pengantar probabilitas

Variabel Acak 97

39
f(3) = 5 .3 = 5

P(X ≤ 2) = F(2) = f(1) + f(2) = 3 + 6 = 9
5 5 5

3. Diketahui suatu fungsi f(x) = { 3 x, x = 0 < < 5
5

0, untuk x yang lain

Tentukan P(-1<x<3) !

Penyelesaian :

P(-1<x<3) = ∫−∞∞ f(x)dx

= ∫−01 f(x)dx + ∫03 f(x)dx

= 0 + ∫03 3 x dx
5

= [3 . 1 x2]30
2
5

= [ 3 (32) − 0]

10

=2170

4. Dalam sebuah kotak terdapat 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dam 1 kelereng hijau,

diambil secara acak 2 kelereng satu persatu dari dalam kotak tersebut. Tentukan distribusi

peluang banyaknya kelereng merah yang terambil jika pengambilan dengan

pengembalian.

Penyelesaian :

X menyatakan kelereng merah yang terambil

f(x) = C(2, x)C(4,2 − x) dengan x = 0,1,2
C(6,2)

f(0) = C(2,0). C(4,2) = 1.6 = 6
C(6,2) 15 15

f(1) = C(2,1). C(4,1) = 2.4 = 8
C(6,2) 15 15

C(2,2). C(4,0) 1.1 1
f(2) = C(6,2) = 15 = 15

Tabel distribusi peluang

x 01 2

F(x) 6 8 1
15 15 15

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 98

5. Diketahui suatu fungsi f(x) = 2 (x2 + 3), x = 0,1,2

{3
0, untuk x yang lain

Tentukan P(X ≤ 1) !

Penyelesaian :

P(X ≤ 1) = f(0) + f(1)

= [2 (02 + 3)] + [ 2 (12 + 3)]
33
6 8 14
= 3 + 3 = 3

LATIHAN

1. Diketahui suatu fungsi f(x) = 7 x2 + 5x, x = 0,1,2,3

{10
0, untuk x yang lain

Tentukan P(X ≤ 2) !

2. Diketahui suatu fungsi f(x) = {0k,x2u+nt3u,k x = 0,1,2
x yang lain

Tentukan nilai k sehingga fungsi tersebut fungsi peluang dan tentukan P(X ≤ 1) !

3. Diketahui suatu fungsi f(x) = { x2+3 , − 1 < < 3
x

0, untuk x yang lain

Tentukan P(-2<X<1) !

4. Diketahui suatu fungsi f(x) = { k3x2+2x , 0 < < 5

5

0, untuk x yang lain

Tentukan nilai k sehingga fungsi tersebut fungsi peluang dan tentukan P(X≤ 3) !
x3 − x2 − x , −2 ≤ x < 0
1, x=0

5. Diketahui suatu fungsi f(x) = 2 (3 − 10x) , 0 < < 3

53

{ 0, untuk x yang lain

Tentukan P(X≤ 5) !

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 99

D. EKSPEKTASI DAN VARIANSI EKSPEKTASI

Definisi 5.7.

Misalkan x variabel random dengan fungsi distribusi peluang f(x).
Ekspektasi X ditulis E(X) didefinisikan

E(X) =  xf (x) , jika X diskret

x

=  xf (x)dx , jika X kontinu.

Catatan.

Ekspektasi juga disebut nilai harapan atau harapan matematis.

Contoh 5.11
Pada percobaan melempar 2 uang logam 1 kali, jika X menyatakan banyaknya angka yang
nampak, tentukan ekspekatasi X.

Penyelesaian. 1 2
2/4 ¼
Fungsi distribusi peluang X :
x0
f(x) 1/4

E(X) =  xf (x)

x

= 0 1   1 2   2 1   1
4 4 4

Contoh 5.12.

Misalkan X menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu dengan fdp

 20.000 , jika x  100

f(x)=  x3

0 , jika x yang lain

Hitung harapan umur jenis lampu tersebut.

Penyelesaian.

E(X)=  20.000 dx   20.000   200
x3 x 100
x

100

Jadi bola lampu tersebut dapat diharapkan, rata-ratanya berumur 200 jam.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 100

Contoh 5.13
Tentukan harapan banyaknya matematikawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak
dari 4 matematikawan dan 3 fisikawan.

Penyelesaian.

Misalkan X menyatakan banyaknya matematikawan dalam panitia,maka distribusi peluang X

dicari sbb.

n(S) = 7C3 = 35

X=0 maka f(0) = 4C0 .3C3 = 1
7C3 35

X=1 maka f(1) = 4C1.3C2  12
7C3 35

X=2 maka f(2) = 4C2 .3C1  18
7C3 35

X=3 maka f(3) = 4C3.3C0  4
7C3 35

x 0 123

f(x) 1/35 12/35 18/35 4/35

Maka

E(X) =  xf (x)  0 1   1 12   218   3 4   60  12
x  35   35  12   35  35 7

12
Jadi harapan banyaknya matematikawan dalam panitia sebesar .

7

Teorema

Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi peluang f(x). Ekspektasi fungsi g(x)

adalah a. E[g(x)] =  g(x). f (x) , jika X diskret

x



b. E[g(x)] =  g(x). f (x) dx , jika X kontinu


Contoh 5.14

Jika X menyatakan jumlah mata dadu yang nampak dalam pelemparan sebuah dadu 1 kali.

Tentukan ekspektasi g(X) = 2X-1.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 101

Penyelesaian.

Distribusi peluang X

X0 1 2 3 4 5 6

1111111
f(x)

6666666

E[g(x)] =  g(x) f (x)

x

=  (2x 1) f (x)

x

= (2.0 1) 1  (2.1 1) 1  (2.2 1) 1  (2.3 1) 1  (2.4 1) 1  (2.5 1) 1  (2.6 1) 1
66 6 6 6 6 6

=6

Contoh 5.15

Misalkan X variabel random dengan fungsi densitas peluang

 x 2

f(x) = 3 , 1 x  2

0 , untuk x yang lain

tentukan ekspektasi g(x)=3x+1.

Penyelesaian.

 E[g(x)] = 2 (3x 1) x2 dx  1 2 (3x3  x2 )dx

1 3 31

= 1 3 x4  1 x 3  2
3  4 3  1

= 1 12  8    3  1   57
3 3 4 3 12

❖ Sifat-sifat Ekspektasi

1. Jika a dan b konstanta maka E(aX+b) = aE(X) + b

2. Akibat 1, E(b) =b dan E(aX) = aE(X)

3. E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]

Bukti sebagai latihan.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 102

E. VARIANSI

Definisi 5.8

Misalkan X variabel random dengan rata-rata μ, maka variansi X ditulis σ2 atau VAR(X)
didefiniskan VAR(X) = E[X- μ]2.

