Buku Bank Soal Logika dan Himpunan

LOGIKA DAN HIMPUNAN

Ira Vahlia, M. Pd.
Yeni Rahmawati, ES, M.

1

Mata KuliaUh nLoigvikearDsaintaHsimMpuunhanammadiyah Metro

Kata Pengantar

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan
rahmat, hidayah, dan rizki – Nya sehingga buku ini dapat
terselesaikan. Terima kasih untuk semua pihak yang telah
membantu dalam pikiran, ide, dan solusinya sehingga buku ini
dapat terselesaikan sebagai bahan ajar untuk mata kuliah
Logika dan Himpunan.

Buku ini dibuat dengan tujuan agar dapat dijadikan
sebagai bahan ajar kuliah mahasiswa matematika FKIP UM
Metro. Buku ini disusun sedemikian sehingga mahasiswa dapat
memahami materi – materi tentang logika dan himpunan.
Dalam buku ini berisi kumpulan contoh – contoh soal tiap
babnya mulai dari yang mudah sampai yang sulit agar
mahasiswa semakin memahami materi – materi tiap babnya.
Dengan adanya buku ini diharapkan mahasiswa akan semakin
mudah dalam memahami setiap materi yang akan diberikan.
Buku ini hanya merupakan salah satu buku pegangan dan
sebaiknya mahasiswa mencari buku – buku pegangan yang lain
agar semakin menambah wawasan tentang logika dan
himpunan.

Penulis menyadari buku ini masih jauh dari sempurna,
untuk itu kami mengharapkan kritik dan sarannya yang

ii

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

mendukung untuk memperbaiki dan meningkatkan isi dari
buku ini.

Februari 2021
Penulis,

iii

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Daftar Isi

Judul...................................................................................................... i
Kata Pengantar................................................................................... ii
Daftar Isi...............................................................................................iv
BAB I..................................................................................................... 1

Proposisi........................................................................................... 1
BAB II....................................................................................................12

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi................................. 12
BAB III.................................................................................................. 22

Hukum – Hukum Logika..............................................................22
BAB IV...................................................................................................31

Kuantor Logika dan Ingkarannya..............................................31
BAB V.................................................................................................... 40

Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens........................ 40
BAB VI...................................................................................................52

Himpunan dan diagram Venn.....................................................52
BAB VII................................................................................................. 60

Operasi Himpunan.........................................................................60
BAB VIII............................................................................................... 71

Notasi dan Nilai Fungsi................................................................71
BAB IX...................................................................................................85

Grafik Fungsi atau Pemetaan.....................................................85

iv

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB X.................................................................................................... 100
Aljabar Fungsi................................................................................ 100

BAB XI...................................................................................................111
Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi........................................ 111

Daftar Pustaka.................................................................................... 121

v

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB I

PROPOSISI

1. Apa yang dimaksud dengan Proposisi?
Penjelasan:
Proposisi atau pernyataan merupakan kalimat yang
mengandung nilai benar (B) atau salah (S) tetapi tidak
sekaligus kedua – duanya.

2. Apa yang dimaksud dengan Operator Logika?
Penjelasan:
Operator logika adalah lambang – lambang yang digunakan
untuk mengkombinasikan proposisi.

3. Apa yang dimaksud dengan Kalimat Terbuka?
Penjelasan:
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya.

4. Perhatikan apakah kalimat – kalimat berikut merupakan
proposisi atau bukan, berikan alasan pada setiap jawaban
yang dipilih!
a) Wisata Puncak Mas terletak di Sukadana Ham, Kota
Bandar Lampung.

1

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

b) Tari Sigeh Punguten merupakan salah satu tari kreasi
dari daerah Jawa Barat.

c) Cepat bersihkan lantai itu!
d) 10 adalah bilangan ganjil.
e) Gaun merah itu terlihat indah.

Penjelasan:

a) Kalimat tersebut merupakan Proposisi, karena kalimat
tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu
“Benar” atau “Salah”. Benar Wisata Puncak Mas
terletak di Sukadana Ham, Kota Bandar Lampung.
Jadi proposisi kalimat tersebut bernilai benar (B).

b) Kalimat tersebut merupakan Proposisi, Tari Sigeh
Punguten merupakan salah satu tari kreasi dari daerah
Lampung. Jadi proposisi kalimat tersebut bernilai salah
(S).

c) Kalimat tersebut Bukan Proposisi, melainkan kalimat
perintah.

d) Kalimat tersebut merupakan Proposisi. 10 adalah
bilangan genap. Jadi proposisi kalimat diatas bernilai
Salah (S)

e) Kalimat diatas bukan lah proposisi, karna suatu gaun
yang terlihat indah di mata satu orang dengan orang
lainnya belum tentu sama, keindahan adalah sesusatu
yang relatif.

2

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

5. Tentukan inkaran atau negasi dari pernyataan dibawah ini!
a) p : 7 − 3 = 4

b) q : Maura suka bermain piano
c) t : 6 + 8 < 7
d) u : 5 adalah bilangan ganjil

Penyelesaian:
a) p : 7 − 3 = 4

~ : − ≠
b) q : Maura suka bermain piano

~q : Maura tidak suka bermain piano
c) t : 6 + 8 < 7

~ : + ≥
d) u : 5 adalah bilangan ganjil

~u : bukan bilangan ganjil

6. Diketahui:
p : Anis kuliah di UM Metro
q : anis bekerja di PT Pertamina
Tentukan nilai kebenaran dari ^ !

Penyelesaian:

p : Anis kuliah di UM Metro (B)

q : Anis bekerja di PT Pertamina (S)
Maka ^ : Anis kuliah di metro dan bekerja di PT

Pertamina (S)

7. Tentukan invers dari pernyataan berikut!

3

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

a. Jika kakak kotor,maka kakak mandi
b. Jika 22 = 4, maka 42 = 16

Penyelesaian:

a. Jika kakak tidak kotor, maka kakak tidak mandi
b. Jika 22 ≠ 4, maka 42 ≠ 16

8. p : Sinta pergi ke pasar ............................(B)
q : Sinta membaca buku ..........................(S)
Dari pernyataan di atas tentukan ^ !
Penyelesaian:
Diketahui bahwa p (B) dan q (S),
Maka ^ : Sinta pergi ke pasar dan membaca buku (S).

