Materi Logika dan Himpunan Terintegrasi Nilai-Nilai Islam

2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan
berikut benar, kemudian berikan alasannya.
a. p ϵ B
b.{q} ϵ B
c. r ϵ B
d. s ϵ B

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.
a. A = {x2 = 25}
b. B = {x| x + 3 = 3}
c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.
a. E = {a,i,u,e,o}
b. F = {2,3,5,7,11}
c. G = {3,6,9,12, …}
d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan
bilangan asli yang:
a. kurang dari 5,
b. lebih dari atau sama dengan 3,
c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan
d. prima.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 43

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar
a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}
b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}
c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}

Pembahasan:
1. a. Kumpulan yang bukan merupakan Himpunan

Kumpulan mahasiswa yang badannya gemuk.
Kumpulan mata kuliah yang sulit.
Kumpulan masakan yang enak rasanya
b. Kumpulan yang merupakan Himpunan
Kumpulan bintang dilangit.
Kumpulan huruf yang membentuk kata “Matematika Anggota
himpunan ini adalah m, a, t, e, i, dan k.
Kumpulan orang Solo yang sudah menikah

2. a. p ϵ B
jawab : benar, karena p merupakan anggota himpunan B

b. {q} ϵ B
jawab : salah, ???

c. r ϵ B
jawab : benar, karena r merupakan anggota himpunan B

d. s ϵ B
jawab : salah, karena s bukan merupakan anggota himpunan B

3. a. A = {x2 = 25} | 44
Jawab : A = {5}

b. B = {x| x + 3 = 3}

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Jawab : B = {0} | 45
c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

Jawab : A = {5, 7, 9, 11, 13, …}

4. a. E = {a,i,u,e,o}
Jawab : E himpunan huruf vocal

b. F = {2,3,5,7,11}
Jawab : F himpunan bilangan prima

c. G = {3,6,9,12, …}
Jawab : G himpunan bilangan perkalian 3

d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
Jawab : H himpunan bilangan ???

5. a. kurang dari 5,
Jawab : A = {x| x < 5, x bilangan asli}

b. Iebih dari atau sama dengan 3,
Jawab : B ={x| x ≥ 3, x bilangan asli}

c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan
Jawab : C = { x| x kelipatan 5 kurang dari 50}

d. prima.
Jawab : D = { x | x bilangan prima }

6. a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}
Jawab : Salah

b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}
Jawab : Benar

c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}
Jawab : Benar

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

LATIHAN 2.a

1. Nyatakan himpunan berikut ini dengan menuliskan semua anggotanya
dan dengan menuliskan sifat-sifatnya:
A = Himpunan bilangan asli antara 4 dan 9
B = Himpunan yang anggotanya adalah meja, kulkas, kucing, tanah

 2. Misalkan S  nZ n (1)k untuk suatu bilangan bulat positif k

(dengan Z = himpunan bilangan prima). Nyatakan himpunan S dengan
cara mendaftarkan anggotanya.

3. Misalkan A = 3,4,5,6 , B = 5,10 dan C= 4,6. Tentukan apakah relasi-

relasi berikut ini yang benar? Berikan alasannya.
a. B  A
b. C  C
c. C  A

4. Buktikan bahwa: | 46

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

a. Himpunan kosong adalah himpunan bagian semua himpunan.
Jadi ∅  A untuk semua himpunan A.

b. Himpunan kosong adalah tunggal

E. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN
a. Himpunan Bagian
Semesta pembicaraan (simbol S) adlah himpunan semua obyek yang
dibicarakan. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut

himpunan kosong, diberi simbol ∅ atau  .

Perhatikan Surat Al- Waqi’ah ayat 7-10 berikuti ini:

Artinya: “dan kamu menjadi tiga golongan. Yaitu golongan kanan.
Alangkah mulianya golongan kanan itu. Dan golongan kiri. Alangkah
sengsaranya golongan kiri itu. Dan orang-orang yang beriman paling
dahulu. Mereka itulah yang didekatkan kepada Allah. Berada dalam jannah
kenikmatan. Segolongan besar dari orang-orang yang terdahulu. dan
segolongan kecil dari orang-orang yang kemudian.”

Nilai akidah yang terdapat dalam ayat di atas adalah adanya Tauhid
Uluhiyah. Tauhid Uluhiyah merupakan inti dakwah para rasul, yaitu
mengesakan Allah dengan memurnikan perbuatan para hamba semata-
mata dengan niat taqarrub (mendekatkan diri) kepada Allah, seperti
Logshikaal,aHt,imzpauknaat,n,pRuealassai,dahnajFi,unsghsoi daqoh, membaca Al-Qur’an, berdzik|ir4,7
tawakkal, bertaubat, dan lainlain. Ibadah- ibadah tersebut menjadi
halhal yang dapat menjadikan manusia menjadi golongan kanan.

Contoh 1 :
S = Manusia
A = Golongan Nabi dan umatnya yang beriman
B = Golongan kanan A  B / golongan kiri

A
A B

B

Gambar 2.4

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan maka A disebut himpunan bagian
(subset) dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan
anggota B.

