Modul Pembelajaran Matematika dengan Menggunakan Aplikasi Maple

Contoh:

Tentukan f  x  x , x 1 dx dan g  x  3x2 1
x

94

Anti turunan dari fungsi f pada sembarang selang dibedakan oleh konstanta. Sehingga, pada
suatu selang grafik-grafik anti-turunan f membentuk kelas kurva yang merupakan translasi
vertical suatu anti-turunan dengan yang lain. Kelas kurva ini disebut kurva integral.

Sebagaimana contoh di atas kurva integral dari f  x  3x2 1.

Contoh:
Pada tahun 2005, tingkat kemiskinan AS untuk keluarga
beranggotakan empat orang adalah sekitar $20.000. Keluarga
pada atau di bawah tingkat kemiskinan cenderung
mengkonsumsi 100% dari pendapatan mereka—yaitu, mereka
menggunakan semua pendapatan mereka untuk membeli
kebutuhan seperti makanan, pakaian, dan tempat tinggal.
Sebagaimana tingkat pendapatan meningkat, konsumsi rata-
rata cenderung turun di bawah 100%. Misalnya, sebuah x
keluarga yang berpenghasilan $22.000 mungkin dapat

menghemat $440 dan menghabiskan hanya $21.560 (98%) dari pendapatan mereka. Ketika
pendapatan meningkat, rasio jumlah konsumsi terhadap tabungan cenderung menurun. Tingkat
perubahan konsumsi terhadap pendapatan disebut kecenderungan mengkonsumsi marjinal.

95

Untuk keluarga dengan empat orang pada tahun 2005, kecenderungan mengkonsumsi

marjinal pendapatan x dapat dimodelkan dengan: dQ  0, 98 , x  20000
dx
 x 19, 999 0,02

dimana Q merupakan jumlah pendapatan yang dikonsumsi. Gunakan model tersebut untuk
memperkirakan jumlah yang dikonsumsi atau dihabiskan oleh keluarga beranggotakan empat
orang yang pendapatannya pada tahun 2005 adalah $33.000. Apakah keluarga akan
mengkonsumsi lebih dari $30.000?
Penyelesaian:

Untuk mendapatkan model konsumsi Q dilakukan dengan cara mengintegralkan dQ .
dx

Dengan menggunakan model ini, dapat diperkirakan bahwa sebuah keluarga beranggotakan
empat orang dengan pendapatan x  33000 menghabiskan sekitar $30.756. Jadi, keluarga
dengan empat orang akan mengkonsumsi lebih dari $30.000.

96

B. Luas Daerah dan Teorema Dasar Kalkulus
Secara geometri, luas adalah suatu bilangan yang menyatakan ukuran dari sebuah

wilayah terbatas, misalnya: persegi panjang, segitiga, dan lingkaran.

Jika suatu fungsi f kontinu pada selang tertutup a, b dan f  x  0 untuk semua x pada
a, b , maka Luas di bawah kurva y  f  x sepanjang selang a, b didefinisikan sebagai:

luas di bawah b
 
L  y  f x    f x dx

pada a,b  a


Jika f kontinu pada selang tertutup a, b dan F pada

a,b maka:

b

 f  x dx  F b  F a

a

Contoh:

Hitunglah

2

a.  2x dx

0

1

b.  1 x2 dx

0

2

c.   x 1 dx

0

2

d.  2x 1 dx

0

Penyelesaian:

97

98

99

C. Integral Tentu
Pembahasan sebelumnya tentang penggunaan Teorema Dasar Kalkulus untuk mengevaluasi
integral tertentu hanya dapat dugunakan jika antiturunan dari integral tersebut dapat ditemukan.

Misal diberikan f non negative dan kontinu pada selang tertutup a, b . Luas daerah di bawah

kurva f , sumbu x , dan garis x  a dan x  b dinotasikan dengan:

b

Luas   f  x dx

a

Dibaca “integral tentu dari a sampai b ” dimana a adalah batas bawah integral dan b batas atas

integral.

