Matematika
Untuk SMP/MTs
(Kurikulum 2013)
Oleh
I WAYAN SANA, S.Pd
2021
(Kurikulum 2013) Kelas 1
VIII
Matematika VIII SMP/MTs
Daftar Isi
Bab 1 Pola Bilangan................................................................................................... 3
A. Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan................................ 4
B. Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek............................... 5
Uji Kompetensi Bab 1........................................................................................ 8
Bab 2 Koordinat Kartesius......................................................................................... 12
A. Posisi Titik ................................................................................................... 13
B. Posisi Garis terhadap Sumbu X dan Sumbu Y............................................ 16
Uji Kompetensi Bab 2........................................................................................ 18
Bab 3 Relasi dan Fungsi............................................................................................ 22
A. Memahami Bentuk Penyajian Relasi........................................................... 23
B. Memahami Ciri-Ciri Fungsi........................................................................... 24
C. Memahami Korespondensi Satu-Satu......................................................... 27
Uji Kompetensi Bab 3........................................................................................ 31
Ulangan Tengah Semester 1....................................................................................... 35
Bab 4 Persamaan Garis Lurus.................................................................................. 39
A. Grafik dan Kemiringan Persamaan Garis Lurus.......................................... 40
B. Bentuk Persamaan Garis Lurus dengan Kemiringan m dan melalui
Titik (x1, y1)................................................................................................... 42
C. Sifat-Sifat Persamaan Garis Lurus............................................................... 42
Uji Kompetensi Bab 4........................................................................................ 46
Bab 5 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel........................................................ 49
A. Memahami Konsep Persamaan Linear Dua Variabel.................................. 50
B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............................ 52
Uji Kompetensi Bab 5........................................................................................ 56
Ulangan Akhir Semester 1........................................................................................... 60
Daftar Pustaka.............................................................................................................. 64
2 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Bab
1 Pola Bilangan
Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Kompetensi Dasar
3.1 Membuat generalisasi dari pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek.
4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
1. mengamati pola pada suatu barisan bilangan;
2. menentukan suku selanjutnya dari suatu barisan bilangan dengan cara menggeneralisasi pola bilangan sebelumnya;
3. menggeneralisasi pola barisan bilangan menjadi suatu persamaan; dan
4. mengenal macam-macam barisan bilangan.
Alokasi Waktu
... jam pelajaran / ... × pertemuan
Peta Konsep
Pola Bilangan
Menentukan Persamaan dari Suatu Menentukan Persamaan dari Suatu
Barisan Bilangan Konfigurasi Objek
Apersepsi
Jika kalian mengamati benda-benda yang ada di sekitar, maka akan Gambar bunga dengan kelopak berjumlah
terdapat pola-pola yang sebenarnya tercipta secara alami. Misalnya enam.
kelopak pada bunga. Beberapa bunga memiliki jumlah kelopak yang
beragam. Ada yang berjumlah tiga, empat, lima, ataupun tujuh.
Semuanya tampak tersusun secara teratur. Selain itu terdapat pula
bentuk-bentuk seperti spiral. Bentuk tersebut biasanya terdapat
pada pola bunga matahari. Pada bab ini, kalian akan membahas
tentang pola-pola yang terdapat pada barisan bilangan maupun
barisan konfigurasi objek dan menemukan generalisasinya.
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 3
Rangkuman Materi
A. Menentukan Persamaan dari Suatu Barisan Bilangan
Pola bilangan merupakan salah satu materi yang cukup penting dalam matematika sebelum
melanjutkan materi tentang barisan aritmetika dan geometri. Pola bilangan memiliki arti suatu susunan
bilangan yang memiliki bentuk teratur. Pola dapat berupa bentuk geometri atau relasi matematika.
Perhatikan barisan bilangan berikut!
2 4 6 8 10 12 selisih positif
+2 +2 +2 +2 +2
Pada barisan bilangan di atas diketahui bahwa suku pertama adalah 2, suku kedua adalah 4, suku
ketiga adalah 6, suku keempat adalah 8, dan seterusnya. Jika kalian perhatikan dengan saksama,
suku selanjutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2. Dengan demikian, selisih
antara dua suku yang berurutan adalah 2.
Coba perhatikan barisan bilangan berikut!
8 6 4 2 0 -2 selisih negatif
-2 -2 -2 -2 -2
Pada barisan bilangan di atas diketahui bahwa suku pertama adalah 8, suku kedua adalah 6, suku
ketiga adalah 4, suku keempat adalah 2, dan seterusnya. Jika kalian perhatikan dengan saksama,
suku selanjutnya didapat dengan mengurangkan suku sebelumnya dengan 2. Dengan demikian, selisih
antara dua suku yang berurutan adalah -2 (negatif dua). Bagaimanakah menentukan persamaan dari
barisan bilangan tersebut?
Contoh:
Misalkan terdapat barisan bilangan 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... berapakah suku ke-10?
Suku ke- Nilai Pola
1 4 4×1
2 8 4×2
3 12 4 × 3
4 16 4 × 4
5 20 4 × 5
n 4. n
Berdasarkan tabel, didapat persamaan yang digunakan untuk menentukan tiap suku yaitu 4 × n. Nilai
suku ke-10 bisa didapat dengan sangat mudah.
UU1n0 == n
4 × 10 = 40
4 ×
Jadi, suku ke-10 dari barisan bilangan tersebut adalah 40.
Jika barisan bilangan sebelumnya memiliki selisih yang tetap, maka perhatikan barisan bilangan
berikut!
− 1 1 2 4 8 16 rasio bulat
positif
2
×2 ×2 ×2 ×2 ×2
Pada barisan bilangan di atas diketahui bahwa suku pertama adalah 1 , suku kedua adalah 1, suku
2
ketiga adalah 2, suku keempat adalah 4 dan seterusnya. Jika kalian perhatikan dengan saksama,
suku selanjutnya didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Dengan demikian, rasio
antara dua suku yang berurutan adalah 2.
4 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Coba perhatikan barisan bilangan berikut!
32 -16 8 -4 2 -1 rasio
pecahan
× -− 1 × -− 1 × -− 1 × -− 1 × -− 1 negatif
2 2 2 2 2
Pada barisan bilangan di atas diketahui bahwa suku pertama adalah 32, suku kedua adalah −16,
suku ketiga adalah 8, suku keempat adalah -4, dan seterusnya. Jika kalian perhatikan dengan saksama,
suku selanjutnya didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan -− 1 . Dengan demikian, rasio
setengah). 2
antara dua suku yang berurutan adalah -− 1 (negatif
2
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui suatu pola bilangan 2, 5, 8, 11, 14, ….
Bagaimanakah cara menentukan suku berikutnya?
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Tentukan dua suku berikutnya dari barisan bilangan 40, 37, 34, 31, 28, ….
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Diketahui barisan bilangan 64, 32, 16, 8, ….
Tentukan persamaan umum barisan bilangan tersebut, dan suku ke-11.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Suatu barisan bilangan memiliki persamaan umum Un = n(n + 1). Tentukan lima suku pertamanya!
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Isilah titik-titik yang kosong agar membentuk susunan bilangan dengan pola tertentu!
a. 7, 9, 11, ..., 15
b. 5, ..., 19, 26, 33
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Di balik huruf-huruf yang membentuk kata RASIO tersembunyi bilangan-bilangan dengan pola tertentu.
Jika huruf R, S, dan O berturut-turut menyembunyikan lambang bilangan 504, 528, dan 552, tentukanlah
lambang bilangan yang tersembunyi di balik huruf A dan I!
B. Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek
Tidak hanya bilangan yang dapat membentuk pola. Akan tetapi objek-objek juga bisa membentuk
pola yang teratur dan unik. Kombinasi atau susunan objek-objek dengan pola tertentu dinamakan
konfigurasi objek. Berikut berbagai bentuk konfigurasi objek.
1. Pola Bilangan Ganjil
Objek-objek berikut membentuk pola bilangan ganjil karena jumlahnya menunjukkan bilangan asli
yang ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua.
1 3 5 7
Matematika VIII SMP/MTs
Bilangan ke-n = 2n – 1
(Kurikulum 2013) 5
2. Pola Bilangan Genap
Objek-objek berikut membentuk pola bilangan genap, karena jumlahnya habis dibagi 2 atau
kelipatan 2.
2 4 6 8
Bilangan ke-n = 2n
3. Pola Garis Lurus
Pola garis lurus adalah pola bilangan yang membentuk garis lurus. Pola garis lurus merupakan
bentuk pola bilangan yang paling sederhana. Pola garis lurus dapat digambarkan sebagai
berikut.
1 2 3
Bilangan ke-n = n
4. Pola Persegi Panjang
Pola persegi panjang adalah pola bilangan yang susunannya seperti bangun persegi panjang.
Pola persegi panjang tidak berlaku pada bilangan prima. Pola persegi panjang dapat digambarkan
sebagai berikut.
2 6 12 20 30
Bilangan ke-n = n(n + 1)
5. Pola Persegi
Pola persegi adalah pola bilangan yang susunannya seperti bangun persegi. Ciri-ciri pola
bilangan yang mengikuti pola persegi adalah jumlah sisi-sisinya sama. Pola persegi dapat
digambarkan sebagai berikut.
14 9 16 25
Bilangan ke-n = n2
6. Pola Segitiga
Pola segitiga adalah pola bilangan yang susunannya seperti segitiga. Pola segitiga dapat
digambarkan sebagai berikut.
1 3 6
Bilangan ke-n = 1 n(n + 1)
2
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Berdasarkan suatu barisan bilangan 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, .... tentukan pola bilangan ke-12.
Jawab: ............................................................................................................................................
6 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
2. Berdasarkan suatu barisan bilangan 2, 6, 12, 20, 30, 42, .... tentukan pola bilangan ke-15.
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Berapakah bilangan genap ke-40?
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Berapakah bilangan ganjil ke-100?
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Berdasarkan suatu barisan bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, .... tentukan pola bilangan ke-10.
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Pernahkan kalian menyelesaikan permainan Sudoku? Jika kalian belum pernah memainkan permainan
tersebut, coba perhatikan kotak berikut!
2
8 79
62 5
76
91
24
5 63
94 7
6
Coba kalian isikan kotak yang kosong dengan angka 1 sampai 9 dengan syarat dalam satu baris atau
satu kolom tidak boleh ada angka yang kembar!
Glosarium
barisan : susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu
konfigurasi : kombinasi atau susunan objek-objek dengan pola tertentu
pola : bentuk atau struktur yang tetap
pola bilangan : susunan bilangan dengan aturan tertentu
Karakter Bangsa
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat mengetahui pola-pola atau keteraturan yang
ada di sekitar kita. Bahkan alampun memiliki keteraturan misalnya matahari selalu terbit di pagi
hari di sebelah timur dan terbenam di sore hari di sebelah barat. Semuanya ini akan menambah
keimanan dan ketakwaanMu kepada Tuhan Yang Maha Esa.
Refleksi
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah menguasai materi-materi berikut? Berilah
tanda centang (√) pada kolom Ya atau Tidak!
No. Kemampuan Ya Tidak
1. Saya mampu mengidentifikasi pola yang terjadi pada barisan bilangan.
2. Saya mampu membuat persamaan umum dari barisan bilangan.
3. Saya mampu memahami bentuk-bentuk konfigurasi objek.
4. Saya mampu membuat persamaan umum dari barisan konfigurasi objek.
Apabila kalian sudah menguasai materi-materi tersebut, kalian dapat mengerjakan uji kompetensi
berikut.
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 7
Soal Assesmen
Panen
Seorang petani menanam pohon apel dan pohon jeruk. Pada bulan Desember terjadi panen untuk
kedua jenis tanaman tersebut. Di bawah ini kalian dapat melihat diagram yang menunjukkan pola
panen buah apel dan buah jeruk per hari (satuan kuintal).
Hari Pertama Hari Kedua Hari Ketiga
×××× ××××××× ××××××××××
•
••••• •••••••••
× = buah apel
• = buah jeruk
Pertanyaan 1:
Lengkapilah tabel berikut ini!
Hari Buah apel Buah jeruk
Pertama 41
Kedua 75
Ketiga ... ...
Keempat ... ...
Kelima ... ...
Keenam ... ...
