คู่มือครูวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้น ม.6

คูมือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 287

13. 1) สายการบนิ D ตรงเวลาทสี่ ุด และสายการบนิ J ไมต รงเวลามากทีส่ ดุ
2) สายการบิน I เกิดเหตุการณที่กระเปาเดินทางสูญหายมากที่สุด และสายการบิน A
เกดิ เหตุการณท ก่ี ระเปา เดนิ ทางสูญหายนอ ยทส่ี ุด
3) ขอสรุปท่ีวา “สายการบิน J เกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสญู หายบอยกวาสายการบิน
B ประมาณ 2 เทา” ไมเปนจริง เนื่องจากสายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิด
เหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายอยูระหวาง 7 – 8 คร้ังตอผูโดยสาร 1,000 คน
แตสายการบิน B มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย
อยรู ะหวาง 5 – 6 ครงั้ ตอ ผูโ ดยสาร 1,000 คน
ดังนั้น สายการบิน J มีจํานวนครั้งของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหาย
มากกวา สายการบิน B ไมถ งึ 2 เทา
4) ขอสรุปที่วา “สายการบินท่ีเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายบอย มีแนวโนม
ท่ีจะตรงเวลา” ไมเปนจริง โดยจากแผนภาพการกระจาย จะเห็นวาเมื่อจํานวนคร้ังของ
การเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายมากขึ้น รอยละของเที่ยวบินตรงเวลา
จะมแี นวโนมลดลง
ดังนั้น จํานวนคร้ังของการเกิดเหตุการณกระเปาเดินทางสูญหายและรอยละของ
เทย่ี วบินตรงเวลามีความสมั พันธในทศิ ทางตรงกันขาม

14. ขอ มูลชุด ก คา เฉลี่ยเลขคณิต = 5(5) + 3(6) + 2(7) + 2(8) + 2(9) + 2(10)
ขอมูลชุด ข 16
= 6.9375
มธั ยฐาน = 6 + 7
2
= 6.5
ฐานนยิ ม = 5

คาเฉล่ียเลขคณิต = 4(1) + 3(2) + 2(3) + 4 + 30
11
≈ 4.55
มัธยฐาน = 2

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6

ฐานนยิ ม = 1

15. 1) ขอมลู ชดุ ก

คาเฉล่ียเลขคณติ = 2 + 2(3) + 3(5) + 2(7) + 8 +10 + 2(14) +19
13
≈ 7.85
มธั ยฐาน = 7

ฐานนยิ ม = 5

ขอมูลชุด ข

คาเฉลี่ยเลขคณติ = 0.9 +1.2 +1.7 + 2.1+ 2.5 + 2.8 + 3.2 + 3.3 + 3.7 + 4.8 + 5.7
11
= 2.9
มธั ยฐาน = 2.8
ขอ มูลชดุ นี้ไมมฐี านนยิ ม
ขอ มูลชดุ ค

คา เฉลี่ยเลขคณติ = 59 + 73 + 82 + 87 + 87 + 90
6
≈ 79.67

มัธยฐาน = 82 + 87
2
= 84.5

ฐานนยิ ม = 87
2) ขอ มูลชุด ก

พสิ ยั = 19 − 2 = 17

ขอ มูลชดุ ก มี 13 ตัว

เนือ่ งจาก Q1 อยใู นตาํ แหนงที่ 13 +1 = 3.5
4
ดังนัน้ Q1 คอื คาเฉลยี่ เลขคณติ ของขอมูลในตาํ แหนง ที่ 3 และ 4 ซึง่ คอื

3+5 = 4
2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 289

เน่ืองจาก Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(13 +1) = 10.5

4
ดังนนั้ Q3 คอื คา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอมลู ในตําแหนงที่ 10 และ 11 ซงึ่ คอื

10 +14 = 12
2

จะได พสิ ยั ระหวา งควอรไทล = 12 − 4 = 8

ให xi แทนขอมลู ชดุ ก ตัวที่ i เมอ่ื i ∈{1, 2, 3, ... , 13}

และ x แทนคาเฉล่ียเลขคณติ ของขอ มลู ชุด ก

จาก 1) จะไดว า x ≈ 7.85

จากขอมูลชุด ก จะได

xi xi − x ( xi − x )2

2 –5.85 34.22

3 –4.85 23.52

3 –4.85 23.52

5 –2.85 8.12

5 –2.85 8.12

5 –2.85 8.12

7 –0.85 0.72

7 –0.85 0.72

8 0.15 0.02

10 2.15 4.62

14 6.15 37.82

14 6.15 37.82

19 11.15 124.32

∑13 ( xi − x )2 ≈ 311.66

i=1

ดังนนั้ สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชุด ก คอื 311.66 ≈ 5.10
13 −1

และความแปรปรวนของขอมลู ชดุ ก คือ 311.66 ≈ 25.97
12

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

290 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6

ขอ มลู ชดุ ข
พิสยั = 5.7 − 0.9 = 4.8

ขอมลู ชดุ ข มี 11 ตวั

เน่ืองจาก Q1 อยใู นตําแหนงที่ 11 + 1 = 3 ดังนนั้ Q1 = 1.7
4

และ Q3 อยูใ นตาํ แหนง ที่ 3(11 + 1) =9 ดังนนั้ Q3 = 3.7

4
จะได พิสยั ระหวางควอรไ ทล = 3.7 −1.7 = 2

ให yi แทนขอ มลู ชุด ข ตวั ที่ i เมอื่ i ∈{1, 2, 3, ... , 11}
และ y แทนคา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ มลู ชุด ข

จาก 1) จะไดว า y = 2.9

จากขอ มลู ชุด ข จะได

yi yi − y ( yi − y )2
0.9 –2.0
4.00

1.2 –1.7 2.89

1.7 –1.2 1.44

2.1 –0.8 0.64

2.5 –0.4 0.16

2.8 –0.1 0.01

3.2 0.3 0.09

3.3 0.4 0.16

3.7 0.8 0.64

4.8 1.9 3.61

5.7 2.8 7.84

∑11 ( yi − y )2 =21.48

i=1

ดงั น้นั สว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ มูลชุด ข คอื 21.48 ≈ 1.47
11 −1

