Modul Pembelajaran Matematika dengan Menggunakan Aplikasi Maple

Perhatikan bahwa g  x  2sin x  2sin x menunjukkan bahwa nilai y dari titik-titik kunci

akan menjadi dua kali besarnya dari grafik f (x)  sin x . Untuk itu, dengan membagi periode

2 menjadi empat bagian yang sama akan diperoleh titik kunci:
Intersep maksimum intersep minimum intersep

 0, 0   , 2   , 0  3 , 2  dan 2 , 0
 2  2 

dengan menghubungkan titik-titik ini akan diperoleh kurva mulus seperti pada grafik di atas.

Contoh:

Sketsalah grafik y  sin  x
 2 

Penyelesaian:

periode  2  4 . sehingga, grafiknya akan menjadi:
1
2

Contoh:

Analisis grafik fungsi f ( x)  1 sin  x   
2  3 

Penyelesaian:

Diketahui amplitudo  1 dan periode  2 sehingga:
2

Kalkulus 44

Tanpak bahwa interval  , 7  bersesuaian dengan satu siklus grafik.
 3 3 

Contoh:

Sepanjang hari, kedalaman air di ujung dermaga dengan pasang surut bervariasi. Tabel

menunjukkan kedalaman y (dalam kaki) pada berbagai waktu selama pagi hari:

Waktu Kedalaman  y

Tengah malam 3,4
2 a.m 8,7

4 a.m 11,3
6 a.m 9,1
8 a.m 3,8
10 a.m 0,1

Siang 1,2

a. Gunakan fungsi trigonometri untuk memodelkan data. Misalkan t adalah waktu, dengan

t =0 sesuai dengan tengah malam.

b. Sebuah perahu membutuhkan setidaknya 10 kaki air untuk berlabuh di dermaga. Pada

jam berapa di sore dermaga aman untuk perahu berlabuh?

Penyelesaian:

a. Mulailah dengan membuat grafik data, seperti yang

ditunjukkan pada gambar, dan dengan menggunakan

salah satu sinus atau model kosinus. Misal, denga

menggunakan model cosinus y  a cos bt  c  d .

Kalkulus 45

Selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum adalah dua kali lipat amplitudo fungsi. Jadi,
amplitudonya adalah:

a  1 kedalaman maks  kedalaman min  1 11,3  0,1  5, 6

22
Fungsi cosinus menyelesaikan setengah siklus antara waktu di mana kedalaman
maksimum dan minimum terjadi. Jadi, periode p adalah :

p  2waktu kedalaman min  waktu kedalaman maks  210  4  12

Hal ini menunjukan bahwa b  2  0,524 . Karena air pasang terjadi 4 jam setelah
p

tengah malam, anggap titik akhir kiri adalah c  4 sehingga c  2,094 . Selain itu, karena
b

kedalaman rata-rata  1 11,3  0,1  5, 7 maka d  5, 7 . Sehingga diperoleh model

2

kedalaman y  5.6cos 0.524t  2.094  5, 7

b. Dengan membuat grafik

y  5.6cos 0.524t  2.094  5, 7 dan y 10 .

Menggunakan fitur intersect dapat ditentukan bahwa

kedalaman10 kaki antara 2:42 p.m t  14, 7 dan
5:18 p.m t  17,3 .

Karena fungsi trigonometri dasar adalah periodik,maka masing-masing nilainya berulang tak
terhingga kali. Akibatnya, tak satupun dari fungsi ini satu-satu dan karenanya tidak satupun
mempunyai invers. Berikut disajikan batasan domain fungsi trigonometri yang menghasilkan
fungsi satu-satu yang selanjutnya dikembangkan untuk mendapatkan turunan dan beberapa
aplikasi lainnya dalam kalkulus.

Kalkulus 46

Berdasarkan penyajian fungsi invers sinus, invers cosinus dan invers tangen di atas dapat dilihat
bahwa karakteristik dari fungsi-fungsi tersebut adalah:

Grafik y  sin1  x : Grafik y  cos1  x : Grafik y  tan1  x :

Domain: 1,1 Domain: 1,1 Domain: , 

Range:   ,   Range: 0,  Range:   , 
2 2  2 2 
Intersep/titik potong dengan

Intersep/titik potong: 0,0 sumbu y :  0,   Intersep/titik potong: 0,0
 2 
Fungsi ganjil Asimtot horisontal: x   
Simetri terhadap titik asal
2

Fungsi ganjil
Simetri terhadap titik asal

Kalkulus 47

Karakteristik fungsi invers cotangent, invers secan dan invers cosecant adalah:

Grafik y  sec1  x : Grafik y  cot1  x : Grafik y  csc1  x :
Domain: , 
Domain: ,11, Range: 0,  Domain: ,11,

Range: 0,     , 3  Range:
2  2 
 ,     0,  
2  2 

Contoh:

Tentukan penyelesaian secara eksak dari (a)  2 (b) cos1 1 (c) arctan 0
arccos  2 

dan (d) tan1 1

Penyelesaian:

Contoh:

Jika mungkin, tentukan nilai eksak dari (a) tan arctan 5 (b) arcsin   5  (c)
sin  3 

cos cos1  

Penyelesaian:

Kalkulus 48

Contoh:
Sebuah kapal meninggalkan pelabuhan pada siang hari dan menuju ke barat dengan kecepatan
20 knot, atau 20 mil laut (nm) per jam. Pada pukul 14.00 kapal berubah arah ke N 54°W, seperti
yang ditunjukkan pada gambar. Temukan arah dan jarak kapal dari pelabuhan keberangkatan
pada pukul 3 sore.

Penyelesaian:
Dari segitiga BCD diperoleh:

Kedua sisi segitiga ini dapat ditentukan menjadi

Dalam segitiga ACD, Anda dapat menemukan sudut A sebagai berikut:

Kalkulus 49

LATIHAN.
1. Gambar di samping menunjukan grfaik fungsi

y  sin  x  c untuk c    , c  0 dan

4

c   . (a). Bagaimana nilai c berpengaruh
4

terhadap grafik? (b). Grafik mana yang

ekuivalen dengan y   cos  x    ?
 4 

2. Tekanan P (dalam milimeter air raksa) terhadap dinding pembuluh darah seseorang dapat

dimodelkan dengan P  100  20 cos  8 t  . Dimana t adalah waktu (dalam detik).
 3 

Gunakan utilitas grafik untuk membuat grafik. Satu siklus setara dengan satu denyut

jantung. Berapa denyut nadi seseorang dalam detak jantung per menit?

3. Anda sedang mengendarai kincir ria. Tinggimu h (dalam kaki) di

atas tanah setiap saat t (dalam detik) dapat dimodelkan oleh

h  25 sin   t  75   30
 15 

Kincir ria berputar selama 135 detik sebelum berhenti untuk

melepaskan penumpang pertama kali. (a) Sketsalah grafiknya (b). Berapa ketinggian

minimum dan maksimum dari atas tanah?

4. Sebuah kamera televisi berada di platform peninjauan

27 meter dari jalan di mana parade akan lewat dari kiri

ke kanan (lihat gambar). Misalkan jarak d dari kamera

ke unit tertentu dalam parade sebagai fungsi dari

sudut x, dan grafik fungsi dalam interval    x  
22

(Anggap x sebagai negative ketika sebuah unit dalam parade mendekat dari kiri.).

Kalkulus 50

5. Pada suatu titik 200 kaki dari dasar sebuah bangunan,
sudut elevasi ke dasar cerobong asap adalah 35°, dan
sudut elevasi ke puncak 53°, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar Cari ketinggian cerobong asap s .

Kalkulus 51

BAB III

LIMIT

A. Menentukan Limit secara Geometris
Dalam bahasa sehari-hari, orang merujuk pada batas kecepatan, batas berat badan
pegulat, batas daya tahan seseorang, atau merentangkan pegas hingga batasnya.
Ungkapan-ungkapan ini semuanya menunjukkan bahwa suatu limit adalah suatu batas,
yang pada beberapa kesempatan mungkin tidak tercapai tetapi pada kesempatan lain dapat
dicapai atau dilampaui. Notasi limit adalah:

lim f  x  L

x  x0

Dibaca “limit f  x untuk x mendekati x0 sama dengan L ”.

Jika f adalah sebuah fungsi, x0 dan L adalah bilangan riil maka lim f x  L

x  x0

jika dan hanya jika limit kanan dan limit kirinya sama dengan L

Contoh:

 Tentukan lim x2 1
x1

Penyelesaian (dengan Maple):

Kalkulus 52

Dari grafik fungsi f pada Gambar tampak bahwa f  x mendekati 2 ketika x mendekati

 1 dari kedua sisi, dan Anda dapat menulis: lim x2 1  2 .
x1

Contoh:

Tentukan nilai lim x 1
x1 x 1

Penyelesaian:

Hasil pendekatan limit secara numerik menunjukkan bahwa x 1 dan
lim  1
x1 x 1

lim x 1  1. Hal ini didukung dengan perhitungan limit secara analitik atau simbolik dan
x1 x 1
secara geometris dengan memperhatikan grafik fungsi f Grafik fungsi menunjukan bahwa
tidak f terdefenisi atau nilai limitnya tidak ada ketika mendekati 1. Nilai limit kanan dan
limit kiri fungsi juga tidak sama sehingga dapat diseimpulkan nilai limit fungsi f ketika
x 1 tidak ada.

