Materi Logika dan Himpunan Terintegrasi Nilai-Nilai Islam

Disusun Oleh:
Nego Linuhung
Ira Vahlia

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |i

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | ii

Pendidikan Matematika UM Metro

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN
FUNGSI

Edisi 1 (2020)

Nego Linuhung | iii
Ira Vahlia

Pendidikan Matematika UM Metro

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI

Penyusun : Nego Linuhung
Ira Vahlia
Dosen Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Metro

Penerbit : Pendidikan Matematika UM Metro

Pendidikan Matematika UM Metro | iv

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

KATA PENGANTAR


Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan nikmat serta

hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan, sehingga penulis
dapat menyelesaikan modul ini. Kemudian shalawat beserta salam
senantiasa kita sanjung agungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW.
yang telah memberikan pedoman hidup yakni Al-qur’an dan Sunnah untuk
keselamatan umat di dunia.

Modul ini merupakan salah satu modul yang harus dipelajari oleh
mahasiswa khususnya program studi pendidikan matematika. Pada modul
ini membahas substansi logika, himpunan, relasi dan fungsi matematika.
Logika selalu digunakan dalam rangka melakukan pembuktian. Logika
tidak dapat dihindarkan dalam kehidupan manusia sehari-hari dalam
mencari kebenaran. Himpunan merupakan cara mengelompokkan objek
secara bersama-sama dan sangat fundamental dalam ilmu matematika,
sedangkan relasi dan fungsi merupakan bentuk yang digunakan untuk
mengetahui hubungan antar himpunan.

Sebagaimana kita juga ketahui logika, himpunan, relasi dan fungsi
memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan
dalam kehidupan sehari-hari dan terkait erat dengan berbagai ilmu lain
yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika diskrit, aljabar
linier, dan komputasi numerik.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |v

Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari
berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan
modul ini. Meskipun penulis berharap isi dari modul ini bebas dari
kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar modul ini
dapat lebih baik lagi.

Nego Linuhung
Ira Vahlia

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vi

Pendidikan Matematika UM Metro

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................................ i
KATA PENGANTAR.......................................................................................... iii
DAFTAR ISI.......................................................................................................... v

BAB I PENDAHULUAN.................................................................................... 1
A. Deskripsi......................................................................................................... 1
B. Materi Prasyarat............................................................................................ 1
C. Capaian Pembelajaran...................................................................................1

BAB II LOGIKA....................................................................................................3
A. Proposisi/Pernyataan..................................................................................3
B. Kalimat terbuka............................................................................................ 5
C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi....................................................... 6
D. Pernyataan Majemuk...................................................................................8
E. Ingkaran Pernyataan Majemuk ...............................................................13
F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi ........................................................... 16
G. Pernyataan Berkuantor................................................................................20
H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor................................................... 22
I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi............................................... 23
J. Ekuivalen Logis........................................................................................... 25
K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens........

BAB III HIMPUNAN...........................................................................................35
A... Pengertian dan Anggota Himpunan.......................................................... 35
B....Penulisan Himpunan....................................................................................35
C... Macam-macam Himpunan.......................................................................... 36
D... Hubungan antar Himpunan........................................................................42

BAB III RELASI DAN FUNGSI..........................................................................55
1.... Pengertian Relasi........................................................................................... 55
2.... Cara menyajikan relasi................................................................................. 56
3.... Jenis-jenis Relasi............................................................................................ 59

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vii

4.... Pengertian Fungsi..........................................................................................61
5.... Notasi dan Nilai Fungsi................................................................................63
6.... Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius,

dan Himpunan Pasangan Berurutan..........................................................66
7.... Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan............................ 67
8.... Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui...... 69
9.... Grafik Fungsi/Pemetaan..............................................................................70
10.. Macam-macam Fungsi..................................................................................72
11.. Sifat-sifat Fungsi ........................................................................................... 80
12.. Aljabar Fungsi................................................................................................82
13.. Fungsi Komposisi..........................................................................................83
14.. Fungsi Invers..................................................................................................87

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................92

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | viii

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi
Materi Logika, Himpunan, Relasai dan Fungsi ini merupakan materi wajib
bagi mahasiswa Pendidikan Matematika. Hasil yang diharapkan dari
perkuliahan ini adalah memahami konsep-konsep dasar matematika dan
mengimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pokok bahasan pada
modul ini adalah logika, himpunan, dan relasi dan fungsi. Materi logika,
diantaranya dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,
tautologi, ekuivalensi logis; materi himpunan diantaranya istilah dan
simbol himpunan, diagram Venn, relasi himpunan, operasi himpunan: dan
relasi dan fungsi diantaranya notasi dan nilai fungsi, grafik
fungsi/pemetaan, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.

B. Materi Prasyarat
Materi ini tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus.
Pengetahuan matematika yang telah didapat di pendidikan dasar dan
pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari
materi pokok modul ini.

C. Capaian Pembelajaran
Setelah mengikuti mata kuliah ini, diharapkan mahasiswa dapat:

1. Memahami proposisi, dan nilai kebenaran kalimat terbuka
2. Menjelaskan proposisi majemuk yang diwujudkan dalam ekspresi

logika dan pengoperasiannya
3. Menjelaskan validitas argumen yang berupa tautologi dan bukan

tautologi.
4. Menjelaskan hukum-hukum dalam logika yang diperoleh dari

ekuivalen berbagai ekspresi logika.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |1

5. Menjelaskan proses pembuktian benar atau salahnya suatu
kesimpulan secara logika

6. Menjelaskan penggunaan teori inferensi yang melibatkan kuantor
7. Memahami pengertian himpunan, cara menyatakan himpunan, dan

diagram venn
8. Menjelaskan pengertian operasi dua himpunan atau lebih
9. Menjelaskan operasi himpunan, komplemen dan selisih himpunan
10. Menjelaskan pengertian relasi, cara menyajikan relasi, pengertian

fungsi, notasi dan nilai fungsi
11. Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan

himpunan pasangan berurutan
12. Menjelaskan pengoperasian aljabar fungsi
13. Memahami konsep fungsi komposisi dan fungsi Invers

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |2

BAB I LOGIKA

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang
mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-
bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat
dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika
matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan
kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika
sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model,
teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif.