และความแปรปรวนของขอ มูลชดุ ข คอื 21.48 = 2.15
10

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 291

ขอ มลู ชดุ ค
พสิ ัย = 90 − 59 = 31

ขอมลู ชดุ ค มี 6 ตัว

เน่อื งจาก Q1 อยูใ นตาํ แหนงท่ี 6 +1 = 1.75
4
ดังนนั้ Q1 อยรู ะหวา งขอมลู ในตําแหนงท่ี 1 และ 2 ซ่งึ มีคา อยรู ะหวาง 59 และ 73

ในการหา Q1 จะใชก ารเทยี บบญั ญัติไตรยางศ ดงั น้ี

เนื่องจากขอมูลในตําแหนงท่ี 1 และ 2 มีตําแหนงตางกัน 2 −1 =1 มีคาตางกัน

73 − 59 =14

จะไดวาตาํ แหนง ตา งกนั 1.75 −1 =0.75 มีคา ตา งกัน 0.75×14 = 10.5
1

ดังนน้ั Q1 =59 +10.5 =69.5

เนอ่ื งจาก Q3 อยูในตําแหนง ที่ 3(6 +1) = 5.25

4
ดังนัน้ Q3 อยูระหวางขอมลู ในตําแหนงท่ี 5 และ 6 ซ่ึงมีคา อยูระหวาง 87 และ 90

ในการหา Q3 จะใชการเทยี บบัญญัติไตรยางศ ดังนี้

เนื่องจากขอมูลในตําแหนงที่ 5 และ 6 มีตําแหนงตางกัน 6 − 5 =1 มีคาตางกัน

90 − 87 =3

จะไดว าตาํ แหนงตางกนั 5.25 − 5 =0.25 มีคา ตางกัน 0.25× 3 = 0.75
1

ดงั น้นั Q3 =87 + 0.75 =87.75
จะได พิสยั ระหวา งควอรไ ทล = 87.75 − 69.5 = 18.25
ให zi แทนขอ มลู ชุด ค ตวั ที่ i เมื่อ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}
และ z แทนคาเฉล่ียเลขคณิตของขอ มลู ชุด ค
จาก 1) จะไดว า z ≈ 79.67
จากขอ มูลชุด ค จะได

zi zi − z ( zi − z )2
59 –20.67
427.25

73 –6.67 44.49

82 2.33 5.43

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6

zi zi − z ( zi − z )2

87 7.33 53.73

87 7.33 53.73

90 10.33 106.71

∑6 ( zi − z )2 ≈ 691.34

i=1

ดงั น้ัน สว นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ค คอื 691.34 ≈ 11.76
6 −1

และความแปรปรวนของขอ มลู ชดุ ค คือ 691.34 ≈ 138.27
5

3) ขอ มลู ชดุ ก มสี มั ประสิทธิ์การแปรผัน คือ 5.10 ≈ 0.65
7.85

ขอ มูลชดุ ข มสี มั ประสทิ ธิก์ ารแปรผนั คือ 1.47 ≈ 0.51
2.9

และขอมูลชดุ ค มสี มั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผัน คือ 11.76 ≈ 0.15
79.67

เนือ่ งจากขอ มูลชดุ ก มีสมั ประสทิ ธ์ิการแปรผนั มากกวาขอมูลชดุ ข และ ค

ดังนน้ั ขอ มูลชดุ ก มีการกระจายมากทส่ี ดุ

16. ให a, b, c และ d แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตร ภาษาอังกฤษ และ
คอมพวิ เตอรของศิรวิ ทิ ย ตามลําดบั
เนื่องจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทยเทากับ 21.5
คะแนน

นั่นคอื a + b = 21.5 จะได a + b =43 − − −(1)
2

เน่ืองจากคา เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของวชิ าภาษาอังกฤษและคอมพิวเตอรเ ทา กับ
28.5 คะแนน

น่ันคอื c + d = 28.5 จะได c + d =57 − − −(2)
2

จาก (1) และ (2) จะได a + b + c + d =100

ดังน้นั คาเฉล่ยี เลขคณติ ของคะแนนสอบทงั้ ส่วี ิชานี้คือ 100 = 25 คะแนน
4

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 293

17. เนือ่ งจากคา เฉลย่ี เลขคณิตของอายนุ กั เรยี น = ผลรวมของอายขุ องนักเรยี น
จาํ นวนนกั เรยี น

จะได ผลรวมของอายนุ กั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 3 =15×60 =900 ป
ผลรวมของอายนุ ักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 =17×50 = 850 ป
ผลรวมของอายนุ ักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 =18× 40 =720 ป

ดังนน้ั คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายนุ กั เรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 3 – 5 ของโรงเรียนแหงน้ีคอื

900 + 850 + 720 ≈ 16.47 ป
60 + 50 + 40

18. 1) การหาเกรดเฉล่ียคือการหาคาเฉล่ียเลขคณิตถวงน้ําหนัก โดยที่ขอมูลคือเกรดของ

แตล ะวชิ าและนํ้าหนกั ของแตละขอมลู คือหนวยกิตของแตละวชิ า

ดงั น้นั เกรดเฉลย่ี = ผลรวมของผลคณู ของหนวยกติ และเกรดของแตล ะวิชา
ผลรวมของหนว ยกติ