Pertanyaan 2:
Coba Anda cari rumus untuk menentukan banyak buah apel dan jeruk untuk hari ke-n! Tuliskan
perhitungan kalian!
Pertanyaan 3:
Pada hari ke berapa panen buah jeruk melebihi buah apel? Tuliskan perhitungan kalian!
Uji Kompetensi Bab 1
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
1. Perhatikan gambar berikut! 2. Berdasarkan suatu barisan aritmetika U3 = 5,
U7 = 13. Rumus suku ke-n barisan bilangan
Pernyataan: tersebut adalah ....
(1) Pola tersebut mengikuti pola segitiga. UUUUnnnn 2n + 1
(2) Bilangan ke-n dirumuskan sebagai n2(n+ a. = 2n – 1
b. = 3n – 1
1). c. = n2 – 1
(3) Banyaknya bulatan pada pola kesebelas d. =
adalah 66. 3. Perhatikan gambar pola berikut!
(4) Banyaknya bulatan pada pola kedua
belas adalah 77.
Pernyataan yang benar adalah .... Banyaksegitigakecilpadapolake-10adalah….
a. (1) dan (2)
b. (1) dan (3) a. 64 c. 125
c. (2) dan (3)
d. (3) dan (4) b. 100 d. 256
8 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
4. Perhatikan gambar berikut! 11. Suku ke-10 dari barisan bilangan 3, 10, 17,
24, 31, … adalah ….
Banyaknya petak pada pola ke-13 adalah ....
a. 66 c. 52
a. 163
b. 181 b. 59 d. 45
c. 182
d. 282 12. Suku berikutnya dari barisan bilangan 5, 11,
5. Tiga suku berikutnya dari barisan 2, 3, 7, 16,
... adalah .... 17, 23, 29, … adalah ….
a. 32, 57, 93
b. 41, 76, 125 a. 42 c. 33
c. 25, 77, 126
d. 41, 77, 126 b. 35 d. 21
6. Perhatikan pola bilangan segitiga pada
gambar berikut! 13. Bentuk persamaan dari barisan bilangan 2,
4, 8, 16, … adalah …. (HOTS)
a. 2n−1 c. 2n
b. 2n – 1 d. 2(2n – 1)
14. Bentuk persamaan dari barisan bilangan 9,
3, 1, 1 , … adalah …. (HOTS)
3
a. 32+n c. 33−n
b. 31+n d. 32−n
15. Suku berikutnya dari barisan bilangan 7, 15,
23, 31, 39, … adalah ….
a. 42 c. 47
b. 45 d. 49
16. Perhatikan gambar berikut!
.... (1) (2) (3) (4)
13 6 10 15 Banyak lingkaran pada pola ke-6 adalah ….
Jumlah dari bilangan berikutnya adalah .... a. 13 c. 23
a. 17 c. 21 b. 21 d. 55
b. 19 d. 25 17. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 6,
10, 14, 18, ... adalah ....
7. Perhatikan gambar berikut! a. 20, 22
b. 20, 24
c. 22, 24
d. 22, 26
Banyak persegi satuan pada pola yang ke-10
adalah …. 18. Supaya deretan bilangan 1, 8, 9, 27, 64, 125,
a. 40 c. 20 … menjadi pola bilangan yang benar, maka
b. 30 d. 10 bilangan yang harus dihilangkan adalah ….
8. Persamaan suatu barisan bilangan dinyatakan (HOTS)
sebagai Un = 2n – n2. Jumlah suku ke-10 dan
suku ke-11 dari barisan bilangan tersebut a. 9 c. 64
b. 27 d. 125
adalah …. 19. Perhatikan pola bilangan berikut!
a. -399 c. -99
b. -179 d. -80
9. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 20, Pola bilangan di atas dibuat dari lidi. Jumlah
17, 14, 11, 8, … adalah …. banyaknya lidi pada pola ke-7 adalah ….
a. 5 dan 2 c. 5 dan 4 a. 16 c. 22
b. 5 dan 3 d. 4 dan 5 b. 19 d. 24
10. Bentuk persamaan dari barisan bilangan 27, 20. Suku ke-15 dari pola bilangan 2, 4, 6, 8, ...
9, 3, 1, … adalah …. (HOTS) adalah ....
a. 33−n c. 3n−3
b. 34−n d. 2n−4 a. 30 c. 26
b. 34 d. 24
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 9
II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
1. Perhatikan gambar berikut!
1 2 3 4
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-6.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Perhatikan pola berikut!
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85, …, ….
Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Perhatikan gambar pola berikut!
1 2 3 4
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Perhatikan gambar pola berikut!
1 2 3 4 5
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-10.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Diketahui suatu barisan bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... . Berapakah pola bilangan ke-10 dalam
pola bilangan persegi?
Jawab: ............................................................................................................................................
6. Bagaimana bentuk konsep segitiga Pascal?
Jawab: ............................................................................................................................................
7. Tentukan urutan bilangan yang habis dibagi 10 kurang dari 100.
Jawab: ............................................................................................................................................
8. Perhatikan gambar berikut!
Apakah nama pola objek dari gambar di atas?
Jawab: ............................................................................................................................................
9. Tentukan urutan bilangan yang habis dibagi 2 dan kurang dari 20.
Jawab: ............................................................................................................................................
10. Sebutkan beberapa contoh pola bilangan yang membentuk pola segi empat! (HOTS)
Jawab: ............................................................................................................................................
10 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Perbaikan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar!
1. Tentukan pola dari susunan bilangan berikut!
a. 3, 9, 27, 81, ....
b. 32, 16, 8, 4, ....
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui barisan bilangan 32, 28, 24, 20, ….
Bagaimanakah pola yang digunakan pada barisan bilangan di atas? Tentukan suku berikutnya!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Diketahui barisan bilangan 1 , 1, 2, 4, 8, …. Tentukan:
2
a. persamaan umum barisan bilangan tersebut, dan
b. suku ke-7.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Sebutkan lima bilangan sebelum dan sesudah dari pola bilangan 120, 136, 153, 171, 190.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Perhatikan pola berikut!
(1) (2) (3) (4)
Berapakah banyak noktah pada pola ke-8?
Jawab: ............................................................................................................................................
Pengayaan
Lakukan kegiatan berikut secara mandiri!
Lengkapilah titik-titik berikut hingga membentuk suatu pola bilangan!
Setelah kalian melengkapi titik-titik pada objek di atas, jelaskan apa yang kalian temukan pada objek
konfigurasi di atas!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 11
Bab
2 Koordinat Kartesius
Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Kompetensi Dasar
3.2 Menjelaskan kedudukan titik dalam bidang koordinat Kartesius yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kedudukan titik dalam bidang koordinat Kartesius.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
1. menggunakan bidang Kartesius untuk menentukan posisi titik terhadap sumbu x, terhadap sumbu y, terhadap titik
asal (0,0), terhadap titik tertentu (a, b); dan
2. menggunakan koordinat Kartesius untuk menentukan posisi garis sejajar sumbu x dan sumbu y, garis yang berpotongan
dengan sumbu x dan sumbu y, serta garis yang tegak lurus dengan sumbu x dan sumbu y.
Alokasi Waktu
... jam pelajaran / ... × pertemuan
Peta Konsep
Koordinat Kartesius
Posisi Titik Posisi Garis terhadap Sumbu X
dan Sumbu Y
Apersepsi
GPS (Global Positioning System) merupakan sistem satelit navigasi Gambar posisi titik-titik di dunia yang
dan penentuan posisi yang dimiliki dan dikelola oleh Amerika Serikat. diidentifikasi melalui satelit.
Sistem ini didesain untuk memberikan posisi dan kecepatan tiga
dimensi serta informasi mengenai waktu, secara kontinyu di seluruh
dunia tanpa bergantung waktu dan cuaca, bagi banyak orang
secara simultan. Cara kerja GPS mengambil konsep dari koordinat
Kartesius. Dalam Kartesius suatu bidang terbagi menjadi kotak-
kotak yang dipisahkan oleh garis tegak dan mendatar.
12 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Rangkuman Materi
A. Posisi Titik
Dalam kehidupan sehari-hari, koordinat Kartesius banyak dijumpai pada gambar denah atau peta,
penerbangan, dan ilmu-ilmu sosial yang menyangkut bentang alam wilayah atau negara.
1. Posisi Titik terhadap Sumbu X dan Sumbu Y
Koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan kedudukan suatu titik pada bidang datar.
Koordinat Kartesius menggunakan dua garis yang saling tegak lurus untuk menentukan letak suatu
titik, yaitu sumbu X (horizontal) dan sumbu Y (vertikal). Kedua sumbu tersebut berpotongan di titik
O yaitu titik pusat koordinat. Kedudukan semua titik pada bidang koordinat Kartesius dituliskan
sebagai pasangan bilangan (x, y). Perhatikan bidang koordinat Kartesius berikut!
5
4 I
II
3
2
1 X
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3 IV
III
-4
-5 Y
Kedudukan titik A, B, C, dan D pada bidang koordinat Kartesius di atas dijelaskan sebagai
berikut.
Titik Kedudukan Koordinat
A (5, 1)
Cara 1 Cara 2 Cara 3
B (-3, 4)
Berjarak 5 satuan di Dari titik O ke kanan 5 Bersesuaian dengan 5
C kanan sumbu Y. satuan dan ke atas 1 pada sumbu X. (-6, -2)
D Berjarak 1 satuan di atas satuan. Bersesuaian dengan 1 (7, -4)
sumbu X. pada sumbu Y.
Berjarak 3 satuan di kiri Dari titik O ke kiri 3 Bersesuaian dengan -3
sumbu Y. satuan dan ke atas 4 pada sumbu X.
Berjarak 4 satuan di atas satuan. Bersesuaian dengan 4
sumbu X. pada sumbu Y.
Berjarak 6 satuan di kiri Dari titik O ke kiri 6 Bersesuaian dengan -6
sumbu Y. satuan dan ke bawah pada sumbu X.
Berjarak 2 satuan di 2 satuan. Bersesuaian dengan -2
bawah sumbu X. pada sumbu Y.
Berjarak 7 satuan di Dari titik O ke kanan 7 Bersesuaian dengan 7
kanan sumbu Y. satuan dan ke bawah pada sumbu X.
Berjarak 4 satuan di
bawah sumbu X. 4 satuan. Bersesuaian dengan −4
pada sumbu Y.
Keterangan:
1. Koordinat titik A(5, 1), 5 disebut koordinat-X atau absis dan 1 disebut koordinat-Y atau ordinat.
2. Sumbu X dan sumbu Y membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:
a. Kuadran I : koordinat-x positif dan koordinat-y positif
b. Kuadran II : koordinat-x negatif dan koordinat-y positif
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 13
c. Kuadran III : koordinat-x negatif dan koordinat-y negatif
d. Kuadran IV : koordinat-x positif dan koordinat-y negatif
Pada gambar di atas, titik A di kuadran I, titik B di kuadran II, titik C di kuadran III, dan titik D
di kuadran IV.
Titik pertemuan antara kedua sumbu di titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu
juga mempunyai besaran panjang unit. Setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk
semacam grid. Cara mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi,
nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai
selalu (x, y) dan urutannya tidak dibalik-balik.
2. Posisi Titik terhadap Titik Asal (0, 0) dan terhadap Titik Tertentu (a, b)
Perhatikan gambar berikut!
Y
X
Gambar di atas merupakan sebuah bidang koordinat yang dibentuk oleh dua buah garis,
yaitu garis yang mendatar dinamakan sumbu X sedangkan garis yang tegak dinamakan sumbu
Y. Kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik yang disebut sebagai pusat koordinat yaitu
titik O(0, 0).
Bidang koordinat di atas disebut bidang koordinat Kartesius yang digunakan untuk menentukan
posisi dari sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan bilangan. Perhatikan titik A, B, C, dan
D yang ada di dalam bidang tersebut. Cara menentukan letak dari titik-titik tersebut, kalian harus
memulainya dari pusat koordinat (titik 0). Perhatikan angka yang ada pada sumbu X, setelah itu
perhatikan angka yang ada pada sumbu Y. Cara menuliskan letak titik pada bidang koordinat
Kartesius, dapat menggunakan pasangan bilangan (x, y).
Berdasarkan gambar di atas kita dapat menentukan pasangan bilangan untuk titik A, B, C,
dan D sebagai berikut.
