สารบัญ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความหมายของลิมิต 1 ลิมิตของฟังก์ชัน 3 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน 7 ลิมิตอนันต์ 24 ลิมิตที่อนันต์ 27 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 32 อนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน อันตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน 41 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 45 การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร 50 การหาอนุพันธ์โดยปริยาย 68 อนุพันธ์อันดับสูง 70 ความหมายของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิตวิเคราะห์ 74 การประยุกต์ของอนุพันธ์ 79 การเขียนกราฟของฟังก์ชัน 79 ค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟังก์ชัน 86 กฎของโลปิตาล 98 การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง 100 อัตราสัมพัทธ์ 106 ปริพันธ์ของฟังก์ชัน ปฏิยานุพันธ์ 108 อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 109 เทคนิคการอินทิเกรต 120 การประยุกต์ของอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 126 อินทิกรัลจ ากัดเขต 132 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 139
หน้า 1 ความหมายของลิมิต ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2x 1 จงหาค่าของฟังก์ชัน f เมื่อก าหนดค่า x ดังนี้ ขณะ x < 0 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 0 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน 2 x 1 ;x 1 f(x) 3 x ;x 1 จงหาค่าฟังก์ชัน f เมื่อก าหนดค่า x ดังนี้ ขณะ x < 1 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 1 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 1 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… x < 0 f(x) x > 0 f(x) –1 1 –0.5 0.5 –0.1 0.1 –0.01 0.01 –0.001 0.001 –0.0001 0.0001 –0.00001 0.00001 x < 1 f(x) x > 1 f(x) 0 2 0.5 1.8 0.8 1.5 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.9999 1.0001 0.99999 1.00001
หน้า 2 ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชัน x 1 ;x 2 f(x) 3 x ;x 2 จงหาค่าฟังก์ชัน f เมื่อก าหนดค่า x ดังนี้ ขณะ x < 2 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 2 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 2 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 2 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน f มีกราฟดังรูป พบว่า ขณะ x < –6 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ – 6 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > –6 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ – 6 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x < –3 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ – 3 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > –3 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ – 3 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x < 0 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 0 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x < 5 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 5 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 5 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 5 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x < 9 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 9 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… ขณะ x > 9 แต่มีค่าใกล้เคียงกับ 9 มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ f(x) ใกล้เคียงกับ ……………… x f(x) x f(x) 1 3 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.9999 2.0001 1.99999 2.00001 y x 0 2 4 7 2 3 4 5 5 3 9 6