A  B  (( x  A  x B)

Perhatikan gambar 2.4. Jika A adalah himpunan bagian B, dikatakan juga
bahwa B memuat A (simbol B  A) .
Jika ada anggota A yang bukan anggota B, berarti A bukan himpunan

bagian B (ditulis A  B). Secara matematika, A  B  ((x) x A  x B)
Perhatikan perbedaan antara  (simbol keanggotaan himpunan) dan 
(simbol himpunan bagian). x  A berarti bahwa elemen x adalah salah satu

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 48

di antara elemen-elemen A. Sedangkan A  B berarti bahwa setiap anggota

A merupakan anggota B.
Dari uraian di atas himpunan bagian didefinisikan:

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B,
Ditulis A  B, jika setiap anggota A juga merupakan
anggota B.

Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B,
Ditulis A  B, jika ada anggota A yang bukan merupakan
anggota B.
Contoh 2:

Jika A = 1, 2,1,1, 2  . Perhatikan bahwa A memiliki 4 anggota, masing-
masing 1,2 1 dan 1,2 sehingga
 1 A,1 A,1  A,1  A,11

1  adalah himpunan yang anggotanya 1, sedangkan 1 adalah
himpunan yang anggotanya 1
 2 A,2  A, 2   A, 2  A dan juga 2   A
 1,2  A dan juga 1,2   A

b. Himpunan Sama
Dua himpunan dikatakan sama, apabila Dua buah himpunan yang memiliki
anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya.

A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B
Bukti:
Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:

⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒∀x,(x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A
⇒ x ∈ B) ⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 49

Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x,(x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A
⇒ x ∈ B) ⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒A = B

Contoh:
Perhatikan himpunan A = {m, e, t, r, o} dan B = {m, e, r, o, t}. Terlihat bahwa
setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini,
himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B.
c. Himpinan Setara/ekuivalen
Dua himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika memiliki banyaknya
anggota yang sama atau n(P) = n(Q)

Notasi: P ~ Q
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)

Contoh:
Perhatikan himpunan R = {m, e, t, r, o} dan S = {1, 2, 3, 4, 5}
Karena jumlah anggota himpunan R sama banyaknya dengan jumlah
anggota himpunan S, maka dikatakan himpunan R setara dengan himpunan
S, ditulis: R ~ S

d. Himpunan Kuasa/Power Set

Himpunan kuasa dari himpunan A ditulis dengan P(A) Yaitu himpunan

yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan.

Perhatikan tabel berikut:

Himpunan Banyaknya Himpunan Bagian Banyaknya
{a} Himpunan
Anggota
Bagian
(i) (ii)
2 = 21
1 {}

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 50

{a}

{a, b} 2 {} 4 = 22
{a}, {b} 8 = 23
{a, b} 16 = 24

{a, b, c} 3 {} 2n
{a}, {b}, {c}
{a, b}, {a, c}, {b, c}
{a, b, c}

{a, b, c, d} 4 {}

{a}, {b}, {c}, {d}

{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b,

d}, {c, d}

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b,

c, d}

{a, b, c, d}

{a, b, c, d, ...} n { }

{a}, {b}, ...

Terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu
himpunan dengan banyaknya himpunan bagian himpunan tersebut.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan
n banyaknya anggota himpunan tersebut.

F. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya
adalah:
a. himpunan bilangan prima
b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
c. himpunan bilangan bulat yang habis 4
Jawab:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 51

a. P ={2}
b.T = {6}
c. E = {4, 8}

2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a},
{i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}
b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5},
{2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5},
{1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5},
{{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {…}.

4. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan
dua himpunan yang sama.
A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}
B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}
C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}
Jawab:
C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B

4. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.
a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}
b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}
c. T = {huruf pembentuk kata “HISAP”}, K = {huruf pembentuk kata
“PINTAR”}
Jawab:
a. A tidak ekuivalen dengan B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 52

b. C tidak ekuivalen dengan D
c. T tidak ekuivalen dengan K

LATIHAN 2.b

Dengan melihat Jumlah himpunan bagian pada tabel sebelumnya, Lengkapi

tabel berikut:

Himpunan Jumlah Jumlah himpunan Segitiga Pascal
(i) Anggota bagian yang (iv)

(ii) anggotanya (iii)

012345

{} 0 ... ... ... ... ... ... 1

{a} 1 ... ... ... ... ... ... 11

{a, b} 2 ... ... ... ... ... ... 121

{a, b, c} 3 ... ... ... ... ... ... 1 3 3 1

{a, b, c, d} 4 ... ... ... ... ... ... 1 4 6 4 1

{a, b, c, d, e} 5 ... ... ... ... ... ... 1 5 10 10 5
1

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 53

Jumlah anggota himpunan bagian 012345

1) Apa keistimewaan kolom (iii) dan kolom (iv)?

2) Cek apakah banyak semua himpunan bagian P = {a, b, c, d, e}

adalah 2n?

e. Himpunan saling lepas (disjoint)

Definisi:

Himpunan A dikatakan saling lepas atau saling asing dengan himpunan B

jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

A||B jika dan hanya jika ∀x,(x ∈ A → x 6 B) ∧ (x ∈ B → x 6A)

Contoh:
Diketahui:
A = {1,3,5,7,9}
B = {2,4,6,8,10}
bila disajikan dalam diagram Venn sebagai

berikut:
Gambar 2.5

Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi
anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota
himpunan B yang menjadi anggota himpunan A.

f. Himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Definisi:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 54

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A
dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang
bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

Contoh:
Diketahui:
P = {2, 4, 6, 8, 10}
Q = {2, 3, 5, 7}
bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:

Gambar 2.6
Perhatikan ada anggota himpunan P yang juga menjadi anggota himpunan

Q, yaitu {2}. Dalam hal ini dikatakan bahwa {2} adalah anggota persekutuan

dari himpunan P dan Q. Perhatikan juga ada anggota himpunan P yang
tidak menjadi anggota himpunan Q, demikian pula sebaliknya. Artinya:

himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

6. Operasi Pada Himpunan

a. Irisan (intersection)
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat semua anggota A
yang juga menjadi anggota B.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 55

Perhatikan QS. Al-Fatihah Ayat 7 yang berbunyi:

“(yaitu) Jalan orang-orang yang telah Engkau beri nikmat kepada
mereka; bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan)
mereka yang sesat.”

