Pengantar
robabilitas
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
Kata pengantar
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena dengan limpahan
rahmatnya penulis dapat menyelesaikan buku yang berjudul “Pengantar Probabilitas” ini.
Buku ini disusun sebagai bahan ajar bagi mahasiswa D3 Statistika Terapan dan Komputasi
FMIPA Universitas Negeri Semarang.
Buku ini disiapkan agar para mahasiswa lebih menguasai materi Ruang Sampel dan
Kejadian, Menghitung Titik Sampel, Peluang dan teorema Bayes, Variabel Random dan
Distribusi Peluang serta Ekspektasi dan Variansi. Oleh karena itu, sebaiknya mahasiswa juga
mempelajari buku-buku teks lain mengenai Pengantar Probabilitas untuk melengkapi materi-
materi yang mungkin tidak terbahas secara lengkap pada buku ini.
Tentunya buku ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu, kritik dan saran yang
membangun sangat kami harapkan. Penulis berharap semoga buku ini bisa memberi manfaat
para mahasiswa yang memakainya.
Semarang, 07 Desember 2017
Penulis,
Pengantar Probabilitas
Daftar isi
BAB I .........................................................................................................................................1
PENDAHULUAN .....................................................................................................................1
BAB II........................................................................................................................................3
KEGIATAN BELAJAR 1 .........................................................................................................3
A. Ruang Sampel ...................................................................................................................3
B. Kejadian ............................................................................................................................4
C. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing)..............................................................6
D. Operasi Kejadian...............................................................................................................6
BAB III ....................................................................................................................................17
KEGIATAN BELAJAR 2 .......................................................................................................17
A. Prinsip Perkalian/Aturan Dasar.......................................................................................17
B. Notasi Faktorial ...............................................................................................................21
C. Permutasi ........................................................................................................................23
D. Permutasi (Seluruhnya) dengan Beberapa Unsur Yang Sama .......................................26
E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis) .........................................................................28
F. Kombinasi .......................................................................................................................29
G. Diagram Pohon ...............................................................................................................31
BAB IV ....................................................................................................................................39
KEGIATAN BELAJAR 3 .......................................................................................................39
A. Definisi Peluang Klasik...................................................................................................39
B. Beberapa Hukum Peluang ...............................................................................................42
C. Kejadian Saling Bebas.....................................................................................................45
BAB V .....................................................................................................................................53
KEGIATAN BELAJAR 4 .......................................................................................................53
A. Peluang Bersyarat............................................................................................................53
B. Aturan Bayes ...................................................................................................................57
BAB VI ....................................................................................................................................75
KEGIATAN BELAJAR 5 .......................................................................................................75
A. VARIABEL RANDOM (PEUBAH ACAK)..................................................................75
B. DISTRIBUSI PELUANG ...............................................................................................84
C. DISTRIBUSI PELUANG KOMULATIF.......................................................................93
D. EKSPEKTASI DAN VARIANSI EKSPEKTASI..........................................................99
E. VARIANSI ....................................................................................................................102
F. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN (BERSAMA)...............................................116
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................135
Pengantar Probabilitas
Pendahuluan 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Pada perkuliahan ini akan dibahas tentang ruang sample dan kejadian, menghitung titik
sample dengan aturan perkalian, permutasi, kombinasi, peluang suatu kejadian, peubah acak
(variable random), distribusi peluang peubah acak, ekspektasi dan variansi, peluang bersama
peubah acak, peluang bersyarat dan kebebasan stokastik, , beberapa distribusi peluang
diskret.
B. Prasyarat : -
C. Petunjuk Belajar
Agar dapat mempelajari keseluruhan materi pada buku ajar/modul ini maka peserta
diharapkan belajar berdasarkan sistematika sebagai berikut.
1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan agar anda mengetahui kemampuan yang
diharapkan dapat dicapai dan kegiatan belajar yang akan disajikan.
2. Bacalah dengan cermat kompetensi da indicator setiap bab.
3. baca materi bab yang bersangkutan, jika ada hal yang belum jelas bertanya/diskusikan
dengan teman atau jika perlu dengan dosen.
4. Kerjakan latihan soal, dan diskusikan hasilnya dengan temanmu atau jika perlu dengan
dosen.
D. Kompetensi dan Indikator
Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.
Kompetensi Dasar
1.1 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.
1.2 Menggunakan aturan perkalian, permuatasi, kombinasi dalam pemecahan
masalah.
1.3 Menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu permasalahan.
1.4 Menentukan distribusi peluang dalam suatu permasalahan.
1.5 Menentukan sifat-sifat distribusi peluang diskrit
Indikator Pencapain Kompetensi
1. menentukan ruang sampel suatu percobaan
2. menentukan macam-macam kejadian.
Pengantar Probabilitas
Pendahuluan 2
3. menentukan kejadian dengan operasi kejadian
4. menunjukkan hubungan antara ruang sample dan kejadian.
5. menghitung titik sample dengan aturan perkalian
6. menghitung titik sample dengan permutasi
7. menghitung titik sample dengan kombinasi
8. menyebutkan definisi peluang kejadian
9. menentukan peluang suatu kejadian
10. membuktikan beberapa aturan peluang kejadian
11. menggunakan beberapa aturan peluang peristiwa untuk menyelesaikan permasalahan
yang berkaitan dengan peluang.
12. menentukan kejadian yang bebas dan yang tidak bebas
13. menggunakan aturan peluang bersyarat dalam persoalan peluang
14. menggunakan proses stokastik berhingga untuk menyelesaikan persoalan terkait
15. menggunakan aturan Bayes untuk menyelesaikan persoalan terkait
16. mendefinisikan peubah acak
17. menentukan peubah acak pada persoalan terkait
18. membedakan peubah acak diskret dan kontinu
19. mendefinisikan fungsi distribusi peluang (fdp)
20. mencari distribusi peluang suatu peubah acak
21. mencari ekspektasi matematika peubah acak
22. menentukan sifat-sifat ekspektasi
23. mencari variansi suatu peubah acak
24. menentukan sifat-sifat variansi
25. mendefinisikan fungsi distribusi peluang bersama peubah acak
26. menentukan fungsi distribusi peluang bersama peubah acak
27. menentukan fungsi distribusi marginal
28. menentukan fungsi distrubusi peluang marginal
29. menentukan distribusi bersyarat peubah acak
30. mendefinisikan kebebasan dua peubah acak
31. menentukan kebebasan dua peubah acak
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 3
BAB II
KEGIATAN BELAJAR 1
A. Kompetensi dan Indikator
1. Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.
2. Kompetensi Dasar
Menentukan ruang sampel suatu percobaan
3. Indikator
a. menentukan ruang sampel suatu percobaan
b. menentukan macam-macam kejadian.
c. menentukan kejadian dengan operasi kejadian
d. menunjukkan hubungan antara ruang sample dan kejadian.
B. Uraian Materi
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
A. Ruang Sampel
Dalam pertandingan sepak bola sebelum pertandingan dimulai wasit biasanya
mengundi dengan sebuah dengan sebuah mata uang untuk menentukan tim mana yang
mendapat bola. Pada pelemparan sebuah mata uang kita tidak dapat memastikan Angka atau
Gambar yang akan muncul. Demikian pula jika kita mengambil secara acak sebuah kelereng
dari dalam kotak berisi beberapa kelereng, kita tidak dapat memastikan kelereng mana yang
terambil. Kegiatan melempar mata uang, mengambil secara acak kelereng dari dalam kotak
dinamakan percobaan atau eksperimen.
Perhatikan bila mata uang dilempar berulang-ulang, kita tidak dapat memastikan
bahwa pada lemparan tertentu akan diperoleh sisi Gambar misalnya. Tetapi kita mengetahui
semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan. Dalam melempar mata uang hasil yang
mungkin terjadi bisa muncul sisi Gambar disingkat G, atau munculnya sisi Angka disingkat
A. Bila kita himpun hasil-hasil yang mungkin terjadi pada sebuah percobaan maka kita
dapatkan sebuah ruang sampel. Yang secara umum didefinisikan sebagai berikut.
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 4
Definisi 1.1
Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut
ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.
Ruang sampel biasa disimbulkan dengan huruf S, jika banyaknya titik sampel berhingga kita
dapat mendaftar anggota-angota ruang sampel tersebut menggunakan tanda koma untuk
memisahkan masing-masing anggota dan menutupnya dengan dua kurung kurawal.
Contoh 1.1
Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, ruang sampelnya adalah {A, G}, titik
sampelnya adalah A, G.
Contoh 1.2
Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = {AA, AG, GA, GG}, dengan
AA adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul angka
AG adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul gambar
GA adalah mata uang pertama muncul gambar, dan mata uang kedua muncul angka
GG adalah mata uang pertama muncul gambar, dan mata uang kedua muncul gambar.
Contoh 1.3
Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah
S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu, 2
menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya.
B. Kejadian
Dari definisi ruang sampel kita dapat mendefinisikan kejadian sebagai berikut.
Definisi 1.2
Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel .
Karena kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel maka biasanya disimbolkan
dalam huruf besar.
Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
1. Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.
Contoh 1.4
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 5
{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah
dadu bersisi enam.
2. Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.
Contoh 1.5
{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar
sebuah dadu bersisi enam.
Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan juga suatu kejadian, karena
SS dan S.
Korespodensi antara himpunan dan kejadian dapat disajikan dalam tabel 1.
Tabel 1.
Himpunan Kejadian
Himpuan semesta S Ruang sampel S
Anggota himpunan Titik sampel
Himpunan bagian A Kejadian A
Himpunan bagian yang hanya memiliki Kejadian sederhana
satu anggota
Himpunan bagian yang memiliki lebih Kejadian majemuk.
dari satu anggota
Latihan 1.1.
1. Dengan menggunakan kata-kata saudara sendiri, jelaskan yang dimaksud dengan
a. percobaan dan hasil percobaan
b. ruang sampel dan titik sampel
c. kejadian, kejadian sederhana, kejadian majemuk .
