Modul Pembelajaran Matematika dengan Menggunakan Aplikasi Maple

Maria Fransina Veronica Ruslau

MODUL PEMBELAJARAN

MATEMATIKA DENGAN

MAPLE

Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Musamus

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, yang telah memberikan
rahmat dan karuniaNya, sehingga penyusunan Modul Pembelajaran Matematika dengan Maple
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Musamus ini dapat diselesaikan dengan baik.
Pembahasan materi pada modul ini dilakukan dengan cara memaparkan secara singkat konsep
teori matematika dalam hal ini kalkulus dan aljabar linier elementer dan penjelasan konsep serta
pembahasan contoh-contoh yang diselesaikan dengan bantuan apliaksi Maple. Penggunaan
Maple dalam modul ini adalah untuk membantu menjelaskan secara konsep dan mempermudah
perhitungan yang rumit berkaitan dengan materi kalkulus dan aljabar linier yang disampaikan.

Modul ini ditulis dalam menyelesaikan salah satu isu yang terjadi di Jurusan Pendiidkan
Matematika sebagai bentuk aktualisasi core Value ASN dan Peran, Tugas serta Kewajiban ASN.
Pokok bahasan dalam modul ini memuat konsep-konsep kalkulus dan aljabar linier elementer
yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam memahami dan menjelaskan konsep-
konsep kalkulus dan aljabar linier elementer.

Isi modul ini mencakup materi yakni : Pengenalan Aplikasi Maple, Review Prakalkulus,
Fungsi, Limit, Turunan, Integral, Matriks dan Vektor. Modul ini dapat digunakan sebagai salah
satu literatur dan panduan praktek penggunaan aplikasi maple dalam pengajaran kuliah
program computer matematika, kalkulus dan aljabar linier elementer di Jurusan Pendidikan
Matematika Unmus.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu dalam penyelesaian modul ini. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat
bagi para mahasiswa pada umumnya mengontrak mata kuliah kalkulus, aljabar linier elementer
dan program computer matematika.

Merauke, Oktober 2022

Maria F V Ruslau

ii

DAFTAR ISI
COVER .................................................................................................................................... i
KATA PENGANTAR ................................................................................................................ ii
DAFTAR ISI.............................................................................................................................. iii
Pengenalan Maple.................................................................................................................... v
BAB I. Review Prakalkulus ...................................................................................................... 1

A. Teori Dasar Matematika .............................................................................................. 1
B. Operasi Aljabar............................................................................................................ 4
C. Perpangkatan dan Bentuk Akar................................................................................... 5
D. Nilai Mutlak dan Jarak ................................................................................................. 6
E. Pemfaktoran ............................................................................................................... 7
F. Persamaan ................................................................................................................. 9
G. Pertidaksamaan..........................................................................................................12
BAB II. Fungsi .........................................................................................................................16
A. Bidang Katersius dan Jarak........................................................................................16
B. Garis pada Bidang Miring ...........................................................................................20
C. Fungsi dan Grafik Fungsi............................................................................................24
D. Operasi Fungsi ...........................................................................................................27
E. Invers Fungsi ..............................................................................................................28
F. Fungsi Transenden.....................................................................................................30
G. Fungsi Trigonometri ...................................................................................................37
BAB III. Limit ...........................................................................................................................52
A. Menentukan Limit secara Geometris dan Numerik.....................................................52
B. Menentukan Limit dengan Sifat-Sifat Limit .................................................................57
C. Kekontinuan Fungsi ...................................................................................................63
BAB IV. Turunan......................................................................................................................69
A. Turunan dengan Defenisi Limit...................................................................................69
B. Turunan Tingkat Tinggi...............................................................................................76

iii

C. Turunan Fungsi Implisit ..............................................................................................77
D. Aplikasi Turunan ........................................................................................................80
BAB V. Integral .......................................................................................................................93
A. Integral Tak Tentu ......................................................................................................93
B. Luas Daerah dan Teorema Dasar Kalkulus ...............................................................97
C. Integral Tentu .......................................................................................................... 100
D. Integral Tak Wajar .................................................................................................... 104
E. Apliaksi Integral ........................................................................................................ 108
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................... 124

iv

PENGENALAN MAPLE

Maple adalah suatu program aplikasi komputer untuk matematika yang diproduksi oleh
Waterloo Maple Inc., Ontario, Canada. Program ini pada awalnya dikembangkan oleh civitas
University of Waterloo, Canada tahun 1988 (http://www.Maplesoft.com). Aplikasi maple dapat
digunakan dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Program yang ada pada maple
sangat mendukung dalam menyelesaikan berbagai materi yang ada dalam matematika, seperti
kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, analisis numerik, dan grafik yang sangat mampu
menvisualisasikan materi agar lebih real, yang meliputi grafik dalam berbagai bentuk plot, grafik
dua dimensi maupun tiga dimensi.