Nilai akidah dalam ayat tersebut menunjukkan bahwa Allah Maha
Pengasih dan Maha Penyayang, diantaranya adalah banyaknya nikmat
yang telah diberikan kepada manusia. Manusia yang mampu
mensyukuri apa yang sudah diberikan oleh Allah adalah orang-orang
yang beriman kepada Allah. Bagi orang-orang yang tidak mau dan tidak
mNamotpausi : mAensByu=k{uxri xnikAmdaat-nnixkmBat}, Allah merupakan orang-orang
bilkaadfiirs.aBjikagani mdaalnaumsidaiyaganragmbVereandna idriaslaanmhikmedpuuannaynaAmdeannuBnjusekbkaagnaibbaehrwikaut:
orang tersebut adalah orang munafik.
Contoh:

A = Orang-orang yang beriman kepada Allah
B = Orang-orang yang kafir
A  B = Orang-orang munafik

Gambar 2.7 | 56
A  B adalah daerah yang diarsir

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Jika dua buah himpunan salaing lepas(disjoint) maka A  B =

b. Gabungan (union)
Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota
A dan/atau menjadi anggota himpunan B

Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
bila disajikan dalam diagram Venn gabungan himpunan A dan
himpunan B sebagai berikut:

Gambar 2.8
c. Komplemen (complement)
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota anggotanya
merupakan anggota S tetapi bukan anggota A

Notasi : Ac = { x  x  S, x  A }
bila disajikan dalam diagram Venn komplemen dari suatu himpunan
sebagai berikut:

Gambar 2.9 | 57

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

d. Selisih (difference)
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya
semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Notasi: A – B = { x  x  A dan x  B } = A  Bc
bila disajikan dalam diagram Venn selisih himpunan A dan B sebagai
berikut:

Gambar 2.10
e. Selisih Simetri (Symmetric Difference)
Selisih simetri dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
bila disajikan dalam diagram Venn selisih simetri dari himpunan A dan B
sebagai berikut:

Gambar 2.11 | 58

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Contoh

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Teorema: Selisih Simetri memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A  B = B  A (hukum komutatif)

(b) (A  B )  C = A  (B  C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya merupakan pasangan berurutan (a,b) yang dibentuk dari
komponen himpunan A dan komponen himpunan B.

Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
Yang perlu diperhatikan dalam perkalian kartesian adalah:

o Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n (A  B)=
n(A) . (B)

o Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), jadi (a, b)  (b, a).
o tidak berlaku komutatif, yaitu A  B  B  A, dengan syarat A atau B

tidak kosong
Contoh
(Misalkan A = { p, q, r }, dan B = { 1, 2 }, tentukan perkalian kartesian dari
kedua himpunan tersebut?
Penyelesaian:
A  B = { (p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2), (r, 1), (r, 2) }

g. Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum idempoten:
o A A=A

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 59

o A A=A | 60
2. Hukum identitas:

o A =A
o A S=A
3. Hukum null/dominasi:
o A=
o A S=S

4. Hukum komplemen:
o A AC = S
o A AC =

5. Hukum involusi:
o (AC)C = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):
o A (A B) = A
o A (A B) = A

7. Hukum komutatif:
o A B=B A
o A B=B A

8. Hukum asosiatif:
o A (B C) = (A B) C
o A (B C) = (A B) C

9. Hukum distributif:
o A (B C) = (A B) (A C)
o A (B C) = (A B) (A C)

10. Hukum De Morgan:
o (A B)C = AC B C
o (A B)C = AC B C

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada A = B
jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Berikut diambil salah satu sifat sebagai
contoh pembuktian, misalnya A∩B = B ∩ A.

Bukti:
Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩ B)

⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) definisi A ∩ B
⇒ (x ∈ B) ∧ (x ∈ A) komutatif konjungsi
⇒ x ∈ (B ∩ A) definisi B ∩ A
⇒ (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) definisi A ⊆ B

Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩ A
⇒ (y ∈ B) ∧ (y ∈ A) definisi B ∩ A
⇒ (y ∈ A) ∧ (y ∈ B) komutatif konjungsi
⇒ y ∈ (A ∩ B) definisi A ∩ B
⇒ (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B) definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B),
maka (B ∩ A) = (A ∩ B)

h. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

n(A  B) = n(A) + n(B) – 2 . n(A  B)

Contoh
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 61

A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
(adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 5, yaitu 15),
Ditanya: n(A  B)?

n(A)= 100/3 = 33,
n(B) = 100/5 = 20,
n(A  B) = 100/15 = 6
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) - n(A  C) - n(B  C)

+ n (A  B  C)

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

     n (A1  A2  …  Ar) = nA1  –
n Ai  Aj + n Ai  Aj  Ak

1i jr 1i jk r

+ … + (-1)r-1 n(A1  A2  …  Ar)
i. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan

bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

(a) A1  A2  … = A, dan

(b) Ai  Aj =  untuk i  j

Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka { {1}, {2}, (3, 4, 5, 6}, {7,
8}, {9, 10} } adalah partisi A.