2. Jelaskan hubungan antara kejadian sederhana, kejadian majemuk dan ruang sampel.
3. Pada percobaan melempar dadu bersisi enam, tulislah tiap kejadian berikut dengan
menggunakan notasi himpunan.
a. Kejadian munculnya mata dadu lebih dari 4
b. Kejadian munculnya mata dadu terkecil dan terbesar
c. Kejadian munculnya mata dadu ganjil.
d. Kejadian munculnya mata dadu bukan 4 maupun 6
4. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Hasil yang mungkin
muncul dapat dituliskan dalam pasangan berurut, misalnya :
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 6
(G,1) menyatakan munculnya sisi gambar untuk mata uang dan mata dadu 1 untuk dadu
,(A,2) menyatakan munculnya sisi angka untuk mata uang dan mata dadu 2 untuk dadu.
demikian seterusnya.
a. Tulislah ruang sampel percobaan tersebut.
b. Tulislah tiap kejadian berikut dengan menggunakan notasi himpunan :
1) Kejadian munculnya sisi gambar dan mata dadu sembarang
2) Kejadian munculnya sembarang sisi mata uang dan mata dadu ganjil.
5. Tentukan ruang sampel S pada percobaan melempar dua buah dadu satu kali.
C. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing)
Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua kejadian tersebut tidak
mungkin terjadi bersama-sama atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain kejadian
yang satu meniadakan kejadian yang lain.
Contoh 1.6.
Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali, kejadian munculnya mata dadu 1 dan
kejadian munculnya mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab apabila
muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3 tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya.
Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika AB=.
Pada contoh 1.6, misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1 dan B adalah kejadian
munculnya mata dadi 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga AB=, disimpulkan kejadian A
dan B saling lepas.
D. Operasi Kejadian
Telah diketahui bahwa kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara
menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan memanfaatkan operasi antar
himpunan, suatu kejadian majemuk dapat pula dibentuk dari dua kejadian majemuk yang
lain. Operasi antara himpunan yang dimaksud adalah operasi gabungan (union) , operasi
irisan (interseksi) dan komplemen. Untuk lebih jelasnya simaklah keterangan berikut.
Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali dengan ruang
sampel S={1,2,3,4,5,6}. Misalkan A kejadian munculnya mata dadu ganjil, maka A={1,3,5},
dan B kejadian munculnya mata dadu prima, maka B={2,3,5}.
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 7
Dari dua kejadian tersebut dapat dibentuk kejadian majemuk sebagai berikut .
a. Gabungan dua kejadian , P = AB = {1,2,3,5}. Kejadian P adalah kejadian
munculnya mata dadu ganjil atau prima. Arti kata “atau” dalam hal ini adalah
kejadian A atau kejadian B atau kejadian kedua-duanya. Jadi gabungan kejadian A
dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau
kejadian B atau kedua-duanya.
b. Irisan dua kejadian Q= AB ={3,5}. Kejadian Q adalah kejadian munculnya mata
dadu ganjil dan prima. Kata “dan” berarti kejadian A terjadi dan bersamaan dengan
itu kejadian B terjadi. Jadi irisan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik
sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B.
c. Operasi Komplemen.
Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S adalah himpunan semua unsur di S
yang tidak termasuk di A.
Misalkan A={1,3,5} maka komplemen A ditulis Ac atau A’ = {2,4,6}.
1. Misal tersedia 3 angka yaitu 1, 4, 6. Dari ketiga angka itu akan disusun bilangan yang
terdiri dari 2 angka . Berapa terbentuk dua angka?
Terbentuk 6 bilangan, yaitu 14, 16, 41, 46, 61, 64. Jadi S = {14, 16, 41, 46, 61, 64}. Jadi
n(S) = 6.
2. Misal diketahui dalam suatu kotak terdapat 4 kelereng, yang diberi nama K1, K2, K3, K4.
Dilakukan pengambilan 2 kelereng sekaligus. Berapa banyak anggota ruang sampel?
Ruang Sampel yang didapat adalah S = {K1K2, K1K3, K1K4, K2K3, K2K4, K3K4}.
Jadi n(S) = 6. Untuk menentukan n(S) digunakan rumus kombinasi, yaitu n(S) = C(4,2) =
6 Jadi bila dilakukan pengambilan 3 buah kelereng maka didapat n(S) = C(4,3) = 4
3. Dilakukan pengambilan acak pada kartu remi. Tentukan pernyataan berikut yang
merupakan kejadian sederhana:
a. pengambilan kartu hati berwarna merah merupakan kejadian sederhana
b. pengambilan kartu King berwarna merah merupakan bukan kejadian
sederhana
c. pengambilan kartu keriting berwarna hitam merupakan bukan kejadian
sederhana
d. pengambilan kartu bernomor 9 merupakan bukan kejadian sederhana
4. Terdapat dua orang pria dan dua orang wanita yang dipilih secara acak yang akan dipilih
untuk menempati jabatan sebagai 1 ketua, 1 sekertaris dan 1 bendahara. Tentukan:
a). Ruang sampel dari pemilihan tersebut ialah Wanita,pria,pria ;Wanita,pria wanita
;wanita,wanita,pria ;Wanita,wanita,wanita ;pria,pria,pria ;pria,pria,wanita
;pria,wanita,pria ;pria,pria,pria
b) kejadian A bahwa yang menduduki jabatan sebagai ketua adalah pria
Pria,wanita,pria ;Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita;Pria,pria,wanita
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 8
c)Tuliskan kejadian B bahwa yang menduduki jabatan sebagai ketua adalah pria dan
sekertaris adalah wanita
Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita;
d) Tuliskan kejadian C bahwa yang terpilih sebagai bendahara adalah wanita
Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
e) Tulislah kejadian D bahwa yang terpilih sebagai ketua adalah wanita, sekertaris
adalah pria dan bendahara adalah wanita.
Pria,pria,wanita;
f) Tulislah himpunan ⋂ , ⋂ , ⋂ , ⋂ , ⋂ , ⋂ , ⋂ ⋂ , ⋂ ⋂ ,
⋂ ⋂ , ⋂ ⋂ ⋂
⋂ = Pria,wanita,pria ;Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita;
⋂ = Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita;
⋂ = Pria,pria,wanita;
⋂ = Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita
⋂ = Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
⋂ = Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
⋂ ⋂ = Pria,wanita,wanita;Pria,pria,wanita
⋂ ⋂ = wanita Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
⋂ ⋂ = wanita Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
⋂ ⋂ ⋂ = wanita Pria,pria,wanita;Pria,wanita,pria
5. Berapa banyak cara yang bisa dibuat dari 3 angka dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 di
mana,
a. Tidak boleh ada angka berulang. =
7 65
=7x6x5
= 210 cara
b .Boleh ada angka berulang.
7 77
= 7x7x7
= 343 cara
6. Berapa banyak cara yang bisa dibuat untuk mengisi dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
dengan ketentuan,
a. Tidak boleh ada angka berulang.
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 9
8 76
= 8x7x6
= 336 cara
c. Boleh ada angka yang berulang.
8 88
= 8x8x8
=512
7. Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas VII ,4 orang utusan dari kelas VIII,dan 2 orang
utusan dari kelas IX . Tentukan banyak kemungkinan susunan ketua dan wakil ketua
dengan syarat kedua jabatan tersebut harus dari kelas yang berbeda !
a. Jika ketua dari kelas VII,wakil ketua dari kelas VIII dan IX,maka ada 3(4+2) = 18
kemungkinan
b. Jika ketua dari kelas VIII,wakil ketua dari kelas VIIdan IX,maka ada 4(3+2) = 12
kemungkinan
c. Jika ketua dari kelas IX wakil ketua dari kelas VIII dan VII,maka ada 2(4+3) = 14
kemungkinan
Sehingga total ada 18+12+14 = 44 kemungkinan
8. Ada 3 orang Indonesia,4 orang Belanda dan 4 orang Singapura
Tentukan banyaknya cara mereka duduk dengan cara sembarang !
cara sembarang = 9!
= 362.880
9 .Ada 2 orang Indonesia,4 orang Belanda dan 3 orang Singapura
Tentukan banyaknya cara mereka duduk dengan cara sembarang melingkar !
(9-1)!= 8 ! = 40.320
10. Tentukan banyaknya diagonal segi 1000 !
2 C1000 = 1000! -1000= 4995-1000 = 3995
988 !2!
Latihan 1.2.
1. Ada dua dadu , yang satu berwarna hitam dan yang lain berwarna putih. Kedua dadu
tersebut dilempar bersama-sama, kemudian hasilnya dicatat.
a. Tulis ruang sampel S percobaan diatas.
b. Tulis anggota kejadian A jumlah kedua mata dadu yang nampak kurang dari 5
c. Tulis kejadian B munculnya mata dadu 6 pada kedua dadu.
d. Tulis anggota C munculnya mata dadu 2 pada dadu putih.
e. Buatlah suatu diagram (Venn) yang memperlihatkan hubungan kejadian A,B,C dan S.
f. Tulis anggota kejadian D yang merupakan irisan kejadian A dan kejadian C.
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 10
2. Suatu percobaan melempar sebuah mata uang logam,dan satu dadu berwarna merah
dengan muka 1,2,3,4,5,6 serta satu dadu berwarna putih bermuka a,b,c,d,e,f. Diawali
dengan melempar uang logam. Apabila pada lemparan pertama muncul sisi gambar G
maka lemparan kedua dadu berwarna merah. Apabila lemparan pertama muncul angka A,
maka lemparan kedua dadu berwarna putih.
a. Tulislah ruang sampel percobaan tersebut.
b. Tulislah kejadian yang mengandung muka vokal pada dadu warna putih.
c. Tulislah kejadian yang mengandung munculnya sisi gambar G pada uang logam .
d. Mungkinkah terjadi munculnya muka 3 pada dadu merah dan muka konsonan pada
dadu warna putih ? Jelaskan jawaban saudara.
3. Tentukan ruang sampel percobaan mengambil secara acak satu bola dari sebuah kotak
yang berisi dua bola merah dan 3 bola putih.
4. Dua pria (P) dan dua wanita (W), akan dipilih secara acak dua orang untuk mewakili
rapat, tentukan ruang sampel tersebut.
5. Suatu percobaan menebak teka teki yang jawabannya salah dan benar, jika ada 4
pertanyaan dalam teka teki tersebut tentukan ruang sampel percobaan tersebut.
6. Dua pria (P) dan dua wanita (W), akan dipilih secara acak satu orang untuk menduduki
jabatan ketua kelas, kemudian sisanya dipilih secara acak pula 1 orang untuk menduduki
jabatan wakil ketua kelas.
a. Tulislah ruang sampel S.
b. Tulislah anggota kejadian A bahwa yang menduduki ketua kelas adalah pria.
c. Tulislah anggota kejadian B bahwa tepat satu jabatan tersebut diduduki oleh pria.
d. Tulislah anggotan kejadian C bahwa tidak ada jabatan yang diduduki oleh pria.
e. Buatlah diagram (Venn) yang memperlihatkan hubungan antara kejadian A,B,C, dan
S.
7. Tiga uang logam dilempar sekali , tentukan ruang sampel percobaan tersebut.
8. Diketahui ruang sampel S = { segitiga, jajaran genjang, persegi, persegi panjang ,
trapesium, belah ketupat }, dan kejadian A ={jajaran genjang, persegi, belah ketupat },
kejadian B = {persegi, segitiga, persegi panjang }, kejadian C = {trapezium}. Tulislah
anggota dari kejadian berikut.
a. A’
b. AB
c. (AB’) C’
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 11
d. B’C’
e. (AB) C
f. (A’B’)(A’C).
9. Suatu plat kendaraan bermotor Jakarta B diikuti 5 angka dengan angka pertama tidak
boleh nol dan diakhiri dengan 2 huruf dengan huruf terakhirnya adalah M. Mobil
keberapa yang plat nomornya tidak bisa dengan formasi tersebut?
10. Suatu plat kendaraan bermotor wilayah Jakarta disusun sesuai dengan ketentuan,
*) Huruf abjad A-Z
**) Angka 0-9
***) Huruf Abjad A-Z
Berapa banyaknya cara untuk menyusun dengan ketentuan di atas apabila,
a) **) pada kotak pertama tidak boleh nol dan boleh berulang.
***) huruf abjad boleh berulang
b) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, kotak ke-empat adalah angka 1 dan angka
dalam kotak tidak boleh berulang.
***) huruf abjad boleh berulang.
**) pada kotak pertama tidak boleh nol, dan angka dalam kotak tidak boleh berulang.
***) huruf abjad boleh berulang.
d) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, angka kedua harus 3 dan boleh berulang.
***) huruf abjad tidak boleh berulang.
e) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, angka kedua harus 3 dan boleh berulang.
***) huruf abjad boleh berulang.
11. Sebuah dadu dicat warna merah pada empat sisi disampingnya dan cat putih pada atap
dan alasnya. jika dadu itu dipotong menjadi 8 dadu sama besar dan kemudian dilempar secara
bersamaan satu kali, tentukan ruang sampel dari percobaan tersebut.
12. Pada soal diatas, tentukan banyaknya kejadian minimal satu sisi berwarna merah!
13. pada percobaan pelemparan 2 buah mata dadu dan 2 buah uang logam sebanyak satu
kali pelemparan, tentukan hubungan antara kejadian muncul angka pada uang logam
dan angka prima pada dadu.
14. Tentukan hubungan kejadian pengambilan kartu King pada kartu remi dan kejadian ,
terambilnya kartu berwarna merah!
15. Sebuah dadu diberi angka pada setiap sisinya dan dilemparkan dua kali. Angka 1 dan 2
terletak pada atap dan alas. Angka tersebut diberi warna hijau. Selain angka tersebut
diberi warna biru. A adalah kejadian muncul minimal 1 angka berwarna hijau, B adalah
kejadian muncul angka 3 pada pelemparan kedua, C adalah kejadian muncul warna biru
pada dua kali pelemparan. Tentukan:
g. A’
h. AB
i. (AB’) C’
j. B’C’
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 12
k. (AB) C
l. (A’B’)(A’C).
16. Sebuah keluarga berencana untuk memiliki 3 orang anak. tentukan banyaknya kejadian
yang mungkin!
17. Seorang anak mempunyai 3 macam baju yang berbeda, 3 macam celana yang berbeda dan
2 kerudung yang berbeda. berapa banyak style yang bisa digunakan?
18. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan dibentuk bilangan-bilangan . Tentukan banyaknya
bilangan yang terdiri 4 angka .
a. Bilangan Genap
b. Bilangan < 3541
SOAL TAMBAHAN
1. Dari kota A ke kota B dapat melalui 6 jalur, sedangkan dari kota B ke kota C dapat
melalui 3 jalur. Berapa jalur dapat dilalui dari kota A ke kota C melewati kota B ?
Diketahui :
NAB = 6 jalur
NBC = 3 jalur
Ditanya :
NAC ?
Jawab :
= ×
=6 ×3
= 18
2. Dari angka-angka 4, 5, 6, 7, dan 8 akan dibuat bilangan ratusan dengan syarat tidak
boleh ada angka yang diulang. Tentukan banyaknya bilanganyang terjadi.
Jawab :
Tidak boleh ada angka yang diulang =
5 43
Banyaknya bilangan :
=5x4x3
=60 cara
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 13
3. Raihan melempar 2 buah dadu sebanyak sekali. Berapakah peluang Raihan
mendapatkan angka prima pada dadu pertama dan angka kelipatan 3 pada dadu
kedua?
Penyelesaian:
Peluang 2 kejadian saling bebas
( ∩ ) = ( ). ( )
• Kejadian muncul angka prima pada dadu pertama
= {2,3,5,7}, ( ) = 4, 42
( ) = 6 = 3
• Kejadian muncul angka kelipatan 3 pada dadu kedua
= {3,6}, ( ) = 2, ( ) = 2 = 1
6 3
Sehingga
( ∩ ) = ( ). ( ) = . =
4. Diketahui ruang sampel S={jeruk, mangga, pisang,durian,apel,salak} dan kejadian
A={ mangga, jeruk, pisang}, B={mangga ,pisang,durian,apel}.Tulislah anggota dari
AUB dan A’ !
Penyelesaian :
➢ AUB = { mangga, jeruk, pisang, durian , apel }
➢ A’ ={ durian, apel,salak }
5. Ada dua buah dadu berwarna merah dan hitam. Kedua dadu tersebut dilemparkan
secara bersama-sama. Tentukan ruang sampel dan kejadian A jumlah mata dadu yang
Nampak kurang dari 5!
Penyelesaian :
➢ Ruang Sampel
Merah/ M1 M2 M3 M4 M5 M6
Hitam
H1 M1H1 M2H1 M3H1 M4H1 M5H1 M6H1
H2 M1H2 M2H2 M3H2 M4H2 M5H2 M6H2
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 14
H3 M1H3 M2H3 M3H3 M4H3 M5H3 M6H3
H4 M1H4 M2H4 M3H4 M4H4 M5H4 M6H4
H5 M1H5 M2H5 M3H5 M4H5 M5H5 M6H4
H6 M1H6 M2H6 M3H6 M4H6 M5H6 M6H6
➢ Kejadian A jumlah mata dadu kurang dari 5
Merah/ M1 M2 M3 M4 M5 M6
Hitam
H1 M1H1 M2H1 M3H1 M4H1 M5H1 M6H1
H2 M1H2 M2H2 M3H2 M4H2 M5H2 M6H2
H3 M1H3 M2H3 M3H3 M4H3 M5H3 M6H3
H4 M1H4 M2H4 M3H4 M4H4 M5H4 M6H4
H5 M1H5 M2H5 M3H5 M4H5 M5H5 M6H4
H6 M1H6 M2H6 M3H6 M4H6 M5H6 M6H6
A ={M1H1,M2H1,M3H1,M1H2,M2H2,M1H3}
6. Terdapat kumpulan kartu remi yang terdiri dari 2 kartu AS, 2 kartu Jack, 2 kartu King
dengan semuanya bertipe keriting, akan diambil 2 kartu secara acak.
Tentukan :
a) Ruang sampelnya!
b) Anggota kejadian A bahwa kartu pertama yang terambil ialah kartu Jack!
c) Anggota kejadian B bahwa kartu kedua yang terambil ialah kartu King!
d) Tulislah himpunan AB!
Penyelesaian :
Misalkan, Kartu AS : A1, A2
Kartu Jack : J1, J2
Kartu King : K1, K2
a) S ={(A1,A2),(A1,J1),(A1,J2),(A1,K1),(A1,K2),(A2,A1),(A2,J1),(A2,J2),
(A2,K1),(A2,K2),(J1,A1),(J1,A2),(J1,J2),(J1,K1),(J1,K2),(J2,A1),(J2,A2),
(J2,J1),(J2,K1),(J2,K2),(K1,A1),(K1,A2),(K1,J1),(K1,J2),(K1,K2),(K2,A1),
(K2,A2), (K2,J1),(K2,J2),(K2,K1)}
n(s)=30
b) A = {(J1,A1),(J1,A2),(J1,J2),(J1,K1),(J1,K2),(J2,A1),(J2,A2),
(J2,J1),(J2,K1),(J2,K2)}
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 15
c) B = {(A1,K1),(A1,K2),(A2,K1),(A2,K2),(J1,K1),(J1,K2),(J2,K1),(J2,K2),
(K1,K2),(K2,K1)}
d) AB = {(J1,K1),(J1,K2),(J2,K1),(J2,K2)}
7. Jika 10 buah mata uang logam di lempar dan di undi, maka banyak anggota ruang
sampel yang terjadi ?
Penyelesaian :
n(S) = 2n
= 210
= 1024
8. Tentukkan ruang sampel pada percobaan melempar sebuah dadu dan sekeping uang
logam secara bersamaan.
Jawab=
1
2
A3
4
5
6
1
2
3
G4
5
6
Ruang sampelnya= {G,1} {G,2} {G,3} {G,4} {G,5} {G,6} {A,1} {A,2} {A,3} {A,4}
{A,5} {A,6}
9. Sebuah dadu berwarna merah dan sebuah dadu berwarna biru dilempar satu kali.
Hasil yang meungkin muncul dapat dituliskan dalam pasangan berurut, misalnya
{M1,B2} menyatakan muncunya mata dadu 1 untuk dadu merah dan mata dadu 2
untuk dadu biru.
Tulislah tiap kejadian berikut menggunakan notasi himpunan
a. Kejadian munculnya mata dafuganjil pada dadu merah dan mata dadu genap pada
dadu biru
b. Kejadian munculnya mata dadu merah dan mata dadu biru yang jumlahnya lebih
dari 9
Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel & Kejadian 16
c. Kejadian muncunya kedua dadu bermata dadu sama
B 1 2 3 4 5 6
M
1 M1B1 M1B2 M1B3 M1B4 M1B5 M1B6
2 M2B1 M2B2 M2B3 M2B4 M2B5 M2B6
3 M3B1 M3B2 M3B3 M3B4 M3B5 M3B6
4 M4B1 M4B2 M4B3 M4B4 M4B5 M4B6
5 M5B1 M5B2 M5B3 M5B4 M5B5 M5B6
6 M6B1 M6B2 M6B3 M6B4 M6B5 M6B6
Jawab=
a. {M1B2} {M1B4} {M1B6} {M3B2} {M3B4} {M3B6} {M5B2} {M5B4}
{M5B6}
b. {M6B4} {M5B5} {M4B6} {M5B6} {M6B5}
c. {M1B1} {M2B2} {M3B3} {M4B4} {M5B5} {M6B6}
10. Diketahui ruang sampel S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}, dan kejadian A={1,3,5,7,9}, kejadian
B={1,2,3,7,9}, kejdian C={0,1,6},kejadian D={2,4,6,8,0}
Tulislah anggota dari kejadian berikut
a. A’
b. A∪B
c. B’∩C’
d. A’∪D’
e. (B’∪C’)∩D’
Jawab=
a. A’={2,4,6,8,0}
b. A∪B={1,2,3,5,7,9}
c. B’∩C’={4,5,8}
d. A’∪D’ ={}
e. (B’∪C’)∩D’=
• B’∪C’={2,3,4,5,6,7,8,9,0}
• (B’∪C’)∩D’={3,5,7,9}
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 17
BAB III
KEGIATAN BELAJAR 2
A. Kompetensi dan Indikator
1. Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.
2. Kompetensi Dasar
Menggunakan aturan perkalian, permuatasi, kombinasi dalam pemecahan masalah.
3. Indikator
a. menghitung titik sample dengan aturan perkalian
b. menghitung titik sample dengan permutasi
c. menghitung titik sample dengan kombinasi
d. Menggunakan aturan perkalian, permuatasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.
B. Uraian materi
MENGHITUNG TITIK SAMPEL
A. Prinsip Perkalian/Aturan Dasar
Misalkan dalam acara syukuran ulang tahun Andi secara sederhana tersedia tiga
macam makanan dan dua macam minuman, yakni nasi goreng, bakso, soto untuk makanan,
es teh, dan es jeruk untuk minuman. Jika seorang yang hadir dalam acara tersebut hanya
memilih satu macam makanan dan satu macam minuman, maka semua pasangan makanan
dan minuman yang dapat dipilih dapat ditemukan dengan cara mendaftar seperti terlihat pada
gambar dibawah ini.
Nasi goreng Es teh
Bakso Es jeruk
Soto Es teh
Es jeruk
Es teh
Es jeruk
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 18
Dari gambar diatas ( yang disebut diagram pohon) tampak bahwa pasangan makanan dan
minuman yang dapat dipilih ada 6 yakni :
1. Nasi goreng – es teh
2. Nasi goreng – es jeruk
3. Bakso – es teh
4. Bakso – es jeruk
5. Soto – es the
6. Soto – es jeruk
Dari diagram pohon tersebut ada 3 macam makanan yang dapat dipilih, dan setiap jenis
makanan masing-masing ada 2 jenis minuman yang dapat dipilih, sehingga ada 3.2 = 6
pasangan makanan dan minuman yang dapat dipilih.
Perhatikan lagi permasalahan berikut.
Misalkan di suatu kelas diadakan pemilihan pengurus kelas. Terdapat 4 calon ketua kelas
yakni Ani, Bambang, Cecep, dan Dandi, sedangkan untuk wakil ketua kelas terdapat 2 calon
yakni Endang, dan Farid. Ada berapa macam susunan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat
terpilih ?
Penyelesaian.
Jabatan ketua dan wakil ketua kelas dapat diisi oleh pasangan
1. Ani – Endang
2. Ani – Farid
3. Bambang – Endang
4. Bambang – Farid
5. Cecep – Endang
6. Cecep – Farid
7. Dandi – Endang
8. Dandi – Farid
Jadi ada 8 macam susunan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat terpilih.
Dari daftar diatas, ada 4 orang yang menduduki jabatan ketua kelas, dam masing-masing
ketua kelas ada 2 orang yang dapat menduduki jabatan wakil ketua kelas, sehingga untuk
kedua jabatan itu ada 4.2 = 8 pasangan yang dapat mendudukinya.
Dari contoh diatas dapat disimpulkan adanya suatu aturan yang disebut prinsip
perkalian atau juga disebut aturan dasar sebagai berikut.
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 19
Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang berbeda, dan kejadian
berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n2 cara yang berbeda, dan
seterusnya maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan
dalam n1.n2.n3… cara yang berbeda.
Contoh 2.1
Sebuah pelat nomor polisi semarang dimulai dengan buruf H diikuti empat angka dengan
angka pertama tidak boleh nol, dan diakhiri dua huruf dengan huruf terakhir huruf A. Setelah
mobil keberapa pelat nomor tersebut harus diubah modelnya ?
Penyelesaian.
Misalkan pelat nomor tersebut terdiri dari 7 kotak, maka :
• huruf pertama pada kotak pertama dapat dicetak dalam 1 cara (yaitu huruf H)
• angka pertama dalam kotak kedua dapat dicetak dalam 9 cara (mengapa?)
• angka kedua dalam kotak ketiga dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa ?)
• angka ketiga dalam kotak keempat dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa ?)
• angka keempat dalam kotak kelima dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa ?)
• huruf kedua dalam kotak keenam dapat dicetak dalam 26 cara (mengapa ?)
• huruf ketiga dalam kotak ketujuh dapat dicetak dalam 1 cara (mengapa ?)
Jadi banyaknya pelat nomor yang berbeda yang dapat dicetak adalah 1.9.10.10.10.26.1=
234.000. Karena setiap satu pelat nomor hanya untuk satu mobil maka pelat nomor harus
diubah modelnya setelah mobil ke 234.000.
Contoh 2.2
Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang
dibentuk dari lima angka 1,3,5,7,9, jika :
a. pengulangan tidak diperbolehkan
b. pengulangan diperbolehkan.
Penyelesaian.
Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan sebarang .
a. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka
kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara. Jadi banyaknya
bilangan yang dapat terbetuk ada 5.4.3=60 bilangan.
Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus
disediakan ada 60 kertas.
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 20
b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama, kedua dan ketiga dapat diisi
dengan 5 cara, sehingga banyaknya bilangan yang terbentuk ada 5.5.5 = 125 bilangan.
Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan ada 125 lembar.
Contoh 2.3
Didalam pemilihan kepengurusan Himatika, terdapat 25 mahasiswa yang memenuhi syarat
untuk dipilih sebagai ketua, sekretaris, bendahara (dengan asumsi tidak boleh ada jabatan
rangkap). Ada berapa cara untuk memilih pengurus Himatika tersebut ?
Penyelesaian.
Misalkan pemilihan pengurus organisasi dimulai dari ketua, sekretaris, kemudian bendahara.
• ketua dapat dipilih dalam 25 cara
• sekretaris dapat dipilih dalam 24 cara (mengapa ?)
• bendahara dapat dipilih dalam 23 cara (mengapa ?)
Jadi banyaknya cara untuk memilih pengurus tersebut adalah 25.24.23 = 13.800.
Latihan 2.1
1. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang
berbeda, serta diikuti 3 angka yang berbeda, dengan angka pertama tidak boleh 0.
2. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B, dan ada 3 jalur bis antara kota B dan C.
a. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan dari kota A ke kota C
melalui kota B dengan menggunakan bis ?
b. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke
kota C melalui kota B ?
c. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke
kota C melalui kota B, jika pulangnya tidak boleh melalui jalur yang sama dengan
saat berangkat?
3. Ada berapa cara 9 buku buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama ada berapa penyusunan yang
mungkin ?
4. Tersedia 12 gambar yang berbeda, 4 dari gambar tersebut akan dipasang dalam sebuah
baris. Dalam berapa cara hal ini dapat dikerjakan?
Jika ada 2 gambar tertentu yang harus dipasang, ada berapa cara hal ini dapat dikerjakan?
5. Jika pengulangan tidak diperbolehkan
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 21
a. Ada berapa banyak bilangan empat angka yang dapat disusun dari angka 2,3,5,6,7,dan
9?
b. Ada berapa buah diantaranya yang lebih dari 4500 ?
c. Ada berapa buah diantaranya yang genap ?
d. Ada berapa buah diantaranya yang ganjil ?
e. Ada berapa buah diantaranya yang merupakan kelipatan 5?
6. Ulangi soal nomor 5, tetapi pengulangan diperbolehkan.
7. a. Ada berapa cara 3 pria dan 2 wanita dapat duduk dalam satu baris ?
b. Ada berapa cara jika ketiga pria dan kedua wanita tersebut masing-masing duduk
berdampingan ?
c. Ada berapa cara jika duduknya berselang seling pria wanita?
8. Banyaknya bilangan bulat dari 1006 sampai dengan 2006 yang merupakan kelipatan 3
tetapi bukan kelipatan 6 adalah?
9. Ada berapa banyak bilangan 4 digit yang semuanya digitnya(angkanya) genap dan bukan
merupakan kelipatan 2003.
10. Lima orang pemuda pergi berekreasi menggunakan mobil. Mobil yang digunakan
memiliki dua tempat duduk didepan (termasuk untuk pengemudi) dan tiga dibelakang.
Dari kelima pemuda tersebut hanya dua orang yang bisa mengemudi. Banyaknya cara
mereka duduk di mobil adalah?
11. Empat suami istri membeli karcis untuk 8 kursi pada suatu pertunjukan. Dua orang akan
duduk bersebelahan hanya jikalau keduanya pasangan suami istri atau berjenis kelamin
sama. Berapakah cara menempatkan ke-empat pasang suami istri ke-8 kursi tersebut ?
12. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memiliki satu rahasia. Setiap
anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan satu
rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota
kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah ?
B. Notasi Faktorial
Definisi 2.1
Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n faktorial ditulis n! .
Jadi n! = 1.2.3…..(n-2)(n-1).n ; dan 0! = 1
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 22
Contoh 2.4 (b) 10 !
Hitunglah (a) 5!
Penyelesaian (b) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800
(a) 5! = 5.4.3.2.1 = 720
Contoh 2.5
Hitunglah (a) 9! (b) 101
6! 5!3!
Penyelesaian.
(a) 9! 9.8.7.6! 9.8.7 540
6! 6!
(b) 10! 10.9.8.7.6.5! 10.9.8.7.6 = 10.9.8.7= 5040
513! 5!3! 3.2.1
Contoh 2.6
Tulislah dalam bentuk notasi factorial
(a) 45 (b) 37. 36
Penyelesaian.
(a) 45 = 45.44! 45! (b) 37. 36 = 37.36.35! 37!
44! 44! 35! 35!
Contoh 2.7
Sederhanakan (n 1)1
(n 1)!
Penyelesaian
(n 1)! (n 1)n(n 1) = (n+1)n = n2 + n
(n 1)! (n 1)!
Latihan 2.2 (b) 8! (c) 12! (d) 15!
1. Hitunglah (a) 6!
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 23
2. Hitunglah (a) 13! (b) 7!
10! 10!
3. Tulislah dalam bentuk notasi factorial (a) 32 (b) 24. 23 (c) 1
14.13.12
4. Sederhanakan (a) n! (b) (n 2)!
(n 1)! n!
5. Buktikan (n 1)! 1 .
(n 2)! n 3 3n 2 2n
C. Permutasi
Misalkan seorang paman ingin membagikan uang kepada 3 keponakannya sebut
Arman (A), Budi (B), dan Cicik (C). Agar tidak berebut maka ketiga keponakannya di
haruskan antri satu persatu, berapa banyak antrian yang dapat terjadi ?
Banyaknya antrian dapat dicari sebagai berikut.
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.
Sehingga ada 6 susunan antrian yang mungkin. Susunan antrian semacam itu disebut
permutasi, sebab urutanya diperhatikan, artinya ABC berbeda dengan ACB berbeda dengan
BCA dan seterusnya.
Secara umum dikatakan bahwa
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan
Sedangkan banyaknya permutasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis P(n,r) atau nPr
atau Prn atau Pn,r adalah n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1). Coba buktikan hal ini dengan aturan
perkalian.
Dengan notasi faktorial banyaknya permutasi r elemen yang diambil dari n elemen dapat
ditulis sebagai n! .
(n r)!
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.
P(n,r) = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1)
= n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1). (n r)(n r 1)...3.2.1
(n r)(n r 1)...3.2.1
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 24
= n(n 1)(n 2)(n 3)...3.2.1
(n r)(n r 1)...(n 2)(n 3)...3.2.1
= n!
(n r)!
Coba buktikan P(n,n) = n!
Contoh 2.8
Tentukan semua permutasi dari huruf-huruf pada kata TAHU .
Penyelesaian.
Susunan huruf-huruf yang berbeda adalah sebagai berikut.
TAHU ATHU HTAU UTAH
TAUH ATUH HTUA UTHA
TUAH AUTH HUTA UHTA
TUHA AUHT HUAT UHAT
THUA AHTU HAUT UATH
THAU AHUT HATU UAHT
Jadi banyaknya permutasi ada 24 .
Menghitung banyaknya permutasi dapat dilakukan dengan cara r=n=4
maka P(n,r) = P(4,4) = 4! = 4.3.2.1 = 24.
Contoh 2.9
Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, dalam berapa
cara mereka dapat menempati tempat duduk ?
Penyelesaian.
• Tempat duduk yang masing kosong (n) = 5
• Guru yang masuk ruangan rapat ( r ) = 3
Sehingga P(5,3) = 5! 5.4.3.2! = 60
(5 3)! 2!
Jadi ada 60 cara menempati tempat duduk yang kosong.
Atau dapat dikerjakan dengan prinsip perkalian sebagai berikut.
Guru yang pertama bisa menempati sebarang kursi dari 5 kursi yang tersedia, setelah guru
pertama duduk guru yang kedua bisa menempati sebarang kursi dari 4 kursi yang tersedia,
dan guru yang ketiga dapat menempati sebarang kursi dari 3 kursi yang tersedia. Jadi dengan
prinsip perkalian ada 5.4.3 = 60 cara untuk menempati kursi yang kosong.
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 25
Contoh 2.10
Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang terdiri dari 3 huruf yang dapat
dibentuk dari huruf-huruf dari kata CINTA
a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari sekali.
b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan.
Penyelesaian.
a. Banyaknya kata-kata = pengaturan 5 huruf yang berbeda diambil 3 sekaligus.
= P(5,3) = 60
b. Banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 75 (mengapa ?)
Contoh 2.11
Berapa banyak urutan yang dapat terjadi jika 7 lukisan yang berbeda digantung dalam sebuah
baris sehingga lukisan yang spesifik berada pada
a. tengah-tengah
b. salah satu ujung.
Penyelesaian.
a. Karena 1 gambar diketahui di tengah-tengah, sisa 6 gambar diatur dalam sebarang
baris, sehingga banyaknya urutan ada P(6,6) = 6! = 720
b. 1 gambar dipasang pada salah satu ujung, maka ada 2 cara menempatkannya, yakni
ujung kiri atau ujung kanan, dan sisanya 6 lukisan dapat diatur dalam P(6,6) cara,
sehingga banyaknya urutan ada 2. P(6,6) = 1440 urutan.
Contoh 2.12.
Pada 2.3 a) jika dikerjakan dengan permutasi maka ada 3 angka yang diambil dari 5 angka
sehingga banyaknya permutasi yang berlainan ada P(5,3) = 5! 5! 120 , jadi
(5 3)! 2!
banyaknya kertas yang harus disediakan ada 120 kertas.
Latihan 2.3
1. Hitunglah banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari kata
a. REMBANG b. PERMUTASI
2. a. Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang dapat disusun dari huruf-huruf
dalam kata HISTORY
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 26
b. Ada berapa diantaranya yang hanya terdiri dari konsonan saja ?
c. Ada berapa yang dimulai dan diakhiri dengan konsonan ?
d. Ada berapa yang dimulai dengan vokal ?
e. Ada berapa yang dimulai dengan huruf T dan diakhiri dengan vokal ?
f. Ada berapa yang dimulai dengan huruf T dan diakhiri dengan S ?
3. Dalam suatu pesta, berapa cara 7 orang dapat duduk dalam satu baris bila tersedia
a. 7 kursi b. 10 kursi.
4. Berapa banyaknya antara 3000 sampai 4000 yang dapat dibentuk dengan menggunakan
angka 0,1,2,3,4,5,6, apabila setiap angka tidak boleh diulangi dalam setiap bilangan?
5. Ada berapa cara antrian jika 5 orang antri masuk sebuah bis?, jika 2 orang tidak mau
berurutan ada berapa cara ngantri?
6. Hitunglah
a. P(12,6)
b. P(7,1)
c. P(6,6)
7. Tentukan n , jika
a. P(n,2) = 72
b. P(n,4) = 42. P(n,2)
c. 2. P(n,2) + 50 = P(2n,2)
8. Bila P(n,6) = 6 P(n,4), tentukanlah n.
9. Tunjukkan bahwa P((n+1) , r ) = (n+1). P(n , (r-1)).
D. Permutasi (Seluruhnya) dengan Beberapa Unsur Yang
Sama
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.13
Tentukan semua permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata
a. TAHU
b. TAHA
c. AAHA
Penyelesaian.
a. TAHU ATHU HTAU UTAH
TAUH ATUH HTUA UTHA
TUAH AUTH HUTA UHTA
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 27
TUHA AUHT HUAT UHAT
THUA AHTU HAUT UATH
THAU AHUT HATU UAHT
Banyaknya permutasi ada 24.
b. Dalam kata TAHA huruf U dalam kata TAHU diganti dengan huruf A. Misalkan 2 huruf A
dibedakan menjadi A1 dan A2, sehingga permutasi yang berbeda ada 24. Dari 24 permutasi
ada kelompok –kelompok yang jika indeks pada huruf dihilangkan menjadi satu macam
permutasi saja. Kelompok-kelompok tersebut adalah :
TA1HA2 TA1A2H THA1A2 A1THA2
TA2HA1 TA2A1H THA2A1 A2THA1
A1TA2H A1A2TH A1A2HT A1HTA2
A2TA1H A2A1TH A2A1HT A1HTA1
A1HA2T HTA1A2 HA2TA1 HA2A1T
A2HA1T HTA2A1 HA1TA2 HA1A2T
Tiap kelompok beranggotakan sebanyak 2, ini disebabkan adanya permutasi dari A1, A2
sebanyak 2! = 2, karena tiap 2 permutasi dari kelompok tadi sebenarnya 1 permutasi saja
maka benyaknya permutasi seluruhnya dari kata TAHA adalah 24:2=12.
c. Dalam kata AAHA huruf U dan T dalam kata TAHU diganti huruf A. Misalkan 3 huruf A
dibedakan A1, A2, A3, sehingga permutasi yang berbeda ada 24. Dari 24 permutasi ada
kelompok –kelompok yang jika indeks pada huruf dihilangkan menjadi satu macam
permutasi saja. Kelompok-kelompok tersebut adalah :
A3 A1 H A2 A3 A2 A1 H A3 HA1A2 HA3 A1A2
A3 A2 H A1 A3 A2 A1 H A3 HA2 A1 HA3 A2 A1
A1 A2 H A3 A1 A3 A2 H A1 HA3 A2 HA2 A3 A1
A2 A1 H A3 A2 A3 A1 H A2 HA3 A1 HA1 A3 A2
A1 A3 H A2 A1 A2 A3 H A1 HA2 A3 HA2 A1 A3
A2 A3 H A1 A2 A1 A3 H A2 HA1 A3 HA1 A2 A3
Tiap kelompok beranggotakan sebanyak 6, ini disebabkan adanya permutasi dari A1, A2 , A3
sebanyak 3! = 6, karena tiap 6 permutasi dari kelompok tadi sebenarnya 1 permutasi saja
maka benyaknya permutasi seluruhnya dari kata AAHA adalah 24:6=4.
Dari contoh diatas dapat disimpulkan secara umum sebagai berikut.
Teorema 2.1
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis
pertama, n2 berjenis kedua, … ,nk berjenis ke-k adalah
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 28
P(n , (n1,n2,n3,…nk)) = n! , dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n
n1!n2!n3!...nk!
Contoh 2.14
Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus punya arti) yang diambil dari kata
“KAKAKKU”.
Penyelesaian.
Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah
P(7, (4,2,1)) = 7! = 105.
4! 2! 1!
Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin ada 105 kata.
Contoh 2.15
Seorang paman ingin membagikan 5 lembar uang sepuluh ribuan, 3 lembar uang lima ribuan
dan 1 uang seribuan kepada 9 keponakannya. Jika setiap anak hanya menerima satu macam
uang, ada berapa cara si paman dapat membagikan uangnya.
Penyelesaian.
Banyaknya cara ada 9! 504 cara.
5!3!
E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis)
Misalkan Arum (A), Budi (B), dan Cece (C) duduk mengililingi meja bundar. Ada berapa
susunan yang berbeda ketiganya dapat duduk ?
Untuk memjelaskan bagaimana susunan ketiganya perhatikan gambar berikut.
AB C
C BA C B A
A Gambar 2.1 C
BC B
C AA B
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 29
Gambar 2.2
Pada gambar 2.1 penyusunan unsur A,B,C dalam tiga macam lingkaran dianggap sama,
karena urutannya dianggap sama, demikian pula pada gambar 2.2. sehingga banyaknya
permutasi ada 2.
Secara umum dapat dikatakan
Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1) !
Contoh 2.16
Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar.
Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut.
Penyelesaian.
Keempat mahasiswa tadi dapat diatur mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6
(coba tunjukkan keenam susunan tersebut).
F. Kombinasi
Dalam permutasi elemen-elemen yang disusun urutannya diperhatikan, tetapi ada
kalanya elemen-elemen yang disusun urutanya tidak diperhatikan. Misalnya dalam suatu
panitia studi tour terdiri 4 orang, yakni Andi , Bambang, Cicik dan Dadang, dipilih 3 orang
untuk melakukan survei lapangan. Ada berapa macam susunan yang dapat dipilih ?
Dari permasalahan ini susunan yang terdiri dari Andi, Bambang, Cicik dianggap sama
dengan susunan Bambang, Cicik, Andi, sama dengan Cicik, Andi, Bambang, sama dengan
Andi, Cicik, Bambang. Urutan pada susunan ini tidak diperhatikan, karena yang diperhatikan
adalah orang yang terpilih, tidak urutannya. Susunan semacam ini disebut kombinasi.
Definisi
. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan
Kembali pada contoh pemilihan 3 orang dari 4 orang, maka kombinasi yang diperoleh adalah
1. Andi – Bambang – Cicik
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 30
2. Andi – Bambang – Dadang
3. Andi – Cicik – Dadang
4. Bambang – Cicik – Dadang
Jadi ada 4 kombinasi.
Untuk memperjelas bagaimana hasil kombinasi dibanding permutasi, perhatikan tabel
berikut.
Kombinasi PERMUTASI
ABC ABC ACB BAC CAB BCA CBA
ABD ABD ADB BAD BDA DAB DBA
ACD ACD ADC CDA CAD DAC DCA
BCD BCD BDC CBD CDB DBC DCB
Dimana A: Andi, B : Bambang, C: Cicik, D : Dadang
Terlihat bahwa 6 permutasi menghasilkan 1 kombinasi, sehingga banyaknya kombinasi ada
24 4 . Hal ini secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
6
Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr
atau n atau C n adalah n! dengan r n.
r r r! (n r)!
Contoh 2.17
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih darin 10 pemain. Berapa macam
susunan dapat dipilih ?
Penyelesaian.
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak
diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang =
C(10,5) = 10! 10! 252 .
5! (10 5)! 5! 5!
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 31
Contoh 2.18
Ada berapa cara pengambilan 4 kelereng dari dalam sebuah kotak yang berisi 7 kelereng ?
Penyelesaian.
Persoalan diatas tidak memperhatikan urutan, sehingga banyaknya cara pengambilan ada 7C4
= 7! = 35 cara.
4! (7 4)!
Contoh 2.18
Bila ada 4 wanita dan 3 laki-laki, tentukan banyaknya susunan panitia yang beranggotakan 2
wanita dan 1 laki-laki.
Penyelesaian.
Banyaknya cara memilih dua wanita dari empat wanita C(4,2) = 6. Banyaknya cara memilih
1 laki-laki dari 3 laki-laki adalah C(3,1) = 3. Dengan aturan perkalian banyaknya susunan
panitia yang dapat dibentuk yang beranggotakan 2 wanita dan 1 laki-laki adalah 6.3 = 18.
G. Diagram Pohon
Diagram pohon merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan hasil-hasil yang
mungkin dari sederetan percobaan jika dari setiap percobaan hasil yang mungkin berhingga.
(dalam teori peluang disebut proses stokastik). Diagram pohon bila diperhatikan menurut
suatu arah tertentu, mulai dengan satu titik, bercabang dan cabang-cabang itu mungkin
bercabang-cabang lagi dan cabang-cabang baru itu bercabang lagi dan seterusnya. Jadi
menurut suatu arah tertentu, dan banyaknya cabang yang meninggalkan titik itu paling sedikit
satu.
Contoh 2.19
Melempar 3 mata uang bersama-sama (sisi mata uang angka disingkat A dan gambar
disingkat G), hasilnya dapat digambar dengan diagram pohon sebagai berikut .
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 32
A AAA
A
A G GAA
A AGA
G AGG
G
A AGG
GA
G GAA
G
A GGA
G GGG
Gambar tersebut menggambarkan semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
melempar 3 mata uang, sehingga kita bisa menentukan ruang sampel dan peluang setiap
kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut.
Contoh 2.20
Misalkan Ali (A) bermain tenis melawan Budi (B) dengan ketentuan sebagi berikut.
Yang menjadi pemenang pertandingan adalah pemain yang memenangkan dua set berturut-
turut. Jika sampai lima set tidak seorang pemainpun yang memenangkan dua set
Ali Ali A2 Ali A4 S5
Budi Budi Ali Budi Ali B5
Budi B3 Budi A5
Ali Ali A3 Ali
Budi Budi Ali
B2 Budi Budi S5
B4
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 33
berturut-turut maka permainan dihentikan dan hasil pertandingan dinyatakan seri (draw).
Hasil-hasil pertandingan yang mungkin dapat diselidiki dengan diagram pohon sebagai
beriku
• A2, A3, A4, dan A5 berturut-turut menunjukkan bahwa pertandingan dimenangkan
oleh Ali setelah 2,3,4,dan 5 set.
• B2, B3, B4 dan B5 berturut-turut menunjukkan bahwa pertandingan dimenangkan
oleh Budi setelah dimainkan 2,3,4,dan 5 set.
• S5 menunjukkan bahwa pertandingan berakhir seri.
Latihan 2.4
1. a. Dengan berapa urutan 7 orang dapat duduk berjajar pada sebuah bangku panjang ?
b. Ada berapa urutan dapat terjadi, jika dua orang tertentu tidak mau berpisah dan ingin
duduk sebelah menyebelah ?
2. a. Dengan berapa urutan duduk jika terdapat enam orang dan hanya tersedia empat kursi
b. Ada berapa urutan yang dapat dibuat jika satu orang tertentu harus duduk di kursi ujung.
c. Ada berapa urutan yang dapat dibuat jika orang tertentu bebas memilih tempat duduk.
3. Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda dan 2 orang Jerman.
a. Ada berapa urutan duduk yang dapat terjadi jika duduknya bebas ?
b. Ada berapa urutan jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya?
4. Dengan berapa cara 6 pohon yang berbeda dapat ditanam hingga membentuk lingkaran?
5. Dengan berapa carakah dapat ditanam 2 pohon akasia, 3 bungur dan 2 cemara dalam satu
garis lurus bila pohon yang sejenis tidak dibedakan ?
6. Berapa banyak kata (tidak harus punya arti) yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata
“STATISTIKA”
7. Suatu kesebalasan universitas memainkan delapan pertandingan sepakbola dalam 1
semester. Dengan berapa carakah kesebelasan itu dapat memainkannya bila menang 4
kali, kalah 3 kali dan seri sekali ?
8. Dari kelompok guru ada 5 guru matematika , dan 7 guru fisika, akan dibuat tim kerja yang
terdiri atas 2 guru matematika dan 3 guru fisika. Ada berapa cara untuk membuat tim, jika
:
a. tiap orang dapat dipilih bebas,
b. seorang guru matematika harus ikut dalam tim,
c. dua guru fisika tidak boleh ikut dalam tim itu.
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 34
9. Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 mobil jeep dan 3 mobil sedan. Ada berapa cara
pemilihan 3 mobil yang terdiri atas 3 mobil jeep dan 1 mobil sedan ?
10. Dalam ujian seorang siswa diminta menjawab 3 soal dari 5 soal yang tersedia.
a. Berapa banyak pilihan yang dia punyai ?
b. Jika dia harus menjawab 2 soal pertama, berapa banyak pilihan yang dia punyai?
11. Suatu gedung mempunyai 5 pintu masuk, 3 orang hendak memasuki gedung tersebut.
Berapa banyak cara mereka dapat masuk kegedung tersebut dengan pintu berlainan?
12. Setiap dua titik yang berbeda pada bidang menentukan tempat sebuah garis lurus.
Berapakah banyaknya garis lurus yang ditentukan oleh 12 buah titik dibidang kalau tidak
ada tiga titik yang segaris ?
13. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memiliki satu rahasia. Setiap
anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan satu
rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota
kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah ?
H. SOAL DAN JAWABAN
1. Ada berapa cara 6 boneka yang berbeda dapat disusun di atas sebuah meja, jika ada 2
boneka yang selalu bersama-sama?
Penyelesaian
Ada 6 boneka disusun diatas sebuah meja, 2 boneka yang selalu bersama-sama dianggap
1, maka dapat disusun dalam 4!2! = 4.3.2.1.2.1 = 48 cara
2. Ada berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat disusun dari angka 2,3,4,5,6,7, dan 8
jika :
a. Pengulangan tidak diperbolehkan
b. Bilangan yang disusun adalah bilangan genap dan tidak boleh diulang
c. Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil dan tidak boleh diulang
PenyelesaianI
a. Pengulangan tidak diperbolehkan
765
= 210 bilangan
b. Bilangan yang disusun adalah bilangan genap dan tidak boleh diulang
654
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 35
= 120 bilangan
c. Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil dan tidak boleh diulang
653
= 90 bilangan
3. Sederhanakanlah: ( +3)!
( +1)!
Penyelesaikan
( + 3)! = ( + 3)( + 2)( + 1)! = ( + 3)( + 2) = 2 + 5 + 6
( + 1)! ( + 1)!
4. Hitunglah banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada
kata “MATEMATIKA”?
Penyelesaian
Kata “MATEMATIKA” terdiri dari 10 huruf, dan diantaranya ada huruf yang sama,
yaitu huruf M (2 buah), huruf A (3 buah), dan huruf T (2 buah). Maka banyaknya
permutasi dari ke-10 huruf pada kata “MATEMATIKA”
10! 10.9.8.7.6.5.4
= 2! 3! 2! = 2.2 = 151200
5. Dalam ujian, seorang siswa disuruh menjawab 12 soal dari 15 soal yang diajukan.
a. Berapa banyak pilihan yang dia punyai?
b. Jika dia harus menjawab 5 soal yang pertama, berapa banyak pilihan yang dia
punyai?
Penyelesaian
a. Memilih 12 soal dari 15 soal; berati soal tersebut dapat dipilih dalam (15,12) =
15! = 15.14.13 = 455 cara
12!3! 6
b. Jika harus menjawab 5 soal pertama, maka dia dapat memilih 7 soal lain dari10 soal
sisanya, yaitu dalan (10,7) = 10! = 10.9.8 = 120 cara
7!3! 6
6. Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4
warna, yaitu merah, kuning, biru dan hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang
dihasilkan?
Pembahasan:
= !
!( − )!
34 = 4!
3!(4−3)!
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 36
= 24
6
=4
7. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling
kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi?
Pembahasan:
210 = 10!
2!(10−2)!
= 10!
2!8!
= 45
8. Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang
pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2
orang pria dan 1 orang wanita.
Pembahasan:
23 . 12 = 3! . 2!
2!(3−2)! 1!(2−1)!
= 6
9. Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yang
tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan.
b. banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin dikerjakan jika no. 6 dan 7 wajib
dikerjakan.
Pembahasan:
a. 58 = 8! = 8 7 6 5! = 56
5!(8−5)!
5!3!
b. 36 = 6! = 6! = 20
3!(6−3)!
3!3!
10.Siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1-5 harus di kerjakan.
Berapa banyaknya pilihan yang dapat diambil murid?
Pembahasan:
45 = 5! = 5 4! = 5
4!(5−4)! 4! 1!
Latihan Soal
1. Tono mempunyai 3 celana, 3 kaos dan 2 topi. Ada berapa cara Tono memakai celana,
kaos dan tpi tersebut?
2. Aisyah mempunyai 3 buah sepatu dan 4 buah sandal. Ada berapa carakah Aisyah
memakai sepatu dan sandal tersebut?
3. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 tentukan banyaknya bilangan (dengan angka yang
berbeda) yang dapat dibentuk jika:
a) Bilangan terdiri dari 4 angka
b) Bilangan itu habis dibagi 2
c) Bilangan itu terdiri dari 3 angka dan lebih dari 300
d) Bilangan itu di antara 1.000 dan 10.000 dan merupakan kelipatan 5.
4. Dari angka 1, 2, 3, …, 9 akan dibuat nomor plat sepeda motor dengan diawali huruf AE
dan diakhiri 2 huruf. Jika angka yang di tengah terdiri dari 4 digit, tentukan:
a) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka dan huruf boleh berulang.
b) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka dan huruf tidak boleh berulang.
c) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka saja tidak boleh berulang (berbeda).
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 37
5. Dari 8 orang calon pengurus yang terdiri dari 3 putra dan 5 putri, akan dipilih 3 orang
sebagai Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Tentukan banyaknya formasi yang mungkin
dalam pemilihan tersebut jika
a) Bebas
b) Ketua harus putra
6. Ada berapa macam komposisi pengurus RT yang terdiri dari Ketua, Wakil, Sekretaris
dan Bendahara yang dipilih dari 10 orang calon pengurus?
7. Diketahuin terdapat 9 macam lukisan yang berbeda akan dipajang d dinding dengan
posisi berjajar. Tentukan banyaknya posisi yang mungkin jika:
a) Bebas
b) 3 lukisan selalu berdampngan
8. Ada berapa macam susunan yang mungkin dibentuk dari kata SISA SISA CINTA?
9. Ada berapa cara yang berbeda dari 10 orang siswa dapat dibagi atas 3 kelompok yang
masing-masing terdiri dari 4, 3, dan 3 orang?
10. Dari 8 orang yang terdiri dari 5 Pria dan 3 Wanita, akan dipilih 3 orang untuk mengikuti
seminar Seni Reog di Ponorogo. Tentukan banyaknya kombinasi pemilihan peserta
seminar tersebut, jika:
a) Setiap peserta punya kesempatan yang sama
b) Dipilih 2 Pria dan 1 Wanita.
c) Dipilih Pria semua.
d) Dipilih Wanita semua.
Jawaban
1. 13 ∙ 13 ∙ 12 = 3! ∙ 3! ∙ 2! = 18
2!1! 2!1! 1!1!
2. Karena sepatu dan sendal tidak bisa dipakai bersama maka
13 + 14 = 3! ∙ 4! = 7
2! 1! 3! 1!
3. S = 0,1,2,3,4,5
b) = 360
c) = 120
d) = 60
e) = 300 26 26 4. a) = 4.435.236 cara
24 23 b) = 1.669.248 cara
11 99 99 26 26
11 98 76
11 98 76
c) = 2.044.224 cara
5. 8 calon pengurus
3 putra
5 putri
Dipilih 3
Pengantar Probabilitas
Menghitung Titik Sampel 38
876 6 336 cara
i. Banyak cara = 3 7
ii. Ketua harus putra = 126 cara
6. 4 unsur dari 10 unsur yang berbeda
10!
(10,4) = 6! = 5040
7. Terdapat 4 unsur dari 10 unsur yang berbeda
10!
(10,4) = 6! = 5040
8. Terdapat 9 lukisan
a. Bebas = 9! = 362880
b. 3 lukisan selalu berdampingan
6! x 3! = 4320
9. ”SISA SISA CINTA” = 13
13!
4! ∙ 3! ∙ 3! = 7.207.200
10. Banyaknya cara,
10!
= 4! 3! 3! = 4200
11. a. Setiap peserta punya kesempatan yang sama
38 = 8! = 56
3!3!
b. 2 pria, 1 wanita
25∙ 13 = 30
56 56
c. 25 = 10
56 56
d. 33 = 1
56 56
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 39
BAB IV
KEGIATAN BELAJAR 3
A. Kompetensi dan Indikator
1. Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.
2. Kompetensi Dasar
Menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu permasalahan.
3. Indikator
a. menentukan peluang suatu kejadian
b. membuktikan beberapa aturan peluang kejadian
c. menggunakan beberapa aturan peluang peristiwa untuk menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengan peluang.
d. menentukan kejadian yang bebas dan yang tidak bebas
B. Uraian Materi
PELUANG KEJADIAN
A. Definisi Peluang Klasik
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan
pasti, misalnya apakah nanti malam akan hujan, apakah seseorang akan mendapat
hadiah dari kupon hadiah belanja dan sebagainya. Juga jika kita melihat percobaan
statistika misalnya pada penarikan sebuah kartu bridge dari seperangkat kartu bridge,
kita tidak tahu apakah akan muncul kartu as, kartu king atau yang lain. Meskipun
kejadian itu tidak pasti tetapi kita dapat menduga atau menaksir atau menentukan
peluang dari kejadian tersebut.
Perhatikan kembali sebelum suatu pertandingan sepak bola dimulai. Wasit
memanggil kedua kapten kesebelasan untuk melakukan undian dengan cara melempar
sekeping mata uang logam. Masing-masing kapten memilih salah satu sisi mata uang,
yaitu sisi gambar (G) atau sisi angka (A). Bila undian sesuai dengan pilihannya,
kapten kesebelasan yang berhasil menerka dengan tepat dibolehkan memilih bola atau
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 40
tempat. Kejadian munculnya (G) atau (A) dengan demikian dikaitkan dengan kejadian
mendapat hak memilih bola atau tempat. Cara undian itu dianggap adil, baik oleh
wasit, maupun oleh kedua kesebelasan beserta penonton pendukungnya. Mengapa ?
Karena muncunya (G) atau (A) dianggap memiliki kesempatan yang sama, dengan
kata lain kedua tim mempunyai peluang yang sama untuk memenangkan undian .
Definisi 3.1
Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-
sama dam masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka
peluang suatu kejadian A ditulis P(A) = ( ), dimana n(A) adalah banyaknya hasil
dalam kejadian A.
Catatan.