Perintah-perintah pada Maple sangat sederhana dan mudah dipahami oleh pengguna
pemula sekalipun, sehingga maple cocok digunakan tidak hanya untuk komputasi sains
melainkan juga dapat dimanfaatkan untuk proses pemahaman dan pembelajaran matematika
serta sains. Dengan proses perhitungan dan visualisasi grafik dalam Maple akan dapat
memudahkan mahasiswa dalam memahami konsep-konsep matematika.

Menu utama

toolbar

Worksheet

v

Secara garis besar maple terdiri dari menu utama, toolbar dan worksheet. Bagian worksheet
inilah yang nantinya digunakan untuk menuliskan perintah-perintah maple untuk perhitungan
matematika. Simbol > adalah prompt, Maple menampilkan sinyal tersebut artinya menunggu
perintah untuk dikerjakan. Perintah biasanya diakhiri dengan titik koma. Untuk bertanya pada
maple cukup ketikkan tanda “Tanya” diikuti nama perintah yang mau dicari tahu. Atau dapat
dengan memilih menu help seperti pada gambar di atas. Misalnya: > ?solve memberikan
informasi tentang memecahkan perintah. Penyimpanan file sama seperti menyimpan file
dokumen lainnya, dengan memilih save atau save as.

Selain menggunakan sintaks atau perintah yang telah
disediakan maple, kita juga adapat langsung
menggunakan ekspresi matematika untuk setiap
ekspresi yang dikehendaki dengan memilih ekspresi
pada bagian expression.

Sebuah "Package" adalah kumpulan definisi dan fungsi terkait yang dapat dibawa ke Maple
menggunakan perintah with. Misalnya sintaks untuk menampilkan grafik adalah with(plots).
Untuk menyelesaikan perhitunngan, operasi, masalah erkait kalkulus digunakan
with(Student[Calculus1]). Untuk melakukan operasi dan perhitungan dengan matriks dan
vektor digunakan with(LinearAlgebra). Secara lebih detail maple menyediakan berbagai

vi

perintah dan contoh yang dapat diakses melalui menu help. Dalam modul ini, perintah-perintah
Maple tidak dijelaskan secara detail tetapi langsung digunakan dalam contoh-contoh sesuai
dengan fungsinya.

vii

BAB I

REVIEW PRAKALKULUS

A. Teori Dasar Matematika
Bilangan riil dapat digambarkan dalam sebuah system koordinat yang disebut garis

bilangan (Gambar 1.1). Arah positif (ke kanan) menunjukan peningkatan nilai x dan arah
negative (ke kiri) menunjukan penurunan nilai x . Garis bilangan real penting untuk memberikan

gambaran secara konseptual tentang bilangan real. Artinya, setiap titik pada garis bilangan riil
sesuai dengan satu dan hanya satu bilangan real, dan setiap bilangan real sesuai dengan satu
dan hanya satu titik pada garis bilangan real. Jenis hubungan ini disebut korespondensi satu-
satu.

− (Arah Negatif) Titik Awal + (Arah Positif)

Gambar 1.1 Garis Bilangan Riil
Masing-masing dari empat titik pada Gambar 1.2 bersesuaian dengan bilangan real yang dapat
dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat. Bilangan seperti itu disebut rasional. Bilangan
rasional memiliki akhir atau representasi desimal berulang tanpa batas. Bilangan real yang tidak
rasional disebut irasional, dan tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio dua bilangan bulat
(atau sebagai pengulangan tak terhingga desimal). Jadi, pendekatan desimal digunakan untuk

mewakili bilangan irasional. Contohnya: 2 ,  dan e (Gambar 1.3).

Kalkulus 1

Gambar 1.2 Setiap titik pada garis bilangan real sesuai dengan satu dan hanya satu
bilangan real

Gambar 1.3 Bilangan Irasional pada Garis Biangan

Salah satu sifat penting dari bilangan real adalah sifat keterurutan: 0 lebih kecil dari 1, 3 kurang

dari 2,5 ,  kurang dari 22 dan seterusnya.
7

Tabel 1.1 Sifat Urutan Bilangan Riil

Penjelasan di atas dapat ditunjukan denan menggunakan perintah-perintah pada Maple sebagai
berikut:

Kalkulus 2

Kalkulus 3

B. Operasi Aljabar

Operator yang digunakan dalam operasi dasar aritmatika pada maple disajikan pada tabel

berikut:

Tabel 1.2 Operator dalam Maple

Operator Makna

+ Penjumlahan

- Pengurangan

* Perkalian

/ Pembagian

^ atau ** Pangkat

mod Modulo (sisa hasil bagi)

:= Sama dengan

Variabel:=nilai Pemberian nilai suatu variabel

Tingkat presedensi dari operator-operaor tersebut di atas disajikan dari mulai yang tertinggi

hingga yang terendah adalah sebagai berikut: perpangkatan (^), perkalian dan pembagian ( *, /

), penjumahan dan pengurangan (+,-), modulo (mod). Semakin tinggi tingkat presedensi

operator maka operator tersebut lebih dipriotitaskan untuk dikerjakan lebih dahulu. Contoh

penggunaannya dengan menggunakan Maple disajikan sebagai berikut:

Kalkulus 4

C. Perpangkatan dan Bentuk Akar

Perkalian berulang dapat ditulis dalam bentuk perpangatan. Secara umum, jika a adalah
bilangan real, variabel, atau ekspresi aljabar dan n adalah bilangan bulat positif maka,

Dalam bekerja dengan hasil bagi yang melibatkan bentuk akar, lebih mudah untuk
memindahkan bentuk akar dari penyebut ke pembilang, atau sebaliknya. Sebagai ilustrasi
perhatikan contoh berikut:

Kalkulus 5

Berdasarkan Tabel 1.2 operasi bilangan berpangkat dan bentuk akar dapat dilakukan pada
Maple seperti contoh berikut:

D. Nilai Mutlak dan Jarak
Nilai mutlak suatu bilangan real adalah besarnya, atau jarak antara titik asal dan titik yang

mewakili bilangan real pada garis bilangan real.
Defenisi Nilai Mutlak:

Jika x adalah bilangan riil maka nilai mutlak dari x dinotasikan dengan x adalah:

x  x jika x  0
 x jika x  0

Kalkulus 6

E. Pemfaktoran
Teorema Dasar Aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat ke-n.

Masalah menemukan nol dari polinomial setara dengan masalah memfaktorkan polinomial
menjadi faktor linier.

Kalkulus 7

Contoh pegerjaan pada maple:

Kalkulus 8

F. Persamaan
Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang

menyatakan bahwa dua ekspresi aljabar adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan tanda

sama dengan  seperti berikut: 3x  5  7 ; x2  x  6  0 ; dan 2x  4 . Menyelesaikan

sebuah persamaan dalam x berarti menemukan semua nilai x sehingga persamaan tersebut
benar. Semua nilai x yang memenuhi sebuah persamaan disebut solusi. Contohnya x  4

merupakan solusi dari persamaan 3x  5  7 karena 34  5  7 adalah pernyataan yang

benar.

Kalkulus 9

Kalkulus 10

Kalkulus 11

G. Pertidaksamaan
Dalam kalkulus, sering diminta untuk "menyelesaikan pertidaksamaan" yang melibatkan

variabel seperti 3x  4  5 . Bilangan a merupakan penyelesaian pertidaksamaan jika

pertidaksamaan benar jika nilai x disubstitusikan. Himpunan semua nilai x yang memenuhi

suatu persamaan disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.

Kalkulus 12

Contoh:
Selain biaya overhead tetap sebesar $500 per hari, biaya produksi unit suatu barang adalah
$2,50 per unit. Selama bulan Agustus, total biaya produksi bervariasi dari yang tertinggi $1325
sampai yang terendah $1.200 per hari. Temukan tingkat produksi tertinggi dan rendah selama
sebulan.
Penyelesaian:

Karena biaya untuk memproduksi satu unit adalah $2,50, maka biaya produksinya untuk x unit

adalah $ 2,50x . Selanjutnya, karena biaya tetap per hari adalah $500, total biaya harian untuk

produksi x unit adalah C  2,5x  500 . Sekarang, karena biayanya berkisar dari $1200 hingga

$1325, maka:

Jadi, tingkat produksi harian selama bulan Agustus bervariasi dari terendah 280 unit hingga
tertinggi 330 unit, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Kalkulus 13

Contoh:
Gunakan informasi dalam Contoh 3 untuk menemukan tingkat produksi yang tertinggi dan
rerendah jika, selama bulan Oktober, total biaya produksi bervariasi dari yang tertinggi $1500
hingga terendah $1000 per hari.

Jadi, tingkat produksi harian selama bulan Oktober bervariasi dari terendah 200 unit hingga
tertinggi 400 unit.
Contoh:
Sebuah pabrik menyewa sebuah perusahaan kontrol kualitas untuk menentukan keandalan
suatu produk. Menggunakan metode statistik, perusahaan menyatakan bahwa produsen dapat
mengharapkan 0,35%  0,17% unit akan rusak. Jika produsen menawarkan jaminan uang
kembali untuk produk ini, berapa banyak yang harus dianggarkan untuk menutupi pengembalian
uang pada 100.000 unit? (Asumsikan bahwa harga eceran adalah $8,95.) Apakah produsen
harus menetapkan anggaran pengembalian lebih besar dari $5000?
Penyelesaian:
Misalkan r persentase unit yang rusak (ditulis dalam bentuk desimal). Diketahui bahwa r
terletak antara :

Misalkan jumlah unit yang rusak dari 100.000 unit adalah x sehingga diperoleh x  100000r

dan diperoleh:

Misalkan C  8,95x adalah biaya pengembalian uang, Maka, total biaya pengembalian uang
untuk 100.000 unit akan berada dalam interval:

Kalkulus 14

Sehingga dapat disimpulkan bahwa anggaran pengembalian dana akan kurang dari $5000.

