Materi Logika dan Himpunan Terintegrasi Nilai-Nilai Islam

2) Menentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu: x = 0.

3) Menentukan persamaan sumbu simetri x =  b
2a

4) Menentukan titik puncak   b , D  dengan nilai diskriminan D =
 2a 4a 

b2 – 4ac

Contoh 12:

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 – 4 Y f(x) = x2- 4
y = 0, x =-2 dan x = 2
x = 0, y = -4 3
2
1

-3 -2 -1 -1 0 12 34 X
-2
-3
-4

Gambar 14

d. Fungsi identitas

Fungsi identitas adalah suatu fungsi f(x) yang setiap anggota domain
fungsi berlaku f(x) = x atau semua anggota domain fungsi berkaitan
dengan dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas y = x untuk x  R, berupa garis lurus yang melalui
titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.
Contoh 13:
Suatu fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
(1) Carilah f(–2), f(-1), f(0), f(1), f(2).
(2) Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 93

f(x) = x Y
f(–2) = –2
f(–1) = –1 3 y = f(x) = x
f(0) = 0 2
f(1) = 1 1
(2) = 2

-3 -2 -1 -1 0 1 2 34 X
-2
-3

Gambar 3.16

e. Fungsi tangga (bertingkat)
fungsi tangga adalah suatu fungsi f(x) yang grafik fungsi f(x)
berbentuk interval-interval yang sejajar.
Contoh 14:
–2, jika x ≤ –1

Diketahui fungsi: f(x) = -1, jika –1 < x ≤ 1
0, jika 1 < x ≤ 3

1, jika x > 3
Y

3
2
1

Logika, Himpunan, Re-l3asi d-a2n Fu-1ng-1si0 1 2 34 X| 94
-2
-3

Gambar 3.17

f. Fungsi Modulus

Fungsi Modulus atau nilai mutlak dari sebuah bilangan real x adalah

suatu fungsi f(x) dimana fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada

domain fungsi ke unsur harga mutlaknya

fungsi f : x |x| atau f : x → |ax + b| dengan x  R

artinya: +x, jika x ≥ 0

|x| =

-x , jika x < 0

Contoh 15:

Diketahui fungsi f : x |x| dengan x  R, tentukan f(– 2), f(–1), f(0),

f(1), dan f(2)
Penyelesaian :
f(x) = |x|
f(–2) = |-2|= 2
f(–1) = |-1|= 1
f(0) = |0|= 0
f(1) = |1|= 1
f(2) = |2|= 2

Y

3 y = f(x) = x
2
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungs1i | 95

-3 -2 -1 -1 0 1 2 34 X
-2

Gambar 3.18
g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x)
dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x).

Fungsi f : x  y = f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)

Jika digambarkan dalam grafik cartesius, grafik fungsi genap selalu
simetri terhadap sumbu Y

1) Fungsi f : x  y = f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x)

Jika digambarkan dalam grafik cartesius Grafik fungsi ganjil
selalu simetri terhadap titik asal O
2) Jika f(– x) ≠ f(x) dan f(– x) ≠ – f(x) maka fungsi ini tidak genap dan
tidak ganjil

Contoh 16:

Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil atau fungsi

tidak genap dan tidak ganjil?

a) f(x) = x2

b) f(x) = x3

c) f(x) = x2 – 4x

Penyelesaian :

a) f(x) = x2

f(–x) = (–x)2

= x2

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 96

f(–x) = f(x)
f(x) = x2 (fungsi genap)

Y

3 y = f(x) = x2
2
1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4X
Gambar 3.19

b) f(x) = x3
f(–x) = (– x)3
= – x3
–f(x) = – x3
f(–x) = – f(x)
f(x) = x3 (fungsi ganjil)

Y y = f(x) =

3
2
1

Logika, -3 -2 Fu-n-11gsi 0 1 2 3X | 97

Himpunan, Relasi dan

-2

-3

Gambar 3.20

c) f(x) = x2 – 4x
f(–x) = (–x)2 – 4 (–x)
= x2 + 4x
Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠–f(x).
Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

K. Sifat-sifat Fungsi
a. Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A  B, setiap y  B hanya mempunyai satu kawan

Saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.
A BA B A B

Fungsi injektif Bukan Fungsi injektif Fungsi Injektif

AB

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 98

Bukan Fungsi injektif Fungsi injektif

b. Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A  B, setiap y B mempunyai kawan di A, maka f disebut

fungsi surjektif atau onto.

Fungsi surjektif Fungsi surjektif Bukan Fungsi surjektif

c. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)
Suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Apabila
memiliki sifat injektif sekaligus surjektif.

Contoh:
AB

Fungsi bijektif Bukan Fungsi bijektif

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 99

Fungsi bijektif Bukan Fungsi

L. Aljabar Fungsi

Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai
berikut.
a. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Contoh
Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).
Penyelesaian
(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x + 2 + x2 – 4
= x2 + x – 2

b. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Contoh
Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).
Penyelesaian
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
= x2 – 3x – (2x + 1)
= x2 – 3x – 2x – 1
= x2 – 5x – 1

c. Perkalian f dan g berlaku (f o g)(x) = f(x)o g(x)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 100

Contoh

Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).

Penyelesaian

(f × g)(x) = f(x) . g(x)

= (x – 5)(x2 + x)

= x3 + x2 – 5x2 – 5x

= x3 – 4x2 – 5x

d. Pembagian f dan g berlaku  f x  f x
g gx

Contoh

Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan  f x
g

Penyelesaian :

 f x  f x
g gx

 x2  4
x4

 (x  2)(x  2)
(x  2)

 (x  2)

M. Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru
dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa
dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat
kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 101

a. Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih
Misalkan ada fungsi f(x) dan g(x), maka berlaku :
- g o f (x) artinya f masukin ke g
- f o g (x) artinya g masukin ke f
- h o g o f(x) artinya f masukin ke g kemudian hasilnya masukin
ke h
Contoh :
Diketahui f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 – 4, maka rumus fog (x) =…
Penyelesaian : f o g (x) = g masukin ke f
2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11

b. Mencari salah satu fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan satu

fungsinya

1. Mencari fungsi depan Metode supertrik : invers saja !

Contoh :

Diketahui g (x) = 2x – 1 dan f o g (x) = 4x – 8 . Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

Metode supertrik :

Invers dari g(x) = 2x – 1 adalah x  1

2

Maka, f(x) = 4  x  1  8  2x18  2x 6
 2 

2. Mencari fungsi belakang
Metode supertrik : ganti x dengan yang akan dicari!
Contoh :
Diketahui g(x) = 2x – 1 dan g o f (x) = 4x2 – 2x + 1. Tentukan f(x) !
Maka, f(x) = ??

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 102

Penyelesaian :
2f(x) – 1 = 4x2 – 2x + 1
2f(x) = 4x2 – 2x + 1 + 1
f(x) = 2x2 – x + 1

Contoh:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x)
dan (g o f)(x) ...
Penyelesaian:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)

Penyelesaian :

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 103

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan
diagram panah berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain
diketahui
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah
diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Penyelesaian :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 104

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

N. Invers Fungsi
Jika diketahui suatu fungsi f(x) dan memenuhi syarat untuk memiliki invers,

maka invers fungsi dari f(x) ditulis f 1 x

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari
fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi
invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah
hasil dari f-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]

1. Menentukan invers fungsi linier
Metode supertrik :

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 105

 Jika diketahui f(x) = ax + b maka f 1 x  x b

a

 Jika diketahui f(x) = ax – b maka f 1 x  x  b

a

 Jika fx ax b maka f1 x dx b
cx  d cx a

2. Menentukan invers fungsi kuadrat
Metode supertrik : dicari separuhnya !

 Jika diketahui f(x) = ax2 + 2bx + c maka f1 x  x  c  b2  b

Contoh :
Tentukan invers fungsi dari f(x) = x2 + 4x + 6 !
Penyelesaian :
Dari soal diketahui bahwa a = 1 ; b = 2 ; c = 6, sehingga invers dari
f(x) adalah :

 f1 x  x  c  b2  b
 f1 x  x  6  22  2

 x2  2

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 106

LATIHAN 2.d

1. Fungsi f :R  R didefinisikan dengan rumus f(x) = x3-2. Apakah
fungsi f1 ada?

2. Fungsi f dan f didefinisikan dengan diagram panah dibawah ini.

Carilah g f dan f  g ?

3. Didefinisikan fungsi h dan k pada himpunan bilangan rill sebagai
sebagai berikut:
∀ ∈ ℎ = + 1 ; =
dan masing-masing adalah fungsi lantai (pembulatan ke
bawah) dan fungsi atap (pembulatan ke bawah). Apakah h=k?
jelaskan!

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 107

4. Misalkan X {1, 5, 9} dan Y {3, 4, 7}
a. Didefinisikan fungsi f:X →Y dengan f(1) = 4, f(5) = 7, dan f(9) = 4.
Apakah f injektif? surjektif? bijektif?
b. Didefinisikan fungsi f:X →Y dengan g(1) = 7, g(5) = 3, dan f(9) = 4.
c. Apakah g injektif? surjektif? bijektif?

5. Misalkan X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4} dan Z = {1, 2}
a. Buatlah fungsi f :X →Y yang injektif tapi tidak surjektif.
b. Buatlah fungsi g:X →Z yang surjektif tapi tidak injektif
c. Buatlah fungsi h:X →X yang tidak injektif dan tidak surjektif
d. Buatlah fungsi f :X →X yang injektif dan surjektif.

6. Diketahui A = {a, b, c} dan B = {0, 1, 2, 3} didefinisikan relasi f, g, h
dari P(A) (Power set A) ke B dengan aturan sebagai berikut:
f(X) = Jumlah elemen dalam X
g(X)= Jumlah ‘a’ dalam X
h(X)=Jumlah elemen dalam A-X.
a. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi?
b. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi injektif?
c. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi
surjektif?
d. Tentukan range (f) ∩ range (g)

7. Diketahui Σ = {a, b} dan Σ* adalah himpunan semua string yang
bisa dibentuk dari anggota-anggota Σ. didefinisikan fungsi f dan
g : Σ*→ C (bilangan cacah) dengan aturan sbb:
f(w) = Jumlah ‘a’ + jumlah ‘b’ dalam w

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 108

g(w) = Maksimal (jumlah ‘a’ + jumlah ‘b’)
h(w) = Panjang string ‘w’
a. Tentukan range g
b. Tentukan f(w) – h (w)
c. Apakah g merupakan fungsi yang injektif? surjektif?

8. Sebuah desa dihuni 500 penduduk. apakah pasti ada paling sedikit
2 penduduk yang berulang tahun pada hari yang sama?

9. Mana diantara fungsi f, g, dan h: {1, 2, 3, 4} → {a, b, c, d} yang
didefinisikan dengan pasangan berikut ini yang mempunyai invers?
f ={ (1,a), (2,a), (3,c), (4,d) }
g={ (1,a), (2,c), (3,b), (4,d) }
h={ (1,c), (2,b), (3,d), (4,a) }

10. Apakah fungsi f: Z Z didefinisikan dengan rumus f(n) = 2 + 2
memiliki invers? jika y, tuliskan invers fungsinya. jika tidak,
jelaskan alasanya!

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 109