Definisi 3.1 sering disebut dengan definisi klasik, karena definisi inilah yang mula-
mual dikenal sebagai definisi peluang, ada definisi yang lain selain definisi klasik
tetapi tidak dibahas pada diktat ini, jika ingin mempelajarinya bisa dibaca pada buku
rujukan.
Sebagai akibat dari definisi 3.1ini, setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul
dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan 1 .
n
• Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(A) = 0, maka
P(A) = 0 0 , sehingga peluangnya = 0.
n
• Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu terjadi terus menerus, berarti n(A)=n
maka P(A) = n = 1. Sehingga peluangnya = 1
n
Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis
0 P(A) 1.
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 41
Contoh 3.1
Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada
lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.
Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka
pada lemparan kedua, maka D = {(G,A)}.
Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi maka P(D) = ¼.
Contoh 3.2
Dalam sebuah kantong berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng putih dan 2 kelereng biru.
Secara acak diambil sebuah kelereng dalam dalam kantong. Berapa peluang
a. terambil kelereng merah ?
b. terambil kelereng putih ?
penyelesaian.
Dalam kantong berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng putih dan 2 kelereng biru, jadi ada
9 kelereng, Jika diambil sebuah kelereng maka ada 9 kelereng yang mempuyai
kesepatan yang sama untuk terambil, maka n = 9
a. Misalkan M kejadian terambil kelereng merah, maka M= {m1,m2,m3 }dengan
m1 kelereng merah pertama dan seterusnya sehingga n(M) = 3. Jadi P(M) =
31
93
b. Misalkan K kejadian terambil kelereng putih, maka P={p1, p2, p3, p4 }
sehingga P(K) = 4
9
Contoh 3.3
Sebuah kotak berisi 4 bola kecil berwarna merah dan 3 berwarna putih. Dari kotak
tersebut dipilih secara acak 4 buah bola. Tentukan peluang terambilnya 1 bola merah
dan 3 bola putih.
Penyelesaian.
Misalkan A kejadian terambilnya 1 bola merah dan 3 bola putih, maka banyaknya titik
sampel dalam A ada 4C1.3C3 = 4, atau n(A) = 4.
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 42
Banyaknya titik sampel dalam S = 7C4 = 35. Karena semua titik sampel
berkesempatan sama untuk terjadi , maka P(A) = 4/35.
B. Beberapa Hukum Peluang
Sering lebih mudah menghitung peluang suatu kejadian dari peluang kejadian
lain yang diketahui. Hal itu terutama sekali benar bila kejadian yang dimaksud dapat
dinyatakan sebagai gabungan dua kejadian lain atau komplemen suatu kejadian.
Berikut ini diberikan beberapa hukum peluang yang sering dapat menyederhanakan
perhitungan peluang.
Teorema 3.1
Bila A dan dua kejadian sembarang, maka
P(AB) = P(A )+ P(B) – P(AB).
Bukti.
Perhatikan diagram Venn pada ganbar 3.1, P(AB) adalah bobot titik sampel
dalam AB. P(A) + P(B) menyatakan bahwa jumlah semua bobot dalam A dan
semua bobot dalam B. Jadi bobot AB telah dijumlahkan dua kali. Karena bobot
semua titik dalam AB adalah P(AB) maka peluang ini harus dikurangkan satu
kali untuk mendapatkan jumlah bobot dalam AB, yaitu P(AB).
S
A AB
B
Gambar 3.2
Contoh 3.4
Sebuah mata uang dilempar dua kali, berapa peluang munculnya paling sedikit satu
sisi angka atau dua sisi angka.
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 43
Penyelesaian
Banyaknya hasil yang mungkin pada percobaan diatas ada 4 yaitu AA,AG,GA, GG
sehingga n=4. Misalkan B kejadian munculnya satu sisi angka maka B={AA, AG,
GA}, misalkan C kejadian munculnya dua sisi angka maka C ={AA}, sehingga
BC= {AA}. Jadi
P(BC) = P(B) + P(C) – P(BC)
= 31 1 3
44 4 4
Akibat 1.
Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah),
maka P(AB) = P(A) + P(B).
Akibat 1 dapat diturunkan langsung dari teorema 3.1, karena bila A dan B saling
lepas maka AB = sehingga P(AB) = P() = 0. Akibat 1 dapat diperluas
menjadi :
Akibat 2.
Bila A1, A2, A3, ..., An saling lepas, maka
P(A1 A2A3 ... An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+ ...+P(An)
Perhatikan bila A1, A2, A3, ..., An merupakan sekatan dalam ruang sampel S maka
P(A1 A2A3 ... An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+ ...+P(An)
= P(S) = 1
Contoh 3.5
Bila A dan B dua kejadian saling lepas, dengan P(A) = 0,5 dan P(B) = 0,2,
tentukan
P(AB)
Penyeleaian.
Karena A dan B saling lepas, maka P(AB)=P(A) + P(B) =0,5+0,2 = 0,7
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 44
Contoh. 3.6
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3, dan peluangnya lulus biologi
4/9. Bila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah peluangnya
lulus dalam kedua mata kuliah ?
Penyelesaian.
Misalkan M menyatakan kejadian lulus matematika dan B kejadian lulus biologi
maka menurut teorema 3.1
P(MB) = P(M )+ P(B) – P(MB)
= 24 4
39 5
= 14
45
Contoh 3.7
Berapa peluang mendapat jumlah kedua mata dadu 7 atau 11 bila dua dadu bersisi
enam dilantunkan bersama-sama ?
Penyelesaian.
Misalkan A kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu 7 ,dan B kejadian
munculnya jumlah kedua mata dadu 11. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36
titik sampel yaitu (1,6) , (2,5) , (3,4) , (3,4) , (5,2) , (6,1) dan jumlah 11 muncul
dalam 2 titik sampel yaitu (5,6) dan (6,5). Karena semua titik sampel
berkemungkinan sama maka P(A) 6/36=1/6 dan P(B) = 2/36 = 1/18. Kejadian A
dan B saling lepas karena munculnya jumlah kedua mata dadu 7 dan munculnya
jumlah kedua mata dadu 11 tidak dapat terjadi pada lantunan yang sama (lihat
hasil titik sampel keduanya), sehingga
P(AB) = P(A + P(B)
= 1 1 = 2
6 18 9
Teorema 3.2
Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A’) = 1 – P(A).
Bukti.
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 45
Karena AA’ = S dan AA’ = maka
1 = P(S)
= P(AA’)
= P(A) + P(A’)
sehingga P(A’) = 1 – P(A).
Contoh 3.8
Suatu uang logam dilatunkan berturut-turut sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya
paling sedikit sekali muncul sisi gambar (G) ?
Penyelesaian.
Misalkan E kejadian paling sedikit sekali muncul sisi gambar (G). Ruang sampel S
mengandung 25 = 32 titik sampel , karena tiap lantunan dapat menghasilkan dua
macam hasil (gambar atau angka). Dari teorema 3.2 P(E) = 1- P(E’), dengan E’
adalah kejadian bahwa tidak ada sisi gambar yang muncul. Hal ini hanya akan terjadi
dalam satu cara, yaitu bila semua lantunan menghasilkan sisi angka (A). Jadi P(E’) =
1/32 , sehingga P(E) = 1- 1/32 = 31/32.
C. Kejadian Saling Bebas
Perhatikan kejadian –kejadian pada percobaan melempar sebuah dadu dan melempar
sebuah mata uang logam, maka hasil yang terjadi pada dadu tidak dipengaruhi oleh
hasil pada mata uang demikian sebaliknya, kejadian –kejadian semacam itu disebut
kejadian yang yang bebas. Sehingga dua kejadian dikatakan saling bebas apabila
kedua kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dalam bahasa matematik dua
kejadian saling bebas didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.2
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
P(A).P(B) =P(AB).
Kebalikan kejadian yang saling bebas adalah tidak bebas atau saling
tergantung, yaitu jika kejadian A dipengaruhi oleh kejadian B dan sebaliknya maka
kejadian. Sebagai contoh pada pecobaan mengambil dua kartu berturut-turut dari
seperangkat kartu bridge (kartu remi), yaitu kartu pertama diambil tidak
Pengantar Probabilitas
Peluang Kejadian 46
dikembalikan, kemudian mengambil sebuah kartu lagi dari tumpukan kartu
tersebut, maka kedua pengambilan tersebut merupakan kejadian yang tidak bebas,
sebab hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh pengambilan pertama.
Contoh 3.9
Dua duah dadu bersisi enam satu merah dan satu biru dilempar bersama-sama. Jika
A kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu merah dan B munculnya mata dadu
4 pada dadu biru, serta C munculnya kedua mata dadu berjumlah 8, periksa pakah
A dan B bebas, A dan C bebas.
Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan diatas dapat ditulis S= {(1,1) , (1,2), (1,3), ...(6,6)}
Kejadian A = {(5,1) , (5,2) , (5,3),(5,4), (5,5), (5,6) }
Kejadian B = {(1.4), (2,4) , (3,4) , (4,4), (5,5) , (6,4) }
Kejadian C = {(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3), (6,2)}
P(A) =1/6, P(B) = 1/6 , P(C) = 5/36
AB = {(5,4)} ; P(AB) = 1/36
AC = {(5,3)} ; P(AC) = 1/36
Ternyata P(AB) = P(A). P(B) dan P(AC) P(A).P(C) , sehingga kejadian A
dan B bebas, sedangkan kejadian Adan C tidak bebas (tergantung).
Contoh 3.10
Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas dengan P(A) =0,2 dan P(B)=0,3,
hitung P(AB) ?
Penyelesaian
Karena A dan B kejadian yang saling bebas,
maka P(AB)= P(A).P(B)=0,2.0,3=0,6
Latihan Soal dan Pembahasan
1) Suatu kelas terdiri atas 10 siswa laki-laki dan 20 siswa wanita di mana 5 siswa
laki-lakinya dan 10 siswa wanitanya berambut keriting. Berapakah peluang bahwa
seorang siswa yang dipilih secara random adalah siswa laki-laki atau berambut
keriting ?
Pengantar Probabilitas
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
pengantar probabilitas
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search