A. Proposisi/Pernyataan
Definisi 1.1
Proposisi/Pernyataan merupakan kalimat yang mengandung nilai benar (B)
atau salah (S) tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.
Perhatikan kalimat pada di bawah ini!
Contoh 1.1

1) Bandung adalah Ibu Kota Jawa Barat
2) 7 adalah faktor dari 10
3) Semoga selamat sampai tujuan
4) 2 adalah bilangan prima
5) x - 8 < 7
6) 5 + 6 = 11
7) x faktor dari 7
8) 5 + 4 > 7
9) Dilarang membuang sampah disini
10) y + 4 = 6

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |3

Kalimat pada Contoh 1.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 2, 4, 6, dan

8 karena kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu benar

(B) atau salah (S).

Proposisi dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dst.

Contoh 1.2:

1) p: Budi anak yang rajin

2) q: Semua manusia akan mati

3) r: Reno memakai topi

4) m: 5 + 6 = 11

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu proposisi dapat memakai dasar

empiris dan dasar tak-empiris.

a. Dasar empiris: jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan

pada saat tertentu.

Contoh 1.3:

1) Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Bandung (B)

2) Batu adalah benda cair (S)

b. Dasar tidak empiris: jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah

atau hukum tertentu atau perhitungan-perhitungan dalam

matematika. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

Contoh 1.4:

1) Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800

2) akar persamaan x + 2 = 3 adalah 1

Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator)
proposisi yang digunakan di dalam pengoperasiannya. Berikut adalah
lambang-lambang tersebut.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |4

Tabel 1.1 Lambang-lambang (operator) Proposisi

No Nama Lambang Arti dalam Bahasa Sehari-hari
1. Negasi ~
tidak, bukan
2. Konjungsi ˄ dan, tetapi, meskipun,

3. Disjungi ˅ walaupun
4. Implikasi Atau
5. Biimplikasi 
 jika … maka …
jika dan hanya jika … maka …

B. Kalimat terbuka
Definisi 1.2
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau
variabel.

Contoh 1.5:
1) 4x + 2 = 18

x adalah variabel, jika x diganti dengan 4, maka proposisi itu bernilai
Benar (B), namun jika x diganti dengan 5 atau bilangan bulat lain
maka proposisi itu bernilai Salah (S)
2) 7 + n adalah bilangan prima
n adalah variabel, jika n diganti dengan 4, maka proposisi tersebut
bernilai Benar (B). pada kasus ini, himpunan Penyelesaiannya
bergantung pada semestanya. Jika semestanya bilangan asli kurang
dari 7 dan n diganti dengan 1, 2, 3, 5, maka proposisi itu bernilai
salah (S).
3) Kota ... adalah ibukota provinsi Jawa Timur
... adalah variabel, jika ... diganti dengan Surabaya maka proposisi
bernilai benar (B).

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |5

C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi

Ingkaran atau negasi dari suatu proposisi adalah proposisi yang

mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari proposisi p dinotasikan ~p.

Apabila proposisi bernilai benar, maka proposisi ~p bernilai salah.

Sebaliknya jika proposisi p bernilai salah maka proposisi ~ p bernilai benar.

~ p dibaca: tidak p atau tidak benar p atau bukan p

Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran berikut:

p ~p
BS

SB

Contoh 1.6:

1. p : 5 + 4 = 9

~ p : 5 +4 ≠ 9

2. ~ p : 3 + 2 = 7
~ (~ p) = p = 3 + 2 ≠ 7

3. p : Neneng memakai baju putih

~ p : Neneng tidak memakai baju putih

4. p : 2 + 5 > 9

~p:2+5≤9

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |6

LATIHAN 1.a

1. Manakah yang merupakan proposisi, kalimat terbuka atau bukan
pernyataan dari kalimat-kalimat berikut ini:
a. Gunung bromo terletak di Jawa Tengah
b. Pergi saja kamu dari sini
c. Jakarta adalah ibukota Singapura
d. x adalah bilangan prima kurang dari 15
e. 3 adalah faktor dari 15
f. 2+5=9
g. 6 + x > 9
h. Mari kita belajar
i. 35 habis dibagi 2

2. Tentukan himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini:

a. 4p – 1 = 41

b. x2 – 8x + 15 = 0

c. 4x2 – 12x - 7 = 0

d. 2x  7 1
x 1

3. Tentukan Ingkaran dari pernyataan-pernyataan dari p berikut:

a. 13 adalah bilangan prima (B)

b. 7 + 5 ≠ 12 (S)

c. Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari (B)

d. Besi tidak memuai bila dipanaskan (S)

e. 4 adalah bilangan Positif (B)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |7

D. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal

yang dihubungkan dengan kata hubung.

Pernyataan majemuk menggunakan 4 kata hubung yaitu ˄, ˅,  , dan 

Tabel 1.2 Kata Hubung Pernyataan Majemuk

Pernyataan Dibaca disebut
pq p dan q Konjungsi
q atau q Disjungsi
pq Jika p maka q Implikasi
p jika dan hanya jika q Biimplikasi
pq atau jika p maka q dan
pq jika q maka p

1. Konjungsi

Konjungsi Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung

“dan”.

Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p  q yang

dibaca p dan q. Tabel kebenarannya :

Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Konjungsi

p q pq

BB B

BS S

SB S

SS S

Contoh 1.7:

a. p : Arman lahir di Tulang Bawang

q : Arman Kuliah di Metro

Maka p  q : Arman lahir di Tulang Bawang dan Kuliah di Metro

b. p : 42 = 15 (S)

q : 5 + 8 = 13 (B)

Maka p  q : 42 = 15 dan 5 + 8 = 13 (S)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |8

2. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p  q dan dibaca p atau q.

Apa yang dimaksud dari kata “atau” di atas maka muncul dua

macam jenis disjungsi yaitu:

a. Disjungsi Inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar

apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Disjungsi

inklusif dua pernyataan p dan q ditulis p  q .

b. Disjungsi Eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila

hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar. Disjungsi eksklusif

dua pernyataan p dan q ditulis p  q .Tabel kebenarannya :

Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif dan Eksklusif

p q p  q pq

BB B S

BS B B

SB B B

SS S S

Contoh 1.8:

Diketahui:

1. P : 3 + 5 = 8

q : Metro terletak di Palembang

Tentukan nilai kebenaran dari p  q !

Penyelesaian:

P :3+5=8 ........ (B)

q : Metro terletak di Palembang ........ (S)

Jadi:

p  q : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung ........ (B)

Diketahui:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi |9

2. P : 3 + 5 = 8 .......... (B)
q : Metro terletak di Lampung .......... (B)
Tentukan nilai kebenaran dari p  q !
.......... (S)
Penyelesaian:
p  q : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung

3. Implikasi
Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut:
Anto berjanji pada Rina, “Jika malam nanti tidak hujan, maka saya akan
datang kerumahmu”. Janji Anto ini berlaku hanya untuk kondisi malam
nanti tidak hujan. Akibatnya, jika malam nanti hujan, tidak ada
keharusan bagi Anto untuk datang kerumah Rina.

Misalkan malam ini tidak hujan dan Anto datang kerumah Rina, Rina
tidak akan kecewa karena Anto memenuhi janjinya. Tapi, jika malam ini
hujan dan Anto tetap kerumah Rina, Rina tentu merasa senang sekali.
Jika malam ini hujan dan Anto tidak datang kerumah Rina, tentunya
Rina akan memakluminya. Bagaimana jika malam ini tidak hujan dan
Anto tidak kerumah Rina? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Rina
akan kecewa dan menganggap Anto sebagai pembohong karena tidak
menepati janjinya.

Misalkan,
p : malam tidak hujan.
q : Anto datang kerumah Rina.

Pernyataan “jika malam nanti tidak hujan, maka Anto akan datang
kerumah Rina”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau

dilambangkan dengan “p  q”.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 10

Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p, maka q” disebut
implikasi.

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam kegiatan sehari-hari dan
implikasi dalam logika matematika.
a. Sehari-hari, pernyataan hipotesis p haruslah memiliki hubungan

dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada Contoh
implikasi sebelumnya, “Jika malam nanti tidak hujan maka saya
akan datang kerumahmu”. Artinya ada hubungan sebab-akibat.
b. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak
harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q.

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ....

maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan

pq

yang dibaca

- jika p maka q

- p jika hanya jika q

- syarat perlu bagi q

- q syarat cukup bagi p

Dari implikasi p  q,

p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Tabel 1.4 Tabel Kebenaran Implikasi

P q pq

BB B

BS S

SB B

SS B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 11

Contoh 1.9:

a) Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut:

Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat.

Penyelesaian:

5 + 8 = 12 ........... (S)

Batu adalah benda padat ........... (B)

Sehingga, Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat

........... (B)

b) Diketahui

P : 5 + 8 = 10 ......... (S)

q : Lampung adalah ibukota negara Indonesia ........ (S)

Tentukan nilai kebenaran p  q!

Penyelesaian:

Sehingga, p  q : Jika 5 + 8 = 10 maka lampung adalah ibukota

negara Indonesia. ........ (B)

4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika
dan hanya jika............” dan dilambangkan  .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q yang dibaca p jika

dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Tabel kebenarannya:

Tabel 1.5 Tabel kebenaran Biimplikasi

p q pq

BB B

BS S

SB S

SS B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 12

Contoh 1.10:

Diketahui:

p : 5 + 10 =16

q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga

Tentukan nilai kebenaran p  q!

Penyelesaian:

p : 5 + 10 =16 ........ (S)

q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga ........ (S)

Sehingga:

p  q : 5 + 10 = 16 jika dan hanya jika persegi memiliki jumlah sudut

tiga ........ (B)

Berdasarkan uraian kalimat majemuk di atas mengenai Konjungsi,

Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi, maka Tabel Kebenaran dapat

digambarkan pada Tabel berikut:

Tabel 1.6 Tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi

p q ~p pq pq pq pq pq
Tidak p dan q p atau q
p inklusif p atau q Jika p p jika dan
eksklusif maka q hanya jika q
BB S B B
BS S S B S B B
SB B S B B S S
SS B S S B B S
S B B

E. Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari ingkaran
pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, yaitu
jika ingkaran pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk ingkaran dari
komponen-komponennya. Berikut adalah ekuivalensi yang dimaksud:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 13

1. Ingkaran dari suatu Konjungsi

Seperti yang telah dibahas pada konjungsi sebelumnya,
“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”
Konjungsi dari pernyataan tersebut akan bernilai benar jika pertanyaan
tunggalnya bernilai benar. Sedangkan ingkaran adalah pernyataan yang
jika pernyataan awalnya bernilai benar maka pernyataan negasinya
bernilai salah, begitupun sebaliknya.
Oleh karena itu:
“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”
Negasinya adalah:
“tidak benar Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”.
Dari pernyataan negasinya tersebut, bisa saja kenyataannya Rudi tidak
sedang makan tapi sedang mendengarkan lagu, atau bisa juga Rudi
sedang makan tapi tidak mendengarkan musik, atau juga dengan
kalimat lain Rudi tidak sedang makan atau tidak sedang mendengarkan
lagu.
Perhatikan Tabel Kebenaran Berikut ini:

Tabel 1.7 Tabel kebenaran Ingkaran dari suatu Konjungsi
p q ~ p ~ q p  q ~ ( p  q) (~ p  ~ q)

BB S S B S S
BS S B S B B
SB B S S B B
SS B B S B B
* *

Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom ~ (p ˄ q)
dan ~ p ˅ ~ q memiliki pernyataan tunggal yang sama, sehingga dapat
disimpulkan bahwa ~ (p ˄ q) ≡ ~ p ˅ ~ q.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 14

2. Ingkaran dari suatu Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung
“atau”.
Perhatikan pernyataan majemuk berikut:
“Mahasiswa diwajibkan membawa Pulpen atau Pensil”
Pernyataan disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan
tunggalnya bernilai salah. Sehingga negasinya yaitu salah satu
pernyataan tunggalnya adalah negasi dari komponen pernyataan
awalnya.

Tabel 1.8 Tabel Kebenaran Ingkaran dari suatu Disjungsi
p q ~ p ~ q p  q ~ ( p  q) (~ p  ~ q)

BB S S B S S
BS S B B S S
SB B S B S S
SS B B S B B

* *

Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom
~ (p ˅ q) dan ~p ˄ ~q memiliki pernyataan tunggal yang sama sehingga
dapat disimpulkan bahwa ~ (p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q.

Sebagai latihan, silahkan buktikan sebagai latihan anda negasi dari
Implikasi dan Negasi dari Biimplikasi berikut:

a. ~ (p  q) ≡ p ˄ ~q
b. ~ (p  q) ≡ (p ˄ ~q) ˅ (q ˄ ~p)

Untuk membuktikan dapat dilakukan dengan tabel kebenaran.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 15

F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru

dari suatu pernyataan implikasi. Dari pernyataan yang berupa implikasi
p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut:
Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q
Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q
Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers
dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut:

Tabel 1.8 Hubungan antara Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi

p q ~p ~q Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p⇒q q ⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

BB S S B BB B

BS S B S BB S

SBB S B SS B

SSB B B BB B

(1) (2) (3) (4)

Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Implikasi kolom (1) ekuivalen dengan kontraposisinya kolom (4):
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
2. Konvers suatu implikasi kolom (2) ekuivalen dengan inversnya (3)
q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .

Contoh 1.11:
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan

implikasi berikut :
a. Jika harga BBM naik, maka harga beras naik
b. Jika Arman siswa yang pandai, maka ia lulus tes

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 16

c. Jika harga turun, maka permintaan naik

d. Jika x = 7, maka x2 = 49

Penyelesaian:

a. Konvers : Jika harga beras naik, maka harga BBM naik

Invers : Jika harga BBM tidak naik, maka harga beras

tidak naik

Kontraposisi : Jika harga beras tidak naik, maka harga BBM

tidak naik.

b. Konvers : Jika Arman lulus tes, maka ia siswa yang

pandai

Invers : Jika Arman siswa yang tidak pandai, maka ia

tidak lulus tes

Kontraposisi : Jika Arman tidak lulus tes, maka ia siswa

yang tidak pandai

c. Konvers : Jika permintaan naik , maka harga turun

Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan

tidak naik

Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik , maka harga tidak

turun

e. Konvers : Jika x2 = 49, maka x = 7

Invers : Jika x ≠ 7, maka x2 ≠ 49

Kontraposisi : Jika x2 ≠ 49, maka x ≠ 7

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 17

LATIHAN 1.b

1. Tentukan nilai x agar kalimat:

3x + 1 =10 ˄ 5 adalah bilangan prima

Bernilai:

a. Benar, b. Salah

2. Tentukan nilai x agar kalimat:
x2 + 2 = 6 ˅ 2 - (-1) = 2, bernilai salah

3. Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a. p ∧ q
b. p ∧ ~q
c. ~p ∧ q
d. ~p ∧ ~q

4. Pernyataan p bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
a. p ∨ q
b. p ∨ ~q
c. ~p ∨ q

5. Tuliskan Ingkaran pernyataan majemuk berikut:
"Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut
lengkap"

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 18

6. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:
a. Jika saya lapar, maka saya makan roti
b. Jika saya berwajah tampan, maka saya terkenal

7. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi

berikut ini: e. ~q ⇒ p
a. ~p ⇒ ~q f. ~p ⇒ q
b. ~q ⇒ ~p g. ~p ⇒ (q ∧ ~r)
c. (p ∧ q) ⇒ r h. (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)
d. p ⇒ (q ∧ r)

8. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:

a. Jika α = 30o, maka cos α = 1 3
2

b. Jika x adalah sudut pada segitiga samasisi, maka x =60o

9. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk
a. (p  q)  (~q  r)

b. p  p  q  r 

10. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk:

 p  q   p  q

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 19

G. Pernyataan Berkuantor

Kuantor merupakan suatu lambang yang apabila dibubuhkan pada suatu
kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu
kalimat tertutup atau pernyataan.

1. Kuantor Universal
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap/semua obyek dalam
semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.
notasi: “∀ ”, dibaca “ semua atau setiap”
jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:
(∀x) p(x) dibaca “untuk semua/setiap x berlaku p(x)”
bernilai benar jika dan hanya jika p(x) benar untuk semua x dalam
semestanya.
Contoh 1.12
a. (∀x  R) x2 ≥ 0
Dapat dibaca sebagai:
 Kuadrat semua bilangan real tidak ada yang negatif
 Semua bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif
 Setiap bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif
 Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau
salahkah pernyataan berkuantor berikut:
(∀x  Bulat) x2 + x – 2 = 0
Penyelesaian:
Meskipun ada nilai x yang memenuhi persamaan
x2 + x – 2 = 0, tetapi tidak semua bilangan bulat x yang
memenuhi persamaan tersebut, misalkan kita ambil nilai x = 2,

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 20

maka persamaannya 22 + 2 – 2 = 4 ≠ 0, maka ini jelas merupakan
pernyataan yang salah (S).
2. Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial berarti ada/beberapa obyek dalam semestanya
mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.
notasi: “∃“, dibaca “ada/beberapa/terdapat/paling sedikit satu”
jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:
(∃x) p(x), dibaca “ada suatu x sehingga berlaku p(x)”
bernilai benar jika dan hanya jika paling sedikit ada satu nilai x
dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar, dan akan bernilai
salah jika untuk semua x dalam semestanya.
Contoh 1.12
a. (∃x  Bulat) x2 = x
 Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan

itu sendiri
 Beberapa bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan

bilangan itu sendiri
 Terdapat paling sedikit satu bilangan bulat yang kuadratnya

sama dengan bilangan itu sendiri
b. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau

salahkah pernyataan berkuantor berikut:
(∃x  Bulat) x2 + x – 2 = 0
Penyelesaian:
x2 + x – 2 = 0 dapat difaktorkan:
(x+2)(x-1) = 0
Jadi persamaan itu dapat dipenuhi untuk x1=-2 dan x2 = 1.
Sehingga memang benar ada x yang memenuhi persamaan

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 21

x2 + x – 2 = 0 yaitu -2 atau 1 sehingga pernyataan bernilai benar
(B)

H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor
1. Ingkaran Kuantor Universal
Ingkaran dari “untuk semua/setiap x berlaku p(x): adalah
“ada(paling sedikit satu) x yang tidak berlaku p(x)”
~(∀x) p(x) ≡ (∃x) ~p(x),

Misalkan ada pernyataan

p: Semua siswa telah pulang dari sekolah

jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 siswa yang belum

pulang, maka pernyataan dari p bernilai salah (S).

Contoh:
a. (∀x  Bulat) x2 + x – 2 = 0

b. Semua ikan hiu telah musnah
c. (∀x  Cacah) x2 + 1 > 0

Penyelesaian:
a. (∃x  Bulat) x2 + x – 2 ≠ 0

b. Kalimat mula-mula : (xIkan Hiu ) (x telah musnah)

Ingkaran : ( x Ikan Hiu ) (x belum musnah)

Dalam bahasa sehari-hari: “ Ada Ikan Hiu yang belum musnah”
c. (∃x  Cacah) x2 + 1 ≤ 0

2. Ingkaran Kuantor eksistensial
Ingkaran dari “ada suatu x sehingga berlaku p(x): adalah “untuk
semua/setiap x tidak berlaku p(x)”

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 22

Ingkaran kalimat berkuantor universal adalah kalimat

berkuantor eksistensial, sedangkan ingkaran kalimat berkuantor

eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat
kuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial (∃x) p(x),

ingkaran dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut:
~(∃x) p(x) ≡ (∀x) ~p(x),

Tentukan Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor berikut:

a. (∃x  Bulat) x2 + x – 1 > 0

b. Terdapat bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9

c. Ada Hewan yang berkaki empat

Penyelesaian:

a. (∀x ϵ Bulat) x2 + x – 1 ≤ 0

b. Kalimat awal : (∃x ϵ Bulat) x2 = 9

Ingkaran : (∃x ϵ Bulat) x2 ≠ 9

Dalam bahasa sehari-hari: “Kuadrat semua bilangan bulat tidak

sama dengan 25”

c. Semua Hewan tidak berkaki empat

I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi

1. Pernyataan majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua

kasus.

p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi

Tabel 1.9 Tabel Kebenaran p  ~(p  q)

pq pq ~(p ˄ q) p ˅ ~ (p ˄ q)

BB B S B
BS S B B
SB S B B
SS S B B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 23

Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari

pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan p  ~(p  q) bernilai

benar (B), maka p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi.

2. Pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua

kasus.

( p  q)  ~(p ˅ q) adalah sebuah Kontradiksi.

Tabel 1.10 Tabel Kebenaran ( p  q)  ~(p ˅ q)

pq pq p˅q ~(p ˅ q) ( p  q ) ˄ ~(p ˅ q)

BB B B S S
BS S B S S
SB S B S S
SS S S B S

Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari
pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan ( p  q)  ~(p ˅ q)
bernilai salah (S), maka ( p  q)  ~(p ˅ q) adalah sebuah kontradiksi.

3. Pernyataan majemuk disebut Kontingensi jika pernyataan majemuk
yang bukan Tautologi atau Kontradiksi

q ˄ ( p  q )  p adalah sebuah Kontingensi

Tabel 1.11 Tabel Kebenaran q ˄ ( p  q )  p
p q p  q q ˄ ( p  q ) q ˄ ( p  q ) p

BB B B B
BS S S B
SB B B S
SS B S B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 24

Tabel di atas terlihat bahwa untuk nilai kebenaran dari pernyataan p

dan pernyataan q, pernyataan q ˄ ( p  q )  p pada baris ketiga

bernilai salah (S), dan baris yang lain bernilai benar (B),

maka q ˄ ( p  q )  p adalah sebuah kontingensi.

J. Ekuivalen Logis
Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya
mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen maka dinotasikan p ≡ q,
jika p ≡ q maka q ≡ p.

Berikut adalah hukum-hukum aljabar pernyataan yang merupakan
ekuivalen logis:

1. Hukum identitas:
pS≡p
pB≡p

2. Hukum null/dominasi:
pS≡S
pB≡B

3. Hukum negasi:
p  ~p ≡ B
p  ~p ≡ S

4. Hukum idempoten:
pp≡p
pp≡p

5. Hukum involusi (negasi ganda):
~(~p) ≡ p

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 25

p  (p  q) ≡ p
- p  (p  q) ≡ p
7. Hukum komutatif:

pq≡qp
pq≡qp
8. Hukum asosiatif:
p  (q  r) ≡ (p  q)  r
p  (q  r) ≡ (p  q)  r
9. Hukum distributif:
p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r)
p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r)
10. Hukum De Morgan:
~(p  q) ≡ ~p  ~q
~(p  q) ≡ ~p  ~q

Contoh 1.13:
Perlihatkan bahwa ~(~p  ~q) ≡ p ˄ q

pq ~p ~q ~p  ~q ~(~p  ~q) p˄q

BB S SS B B
BS S S
SB B BB S S
SS B SB S S

BB S

1. Tunjukkan bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q keduanya ekivalen secara

logika.

2. Buktikan hukum penyerapan: p  (p  q) ≡ p

Penyelesaian:

1. p  ~(p  q ) ≡ p  (~p  ~q) (Hukum De Morgan)

≡ (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum distributif)

≡ B  (p  ~q) (Hukum negasi)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 26

2. p  (p  q) ≡ p  ~q (Hukum identitas)
≡ (p  S)  (p  q) (Hukum Identitas)
≡ p  (S  q) (Hukum distributif)
≡ pS (Hukum Null)
≡p (Hukum Identitas)

LATIHAN 1.c

1. Tunjukanlah bahwa p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi

2. Buktikan hukum penyerapan: p  (p  q) ≡ p

3. Tunjukkan bahwa:

a. ~ p  q  ~ p  ~ q (hukum De Morgan)

b. ~ p  q  ~ p  ~ q (hukum De Morgan)

c. p  q ~ p  q

d. p  q   p  q   (q  p)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 27

K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens)
Argumen merupakan rangkaian kalimat-kalimat. Kalimat terakhir disebut
kesimpulan/konklusi. Sedangkan kalimat selain itu sebelumnya disebut
hipotesa/premis/asumsi.
Gambaran umum mengenai skema hipotesa/premis dan
kesimpulan/konklusi digambarkan seperti gambar di bawah ini:

p1
p2
... hipotesa/premis/asumsi
pn
 q kesimpulan/konklusi
(tanda  q dibaca “jadi q”)
Suatu argumen dikatakan valid apabila pernyataan implikasi

p1  p2  ...  pn  q merupakan tautologi.

1. Silogisme Hipotesis

Silogisme merupakan suatu bentuk pemikiran kesimpulan secara
deduktif dan tidak langsung yang mana kesimpulannya ditarik dari dua
premis yang tersedia sekaligus. Dua premis yang dimaksud adalah
premis mayor dan premis minor. Kesimpulan tersebut sering disebut
argumentasi.
Premis mayor:
Premis minor:
Konklusi/kesimpulan:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 28

Penarikan kesimpulan dengan kaidah silogisma diperoleh dari premis-

premis p  q dan q  r dapat ditarik konklusi p  r . Penarikan

kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma.

Jika p  q benar dan q  r benar maka p  r benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

pq ..... premis 1
qr ..... premis 2
 p  r ... kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai

 p  q   q  r    p  r  valid atau tidak suatu silogisme dapat

diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel 1.12 Tabel nilai kebenaran  p  q   q  r    p  r .

pqr pq qr pr p  q  p  q q  r
q  r   p  r

BBB B B B B B
BBS B S S S B
BSB S B B S B
BSS S B S S B
SBB B B B B B
SBS B S B S B
SSB B B B B B
SSS B B B B B

Dari tabel kebenaran di atas dapat terlihat bahwa

 p  q   q  r    p  r  merupakan tautologi. Jadi silogisme

merupakan argumentasi yang valid.

Contoh 1.14:
1) Misalkan Implikasi “ Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan

nilai bagus” dan implikasi “Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 29

mendapat hadiah dari Ibu” adalah benar. Maka menurut kaidah
silogisma diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut:
Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan nilai bagus
Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya mendapat hadiah dari Ibu
Jika saya Rajin Belajar, maka saya akan mendapat hadiah dari Ibu.
2) Perhatikan Contoh selanjutnya:

Jika 2 adalah bilangan genap, maka 3 adalah bilangan ganjil
Jika 3 adalah bilangan ganjil, maka 5 adalah bilangan prima
 Jika 2 adalah bilangan genap, maka 5 adalah bilangan prima
Penarikan kesimpulannya adalah Jika 2 adalah bilangan genap, maka
5 adalah bilangan prima.

2. Modus Ponens

Jika p  q benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

p  q . . . . . . premis 1

p . . . . . . premis 2

 q . . . . . kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan

sebagai  p  q   p  q . Argumentasi ini dikatakan valid jika

pernyataan implikasi  p  q   p  q merupakan tautologi.

Tabel 1.13 Tabel nilai kebenaran dari  p  q   p  q

p q p  q  p  q  p  p  q  p  p

BB B B B

BS S S B

SB B S B

SS B S B

Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa  p  q  p  q

merupakan tautologi, jadi argumen tersebut valid.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 30

Contoh 1.15
1) Misalkan implikasi “Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah

bilangan ganjil” dan “10 habis dibagi 5” keduanya benar. Maka
menurut kaidah modus ponens diperoleh penarikan kesimpulan
sebagai berikut:
Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah bilangan ganjil
10 habis dibagi 5
 3 adalah bilangan ganjil.

2) Perhatikan Contoh selanjutnya:
Jika saya makan maka saya kenyang
Saya makan
Saya kenyang

3. Modus Tollens

Jika p  q benar dan ~ q benar maka p benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

p  q . . . . . premis 1

~q . . . . . premis 2

~p . . . . . . kesimpulan / konlusi

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai

 p  q  ~ q  ~ p , valid atau tidak suatu modus tollens dapat

diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut!

Tabel 1.14 Tabel nilai kebenaran  p  q ~ q ~ p

p q ~p ~q pq  p  q  p  q ~ q

~q ~ p

BB S S B S B

BS S B S S B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 31

SB B S B S B

SS B B B B B

Dari tabel kebenaran di atas tampak

bahwa  p  q ~ q ~ p merupakan tautologi. Jadi modus

tollens merupakan argumentasi yang valid.

Contoh 1.16

1) Misalkan implikasi “5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah

bilangan prima” dan implikasi “3 adalah bilangan komposit”

keduanya benar maka menurut kaidah modus tollens diperoleh

penarikan kesimpulan sebagai berikut:

5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah bilangan prima

3 adalah bilangan komposit

5 adalah bilangan genap

2) Perhatikan Contoh selanjutnya:
Jika saya makan maka saya kenyang
Saya tidak makan
Saya tidak kenyang

4. Simplifikasi
Kaidah simplikasi diperoleh dari tautologi (p  q) → q. Pada kasus
ini p dan q adalah hipotesis, sedangkan q adalah kesimpulan.
Jika p benar dan q benar maka q benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
pq

q

Contoh 1.17

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 32

1) Rudi memiliki mobil dan memiliki motor. Kesimpulannya Rudi
punya motor.
Menggunakan kaidah simplifikasi diperoleh penarikan
kesimpulan sebagai berikut:
Rudi memiliki mobil dan memiliki motor

 Rudi memiliki motor

Menggunakan kaidah simplifikasi juga diperoleh penarikan
kesimpulan sebagai berikut:
Rudi memiliki mobil dan memiliki motor

 Rudi memiliki mobil

Urutan pernyataan dalam konjungsi tidak berpengaruh,
pq≡qp

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 33

LATIHAN 1.d

1. P1 : jika saya belajar, maka saya tahu banyak hal
P2 : jika saya tahu banyak hal, maka saya menjadi siswa teladan
Konklusi:.............................................................................

2. P1 : jika ABC sama sisi, maka A = B
P2 : A ≠ B
Konklusi:.............................................................................

3. P1 : jika x suatu integer, maka 2x adalah bilangan genap
P2 : 2x bukan bilangan genap
Konklusi:.............................................................................

4. P1 : Jika n adalah bilangan asli, maka 2n adalah bilangan asli
genap

P2 : Jika 2n adalah bilangan asli genap, maka (2n+1) adalah
bilangan asli ganjil

Konklusi:.............................................................................
5. Gunakan tabel kebenaran untuk mengetahui manakah yang sah dari

tiap argumen berikut ini:

a. p  q

~p
~ q

b. ~ p  q

~q
p

c. p  q
q ~ r
 p ~ r

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 34

BAB II HIMPUNAN

A. HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan obyek-obyek yang berbeda.
Himpunan dinotasikan dengan huruf besar A, B, C,... Obyek dalam
himpunan disebut elemen/anggota, yang disimbolkan dengan huruf kecil a,
b, c....., Salah satu firman Allah dalam QS. An’aam ayat 28 yaitu:

Artinya: “Dan (ingatlah) hari diwaktu Allah menghimpunkan mereka
semuanya (dan Allah berfirman): "Hai golongan jin, sesungguhnya kamu
telah banyak menyesatkan manusia", lalu berkatalah kawan-kawan meraka
dari golongan manusia: "Ya Tuhan kami, sesungguhnya sebahagian
daripada kami telah dapat kesenangan dari sebahagian (yang lain) dan kami
telah sampai kepada waktu yang telah Engkau tentukan bagi kami". Allah
berfirman: "Neraka itulah tempat diam kamu, sedang kamu kekal di
dalamnya, kecuali kalau Allah menghendaki (yang lain)". Sesungguhnya
Tuhanmu Maha Bijaksana lagi Maha Mengetahui.”

Nilai akidah pada ayat di atas adalah menunjukkan bahwa Allah
mempunyai sifat Maha Adil, karena Allah membalas apa yang telah
dilakukan manusia selama di dunia. Sekecil apapun amal perbuatan
manusia akan diminta pertanggungjawabannya, baik amal baik
Logmikaa,uHpiumnpunbaunr,uRke.lasNi dilaani Fusynagsrii‟ah pada ayat di atas adalah ra|s3a5
tanggungjawab yang harus dimiliki oleh setiap manusia.

Himpunan biasanya diberi simbol huruf kapital dan anggota himpunan
dibatasi dengan tanda kurung kurawal { … }

Contoh 1 :
G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai
dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg.
Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap
kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan
pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk
dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.

Contoh 2:
M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas
kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu
himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia
termasuk gadis manis atau tidak.

Contoh 2.
1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d

atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota
himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi
anggota suatu himpunan digunakan lambang  dan untuk menyatakan
bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan

symbol .

2. A = {b,c,d} dan B = {e,f}

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 36

maka b  A dan b  B
c  A dan c  B
d  A dan d  B

B. PENULISAN HIMPUNAN

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;
a. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua

anggota himpunan dianta dua kurung kurawal
Contoh :
1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 huruf pertama.
2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.
3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

b. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan
menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung
kurawal.
Contoh :
1. A = { x | x = lima huruf pertama abjad }.
2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

c. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana
himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan
himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan
lingkaran.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 37

Gambar 2.1

Contoh :
1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunan berikut serta

kardinalitasnya:
a. A = { x | x  himpunan bilangan bulat, 2 < x < 10 }
b. B = { x | x  himpunan bilangan bulat, x2 + 1  10 }
c. C = { x | x  himpunan bilangan bulat, x bilangan ganjil, 5 < x < 5 }
Penyelesaian:
a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7
b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x 2 + 1 =

10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5
b. C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4

C. MACAM-MACAM HIMPUNAN

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,
himpunan dibagi menjadi beberapa macam:
a. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota
dan dinotasikan dengan  atau { }, himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari setiap himpunan.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 38

Himpunan kosong disajikan dalam bentuk diagram Venn sebagai berikut:

Gambar 2.2
Contoh:
1. Jika P adalah himpunan nama-nama bulan yang dimulai dengan
huruf K, nyatakan dalam notasi himpunan P
Penyelesaian :
P =  atau P = { } karena tidak ada nama bulan yang dimulai dengan
huruf K
2. R = {x | x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2}
nyatakan dalam notasi himpunan R
Penyelesaian :
R =  atau R = { } karena bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak
habis dibagi 2.
3. Apakah {0}=? Jelaskan mengapa demikian?
Penyelesaian:
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, misalkan ada
himpunan Q = {x | x < 1, x  C}, maka Q = {0} atau n(Q) = 1.
Anggota himpunan Q adalah 0. Jadi, himpunan Q bukan merupakan
himpunan kosong.
4. Apakah  = {}? Jelaskan mengapa demikian?
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, sedangkan {} adalah
himpunan yang anggotanya himpunan kosong, sehingga himpunan

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 39

ini memiliki satu anggota, yaitu , jadi dengan demikian jelas bahwa
 ≠ {}

b. Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang
memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan
semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S atau U.

Berikut telah dijelaskan dalam QS. Taha Ayat 6 tentang alam semesta:

Artinya: “Kepunyaan-Nya-lah semua yang ada di langit, semua yang di
bumi, semua yang di antara keduanya dan semua yang di bawah tanah.”

Nilai akidah pada ayat diatas adalah menguatkan bukti Tauhid
Rububiyah (meyakini bahwa Allah adalah satu-satu Dzat yang
mencipta, mengatur alam semesta). Allah yang telah menciptakan alam
semesta dan seisinya secara sempurna. Penciptaan Allah merupakan
salah satu bukti keberadaan Allah sebagai satu-satunya Dzat yang
bersifat wujud (ada) dan Maha Kuasa. Benda-benda langit, benda-benda
bumi, benda-benda yang berada diantara langit dan bumi serta benda-
benda dalam perut bumi, semua itu tidak mungkin ada kalau tidak ada
yang menciptakan

Contoh:
Diketahui:
A = {1,3,5,7,}
Maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 40

S = {Bilangan Prima}. Artinya, S adalah himpunan semesta dari A.
Himpunan S memuat semua anggota himpunan A.
Jika kita membicarakan himpunan bilangan asli kurang dari 8, yaitu:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ={1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6}
C = {7, 8, 9}
Maka S adalah semesta dari himpunan A dan B, tetapi bukan semesta
dari himpunan C.
Jika digambarkan dengan diagram Venn:

Gambar 2.3

c. Himpunan Berhingga (Finite Set)
Himpunan yang memiliki banyak anggotanya berhingga disebut himpunan
berhingga.
Contoh:
1. A = {a, b, c, d, e, f} dengan n(A) = 6
2. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} dengan n(B) = 7
3. P adalah himpunan bilangan Asli yang kurang dari 20

Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
P = {1, 2, 3, . . . , 19} dengan n(P) = 19
4. Q adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf M

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 41

Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
Q = {Maret, Mei} dengan n(Q) = 2
5. Himpunan mahasiswa program studi matematika UM Metro
(apakah himpunan ini berhingga atau tidak?)

d. Himpunan Tak Berhingga (Infinite Set)
Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan
tak berhingga.
1. A = {x | x bilangan Asli}

Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}
2. A = {x | x bilangan Bulat}
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
B = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
3. P adalah himpunan kelipatan 5 dari bilangan asli
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
P = {5, 10, 15, 20, 25, . . .}
4. Q adalah himpunan bilangan cacah
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

D. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN

Soal:
1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan

himpunan.
b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 42