Kalkulus 53

Contoh:
Layanan pengiriman semalam mengenakan biaya $ 12 untuk pound pertama dan $ 2 untuk

tiap pound tambahan. Misalkan x adalah berat paket dan f  x adalah biaya pengiriman.

Kalkulus 54

12 , 0  x  1

f  x  14 ,1  x  2

16 , 2  x  3

Tunjukan bahwa limit f  x untuk x  2 tidak ada.

Penyelesaian (dengan Maple):

Berdasarkan grafik dapat dilihat bahwa fungsiya terputus-putus dan pada titik x  2 nilai
limit kanan =16 dan limit kirinya =14. Nilai limitnya berbeda. Hal ini juga terlihat dengan
jelas dari fungsinya.
Contoh:

Tentukan lim 3
x2 x  2

Penyelesaian (dengan Maple):

Diperoleh bahwa nilai limit f  x tidak ada (undefined). Pendekatan secara numerik,

geometris dan analitik dilakukan. Grafik fungsi f menunjukan bahwa terdapat celah atau
terputus. Hal ini menunjukan bahwa terdapat nilai x yang meyebabkan nilai fungsinya tidak
ada, yaitu di titik x  2 . Sehingga nilai limitnya ketika x  2 tidak ada (Limit kanan dan

Kalkulus 55

limit kiri tidak ada). Pendekatan numerik dari kanan dan kiri menghasilkan nilai limit yang
berbeda yaitu  dan  .

Kalkulus 56

B. Menentukan Limit dengan Sifat-Sifat Limit

Sering limit f  x ketika x mendekati c sama dengan f c . Ketika lim f  x  f c
xc

menunjukan bahwa f  x kontinu di c .

Dengan menggabungkan sifat-sifat limit dengan aturan operasi limit yang ditunjukkan di
bawah ini, dapat ditentukan limit untuk berbagai macam fungsi aljabar.

Contoh: 57

 Tentukan lim 4  x  3x2
x1

Penyelesaian (dengan Maple):

Kalkulus

 Dengan menggunakan sifat-sifat dan aturan operasi limit diperoleh lim 4  x  3x2  2 .
x1

Contoh:

Tentukan lim 1 cos  x
xx0 2

Penyelesaian (dengan Maple):

Kalkulus 58

Contoh:

Tentukan lim 2x2 1
x x 8x2

Penyelesain (dengan Maple):

Kalkulus 59

Kalkulus 60

Kalkulus 61

LATIHAN
1. Lengkapi tabelnya dan gunakan hasilnya untuk memperkirakan limit. Gunakan grafik
untuk mengkonfirmasi hasil yang diperoleh.

a. lim x2
x2  4
x2

1 1
b. lim x  4 4
x0 x

2. Tentukan limit berdasarkan grafik berikut:

a. lim g(x) c. lim h(x) e. lim f (x) h. lim f (x)
x0 x2 xc xc

b. lim g(x) d. lim h(x) f. lim f (x)
x1 x0 xc

3. Gambar dan Tentukan limit dengan aturan limit:

a. x2 b. lim 5
lim x1 1  x
x2 x  2

4. Pertimbangkan sertifikat deposito yang membayar 10% (tingkat persentase tahunan)

pada setoran awal dari $1000. Saldo setelah 10 tahun adalah A  10001 0,1x10x .

Dimana x adalah panjang periode peracikan (dalam tahun).
a. Gambar grafik A untuk 0  x 1
b. Estimasi saldo untuk triwulanan dan harian.

Kalkulus 62

c. Tentukan lim A . Jelaskan pendapat Anda tentang hasil yang didapat.
x0

C. Kekontinuan Fungsi
Dalam matematika, istilah "kontinu" memiliki arti yang sama seperti dalam penggunaan
sehari-hari. Suatu fungsi dikatakan kontinu di x  c berarti tidak ada interupsi pada grafik
f di c . Grafik f tidak terputus di dan tidak ada lubang, lompatan, atau celah.