VAR( X ) disebut simpangan baku.

Teorema

VAR(X) = E[X2] – μ2
Bukti
VAR(X) = E[X- μ]2

= E[X2 -2Xμ + μ2]
= E(X2) – E(2Xμ) + E(μ2)
= E(X2) – 2μE(X) + μ2
= E(X2) – 2μμ + μ2
= E(X2) – μ2
Catatan μ juga dapat ditulis sebagai E[X] dengan mengambil X dari populasi. Sehinggga
teorema diatas dapat ditulis VAR(X) = E[X2] –E[X]2

❖ Sifat-sifat Variansi
1. VAR[g(x)] = E[g(x)-E[(g(x)]]2
2. Jika a dan b kontanta VAR (aX+b) = a2 VAR(X)
3. Akibat 2. VAR(b) = 0 , VAR (aX) = a2 VAR(X).

Bukti
Akan dibuktikan akibat 2, lainnya sebagai latihan.
VAR (b) = E[b – E(b)]2 = E [b- b]2 = 0
VAR (aX) = E [aX – E(aX)]2

= E [aX – aE(X)]2
= E{a2[X- E(X)]2

= a2 E[X- E(X)]2
= a2 VAR (X).

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 103

Contoh 5.16

Pada percobaan melempar 2 uang logam 1 kali, jika X menyatakan banyaknya angka yang

nampak, tentukan variansi X.

Penyelesaian.

Fungsi distribusi peluang X :

X0 1 2

f(x) 1/4 2/4 ¼

E(X) =  xf (x)

x

= 0 1   1 2   2 1   1
4 4 4

E(X2) = x2 f (x)

x

= 02  1   12  2   22  1   3
4 4 4 2

jadi VAR(X) = 3 1  1
22

Contoh 5.17

Hitunglah variansi variabel random X yang mempunyai fdp

f(x) = 2(x-1) , jika 1<x<2

= 0 , jika yang lain.

Penyelesaian.

E(X) = 2 x 2(x 1)dx  5

13

E(X2) =2 2(x 1)dx  17

x
16

Jadi VAR(X) = E(X2) - E(X)2 = 17  (5)2  1 .
6 3 18

LATIHAN
1. Buktikan sifat ekspektasi dan sifat variansi
2. Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi peluang

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 104

f(x) =  x , x  1,2,3
 6 , x yang lain

0

Tentukan a. E[X}

b. VAR(X)

3. Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi peluang

2(1  x) , 0  x  1
f(x) = 0
, x yang lain

Tentukan a. E[X}

b. VAR(X)

4. Dalam sebuah kotak terdapat 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dam 1 kelereng hijau,

diambil secara acak 2 kelereng dari dalam kotak tersebut. Tentukan harapan terambilnya

kelereng berwarna merah.

5. Sebuah mata uang dilempar 4X, tentukan harapan munculnya angka.
6. Fungsi padat peluang suatu pengukuran yang telah disandi suatu jenis benang tertentu

adalah 4 , 0 x 1
f(x) =  (1  x2 )
0 , x yang lain

tentukan E(X)

7. Dalam suatu permainan seseorang akan mendapat uang Rp. 50.000,- bila muncul semua
angka atau gambar, jika sebuah uang logam dilantunkan 3X dan dia harus membayar Rp.

30.000,- bila muncul angka sebanyak 1 atau 2, berapakah harapan kemenangan orang

tersebut ?
8. Dalam suatu permainan judi seseorang dibayar Rp. 200.000 jika dia menarik kartu jack

atau queen dan Rp. 500.000,- bila dia menarik kartu King atau As dari seperangkat kartu
bridge yang berisi 52 kartu. Berapa banyak yang harus dia bayar untuk main bila

permainan itu adil ?
9. Misalkan S ruang sampel percobaan melempar dua dadu bersama-sama. Jika Y variabel

random yang didefinisikan dengan Y(a,b) = min (a,b) (a,b)  S , tentukan

a. E(X)

b. SB(X)

10. Suatu varabel random mempunyai ekspektasi 5, dan simpangan baku 2. Jika Y=6X-5,

tentukan a. E(Y)

b. VAR (Y)

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 105

11. Lima kartu diberi nomor 1,1,2,2,3 dimasukkan dalam sebuah kotak dan diambil dua kartu
secara acak dari dalam kotak tersebut. Jika X adalah variabel random yang menyatakan
jumlah nomor kartu yang terpilih, tentukan
a. distribusi peluang X
b. E(X)
c. VAR(X)

12. Misalkan X variabel random berdistribusi seragam diskret
f(x) = 1 , x  1,2,3,...,10 . Tentukan ekpektasi dan variansi X
10

13. Misalkan X variabel random berdistribusi binomial yang menyatakan banyaknya sukses
dalam n usaha bebas. Misalkan usahanya ada 4 maka distribusi peluangnya
f(x) =  4x p x (1  p)4x , x=0,1,2,3,4. Tentukan ekpektasi dan variansi X.

EKSPEKTASI DAN VARIANSI

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak

bola di suatu pertandingan yang terpilih acak :

Y0 1 2 3 4 5 6
P(y) 0.1 0.2 0.32 0.2 0.1 0.05 0.05

Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola
menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan
banyak pertandingan dimana pemainmenciptakan 3 atau lebih gol?

Penyelesaian :

P(Y ≥ 3) = 0.2 + 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.4
E(W)= np = 4(0,4) = 16
Jadi, nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol
adalah 16.
2. Diketahui fungsi peluang : ( ) = (4 − 2 2), 0 < < 2
Hitung E(X) dan P(1/2<X<3/2)

Penyelesaian :

22

∫ ( ) = ∫ (4 − 2 2) = 1

00

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 106

ℎ = = 3

8

( ) = ∫ 3 (4 − 2 2) = 1
8

1 3 3 3 11
(2 2) 8 16
< < = 2 (4 − 2 2) =

∫

1

2

3. Pada percobaan melempar 2 uang logam 1 kali, jika X menyatakan banyaknya angka
yang nampak, tentukan ekspektasi X.

Penyelesaian:

Fungsi distribusi peluang X:

x 012
f(x) ¼ 2/4 1/4

( ) = ∑ ( )



121
= 0 (4) + 1 (4) + 2 (4) = 1

4. Misalkan X menyatakan umur dalam jam, sejenis bola lampu dengan fdp.

20.000
( ) = { 3 , > 100

0,

Hitung harapan umur jenis lampu tersebut.