หน้า 3 1. ลิมิตของฟังก์ชัน บทนิยาม 1. ก าหนดให้ฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจ านวนจริง (1) จะกล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง L ที่ท าให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ x a lim f(x) L (2) จะกล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวาหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง L ที่ท าให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางขวามือ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a lim f(x) L (3) จะกล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a หาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง L ที่ท าให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทั้งทางด้าน ซ้ายและขวามือของ a ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a lim f(x) L หมายเหตุ (1) ลิมิตของฟังก์ชัน เราไม่สนใจว่าจะสามารถหาค่าฟังก์ชัน f(a) ได้หรือไม่ได้ แต่สนใจค่าของ f(x) ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่า a แต่ x a (2) x เข้าใกล้ a ทางซ้าย แทนด้วย x a คือ x มีค่าน้อยกว่า a และ x มีค่าเข้าใกล้ a (3) x เข้าใกล้ a ทางขวาแทนด้วย x a คือ x มีค่ามากกว่า a และ x มีค่าเข้าใกล้ a ***(4) x a lim f(x) L ก็ต่อเมื่อ x a lim f(x) L และ x a lim f(x) L โดย a เป็นจ านวนจริง ที่ซึ่งมี x ใน f D ซึ่ง x < a และ x > a *** ( a เป็นจุดลิมิตและเป็นสมาชิกในโดเมนของ f ) y = g(x) x L y 0 (a, f(a)) y = f(x) a x x L y 0 x
หน้า 4 นิยาม 2 จุดลิมิต (Limit point , Cluster point or Accumulation point) ก าหนดให้ A R และ x R x เป็นจุดลิมิตของ A ก็ต่อเมื่อ ส าหรับทุกๆช่วงเปิด I ซึ่ง x I จะได้ว่า (I {x}) A ตัวอย่างเช่น (1) ก าหนด A = [1, 5) จะได้จ านวนจริง x ซึ่ง 1 ≤ x ≤ 5 ทุกจ านวนเป็นจุดลิมิตของ A (2) ก าหนด B = {1, 1 1 1 , , ,... 234 } จะมี 0 เป็นจุดลิมิตของ B ข้อสังเกต จุดลิมิตของเซต A ไม่จ าเป็นต้องเป็นสมาชิกของเซต A นิยาม 3. ลิมิตของฟังก์ชัน ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R และ L,a R โดยที่ a เป็นจุดลิมิตของ f D f เข้าใกล้ L ที่ a ก็ต่อเมื่อ ส าหรับทุกๆจ านวนจริงบวก จะมีจ านวนจริงบวก ซึ่งส าหรับทุกๆ x ใน f D ถ้า 0 x a แล้ว f(x) L ข้อตกลง 1. ฟังก์ชันที่จะกล่าวถึงตั้งแต่นี้เป็นต้นไปจะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R ยกเว้นระบุเป็นอย่างอื่น 2. ในการกล่าวถึง f เข้าใกล้ L ที่ a อาจจะกล่าวละค าว่า “ a เป็นจุดลิมิตของ f D “ หรือ “ส าหรับทุกๆ x ใน f D ” โดยขอให้เข้าใจตรงกันว่ามีข้อความนี้อยู่เสมอแม้จะไม่ระบุไว้ 1 5 o 0 1 1 2 1 3 1 4 0 x L L a L y y f(x) 0 x L L a L y y f(x) a a
หน้า 5 ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน f ซึ่งนิยามดังนี้ x 1 ; x 1 f(x) x 2 ; x 1 จงพิจารณาค่าของ x 1 x 1 x 1 lim f(x), lim f(x), lim f(x) วิธีท า จากตารางจะได้ x 1 lim f(x) …………..…… และ x 1 lim f(x) ……….…… ดังนั้นจะได้ว่า x 1 lim f(x) ………………… ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f ซึ่งนิยามดังนี้ 2 x 4 f(x) x 2 จงพิจารณาค่าของ x 2 x 2 x 2 lim f(x), lim f(x), lim f(x) วิธีท า จากตาราง x 2 lim f(x)..………….… และ x 2 lim f(x)……….…… ดังนั้น จะได้ว่า x 2 lim f(x) …………………… x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)
