pengantar probabilitas

Peluang Kejadian 47

Penyelesaian :

Misalkan A adalah kejadian bahwa terpilih siswa laki-laki maka,

P(A) = ( ) = 10 = 1
( ) 30 3

Misalkan B adalah kejadian bahwa yang terpilih siswa yang berambut keriting

maka,
P(B) = ( ) = 15 = 1

( ) 30 2

Siswa laki-laki dan berambut keriting ada 5 siswa dari 30 siswa maka,
P(A ∩ B) = 5 = 1

30 6

Peluang yang terpilih adalah laki-laki atau berambut keriting
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

=1+1−1=4=2

326 6 3

2) Misalkan A dan B kejadian-kejadian dengan P(A ∪ B) = 3

4

P( ) = 2 dan P(A ∩ B) = 1 . Tentukanlah nilai dari P(B)!

34

Penyelesaian :
P(A) = 1 − P( ) = 1 − 2 = 1

33

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
P(B) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B) – P(A)
P(B) = 3 + 1 − 1 = 2

443 3

3) Sebuah kota mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling

bebas. Peluang satu mobil tertentu tersedia bila diperlukan adalah 0,99.

a. Berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan ?

b. Berapakah peluang paling sedikit satu mobil tersedia bila diperlukan ?

Penyelesaian :
Misalkan kedua mobil itu A dan B, maka P(A) = 0,99, P(B) = 0,99
a. Peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan,

P( ∩ ) = P( ) . P( )
= 0,01 . 0,01
= 0,0001

b. Peluang paling sedikit satu mobil tersedia bila diperlukan,
P( ∩ ) = P( ∪ )
Jadi, P(A ∪ B) = 1− ( ∪ )
= 1 − 0,0001
= 0,9999

4) Peluang seorang pemain bola basket memasukan bola adalah 50%. Berapakah
peluangnya memasukan tiga dari empat tembakan bola?

Pengantar Probabilitas

Peluang Kejadian 48

Penyelesaian :

Peluang seorang pemain bola basket memasukan bola,
P(A) = 1

2

Peluangnya seorang pemain bola basket itu memasukan tiga dari empat tembakan

bola,

P(B) = 3 P(A)
4
=3×1
42
3
= 8

5) Bagi Umar peluang bahwa ia masih akan hidup selama 20 tahun adalah 0,6 dan

bagi Joni peluang itu adalah 0,9. Berapakah peluang keduanya akan meninggal

dalam 20 tahun?

Penyelesaian :
P(U) = 0,6 dan P(J) = 0,9
Peluang keduanya masih akan hidup selama 20 tahun,
P(U ∩ J) = P(U) . P(J)

= 0,6 . 0,9
= 0,36
Peluang keduanya akan meninggal dalam 20 tahun,
P(Uc ∩ Jc) = P(Uc) . P(Jc)

= 0,4 . 0,1
= 0,04

6. Dalam suatu kantong terdapat 2 bola putih dan 6 bola merah. Diambil satu bola

secara acak dan bola yang terambil warnanya dicatat. Setelah itu bola

dikembalikan ke kantong dan kemudian diambil satu bola secara acak. Peluang
terambilnya dua bola berlainan warna adalah…..

Penyelesaian :

Diketahui dalam suatu kantong terdapat 2 bola putih dan 6 bola merah.

P(2 bola beda warna) = P(putih dan merah)+P(merah dan putih)
= 2 x 6 + 2x 6

8 8 88

= 12 + 12 = 24

64 64 64

Jadi, peluang terambilnya dua bola berlainan warna adalah 3

8

7. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan

dijual 5 ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah…

Penyelesaian :

Diketahui pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 kor ayam

betina. Akan dijual 5 ekor ayam.

P(2 jantan,3 betina) = 62 43 = 6! 4!
150 2!(6−2)! 3!(4−3)!

10!

5!(10−5)!

Pengantar Probabilitas

Peluang Kejadian 49

= 6! 4! = 15 4 = 60
2!4! 3!1! 252 252

10!

5!5!
Jadi peluang yang terjual 3 di antaranya ayam betina adalah 60
252
8. Satu huruf diambil secara acak masing-masing dari “START” dan

“STICK”. Peluang terambil dua huruf yang berbeda adalah…

Penyelesaian :
Satu huruf diambil secara acak masing-masing dari “START” dan “STICK”.

Peluang terambil dua huruf yang sama (sama-sama S atau T) adalah

P(dua huruf sama) = 1 x 1 + 2 x 1
5 5 5 5
= 1+2 =3
25 25 25

Peluang terambil dua huruf yang berbeda adalah

P(dua huruf berbeda) = 1 - 3 = 22

25 25

9. (Mat Das UM UI 2009)Ada 15 kunci berbeda dan hanya tepat satu kunci yang

dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Jika kunci diambil satu persatu

tanpa pengembalian, maka peluangkunci yang terambil dapat digunakan untuk
membuka pintu pada pengambilan ketiga adalah…

Penyelesaian :
Perhatikan bahwa masing-masing dari 15 kunci semuanya berbeda. Misalkan A
adalah kejadian pengambilan pertama, B adalah kejadian pengambilan kedua,
dan C adalah kejadian pengambilan ketiga.

Diperoleh P(A ∩ ∩ ) = P(A) x P(B) x P(C)
=1x1x1 = 1

15 14 13 2730

10. Tiga bilangan dipilih secara acak dari {1,2,3,...,2008}. Peluang jumlah
ketiganya genap adalah…

Penyelesaian :
Tiga bilangan dipilih secara acak dari {1,2,3,…,2008}. Berarti ada 2008

bilangan dengan 1004 bilangan ganjil dan 1004 bilangan genap. Ada dua

kemungkinan jumlah ketiga bilangan tersebut genap.

Ketiga bilangan tersebut semuanya genap

(P(A)) Peluang 1 genap dan 2 ganjil = = 11004 12004 1004! 1004!
= 1004 502 1003 1003! 1002!2!
23008
1004 669 2006 2008!

= 251 2005!3!

669

Pengantar Probabilitas

Peluang Kejadian 50

(P(B)) Peluang 3 genap = 13004 = 504 1003 334 = 167
23008 1004 669 2006 1338

P(A∪B) = P(A) + P(B)

= 251 + 167 = 502+167 = 669
669 1338 1338 1338

Latihan 3.1
1. Suatu percobaan melempar 3 uang logam bersama-sama satu kali.

a. Tentukan ruang sampel percobaan.
b. Tentukan peluang terjadinya ketiganya muncul sisi gambar.
c. Tentukan peluang terjadinya paling sedikit muncul dua sisi angka .
2. Sebuah kotak berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng putih, dan 2 kelereng hijau. Dua
buah bola diambil sekaligus dari dalam kotak. Hitung peluang :
a. terambilnya satu kelereng merah dan satu kelereng hijau
b. terambilnya keduanya kelereng putih.
3. Sebuah keluarga muda merencanakan mempunyai 3 orang anak. Tentukan peluang
keluarga tersebut mempunyai:
a. Anak sulung laki-laki
b. Anak bungsu perempuan
c. Sekurang-kurangnya 1 anak laki-laki
d. Paling banyak satu anak perempuan.
4. Dalam perkumpulan arisan akan diundi sebuah gulungan untuk menentukan yang
mendapat arisan dari 100 gulungan kertas kecil-kecil yang memuat nama-nama
anggota arisan tersebut dan dimasukkan kedalam botol. Jika Fredi anggota arisan
tersebut
a. berapa peluangya dia mendapat arisan yang pertama.?
b. Berapa peluangya dia mendapat arisan yang kedua ?
5. Dijual 100 lembar undian, 2 diantaranya berhadiah. Tamara membeli 2 lembar
undian. Berapa peluang Tamara mendapat
a. satu hadiah
b. dua hadiah.

Pengantar Probabilitas

Peluang Kejadian 51

6. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Dari
kelompok tersebut dibentuk suatu panitia yang terdiri dari 5 orang secara acak.
Tentukan peluang panitia tersebut terdiri dari :
a. 3 pria dan 2 wanita
b. paling sedikit terdapat 3 orang pria
b. orang-orang yang berjenis kelamin sama.

7. Lima lampu pijar yang rusak tercampur dengan sepuluh buah lampu yang baik.
Karyawan perusahaan diintruksikan mencari kembali lampu yang rusak tersebut.
Jika karyawan tsb secara acak mengambil 3 buah lampu dari kumpulan lampu tsb,
berapa probabilitas :
a. tidak satupun dari ketiga lampu yang diambil lampu yang rusak.
b. satu saja yang rusak
c. paling sedikit satu lampu rusak.

8. Dari soal nomor 1 periksa apakah kejadian pada b) dan c) bebas
9. Dari soal nomor 3 periksa apakah kejadian pada a) dan b), b) dan c) serta c) dan d)

bebas.
10. Jika P(A)=0,6 dan P(B) = 0,4 dan P(AB)=0,8, periksa apakah A dan B

a. saling lepas
b. saling bebas.
11. Suatu kelas terdiri atas 10 siswa putra dan 20 putri, dengan 5 putra dan 10 putri
berkacamata. Berapa peluang bahwa seorang siswa yang terpilih secara acak
adalah putra dan berkacamata ?
12. Suatu kantong berisi empat bola putih dan tiga bola hitam, sedangkan kantong
kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Suatu bola diambil dari kantong
pertama tanpa melihatnya dan kemudian dimasukkan ke kantong kedua. Berapa
sekarang peluang mengambil sebuah bola hitam dari kantong kedua ?
13. Sebuah kotak berisi 5 bola hitan dan 3 bola putih. 3 bola diambil secara berurutan,
tiap bola dikembalikan ke kotak sebelum bola berikutnya diambil. Berapa peluang
ketiga bola itu berwarna sama ? Berapa peluang kedua warna terambil ?

Pengantar Probabilitas

Peluang Kejadian 52

14. Tiga mahasiswa yaitu Irma, Novi, dan Bulan bertanding lari. Irma dan Novi
berpeluang sama untuk menang dan peluangnya adalah dua kali peluang Bulan
untuk menang.
Berapakah peluang Irma memenangkan pertandingan lari tersebut?