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika:

a. f c terdefenisi
b. lim f  x ada

xc

c. lim f  x  f c
xc

Jika satu atau lebih syarat pada defenisi di atas tidak terpenuhi, maka f dikatakan
diskontinu di c dan c disebut titik diskontinu dari f . Jika f kontinu di semua titik pada

selang terbuka a,b maka dikatakan f kontinu pada a,b . Suatu fungsi yang kontinu

pada ,  dikatakan kontinu atu kontinu dimana-mana.

a. Fungsi polynomial kontinu pada semua bilangan riil
b. Fungsi rational kontinu pada semua bilangan riil yang merupakan domsinnya.

Contoh:
Diskusikan kekontinuan dari fungsi berikut:

a. x2  2x  3 b. x3  x
Penyelesaian:

Kalkulus 63

Kedua fungsi tersebut merupakan fungsi polynomial. Jadi, keduanya kontinu pada semua

bilangan riil ,  .

Contoh:
Diskusikan kekontinuan fungus berikut:

a. f  x  1 b. f  x  x2 1 c. f x  1
x2 1
x x 1
Penyelesaian:

Kalkulus 64

a. Domain dari f memuat semua bilangan riil kecuali x  0 , sehingga fungsi f kontinu

pada interval , 0 dan 0,  . Hal ini terlihat jelas pada grafik dan hasil di atas.

b. Domain dari g memuat semua bilangan riil kecuali x 1 , sehingga g kontinu pada

interval ,1 dan 1,  .

c. Domain h memuat semua bilangan riil. Sehingga, fungsi h kontinu pada semua
bilangan riil. Atau dnegan kata lain, tidak ada nilai x yang menyebabkan fungsi tersebut
tidak kontinu.

Kalkulus 65

Misalkan f terdefenisi pada selang tertutup a, b . Jika f kontinu pada selang

terbuka a,b dan

lim f  x  f a dan lim f  x  f b
xa xb

Maka f konitnu pada selang tertutup a, b . Selain itu, f kontinu dari kanan

pada titik a dan kontinu dari kiri pada titik b .

Contoh:

Diskusikan kekontinuan fungsi f  x  3  x

Penyelesaian:

Kalkulus 66

Perhatikan bahwa domain f adalah himpunan ,3 . Selain itu, f kontinu dari kiri

pada titik x  3 karena nilai limit kiri dan nilai fungsi untuk titik tersebut sama. Fungsi f
memenuhi syarat suatu fungsi diktakan kontinu pada x  3 . Sehingga, dapat disimpulkan

bahwa f kontinu pada interval ,3 .

Contoh:

Diskusikan kekontinuan dari fungsi g  x   5 x , 1  x  2
 2 1 ,2 x3
x

Penyelesaian:

Kalkulus 67

Fungsi polynomial 5  x dan x2 1 kontinu pada interval 1, 2 dan 2,3 . Untuk
menyimpulkan apakah fungsi g kontinu pada interval1,3 maka perlu ditunjukan apakah

fungsi g kontinu di titik x  2 . Berdasarkan grafik, fungsi dan hasil perhitungan dimana limit

kanan dan limit kiri sama dan sama dengan g 2  3 maka g kontinu di titik x  2 . Maka
disimpulkan bahwa g kontinu pada interval 1,3 .

LATIHAN
1. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu pada semua bilangan real. Jelaskan.

a. f (x)  4 1  b. f (x)  x2 1 3
 x2

2. Gambarkan interval dimana fungsinya kontinu. Jelaskan mengapa fungsi tersebut

kontinu pada interval tersebut. Jika fungsi memiliki diskontinuitas, identifikasi di titik

mana fungsi tersebut tidak kontinu.

3. Masa kehamilan kelinci adalah sekitar 29 hingga 35 hari. Oleh karena itu, populasi suatu
bentuk (rumah kelinci) dapat meningkat secara drastis dalam waktu singkat. Tabel
berikut menyajikan jumlah populasi, dimana t waktu dalam bulan dan N merupakan
jumlah populasi kelinci.

Gambarlah Grafik populasi sebagai fungsi waktu. Temukan titik dimana fungsi tidak
kontinu. Jelaskan alasanmu

Kalkulus 68

BAB IV

TURUNAN

A. Turunan dengan Defenisi Limit
Banyak fenomena fisis yang melibatkan perubahan besaran seperti kecepatanpada

suatu waktu tertentu, seberapa cepat seekor kalkun menjadi dingin sejak saat diambil dari
oven, laju suatu roket, inflasi nilai tukar, jumlah bakteri dalam suatu jaringan, intensitas
goncangan gempa bumi, tegangan sinyal listrik, dan sebagainya. Selanjutnya akan
dipelajari konsep matematik yang menghubungkan antara masalah garis singgung dan laju
perubahan. Dalam Kalkulus fenomena-fenomena tersebut dikaitkan dengan laju perubahan
fungsi. Selanjutnya, akan dipelajari bagaimana slope (kemiringan garis) menunjukkan laju
di mana garis naik atau turun. Untuk sebuah garis, laju (atau kemiringan) ini sama di setiap
titik pada garis. Untuk grafik selain garis, laju naik atau turunnya grafik berubah dari titik ke
titik. Laju di mana grafik naik atau turun pada satu titik, dapat ditentukan dengan
menemukan kemiringan atau gradient garis singgung pada titik tersebut.