LATIHAN 2.c

1. Misalkan A = 1,3 dan B = 3,4 . Carilah himpunan berikut ini

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 62

a. P (A)
b. P (A ∩ B )
c. P ( A ∪ B)

2. Diketahui A = 1,3  dan B= 1,3 . Carilah:

a. P (A) – P (B)
b. P (A) ∩ P (B)
c. P (A ∩ B)

3. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil R.

Ax  R 0 x 2; B x R 1  x 4 

Tentukan
a. A ∩ B
b. AC
c. BC
d. AC ∩ BC
e. AC ∪ BC

4. Dua buah himpunan dikatakan terpisah (disjoint) jika irisan kedua
himpunan tersebut = ∅ . Pada sembarang himpunan, apakah kedua
himpunan di bawah ini terpisah?
d. A-B dan B-A
e. A – ( B ∪ C) dan B – (A ∪ )
f. A – (B ∩ C) dan B - (A ∩ C)

7. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan

Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada
himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan
untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 63

Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi non simetrik

yaitu:

∀A, A ⊆ A
∀(A, B, C) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)

∀(A, B) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇒ (A = B)

Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
2. ∅ ⊆ A
3. A ⊆ U

Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan

butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian.

Bukti 3.:

Andaikan A 6 ⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6 ∈ U. Tetapi berdasarkan definisi U

tidak ada x /∈ U. Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian harus

diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A ⊆ U

A⊆B⇔A∪B=B

Bukti:

Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya:

1. (A ⊆ B) ⇒ A ∪ B = B

2. A ⊆ B ⇐ (A ∪ B = B)

3. (A ∪ B) ⊆ B)

4. B ⊆ (A ∪ B) Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B.

Ambil sembarang y ∈ (A ∪ B)

⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) definisi A ∩ B

⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) A⊆B

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 64

⇒(y ∈ B) idempoten ∨
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A

Ambil sembarang z ∈ B sifat additif ∨
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) A⊆B
⇒(y ∈ (A ∪ B) idempoten ∨
⇒(y ∈ B) definisi B ⊆ A
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B)

Berarti kita telah membuktikan bahwa
A⊆B⇒A∪B=B

Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪ B = B, berarti A ∪ B ⊆ B, karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪ B),⇒ x ∈ B
⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪ B), ∧x 6∈ B
⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B
⇒∀x, x ∈ A
⇒ x ∈ B ⇒A ⊆ B

Untuk himpunan semesta U dan himpunan
AU⊆A⇔A=U

Untuk sembarang himpunan A dan B,
A ⊆ A ∪ B dan B ⊆ A ∪ B

(A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Untuk A, B, C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B) ⊆ C
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ C (6.13)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 65

(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C

Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga
diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya
merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan
digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari
himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi
supersetnya dan dihubungkan dengan garis.

Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubungan
antara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat
garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam
hal hubungan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu: 1.
setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan 2. himpunan
kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, (∅) adalah subset dari
setiap himpunan. Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah
himpunan semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.

8. Himpunan Bilangan
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun

penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini.
Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan
(angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya,
lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab
yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan
tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang
bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v ...). Berikut ini telah dijelaskan dalam QS
Muddatstsir Ayat 31 yakni:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 66

Dan tiada Kami jadikan penjaga neraka itu melainkan dari malaikat: dan
tidaklah Kami menjadikan bilangan mereka itu melainkan untuk jadi
cobaan bagi orang-orang kafir, supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab
menjadi yakin dan supaya orang yang beriman bertambah imannya dan
supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab dan orang-orang Mukmin itu
tidak ragu-ragu dan supaya orang-orang yang di dalam hatinya ada
penyakit dan orang-orang kafir (mengatakan):Apakah yang dikehendaki
Allah dengan bilangan ini sebagai suatu perumpamaan? Demikianlah
Allah membiarkan sesat orang-orang yang dikehendaki-Nya dan memberi
petunjuk kepada siapa yang dikehendaki-Nya. Dan tidak ada yang
mengetahui tentara Tuhanmu melainkan Dia sendiri. Dan Saqar itu tiada
lain hanyalah peringatan bagi manusia.(QS Muddatstsir: 31).

Ayat ini menjelaskan mengenai keberadaan angka-angka (bilangan).
Tujuannya agar manusia itu menggunakan akalnya untuk berpikir dan
meyakini apa yang telah diturunkan, yakni Alquran. Allah
menciptakan alam semesta ini dengan perhitungan yang matang dan
teliti. Ketelitian Allah itu pasti benar. Dan, Dia tidak menciptakan alam
ini dengan main-main. Semuanya dibuat secara terencana dan
perhitungan.

A. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini
merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin
menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita.

Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah
penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

∀x, y ∈ N, x + y ∈ N

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 67

∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)

Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik

penjumlahan dan perkalian, yaitu:
∀x, y ∈ N x + y = y + x

x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x + (y + z) = (x + y) + z

x.(y.z) = (x.y).z

Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x + y)z = xz + yz

Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas

penjumlahan. ∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi 6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x + e = e + x = x

Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:

1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun

perkalian.

∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x 0 ∈ N, 3 x.x0 = 1

2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃ x, y ∈ N 3 (x − y) 6∈ N dan
∃ x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N

Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan

komposit. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi

bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima.

Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi

1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }

2. Himpunan bilangan Komposit = N/P

Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k ∗ adalah bilangan asli
berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k ∗ = k + 1.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 68

Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut
Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N,

berlaku

h (1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k ∗ ∈ S) i ⇒ (S = N)

Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu

himpunan bagian S dari N, berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S
maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh

bilangan asli.
h (n1 ∈ N) ∧ (∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k ∗ ∈ S) i ⇒ (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · })

Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu

himpunan bagian S dari N, berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada
S maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan

asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }.

Cari Halaman Kembali Layar Penuh Tutup Keluar Postulat Peano di

atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi

matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat

dirumuskan sebagai berikut:
h P(1) ∧ ∀ k, P(k) ⇒ P(k ∗ ) i ⇒ P(n), ∀ n ∈ N

Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan

himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak

terhitung.

Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit,
jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau
seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan
dikatakan himpunan tak terhitung yang merupakan himpunan kontinu.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 69

Contoh : H = 1, 3, 5,..... , Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan

bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan

 H  x1 x  2, x himpunan bilangan Rasional, himpunan bilangan Riil

adalah himpunan tak terhitung.

B. Himpunan Bilangan Cacah
Perhatikan firman Allah dalam Surah Al-Fajr Ayat 2-3 :

Artinya: dan malam yang sepuluh, dan yang genap dan yang ganjil.

Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak
mempunyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli
digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah
himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan
bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk
mementukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan ; adalah 0. Jadi
bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.

Himpunan bilangan Cacah(C) = ( N   0    0,1, 2,....

Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga
berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku
pada himpunan bilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada
himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki
identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers
penjumlahan maupun invers perkalian.

Sifat 5 Identitas Penjumlahan | 70

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Tetapi  0C ,  cC, 0  c  c  0  c
c ( 0 )C, c ' C  c  c '  0

C. Himpunan Bilangan Bulat

Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse
penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.

Z  C   1,  2,.... ...., 2,1,0,1,2,....

Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan,
tetapi bukan invers perkalian.

‫ةَ ةََةْلَةا الْلْل ةِ ةَالَل ةَا ةَ آَةَةْل لِ َة ةَ ةَ لَْةا آَةَة الْلْل لِ ةَ ةََةْلَةا آَةَة‬
‫الَل ةَا لَ مِْل لِ ةًَل للَةْلَةُمْا َة لْ لً لِ لِ ةَِّلُم لْ ةَللَةَلْة مَْا َةَةَة‬
ً‫ال لَّ َلْ ةِ ةَالل لََةا ةَ ةَُم لِ َة لْ ءٍ َة لِْلَةاُم َةْل لِْ ل‬

Artinya: Dan Kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda, lalu Kami
hapuskan tanda malam dan Kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamu
mencari kurnia dari Tuhanmu, dan supaya kamu mengetahui bilangan
tahun-tahun dan perhitungan. Dan segala sesuatu telah Kami terangkan
dengan jelas (QS Al-Isra: 12)

Kami jadikan malam dan siang dengan segala bentuk dan perputaran

silih berganti yang ada padanya sebagai tanda yang menunjukkan

keesaan dan kekuasaan Kami. Kami hilangkan sinar pada malam hari,

sehingga tidak tampak sesuatu apa pun. Sebagai tandanya adalah

kegelapan yang tidak disinari oleh matahari. Itu merupakan tanda yang

paling besar. Kami jadikan siang terang benderang. Dan matahari yang

merupakan tanda yang paling besar tampak kelihatan. Dengan adanya

sinar pada siang hari kalian dapat mencari penghidupan. Dan dengan

pergantian siang dan malam kalian dapat mengetahui bilangan tahun,

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi segala sesuatu yang mendatangk|a7n1

perhitungan bulan, hari dan

maslahat bagi kalian. Semua itu telah Kami terangkan dengan jelas

sehingga dapat menjadi bukti bagi kalian setelah sempurnanya

Sifat 6 Invers Penjumlahan.
 cC , c ' C  c  c '  0

Tetapi
c ( 0 )C, c ' C  c .c ' 1

D. Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers

perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q.
Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara
umum bilangan rasional didefinisikan seperti pada definisi berikut ini.
Contoh :
1/5 = 0; 20 dan 1/3 = 0; 33333::: = 0; 33 adalah bilangan- bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers
penjumlahan, maupun invers perkalian.

Definisi Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a=b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat
dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal
takhingga tapi berulang.

Sifat 7 Invers Perkalian | 72
 xQ, x ' Q  x  x '

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

 x ( 0)C, x ' Q c.c '  1'

BAB III RELASI DAN FUNGSI

A. Pengertian Relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menyebut istilah
relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi
memiliki pengertian yang lebih khusus.

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A
dengan B ( Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b)
dengan a  A dan b  B

A x B = (a,b a A,bB)

Hasil kali Kartesian tidak bersifat komutatif karena secara umum (a,b)

 (b,a). Hasil kali Kartesian beberapa himpunan A1, A2,..., An didefinisikan

sebagai:

 A1 x A2 x .... x An = (a1, a2,...,an ) aa A1, a2 A2,...,an An

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A
ke B adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b)  A x B dan a berelasi
dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi dengan b dituliskan a R b.