Kalkulus 15

BAB II

FUNGSI

A. Bidang Kartesius dan Jarak
Sama seperti bilangan real dapat disajikan atau diwakili dengan titik-titik pada garis bilangan

real, pasangan terurut bilangan real dapat disajikan dengan titik-titik pada bidang yang disebut
sistem koordinat atau bidang Cartesius. Garis horizontal bilangan real biasanya disebut sumbu-
x , dan garis vertikal bilangan real biasanya disebut sumbu- y . Titik perpotongan kedua sumbu

ini adalah titik asal, dan kedua sumbu tersebut membagi bidang menjadi empat bagian yang
disebut kuadran seperti disajikan pada Gambar 2.1.

y Sumbu y
Kuadran I
Kuadran II 4
Titik Asal 3
2

1 x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 123456 Sumbu x
-1 Kuadran IV

Kuadran III -2
-3

-4
-5

Gambar 2.1 Bidang Koordinat Kartesius
Setiap titik pada bidang berhubungan dengan pasangan bilangan real terurut x dan y , yang
disebut koordinat titik. Koordinat x mewakili jarak yang diarahkan dari sumbu y ke titik, dan
koordinat y mewakili jarak terarah dari sumbu x ke titik, seperti yang ditunjukkan pada Gambar
2.1.
Contoh : 2.1

Gambarkan titik-titik 1, 2,3, 4,0, 0,3, 0 dan 2, 3 .

Penyelesaian:

Kalkulus 16

Untuk memplot titik (-1,2) bayangkan y
sebuah garis vertikal -1 melalui sumbu
dan garis horizontal 2 melalui sumbu . (3,4)
Perpotongan kedua garis ini adalah titik 4
(-1,2). Untuk empat titik lainnya dapat
diplot dengan cara yang sama dan 3
ditunjukkan pada Gambar 1.3.
(-1,2)
2

1 x

(0,0) (3,0)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

(-2,-3) -3
-4
-5

Contoh 2.2:
Jumlah (dalam jutaan dolar) yang dihabiskan untuk mobil salju di Amerika Serikat dari tahun
1997 hingga 2006 ditampilkan dalam tabel, di mana t mewakili tahun. Buatlah sketsa diagram
pencar dari data tersebut.

Penyelesaian:

Untuk membuat sketsa plot pencar dari data yang diberikan dalam tabel, cukup dengan memplot
setiap pasangan nilai sebagai pasangan terurut dengan perintah plot seperti yang ditunjukkan
pada Gambar.

Formula Jarak
Berdasarkan teorema phytagoras, segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring c , sisi a dan
sisi b maka diperoleh: a2  b2  c2 .

Kalkulus 17

Gambar 2.2 Teorema Phytagoras dan Jarak Antara Dua Titik

Misalkan ingin ditentukan jarak d antara dua titik  x1, y1  dan  x2, y2  pada bidang. Dengan

dua titik ini, segitiga siku-siku dapat dibentuk, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Panjang sisi tegak segitiga adalah y2  y1 dan panjang sisi mendatar adalah x2  x1 .
Sehingga, dengan mnggunakan teorema phytagoas, diperoleh:

Jarak antara dua titik  x1, y1  dan  x2 , y2  pada bidang adalah:
d   x2  x1 2   y2  y1 2

Contoh 2.3:

Tentukan jarak antara titik 2,1 dan 3, 4 .

Penyelesaian:

Misalkan  x1, y1   2,1 dan  x2, y2   3, 4 maka:

Kalkulus 18

Contoh 2.4:
Dalam permainan sepak bola, quarterback melempar umpan dari garis (5 yard, 20 yard) dari
garis samping. Umpan ditangkap oleh penerima lebar di garis (45 yard, 50 yard) dari garis
samping yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.9. Berapa panjang lintasannya?

Panjang lintasan dapat diperoleh dengan mencari jarak antara

titik-titik 20,5 dan 50, 45 .

Jadi, panjang lintasannya adalah 50 yard.

Formula Titik Tengah
Untuk mencari titik tengah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu bidang

koordinat, dapat dilakukan dengan menemukan nilai rata-rata dari masing-masing koordinat dua
titik ujung.

Titik tengah segmen yang menghubungkan dua titik  x1, y1  dan  x2 , y2  adalah:

Titik Tengah   x1  x2 , y1  y2 
 2 2 

Contoh 2.5:

Starbucks Corporation memiliki penjualan tahunan sebesar $4,08 miliar
pada tahun 2003 dan $6,37 miliar pada tahun 2005. Tanpa mengetahui
informasi tambahan apa pun, berapa perkiraan penjualan tahun 2004?

Penyelesaian:

Kalkulus 19

Salah satu solusi untuk masalah ini adalah dengan mengasumsikan bahwa penjualan mengikuti
pola linier. Dengan asumsi ini, dapat diperkirakan penjualan tahun 2004 dengan mencari titik
tengah segmen yang menghubungkan titik (2003, 4.08) dan (2005, 6.37).