Berdasarkan hasil di atas dapat dilihat bahwa ketiga garis bersinggungan dan berpotongan

dengan fungsi f  x tidak hanya di satu titik. Dalam geometri, garis singgung (disebut juga

garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya
menyentuh" kurva pada titik tersebut. Leibniz mendefinisikan garis singgung sebagai garis
yang melalui sepasang titik takhingga dekat pada kurva. Sehingga, ketiga garis tersebut

Kalkulus 69

bukan merupakan garis singgung kurva fungsi f  x . Selanjutnya Slope merupakan

ukuran kemiringan dari suatu garis.
Contoh:

Tentukan slope dari garis f  x  2x  4

Penyelesaian:

Contoh:

Tentukan slope dari fungsi f  x  x2 di titik 1,1 dan 2, 4 . Gambarkan juga grafik

dan garis singgungnya.
Pennyelesaian:

Kalkulus 70

 Gradient m dari grafik f pada titik x, f  x sama dengan gradient garis

 singgungnya pada titik x, f  x yang dinyatakan sebagai berikut:

m  lim msec  lim f  x  x  f  x

x0 x0 x

Asalkan limitnya ada.

x digunakan sebagai variabel untuk mewakili perubahan x dalam definisi kemiringan
grafik. Variabel lain juga dapat digunakan. Misalnya, ini definisi kadang-kadang ditulis

sebagai: m  lim f  x  h  f  x

h0 h
Dengan mengunakan defenisi pada contoh di atas untuk mencari gradient garis singgung

fungsi f  x diperoleh hasil yang sama sebagai berikut:

Kalkulus 71

Pada contoh di atas, kita menggunakan defenisi limit untuk mendapatkan m  2x yang

menyatakan gradient atau kemiringan grafik fungsi f di titik  x, f  x . Fungsi yang diperoleh

disebut Turunan dari f di x dinotasikan dengan f ' x dibaca “ f aksen x ”.

Turunan dari f pada titik x dinyatakan sebagai berikut:

f ' x  lim f  x  x  f  x
x0 x

Asalkan limitnya ada. Suatu fungsi f dapat diturunkan di x atau f mempunyai

turunan di x jika f ' x ada di x .

Selain f ' x notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan turunan fungsi y  f  x

adalah dy , y ', d  f  x, Dx  y

dx dx

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi f (x)  3x2  2x

Penyelesaian:

Kalkulus 72

Jadi, turunan dari f (x)  3x2  2x adalah f '(x)  6x  2 .
Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi mengarahkan kita untuk menemukan kemiringan garis
singgung di sembarang titik pada grafik fungsi. Sebagai contoh, kemiringan garis singgung ke

grafik f di titik 1, 2 diberikan oleh:

Kalkulus 73

Terdiferensiasi dan Kontinuitas

Turunan suatu fungsi f di titik x yaitu f ' x ada jika lim f  x  h  f  x ada.

h0 h

Jika f dapat diturunkan di suatu titik x0 maka f juga kontiunu di titik x0

Beberapa hal yang perlu diperhatikan terkait dengan Teorema di atas adalah:
1. Pada titik-titik dimana f diskontinu maka f tidak dapat diturunkan pada titik-titik
tersebut.
2. Diferensiabilitas suatu fungsi di suatu titik berakibat kekontinuan fungsi di titik tersebut.
3. Suatu fungsi f yang kontinu di suatu titik belum tentu mempunyai turunan di titik tersebut.

Tidak semua fungsi dapat didiferensiasikan. Gambar 4.1 menunjukkan beberapa situasi umum
di mana suatu fungsi tidak akan terdiferensiasi pada suatu titik—garis singgung vertikal,
diskontinuitas, dan tikungan tajam pada grafik. Setiap fungsi tersebut dapat diturunkan pada
semua nilai x kecuali x  0 .

Kalkulus 74

Gambar 4.1. Fungsi-fungsi yang tidak dapat diturunkan di x  0
Gambar diatasmenunjukan bahwa semua kecuali satu fungsi kontinu di x  0 tetapi tidak ada
yang dapat diturunkan. Ini menunjukkan bahwa kontinuitas bukan merupakan kondisi yang
cukup untuk menjamin suatu fungsi dapat diturunkan.

