หน้า 99 ตัวอย่าง 2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (1) x 0 sin x lim x (2) x lnx lim x (3) x x 2 e lim x 2x (4) 2 x x 5x 1 lim e (5) 2 x 0 1 1 lim( ) sin x 1 cos x
หน้า 100 4. การเคลื่อนทแี่นวเส้นตรง(Motion Along a Line) ความเร็ว ความเร่ง (Velocity and Acceleration) ก าหนดให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง โดยมีสมการเคลื่อนที่ y = s(t) เมื่อ y แทนระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดคงทจีุ่ดหนึ่งในขณะเวลา t แล้ว ความเร็วเฉลี่ย ของวัตถุ จาก t1 ถึง t2 หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางของวัตถุ จาก t1 ถึง t2 มีค่า เท่ากับ 2 1 2 1 s(t ) s(t ) t t ความเร่งเฉลี่ย ของวัตถุ จาก t1 ถึง t2 หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุ จาก t1 ถึง t2 มีค่า เท่ากับ 2 1 2 1 v(t ) v(t ) t t ความเร็ว ของวัตถุในขณะเวลา t ใดๆ หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่า เท่ากับ ds f (t) v(t) st ความเร่ง ของวัตถุในขณะเวลา t ใดๆ หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ มีค่า เท่ากับ dv v (t) a(t) st อัตราเร็วเฉลี่ยของวัตถุ หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของความเร็วเฉลี่ยของวัตถุ อัตราเร็วของวัตถุ หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของความเร็วของวัตถุ อัตราเร่งของวัตถุ หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของความเร่งของวัตถุ ข้อสังเกต 1. อัตราเร็วเฉลี่ย อัตราเร็ว อัตราเร่งเฉลี่ย และอัตราเร่ง เป็นปริมาณสเกลาร์ 2. ความเร็วเฉลี่ย ความเร็ว ความเร่งเฉลี่ย และความเร่ง เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีเครื่องหมายแสดงทิศทาง 3. y = s(t) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับเวลาถึงแม้มีกราฟเป็นเส้นโค้ง ไม่ได้หมายความว่าวัตถุเคลื่อนที่ตามเส้นโค้งนั้น สมการเคลื่อนที่ y = s(t) ความเร็ว ความเร่ง อนุพันธ์ อนุพันธ์
หน้า 101 ความหมายของเครื่องหมายของความเร ็ วและความเร่ง ความหมายของเครื่องหมายก็เช่นเดียวกันกับที่กล่าวไปแล้วกับเรื่อง ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด เพราะความเร็วเป็นอนุพันธ์ของระยะทาง (s) และความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว (v) ซึ่งสรุปได้ดังนี้ (ทางขวา) ก าหนดให้ s(t) = แทนระยะทางของวัตถุที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งในขณะเวลา t v(t) = แทนความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t a(t) = แทนความเร่งของวัตถุในขณะเวลา t ถ้า v(t) > 0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้ s มีค่าเพิ่มขึ้น (s เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่ t) ถ้า v(t) < 0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้ s มีค่าลดลง (s เป็นฟังก์ชันลดที่ t) ถ้า a(t) > 0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้ v มีค่าเพิ่มขึ้น (v เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่ t) ถ้า a(t) < 0 แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้ v มีค่าลดลง (v เป็นฟังก์ชันลดที่ t) การวิเคราะหท์ศิทางการเคลื่อนที่ : พิจารณาจากเครื่องหมายของ v(t) เช่น การวิเคราะหห์าช่วงเวลาทวี่ัตถุเคลื่อทเี่ร ็ วขึน้หรือช้าลง : ดูจากเครื่องหมายของ v(t) และ a(t) ดังนี้ (1) ถ้า v(t) และ a(t) มีเครื่องหมายเหมือนกันแล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้อัตราเร็วเพิ่มขึ้น (2) ถ้า v(t) และ a(t) มีเครื่องหมายต่างกัน แล้ว วัตถุจะเคลื่อนที่โดยท าให้อัตราเร็วลดลง เช่น จุดคงที่ ทิศทางบวก s(t) 0 +++ ––––– การเคลื่อนที่ เครื่องหมายของ v(t) = 0 +++ 0 1 t 2 t t + + + + –––– –– ––_ เครื่องหมายของ a(t) + + + + เครื่องหมายของ v(t) 0 3 t + + + + + + + –––– –– ––_ ช้าลง เร็วขึ้น ช้าลง เร็วขึ้น วัตถุไม่เคลื่อนที่