Letak koordinat titik A = A(1, 0)
Letak koordinat titik B = B(2, 4)
Letak koordinat titik C = C(5, 7)
Letak koordinat titik D = D(6, 4)
Contoh:
Perhatikan gambar berikut!
(Kurikulum 2013)
14 Matematika VIII SMP/MTs
Koordinat titik E adalah (2, 2), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kanan dimulai dari titik
asal (0, 0) sebanyak dua satuan, lalu tegak ke atas sebanyak dua satuan.
Koordinat titik F adalah (-2, 1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik asal
(0, 0) sebanyak dua satuan, lalu tegak ke atas sebanyak satu satuan.
Koordinat titik G adalah (-3, -3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik asal
(0, 0) sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.
Koordinat titik G terhadap titik F mempunyai kedudukan: dari titik F(-2, 1) bergerak ke kiri sebanyak
satu satuan, kemudian bergerak ke bawah sebanyak 4 satuan, titik G terletak pada koordinat (-2, 1).
3. Menentukan Jarak Dua Buah Titik
Menentukan jarak antara dua titik akan lebih rumit jika titik pusat berada di kanan salah satu
atau kedua titik. Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat dapat
dilakukan dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Tentukan koordinat dari kedua titik tersebut, misalkan koordinat dari dua titik tersebut
adalah (x1, y1) dan (x2, y2).
Langkah 2: Hitung jarak dari dua titik tersebut dengan menggunakan rumus berikut.
Jarak = (x2 − )x1 2 + (y2 − )y1 2
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
Perhatikan koordinat Kartesius berikut untuk menjawab soal nomor 1–3!
Y
X
1. Sebutkan masing-masing koordinat titik-titik di atas!
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Tentukan jarak titik A terhadap sumbu X dan sumbu Y serta kuadran yang menempati titik A!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Tentukan jarak titik B terhadap sumbu X dan sumbu Y serta kuadran yang menempati titik B!
Jawab: ............................................................................................................................................
Perhatikan koordinat Kartesius berikut untuk menjawab soal nomor 4 dan 5!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 15
4. Tentukan kedudukan titik A terhadap titik asal (0, 0).
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Tentukan kedudukan titik A terhadap titik B!
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Letakkan sembarang titik A pada bidang Kartesius! Langkahkan titik tersebut ke utara sebanyak 5
langkah sampai pada titik B. Setelah itu langkahkan kembali ke arah timur sebanyak 6 langkah sampai
di titik C. Dari titik C langkahkan kembali ke selatan sebanyak 3 langkah dan sampailah pada titik D.
1. Buatlah langkah perjalanan pada bidang Kartesius!
2. Tuliskan masing-masing koordinat yang disinggahi titik tersebut!
3. Berapakah banyak langkah yang dilakukan pada bidang koordinat itu?
B. Posisi Garis terhadap Sumbu X dan Sumbu Y
Posisi garis merupakan letak garis pada bidang koordinat Kartesius. Posisi garis pada bidang
koordinat Kartesius dapat dilihat berdasarkan posisi garis terhadap sumbu X dan sumbu Y.
1. Terhadap Sumbu X
Posisi garis terhadap sumbu x dapat berupa garis sejajar, garis memotong, atau garis tegak
lurus sumbu X.
2. Terhadap Sumbu Y
Posisi garis terhadap sumbu y dapat berupa garis sejajar, garis memotong, atau garis tegak
lurus sumbu Y.
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui titik-titik (8, 3), (-4, 3), (12, 3), dan (-7, 3). Tentukan kedudukan garis yang dilalui titik-titik
tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui titik-titik (8, -1), (8, 3), (8, -9), dan (8, -7). Tentukan kedudukan garis yang dilalui titik-titik
tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Garis k melalui titik A (-3, -3) dan B(5, -3). Bagaimanakah posisi garis k terhadap sumbu X dan
sumbu Y?
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Garis l melalui titik C (3, -2) dan D(1, 2). Bagaimanakah posisi garis l terhadap sumbu X dan sumbu Y?
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Garis g melalui titik E (6, 2) dan F(6, -4). Bagaimanakah posisi garis g terhadap sumbu X dan
sumbu Y?
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Bersama teman sekelompok kalian, tentukan minimal 5 letak/posisi suatu benda yang berada di
sekolah, terhadap benda lain sebagai acuan dengan menggunakan langkah kaki!
16 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Langkah kerja:
1. Tentukan terlebih dahulu satu benda sebagai acuan, misalnya tiang bendera atau pohon
tertentu.
2. Lalu carilah minimal lima objek/benda dan tentukan lokasinya (koordinatnya) dengan menggunakan
langkah kaki!
Glosarium
koordinat : pasangan terurut suatu bilangan yang digunakan untuk menentukan suatu titik
pada bidang koordinat, ditulis (x, y)
sumbu X
sumbu Y : garis bilagan horizontal pada bidang koordinat
sumbu : garis bilangan vertikal pada bidang koordinat
: garis horizontal atau vertikal yang digunakan dalam sistem koordinat kartesius
untuk meletakkan titik pada bidang koordinat
Karakter Bangsa
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat mengetahui pentingnya memahami sistem
koordinat Kartesius terutama untuk memahami tata letak suatu titik atau tempat. Tidak hanya itu, pada
materi ini juga dijelaskan cara menggambar bangun yang diketahui titik-titik koordinatnya. Semuanya
ini diperlukan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Sungguh Tuhan
Yang Maha Esa telah memberikan anugerah yang luar biasa berupa akal pikiran dan kecerdasan
kepada kita. Oleh sebab itu kita sudah selayaknya selalu meningkatkan keimanan dan ketakwaan
kepada-Nya.
Refleksi
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah menguasai materi-materi berikut? Berilah
tanda centang (√) pada kolom Ya atau Tidak!
No. Kemampuan Ya Tidak
1. Saya mampu mengidentifikasi posisi suatu titik pada bidang koordinat.
2. Saya mampu mengukur jarak dari dua titik pada bidang koordinat.
3. Saya mampu mengidentifikasi posisi garis terhadap sumbu X dan sumbu Y.
4. Saya mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bidang
koordinat.
Apabila kalian sudah menguasai materi-materi tersebut, kalian dapat mengerjakan uji kompetensi
berikut.
Soal Assesmen
Lokasi Nina
Nina tinggal di Jalan Utama II, Blok III. Sekolah Nina berada di Jalan Utama IV, blok X. Pada
diagram Kartesius, jalan utama dipresentasikan oleh sumbu X, sedangkan blok dipresentasikan oleh
sumbu Y. Saat Nina ingin pergi ke sekolah, ia menempuh perjalanan dari rumah berjalan menuju Jalan
Utama IV kemudian naik menuju Blok X.
Pertanyaan 1:
Tunjukkan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut sesuai dengan informasi di atas! Berilah
tanda centang (√) pada pernyataan yang sesuai!
Pernyataan Benar Salah
Koordinat rumah Nina pada diagram Kartesius adalah (2, 3).
Koordinat sekolah Nina pada diagram Kartesius adalah (4, 10).
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 17
Pertanyaan 2:
Jika dianggap satu satuan pada koordinat kartesius sebagai 100 meter, berapa meter jarak yang
ditempuh Nina dari rumah menuju sekolahnya?
Uji Kompetensi Bab 2
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
Perhatikan peta Kabupaten Ponorogo berikut 6. Perhatikan gambar berikut!
untuk menjawab soal nomor 1–5!
10 Sukerejo Babadan Ngebel
9
8 Sampung
7
6 Jenangan
5
4 Pudak
Badegan Ponorogo Pulung
Jambon Sooko
Kauman Siman
Mlarak
Jetis
Balong
Sewoo
Sambit
Bungkal
Slahung
3 Ngrayun
2
1
ABCDEFGHIJKLMMNOP
Koordinat yang sesuai pada gambar tersebut
1. Kecamatan Jetis terletak pada koordinat ....
a. (F, 7) c. (I, 6) adalah ....
b. (E, 3) d. (G, 5) a. A(-6, 6), B(4, 1), C(6, -4), D(0, -9)
b. A(-6, 6), B(4, 1), C(-4, 6), D(-9, 0)
2. K e c a m a t a n J e n a n g a n t e r l e t a k p a d a c. A(-6, 6), B(1, 4), C(6, -4), D(0, -9)
koordinat .... c. (M, 9) d. A(-6, 6), B(1, 4), C(-4, 6), D(-9, 0)
a. (G, 5) d. (F, 7) 7. Perhatikan gambar berikut!
b. (H, 9)
3. Kecamatan yang terletak pada koordinat (D,
6) adalah ....
a. Sukorejo
b. Sambit
c. Balong
d. Sawoo
4. Kecamatan yang terletak pada koordinat (G,
5) adalah ....
a. Sukorejo
b. Sambit
c. Balong Pernyataan yang bukan mengenai titik K
d. Sawoo
5. Kecamatan yang terletak pada koordinat (F, adalah .... (HOTS)
8) adalah .... a. titik K berada pada koordinat K (-3, -3)
a. Mlarak b. jarak titik K terhadap sumbu X adalah -3
b. Jetis c. jarak titik K terhadap sumbu Y adalah 3
c. Ponorogo d. jarak titik K terhadap sumbu X sama
d. Sooko
dengan jarak titik A
18 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
8. Posisi titik R(5, 1) terhadap titik Q(-3, -2) jika 14. Perhatikan pernyataan berikut!
(1) Titik (34, 0) berada pada sumbu X.
dibentuk dalam kalimat yang benar adalah .... (2) Titik (-3, 2) berada di kuadran II.
(3) Titik (3, -2) berada di kuadran IV.
a. 8 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas (4) Titik (0, -8) berada di sumbu X.
b. 8 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah
c. 4 satuan ke kanan dan 8 satuan ke bawah
d. 4 satuan ke kiri dan 8 satuan ke bawah Pernyataan yang benar ditunjukkan oleh
nomor .... (HOTS)
9. Diketahui titik L(-3, -3), apabila titik tersebut a. (1), (2), dan (3) c. (2) dan (4)
b. (1) dan (3) d. (4)
berjalan 2 satuan ke kanan dan 4 satuan ke
atas, maka koordinat yang benar adalah ....
a. L’ (-1, 1) c. L’ (-5, 0)
b. L’ (0, 0) d. L’ (0, 2) 15. Di antara titik berikut yang kedudukannya
10. Suatu persegi terdiri atas titik A(0, 0), B(a, paling tinggi adalah ....
0), dan titik D(0, a). Supaya menjadi bangun
persegi maka koordinat titik C yang benar a. (-2, -17) c. (-2, -15)
b. (0, 17) d. (17, 2)
adalah .... (HOTS) 16. Di antara titik A(0, 5), B(-12, 5), C(8, 3),
a. (a, a) c. (-a, a) dan D(-20, 12) yang letaknya paling kanan
b. (a, -a) d. (0, a) adalah .... (HOTS) c. C
a. A
b. B d. D
11. Perhatikan gambar berikut!
17. Di antara titik K(-12, -15), L(-4, 3), M(1,
8), dan N(-17, -3) yang letaknya paling kiri
adalah .... c. M
a. K d. N
b. L
18. Perhatikan bidang koordinat pada gambar
berikut!
Titik yang berjarak 3 satuan dari sumbu Y
adalah .... c. B dan C
a. A dan B d. C dan D
b. A dan C Letak koordinat titik Q adalah ....
Perhatikan gambar berikut untuk menjawab a. (0, 4) c. (-4, 4)
soal nomor 12 dan 13!
b. (4, 0) d. (4, 4)
19. Perhatikan diagram Kartesius berikut!
12. Perhatikan bidang koordinat di atas. Koordinat
titik S adalah ....
a. (2, -2) c. (2, 2)
b. (-2, -2) d. (-2, 2)
13. Koordinat titik R terhadap titik asal (0, 0)
adalah .... Titik koordinat (5,3) ditunjukkan oleh huruf ....
a. (R,U) c. (T)
a. (2, 5) c. (2, -2) b. (S,T) d. (Q)
b. (-2, 5) d. (-2, -1)
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 19
20. Perhatikan diagram Kartesius berikut! Titik yang berjarak 3 satuan dari sumbu X
adalah ....
a. P
b. Q
c. R
d. Q dan R
II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
1. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan garis dari titik-titik tersebut, yang posisinya sejajar dengan sumbu X.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan luas segitiga yang terbentuk pada daerah tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik A(-2, 5), B(-2, 1), C(4, 1), dan D(4, 5).