Contoh:

Fungsi f  x  x kontinu untuk semua x .
a. Tunjukan bahwa f  x  x tidak dapat diturunkan di x  0
b. Dapatkan f ' x

Penyelesaian:

Kalkulus 75

Berdasarkan hasil di atas diperoleh bahwa :

a. f  x  x tidak dapat diturunkan di x  0

b. f 'x  1 , x  0
1 , x  0

B. Turunan Tingkat Tinggi
Jika f ' menyatakan turuna fungsi f , maka turunan dari f ' dinotasikan dengan f '' .
Dengan demikian turunan pertama, kedua, ketiga, keempat dan seterusnya dari fungsi f

dinotasikan dengan: f ', f ''   f '', f '''   f ''', f 4   f '''',...

Contoh:

Tentukan turunan dari f  x  3x4  2x3  x2  4x  2 maka:

Kalkulus 76

Contoh:

Tentukan turunan dari f  x  sin 2x maka:

C. Turunan Fungsi Implisit
Seringkali peruah tak bebas dan eubah bebas tidak dapat dipisahkan dan hanya dapat

dinyatakan dalam bentuk f  x, y  0 . Fungsi yang demikian disebut fungsi implisit.

Untuk fungsi implisit, diferensiasi dilakukan pada kedua sisi dengan memandang y sebagai
fungsi dari x dan juga menerapkan aturan rantai.
Contoh:
Temukan kemiringan garis singgung elips :

x2  4y2  4 pada titik  2, 1  seperti ditunjukan
 2 

pada gambar.

Penyelesaian:

Kalkulus 77

untuk menentukan gradient pada titik tersebut, dilakukan dengan
mensubtitusikan nilai x  2 dan y  1 ke dalam fungsi

2
turunannya. Sehingga diperoleh:

Grafik yang dihasilkan disebut elips.

Contoh:
Temukan kemiringan garis singgung grafiks fungsi

2x2  y2  1 pada titik 1,1 seperti ditunjukan pada gambar.

Penyelesaian:

Kalkulus 78

dengan mensubtitusikan nilai x 1 dan y 1 ke dalam fungsi turunannya. Sehingga
diperoleh:

Grafk yang dihasilkan disebut hiperbola.

LATIHAN
1. Deskripsikan nilai dimana fungsi dapat diturunkan. Jelaskan alasanmu.

2. Cari turunan dari fungsi yang diberikan. Kemudian gambarkan grafiknya dan

turunannya dalam satu bidang. Apa yang dapat disimpulkan dari-intersep turunannya?

a. f (x)  x2  4x b. f (x)  x3  6x2

Kalkulus 79

3. Gambarkan fungsi y  x2 1 dan y  x 1 dalam satu bidang. Analisis grafik

tersebut disekitar titik 0,1 . Apakah fungsi terdiferensiasi pada titik ini? Jelaskan

signifikansi geometris diferensiabilitas pada suatu titik.

D. Aplikasi Turunan
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Suatu fungsi naik jika grafiknya bergerak ke atas ketika x bergerak ke kanan dan turun jika
grafiknya bergerak ke bawah saat x bergerak ke kanan.

Suatu fungsi f dikatakan naik interval tertentu jika untuk x1, x2 titik-titik pada selang tersebut
maka:

a. f naik pada selang tersebut jika f  x1   f  x2  untuk x1  x2
b. f turun pada selang tersebut jika f  x1   f  x2  untuk x1  x2
c. f konstan selang tersebut jika f  x1   f  x2  untuk semua x1, x2

d.
Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan apakah fungsi tersebut naik atau
turun pada suatu interval.

Misalkan f suatu fungsi kontinu pada selang tertutup a, b dan dapat diturunkan pada
selang terbuka a,b maka:

a. Jika f ' x  0 untuk setiap nilai x dalam a,b maka f naik pada a, b
b. Jika f ' x  0 untuk setiap nilai x dalam a,b maka f turun pada a, b
c. Jika f ' x  0 untuk setiap nilai x dalam a,b maka f konstan pada a, b
d. f konstan selang tersebut jika f  x1   f  x2  untuk semua x1, x2

e.
Contoh:

2

Tentukan selang yang menyebabkan fungsi f  x  x3 3 6  x naik dan turun.