หน้า 102 การวิเคราะหก์ารเคลื่อนที่ : เนื่องจาก a(t) เป็นอนุพันธ์อันดับสองของ s(t) ดังนั้น เราสามารถใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือต ่าสุดสัมพัทธ์ ในการพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุได้ ตัวอย่างเช่น (1) ถ้า v(t1 ) = 0 และ a(t1 ) > 0 แล้ว จะได้ว่า s(t1 ) เป็นค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ แสดงว่า ณ เวลา t1 ค่าของ s จะเปลี่ยนจากฟังก์ชันลดไปเป็นฟังก์ชันเพิ่ม วัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้าย แล้วเปลี่ยนไปทางขวามือ (2) ถ้า v(t1 ) = 0 และ a(t1 ) < 0 แล้ว จะได้ว่า s(t1 ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แสดงว่า ณ เวลา t1 ค่าของ s จะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเพิ่มไปเป็นฟังก์ชันลดลง วัตถุเคลื่อนที่ไปทางขวา แล้วเปลี่ยนไปทางซ้ายมือ ตัวอย่าง 1 ก าหนดให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง มีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = 1 3 t 2t 2 จงหา (1) ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ยของวัตถุ จาก t = 0 ถึง t = 1 (2) ความเร็วและอัตราเร็วของวัตถุในขณะที่เวลา t = 1 s ลดลง s เพิ่มขึ้น t=t1 s ลดลง s เพิ่มขึ้น t=t1
หน้า 103 ตัวอย่าง 2 ถ้าโยนลูกบอลลูกหนึ่งขึ้นไปตามแนวดิ่ง มีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = –16t2 + 96t เมื่อ s เป็นระยะทาง(ฟุต) ที่ลุกบอลอยู่สูงจากจุดโยนในขณะเวลา t วินาที จงหา (1) ความเร็วของลูกบอลในขณะเวลา t = 2 วินาที (2) อัตราเร็วของลูกบอลในขณะเวลา t = 4 วินาที (3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปสูงสุด ตัวอย่าง 3 ก าหนดให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง โดยมีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = t 3 – 6t2 + 9t + 4 ; 0 t 5 จงหา (1) ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ โดยท าให้ s มีค่าเพิ่มขึ้น (2) ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ โดยท าให้ s มีค่าลดลง (3) เวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ โดยท าให้ s มีค่ามากที่สุด และน้อยที่สุด
หน้า 104 ตัวอย่าง 4 วัตถุอันหนึ่งเคลื่อนที่ตามเส้นตรง โดยมีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = t 3 – 9t2 + 24t จงหา (1) ความเร่งเฉลี่ย จาก t = 2 ถึง t = 4 (2) ความเร่งของวัตถุเมื่อ t = 3 (3) อัตราเร่งของวัตถุเมื่อ t = 2.5 (4) ในขณะเวลาที่ t = 1 วัตถุมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลง ตัวอย่าง 5 วัตถุ P เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง โดยมีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = t 3 – 12t2 + 36t – 20 เมื่อ t เป็นเวลา(วินาที) และ s(t) เป็นระยะทางมีหน่วยเป็นเซนติเมตร จงอธิบายลักษณะการเคลื่อนของ P เมื่อ t [–1, 9]
หน้า 105 ตัวอย่าง 6 ถ้าวัตถุอันหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวนอน โดยมีสมการการเคลื่อนที่ s(t) = t 4 – 6t3 + 12t2 – 10t + 3 เมื่อ t 0 เมื่อ t เป็นเวลา(วินาที) และ s(t) เป็นระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร จงหา (1) ช่วงเวลาที่ท าให้ความเร็วเพิ่มและช่วงเวลาที่ท าให้ความเร็วลด (2) ช่วงเวลาที่ท าให้อัตราเร็วเพิ่มและช่วงเวลาที่ท าให้อัตราเร็วลด (3) เวลาที่วัตถุเปลี่ยนทิศทางของการเคลื่อนที่ (4) จงเขียนลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุ
หน้า 106 5. อัตราสัมพัทธ์(Related Rates) อัตราสัมพัทธ์ คือ ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการเปลี่ยนแปลงของสิ่งสองสิ่งเมื่อเทียบกับเวลา สมมติให้ x และ y แทนปริมาณของสิ่งของสองสิ่งที่แปรผันตามเวลา t และมีความสัมพันธ์กันด้วย สมการ f(x, y) = 0 dx dt แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของ x เทียบกับเวลา t dy dt แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับเวลา t จุดมุ่งหมาย คือ เมื่อเราทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงของ x หรือ ของ y อย่างใดอย่างหนึ่ง เราจะ หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของสิ่งที่เหลือได้อย่างไร เครื่องมือสา หรับการคา นวณ คือ การหาอนุพันธ์โดยปริยาย โดยให้ถือว่าทั้ง x และ y เป็นฟังก์ชัน ของ t เช่น ตัวอย่าง 1 ถ้าปั้มลมใส่ลูกบอลลูนทรงกลมใบหนึ่งพบว่า ปริมาตรของลูกบอลลูนเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 150 ซม. 3 /วินาที จงหาว่ารัศมีของลูกบอลลูนนี้จะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าใด ในขณะที่เส้น ผ่านศูนย์กลางของบอลลูนยาว 50 ซม.