Tentukan bangun datar yang terbentuk dari titik-titik koordinat tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Suatu garis m melalui titik K(5, 4) dan L(5, -4). Bagaimana posisi garis tersebut terhadap sumbu X?
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Perhatikan gambar berikut!
Sebutkan titik-titik koordinat pada gambar tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
20 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
6. Diketahui titik-titik A(-2, 3), B(9, 7), C(3, 5), D(0, 8), E(-4, -3), F(10, -3), G(-11, 0), H(-2, -5). Tentukan
titik-titik yang terletak pada:
a. kuadran I, d. kuadran IV,
b. kuadran II, e. sumbu X, dan
c. kuadran III, f. sumbu Y,
Jawab: ............................................................................................................................................
7. Sebuah lahan berbentuk segitiga. Jika lahan tersebut digambarkan pada bidang Kartesius, maka
koordinat titik-titik sudutnya adalah A(1, 2), B(7, 2), dan C(4, 6). Koordinat ini diukur dalam satuan
meter. Tentukan luas lahan tersebut! (HOTS)
Jawab: ............................................................................................................................................
8. Tentukan jarak antara dua titik berikut! c. E(10, 24) dan F(0, 0)
a. A(0, 4) dan B(-5, 4) b. C(1, 2) dan D(4, 6)
Jawab: ............................................................................................................................................
9. Kota A dan B digambarkan dalam peta masing-masing terletak pada koordinat A(7, 10) dan B(16,
50). Jika peta menggunakan skala 1 : 350 satuan, tentukan jarak kota A dan B sebenarnya! (HOTS)
Jawab: ............................................................................................................................................
10. Titik A(4, -5) dan B(a, 10) mempunyai jarak 17. Tentukan nilai a!
Jawab: ............................................................................................................................................
Perbaikan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar!
1. Diketahui titik A (3, -2). Tentukan selisih dari nilai absis dan ordinatnya!
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Jelaskan letak titik A(2, 7) pada koordinat Kartesius!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Perhatikan peta pulau Jawa berikut!
Identifikasilah koordinat Kota Cilegon, Semarang, dan Surabaya!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Selidikilah apakah titik D(1, 4) terletak pada garis dengan persamaan 2x + y = 6.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Garis h melalui titik G(-6, -3) dan H(-2, 1). Bagaimanakah posisi garis h terhadap sumbu X dan
sumbu Y?
Jawab: ............................................................................................................................................
Pengayaan
1. Bagilah teman-teman di kelas kalian menjadi 4 kelompok!
2. Setiap kelompok mendapat tugas untuk menggambar denah suatu tempat.
3. Misalnya denah lingkungan sekolah, denah lingkungan rumah, atau denah yang lainnya.
4. Gambarlah denah pada karton putih berukuran 50 cm × 35 cm!
5. Kumpulkan denah yang telah dibuat kepada bapak atau ibu guru!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 21
Bab
3 Relasi dan Fungsi
Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Kompetensi Dasar
3.3 Mendeskripsikan dan manyatakan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi (kata-kata, tabel,
grafik, diagram, dan persamaan).
4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
1. menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi;
2. mendefinisikan relasi dan fungsi;
3. memahami perbedaan antara relasi dan bukan relasi;
4. mengamati fungsi dan bukan fungsi;
5. memahami bentuk penyajian relasi dan fungsi; dan
6. menggambar grafik fungsi pada koordinat Kartesius.
Alokasi Waktu
... jam pelajaran / ... × pertemuan
Peta Konsep
Relasi dan Fungsi
Memahami Bentuk Memahami Memahami Korespondensi
Penyajian Relasi Ciri-Ciri Fungsi Satu-Satu
Apersepsi
Arya, Beni, dan Candra pergi ke pasar dekat tempat tinggal mereka. Di Gambar aneka jenis jajanan pasar.
sana mereka melihat banyak sekali jenis jajanan pasar yang menarik.
Arya membeli sepuluh buah kue talam, Beni membeli sepuluh buah
kue ku, dan Candra membeli sepuluh buah kue lapis. Hubungan antara
ketiga anak tersebut dengan jajan pasar yang mereka beli membentuk
relasi “makanan favorit”. Dalam matematika hubungan semacam ini
akan dibahas lebih lanjut dalam pokok bahasan relasi dan fungsi. Fungsi
merupakan bentuk khusus dari relasi yang memiliki keistimewaan.
22 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Rangkuman Materi
A. Memahami Bentuk Penyajian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan atau hubungan yang memasangkan
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi antara dua himpunan dapat
dinyatakan dengan tiga cara, yaitu diagram panah, diagram Kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh:
Ketika di dalam kelas, Bu Guru sedang mencari tahu warna kesukaan dari beberapa orang siswanya.
Bu guru menanyakan hal tersebut kepada Eko, Rina, Tono, dan Dika. Hasil yang didapat Bu Guru
sangat beragam. Eko mengatakan menyukai warna merah, Rina mengatakan menyukai warna hitam,
Tono menyukai warna merah, dan Dika mengaku menyukai warna biru.
Jika himpunan A = { Eko, Rina, Tono, Dika } dan himpunan B = { merah, hitam, biru } maka terdapat
relasi “warna kesukaan” dari himpunan A ke himpunan B. Berdasarkan data tersebut nyatakan relasi
dengan diagram panah, diagram Kartesius, dan himpunan pasangan berurutan!
Penyelesaian:
1. Diagram panah
Warna kesukaan
2. Diagram Kartesius
Biru
Hitam
Merah
3. Relasi “warna kesukaan” yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan
{(Eko, merah), (Rina, hitam), (Tono, merah), (Dika, biru)}.
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Apakah maksud relasi dari himpunan A ke himpunan B?
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Terdapat empat orang anak yaitu Abhi, Beta, Chacha, dan Dayu memilih jenis musik yang mereka
gemari. Ternyata Abhi, Beta, dan Chacha memilih jenis musik pop. Beta dan Chacha memilih
jenis musik jaz. Chacha dan Dayu memilih jenis musik RnB.
Jika himpunan A = {Abhi, Beta, Chacha, Dayu} dan himpunan B = {pop, jaz, RnB}, maka terdapat
relasi “jenis musik kegemaran” dari himpunan A ke himpunan B. Berdasarkan data tersebut:
a. Nyatakan relasi tersebut dengan diagram panah!
b. Nyatakan relasi tersebut dengan diagram Kartesius!
c. Nyatakan relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan!
Jawab: ............................................................................................................................................
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 23
3. Pada suatu kegiatan donor darah, setiap orang yang akan menjadi pendonor darah diminta untuk
menyebutkan jenis golongan darahnya. Berdasarkan dari, diketahui Andi bergolongan darah
A, Budi bergolongan darah B, Chandra bergolongan darah A, Dani bergolongan darah O, Eros
bergolongan darah AB, dan Fandi bergolongan darah B. Jika himpunan P = {Andi, Budi, Chandra,
Dani, Eros, Fandi} dan himpunan Q = {A, B, O, AB}, buatlah diagram panah yang menyatakan
relasi “golongan darah” dari keterangan tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Diketahui himpunan pasangan berurutan = {(London, Inggris), (Beijing, Tiongkok), (Tokyo, Jepang),
(Ottawa, Kanada), (Manila, Filipina)}. Bagaimanakah relasi yang mungkin dari himpunan pasangan
berurutan tersebut?
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Misalkan C = {x | x < 7, x adalah bilangan ganjil} dan D = {2, 4, 6, 8, 10}. Relasi antara himpunan
C ke himpunan D adalah relasi “faktor dari”. Nyatakan relasi himpunan C ke himpunan D dengan
himpunan pasangan berurutan!
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Diskusikan pernyataan-pernyataan berikut dengan teman sekelompok kalian! Manakah pernyataan
yang benar?
1. Setiap relasi pasti merupakan pemetaan.
2. Setiap pemetaan pasti merupakan relasi.
Jelaskan jawaban kalian, kemudian presentasikan ke depan kelas supaya mendapat tanggapan dari
kelompok yang lain!
B. Memahami Ciri-Ciri Fungsi
Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan
dengan satu anggota pada himpunan yang lain. Adapun relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah setiap anggota A memiliki pasangan di
B, dan setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Fungsi f yang mengawankan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B dapat digambarkan
sebagai berikut.
Berdasarkan gambar diagram panah tersebut, notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B.
A disebut daerah asal (domain) fungsi f.
B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f.
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut daerah hasil (range).
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x) di mana y = f(x) merupakan rumus
fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas).
1. Banyak Fungsi (Pemetaan)
Jika jumlah anggota himpunan A atau n(A) dinyatakan sebagai a dan jumlah anggota himpunan
B atau n(B) dinyatakan sebagai b, maka banyaknya pemetaan yang mungkin dapat ditunjukkan
pada tabel berikut.
24 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Banyaknya Anggota Banyaknya Pemetaan
yang Mungkin
Himpunan A Himpunan B Himpunan A ke Himpunan B ke
(n(A)) (n(B)) Himpunan B Himpunan A
1 1 11 = 1 11 = 1
1 2 21 = 2 12 = 1
2 1 12 = 1 21 = 2
2 2 22 = 4 22 = 4
a b ba ab
Jadi, rumusan pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dinyatakan sebagai berikut.
Banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah ba.
Banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A adalah ab.
2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar berikut!
AB
Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut
kodomain (daerah kawan). Adapun range adalah daerah hasil. Berdasarkan gambar tersebut,
diperoleh:
2 ∈ B merupakan peta dari 1 ∈ A,
3 ∈ B merupakan peta dari 2 ∈ A, dan
4 ∈ B merupakan peta dari 3 ∈ A,
Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Berdasarkan diagram panah pada
gambar diperoleh:
a. Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}
b. Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}
c. Rangenya adalah {2, 3, 4}
3. Menghitung Nilai Fungsi
Pada bagian ini, kalian akan mempelajari cara menghitung nilai fungsi. Pelajarilah contoh
soal berikut!
Contoh:
Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:
a. f(1), d. nilai f untuk x = -5,
b. f(2), e. nilai x untuk f(x) = 8, dan
c. bayangan (-2) oleh f, f. nilai a jika f(a) = 14.
Penyelesaian:
Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian, rumus fungsinya f(x) =
2x – 2.
a. f(1) = 2 (1) – 2 = 0
b. f(2) = 2 (2) – 2 = 2
c. Bayangan (-2) oleh f sama dengan f(-2). Jadi, f(-2) = 2 (-2) – 2 = -6
d. Nilai f untuk x = -5 adalah f(-5) = 2(-5) – 2 = -12
e. Nilai x untuk f(x) = 8
2x – 2 = 8
2x = 10
x =5
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 25
f. Nilai a jika f(a) = 14
2a – 2 = 14
2a = 16
a =8
4. Memahami Bentuk Penyajian Fungsi
Karena fungsi merupakan bentuk relasi, maka cara penyajian fungsi sama seperti cara
penyajian relasi sebelumnya. Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, grafik,
dan himpunan pasangan terurut dan tabel
Misalkan P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {2, 5, 7, 10, 13, 17}. Jika fungsi f dari P ke Q adalah f : x →
x2 + 1, x ∈ P.
Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam 4 bentuk, yaitu sebagai berikut.
Cara 1:
Himpunan pasangan berurutan
f : x → x2 + 1
Daerah asal = {1, 2, 3, 4}
f(1) = 12 + 1 = 2; f(2) = 22 + 1 = 5; f(3) = 32 + 1 = 10; f(4) = 42 + 1 = 17
Daerah hasil = {2, 5, 10, 17}
Himpunan pasangan terurut = {(1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)}
Cara 2:
Diagram panah Q
P 2
15
27
3 10
4 13
17
Cara 3:
Tabel
Misalkan P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {2, 5, 7, 10, 13, 17}. Jika fungsi f dari P ke Q adalah f : x → x2
+ 1, x ∈ P.
Relasi ini dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut.
x1 234
f(x) 2 5 10 17
Cara 4:
Grafik
Misalkan P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {2, 5, 7, 10, 13, 17}. Jika fungsi f dari P ke Q adalah f : x → x2
+ 1, x ∈ P.
Relasi ini dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1234
26 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Jika himpunan A = {x| -2 < x < 2, x ∊ B} dan B = {x| x bilangan prima < 8}, tentukan:
a. banyaknya pemetaan dari A ke B dan
b. banyaknya pemetaan dari B ke A.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui himpunan A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}. Hitunglah banyaknya
pemetaan yang mungkin dari A ke B dan B ke A!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Perhatikan diagram panah berikut!
Tentukan domain, kodomain, dan range dari diagram panah di atas!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Diketahui fungsi g(x) = x2 + 4x + a, domain {0, 1, 2, 3, 4, 5}, dan kodomainnya himpunan bilangan
bulat. Jika g(2) = 2, tentukan nilai a dan range fungsi g!
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2 – 3x + 1. Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = -1!
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Diketahui g: x →x2 + 2 dengan domain {x | -4 <x < 2, x ∈ bilangan bulat} dan kodomainnya bilangan
bulat.
1. Tuliskan rumus untuk fungsi g!
2. Tuliskan domain g dengan mendaftar anggota-anggotanya!
3. Tentukan daerah hasil g!
4. Gambarlah grafik fungsi g jika domainnya { x | -4 < x <1, x ∈ bilangan real} dan kodomainnya
diperluas pada himpunan bilangan real!
C. Memahami Korespondensi Satu-Satu
Suatu fungsi memasangkan setiap domain dengan tepat satu anggota satu kodomain. Sebaliknya,
jika fungsi tersebut juga memasangkan setiap kodomain dengan tepat satu anggota domain maka
fungsi tersebut dinamakan korespondensi satu-satu. Perhatikan tiga diagram panah berikut!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 27
Keterangan:
1. Gambar (a) merupakan korespondensi satu-satu, karena setiap anggota himpunan A mempunyai
tepat satu kawan di B dan setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A.
2. Gambar (b) bukan korespondensi satu-satu, karena ada anggota himpunan B yang mempunyai
dua kawan di A dan ada anggota himpunan B yang tidak mempunyai kawan di A.
3. Gambar (c) Bukan korespondensi satu-satu, karena ada anggota himpunan B yang mempunyai dua
kawan di A.
Secara umum syarat korespondensi satu-satu dapat dituliskan sebagai berikut.
1. Banyak anggota domain sama dengan banyak anggota kodomain.
2. Setiap anggota domain mempunyai tepat satu pasangan anggota kodomain.
3. Setiap anggota kodomain mempunyai tepat satu pasangan anggota domain.
Guna menentukan banyak korespondensi satu-satu perhatikan uraian berikut.
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Berapa banyak korespondensi satu-satu
dari A ke B?
Korespondensi satu-satu dari A ke B:
Keterangan:
Jika 1 dikawankan dengan a, ada dua cara memasangkan yang lainnya.
(i) 2 dikawankan dengan b dan 3 dikawankan dengan c.
(ii) 2 dikawankan dengan c dan 3 dikawankan dengan b.
Jika 1 dikawankan dengan b, ada dua cara memasangkan yang lainnya.
(iii) 2 dikawankan dengan a dan 3 dikawankan dengan c.
(iv) 2 dikawankan dengan c dan 3 dikawankan dengan a.
Jika 1 dikawankan dengan c, ada dua cara memasangkan yang lainnya.
(v) 2 dikawankan dengan a dan 3 dikawankan dengan b.
(vi) 2 dikawankan dengan b dan 3 dikawankan dengan a.
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
Pertama, 1 dikawankan dengan a, b atau c berarti mempunyai 3 pilihan.
Kedua, 2 mempunyai 2 pilihan karena satu pilihan telah diambil a.
Ketiga, 3 mempunyai 1 pilihan karena dua pilihan telah diambil a dan b.
Banyak korespondensi satu-satu dari A ke B = 3 × 2 × 1 = 6
Banyak korespondensi satu-satu dari dua himpunan yang beranggota n dirumuskan sebagai
berikut.
Banyaknya = n! = n × (n – 1) × (n – 2) × . . . × 2 × 1
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui himpunan A = {a, b, c, d] merupakan domain fungsi dan B = {1, 2, 3, 4] merupakan
kodomain fungsi. Tentukan berikut ini merupakaan korespondensi satu-satu atau bukan
korespondensi satu-satu!
28 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
a. f = {(a, 1); (b, 2); (c, 3); (d, 1)}
b. f = {(a, 2); (b, 4); (c, 3); (d, 1)}
c.
d.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui fungsi f dirumuskan f(x) = 2x − 4 dengan domain {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Tentukan kodomain
fungsi f, sehingga fungsi f merupakan korespondensi satu-satu!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Diketahui fungsi f dirumuskan f(x) = x2 + 4x + 10 dengan domain {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. Tentukan
kodomain fungsi f, sehingga fungsi f merupakan korespondensi satu-satu!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Tentukan banyak korespondensi satu-satu dari A ke B yang dapat dibuat jika diketahui:
a. n(A) = n(B) = 8; dan
b. n(A) = n(B) dengan A himpunan faktor dari 18.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Diketahui himpunan P = {x|3 < x < 10, x bilangan ganjil} dan Q = {x|x < 20, x kelipatan 5}.
a. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan
Q?
b. Tentukan semua korespondensi satu-satu yang mengawankan 3 dengan 4.
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Perhatikan diagram panah berikut!
1. Apakah relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan korespondensi satu-satu atau bukan
korespondensi satu-satu?
2. Kalau bukan termasuk korespondensi satu-satu, apakah diagram panah tersebut menunjukkan
suatu fungsi? Coba jelaskan!
3. Jelaskan perbedaan antara relasi, fungsi, dan korespondensi satu-satu!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 29
Glosarium
domain : daerah asal
fungsi : relasi khusus yang memetakan setiap anggota suatu himpunan tepat
satu dengan anggota himpunan B
kodomain : daerah kawan
korespondensi satu satu : fungsi khusus yang memetakan anggota suatu himpunan dengan
himpunan yang lain, dimana setiap anggota yang ada pada satu
himpunan dapat dipasangkan dengan tepat pada tiap-tiap anggota yang
lain begitu juga sebaliknya
range : daerah hasil
relasi : hubungan yang memasangkan anggota himpunan A dan B
Karakter Bangsa
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat mengetahui hubungan relasi dan fungsi
beserta cara menerapkannya untuk menentukan persamaan fungsi. Tidak hanya itu, pada materi
ini juga dijelaskan cara membuat garis berdasarkan persamaan fungsinya. Semuanya ini diperlukan
untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Refleksi
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah menguasai materi-materi berikut? Berilah
tanda centang (√) pada kolom Ya atau Tidak!
No. Kemampuan Ya Tidak
1. Saya mampu menyajikan berbagai bentuk relasi dan fungsi.
2. Saya mampu mengidentifikasi fungsi dan bukan fungsi berdasarkan ciri-cirinya.
3. Saya mampu memahami domain, kodomain, dan range.
4. Saya mampu menghitung nilai fungsi.
Apabila kalian sudah menguasai materi-materi tersebut, kalian dapat mengerjakan uji kompetensi
berikut.
Soal Assesmen
Terumbu Karang
Terumbu karang merupakan batuan sedimen kapur yang terbentuk dari kalsium karbonat yang
dihasilkan oleh biota laut penghasil kalsium karbonat yang kemudian melalui proses sedimentasi.
Sedimentasi yang terjadi pada terumbu karang dapat berasal dari karang maupun alga. Berbagai
manfaat dapat dihasilkan oleh terumbu karang tetapi perlu diatur pengelolaannya karena terumbu
karang merupakan ekosistem laut dangkal pada iklim tropis paling kompleks dan produktif tetapi juga
ekosistem yang paling rentan terhadap perubahan lingkungan dan daya dukung yang terbatas.
Hubungan antara panjang dan tinggi terumbu karang adalah sebagai berikut.
y = 0,75 x – 0,5
Keterangan:
x = tinggi terumbu karang (mm)
y = panjang terumbu karang (mm)
Pertanyaan 1:
Panjang terumbu karang yang tingginya 40 mm adalah ... mm.
a. 26,63 c. 29,95
b. 29,50 d. 30,50
Pertanyaan 2:
Tinggi terumbu karang saat panjangnya mencapai 35 mm adalah ....
30 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Uji Kompetensi Bab 3
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
1. Perhatikan diagram panah berikut! 5. Perhatikan diagram panah pemetaan berikut!
Relasi dari himpunan A ke himpunan B pada
Range pemetaan tersebut adalah ....
diagram panah di atas adalah .... a. {a, b, c} c. {p, q, r}
a. kurang dari c. lebih dari b. {p, r} d. {a, b, c, p, r}
b. setengah dari d. faktor dari 6. Diketahui K = {3, 4, 5} dan L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
2. Relasi “faktor dari” dari himpunan P = {1, 2,
3} ke Q = {2, 4, 6} ditunjukkan oleh diagram Himpunan pasangan berurutan yang menyatakan
panah .... (HOTS) relasi “dua lebihnya dari” dari himpunan K ke L
a. c. adalah ....
b. d. a. {(3, 5), (4, 6)}
3. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! b. {(3, 5), (4, 6), (5, 7)}
(1) Siswa dengan tempat duduknya.
(2) Siswa dengan tanggal lahirnya. c. {(3, 1), (4, 2), (5, 3)}
(3) Negara dengan lagu kebangsaannya.
Pernyataan yang berkorespondensi satu-satu d. {(3, 2), (4, 2), (5, 2)}
7. Bayangan (-3) oleh f : x → 8 + 2x – x2 adalah ....
adalah .... (HOTS)
a. (2) dan (3) c. (1) dan (3) a. -11 c. 7
b. (1), (2), dan (3) d. (1) dan (2)
4. Perhatikan diagram Kartesius berikut! b. -7 d. 11
8. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari
himpunan A = {a, i, u} ke himpunan A sendiri
adalah ....
a. 2 c. 16
b. 4 d. 27
9. Grafik fungsi f(x) = 2x – 6 dengan x ∈ R adalah ....
(HOTS)
a.
b.
Himpunan pasangan berurutan dari diagram
Kartesius tersebut adalah ....
a. {(2, 1), (3, 5), (4, 4), (6, 4)}
b. {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (5, 3)}
c. {(1, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 6), (5, 3)}
d. {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)}
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 31
c. 11. Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = px
+ q, jika f(0) = -2, dan f(2) = 4, maka nilai p
d. dan q berturut-turut adalah …
a. 2 dan -5 c. 2 dan -3
b. -2 dan 5 d. -2 dan 3
12. Diketahui fungsi f(x) = ax – b, sedangkan f(3)
= 7 dan f(-5) = -25, maka rumus fungsi f(x)
adalah .... c. f(x) = 4x + 5
a. f(x) = 3x +5 d. f(x) = 4x – 5
b. f(x) = 3x – 5
13. Perhatikan tabel berikut!
x 01234
2x – 1 -1 1 3 5 7
Berdasarkan tabel tersebut, himpunan
pasangan berurutannya adalah ….
10. Gambar grafik Kartesius yang menyatakan a. {(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
b. {(0, 1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
f(x) = 4 x – 4 dengan x ∈ R adalah .... (HOTS) c. {(-1, 1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}
3 d. {(1, -1), (1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}
14. Fungsi f dinyatakan dengan rumus h(x) = px
a. + q, jika h(-6) = 32 dan h(4) = -8, maka rumus
fungsi h(x) adalah …
a. h(x) = -5x + 8
b. h(x) = -5x – 8
c. h(x) = -4x + 8
d. h(x) = -4x – 8
15. Perhatikan tabel berikut!
b. x -2 -1 0 1 2 3
c.