Penyelesaian:

` ( ) = ∫1∞00 20.000 = [− 20.000]∞ = 200
3
100

Jadi, bola lampu tersebut dapat diharapkan rata-ratanya berumur 200 jam.

5. Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang
dengan penyakit demam berdarah di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi
kepadatan sebagai berikut :

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 107

32 , > 0
( ) = { ( + 4)3

0 ,

Tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit

tersebut !

Penyelesaian :

( ) = ∫ ∞ 32 32 ∞
( − 4)3 = [− ( − 4)3]0 = 32
0

Jadi, rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit

tersebut adalah 32 hari.

6. Tentukan harapan bayaknya matematikawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara
acak dari 4 matematikawan dan 3 fisikawan.

Penyelesaian:

Misalkan X menyatakan banyaknya matematikawan dalam panitia, maka distribusi
peluang X dicari sbb.
n(S) = 7C3 = 35

X=0 maka
X=1 maka

X=2 maka
X=3 maka
Maka,

Jadi harapan banyaknya matematikawan dalam panitia sebesar 12/7

7. Jika X menyatakan jumlah mata dadu yang nampak dalam pelemparan sebuah dadu 1
kali.
Tentukan ekspektasi g(X) = 2X-1

Penyelesaian:

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 108

=
=

=6

8. Misalkan X variabel rendom dengan fungsi densitas peluang
f(x)=
Tentukan ekspektasi g(x)=3x+1.

Penyelesaian:

=
=

9. Pada percobaan melempar 2 uang logam 1 kali, jika X menyatakan banyaknya angkayang
nampak, tentukan variansi X.

Penyelesaian:

E ( X )   xf ( x)  0 1   1 2   2 1   1
 4   4   4 
x

E( X 2 )  x2 f (x)  02 1  12 2   22 1   3

x 4 4 4 2

JadiVAR( X )  3 1  1
22

10. Hitunglah variansi variabel random X yang mempunyai fdpf(x) = 2(x-1) , jika 1<x<2=0,
jika yang lain.

Penyelesaian:

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 109

E( X )  2 x2(x 1)dx  5

13

E( X 2 )  2 x2(x 1)dx  17

16
JadiVAR( X )  E( X 2 )  E( X )2  17   5 2  1 .

6  3  18
11. Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi peluang

f(x) =  x , x  1,2,3
6 , x yang lain
0

Tentukan a. E[X}

b. VAR(X)

Pembahasan:

a. ( ) = ∑ ∙ ( )

123
=1∙6+2∙6+3∙6
14
=6
1
=2 3
( ) = ( 2) − { ( )}2
b.

= (1 ∙ 1 + 4 ∙ 2 + 9 ∙ 3) − 196 = 36∙6 − 196 = 5

6 6 6 36 36 36 9

12. Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi peluang

2(1 x) , 0  x  1
f(x) = 0
, x yanglain

Tentukan

a. E[X}

b. VAR(X)

Pembahasan:

a. ( ) = ∫01 (2 − 2 )

1

= ∫ (2 − 2 2)

0 1

= [ 2 − 2 3]
3
0
2
=1−3

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 110

1
=3
b. ( 2) = ∫01 2(2 − 2 )

1

= ∫(2 2 − 2 3)

0 1

= 2 3 − 2 4]
[3 4
0
22
=3−4
2
= 12
1
=6
( ) = ( 2) − { ( )}2

= 1 − (1)2 = 1 − 1 = 1
63 6 9 18

13. Dalam sebuah kotak terdapat 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dam 1 kelereng hijau,

diambil secara acak 2 kelereng dari dalam kotak tersebut. Tentukan harapan terambilnya

kelereng berwarna merah.

Pembahasan:

( ) = 2 . 4 2− , = 0,1,2
6 2

= 0, (0) = 2 0. 4 2 = 2! . 4! = 6
6 2 0! 2! 2! 2! 15
6!

4! 2!

= 1, (1) = 2 1. 4 1 = 2! . 4! = 8
6 2 1! 1! 3! 1! 15
6!

4! 2!

= 2, (2) = 2 2. 4 0 = 2! . 4! = 1
6 2 2! 0! 4! 0! 15
6!

4! 2!

( ) = ∑ ( )



( ) = 0. (0) + 1. (1) + 2. (2)

( ) = 0 . 6 + 1. 8 + 2. 1 = 10 2
15 15 15 15 = 3

14. Sebuah mata uang dilempar 4 kali, tentukan harapan munculnya angka.
Pembahasan :
Uang logam dilempar 4 kali maka :

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 111

S={AAAA,AAAG,AAGA,AAGG,AGAA,AGAG,AGGA,AGGG,GAAA,GAAG,GA

GA,GAGG,GGAA,GGAG,GGGA,GGGG}

Misal X = munculnya angka

X = 0 makaf(0) = 1
16

X = 1 makaf(1) = 4
16

X = 2 makaf(2) = 6
16

X = 3 makaf(3) = 4
16

X = 4 makaf(4) = 1
16

Jadi, E(X) = ∑04 ( )

= 0 .f(0) + 1 . f(1) + 2 . f(2) + 3 . f(3) + 4 . f(4)

= 0 .116 + 1 .146 + 2 .166 + 3 .146+ 4 .116

= 0 + 4 + 12 + 1162+ 4
16 16 16

= 32
16

=2

15. Fungsi padat peluang suatu pengukuran yang telah disandi suatu jenis benang tertentu

adalah 4 , 0 x 1
f(x) =  (1  x2 )
0 , x yang lain

tentukan E(X)

Penyelesaian :

1
4
( ) =  ∫ (1 + 2)−1

0

= 1 + 2


= 2

= 2
1
4
( ) =  ∫ −1 2

0
4 1 1 4 1
=  [0 0 2] 1 =  [0] 1
0 0
1
= 0

= .

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 112

16. Dalam suatu permainan seseorang akan mendapat uang Rp. 50.000,- bila muncul semua

angka atau gambar, jika sebuah uang logam dilantunkan 3X dan dia harus membayar Rp.

30.000,- bila muncul angka sebanyak 1 atau 2, berapakah harapan kemenangan orang

tersebut ?

Penyelesaian :

S = {(AAA), (AAG), (AGA), (AGG), (GAA), (GAG), (GGA), (GGG)}

a. Peluang munculnya angka 1 dan 2

P(1,2) = 3 + 3 = 6
8 8 8

b. Peluang munculnya semua angka/ semua gambar

P=1+1=2

88 8

Harapan Kemenangan :

X menyatakan uang yang didapat

X 50.000 -30.000

2 6
f(x) 8 8

E(x) = ∑ ( )

= 2 (50.000) + 6 (−30.000)

88

= 100.000−180.000

8

=- 80.000
8

= - 10.000

Jadi, harapan kemenangan orang tersebut membayar Rp 10.000,00

17. Dalam suatu permainan judi seseorang dibayar Rp. 200.000 jika dia menarik kartu jack

atau queen dan Rp. 500.000,- bila dia menarik kartu King atau As dari seperangkat kartu

bridge yang berisi 52 kartu. Berapa banyak yang harus dia bayar untuk main bila

permainan itu adil?

