse,roevuedoule°77cae°i7sdtedrn:rósrc/nñvuunnelvláe.av/a5rce.as5in/adi3arevo/3ronslnuadnendsuovnedapsuea°?rserri°t2notl2.ear/vlagvrerqtmnoo5e0s5n7reC9ea/icnqur.uecuaóf.sms0oró1me5t2uur2ili?emne4nvdaef0c7f7e9aesar,i5iprt9a5icddn0leteo5nupn.v.drray064dai--50seoaeaaaas°5rdu°o9rr-----i,..6m5°° e u aCcCssdmeioAeGdmanguuc89rnaeá aeu anelcrsrananeailnosD¿gslcdudmáegdaddcaCug,uiauuanpeeoeflóurotillcundlmrnncrieatlDvtavelpeeaeaeeaácualsitarrlmal0liderrltadnlleaigtiaa5tmgd5aaronzenqoararrinceiseunrsasaertuogacii-t ltelm rceayncóitaailá4desnadtitnemamridneinaoln0uaeeodvóióvmittcdmnrgemonedda/niueearldntdeoispaavnleelodcnacoe/nemoed.doaieilrusg1agutcmeudedaian/r.nu0d0ádniuasnenedpgTTl8aCCavv4v4vfvfud.inl3auisalmt0eyctaam2a35ur5512utnimlriuuuomen55d15555nnoaiivadg0ad0rssliesaradeers2t5etaetndu°dTn0vóc1pami1ua1oa7rfrr522uyt5ozrnam3u.Tdieutllvppp0scm15ne.r5poavea3g0p1astelesea.imloomtmnDDgao21m.talr5l7ffsapocvlldgdlett3n5ííagmla3→→uemmsABo722eráe1aeqlgls35eriuerrdn..,nar00los.a:lsd11ielc:aacua3asvneDDlutoDtvgzi6Ddt4214uvo55i0grdát°cpeeimitrdcaaguv60tiu70/tu1aasielannned5clm5eriso0mó72oddei5lnan5osdineisqingsnd5cc5ains1vtn1aseroiarn.rpudduliiisea2a4dtD5aortdadr.D0eEeee-teedsdda.nr.oad5dsnva5a3.atgquíñtr0uxd/ep1ta4v3dg61e3vnesdouu.o7inp/3re70musuadlsgene.esorlr9rla155l11ai5alat,lndouceñxdnoamo777nsdldmrlrcmáerslioovera./saace.aamg/ia3ir3sraiaadn0dusdqverddep°urm°myvlang(.a/eeuviv1es5eles5dneeodn/ltrieaa5)alesietlispiacgore2,c2ittman,rueouiuc7innl9eneatasem?dineoi0qn---5litr4up0uedddp59ndeoeeeo..65°°
del desplazamiento angular-tiempo
am 5 vf 2 v0 5 Dv al cuadrado, para el MCUA
tf 2 t0 Dt

donde:  am 5 e mnagrandait/iusns2dt 5deDltí→mla0 Davceleración angular media Al realizar la interpretación de las gráficas para el movi-
Dt miento circular uniforme, pudimos comprobar que tienen
la misma interpretación de las gráficas para el movimien-
vf 5 rm aadg/snit12udade la velocidad angular final en to rectilíneo uniforme, con la salvedad de que uno sigue

100 Grupo Editorial Patria

T 5 7.17 rev/s 5 0.139 s/rev

44U5NrIpDmAD3 16m0 isnC5in0e.m75árteicva/s
Du
v inst 5 lím Dt
Dt→0

una trayectoria circular y otro una trayectoria rectilínea. to managgunliatur-dtiedme plao,vlealopceidnaddieanntaegmudl5aervlteaffn22cuutvn0r0av5agrrDáDefvtpicraesdeentlaa
De igual manera, al revisar los conceptos de movimiento la
circular uniformemente acelerado (MCUA), velocidad angu- lmaapgennitduidendteelddeeslaplraezcatma ireenptroeasenangintusat l5alar-Dtlmtíi→mei0mtDaDpvdtodael
lar instantánea y aceleración angular media e instantánea, 1 cuadrado,
también podemos observar la similitud entre el movimiento 2 la magni-
rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con el circular
uniformemente acelerado (MCUA). Por tanto, interpreta- tud de la aceleración angular  a . Finalmente, la pen-
mos las gráficas del MCUA como lo hicimos para el MRUA.
Veamos: en una gráfica de la magnitud del desplazamien- diente que resulta de graficar la magnitud de la velocidad

angular instantánea en función del tiempo representa la

magnitud de la aceleración angular del cuerpo.

Resolución de un problema de interpretación de gráficas para MCUA

En el movimiento circular uniformemente acelera- u (rad) La pendiente de la curva representa la magnitud
do de un cuerpo se obtuvieron los siguientes datos: 40 de la velocidad angular (v)

Con los datos del cuadro 4.4 realice lo siguiente: 30

a) Graficar las magnitudes del desplazamiento 20
angular en función del tiempo e interpretar
el significado físico de la curva obtenida al 10
unir los puntos.
t (s)
b) Graficar las magnitudes del desplazamien- 0 120456
to angular en función del tiempo elevado al
cuadrado e interpretar el significado físico de encontramos una recta cuyo valor de la pen-
la recta obtenida al unir los puntos. Determi- diente representa la mitad de la magnitud
nar el valor de la pendiente. de la aceleración angular. El valor de la pen-
diente de la recta se calcula de la siguiente
c) Graficar los datos de la magnitud de la veloci- manera:
dad angular instantánea en función del tiem-
po y hallar el valor de la pendiente de la recta
obtenida al unir los puntos. ¿Cuál es el signifi-
cado físico de la pendiente de la recta?

cuadro 4.4 Datos de un movimiento circular uniformemente k 5 Du 5 25 rad 2 9 rad 5 16 rad 51 rad/s2
acelerado Dt 2 25 s2 2 9 s2 16 s2
Tiempo
(s) Magnitud del desplazamiento Magnitud de la velocidad aEdes5telDaDvvtaacl5oerl1er0rearpcar5ideó/ssnse22nat2n4agsrluaaldma/rsitq5aud6edr3teaiedslan/sem5eal2gmnraiótduv/idsl
1 angular u (radianes) angular instantánea (rad/s) durante su movimiento. Por tanto, la magni-
2
3 1 2 tud de la aceleración angular es igual a:
4
5 44
6
96 a 5 2k 5 2 rads/s2

16 8

25 10 El valor de la pendiente de la recta
representa la mitad de la magnitud
36 12 u (rad) de la aceleración angular,
40 o sea: k 5 –DD—ut–2– 5 —12 a
Solución:
30
a) Al unir los puntos se obtiene una curva cuya
pendiente representa la magnitud de la ve- 20
locidad angular del móvil, la cual aumenta Du
en forma constante mientras transcurre el
tiempo. 10 t 2 (s2)
Dt 2
b) Al graficar las magnitudes del desplazamien-
to angular en función del tiempo al cuadrado 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Grupo Editorial Patria 101

Física General

c) La pendiente que resulta de graficar las mag- vinst (rad/s) La pendiente de la recta
nitudes de la velocidad angular instantánea 15 representa la magnitud
en función del tiempo, representa la magni- de la aceleración angular (a)
kmtu5adgDdDnetui2tlua5da2cc52eo5lnreassrdt2aac22niót99ensrea2snd:g5ul1a16r6rdsae2dl c5u1errpaod,/sc2uya 10
5 Dv
a 5 Dv 5 10 rad/s 2 4 rad/s 5 6 rad/s 5 2 rad/s
Dt 5 s22 s 3s

Dt

0 1 2 3u v04t at25 6 t (s)
2
5 1

u 5 v 2 2 v02
f 2a

Ecuaciones utilizadas siSneiicereiladmlu(ócvve0i)nl epas:acretero3d,.e21 yl..uuuu  lrauuuuuuuuuu5555es5555555555pa2vvvto2r2avvtaa22vvvvvv2fffse222aaott001t2222ffffffs2tt22,2211222211evaascuvv0vvuaat00220022ttva22tteciloonciedsaadnatenrgiourleasr
en el movimiento circular 3.  uu 55 vv22ff tt
uniformemente acelerado (MCUA)

Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular
uniformemente acelerado son las mismas que se utili-
zan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las
siguientes variantes:
1. En lugar de magnitud del desplazamiento en metros

hablaremos de magnitud del desplazamiento angu-
lar en radianes (u en lugar de d ).

2. La magnitud de la velocidad en m/s se dará como mag-
nitud de la velocidad angular en radianes/s (v en lugar
de y).

3. La magnitud de la aceleración en m/s2 se cambiará a b ) Para calcular la magnitud de las velocidades angu-
magnitud de la aceleración angular en radianes/s2 (a lares finales:

en lugar de a). 1.  vf 5 v0 1 at
En conclusión, las ecuaciones serán: 2.  vf2 5 v02 1 2au
a) Para calcular la magnitud de los desplazamientos

angulares: Si el móvil parte del reposo su velocidad inicial (v0)

1.  uu 55 vv00tt 11 aatt22 es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a:
22 1. vf 5 at
22ff 0022
102 2.  uu 55 vv 22 vv 2.  vf2  5 2au
22aa
vv ff 11 vv00
uu 55 22 tt

Resolución de puur55oaab22tt22lemas de MCUA
Un engrane adquuui55rió22vvaa22ffuna velocidad angular
1  t 5 1.5 s a 5 v
t
cuya magnitud edseuuds55eu 2vva22 c5ff e1tt2lerraacdi/ósneann1g.u5las.r?¿Cuál
fue la magnitud a5? a 5 2 512 rad/s 5 1 674.66 rad/s
1.5 s
Solución: Sustitucióan5yvtresultado 5 200
am 5 vf 2 v0 rad/s2
t
Datos Fórmula 2 512 rad/s 1 674.66 rad/s2
a 5 1.5 s u 5 v0t
vf 5 2 512 rad/s 5 at2
2
vf 2 v0 1
t
Grupo Editorial Patria am 5 120 rad/s 2 20 rad/s

at2 am 5 0.5 s
2
u 5 v0t 1 u 5 20 rad/s 3 0.5 s 1 200

4UNIDAD Cinemática

a 5 v a 5 v
t t

2 S DDavDevU ab C6 SlbdbmvaSSvv a  a)e))n)eou))uott00 naaafef ra rlllss5555555¿¿uaadltt11taaaaaaaaaaaaouuuuuuuuuuuuag0suudmttooceCC44unmicdii.mmmm5cc555555555555nu55555555ressatt5050?26331igeuuiiuu/m il5d?v 5555óó....021111st22vvvvvvzasu1ááu1r511?55ccr22vvvveuttnna00880.a00ciar022iill000000nrl11?nylvvffd55mdsóó::rr..tttttt:alddao55ffrr88rrr22aaaa22 11rann11111111ffuurttaadaaa/c../eiaa00ddsd2266r22sr..snddeeridddtt/u55vvsdyyaan2odeaaaaaa33urrs//lrrrr///fdd2222225vvaalg00rlda nssassttttttaaaassrrse1raa222222//ddeeuedee22dd00dd3333dssme116ss//mmppl00//l//2a533ssésuuaassss77u00..rra5se55a22ac22nrrllree55..22rangtt77ss55aagtgavvrgaatssssiarn11dd22a11i22lndnnssssdduieo00dic556611ii/i11oo55talms33tctos..ua77rrsuc11u52iaa044r22pdrr4422iae.22ddaaddn...2200odll1366rrdddrre//c..d00d?aae66588caass//rremeeddu2255ssddrrea55rr2raa//22ylaac//maisabsrr220ss((addssnuaidd22ueed77))22óe //u r55((00vvv//22vssnssa77amd1nss1aaaaaauuuuuuaaaaaatFuuuuuu00ooef22F))oc22d4554et22mm((lló555555ssmm55555555555la5555óórreauus003003os/))raag2255srl55n..cc.p11...112cvvvl2vvvms1e55v5dd1222vv52vvmtantii08gli080ia02oo000r244000//1da01vf5vfuss5ri.tttr.tttaussmut5nn5r8tr8r2a1))r22z1aa211e111rr1lf221111ftuact22aa.lal.ee0daaaa0d2d262aa26rn.a2r.idddddt5sstv5vasaddóma0aagaraaa3r3ír/rr//rr/adnta222dv//a0222va0sstttaasesstttnaasrisscn222/d222/de2d0d3a2ds0d33322imussu11gt//np0dp//0//u3snd3syss7su0s7e0.tr.r/52d522aeoar2ere5.2s5.2--7s57sa5avvssss1d21d21122ssss00556611151533..77rr11aa42r4422r4222adad.2.20066rrddr/r/..00aa6586a6s8as//dd 25sd25rsdr5r5ra/2a/2a/a/r2sr2SSvaDb abfDC 3a uavSaUS(s(dsfvds td2e 0Ulc7d2ea72f2)))nuo))uoant00//naaaf5(r0uv 55/(5 0v2/ 525snss7llgs7ssa55sa555s¿vvuttl10aoaaaaa1uuuuuu0ouueaaaaaamuuuuuu2)2)ttooc2aC2d5u542(l24s?ff(ii2lnsmm2cc545555555mma555555u555ruhr55550ssutt0047a0212)3 /)l553u5aiiauu0crc 2l2as.csé55.ó.ócr.8g55.11.211vvv5uad252vvvádir121?se35cc2321v5e2ivvrilnnrta.08na1?008.o01ro4e/342iili000/8l2000ev1s1svf5vfóó::cr5e.ttstc:r8sd.tttn8in1d53)5r83/)arr8v2as2r2art122renn12r111u1fr2.11121ftas.et.aa/.eaaue..a.a/0d8a0d8a62612216sr. 2r.yds2sddstdgd5rvtddyy5vadc2a44aaa 3aaarra3rqá/r0rrr// rr//i/di222vda0222ava0/ssatttaaassrrstttadssrós3u3s222/deem222/ddalr2dd0d3d22d0233n3e seas1e1ss//p0//p/0//24ai3suu3s1vssss7s0s7c0.nr.grm0g52/u252lrl2er5.2eo55.211itts7s5ia7s5an9vcaaavn5rssssa1d21d2112a8ei2sisgddss24s2cta00565n16t11u1oo55n15e8r3la3ar.7.7r2arms.d1il1a12ana4ter2r4422r4d25242du2aadaed.t2r.e020.6s6errdd/d6ard5/nr./r0.sr0aeas68a6s8asce///atd2drgd25sddd25sresdriv52rd5aróae/23a/2ua/eeaab//52r2ds(r2/sc(dnsdssd2en7d2)es7)2m92o/1 /s7 /5(0v5/(02vd/2sa4a.snss7u01s7vsaaaaauuuuuu6sFa0o0o2o1us6)naaaaaa2uuuuuu)242552gfmm(ló5555552s(luFs5554rsv.rvrgmummr0v5555553u00555505)8)aan.ra3aóne25502.c.u11..c2.fvvvmd1555de5d22v5.dD11i2rr2vvvali1i0855520vvltvot2o000an4om//0814/a0vfu5usr2.ttts000es1svc05svfn5dr8nrt.r2ttta)2r1)d5111r1lft222r8tua2r2aa2a2ie1.2.1e11101dfeay/aeta26dppa2.r.d0dldslt265sv2r.ssiadrdadoaaasta3r5vffga/rarr/maaad3r222v/au0f0/srsrcs/tttdaeasd222uva0tssstttaas222/di2d0d3c3i2222/d2sdaf12d0d33na/pis0//1r/3sblpa0//ss7n0ae.r3sss7052d.2reare5.2-r-5227sr5ea5.2v7s5sasv1d21ss2ss1d212s0s561105536115.7r31.7ra142r422a42r42ad2.20ad6.r20dr/.60rad6r8/as.0/a68asd/25sdr5dr25sdra/25ra/a/2r2s(a/dsr2d2se(72dsd2e7/25(0v/2/ss5(70v/2s0oss72)s


3

vf 5 6 rad/s 1 (5 rad/s2 3 6 s) 5 36 rad/s gular después de 7 segundos?
b) ¿Cuál será la magnitud de su desplazamien-

4 Una rueda gira con una magnitud de velocidad to angular a los 7 segundos?

angular inicial de 18.8 rad/s experimentando c) ¿Cuántas revoluciones habrá dado a los 7 se-
una aceleración angular cuya magnitud es de gundos?
4 rad/s2 que dura 7 segundos.

Calcular: Solución:

a) ¿Qué magnitud de desplazamiento angular Datos Fórmulas
tiene a los 7 segundos?
v0 5 10 rad/s a)  vf 5 v0 1 at

b) ¿Qué magnitud de velocidad angular lleva a a 5 3 rad/s2
los 7 segundos?

Grupo Editorial Patria 103

Física General b)  aaaauuus)mm55555552vv2vt0001v5ttr21111fa022.dt5aarr/22vasttas22d0d3/0/ss0.525.5s21s0617ra42d.06/06 s r5r aad cbd2/)0/)2s s0211aaaauuuuuuuu2(44r05555555555555a335.c5d..11112vvvo71155vv/00880s1m220000sffrr)..ttt0255rr882raa22or111ttaaa..ddar66rrddda1vvdaaaaa33//rr/ddd22200rsstttaas1/e222//22dd333sss11vpp//7331ss770rr5322rree.22.77ss5aa2vv5ss311dd122sss6r5511155ar033..ad11º22rrd4422aa5522/rrddrrs..aa88aa2//15dd2255ssddp4//22//3rr22ss((3ssree7722.1a555((vv2ss77door))r55,a22llssauu00d))td22ecc../22niisoo44ennrrmeeaassodds//ss: 22
37 4 rad/s2 (7 s)2
 t 5 7 s 2
a) vf 5 ?
b) u 5 ?
c) No. de rev. 5 ?
Sustitución y resultados
a) vf 5 10 rad/s 1 (3 rad/s2

u 5 18.8 rad/s 3 7 s 1

a 5 vf 2 v0
t
Ejercicios propuestos
a 5 125.6 rad/s 2 25.12 rad/s 5 50.24 rad/s2
2s

1 d¿Ceuuánl aesrulaedmaagqnuietuadddqeuileareacuelnuea5ramcvi0aótgn1naiatn2tug2duldaer Calcular:
a) ¿Qué magnitud de velocidad angular lleva al

2 velocidad angular de 350 rad/s ue5n 120s?rad/s 3 7 s 1 3 rad/s2(7 s)c2abo de los 13 segundos? angular
Um¿Qnauagénrmiutueaddganeitstuuvddoedue5nvraealdaoc/csei2dleadrduacrfaiiónn1na4tel3aa.56ndgrqsauuedlgiar3urión2c?1dpuoryresaa.vd 5 frecuen-
2 b) ¿Qué magnitud de desplazamiento
22.85 revotluuvcoio?nes

6 Un disco que gira a 2 rev/s aumenta su

3 Si una hélice con una velocidad inicial cuya cia a 50 rev/s en 3 s. Determinar cuál fue la
magnitud es de 15 rad/s recibe una aceleración magnitud de su aceleración angular en rad/s2.
angular que vale 7 rad/s2 durante 0.2 min. ¿Cuál
es la magnitud de la velocidad final y la magni- 7 Una rueda de la fortuna gira inicialmente con
tud del desplazamiento angular que tuvo? una magnitud de velocidad angular de 2 rad/s, si
recibe una aceleración angular cuya magnitud
es de 1.5 rad/s2 durante 5 segundos, calcular:

4 Un engrane aumentó la magnitud de su veloci- a) ¿Cuál será la magnitud de su velocidad an-
dad angular de 12 rad/s a 60 rad/s en 4 s. ¿Cuál gular a los 5 s?
fue la magnitud de su aceleración angular?