หน้า 107 ตัวอย่าง 2 บันไดตรงอันหนึ่งยาว 5 เมตร วางพิงกับก าแพงที่อยู่ในแนวตั้งฉากกับพื้น ถ้าบันไดเลื่อนออก จากก าแพงโดยให้ปลายด้านที่ติดอยู่กับพื้นเลื่อนออกจากก าแพงด้วยอัตราเร็ว 2 เมตรต่อ วินาที ในขณะที่ปลายบันไดด้านนั้นอยู่ห่างจากก าแพง 4 เมตร จงหาว่าในขณะนั้นปลาย บันไดอีกด้านหนึ่งจะเลื่อนลงมาด้วยอัตราเท่าใด ตัวอย่าง 3 ถังน ้าใบหนึ่งมีรูปทรงเป็นกรวยกลม โดยมียอดแหลมอยู่ด้านล่าง ดังรูป มีส่วนสูง 4 เมตร และรัศมีฐาน 2 เมตร ถ้าเปิดน ้าลงในถังด้วยอัตรา 2 ลบ.เมตรต่อนาที ในขณะที่มีน ้าในถังลึก 3 เมตร จงหา (1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของส่วนสูงของระดับน ้าในถัง (2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของรัศมีของผิวน ้าในถัง ก าแพง พื้น บันได
หน้า 108 1. ปฏิยานุพันธ์(Antiderivative) เราได้ศึกษาวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ไปแล้ว ในบทนี้ เราจะกล่าวถึงการด าเนินการ ที่ถือว่าเป็นการด าเนินการผกผันของอนุพันธ์ กล่าวคือ ถ้าก าหนดฟังก์ชัน f เราต้องหาฟังก์ชัน F ที่มี อนุพันธ์เท่ากับ f บทนิยาม 1 ก าหนดฟังก์ชัน f จะเรียกฟังก์ชัน F ว่า ปฏิยานุพันธ์ ของ f เมื่อ F(x) = f(x) ส าหรับทุก x ในโดเมนของ f จากนิยามจะพบความสัมพันธ์ระว่างการด าเนินการ การหาอนุพันธ์(derivative) และ การหาปฏิยานุพันธ์(antiderivative) ดังนี้ ตัวอย่าง ก าหนด f ดังต่อไปนี้ จงหา F ที่เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f (1) f(x) = 2 x (2) f(x) = 5 3 x ก าหนด f(x) หา f (x) หา f(x) ก าหนด การหาอนุพันธ์ การหาปฏิยานุพันธ์
หน้า 109 2. อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต (Indefinite Integral) ขั้นตอนการหาปฏิยานุพันธ์ที่ได้กล่าวไปแล้วเราเรียกว่า การอินทิเกรต(integration) เรียกผลที่ได้ว่า อินทิกรัล(intregral)หรือปริพันธ์ ซึ่งมีฟังก์ชัน F(x) ที่เป็นปฎิยานุพันธ์ของ f(x) ได้มากมาย ต่างกันเพียงพจน์ค่าคง ตัวเท่านั้น นั่นคือ ถ้า F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) แล้ว F(x) + C เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) เราเรียก F(x) + C ที่เป็นรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f(x) ว่า อินทิกรัลไม่จ ากัดเขตของ f(x) ดังนิยาม บทนิยาม 2 ก าหนดฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง และ F(x) เป็นฟังก์ชันซึ่ง F(x) = f(x) ส าหรับทุกๆ x ในโดเมนของ f อินทิกรัลไม่จ ากัดเขตของ f(x) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)dx ซึ่งนิยามว่า f(x)dx F(x) C เมื่อ C เป็นค่าคงตัว สัญลักษณ์ f(x)dx อ่านว่า “อินทิกรัล(ปริพันธ์)ไม่จำ กดัเขตของ f(x) เทียบกับตัวแปร x” หรืออ่านว่า “อินทิกรัลของเอฟเอกซ์”และเรียกส่วนประกอบของ f(x)dx ดังนี้ (1) สัญลักษณ์ เรียกว่า เครื่องหมาย “อินทิกรัล” (integral) (2) สัญลักษณ์ f(x) เรียกว่า “ตัวถูกอนิทเิกรต” (integrand) (3) สัญลักษณ์ dx เป็นส่วนที่บอกให้เราทราบว่า เป็นการอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร x สูตรการหาอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ให้k และ C เป็นค่าคงตัว k du = ku + C n u du = n 1 u C n 1 , n –1 kf(u) du = k f(u) du [ f(u) g(u) ] du = f(u) du g(u) du sin u du = – cos u + C cos u du = sin u + C 2 sec u du = tan u + C 2 cosec u du = – cot u + C sec u tan u du = sec u + C cosec u cot u du = – cosec u + C u a du = u a lna + C u e du = u e + C 1 u du = ln |u| + C ; u ≠ 0
หน้า 110 ตัวอย่าง 1 จงหาอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ต่อไปนี้ (1) 1dx (2) 7 dx (3) 1 dx 2 (4) 3 dx (5) x dx (6) 2 x dx (7) 3 x dx (8) 1 2 x dx (9) 2 x dx (10) 2 3 x dx (11) 5 12x dx (12) 1 4 3x dx (13) 3 x x dx (14) 2 2 dx x x
หน้า 111 (15) 2 (3x x 2) dx (16) 3 2 (12x 3x 2x 4) dx (17) 5/2 1/5 2 1 ( 2) dx x x (18) 3 3 x 1 ( x ) dx 2 x
หน้า 112 (19) 2 x 3x 4 dx (20) 2 2x 3 dx (21) 4 2 4 x 6x 7 dx x (22) 2 (1 x) dx x