Penyelesaian:

Kalkulus 80

Contoh:

Dari tahun 1997 hingga 2004, konsumsi keju Italia C di Amerika Serikat (dalam pound per
orang per tahun) dapat dimodelkan dengan: C  0,333t2  0.996t  5, 40 , 7  t  14
Dimana t  7 menyatakan tahun 1997. Tunjukkan bahwa konsumsi keju Italia meningkat dari
tahun 1997 hingga 2004.

Penyelesaian:

Kalkulus 81

Hasil menunjukan bahwa untuk interval terbuka 7,14 turunannya positif. Jadi, fungsinya naik,

yang menyiratkan bahwa konsumsi keju Italia meningkat selama jangka waktu yang diberikan
yaitu tahun 1997 hingga tahun 2004.

Titik Kritis

Sebelumnya, telah dipelajari bagaimana menemukan interval atau selang di mana fungsi turun
naik. Titik transisi yang memisahkan daerah yang grafiknya naik dan daerah yang grafiknya

turun yaitu saat f ' x  0 atau tidak terdefenisi disebut titik kritis.

Titik kritis untuk fungsi f adalah nilai x dalam domain f dimana f ' x  0 atau dimana f
tidak dapat ditutunkan. Titik kritis dimana f ' x  0 disebut titik stasioner.

Kalkulus 82

Contoh:

Tentukan interval dimana fungsi f  x  x3  3 x2 naik dan turun.

2
Penyelesaian:

Kalkulus 83

Hasil di atas menunjukan bahwa tidak ada nilai x dimana f ' x tidak ada. Dari grafik terlihat

jelas bahwa transisi fungsi f naik dan turun terjadi di dua titik x  0 dan x 1 . Hal ini
diperkuat dengan hasil perhitungan tiitk kritis dengan maple yang menunjukan bahwa fungsi f

naik pada interval , 0 dan 1,  dan turun pada interval 0,1 serta titik kritisnya dan

titik baliknya di x  0 dan x 1 .

Contoh:

Tentukan interval dimana fungsi f x  2x2 8 naik dan turun.
x2 16

Penyelesaian:

Hasil di atas menunjukan bahwa Grafik fungsi f simetri terhadapat sumbu y . Grafik naik pada

interval , 4 dan 4, 0 dan turun pada interval 0, 4 dan 4,  . terdapat titik

stasioner di x  0 .

Contoh:

Kalkulus 84

Tentukan apakah fungsi f x  x4 1 kontinu dan tentukah pula interval dimana fungsi naik
x2

dan turun.

Penyelesaian:

Hasil di atas menunjukan bahwa f tidak kontinu di titik x  0 . titik kritisnya yaitu di x  1

dan x 1 . f naik pada interval 1, 0 dan 0,  dan turun pada interval , 1 dan
0,1 .

Nilai Maksimum dan Minimum
Permasalahan yang terkait dengan mencari nilai optimal disebut masalah optimasi. Dan
masalah optimasi dapat direduksi menjadi permasalahan untuk menemukan nilai terbear
(maksimum) atau nilai terkecil (minimum) fungsi dengan menentukan dimana nilai itu terjadi.

Kalkulus 85

aJ,ibka f c  f  x untuk setiap x dalam domain f maka f c disebut nilai maksimum

absolut atau nilai maksimum f

Jika f c  f  x untuk setiap x dalam domain f maka f c disebut nilai minimum

absolut atau nilai minimum f

Nilai maksimum dan minimum fungsi f disebut nilai ekstrim absolut atau nilai ekstrim.

Jika f suatu fungsi kontinu pada selanh tertutup a, b maka f mempunyai nilai
maksimum dan nilai minimum pada a, b

Jika suatu fungsi mempunyai nilai ektrim maksimum atau minimum pada selang terbuka

a,b maka nilai ektrim terjadi di titik kritis.

Nilai maksimum terjadi di titik Nilai maksimum terjadi di titik
dimana dimana ttidak dapat diturunkan

mempunyai nilai minimum tetapi mempunyai nilai maksimum tetapi
tidak mempunyai nilai maksimum tidak mempunyai nilai minimum

Kalkulus 86

tidak mempunyai nilai minimum tidak mempunyai nilai minimum
maupun nilai maksimum maupun nilai maksimum

Contoh:

Tentukan nilai optimum dari fungsi f  x  2x3  3x2  36x 14

Penyelesaian:

Hasil di atas menunjukan bahwa fungsi f memiliki nilai maksimum dan minimum pada interval

,  dimana nilai ekstrim terjadi pada titik kritis. Dari grafik terlihat jelas titik kritis terjadi di

x  2 dan x  3. Sehingga dengan mensubtitusikan kedua nilai tersebut dalam fungsi

Kalkulus 87

f  x  2x3  3x2  36x 14 diperoleh nilai maksimum fungsi tersebut adalah 58 dan nilai

minimumnya 67 .
Contoh:

2

Tentukan nilai optimum dari fungsi f  x  2x  3x3

Penyelesaian:

2

Hasil di atas menunjukan bahwa fungsi f  x  2x  3x3 pada selang ,  mempunyai

nilai minimum tetapi tidak memunyai nilai maksimum. Dimana nilai minimum terjadi di titik x 1
yaitu 1 .

Pedoman Menentukan Nilai Ekstrim pada Interval Tertutup

Langkah-langkah mendapatkan nilai ekstrim fungsi kontinu f pada selang tertutup a, b

adalah:

1. Tentukan titik kritis f dalam a,b

2. Evaluasi f di setiap titik kritis dan di titik ujung a dan b

Kalkulus 88

3. Nilai terbesar yang diperoleh adalah nilai maksimum dan nilai terkecil yang diperoleh
adalah nilai minimumnya.

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan nilaiminimum dari fungsi f  x  x2  6x  2 pada interval

0,5 .

Penyelesaian:

Hasil menunjukan bahwa pada interval 0,5 nilai ekstrim terjadi pada titik x  0, x  3 dan

x  5. Dengan mensubtitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam f  x  x2  6x  2 diperoleh

nilai minimum fungsi terjadi pada titik x  3 yaitu 7 dan nilai maksimum fungsi terjadi pada
titik x  0 yaitu 2 .

Contoh: 89
Diketahui fungsi keuntungan restoran hamburger adalah:
P  2.44x  x2  5000 ,0  x  50000 Temukan tingkat penjualan

20000

yang menghasilkan keuntungan maksimum.

Kalkulus

.Penyelesaian:

Berdasarkan hasil di atas tampak pada grafik bahwa terdapat nilai maksimum yaitu yang terjadi
pada saat x  24400 atau dengan kata lain ketika jumlah penjualan burger adalah 24400.
Keuntungan yang diperoleh mencapai maksimum yaitu sebesar $24768.

LATIHAN

1. Tabel menunjukkan jumlah A (dalam miliaran dolar per tahun) yang dihabiskan untuk
R&D di Amerika Serikat dari tahun 1980 hingga 2004, dimana t tahun, dengan t=0
adalah tahun 1980. Perkiraan tingkat perubahan rata-rata selama setiap periode.

Kalkulus 90

2. Grafik berikut menunjukkan banyaknya
pengunjung V ke taman nasional dalam
ratusan ribu selama periode satu tahun,
dimana t=1 mewakili Januari. (a) Perkirakan

laju perubahan V dalam interval 9,12 dan

jelaskan. (b) Perkirakan laju perubahan V
selama interval t=8 dan jelaskan hasilmu.

3. Ketinggian s (dalam kaki) pada waktu t (dalam detik) penurunan dolar perak dari puncak
Washington Monumen diberiktan oleh s  16t2  555 (a) Tentukan kecepatan rata-

rata pada interval 2,3 (b) tentukan kecepatan sesaat saat t=2 dan t=3. (c) Berapa

lama waktu yang dibutuhkan dolar untuk menyentuh tanah? (d) Temukan kecepatan
dolar ketika menyentuh tanah.
4. Persentase P bagian yang rusak diproduksi oleh karyawan baru setelah t hari karyawan
mulai bekerja dapat dimodelkan oleh

Kalkulus 91

Tentukan tingkat perubahan P ketika t=1 dan t=10

Kalkulus 92

BAB V

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu
Konsep integral tak tentu yang merupakan kebalikan dari operasi diferensial yaitu sebagai

bentuk umum dari antiturunan, sedangkan ntegral tertentu diilustrasikan sebagai limit jumlahan
Riemann yang merupakan generalisasi dari proses perhitungan luas.

Suatu fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi f pada selang tertentu, jika F ' x  f  x

untuk semua x dalam selang tersebut.

Misalnya diberikan f ' x  2 g ' x  3x2 dan s 't   4t Penentuan fungsi f , g dan s dapat

dilakukan dengan cara sebagai berikut:

f  x  2x karena f ' x  2

g  x  x3 karena g ' x  3x2

s t   2t2 karena s 't   4t

Proses mencari anti-turunan disebut antidiferensiasi atau integrasi. Jika terdapat fungsi F

sedemikian sehingga d  F  x   f x maka fungsi berbentuk F  x  C juga merupakan
dx

anti-turunan dari f  x . Proses ini diselesaikan dengan  f  x dx  F  x  C dibaca

“integral tak tentu dari f  x sama dengan F  x ditambah C ”.

93