15. Dari 100 mahasiswa jurusan matematika, 42 belajar kalkulus, 68 belajar PDM,
54 belajar ALEL, 22 belajar kalkulus dan ALEL, 25 belajar kalkulus dan PDM,
7 belajar ALEL dan tidak belajar kalkulus maupun PDM, 10 belajar ketiga
mata kuliah, dan 8 tidak belajar satu pun dari ketiga mata kuliah. Bila seorang
siswa dipilih secara acak, hitunglah:
a) Peluang dia belajar PDM dan ALEL tapi tidak kalkulus;
b) Peluang bahwa bila dia belajar ALEL, dia belajar ketiga mata kuliah;
c) Peluang dia hanya belajar kalkulus.

16. Bila A dan B dua kejadian yang terpisah dengan P(A) = 0,6 dan P(B) = 0,3
hitunglah
a) P(A ∪ B)
b) P(A′)
c) P(A′ ∩ B)

17. Jika P(A) = 0,5, P(B) = 0,25 dan P(A ∪ B) = 0,625
a) Periksa apakah A dan B saling lepas;
b) Periksa apakah A dan B saling bebas.

18. Dua buah dadu dilantunkan. Bila diketahui bahwa satu dadu memunculkan 3
berapakah peluang bahwa
a) Yang kedua muncul 4?
b) Jumlah keduanya lebih besar dari 8?

19. Sebuah mata uang yang tidak setimbang dengan peluang munculnya sisi M
adalah dua kali lebih besar daripada sisi B. Bila mata uang tersebut dilantunkan
tiga kali, berapakah peluang mendapatkan tepat dua sisi B?

20. Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil
lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah..

21. Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada

musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas

terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

22. Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika
yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

23. Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik

keduanya kartu as adalah..

24. Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah

dadu adalah.

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 53

BAB V
KEGIATAN BELAJAR 4

A. Kompetensi dan Indikator

1. Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.

2. Kompetensi Dasar
Menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu permasalahan

3. Indikator
a. menggunakan aturan peluang bersyarat dalam persoalan peluang
b. menggunakan proses stokastik berhingga untuk menyelesaikan persoalan terkait
c. menggunakan aturan Bayes untuk menyelesaikan persoalan terkait

B. Uraian Materi

PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES

A. Peluang Bersyarat

Pada beberapa hal, kejadian B sering dipengaruhi oleh kejadian A. Peluang
terjadinya B bila diketahui kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan
dinyatakan dengan P(BA). Lambang P(BA) biasanya dibaca ‘peluang B terjadi
bila diketahui A terjadi atau lebih sederhana lagi ‘peluang B, bila A diketahui’.

Sebelum kita bahas definisi formal peluang bersyarat, kita bahas terlebih
dahulu sekilas mengenai peluang nisbi yang berkaitan dengan peluang bersyarat.
Pandang kejadian B mendapat mata dadu kuadrat murni bila sebuah dadu dilantunkan
, jadi B = {(1,4)}. Dadu tersebut dibuat sedemikian rupa sehingga peluang
munculnya bilangan genap dua kali peluang munculnya bilangan ganjil. Berdasarkan
ruangsampel S={1,2,3,4,5,6} dengan bobot 1/9 untuk bilangan ganjil, dan 2/9 untuk
bilangan genap, maka peluang terjadinya B adalah 1/9 +2/9 = 1/3. Sekarang misalkan
diketahui bahwa lantunan dadu menghasilkan bilangan lebih besar daripada 3. Jadi
ruang sampel yang dihadapi telah mengecil menjadi A={4,5,6}, yang merupakan
ruang bagian dari S. Untuk menghitung peluang nisbi B terhadap ruang A maka perlu
dahulu ditentukan bobot baru bagi elemen A yang sebanding dengan bobot semula

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 54

sedemikian rupa sehingga jumlahnya 1. Misalkan b bobot baru untuk bilangan ganjil
dalam A dan 2b untuk bilangan genap, maka 2b + b + 2b = 1 atau b =1/5. Nisbi
terhadap ruang A, B hanya mengandung unsur mata dadu 4. Bila kejadian dinyatakan
dengan lambang B/A maka, B/A = {4}, jadi P(B/A) = 2/5.
Contoh ini memperlihatkan bahwa suatu kejadian dapat mempunyai peluang berlainan
bila dipandang nisbi terhadap ruang sampel yang berlainan.
Dapat pula ditulis P(b/A) = 2   2 / 9  P(A  B) .

5 5/ 9 P(A)

P(AB) dan P(A) diperoleh dari ruang sampel semula. Dengan perkataan lain
peluang bersyarat nisbi terhadap ruang bagian A dari S dapat dihitung langsung dari
S.

Definisi 4.1

Peluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan oleh

P(BA) = P(A  B)
bila P(A) > 0
P( A)

Contoh 4.1

Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang tamat SMU di kecamatan

Sukamadu. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan

Bekerja Tidak bekerja

Laki-laki 460 40

Wanita 140 260

Kecamatan tersebut akan dijadikan daerah Pariwisata dan seseorang akan dipilih

secara acak untuk mempromosikan ke Luar Negeri. Tentukanlah peluang yang terpilih
adalah laki – laki jika diketahui telah bekerja.

Penyelesaian.

Misalkan A : kejadian yang terpilih laki-laki
B : kejadian yang terpilih dalam status bekerja.

Dengan menggunakan ruang sampel B yang diperkecil diperoleh
P(A/B) = 460/600 = 23/30.

Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat maka

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 55

P(B) = n(B)  600  2
n(S) 900 3

P(AB) = n(A  B)  460  23 , sehingga
n(S) 900 45

P(AB) = P( A  B)  23 / 45 23 .
P(B) 2 / 3 30

Contoh 4.2

Diantara 10 orang laki-lakidan 10 orang wanita 2 orang laki-lakidan 3 wanita yang
buta warna. Jika dipilih secara acak seorang yang buta warna, tentukan peluang yang
terpilih adalah laki-laki.
Penyelesian..
Pertanyaan diatas dapat ditulis kembali dengan kalimat “tentukan peluang terpilih laki
– laki dengan syarat buta warna”.
Misalkan : A adalah kejadian terpilih laki-laki

B adalah kejadian terpilih wanita
C adalah kejadian terpilih buta warna
Maka P( A  C)  n( A  C)  2

n(S) 20
P(C)  n(C)  5 , sehingga

n(S) 20
P(AC) = P( A  C)  2 / 20  2

P(C) 5/ 20 5

Dari definisi peluang bersyarat P(BA) = P( A  B) maka didapat akibat berikut.
P( A)

Akibat 4.1
P(AB)=P(A) P(BA)

Untuk melukiskan penggunaan akibat 2.1 , misalkan kita mempunyai kotak berisi 20
sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi
satu secara acak (tanpa pengembalian) berapakah peluang kedua sekering itu cacat ?
Untuk menjawab pertanyaan ini misalkan A kejadian sekering pertama cacat dan B

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 56

kejadian yang kedua cacat, kemudian AB sebagai kejadian bahwa A terjadi
kemudian B terjadi bila A terjadi. Peluang mengeluarkan sekering yang cacat yang
pertama adalah ¼ dan kemudian mengeluarkan sekering kedua yang cacat dari sisa
yang tinggal sebanyak 4 adalah 4/19. Jadi P(AB) = ¼ .4/19 = 1/9.

Contoh 4. 3
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua
kali. Tentukan peluang pengambilan pertama As dan pengambilan kedua King.

Penyelesaian..

Misalkan A : kejadian pertama (terambil kartu As)
B : kejadian kedua (terambil kartu King)

Maka P(A) = 4/52 dan P(BA)=4/51 (karena satu kartu telah terambil).
Jadi P(AB)=P(A) P(BA) = 4/52. 4/51 = 4/663.

Contoh 4.4
Susunan murid di kelas I SD Margobiso adalah sebagai berikut.
5 anak adalah putra petani
6 anak adalah putra Guru
4 anak adalah putra TNI
7 anak adalah putra wiraswasta
Dipilih secara acak 3 murid di kelas tersebut. Berapa peluang bahwa ke 3 murid yang
terpilih semua putra Guru, jika dikehui paling sedikit 2 murid putra guru terpilih.

Penyelesaian.

Misalkan A : kejadian 3 murid yang terpilih putra guru.
B : kejadian paling sedikit 2 murid yang terpilih putra guru.

Karena AB maka AB=A sehingga P(AB) = P( A  B) = P( A) , dan
P(B) P(B)

P(A) = 6C3  1 , P(B) = 6C2.16 C1  6C3 6C01 = 3  6  9
22C3 77 22 C3 22C3 77 77 77

Sehingga P(AB)= 1/ 77  1
9 / 77 9

Akibat 4.1 dapat diperluas menjadi akibat 4.2.

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 57

Akibat 4.2

Bilasuatupercobaan, kejadian A1, A2, A3, ….dapat terjadi maka
P(A1 A2A3 …. ) = P(A1).P(A2|A1).P(A3| A1 A2)…

B. Aturan Bayes

Perhatikan diagram Venn berikut.

E E’
A Maka A = (EA)(E1A) dengan
(EA) dan (E1A) terpisah.
SehinggaP(A) = P[(EA)(E1A)]
= P(EA) +P (E1A)

dari P(BA) = P( A  B) dan P(A) = P(EA) +P (E1A), maka
P( A)

P(BA) = P(A  B) , dari P(AB) = P( A  B) maka

P(E  A)  P(E1  A) P(B)

P(AB)=P(B) P(AB) dan P(EA)=P(E) P(AE) serta P(E’A)=P(E’) P(AE’)

sehingga P(BA) = P(B)P(A B)

P(E)P(A E)  P(E')P(A E')

Bentuk terakhir ini yang disebut aturan Bayes yang secara umum dirumuskan dalam
teorema berikut.
Teorema (Aturan Bayes).

Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan

P(BI)  0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P(A)  0 berlaku

P(BiA) = P(Bi  A)  P(Bi ).P( A Bi )
k
k
 P(Bi  A)
P(Bi ).P( A Bi )

i 1 i 1

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 58

A. Contoh 4.5
Jurusan Matematika FMIPA UNNES ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan , yaitu

60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga

9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan 6% bus

Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berAC,

hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah.

Penyelesaian.

Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah

N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara

K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati

Maka P(JA) = P(J )P(A J )

P(J )P(A J )  P(N)P(A N)  P(K)P(A K)

60%.9%
=

60%.9%  30%.20%  10%.6%
= 0,45

Contoh 4.5

Tiga mata uang U1,U2,U3 dimasukkan dalam sebuah kotak. Diketahui jika uang
dilempar satu kali maka peluang mendapat gambar untuk mata uang U1 adalah 0,4
dan peluang mendapat gambar untuk uang U2 adalah 0,5
peluang mendapat gambar untuk uang U3 adalah 0,6
Dari kotak tersebut diambil sebuah mata uang secara acak, dan dilempar 2x. Jika
hasilnya adalah semua gambar, tentuka peluang yang terambil adalah mata uang yang
seimbang.

Penyelesian.
P(G) = 0,4 untuk mata uang U1
P(G) = 0,5 untuk mata uang U2
P(G) = 0,6 untuk mata uang U3
Misalkan A : kejadian mendapat G dalam 2 lemparan , maka
P(AU1) =0,4 . 0,4 (peluang mendapat GG dari uang U1)
P(AU2) =0,5 . 0,5 (peluang mendapat GG dari uang U2)
P(AU3) =0,6 . 0,6 (peluang mendapat GG dari uang U3)
Sehingga

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 59

P(U2A) = P(U 2).P(AU 2)

P(U1).P(AU1)  P(U 2).P(AU 2)  P(U 3).P(AU 3)

1 (0,5)(0,5)
3
= 1 (0,4)(0,4)  1 (0,5)(0,5)  1 (0,6)(0,6)

3 33

= 0,262.

LATIHAN SOAL
1. Dua dadu dilantunkan. Bila diketahui bahwa dadu pertama memunculkan 4

berapakah peluang bahwa
a. Yang kedua muncul 5 ?
b. Jumlah keduanya lebih besar dari 7 ?
c. Jumlah keduamya kurang dari 10 ?
2. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata
uang muncul angka , berapa peluang bahwa
a. Munculnya mata dadu prima ?
b. munculnya angka dan mata dadu 4 ?
3. Peluang seorang laki-laki yang telah kawin menonton suatu film seri di TV adalah 0,4
dan peluang seorang wanita yang telah kawin menonton film yang sama 0,5. Peluang
seorang laki - laki menonton film tersebut bila istrinya menonton adalah 0,7.
Hitunglah
a. peluang sepasang suami istri menonton film tersebut.
b. Peluang seorang istri menonton film tersebut bila suaminya menonton.
c. Peluang paling sedikit seorang dari pasangan suami istri menonton film tersebut.
4. Seorang kontraktor sedang menyelesaikan perbaikan jalan. Pekerjaaan itu dapat
tertunda jika ada pemogokan para pekerja. Peluang terjadi pemogokan 0,6, peluang
pekerjaan selesai tepat waktunya tanpa pemogokan 0,85 dan peluang pekerjaan selesai
tepat waktu jika tidak ada pemogolan 0,35. Tentukan peluang pekerjaan itu selesai
tepatpada waktunya.
5. Misalkan terdapat 2 kotak A dan B.
Kotak A berisi 9 kartu bernomor 1 sampai dengan 9 dan
Kotak B berisi 5 kartu bernomor 1 sampai dengan 5.
Sebuah kotak dipilih secara acak dan sebuah kartu diambil. Jika kartu yang terambil
bernomor genap, berapakah peluang bahwa kartu tersebut berasal dari kotak A?

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 60

6. Dalam sebuah keranjang ada 20 butir telor rebus, 12 butir diantaranya adalah telor

itik, sisanya telor ayam. Dari ke 20 telor itu 4 telor itik dan 3 telor aayam dibuat asin.

Sebutir telor diambil secara acak dari keranjang tersebut. Berapa peluang mendapat

telor ayam yang asin ?

7. Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3 ,

peluang Pak Bambang terpilih 0,5 , sedangkan peluang Pak Cecep terpilih 0,2. Jika

Pak Ali yang terpilih maka peluang kenaikkan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak

Bambang atau Pak Cecep yang terpilih maka peluang kenaikkan iuran masing-masing

adalah o,1 dam 0,4. Bila seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi

tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran

telah naik, berapakah peluang Pak Cecep terpilih jadi ketua ?

8. Seorang pegawai Bank mempunyai dua mobil, satu sedan dan satu kijang. Ntuk pergi

bekerja dia menggunakan sedan 75% dan kijang 25%. Bila dia menggunakan sedan

biasanya tiba kembali di rumah pukul 17.30 sebanyak 75%, sedangkan bila

menggunakan kijang dia tiba pukul 17.30 sebanyak 60%. Bila dia tiba dirumah pukul

17.30, berapakah peluangnya dia memakai sedan ?

9. Misalkan bola berwarna terbagi dalam tiga kotak yang sama sebagai berikut .

Kotak 1 kotak 2 kotak 3

Merah 2 4 3

Putih 3 1 4

Hitam 5 5 3

Satu kotak dipilih secara acak dan dari dalamnya diambil sebuah bola secara acak dan

ternyata berwarna merah. Berapakah peluang kotak 3 yang terambil ?

SOAL TAMBAHAN TAMBAHAN

1. Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika akan diambil sebuah
bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang
terambilnya keduanya bola merah!

Penyelesaian:

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 61

Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, sehingga
:

( ) 5
( ) = ( ) = 8

Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, sehingga:

( | ) = ( | ) = 4
7
( )

( ∩ ) = ( ) × ( | )

54 5
= 8 × 7 = 14

2. Sebuah dadu dilempar sekali. Jika mata dadu muncul 1 atau 6, sebuah bola diambil dari

kotak I, dan bola yang lain diambil dari kotak II. Kotak I berisi 3 bola merah, 2 bola

putih, dan 1 bola biru. Kotak II berisi 4 bola putih, 2 bola biru dan tidak ada bola merah.

Tentukan (i) ruang sampel dari kejadian yang mungkin dan (ii) cari peluang bola terambil

dari kotak I adalah bola putih!

Penyelesaian :

Misal : I = kejadian terambil bola dari kotak I dan II = kejadian terambil bola dari kotak 2

T = kejadian terambil bola putih

M = kejadian terambil bola merah

B = kejadian terambila bola biru

Diketahui :

2
( ) = 6

4
( ) = 6

i. Ruang sampel dari semua kejadian yang mungkin

( | ) = 1 , ( | ) = 1 , ( | ) = 1
2 3 6

21
( | ) = 0, ( | ) = 3 , ( | ) = 3

ii. ( | ) = ( ∩ )

( )

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 62

( ) = 2 . 1 + 4 . 2 = 5

63 63 9

11 1
( ∩ ) = ( ). ( | ) = 3 . 3 = 9

1 1
5
( | ) = 9 =
5

9

3. Jika ( ) = 1, ( ) = 3, dan ( ∪ ) = 11 =. Berapakah ( ∩ ) dan ( │ )?
34 12

Penyelesaian:

a. ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )

( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ∪ )

1 3 11
= 3 + 4 − 12

1
=6

( ∩ ) 1 2
( ) 9
b. ( | ) = = 6 =
3

4

4. Dua kejadian A dan B dengan ( ) = 1 , ( | ) = 1 , ( | ) = 21, tentukan ( │ )!
4 3

Penyelesaian:

( | ) = ( ∩ ) ( | ) = ( ∩ )
( ) ( )

1 ( ∩ ) 1 ( ∩ )
3 = ( ) 2 = ( )

( ∩ ) = 1 ( ) … (1) 1 ( ∩ )
3 2= 1

4
( ∩ ) = 1…(2)

8

Dari persamaan (1) dan (2), didapatkan
11
3 ( ) = 8
3
( ) = 8

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 63

( ) = 1 − ( )
35

=1−8=8

( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )

( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )

11 1
=4−8=8

( | ) = ( ∩ )
( )

1 1
5
= 8 =
5

8

5. Dalam suatu kejuaraan futsal angkatan 52 diambil 3 kelas sebagai data penelitian, kelas A

menghasilkan 9 gol, kelas B menghasilkan 6 gol, kelas C menghasilkan 11 gol. Jika

kemudian diketahui bahwa sebenarnya 4 % gol dari kelas A tidak sah, 2,5 % dari B, dan 6

% dari C. Kemudian jika sebuah gol yang diamati secara acak adalah tidak sah. Berapa

peluang gol yang diamati itu berasal dari 1A, 1B, dan 1C ??

Penyelesaian:

n(S) = 26

Pemilihan sebuah gol yang diamati untuk masing-masing kelas adalah
9 6 11

( ) = 26 , ( ) = 26 , ( ) = 26
Dari pemilihan sebuah gol yang diamati itu diketahui adalah tidak sah. Peluang

bersyaratnya adalah

Pemilihan sebuah gol yang diamati untuk masing-masing kelas adalah

( ) = 9 , ( ) = 6 , ( ) = 11
26 26 26

Dari pemilihan sebuah gol yang diamati itu diketahui adalah tidak sah. Peluang

bersyaratnya adalah

4 ( | ) = 6
( | ) = 100 100

( | ) = 2,5
100

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 64

Jadi,

( | ) = ( ). ( | ) + ( ). ( | ) + ( ). ( | )
( ). ( | )

= 9 4 9 . 4 11 6
26 100 . 26 100
. + 26 100 + .
6 2,5

26 100

4
= 13

( | ) = ( ). ( | ) + ( ). ( | ) + ( ). ( | )
( ). ( | )

= 9 4 6 . 2,5 11 6
26 100 . 26 100
. + 26 100 + .
6 2,5

26 100

5
= 39

( | ) = ( ). ( | ) + ( ). ( | ) + ( ). ( | )
( ). ( | )

= 9 4 11 . 6 11 6
26 100 . 26 100
. + 26 100 + .
6 2,5

26 100

22
= 39

6. Dalam sebuah keranjang ada 20 butir telur rebus, 12 butir diantaranya telur itik, sedang
sisanya adalah telur ayam. Dari ke-20 butir telur rebus itu, 4 butir telur itik dan 3 butir
telur ayam dibuat asin. Sebutir telur diambil secara acak dari keranjang tersebut. Berapa
probabilitas mendapatkan telur ayam yang tidak asin?