3x – 2 -8 -5 -2 1 4 7
Dari tabel fungsi f(x) = 3x – 2, rangenya
adalah .....
a. {(2, -8), (-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)}
b. {(2, 8), (-1, 5), (0, -2), (1, 1), (2, 4), (3, 7)}
c. {(-8, -2), (-5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)}
d. {(8, -2), (5, -1), (-2, 0), (1, 1), (4, 2), (7, 3)}
16. Diketahui fungsi f : x → ax – 7 dan f(5) = 18,
maka nilai a adalah ....
a. 5 c. 7
b. 6 d. 8
17. Diketahui himpunan pasangan berurutan
{(0, 1), (1, 3), (2, 5)}. Domain dari himpunan
tersebut adalah ....
d. a. {0, 1, 2}
b. {0, 3, 5}
c. {1, 3, 5}
d. {0, 1, 2, 3, 5}
18. Fungsi f : x → 4x − 2, x = { -1, 0, 1, 2, 3 }.
Daerah hasil fungsi f adalah ….
a. {2, - 2, 2, 6, 10}
b. {- 6, - 2, 2, 6, 10}
c. {- 6, - 2, - 7, - 8, 10}
d. {2, - 2, - 4, - 3, 10}
32 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
19. Perhatikan himpunan fungsi berikut! 20. Diketahui fungsi g(x) = x2 + x. Nilai dari g(-3)
A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)} adalah ....
B = {(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} a. -6
C = {(2, 5), (3, 6), (4, 7)} b. -9
c. 6
Himpunan di atas yang merupakan fungsi d. 12
adalah .... (HOTS) c. B dan C
a. A dan C
b. A dan B d. A
II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
1. Jika diketahui himpunan pasangan berurutan adalah {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}. Sebutkan domain
dari himpunan tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}. Tulislah himpunan pasangan berurutan yang mungkin
menunjukkan korespondensi satu-satu dari A ke B menurut pendapat kalian!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Apabila diketahui P = {1 < x < 19, x bilangan prima} dan Q = {y < 3, y bilangan cacah}, tentukan
banyaknya semua pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Diketahui fungsi f: x → x + 4 dari himpunan P = {0, 2, 4} ke himpunan bilangan cacah. Tentukan
domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut jika memiliki aturan “dua kalinya dari ”!
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Diketahui P = {a, b, c, d, e}, Q = {-2, -4, -6, -8, -10} dan himpunan pasangan berurutan P ke Q
adalah {(a, -8), (b, -2), (c, -6), (e, -4), (e, -10)}. Tentukan kodomainnya!
Jawab: ............................................................................................................................................
6. Apabila diketahui K = {faktor dari 8} dan L = {bilangan prima yang kurang dari 7}, berapakah
banyak semua pemetaan yang mungkin dari himpunan K ke himpunan L?
Jawab: ............................................................................................................................................
7. Diketahui himpunan P = {x | x ≤ 15, x bilangan prima} dan Q = {x | faktor dari 20}.
a. Tentukan himpunan P dan himpunan Q.
b. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan Q?
Jawab: ............................................................................................................................................
8. Perhatikan himpunan berikut!
A = {x < 4, x bilangan asli}
B = {x < 4, x bilangan prima}
C = {x < 4, x faktor prima dari 70}
D = {2 < x < 10, x bilangan ganjil}
Tentukan pasangan himpunan yang merupakan korespondensi satu-satu! (HOTS)
Jawab: ............................................................................................................................................
9. Perhatikan diagram panah berikut!
Tentukan domain dari diagram tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 33
10. Buatlah relasi “akar dari” dari himpunan P = {2, 3, 4, 5} ke himpunan Q = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20,
25} dengan himpunan pasangan berurutan!
Jawab: ............................................................................................................................................
Perbaikan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar!
1. Hardi adalah anak Pak Manan, Nanda anak Pak Udin, Indri dan Aldi anak Pak Drajat. Jika himpunan
A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B = {Manan, Udin, Drajat}, maka gambarkan relasi
anak dari himpunan A ke himpunan B!
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Diketahui fungsi f : x → 2x – 1 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:
a. f(1),
b. f(2),
c. bayangan (-2) oleh f
d. nilai f untuk x = -5,
e. nilai x untuk f(x) = 17, dan
f. nilai a jika f(a) = -21.
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Fungsi f dinyatakan sebagai f(x) = ax + b. Jika f(4) = 19 dan f(2) = 7, tentukan bentuk fungsi
tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Bu Guru akan mengabsen empat anak yang harus mengikuti lomba mata pelajaran mewakili
sekolahnya. Eka mendapat nomor urut 1, Wahyu mendapat nomor 2, Mira mendapat nomor
3, dan Wahono mendapat nomor urut 4. Berapakah banyaknya korespondensi satu-satu yang
menyatakan hubungan “nomor absen” tersebut?
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x3– 3x2 + 2x + 1. Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = -2.
Jawab: ............................................................................................................................................
Pengayaan
Kerjakan tugas berikut!
Sebuah kelompok belajar terdiri atas empat orang anak, yaitu Aam, Ilham, Trisno, dan Hari. Trisno
dan Hari berbadan tinggi, anak yang lain tidak. Aam dan Trisno berkulit sawo matang yang lain tidak.
Aam dan Ilham berambut ikal, anak yang lain tidak. Dapatkah kalian menentukan siapa yang tidak
tinggi, berkulit kuning, dan berambut lurus?
Petunjuk:
Buatlah diagram panah yang menghubungkan setiap anak dengan sifatnya!
34 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Ulangan Tengah Semester 1
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
Perhatikan pola bilangan berikut untuk 8. Pola bilangan berikut yang mengikuti pola
menjawab soal nomor 1–3! bilangan genap adalah .... (HOTS)
Diketahui pola bilangan genap a. 1, 3, 5, 7, 9
2, 4, 6, … b. 22, 24, 26, 28, 30
c. 21, 23, 25, 27, 29
1. Suku ke 325 adalah .... d. 17, 19, 21, 23, 25
a. 650
b. 675 9. Perhatikan gambar berikut!
c. 680
d. 685
2. Bilangan 840 merupakan suku ke- ....
a. 405
b. 410
c. 415
d. 420
3. Jumlah 21 suku pertama adalah ....
a. 461
b. 462 Koordinat-koordinat berikut yang sesuai
c. 463 dengan gambar adalah .… (HOTS)
d. 464 a. A(-2, -4)
b. B(5, 4)
4. Pola bilangan berikut yang mengikuti pola c. C(-2, 6)
d. D(1, -4)
bilangan ganjil adalah .... (HOTS)
10. Perhatikan gambar berikut!
a. 2, 6, 8, 10
b. 1, 3, 5, 7, 9
c. 2, 4, 6, 8
d. 10, 100, 1000
5. Bilangan berikut ini yang mengikuti pola Koordinat titik G adalah…
bilangan ganjil adalah ....
a. 7
b. 14
c. 46
d. 78
6. Perhatikan gambar berikut!
a. (-2, -3) c. (-3, 3)
b. (-3, -3) d. (3, 3)
11. Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas mengikuti pola ….
a. persegi
b. persegi panjang Koordinat titik A adalah ....
c. garis lurus
d. segitiga Pascal a. (-2, 0) c. (-2, 2)
7. Pola persegi terdapat pada bilangan …. b. (-2, 1) d. (-2, 3)
a. 2, 4, 6, 8
b. 9, 16, 25, 36
c. 7, 9, 11, 13
d. 3, 6, 9, 12
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 35
12. Sumbu Y pada bidang koordinat digambar 18. Diberikan g(x) = ax + b. Jika g(-1) = 7, dan g(3)
dengan garis yang posisinya .... = - 1, maka nilai dari g( 2) adalah ….
a. mendatar
b. vertikal a. 5 c. -5
c. horizontal
d. diagonal b. 1 d. -1
13. Perhatikan gambar berikut! 19. Diketahui fungsi f(x) = px + q. Jika f(1) = 1 dan
f(2) = 4, maka nilai dari p − q adalah ….
a. 1 c. 3
b. 5 d. 7
20. Suatu fungsi f(x) = x2 + 2x − 3. Nilai dari f(2)
adalah ....
a. 3 c. 4
b. 5 d. 6
21. Pada pemetaan f :→4x – 5, bayangan dari 2
adalah ....
a. 3 c. 9
b. 8 d. 27
22. Pada pemetaan h: x→x2 + 4, maka h(5)
adalah ….
a. 33 c. 21
Titik A, B, C, dan D membentuk bangun ....
b. 29 d. 17
a. persegi panjang 23. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 9 – 3x. Jika
f(p) = 15, nilai p adalah .... (HOTS)
b. persegi
c. belah ketupat a. -8 c. 2
d. layang-layang b. -2 d. 8
14. Pada pemetaan G : x→ 4x – 9. Jika diberikan 24. Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B
domain G = {0, 1, 2, 3} maka range G adalah
= {huruf vokal}, maka banyaknya pemetaan
.... (HOTS) yang mungkin dari A ke B adalah ….
a. {-9, -7, -5, 3} a. 25 c. 35
b. {-9, -6, -3, 0} b. 30 d. 40
c. {-9, -5, -1, 3} 25. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {k, l,
m,n}. Banyak pemetaan dari A ke B yang
d. {-9, -8, -7, -6}
15. Bila A = {a, b, c, d, e} dan B = {1, 2, 3}, maka merupakan korespondensi satu-satu adalah ....
banyaknya pemetaan yang mungkin dari B
ke A adalah .... a. 16 c. 32
a. 8 c. 125 b. 24 d. 64
b. 15 d. 243 26. Perhatikan gambar berpola berikut!
16. Perhatikan himpunan pasangan berurutan
berikut!
(1) {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)} Pola ke-120 dari barisan gambar berpola
(2) {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d)}
(3) {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)} tersebut adalah ....
(4) {(1, a), (2, b), (1, c), (2, d)}
a. 100 c. 120
b. 110 d. 130
27. Perhatikan gambar persegi berikut!
Himpunan pasangan berurutan yang
merupakan pemetaan/fungsi adalah ....
(HOTS)
a. (1) dan (2)
b. (1) dan (3)
c. (2) dan (3)
d. (2) dan (4) Selisih antara banyak persegi yang diarsir
17. Rumus sebuah fungsi adalah f(x) = 1 – 2x2. dengan yang tidak diarsir pada pola ke
Nilai f(-2) adalah ....
delapan adalah ….
a. -7 c. 5
a. 6 c. 8
b. -3 d. 9
b. 7 d. 9
36 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
28. Perhatikan koordinat kartesius berikut. Pernyataan yang benar adalah ....
a. (1) dan (2) c. (2) dan (3)
b. (1) dan (3) d. (3) dan (4)
Pernyataan:
(1) Koordinat titik A adalah (3, 4). 29. PQRS merupakan bangun trapesium siku-
(2) Titik B terletak pada kuadran II.
(3) Titik yang terletak pada kordinat (-4, -3) siku. Titik P terletak pada koordinat (-3, 2),
adalah titik D.
(4) Titik C dan D memiliki absis yang sama. Q(5, 2), dan R(2, -2). Titik S terletak pada
koordinat ....
a. (-2, 3) c. (-2, -3)
b. (2, -3) d. (-3, -2)
30. Diketahui kardinalitas himpunan A = 4 dan
kardinalitas himpunan B = 2 maka banyaknya
pemetaan yang mungkin dari himpunan B ke
himpunan A adalah ....
a. 4 c. 16
b. 8 d. 32
II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
1. Perhatikan gambar berikut!
12 3
Tentukan banyak lingkaran pada pola ke-50.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Perhatikan gambar persegi berikut!
2 4 6 8
Tentukan pola bilangan ke-10.
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Seorang pekerja menyusun batu bata hingga membentuk barisan seperti pada gambar berikut.
(1) (2) (3)
Tentukan jumlah batu bata pada susunan ke-8.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan kooordinat posisi kota berikut! (HOTS)
a. Bogor c. Cilacap
b. Jakarta d. Yogyakarta
Jawab: ............................................................................................................................................
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 37
5. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan koordinat titik-titik berikut! (HOTS)
a. A d. D g. G j. J
b. B e. E h. H k. K
c. C f. F i. I
Jawab: ............................................................................................................................................
6. Tuliskan letak titik berikut dalam koordinat Kartesius!
a. Letak titik dari O ke kanan 3 satuan dan ke atas 7 satuan.
b. Letak titik dari O ke kiri 5 satuan dan ke atas 3 satuan
c. Letak titik dari O ke kiri 2 satuan dan ke bawah 10 satuan
d. Letak titik dari O ke kanan 7 satuan dan ke bawah 11 satuan
Jawab: ............................................................................................................................................
7. Diketahui R = {(-2, 2), (-1, 3), (0, 2), (1, 4), (1, 5)}
a. Tentukan domain dan rangenya!
b. Nyatakan relasi itu dalam diagram panah!
c. Nyatakan relasi itu dalam diagram Kartesius!
Jawab: ............................................................................................................................................
8. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturan x + 2, x ∈ A. Jika
diketahui A = {2, 3, 5, 7} dan B = {1, 2, 3, ..., 12}, tentukan:
a. himpunan pasangan berurutan dalam f, serta
b. daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari f.
Jawab: ............................................................................................................................................
9. Misalkan P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {2, 5, 7, 10, 13, 17}. Jika fungsi f dari P ke Q adalah f : x → x2
+ 1, x ∈ P, nyatakan fungsi f dalam:
a. diagram panah, dan
b. himpunan pasangan terurut!
Jawab: ............................................................................................................................................
10. Sebuah fungsi f dari himpunan A ke B dinyatakan sebagai berikut.
f(x) = 3x – 4, x ∈ A. Jika A = {1, 2, 3, 4}, tentukanlah:
a. f(2), dan
b. f(4).
Jawab: ............................................................................................................................................
38 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Bab
4 Persamaan Garis Lurus
Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Kompetensi Dasar
3.4 Menganalisis fungsi linear (sebagai persamaan garis lurus) dan menginterpretasikan grafiknya yang dihubungkan
dengan masalah kontekstual.
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi linear sebagai persamaan garis lurus
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
1. menentukan gradien garis lurus;
2. menentukan grafik persamaan garis lurus; dan
3. menentukan persamaan garis lurus.
Alokasi Waktu
... jam pelajaran / ... × pertemuan
Peta Konsep
Persamaan Garis Lurus
Grafik dan Kemiringan Bentuk Persamaan Garis Lurus Sifat-Sifat Persamaan
Persamaan Garis Lurus dengan Kemiringan m dan melalui Titik (x1, y1) Garis Lurus
Apersepsi
Angkutan umum daring sekarang sudah menjamur di mana-mana. Gambar taksi daring.
Taksi daring menerapkan perhitungan berdasarkan jarak tempuh
dari titik penjemputan sampai tujuan sampai. Perhitungan dapat juga
berdasarkan waktu penjemputan apakah sedang jam sibuk atau tidak.
Biasanya pengantaran pada jam sibuk lebih mahal dari jam tidak sibuk.
Sistem perhitungan tarif taksi daring merupakan contoh penerapan
konsep persamaan garis lurus. Mari kita pelajari bersama pada bab
berikut ini!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 39
Rangkuman Materi
A. Grafik dan Kemiringan Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus dapat didefinisikan sebagai sebuah garis lurus yang posisinya ditentukan
oleh sebuah persamaan. Apabila persamaan tersebut digambarkan pada bidang Kartesius, maka
akan menghasilkan sebuah garis yang lurus.
1. Grafik Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus terbentuk dari persamaan linear yang memiliki satu atau dua macam
variabel. Bentuk umum persamaan garis lurus ada tiga, yaitu y = mx, y = mx + c, dan ax + by +
c = 0.
Dua buah titik dapat ditarik untuk membuat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk
menggambar grafik garis lurus pada bidang Kartesius dapat dilakukan dengan syarat minimal
terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut. Kemudian tarik garis lurus yang melalui kedua titik
tersebut! Guna lebih memahami cara menggambar grafik persamaan garis, maka simaklah contoh
berikut!
Contoh:
Gambarlah grafik persamaan garis lurus 2x – 3y = 12 pada bidang Kartesius, jika x dan y variabel
pada himpunan bilangan real!
Penyelesaian:
Langkah pertama mencari titik potong kedua sumbu yaitu sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong sumbu Y, maka x = 0 Titik potong sumbu X, maka y = 0
2x – 3y = 12 2x – 3y = 12
2(0) – 3y = 12 2x – 3(0) = 12
0 – 3y = 12 2x – 0 = 12
-3y = 12 2x = 12
y = -4 x = 6
Koordinat (0, -4) Koordinat (6, 0)
Jadi, grafik persamaan garis lurus 2x – 3y = 12 pada bidang Kartesius seperti gambar berikut.
2. Menentukan Kemiringan Persamaan Garis
Suatu garis memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien.
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Jika garis sejajar dengan sumbu X, maka
nilai gradiennya adalah nol. Jika garis sejajar dengan sumbu Y, maka garis tersebut tidak memiliki
gradien.
a. Kemiringan Garis Lurus Berdasarkan Grafik
Kemiringan garis lurus disebut dengan gradien garis. Gradien garis dirumuskan sebagai
berikut.
40 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
m = perubahan panjang sisi tegak (vertikal)
perubahan panjang sisi datar (horizontal)
b. Kemiringan Garis Lurus Berdasarkan Persamaannya
Garis lurus dengan persamaan y = mx + c mempunyai gradien m. Bagaimana menentukan
gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0? Perhatikan langkah-langkahnya berikut!
ax + by + c = 0
⇔ by = -ax − c
⇔ y = - a x − c → sesuai bentuk y = mx +c dengan m = - a
b b b
a
Diperoleh gradien garis ax + by +c = 0 adalah m = - b .
c. Hubungan Garis Lurus Berdasarkan Kemiringannya
Perhatikan gambar garis a, garis b, dan garis c berikut!
Gradien garis a = ma = GH = 1
HI 2
JK
O Gradien garis b = mb = KL = 1
2
MN
Gradien garis c = mc = NO = 2= -2
-1
L
J Garis a dan garis b sejajar: ma = mb = 1
2
Garis a dan garis c tegak lurus:
ma × mc = 1 × (-2) = -1
2
Secara umum, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
a tseegjaajkarlugraursisgba,rims abk, ambaekarlabkeur:lamkau:=mmab×.
a. Jika garis a mb = -1.
b. Jika garis
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Tentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y dari persamaan y = 2x – 6.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Gambarlah grafik persamaan garis lurus berikut!
a. 3x – y = 6 b. 2x + 3y = 18
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Tabel berikut menunjukkan tarif taksi “Cepat”.
Jarak(km) 0 1 2… 18
Tarif (Rp) 3.000 9.000 15.000 … …
Pak Sugi naik taksi “Cepat” dari sekolah pulang ke rumah yang jaraknya 18 km. Tentukan biaya
yang dikeluarkan untuk membayar taksi!
Jawab: ............................................................................................................................................
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 41
4. Sebuah garis lurus melalui titik A(a + 1, 2) dan B(b – 1, 8). Jika b – a = 4, tentukan gradien garis
tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Diketahui persamaan garis 2x + 2y – 10 = 0. Tentukan gradien dari garis tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Apabila sebuah garis sejajar sumbu X dan garis yang lain sejajar sumbu Y, apabila diperpanjang,
apakah selalu berpotongan? Diskusikan bersama kelompok kalian dan tulis hasil diskusi kalian pada
selembar kertas!
B. Bentuk Persamaan Garis Lurus dengan Kemiringan m dan melalui Titik (x1, y1)
Berikut beberapa cara yang dapat digunakan dalam menentukan persamaan garis lurus sesuai
dengan ciri-ciri yang diketahui berhubungan dengan garis tersebut.
1. Persamaan garis yang melalui sebuah titik (a, b) dengan gradien m adalah y – b = m(x – a).
y − y1 x − x1
2. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah y2 − y1 = x2 − x1 .
3. Persamaan ggaarrisisyyaannggmmeelallauliutiittikiti(kx1(,xy1,1)yd1)andatengsaekjalujarursgdaerinsglaaningaadriasllaahinya–dayl1ah= ym–(xy1–=xm1)2.(x – x1).
4. Persamaan
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien 3 dan melalui titik (3, 6).
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien 3 dan melalui titik (-4, 5).
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dan titik (4, 8).
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik(3, 2) dan sejajar dengan garis y = 2x.
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Diketahui persamaan garis ax + by = c dan px + qy = r saling sejajar. Bagaimana hubungan antara a
dan b dengan p dan q? Coba sajikan di depan kelas hasil penyelesaian kalian!
C. Sifat-Sifat Persamaan Garis Lurus
Berikut sifat-sifat persamaan garis lurus.
1. Garis-Garis yang Sejajar
Perhatikan gambar berikut!
42 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Apabila dilihat dengan saksama, ruas garis y = x + 3, y = x, dan y = x – 2 tidak akan
berpotongan, walaupun diperpanjang pada kedua ujungnya. Kedudukan ketiga garis tersebut
dinamakan saling sejajar. Berdasarkan gambar tersebut, dapat disimpulkan bahwa persamaan
y = ax + b akan sejajar dengan y = ax + c jika memiliki nilai a atau koefisien x yang sama.
2. Garis-garis yang Berpotongan
Perhatikan gambar berikut!
y
x
Persamaan-persamaan yang terdapat pada gambar tersebut mempunyai nilai b yang sama.
Perhatikan bahwa garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik y = b.
3. Garis yang Berpotongan Tegak Lurus
Perhatikan gambar berikut!
Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa kedua garis saling berpotongan tegak lurus. Hal
ini berarti, perpotongan kedua garis akan membentuk sudut siku-siku (90°). Persamaan garis y
= ax + b akan berpotongan tegak lurus dengan persamaan garis y = - 1 x + c .
a
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 43
Tugas Mandiri
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui garis k melalui titik A(7, -3) dan B(11, 3), sedangkan garis l melalui titik C(-9, 0) dan
D(-5, 6). Tentukan kedudukan garis k dan garis l.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Tentukan kedudukan garis y = 2x + 5 dan garis y = 2x – 8.
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Diketahui garis a melalui titik P(3, 5), dan Q(0, 0) sedangkan garis b melalui titik R(0, 0) dan
S(-5, 3). Tentukan kedudukan garis a dan garis b.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Tentukan kedudukan garis 2y = 2x – 3 dan garis y = -x + 3.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Diketahui garis k memenuhi persamaan 3x + y = 7 dan garis m memenuhi persamaan 3x – 6y = 7.
Tentukan kedudukan garis k dan garis m.
Jawab: ............................................................................................................................................
Tugas Kelompok
Kerjakan tugas berikut secara kelompok!
Diketahui garis m mempunyai persamaan y = 3x + 7 dan garis n mempunyai persamaan y = 6x– 8.
Bagaimana kedudukan garis m dan n? Coba diskusikanlah bersama teman kalian, carilah referensi
atau sumber lain untuk menjawab pertanyaan tersebut! Tulislah dalam selembar kertas kemudian
kumpulkan kepada guru kalian untuk diberi penilaian!
Glosarium
gradien : kemiringan
kemiringan : perbandingan jarak vertikal terhadap horizontal suatu garis atau lintasan
sejajar : tidak akan pernah saling berpotongan meskipun diperpanjang hingga tak hingga
tegak lurus : membentuk sudut siku-siku atau 90 derajat
Karakter Bangsa
Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan dapat mengetahui cara menentukan gradien
beserta cara menerapkannya pada persamaan garis. Tidak hanya itu, pada materi ini juga dijelaskan
hubungan gradien pada garis yang sejajar atau saling tegak lurus. Semuanya ini diperlukan untuk
memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Refleksi
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah menguasai materi-materi berikut? Berilah
tanda centang (√) pada kolom Ya atau Tidak!
No. Kemampuan Ya Tidak
1. Saya mampu membuat grafik dari persamaan garis lurus.
2. Saya mampu menghitung gradien garis lurus.
44 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
No. Kemampuan Ya Tidak
3. Saya mampu membuat persamaan garis lurus berdasarkan data gradien
dan atau titik-titik yang dilalui oleh garis tersebut.
4. Saya mampu memahami sifat-sifat persamaan garis lurus.
Apabila kalian sudah menguasai materi-materi tersebut, kalian dapat mengerjakan uji kompetensi
berikut.
Soal Assesmen
Tarif Perusahaan Angkutan Umum Taksi Online
Nama Perusahaan (P) Tarif Awal Tarif Tiap Kilometer Tarif Tiap Kilometer di
pada jam sibuk Luar Jam Sibuk (TKLJS)
Bluebird Rp5.000,00 Rp4.500,00 Rp3.000,00
FastCar Rp5.500,00 Rp3.000,00 Rp3.000,00
Taxi Express Rp6.000,00 Rp4.000,00 Rp2.500,00
Keterangan:
Jam sibuk antara 06.00–08.00 dan 16.00–18.00
Pertanyaan 1:
Anggraheni akan mengunjungi rumah sepupunya di Bintaro. Jarak rumahnya dengan rumah sepupunya
10 km. Dia berencana akan berangkat jam 16.00 sore. Perusahaan taksi online yang harus dipilih oleh
Anggraheni agar biaya yang dikeluarkan paling sedikit adalah ....
a. Bluebird c. Taxi Express
b. FastCar d. Bluebird dan FastCar
Pertanyaan 2:
Jika y adalah biaya taksi pada jam sibuk dan x adalah jarak tempuh taksi pada jam sibuk tersebut.
Tuliskan rumus fungsi yang cocok pada salah satu jenis perusahaan taksi online tersebut! Kalian bisa
memilih Bluebird, FastCar, maupun Taxi Express.
Pertanyaan 3:
Jika seorang pengguna angkutan taksi online mengatakan bahwa perusahaan taksi FastCar adalah
yang paling murah jika berangkat jam 16.45 berjarak 30 km. Fakta atau opini ujaran dari pengguna
angkutan tersebut?
Fakta
Opini
Berikan alasanmu!
Pertanyaan 4:
Perusahaan Bluebird adalah perusahaan taksi yang menawarkan jarak terjauh jika berangkat pukul
19.30 dengan biaya Rp100.000,00. Menurut pendapat kalian apakah pernyataan ini benar?
Benar
Salah
Berikan alasanmu!
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 45
Uji Kompetensi Bab 4
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!
1. Gradien persamaan y = -2x + 3 adalah .... 8. Perhatikan gambar berikut!
y
a. -5 c. 2 x
b. -2 d. 5 02
2. Gradien garis x – 3y = -6 adalah ....
a. -3 c. 1 -5
b. - 1 3
Persamaan garis pada gambar tersebut
3 d. 3
3. Gradien persamaan 4y = 2x + 3 adalah .... adalah ....
a. 2y – 5x + 10 = 0
a. 2 c. 1 b. 2y – 5x – 10 = 0
2 c. 5y – 2x + 10 = 0
d. 5y – 2x – 10 = 0
b. 1 d. - 1
2 9. Perhatikan persamaan garis berikut!
(1) 2y = x + 5
4. Gradien garis yang melalui titik (3, 4) dan (-2, (2) 2y = 6x – 8
(3) 4y = 2x – 12
5) adalah .... (4) 2y = -6x + 4
a. -1 c. 1 Persamaan garis yang grafiknya saling sejajar
5 ditunjukkan oleh nomor .... (HOTS)
a. (1) dan (3)
b. - 1 d. 1
5
5. Perhatikan gambar berikut! b. (2) dan (4)
c. (2) dan (3)
3 d. (1) dan (4)
10. Sebuah garis melalui titik (8, 9) dan memiliki
2 gradien - 3 . Persamaan garis tersebut
adalah …. 4
1 a. 4y – 3x – 60 = 0
b. 4y + 3x – 60 = 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Gradien dari persamaan garis lurus yang c. 4y – 3x + 60 = 0
ditunjukkan pada gambar di atas adalah .... d. 4y + 3x + 60 = 0
a. 2 c. 1 11. Persamaan garis y = 5x, maka gradiennya
2 adalah .…
b. 3 d. - 1 a. 5
4 2
b. 4
c. 3
6. Persamaan garis melalui titik (-1, 2) dan tegak d. 2
lurus 4y = -3x + 5 adalah ....
a. 4x – 3y + 10 = 0 12. Persamaan garis 2y = -x, maka gradiennya
b. 4x – 3y – 10 = 0
c. 3x + 4y – 5 = 0 adalah .…
d. 3x + 4y + 5 = 0
a. - 1 c. 1
2 2
b. -1 d. 2
7. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 13. Gradien dari persamaan garis y = 3x – 1
yang melalui titik A(2, 2) dan B(4, 8) adalah ....
a. y – 3x = -12 c. 3x + y = 12 adalah .…
b. y + 3x = 18 d. x – 3y = 18
a. 4 c. 2
b. 3 d. 1
46 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
14. Gradien dari persamaan garis 3y = x + 3 17. Jika suatu garis mempunyai persamaan 4x –
8y + 3 = 0, maka gradiennya adalah .…
adalah .…
a. - 1 c. 1 a. -2 c. 2
3
b. − 1 d. 1
2 2
b. 1 d. 3
3 18. Gradien garis dengan persamaan 4x + 2y +
15. Perhatikan persamaan garis berikut! 6 = 0 adalah .…
(1) y = 2x – 7
(2) y = 3x – 10 a. 2 c. - 1
(3) 5y = 5 – 6x 2
Berdasarkan persamaan tersebut yang b. 1 d. -2
2
melalui titik (3, -1) ditunjukkan oleh nomor .…
19. Jika suatu garis mempunyai persamaan 2x +
(HOTS) y + 4 = 0, maka gradiennya adalah .…
a. (1) dan (2) a. -2 c. 2
b. (1) dan (3) b. - 1 1
2 2
c. (2) dan (3) d.
d. (1), (2) dan (3)
16. Gradien garis dengan persamaan 2x + 5y – 4 20. Jika suatu garis mempunyai persamaan -2x
+ y + 4 = 0, maka gradiennya adalah .…
= 0 adalah .…
a. 5 c. - 2 a. 2 c. - 1
2 5 2
b. 2 d. - 5 b. 1 d. -2
5 2 2
II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat!
1. Garis h tegak lurus garis m: 5x − 2y + 3 = 0. Tentukan gradien garis h.
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan memiliki gradien 2.
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-2, -4) dan tegak lurus dengan garis yang
melalui titik P(-5, 6) dan Q(4, 3).
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Tentukan pasangan koordinat titik potong garis yang persamaannya 2x + y – 6 = 0 dengan
sumbu X dan sumbu Y.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Tentukan persamaan garis yang melalui garis (1, 1) dan (2, 4).
Jawab: ............................................................................................................................................
6. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, -5) dan sejajar dengan garis yang persamaannya
5x – 2y = 8.
Jawab: ............................................................................................................................................
7. Tentukan gradien yang melewati titik A(1, 1) dan B(7, 6).
Jawab: ............................................................................................................................................
8. Tentukan koordinat titik potong garis dengan persamaan 3x – y = 15 dan -3x + 2y = -12.
Jawab: ............................................................................................................................................
9. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(4, -2) dan tegak lurus garis yang persamaannya
3y = 7 – 6x.
Jawab: ............................................................................................................................................
10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-3, 2) dan B(5, -1).
Jawab: ............................................................................................................................................
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 47
Perbaikan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar!
1. Tentukan gradien garis yang melalui titik A(-2, 5) dan B(2, -3).
Jawab: ............................................................................................................................................
2. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan persamaan garis tersebut!
Jawab: ............................................................................................................................................
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x – 2y + 3 = 0.
Jawab: ............................................................................................................................................
4. Tentukan hubungan antara kedua garis yang memiliki persamaan 2x – y = 7 dan 6x – 3y = 21.
Jawab: ............................................................................................................................................
5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, -2) dan tegak lurus dengan garis x − 3y = 2.
Jawab: ............................................................................................................................................
Pengayaan
Lakukan kegiatan berikut dengan teman kalian!
1. Buatlah kelompok dengan teman kalian! Setiap kelompok terdiri atas 4–5 orang!
2. Carilah permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan garis lurus!
3. Tuliskan model matematika dari permasalahan tersebut!
4. Selesaikan model matematika tersebut menggunakan konsep persamaan garis lurus!
5. Presentasikan hasil kerja kelompok kalian di depan kelas!
48 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
Bab
5 Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel
Kompetensi Inti
3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.
4. Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat)
dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di
sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah
kontekstual.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
1. menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel;
2. menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel; dan.
3. menyelesaikan masalah kontekstual persamaan linear dua variabel.
Alokasi Waktu
... jam pelajaran / ... × pertemuan
Peta Konsep
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Memahami Konsep Persamaan Menyelesaikan Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel Linear Dua Variabel
Apersepsi
Ibu Dona pergi ke pusat perbelanjaan untuk membeli tas jinjing. Ia tertarik Gambar tas coklat dan hitam.
dengan dua tas berwarna coklat dan hitam. Namun ia tidak tahu harga
tiap tas yang ia sukai itu. Ia hanya tahu jika ia membeli sebuah tas hitam
dan dua tas coklat maka ia harus membayar Rp214.500,00. Sedangkan
jika ia membeli dua tas hitam dan sebuah tas coklat maka ia membayar
Rp211.500,00. Bagaimana cara Ibu Dona mengetahui harga satu unit
tashitam dan coklat? Permasalahan seperti ini bisa diselesaikan dengan
menggunakan konsep sistem persamaan linear dua variabel. Ikutilah
pembahasan pada bab berikut ini.
(Kurikulum 2013) Matematika VIII SMP/MTs 49
Rangkuman Materi
A. Memahami Konsep Persamaan Linear Dua Variabel
Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear dua variabel. Namun sebelum mempelajari sistem persamaan linear dua variabel,
kita terlebih dahulu harus mengenal tentang suku, koefisien, konstanta, dan variabel.
Suku adalah suatu bagian dari bentuk aljabar yang dapat terdiri atas variabel dan koefisien atau
berbentuk konstanta yang tiap suku dipisahkan dengan tanda operasi matematika. Perhatikan 2x – y
+ 1, maka suku-sukunya adalah 2x, -y, dan 1.
Koefisien adalah sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel sejenis. Koefisien
dapat juga dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisannya selalu berada di depan
variabel. Perhatikan 2a + 3b, maka koefisien a adalah 2 dan koefisien b adalah 3.
Konstanta adalah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh variabel sehingga nilainya tetap (konstan).
Perhatikan 2p – 7q – 11, maka -11 adalah suatu konstanta karena berapa pun nilai p dan q, nilai -11
tidak ikut terpengaruh sehingga nilainya selalu konstan.
Variabel adalah suatu perubah, pemisal, atau pengganti dari suatu nilai atau bilangan yang
biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol. Perhatikan contoh “Andi memiliki 5 ekor kambing
dan 3 ekor sapi”. Jika dimisalkan banyaknya hewan kambing adalah x dan banyaknya hewan sapi
adalah y, maka kalimat tersebut dapat ditulis sebagai 5x + 3y dengan x dan y adalah variabel.
Persamaan linear dua variabel merupakan persamaan yang mengandung dua macam variabel,
misalnya x dan y di mana pangkat atau derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum
persamaan linear dua variabel sebagai berikut.
ax + by = c
Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang memiliki
hubungan di antara keduanya dan memiliki satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear
dua variabel sebagai berikut.
a1x b1y cc12 ..................................................((ppeerrssaammaaaann
a2x + b2y = 1)
+ = 2)
Keterangan:
x, y = variabel
a, a2, b, b2 = koefisien
c1, c
2 = konstanta
Setelah memahami sistem persamaan linear dua variabel, maka langkah selanjutnya adalah
membuat model matematika. Guna membuat model matematika, maka langkah pertama kita perlu
menentukan variabel yang akan digunakan kemudian menyusunnya menjadi persamaan linear.
Perhatikan permasalahan berikut!
Seno pergi ke toko alat tulis untuk membeli buku dan pena. Harga satuan buku dan pena belum
diketahui. Namun didapat data bahwa jika Seno membeli 2 buku dan 3 pena, maka ia harus membayar
sebesar Rp19.000,00. Jika membeli 3 buku dan 2 pena, maka ia harus membayar Rp21.000,00. Jika
dimisalkan harga satuan buku adalah x dan harga satuan pena adalah y, maka model matematika
dari permasalahan Seno dapat ditulis sebagai berikut.
2x + 3y = 19.000 ..........................(persamaan 1)
3x + 2y = 21.000 ..........................(persamaan 2)
Contoh:
Sepuluh tahun yang lalu usia ayah adalah empat kali usia anak. Enam tahun yang akan datang usia
ayah adalah dua kali usia anak. Nyatakan permasalahan tersebut dalam sistem persamaan linear
dua variabel (SPLDV)!
Penyelesaian:
1. Besaran yang belum diketahui dan harus dicari
Usia ayah sekarang
Usia anak sekarang
50 Matematika VIII SMP/MTs (Kurikulum 2013)
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Buku Matematika Kelas 8 SMP Kurikulum 2013
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search