5 Una banda gira con una magnitud de velocidad b) ¿Cuál será la magnitud de su desplazamien-
angular inicial de 12 rad/s y recibe una acelera- to angular?
ción angular con una magnitud de 6 rad/s2 du-
rante 13 segundos. c) ¿Cuántas revoluciones habrá dado al término
de los 5 s?

Velocidad lineal o tangencial yL

Cuando un móvil se encuentra girando, cada una de las yL
partículas del mismo se mueve a lo largo de la circunfe-
rencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a figura 4.17 yL
medida que aumenta el radio de la circunferencia. Esta
velocidad lineal también recibe el nombre de tangencial, La velocidad tangencial o lineal representa la magnitud de la velocidad que
porque la dirección del movimiento siempre es tangente llevará un cuerpo al salir disparado en forma tangencial a la circunferencia
a la circunferencia recorrida por la partícula y representa que describe.
la magnitud de la velocidad que llevaría ésta si saliera
disparada tangencialmente como se ve en la figura 4.17.

Para calcular la magnitud de la velocidad tangencial o
lineal se usa la ecuación:

yL 5 2pr donde:  r 5 radio de la circunferencia en metros (m)
T  T 5 periodo en segundos (s)

104 v 5 2p Grupo Editorial Patria
T

(yLf 2 yL0)

y Lf 2 y L0

v5 T

4(yLf 2 yL0) Cinemática
rpootraqcuióens. uSuseenxtpidreos(ieyvóysLLn5f5he22aaaaTs2pcLL:yT5pi55Lar0v)evyfUlLf2rftNc22etvtIDn0yvAtL0rDr0o 5dev fg2tirov0or eje de
 yyLL 55 2pr de la velocidad lineal en m/s
mTagnitud

deCsoocnmrdiboei:r(aav syLLyeLv5Lf55: 5252TvypmymLfrfLl2a0a2att)ggyvmnniLi0attr0uug5ddniddvtueeyf dL2lltaa5dvvvev0eelrlrlaooccviieddlaaoddcialdinnagedualllianereneamnl p/rsuaded/se aL 5 ayrL5f 2tyry2L L0

donde:  ar 5 magnitudaLd5e laavrfa5rc2et(lvevrrr0a)r2ci5ónvrf2arr2dt2iavl0ern m/s2
emnagmn/istuad5dev fla2vve0locidad lineal del cuerpo
yL 5 t

a r 5v f r2advio0 de la circunferencia en metros (m) r 5 r adio dealra5ciyrrcL2unferencia en metros (m)
5 t como yL 5 vr

Aceleración lineal y radial StU sc(aaaaayvyeaoLLrruLnL55bmA55fs555saetu2voc2i(myTptvyv2 preufmaL2yTLfrporaa2ylrftLr)seorrr2e0t22tvt)í55vqnrc5:0iyvaudum(yeovLc0lvrarL20i rir2e4ró)5rp2n(aaaaavy2enryt5LLrrnvLeLo5555f55s5lf3veic22v2tn(yTnivy2nrv2prrf(raaaaavyvtL2yeToLcyfrpr22a(aaaaaLLrryvrLftLL5suy)05ar2LL55rr0f2L5525L5etv5tly)rqla55f552a55vs2 0(LuLyyvTvy2rtvv22prf(yaTe5vy5LL20yTv2Lfrpprr2cfrr0dftL2LyTL)frpar22arr20r2vft2Laa5r)tvtc)rm2022:2r5trvet)0yv5vbl 0yveL0vifr 0rLa0v22rra t05r2rsc25rvui2vó0vnfvr2fe tc2ltuvoavc0ni0rddraoddluinrae((((n2413a-))))l ar 5 (vr)2 5 v2r2
r r

ar 5 v2r

donde:  ar 5 magnitud de la aceleración radial en m/s2
v 5 magnitud de la velocidad angular en rad/s
r 5 radio de la circunferencia en metros (m)

Como la aceleración lineal representa un cambio en la ve-
locidad lineal y la aceleración radial representa un cam-
bio en la dirección de la velocidad, se puede encontrar
la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma
vectorial de ellas, como se ve en la figura 4.18.

naL
nar
donde: aL 5 magnitud de la aceleración lineal en m/s2 a rnesultante
a 5 magnitud de la aceleración angular en rad/s2

r 5 r adio de la circunferencia en metros (m)

Aceleración radial o centrípeta

En un movimiento circular uniforme la magnitud de la figura 4.18
velocidad lineal permanece constante, pero su direc-
ción cambia permanentemente en forma tangencial a La resultante de la suma vectorial de la aceleración lineal y la aceleración radial
la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la
velocidad se debe a la existencia de la llamada ace- !tiene una magnitud igual a: aresultante 5 aL2 1 ar2 .
leración radial o centrípeta. Es radial porque actúa
perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta

Resolución de problemas de velocidad lineal y aceleración lineal radial

1 Calcular la magnitud de la velocidad lineal de r 5 25 cm yL 5 2pr
una partícula cuyo radio de giro es de 25 cm y T

tiene un periodo de 0.01 s. Dar el resultado en T 5 0.01 s yL 5 2 3 3.14 3 25 cm 5 15 700
cm/s y m/s. 0.01 s
Solución: SuysLt5itu2cTpiórn y resultado
Datos Fórmula v5 2p
yL 5 ? yL 5 2 3 3.14 3 25 cm 5 15 700 cm/s 5T157 m/s
0.01 s
Grupo Editorial a 5 v
2p T
v 5 T

Patria v aR 5 aL2 1 ar2 105
a5 T
v5 2p 5 2 3 3.14 5 31.4 rad/s
T 0.2
a 5 a2 1 a2

Física General

2 Determinar la magnitud de la velocidad lineal Sustitución y resultado
de una partícula que tiene una velocidad angu-
lar cuya magnitud es de 30 rad/s y su radio de ar 5 (15 rad/s)2 0.2 m 5 45 m/s2
giro es 0.2 m.
5 Calcular las magnitudes de la velocidad angu-
Solución: lar y lineal de una partícula que gira con un
periodo de 0.2 s, si su radio de giro es de 0.3 m.
Datos Fórmula Determinar también las magnitudes de su ace-
leración lineal y radial, así como la resultante
yL 5 ? yL 5 vr P S dDSaaavyvya aaTrvaayaeuoaaaaavyyvRLLLarLRL55r555RRRlrLLs55t55555555eu5555a5toy55555TTvvis2c02aaaaasvvyyt0TL?T22cTTtvavv?2iu?.?2 ?pRRRpa LLTó.TT22o53p a555r 32552 cppsTn5p55555n5arL23(rai5m4s35ó:L32TTodvvvr152L22 T37T5122n3.c 1o 011p1rpT1.52.p.aae03(s(80a1.4514y52.403aLr202r.3ra9L.4247a2301m3715r0r32.3r1rl212ac7313.r01.e.a3.rs041s2/1ae2d0a..2.s3a.s0s1as.24m412d5l4/ud0mr.r22.e34r2s1452a/.3)1lr0/car2s2t4/ads5r.5a3macsgs1s212a2d5/5.mc2d8n11sd5/33)i5o()1s254oi3m1/22ct5s57s1n510u.915m3472e..3515dr4(3/1as3r.52rs50775ad.adr190m47.087adde/3.51.50043sd//m.5r50a2ms7s/acr2m7aaaaa2yyvvs8/admc9t4sRRR0LL5edmF55/559m2750/sa555555n/aaaaayyvvya)ó..s/2s251aaaaavvyy/r2TTRRRevvLcLLL2rs255s9555TRRRT22LL59mmmm5555m555555525pp.5T5pa5555555431)(8aTTvv2/o2u4/2vL2/.12r5TTTTvv9L22s2v2a7s2ss375lpT3Tp22215T75pa218a2rr3:(75pm8ap1.rT.5pa74013L(218asr0m9L22.a40mL1237a5.4r3/49L21m40m1r2375.7s3351.r/12.2.1301/1r071s1.0.7/2.2a/s001a1a.4.043s2.s4as00m21s2r2a..42d34mr24.022m.r321.r0831r52/22)./3a1r0/.s2342ss/ma1s22dsc.3ss.211s252d851m5/.2)2815s2/4)m(/1cs2432m1s55c55m1195245m72(./1515342(s/155.5r321s97545ar271947.518a57d49.5105.5r4d/79m.a5r0r2s7/78a.ar2d29s57/80acdd9/s9m0m0dms/29/m.0s2s/5)/.c/22/s
v 5 30 rad/s aR 55 a8L2 917a0r24.218 m2 /s4 5 299.5 m/s2

r 5 0.2 m aR 5 (47.1 m/s2 )2 1 (295.78 m/s2 )2

Sustitución y resultado 5 89 704.218 m2 /s4 5 299.5 m/s2

yL 5 30 rad/s 3 0.2 m 5 6 m/s

3 Calcular la magnitud de la aceleración lineal de
una partícula cuya aceleración angular tiene una
magnitud de 3 rad/s2 y su radio de giro es 0.4 m.

Solución:

Datos Fórmula

a L 5 ? aL 5 ar
a 5 3 rad/s2

r 5 0.4 m

Sustitución y resultado

aL 5 3 rad/s2 3 0.4 m 5 1.2 m/s2

4 Encontrar la magnitud de la aceleración radial
de una partícula que tiene una velocidad angu-
lar cuya magnitud es de 15 rad/s y su radio de
giro es de 0.2 m.

Solución:

Datos Fórmula

ar 5 ? ar 5 v2r
 v 5 15 rad/s

 r 5 0.2 m

Ejercicios propuestos

1 Encontrar las magnitudes de las velocidades an- 4 Determinar la magnitud de la aceleración ra-
gular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de dial de una partícula que tiene una velocidad
giro de 0.15 m y un periodo de 0.5 segundos. angular cuya magnitud es de 8 rad/s y su radio
de giro es de 0.35 m.
2 Calcular la magnitud de la velocidad lineal de
una piedra que tiene una velocidad angular con una 5 Calcular las magnitudes de la velocidad angu-
magnitud de 20 rad/s y un radio de giro de 1.5 m. lar y lineal de una partícula que gira con un pe-
riodo de 0.3 s, si su radio de giro es de 0.2 m.
3 ¿Cuál es la magnitud de la aceleración lineal
de una partícula cuya aceleración angular tiene Hallar también las magnitudes de su aceleración
una magnitud de 2 rad/s2 y su radio de giro es de lineal y radial, así como la resultante de ambas
0.3 m? aceleraciones.

106 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

13 Movimiento armónico simple (MAS)

El movimiento armónico simple es un movimiento pe- En el movimiento armónico simple resultan útiles los si-
guientes conceptos:
riódico, es decir, se repite a intervalos iguales de tiem-
po. Puede ser descrito en función del movimiento circu- Elongación
lar uniforme, considerándolo como la proyección sobre
cualquier diámetro de un punto que se mueve en una Distancia de una partícula a su punto de equilibrio.
trayectoria circular con velocidad cuya magnitud perma- Puede ser positiva o negativa, según esté hacia la dere-
nece constante, como se ve en la figura 4.19. cha o a la izquierda de la posición de equilibrio.

yL Amplitud

a Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio
de la circunferencia.
r
Para calcular la elongación (Y) de una partícula oscilatoria
PQ en cualquier instante de tiempo t se usa la expresión:
OA
Y 5 r cos 2pft
figura 4.19
El punto a se mueve alrededor de un círculo de radio r con una magnitud Obtenida mediante la siguiente deducción:
constante de velocidad y ; si en cada intervalo de tiempo se traza una
perpendicular desde a hasta el diámetro P-Q, el punto A de la intersección Al representar a la elongación con la letra Y y al considerar
se moverá con movimiento armónico simple a uno y otro lado de la línea que la elongación de una partícula oscilatoria es igual a la
recta desde P hasta Q. proyección sobre el diámetro horizontal del radio r descri-
ta por el móvil de la figura 4.20 se tiene que el valor de Y
Al observar el movimiento armónico que describe el punto equivale al cateto adyacente, por lo cual su valor es:
A de la mencionada figura al moverse de un lado a otro de
la línea recta formada por P y Q, podemos apreciar que la Y 5 r cos u (1)
magnitud de su velocidad cambia en forma constante: cuan- como u 5 vt (2)
do está en el punto central O la magnitud de su velocidad v 5 2pf (3)
es la máxima, mientras en P y Q la velocidad es momentá-
neamente nula; después aumenta poco a poco hasta llegar Sustituyendo 2 y 3 en 1:
a O donde su magnitud es máxima para de nuevo disminuir
hasta llegar a 0 en el otro extremo de la trayectoria. Y 5 r cos 2pft

Es evidente que si la magnitud de la velocidad va cam- o bien:
biando existe una aceleración. Dicha aceleración siem-
pre se dirige a la posición central de equilibrio y su Y 5 r cos vt
magnitud varía de la siguiente forma: cuando se inicia
el movimiento en cualquiera de los extremos P o Q ha- yL
cia el centro o punto 0, en los extremos se tiene la mayor
magnitud de la aceleración, la cual disminuye a medi- r
da que se acerca al centro donde se hace nula; después u
de pasar el punto central, nuevamente aumenta la mag- Y
nitud de la aceleración hasta llegar a su máxima magni-
tud, cuando llega al otro extremo, en el que la velocidad figura 4.20
se hace nula. Por tanto, en la posición de equilibrio la ace- La elongación de una partícula queda representada por Y.
leración es nula y la velocidad tendrá su magnitud máxi-
ma, y en los extremos la aceleración tendrá su magnitud
máxima y la velocidad será nula.

Grupo Editorial Patria 107

Física General

Donde:  Y 5 elongación de la partícula en m es perpendicular al diámetro (puntos B y D) su proyección
  r 5 radio de la circunferencia en m sobre el diámetro es nula, por tanto, su magnitud es cero.
  f 5 frecuencia en ciclos /s
  t 5 tiempo en segundos (s) Aceleración de una partícula
v 5 magnitud de la velocidad angular en rad/s oscilante

Velocidad de oscilación En el MAS, la aceleración de una partícula oscilante tie-
ne una magnitud igual a la proyección sobre el diáme-
Es el resultado de proyectar la magnitud de la velocidad tro de la aceleración radial ar, del movimiento circular
lineal del movimiento circular de un móvil sobre el diá- uniforme de un móvil, como se ve en la figura 4.22, por lo
metro de la circunferencia, como se ve en la figura 4.21, de que la expresión matemática de la magnitud de la acele-
modo que la expresión matemática de la magnitud de la ración de una partícula oscilante será:
velocidad de oscilación será:
a 5 2ar cos u. (1)
como:
yL ar 5 v 2 r (2)

C yL v 5 2pf (3)
u
yL u 5 vt (4)

u 5 2pft (5)
tendremos que:

a 524p 2 f 2r cos 2pft (6)

D uB como v 5 2pf y v 2 5 4p 2f 2, la ecuación 6 la podemos
y escribir como:

a 5 v 2 r cos vt (7) 

yL A yL yL

figura 4.21 u
ar
La magnitud de la velocidad de oscilación de una partícula que describe un
u
MAS, será positiva si va a la derecha, es decir, de D a B y negativa si va a a
la izquierda, o sea, de B a D.
figura 4.22
y 5 2yL sen u (1) El signo de la magnitud de la aceleración de una partícula oscilante es negativo,
como: u 5 vt (2) porque su sentido es siempre contrario al sentido del movimiento.
(3)
v 5 2pf (4) Puesto que Y 5 r cos 2 π f t, la ecuación 6 de la magnitud
de la aceleración de una partícula oscilante también se
yL 5 vr puede expresar como:

Sustituyendo 2, 3 y 4 en 1 queda: a 5 24p 2f 2Y
d onde:  a 5 magnitud de la aceleración en m/s2
o bien: y 5 22pfr sen 2pft f 5 frecuencia en ciclos/s
y 5 2vr sen vt Y 5 elongación en metros (m)
Si observamos la ecuación de la magnitud de la acele-
donde:  y 5 magnitud de la velocidad de oscilación en m/s ración de una partícula oscilante, tenemos que ésta es

f 5 frecuencia en ciclos/s

r 5 radio de la circunferencia en metros (m)

t 5 tiempo en segundos (s)

Como se observa en la figura 4.21, cuando la velocidad li-
neal es paralela al diámetro (puntos A y C) la velocidad de
oscilación del cuerpo será la mayor y tendrá una magni-
tud igual a la velocidad lineal. Cuando la velocidad lineal

108 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

directamente proporcional a la elongación, pero de sig- El signo de la magnitud de la aceleración de un móvil
no contrario. oscilante es negativo, porque su sentido es siempre
contrario al sentido del movimiento.
De la ecuación de la magnitud de la aceleración de una
partícula oscilante, puede despejarse la frecuencia, que- 4. Recuerde:  cos 90º 5 0
dando de la siguiente manera: s en 90º 5 1
c os 0º 5 1
f5 2a 5 1 2a sen 0º 5 0
4p2Y 2p Y v 5 magnitud de la velocidad angular

Gráficas sinusoidales del v 5 2p
movimiento armónico simple T

En el movimiento armónico simple (MAS) la elongación Construiremos las gráficas sinusoidales y cosinusoi-
y las magnitudes de la velocidad y la aceleración se ex- dales para un intervalo de tiempo igual a un periodo
presan en funciones trigonométricas sencillas de un án- T. En ellas, el tiempo t tendrá los siguientes valores:
gulo. Se le denomina simple para distinguirlo de un mo-
vimiento amortiguado. Una curva senoide es la gráfica t 5 0, t 5 1 T, t 5 1 T, t 5 3 T y t 5T:
del seno de un ángulo trazada en función del ángulo. 4 2 4
Toda onda de esta forma recibe el nombre de senoide o
sinusoide. Para trazar las gráficas sinusoidales del MAS En las expresiones para la elongación Y, la velocidad
recordemos lo siguiente:
y y la aceleración a, los valores de t corresponden a
1. La elongación Y es la distancia que separa al móvil
del centro o posición de equilibrio. Es positiva si está las fases: vt 5 0, p rad 5 90º, π rad 5 180º, 3p rad
a la derecha de su posición de equilibrio y negativa si 2 2
está a la izquierda. Su valor a un tiempo t se calcula
con la expresión: 5 270º y 2 π rad 5 360º, como se presentan a conti-

Y 5 r cos vt nuación:

Nota:  La amplitud es la máxima elongación, cuyo va- a) Elongación: Y 5 r cos vt
lor es igual al radio r de la circunferencia.
b) Magnitud de la velocidad:  y 5 2vr sen vt
2. La magnitud de la velocidad de oscilación y es el re-
sultado de proyectar la velocidad lineal (yL) del movi- c) Magnitud de la aceleración:  a 5 2v2r cos vt
miento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la
circunferencia. Su magnitud a un tiempo t se calcula Sustituyendo valores en las fórmulas anteriores:
con la expresión:
y 5 2y L sen u Para t 5 0

como: y L 5 vr  y  u 5 vt tenemos que: a) Y 5 r cos 0º 5 r

y 5 2vr sen vt b) y 5 2vr sen 0º 5 0

La magnitud de la velocidad de oscilación será posi- c) a 5 2v 2r cos 0º 5 2v 2r
tiva si el móvil va a la derecha y negativa si va a la
izquierda. ParaPPtaa5ra14ttT551414TT4 55 TT
4
3. La aceleración de una partícula oscilante a tiene una
magnitud igual a la proyección sobre el diámetro de la Y a5) rYc55osrc2Toops  22TpTp4   TT 
aceleración radial ar del movimiento circular uniforme 44
de un móvil. Su magnitud a un tiempo t se calcula con
la expresión: 5 r c55osrp2ccooss p
22
a 5 2ar cos u 5 r c5osr9cc0oo°ss9900°°

c omo: ar 5 v 2 r  y  u 5 vt tenemos que: 5 0 5500

a 5 2v2 r cos vt y b5) 2yy v5r2sevnrr sse2Tnpn  22TTpT4   TT 
44

5 2v5r 2sevnrr ps2seen pp
22
5 2v5r 2sevnrr 9ss0ee°n 90°°

5 2v55r 2vrr

ac5) 2aav52r2cvvo22srcc2Toops  22TTpTp4   TT 
44

5 2v552r2cvvos22rp2cos p
22
5 2v52r2cvvos22r9c0o°s 90°°

5 0 5 00

Grupo Editorial Patria 109

Física General y 5 2vr sen  2p  (T )
T

5 2vr sen 2p

5 2vr sen 360°

50

Y a55P)arrYYrYaccoo5555PP55tPssaa5arrrrprrrrraacccc2acc21ToooopootttssssTss555ppp52222211TTT21T2ppTp2TTT555TT22T2TT22T2 c) a 5 2v 2 r cos  2p  (T )
5 r co555srr1r8cccoo0oss°s111888000°°° T
5 2r555222rrr
5 2v2r cos 2p
y b55) 22yyyvv55555r5r s22s2222eevvvvnnvvrrrrrrpssss2sseeTeeeepnnnnnnppp222TTTT2pppTT22T2
5 2v555r 22s2evvnvrrr1ss8seee0nnn° 111888000°°° 5 2v2r cos 360°
5 0 555000
5 2v2r
a c5) 2aaav5552r222cvvovs222rrrcc2cTooposss222TTTT2pppTT22T2
5 2v5552r222cvvovs222rrrpcccooosssppp Con los resultados anteriores obtenemos el siguiente cua-
5 2v5552r222cvvovs222rrr1cc8coo0oss°s111888000°°° dro:
5 2v5552r222vvv222rrr
cuadro 4.5 Datos de Y, y y a en un MAS

Magnitud Fórmula Valores de Y, y y a para los siguientes
valores de t

0 T/4 T/2 3 T/4 T

Elongación (Y) Y 5 r cos vt r 0 2r 0 r

Velocidad (y) y 5 2vr sen vt 0 2vr 0 vr 0

Aceleración (a) a 52v2r cos vt 2v2r 0 v2r 0 2v2r

55555555555555555555aabPcb5555PP)))))aaa222222222 2222000rrrrvrrrYYYYYYrrrYYYYaaaayyyyaayyaaaaayycccccaacyyrvvvvvvvvvvvvv5555555555555555555555555555555555555555ooo55oo555555o555555555555PPPP5555PP55555555555555555555555555555555555555555555555PPrrrrtttPPrr2222222ssssssaaaaaarrrrrrr55aa5aa222222222222222222ss222222220000002222222rrrrrrrrvvrrrrssssrr2222000rrvrrr3222222222222222222222220002222000rrrrrrrrvrrr3rrrrvrrrrreeccrrcccceeeerr2aaaaccccccccccccaarrccccc67prvvvvvvvvvvvvvvvvvv22vvvvvvvvpvvvvvvvaacccvvvvcccTaaccccccoorrnnoooovvvvvvvvvvvvvvvvvnnnn3vvvv4TTvTvvvooooooooooooooooo00ppoooooooooooorrrrrrrrttttssrrrrrrr2222222222ttrr2222ssss222222rrrrttrrrrrrsssssssssssstt2222rr2222222sssssT22°°rrrrrrrrrrrrrr322ssssssrrrrssssssrr35555ssss55rrrrrrsrrrsrrssssssssrrsss3225555332222ssss3322222ssss33ssss367p232eecececc232pececcccccccceeeeeeee3TT3cccceee225222ecececec67(2pcccceeee6677cccceeeeppp672222pppTTpp222p2TT00ooooT67Tnnnnpoo67oooooooopnn22nnnnnnnn33p244oo2ooTTTTpnnn34TTTppToooonnnnoooo00oooonnnn340000TTnnnn34TT003pppppp°°ssss00ss00ssssssssppsssspp)3ss4ssssss°TT°ssss°°°°TT°°223322322T334T°°°°3232T322322322(333223322222232223226677pp322T67p(3pp223222TTTTp22222TT552267p67225p26677p((pppTTT67(pTTpp2235pp2pp22TTTT5p2ppTT670000(p67(pTT00pTpppTTppTT)3pppp00400ppTT0000T0033pppp3)004°°°°00°°3T3))33°°44)°°34°°°°TT°°)T)3434°°°44°TT4TTT((44(TT((TT((T(TT((TTT333TT33))3344)34TT)T3)344))44)T4TTT)T)44TT Con los datos del cuadro 4.5 graficaremos a las magnitu-
des Y, y y a en función del tiempo:

Y Gráficas sinusoidales
y del movimiento armónico simple
a
Y (elongación)
Y Y5r
y
a r r
t
Y50 0

2r

Y 5 2r
y 5 vr velocidad

y50 0 vr
t

2vr

y 5 2vr
a 5 v2r aceleración

v2r

a50 0 t

2v2r 2v2r

a 5 2v2r

t0 —4T —2T —34T– T
u 0° 180° 360°
u 0° 90° 270° 2p rad
—p2 rad p rad —32p– rad

110 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

Conclusiones de las gráficas Conforme aumenta la fuerza del tirón aplicado al cuer-
del MAS po, la fuerza de restitución encargada de que el cuerpo
recupere su posición de equilibrio, también aumenta en
1. Cuando la partícula o móvil vibrante se encuentra en la misma proporción. Según la Ley de Hooke, la fuerza
los extremos en los que se tiene la máxima elonga- de restitución que actúa para que un cuerpo recupere
ción, es decir, la amplitud cuyo valor es igual al radio su posición de equilibrio es directamente proporcional
de la circunferencia: Y 5 r, o Y 5 2r, la velocidad de al desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de restitu-
oscilación de la partícula es igual a cero, mientras la ción es opuesta al desplazamiento, su signo es negativo y
magnitud de la aceleración de la partícula es la máxi- la expresión matemática siguiente resume lo expuesto:
ma y se calcula con la expresión: a 5 2v 2r.
F 5 2kd
2. Cuando la partícula está en el punto medio o punto
de equilibrio, su elongación vale cero: Y 5 0, pero su donde: F 5 magnitud de la fuerza de restitución en
magnitud velocidad es la máxima (y 5 vr), mientras newtons (N )
su aceleración tiene un valor de cero.
k 5 constante del resorte cuyo valor depende del
3. La aceleración de la partícula siempre tiene sentido tipo de material elástico de que se trate y cu-
contrario al vector desplazamiento. yas unidades son N / m (ver unidad 7, Sección 3)

Oscilador armónico d 5 magnitud del desplazamiento experimenta-
do por el cuerpo elástico de que se trate en
Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el que metros (m)
presenta el resorte de la figura 4.23, el cual tiene suspen-
dido un cuerpo en su extremo inferior. El periodo de un vibrador armónico simple, como es el
caso del resorte de la figura 4.23, depende de su rigidez.
Por tanto, a mayor rigidez del resorte, menor es su pe-
riodo. Si un resorte es más rígido que otro, realizará una
fuerza de restitución mayor para un desplazamiento dado
y su aceleración también será mayor. La rigidez del resor-
te se expresa mediante la constante del resorte k equiva-
lente a la magnitud de la fuerza de restitución por unidad
de desplazamiento.

Posición c) donde: k 5 F (1)
de equilibrio d
Fuerza
a) de restitución

Fuerza (Leer la parte correspondiente a la actividad experimen-
b) debido a un tirón tal 1 de este libro.)

figura 4.23 Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 m
actúa una fuerza de restitución con una magnitud de
Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo y luego soltarlo, se observará que 0.98 N, y cuando se desplaza 0.2 m actúa una fuerza con
comienza a vibrar de un lado a otro de su posición de equilibrio, describiendo una magnitud de 1.9 N, su constante del resorte será
un movimiento armónico simple. igual a:

Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene suspen- o o bien: k 5 F 5 0.98 N 5 9.8 N/m
dido el resorte, éste se estira [figura 4.23 (b)] y al soltar el bien: o bien: k 5 Fd 5 00.9.18mN 5 9.8 N/m
cuerpo la fuerza de restitución del resorte tratará de que k 5 dF 5 00..916mN 5 9.8 N/m
recupere su posición de equilibrio. Pero al pasar por ella y k 5 Fd 5 00.9.26mN 5 9.8 N/m
debido a la velocidad que lleva, por inercia sigue su movi- d 0.2 m
miento comprimiendo el resorte [figura 4.23 (c)], por ello
vuelve a actuar la fuerza de restitución ahora hacia abajo De acuerdo con la Ley de Hooke: F 5 2kd, el signo (2)
y nuevamente el cuerpo pasa por su posición de equili- significa que el sentido de la fuerza de restitución es
brio. Sin embargo, por la inercia no se detiene y se estira opuesto al del desplazamiento o elongación del resor-
nuevamente, así actúa otra vez la fuerza de restitución te; y de la Segunda Ley de Newton tenemos: F 5 ma,
jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva estos siendo a la magnitud de la aceleración del resorte en
movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se compor- cualquier instante, de donde:
ta como un oscilador armónico. Si no existieran fuerzas
de fricción, el movimiento del cuerpo, a uno y otro lado de F 5 ma 5 2kd (2)
su posición de equilibrio, continuaría indefinidamente.
por consiguiente: a 5 2 k  d (3)
m

Grupo Editorial Patria 111

Física General

La ecuación 3 nos indica que la magnitud de la acelera- a
ción de un cuerpo vibrador con un movimiento armónico
simple, es directamente proporcional a la magnitud de /
su desplazamiento o elongación en cualquier instante.
c
En forma experimental se ha encontrado que el periodo b dF
de un vibrador armónico simple es directamente pro-
porcional a la raíz cuadrada de su masa, e inversamen-
te proporcional a la raíz cuadrada de la constante del
resorte (k). Estos resultados experimentales se expresan
matemáticamente con la siguiente ecuación, la cual nos
permite calcular el periodo de vibración de un cuerpo
con un MAS, y en el que se observa que su valor es inde-
pendiente de la amplitud. Recordemos que la amplitud
es el máximo desplazamiento del cuerpo vibrador medi-
do desde su posición de equilibrio.

T 5 2p m (4) F’
k

donde:  T 5 periodo en segundos (s) e
m 5 masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg) P 5 mg
k 5 constante de resorte en N/ m
figura 4.24
Péndulo simple.

Péndulo simple

Un péndulo simple está constituido por un cuerpo pesa- La ecuación empleada para calcular el periodo de un
do suspendido en un punto sobre un eje horizontal por péndulo, se puede deducir a partir de la figura 4.24. En
medio de un hilo de masa despreciable. Cuando se se- ella representamos la longitud del péndulo con /, al
para un péndulo de su posición de equilibrio y después peso con P, a la masa con m y al desplazamiento con
se suelta, oscila a uno y otro lado del mismo por efecto de d. Como P 5 mg y sus dos componentes rectangu-
su peso (figura 4.24). El movimiento de un péndulo es otro lares son F y F’, y si además consideramos pequeño
ejemplo de movimiento armónico simple (MAS) y su pe- al ángulo u, por lo cual los triángulos abc y cde son
riodo puede ser calculado con la siguiente ecuación: prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:

F 5 d (1)
mg /
/
T 5 2p g Reordenando términos:

donde:  T 5 periodo del péndulo en segundos (s) F 5 mg 5 k (2)
d /
O 5 l ongitud del péndulo en metros (m) (se mide
desde el punto donde está suspendido hasta De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior,
el centro de gravedad del cuerpo pesado que sabemos que:
constituye al péndulo)
T 5 2p m (3)
g 5 m agnitud de la aceleración de la gravedad k
igual a 9.8 m/s2
Sustituyendo 2 en 3 tenemos:
De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del
péndulo: T 5 2p g (4)
/
1. El periodo de las oscilaciones, por pequeñas que sean,
no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud por tanto: T 5 2p /
del movimiento, sino únicamente de su longitud. g

2. El periodo es directamente proporcional a la raíz cua-
drada de la longitud del péndulo, e inversamente
proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud de la
aceleración debida a la acción de la gravedad.

112 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

Análisis de los experimentos de Aristóteles, ya que éste afirmaba que la magnitud de
de Galileo Galilei y su relevancia la velocidad de caída de los cuerpos era proporcional a
en el trabajo científico su peso. Galileo, por su parte, proponía que la magnitud
de la velocidad de caída de un cuerpo debido a la ace-
El científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) hizo impor- leración de la gravedad, aumentaba uniformemente con
tantes contribuciones a la Astronomía y a la Física al estu- el tiempo y también que la distancia recorrida por dicho
diar el movimiento de los cuerpos, por medio de la obser- cuerpo se incrementaba de manera directamente propor-
vación directa y la aplicación de su método experimental. cional al cuadrado del tiempo transcurrido. Para demos-
trar sus afirmaciones, Galileo utilizó un plano inclinado
El primer gran descubrimiento de Galileo ocurrió en el que retardaba la caída de los cuerpos, para así poder ex-
año de 1581, cuando tenía 17 años. Se sabe que cuando perimentar con ellos y poder efectuar mediciones con un
asistía a una misa celebrada en la Catedral de Pisa, su ciu- método indirecto para medir el tiempo y que consistía en
dad natal, observó cómo la lámpara suspendida en el te- contar el número de gotas de agua que caían a través de
cho, debido a las corrientes de aire, se balanceaba. En su un agujero hecho en el fondo de un recipiente.
movimiento de vaivén, que en ocasiones era corto y otras
describía arcos más grandes, Galileo observó que aparen- En el año de 1638 estudió el centro de gravedad de va-
temente la lámpara tardaba el mismo tiempo en efectuar rios sólidos. También estudió la resistencia de mate-
una oscilación, fuese grande o pequeña. Al regresar a su riales y demostró que si una estructura aumentaba de
casa reprodujo el fenómeno usando bolas de plomo ata- volumen, disminuía su resistencia. Galileo escribió un
das a hilos de diferentes longitudes y descubrió que cual- libro acerca de la mecánica; sin embargo, no pudo ver
quiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del concluida su obra, ya que antes de su publicación que-
plomo, la bola requería el mismo tiempo para completar dó ciego y murió el 8 de enero de 1642 en Arcetri, cerca
un viaje de ida y vuelta. Únicamente la longitud del hilo de Florencia. También escribió dos libros: El mensajero
afectaba el tiempo de la oscilación. Con estas observa- de los astros y Diálogos entre dos nuevas ciencias, en este
ciones, Galileo había descubierto el principio del péndulo, último describe sus argumentos por medio de un diálogo
mismo que años más tarde permitiría al científico inglés imaginario. Para ello, se valió de dos personajes, uno lla-
Christian Huyges construir el primer reloj de péndulo. mado Salviati, que representa la opinión de Galileo, y otro
llamado Simplicio, que representa el pensamiento aristo-
En el año de 1589, cuando impartía clases de Matemáti- télico. Estos dos libros abrieron otras perspectivas en el
cas en su ciudad natal, demostró ante sus alumnos el error estudio de la Astronomía. Galileo ha trascendido al paso
del tiempo por importantes aportaciones a la ciencia, sus-
tentadas en demostraciones experimentales.

Resolución de problemas de MAS

1 Un cuerpo describe un movimiento armónico Sustitución y resultados
simple con un radio de 0.1 m. Si su periodo es
de 3 segundos. f 5 1 5 0.33 ciclos/s
3s

Calcular: a) Y 5 0.1 m cos 2 3 3.14 3 0.33 ciclos/s 3 6 s
a) Su elongación a los 6 segundos. 5 0.1 m cos 12.43 radianes

b) La magnitud de su velocidad a los 6 segun- 12.43 rad 3 57.3º 5 712.24°
dos. 1 rad

c) La magnitud de su velocidad máxima. cos 712.24º 5 cos (720º 2 712.24º)
5 cos 7.76º = 0.9909
Solución:
Y 5 0.1 m 3 0.9909 = 0.099 m
Datos Fórmulas b) y 5 22 3 3.14 3 0.33 ciclos/s 3 0.1 m

r 5 0.1 m f 5 1
T53s T
3 sen 712.24º

a) Y6 s 5 ? a)  Y 5 r cos 2pft sen 712.24º 5 2sen (720º 2 712.24º)
5 2sen 7.76º 5 20.1349
b) y6  s 5 ? b)  y 5 22pfr sen 2pft
c) ymáx 5 ? c)  ymáx 5 22pfr sen 90º y 5 2 0.21 m/s 3 20.1349 5 0.028 m/s

Grupo Editorial Patria 113

Física General

c) La velocidad tiene su máxima magnitud cuan- 5 0.15 m cos 5.65 radianes
do el cuerpo está pasando por su punto de
equilibrio y la elongación es cero. Situación 5.65 rad 3 57.3° 5 323.86°
que se presenta cuando el ángulo es de 90°, o 1 rad
bien, de 270°.
cos 323.86º 5 cos (360º 22 323.86º)
ymáx 5 22 3 3.14 3 0.33 ciclos/s 3 0.1 m 3 (6 1) 5 cos 36.14º 5 0.8073
5 2 0.21 m/s (la velocidad máxima es po-
sitiva si escogemos el ángulo de 270°) Y3.6 s 5 0.15 m 3 0.8073 5 0.12 m
b) y3.6 s 5 2 2 3 3.14 3 0.25 ciclos/s 3 0.15 m
2 Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 m describe un 3 sen 323.86º
MAS con un periodo de 4 s.
sen 323.86º 5 2sen (360º 2 323.86º)
Calcular: 5 2sen 36.14º 5 20.5901

a) Su elongación, es decir, su posición a los y3.6 s 5 2 0.236 m/s 3 20.5901 5 20.14 m/s
3.6 segundos. c) ymáx 5 22 3 3.14 3 0.25 ciclos/s 3 0.15 m
3 sen 90º
b) La magnitud de su velocidad a los 3.6 segun-
dos. 5 20.236 m/s

c) La magnitud de su velocidad máxima. d) amáx 5 24 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m)
5 20.37 m/s2
d) La magnitud de su aceleración máxima.
3 Determine el periodo de un péndulo y su fre-
Solución: cuencia, si su longitud es de 40 cm.

Datos Fórmulas Solución:

r 5 0.15 m f 5 1 Datos Fórmulas
T54s T
/
a) Y3.6 s 5 ? a)  Y 5 r cos 2pft O 5 40 cm 5 0.4 m T 5 2p g

b) y3.6 s 5 ? b)  y 5 22pfr sen 2pft g 5 9.8 m/s2 1
T 5 ? T
c) ymáx 5 ? c)  ymáx 522pfr sen 90º f5? f 5

d) amáx 5 ? d)  amáx 5 24p2f2 Ymáx

Sustitución y resultados Sustitución y resultados

f 5 1 5 0.25 ciclos/s T 5 2 3 3.14 0.4 m 5 1.27 s
4s 9.8 m/ s2

a) Y3.6 s 5 0.15 m cos 2 3 3.14 3 0.25 ciclos/s F 5 1 s 5 0.79 osc/s
3 3.6 s 1.27


Ejercicios propuestos c) La magnitud de su velocidad máxima.

1 Un cuerpo que se encuentra enganchado a un 2 Un cuerpo describe un MAS con un periodo de
resorte, como el de la figura 4.23, se estira 4 cm 3 segundos y un radio de 0.2 m.
hacia abajo y al soltarse vibra con un movimien-
to armónico simple. Si su frecuencia es de 0.3 Calcular:
ciclos/s.
a) ¿Cuál es su elongación, es decir, su posición
Calcular: a los 4 segundos?
a) Su elongación a los 2 segundos.
b) La magnitud de su velocidad a los 2 segun- b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad a los 4
segundos?
dos.

114 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

c) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad Dar los resultados en el SI.
máxima?
3 Determinar la longitud que debe tener un péndulo
d) ¿Cuál es la magnitud de su aceleración para que su periodo sea de 1.55 s, si la aceleración
máxima? de la gravedad tiene una magnitud de 9.8 m/s2.

Actividad experimental 5

Distancia y desplazamiento tancia que recorrió al dar los cinco pasos al nor-
te y la distancia recorrida al dar los tres pasos al
 Objetivo este. Sume las dos distancias y encuentre el valor
de la distancia total.
Determinar experimentalmente los valores de la
distancia y la magnitud del desplazamiento de un 4. Determine el desplazamiento efectuado por su
móvil. compañero. Para lograrlo, mida con la regla la
distancia que hay entre el punto de partida y el
  Consideraciones teóricas de llegada. La dirección la determinará al medir
con un transportador el ángulo que forma la recta
La distancia recorrida por un móvil es una magnitud que representa la distancia medida entre el pun-
escalar, ya que sólo interesa saber cuál fue la magni- to de partida y el de llegada respecto al este.
tud de la longitud recorrida por el móvil durante su
trayectoria, sin importar en qué dirección lo hizo. El 5. Trace en el piso un círculo cuyo radio sea de 5
desplazamiento de un móvil es una magnitud vecto- m. Para ello, utilice un cordón o mecate de 5 m,
rial que corresponde a una distancia medida en una marque lo que será el centro del círculo y fije con
dirección particular entre dos puntos: el de partida el dedo de un compañero un extremo del cordón
y el de llegada. o mecate, y en el otro extremo de éste, ate un gis
si el piso es de cemento, o un palo si es de tierra,
  Material empleado para que marque el círculo al girar alrededor del
centro de éste.
Una regla graduada de un metro, un transportador,
un cordón o mecate de 5 m, un gis y un trozo de 6. Señale sobre el círculo un punto de partida, co-
madera o palo. lóquese en él y dé cinco vueltas completas para
que regrese al mismo punto de donde partió.
  Desarrollo de la actividad Calcule la distancia que recorrió. Recuerde que
experimental el perímetro de un círculo es igual a 2pr. ¿Cuánto
vale el desplazamiento que efectuó?
1. Marque en el piso una señal que le sirva como
punto de partida. Identifique con sus compañeros Cuestionario
el norte, sur, este y oeste geográficos. Recuerde
que al este también se le llama oriente y al oeste, 1 ¿Por qué el desplazamiento es cero, cuando
poniente. al partir de un punto y después de recorrer
una distancia se regresa al mismo punto de
2. Pídale a un compañero que dé cinco pasos al nor- partida?
te y tres pasos al este, marque en cada caso el
punto a donde llega. 2 ¿Por qué no es lo mismo distancia que despla-
zamiento?
3. Determine cuál es la distancia total recorrida por
su compañero. Para ello, mida con la regla la dis-

Grupo Editorial Patria 115

Física General

Actividad experimental 6

Movimiento rectilíneo uniforme Vibrador del timbre eléctrico

 Objetivo Disco de papel carbón

Demostrar que cuando el movimiento de un móvil

es en línea recta y recorre desplazamientos iguales
Dd
en tiempos iguales, la relación Dt tiene un valor
constante.
Base de madera

  Consideraciones teóricas

La cinemática estudia los diferentes tipos de movi-

miento de los cuerpos sin atender las causas que los figura 4.25 Grapa metálica
Ticómetro.
producen. Un cuerpo tiene movimiento cuando cam-

bia su posición a medida que transcurre el tiempo.

Para poder expresar en forma correcta un movimiento

o cambio de posición, debemos referirlo a un marco o   Desarrollo de la actividad
experimental
sistema de referencia claramente establecido. Resul-
1. Monte un dispositivo como el de la figura 4.26. Para
ta práctico utilizar sistemas de referencia absolutos, ello, fije con cinta adhesiva el motor de 1.5 V a un
extremo de la mesa de trabajo, asegúrese de que
es decir, aquellos que consideran un sistema fijo de su eje quede en posición vertical y pueda girar
libremente. Después, sujete un extremo del hilo
referencia. Existe diferencia entre la distancia reco- al eje del motor y el otro extremo al carro de plás-
tico, mismo que se colocará en el otro extremo de
rrida por un móvil y su desplazamiento; la distancia la tira de papel, la cual debe pasar por las grapas
del ticómetro.
es una magnitud escalar, ésta sólo nos señala la mag-
2. Conecte el ticómetro, hágalo funcionar e inme-
nitud de la longitud recorrida por un móvil durante diatamente después ponga a funcionar el motor
de 1.5 V. Observe el movimiento del carro y co-
su trayectoria. El desplazamiento de un móvil es una rrobore que se marquen los impactos del vibrador
en la tira de papel.
magnitud vectorial correspondiente a una distancia

medida en una dirección particular entre dos puntos.

La velocidad se define como el desplazamiento reali-

zeandoefpeoctruuanrlom: óyvi5l ddtiv. idCiduoanednotreunel tiempo que tarda
móvil sigue una

trayectoria recta, en la cual realiza desplazamientos

iguales en tiempos iguales, efectúa un movimiento
Dd
rectilíneo uniforme: Dt 5 k.

Para realizar experimentos en cinemática, en la cual Ticómetro
se requiere medir distancias y determinar intervalos
iguales de tiempo, se usa con frecuencia un disposi- Tira de papel
tivo denominado ticómetro; éste consta de un vibra-
dor de un timbre eléctrico con determinada frecuen- Pila
cia sujeto a una tabla de madera (figura 4.25). Cuando Motor
el ticómetro funciona, el vibrador martillea un disco
elaborado con papel carbón que deja marcas sobre
una tira de papel en movimiento a intervalos iguales
de tiempo. Por tanto, la distancia entre dos marcas
consecutivas corresponderá a un mismo intervalo de
tiempo, y de acuerdo con la frecuencia de vibración
del ticómetro determinaremos cuánto tiempo trans-
curre entre una y otra marca del vibrador.

  Material empleado figura 4.26

Un ticómetro, un motor eléctrico de 1.5 V, 2 m de Dispositivo para medir distancias e intervalos iguales de tiempo mediante
hilo resistente, una regla graduada, un carro ligero el uso del ticómetro.
de plástico, una cinta adhesiva, un disco de papel
carbón y una tira de papel para el ticómetro.

116 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

3. Desconecte su dispositivo cuando el carro esté a 6. Con los datos de la tabla construya una gráfica de
punto de chocar contra el motor. Retire la tira de distancia contra tiempo. Una los puntos y deter-
papel y con la regla graduada mida las distancias mine la pendiente de la recta obtenida.
que hay entre los puntos. Es importante iniciar
el análisis a unos 25 cm mínimo del primer im- 7. Grafique los datos de la magnitud de la velocidad
pacto marcado por el vibrador. Recuerde que la contra tiempo y determine el área bajo la recta ob-
distancia siempre se mide a partir de la posición tenida al unir los puntos.
considerada como inicial y no de marca a marca.
cuadro 4.6 Determinación de las magnitudes de las
4. Consulte con su profesor cuál es la frecuencia de velocidades de un móvil (experimentales)
vibración del ticómetro usado. Si, por ejemplo, su Tiempo (s)
ticómetro tiene una frecuencia de 90 vibraciones/s, Distancia (cm) t d en cm/s
sabrá que la distancia entre dos marcas consecu- 0.1 y5
tivas se recorre en 1/90 de segundo. De aquí se 0.2
deduciría que la distancia existente entre cada 0.3
nueve puntos se recorre en 1/10 de segundo. 0.4
0.5
5. Con el propósito de ejemplificar supondremos 0.6
una frecuencia de 90 vibraciones/s del ticómetro,
mida la distancia entre el punto consideradocomo
cero o inicial y la marca o punto 9, entre el cero
y el 18, entre el cero y el 27, y así sucesivamente.
Copie el cuadro 4.6 y registre las mediciones efec-
tuadas.

Cuestionario

1 ¿Por qué se recomienda iniciar el análisis de las distancias después de unos 25 cm mínimo del primer
impacto marcado por el vibrador?

2 Para un movimiento rectilíneo uniforme, ¿qué se obtiene como resultado de unir los puntos en una grá-
fica distancia vs tiempo?

3 Al graficar los datos de distancia contra tiempo obtenidos en su actividad experimental y al unir los

puntos, ¿obtuvo una línea recta? ¿Qué representa la línea recta? ¿Cuánto vale la pendiente de la recta

obtenida? ¿Se demostró que Dd 5 k ?
Dt
4 ¿Qué obtuvo al unir los puntos de la gráfica de las magnitudes de la velocidad contra el tiempo? ¿Qué

significado físico tiene el área bajo la recta obtenida al unir los puntos? ¿Cuánto vale el área bajo la

recta?

5 ¿Qué frecuencia de vibración tiene el ticómetro que utiliza?

6 ¿Cómo determinó usted el tiempo en el experimento?

7 ¿Qué ventajas le encuentra al uso del ticómetro en el experimento?

Actividad experimental 7

Movimiento rectilíneo   Consideraciones teóricas
uniformemente acelerado
Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente
 Objetivo acelerado si la velocidad experimenta cambios igua-
les en cada unidad de tiempo. En este movimiento
A partir de un experimento, identificar las caracte- la magnitud de la aceleración permanece constante
rísticas del movimiento rectilíneo uniformemente al transcurrir el tiempo. Ejemplos de MRUA se pre-
acelerado. sentan cuando cualquier cuerpo cae en forma libre
o rueda en una pendiente. Galileo Galilei fue el
primero en hacer estudios acerca del MRUA, expe-

Grupo Editorial Patria 117

Física General

rimentando con un plano inclinado y una bola. Al a partir de la posición que se considere como ini-
usar un plano inclinado lograba una aceleración de la cial y no de marca a marca.
bola más lenta que si se dejara caer libremente.
6. Para ejemplificar, supondremos una frecuencia
  Material empleado de 90 vibraciones/s del ticómetro, mida la distan-
cia entre el punto considerado como cero o inicial
Un ticómetro, un carro, una regla graduada, un so- y la marca o punto 9, entre el cero y el punto 18,
porte metálico con pinzas de sujeción, una rampa entre el cero y el punto 27, y así sucesivamente.
de madera, una cinta adhesiva, un disco de papel Copie el cuadro 4.7 y registre las mediciones efec-
carbón y una tira de papel para el ticómetro. tuadas.

  Desarrollo de la actividad cuadro 4.7 Determinación de las magnitudes de velocidades
experimental medias (experimentales)
Tiempo
1. Monte un dispositivo como el mostrado en la figu- Dt (s) Distancia Tiempo Magnitud de la
ra 4.27. Para ello, coloque y sujete la rampa por su Dd (cm) al cuadrado velocidad media
extremo superior a una altura de unos 65 cm de 0.1 Dd /Dt (cm/s)
la superficie de la mesa de trabajo. 0.2 Dt 2 (s)2
0.3
2. En el extremo superior de la rampa, coloque y su- 0.4
jete con cinta adhesiva el ticómetro. Pregunte a su 0.5
profesor cuál es la frecuencia de vibración del ticó- 0.6
metro (ver actividad experimental 6 de este libro).
7. Con los datos del cuadro 4.7 construya una gráfica
3. Ponga el carro en el extremo superior de la ram- de distancia contra tiempo. Una los puntos obte-
pa y adhiérale uno de los extremos de la tira de nidos e interprete el significado físico de la curva
papel, misma que debe pasar por las grapas del obtenida.
ticómetro y correr libremente con el carro.
8. Grafique los datos de la distancia contra los del
Ticómetro tiempo al cuadrado e interprete el significado fí-
sico de la recta obtenida al unir los puntos.
Pinza de sujeción
9. Grafique los datos de la velocidad media contra
el tiempo e interprete el significado físico de la
recta obtenida al unir los puntos.

Barra de apoyo

Soporte metálico Tira de papel Cuestionario

figura 4.27 1 ¿Qué tipo de movimiento realiza el carro?
Dispositivo para estudiar el MRUA.
2 ¿Cómo varía la distancia que recorre el carro
4. Ponga a funcionar el ticómetro e inmediatamente respecto al tiempo transcurrido?
después suelte el carro por la rampa. Observe el
movimiento del carro y cuide que en la tira de 3 ¿Cómo determinó el tiempo transcurrido en el
papel se marquen los impactos del vibrador por experimento?
medio del disco de papel carbón del ticómetro.
4 ¿Cuál es el significado físico de la curva obte-
5. Cuando el carro llegue al extremo inferior de la nida al graficar los datos de la distancia con-
rampa desconecte el ticómetro. Retire la tira de tra el tiempo?
papel e inicie el análisis de las distancias entre los
puntos marcados. Las distancias siempre se miden 5 ¿Qué obtuvo al graficar los datos de la dis-
tancia contra los del tiempo al cuadrado?
¿Cuánto vale la pendiente de la recta?

6 ¿Qué obtuvo al graficar los datos de la magni-
tud de la velocidad media contra los del tiem-
po transcurrido? ¿Cuánto vale la pendiente
de la recta?

118 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

Actividad experimental 8

La caída de los cuerpos Nota:  Repita el experimento las veces que sea ne-
cesario para que obtenga resultados confia-
 Objetivo bles al determinar el valor promedio de los
diferentes tiempos.
Observar y cuantificar el valor de la variable tiempo
para cuerpos que caen por el plano inclinado. 4. Repita el paso anterior, pero ahora suelte la canica
más grande desde el extremo superior del riel y
  Consideraciones teóricas registre nuevamente el tiempo transcurrido para
que la canica recorra cada una de las distancias
Galileo Galilei realizó sus experimentos de caída marcadas.
libre, utilizando un plano inclinado con diferentes
ángulos, algunos muy pequeños para que la acele- Compare estos tiempos con los registrados para la
ración que experimentara una esfera al caer fuera canica pequeña. Elabore en su cuaderno el cua-
menor que si la dejara caer sobre la superficie de dro de datos experimentales respectivo.
la Tierra. De esta manera podía lograr que el mo-
vimiento de la esfera fuera más lento y pudo medir 5. Con los valores obtenidos para la distancia recorri-
las distancias que recorría en determinados lapsos da por la canica y el tiempo transcurrido para re-
de tiempo. Así pudo comprobar que la caída libre correrla, elevado al cuadrado, construya una gráfi-
es un movimiento uniformemente acelerado. ca de distancia en función del tiempo al cuadrado.

  Material empleado 6. Repita los pasos 3, 4 y 5, pero ahora coloque un
ladrillo más para que aumente la inclinación del
Un riel metálico de un metro, una canica chica, una plano.
canica grande, una regla graduada, un marcador o
un gis, un cronómetro y tres ladrillos. 7. Finalmente, aumente la inclinación del plano, co-
locando el tercer ladrillo y repita los pasos 3, 4 y 5.
  Desarrollo de la actividad
experimental cuadro 4.8 Distancias y tiempos (experimentales)
Distancia
1. En lugares visibles del riel metálico, marque dis- (cm) Tiempo Tiempo elevado
tancias cada 20 cm. 0 (s) al cuadrado (s)2
20
2. Coloque un extremo del riel metálico sobre uno 40
de los ladrillos, como se ve en la figura 4.28. 60
80
100

figura 4.28 Cuestionario
Plano inclinado para estudiar la caída de los cuerpos.
1 ¿Fue diferente el tiempo de caída de la canica
3. Suelte la canica pequeña desde el extremo supe- pequeña para cada una de las distancias mar-
rior del riel y mida el tiempo que tarda en recorrer cadas, comparado con el tiempo que transcurre
cada distancia de 20 cm. Registre en el cuadro 4.8 para que la canica grande recorra dichas dis-
de los datos experimentales, el tiempo transcurri- tancias, manteniendo la misma altura del plano
do para que la canica recorra cada una de las dis- inclinado? ¿Sí o no, y por qué?
tancias marcadas, es decir, 20 cm, 40 cm, 60 cm,
80 cm, 100 cm. Después, eleve al cuadrado cada 2 ¿Cómo varía el tiempo de caída de las cani-
uno de los datos experimentales del tiempo trans- cas al ser mayor la inclinación del plano in-
currido y anote el resultado en la tabla de datos. clinado?

3 ¿Qué sucederá en el caso extremo de que el
riel se coloque en posición vertical?

Grupo Editorial Patria 119

Física General

Actividad experimental 9

Tiro parabólico Pinza de Esfera metálica Tabla cubierta de
sujeción Riel metálico papel blanco y
 Objetivo encima de ellos
Soporte papel carbón
Identificar experimentalmente el tiro parabólico como metálico
un movimiento en dos dimensiones.
Marca inicial
  Consideraciones teóricas (posición vertical inicial)

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento x y
realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre
un plano. Algunos casos de cuerpos cuya trayecto- Extremo inferior
ria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles del riel
lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un
avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada con figura 4.29
un cierto ángulo por un jugador, o el de una pelo- Dispositivo para analizar un tiro parabólico.
ta de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto
al eje horizontal. El tiro parabólico es la resultante por su extremo superior y cuide que el extremo
de la suma vectorial de un movimiento horizontal inferior del riel coincida con el borde u orilla de
uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo la mesa.
uniformemente acelerado. El tiro parabólico es de
dos tipos: a) Tiro parabólico horizontal. Se carac- 2. Cubra la tabla de madera con hojas de papel blan-
teriza por la trayectoria de un cuerpo al ser lanzado co y después coloque encima de ellas varias hojas
en forma horizontal al vacío. El camino seguido es de papel carbón. Así, cuando la esfera de acero
curvo, resultado de dos movimientos independien- se impacte en el bloque de madera, dejará una
tes: uno horizontal con velocidad constante y otro marca en el papel blanco debido al papel carbón
vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y sobrepuesto.
va aumentando la magnitud de su velocidad en la
misma proporción de otro cuerpo que se dejará caer 3. Acerque la tabla al extremo inferior del riel y
del mismo punto en el mismo instante. La forma de señale con una marca horizontal la posición
la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un vertical inicial u origen que tendrá la esfera de
eje y con un solo foco, es decir, una parábola. b) Tiro acero al iniciar su caída libre, esto es, la raya
parabólico oblicuo. Se caracteriza por la trayectoria horizontal se marcará en la tabla a la altura del
seguida por un cuerpo cuando es lanzado a una ve- centro de la esfera cuando ésta se encuentre en
locidad inicial que forma un ángulo con el eje hori- el punto donde iniciará su caída libre.
zontal, tal es el caso de la trayectoria de una pelota
de fútbol al ser despejada con un cierto ángulo por 4. Coloque la tabla de madera a una distancia ho-
el portero. El alcance horizontal de un cuerpo en tiro rizontal (X) de 20 cm del borde de la mesa y deje
parabólico oblicuo, será el mismo con dos ángulos rodar la esfera de acero por el riel desde un punto
diferentes de tiro, con la condición de que la suma elegido de antemano. Marque dicho punto, pues
de dichos ángulos dé un resultado de 90º. El alcance éste deberá ser el mismo que utilice para soltar la
máximo horizontal se presenta cuando el ángulo de esfera metálica en los siguientes impactos.
tiro es de 45º.
5. Una vez que la esfera metálica se impacte en la
  Material empleado madera al colocarla a 20 cm del borde de la mesa,
siga alejando la tabla ahora a 40 cm, después a
Un riel metálico, una tabla de madera, un soporte 60 cm, 80 cm y finalmente a 100 cm del borde de
metálico con pinzas de sujeción, una esfera de ace- la mesa. En todos los casos suelte la esfera metá-
ro, una regla graduada, hojas de papel blanco, hojas lica desde el mismo punto que escogió y marcó
de papel carbón y una cinta adhesiva. en el riel. Recuerde: la esfera metálica recorrerá
distancias iguales, medidas horizontalmente, en
  Desarrollo de la actividad intervalos iguales de tiempo, pues en un tiro pa-
experimental

1. Monte un dispositivo como el mostrado en la figu-
ra 4.29. Para ello, coloque y sujete el riel metálico

120 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

rabólico el movimiento horizontal se realiza a cuadro 4.9 Distancias verticales
velocidad constante. (experimentales)
Distancia horizontal
6. Retire el papel carbón y mida las alturas vertica- X (cm) Distancia vertical medida
les descendidas por la esfera metálica, a partir del desde el punto inicial de descenso
punto marcado como posición vertical inicial u 0
origen al momento de iniciar su caída libre. Co- 20 Y (cm)
pie el cuadro 4.9 y registre en él la altura vertical 40
que descendió la esfera al alejar horizontalmente 60
la tabla: 20, 40, 60, 80 y 100 cm. No olvide que el 80
cuerpo está cayendo y, por tanto, el valor de Y es 100
negativo. Además, las distancias siempre se mi-
den desde la posición considerada como inicial y
no de marca a marca.

7. Con los datos del cuadro construya una gráfica
de Y contra X y una los puntos obtenidos.

Cuestionario

1 ¿Existe evidencia de que la esfera de acero sufre una aceleración constante durante su caída? Justifique
su respuesta.

2 ¿Qué interpretación física le da a la gráfica obtenida de Y vs. X?

3 ¿Cómo se interpreta el principio de independencia del movimiento horizontal y del movimiento vertical
seguido por la esfera de acero?

4 Describa el comportamiento de dos esferas que caen libremente desde la misma altura y al mismo tiempo,
pero una se suelta y la otra recibe un impulso horizontal.

5 Explique con sus propias palabras lo que representa un tiro parabólico.

Actividad experimental 10

Péndulo simple

  Objetivo Ángulo
de oscilación
Analizar en forma experimental las características
del movimiento de un péndulo simple y encontrar 121
qué factores influyen en su periodo.

  Consideraciones teóricas figura 4.30
Péndulo simple.
Un movimiento armónico simple es un movimiento
periódico, es decir, se repite a intervalos iguales de
tiempo.

Un péndulo simple está constituido por un cuerpo
pesado suspendido en un punto sobre un eje ho-
rizontal, por medio de un hilo de masa desprecia-
ble (figura 4.30). Cuando se separa un péndulo de su
posición de equilibrio y después se suelta, oscila a
uno y otro lado del mismo por efecto de su peso. El
movimiento de un péndulo es un ejemplo de movi-
miento armónico simple. El periodo de un péndulo
es el tiempo que tarda en efectuar una oscilación

Grupo Editorial Patria

Física General

completa, o sea, un ciclo. La frecuencia de un pén- place la esfera de vidrio 15 cm de su posición de
dulo es el número de oscilaciones completas o ciclos equilibrio y mida con un cronómetro el tiempo
que realiza en un segundo. Por tanto: necesario para que el péndulo realice 10 oscila-
ciones completas. Repita la experiencia anterior
T 5 1 y f 5 1 El periodo de un péndulo también pue- manteniendo constantes todos los factores menos
f T el de la masa del péndulo, para ello, coloque esfe-
ras de madera, hule y metal. Determine para cada
de ser calculado con la siguiente ecuación: caso el tiempo en que se efectuarán 10 oscilacio-
nes completas y divídalo entre 10 para encontrar
T 5 2p / el periodo de los péndulos utilizados. Copie el cua-
g dro 4.11 y llénelo con los datos obtenidos.

donde:  O 5 longitud del péndulo, se mide desde cuadro 4.11 Periodos de oscilación
el punto donde está suspendido hasta el para diferentes materiales
centro de gravedad del cuerpo pesado (experimentales)
que constituye el péndulo
Material usado para el péndulo Periodo de oscilación
g 5 m agnitud de la aceleración de la gra- de 20 cm de largo y del péndulo
vedad (s)
desplazado 15 cm de su
  Material empleado posición de equilibrio

Un soporte metálico, una pinza de sujeción, un cro- Esfera de vidrio
nómetro, una regla graduada, un transportador, hilo,
una esfera de metal, una esfera de vidrio, una esfera Esfera de madera
de madera y una esfera de hule.

  Desarrollo de la actividad Esfera de hule
experimental
Esfera de metal
1. Construya un péndulo con una esfera metálica y
un trozo de hilo de 10 cm de largo medido desde 3. Seleccione una esfera del material que desee y
el punto de suspensión hasta el centro de la esfera construya un péndulo. Realice diferentes medi-
metálica. Desplace la esfera metálica 3 cm de su ciones para encontrar el periodo, pero conserve
posición de equilibrio y mida con un cronómetro siempre la misma masa y la misma longitud, va-
el tiempo necesario para que el péndulo realice riando únicamente el ángulo inicial de oscilación.
10 oscilaciones completas. Repita lo anterior con Hágalo primero para un ángulo de 5°, después de
la misma esfera metálica, pero ahora con longitu- 10°, 15° y 20°; en cada caso cuente el tiempo en
des del péndulo de 20, 30 y 40 cm. En cada caso que se llevan a cabo 10 oscilaciones, luego divida
debe desplazar a la esfera 3 cm de su posición de ese tiempo entre 10 y hallará el periodo de osci-
equilibrio y determinar el tiempo necesario para lación. Copie el cuadro 4.12 y llénelo con los datos
que el péndulo realice 10 oscilaciones completas; obtenidos.
al dividir dicho tiempo entre 10 nos dará el perio-
do de oscilación del péndulo. Copie el cuadro 4.10
y llénelo con los datos obtenidos.

cuadro 4.10 Periodos de oscilación cuadro 4.12 Periodos de oscilación
(experimentales) para diferentes ángulos
(experimentales)

Longitud del péndulo Periodo de oscilación del péndulo Ángulo de oscilación para un Periodo de oscilación
(cm) (s) péndulo de igual masa del péndulo
y longitud (s)

10

20 5°

30 10°

40 15°

2. Ahora construya un péndulo con una esfera de 20°
vidrio y un trozo de hilo de 20 cm de largo. Des-

122 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

Cuestionario

1 De acuerdo con los datos obtenidos en el cuadro 4.10, ¿cómo influye la longitud de un péndulo en su periodo
de oscilación? Explique si el periodo varía de manera directa o inversamente proporcional a la longitud.
Justifique su respuesta.

2 Con base en los datos del cuadro 4.11, ¿si varía la masa del péndulo, varía su periodo de oscilación? Justifique
su respuesta.

3 Basándose en los resultados obtenidos en el cuadro 4.12, ¿cambia el periodo de oscilación de un péndulo si
se varía únicamente su ángulo de oscilación? Justifique su respuesta.

4 Explique por qué para determinar su periodo resulta conveniente medir el tiempo en que se realizan 10
oscilaciones del péndulo en lugar de medir el tiempo que dura una sola.

5 Con el periodo de oscilación y la longitud del péndulo, calcule el valor de la aceleración de la gravedad

en el lugar donde realiza sus experimentos. Recuerde: T 5 2p / , por lo que despejamos a g de esta ex-
presión. g

Resumen

1. Todo el Universo se encuentra en constante simplemente cuerpo, resulta muy útil considerar
movimiento. Los cuerpos presentan movimien- a éste como una partícula en movimiento, es de-
tos rápidos, lentos, periódicos y azarosos. cir, como si fuera un solo punto en movimiento.

2. La mecánica es una rama de la Física, dedicada 7. En la descripción del movimiento de una partícula
al estudio de los movimientos y estados en que es necesario señalar cuál es su posición; para ello,
se encuentran los cuerpos. Describe y predice las se usa un sistema de referencia. Existen dos tipos
condiciones de reposo y movimiento de los cuer- de sistemas de referencia: el absoluto y el rela-
pos bajo la acción de las fuerzas. Se divide en dos tivo. El sistema de referencia absoluto considera
partes: Cinemática. Estudia los diferentes tipos de un sistema fijo de referencia; y el relativo consi-
movimiento de los cuerpos sin atender las causas dera al sistema de referencia móvil. En realidad,
que lo producen. Dinámica. Estudia las causas que el sistema de referencia absoluto no existe, pues
originan el movimiento de los cuerpos. La estática no hay un solo punto en el Universo carente de
queda comprendida dentro del estudio de la diná- movimiento. Sin embargo, resulta útil considerar
mica, analiza las causas que posibilitan el equili- a los movimientos que se producen sobre la su-
brio de los cuerpos. perficie de la Tierra, suponiendo a ésta como un
sistema de referencia absoluto, es decir, fijo.
3. Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento,
deducimos que su posición varía respecto a un 8. Para describir la posición de una partícula sobre
punto considerado fijo. una superficie se utiliza un sistema de coordena-
das cartesianas o coordenadas rectangulares. En
4. El estudio de la cinemática nos permite conocer este sistema, los ejes se cortan perpendicularmen-
y predecir en qué lugar se encontrará un cuerpo, te en un punto llamado origen. El eje horizontal es
qué velocidad tendrá al cabo de cierto tiempo, o el de las abscisas o de las X, y el otro, el eje de las
bien, en qué lapso llegará a su destino. ordenadas o de las Y. Para determinar la posición
de una partícula, también se utilizan las coordena-
5. El movimiento de los cuerpos puede ser en una das polares.
dimensión o sobre un eje, por ejemplo, un tren que
se desplaza en línea recta. En dos dimensiones o 9. La distancia recorrida por un móvil es una magni-
sobre un plano, como el movimiento de un disco tud escalar, ya que sólo interesa saber cuál fue la
compacto, la rueda de la fortuna, el de un avión magnitud de la longitud recorrida por el móvil du-
al despegar o aterrizar, o el de un proyectil cuya rante su trayectoria seguida sin importar en qué
trayectoria es curva. En tres dimensiones o en el dirección lo hizo. En cambio, el desplazamiento
espacio, como el de un tornillo que al hacerlo girar de un móvil es una magnitud vectorial porque co-
con un desarmador penetra en la pared. rresponde a una distancia medida en una direc-
ción particular entre dos puntos, el de partida y el
6. Para el estudio del movimiento de cualquier ob- de llegada.
jeto material, también llamado cuerpo físico, o

Grupo Editorial Patria 123

Física General

10. La velocidad y la rapidez generalmente se usan ello, cuando un móvil tiene un desplazamiento
igual a cero en cierto intervalo de tiempo puede
como sinónimos de manera equivocada; no obs- significar que no se ha movido, pero también
puede significar que se movió de un punto ini-
tante, la rapidez es una cantidad escalar que cial y regresó al mismo punto, con lo cual, aun-
que recorrió una distancia, su desplazamiento
únicamente indica la magnitud de la velocidad, fue cero.

y la velocidad es una magnitud vectorial, pues

para quedar bien definida requiere que se se-

ñale además de su magnitud, su dirección y su

sentido. La velocidad se define como el despla- 17. Cuando la velocidad de un móvil varía, deci-
mos que sufre una aceleración. Por definición,
zamiento reqauleizatadrodapoernunefmecótuvialrdloi:viydi5dodt e.ntLrea aceleración es la variación de la velocidad de
el tiempo un móvil en cada unidad de tiempo. Si el móvil

dirección que lleva la velocidad de un cuerpo y.
t
móvil queda determinada por la dirección en la parte del reposo: a 5 Si el móvil no parte del

cual se efectúa su desplazamiento. reposo, la magnitud de la aceleración será igual

11. Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en a: a 5 yf 2 y0 .
la cual realiza desplazamientos iguales en tiem- t
pos iguales, efectúa un movimiento rectilíneo
uniforme (MRU). Cuando se trate del movimien- 18. La aceleración es una magnitud vectorial y su
to de un móvil en línea recta, recorriendo despla- signo será igual al que tenga la variación de la
zDDadtm5ienkt5osciognusatlaenstee.n tiempos iguales, la relación velocidad. Por tanto, la aceleración es positiva
cuando el cambio en la velocidad también es
positivo, y será negativa si el cambio en la velo-
cidad es negativo.

12. Al graficar los datos de la magnitud del des- 19. En un movimiento rectilíneo uniformemente
plazamiento de un móvil en función del tiempo acelerado (MRUA) la velocidad experimenta
que tarda en realizarlo, la pendiente de la cur- cambios iguales en cada unidad de tiempo. En
va obtenida al unir los puntos representará la este movimiento, la magnitud de la aceleración
magnitud de su velocidad. Si en una gráfica de permanece constante al transcurrir el tiempo.
la magnitud del desplazamiento en función del Éste es el caso de la caída libre de los cuerpos y
tiempo se obtiene una línea recta al unir los pun- del tiro vertical.
tos, entonces la velocidad permanece constante
siempre y cuando no cambie de dirección la tra- 20. Cuando se grafican los datos de la magnitud de
yectoria del móvil. la velocidad de un móvil en función del tiem-
po, la pendiente de la curva obtenida al unir los
13. En una gráfica de la magnitud de la velocidad en puntos representa la magnitud de la acelera-
función del tiempo, el área bajo la curva repre- ción que experimenta dicho móvil. En una grá-
senta la magnitud del desplazamiento del móvil. fica de la magnitud de la aceleración en función
del tiempo, el área bajo la curva representa la
14. Como la mayoría de los movimientos realizados magnitud de la velocidad. En una gráfica de
por los cuerpos no son uniformes, generalmen- la magnitud del desplazamiento-tiempo al cua-
te se habla de la velocidad media de un móvil, drado, la pendiente de la curva representa 1/2
la cual representa la relación entre el desplaza- de la magnitud de la aceleración.
miento total hecho por un móvil y el tiempo que
tarda en efectuarlo. Cuando un móvil experi- 21. En el MRUA se utilizan las siguientes ecuaciones
menta dos o más velocidades distintas durante su para calcular las magnitudes de los desplaza-
movimiento, se puede obtener la magnitud de su mientos:
velocidad promedio si sumamos las magnitudes
de dichas velocidades y las dividimos entre el nú- a) ddd 555 yyyyyyyyy000222ffffffttt222111222222111aaayyyyyyaaa000000222222tttttt222
mero de magnitudes de velocidades sumadas. b) ddd 555
c) ddd 555
15. Cuando en el movimiento de un cuerpo los in-
tervalos de tiempo considerados son cada vez Y para calcular las magnitudes de las velocida-
más pequeños, la velocidad media se aproxima des finales se usan las ecuaciones:
a una velocidad instantánea. Pero si el intervalo
de tiempo es tan pequeño que casi tiende a cero,
la velocidad del móvil se llama instantánea.

16. El desplazamiento de un móvil no representa a) yf 5 y0 1 at
la distancia recorrida, sino la distancia entre el
punto de origen y el punto de llegada de dicho b) yf2 5 y02 1 2 ad
móvil, medida en una dirección particular. Por

124 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

22. Para calcular la magnitud desplazamiento de 26. El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento
un móvil con un MRUA se puede utilizar cual- realizado por un cuerpo en dos dimensiones o
quiera de las tres ecuaciones anteriores, depen- sobre un plano. Algunos ejemplos de los cuer-
diendo de los datos o de la que se considere más pos cuya trayectoria corresponde a un tiro pa-
sencilla; esto también sucede con las dos ecua- rabólico son: proyectiles lanzados desde la su-
ciones para la magnitud de la velocidad final. perficie de la Tierra o desde un avión, el de una
pelota de fútbol al ser despejada por el portero,
23. Un cuerpo tiene una caída libre si desciende o el de una pelota de golf al ser lanzada con
sobre la superficie de la Tierra sin sufrir nin- cierto ángulo respecto al eje horizontal. Una pa-
guna resistencia originada por el aire o por rábola es una curva abierta, simétrica respecto
cualquier otra sustancia. De manera práctica, a un eje y con un solo foco.
cuando la resistencia del aire sobre los cuer-
pos se puede despreciar por ser tan pequeña 27. El tiro parabólico es la resultante de la suma vec-
es posible interpretar su movimiento como
una caída libre. Todo cuerpo al caer, alcanza torial de un movimiento horizontal uniforme y de
su velocidad terminal, cuando su peso tiene la
misma magnitud que la fuerza debida a la re- un movimiento vertical rectilíneo uniformemente
sistencia del aire.
acelerado. Hay dos tipos de tiro parabólico: Tiro

horizontal, se caracteriza por la trayectoria que

sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmen-

24. La aceleración de la gravedad es una magni- te al vacío, sigue un camino curvo debido a dos
tud vectorial cuya dirección está dirigida hacia
el centro de la Tierra; además, su magnitud va- movimientos independientes: uno horizontal con
ría según el lugar, pero para fines prácticos se
considera en forma aproximada como: g 5 29.8 velocidad constante y otro vertical que se inicia
m/s2. El signo menos es porque la aceleración
de la gravedad está dirigida hacia abajo. To- con una velocidad cero, la cual va aumentando su
dos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños,
en ausencia de fricción caen a la Tierra con la magnitud en la misma proporción de otro cuerpo
misma aceleración. La aceleración gravitacio-
nal produce sobre los cuerpos con caída libre que se dejara caer del mismo punto en el mismo
un movimiento uniformemente acelerado. Para
resolver problemas de caída libre se utilizan las instante. Un ejemplo de este tiro se tiene cuando
mismas ecuaciones del MRUA, pero se acos-
tumbra cambiar la letra a de aceleración por la desde un avión en vuelo se deja caer un proyectil.
g que representa la magnitud de la aceleración
de la gravedad, y la letra d de distancia por la h Tiro oblicuo, se caracteriza por la trayectoria se-
que representa a la altura.
guida por un cuerpo cuando es lanzado con una

velocidad inicial que forma un ángulo con el eje

horizontal. Éste es el caso de una pelota de golf

cuando el jugador hace su tiro inicial de salida im-

primiéndole cierta velocidad con un determinado

ángulo. Para resolver problemas de tiro parabóli-

co oblicuo se descompone la velocidad del cuerpo

en sus componentes rectangulares, usando la ex-

plarevseiólonciyd0av d5iynisceianl u para calcular la magnitud de
vertical y la expresión yH 5 y
25. El tiro vertical es un movimiento que se mani- cos u para determinar la magnitud de la velocidad
fiesta cuando un cuerpo se lanza verticalmente
hacia arriba, observándose que su velocidad va horizontal, ésta será constante mientras el cuerpo
disminuyendo hasta anularse al alcanzar su al-
tura máxima. Inmediatamente inicia su regreso permanezca en el aire. Al conocer la magnitud de
para llegar al mismo punto donde fue lanzado
y adquiere la misma magnitud de la velocidad la velocidad inicial vertical se puede calcular la
con la cual partió. De la misma forma, el tiem-
po empleado en subir es el mismo utilizado en altura máxima y el tiempo que el cuerpo tarda en
bajar. Las ecuaciones empleadas para este mo-
vimiento son las mismas de la caída libre de los subir considerando que fue lanzado en tiro verti-
cuerpos, pues también es un MRUA. En el tiro
vertical resulta importante calcular la altura cal, por lo que se usan las ecuaciones respectivas
máxima que alcanzará un cuerpo, para ello, se
usa la ecuación: a este movimiento. La magnitud del desplaza-

miento horizontal se determina al multiplicar la

magnitud de la velocidad horizontal por el tiempo

que el cuerpo dura en el aire: dH 5 yHt(aire), pero
también se puede usar la expresión:

dH 5 y02 sen 2u . Esta ecuación resulta útil cuan-
g

hmáx 5 2 y02 . Para calcular el tiempo que tarda do se desea calcular el ángulo con el cual debe
en subir usa la ecuación: t(subir) 5 2 Como ser lanzado un proyectil que parte a determina-
2g y0 . da velocidad para que dé en el blanco.
se g

el tiempo en el aire es el doble del tiempo en 28. Un movimiento circular es el que se efectúa en
un mismo plano y es el movimiento más simple
subir, se tiene: t(aire) 52 2y0 . en dos dimensiones. Un cuerpo describe un mo-
g

Grupo Editorial Patria 125

Física General

vimiento circular cuando su trayectoria es una acelerado, pero con las siguientes variantes: a)
circunferencia. Para precisar la posición de un En lugar de desplazamiento en metros hablare-
objeto colocado encima de un disco que esté gi- mos de desplazamiento angular en radianes (u
rando, se toma como origen del sistema de re- en lugar de d ). b) En vez de velocidad en m/s
ferencia al centro de la trayectoria circular; así, nos referimos a la velocidad angular en radianes/s
el vector que indica su posición para cada inter- (v en lugar de y ). c) La aceleración en m/s2 se
valo de tiempo estará determinado por el radio cambiará a aceleración angular en radianes/s2
de la circunferencia. Cuando el objeto colocado (a en lugar de a). Con estas consideraciones, las
sobre el disco se esté desplazando, su cambio ecuaciones para el MCUA son:
de posición se podrá expresar mediante despla-
zamientos del vector de posición, lo cual dará a) Para calcular las magnitudes de los despla-
lugar a desplazamientos angulares medidos en zamientos angulares:
radianes. Un radián es el ángulo central al que
corresponde un arco de longitud igual al radio y a) u 5 yyvvyvvvv0002ff2tff2tfft222111211221222aaavvvvvavaa2220t002t002t02222ttt
equivale a 57.3°. b) u 5
c) u 5
29. El tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta
u 5
completa o en completar un ciclo, recibe el nom- u 5
u 5
bre de periodo. Al número de vueltas o ciclos u 5
u 5
que efectúa un móvil en un segundo se le da el u 5

nombre de frecuencia. Como la frecuencia equi-

vale al inverso del periodo y viceversa: T 5 1 en b) Para calcular las magnitudes de las velocida-
s/ciclo f des angulares finales:
1
\ f 5 T ciclo/s. La frecuencia general- a) vf 5 v0 1 at

mente se expresa en hertz (Hz) equivalente a 1 b) vf 5 v02 1 2 au

ciclo/s. 1 Hz 5 1 ciclo/s.

30. Cuando un cuerpo tiene una velocidad angular 34. La velocidad lineal o tangencial de un cuerpo

con una magnitud constante describe ángulos que describe un MCU representa la magnitud de

iguales en tiempos iguales, por lo cual se dice que la velocidad que llevaría dicho cuerpo si saliera

su movimiento es circular uniforme. La magnitud disparado tangencialmente. Su expresión mate-

de la velocidad angular (v) representa el cociente mática es: yL 5 2pr , o bien, yL5 vr. En el SI se
mide en m/s. T
entre la magnitud del desplazamiento angular (u)

de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo:

v5 u , se mide en radianes/s. La magnitud de 35. Cuando durante su movimiento circular un cuer-
t po cambia su velocidad lineal, entonces sufre
la velocidad angular también se calcula usan- una aceleración lineal cuya magnitud se calcula
con la expresión es: aL 5 ar medida en m/s2.
do las siguientes expresiones: v 5 2p ; v 5 2pf
y ambas se miden en radianes/s. T 36. En un movimiento circular uniforme, la magnitud
de la velocidad lineal permanece constante, pero
31. Cuando un móvil con trayectoria circular aumen- su dirección cambia permanentemente en forma
ta la magnitud de la velocidad angular en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio se
constante en cada unidad de tiempo, presenta debe a la existencia de una aceleración llamada
un movimiento circular uniformemente acelera- radial porque actúa perpendicularmente a la ve-
do (MCUA); por tal motivo, la magnitud de su locidad lineal y cuya magnitud se calcula con la
aceleración angular permanece constante. expresión: ar 5 v2r medida en m/s2.

32. Como el movimiento rectilíneo uniforme tiene 37. Como la aceleración lineal representa un cam-
gran semejanza con el circular uniforme, y el rec- bio en la velocidad lineal, y la aceleración radial
tilíneo uniformemente acelerado con el circular representa un cambio en la dirección de la ve-
uniformemente variado, la interpretación de las locidad, se puede encontrar la magnitud de la
gráficas: magnitud del desplazamiento angular resultante de las dos aceleraciones mediante
tiempo, magnitud de la velocidad angular-tiempo
y magnitud del desplazamiento angular-tiempo al la suma vectorial de ellas:  aresultante 5 aL2 1 ar2 .
cuadrado se da en los mismos términos en que lo
hicimos para el MRU y el MRUA. 38. El movimiento armónico simple (MAS) es un mo-
vimiento periódico, es decir, se repite a intervalos
33. Las ecuaciones empleadas para el movimiento iguales de tiempo. Puede ser descrito en función
circular uniformemente acelerado son las mismas del movimiento circular uniforme, considerándo-
que se utilizan para el rectilíneo uniformemente lo como la proyección sobre cualquier diámetro

126 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

de un punto que se mueve en una trayectoria cir- ción es directamente proporcional al desplaza-
cular con una velocidad cuya magnitud es cons- miento del cuerpo. Como la fuerza de restitución
tante. En el MAS resultan útiles los siguientes (F ) es opuesta al desplazamiento (d ), su signo
conceptos: Elongación, distancia de una partícu- es negativo, por lo que se expresa como F 5
la a su punto de equilibrio. Puede ser positiva o 2 kd donde k es una constante cuyo valor depen-
negativa según esté hacia la derecha o hacia la de del tipo de material elástico de que se trate.
izquierda de la posición de equilibrio. Su valor
se calcula con la expresión: Y 5 r cos 2pft. Am- 40. Un péndulo simple está constituido por un cuer-
plitud, es la máxima elongación, cuyo valor será po pesado suspendido en un punto sobre un eje
igual al radio de la circunferencia. Velocidad de horizontal por medio de un hilo de masa despre-
oscilación, es el resultado de proyectar la veloci- ciable. Cuando se separa un péndulo de su po-
dad lineal del movimiento circular de un cuerpo sición de equilibrio y después se suelta, oscila a
sobre el diámetro de la circunferencia. Su expre- uno y otro lado del mismo por efecto de su peso.
sión matemática para calcular su magnitud es: El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de
y 5 22pfr sen 2pft. Aceleración de una partícu- movimiento armónico simple. Su periodo puede
la oscilante, es el resultado de proyectar sobre ser calculado con la ecuación:
el diámetro de la circunferencia la aceleración
radial del movimiento circular uniforme de un T 5 2p /
cuerpo. Su magnitud se calcula con la ecuación g
a 5 24 p2f 2Y.
De esta ecuación se desprenden las dos leyes
39. Otro ejemplo de MAS se presenta cuando un del péndulo: a) El periodo de las oscilaciones,
resorte sujeto por su parte superior sostiene por pequeñas que sean, no depende de la masa
un cuerpo en su parte inferior, y al darle un tirón del péndulo ni de la amplitud del movimiento,
hacia abajo y luego soltarlo, comienza a vibrar de sino de su longitud. b) El periodo es directa-
un lado a otro de su posición de equilibrio com- mente proporcional a la raíz cuadrada de la lon-
portándose como un oscilador armónico. Mien- gitud del péndulo, e inversamente proporcional
tras aumenta la magnitud de la fuerza del tirón a la raíz cuadrada de la aceleración causada por
aplicado al cuerpo, la magnitud de la fuerza de la acción de la gravedad. Galileo Galilei fue el
restitución que tratará de recuperar la posición primero en descubrir que el periodo de un pén-
de equilibrio del cuerpo, también se incrementa dulo es constante, este conocimiento contribu-
en la misma proporción. De acuerdo con la Ley yó a la invención de los relojes de péndulo, así
de Hooke, la magnitud de la fuerza de restitu- como mecanismos para sincronizar y regular los
movimientos.

Autoevaluación

Escriba en su cuaderno las respuestas a las siguien- 5 Utilice un ejemplo de su vida cotidiana para que
tes preguntas. Si se le presentan dudas al responder explique qué se entiende por movimiento de un
vuelva a leer la sección correspondiente del libro, cuerpo. (Sección 1)
la cual viene señalada al final de cada pregunta
para su fácil localización. 6 ¿Por qué es importante el estudio de la cinemáti-
ca? (Sección 1)
1 Por medio de un ejemplo cotidiano, explique por
qué decimos que todo el Universo se encuentra 7 Describa un ejemplo de su entorno por medio
en constante movimiento. (Introducción de la del cual explique por qué al hacer la descripción
unidad 4) de su movimiento resulta práctico considerar a
los cuerpos como partículas. (Sección 2)
2 ¿Qué estudia la mecánica y en cuántas partes se
divide? (Introducción de la unidad 4) 8 Dibuje y explique la trayectoria de una partícu-
la. (Sección 2)
3 ¿Cuál es la diferencia entre el campo de estudio
de la cinemática y el de la dinámica? 9 ¿Cuántos tipos de sistemas de referencia hay y
(Introducción de la unidad 4) en qué se diferencian? (Sección 3)

4 Explique por medio de ejemplos observables en 10 Utilice un ejemplo de su vida cotidiana, que le
su entorno, el movimiento de los cuerpos en una resulte útil para demostrar cuál es la ventaja de
dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones. considerar a la Tierra como un sistema de refe-
(Introducción de la unidad 4) rencia absoluto. (Sección 3)

11 ¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de la
partícula P de acuerdo con la siguiente figura?
(Sección 3)

Grupo Editorial Patria 127

Física General

y y (m/s)

2 x 10
1234 5
1 t (s)
1234
4321
1

p
2

12 Por medio de un ejemplo de su entorno, expli- 22 ¿Cuál es la expresión matemática para calcular
que la diferencia que existe entre distancia y la magnitud de la velocidad media? (Sección 6)
desplazamiento. (Sección 4)
23 ¿Cómo se define la velocidad instantánea? (Sec-
13 Utilice un ejemplo práctico y explique cuál es la ción 7)
diferencia entre la velocidad y la rapidez. (Sec-
ción 4) 24 ¿Por qué no es lo mismo la distancia que recorre
un móvil y el desplazamiento que realiza? (Sec-
14 Durante toda la curva el conductor de un camión ción 8)
de pasajeros logra mantener el vehículo con una
rapidez constante de 40 km/h. ¿Se mantiene 25 Cuando el desplazamiento de un móvil es cero,
constante también la velocidad? Sí o no y por ¿debe entenderse que la única explicación posible
qué. (Sección 4) es que el móvil no se ha movido? Sí o no y por qué.
(Sección 8)
15 ¿Cuál es la expresión matemática para determinar
la magnitud de la velocidad y cuáles son sus uni- 26 Con los datos de la magnitud del desplazamien-
dades en el Sistema Internacional? (Sección 4) to de un móvil en función del tiempo se obtuvo
la siguiente gráfica:

16 ¿Qué determina la dirección que lleva la veloci- d (m)
dad de un móvil? (Sección 4) 30

17 ¿Qué se entiende por movimiento rectilíneo uni- 25 DE

forme? Ponga un ejemplo. (Sección 5) 20
Dd 15 B C
18 Cuando se tiene una relación Dt 5 k, ¿de qué

tipo de movimiento se trata? (Sección 5) 10

19 ¿Qué representa el valor de la pendiente de la 5A F
recta en la siguiente gráfica? (Sección 5)
t (s)
0 1 23 456 7 89

d (m) a) ¿Qué posición tenía el móvil antes de iniciar
3 su movimiento?

2 b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad durante
el intervalo de tiempo entre los puntos B y C?
1
c) ¿Cómo se comportó la velocidad entre los pun-
t (s) tos C y D, y cuál es su magnitud?
12345
d) ¿A qué tiempo invirtió la dirección de su re-
20 ¿Qué representa el valor de área del rectángulo corrido?
en la siguiente gráfica? (Sección 5)
e) ¿Regresó al punto de partida? (Sección 8)
21 Utilice un ejemplo de su vida cotidiana para que
describa que es una velocidad media. (Sección 6) 27 Defina qué se entiende por aceleración, cuál es
su fórmula y sus unidades en el SI. (Sección 9)

28 Cuando un automóvil mantiene su velocidad cons-
tante, ¿cuánto vale su aceleración? (Sección 9)

29 Por medio de ejemplos observables en su entor-
no, describa en qué casos la aceleración es posi-
tiva y en cuál es negativa. (Sección 9)

128 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

30 En una gráfica como la de la figura siguiente, ¿qué presentan algunos cambios en las letras de va-
representa el valor de la pendiente de la recta? rias magnitudes; escriba cuáles son. (Sección 9)
(Sección 9)
38 Explique por medio de un ejemplo observable en
d (cm) su entorno, qué es un tiro vertical y escriba las
ecuaciones utilizadas para calcular la altura máxi-
40 ma, el tiempo en que se alcanza la altura máxima
y el tiempo que un cuerpo permanece en el aire.
20 (Sección 9)

t 2 (s2) 39 Explique qué es un tiro parabólico y las caracte-
0 15 10 15 20 rísticas del tiro parabólico horizontal y el oblicuo,
utilizando gráficas que describan sus trayecto-
31 En una gráfica como la de la figura siguiente, ¿qué rias. (Sección 10)
representa el área del rectángulo? (Sección 9)
40 Para resolver un problema de tiro parabólico
a (m/s2) oblicuo lo primero que se hace es descomponer a
la velocidad en sus componentes rectangulares.
4 Diga qué puede calcularse si conoce la magni-
tud de la componente inicial vertical y qué se
2 determina con la magnitud de la componente
horizontal. (Sección 10)
t (s)
0 1234 41 Explique por qué en el tiro parabólico la magni-
tud de la componente vertical de la velocidad sí
32 Escriba las tres ecuaciones que se usan para cambia uniformemente, mientras que la magni-
calcular la magnitud de los desplazamientos en tud de la componente horizontal de la velocidad
el MRUA y explique de qué depende el uso de permanece constante. (Sección 10)
cada una de ellas. Además, ¿a qué se reducen
estas tres ecuaciones cuando el móvil parte del 42 Explique las características de un movimiento
reposo? (Sección 9) circular. (Sección 11)

33 Escriba las dos ecuaciones que se usan para calcu- 43 ¿Qué es un radián? (Sección 11)
lar las magnitudes de las velocidades finales en el 44 ¿Cómo se define el periodo y la frecuencia? (Sección
MRUA y explique de qué depende el uso de cada
una de ellas. Mencione también a qué se reducen 11)
estas ecuaciones cuando el móvil parte del reposo.
(Sección 9) 45 Explique el concepto de movimiento circular
uniforme. (Sección 11)
34 Por medio de un ejemplo práctico, explique qué
se entiende por caída libre de un cuerpo, y por 46 Defina el concepto de velocidad angular y ve-
velocidad terminal del mismo. (Sección 9) locidad angular media. Escriba las ecuaciones
para calcular sus respectivas magnitudes. (Sec-
35 Explique qué sucede cuando desde una misma ción 11)
altura se dejan caer al mismo tiempo una piedra
de 20 kg y otra de 100 kg. (Sección 9) 47 En una gráfica como la de la figura siguiente, ¿qué
representa el valor de la pendiente de la recta?
36 Si se considera, para fines prácticos, que la (Sección 11)
magnitud de la aceleración de la gravedad es
de 29.8 m/s2, al transcurrir varios segundos de u (rad)
estar cayendo un cuerpo, ¿cambia la magnitud
de la aceleración de la gravedad o permanece 20
constante? Si la aceleración de la gravedad per-
manece constante, ¿qué cambia al estar cayendo 10
un cuerpo? (Sección 9)
t (s)
37 Como la caída libre es un ejemplo de MRUA, las 0 12 3 4
ecuaciones que se usan son las mismas, sólo que
48 Escriba las características de un movimiento
circular uniformemente acelerado (MCUA).
(Sección 12)

49 Explique qué se entiende por velocidad angular
instantánea. (Sección 12)

Grupo Editorial Patria 129

Física General

50 Explique cuál es el concepto de aceleración an- 65 ¿Qué beneficios se obtuvieron del descubrimien-
gular media e instantánea. (Sección 12) to hecho por Galileo Galilei acerca de que el pe-
riodo de un péndulo es constante? (Sección 13)
51 En una gráfica como la de la figura siguiente, ¿qué
representa el valor de la pendiente de la recta? Coevaluación
(Sección 12)

v (rad/s) Instrucciones: Consolide su aprendizaje, para ello
20 lea y conteste en una hoja las siguientes preguntas.
10 Luego, intercambie con un(a) compañero(a) sus res-
puestas. Coméntenlas, pónganse de acuerdo y den
respuestas comunes. Discútanlas con las demás pa-
rejas y enriquezcan sus conocimientos con las apor-
taciones de todos.

t (s) 1 Un avión vuela con una velocidad de 800 km/h
0 12 345 al Norte durante 10 min. ¿Cuál es su aceleración
durante ese lapso y por qué?
52 Escriba las ecuaciones que se usan para calcular
las magnitudes de los desplazamientos angulares 2 Un camión de carga va hacia el poniente y re-
y las magnitudes de las velocidades angulares fi- gistra en el velocímetro 70 km/h, otro camión va
nales en el MCUA. (Sección 12) hacia el oriente a 70 km/h.

53 Explique mediante un dibujo el concepto de ve- a) ¿Tienen los dos camiones la misma rapidez?
locidad lineal o tangencial. Después, escriba la Sí o no. ¿Por qué?
ecuación que se usa para encontrar su magnitud
y cuáles son sus unidades en el SI. (Sección 12) b) ¿Tienen la misma velocidad? Sí o no. ¿Por
qué?
54 Explique qué es aceleración lineal y aceleración
radial, escriba fórmulas y unidades. Diga tam- 3 Durante 30 s el velocímetro de un automóvil re-
bién cómo se determina la resultante de las dos gistra 100 km/h.
aceleraciones. (Sección 12)
a) ¿Puede asegurar que su rapidez es constante
55 Por medio de una figura describa las caracterís- durante ese lapso? Sí o no. ¿Por qué?
ticas de un movimiento armónico simple (MAS).
(Sección 13) b) ¿Puede asegurar que su velocidad es constan-
te en ese lapso? Sí o no. ¿Por qué?
56 Defina los siguientes conceptos: a) Elongación; b)
Amplitud; c) Velocidad de oscilación; d) Acelera- 4 ¿Puede tener la misma aceleración una carreta
ción de una partícula oscilante. Escriba también tirada de un caballo que un automóvil de carre-
las ecuaciones matemáticas para el cálculo de la ras? Sí o no. ¿Por qué?
magnitud de cada una de ellas. (Sección 13)
5 Una pelota de béisbol es bateada con una ve-
57 Explique mediante un dibujo las características locidad horizontal cuya magnitud es de 20 m/s y
de un oscilador armónico. (Sección 13) tarda en chocar contra el suelo 3 s.

58 Explique cómo actúa la fuerza de restitución en a) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad hori-
un cuerpo elástico y cuál es la ecuación mate- zontal al 1er. segundo? ¿Por qué?
mática usada para encontrar su magnitud. (Sec-
ción 13) b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad hori-
zontal al 2o. segundo? ¿Por qué?
59 ¿De qué depende el periodo de un vibrador ar-
mónico simple? (Sección 13) c) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad hori-
zontal justo antes de chocar contra el suelo?
60 ¿Cómo se expresa la rigidez de un resorte y a ¿Por qué?
qué equivale? (Sección 13)
6 ¿Qué le recomendaría a un paracaidista para
61 ¿Qué es un péndulo simple? (Sección 13) que al lanzarse desde un avión y antes de abrir
su paracaídas suceda lo siguiente?
62 ¿Por qué decimos que el movimiento de un pén-
dulo es un ejemplo de movimiento armónico a) Tenga una mayor rapidez en su caída.
simple? (Sección 13)
b) Tenga una menor rapidez durante su caída.
63 ¿Mediante qué ecuación encontraría el periodo de
un péndulo si conoce su longitud y la magnitud Justifique sus respuestas.
de la aceleración de la gravedad? (Sección 13)
7 Un portero desea lograr el mayor alcance horizon-
64 Escriba las dos leyes del péndulo. (Sección 13) tal al despejar el balón desde su portería. ¿Con
qué ángulo con respecto al suelo debe hacerlo?

130 Grupo Editorial Patria

4UNIDAD Cinemática

8 Un auto de carreras se encuentra recorriendo a) ¿Cuál de los dos objetos realiza un movimiento
un circuito cuya forma es redonda, mientras un circular? ¿Por qué?
disco compacto es reproducido.
b) ¿Cuál realiza un movimiento de rotación? ¿Por
qué?

Glosario

Aceleración Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Representa el cambio en la velocidad de un cuerpo en un
Se presenta cuando la velocidad experimenta cambios
tiempo determinado. iguales en cada unidad de tiempo. En este movimiento
la magnitud de la aceleración permanece constante al
Aceleración de la gravedad transcurrir el tiempo.
Debido a la fuerza gravitacional con que la Tierra atrae
Péndulo
a los cuerpos, si éstos tienen una caída libre, reciben una Está constituido por un cuerpo pesado suspendido en un
aceleración gravitacional constante que les provoca un
movimiento uniformemente variado. La magnitud de esta punto sobre un eje horizontal por medio de un hilo de
aceleración es de 29.8 m/s2. masa despreciable.

Aceleración instantánea Periodo
Se obtiene cuando la velocidad cambia en un tiempo tan Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta com-

pequeño que casi tiende a cero. pleta o en completar un ciclo.

Ángulo Radián
Abertura comprendida entre dos radios, que limitan un Ángulo central al que corresponde un arco de longitud

arco de circunferencia. igual al radio (1 rad 5 57.3°).

Caída libre Tiro parabólico
Se presenta cuando un cuerpo desciende sobre la super- Es la resultante de la suma vectorial de un movimiento

ficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo
por el aire o por cualquier otra sustancia. uniformemente variado.

Cinemática Tiro parabólico horizontal
Estudia el movimiento de los cuerpos sin atender a las Es la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al

causas que lo producen. ser lanzado horizontalmente al vacío.

Frecuencia Tiro parabólico oblicuo
Es el número de vueltas o ciclos que efectúa un móvil en Es la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado

un segundo. con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje
horizontal.
Movimiento
Es cuando la posición de un cuerpo está variando respec- Tiro vertical
Se presenta cuando un cuerpo se lanza de una manera
to a un punto considerado fijo.
vertical hacia arriba.
Movimiento armónico simple
Es un movimiento periódico, es decir, se repite a intervalos Velocidad
Desplazamiento realizado por un móvil, dividido entre el
iguales de tiempo. Puede ser descrito en función del movi-
miento circular uniforme, considerándolo como la proyec- tiempo que tarda en efectuarlo.
ción sobre cualquier diámetro de un punto que se mueve
en una trayectoria circular con velocidad constante. Velocidad angular
Representa el cociente entre el desplazamiento angular
Movimiento circular
Es el que describe un cuerpo cuando su trayectoria es una de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo.

circunferencia. Velocidad instantánea
Se obtiene cuando un cuerpo se desplaza en un tiempo
Movimiento circular uniforme
Se produce cuando un cuerpo con magnitud de velocidad tan pequeño que casi tiende a cero.

angular constante describe ángulos iguales en tiempos Velocidad lineal o tangencial
iguales. Representa la velocidad que llevaría una partícula si sa-

Movimiento rectilíneo uniforme liera disparada al estar girando.
Se realiza cuando un móvil recorre distancias iguales en
Velocidad media
tiempos iguales y en línea recta. Representa la relación entre el desplazamiento total he-

cho por un móvil y el tiempo en efectuarlo.

Grupo Editorial Patria 131

5 En la unidad anterior señalamos lo siguiente: todo el Universo se
encuentra en constante movimiento y gracias al estudio de la
CONTENIDO cinemática sabemos cómo calcular el desplazamiento, la velocidad,
la aceleración y el tiempo en que un móvil con cierta velocidad se
Las fuerzas y sus efectos encontrará en un determinado lugar. En todas esas situaciones no
Leyes de la dinámica analizamos las causas del movimiento de los cuerpos. A lo largo de
Gravitación universal esta unidad estudiaremos por qué un cuerpo en reposo se pone en
Estática movimiento, o por qué un cuerpo en movimiento se detiene. Tam-
Fricción bién comprenderemos por qué los cuerpos se aceleran de manera
Trabajo mecánico uniforme al caer libremente sobre la superficie de la Tierra, y cómo la
Energía Ley de la Gravitación Universal rige el movimiento de los planetas.
Potencia mecánica Además veremos las condiciones de equilibrio de un cuerpo, y las
Impulso mecánico ventajas y desventajas de la fricción. Analizaremos los conceptos de
Cantidad de movimiento o trabajo, energía y potencia mecánicos, la relación entre el impulso y
momento lineal la cantidad de movimiento, choques elásticos e inelásticos y la Ley
Relación entre el impulso de la Conservación de la Cantidad de Movimiento. La mecánica se
y la cantidad de divide en cinemática y dinámica. La primera estudia el movimiento
movimiento de los cuerpos sin atender las causas que lo producen y la segunda
Choque elástico y choque las causas de reposo o movimiento de los cuerpos. La estática queda
inelástico comprendida dentro del estudio de la dinámica y analiza las con-
Ley de la conservación de diciones que permiten el equilibrio de los cuerpos. Así pues, con
la cantidad de movimien- el estudio de la dinámica, fundamentado en las leyes de Newton,
to o del momento lineal podremos interpretar no sólo el movimiento y el equilibrio de los
Ley de la conservación cuerpos, sino también las causas que lo producen.
del momento angular
Máquinas simples
y su eficiencia
Actividad experimental 11:
Segunda ley de Newton
Actividad experimental 12:
Equilibrio de fuerzas
paralelas
Resumen
Autoevaluación
Coevaluación
Glosario

132

Dinámica

133

Física General

1 Las fuerzas y sus efectos

Reflexione acerca de las siguientes situaciones: ¿Qué la fuerza de atracción que la Tierra ejerce sobre la man-
zana, los dos cuerpos interaccionan sin que exista con-
mueve a un barco de vela que navega por el mar? ¿Cómo tacto entre ellos; este tipo de fuerzas recibe el nombre de
logra una grúa mover y remolcar a un coche descompues- fuerzas de acción a distancia.
to para llevarlo al taller mecánico? ¿Qué tiene que hacer
un jugador de fútbol para tratar de meter con el pie una El término de fuerza lo empleamos para decir: un avión
pelota en la portería del equipo contrario? ¿Qué ocasio- se mueve por la fuerza producida por las turbinas; las
na la caída de una manzana desde la rama de un árbol? nubes y los árboles se mueven por la fuerza del viento;
Como sabemos, el barco navega en virtud de la fuerza las hojas de los árboles caen sobre la superficie de la
que el viento ejerce sobre la vela; el coche descompuesto Tierra porque ésta ejerce una fuerza sobre ellas.
es remolcado gracias a que es jalado por una fuerza que
recibe de la grúa; la pelota se mueve y puede entrar en la Sin embargo, no todas las fuerzas producen un movi-
portería debido a que con el pie recibe una fuerza al ser miento sobre los cuerpos. Pensemos en un cuerpo en
pateada; la manzana cae al suelo en virtud de la fuerza movimiento, si recibe una fuerza en sentido contrario al
gravitacional con que es atraída por la Tierra. de su movimiento puede disminuir su velocidad e inclu-
so detenerse. Al pararnos sobre una llanta de automó-
En los cuatro ejemplos anteriores y en cualquier caso vil, la fuerza provocada por nuestro peso deformará la
en que interviene una fuerza, existe como mínimo una llanta. Definir qué es una fuerza no resulta simple; no
interacción de dos cuerpos (figura 5.1). Tal fue el caso obstante, podemos decir que: una fuerza se manifiesta
viento-vela, coche-grúa, pie-pelota y manzana-Tierra. siempre que existe, cuando menos, una interacción en-
En los tres primeros casos existe un contacto físico entre tre dos cuerpos.
el cuerpo que ejerce la fuerza y el que la recibe; por ello,
reciben el nombre de fuerzas de contacto. En el caso de El efecto que una fuerza produ-
ce sobre un cuerpo depende de su
magnitud, así como de su punto de
aplicación, dirección y sentido, por
tanto, la fuerza es una magnitud
vectorial.

Para medir la intensidad de una
fuerza se utiliza un aparato llama-
do dinamómetro, su funcionamien-
to se basa en la Ley de Hooke, la
cual enuncia lo siguiente: dentro de
los límites de elasticidad las defor-
maciones que sufre un cuerpo son
directamente proporcionales a la
fuerza que reciben. El dinamóme-
tro consta de un resorte con un índi-
ce y una escala convenientemente
graduada; la deformación produci-
da en el resorte al colgarle un peso
conocido se transforma, mediante la
lectura del índice en la escala gra-
duada, en un valor concreto de la
fuerza aplicada (figura 5.2).

La unidad de fuerza usada en el Sis-
tema Internacional es el newton (N),
aunque en ingeniería se usa todavía

figura 5.1 figura 5.2

Siempre que una fuerza se manifiesta se produce, cuando menos, una Para medir la magnitud de una fuerza, como
interacción entre dos cuerpos. es la producida por el peso de un cuerpo, se
usa un dinamómetro.

134 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

el llamado kilogramo-fuerza (kgf ) aproximadamente diez eléctrica positiva, deberían rechazarse. Sin embargo,
veces mayor al newton: 1 kgf 5 9.8 N. También se utiliza las fuerzas nucleares son más intensas que las fuerzas
el gramo-fuerza (gf ) equivalente a la milésima parte del eléctricas en el núcleo y opuestas a ellas. Las fuerzas
kilogramo fuerza: 1 kgf 5 1 000 gf. nucleares manifiestan un alcance muy pequeño y su
magnitud disminuye de manera muy rápida fuera del
Resultante y equilibrante núcleo. Su magnitud se puede despreciar cuando las
distancias de separación son mayores a 10214 m.
Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo es necesa-
rio calcular el efecto neto producido por ellas, o sea, la re- 4. Fuerzas débiles, se caracterizan por provocar ines-
sultante del sistema de fuerzas, la cual tiene la propiedad tabilidad en determinados núcleos atómicos. Fue-
de producir el mismo efecto que causan todas las fuerzas ron detectadas en sustancias radiactivas naturales y
sobre el cuerpo. El cálculo de la resultante se puede ha- posteriormente, los científicos comprobaron que son
cer a través de un procedimiento gráfico, o bien, median- determinantes en casi todas las reacciones de decai-
te el cálculo matemático llamado método analítico. miento radiactivo. La magnitud de las fuerzas débiles
es del orden de 1025 veces más fuerte que las fuerzas
La equilibrante de un sistema de fuerzas es aquella fuerza gravitacionales, pero es de aproximadamente 1012 ve-
que equilibra al sistema, tiene la misma dirección y mag- ces más débil que las fuerzas electromagnéticas.
nitud que la resultante, pero con sentido contrario. (ver la
unidad 3 correspondiente a Vectores de este libro). Nuevas teorías acerca de las fuerzas
fundamentales de la naturaleza

Clasificación de las fuerzas Las semejanzas entre las fuerzas gravitacionales y las
fuerzas eléctricas ha originado que los científicos busquen
En términos generales, las fuerzas pueden clasificarse un modelo simplificado que reduzca el número de fuerzas
según su origen y características en cuatro grupos: fundamentales en la naturaleza. Es por ello que conside-
ran que las fuerzas gravitacionales y eléctricas pueden
1. Fuerzas gravitacionales, se producen debido a las ser aspectos diferentes de la misma cosa. Albert Einstein
fuerzas mutuas de atracción que se manifiestan entre (1879-1955), pasó los últimos años de su vida investigando
dos cuerpos cualesquiera del universo, y cuya causa acerca de la teoría del campo unificado, sin lograr resulta-
está en función de la masa de los cuerpos y de la dis- dos significativos. En el siglo pasado, en el año de 1967, los
tancia existente entre ellos. A estas fuerzas se debe físicos predijeron que la fuerza electromagnética y la fuer-
que los planetas mantengan sus órbitas elípticas, el za nuclear débil, mismas que se consideraban indepen-
peso de los cuerpos y que todo cuerpo suspendido cai- dientes entre sí, en realidad eran manifestaciones de una
ga a la superficie al cesar la fuerza que lo sostiene. misma fuerza. En 1984, se comprobó experimentalmente
Mientras mayor masa tenga un cuerpo, mayor será la que su predicción era correcta, y a dicha fuerza se le deno-
fuerza gravitacional con la cual atraerá a los demás mina ahora electrodébil. También se sabe, que el protón y
cuerpos. La magnitud de la fuerza gravitacional pue- el neutrón están constituidos por partículas más pequeñas
de ser muy grande si se trata de cuerpos macroscópi- llamadas quarks, por lo que se ha modificado el concep-
cos; sin embargo, es la más débil de todas las fuerzas to de fuerza nuclear. Hoy día, se considera la existencia
fundamentales. de una fuerza nuclear fuerte, que enlaza a los quarks en-
tre sí dentro de un nucleón integrado por un protón y un
2. Fuerzas electromagnéticas, son las fuerzas que man- neutrón. Es por ello que la fuerza nuclear que actúa entre
tienen unidos a los átomos y móleculas de cualquier las partículas del núcleo atómico, es interpretada como un
sustancia, su origen se debe a las cargas eléctricas. efecto secundario de la fuerza nuclear fuerte que está pre-
Cuando las cargas eléctricas se encuentran en reposo sente entre los quarks.
entre ellas se ejercen fuerzas electrostáticas, y cuan-
do están en movimiento se producen fuerzas electro- Los físicos continúan sus investigaciones, con la expecta-
magnéticas. Son mucho más intensas que las fuerzas tiva de encontrar las relaciones entre las fuerzas funda-
gravitacionales. Además, las fuerzas gravitacionales mentales de la naturaleza. Dichas relaciones mostrarían
siempre son de atracción, mientras las fuerzas electro- que los distintos tipos de fuerzas son manifestaciones di-
magnéticas pueden ser de atracción o de repulsión. ferentes de una única superfuerza. Este razonamiento se
basa en la teoría del Big Bang, que señala que el origen
3. Fuerzas nucleares, aunque no se sabe con certeza del universo se debió a una gran explosión ocurrida hace
cuál es su origen se supone que son engendradas por unos 20 mil millones de años, y que en los primeros ins-
intermedio de mesones entre las partículas del núcleo, tantes después de dicha explosión, se produjeron ener-
y son las encargadas de mantener unidas a las par- gías tan grandes que todas las fuerzas fundamentales se
tículas del núcleo atómico. Es evidente la existencia unificaron en una sola fuerza. En la actualidad, ésta es
de fuerzas atractivas en el núcleo atómico, porque sin una de las líneas de investigación más importantes que
ellas sería inconcebible la cohesión de los protones en tiene la Física.
el núcleo, toda vez que estas partículas, por tener carga

Grupo Editorial Patria 135

Física General

2 Leyes de la dinámica

Isaac Newton (1643-1727) nació en Inglaterra y ha sido se le debe aplicar una fuerza y en el momento en que se
deja de aplicar se detiene.
una de las inteligencias más brillantes del mundo, sus
conceptos aún siguen vigentes. Estudioso de las leyes Fue muchos siglos después que Galileo Galilei (1564-
naturales que rigen el movimiento de los cuerpos, obser- 1642), con base en sus experimentos, concluyó lo que
vó la caída de una manzana al suelo y a partir de ahí ahora sabemos, y es que la mesa se detiene porque exis-
estableció relaciones entre la fuerza que provocaba la te una fuerza de fricción entre la mesa y el piso que se
caída de la manzana y la fuerza que sostenía a la Luna en opone a su movimiento.
su órbita alrededor de la Tierra. En 1679 ya había deter-
minado con precisión el radio terrestre: 6 371.45 km. En Sin embargo, si la fuerza de fricción dejara de existir, al
1687 publicó su Philosophiae Naturalis Principia Mathe- tenerse una superficie totalmente lisa y sin la resisten-
matica, en este libro Newton expuso tres leyes conocidas cia del aire (que recibe el nombre de fuerza viscosa),
como Leyes de Newton o Leyes de la Dinámica, así como al darle un empujón a la mesa, ésta continuaría de ma-
la Ley de la Gravitación universal. nera indefinida en movimiento a velocidad constante
(figura 5.4). Galileo enunció su principio de la inercia en
Primera ley de Newton los siguientes términos:
o ley de la inercia
En ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo en repo-
¿Se ha puesto a reflexionar por qué los cuerpos en movi- so continuaría en reposo y uno en movimiento se move-
miento se detienen? rá en línea recta a velocidad constante.

Desde que el hombre tuvo la posibilidad de reflexionar Empujón a
acerca del porqué del movimiento de los cuerpos, se ob- la mesa
tuvieron conclusiones, algunas equivocadas, como las del
filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.), quien de acuer- Superficie de hielo
do con lo que podía observar señalaba que un cuerpo
sólo se puede mover de manera constante si existe una
fuerza actuando sobre él (figura 5.3). Aún en nuestros días,
para muchas personas esta afirmación es correcta, pues
observan que un cuerpo cualquiera como lo es un sillón,
una piedra, una mesa, etc., para seguir en movimiento

figura 5.4

Galileo demostró que si se reduce la fuerza de fricción, al darle un solo
empujón a un cuerpo, éste continúa en movimiento.

figura 5.3 El físico inglés Isaac Newton (1643-1727) aprovechó los
estudios previos realizados por Galileo y enunció su Pri-
Aristóteles reflexionaba erróneamente que para que un cuerpo se movie- mera Ley de la Mecánica o Ley de la Inercia en los si-
ra de manera constante, debería estar recibiendo permanentemente una guientes términos:
fuerza aplicada.
Todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las
fuerzas que actúan sobre él es cero.

Existen muchos ejemplos en donde se puede apreciar de
manera práctica la Primera Ley de Newton o Ley de la
Inercia. Veamos algunos:

Cuando viajamos en un automóvil, al frenar bruscamen-
te el conductor, los pasajeros se van hacia adelante, tra-
tando de seguir en movimiento, lo que puede resultar
fatal en el caso de un choque, pues es posible que se
estrellen contra el parabrisas, asientos o puertas y salgan
seriamente heridos si no llevan puesto el cinturón de se-
guridad (figura 5.5).

136 Grupo Editorial Patria

5UNIDAD Dinámica

nombre de inerciales. Experimentalmente se ha determi-
nado que todos los sistemas de referencia inerciales son
equivalentes para la medición de los fenómenos físicos.
Esto quiere decir que cuando diferentes observadores
se encuentran en sus respectivos sistemas de referencia
inerciales, pueden obtener diferentes valores numéricos
de las magnitudes físicas medidas; sin embargo, las le-
yes de la Física son las mismas para todos los observado-
res, por tanto, las relaciones entre las magnitudes físicas
medidas también serán las mismas.

Segunda ley de Newton o
ley de la proporcionalidad
entre fuerzas y aceleraciones

figura 5.5

El uso del cinturón de seguridad evita que el conductor se impacte contra Esta ley se refiere a los cambios en la velocidad que sufre
el parabrisas como consecuencia de la inercia, en caso de que el coche se un cuerpo cuando recibe una fuerza. Un cambio en la
detenga intempestivamente. velocidad de un cuerpo efectuado en la unidad de tiem-

po, recibe el nombre de aceleración. Así, el efecto de una

Cuando un jinete corre velozmente con su caballo y éste fuerza desequilibrada sobre un cuerpo produce una ace-
detiene de repente su carrera, el jinete sale disparado leración. Cuanto mayor sea la magnitud de la fuerza apli-
hacia adelante, pues trata de continuar su movimiento. cada, mayor será la magnitud de aceleración. Debemos
recordar que aceleración también significa cambios en la

Cuando un paracaidista se lanza desde un avión, recibe dirección del objeto en movimiento, independientemente
la fuerza viscosa del aire, que actúa hacia arriba, con- que la magnitud de la velocidad cambie o permanezca
trarrestando la fuerza de atracción de la gravedad, es constante; tal es el caso cuando se hace girar un cuer-
decir, su peso que actúa hacia abajo, por lo que las dos fuer- po atado al extremo de una cuerda, pues ésta aplica una
zas llegan a ser iguales y de acuerdo con la Primera Ley de fuerza al objeto y evita que salga disparado en línea recta
Newton, como la resultante de las fuerzas que actúan so- acelerándolo hacia el centro de la circunferencia.

bre el paracaidista es cero, descenderá con una velocidad Podemos observar claramente cómo varía la magnitud
constante que recibe el nombre de velocidad terminal, y de aceleración de un cuerpo al aplicarle una fuerza, rea-
cuya magnitud es aproximadamente de 200 km/h. Cabe lizando la siguiente actividad:
señalar que esta velocidad dura muy pocos segundos, ya
que al abrir su paracaídas, la fuerza viscosa del aire se in- Si a un coche de juguete le damos dos golpes diferentes,
crementa considerablemente y la velocidad terminal del primero uno leve y después otro más fuerte, el resulta-
paracaidista tendrá una magnitud muy por debajo de los do será una mayor magnitud de aceleración del mismo a
200 km/h. Es decir: ¡Se mueve sin necesidad de recibir una medida que aumenta la fuerza que recibe: a a F.

fuerza! (Ver Caída libre en la sección 9 de la unidad 4.) Por tanto, podemos decir que la magnitud de la acele-

Cabe señalar que un paracaidista de mayor peso alcanza ración de un cuerpo es directamente proporcional a la

una velocidad terminal de mayor magnitud que un para- magnitud de la fuerza aplicada, y el cociente de la mag-

caidista de menor peso. Sin embargo, el de menor peso nitud de la fuerza entre la magnitud de la aceleración

puede aumentar la magnitud de su velocidad terminal si producida es igual a una constante:

busca una posición vertical respecto al suelo, al caer de Fn
an
cabeza o de pie, en lugar de hacerlo en posición extendi- F1 5 F2 5 5k 5 constante.
da, para reducir la fuerza de fricción con el aire. a1 a2

ltepveEvsLaeinleiuansarlcftemp,ouerucsercmgeoi,ainpirmranldazaaoqncaaensldluodoruicdeeaz,hsuueloriloalaónbe,eoynniyifsbpfded:aoiaseraeocTirressnemaoansttl,cedouecelasmatoriaeaiapudarlccenmieimsuinssoósdeteoeuinsasnrere,sttprcteev,reeeioenneassevfplcgatde.aáciealraeDl.cei,cvcdltidnaaieacoarecehl,lmocliacrsoa,acaueilisnsciqaodcrimozsunesaoamted.daneoromosástmciresdoaogseamenusoegrtstursarnvtaeaaeaeisGqcttnvqlauuirdoetbuudeedcneeep.ieenqdlcolAslouuaeuetEsndnneá-líditoriEocmaullboePvisreaapentlorso:icraqriudbeeirr:leaammcFFa2aaciab5o55enma31mFFaasetla5nna4omtemN/mmmFaFFFaFFaaaaskb11112r5555r55e5emmdFFFpaaaaaFFker2222g5mem55sm/mesaaaFFn/N2/ssnnnntsa2a255,55plkakokk55rgpgmlrccoomoo/pcsnn/i2ussesatt2daal5annpdttokeed.g.dee-l137
ma 5a3Fa 5a4mN/s2 kg m/s2
a5 F 2 5 m/s2 5 kg

F1 5 F2 5 Fn 5k 5 constante.
a1 a2 an

Física GenFae5rmal

m 5 F
a
donde:  a 5 m agnitud de la aceleración en m/s2 o cm/s2
cLLcuiaaaelmrr,eppalooasrcaeqinó(umnep)aemFaadrFaFast11ei5u5c5enuuasFamalnaFau225mrcna5uyemaedNaFr/rimnensdp2c5aaoi5bg,ckencuko5iagtemmunlcmdt/oonistn/2oaycssmtao2tianv5bsnaserttkeñedag.anedltealeammpionaasers,raacreiciapna.redera--
F 5 m agnitud de la fuerza aplicada en newtons
(N) o dinas

m 5 m asa del cuerpo en kilogramos (kg) o gra-
mos (g)

1ErdCvLnqrdgcsiaeoaouaearonokcanrcrdermirgSamíetómeoauaufelpn5sluonagteuSrpeoncasexu(nio1msoakdsinnfen ag0ntguadqpdredi0mme)vreuulam,i0aárierejeeczmaeLaFaaPngmm2iFaaPdnmmaFa2aaromeit.5at55Ci5saeeac55uyuda55oymosnsGnnlmammsPg31FamdmmnaPg31oFdoooeFFaaScedsrgdablengaatcaqe5e[ealsN[rof4auesea4nrlumnrumaefoemlrteuuenvwemNSi5ldrer/n5anazseiacterairscoe2azugPdscáPgtyinrluoeeeó5aoycoqllmrndsqitretpauaakarumqaodcmeeagdmeude,enaIembameenplc/staFeFamlisruutadáé11s/sr2eem.aes5ieasuna5rcC2nscnsaslohumraidt5aosaavFóoesuieomtc22aenlenumkcñainre.5sopuigclaoarsoVnrieelebtgouaFalaeánrlcajnnnnepelacusglalbiot5mlleataoeraueusslnyanrokancdladmtesoosoii5m:adolue.ndoacnakecuenemedd(ionsntglleanoeeettli)eáass-----s: tanteelLuPedDSefou.lxsaanouegepSdrsderrnetridzeaqieseestaemtultuswue,afiisyimonlóvtnioeeognaiasmxnncncleeapudiIieócfnnnraolitenueccttrlees,aoailnaiairrsdnómoipnseeoodnsoapknruoapdrcprgtnptieireasoeomilemrmmelFFaFdaadninmuc11gneeaee/aa555nselui5mdmltu2uwk:FinemcmFaFaFroaaon5aFnisdu1á1tls5sa22o5oa5oe:5dcndgn5raofmecmeeFrpuamcaFmcuawsaFaoeNe2m2o/pmannprlstm5cedezaor25oujaersrnoa5aFaaanfykrcunnc(duaduNkye5aio5neóymrg)m.irlnazcadakaacmco/amcoes5,smnd/u2anlessaeacyst2dgmeragotaaeá5nsnnnacmitsidfdytiketutóuaueoaa.genddrdgnruaftnzeedaneaisnpce.tkioudellliridneaa--:
aaccetilveirdaFaFaa1111cd5i5ó: naFaF2222y55laaFaFmnnnn a55skak5d5eccloocnnussettarapnnottee,m..al5reFaalizar la siguiente
AmousnccFuaFaaá5r5lrifmmtuoedseu 4a0cegleleraacpiólinc.aAmhoosrFaua nlea a1 kgaF f 5a9.8 N
2 3a 4
5 kmCdgeoamgdniocihtluaodmcudaeegrlnpaiotf,uuedenrdtzaaoean5laccpoemm1Fmea2nss:o5qua3dFaee5luaa4nmTNc/iesu2rer5rapakotgmrraem/eps/2rase2slae5nmktagaslaa
fuerza y observa-
aplicamos la mis-
mlmmcspAdcacAeoiorlrelólniaaaobnbaongtgtplrcripebfaenrnloisulupssFaaPemmiiiaFra2aFaaPmmelFaS2eaetctilcaruu5mira55are5áai455c55cz55ovddarga0ooamlnammacgP3m1FmmaurPg3e1FdmFFsaa,dFFaareganegalqegpoallylo,5a5eda[ule[:adas4cara4amemrummauemosaccNasLauNa/c5it/5iiusnaaseócescmma2anlty2enlgPuPgient5mlfaa5daeeirdddcsaedsraeefokaakaclurng;lrilmgulcemNecóeoaelipmarmFaFFaaPoammnórsFaFa/2mFaaen/fzaal1r1ss11nus5icwaa5/rd5g25/c55525fseieu5q,sesatort2mfrm2moeam31FeueolmFmraeFFzaaaFuaaF5rmgrn5eacg22apn22áo5a:tmgak[sao5sko5mac4tuFaaPmrgap2smsagsoummeaoFlu5gaaFsd55demN.gi5/nna5secnnneramsámtaampmagP31F5i2u5lenFlatPgdslaofaumeng5dauaaksk5degfao[aeáuase54sk5al.rmteemdemsgiziDmaccnrecNcad/o5azaolemovo/stuasnlesner2rnlapa/gPp2eonosrysss5utsslstua2taeailaaeuaqacnnnqk54mndnleuct0mttugtmeteleaeikeeeeiara.mgvnn;.g/e,ridssaoattlls/eoaaae2yr---s2
P 5 ma ga[m1m 5 P
g

De donde la SegundFa5LePgay5admFe Newton puede escribirse
P
también como: P 5 mg[m 5 g

F 5 P a
g

donde:  F 5 m agnitud de la fuerza aplicada al cuerpo en
newtons (N)

P 5 m agnitud del peso del cuerpo en newtons
(N)

g 5 m agnitud de la aceleración de la gravedad
5 9.8 m/s2

udmcminioeafaengnrataneelcintepautleredolrdapdaeoecmrcidócaeinigroconnehainaatllulasaadceemlrdalaeeimsmpra2Famallaa5ic5casiaaóa3fgPdFaudndieaa5reerea4alzscmaccduNu/iinaóser2penrcclp5ueitcoeanka.rmdgqpmaeoum/neslee/t2aesip2cnptr5vúrooeadkpr.ugsoLcarae-- a 5 magnitud de la aceleración que recibe el
Matemáticamente se expareasam1de la siguiente manera: cuerpo en m/s2

Recuerde que el peso de un cuerpo representa una fuer-
za y, por tanto, es una magnitud vectorial, cuya dirección
es vertical y su sentido está dirigido siempre hacia el cen-

tro de la Tierra. La magnitud del peso de un cuerpo de-
pende de la magnitud de fuerza de gravedad y se mide

a 5 F en newtons en el Sistema Internacional. Su magnitud se
m calcula al multiplicar la masa del cuerpo por la magnitud

P 5 mg[m 5 P de la aceleración de la gravedad: P 5 mg.
g Grupo Editorial Patria
138
P
F 5 g a

5UNIDAD Dinámica

Tercera ley de Newton
o ley de la acción y la reacción

Para comprender el significado de esta ley, que es cono-
cida también como la ley de las interacciones, analice los
siguientes hechos:

1. Cuando se patea una pelota de fútbol (acción) se ejer-
ce una fuerza sobre ella que la impulsa, pero a su vez,
la pelota ejerce otra fuerza (reacción) de la misma
intensidad o módulo, en la misma dirección, pero en
sentido contrario y que se manifiesta claramente por
el efecto que la patada produce en el pie (figura 5.6).
¿Qué sucedería si en vez de patear una pelota se pa-
tea con fuerza una roca?

figura 5.7
El imán atrae a los clips con la misma fuerza que éstos atraen al imán.

figura 5.6 4. Debido al escape de los gases por la abertura inferior
La acción que produce la fuerza que aplicamos cuando pateamos una pelota, de la cámara de combustión de un cohete (acción) se
ocasiona una fuerza de reacción que se manifiesta sobre nuestro pie. produce el empuje necesario para su ascenso (reac-
ción).
2. Cuando caminamos, debido a la fuerza de fricción en-
tre nuestros zapatos y el suelo, empujamos al suelo en 5. Cuando nos paramos sobre cualquier superficie ejer-
un sentido (acción) y el suelo nos empuja de manera cemos sobre ésta una fuerza hacia abajo (acción) y al
que nos desplazamos en sentido contrario (reacción). mismo tiempo la superficie ejerce una fuerza hacia
arriba bajo nuestro cuerpo (reacción). La intensidad y
3. Un imán se acerca a un clip y se observa cómo el imán dirección de las fuerzas son las mismas, pero en sen-
atrae al clip (acción); sin embargo, el clip también atrae tido contrario.
al imán (reacción), con la misma intensidad y dirección,
pero con sentido contrario (figura 5.7). Estos cuantos ejemplos nos permiten concluir que siem-
pre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo,
éste también ejerce una fuerza sobre aquél, de la mis-
ma intensidad o módulo, en la misma dirección, pero en
sentido contrario. La Tercera Ley o Ley de la acción y la
reacción, se puede enunciar de la siguiente manera:

A toda acción corresponde una reacción de la misma
magnitud o intensidad, en la misma dirección pero con
diferente sentido.

Para interpretar correctamente esta ley debemos tomar
en cuenta que la fuerza que produce la acción actúa so-
bre un cuerpo y la fuerza de reacción actúa sobre otro.
Por tanto, nunca actúan sobre el mismo cuerpo, sino
que son una pareja de fuerzas que obran sobre distintos
cuerpos, razón por la cual no producen equilibrio.

Pensemos en lo que sucede al empujar un automóvil
como el de la figura 5.8.

Al empujar el carro hacia adelante, éste ejerce una re-
acción igual, pero en sentido opuesto; sin embargo, se

Grupo Editorial Patria 139