Pembahasan :

Misal

A = kejadian yang terambil telur ayam ; P(A) = 8

20

B = kejadian yang terambil telur itik ; P(B) = 12
20

S = kejadian yang terambil telur asin

T = kejadian yang terambil telur tidakasin

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 65

P(S│A) = 3 ; P(T│A) = 5

8 8

P(S│B) = 4 ; P(T│B) = 8

12 12

Jadi, P( ∩ ) = P(A) . P(T│A) = 8 . 5 = 5

20 8 20

7. Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3.
Peluang Pak Badu terpilih 0,5 , sedangkan peluang Pak Cecep terpilih 0,2. Kalau Pak Ali
terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cecep
yang terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah masing-masing 0,1 dan 0,4.
Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya
beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang
Pak Cecep terpilih jadi ketua?
Pembahasan :
Misal
I : orang yang terpilih menaikkan iuran
A : Pak Ali yang terpilih
B : Pak Badu yang terpilih
C : Pak Cecep yang terpilih

Berdasarkan aturan bayes dapat ditulis

P(C│I) = P( ∩ )

P( ∩ )+ P( ∩ )+ P( ∩ )

Sekarang

P( ∩ ) = P(A) . P(I│A) = (0,3)(0,8) = 0,24
P( ∩ ) = P(B) . P(I│B) = (0,5)(0,1) = 0,05
P( ∩ ) = P(C) .P(I│C) = (0,2)(0,4) = 0,08
Jadi,

P(C│I) = 0,08 = 8

0,24 + 0,05+ 0,08 37

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 66

8. Di sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0.4. Diketahui juga
bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0.3. Jikalau hari ini berawan,
berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan?

Penyelesaian:

Marilah kita lambangkan kejadian hari berawan dengan A dan kejadian hari hujan dengan
H.

( ) = 0.4

( ∩ ) = 0.3

Jadi,
( ∩ )

( | ) = ( )
0.3

= 0.4
= 0.75

9. Di sebuah kota, rasio (perbandingan) antara pria dan wanita adalah 6:4. Tiga puluh persen

dari pria adalah vegetarian (hanya makan sayur). Berapakah prosentase dari penduduk

kota itu yang merupakan pria vegetarian?

Penyelesaian:

Marilah kita lambangkan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih

adalah pria dengan L dan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih

adalah vegetarian dengan V.

( ) = 0.6

( | ) = 0.3

Jadi,

( | ) = ( ∩ )
( )

( ∩ )
0.3 = 0.6
( ∩ ) = 0.18

Jadi, 18 persen dari penduduk kota itu adalah pria vegetarian.

10. Suatu mata kuliah teori probabilitas diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke 2, 15 mahasiswa
tahuun ke 3 dan 10 mahasiswa tahun ke 4. Diketauhi mahasiswa yang mendapatkan nilai

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 67

A adalah 10 orang dari mahsiswa tahun ke 2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 3 dan 5

orang mahasiswa tahun ke 4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak ,berapakah

peluang dia:

a. Mendapatkan nilai A

b. Mahasiswa tahun ke 2 bila diketauhi dia mendapatkan A

Penyelesaian:

a. ( ) = ∑4 =2 ( ). ( | )
= ( 2). ( | 2) + ( 3). ( | 3) + ( 4). ( | 4)
50 10 15 8 10 5
= 75 . 50 + 75 . 15 + 75 . 10
10 8 5
= 75 + 75 + 75
23
= 75

b. P(M2|A) = P(M2).P(A|M2)

P(A)

= 5750.1500 = 10
23
23

75

11. Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit
langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit
itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama,
9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari
negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia
benar-benar menderita penyakit langka itu?

Penyelesaian:

P (A) = 2%
P (Ā) = 98%
P (B | A) = 97%
P (B | Ā) = 9%
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194
P (B ∩ Ā) = P ( Ā) × P (B | Ā) = 98% × 9% = 0,0882
P (Ƀ ∩ A) = P (A) × P (Ƀ | A) = 2% × 3% = 0,0006

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 68

P(Ƀ ∩Ā ) = P (Ā) × P (Ƀ | Ā) = 98% × 91% = 0,8918

P(A | B) = P(B ∩ A) / P(B) = P(B | A) × P(A) / P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
= 97% × 2% / (97% × 2%) + (9% × 98%)
= 0.0194 / 0.0194 + 0.0882
= 0.0194 / 0.1076

P(A | B) = 0.1803

12. Ada 2 buah kotak, misal kotak A dan kotak B.

Kotak A berisi 9 kartu yang bernomor 1 sampai 9, dan kotak B berisi 5 kartu yang

bernomor 1 sampai 5. Sebuah kotak dipilih secara random dan sebuah kartu diambil.

Jika kartu yang terambil bernomor genap, berapakah probabilitasnya bahwa kartu

tersebut berasal dari kotak A ?

Penyelesaian :

Misalkan E adalah kejadian terambilnya 1 nomor genap (berarti dari kotak A dan B)

Maka

1 4 12
( ) = 2 . 9 + 2 . 5

19
= 45

Misalkan A adalah kejadian bahwa terpilih kotak A. Maka ( ) = 1
2
Probabilitas terambil nomor genap dari kotak A = ( ∩ ) = 1 . 4 = 2
29 9

13. Dari 100 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik, 20 orang diantaranya
mendapat nilai A, 30 orang mendapt nilai B, 30 orang mendapat nilai C, 20 orang
mendapat nilai D. Tetapi ternyata tidak semua mahasiswa tersebut tercatat secara
resmi dalam daftar pengikut mata kuliah tersebut. Perbandingan jumlah mahasiswa
yang terdaftar dan tidak terdaftar dapat dilihat pada tabel berikut :

Pertanyaan : Berapakah
kemungkinan seorang
mahasiswa yang terdaftar
mendapatkan nilai B ?

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 69

Jawaban :

( | ) = ( ∩ )
( )

15

= 100
65

100

3
= 13

14. Di sebuah sekolah terdapat 60% pelajar laki-laki dan 40% pelajar perempuan. Pelajar

perempuan mengenakan pantalon atau rok dalam angka yang sama sedangkan pelajar

laki-laki semuanya mengenakan pantalon. Seorang pengamat melihat seorang pelajar

secara acak dari jauh, mereka semua dapat melihat bahwa pelajar ini mengenakan

pantalon.

Pertanyaan : Berapa peluang bahwa pelajar ini adalah seorang anak perempuan ?

Jawaban :

Pelajar Perempuan Pelajar Laki-Laki Jumlah

Pantalon 20 60 80

Rok 20 0 20

Jumlah 40 60 100

( | ) = ( ) ( | )
( )

( ) ( | )
= ( ) ( | ) + ( ′) ( ′| ′)

(0,5)(0,4)
= (0,5)(0,4) + (1)(0,6)

= (0,2)

(0,2)+(0,6)

15. Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk
membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dan daerah
tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2,0.3 dan 0.5. Bila
pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.05. Bila

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 70

pemancar dibangun dikaki bukit, peluang terjadinya gangguan sinyal adalah 0.06.
Bila pemancar dibangun ditepi pantai, peluang gangguan sinyal adalah 0.08.
Berapakah peluang terjadinya gangguan sinyal ?
Misal :
A = Terjadi ganguan sinyal
B1 = Pemancar dibangun di tengah kota
B2 = ----------------------------di kaki bukit
B3 = ----------------------------di tepi pantai
Maka :
Peluang terjadinya ganguan sinyal
P(A) =P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)

= (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.068

16. Dalam supermarket terdapat 1212 ibu-ibu dan 44 orang remaja yang sedang
berbelanja.Kemudian dari mereka dipilih secara acak 33 orang untuk
mendapatkan 33 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak
memperoleh 11 hadiah. Peluang dari kejadian jika ketiga undian dimenangkan oleh
ibu-ibu adalah ?

n(S) = total pengunjung yang berbelanja = 16

Peluang ibu ibu memenangkan undian pertama adalah ( 1) = 12 = 3
4
16

Peluang ibu ibu memenangkan undian kedua adalah ( 2) = 11
15
1

Peluang ibu ibu memenangkan undian ketiga adalah ( 3 , 1) = 10
14
2

( 1 ∩ 2 ∩ 3) = ( 1) × ( 12) × ( 32 , 1)
3 11 10 11

= 4 × 15 × 14 = 28

17. Tiga anggota dari sebuah organisasi dicalonkan sebagai ketua, telah diketahui
peluang bapak Andi (A) terpilih 0,3, peluang Bapak Bani (B) terpilih 0,5 dan peluang
bapak Cile (C) terpilih 0,2. Juga diketahui iuran kenaikan masing anggota, jika A
terpilih 0,8 Jika B terpilih 0,1 Jika C terpilih 0,4. Berapa peluang iuran anggota akan
naik ?

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 71

Jawab. misal
I = Iuran anggota dinaikan
A = Pak Andi, jika naik P(A) = 0,3
B= Pak Bani, jika naik P(B) = 0,5
C = Pak Cile, jika naik P(C) = 0,2
Diketahui bahwa P(I|A) = 0,8

P(I|B) = 0,1
P(I|C) = 0,4
Maka P(I) = P(A) . P(I|A) + P(B) . P(I|B) + P(C) . P(I|C)
= (0,3).(0,8) + (0,5).(0,1) + (0,2).(0,4)
= 0,24 + 0,005 + 0,08
= 0,37
18. Pengacakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka
dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Bekerja Tak Bekerja

Lelaki 460 140

Wanita 40 260

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara

acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri.