จากผลการเรียนภาคเรียนสุดทายของนักเรียนคนนี้จะสามารถหาผลรวมของผลคูณ

ของหนวยกติ และเกรดของแตล ะวิชา และผลรวมของหนว ยกติ ไดดงั น้ี

ชือ่ วชิ า หนวยกติ เกรด หนวยกิต × เกรด

ภาษาไทย 6 1.0 3.5 3.5

คณิตศาสตร 6 1.0 3 3

สงั คมศกึ ษา 6 0.5 4 2

พระพุทธศาสนา 6 0.5 4 2

ศลิ ปะ 5 0.5 3 1.5

เครอื ขายและโครงงานคอมพิวเตอร 0.5 2.5 1.25

ภาษาองั กฤษ 6 1.0 4 4

เสรมิ ทกั ษะภาษาไทย 2 1.0 3.5 3.5

วทิ ยาศาสตรเพ่ิม 2 0.5 2 1

ชีวิตกับสขุ ภาพ 3 0.5 4 2

กฬี ากับสขุ ภาพ 3 0.5 4 2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

294 คูม ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6

ชอ่ื วิชา หนวยกิต เกรด หนว ยกิต × เกรด

ภาษาญ่ีปนุ 6 3.0 4 12

ภาษาองั กฤษเพ่ือการส่อื สาร 6 0.5 3.5 1.75

ภาษาองั กฤษเพ่อื การอา น – เขยี น 6 1.0 4 4

ภาษาอังกฤษรอบรู 6 1.0 4 4

รวม 13.0 - 47.5

ดังน้ัน เกรดเฉล่ียของภาคเรียนสุดทายของนักเรยี นคนนค้ี อื 47.5 ≈ 3.65
13.0

2) เน่ืองจาก เกรดเฉลีย่ ของ 5 ภาคเรยี น =

ผลรวมของผลคูณของหนวยกติ และเกรดเฉล่ียของแตล ะภาคเรียนจาํ นวน 5 ภาคเรียน
ผลรวมของหนว ยกติ ของทง้ั 5 ภาคเรยี น

จะได

ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตล ะภาคเรียนจาํ นวน 5 ภาคเรียน

3.75 =
75.0

ดังน้ัน ผลรวมของผลคูณของหนวยกิตและเกรดเฉลี่ยของแตละภาคเรียนจํานวน 5
ภาคเรยี น คอื 3.75× 75.0 =281.25
เน่อื งจากเกรดเฉลีย่ ของทง้ั 6 ภาคเรียน =

ผลรวมของผลคณู ของหนวยกติ และเกรดของแตละวชิ าของภาคเรยี นที่ 6 + ผลรวมของผลคณู ของหนว ยกติ และเกรดเฉลีย่ ของแตล ะภาคเรยี นจํานวน 5 ภาคเรียน
ผลรวมของหนว ยกิตของทงั้ 6 ภาคเรยี น

ดงั นน้ั เกรดเฉลี่ยของทงั้ 6 ภาคเรยี นของนักเรยี นคนน้ีคือ 47.5 + 281.25 ≈ 3.74
13.0 + 75.0

19. สมมติวาขอ มูลชดุ นเี้ มอ่ื เรียงจากมากไปนอยคือ a, b, c, d, e

เน่อื งจากขอมูล 2 ตัวสดุ ทา ย คือ 102 และ 99 ตามลาํ ดบั

จะได d = 102 และ e = 99

เนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณิตของจาํ นวนเต็ม 5 จาํ นวนนี้ คอื 360

จะได a + b + c +102 + 99 = 360
5 = 1,599

a+b+c

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 295

a = 1,599 − b − c

เนือ่ งจากขอ มลู ชดุ น้เี รยี งจากมากไปนอยคือ a, b, c, 102, 99
ดังนนั้ a มีคา มากท่ีสดุ ที่เปน ไปได เม่ือ b= c= 102
จะได a = 1,599 −102 −102

= 1,395

ดังนน้ั คา ที่มากทสี่ ดุ ทีเ่ ปนไปไดของขอ มลู ชดุ น้ีคือ 1,395

20. สมมตวิ าขอมูลชุดนเ้ี มอ่ื เรยี งจากนอยไปมากคือ a, b, c, d, e

เน่อื งจากมัธยฐานของขอ มูลชดุ นค้ี ือ 5 จะได c = 5

เนือ่ งจากพสิ ัยของขอมูลชดุ นค้ี ือ 5 จะได e − a =5 นนั่ คือ e= a + 5

เนื่องจากคา เฉลยี่ เลขคณติ ของขอมูลชุดน้คี ือ 5

จะได a + b + 5 + d + (a + 5) = 5
5

2a + b + d = 15
ถา a ≥ 4 จะได b + d ≤ 7 ซงึ่ เปนไปไมได เนอื่ งจาก 4 ≤ b ≤ d

ดงั นน้ั a < 4

เน่ืองจากฐานนยิ มของขอ มลู ชดุ นค้ี ือ 5

ดงั นน้ั ขอ มูลทม่ี คี า เทา กับ 5 จะตอ งมีความถ่อี ยางนอย 2

ถา b= d= 5 จะได 2a = 5 ดงั น้นั a = 2.5 ซงึ่ เปน ไปไมไ ด เนอ่ื งจาก a เปนจาํ นวนเต็ม

ดังนน้ั จะมีเพยี งตัวใดตัวหนึ่งใน b และ d ทีเ่ ทา กบั 5

กรณี 1 b = 5 เนอ่ื งจาก a < 4 จะไดว า a อาจเปน 1, 2 หรือ 3

สมมติวา a = 1 เนือ่ งจาก e= a + 5 จะได e = 6

และเนอ่ื งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15

จะได d = 8 ซ่ึงเปน ไปไมไ ด เนื่องจาก d ≤ e

สมมตวิ า a = 2 เนือ่ งจาก e= a + 5 จะได e = 7

และเนอ่ื งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15

จะได d = 6

ดังนัน้ 2, 5, 5, 6, 7 เปนชุดขอ มูลหนง่ึ ท่เี ปน ไปได

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6

สมมติวา a = 3 เนอ่ื งจาก e= a + 5 จะได e = 8
และเนอื่ งจาก b = 5 และ 2a + b + d =15
จะได d = 4 ซึง่ เปน ไปไมไ ด เน่อื งจาก b ≤ d

กรณี 2 d = 5 เนื่องจาก a < 4 จะไดวา a อาจเปน 1, 2 หรอื 3
สมมติวา a = 1 เน่ืองจาก e= a + 5 จะได e = 6
และเน่อื งจาก d = 5 และ 2a + b + d =15
จะได b = 8 ซึง่ เปนไปไมได เนือ่ งจาก b ≤ c
สมมตวิ า a = 2 เน่ืองจาก e= a + 5 จะได e = 7
และเนือ่ งจาก d = 5 และ 2a + b + d =15
จะได b = 6 ซง่ึ เปน ไปไมได เน่ืองจาก b ≤ c
สมมตวิ า a = 3 เนอื่ งจาก e= a + 5 จะได e = 8
และเน่ืองจาก d = 5 และ 2a + b + d =15
จะได b = 4
ดงั นนั้ 3, 4, 5, 5, 8 เปน ชุดขอ มูลหนึง่ ทีเ่ ปน ไปได