หน้า 6 ตัวอย่าง 3 ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีกราฟดังรูป จงหา (1) x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. (2) x 1 lim f(x)………………. x 1 lim f(x) ………………. x 1 lim f(x) ………………. (3) x 3 lim f(x) ………………. x 3 lim f(x) ……………… x 3 limf(x) ....................... ตัวอย่าง 4 ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีกราฟดังรูป จงหา (1) x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. (2) x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. x 2 lim f(x) ………………. (3) x 0 lim f(x) …………………. x 0 lim f(x) …………..…….. x 0 limf(x) ..................... y x –2 0 2 1 –1 2 y x –1 2 0 2 –2 1 3
หน้า 7 2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังกช์ัน ก าหนดให้ a, c, A, B เป็นจ านวนจริง และ m, n เป็นจ านวนนับ ถ้า f, g เป็นฟังก์ชันที่มี โดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจ านวนจริง โดยที่ x a limf(x) A และ x a lim g(x) B แล้ว (1) x a limc ……………………………………………………….. (2) x a limcf(x) ……………………………………………………. (3) x a lim f(x) g(x) = …………………………………………… (4) x a lim f(x) g(x) = ……………………………………………. (5) x a f(x) lim g(x) = …………………………………………………. (6) n x a lim[f(x)] …………………………………………………… (7) n x a lim f(x) …………………………………………………….. (8) m n x a lim f(x) ………………………………..และ n 2 และ m A n เป็นจ านวนจริง การหาลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม (polynomial of function) (9) x a lim x ……………………… (10) n x a lim x …………………… (11) n n 1 n n 1 1 0 x a lim(c x c x ... c x c ) ……………………………………..….. การหาลิมิตของฟังก์ชันของฟังก์ชัน(function of function) ดังนี้ (12) ก าหนดฟังก์ชันของฟังก์ชัน fog(x) โดย x a lim g(x) A (12.1) ถ้า x A limf(x) f(A) จะได้ว่า x a x a limf(g(x)) f(limg(x))= f(A) (12.2) ถ้า x A limf(x) f(A) จะได้ว่า x a g(x) A x A lim f(g(x)) lim f(g(x)) lim f(x)
หน้า 8 หมายเหตุ (1) ทฤษฎีบทข้างต้น ยังคงเป็นจริงส าหรับการลิมิตด้านเดียว หรือ x a x a lim f(x), lim f(x) (2) ในการใช้ทฤษฎีบทข้างต้น ถ้า f(a) = 0 , g(a) = 0 , f(a) = หรือ g(a) = เมื่อหาลิมิตแล้วจะอยู่ในรูป 0 0 , , 0 , – , 0 0 , 0 หรือ 1 เราไม่อาจจะตอบได้เลยว่าค่าลิมิตหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้ เรียกรูปแบบลิมิตนี้ว่า รูปแบบทไี่ม่กา หนด(Inderterminate Form : IF) (3) จากทฤษฎีบทข้างต้น สรุปขนั้ตอนการหาลิมิตของฟังกช์ัน f(x) ที่ x = a ดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (รูปแบบลิมิตทไี่ม่เป็นแบบ IF) (1) x 2 lim( 10) (2) x 7 limx (3) 4 x 2 lim x (4) 5 x 1 2 lim x 3 (5) 4 x 2 lim(3x 7x) (6) 3 2 x 2 lim(x 5)(x x) ถ้า f(a) ไม่เป็นรูปแบบ IF (1) ถ้า f(a) หาค่าได้ แล้ว (2) ถ้า f(a) อยู่ในรูป แล้ว หาค่าไม่ได้ ถ้า f(a) เป็นรูปแบบ IF จัดให้อยู่ในรูป หรือ แล้วใช้วิธี แยกตัวประกอบ คูณด้วยเทอมที่เป็นคอนจูเกต ใช้กฎของโลปิตาล (เรื่องอนุพันธ์) ขั้นที่ 1 แทนค่า x = a ใน f(x) เหมือนกับการหาค่า f(a) ขั้นที่ 2 พิจารณาค่าf(a) ทได้ ี่
หน้า 9 (7) x 8 x 3 2x lim 16 4 x (8) 2 x 3 x 2x 3 lim 2x 1 (9) 2 x 3 2x 6 lim x 1 (10) 2 x 3 x 1 lim x 3 (11) 3 x 2 lim x 1 (12) 2 3x x 1 lim 10 (13) 2 x 2 limlog(x 3x) (14) 2 x 2 | x 3 | lim x 9 (15) x 2x lim sin 4 (16) x 2 4x lim tan 3 2x
หน้า 10 ตัวอย่าง 2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (การหาลิมิตในรูปแบบ IF โดยการแยกตัวประกอบ) (1) 2 2 x 2 x 4 lim x x 6 (2) 2 x 5 x 25 lim x 5 (3) 2 2 x 3 x x 12 lim 3 4x x (4) 3 2 x 1 2 4x 5x 3x 2 lim x 2x 1
หน้า 11 (5) 2 3 x 2 x 2x 8 lim x 2 (6) 2 x 0 2 x 2 lim x x x (7) x x x 1 x 2 9 8 3 9 lim 3 27
หน้า 12 ตัวอย่าง 3 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (การหาลิมิตในรูปแบบ IF โดยการคูณด้วยสังยุค) (1) x 0 x 16 4 lim x (2) x 1 2 x 1 lim x 3 2 (3) 2 x 3 2 x 9 lim 12 x 3 (4) x 2 2x 2 lim 1 x 1
หน้า 13 (5) x 1 x 2 2x 3 lim 3x 7 2x 6 (6) 3 x 1 x 1 lim x 1 (7) 3 x 0 3 x 1 1 lim 2 8 x