Jawab

Misalkan

A = lelaki yang terpilih sedangkan

B = orang yang terpilih dalam status bekerja.
P(A | B) = P(A ∩ B )/ P(B)

= (460/900) / (600/900)

= (23/45) / (2/3) = 23/30

19. Suatu perusahaan besar menggunakan 3 hotel sebagai tempat menginap para

langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya

ditempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% kamar mandi di

Hotel I tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa

peluang bahwa,

a. seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik?

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 72

b. seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S?

Solusi

Misalkan,

A : seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik

B1 : penempatan di Hotel I

B2 : penempatan di Hotel B

B3 : penempatan di Hotel S

P (B1) = 0.2, P (B2) = 0.5, dan P (B3) = 0.3.

P (A|B1) = 0.05, P (A|B2) = 0.04, dan P (A|B3) = 0.08.

Jadi,

a P (A) = Pn i=1 P (A ∩ Bi) = (0.05)(0.2) + (0.04)(0.5) + (0.08)(0.3) = 0.054

b . ( 3| ) = ( | 3) ( 3) = (0.08)(0.3) = 4
0.054 9
∑ =1 ( | )

20. Sebuah Warnet biasanya membutuhkan koneksi internet yang cukup agar semua

aktivitas pelanggannya terjamin dari adanya pemutusan aliran paket data internet.

Terdapat dua sumber layanan data internet (ISP) yang digunakan, yaitu ISP A dan ISP

B (untuk backup). Bila koneksi internet ISP A padam maka secara otomatis ISP B

akan aktif dan memberikan aliran data untuk seluruh PC Client . Masalah yang selama

ini menganggu adalah ketidakstabilan koneksi internet, baik dari ISP A maupun ISP

B, yang akan mengganggu kenyamanan pelanggan. Selama beberapa tahun terakhir,

diketahui bahwa probabilitas terjadinya koneksi internet mati adalah 0.1, dengan kata

lain peluang bahwa warnet itu menggunakan ISP A adalah 0.9 dan peluang

menggunakan ISP B adalah 0.1.Peluang terjadi ketidakstabilan pada koneksi ISP A

maupun ISP B masing-masing 0.2 dan 0.3. Berapa peluang terjadi ketidakstabilan

koneksi internet (secara keseluruhan, baik dengan ISP A maupun ISP B) ?

Peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet

Diketahui : P(B1) = 0.9 P(A|B1) = 0.2

P(B2) = 0.1 P(A|B2) = 0,3

B1 : Peristiwa ISP A digunakan

B2 : Peristiwa ISP B digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidakstabilan Koneksi Internet

Maka : P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2)

= (0.9).(0.2)+(0.2).(0.3) = 0.21

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 73

LATIHAN SOAL

1. Sebuah kartu diambil secara acak dari 1 pak kartu bridge (yang berisi 52 kartu).
Berapa probabilitas kartu itu adalah King (K) jika diketahui bahwa kartu yang
terambil itu adalah kartu yang bergambar orang?

2. Sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali dan dilihat jumlah mata yang
muncul. Berapa probabilitas bahwa jumlah mata kedua dadu lebih dari atau sama
dengan 10 jika muncul mata 5 pada paling sedikit satu dadu?

3. Diketahui peserta mata kuliah Probabilitas terdiri dari 60 mahasiswa semester I, 30
mahasiswa semester III, dan 15 mahasiswa semester V. Hasil ujian menunjukkan
bahwa 10 mahasiswa semester I, 7 mahasiswa semester III, dan 5 mahasiswa semester
V mendapat nilai A. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak dan diketahui
mendapat nilai , berapa peluang ia berasal dari semester III?

4. Misalkan bola lampu seperti pada contoh diatas terdapat dalam 3 buah kotak terpisah.
Kotak 1 memuat 25 bola dari shift pertama, kotak 2 memuat 35 bola lampu dari shift
kedua dan kotak 3 memuat sisanya yaitu 40 bola dari pabrik II. Kotak 1, 2 dan 3
masing-masing memuat 5, 10 dan 5 bola lampu yang rusak. Eksperimennya adalah
memilih kotak secara random, kemudian mengambil 1 bola lampu. Hitunglah
probabilitas bahwa lampu yang terambil rusak. Bila bola yang terambil ternyata rusak,
berapa probabilitasnya bahwa ia berasal dari kotak 1?

5. Dua angka berbeda yang dipilih secara acak dari angka 1 sampai 9.
(i) Jika jumlah tersebut adalah ganjil, berapa probabilitas bahwa 2 adalah salah satu
nomor yang dipilih?
(ii) Jika 2 adalah salah satu digit yang dipilih, berapa probabilitas bahwa jumlahnya
adalah ganjil?

6. Kelas A memiliki 10 anak laki-laki dan 5 perempuan. Tiga siswa dipilih dari kelas
secara acak, satu demi satu. Carilah probabilitas bahwa (i) dua yang pertama adalah
anak laki-laki dan yang ketiga adalah seorang perempuan, (ii) pertama dan ketiga
anak laki-laki dan yang kedua adalah seorang perempuan, (iii) pertama dan ketiga
adalah dari jenis kelamin yang sama, dan kedua adalah dari lawan jenis.

Pengantar Probabilitas

Peluang Bersyarat & Aturan Bayes 74

7. Kita diberi dua guci sebagai berikut:
Guci A berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng putih dan 8 kelereng biru.
Guci B berisi 3 kelereng merah dan 5 kelereng putih.
Sebuah dadu dilempar; jika 3 atau 6 muncul, sebuah kelereng dipilih dari B, jika
kelereng dipilih dari A. Carilah probabilitas bahwa (i) kelereng merah yang dipilih,
(ii) kelereng putih yang dipilih, (iii) kelereng biru dipilih.

8. Sebuah kotak berisi sembilan kartu bernomor 1 sampai 9, dan kotak B berisi lima
kartu bernomor 1 melalui 5. Sebuah kotak dipilih secara acak dan kartu ditarik; jika
kartu tersebut ditampilkan bilangan genap, kartu lain diambil dari kotak yang sama;
jika kartu tersebut menunjukkan nomor lama, kartu diambil dari kotak yang lain.
(i) Berapa probabilitas bahwa kedua kartu menunjukkan angka genap?
(ii) Jika kedua kartu menunjukkan angka genap, berapa probabilitas bahwa mereka
berasal dari kotak A?
(iii) Berapa probabilitas bahwa kedua kartu menunjukkan angka ganjil?

9. Sebuah kotak berisi 5 tabung radio yang 2 cacat. Tabung diuji satu demi satu sampai 2
tabung yang rusak ditemukan. Berapa probabilitas bahwa proses berhenti pada (i) tes
kedua, (ii) tes ketiga?

10. Sebuah kotak terdiri dari tiga koin, dua dari mereka yang adil dan satu berkepala dua.
Sebuah koin yang dipilih secara acak dan melemparkan dua kali. Jika kepala muncul
kedua kali, berapakah probabilitas bahwa koin tersebut berkepala dua?

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 75

BAB VI
KEGIATAN BELAJAR 5
A. Kompetensi dan Indikator

1. Standar Kompetensi
Memahami dasar-dasar peluang dan sifat-sifatnya serta mampu menggunakan dalam
persoalan terkait.
2. Kompetensi Dasar
Menentukan distribusi peluang dalam suatu permasalahan.
3. Indikator

a. Mendefinisikan peubah acak
b. Menentukan peubah acak pada persoalan terkait
c. Membedakan peubah acak diskret dan kontinu
d. Mendefinisikan fungsi distribusi peluang (fdp)
e. Mencari distribusi peluang suatu peubah acak
f. Mencari ekspektasi matematika peubah acak
g. Menentukan sifat-sifat ekspektasi
h. Mencari variansi suatu peubah acak
i. Menentukan sifat-sifat variansi
j. Mendefinisikan fungsi distribusi peluang bersama peubah acak
k. Menentukan fungsi distribusi peluang bersama peubah acak
l. Menentukan fungsi distribusi marginal
m. Menentukan fungsi distrubusi peluang marginal
n. Menentukan distribusi bersyarat peubah acak
o. Mendefinisikan kebebasan dua peubah acak
p. Menentukan kebebasan dua peubah acak

B. Uraian Materi

VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG

A. VARIABEL RANDOM (PEUBAH ACAK)

Definisi 5.1

Variabel random adalah fungsi bernilai real yang domainnya adalah ruang sample S.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 76

Definisi diatas juga dapat ditulis :

Misalkan S ruang sampel dari percobaan acak

Fungsi X : S R

e X(e) = x

disebut variabel random.

A= { x│x=X(e), e S } disebut ruang dari X.

Contoh 5.1

Sebuah uang logam seimbang dilempar 3X. Maka ruang sampel

S = {S1 ,S2 ,S3,S4,S5,S6,S7,S8}, dengan

S1=AAA S2=AAG S3=AGA S4=AGG

S5=GAA S6=GAG S7=GGA S8=GGG

Misalkan X : S R diberikan oleh X(Si) = banyaknya angka pada Si.

Maka X(S1) = 3 X(S2) = 2 X(S3) = 2 X(S4) = 1

X(S5) = 2 X(S6) = 1 X(S7) = 1 X(S8) = 0

Sehingga X merupakan variabel random, dengan ruang X adalah A={0,1,2,3}.

Keadaaan diatas diilustrasikan pada gambar berikut.

SR

1
2 0
3
4 1
5
6 2
7
8 3

Contoh 5.2

Suatu percobaan melempar sebuah dadu 2X. Jika X: S R dengan definisi
X(s) = jumlah mata dadu yang muncul pada lemparan pertama dan kedua, s  S
Maka : X{(1,1)}=2 X{(1,2)}=3 .... X{(1,6)}=7

X{(2,1)}=3 X{(2,2)}=4 .... X{(2,6)}=6

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 77

X{(6,1)}=7 X{(6,2)}=8 ... X{(6,6)}=12
Sehinggga X variabel random dengan ruang X adalah A={2,3,4,...,12}.

Definisi 5.2

Jika ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau deretan yang banyaknya
sama dengan banyaknya bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret,
dan varibabel random yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel random
diskret.
Contoh 1, 2 diatas X adalah variabel random diskret.

Definisi 5.3

Jika ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya atau sama banyaknya
sama dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang
sampel kontinu, dan varibabel random yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah
variabel random kontinu.

Dalam kebanyakan persoalan praktis, variabel random kontinu menyatakan data yang
diukur, seperti semua tinggi, berat, temperatur, jarak, jangka hidup, sedangkan variabel
diskret menggambarkan data cacah, seperti banyak barang yang rusak, banyaknya karyawan
yang bolos, dsb.

Kembali pada definisi 5.1 . Dari definisi variabel random ini jelaslah bahwa harga-
harga variabel random atau himpuanan harga-harga variabel random sebenarnya adalah suatu
kejadian yang ditentukan oleh suatu hasil atau beberapa hasil yang mungkin dari suatu
percobaan.
Misalnya pada contoh 5.1
X(S1) = 3 adalah suatu kejadian munculnya 3 angka
X(S8) = 0 adalah suatu kejadian tidak munculnya angka.
Artinya kita dapat menghitung peluang nilai suatu variabel randon dengan
menghubungkannya dengan peluang kejadian yang berpadanan dengan nilai variabel random

1
tersebut. Misalnya P( X(S1) = 3 ) = P({AAA}) = .

8
1

Selanjutnya penulisan X(S1) = 3 ditulis X=3, sehinggga P(X=3) = .
8

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 78

Dengan demikian untuk menghitung peluang terjadinya X atau beberapa X dapat dicari

dengan cara P( X=x ) = P( e  S X (e)  x)
atau P(a ≤ X ≤ b)= P( e  S a  X (e)  b).

Contoh 5.3

Pada contoh 1.
P(X=0) = P({GGG}) = 1

8
P(X=1) = P({AGG,GAG,GGA}) = 3

8
P(X=2) = P({AAG,AGA,GAA}) = 3

8
P(X=3) = P({AAA}) = 1

8
Pada contoh 2.
P(X=1) = P({ }) = 0
P(X=2) = P({(1,1)}) = 1

36
P(X=3) = P({(1,2),(2,1)}) = 2

36
P(X=4) = P({(1,3),(2,2),(3,1)}) = 3

36
P(X=5) = P({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}) = 4

36

1
P(X=12) = P({(6,6)}) = .

36
Dapat disajkan dalam tabel

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
123456543 21

P(X=x)
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 79
LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Sebuah dadu dilempar sekali. X variable acak yang menyatakan banyaknya mata dadu
genap yang muncul. Tentukan Rx!

Penyelesaian:

S Rx
1
21
3
4
50
6
2. Sebuah dadu dilambungkan 2 kali. Y variable acak yang menyatakan jumlah mata
dadu yang muncul pada lemparan pertama dan kedua, maka tentukan Ry!

Penyelesaian:

Y(s) = jumlah mata dadu yang muncul pada lemparan pertama dan kedua.
Y{(1,1)}=2 Y{(1,2)}=3 … Y{(1,6)}=7
Y{(2,1)}=3 Y{(2,2)}=4 … Y{(2,6)}=8

Y{(6,1)}=7 Y{(6,2)}=8 … Y{(6,6)}=12
Sehingga Y variable random dengan Rx = {2,3,4,…,12}

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 80

3. Dua kelereng diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi
empat kelereng biru dan kelereng hijau. X variable acak yang menyatakan jumlah
kelereng hijau yang diambil. Tentukan Rx!

Penyelesaian:

S Rx

(B,B) 2
(B,H) 1
(H,B) 0
(H,H)

4. Sebuah mata uang logam dilambungkan 2 kali. Tentukan nilai dari variable random

yang menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dikurangi banyaknya sisi

belakang yang muncul.

Penyelesaian:

Sebuah mata uang dilambungkan 2 kali diperoleh 4 titik sampel. Jika X menyatakan

banyaknya sisi muka (M) yang muncul dikurangi banyaknya sisi belakang (B) yang

muncul, maka:

X(M,M,) = 2 X(B,M) = 0

X(M,B) = 0 X(B,B) = -2

Jadi daerah hasil dari variable random X adalah: Rx = {2, 0, -2}

5. Dua buah kotak masing-masing berisi 3 kartu bertuliskan angka 1, 2, 3. Dari kotak I

dan II masing-masing diambil sebuah kartu secara random. Tentukan nilai dari

variable random yang menyatakan perkalian dari kedua angka pada kartu yang

terambil.

Penyelesaian:

Dari pengambilan sebuah kartu dari kotak I dan II diperoleh 9 titik sampel. Jika X

menyatakan perkalian kedua angka pada kartu yang terambil, maka:

X((1,1)) = 1 X((2,1)) = 2 X((3,1)) = 3

X((1,2)) = 2 X((2,2)) = 4 X((3,2)) = 6

X((1,3)) = 3 X((2,3)) = 6 X((3,3)) = 9

Sehingga daerah hasil dari variable random X adalah: Rx = {1, 2, 3, 4, 6, 9}

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 81

6. Dua buah dadu dilempar satu kali. Tentukan nilai dari variabel random X yang
menyatakan penjumlahan bilangan prima yang muncul pada dadu 1 dan 2.

Penyelesaian :

Dari pelemparan 2 dadu diperoleh ruang sampel sebagai berikut

123456
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,1) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,1) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,1) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,1) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,1) (4,6) (5,6) (6,6)

X = penjumlahan bilangan prima

X((2,2)) = 4 X((3,2)) = 5 X((5,2)) = 7

X((2,3)) = 5 X((3,3)) = 6 X((5,3)) = 8

X((2,5)) = 7 X((3,5)) = 8 X((5,5)) = 10

Sehingga daerah hasil dari variable random X adalah: Rx = {4,5,6,7,8,10}

7. Sebuah kotak berisi empat kartu yang berwarna kuning dan empat kartu berwarna

merah . Diambil 2 kartu secara acak satu persatu tanpa pengembalian. X menyatakan

terambilnya jumlah kartu merah pada kotak tersebut. Tentukan Rx !

Penyelesaian :

S Rx
(M,M) 0
(M,K) 1
(K,M) 2
(K,K)

8. Dua buah dadu dilempar satu kali. Tentukan nilai dari variabel random X yang
menyatakan penjumlahan jumlah mata dadu apabila dadu pertama muncul 1.

Penyelesaian :

123456
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,1) (4,2) (5,2) (6,2)

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 82

3 (1,3) (2,3) (3,1) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,1) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,1) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,1) (4,6) (5,6) (6,6)

X((1,1)) = 2
X((1,2)) = 3
X((1,3)) = 4
X((1,4)) = 5
X((1,5)) = 6
X((1,6)) = 7
Rx = { 2, 3, 4, 5, 6, 7}
9. Dua logam dilambungkan satu kali. X menyatakan selisih munculnya sisi B
(belakang) dikurangi M (muka). Tentukan Rx !

S Rx

(M,M) -2
(M,B) 0
(B,M) 2
(B,B)

Rx = { -2,0,2}

10. Sebuah mata uang logam dilambungkan 3 kali. Tentukan nilai dari variabel random

yang menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dikurangi banyaknya sisi

belakang yang muncul !

Pembahasan :

Sebuah mata uang dilambungkan 3 kali diperoleh 8 titik sampel. Jika X menyatakan

banyaknya sisi muka (M) yang muncul dikurangi banyaknya sisi belakang (B) yang

muncul, maka :

X(M,M,M) = 3 X(M,B,B) = -1

X(M,M,B) = 1 X(B,M,B) = -1

X(M,B,M) = 1 X(B,B,M) = -1

X(B,M,M) = 1 X(B,B,B) = -3

Jadi daerah hasil dari variabel random X adalah : Rx = {3,1, −1, −3}

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 83

LATIHAN SOAL
1. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentuka nilai dari variable random yang

menyatakan jumlah mata dadu genap yang muncul !
2. Dua buah kotak masing-masing berisi 4 kartu bertuliskan angka 1,2,3,4. Dari kotak I

dan II masing-masing diambil sebuah kartu secara random. Tentukan nilai dari
variabel random yang menyatakan jumlah kedua angka pada kartu yang terambil !
3. Pada label kawat baja tertulis :
Diameter (3±0,0025) mm. Tentukan nilai dari variabel ramdom yang menunjukkan
diameter kawat baja yang di produksi pabrik tersebut!.
4. Dari dalam sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 3 bola hijau diambil secara berturut-
turut 3 buah bola. Setiap bola yang diambil dikembalikan dahulu ke kotak sebelum
mengambil bola berikutnya. Jika X adalah peristiwa bola putih yang terambil.
Tentukan daerah hasil dari variabel random X!.
5. Sebuah logam dilempar empat kali. X merupakan variabel acak yang menyatakan
munculnya M dibagi B. Tentukan Rx !
6. Sebuah logam dilempar tiga kali. Y merupakan variabel acak yang menyatakan
munculnya sisi M dikali munculnya jumlah sisi B. Tentukan Ry !
7. Dua buah dadu dilempar satu kali. Z merupakan variabel acak yang menyatakan
jumlah mata dadu yang lebih dari 5. Tentukan Rz !
8. Dua kelereng diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi
delapan kelereng kuning dan kelereng merah. X variable acak yang menyatakan
jumlah kelereng hijau yang diambil. Tentukan Rx!
9. Dua buah dadu dilempar satu kali. P merupakan variabel acak yang menyatakan
selisih kedua mata dadu yang muncul. Tentukan Rp !
10. Tiga buah logam dilepar bersama satu kali. X merupakan variabel acak yang
menyatakan pembagian sisi muka M dengan munculnya sisi B ditambah 2. Tentukan
Rx!

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 84

B. DISTRIBUSI PELUANG

Definisi 5.4.