Penyelesaian :

Uang Rp. 200.000 jika menarik kartu jack atau queen

Uang Rp. 500.000 bila dia menarik kartu King atau As

Dipunyai 52 kartu bridge

- Peluang terambil kartu jack atau queen = 4 + 4 = 8
52 52 52

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 113

- Peluang terambil kartu King atau As = 4 + 4 = 8
52 52 52

x 200000 500000

8 8
f(x) 52

52

E(x) = ∑ ( )

= 8 (200.000) + 8 (500000)
52 52
= 1.400.000
13

= ± 108.000

Misal x adalah uang yang harus dibayar pemain agar permainan adil

x - f(x) = 0

x - 108000 = 0

x = 108000

Jadi uang yang harus dibayar adalah Rp. 108.000

18. Misalkan S ruang sampel percobaan melempar dua dadu bersama-sama. Jika Y variabel
random yang didefinisikan dengan Y(a,b) = min (a,b) (a,b)  S , tentukan

1. E(X)

2. Var(X)

Pembahasan:

1 2 3 456
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

x 1 2 3 456

F(x) 11 9 7 531

36 36 36 36 36 36

E(X) = ∑ ( )
= 1.11 + 2. 9 + 3. 7 + 4. 5 + 5. 3 + 6. 1

36 36 36 36 36 36

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 114

= 91
36

E(X2) = 12.3116 + 22. 9 + 32. 7 + 42. 5 + 52. 3 + 62. 1
36 36 36 36 36

= 11+36+63+80+75+36

36

= 233

36

Var (X) = E(X2) – [E (X) ]2

= 233 − 8281

36 1296

= 8388−8281

1296

= 107

1296

Maka√ ( ) = √ 107

1296

= 1 √107
36

19. Suatu varabel random X mempunyai ekspektasi 5, dan simpangan baku 2. Jika Y=6X-5,

tentukan a. E(Y)danb. VAR (Y)

Penyelesaian:

E(x)=5

a) E(Y)=E(6X-5)

= 6.5-5

=25

b) SB(X)= √

Var X= SB(x)²

VarXc= 2² = 4

Var (Y)=Var (6X-5)
=6².Var(X)
= 36 . 4
=144s

SOAL-SOAL

1. Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang
yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi!

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 115

2. Jika X = jumlah mata dadu yang tampak dalam melempar sebuah dadu satu kali, hitunglah

ekspektasi g(X) = 2X 2+ 1!

3. Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu?

4. Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada:

2X , untuk 0  X  1
f(X) = 0,
untuk X lainnya

5. Misalnya X suatu peubah acak dengan

x0 1 2 3 distribusi peluang sebagai berikut:

f(x) 1/10 2/5 3/10 1/5

Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1

6. Dalam sebuah permainan dengan dadu, seorang pemain mendapat hadiah Rp. 20 jika

muncul angka 2, Rp. 40 jika muncul angka 4, membayar Rp. 30 jika muncul angka 6,

sementara pemain itu tidak menang atau kalah jika keluar angka yang lain. Berapa harapan

kemenangannya?

7. Tiga uang logam dilempar secara bersamaan. Pemain mendapat Rp. 5 bila muncul semua

sisi angka (A) atau semua sisi gambar (G), dan membayar Rp. 3 bila muncul sisi angka

satu atau dua. Berapa harapan kemenangannya?

8. Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang

x2 untuk  1  x  2
 , untuk x lainnya
f (x)   3

 0,

Hitunglah nilai harapan g(X) = 2X-1!

9. Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y sebagai berikut

Hitunglah nilai harapan g(X, T) = XY!
10. Hitunglah  Y  untuk fungsi padat :

X

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 116

 x(1 3 y 2 )
 4
f ( x)  0  x  2;0  x  1

 0 x dan y lainnya

11. Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh

Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah

sekaligus!

12. Misal X adalah kesalahan dalam pengukuran untuk suatu lemari kayu (dalam mm). Jika

ditetapkan fungsi peluang sebagai berikut :

 x 2

f(x) = 3 , 1 x  2

0 , x yang lain

Tentukan:

a. Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran di atas.

b. Jika di bangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y ini.

13. Lima kartu diberi nomor 1,1,2,2,3 dimasukkan dalam sebuah kotak dan diambil dua kartu

secara acak dari dalam kotak tersebut. Jika X adalah variabel random yang menyatakan

jumlah nomor kartu yang terpilih, tentukan 1. distribusi peluang X, 2. E(X), 3. VAR (X)

14. Diketahui variabel random diskrit dengan E(x) = 2 dan E(x(x-4)) = 5.

Tentukan var (-4x+12)!

15. Misalkan X variabel random berdistribusi seragam diskret:

f(x) = 1 , x  1,2,3,...,10 . Tentukan ekpektasi dan variansi X!
10

F. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN (BERSAMA)

Pada pembahasan yang lalu distribusi peluang yang dibicarakan dibatasi pada ruang
sampel berdimensi satu, dengan kata lain hasil percobaan berasal dari variabel random
tunggal. Tetapi banyak keadaan yang memerlukan pencatatan hasil beberapa variabel random
secara serentak.
Misalnya bila ingin memeriksa sebuah TV. Bila V menyatakan umurnya dan W menyatakan
jumlah lampu yang cacat didalamnya. Maka akan menghasilkan ruang sampel berdimensi 2
yang terdiri atas hasil (v,w).
Jika X dan Y dua variabel random, distribusi peluang terjadinya secara serentak dapat
dinyatakan dalam fungsi f(x,y) dan biasanya f(x,y) dinamakan distribusi peluang gabungan
(bersama) X dan Y atau dapat didaftar f(x,y) = P(X=x. Y=y).

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 117

Untuk contoh TV f(5,3) menyatakan bahwa peluang TV tersebut berumur 5 tahun dan
memerlukan 3 lampu baru.
Definisi 5.9
Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari variabel random diskret X dan Y jika

1. f(x,y) ≥ 0, untuk semua (x,y)

2.  f (x, y) 1

xy

3. P[(X,Y) A]    f (x, y) untuk setiap daerah A di bidang x,y

A

Definisi 5.10

Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari variabel random diskret X dan Y jika
1. f(x,y) ≥ 0, untuk semua (x,y)



2.   f (x, y)dxdy1


3. P[(X,Y) A]   f (x, y)dxdy untuk setiap daerah A di bidang x,y.

A

Contoh 5.18

Dua kelereng dipilih secara acak dari sebuah kotak berisi 3 kelereng biru, 2 kelereng merah,
dan 3 kelereng hijau. Jika X menyatakan kelereng berwarana biru yang terambil, dan Y
menyatakan kelereng berwarna merah yang terambil, tentukan

a. fungsi peluang gabungan f(x,y)
b. P[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│x+y≤ 1}

Penyelesaian.

Pasangan harga-harga X dan Y adalah (1,0), (1,1), (2,0), (0,2) , (0,1) , (0,0)
f(0,0) = peluang terambil 2 bola berwarna hijau
f(1,1) = peluang teambil 1 bola berwarna biru dan berwarna merah ,dst.
n(S) = 8C2 = 8!  28

2!6!

f(0,0) = 3C2  3 f(0,1) = 3C2.3C1  6
28 28 28 28

f(1,1) = 3C1.2C1  6 f(0,2) = 2C2  1
28 28 28 28

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 118

f(1,0) = 3C1.3C1  9 f(2,0) = 3C2  3
28 28 28 28

a. Jadi distribusi peluang gabungan dapat ditulis

Y 01 2
X 3/28 6/28 1/28

0

1 9/28 6/28

2 3/28

b. P[X+Y≤ 1] = P[X=0, Y=0] + P[X=0, Y=1] + P[X=1, Y=0]
= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)
= 3  6  9  18
28 28 28 28

Contoh 5.19

Pandang fungsi padat gabungan
kx(1  3y 2 ) ,0  x  2, 0  y  1

f(x,y) = 
0 , untuk x, y yang lain

a. tentukan k agar f merupakan fungsi distribusi peluang gabungan
b. HitungP[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│0<x< 1, ¼ <y< ½ }

Penyelesaian.



a.   f (x, y)dxdy1


2  1 1 k x 2 (1  3y2) 2
0 0 2 0
0
kx(1  3y 2 ) dxdy 1  dy 1

 k 1 (4  0)(1  3y2 ) 2 dy  1
2 0 0

 2k( y  y3) 1 1
0

 2k(2) = 1

 k= 1.
4

1
Jadi agar f merupakan fpg maka k = .

4

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 119

1 1 1
2

 b. P[(X,Y) 2
A] = x(1  3y ) dxdy
4
1 0
4

1 2

1 x 2 (1  3y 2) 1
=
81 dy

0

4

1 2

1 (1  3y 2 )dy
=
81
4

 = 1 1 1  1 1    1 1 
8 8 2 8 4 64
y  y3 2   
1

4

= 23
64

Jika f(x,y) diketahui maka kita dapat mencari distribusi peluang X saja dan Y saja, yaitu :

 f (x, y) , jika diskret
 y
g(x) = 

 f (x, y) dy, jika kontinu



yang disebut distribusi marginal X.

Sedangkan distribusi marginal Y

 f (x, y) , jika diskret
 x
h(y) = 

 f (x, y) dx, jika kontinu



Contoh 5.20

Pada contoh 5.18 tentukan

a. Distribusi peluang marginal X

b. Distribusi peluang marginal Y

Penyelesaian.

a. g(x) =  f (x, y)

y

g(0) =  f (0, y) = f(0,0)+ f(0,1) + f(0,2)

y

= 3  6  1  10
28 28 28 28

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 120

g(1) = 9  6  15
28 28 28

g(2) = 3
28

disajikan dalam tabel

x0 1 2

10 15 3
28 28
g(x)
2
28
1
b. h(x) =  f (x, y) 28

x

h(0) =  f (x,0) = f(0,0)+ f(1,0) + f(2,0)

x

= 3  9  3  15
28 28 28 28

h(1) = 6  6  12
28 28 28

1
h(2) =

28

disajikan dalam tabel

x0 1

15 12
28
g(x)

28

Contoh 5.21

Pada contoh 5.19, tentukan
a. Distribusi peluang marginal X
b. Distribusi peluang marginal Y

Penyelesaian.

f(x,y) = 1 x(1  3y 2 ) ,0  x  2, 0  y  1
4
0 , untuk x, y yang lain

 1 1 x(1  3y 2 ) dy

f (x, y)dy 
 a.
g(x) =  0 4

= 1 x(y  y 3 ) 1  1 x , 0<x<2
4 0 2

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 121

 2 1 x(1  3y 2 ) dx

f (x, y)dx 
 b.
h(y) =  0 4

= (1  3y 2 ) 1 x2 2  1 (1  3y 2 ) , 0<y<1.
8 0 2

Dari contoh 4 initerlihatbahwa g(x).h(x) = f(x,y), ini dikatakan bahwa variabel random X dan

Y saling bebas.

Jadi 2 variabel random X dan Y dikatakan saling bebas, jika distribusi peluang gabungannya

sama dengan perkalian distribusi peluang marginalnya.

Telah dikemukakan pada bab terdahulu bahwa nilai dari variabel random sebenarnya adalah

kejadian yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, sehingga jika A dan B

merupakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing X=x, Y=y, maka dari definisi

peluang bersyarat P(A│B) = P( A  B) , didapat
P( A)

P(Y=y │X=x) = P( X  x,Y  y)  f (x, y)
P(X  x) g(x)

Atau sering ditulis ( | ) = ( , ) , ( | ) = ( , ) .
ℎ( )
( )

Perhatikan jika X dan Y bebas maka x tidak tergantung y sehingga f(x│y) = f(x)

Jadi ( | ) = ( , ) = ( ), diperoleh f(x,y) = g(x).h(y).
ℎ( )

Contoh5.22

a. Pada contoh 5.20, tentukan P(X=0│Y=1)

b. Pada contoh 5.21, tentukan f(x│Y=y)

Penyelesaian.

a. P(X=x │Y=y) = P( X  x,Y  y)  f (x, y)
P(Y  y) h( y)

6
P(X=0 │Y=1) = f (0,1)  28  1

h(1) 12 2
28

b. ( | = ) = ( , ) = 14 (1+3 2) = 1 , 0 < x < 2.
ℎ( ) 12 (1+3 2) 2

LATIHAN

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 122

1. Dari suatu bungkus buah-buahan yang berisi tiga jeruk, dua mangga dan tiga pisang
dipilih secara acak empat buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y
banyaknya mangga dalam sampel , hitunglah

a. distribusi peluang gabungan X dan Y
b. hitungP[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│x + y ≤ 2}
c. Distribusi marginal X
d. Distribusi marginal Y
e. f(y│2)
f. P(Y=0│X=2)
g. Periksaapakah X dan Y bebas.
2. Misalkan S ruang sampel percobaan melempar dua dadu bersama-sama. Jika X variabel
random yang didefinisikan dengan X(a,b) = maks (a,b) (a,b)  S , dan Y variabel

random yang didefinisikan dengan Y(a,b) = a+b) (a,b)  S , tentukan

a. distribusi peluang gabungan X dan Y
b. hitungP[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│x+y>15}
3. Dua variabel random mempunyai fungsi padat gabungan
f(x,y) = k(x2 + y2 ) , jika 0<x<2, 1<y<4