หน้า 113 (23) 2 4 (1 x) x dx (24) ( 2 x 1 )(2x + 1) dx (25) ( cos x + sin x ) dx (26) ( x e + cos x) dx (27) ( 1 x + x) dx (28) ( 2 x 2x 3 x ) dx (29) (e x + cos x –sec 2 x) dx (30) ( x 2 + 2 x ) dx
หน้า 114 ความสัมพันธ์ระหว่างการอินทิกรัลไม่จ ากัดเขตกับการอนุพันธ์ f '(x) dx f(x) c ตัวอย่าง 2 จงหาหาค าตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) ก าหนดให้ 2 f (x) 3x 4x 6 จงหา f(x) ที่ท าให้ f(1) = 7 (2) ก าหนดให้ 2 f (x) 6x 2x 1 จงหา f(x) ที่ท าให้ f(2) = 3 (3) ก าหนดให้ 2 1 f (x) 3x x 2 โดยที่ f(1) = 0 จงหา f(1) (4) ก าหนดให้ f (x) 4x 3 โดยที่ f(2) = 5 จงหา f(2)
หน้า 115 ตัวอย่าง 3 จงหาหาค าตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) ก าหนด f (x) 4x 8 โดยที่ f (1) = 0 และ f(2) 1 จงหา f(1) (2) ก าหนด 2 f (x) 6x 10 โดยที่ f (2) = 3 และ f(2) 1 จงหา f(1) ตัวอย่าง 4 จงหาหาค าตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) ก าหนดให้ y = f(x) โดยที่ 2 f (x) 12x 4 และจุด (0, 1) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จงหา f(2) (2) ก าหนดให้ความชันของ f เท่ากับ 6x 2 และ f มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 7 ที่ x = 1 จงหา f(0)
หน้า 116 ตัวอย่าง 5 ก าหนดให้ 2 f (x)=3ax 2bx 2 เมื่อ a, b เป็นจ านวนจริง ถ้า f(0) = –2 , f (1) = 5 และ f (0) = –12 จงหาสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง f ที่ x = 1 ตัวอย่าง 6 ก าหนดให้ 2 f (x) x 4x 3 ถ้ากราฟของ f ผ่านจุด (1, 7) จงหาค่าสูงสุดสัมพันธ์และต ่าสุดสัมพัทธ์ของ f
หน้า 117 ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง f(x) = 2x + 1 ถ้าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับ 1 2 ที่ x = – 1 จงหาค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ของ f ตัวอย่าง 8 ก าหนดให้ 2 2 3 f (x) 2x 4x 1 และ g(x) = 2 1 x ถ้า(fog)(1) = 1 จงหา f(x)
หน้า 118 ตัวอย่าง 9 ก าหนด f(x) = 2 (3x 2) dx และ g(x) = 4 x 2x f '(x) จงหา g(2) ตัวอย่าง 10 ก าหนดให้ f(x) = 3x + 1 และ (fog)(x) = 2 3x 1 ถ้า g(0) = 1 และ g(x) = g(x) จงหา g(1) – g(0)
หน้า 119 ตัวอย่าง 11 ก าหนดให้f(x) = 3 2 ax bx 2x – 2 เมื่อ a, b เป็นจ านวนจริง ถ้า f (1) = 5 และ f (0) = –12 จงหาสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง f ที่ x = 0 ตัวอย่าง 12 ให้เส้นโค้งซึ่งมีสมการ y = f(x) มีอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้งที่จุดใด ๆ เท่ากับ x – 2 และความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (2, 4 3 ) มีค่าเท่ากับ 3 ถ้า f มีความชันที่จุด (a, b) เท่ากับ 11 จงหา a + b
หน้า 120 เทคนิคการอินทิเกรต*** 1. การอินทิเกรตด้วยการแทนค่า(Integration by Substitution) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตส าหรับการหาอินทิกรัลในรูปแบบ f(g(x)) g'(x)dx ซึ่งมีสูตรดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงหาอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ต่อไปนี้ (1) 5 2(2x 1) dx (2) 2 3(2 3x) dx (3) 4 (3x 2) dx f(g(x)) g'(x)dx = f(u) du เมื่อ u = g(x) และ du = g(x)dx
หน้า 121 (4) x(1 + x 2 ) 10 dx (5) 2x 1 dx (6) 3 2 x dx x 1
หน้า 122 (7) 3 2 (x x) x 1dx (8) 2x e dx (9) cos 2x dx (10) sin x cos 4 x dx
หน้า 123 2. การอินทิเกรตทีละส่วน (Integration by Parts) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตส าหรับการหาอินทิกรัลในรูปแบบผลคูณของฟังก์ชันพีชคณิต หรือฟังก์ชันอดิสัย เช่น 2 x lnx dx , x x e dx เป็นต้น ซึ่งการหาอินทิกรัลนี้ไม่สามารถหาโดยใช้ การอินทิเกรตด้วยวิธีการแทนค่าได้ ซึ่งมีสูตรดังนี้ วิธีการอินทิเกรตทีละส่วนด้วยสูตรนี้ อาศัยกาจัดตัวอินทิเกรตให้อยู่ในรูปหนึ่งที่จะช่วยให้ อินทิเกรตได้ โดยอาศัยการเลือก u และ dv ที่เหมาะสม ให้นักเรียนสังเกตการเลือก u และ dv จาก ตัวอย่างประกอบ ตัวอย่าง 2 จงหาอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ต่อไปนี้ (1) lnx dx (2) x x e dx (3) x 2 x e dx (4) x 2 ln x dx u dv = uv – v du
หน้า 124 3. การอินทิเกรตด้วยการแยกเศษส่วนย่อย (Integration by Method of Partial Fraction) เป็นการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะโดยการท าให้เป็นเศษส่วนย่อย ซึ่งก่อนถึงตัวอย่างการหา อินทิกรัลด้วยวิธีนี้ จะให้หลักการ การแยกเศษส่วนย่อยของฟังก์ชันตรรกยะ ดังนี้ จาก F(x) = P(x) Q(x) พิจารณา Q(x) รูปแบบที่ 1 : ถ้า Q(x) แยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ไม่ซ ้ากัน จะได้เศษส่วนย่อยในรูป A ax b เมื่อ A เป็นค่าคงตัว เช่น 5x 3 (x 1)(x 2) = A B x 1 x 2 เมื่อ A, B เป็นค่าคงตัว รูปแบบที่ 2 : ถ้า Q(x) แยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ ้ากัน จะได้เศษส่วนย่อยในรูป 1 2 k 2 k A A A ... ax b (ax b) (ax b) เมื่อ A1 , A2 , … , Ak เป็นค่าคงตัว เช่น 3 x 3 (x 2) = 1 2 3 2 3 A A A x 2 (x 2) (x 2) เมื่อ A1 , A2 , A3 เป็นค่าคงตัว รูปแบบที่ 3 : ถ้า Q(x) แยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีสองที่ไม่ซ ้ากัน จะได้เศษส่วนย่อยในรูป 2 Ax B ax bx c เมื่อ A, B เป็นค่าคงตัว เช่น 1 1 2 2 2 2 2 2 2x 3 A x B A x B (x 1)(x x 2) x 1 x x 2 เมื่อ A1 , A2 , B1 และ B2 เป็นค่าคงตัว รูปแบบที่ 4 : ถ้า Q(x) แยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีสองที่ไม่ซ ้ากัน จะได้เศษส่วนย่อยในรูป 1 1 2 2 k k 2 2 2 2 k A x B A x B A x B ... ax bx x (ax bx x) (ax bx x) เมื่อ A1 , A2 , … , Ak และ B1 , B2 , … , Bk เป็นค่าคงตัว เช่น 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3x 4 A x B A x B (x 1) x 1 (x 1) เมื่อ A1 , A2 , B1 และ B2 เป็นค่าคงตัว หมายเหตุ แต่ ณ ที่นี้ จะขอเสนอตัวอย่างที่ไม่อยากเกินไปส าหรับม.ปลาย ส่วนที่เหลือ สามารถศึกษาได้จากหนังสือแคลคูลัสเบื้องต้นในระดับปริญญาตรีได้
หน้า 125 ตัวอย่าง 3 จงเขียน 2 5x 1 x x 2 ให้อยู่ในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย ตัวอย่าง 4 จงหาอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ต่อไปนี้ (1) 3(x 2) x(x 1)(x 3) dx (2) 2 1 dx x 5x 6
หน้า 126 3. การประยุกต์ของอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 3.1 การประยุกตเ์กี่ยวกับเรขาคณิต ก าหนดให้ y = f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง เราจะพบความสัมพันธ์ระหว่างการหาอนุพันธ์กับการ หาอินทิกรัล ในเชิงเรขาคณิต ดังแผนภาพนี้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการ (1) ที่ได้ออกมายังติดค่าคงที่ c อยู่ หมายความว่ามีหลายเส้นโค้ง ที่ให้ความชันเท่ากัน เราจะเรียกสมการเส้นโค้งที่ได้จากการอินทิเกรต จะเป็นสมการของ ระบบเส้นโค้ง ไม่ใช่เป็นสมการของเส้นโค้งเส้นหนึ่งสเนใดโดยเฉพาะ แต่สามารถหาสมการที่เฉพาะได้โดยการเพิ่ม เงื่อนไขบางอย่างลงไป ตัวอย่าง 1 จงหาสมการของระบบของเส้นโค้งที่มีความชัน ณ จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ 2 สมการเส้นโค้ง f(x) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x, y) บนเส้นโค้ง = f (x) อัตราการเปลี่ยนแปลงความชัน ของเส้นโค้ง ณ จุด (x, y) บนเส้นโค้ง = f (x) อนุพันธ์ อินทิเกรต อินทิเกรต อนุพันธ์ การหาสมการเส้นโค้งเมื่อกา หนดความชัน ก าหนด dy dx = f (x) เขียนใหม่ได้เป็น dy = f (x) dx อินทิเกรตทั้งสองข้าง dy = f (x) dx จะได้สมการ y = f(x) + c ....(1) หมายเหตุ : แต่ถ้าโจทย์ก าหนดอัตราการเปลี่ยนแปลง ความชันของเส้นโค้งก็หาความชันก่อนแล้ว จึงหา f(x) ด้วยวิธีการเดียวกัน
หน้า 127 ตัวอย่าง 2 จงหาสมการเส้นโค้งตามเงื่อนต่อไปนี้ (1) เส้นโค้งที่มีความชัน ณ จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ 2x และผ่านจุด (–1, 2) (2) เส้นโค้งที่มีความชัน ณ จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ 5 x y 3 และผ่านจุด (2, –1) ตัวอย่าง 3 ก าหนดให้ y = f(x) เป็นเส้นโค้ง ที่มีความชัน ณ จุด (x, y)ใดๆ เท่ากับ 3 kx 10x 6 เมื่อ k เป็นค่าคงที่ โดยที่เส้นสัมผัสของเส้นโค้งนี้ที่จุด (1, 3) ขนานกันแกน x จงหา (1) f(–1) (2) จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และต ่าสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี)
หน้า 128 ตัวอย่าง 4 ก าหนดให้ y = f(x) เป็นเส้นโค้ง มีอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ เท่ากับ 2 และความชันของเส้นโค้งที่จุด (1, 4) มีค่าเท่ากับ 4 จงหา (1) สมการของเส้นโค้ง (2) สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดวึ่งเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรง x = – 2 ตัวอย่าง 5 ก าหนดให้R แทนเซตจ านวนจริง ถ้า f : R R เป็นฟังก์ชันโดยที่ f (x) 6x 4 ส าหรับจ านวนจริง x และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (2, 19) เท่ากับ 19 แล้วค่าของ f(1) เท่ากับเท่าใด [PAT1: 6 มี.ค. 2553]
หน้า 129 3.2 การประยุกตเ์กี่ยวกับการเคลื่อนที่ ในเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราได้กล่าถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง โดยกล่าวถึง การหาความเร็ว ความเร่ง จากการหาอนุพันธ์ของสมการของการเคลื่อนที่ และเนื่องจากการอินทิเกรตเป็น การด าเนินการที่ตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังนั้น ถ้าก าหนดความเร่ง เราสามารถหาความเร็วได้ และถ้า ก าหนดความเร็ว เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ได้ ดังแผนภาพ การหาอนุพันธ์ การอินทิเกรต ตัวอย่าง 1 วัตถุอันหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง โดยมีความเร่งในขณะเวลา t วินาที เท่ากับ a(t) = 120t – 12 2 t ; t [0, 10] และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0 เมตร/วินาที และได้ระยะทาง 4 เมตร จงหา (1) ความเร็วของวัตถุ เมื่อ t = 10 วินาที (2) ระยะทางเมื่อ t = 5 สมการการเคลื่อนที่ s(t) ความเร็ว v(t) ความเร่ง a(t) สมการการเคลื่อนที่ s(t) ความเร็ว v(t) ความเร่ง a(t)
หน้า 130 ตัวอย่าง 2 ถ้าปล่อยวัตถุชิ้นหนึ่งให้ตกลงมาในแนวดิ่งจากยอดตึกซึ่งสูง 100 เมตร เหนือพื้นดิน และให้ s(t) แทนระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากยอดตึกในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเร็วของวัตถุ ในขณะเวลา t จงหา (1) v(t) (2) a(t) (3) ความเร็วของวัตถุในขณะกระทบพื้นดิน ตัวอย่าง 3 ถ้าปล่อยวัตถุชิ้นหนึ่งให้ตกลงมาในแนวดิ่งจากยอดตึกซึ่งสูง 100 เมตร เหนือพื้นดิน และให้ s(t) แทนระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากพื้นดินในขณะเวลา t และ v(t) แทนความเร็วของวัตถุ ในขณะเวลา t จงหา (1) v(t) (2) a(t) (3) ความเร็วของวัตถุในขณะกระทบพื้นดิน
หน้า 131 ตัวอย่าง 4 ถ้าขว้างวัตถุชิ้นหนึ่งลงมาตามแนวดิ่ง จากลูกบอลลูนซึ่งอยู่สูงจากพื้นดิน 117.6 เมตร ด้วยความเร็วต้น 49 เมตร/วินาที จงหา (1) ความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t (2) ระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากพื้นดินในขณะเวลา t (3) ความเร็วของวัตถุในขณะกระทบพื้นดิน ตัวอย่าง 5 โยนวัตถุชิ้นขึ้นไปในอากาศ ในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตร/วินาที จงหา (1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ (2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาเท่าใด (3) ระยะทางสูงสุดที่วัตถุขึ้นไปได้ (4) เมื่อเวลาใดที่วัตถุอยู่สูง 249.9 เมตร จากจุดเริ่มต้น
หน้า 132 4. อินทิกรัลจ ากัดเขต (Definite Integral) ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัล และพื้นที่ใต้กราฟ ให้นักเรียนพิจารณา ตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณซึ่งล้อมรอบด้วยกราฟ 2 y 1 x แกน X จากกระบวนที่แสดงในตัวอย่างข้างต้น สรุปกระบวนการได้ดังนี้ ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ขั้นที่ 1 แบ่งช่วงปิด [a, b] ออกเป็น n ช่วงย่อย ที่มีความกว้างเท่าๆกันเท่ากับ b a x n โดยให้มีจุดแบ่งอยู่ที่ 0 1 2 n a x x x ... x b ขั้นที่ 2 เลือกค่า * i x ในแต่ละช่วงปิด i 1 i [x ,x ] เมื่อ i = 1, 2, 3, ... n แล้วผลบวก n * n i i i 1 S f(x ) x ขั้นที่ 3 หาลิมิต n n lim S ค่า n n lim S ที่ได้เรียกว่าอินทิกรัลจ ากัดเขต(definite integral)ของฟังก์ชัน f บนช่วงปิด [a, b] ดัง นิยามต่อไปนี้ y x 0
หน้า 133 นิยาม 3. อินทิกรัลจ ากัดเขต(definite integral) ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ถ้าค่าลิมิตของ n * i i n i 1 lim f(x ) x หาค่าได้ แทนค่าด้วย b a f(x)dx ดังนั้น n * i i n i 1 lim f(x ) x = b a f(x)dx เรียก b a f(x)dx ว่าอินทิกรัลจ ากัดเขตของ f จาก a ถึง b โดยเรียก a และ b ว่า “ลิมิตล่าง” และ “ลิมิตบน” ของการอินทิกรัลตามล าดับ การหาอินทิกรัลจ ากัดเขตในบทนิยามข้างต้นนี้อาจเรียกว่า รีมันน์อินทิกรัล (Riemann Integral) เพื่อเป็นเกียรติให้กับนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ชื่อว่า Bernhard Riemann ซึ่วเป็นผู้สร้างมโนมิติพื้นฐาน เกี่ยวกับการอินทิกรัลจ ากัดเขต ต่อไปเป็นทฤษฎีบทที่จะช่วยในการหาอินทิกรัลจ ากัดเขตได้ง่ายขึ้น ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus) ก าหนดให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F(x) เป็นฟังก์ชันบนช่วง [a, b] โดยที่ F(x) = f(x) แล้ว b a f(x)dx = F(b) –F(a) ใช้สัญลักษณ์ b a b f(x)dx F(x) a = F(b) –F(a) สมบัติบางประการของอินทิกรัลจ ากัดเขต ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ k เป็นค่าคงตัว 1. b a f(x) dx หาค่าได้เสมอ 2. b a f(x) dx = – a b f(x) dx 3. a a f(x) dx = 0 4. b a kf(x) dx = k b a f(x) dx 5. b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx 6. ถ้า f(x) 0 ส าหรับทุก x [a, b] แล้ว b a f(x) dx 0 ถ้า f(x) 0 ส าหรับทุก x [a, b] แล้ว b a f(x) dx 0 7. จะมีจ านวน c [a, b] ซึ่งท าให้ b a f(x)dx f(c)(b a)
หน้า 134 ตัวอย่าง 1 จงหาอินทิกรัลจ ากัดเขต ต่อไปนี้ (1) 3 3 1 2x dx (2) 1 3 2 0 (8x 6x 1) dx (3) 1 2 2 (3x 4) dx (4) 1 2 0 x(1 x) dx (5) 1 3 2 3 1 1 ( )dx x x (6) 2 3 2 1 2 3 1 1 (x ) dx x x
หน้า 135 (7) ln2 2x 0 e dx (8) /2 /2 cos5x dx (9) 1 2 3 1 3x x 1 dx (10) 3 1 0 4 x dx x 9 ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ 3 1 f(x)dx เมื่อก าหนดให้ f(x) = 3 x ; 1 x x 1 ; 2 x
หน้า 136 ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ 3 2 | x 1 | dx ตัวอย่าง 4 ถ้า a เป็นจ านวนจริงที่สอดคล้องกับ 2 2 2 2 2 2 a(4 x )dx 4 x dx แล้ว sin(4a) เท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 5 ถ้า 2 f (x) 3x x 5 และ f(0) = 1 แล้ว 1 1 f(x)dx มีค่าเท่าใด [PAT1: 11ก.ค. 2552]
หน้า 137 ตัวอย่าง 6 ถ้า 2 f (x) x 1 และ 1 0 f(x)dx 0 แล้ว | f(1) | มีค่าเท่ากับเท่าใด [PAT1: 10 ต.ค. 2552] ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามก าลังสอง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (1, 2) มีค่าเท่ากับ 4 และ 2 1 f(x)dx 12 แล้ว f( 1) f ( 1) มีค่าเท่ากับเท่าใด [PAT1: 3 ก.ค. 2553] ตัวอย่าง 8 ถ้า 2 n 2n 0 1 a dx x เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก จงหาผลบวกของอนุกรม n n 1 (1 2n)a
หน้า 138 ตัวอย่าง 9 ให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนาม ถ้า x – 1 และ x – 3 หาร f(x) เหลือเศษ 1 และ 2 ตามล าดับ แล้ว 3 2 3 1 3x f(x) (x 1)f (x) dx เท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 10 ให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนาม ถ้ากราฟของ y = f(x) ตัดกับกราฟของ y = 2 x 1 ที่ x = 2 และ x = 4 แล้ว 4 1 2 2 x f (x) x f(x) dx เท่ากับเท่าใด
หน้า 139 5. พนื้ทที่ปี่ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง บทนิยาม 4 ก าหนดฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด [a, b] บริเวณทปี่ิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก x = a ถึง x = b หมายถึง บริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ f แกน x เส้นตรง x = a และ x = b จากสมบัติของการหาอินทิกรัลจ ากัดเขตที่ได้กล่าวไปแล้ว เราจะแยกการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้น โค้ง ออกเป็น 2 กรณี ดังนี้ 1. ถ้า f(x) 0 ส าหรับทุก x [a, b] แล้ว A เป็นพื้นที่เหนือแกน X และ A = b a f(x) dx 2. ถ้า f(x) 0 ส าหรับทุก x [a, b] แล้ว A เป็นพื้นที่ใต้แกน X และ A = – b a f(x) dx บทนิยาม 5 ก าหนดฟังก์ชัน f และ g เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด [a, b] บริเวณทปี่ิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f และ g จาก x = a ถึง x = b หมายถึง บริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ f และ g เส้นตรง x = a และ x = b การหาพื้นที่ของบริเวณดังกล่าว ขึ้นอยู่กับลักษณะของกราฟ f และ g ว่ากราฟของฟังก์ชันใดอยู่ สูงกว่าซึ่งสรุปสูตรวิธีการหาได้ดังนี้ ก าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด [a, b] และ f(x) ≠ g(x) ส าหรับทุก x [a, b] ถ้า A แทนด้วยพื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง f และ g จาก x = a ถึง x = b แล้ว A = b a [f(x) g(x)] dx y = f(x) Y X 0 a b A Y y = f(x) a b X 0 A Y X a b 0 A y = f(x) y = g(x)
หน้า 140 0 y x 1 1 2 3 y x 1 ตัวอย่าง 1 ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาพื้นที่แรเงา (1) (2) (3) 0 y x 2 y 4 x 2 2 2 3 2 y x 3x 2x 0 y x 1 2
หน้า 141 (4) (5) (6) 2 y x 0 y x y x 2 (2,4) ( 1,1) 0 y x 2 y 1 x y 2 x ( 1,3) 2 1 0 y x 1 3 y x 3 y x 1
หน้า 142 ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f จ านวนจริง a และ b ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก x = a ถึง x = b (1) f(x) = 2 4x 1 ; a = –1 ; b = 2 (2) f(x) = 2 x 25 ; a = –2 ; b = 1 (3) f(x) = 6 + x – x 2 ; a = –3 ; b = 1
หน้า 143 (4) f(x) = (x – 1) 3 ; a = –1 ; b = 2 (5) f(x) = cos x ; a = 4 ; b = 4 (6) f(x) = 3 2 x 6x 8x
หน้า 144 ตัวอย่าง 3 จงหาพื้นที่ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง f(x) = 3x และ g(x) = 2 x จาก x = 0 ถึง x = 2 (2) พื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยส้นโค้ง y = x 2 และเส้นโค้ง y = x (3) พื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x 3 และ y = x
หน้า 145 (4) พื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง f(x) = sin x และ g(x) = cos x จาก x = 0 ถึง x = 2 (5) พื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x 3 และ เส้นตรง y = x + 6 และ 2y + x = 0
หน้า 146 ตัวอย่าง 4 ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0, 5] มีกราฟดังรูป โดยพื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ f และแกน x บนช่วง [0, 2] เท่ากับ 8 ตารางหน่วย พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ f และแกน x บนช่วง [2, 5] เท่ากับ 15 ตารางหน่วย และ F เป็นฟังก์ชันบนช่วง [0, 5] โดยที่ F (x) f(x) ถ้า F(0) = 10 จงหาค่าของ F(2) และ F(5) ตัวอย่าง 5 ก าหนดให้ A แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 1 – 2 x และแกน x B แทนพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ใต้เส้นโค้ง 2 x y 4 เหนือแกน x จาก x = –c ถึง x = c จงหาค่า c ที่ท าให้ A = B [PAT1 7 มี.ค. 2552] 0 y x 2 5
หน้า 147 ตัวอย่าง 2 ถ้า f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีกราฟ ดังรูป จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) 3 0 f(x)dx (2) 3 0 f(x) dx (3) 3 0 f(x) f(x) dx พื้นที่ 4 ตารางหน่วย พื้นที่ 12 ตารางหน่วย X Y 0 1 3 y f(x)
หน้า 148 เอกสารอ้างอิง กวิยา เนาวประทีป. (2555). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์แคลคูลัสเบื้องต้น. นครปฐม: หจก. ส านักพิมพ์ฟิ สิกส์เซ็นเตอร์. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม คณิตศาสตร์เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 6). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์สกสค. ลาดพร้าว. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม คณิตศาสตร์เล่ม 1ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (พิมพ์ครั้งที่ 1). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์สกสค. ลาดพร้าว.