Misalkan X variabel random diskret, suatu fungsi f disebut fungsi peluang atau distribusi

peluang X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi,
1. f(x) ≥0
2. ∑f(x) =1

3. P(X=x) =f(x).

Karena X variabel random diskret, maka distribusi peluangnya disebut distribusi peluang

diskret.

Contoh 5.4

Pada percobaan pelemparan mata uang 3X, misalkan X adalah variabel random yang

menyatakan banyaknya angka pada setiap hasil yang mungkin maka distribusi peluang X

dapat ditulis dalam tabel berikut.

X0 1 2 3

1331
f(x)

8888

Diperiksa
1. f(x) ≥0, dipenuhi

1. ∑f(x) =1, dipenuhi (buktikan)

2. P(X=0) =f(0) P(X=1) =f(1) P(X=2) =f(2) P(X=3) =f(3)

Maka f fungsi distribusi peluang.

Tabel diatas dapat ditulis dengan rumus f (x)   3  , x=0,1,2,3.
x

8

Contoh 5.5

Pada percobaan melempar sebuah dadu 2X. Misalkan X menyatakan jumlah mata dadu pada
lemparan 1 dan ke 2, maka distribusi peluang X dapat disajikan dalam tabel berikut.

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
123456543 21

P(X=x)
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

Coba periksa apakah memenuhi sebagai fungsi peluang.

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 85

Contoh 5.6

Dalam sebuah kotak tersedia 8 bola lampu, 3 diantaranya rusak. Secara acak diambil 3
bolam. Jika X menyatakan banyaknya bolam rusak yang terambil, tentukan distribusi peluang
X.

Penyelesaian.

n(S) = 8C3 = 8! =56
3!5!

X=0, artinya tidak ada bolam rusak yang terambil, maka f(0) = 3C0.5C3  10
56 56

X=1, artinya 1 bolam rusak yang terambil, maka f(1) = 3C1.5C2  30
56 56

X=2, artinya 2 bolam rusak yang terambil, maka f(2) = 3C2.5C1  15
56 56

X=3, artinya 3 bolam rusak yang terambil, maka f(3) = 3C3.5C0  1
56 56

Sehinggga distribusi peluang X :
X0 1 2 3
10 30 15 1
f(x)
56 56 56 56

Sedangkan fungsi distribusi peluang X dapat disajikan dalam rumus
f(x) = 3Cx .5C3x , x=0,1,2,3.

8C3
Suatu variabel random kontinu mempunyai peluang pada setiap titik X. Oleh karena itu
distribusi peluangnya tidak mungkin disajikan dalam bentuk tabel. Tetapi hanya berupa
rumusnya secara urut. Fungsi distribusi peluang variabel random kontinu biasa disebut fungsi
padat/fungsi densitas peluang.

Definisi 5.5

Misalkan X variabel random kontinu, suatu fungsi f disebut fungsi peluang atau distribusi
peluang X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi,

1. f(x) ≥0



2.  f (x)dx  1


Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 86

b

3. P(a<X<b) =  f (x)dx

a

Karena X variabel random kontinu, maka distribusi peluangnya disebut distribusi peluang
kontinu.

Contoh 5.7

Misalkan variabel random X mempunyai fdp (fungsi densitas peluang) sebagai berikut.

f (x)   x2 , jika 1  x  2
 3 jika yang lain

0 ,

a. Tunjukkan f adalah fungsi peluang.
b. Hitung P(0<X≤1).

Penyelesaian.

a. (i) f(x) ≥0, jelas (karena x2≥0, 3>0 sehingga x2  0 )
3

 1 2 x2   x3  2 8 1
9 1 9 9
f 0dx  0dx
   (ii)  dx    1
 (x)dx 3 1 2

P(0<X≤1) = 1 x2  x3 1 1.
b. 0 3 dx   9   9
 0

Contoh 5.8

kx 2 , 1 x  2
 , x yang lain
Diketahui suatu fungsi f(x) =  6

0

a. Tentukan k agar f merupakan fungsi peluang.

b. Tentukan P(X<1).

Penyelesaian.

 1 2 kx 2 

f (x)dx  1  0 dx  dx 0dx
a.    6 1

 1 2

 2 kx 2 dx  1   kx 3  2  8k  k  1 9k 1
1 6  18  1 18 18 18
 

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 87

 k=2.

b . P(x<1) = P(-1<X<1)= 1 2x2 dx  1 x3 1  1  1  2
1 6  9  1 9 9 9

LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Dalam suatu keranjang terdapat 4 buah jambu dan 3 buah jeruk. Jika diambil secara
acak 2 buah dan X menyatakan banyaknya buah jeruk yang terambil. Tentukan
distribusi peluangnya !

Penyelesaiaan :

f(0) = 03 27 24 = 1 ∙6 = 6
21 21

f(1) = 13 27 14 = 3 ∙4 = 12
21 21

f(2) = 23 27 04 = 3 ∙1 = 3
21 21

x0 1 2
f(x) 6 12 3

21 21 21

2. Jika 20% dari baut-baut yang diproduksi oleh suatu mesin rusak, tentukan peluang
bahwa dari 4 baut yang dipilih secara acak terdapat :
(a) 1
(b) 0
(c) kurang dari 2 yang rusak

Penyelesaiann :

(a) P(X = 1) = b(1; 4, 0.2) = (41)(0,2)1(0,8)3 = 0.4096
(b) P(X = 0) = b(0; 4, 0.2) =(40)(0,2)1(0,8)3 = 0,4096

(c) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192

3. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature disebuah percobaan adalah sebuah

variable random X yang memiliki fungsi rapat probabilitas sbb:

f ( x)   x2 1 x  2
 3
 0 lainnya

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 88

Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1?

Penyelesaian  f (x)dx  2 x2 dx  x3 2  1
  3 9 1 1
1 1 f (x)dx  x2 x3 1
P(0 
 4. X  1)  dx   1

Andaikan peubah acak x0 memenuhi0 3 99
fungsi pelua0 ng

f(x) = f (x)   3x 2 0 x2
 16
 0 lainnya

tentukan probabilitas peluang antara 0 sampai 2 !

Penyelesaian :

∫−∞∞ ( ) = 3 2
16
∫−+∞∞ f(x) = ∫−0∞ 0 + ∫0 + ∫ + ∞ 0

= [1

3]
16
=[8] -0
16
=1
2

5. Dua buah kardus masing-masing berisi 5 kotak yang bertuliskan angka 1, 2, 3, 4, 5.
Dari kardus I dan II masing-masing diambil sebuah kotak secara acak. Tentukan nilai
dari variabel acak yang menyatakan jumlah kedua angka pada kotak yang terambil.

Penyelesaian :

Dari pengambilan sebuah kotak dari kardus I dan II diperoleh 25 titik sampel. Jika Z
menyatakan jumlah kedua angka pada kotak yang terambil maka

Z((1,1)) = 2
Z((1,2)) = 3
Z((1,3)) = 4
dan seterusnya
Sehingga daerah hasil dari variabel acak Z adalah : Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

6. Dari dalam sebuah keranjang yang berisi 4 apel merah dan 5 apel hijau diambil secara
berturut-turut 3 buah apel. Setiap apel yang diambil dikembalikan dahulu ke
keranjang sebelum mengambil buah apel berikutnya. Jika Y adalah peristiwa apel
hijau yang terambil maka daerah hasil dari variabel acak X adalah

Penyelesaian :

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 89

Misal : H kejadian terambil apel hijau
M kejadian terambil apel merah

Ada 8 titik sampel : HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM. Misal
X = banyaknya apel hijau yang terambil. Dengan diagram panah diperoleh

HHH 3
HHM 2
HMH 1
MHH 0
HMM
MHM
MMH
MMM

Jadi : Rx = {0, 1, 2, 3}

0, < 1

1 , 1 ≤ < 3

4

7. Diketahui suatu fungsi ( ) = 1 , 3 ≤ < 5

2

3 , 5 ≤ < 7

4

{ 1, ≥ 7

a) Buatlah Tabel Distribusi Peluang

b) Tentukan P (T = 5)

c) Tentukan P (T >3)

d) Tentukan P (1,4< <6)

Penyelesaian :

a) Tabel Distribusi

X1 3 5 7 lainnya

f(x) 1 1 1 1 0

444 4

b) P (T = 5) = f (5) =41
c) P(T >3) = f (5)+f (7) = 1 + 1 = 1
44 2
1 1 1
d) P(1,4< <6) = f (3) + f (5) = 4 + 4 = 2

8. Diketahui suatu fungsi ( ) = { 1 , 1 < < 3

2

0,

a) Buktikan F(X) = 1
b) Tentukan P (2< < 2,5)
c) Tentukan P ( ≤ 1,6)

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 90

d) Carilah F(X) dan gunakan untuk menghitung P (2< < 2,5)

Penyelesaian :

a) F(X) = 1

=∫13 1 = 1 ] 3
2 2 1

= 1 (3 - 1)
2

=1

b) P (2< < 2.5) = ∫22.5 1 = 1 ] 2,5
2 2 2

= 1 (2,5 - 2)
2
1
= 4

c) P ( ≤ 1,6) = ∫11,6 1 = 1 ] 1,6
2 2 1

= 1 (1,6 - 1)
2
=3
10
∫1 1 1
d) F(x) = 2 = 2 ]
1

= 1 (x - 1)
2
P (2< < 2.5) = F (2,5) – F (2)

= 1 (2,5 - 1) - 1 (2 - 1)
2 2
1
= 4

9. Diketahui suatu fungsi ( ) = {0, √ , 0 < < 1


a) Hitung k

b) Cari F(X) dan gunakan untuk menghitung P (0,3< < 0,6)

Penyelesaian :

a) P (0< < 1) = 1

1 = ∫01 √

1 = ∫01 1

2

1 = 2 k 3 1
3 0
2]

1 = 2 k
3

K = 3
2
3
Jadi , ( ) = { 2 √ , 0 < <1

0,

b) F(X) = ∫0 3 √ = 3
2 0
2]

3
= 2

P (0,3< < 0,6) = F (0,6) – F (0,3)