= 0 , jika x dan y yang lain

a. carilah nilai k
b. Hitung P[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│0<X< 2, 2 <Y< 3 }
c. Hitung P[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│1 ≤X≤ 2 }
d. Hitung P[(X,Y) A] jika A = {(x,y)│X+Y>4 }
4. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama berikut.

y x2 4

1 0,10 0,15

2 0,20 0,30

3 0,10 0,15

Carilah distribusi peluang marginal dan tentukan apakah X dan Y bebas.

5. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi padat peluang bersama berikut.

f(x,y) = 2 , jika 0<x<y<1

= 0 , jika x dan y lainnya.

a. Tentukan apakah X dan Y bebas
b. Hitunglah P(1/4 < X < ½ │Y=3/4)

6. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi padat peluang bersama berikut.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 123

f(x,y) = 6x , jika 0<x<1, 0< y <1-x
= 0 , jika x dan y lainnya.

a. Tentukan apakah X dan Y bebas
b. Hitunglah P(X > 0,3 │Y=0,5).

LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Misal dua buah dadu dilempar bersamaan, X menyatakan mata dadu pertama dan Y

mrnyatakan mata dadu kedua. Jika Z= X+Y, dan T= |X-Y| tentukan distribusi peluang

dari Z dan distribusi peluang dari T

Penyelesaian :

Y1 2 3 4 56

X

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,5)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Z=X+Y

Distribusi peluang Z

Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(z) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
T = |X − Y|

Distribusi peluang T

T0 1 2 3 4 5
f(t) 6 10 8 6 4 2

36 36 36 36 36 36

2. Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara
acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel
yang terambil, hitung fungsi peluang gabungan f(x,y)

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 124

Penyelesaian :

3 Jeruk

2 Apel diambil acak 4 buah

3 Pisang

X menyatakan buah jeruk yang terambil

Y menyatakan buah apel yang terambil

Fungsi gabungan f(x,y)

f(x,y) = C(3,x) C(2,x) C(3,4−x−y)
8C4

dengan x = 0,1,2,3 y = 0,1,2 tetapi dengan syarat 0 < + < 5

f(1,0) = C(3,1) C(2,0) C(3,3) = 3 f(0,1) = C(3,0) C(2,1) C(3,3) = 2
8C4 70 8C4 70

f(1,1) = C(3,1) C(2,1) C(3,2) = 18 f(2,1) = C(3,2) C(2,1) C(3,1) = 18
8C4 70 8C4 70

f(1,2) = C(3,1) C(2,2) C(3,1) = 9 f(3,1) =C(3,3) C(2,1) C(3,0) = 2
8C4 70 8C4 70

f(2,2) = C(3,2) C(2,2) C(3,0) = 3 f(0,2) = C(3,0) C(2,2) C(3,2) = 3
8C4 70 8C4 70

f(2,0) = C(3,2) C(2,0) C(3,2) = 9 f(3,0) = C(3,3) C(2,0) C(3,1) = 3

8C4 70 8C4 70

3. Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang
melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan
waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu
pelayanan) masing masing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan
sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari
kedua peubah acak tersebut adalah:

f(x,y) = 2 (x + 2y), 0≤x≤1 0≤y≤1

{3 0, untuk x, y yang lain

Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang.

Penyelesaian :

Disebut fungsi peluang jika :

∫∞∞ ∫∞∞ f(x, y)dx dy =1
=1
∫01 ∫01 2 (x + 2y) dx dy
3

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 125

∫01 2 ∫01 (x + 2y) dx dy =1
3 =1
=1
∫01 2 [1 x2 + 2xy]10 dy =1
3 =1
2 =1

∫01 2 (1 + 2y) dy
3
2

2 ∫01 (1 + 2y) dy
3
2

2 [1 y + y2]10
3
2

2 (1 + 1)

32

1 =1

(terbukti)

Jadi, f(x,y) merupakan fungsi peluang.
4. Carilah distribusi peluang banyaknya kaset jazz dan pop, bila empat kaset

dipilih secara acak dari kumpulan kaset yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2

kaset klasik, dan 3 kaset pop. Dapatkah hasilnya dinyatakan dalam suatu

rumus?

Penyelesaian :

5 Jazz

2 Klasik diambil acak 4 kaset

3 Pop

X meyatakan banyaknya kaset Jazz terambil

Y menyatakan banyaknya kaset Pop terambil

f(x,y) = C(5,x) C(3,x) C(2,4−x−y)

10C4

dengan x = 0,1,2,3,4,5 y = 0,1,2,3 tetapi dengan syarat 1 < + < 5

f(0,2) = C(5,0) C(3,2) C(2,2) = 3 f(2,0) = C(5,2) C(3,0) C(2,2) = 10
10C4 210 10C4 210

f(0,3) = C(5,0) C(3,3) C(2,1) = 2 f(2,1) = C(5,2) C(3,1) C(2,1) = 60
10C4 210 10C4 210

f(1,1) = C(5,1) C(3,1) C(2,2) = 15 f(2,2) = C(5,2) C(3,2) C(2,0) = 30
10C4 210 10C4 210

f(1,2) = C(5,1) C(3,2) C(2,1) = 30 f(3,0) = C(5,3) C(3,0) C(2,1) = 20
10C4 210 10C4 210

f(1,3) = C(5,1) C(3,3) C(2,0) = 5 f(3,1) = C(5,3) C(3,1) C(2,0) = 30
10C4 210 10C4 210

f(4,0) = C(5,4) C(3,0) C(2,0) = 5
10C4 210

dapat dijadikan suatu rumus peluang gabungan yaitu :

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 126

f(x,y) = C(5,x) C(3,x) C(2,4−x−y)

10C4

dengan x = 0,1,2,3,4,5 y = 0,1,2,3 tetapi dengan syarat 1 < + < 5

5. Misalkan fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y adalah sebagai

berikut:

p(x,y) = {kx0y,, x = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3
untuk x, y yang lain

a. Dapatkah nilai k ditentukan?

b. Bagaimanan cara menentukan nilai P(X=2,Y≠2)

c. Mungkinkah dapat ditentukan distribusi peluang dari X atau dari Y saja.