Titik Tengah   2003  2005 , 4, 08  6, 37   2004, 5.23
 2 2 

B. Garis Pada Bidang Miring
Seringkali mudah untuk menentukan titik solusi yang menyebabkan nol pada koordinat x

atau koordinat y . Titik-titik ini disebut intersep karena mereka adalah titik potong grafik dengan
sumbu x atau y .

1. Intersep atau perpotongan dengan sumbu x maka selesaikan persamaan untuk 20
x dengan y  0 .

2. Intersep atau peprotongan dengan sumbu y maka selesaikan
persamaan untuk y dengan x  0

Kalkulus

Contoh 2.6:
Tentukan intersept untuk sumbu x dan sumbu y dari persamaan berikut:

a. y  x3  4x b. x  y2  3

Lingkaran
Jenis grafik dapat dikenali dari persamaannya. Salah satu yang mudah dikenali adalah

lingkaran. Suatu titik  x, y berada pada lingkaran jika dan hanya jika jaraknya dari pusat

h, k  adalah r dengan rumus jarak:  x  h2   y  k 2  r . Dengan mengkuadratkan

kedua sisi persamaan, diperoleh bentuk standar persamaan lingkaran.

Titik  x, y  terletak pada lingkaran dengan jari-jari r dan pusat h, k  jika dan
hanya jika  x  h2   y  k 2  r2

Kalkulus 21

Persamaan lingkaran yang berpusat di h, k   0, 0 adalah x2  y2  r2 .

Contoh 2.7:
Titik (3,4) terletak pada lingkaran yang berpusatnya di (-1,2) seperti terlihat pada Gambar
Temukan bentuk standar persamaan lingkarannya.
Penyelesaian:
Jari-jari lingkaran adalah jarak antara (-1,2) dan (3,4):

Contoh 2.8:
Buatlah sketsa lingkaran dengan persamaan lingkaran: 4x2  4y2  20x 16y  37  0 .
Penyelesaian dengan Maple:

Kalkulus 22

Titik Potong
Titik potong dua kurva adalah pasangan terurut yang merupakan titik penyelesaian dari

kedua kurva atau grafik. Untuk menemukan titik potong secara analitik, samakan kedua nilai y

dan selesaikan persamaannya. Misalnya dua kurva y  x2  3 dan y  x 1. Dengan

menyamakan keduanya x2  3  x 1 diperoleh x2  x  2  0 . Dengan demikian diperoleh

perpotongan kedua kurva tersebut adalah di titik 2,1 dan 1, 2 .

Kalkulus 23

C. Fungsi dan Grafik Fungsi
Umumnya dalam banyak hubungan antara dua variabel. Nilai salah satu variabel tergantung

pada nilai variabel lainnya. Misalnya, pajak penjualan atas suatu barang tergantung pada harga
jualnya, jarak perpindahan suatu benda dalam waktu tertentu tergantung pada kecepatannya,
harga pengiriman paket dengan layanan pengiriman tergantung pada berat paket, dan luas
lingkaran tergantung pada jari-jarinya.

Fungsi adalah hubungan antara dua variabel sedemikian rupa sehingga untuk setiap
nilai dari variabel independen bersesuaian dengan tepat satu nilai variabel dependen.
Domain dari fungsi adalah himpunan semua nilai dari variabel independen yang
fungsinya didefinisikan. Range (daerah hasil) fungsi tersebut adalah himpunan
semua nilai variabel terikat.

Dengan kata lain dapat dianggap bahwa fungsi adalah mesin yang nilai input dari variabel
independen dan nilai output dari variabel dependen. Domain suatu fungsi dapat dijelaskan
secara eksplisit, atau mungkin tersirat dengan persamaan yang digunakan untuk mendefinisikan
fungsi atau melalui grafik fungsi tersebut. Saat menggunakan persamaan untuk mendefinisikan
suatu fungsi, biasanya variabel dependen diletakan di sebelah kiri. Misalnya persamaan
x  2y 1 diubah menjadi y  1 x . Hal ini enunjukkan bahwa y adalah variabel dependen.

2

Dalam notasi fungsi, persamaan ditulis dalam bentuk: f  x  1 x . Variabel bebasnya adalah

2
x , dan nama fungsinya adalah f . Misalkan nilai f ketika x  3 adalah

Kalkulus 24

f 3  1 3  2  1. Nilai yang diperoleh disebut nilai fungsi dan merupakan bagian dari

22
range.
Contoh 2.9:

Tentukan domain dan range dari fungsi : a. y  x 1 b. y  1 x , x 1
 x 1 , 1


Contoh 2.10:
Tentukan nilai fungsi f jika x adalah -1, 0, dan 2. Apakah f fungsi satu-satu?
Penyelesaian (dengan Maple):
Karena dua nilai x yang berbeda menghasilkan nilai fungsi yang sama maka f bukan
merupakan fungsi satu-satu. Hasilnya disajikan ada gambar berikut:

Kalkulus 25

Bentu-bentuk grafik fungsi dasar disajikan sebagai berikut:

Berdasarkan grafik-grafik tersebut kita dapat memperkirakan domain dan rangenya, apakah
fungsi tersebut kontinu atau tidak, apakah fungsi tersebut mempunyai nilai limit dan dapat
diturunkan atau tidak. Selain itu, transformasi suatu fungsi secara geometris disajikan sebagai
berikut:

Kalkulus 26

D. Operasi Fungsi
Dua fungsi dapat digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan fungsi baru. Dua

fungsi dapat digabungkan dengan dengan cara lain yang disebut komposisi. Fungsi yang
dihasilkan adalah fungsi komposit

Misalkan f dan g dua fungsi, maka untuk semua x umumnya untuk kedua

domain, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan hasil bagi dari f dan g

didefinisikan, sebagai berikut:

 f  gx  f x gx

 f  gx  f x gx

 f gx  f xgx

 f   x   f x ,gx  0
 g  g  x
 

Contoh 2.11:

Kalkulus 27

Diketahui f  x  1 x  2 dan g  x  x 1 . tentukan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil

bagi kedua fungsi tersebut.
Penyelesaian (dengan Maple):

Contoh 2.12:

Diketahui f  x  x2  3 dan g  x  x . Tentukan  f g  x dan  g f  x .

Penyelesaian (dengan Maple):

E. Invers Fungsi

Salah satu cara menyelesaiakan persamaan y  f  x adalah mengubah x sebagai

fungsi dari y , yaitu x  g  y . Terkadang fungsi f cukup rumit, sehingga tidak mungkin untuk

mendapatkan sembarang operasi aljabar yang akan menghasilkan penyelesaian dari fungsi
tersebut.

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi: 28

f  g  x  x untuk setiap x dalam domain g
g  f  x  x untuk setiap x dalam domain f

Maka dapat dikatakan bahwa f invers dari g dan g invers dari f atau dengan
kata lain f dan g merupakan fungsi-yang saling invers.

Kalkulus

Contoh 2.13:

Fungsi f  x  2x dan g  x  1 x adalah fungsi yang saling invers.

2
Pembuktian (dengan Maple):

Jika fungsi f mempunyai invers, maka dapat dikatakan bahwa y  f  x dapat
diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan x  f 1  y disebut penyelesaian
dari y  f  x untuk x sebagai fungsi dari y .

Contoh 2.14:

Tentukan invers dari fungsi f  x  3x  2

Kalkulus 29

F. Fungsi Transenden

Telah umum kita kenal perilaku fungsi aljabar seperti: f  x  x2 , g  x  x  1 dan

x2

h  x  1  x1 yang masing-masing melibatkan variabel dengan pangkat konstan. Dengan

x
bertukar posisi dan menaikkan konstanta ke tempat variabel, akan didapatkan hal kelas fungsi
pentinglainnya yang disebut fungsi eksponensial. Beberapa contoh sederhana diantaranya:

 1  x
 10 
f x  2x , g  x   dan h  x  32x  9x .

Jika a  0 dan a  1 maka fungsi eksponensial dengan basis a dinyatakan

dengan f  x  ax

Berdasarkan defenisi di atas, ketika basis a 1 adalah pengecualian kerena akan

menghasilkan f  x  1x  1 dan ini bukan merupakan fungsi eksponensial melainkan

merupakan fungsi kontan.
Contoh 2.15:
Sketsalah grafik dari fungsi eksponensial berikut:

Kalkulus 30

 1  x
 2 
a. f x  2x b. g  x   c. h  x  3x

Penyelesaian:

Grafik kegita fungsi menunjukkan bahwa, fungsi f dan h naik sedangkan fungsi g turun.

Dengan demikian karakteristik fungsi eksponensial y  ax dan y  ax dimana a 1 dapat

diringkas sebagai berikut:

Grafik y  ax : Grafik y  ax :

Domain: ,  Domain: , 

Range: 0,  Range: 0, 

Intersep: 0,1 Intersep: 0,1

Selalu naik Selalu turun
a   maka ax  0 a   maka ax  
a   maka ax   a   maka ax  0
Kontinu Kontinu
Fungsi satu-satu Fungsi satu-satu

Dalam kalkulus, pilihan yang paling mudah untuk basis adalah bilangan irasional e , yang

aproksimasi desimalnya adalah e  2.71828182846 . Fungsi f  x  ex disebut fungsi

eksponensial natural. Grafiknya ditunjukan sebagai berikut:

Kalkulus 31

Grafik fungsi eksponensial natural memiliki karakteristik yang

sama dengan fungsi f  x  ax . Ketika x semakin besar

1 1  x
x 
bilangan e dapat didekati dengan  .

Contoh 2.16:

Setiap grafik berikut merupakan transformasi dari grafik f  x  3x .
a. Karena g  x  3x1  f  x 1 grafik g dapat diperoleh dengan menggeser grafik f

satu satuan ke kiri.

b. Karena h  x  3x  2  f  x  2 grafik h dapat diperoleh dengan menggeser grafik

f dua satuan ke bawah.

c. Karena k  x  3x   f  x grafik k dapat diperoleh dengan merefleksikan grafik

f terhadap sumbu x .

d. Karena j  x  3x  f x grafik j dapat diperoleh dengan merefleksikan grafik f

terhadap sumbu y .

Kalkulus 32

Contoh 2.17:
Total $9000 diinvestasikan dengan tingkatan bunga tahunan 2,5%, bertambah setiap tahun.
Tentukan saldo di akun setelah 5 tahun.
Penyelesaian:
Misalkan P  $9000 (jumlah investasi). Diketahui r  2,5%  0, 025 (bunga per tahun) dan

t  5 (tahun). Dengan menggunakan rumus bunga majemuk dengan n bunga majemuk per
tahun, diperoleh:

A  P 1  r nt
n 

 9000 1  0, 025 15
1 

 90001, 0255

 10182, 67

Jadi, jumlah tabungan di akun setelah 5 tahun adalah $10182,67.

Kalkulus 33

Dengan mensubtitusikan nilai P, r dan n diperoleh A  90001, 025t . jika digambarkan

grafik fungsinya dalam t dan dihitung nilai tabungan di akun tiap tahunnya akan diperoleh hasil
sebagai berikut:

Sebagaimana telah dibahas tentang konsep invers fungsi bahwa ketika suatu fungsi adalah
satu-satu maka fungsi tersebut memiliki invers. Melalui grafik tampak bahwa setiap fungsi

dengan bentuk f  x  ax dimana a  0 dan a  1 memiliki invers fungsi yaitu fungsi

logaritma dengan basis a .

Untuk x  0 , a  0 dan a  1, y  a log x jika dan hanya jika x  ay
y  a log x dibaca “logaritma basis a dari x ”
Disebut fungsi logaritma dengan basis a

Kalkulus 34

Ciri-ciri dasar dari fungsi logaritma dapat diringkas sebagai berikut:

Grafik f  x  a log x , a  1:
Domain: 0, 
Range: , 
Intersep: 1, 0
Fungsi naik pada interval 0, 

x  0 maka a log x  
Merupakan fungsi Kontinu

Merupakan perncerminan dari fungsi f  x  ax

terhadap garis y  x

Kalkulus 35

LATIHAN.
1. Misalkan Q menyatakan massa (gram) dari karbon 14 (14C) yang waktu paruhnya 5700

t

tahun. Kuantitas setelah t tahun diberikan oleh Q  10  1 5700
 2 

a. Tentukan kuantitas awal t  0

b. Tentukan jumlah kuantitas setelah 2000 tahun
c. Sketasa grafik fungsi dalam interval waktu t  0 sampai t 1000

2. Sketsa grafik y1  ex , y2  x2, y3  x3, y4  x dan y5  x .
a. Fungsi mana yang meningkat paling cepat untuk nilai x yang "besar"
b. Gunakan hasil bagian (a) untuk membuat dugaan tentang tingkat pertumbuhan

y1  ex dan y  xn dimana n bilangan asli dan x bilangan yang besar.
c. Gunakan hasil bagian (a) dan (b) untuk menjelaskan apa yang tersirat ketika

dinyatakan bahwa kuantitas meningkat secara eksponensial.
3. Hubungan antara banyaknya desibel  dan intensitas suara I dalam watt per meter

persegi diberikan oleh   10 10 log  I 
 1012 

a. Tentukan jumlah desibel suara dengan intensitas 1 watt per meter persegi.

b. Tentukan jumlah desibel suara dengan intensitas 10-2 watt per meter persegi

c. Intensitas bunyi pada bagian (a) adalah 100 kali sebesar pada bagian (b). Apakah

jumlah desibel 100 kali lebih besar? Jelaskan.

4. Tabel menunjukkan suhu T (dalam derajat Fahrenheit) di mana air mendidih pada

tekanan tertentu p (dalam pound per inci persegi).

sebuah model yang mendekati data di

samping adalah:

T  87,97  34,96ln p  7,91 p

Kalkulus 36

a. Gambarlah plot data dan grafik model yamh diberikan dalam bidang yang sama.
Apakah model sesuai dengan data?

b. Gunakan grafik untuk memperkirakan tekanan di mana titik didih air adalah 300°F.
c. Hitunglah T saat tekanan 74 per inci persegi. Verifikasi jawaban Anda secara

grafis.
5. Persen p (dalam bentuk desimal) dari Penduduk Amerika Serikat yang memiliki

smartphone adalah diberikan oleh p  1 dimana t jumlah bulan setelah

t93

1  e 22,5

smartphone telah tersedia di pasar. Temukan jumlah bulan ketika persentase penduduk

yang memiliki smartphone adalah (a) 50% dan (b) 80%.

G. Fungsi Trigonometri
Kata trigonometri berarti pengukuran segitiga. Awalnya, trigonometri berkaitan dengan

hubungan antara sisi dan sudut segitiga dan digunakan dalam pengembangan astronomi,
navigasi, dan survei. Dengan perkembangan kalkulus dan ilmu fisika pada abad ketujuh belas,
muncul perspektif yang berbeda, yaitu perspektif yang memandang hubungan trigonometri
klasik sebagai fungsi dengan himpunan bilangan real sebagai domainnya. Akibatnya, aplikasi
trigonometri diperluas untuk mencakup sejumlah besar fenomena fisika yang melibatkan rotasi
dan getaran.

Besarnya suatu sudut ditentukan oleh besarnya putaran dari sisi awal ke sisi terminal.
Satuan ukuran sudut yang paling umum adalah derajat, dilambangkan dengan simbol °. Ukuran
satu derajat (1°) setara dengan rotasi 1/360 dari 1 putaran penuh. Untuk mengukur sudut, akan
lebih mudah untuk menandai derajat pada keliling lingkaran, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar. Jadi, putaran penuh (berlawanan arah jarum jam) sesuai dengan 360 °, setengah
putaran hingga 180 °, seperempat putaran hingga 90 °, dan seterusnya.

Sudut memiliki tiga bagian: sinar awal, sinar terminal, dan sebuah titik sudut.Sudut berada
pada posisi standar jika sinar awalnya bertepatan dengan sumbu x positif dan titik sudutnya
berada di titik asal. menunjukkan ukuran derajat dari beberapa sudut yang sama. Perhatikan

Kalkulus 37

bahwa (huruf kecil Yunani theta) digunakan untuk mewakili sudut dan ukurannya. Sudut-sudut
yang besarnya antara dan lancip, dan sudut-sudut yang ukuran berada di antara dan
tumpul.Sudut yang besarnya adalah siku-siku, dan sudut yang ukurannya adalah segitiga siku-
siku. Sudut positif diukur berlawanan arah jarum jam dimulai dengan sinar awal. Sudut negatif
diukur searah jarum jam.

Untuk mengkonversi derajat ke radian kalikan derajat dengan  rad 38

180

Untuk mengkonversi radian ke derajat, kalikan radian dnegan 180
 rad

Contoh 2.18:

Kalkulus

Besar sinus, cosinus dan tangen sudut-sudut istimewa disajikan sebagai berikut:

Kalkulus 39

Besar sinus, cosinus dan tangen sudut-sudut istimewa dengan menggunakan Maple disajikan
sebagai berikut:

Beberapa rumus identitas dasar trigonometri disajikan sebagai berikut:

Kalkulus 40

Rumus-rumus ini yang selanjutnya akan dipergunakan untuk melakukan manipulasi aljabar atau
penyederhanaan bentuk fungsi trigonometri yang kompleks sehingga menjadi lebih mudah
untuk diselesaikan terutama secara analitik.

Fungsi-fungsi trigonometri dengan menggunakan Maple, secara geometris disajikan sebagai
berikut:

Kalkulus 41

Dapat dilihat bahwa karakteristik dari fungsi sinus dan cosinus adalah:

Grafik y  sin x : Grafik y  cos x :

Domain: ,  Domain: , 

Range:  1,1 Range:  1,1

Periode: 2 Periode: 2
Intersep/titik potong dengan Intersep/titik potong dengan

sumbu x : n ,0 sumbu x :    n , 0 
 2 
Intersep/titik potong dengan
Intersep/titik potong dengan
sumbu y : 0,0
sumbu y : 0,1
Fungsi ganjil
Simetri terhadap titik asal Fungsi genap

Simetri terhadap sumbu y

Karakteristik dari fungsi tangen dan cotangen adalah:

Grafik y  tan x : Grafik y  cot x  cos x :
Domain: semua bilangan riil sin x
x    n
Domain: semua bilangan riil
2
x  n
Range: , 
Range: ,

Kalkulus 42

Periode:  Periode: 
Intersep/titik potong dengan Intersep/titik potong dengan

sumbu x : n ,0 sumbu x :   n , 0 
 2 
Intersep/titik potong dengan
Intersep/titik potong dengan
sumbu y : 0,0
sumbu y : 0,0
Asimtot vertical: x    n
Asimtot vertical: x  n
2
Fungsi ganjil
Fungsi ganjil Simetri terhadap titik asal
Simetri terhadap titik asal

Karakteristik dari fungsi secan dan cosecan adalah:

Grafik y  sec x : Grafik y  csc x :
Domain: semua bilangan
Domain: semua bilangan riil riil x  n
x    n
Range: , 11,
2
Periode: 2
Range: , 11, Tidak ada perpotongan
dengan sumbu x dan
Periode: 2 sumbu y
Intersep/titik potong dengan Asimtot vertical: x  n
Fungsi ganjil
sumbu y : 0,1 Simetri terhadap titik asal

Asimtot vertical: x    n

2

Fungsi genap
Simetri terhadap sumbu y

Contoh:

Sketsalah grafik fungsi g  x  2sin x dalam interval  , 4 .

Penyelesaian:

Kalkulus 43