Contoh

Misalkan A = 1,2 dan B = 1,2,3
A x B = (1,1), (1,2), (!,3),2,1), (2,2), (2,3) 

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 73

Jika didefinisikan relasi R dari A ke B dengan aturan x A berelasi dengan

y  B  (x-y) genap, maka R = (1,1), (1,3), (2,2) .(1,2) R karena (1-2)= -1

bukan bilangan genap

A x B dinyatakan dalam gambar 3.1. tampak bahwa R  A x B.

Gambar 3.1
Dapat disimpulkan bahwa:

Definisi:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan/kaitan
yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-
anggota himpunan B.

o Relasi R antara himpunan A dan B adalah suatu himpunan bagian
dari A  B, atau dinotasikan: R  (A  B), dimana A  B = {(a, b)│a 
A dan b B}

o a R b merupakan notasi dari (a, b)  R, yang berarti a dihubungkan
dengan b oleh R

o a R b merupakan notasi dari (a, b)  R, yang artinya a tidak
dihubungkan oleh b oleh relasi R.

B. Cara menyajikan relasi
a. Diagram Panah

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 74

Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan
antara dua himpunan dengan disertai tanda panah.
Marilah kita lihat Contoh lain penggambaran relasi dengan diagram
panah.

Contoh 2
Diberikan dua himpunan:
A = {Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno}
B = {matematika, IPA, IPS, Kesenian, B. Inggris, Penjaskes, B. Indo}
Gambar di bawah menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari
himpunan A ke himpunan B

Gambar 3.2
Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah,
sehingga diagram tersebut dinamakan diagram panah.

b. Diagram Cartesius

Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua himpunan, selain

dengan menggunakan diagram panah dapat juga dinyatakan dalam

koordinat Cartesius. Pada diagram cartesius diperlukan dua garis

perpotongan tegak lurus yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu

tegak (vertikal).

y (x,

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 75

x

Gambar 3.3
x  A diletakkan pada sumbu mendatar
y  B diletakkan pada sumbu tegak
Pemasangan x → y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya
ditulis sebagai pasangan berurutan (x , y)
Contoh, pada diagram panah Gambar 2, akan dibuat diagram cartesiusnya
dapat disajikan sebagai berikut:

B. Indonesia
Penjaskes
B. Inggris
Kesenian
IPS
IPA
Matematika

Aldo Dudung Nipon Ninung Aling Bruno

Gambar 3.4
Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah mata pelajaran yang disukai.
Noktah yang menghubungkan Aldo dan IPA, artinya Aldo menyukai mata
pelajaran IPA, dan seterusnya.

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 76

Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat dinyatakan
dalam pasangan terurut:
R = {(Aldo, IPA), (Dudung, Matematika), (Dudung, Kesenian), (Ninung,
B.Inggris), (Nipon, B.Indonesia), (Aling, Kesenian), (Bruno, Penjaskes)}

d. Dalam Bentuk Tabel

Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat juga

dinyatakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 1

A B

Aldo IPA
Dudung Matematika
Dudung
Ninung Kesenian
Nipon B.Inggris
B.Indonesia
Aling Kesenian
Bruno Penjaskes

C. Jenis-Jenis Relasi

Misalkan R adalah suatu relasi pada himpunan A. R disebut relasi yang:

a. Refleksif  ( x A) x R x

b. Simetris  ( x, y  A) x R x  y R x

c. Transitif  ( x, y, z  A) ( x R y dan y R z) x R z

d. Irrefleksif  ( x A) x R x

e. Asimetris  ( x, y  A) x R x  y R x

f. Antisimetris  ( x, y  A) ( x R y dan y R x)  x  y

4. Operasi-Operasi pada Relasi

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 77

Pada hakikatnya suatu relasi merupakan suatu himpunan, maka beberapa
relasi juga dapat dioperasikan dengan operasi-operasi himpunan.
Misalkan R dan S adalah 2 buah relasi dari himpunan A ke himpunan B.
R  S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )  A x B
sedemikian hingga (x,y) R atau (x,y)  S.

R S (x, y) (x, y)  R atau (x, y) S

R  S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )  A x B
sedemikian hingga (x,y) R dan (x,y)  S.

R S (x, y) (x, y)  R atau (x, y) S

Operasi himpunan lain seperti selisih, komplemen, dan lain-lain
didefinisikan menurut definisi operasi himpunan.
Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan R1  A xB dan R2  B xC

 Komposisi R1.R2  (x, y) (x, y)R1 dan ( y, z)R2

Jika R1 = R2 = R, maka R1. R2 = R. R = R2. Secara umum, simbol Rk dipakai
untuk menyatakan bahwa relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri
sebanyak k kali.

R1=R dan Rk = Rk-1R, untuk k  1

Tutupan transitif (simbol R+) relasi R adalah gabungan dari semua Rk,
(k  1).

R+ = R R2  R3  .....=  Rk
k 1

Tutupan transitif relasi R didapat dengan cara menambahkan semua relasi
yang bersifat transitif pada relasi R mula-mula. Tutupan transitif suatu relasi
R merupakan relasi transitif terkecil yang memuat R.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 78

Tutupan Transitif Refleksif (simbol R*) adalah tutupan transitif yang bersifat
refleksif. Tutupan transitif refleksif didapat dengan menggabungkan
tutupan transitif dengan semua elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri.