Penyelesaian :

a. Menentukan nilai k

∑x ∑y f(x, y) =1
∑x3=1 ∑3y=1 kxy =1
f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) + f(3,1) + f(3,2) + f(3,3) =1
k + 2k + 3k + 2k + 4k + 6k + 3k + 6k + 9k =1
36k =1

k =1

Jadi, nilai k dapat ditentukan yaitu 1 . 36

36

b. P(X=2,Y≠2) = f(2,1) + f(2,3)

= 2k + 6k

= 8k

=8. 1

36

=4

9

c. Kita dapat menentukan distribusi peluang dari X saja dan Y saja.

Distribusi peluang dari X saja disebut distribusi marginal X.

g(x) = ∑y f(x, y)
g(1) = ∑y f(1, y)

= f(1,1) + f(1,2) + f(1,3 )

= k + 2k + 3k

= 6k

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 127

g(2) = 6. 1 = 1
g(3)
Disajikan dalam tabel 36 6

= ∑y f(2, y)
= f(2,1) + f(2,2) + f(2,3 )
= 2k + 4k + 6k
= 12k
= 12. 1 = 1

36 3

= ∑y f(3, y)
= f(3,1) + f(3,2) + f(3,3 )
= 3k + 6k + 9k
= 18k
= 18. 1 = 1

36 2

x123

g(x) 1 1 1
632

Distribusi peluang dari Y saja disebut distribusi marginal Y.
h(y) = ∑x f(x, y)
h(1) = ∑x f(x, 1)

= f(1,1) + f(2,1) + f(3,1 )
= k + 2k + 3k
= 6k

= 6. 1 = 1

36 6

h(2) = ∑x f(x, 2)
= f(1,2) + f(2,2) + f(3,2 )
= 2k + 4k + 6k
= 12k

= 12. 1 = 1

36 3

h(3) = ∑x f(x, 3)
= f(1,3) + f(2,3) + f(3,3 )
= 3k + 6k + 9k
= 18k

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 128

= 18. 1 = 1

36 2

Disajikan dalam tabel 2 3
y1
1 1
h(y) 1 3 2
6

LATIHAN SOAL

1. Fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk

p(x,y) = 1 (x + y), x = 0, 1, 2, 3 y = 1, 2,

{30 0, untuk x, y yang lain

Hitung P(X+Y≠3)

2. Carilah distribusi peluang banyaknya kaset jazz dan pop, bila empat kaset

dipilih secara acak dari kumpulan kaset yang terdiri dari 6 kaset jazz, 4

kaset klasik, dan 2 kaset pop. Dapatkah hasilnya dinyatakan dalam suatu

rumus?

3. Dalam sebuah kotak buah terdapat 6 buah jeruk, 5 apel dan 4

pisang, diambil secara acak 5 buah. Jika X adalah banyaknya

buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil,

hitung fungsi peluang gabungan f(x,y)
4. Fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk:

p(x,y) = {24y (1 −x − y), 0 < < 1,0 < < 1,
0, untuk x, y yang lain

Bagaimana menentukan fungsi peluang marginal dari X dan dari Y

5. Fungsi peluang gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk

p(x,y) = 1 (x2 + y2), x = 0, 1, 2, 3 y = 1, 2,

{5 0, untuk x, y yang lain

a. Hitung P(X+Y≠3)

b. Tentukan fungsi peluang marginal dari X dan dari Y

Soal dan pembahasan tambahan

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 129

1. Dua buah kotak masing-masing berisi 5 kartu bertuliskan angka 1,2,3,4,5. Dari kotak
I dan II masing-masing diambil sebuah kartu secara random. Tentukan nilai dari
variabel random yang menyatakan jumlah kedua angka pada kartu yang terambil.
Jawab :
Dari pengambilan sebuah kartu dari kotak I dan II diperoleh 25 titik sampel. Jika Y
menyatakan jumlah kedua angka pada kartu yang terambil maka :
Y((1,1)) = 2
Y((1,2)) = 3
Y((1,3)) = 4
Sehingga daerah hasil dari variabel random Y adalah: Rx = {2,3,4,5,6,7,8,9,10}

2. Dari dalam sebuah kotak yang berisi 4 bola putih dan 5 bola hijau diambil secara
berturut-turut 3 buah bola. Setiap bola yang diambil dikembalikan dahulu ke kotak
sebelum mengambil bola berikutnya. Jika X adalah peristiwa bola hijau yang terambil
maka daerah hasil dari variabel random X adalah...
Jawab :
Misal : H = kejadian terambil bola hijau
P = kejadian terambil bola putih
Ada 8 titik sampel : HHH, HHP, HPH, PHH, HPP, PHP, PPH, PPP. Misal X =
banyaknya bola hijau yang terambil. Dengan diagram panah diperoleh :

HHH 3
HHP 2
HPH 1
PHH 0
HPP
PHP
PPH
PPP

Jadi, Rx = {0,1,2,3}

3. Suatu ruangan aula yang besar, memiliki 3 lampu merah dan 5 lampu putih. Saklar
dari lampu-lampu itu disusun secara acak. Seseorang ingin menyalakan lampu dan

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 130

akan menekan saklar sebanyak 4 kali. Berapa probabilitas ia menyalakan 2 lampu dari
4 kali ia menyalakan lampu ?
Jawab :
Sukses (x) = 2
n =4
p = 3/5
P (x = 1|4, 3/8) = x 3/81 . 5/82 = 0,88
Jadi, probabilitas ia menyalakan 2 lampu merah dari 4 kali menyalakan ialah 0,88.
4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Sebuah bola dipilih
secara acak dari kotak, warnanya dicatat, dan kemudian bolanya dimasukkan kembali.
Tentukan peluang bahwa dari 6 bola yang diambil secara acak dengan cara ini, 3
diantaranya berwarna merah, 2 adalah putih, dan 1 biru.
Jawab:
P(merah pada sembarang pengambilan) = 5/12
P(putih pada sembarang pengambilan) = 4/12
P(biru pada sembarang pengambilan) = 3/12
n=3+2+1=6
P(3 merah, 2 putih, 1 biru) = f(3, 2, 1; 5/12. 4/12, 3/12, 6)

=6C 3.2.1*(5/12)3 (4/12)2(3/12)1= 625/5184

5. Misalkan peubah acak X memiliki FMP sebagai berikut:

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X

Penyelesaian:

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 131

6. Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu took mengandung 3 yang cacat.
Bila suatu sekolah membeli secara acak. Hitung distribusi kumulatif peubah acak X !
dengan menggunakan F(x).