Dalam kasus dimana hal ini tidak dapat dilakukan, perkiraan nilai integral dapat dilakukan
menggunakan teknik aproksimasi. Salah satu teknik tersebut disebut Aturan Titik Tengah.
Contoh:
Gunakan lima persegi panjang pada Gambar untuk memperkirakan luas daerah yang dibatasi

oleh grafik f  x  x2  5 , sumbu x , garis x  0 dan x  2 .

Penyelesaian:

Ketinggian dari lima persegi panjang dapat ditemukan dengan
mengevaluasi titik tengah dari setiap interval berikut.

Lebar dari tiap persegi panjang adalah 2 , sehingga:
5

100

b

Untuk memperkirakan integral tentu f  x dx dengan aturan titik tengah gunakan

a

langkah-langkah berikut:

1. Bagi interval a, b ke dalam n sub interval dengan lebar x  b  a

n
2. Tentukan titik tengah dari tiap interval
3. Evaluasi pada setiap titik tengah dan bentuk jumlah seperti:

b f  x dx  ba  f  x1   f  x2   ... f  xn 
n


a

Contoh:

101

3 x2 1 dx

Gunakan aturan titik tengah dengan n 10 untuk memperkirakan

1

Penyelesaian:

Bagi interval 1,3 ke dalam 10 sub interval. Titik

tengah interval adalah sebagai berikut:

11 , 13 , 3 ,17 , 19 , 21, 23 , 5 , 27 dan 29
10 10 2 10 10 10 10 2 10 10

3 x2 1 dx  1  1,12 1  1,32 1  ...   2, 9 2  1 
5  
1

 4,504

102

Contoh:

e

Tentukan  ln x dx

1

Penyelesaian:

103

D. Integral Tak Wajar
Dalam kalkulus, integral tak wajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan
mendekati bilangan riil tertentu, ,  , atau gabungan dari beberapa diantaranya. Integral tak

wajar dinotasikan seperti integral tentu, namun dengan batas pengintegralan tak hingga. Konsep
integral tentu dengan kasus:

a. Pengintegralan dengan batas menuju tak hingga, yaitu integral pada selang

,b,a, dan , .

b. Integral dengan integrannya tidak terdefenisi di suatu titik dalam selang integrasi.



Pengintegralan dengan kasus seperti di atas disebut integral tak wajar. Misalnya, ex dx

0

dan 1 dx aalah tidak wajar karena satu atau kedua batas integrasi tidak terbatas, seperti
 x2 1

 5 21

yang ditunjukkan pada Gambar. Demikian juga 2  x 12

1
1 dx dan dx tidak wajar
x 1

104

karena integran mereka memiliki diskontinuitas tak terbatas—yaitu, mereka mendekati tak
terhingga di suatu tempat dalam interval integrasi, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 6.18

1. Jika f kontinu pada selang a,  , maka:

b

 f  x dx  lim  f  xdx

b
aa

2. Jika f kontinu pada selang ,b , maka:

bb

 f  x dx  lim f  xdx
a
 a

3. Jika f kontinu pada selang ,  , maka:

 c

 f  xdx   f  xdx   f  xdx

  c

Dimana c sembarang bilangan riil.

Dalam dua kasus pertama, jika limit ada, maka integral tak wajar konvergen; jika tidak, integral
tak wajar divergen. Dalam kasus ketiga, integral di sebelah kiri akan divergen jika salah satu
integral kanan divergen.

105

Contoh:

Hitung 1 dx
1 x2

Penyelesaian:

Karena hasil integralnya berhingga maka integralnya konvergen.

106

Contoh:

Hitung  1 dx

1x
Penyelesaian:
Karena hasil integral tak berhingga maka integral divergen.