9. Temukan nilai kebenaran dari ( ^ ) ~ menggunakan
tabel kebenaran!
Penyelesaian:

^ ~ ( ^ ) ~

BB B S B

BS S B B

SB S S S

SS S B B

4

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

10. Temukan nilai kebenaran dari (~ → )^~ menggunakan
tabel kebenaran!
Penyelesaian:

~ ~ ~ → (~ → )^~

BB S S B S

BS S B B B

SB B S B S

SS B B S S

11. Apakah kalimat “selamat datang” merupakan kalimat
proporsi? Jelaskan!
Penjelasan:
Bukan. Karena kalimat tersebut tidak mengandung nilai
benar atau salah.

12. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataan implikasi berikut.

“Jika Amrih bersyukur maka Amrih akan bahagia”

Penyelesaian:

 Konvers : “Jika Amrih bahagia, maka Amrih
bersyukur”

 Invers : “Jika Amrih tidak bersyukur maka Amrih
tidak akan bahagia”

5

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

 Kontraposisi: “Jika Amrih tidak bahagia, maka Amrih
tidak bersyukur”

13. “Jika aku berbadan tinggi, maka aku akan menjadi model”
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari pernyataan
tersebut!
Penyelesaian:
a. Invers : Jika aku tidak berbadan tinggi, maka aku
tidak akan menjadi model.
b. Konvers : Jika aku akan menjadi model, maka aku
berbadan tinggi.
c. Kontraposisi : Jika aku tidak akan menjadi model,
maka aku tidak berbadan tinggi.

14. Tuliskan konvers dari pernyataan berikut!

a. Jika 3 × 4 = 12 , maka 3 × 5 = 15

b. Jika sapi makan rumput, maka Joko Widodo presiden

Indonesia

Penyelesaian:

a. Jika 3 × 5 = 15, maka 3 × 4 = 12
b. Jika Joko Widodo presiden Indonesia, maka sapi

makan rumput.

6

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

15. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut.
“Semua kucing memiliki penglihatan yang baik di malam
hari”
Penyelesaian:
 Pernyataan berkuantor : “Semua kucing memiliki
penglihatan yang baik di malam hari”
 Ingkaran: “Beberapa kucing tidak memiliki
penglihatan yang baik di malam hari”

16. Invers dari pernyataan "Jika = 2 maka 2 = 4” adalah ....
Penyelesaian:
Jika ≠ 2 maka 2 ≠ 4
Pembahasan :
Invers adalah negasi dari implikasi, sehingga invers dari
implikasi tersebut adalah "Jika ≠ 2 maka 2 ≠ 4”.

17. Kontraposisi dari kalimat "Jika kamu pandai dalam
matematika maka kamu tidak kesulitan belajar komputer"
adalah...
Penyelesaian:
“Jika kamu kesulitan belajar komputer maka kamu tidak
pandai dalam matematika”
Pembahsan :
Kontraposisi adalah kebalikan dan negasi dari suatu
implikasi, sehingga kontraposisi di atas adalah "Jika kamu

7

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

kesulitan belajar komputer maka kamu tidak pandai dalam
matematika".

18. Konvers dari kalimat "Jika lampu mati, maka dia tidak
belajar" adalah...
Penyelesaian:
“Jika dia tidak belajar, maka lampu mati”
Pembahasan :
Konvers dari implikasi di atas adalah "Jika dia tidak
belajar, maka lampu mati".

19. Di berikan pernyataan :
p : tahun ini kemarau panjang
q : tahun ini hasil padi meningkat
nyatakan dengan kata-kata :
a. →
b. ~ → ~
c. → ~
Penyelesaian:

a. → : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil
padi meningkat.

b. ~ → ~ : Jika tahun ini tidak kemarau panjang
maka hasil padi tidak meningkat.

c. → ~ : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil
padi tidak meningkat.

20. Diketahui :

8

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

p : Universitas Muhammadiyah Metro dibentuk pada
tanggal 30 Mei 1967.
q : Program Studi Pendidikan Matematika Universitas
Muhammadiyah Metro didirikan pada 19 Juli 1989.
Tentukan nilai kebenaran dari ^ !

Penyelesaian:
p : Universitas Muhammadiyah Metro dibentuk pada
tanggal 30 Mei 1967 …. (B)
q : Program Studi Pendidikan Matematika Universitas
Muhammadiyah Metro didirikan pada 19 Juli 1989. … (B)

Maka ^ : “Universitas Muhammadiyah Metro dibentuk
pada tanggal 30 Mei 1967 dan Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Muhammadiyah Metro didirikan
pada 19 Juli 1989. Bernilai benar (B).

21. Diketahui :
: 10 + 5 = 13
: 12 + 2 = 14
Tentukan nilai kebenaran dari ^ !
Penyelesaian:

: 10 + 5 = 13 ……………………………….(S)

: 12 + 2 = 14…...…………………………..(B)

Maka ^ : 10 + 5 = 13 dan 12 + 2 = 14………. (S)

9

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

22. Manakah diantara kalimat berikut ini yang merupakan
kalimat terbuka!
1) A adalah ibu kota Jakarta
2) 2 + 4 = 10
3) Hasil pembagian dari 40 dan 5 adalah 8
4) 20 + 7 = 26
5) 3 – 5 = 10
Penyelesaian:
Dapat diketahui bahwa ciri dasar kalimat terbuka adalah
adanya peubah atau variabel. Jadi dapat disimpulkan
bahwa kalimat terbuka terdapat pada nomor 1), 2), dan 5).
Sedangkan kalimat nomor 3) dan 4) merupakan proposisi
benar (B) dan salah (S).

23. Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : wanita itu pendek
q : wanita itu cantik
Nyatakan dalam bentuk lambang – lambang proposisi
a) Wanita itu pendek dan cantik
b) Wanita itu tidak pendek dan cantik
c) Wanita itu pendek atau tidak cantik
Penyelesaian :
a) ^
b) ~ ^
c) ˇ~

10

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

24. p : Dinda mendapat hadiah
q : Dinda rajin belajar
Nyatakan menggunakan pernyataan majemuk diatas!
a) ~ ^ ~
b) ~ ˇ
c) →
penyelesaian :
a) Dinda tidak mendapat hadiah dan Dinda tidak rajin
belajar
b) Dinda tidak mendapat hadiah dan Dinda rajin belajar
c) Jika Dinda mendapat hadiah maka Dinda rajin belajar

25. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dan proposisi
berikut !
“Jika Doni pintar, maka Doni lulus tes CPNS”
Penyelesaian :
 Konvers : jika Doni lulus tes CPNS, maka Doni pintar.
 Invers : jika Doni tidak pintar, maka Doni tidak lulus
tes CPNS.
 Kontraposisi : jika Doni tidak lulus CPNS, maka Doni
tidak pintar.

11

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB II

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN KONTINGENSI

1. Apa yang dimaksud dengan:
a) Tautologi
b) Kontradiksi
c) Kontingensi

Penjelasan:
a) Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu
benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
dari pernyataan – pernyataan komponennya, tidak
peduli bagaimanapun nilai kebenaran kalimat
penyusunnya atau pernyataan yang disimbolkan
dengan (B).
b) Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu
bernilai salah tidak peduli bagaimanapun nilai
kebenaran kalimat penyusunnya yang disimbolkan
dengan (S).
c) Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang bukan
suatu tautology maupun kontradiksi yang memiliki
nilai kebenaran yang benar dan salah.

2. Apakah “3 + 4 = 10” merupakan kalimat terbuka?
Penjelasan:
Iya. Karena dapat ditentukan benar atau salahnya apa bila
diganti dengan 2.

12

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

3. Temukan kebenaran dari “ ~ → ( ∨ )” menggunakan
tabel kebenaran!
Penyelesaian:

~ ∨ ~ → ( ∨ )

BB S B B

BS S B B

SB B B B

SS B S S

4. ( ∨ ) → . Merupakan pernyataan?

Penyelesaian: ( ∨ ) →
Tabel kebenaran ( ∨ ) →

( ∨ )

B BB B

B SB S

S BB B

S SS B

Jadi, Pernyataan ( ∨ ) → merupakan sebuah

pernyataan kontingensi, dimana komponen nilai

kebenarannya terdapat nilai benar (B) dan salah (S).

5. ( ^ ) → . Merupakan pernyataan majemuk tautologi,

kontradiksi, atau kontingensi?

Penyelesaian : ( ^ ) →
Tabel kebenaran ( ^ ) →

( ^ )

BB B B

13

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BS S B
B
SB S B
merupakan sebuah
SS S nilai kebenarannya

Jadi, Pernyataan ( ^ ) →

pernyataan tautologi, dimana

bernilai benar (B) semua.

6. ( → ~ ) ∨ ~ . Buktikan bahwa pernyataan majemuk
tersebut merupakan kontingensi!

Penyelesaian:

Tabel kebenaran
~ ( → ~ ) ( → ~ ) ˅ ~

BB S B S

BS B S B

SB S B S

SS B B B

7. Tunjukanlah bahwa peryataan berikut merupakan
kontradiksi ~ ^ ( ↔ ~ )

Penyelesaian:

Tabel kebenaran
~ ( ↔ ~ ) ~ ^ ( ↔ ~ )

BB S S S

BS S S S

SB B S S

SS B S S

14

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

8. Jika ( ∨ ) ∨ ~( ^ ) termasuk tautologi, buktikan

menggunakan tabel kebenaran!

Penyelesaian :

∨ ^ ~ (p ^ q) ( ∨ )
∨ ~ ( ^ )
BB B B S
B

BS B S B B

SB B S B B

SS S S B B

Pernyataan diatas Tautologi dikarenakan bernilai benar

untuk semua kasus.

9. Apakah pernyataan ini ~( ∨ ) ↔ ( ∨ ) termasuk

kontadiksi, buktikan menggunakan tabel kebenaran!

Penyelesaian: ~( ∨ ) ~( ∨ ) ↔ (
∨ ∨ )

BB B S S

BS B S S

SB B S S

SS S B S

Pernyataan di atas termasuk kontradisksi karena

bernilai salah untuk semua kasus.

10. Jika [( ^ ) ∨ ] ↔ termasuk kontingensi, buktikan
menggunakan tabel kebenaran!
Penyelesaian:

15

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

^ ( ^ ) [( ^ ) ∨ ]
∨ ↔

BB B B B

BS S B S

SB S S S

SS S S S

Kerena benilai salah benar maka disebut Kontingensi.

11. ( ∨ ) → ~
Pernyataan diatas merupakan tautologi, kontradiksi atau

kontingensi?

Penyelesaian: ~ ∨ ( ∨ ) → ~


BB SB S

BS BB B

SB SB S

SS BS B

Jadi, pernyataan ( ∨ ) → ~ adalah kontingensi.

12. Buktikan bahwa ( ~ ∨ ~ ) ∨ bernilai benar untuk

semua kasus, jika ia benar maka termasuk tautologi!

Penyelesaian: ~ ∨ ~ ( ~ ∨ ~ ) ∨
~ ~

BB S S S B

BS SB B B

16

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

SB B S B B

SSBB B B

Dari tabel kebenaran sudah dibuktikan bahwa pernyataan
( ~ ∨ ~ ) ∨ bernilai benar untuk semua kasus dan

termasuk Tautologi.

13. Apakah pernyatan ini ( ↔ ) → bernilai benar dan

salah yang termasuk kontingensi?

Penyelesaian:
↔ ( ↔ ) →

BB B B

BS S B

SB S S

SS B S

Pernyataan ini termasuk Kontingensi sudah dibuktikan

menggunakan tabel kebenaran.

14. → ( ∨ ) . pernyataan majemuk tautologi, kontradiksi,

atau kontingensi?

Penyelesaian: ( ∨ ) → ( ∨ )


BB B B

BS B B

SB B B

SS S B

17

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Jadi, Pernyataan → ( ∨ ) merupakan sebuah
pernyataan tautologi, dimana nilai kebenarannya
bernilai benar (B) semua.

15. Buktikan bahwa ( ∨ ) ↔ ~( ∨ ) merupakan

pernyataan majemuk kontradiksi!

Penyelesaian: ( ~( ( ∨ ) ↔ ~(
∨ ) ∨ ) ∨ )

BB B S S

BS B S S

SB B S S

SS S B S

Jadi pernyataan diatas benar merupakan pernyataan

kontradiksi karna komponennya bernilai salah (S) semua.

16. ∨ ~ merupakan peryataan ?

Penyelesaian: ~ ( ∨ ~ )


BB S B

BS B B

SB S S

SS B B

Jadi, Pernyataan ∨ ~ merupakan sebuah pernyataan

kontingensi dimana komponen nilai kebenarannya

terdapat nilai benar (B) dan salah (S).

18

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

17. Tentukan apakah → ( ∨ ) termasuk kategori
tautologi, kontradiksi, atau kontingensi?
Penyelesaian:

∨ → ( ∨ )

BB BB

BS BB

SB BB

SS SB

Maka dapat kita lihat dari table kebenaran tersebut
dapat kita simpulkan maka → ( ∨ ) adalah

pernyataan majemuk Tautologi.

18. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk
( ^ )^( → ~ )!

Penyelesaian:

^ → ~ ( ^ ) ^ ( → ~ )

BB B S S

BS S B S

SB S B S

SS S B S

Maka dari tabel kebenaran di atas merupakan pernyataan

majemuk Kontradiksi.

19. Tentukan pernyataan majemuk ( → ) ↔ ( ^ ~ ) ini

tautologi, kontradiksi atau kontingensi?

Penyelesaian:
( → ) ↔ ( ^ ~ ) termasuk pernyataan kontradiksi.

~ → ^ ~ → ↔ ^ ~

BB S B S S

19

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BS B S B S
SB S B S S
SS B B S S

20. Tentukan pernyataan majemuk (~ → ) ∨ ~ ini

tautologi, kontradiksi atau kontingensi?

Penyelesaian:

(~ → ) ∨ ~ termasuk pernyataan tautologi.

~ ~ ~ → (~ → ) ∨ ~

BB S S B B
BS S B B B
SB B S B B
SS B B S B

21. Misalkan bernilai benar dan bernilai salah. Tentukan
( ∨ ~ )!

Penyelesaian:
( ∨ ~ )

~ ~ ∨ ~

BSS B B

22. Misalkan bernilai benar dan bernilai salah. Tentukan
(~ ^ ~ )!

Penyelesaian:
(~ ^ ~ )

~ ~ ~ ^~

BS S B B

23. Misalkan bernilai benar dan bernilai salah. Tentukan
~ ↔ !

Penyelesaian:

20

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

~ ↔ ~ ↔ ~
~ ~ S

BS S B

24. Misalkan bernilai salah dan bernilai benar. Tentukan
( ∨ ) → ~( ^ )!

Penyelesaian:
( ∨ ) → ~( ^ )

∨ ^ ~( ^ ) ( ∨ ) → ~( ^ )

SB B S B B

25. Misalkan bernilai salah dan bernilai benar. Tentukan
(~ ∨ ~ ) ^ !

Penyelesaian: ~ ~ ∨ ~ ~ ∨ ~ ^
(~ ∨ ~ ) ^

~

SB B S B B

21

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB III
HUKUM – HUKUM LOGIKA

1. Apa yang dimaksud dengan hukum-hukum logika?
Penyelesaian :
Hukum atau Aturan Logika adalah aturan paling umum
yang dapat dilacak oleh semua tindakan individu. Hukum
logija juga bias diartikan suatu pernyataan majemuk yang
selalu benar, terlepas dari nilai kebenaran dari pernyataan
komponennya. Komponen yang dimaksud adalah objek-
objek dalam matematika.

2. Dua pernyataan disebut ekuivalen logis apabila?
Penyelesaian :
Apabila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai
kebenaran yang sama.

3. Hukum apa saja yang dapat digunakan untuk melakukan
pembuktian logika?
Penyelesaian :

22

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

1) Hukum Identitas, 2) Hukum Null/ Dominasi, 3) Hukum
Negasi, 4) Hukum Idempoten, 5) Hukum Involusi (Negasi
Ganda), 6) Hukum Penyerapan (Absorpsi), 7) Hukum
Komutatif, 8) Hukum Asosiatif, 9) Hukum Distributif , 10)
Hukum De Morgan.

4. Buktikan bahwa ~( → ) ≡ ^ ~ , dengan table

kebenaran!

Penyelesaian : ( → ) ~( → ) p^~q
p q ~p ~q

BB S S B SS

BS S B S BB

SBB S B SS

SSB B B SS

5. Buktikan hukum penyerapan : ∨ ( ^ ) ≡
Penyelesaian :
∨ ( ^ ) ≡ ∨ ( ^ )
≡ ( ∨ ) ^ ( ∨ )
≡ ^
≡

6. Tunjukan bahwa ^ ≡ ^ dengan table kebenaran !

Penyelesaian : ^ ^


23

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BB B B
BS S S
SB S S
SS S S

7. Buktikan hukum penyerapan (~ ^ ~ ) ∨ ~ ( ∨ ~ ) ≡ ~

Penyelesaian :
(~ ^ ~ ) ∨ ~ ( ∨ ~ ) ≡ (~ ^ ~ ) ∨ (~ ∨ ~(~ ))

(Hukum Negasi Ganda)

≡ (~ ^ ~ ) ∨ (~ ∨ )(Hukum Distributif)

≡ ~ ^ (~ ∨ ) (Hukum Negasi)

≡ ~p ^ S (Hukum Null)

≡ ~p (Hukum Identitas)

8. Perlihatkan bahwa hukum distributif ∨ ( ^ ) ≡ ( ∨
) ^ ( ∨ ) akurat. Buktikan dengan menggunakan table

kebenaran!

Penyelesaian : ( ( (
( ^ ) ∨ ) ∨ ) ∨ ( ^ ) ∨ ) ^ (
∨ )
BBB B B B B
B

BBS S B B B B

BSB S B B B B

BSS S B B B B

SBB B B B B B

24

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

SBS S B S S S
SSB S S B S S
SSS S S S S S

Berdasarkan pembuktian menggunakan table kebenaran
menunjukan benar bahwa ∨ ( ^ ) ≡ ( ∨ ) ^ ( ∨ )
ekivalen.

9. (1) Hauhakeng imut dan lucu
(2) Hauhakeng lucu dan imut
Ekivalen logis dari kedua pernyataan tersebut adalah?
Buktikan dengan table kebenaran!
Penyelesaian :
Dalam bentuk ekspresi logika :
a. Hauhakeng imut
b. Hauhakeng lucu

Maka ekspresi logika dari pernyataan tersebut adalah :

a. ^
b. ^
ekuivalensi logis : ^ ≡ ^

Tabel Kebenaran : ^ ^
B B

BB S S
BS
SB S S

25

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

SS S S

10. → ( → ) ≡ ( → ) → . Buktikan bahwa pernyaan

tersebut ekuivalen dengan menggunakan table kebenaran!

Penyelesaian: ( ( → ( ( → )
→ ) → ) → ) →

BB B B B B B

BB S B S S S

BSB S B B B

BS S S B S S

SBB B B B B

SBS B S S S

SSB B B B B

SSS B B B B

11. ∨ ( ^ ) ≡ ( ∨ ) ^ ( ∨ ) termasuk hukum apakah
pernyataan disamping?
Penyelesaian:
∨ ( ^ ) ≡ ( ∨ ) ^ ( ∨ ) merupakan hukum logika
distributif.

12. Apa manfaat hukum – hukum logika?
Penyelesaian:
Hukum – hukum logika bermanfaat untuk membuktikan
keekuivalenan dua buah proposisi, khususnya pada
proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi
atomic

26

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

13. Buktikan bahwa (~ ∨ ) ∨ (~ ^ ) ≡ ~ menggunakan

hukum logika!

Penyelesaian: de
(~ ∨ ) ∨ (~ ^ ) ≡ (~ ^ ~ ) ∨ (~ ^ ) (hukum

morgan)

≡ ~ ^ (~ ∨ ) (hukum distributif)

≡ ~p ^ B (hukum komplemen)

≡ ~p (identitas)

14. Buktikan bahwa ^( ∨ ) ≡ menggunakan hukum

logika!

Penyelesaian: (hukum identitas)
^( ∨ ) ≡ ( ∨ ) ^ ( ∨ )

≡ ∨ ( ^ ) (hukum distributif)

≡ ∨ (hukum null)

≡ p (identitas)

15. Buktikan bahwa → ( ^ ) ≡ ( → ) ^ ( → )

menggunakan hukum logika!

Penyelesaian:

→ ( ^ ) ≡ ~ ∨ ( ^ ) (hukum implikasi)

≡ (~ ∨ ) ^ (~ ∨ ) (hukum distributif)

≡ (p→q) ^ (p→r) (identitas)

16. Buktikan Hukum Penyerapan : ∨ ( ^ ) ≡

Penyelesaian:
∨ ( ^ ) ≡ ∨( ^ )

≡( ∨ )^( ∨ )
≡ ^
≡

27

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

17. Buktikan bahwa ( ~ ^ ) ∨ ~ ( ∨ ) ≡ ~

Penyelesaian: (De
(~ ^ ) ∨ ~ ( ∨ ) ≡ ( ~ ^ ) ∨ ( ~ ^ ~ )

Morgan )

≡ ~ ^( ∨ ~ ) ( Distributif )

≡ ~ ^ ( Negasi )

≡ ~ ( Identitas )

18. Tunjukan bahwa ( ^ ) → ( ∨ ) adalah tautologi
Penyelesaian:
( ^ ) →( ∨ ) ≡ ~( ^ ) ∨ ( ∨ )
≡ (~ ∨ ~ ) ∨ ( ∨ )
≡ (~ ∨ ) ∨ (~ ∨ )
≡ ∨
≡

Sehingga ( ^ ) → ( ∨ ) adalah tautologi.

19. Perlihatkan bahwa ~ → ~ ≡ ∨ ~ dengan tabel
kebenaran!
Penyelesaian :

~ ~ ~ → ~ ∨ ~

BB S S B B

BS SB B B

SB B S S S

SSBB B B
Terbukti bahwa ~ → ~ ≡ ∨ ~ .

28

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

20. Perlihatkan bahwa ~ ^ ~ ≡ ~( ∨ ) dengan tabel

kebenaran!

Penyelesaian : ~(
~ ~ ∨ ~ ^ ~ ∨ )

BB S S B S S

BS S B B S S

SB B S B S S

SS B B S B B
Terbukti bahwa ~ ^ ~ ≡ ~( ∨ ).

21. Dari pernyataan dibawah ini manakah yang ekuivalen
dengan pernyataan ~ → ~
a. ~ ^ ~
b. p ^ (p ∨ q)

c. ∨ ~

Penyelesaian :

p q ~p ~q p v q ~p ʌ ~q pv p ʌ (p v ~p→~q
~q q)

BB S S B SB B B

BS S B B SB B B

SB B S B SS S S

SS B B S BB S B

Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa

pernyataan yang ekivalen dengan ~ → ~ adalah

pernyataan c, jadi ~ → ~ ≡ ∨ ~ .

22. Perlihatkan dengan tabel kebenaran bahwa (~ → ) ∨

~ ≡ ∨ ~( ^ )

Penyelesaian :

~ ~ ^ ~( ^ ) ~ (~ ∨ ~( ^ )
→ → )
∨ ~

BBS S B S B B B

BSSB S B B B B

29

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

SBBS S B S B B
B
SSBB S B S B
Terbukti bahwa (~ → ) ∨ ~ ≡ ∨ ~( ^ )

23. Tunjukkan bahwa ~ ∨ ( ^ ) dan ~ ∨ keduanya

ekivalen secara logika!

Penyelesaian : ~ ∨ ʌ ~ ∨ (Hukum
~ ∨ ( ʌ ) ≡ Distributif)
(Hukum
≡ B ʌ (~ ∨ ) Negasi)
(Hukum
≡ Identitas)
~ ∨

24. Buktikan hukum penyerapan ~(~ ∨ ) ∨ ʌ ≡

Penyelesaian :

~ ( ~ ∨ ) ∨ ≡ ~ ( ~ ∨ ) ∨ (Hukum De
ʌ ʌ
Morgan)

≡ ( (Hukum
~(~ ) ʌ ~ ) ∨ Involusi)

ʌ

≡ ( ʌ ~ ) (Hukum
∨ ʌ Distributif)

≡ ʌ (~ ∨ ) (Hukum
≡ ʌ Negasi)
≡ (Hukum
Null)
(Hukum
Identitas)

25. Tunjukkan bahwa ~ ʌ ʌ (~ ∨ ~ ) dan ~ ∨ ~

keduanya ekivalen secara logika!

Penyelesaian : ≡ ~ ʌ ʌ (~ ∨ (Hukum De
~ ʌ ʌ (~ ~ )) Morgan)
∨ ~ ))

30

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

≡ ~ ∨ ~ ʌ ~ (Hukum
∨ ~ Distributif)
≡ B ʌ (~ ∨ ~ ) (Hukum

≡ ~ ∨ ~ Negasi)
(Hukum

Identitas)

31

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB IV
KUANTOR LOGIKA DAN INGKARANNYA

1. Apa yang dimaksud dengan kuantor dan pernyataan
berkuantor?
Penjelasan:
Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah.
Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang
mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasaanya
pernytaan berkuantor mengandung kata semua, setiap,
beberapa, ada, dan sebagainya.

2. Berikan contoh pernyataan kuantor universal!
Penjelasan:
“ Semua orang dilahirkan dari rahim ibu ”
“ Setiap manusia bernapas menghirup oksigen “

3. Apa yang dimaksud dengan kuantor eksistensial?
Penjelasan:
Eksistensial merupakan kata sifat dari eksis, yaitu
keberadaan. Kuantor eksistensial artinya pengukur jumlah
yang menunjukkan keberadaan.

4. Berikan contoh pernyataan kuantor eksistensial!
Penjelasan:
“ Ada motor yang tak memiliki kaca spion “
“ Beberapa ikan merupakan hewan mamalia “

5. Perbedaan kuantor universal dengan kuantor eksistensial?
Penjelasan:
- Pernyataan berkuantor universal bernilai benar jika
pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang

32

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

dibicarakan dan bernilai salah apabila terdapat sekurang-
kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan
pernyataan salah.
- Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar jika
sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan
pernyataan bernilai benar, dan bernilai salah jika tak ada
satu pun dari anggota semesta menyebabkan pernyataan
menjadi benar.

6. Tentukan ingkaran dari pernyataan ∀ ∈ ∋ 3 ≥ 2!
Penyelesaian:
~(∀ ∈ ∋ 3 ≥ 2) atau ∃ ∈ ∋ 3 < 2

7. Tentukan ingkaran dari pernyataan “ Semua ayam
berwarna hitam”!
Penyelesaian:
“ Ada ayam yang tidak berwarna hitam “

8. Tentukan ingkaran dari pernyataan “ Ada sapi yang
menyukai buah “!
Penyelesaian:
“ Tidak ada sapi yang menyukai buah “

9. Tentukan ingkaran dari pernyataan ∃ ∈ ∋ 4 = 1!
Penyelesaian:
“Tidak benar bahwa ∃ ∈ ∋ 4 = 1”, atau dengan kalimat
lain “∀ ∈ , 4 ≠ 1.

10. Tentukan ingkaran dari pernyataan “ Semua rambut
berwarna hitam “!
Penyelesaian:
“ Ada rambut yang tidak berwarna hitam “

33

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

11. Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup tumbuh

dan berkembang” adalah ….

Penyelesaian:

Pernyataan pada soal memuat kata semua yang merujuk
pada pernyataan berkuantor universal. Bentuk ingkaran
pernyataan berkuantor universal: ~(∀ ∈ ( )) ≡ ∃ ∈
~ ( )

 Ingkaran dari kata semua ~(∀ ) makhluk hidup
adalah beberapa (∃ ) makhluk hidup

 Ingkaran dari tumbuh dan berkembang adalah tidak

tumbuh dan berkembang.

Jadi, ingkaran dari pernyataan Semua makhluk tumbuh
dan berkembang adalah ada makhluk hidup yang tidak
tumbuh dan berkembang atau ada beberapa makhluk hidup
yang tidak tumbuh dan berkembang.

12. Buatlah ingkaran dari pernyataan berkuantor :
Semua kambing makan rumput
Penyelesaian:

Kalimat Pertama : ∀

Ingkaran : ~(∀ ) ≡ ∃ (~ )

“Tidak semua kambing makan rumput” atau

“beberapa kambing tidak makan rumput” atau

“Bukan semua kambing makan rumput” atau

“terdapat kambing yang tidak makan rumput”

34

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

13. Buatlah ingkaran dari pernyataan berkuantor :

“Beberapa kelelawar tidur dimalam hari”

Penyelesaian: : ∃
Kalimat Pertama : ~(∃) ≡ ∀ (~ )
Ingkaran

“semua kelelawar tidak tidur dimalam hari” atau

“tidak ada kelelawar tidur dimalam hari” atau

“seluruh kelelawar tidak tidur dimalam hari”

14. Nyatakan kalimat terbuka berikut dengan menggunakan
kuantor Universal
( ): + 12 > 6 dengan himpunan semesta R (himpunan
bilangan asli)
Penyelesaian :
∀ ∈ ; + 12 > 6 adalah suatu pernyataan yang bernilai
benar,karena HP={1,2,3,4,...}= R

→ { | ∈ , ( )} = maka ∀ ∈ , ( ) adalah benar.

15. “Ada sekolah yang tak memiliki AC”
“Ada bilangan cacah yang kurang dari satu”.
“Beberapa burung suka berkicau.”
“Terdapat burung yang tidak bias terbang”
Kalimat diatas merupakan contoh kalimat berkuantor?
Penyelesaian :

Kuantor eksistensial, karena kuantor eksistensial identik

dengan kata “beberapa,terdapat,sekurang-kurangnya dll..”

35

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

16. Pernyataan berkuantor universal bernilai benar atau salah

jika?

Penyelesaian :

Bernilai benar apabila Pernyataan benar untuk semua
semesta yang dibicarakan dan bernilai salah apabila
terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang
menyebabkan pernyataan salah.

17. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
berkuantor di bawah ini.
1. 1 : Semua hewan yang hidup diair berkembang biak
dengan bertelur.
2. 2: ∀ ∈ , | | > 0.
3. 3: ∃ ∈ ∋ + 3 < 3.
Penyelesaian :
1. 1 = S , karena ada jenis hewan yang berkembang
biak dengan beranak contoh lumba lumba.
2. 2 = B, contohnya cacing.
3. 3 = S , karena tak ada bilangan asli yang
memenuhi + 3 < 3

18. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar atau

salah jika?

Penyelesaian :

Bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu anggota

semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar, dan

bernilai salah jika tak ada satu pun dari anggota semesta

menyebabkan pernyataan menjadi benar.

36

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

19. Negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini adalah

”Semua anak perempuan menyukai boneka”

Penyelesaian : : ∀
Kalimat Pertama : ~(∀ ) ≡ ∃ (~ )
Ingkaran

“Tidak semua anak perempuan menyukai boneka” atau

“beberapa anak perempuan tidak menyukai boneka” atau

“Bukan semua anak perempuan menyukai boneka” atau

“terdapat anak perempuan yang tidak menyukai boneka”

20. Tentukan pernyataan berkuantor universal dari ( ):
(∀ ∈ )( 2 + 5 > 0) dan tentukan nilai kebenarannya jika

himpunan semestanya adalah semua bulangan real!

Penyelesaian :
Pernyataan berkuantor universal adalah (∀ ∈ )( 2 + 5 >
0).
Pernyataan berkuantor universalnya mempunyai arti
untuk semua berlaku ( 2 + 5 > 0) ., jelas ini merupakan
pernyataan yang benar, kaarena dapat menemukan yang
memenuhi pertidaksamaan ( 2 + 5 > 0) , misalnya = 2
maka diperoleh 22 + 3 > 0 merupakan pernyataan benar.

21. ∀ ∈ 2 + >
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor
berikut!
Penyelesaian :

37

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Dari pernyataan diatas dapat kita buktikan

Misalkan
= 2 = 3
Jawab:
2 + >
22 + 2 > 2 pernyataan ini bernilai Benar
32 + 3 > 3 pernyataan ini bernilai Benar

Benar bahwa setiap bilangan prima jika dimasukkan dalam
pernyataan 2 + > selalu bernilai Benar, jadi

pernyataan bernilai Benar (B)

22. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau

salahkan pernyataan berkuantor berikut :
∀ ∈ 2 + 4 − 5 = 0

Penyelesaian :

Misalkan :

= 1 = 2
jawab :

2 + 4 − 5 = 0

12 + 4(1) − 5 = 0 pernyataan bernilai benar

22 + 4 2 − 5 = 7 pernyataan bernilai salah

Maka dapat kita simpulkan meskipun ada nilai yang

memenuhi persamaan 2 + 4 − 5 = 0 , tetapi tidak semua

bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut,

maka jelas ini merupakan pernyataan yang salah (S)

23. ∃ ∈ 2 − =

38

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor

berikut!