Penyelesaian :

Dengan menghitung lansung distribusi peluangnya, diperoleh

f(0) = 1 , f(1) = 1 , f(2) = 3 , f(3) = 1 , f(4) = 116.
6 14 8 4

Jadi,

F(0) = f(0) = 1

16

F(1) = f(0) + f(1) = 5
16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11
16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15

16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

7. Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk :
F(x)= 2(1-x) ; 0<x<1
= 0 ; x lainnya
Hitunglah E(X2- 1) ?
Jawaban :
Berdasarkan definisi nilai ekspektasi kontinu, maka :
E(X2-1) = ∫−∞∞( 2 − 1). ( )dx

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 132

= ∫−0∞( 2 − 1). ( )dx + ∫01( 2 − 1). ( )dx + ∫1∞( 2 − 1). ( )dx

= ∫−0∞( 2 − 1). 0 + ∫01( 2 − 1).2(1 − )dx + ∫1∞( 2 − 1).0 dx

= - 5
6

8. Seorang pemburu babi hutan berdasarkan pengalamannya setiap kali berburu dapat

memperoleh XX ekor, dengan distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

Xx 0 1 2 3 4 5

P(X=x)P(X=x) 0,3 0,44 0,21 0,02 0,02 0,01

Maka tentukan banyaknya babi hutan yang diharapkan setiap kali ia berburu, tentukan
pula variansnya

Jawaban:

Harapan banyaknya babi hutan yang didapatkan setiap harinya E(x)=μEx=μ
E(x)=∑5i=0xiP(xi)Ex=∑i=05xiP(xi) atau biasa ditulis
E(x)=∑xiP(xi)Ex=∑xiP(xi)

=x0P(x0)+x1P(x1)+x2P(x2)+x3P(x3)+x4P(x4)+x5P(x5)=x0Px0+x1Px1+x2Px2+x3P
x3+x4Px4+x5P(x5)
=0(0,3)+1(0,44)+2(0,21)+3(0,02)+4(0,02)+5(0,01)=00,3+10,44+20,21+30,0
2+40,02+50,01
=0+0,44+0,42+0,06+0,08+0,05=0+0,44+0,42+0,06+0,08+0,05
=1,05=1,05
Variansnya adalah :

σ2=∑xi2P(xi)−μ2σ2=∑xi2P(xi)-μ2
={x02P(x0)+x12P(x1)+x22P(x2)+x32P(x3)+x32P(x3)+x42P(x4)+x52P(x5)}−μ2
=x02Px0+x12Px1+x22Px2+x32Px3+x32Px3+x42Px4+x52Px5-μ2
={02(0,3)+12(0,44)+22(0,21)+32(0,02)+42(0,02)+52(0,01)}−1,052
=020,3+120,44+220,21+320,02+420,02+520,01-1,052
={0+0,44+0,84+0,18+0,32+0,25}−1,1025
=0+0,44+0,84+0,18+0,32+0,25-1,1025
=2,03−1,1025
=2,03-1,1025

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 133

=0,9275
9. Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2

merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna
merah yang terpilih, hitunglah :

a. Fungsi peluang gabungan f (x,y)
b. P [(X,Y) ∈ A], bila A daerah {(x,y) | [x+y ≤ 1]}

Jawaban :

Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0).

Sekarang f (0,1) misalnya menyatakan peluang bahwa isi berwarna merah dan hijau

yang terpilih. Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua isi dari
delapan adalah (28) = 28. Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 isi berwarna merah
dan 1 hijau dari 2 isi berwarna hijau adalah (21)(13) = 6, jadi f (0,1) = 6/28 = ¾.
Dengan jalan yang sama dihitung peluang untuk kasus lainnya, yang disajikan pada

tabel halaman berikut

a. F (x, y) = ( 3 )( 2 )(2− 3 − ) x = 0,1,2; y = 0,1,2; 0 ≤ + ≤ 2
(28)

F(x,y) x Jumlah

Y0 0 1 2 baris
1
2 3/28 9/28 3/28 15/28

Jumlah lajur 3/14 3/14 3/7

1/28 1/28

5/14 15/28 3/28 1

b. P [(X,Y) ∈ A] = P (X + Y ≤ 1)

= f (0,0) + f (0,1) + f (1,0)

= 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14

10. Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe

dan kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak, serta X dan

Y menyatakan masing-masing proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat dan

misalkan bahwa fungsi padat gabungannya adalah

( , ) = {20/, 5(2 + 3 ), 0 ≤ < 1, 0 ≤ ≤ 1
,

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 134

a. Tunjukkan bahwa syarat ∫−∞∞ ∫−∞∞ ( , ) = 1 dipenuhi

b. Cari P [(X,Y) ∈ A], bila A daerah {(x,y) | 0 ≤ ≤ 1 , 1 ≤ ≤ 1 }
2 4 2

Jawaban :

a. ∫−∞∞ ∫−∞∞ ( , ) = ∫01 ∫01 2/5(2 + 3 )

= ∫01 2 2 + 6 |10
5 5
3 2
= ∫01 (2 + 6 ) = 2 + 5 |10 = 2 + 3 = 1
5 5 5
5 5

b . P [(X,Y) ∈ A] = P (0 < X < ½, ¼ < Y < ½)

11

= ∫12 ∫03 2/5(2 + 3 )
4
1 1
= 2 2 + 6
∫12 5 5 |02

4 1
1
(1 3 ) 3 2 |21
= ∫12 + = 10 + 10
10 5
4 4

= 1 {(1 + 3) − (1 + 3 )} = 13
10 2 4 4 16 160

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 135

DAFTAR PUSTAKA

Bain & Engelhardt (1993), Introduction to Probability And Mathematical Statistics,
Duxbury Press, California

Boediono dan Wayan Koster (2001), Teori dan Aplikasi Statistika dan
Probabilitas,Remaja Rosdakarya, Bandung

Frank Aryes (1990), Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta

Ronald E Walpole & Raymond H Myers (1986), Ilmu Peluang dan Statistika Untuk
Ilmuwan dan Insinyur, ITB, Bandung

Suryo Guritno (1990), Pengantar Statistik Matematik, FMIPA UGM, Yogyakarta.

Statistika Matematika, Dra. Kusrini, M. Pd., Dra Etty Tejo Dwi Cahyono

Analisis Data,Utriweni Mukhaiyar

Kusrini, dan Etty Tejo D. C. 1994. Materi Pokok Statistika Matematika PGMT3631/3SKS
Modul 1-9. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal
Pendidikan Dasar Menengah Proyek Peningkatan Mutu Guru SLTP Setara D-III

https://www.slideshare.net/arifwindiargo/bab2-peubahacakdandistribusipeluang

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 136
Pengantar Probabilitas