ดงั นน้ั ชุดของขอ มลู ที่เปน ไปไดท้ังหมด คือ 2, 5, 5, 6, 7 และ 3, 4, 5, 5, 8

21. 1) เรียงขอ มูลจากนอ ยไปมาก ไดด งั น้ี

30 65 67 75 75 78 80 85 90 92 125

ขอ มูลชดุ นี้มี 11 ตวั

เน่อื งจาก Q1 อยูในตาํ แหนง ท่ี 11+1 = 3 ดงั นนั้ Q1 = 67
4

Q2 อยูใ นตําแหนง ที่ 2(11+1) = 6 ดงั นน้ั Q2 = 78

4

และ Q3 อยใู นตําแหนง ท่ี 3(11 + 1) = 9 ดงั นน้ั Q3 = 90

4
ดังน้ัน ควอรไทลที่ 1 ควอรไทลท่ี 2 และควอรไทลท่ี 3 ของขอมูลชุดน้ี คือ 67, 78 และ

90 ชิน้ ตามลาํ ดบั

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 297

2) พสิ ยั ของขอมลู ชดุ นี้ คอื 125 − 30 =95 ชน้ิ

พสิ ยั ระหวางควอรไ ทลของขอ มูลชุดน้ี คือ 90 − 67 =23 ชิน้

เน่ืองจากเม่ือพิจารณาผลตางของขอมูล 2 ตัวใด ๆ จะไดวาสวนใหญแลวขอมูลไมได

ตางกันมากถึง 95 ช้ิน โดยผลตางของขอมูลจะใกลเคียงกับพิสัยระหวางควอรไทล

ที่คาํ นวณได ซึ่งเทา กับ 23 ช้นิ

ดังนั้น พิสัยระหวางควอรไทลเหมาะสําหรับใชอธิบายการกระจายของขอมูลชุดนี้

มากกวาพสิ ยั

3) เนื่องจา=ก P25 Q=1, P50 Q2 และ P75 = Q3
ดังน=น้ั P25 6=7, P50 78 และ P75 = 90

เนื่องจาก P90 อยใู นตําแหนงที่ 90 (11 + 1) = 10.8

100
ดังน้ัน P90 อยรู ะหวา งขอมูลในตําแหนงท่ี 10 และ 11 ซงึ่ มคี าอยูร ะหวาง 92 และ 125

ในการหา P90 จะใชการเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังนี้

เนือ่ งจากขอ มูลในตาํ แหนง ที่ 10 และ 11 มตี าํ แหนงตา งกัน 11−10 =1 มคี า ตางกนั

125 − 92 =33

จะไดว า ตาํ แหนง ตางกัน 10.8 −10 =0.8 มคี าตางกัน 0.8×33 = 26.4
1

ดงั นัน้ P90 =92 + 26.4 =118.4
ดังน้ัน เปอรเซ็นไทลท่ี 25 เปอรเซ็นไทลที่ 50 เปอรเซ็นไทลที่ 75 และเปอรเซ็นไทลที่

90 ของขอมลู ชดุ นี้ คือ 67, 78, 90 และ 118.4 ชิน้ ตามลําดบั

22. 1) จากขอ มลู สามารถเขียนแผนภาพลําตนและใบไดด ังนี้

นกั กฬี าบาสเกตบอลชาย นกั กฬี าบาสเกตบอลหญิง

15 3 4 7

16 0 1 3 6 7 8 8 8

9 6 5 17 0 1 1 2 2 4 5

9 8 5 3 1 0 0 0 18 1 2

8 8 6 5 5 5 0 0 19

6 20

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

298 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6

2) จากแผนภาพในขอ 1) จะเห็นวาขอมูลความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายและหญิง
ไมม ขี อมลู ใดทม่ี ีคาแตกตา งจากขอมลู ตวั อ่นื ในแตล ะชดุ มาก
ดงั นนั้ จงึ ควรใชค า เฉลยี่ เลขคณิตเปน ตวั แทนของขอมูลแตล ะชดุ

3) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักกีฬาบาสเกตบอลชายคือ 3,759 = 187.95
20
เซนตเิ มตร
จะไดวา มนี ักกีฬาบาสเกตบอลชายทีส่ ูงมากกวา คาเฉล่ียเลขคณิตอยู 11 คน
ดังน้ัน นักกีฬาบาสเกตบอลชายท่ีสูงมากกวาคาเฉล่ียเลขคณิตคิดเปนรอยละ

11 ×100 =55 ของจํานวนนกั กีฬาบาสเกตบอลชายท้ังหมด

20

23. เนือ่ งจากขอ มลู ทก่ี ําหนดในโจทยเปน ขอ มลู ของตัวอยาง
ให xi และ yi แทนเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนหอง 1 และ
หอง 2 คนที่ i เมอ่ื i ∈{1, 2, 3, ... , 10} ตามลาํ ดบั
x และ y แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของ
นักเรียนหอ ง 1 และหอ ง 2 ท่สี มุ มา ตามลําดบั
และ sx และ sy แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวัน
ของนักเรียนหอง 1 และหอง 2 ที่สมุ มา ตามลาํ ดบั

จะได= x 3=54 35.4 และ=y 5=01 50.1
10 10
จากขอ มูล จะได

xi xi − x ( xi − x )2
0 –35.4
1,253.16

20 –15.4 237.16

30 –5.4 29.16

42 6.6 43.56

35 –0.4 0.16

82 46.6 2,171.56

54 18.6 345.96

28 –7.4 54.76

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 299

xi xi − x ( xi − x )2
0
63 –35.4 1,253.16
27.6 761.76
และ
∑10 ( xi − x )2 =6,150.4

i=1

yi yi − y ( yi − y )2
45 –5.1
26.01

40 –10.1 102.01

62 11.9 141.61

10 –40.1 1,608.01

24 –26.1 681.21

15 –35.1 1,232.01

30 –20.1 404.01

60 9.9 98.01

95 44.9 2,016.01

120 69.9 4,886.01

∑10 ( yi − y )2 =11,194.9

i=1

=ดงั น้ัน sx 6,150.4 ≈ 26.1=4 และ sy 11,194.9 ≈ 35.27
10 −1 10 −1

ดงั น้ัน สัมประสทิ ธิ์การแปรผนั ของเวลาท่ใี ชใ นการอานหนังสอื ในหน่งึ วนั ของนักเรยี นหอ ง 1