107

Contoh:

2 1 dx

Hitung 1 3 x 1

Penyelesaian:

Integral konvergen ke 3 artinya bahwa wilayah yang ditunjukkan pada Gambar 6.23 memiliki
2

luas 3 satuan persegi.
2

E. Aplikasi Integral

Jika f dan g kontinu pada selang tertutup a,Fb. dan g  x  f  x untuk semua x pada

a, b , maka Luas di bawah kurva f , g , x Ga. dan x  b adalah:

b H.

A    f  x  g  x dx

a

108

Contoh:
Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y  x  6, y  x2, x  0 dan x  2
Penyelesaian:

Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y  x2  2 dan y  x untuk 0  x 1
Peyelesaian:

109

Contoh:
Tentukan daerah yang dibatasi oleh grafik y  3x3  x2 10x dan y  x2  2x
Penyelesaian:

110

Volume Benda Pejal Tiga Dimensi

Salah satu masalah yang pentng dalam penerapan integral tentu adalah menentukan volume
benda pejal (padat) tiga dimensi yang banyak terdapat di bidang teknik dan manufaktur.
Mislanya, as, corong, tablet, botol, dan piston.

Untuk menentukan volume benda putar dengan metode cakram digunakan rumus berikut:
Diputar terhadap sumbu x Diputar terhadap sumbu y

b b

V     R  x 2  dx V     R  y 2  dy
   
a a

Perputaran terhadap sumbu x Perputaran terhadap sumbu y

111

Contoh:
Tentukan volume benda padat yang diperoleh dari daerah di bawah kurva y  sin x pada

selang 0  x   diputra terhadap sumbu x .

Penyelesaian:

112

Contoh:
Tentukan volume benda padat yang diperoleh dari daerah di bawah kurva antara y  x dan
y  x2 diputar terhadap sumbu x .
Penyelesaian:

Contoh:
Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan bila daerah yang dibatasi oleh y  x, y  2
dan x  0 diputar terhadap sumbu y .

113

Penyelesaian:

Panjang Kurva

Jika f adalah fungsi kontibu pada a, b maka panjang busur S kurva y  f  x dari

x  a ke x  b didefinisikan oleh:

b

S   1  f ' x2 dx

a

Dengan cara yang sama, untuk kurva yang dinyatakan dalam bentuk x  g  y dengan
g ' kontinu pada c, d , panjang busur S dari y  c ke y  d didefinisikan oleh:

g

S   1 g ' y2 dy

c

114

Contoh:

Dapatkan panjang busur kurva y  x3  1 pada interval  1 , 2
6 2x  2

Penyelesaian:

115

Contoh:

Dapatkan panjang busur kurva  y 13  x2 pada interval 0,8

Penyelesaian:

Dengan menyatakan ulang fungsi dalam bentuk x    y  3 dan selangnya berubah

12

menjadi 1,5 dan diperoleh:

116

Contoh: sebuah kabel listrik tergantung antara dua menara yang
Penyelesaian: berjarak 200 kaki, seperti ditunjukan pada gambar di
samping. Kabel tergantung kosong dengan mengikuti
permasaan:

y  x  x   150 cosh x 
75 e50   150 
e 50 


Tentukan panjang kabel antara kedua menara tersebut.

Jadi, panjang kabel antara kedua menara  215 kaki.

117

Luas Permukaan Benda Putar
Jika kurva dari sebuah fungsi kontinu diputar pada sebuah garis permukaan yang dihasilkan
disebut Permukaan Benda Putar

Diberikan f adalah fungsi kontibu tak negative pada a, b maka luas permukaan
bagian kurva y  f  x dari x  a dan x  b terhadap sumbu x adalah:

b

R   2 f  x 1  f ' x2 dx

a

Untuk kurva yang dinyatakan dalam bentuk x  g  y dengan g ' kontinu pada c, d 
dan g  y  0 untuk c  y  d , luas permukaan R yang diperoleh dari perputaran

bagian kurva y  c ke y  d terhadap sumbu y diberikan oleh:

d

R   2 g  y 1 g ' x2 dy

c

Contoh:

Tentukan luas permukaan yang dibentuk dari perputaran bagian kurva f  x  x3 pada selang
0,1 terhadap sumbu x .

Penyelesaian:

118

Contoh:

Tentukan luas permukaan yang dibentuk dari perputaran bagian kurva f  x  x2 pada selang

0, 2  terhadap sumbu y
Penyelesaian:

.

119

120

LATIHAN
1. Sebuah benda diproyeksikan ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 kaki per
sekon.
(a) Berapa lama waktu yang dibutuhkan benda untuk naik ke titik tinggi maksimum?
(b) Berapa ketinggian maksimum?
(c) Kapankah kecepatan benda setengah dari kecepatan awalnya?
(d) Berapa tinggi benda ketika kecepatannya setengah kecepatan awal
2. Tentukan luas daerah dari fungsi-fungsi berikut:

3. Pendapatan (dalam jutaan dolar per tahun) untuk The Men's Wearhouse dari tahun
1996 hingga 1999 dapat dimodelkan oleh :
di mana sesuai dengan tahun 1996. Dari tahun 2000 sampai 2005, pendapatan dapat
dimodelkan dengan:
Jika penjualan untuk The Men's Wearhouse mengikuti yang pertama model dari tahun
1996 hingga 2005, berapa banyak lebih atau kurang? pendapatan yang akan ada untuk
The Men's Wearhouse?

4. Gunakan Aturan Titik Tengah untuk memperkirakan luas permukaan tumpahan minyak
yang ditunjukkan pada gambar:

121

5. Grafik berikut menunjukkan kurva pertumbuhan logistik untuk dua spesies sel tunggal
Paramecium dalam kultur laboratorium. Selama interval waktu itu tingkat pertumbuhan
masing-masing spesies meningkat? Di mana interval waktu adalah tingkat pertumbuhan
masing-masing spesies berkurang? Spesies mana yang memiliki batasan lebih tinggi
populasi di bawah kondisi ini?

6. Kelinci yang melarikan diri meninggalkan liangnya dan bergerak ke utara (ke atas
sumbu y). Pada saat yang sama, mengejar daun lynx dari 1 yard timur liang dan selalu
bergerak ke arah kelinci yang melarikan diri (lihat gambar). Jika kecepatan lynx adalah
dua kali kecepatan kelinci, persamaan jalur lynx adalah

Temukan jarak yang ditempuh oleh lynx dengan mengintegrasikan over interval 0,1

7. Tinggi rata-rata orang Amerika wanita antara usia 30 dan 39 adalah 64,5 inci, dan
simpangan bakunya adalah 2,7 inci. Cari peluangnya bahwa seorang wanita berusia 30
hingga 39 tahun yang dipilih secara acak adalah:
(a) tingginya antara 5 dan 6 kaki.

122

(b) 5 kaki 8 inci atau lebih tinggi.
(c) 6 kaki atau lebih tinggi.
8. Tentukan integral berikut dan apakah hasilnya konvergen ke suatu nilai tertentu atau
divergen.

123

DAFTAR PUSTAKA
Fox, W. P., & Bauldry, W. C. (2019). Advanced problem solving with MapleTM: A first course.

Advanced Problem Solving with MapleTM: A First Course.
https://doi.org/10.1201/9780429469633
Harris, F. E. (2014). Computers, Science, and Engineering. Mathematics for Physical Science
and Engineering. https://doi.org/10.1016/b978-0-12-801000-6.00001-8
Larson, R. (2009). Calculus: An Applied Approach. Brooks/Cole CENGAGE Learning.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Calculus. Books/Cole Cengage Learning (9th ed.).
Rovensky, V. (2000). Geometry of Curves and Surfaces with Maple. Birkhauser. Boston.
V Liengme, B. (2019). Maple: A Primer. A Morgan & Claypool Publication. USA.

124