Penyelesaian :

Dari pernyataan diatas dapat kita buktikan

Misalkan

= 1 = 2
jawab :

12 − 1 = 0 pernyataan bernilai salah (S)

22 − 2 = 2 pernyataan bernilai benar (B)

Setiap bilangan bulat jika dimasukan dalam pernyataan
2 − = ada yang bernilai benar da nada yang bernilai

salah, jadi pernyataan bernilai benar (B) karena kuantor

eksistensial bukan bersifat semua melainkan beberapa atau

paling sedikit satu.

24. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau

salahkan pernyataan berkuantor berikut :
∃ ∈ 2 + 4 − 21 = 0

Penyelesaian :

2 + 4 − 21 = 0 difaktorkan

( + 7)( – 3) = 0
= − 7 = 3
jadi benar bahwa ada yang memenuhi persamaan 2 +

4 − 21 = 0 yaitu -7 atau 3 sehingga pernyataan bernilai

benar (B).

25. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!
a. ∀ ∈ 2 − 2 + 1 > 0

39

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

b. ∀ ∈ ℎ 3 + 2 = 7
Penyelesaian :

a. ∃ ∈ 2 − 2 + 1 ≤ 0
b. ∃ ∈ ℎ 3 + 2 ≠ 7

40

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

BAB V
SILOGISME, MODUS PONENS, DAN MODUS TOLLENS

1. Misalkan diketahui premis-premis → dan → . Dari
premis-premis itu dapat diambil konklusi → .
Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut
kaidah?
Penyelesaian:
Kaidah Silogisme

2. Diketahui
 Premis 1 : Jika Riza rajin olahraga maka imunitas
tubuh Riza meningkat
 Premis 2 : Jika imunitas tubuh Riza meningkat maka
Riza akan sehat dan bugar.

Penarikan kesimpulan dari premis–premis tersebut
adalah…

Penyelesaian:
Misalkan :

p = Riza rajin olahraga
q = imunitas tubuh Riza meningkat
r = Riza akan sehat dan bugar

Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r

41

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Kesimpulan : p → r , Jika Riza rajin olahraga maka
Riza akan sehat dan bugar.

3. Diketahui :
Jika saya bermain di taman maka saya foto di taman. Saya
bermain ditaman . Apakah saya foto di taman?
Penyelesaian:
Kalimat matematika:
Misalkan :
p = saya bermain di taman
q = saya foto di taman

→ premis
p premis

-------------------------
∴ Konklusi
Menggunakan Modus Ponens, maka kita bisa menarik
kesimpulan , yang artinya saya foto ditaman.

4. Diketahui
 Premis 1 : Jika Vivi berhati-hati maka vivi tidak akan
jatuh
 Premis 2 : Jika Vivi tidak jatuh maka Ibu tidak akan
khawatir
Penarikan kesimpulan dari premis–premis tersebut
adalah…
Penyelesaian:

42

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Misalkan :
p = Vivi berhati-hati
q = Vivi tidak akan jatuh
r = Ibu tidak akan khawatir
Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
Kesimpulan : p → r , Jika Vivi berhati-hati maka Ibu
tidak akan khawatir.

5. Buktikan keabsahan soal nomor 4 dengan menggunakan

table kebenaran !

Penyelesaian:

untuk menguji keabsahannya lihat table kebenaran berikut:

pq r ( → )^( [( → )^( → )]
→ → → → ) → (
→ )
BBB B B B B
BBS B S S S B
BSB S B B S
BSS S B S S B
SBB B B B B
SBS B S B S B
SSB B B B B B
SSS B B B B B
B
B
B

6. Modus ponen adalah suatu argumentasi yang bentuknya
dapat dinyatakan seperti di bawah ini . Buktikan sah
tidaknya suatu argmentasi ini dengan menggunakan tabel
kebenaran !
→ premis
p premis

43

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

-------------------------
∴ Konklusi

Penyelesaian: [( → )^ ] →
→ ( → )^

BB B B B

BS S S B

SB B S B

SS B S B

Dari tabel dapat kita lihat bahwa pada kolom 5 bernilai

benar untuk setiap nilai kebenaran premisnya.

7. Jika hari ini hujan maka kekey tidak berangkat privat.
Hari ini kekey berangkat privat
Penyelesaian:
Kalimat Matematika :
→ premis
~ premis
-------------------------
∴ ~ Konklusi
Menggunakan Modus Tollens, maka kita bisa menarik
kesimpulan ~p, yang artinya Hari ini tidak hujan.

8. Jika hari ini hujan deras maka lili tidak berenang. Hari ini
hujan deras.
Penyelesaian:

44

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan

Misalkan :
p = hari ini hujan deras
q = Lili tidak berenang

→ premis
premis

-------------------------
∴ Konklusi
maka kita bisa menarik kesimpulan , yang artinya Lili

tidak berenang.

9. Buktikan keabsahan soal nomor 8 dengan menggunakan

table kebenaran !

Penyelesaian: [( → )^ ] →
→ ( → )^

BB B B B

BS S S B

SB B S B

SS B S B

10. Misalkan diketahui premis-premis → dan ~ . Dari
premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan
kesimpulan dengan cara seperti itu disebut….
Penyelesaian:
Modus tollens atau kaidah penolakan akibat.

45

Mata Kuliah Logika Dan Himpunan