คือ 26.14 ≈ 0.74
35.4

และสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของนักเรียนหอง 2

คือ 35.27 ≈ 0.70
50.1

เน่ืองจากสัมประสิทธ์ิการแปรผันของเวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหน่ึงวันของนักเรียน

หอ ง 1 มากกวา นักเรียนหอ ง 2

ดังนั้น เวลาท่ีใชในการอานหนังสือในหนึ่งวันของนักเรียนท่ีสุมมา 10 คน จากหอง 1 มีการ

กระจายมากกวาเวลาท่ใี ชใ นการอานหนังสือในหน่งึ วันของนักเรียนทสี่ ุมมา 10 คน จากหอง 2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

300 คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6

24. 1) มธั ยฐานของจาํ นวนลกู เกดท่ีใสใ นขนมปง แตล ะอนั ของรา นท่ี 1 คือ 30 เมด็
และมธั ยฐานของจํานวนลูกเกดท่ใี สในขนมปง แตละอันของรา นที่ 2 คือ 31 เมด็

2) จากแผนภาพกลอ งของรา นที่ 1 จะได Q3 = 31
ดังน้ัน ขนมปงจากรานที่ 1 ท่ีมีจํานวนลูกเกดนอยกวา 31 เม็ด คิดเปนรอยละ 75 ของ
ขนมปง ทซ่ี อ้ื จากรานที่ 1 ทง้ั หมด

3) จากแผนภาพกลองของรานที่ 2 จะไดวาควอรไทลท่ี 3 ของจํานวนลูกเกดท่ีใสใน
ขนมปง แตละอันทซี่ ื้อจากรา นที่ 2 คือ 33 เม็ด

4) อรรถฤทธ์ิควรซ้ือขนมปงลกู เกดจากรานที่ 1 เนื่องจากเม่ือพิจารณาจากแผนภาพกลอง
จะเห็นวาแผนภาพกลอ งของรานที่ 1 มีความกวางนอยกวารา นที่ 2 มาก
ดังน้นั จํานวนลกู เกดในขนมปงแตล ะอนั ของรานที่ 1 ใกลเคยี งกันมากกวา รานที่ 2

5) อรรถฤทธิ์ควรซื้อขนมปงลูกเกดจากรานท่ี 2 เนื่องจากมีจํานวนขนมปงของรานที่ 2
ประมาณรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกดมากกวาขนมปงของรานท่ี 1 นอกจากนี้
ยังมีแนวโนมสูงวามีจํานวนขนมปงของรานท่ี 2 ไมถึงรอยละ 25 ที่มีจํานวนลูกเกด
นอ ยกวา ขนมปง ของรานท่ี 1

25. วธิ ที ่ี 1 สมมตคิ าขนมของมานี ชใู จ และปติ คือ a, b และ c บาท ตามลําดับ
เนอ่ื งจากคา เฉล่ียเลขคณิตของคาขนมของทงั้ สามคน คือ 50 บาท
และสวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทัง้ สามคน คอื 0 บาท

จะได (a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 = 0
3

(a − 50)2 + (b − 50)2 + (c − 50)2 =0

แตเน่ืองจาก (a − 50)2 ≥ 0, (b − 50)2 ≥ 0 และ (c − 50)2 ≥ 0
จะได (a − 50)2 = (b − 50)2 = (c − 50)2 = 0

a − 50 = b − 50 = c − 50 = 0

ดังนัน้ a = b = c = 50
สมมติคาขนมของมานะคือ d บาท
เนื่องจากคา เฉลีย่ เลขคณิตของคาขนมของท้ังสค่ี น คือ 45 บาท

จะได 50 + 50 + 50 + d = 45
4

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 301

d = 30

ดังนั้น สวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคาขนมของทัง้ ส่ีคน คอื
(50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท

4

วิธที ่ี 2 เน่อื งจากสวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สามคน คือ 0 บาท
จะไดวาทง้ั สามคนไดคาขนมจากผูปกครองเทา ๆ กนั
และเนื่องจากคาเฉลยี่ เลขคณติ ของคา ขนมของท้ังสามคนคือ 50 บาท
ดังน้ัน มานี ชูใจ และปติ ไดค า ขนมจากผูป กครองคนละ 50 บาท
สมมตคิ าขนมของมานะคือ d บาท
เน่อื งจากคา เฉลย่ี เลขคณิตของคาขนมของท้ังสค่ี น คือ 45 บาท
จะได 50 + 50 + 50 + d = 45

4
d = 30

ดังน้นั สว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคา ขนมของทงั้ สี่คน คือ
(50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (50 − 45)2 + (30 − 45)2 ≈ 8.66 บาท

4

26. 1) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ที่สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก
มากกวา สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอมลู ชดุ ข
ดงั นนั้ ขอ มูลชุด ก ควรมีความแตกตา งในชุดขอ มลู มากกวา ขอ มลู ชุด ข
คาํ ตอบมีไดห ลากหลาย เชน ใหขอมูลชดุ ก ประกอบดวย 1, 2, 5, 8, 9 และขอมลู ชุด ข
ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15
จะได คาเฉลีย่ เลขคณติ ของขอ มลู ชดุ ก คือ 1+ 2 + 5 + 8 + 9 = 5

5

คา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอมลู ชดุ ข คอื 11+12 +13 +14 +15 = 13
5

สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มูลชดุ ก คือ

(1− 5)2 + (2 − 5)2 + (5 − 5)2 + (8 − 5)2 + (9 − 5=)2 10 ≈ 3.16

5

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

302 คูม อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6

และสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คือ

(11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2

5
≈ 1.41

จะเห็นวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก มากกวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ
ขอ มลู ชดุ ข
2) เน่ืองจากสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลแตละชุดเปน 0 ก็ตอเม่ือขอมูลทุกตัวมีคา
เทากัน
แตจากโจทย กําหนดใหขอ มูลแตละชดุ ประกอบดว ยจํานวนเต็มที่แตกตางกนั
ดังนน้ั ไมม โี อกาสท่สี วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ มลู แตละชดุ จะเปน 0
3) ตองการยกตัวอยางขอมูลชุด ก และ ข ท่ีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก
เทา กบั สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มูลชุด ข
ดังนั้น ผลบวกของกําลังสองของผลตางของขอมูลใด ๆ กับคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูล
ทั้งสองชุดตองเทากนั
คําตอบมีไดหลากหลาย เชน ใหขอมูลชุด ก ประกอบดวย 1, 2, 3, 4, 5 และขอมูล
ชดุ ข ประกอบดว ย 11, 12, 13, 14, 15
จะได คา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ มูลชุด ก คอื 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3

5

คาเฉลย่ี เลขคณิตของขอมลู ชุด ข คือ 11+12 +13 +14 +15 = 13
5

สวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ มลู ชดุ ก คอื

(1− 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2 = 2

5

และสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ข คอื

(11−13)2 + (12 −13)2 + (13 −13)2 + (14 −13)2 + (15 −13)2 = 2

5

จะเห็นวาสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูลชุด ก เทากับสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ
ขอมลู ชุด ข

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 303

27. เน่ืองจากคาเฉลีย่ เลขคณิตของขอมูลชดุ นีเ้ ทา กับ 3

จะได 1+ 2 + x + 3 + 3 + y + 6 = 3
7

x+ y = 6

y = 6−x

เน่อื งจากสว นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนเ้ี ทา กับ 47
7

จะได (1− 3)2 + (2 − 3)2 + ( x − 3)2 + (3 − 3)2 + (3 − 3)2 + ( y − 3)2 + (6 − 3)2 = 4 7

77

( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 2

( x − 3)2 + ((6 − x) − 3)2 = 2

( x − 3)2 + (3 − x)2 = 2

( x − 3)2 + ( x − 3)2 = 2

( x − 3)2 = 1

x − 3 =−1 หรือ x − 3 =1
ดังน้นั x = 2 หรอื x = 4
เนอ่ื งจากขอ มลู ชุดนเ้ี รียงจากนอยไปมากคือ 1, 2, x, 3, 3, y, 6
จะได x = 2
เนอ่ื งจาก y= 6 − x จะได y = 4

28. สมมตวิ า ขอมูลท่บี ันทกึ ถูกตองจํานวน 19 ตัว คือ x1, x2,  , x19
เนือ่ งจากคา เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ มูลชดุ ที่มีขอ มลู ท่บี ันทึกผดิ 1 ตวั เทา กับ 10

จะได 19 = 10

∑ xi + 8

i=1

20

19

∑ xi = 192
i=1

เนอ่ื งจากสวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชุดทม่ี ขี อ มลู ที่บันทกึ ผดิ 1 ตวั เทา กับ 2

จะได ∑19 ( xi −10)2 + (8 −10)2

i=1 = 2
20 −1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6

∑19 ( xi −10)2 = 72
i=1

19
∑ xi +12
ดังนั้น คาเฉลย่ี เลขคณิตทีถ่ กู ตองของขอ มลู ชดุ นี้ คือ 1=92 +12 10.2
i ==1
20 20
และความแปรปรวนทถ่ี ูกตอ งของขอ มูลชดุ น้ี คือ

∑19 ( xi −10.2)2 + (12 −10.2)2 19 ( ( xi − 10 ) − 0.2)2 + 3.24

i =1 ∑
= i=1
20 −1 19

( )∑19 ( xi −10)2 − 0.4( xi −10) + 0.04 + 3.24

= i=1
19

)−=10 2 − 0.4 i191=( xi −10)  + i191
∑ ∑ ∑19 ( xi (0.04) + 3.24

== i 1
19

72 − 0.4 19 =xi  + 0.4 i191  ( 0.04)
= i 1 
∑ ∑= 10 + 19 + 3.24

19

= 72 − 0.4(192) + 0.4(190) + 0.76 + 3.24

19

≈ 3.96

29. 1) ไมถูกตอง เน่ืองจากคะแนนสอบของสมชายตรงกับ P30 หมายความวามีนักเรียน
ประมาณรอยละ 30 ท่ีไดคะแนนนอ ยกวาสมชาย

2) โดยท่ัวไปแลวไมถูกตอง เนื่องจากคะแนนสอบของสมหญิงตรงกับ P40 หมายความวา
มนี ักเรียนประมาณรอยละ 60 ทไี่ ดคะแนนมากกวาสมหญงิ

30. 1) เนอ่ื งจากผทู ่สี อบผา นจะตองไดคะแนนไมตํ่ากวารอยละ 70 ของคะแนนเตม็

ดังนน้ั ผูทีส่ อบผา นจะตอ งไดค ะแนนมากกวา หรือเทากับ 70 ×80 =56 คะแนน

100

จากขอมูล จะไดวาถาใชเกณฑในการสอบผานนี้ คะแนนตํ่าสุดของผูท่ีสอบผานคือ
59 คะแนน

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 305

2) เรียงขอ มลู จากนอ ยไปมาก ไดด ังนี้

25 26 38 38 41 44 59 62 69 72

เนือ่ งจาก P70 อยใู นตาํ แหนงที่ 70(10 +1) = 7.7

100
ดงั นน้ั ถาใชเ กณฑในการสอบผานน้ี คะแนนต่ําสดุ ของผทู ส่ี อบผา นคอื 62 คะแนน

31. 1) เรียงขอมูลจากนอยไปมาก ไดด ังนี้

84 112.2 142.5 164 197.5 214.2 220.9

224.7 229.1 299.4 320.6 365.2 392.4 423.2

เนื่องจาก P87 อยใู นตําแหนงท่ี 87(14 +1) = 13.05

100
ดงั นัน้ P87 อยูระหวา งขอมูลในตําแหนง ท่ี 13 และ 14 ซ่งึ มีคาอยรู ะหวา ง 392.4 และ 423.2