33

= (0,6)2 − (0,3)2

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 91

= 2√0,63 − 2√0,33
= 2√216 × 10−3 − 2√27 × 10−3
= 6-3 2√(6 − 3) × 10−3
= 3 2√3 × 10−3

10. Dengan tujuan memperjelas keakuratan hitungan finansial, perusahaan menggunakan
auditors secara regular untuk memferifikasi kesalahan akounting, pekerja perusahaan
membuat kesalahan 5%, andaikan auditors mengecek kesalahan secara acak 3
masukkan, dapatkan :
a.) Distribusi peluang untuk Y, jumlah kesalahan yang ditemukkan auditor
b.) Tentukan peluang bahwa auditor akan menemukan kesalahan lebih dari 1

Penyelesaian :

Tentukan ruang sampel yang berkenaan dengan Y yaitu, EEE, EEN, ENE, NEE,
ENN, NEN, NNE, NNN
E : Error
N : Tidak error
Kemudian tentukan Y : 0, 1, 2, 3 dan dapatkan peluang-peluang berikut :
P(Y=3) = P(EEE) = (0,05) (0,05) (0,05) = 0,000125
P(Y=2) = P(EEN) + P(ENE) + P(NEE) = 3 (0,05) (0,05) (0,95) = 0,007125
P(Y=1) = P(ENN) + P(NEN) + P(NNE) = 3 (0,05) (0,95) (0,95) = 0,135375
P(Y=0) = P(NNN) = (0,95) (0,95) (0,95) = 0,857375

LATIHAN SOAL
1. Sepuluh persen produksi baut ternyata rusak. Baut-baut itu dijual dalam kotak. Setiap
kotak berisi 25 buah. Tentukan peluang sebuah kotak akan berisi :
a. Semua baut bagus
b. Paling banyak 2 yang rusak
c. Paling sedikit 3 yang rusak
2. Peluang seorang mahasiswa yang baru masuk universitas akan lulus tepat pada
waktunya adalah 0,23. Tentuka peluang dari 20 mahasiswa akan lulus tepat pada
waktunya :
a. Tak seorangpun
b. Seorang mahasiswa

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 92

3. Diketahui f(x) = 2 , = 0 – 5 tentukan nilai C agar F(x) merupakan mfunsi

distribusi probabilitas peubah acak diskrit !

4. X variabel acak kontinu, suatu fungsi f pada X(s) yang didefinisikan

( ) = {02, √ , 0 < <3


Tentukan nilai k jika f adalah fungsi densitas x !

5. Dalam sebuah keluarga dengan 4 anak,

a. Tentukan peluang keluarga tersebut memiliki paling sedikit 1 anak laki-laki

dengan asumsi peluang kelahiran anak laki-laki adalah ½

b. Dari 2000 keluarga dengan 4 anak, berapa banyak keluarga yang memiliki

paling sedikit 1 anak laki-laki?

6. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Sebuah bola dipilih

secara acak dari kotak, warnanya dicatatat dan kemudian bolanya dimasukkan

kembali. Tentukan peluang bahwa dari 6 bola yang diambil secara acak dengan cara

ini, 3 diantaranya berwarna merah, 2 adalah putih, dan 1 biru.

7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 orang diantaranya lahir pada tanggal 31

Desember.. Bila secara acak dipilih 5 orang, berapa peluang orang yang terpilih itu :

a. Tidak terdapat yang lahir pada tanggal 31 Desember

b. Tidak lebih dari 1 orang yang lahir pada tanggal 31 Desember

8. Dari 10 kelinci disuatu kandang terdapat 3 kelinci yang berwarna abu-abu dan 4

berwarna putih dan 3 berwarna coklat. Dipilih 2 secara acak dari kelinci tersebut. Jika

x menyatakan banyaknya kelinci berwarna abu-abu, tentukan distribusi peluangnya.

9. Suatu bank menawarkan obligasi bagi langganannya dengan tahun penebusan (jatuh

tempo) yang berlainan. Bila distribusi T diketahui lamanya dalam tahun sampai jatuh

tempo, diberikan oleh

0, < 1

1
4 , 1 ≤ < 3
1
( ) = 2 , 3 ≤ < 5

3
4 , 5 ≤ < 7
{ 1, ≥ 7

a. GambarkanGrafik F(t)

b. Hitung P (X< 2,5) dan P (X>3)

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 93

10. Seorang Peneliti ingin meneliti obat A untuk penyakit asma. Berdasarkan survei,
ditemukan 50 dari 100 orang yang sembuh dari penyakit asma setelah meminum obat
ini. Jika 20 orang penderita asma diambil secara acak dan diberi obat A untuk
diminum, maka tentukan probabilitas :
a. Tepat 10 orang sembuh
b. Maksimal 2 orang sembuh

C. DISTRIBUSI PELUANG KOMULATIF

Definisi 5.6

Misalkan variabel rabdom X mempunyai distribusi peluang f(x), distribusi peluang komulatif

X ditulis F(x) didefinisikan

P( X  x)   f (t) , jika X diskret
 tx
F ( x)   x .

P( X  x)  f (t) dt , jika X kontinu

 

Akibat definisi untuk X yang kontinu (i) P(a<X<b) = F(b) – F(a)

(ii) f(x) = dF(x) .

dx

Contoh 5.9

Dalam sebuah kotak tersedia 8 bola lampu, 3 diantaranya rusak. Secara acak diambil 3
bolam. Jika X menyatakan banyaknya bolam rusak yang terambil, tentukan distribusi peluang
komulatif X.

Penyelesaian.

Pada contoh 5.6 telah ditemukan distribusi peluang X adalah
X0 1 2 3
10 30 15 1
f(x)
56 56 56 56

Maka
F(0) = P(X≤0) = f(0) = 10

56
F(1) = P(X≤1) = f(0) +f(1) = 10 + 30 = 40

56 56 56

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 94

F(2) = P(X≤2) = f(0) +f(1) +f(2) = 10 + 30 + 15 = 55
56 56 56 56

F(3) = P(X≤3) = f(0) +f(1) +f(2) + f(3) = 10 + 30 + 15 + 1 = 56  1
56 56 56 56 56

Biasa ditulis dalam bentuk

0, jika x  0
10 , jika 0  x  1
56
 40
F ( x)   56 , jika 1  x  2

55 , jika 2  x  3
56
1 , jika x  3

perhatikan f(2) = F(2) – F(1)= 55 - 40 = 15 .
56 56 56

Contoh5.10

Misalkan variabel random X mempunyai fdp (fungsi densitas peluang) sebagai berikut.

f (x)   x2 , jika 1  x  2
 3 jika yang lain

0 ,

tentukan fungsi distribusi peluang komulatif X.

Penyelesaian.

x x t2 t3 x x3  1.
1 3 9
f (t)dt


 F(x) =  dt   9  
 
1

LATIHAN
1. Sebuah dadu dilempar 1 kali. Misalkan X variabel random yang menyatakan jumlah mata

dadu yang nampak.

a. Tentukan semua nilai X
b. Tentukan distribusi peluang X
c. Tentukan distribusi peluang komulatif X.
2. Sebuah mata uang dilempar 4X, jika X menyatakan selisih angka dan gambar yang
muncul, tentukan :

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 95

a. Nilai-nilai X

b. Distribusi peluang X

c. Distribusi peluang komulatif X

3. Sebuah uang logam diberi bobot sedemikian rupa sehingga peluang munculnya gambar

2X peluang munculnya angka. Jika uang dilempar 3X tentukan distribusi peluang

munculnya gambar.

4. Diketahui suatu fungsi f(x) = c 2  x , x  1,2,3,4,...
 3
0 , x yang lain

Tentukan c agar f merupakan fungsi peluang.

5. Diketahui suatu fungsi f(x) =  kx , x  1,2,3,4,5
5
0 , x yang lain

a. Tentukan k agar f merupakan fungsi peluang.
b. Tentukan P(X<2).

kxex , 0  x  
6. Diketahui suatu fungsi f(x) = 

0 , x yang lain

a. Tentukan k agar f merupakan fungsi peluang.
b. Tentukan P(│X │<1).
7. Diketahui variabel random X dengan fungsi densitas peluang

2(1  x) , 2 x5
 27
f(x) =

0 , x yang lain

a. Tentukan P(X≤ 4)

b. Tentukan P(3<X<4)

c. Tentukan F(x).

8. Dalam seperangakat kartu bridge diambil diambil 4 kartu sekaligus secara acak, tentukan

distribusi peluang munculnya kartu As.

9. Dalam sebuah kotak terdapat 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dam 1 kelereng hijau,

diambil secara acak 2 kelereng satu persatu dari dalam kotak tersebut. Tentukan distribusi

peluang banyaknya kelereng putih yang terambil jika pengambilannya

a. dengan pengembalian

Pengantar Probabilitas

Variabel Acak 96

b. tanpa pengembalian.
10. Misalkan S ruang sampel percobaan melempar dua dadu bersama-sama. Jika X variabel

random yang didefinisikan dengan X(a,b) = │a - b│ (a,b)  S , tentukan distribusi
peluang X.

LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Sebuah dadu dilempar 1 kali. Misalkan X variabel random yang menyatakan mata dadu

yang nampak.
a. Tentukan semua nilai X
b. Tentukan distribusi peluang komulatif X.

Penyelesaian :

a. X = 1,2,3,4,5,6
b. Tabel distribusi peluang

X1 2 3 4 5 6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Distribusi peluang komulatif :

1 1 3
P(X ≤ 1) = f(1) = 6 6 6

11 2
P(X ≤ 2) = f(1) + f(2) = 6 + 6 = 6
1 1
P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 6 + + 6 =

P(X ≤ 4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
6 6 6 6 6
1 1 1 1 1 5
P(X ≤ 5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6

111111 6
P(X ≤ 6) = f(1) + f(2) + f(3)f(4) + f(5) + f(6) = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6

2. Diketahui suatu fungsi f(x) = { 3 x, x = 1, 2, 3

5

0, untuk x yang lain

Tentukan P(X≤2).

Penyelesian:

33
f(1) = 5 .1 = 5

36
f(2) = 5 .2 = 5

Pengantar Probabilitas