หน้า 14 (8) x 3 3 2x 3 3 x 1 5x lim x 3 (9) 2 2 3 x 0 1 lim 1 x 1 x (1 x)(1 x ) (1 x)(1 x ) x
หน้า 15 ตัวอย่าง 4 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (การหาลิมิตทางเดียว) (1) x 1 lim x 1 (2) 2 2 x 2 x 4 lim x x 2 (3) x 3 x 6 x lim 3 x (4) x 2 | x 2 | lim x 2 (5) x 2 | x 2 | lim x 2
หน้า 16 (6) 3 2 2 x 0 x x x lim x (7) 3 2 2 x 0 x x x lim x (8) 2 x 4 || x 2 | 2 | lim x 16 (9) 2 x 4 || x 2 | 2 | lim x 16
หน้า 17 ตัวอย่าง 5 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (การหาลิมิตโดยการแทนตัวแปรใหม่) (1) x 5 3 x 4 lim x 5 (2) x 3 3 x 3 lim x 2 1 (3) x 2 x x 2 x 2 1 x 3 8 3 lim 3 3 (4) x x 1 x 2 3 2 x 2 lim x 1 1
หน้า 18 ตัวอย่าง 6 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้(ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) (1) x 1 cosx lim sinx (2) 2 x 2 1 cosx sin x lim 1 sinx (3) 2 x 4 1 2sin x lim secx 2 tan x
หน้า 19 การหาลิมิตของฟังกช์ันทต้องพิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ี่ ตัวอย่าง 7 ก าหนดฟังก์ชัน 3 2x 5 ; x 3 f(x) 2 3x 2 x ; x 3 จงหา x 3 lim f(x) ตัวอย่าง 8 ก าหนดฟังก์ชัน 2 3 x ; x 3 f(x) x 9 ; x 3 x 3 จงหา x 3 lim f(x) ตัวอย่าง 9 ก าหนดฟังก์ชัน 2 x 6x 9 f(x) x 3 จงหา x 3 lim f(x)
หน้า 20 ตัวอย่าง 10 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 4 x จงหา x 2 lim f(x) ตัวอย่าง 11 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = | 2 x | 3 | x 5 | จงหา (1) x 5 lim f(x) (2) x 2 lim f(x)
หน้า 21 การหาลิมิตของฟังก์ชันเชิงประกอบ(composite functions) ตัวอย่าง 12 ก าหนด f(x) = 2 10 ; x 3 x 9 ; x 3 x 3 และ g(x) = 2x – 1 จงหา (1) x 2 lim(f g)(x) o (2) x 3 lim(g f)(x) o ตัวอย่าง 13 ก าหนด f(x) = 2 x 4 x 2 และ g(x) = x 5 ; x 4 x 2 ; x 4 จงหา (1) x 2 lim(gof)(x) (2) x 4 lim(fog)(x)
หน้า 22 ตัวอย่าง 14 ก าหหนด 3 3 x 2 2 ; x 2 x 2 f(x) x 8 ; 0 x 2 x 4x จงหา (1) 2 x 0 lim f(x 2) (2) x 1 f(x 1) lim 2x ตัวอย่าง 15 ก าหนด f(x) = 2 3x จงหา h 0 f(x h) f(x) lim h เมื่อ h R
หน้า 23 การหาค่าคงทจี่ากเงอื่นไขของฟังกช์ันทมีลิมิต ี่ ถ้าก าหนดว่า f เป็นฟังก์ชันที่มีลิมิต(หาลิมิตได้)ที่ x = a แสดงว่า x a x a x a lim f(x) lim f(x) lim f(x) ตัวอย่าง 16 ก าหนด f(x) = 2 kx 1 ; x 2 x 4 ; x 2 x 2 จงหาค่า k ที่ท าให้ f มีลิมิตที่ x = –2 ตัวอย่าง 17 ก าหนด f(x) = 2 kx 5 ; x 3 x 1 ; x 3 ถ้า k ที่ท าให้ f มีลิมิตที่ x = 3 จงหา 2 x 4 x 3 f(x 1) lim f(x ) lim x 2
หน้า 24 3. ลิมิตอนันต์(infinite limit) ลักษณะกราฟของฟังก์ชันที่มีลิมิตที่ a เป็นอนันต์มีรูปแบบต่างๆดังนี้ หมายเหตุ ในกรณีที่ x a lim f(x) (หรือ – ) หรือ x a lim f(x) (หรือ – ) หรือ x a lim f(x) (หรือ – ) ก็ตาม เราจะเรียกเส้นตรง x = a ว่าเป็น เส้นกา กับแนวตั้ง(vertical asymtote) y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง y 0 x x = a a x a เส้นก ากับแนวตั้ง (5) limf(x) x a (6) limf(x) x a x a (7) lim f(x) , lim f(x) x a x a (8) lim f(x) , lim f(x) y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง y 0 x x = a a x a เส้นก ากับแนวตั้ง (1) lim f(x) y 0 x x = a a f เส้นก ากับแนวตั้ง x a (2) lim f(x) y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง x a (3) lim f(x) y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง x a (4) lim f(x) y 0 x x = a a เส้นก ากับแนวตั้ง x a (2) lim f(x)
หน้า 25 การหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) g(x) ทมี่ีลิมิตอนันต์ ให้ a , f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ โดยที่ x a lim f(x) A และ x a lim g(x) 0 ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 x 2 x 1 จงหา (1) x 1 lim f(x) (2) x 1 lim f(x) (3) x 1 lim f(x) (4) x 1 lim f(x) 0 g(x) 0 x a f(x) A lim g(x) 0 0 0 g(x) x a f(x) A lim g(x) 0 0 g(x) 0 x a f(x) A lim g(x) 0 0 0 g(x) x a f(x) A lim g(x) 0 A < 0 A > 0 x a f(x) A lim g(x) 0
หน้า 26 ตัวอย่าง 2 จงหาลิมิตแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) 2 x 1 1 lim (x 1) (2) x 2 1 2x lim | x 2 | (3) 3 x 1 2x 5 lim (x 1)
หน้า 27 4. ลิมิตทอนันต์ ี่ บทนิยาม 2. ก าหนดให้ A และ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ (1) x lim f(x) = A ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่ามากขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ A (2) x lim f(x) = A ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ A (3) x lim f(x) = ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่ามากขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะมีค่ามากขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต (4) x lim f(x) = ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะมีค่ามากขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต (5) x lim f(x) = – ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่ามากขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะมีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต (6) x lim f(x) = – ก็ต่อเมื่อ ถ้า x มีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต แล้ว ค่าของ f(x) จะมีค่าน้อยลงอย่างไม่มีขอบเขต ตัวอย่างลักษณะกราฟของฟังกช์ันทมี่ีลิมิตทอี่นันต์ x lim f(x)= A และ x lim f(x) x lim f(x) = A และ x lim f(x) ทฤษฎีบทลิมิตทอี่นันต์ (1) ถ้า c R และ c 0 จะได้ว่า x lim c c และ x lim c c (2) ก าหนดให้ x lim f(x) A และ x lim g(x) B เมื่อ A, B เป็นจ านวนจริง จะได้ว่า (2.1) x x lim cf(x) c lim f(x) cA เมื่อ c R (2.2) x lim[f(x) g(x)] = x limf(x) x limg(x) = A B (2.3) x lim[f(x) g(x)] = x limf(x) × x limg(x) = AB (2.4) x f(x) lim g(x) = x x lim f(x) lim g(x) = A B ;B 0 หมายเหตุ ข้อ (2) ยังคงเป็นจริง เมื่อพิจารณา x – y 0 x y = A A f y 0 x y = A A f – –
หน้า 28 (3) ก าหนดให้ c R , c 0 และ f เป็นฟังก์ชัน (3.1) ถ้า x lim f(x) หรือ x lim f(x) แล้ว x c lim 0 f(x) (3.2) ถ้า x lim f(x) หรือ x lim f(x) แล้ว x c lim 0 f(x) (4) ก าหนดให้ k R + (4.1) ถ้า x > 0 แล้ว k x limx (4.2) ถ้า x < 0 และ x k R แล้ว k k k x ; x 0 lim x ; x 0 (5) ก าหนด f(x) = p p 1 p 2 1 2 3 n q q 1 q 2 1 2 3 n A x A x A x ... A B x B x B x ... B พิจารณาดังนี้ กรณีที่ 1 ถ้า p < q จะได้ n lim f(x) = 0 กรณีที่ 2 ถ้า p = q จะได้ n lim f(x) = 1 1 A B กรณีที่ 3 ถ้า p > q จะได้ n lim f(x) หาค่าไม่ได้ หมายเหตุข้อ (5) ยังคงเป็นจริง เมื่อพิจารณา x – (6) ก าหนดให้ k จะได้ x x 0 ; | k | 1 lim k 1 ; | k | 1 ; | k | 1 ถ้า x lim f(x) a เรียกเส้นตรง y = a ว่าเป็น เส้นก ากับแนวนอน (Horizontal asymtote) ข้อควรระวัง รูปแบบไม่ก าหนดต่อไปนี้หาค่าไม่ได้ +(–) , 0 , 0 , 1 , 0 0 0 , หาไม่ได้
หน้า 29 ตัวอย่าง 1 จงหาลิมิตต่อไปนี้ (1) x lim 25 =......................... (2) x lim 2x = ............................ (3) x 2 lim x 1 = ......................... (4) x 7 lim x 2 = ........................ (5) x x 1 lim 2 = ......................... (6) x x lim 3 = ........................... (7) 2 x 4 2 lim(3 ) x x (8) 2 2 x 5x 3 lim 3x 1 (9) 3 3 x 3x 2x 1 lim 5 2x (10) 2 3 x 2x 3x 1 lim 3x 5 (11) 4 2 2 x x 4x 5 lim 3x 1 (12) 2 x 4x 3x 1 lim (2x 5)(x 1)
หน้า 30 (13) 4 2 2 x 4x 3x lim x 5 (14) x 2 2x 3 lim 3x 2 (15) 2 x lim x x x (16) 2 2 x lim x 1 x x 1 2x
หน้า 31 (17) x x x x 2 3 lim 5 (18) x x x x x 5 5 lim 5 5 (19) x x x x x x 4 (6 ) 2(9 ) lim 2 3 (20) x x x x x x 3 2 1 6 lim 2 1 4
หน้า 32 5. ความตอ่เนื่องของฟังกช์ัน 5.1 นิยามของความต่อเนื่องของฟังกช์ัน บทนิยาม 3. ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง และ a จะกล่าวว่า f เป็นฟังกช์ันต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ (1) ……………………………… (2) ………………………………. และ (3) ………………………………. หมายเหตุ ถ้า f ขาดคุณสมบัติ (1) หรือ (2) หรือ (3) ข้อใดข้อหนึ่งในบทนิยาม 3. เราจะกล่าวว่า f ไม่ต่อเนื่อง ที่ x = a (1) (2) (3) (4) (5) (6) จากรูปถ้าพบว่ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่ x = a สามารถสรุปได้ว่าฟังชันนั้นเป็นฟังก์ชันที่ไม่ ต่อเนื่องที่ x = a y x 0 a f y x 0 a f y x 0 a f y x 0 a f y x 0 a f x 0 a f y
หน้า 33 ตัวอย่าง 1 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ (1) ถ้าให้ f(x) = 2 x x 2 x 2 แล้ว f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ (2) ถ้าให้g(x) = 2 x 4 ;x 2 x 2 1 ;x 2 แล้ว g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = –2 หรือไม่ (3) ถ้าให้h(x) = x 2 ; x 4 x | 4 x | ; x 4 x 4 แล้ว h เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 4 หรือไม่
หน้า 34 ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 x 5x 6 x 2 เมื่อ x และ x ≠ – 2 ถ้าต้องการให้ f ต่อเนื่องที่ x = – 2 แล้ว จะต้องนิยาม f(–2) ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชัน 2 3 x 1 ; x 1 f(x) x 1 k ; x 1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1 จงหาค่า k ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน 2 x 3 ; x 1 f(x) x 1 kx 1 ; x 1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1 จงหาค่า k
หน้า 35 ตัวอย่าง 5 ก าหนดฟังก์ชัน 2 2 Ax B ; x 1 x 6x f(x) ; 1 x 6 x 5x 6 Bx A ; x 6 โดยที่ f มีความต่อเนื่องที่ x = 1 และ x = 6 จงหา 9A + 44B ตัวอย่าง 6 ก าหนดให้ x 3 ; x 3 2x 10 x 13 f(x) a ; x 3 โดยที่ a เป็นจ านวนจริง ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x = 3 จงหาค่า a (PAT 1 : 5 มีนาคม 2554)
หน้า 36 5. 2 ทฤษฎีบทของฟังกช์ันต่อเนื่อง (1) ฟังก์ชันพหุนาม f(x) = anx n + an–1x n–1 + … + a1x + a0 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = c เมื่อ c เป็นจ านวนจริงใดๆ (2) ฟังก์ชันตรรกยะ f(x) = p(x) q(x) เมื่อ p(x) , q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม โดย q(x) 0 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เมื่อ a เป็นจ านวนจริงที่ท าให้ q(a) 0 หมายเหตุ บทกลับของข้อ (2) บอกเราว่า “ ถ้า จ านวนจริง a ที่ท าให้ q(a) = 0 จะท าให้ฟังก์ชัน r(x) ไม่ต่อเนื่องที่ x = a ” (3) ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a และ c เป็นจ านวนจริงใดๆ แล้ว f g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a f g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a f g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a เมื่อ g(a) 0 cf เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a (4) (ความต่อเนื่องของฟังก์ชันประกอบ) ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = f(a) แล้ว gof จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a ตัวอย่าง ก าหนดฟังก์ชันต่อไปนี้จงพิจารณาว่าเป็น ฟังก์ชันต่อเนื่องและ ฟังกช์ันไม่ต่อเนื่อง ที่จุดใดบ้าง (1) x 2 f(x) | x 3 | (2) 2 x 2 f(x) x 3x 2 (3) 2 2 x f(x) 1 x
หน้า 37 5.3 ฟังกช์ันต่อเนื่องบนช่วง (1) ฟังกช์ันต่อเนื่องทางเดียว บทนิยาม 4. ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง และ a R จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่ x = a ก็ต่อเมื่อ (1) f(a) หาค่าได้ (2) x a lim f(x) หาค่าได้ และ (3) x a lim f(x) = f(a) จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้ายที่ x = a ก็ต่อเมื่อ (1) f(a) หาค่าได้ (2) x a lim f(x) หาค่าได้ และ (3) x a lim f(x) = f(a) ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 x ; x 0 x ; x 0 จงพิจารณาว่า (1) f ฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้ายที่ x = 0 (2) f ฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่ x = 0
หน้า 38 (2) ฟังกช์ันต่อเนื่องบนช่วง บทนิยาม 5. 1. ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิ ด (a, b) ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุดในช่วงเปิด (a, b) 2. ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิ ด [a, b] ก็ต่อเมื่อ (1) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) (2) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่ x = a (3) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้ายที่ x = b ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 x 25 ; x 5 x 5 10 ; x 5 จงตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [5, 8] หรือไม่
หน้า 39 5.4 สมบัตขิองฟังกช์ันต่อเนื่องบนช่วงปิด บทนิยาม 6. (ค่าสูงสุดและค่าต่า สุด) ก าหนดให้ c [a, b] และ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมี [a, b] เป็นสับเซตของโดเมนของ f (1) f(c) เป็นค่าสูงสุดของ f(x) บน [a, b] ก็ต่อเมื่อ f(c) f(x) ทุกๆ x [a, b] (2) f(c) เป็นค่าต่า สุดของ f(x) บน [a, b] ก็ต่อเมื่อ f(c) f(x) ทุกๆ x [a, b] ลักษณะหนึ่งของค่าสูงสุดและต ่าสุดของฟังก์ชัน f(x) บน [a, b] สมบัติของฟังกช์ันต่อเนื่องบนช่วงปิด (1) ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] แล้ว จะต้องมีจ านวนจริง c และ d ใน [a, b] ซึ่งท าให้ (1.1) f(c) เป็นค่าสูงสุดของ f(x) บน [a, b] (1.2) f(d) เป็นค่าต่า สุดของ f(x) บน [a, b] (2) (ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง) ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ k ซึ่ง f(a) k f(b) แล้ว จะต้องมีจ านวนจริง c (a, b) ซึ่งท าให้ f(c) = k x f(c) y a d 0 c b f(d) x f(a) y a 0 c b k f(b) f(c) y x 0 a c b f(c) y 0 a c b x
หน้า 40 ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = x 3 + x – 1 บนช่วง [0, 1] (1) จงพิจารณาว่า f มีค่าสูงสุดและต ่าสุดบน [0, 1] หรือไม่ (2) จงพิจารณาว่าสมการ x 3 + x – 1 = 0 มีค าตอบบนช่วง [0, 1] หรือไม่ ตัวอย่าง 2 จงพิจารณาว่าสมการ 3 2 2 x 2x x 1 5 x 1 4 มีค าตอบในช่วง [0, 1] หรือไม่
หน้า 41 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลยี่นแปลงของฟังกช์ัน ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) และให้ (x1 , y1 ) และ (x2 , y2 ) เป็นจุดหนึ่งที่สอดคล้องกับ y = f(x) นั่นคือ y1 = f(x1 ) และ y2 = f(x2 ) ก าหนด x = ……………………แทนการเปลี่ยนแปลงของ x จาก x1 ถึง x2 y = …………………… แทนการเปลี่ยนแปลงของ y จาก y1 ถึง y2 นั่นคือ y = ……………………………………………………………… อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x จาก x1 ถึง x1 + x มีบทนิยามต่อไปนี้ บทนิยาม 1. ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x จาก x ถึง x + x คือ y x บทนิยาม 2. ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) เมื่อค่า x เปลี่ยนเป็น x + x เมื่อ x 0 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะที่ x มีค่าใดๆ คือ x 0 y lim x ความหมายทางเรขาคณิต x 0 y lim x ………………………………… ความหมายทางเรขาคณิต y x = ……………………………………. y x 0 x x + x y = f(x) P Q y x 0 x x + x y = f(x) P Q
หน้า 42 ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2 x 2x – 1 (1) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x จาก x = –2 ถึง x = 3 (2) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x จาก x ถึง x + 2 (3) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะที่ x มีค่าใดๆ (4) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะที่ x = 5
หน้า 43 ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน y = x 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x (1) ในขณะ x ใดๆ (2) ในขณะที่ x = 3 ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชัน 2 2x 1 ; x 1 f(x) 4x 3 ; x 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะที่ x = 1
หน้า 44 ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน y = | x 2 | จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะที่ x = 2 ตัวอย่าง 5 จากวงกลมรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา (1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวรัศมีเปลี่ยนจาก r เป็น r + h (2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะที่รัศมียาว r เซนติเมตร
หน้า 45 2. อนุพันธ์ (Derivative) 2.1 นิยามของอนุพันธ์ บทนิยาม 3. ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง (1) ถ้า x 0 f(x x) f(x) lim x หาค่าได้ แล้ว เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์ที่ x และ ค่าลิมิตที่ได้ เรียกว่า อนุพันธ์ของ f ที่ x และเขียนแทนด้วย f (x) (2) ถ้า x 0 f(x x) f(x) lim x หาค่าไม่ได้ แล้ว เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x \ หมายเหตุ (1) เราจะเขียน f (x) = x 0 f(x x) f(x) lim x เมื่อ ลิมิตหาค่าได้ (2) นอกจากสัญลักษณ์ f (x) แล้วยังมีสัญลักษณ์อื่นๆ อีกที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f ที่ x ใดๆ เช่น dy dx (อ่านว่า ดีวายบายดีเอ็กซ์ ) หรือ d f(x) dx (อ่านว่า ดีเอฟเอกซ์บายดีเอกซ์ ) หรือ y เป็นต้น (3) f (a) หรือ x a dy dx แทนอนุพันธ์ของ f ที่ x = a นั่นคือ f (a) = x 0 f(a x) f(a) lim x เมื่อ ลิมิตหาค่าได้ = x a f(x) f(a) lim x a เมื่อ ลิมิตหาค่าได้ (เพราะ x x a ) (5) ในนิยามของอนุพันธ์อาจเอกสารบางเล่มอาจจะแทน x ด้วย h แต่ความหมายเดียวกัน นั่นคือ f (x) = h 0 f(x h) f(x) lim h และ f (a) = h 0 f(a h) f(a) lim h
หน้า 46 ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2 x x 2 โดยอาศัยนิยามของอนุพันธ์ จงหา f (x) และ f (2) ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2 x โดยอาศัยนิยามของอนุพันธ์ จงหา f (x) และ f ( 2 )
หน้า 47 ตัวอย่าง 3 โดยสมบัติของ 0 0 sin cos 1 lim 1 , lim 0 เมื่อ ก าหนดฟังก์ชัน y = sin x โดยอาศัยนิยามของอนุพันธ์จงหา dy dx และ x 3 dy dx ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2 x 1 ; x 1 2x ; x 1 จงหา f (1) ตัวอย่าง 5 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = | 1 x | จงหา f (1)
หน้า 48 2.2 ความตอ่เนื่องของฟังกช์ันทมี่ีอนุพันธ์ เมื่อ x c พิจารณา x c x c x c x c f(x) f(c) lim(f(x) f(c)) lim (x c) x c f(x) f(c) lim lim(x c) x c f (c) 0 0 ดังนั้น x c lim f(x) f (c) นั่นคือf เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = c หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 1 เราจะได้ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ x = c แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่มีอนุพันธ์ได้ที่ x = c ตัวอย่าง 7 จงหาค่า c ที่ท าให้ฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = c (1) f(x) = 2 x 3 x 5x 4 (2) g(x) = 2 3x 1 ; x 1 3x 1 ; x 1 ทฤษฎีบท 1 : ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x = c แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ x = c