ในการหา P87 จะใชก ารเทียบบัญญตั ไิ ตรยางศ ดังน้ี

เนือ่ งจากขอ มูลในตาํ แหนงท่ี 13 และ 14 มตี าํ แหนงตางกัน 14 −13 =1 มีคาตา งกนั

423.2 − 392.4 =30.8

จะไดวา ตําแหนง ตางกนั 13.05 −13 =0.05 มีคา ตา งกนั 0.05× 30.8 = 1.54
1

ดงั น้นั P87 = 392.4 +1.54 = 393.94
จะไดวาปริมาณนํ้าฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 87 มีปริมาณนํ้าฝน

นอ ยกวาคอื 393.94 มิลลิเมตร

2) เน่ืองจาก P40 อยูในตาํ แหนง ท่ี 40(14 +1) =6

จะไดว า P40 = 214.2 100

ดังน้ัน ปริมาณน้ําฝนที่มีจังหวัดในภาคเหนือประมาณรอยละ 60 มีปริมาณนํ้าฝน

มากกวา คอื 214.2 มลิ ลเิ มตร

32. 1) เน่อื งจาก Q2 อยใู นตาํ แหนง ที่ 2(40 +1) = 20.5

จะได Q2 = 65 4

ดงั น้นั คะแนนที่มีนักเรียนประมาณคร่งึ หนึง่ ของช้ันไดคะแนนตา่ํ กวา คอื 65 คะแนน

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

306 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6

2) เนื่องจาก Q3 อยใู นตําแหนงที่ 3(40 +1) = 30.75

จะได Q3 = 78 4

ดังนน้ั คะแนนที่มีนักเรยี นประมาณหนงึ่ ในสขี่ องชัน้ ไดค ะแนนสงู กวาคอื 78 คะแนน

3) เน่อื งจาก P60 อยใู นตําแหนง ที่ 60(40 +1) = 24.6

100
ดังน้ัน P60 อยรู ะหวางขอ มลู ในตําแหนงท่ี 24 และ 25 ซง่ึ มีคาอยรู ะหวาง 69 และ 74

ในการหา P60 จะใชการเทยี บบัญญตั ิไตรยางศ ดังน้ี

เนือ่ งจากขอ มูลในตําแหนง ท่ี 24 และ 25 มตี าํ แหนงตางกัน 25 − 24 =1 มคี าตางกนั

74 − 69 =5

จะไดวา ตาํ แหนงตา งกนั 24.6 − 24 =0.6 มคี า ตางกนั 0.6× 5 = 3
1

ดังน้นั P60 = 69 + 3 = 72
จะไดวาคะแนนทม่ี นี กั เรยี นประมาณหกในสบิ ของชั้นไดค ะแนนต่ํากวา คือ 72 คะแนน

4) เนือ่ งจาก P25 อยูใ นตําแหนงท่ี 25(40 +1) = 10.25

100
ดังนั้น มีนักเรียนทไี่ ดคะแนนนอ ยกวาเปอรเซน็ ไทลท ่ี 25 อยู 10 คน

จะไดวาจํานวนนักเรียนท่ีตองเขารวมกิจกรรมพัฒนาทักษะการคิดอยางมีวิจารณญาณ

คือ 10 คน

33. 1) มธั ยฐานและคา สูงสุดของอัตราเรว็ สูงสดุ ในการเคลือ่ นท่ีของสัตวป า คอื 40 และ 70 ไมล
ตอ ชว่ั โมง ตามลําดบั
มัธยฐานและคาสูงสุดของอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนที่ของสัตวเล้ียงคือ 38 และ 49
ไมลต อช่ัวโมง ตามลําดบั

2) พิสัยระหวางควอรไทลของอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนที่ของสัตวปาคือ
45 − 25 =20 ไมลตอชว่ั โมง
พสิ ยั ระหวา งควอรไทลของอัตราเรว็ สงู สุดในการเคลือ่ นทข่ี องสัตวเล้ียงคอื 40 − 30 =10
ไมลตอ ชวั่ โมง

3) จากแผนภาพกลอง จะไดวามีสัตวปาประมาณรอยละ 75 ท่ีมีอัตราเร็วสูงสุดในการ
เคล่ือนท่นี อ ยกวา 45 ไมลตอช่ัวโมง

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 307

ดังนั้น จึงสามารถสรุปไดวาสัตวปาสวนใหญมีอัตราเร็วสูงสุดในการเคล่ือนท่ีนอยกวา
49 ไมลต อชวั่ โมง

34. 1) คาตํ่าสุด มัธยฐาน และคาสูงสุดของจํานวนคร้ังของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A
นอ ยกวา คา ตา่ํ สดุ มธั ยฐาน และคาสงู สุดของจาํ นวนครงั้ ของการดาวนโ หลดแอปพลเิ คชัน
B ตามลําดับ

2) พิสัยระหวางควอรไทลของจํานวนครั้งของการดาวนโหลดแอปพลิเคชัน A นอยกวา
พิสยั ระหวางควอรไ ทลข องจาํ นวนครงั้ ของการดาวนโหลดแอปพลิเคชนั B

35. 1) เมือ่ พิจารณาจากคาตํา่ สดุ ของดชั นคี วามสขุ ของประเทศที่สุมมาจากแตละทวปี
จะไดวาแผนภาพกลอง (1), (2) และ (3) แสดงดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจาก
ทวีปเอเชยี อเมริกา และยุโรป ตามลําดบั

2) เรียงคาต่ําสุดของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดดงั น้ี อเมริกา เอเชีย ยุโรป
เรียงมัธยฐานของดัชนีความสุขของประเทศที่สุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดดงั นี้ เอเชยี ยุโรป อเมรกิ า
เรียงคาสูงสุดของดัชนีความสุขของประเทศท่ีสุมมาจากแตละทวีปจากนอยไปมาก
ไดด งั น้ี เอเชยี อเมรกิ า ยโุ รป

3) ทวีปอเมริกามีการกระจายของดัชนีความสุขมากที่สุด เพราะแผนภาพกลองมี
ความกวา งมากทสี่ ดุ