R* = R+  (a,a) a  A

D. Pengertian Fungsi

Relasi fungsional atau fungsi sering disebut dengan istilah pemetaan

(mapping).

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan tabel dan diagram panah di

bawah ini:

Tabel 2

Nama Siswa Tinggi Badan

Aldo 156

Dudung 158

Ninung 150

Nipon 152

Aling 152

Bruno 160

Gambar 3.5
Gambar 3.5 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi tinggi

badan dari data pada Tabel 2. Dari diagram panah pada Gambar 3.5 terlihat

bahwa:

a. Setiap siswa Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno, memiliki

tinggi badan masing-masing 156, 158, 150, 152, 152, 160, hal ini

berarti setiap anggota A yaitu mempunyai kawan atau pasangan

dengan anggota B.

b. Setiap siswa memiliki tepat satu tinggi badan, berarti setiap anggota

A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 79

Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi dari
himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota B. maka relasi dari himpunan A dan B
disebut fungsi atau pemetaan.

Definisi:
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang
menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu
anggota himpunan B.
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah
a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;
b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Contoh 3:
Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini

Relasi (i) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada
anggota himpunan A yaitu 5 yang tidak
dipasangkan dengan anggota himpunan B

(i)
Relasi (ii) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada

anggota himpunan A yaitu 1 yang

dipasangkan lebih dari satu dengan anggota

himpunan B, yaitu 1 → a dan b → 2

(ii) | 80

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi

Relasi (iii) disebut fungsi. Mengapa?
Karena setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B

(iii)

Relasi (iv) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada
anggota himpunan A yaitu 3 yang tidak
dipasangkan dengan anggota himpunan B dan
ada anggota himpunan A yaitu 2 yang
dipasangkan lebih dari satu dengan anggota
himpunan B, yaitu 2 → b dan 2 → c

(iv)
Gambar 3.6

E. Notasi dan Nilai Fungsi
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A→ B
dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B

o f adalah fungsi yang memetakan suatu elemen x ∈ A ke suatu y ∈ B
o y adalah peta dari x oleh fungsi f dinotasikan f(x)
o x disebut prapeta dari y, dengan demikian dapat ditulis menjadi:

f : x → y atau f : x → f(x)
dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B
untuk lebih jelasnya, Perhatikan gambar berikut:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 81

Gambar 3.7

a. Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut

Daerah kawan/lawan atau Kodomain

b. Himpunan bagian dari himpunan B yaitu himpunan C yang

anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut

Daerah hasil atau Range.

o y = f(x) disebut bayangan x oleh fungsi f.

o Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan

A

o variabel y anggota himpunan B yang merupakan bayangan x

oleh fungsi f ditentukan oleh aturan yang didefinisikan.

Artinya y bergantung pada nilai x.

o Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai

fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti

(mensubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.

Contoh 4:

1. Perhatikan diagram panah pada Gambar 5

Tentukan (i) domain; (ii) kodomain; (iii) range.

Penyelesaian:

(i) Domain = { Aldo, Dudung, Ninung, Nipon,

Aling, Bruno }

(ii) Kodomain = {150, 152, 154, 156, 158, 160,

Gambar 3.8 164}
(iii) Range = {150, 152, 156, 158, 160}

2. Perhatikan diagram panah pada di bawah ini:

Tentukan

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 82

(i) domain;
(ii) kodomain;
(iii) range.

Gambar 3.9

Penyelesaian:
(i) domain = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) kodomain = {a, b, c, d}
(iii) range = { a, b, c, d}

3. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 2
Tentukan nilai fungsi f(x) untuk
a. x = -1
b. x = 0
c. x =1
d. x =2

Penyelesaian:
Substitusi nilai x = -1 ke fungsi f(x) = 2x + 2,
sehingga f(-1) = 2(-1) + 2

=-2+2
=0
Substitusi nilai x = 0 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(0) = 2(0) + 2
=0+2
=2
Substitusi nilai x = 1 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(1) = 2 (1) + 2
=2+2

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 83

=4
Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(2) = 2 (2) + 2

=4+2
=6
F. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan
Himpunan Pasangan Berurutan
Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mempelajari bahwa relasi dapat
dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan
pasangan berurutan, pun demikian dengan fungsi, sebab fungsi adalah
relasi dalam bentuk khusus.
Contoh 5:
Diketahui f: A → B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: A→ B atau
f: x → (2x + 1),
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan:

a. Diagram panah
y = f(x) = (2x + 1)
maka:
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
f(4) = 2(4) + 1 = 9
f(5) = 2(5) + 1 = 11

f

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 84

Gambar 3.10
b. Diagram Cartesius

13
11
9

7
5
3

1

12 3 4 5
Gambar 3.11

c. Himpunan Pasangan Berurutan
Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan P maka:
P = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}

G. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan
Contoh 6
Diketahui f: Q → R adalah fungsi dari Q ke dalam R, jika Q = {a, b, c} dan R
= {1 , 2}.
Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin!
Penyelesaian:
Q = {a, b, c} dan R= {1, 2} maka n(Q) = 3 dan n(R) = 2
Banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke R seperti tampak pada diagram
panah pada Gambar berikut:

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 85

(i) (ii) (iii)

(vi). (v) (vi)

(vii) (viii)

Gambar 3.12
Dari gambar fungsi-fungsi tersebut bila dinyatakan dengan himpunan
pasangan berurutan

(i) = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
(ii) = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
(iii) = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}
(iv) = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)}
(v) = {(a, 2), (b, 2), (c, 1)}
(vi) = {(a, 2), (b, 1), (c, 2)}
(vii) = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
(viii) = {(a, 1), (b, 2), (c, 1)}

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 86

Dapat diketahui bahwa untuk n(Q) = 3, n(R) = 2 maka banyaknya
fungsi f dari Q ke dalam R = 23 = 8.
Berdasarkan pengamatan di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Jika f : adalah fungsi dari Q ke dalam R den gan n(Q) = q dan n(R) = r,
maka
banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke dalam R adalah rq
banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke dalam Q adalah qr
Contoh 7:
Jika: P = {bilangan asli kurang dari 4}

R = {empat huruf pertama dalam abjad}, hitunglah banyaknya
fungsi/pemetaan?

a. dari P ke R;
b. dari R ke P,
Penyelesaian:
a. P = {1, 2, 3}, n(P) = 3

R = {a, b, c, d}, n(R) = 4
Banyaknya fungsi yang mungkin dari P ke R = rp = 43 = 64
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke P = pr = 34 = 81

H. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui

Sebagaimana kita ketahui bentuk fungsi linear, yaitu f(x) = ax + b. Dimana a
dan b konstanta dan x variabel. Jika nilai variabel x = n maka nilai f(n) = an +
b, sehingga kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai
fungsinya. Setelah itu, kita dapat menentukan nilai konstanta a dan b
berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.

Contoh 8:
a. Diketahui f fungsi linear dengan f(1) = 7 dan f(4) = 13. Tentukan

bentuk fungsi f(x)

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 87

Penyelesaian:

f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:

f(1) = 7

f(1) = a(1) + b = 7

= a+b=7 .......... (1)

f(4) = a(4) + b = 13

= 4a + b = 13 .......... (2)

Dengan metode eliminasi pers. (1) dan (2)

a+b =7
4a + b = 13 _

-3a = - 6
a =2

Substitusi a = 2 pada persamaan a + b = 7, diperoleh:

a+b =7

2+b =7
b =7 – 2

=5

Jadi nilai a = 2 dan b = 5, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x + 5

b. Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = –3 dan f(2) = 1. Tentukan

bentuk fungsi f(x).

Penyelesaian:

f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:

f(0) = –3
f(0) = a(0) + b = –3

0 + b = –3
b = –3

selanjutnya menentukan nilai a, yaitu:

f(2) = 1
f(2) = a(2) + b = 1

2a – 3 = 1
2a = 1+ 3
2a = 4
a =2
Jadi nilai a = 2 dan b = -3, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x – 3

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 88

I. Grafik Fungsi/Pemetaan

Pemetaan atau fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B dapat
dibuat grafik fungsinya. Grafik fungsi adalah bentuk diagram Cartesius dari
suatu fungsi. Dimana (x, y) merupakan pasangan terurut dalam f dengan
domain himpunan A.
Contoh 9:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain:
a. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x  bilangan Cacah};
b. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x  bilangan Real}.

Penyelesaian:

f(x) = 2x + 2, buat tabel sehingga memenuhi fungsi tersebut, maka diperoleh

koordinat titik-titik yang merupakan pasangan terurut (x, y)

x 0123456

y = 2x + 2 2 4 6 8 10 12 14

(x, y) (0,2) (1, 4) (2, 6) (3, 8) (4,10) (5,12) (6,14

a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x  bilangan Cacah};
Y
1

4

1
3
1
2
1

1

1
0
9

Logika, Himpunan, Rel8asi dan Fungsi | 89

7

Gambar 3.13

a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x  bilangan Real};

Y1 1 2 3 4X

4

1
3
1
2
1

1

1
0
9

8

7
6

0

Gambar 3.14

J. Macam-macam Fungsi
a. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = C,
dengan C suatu bilangan konstan. Fungsi konstan f memasangkan
setiap bilangan real dengan konstanta C.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 90

Contoh 10:
Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 2 dengan daerah domain: {x | –
3 ≤ x ≤ 3}. Tentukan gambar grafiknya.

Y

3
2

f(x) = 2
1

-3 -2 -1 012 3 4X

Gambar 12

b. Fungsi linear
Fungsi linear adalah suatu fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = ax + b,
dimana a ≠ 0, a dan b bilangan konstanta dan grafiknya berupa garis
lurus. Jika domainnya tidak dinyatakan secara khusus maka domain
fungsi tersebut merupakan semua anggota himpunan bilangan real.

Contoh 11:

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x + 4, gambarlah grafik fungsi linear

tersebut.

Penyelesaian:

Untuk x = 0, maka y = 2(0) + 4 = 4

Untuk y = 0, maka 0 = 2x + 1

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 91

-1= 2x

x =  1
2

Y f(x) = 2x+4
4
3
2
1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 X

Gambar 3.15
c. Fungsi kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c  R, dan
a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut
fungsi parabola.
- Jika a>0, maka parabola terbuka ke atas, sehingga mempunyai titik balik
minimun,
- Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah, sehingga mempunyai titik balik
maksimum
Langkah-langkah membuat grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c,
a ≠ 0. yaitu:
1) Menentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu: y = 0.

Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 92