4) เม่ือพิจารณาเฉพาะประเทศที่สุมมา ทวีปยุโรปมีดัชนีความสุขมากที่สุด เน่ืองจาก
ดัชนีความสุขอยูในชว ง 5.195 – 7.537 และแผนภาพกลองมีความกวางนอย แสดงวา
ขอมูลทั้งหมดเกาะกลุมกันอยูในชวงดังกลาว นอกจากนี้คาสูงสุดของดัชนีความสุข
ของประเทศที่สุมมาจากทวีปยุโรปยังมากกวาอีกสองทวีป และคาต่ําสุดของดัชนี
ความสุขของประเทศท่สี มุ มาจากทวีปยโุ รปกม็ ากกวา อกี สองทวปี

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

308 คมู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6

36. 1) เนื่องจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทล

ท่ี 90 แสดงวามีผูเขาสอบที่ไดคะแนนนอยกวาเพลงรพิณประมาณ 90% ของ

ผูเขา สอบท้ังหมด

ดงั น้นั สามารถสรปุ ไดวา เพลงรพณิ ไดค ะแนนมากกวา ผเู ขาสอบสวนใหญ

2) ขอสอบท่ีใชในการวัดผลครั้งน้ีนาจะยากเกินไปสําหรับผูเขาสอบสวนใหญ เนื่องจาก

มีผูเขาสอบมากถึง 90% ของผูเขาสอบท้ังหมดท่ีไดคะแนนนอยกวา 28 คะแนน

จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน

3) เนือ่ งจากเพลงรพิณได 28 คะแนน และคะแนนของเพลงรพิณตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 90

ดังน้ัน มีผูเขาสอบท่ีไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณประมาณ 10% ของผูเขาสอบท้ังหมด

ซึง่ เทา กบั 10 × 6=21,519 62,151.9 ≈ 62,152 คน
100

4) เปน ไปไมไ ด

โดยจากขอ 3) มผี เู ขาสอบประมาณ 62,152 คน ที่ไดคะแนนมากกวา เพลงรพิณ จะไดวา

มีผูเขาสอบประมาณ 621,519 − 62,152 −1 =559,366 คน ที่ไดคะแนนนอยกวา

เพลงรพณิ

สมมติวาผูเ ขา สอบทุกคนท่ไี ดคะแนนนอ ยกวาเพลงรพิณไดค ะแนนเทา กนั คือ 27 คะแนน

และผูเขาสอบทุกคนที่ไดคะแนนมากกวาเพลงรพิณไดคะแนนเทากันคือ 100 คะแนน

จะไดวา คา สูงท่ีสุดท่ีเปนไปไดข องคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ

(559,366× 27) + 28 + (62,152×100) ≈ 34.3 คะแนน ซึ่งนอยกวา 38 คะแนน

621, 519

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 309

บรรณานุกรม

กฤษณะ เนียมมณี. (2562). คณิตศาสตรการเงินในชีวิตประจําวัน. สืบคนเมื่อ 21 พฤศจิกายน
2562, จ า ก https://www.mebmarket.com/ebook-101208-ค ณิ ต ศ า ส ต ร ก า ร เ งิ น
ในชีวติ ประจําวนั

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2559). Microsoft ® Excel ® 2016
MSO (16.0.4266.1001) 32-bit [โ ป ร แ ก ร ม ค อ ม พิ ว เ ต อ ร ]. Redmond, WA:
Microsoft Corporation.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 3 เลม 1 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด
กลุมสาระการเรียนรูค ณติ ศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 ตามมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระ
การเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพรา ว.

สํานักงานราชบัณฑิตยสภา. (2561). พจนานุกรมศัพทสถิติศาสตร ฉบับราชบัณฑิตยสภา
(พมิ พค ร้งั ท่ี 2). กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พแ หงจฬุ าลงกรณมหาวทิ ยาลัย.

Encyclopedia Titanica. Encyclopedia Titanica: Titanic Facts, History and Biography.
Retrieved August 1, 2019, from https://www.encyclopedia-titanica.org

International GeoGebra Institute. Quartile1 Command. Retrieved August 1, 2019, from
https://wiki.geogebra.org/en/Quartile1_Command

Kaggle. Titanic: Machine Learning from Disaster. Retrieved August 1, 2019, from
https://www.kaggle.com/c/titanic

Weiss, N. A. (2017). Introductory Statistics (10th ed). Essex, England: Pearson Education
Limited.

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6

คณะผูจัดทาํ

ท่ีปรกึ ษา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจํานงค

คณะผจู ดั ทาํ คมู ือครู

นายประสาท สอา นวงศ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

รศ. ดร.สมพร สตู นิ นั ทโ อภาส สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

รศ. ดร.สริ พิ ร ทพิ ยค ง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

นายสเุ ทพ กติ ตพิ ิทักษ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

นางสาวจําเริญ เจียวหวาน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

ดร.อลงกรณ ตงั้ สงวนธรรม สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

วาท่รี อ ยเอก ดร.ภณัฐ กว ยเจริญพานิชก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

นางภญิ ญดา ดาํ ดว ง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

ดร.จณิ ณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

รศ. ดร.กัลยา วานชิ ยบ ัญชา ขาราชการบํานาญ

รศ. ดร.พาชิตชนัต ศริ ิพานิช สถาบนั บัณฑิตพฒั นบริหารศาสตร

ผศ. ดร.จุฑาภรณ สนิ สมบูรณท อง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร

รศ. ดร.ณฐั กาญจน ใจดี จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั

รศ. ดร.สญั ญา มิตรเอม มหาวทิ ยาลัยธรรมศาสตร

นางนงนุช ผลทวี โรงเรยี นทับปดุ วิทยา จงั หวดั พงั งา

คณะบรรณาธกิ าร จฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั
รศ. ดร.สุพล ดุรงคว ัฒนา สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวอมั ริสา จนั ทนะศริ ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวปฐมาภรณ อวชัย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

นายพัฒนชยั รวิวรรณ

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 311

ฝา ยสนบั สนุนวชิ าการ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวเบญจพรรณ กวเี ลิศพจนา สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.จฬุ าลกั ษณ แกวหวงั สกลู สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายกฤษณะ ปอมดี มหาวิทยาลัยสงขลานครนิ ทร วทิ ยาเขตหาดใหญ
นางสาวปย าภรณ ทองมาก
ดร.พรฑิตา ทิวทศั น

ออกแบบปก
บรษิ ัท พิงค บลู แบล็ค แอนด ออเรจน จาํ กัด

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร