หน้า 49 ตัวอย่าง 8 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = |x – 1| จงพิจารณา (1) f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ (2) f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x = 1 หรือไม่ ลักษณะกราฟของฟังกช์ัน ณ จุดทมีอนุพันธ์ ี่ ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชัน f ที่มีอนุพันธ์ที่ x = c จะแสดงได้ด้วยกราฟของ f ที่จุด (c, f(c)) เป็นเส้น โค้งราบเรียบ ดังนั้นถ้าเส้นโค้งหักมุมแหลม ณ จุดใด เราจะได้ว่า f จะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดนั้น ดังเช่นตัวอย่างที่ได้ ท าไปแล้ว และดังรูปที่แสดงด้านล่าง ตัวอย่าง 9 จงหาค่า c ที่ท าให้ฟังก์ชัน f(x) = | 2 x 1 | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = c y x c (c, f(c)) f มีอนุพันธ์ที่ x = c 0 y = f(x) y x c (c, f(c)) f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x = c 0 y = f(x)
หน้า 50 3. การหาอนุพนัธโ์ ดยใช้สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม 1. ถ้า f(x) = a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว จะได้ d f (x) (a) 0 dx 2. ถ้า f(x) = n x เมื่อ n เป็นจ านวนจริง จะได้ d n n 1 f (x) (x ) nx dx การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 4. d (sin x) dx = cos x 5. d (cosx) dx = –sin x 6. d (tan x) dx = sec2 x เมื่อ x (2n 1) 2 ,n 7. d (cotx) dx = –cosec2 x เมื่อ x n , n 8. d (secx) dx = sec x tan x เมื่อ x (2n 1) 2 , n 9. d (cosec x) dx = –cosce x cot x เมื่อ x n, n การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและเอ็กซ์โพเนนเชียล 10. d x (a ) dx = x a ln a 11. d x x (e ) e dx 12. a d (log x) dx = a 1 log e x = 1 x ln a 13. d (ln x) dx = 1 x การหาอนุพันธ์ของพีชคณิตของฟังก์ชัน ก าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x และ c เป็นค่าคงตัว จะได้ 14. d d (cf(x)) c (f(x)) dx dx 15. d d d (f(x) g(x)) (f(x)) (g(x)) dx dx dx 16. d d d (f(x)g(x)) f(x) (g(x)) g(x) (f(x)) dx dx dx 17. 2 d d g(x) (f(x)) f(x) (g(x)) d f(x) dx dx dx g(x) (g(x)) โดยที่ g(x) 0
หน้า 51 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 18. (กฎลูกโซ่ : Chain Rule) ถ้า y = g(u) และ u = f(x) โดย g(u) และ f (x) หาค่าได้ จะได้ dy d d (g(u)) (f(x)) dx du dx หรือ dy dy du dx du dx นั่นคือ (gof) (x) g (f(x)) f (x) 19. ถ้า y = n f(x) เมื่อ n และ f(x) หาค่าได้ จะได้ dy n 1 n f(x) f (x) dx การหาอนุพันธ์ของอินเวอร์สฟังก์ชัน 20. ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและหาอนุพันธ์ได้ที่ x โดยมี g เป็นฟังก์ชันผกผัน(g = 1 f ) และ f g(x) 0 แล้ว g จะมีอนุพันธ์ที่ x และจะได้ 1 g (x) f (g(x)) นั่นคือ dy 1 dx dx dy ตัวอย่าง 1 จงหา dy dx หรือ f (x) ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ (1) f(x) = 9 (2) 7 f(x) x (3) 5 3 y x (4) 3 f(x) x (5) f(x) = 2 1 x (6) y = 3 x (7) y = 5 2x (8) 5 f(x) 3x
หน้า 52 ตัวอย่าง 2 จงหา dy dx หรือ f (x) และ f (a) ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 1. y = 3 2 2x 3x 2 ; a = –2 2. f(x) = 3 2 2x – x – 3x 1 ; a = 3 3. y = 3 2 2 1 3 x x x ; a = –1 4. f(x) = 3 2 1 3 2x 4x ;a = 1 5. f(x) = 3 2 1 x x ; a = 1 6. y = 1 x ; a 4 x
หน้า 53 ตัวอย่าง 3 : อนุพันธข์องผลคูณของฟังกช์ัน จงหา dy dx หรือ f(x) (1) y = (3x – 5)(2x + 3) (2) f(x) = 2 (x 2x)(5 2x) (3) y = 2 2 (x 3x)(x 2x) (4) y = 3 2 2(3x x )(3 x )
หน้า 54 ตัวอย่าง 4 : อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน จงหา dy dx หรือ f(x) (1) y = 1 7x 5 (2) y = 8x 5 2x 1 (3) f(x) = 2 3x 2x 4x 3 (4) f(x) = 2 1 3x 5x 2
หน้า 55 ตัวอย่าง 5 : อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ จงหา dy dx หรือ f (x) ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ (1) f(x) = 3 (3x 5) (2) y = 3 4 (2x 3x) (3) f(x) = 2 5 (2x x 2) (4) y = 2 x 3x
หน้า 56 (5) y = 2 3 (3x 4x ) (6) f(x) = 3 1 (3x 5) (7) f(x) = 2 1 3x x 1 (8) f(x) = 3 1 1 6x
หน้า 57 (9) f(x) = 4 3x+1 5 (10) f(x) = 3 3x (3x 2) (11) y = 2 3 2 (2x 1) x 1
หน้า 58 ตัวอย่าง 6 จงหา dy dx หรือ f (x) และ f (a) ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้(ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) (1) f(x) = 2sin x ; a = 2 (2) y = cos x ; a = 4 (3) f(x) = tan x ; a = 6 (4) y = sin x cos x ; a = 3 (5) sin x f(x) ; a 1 cosx 2 (6) f(x) = sin(3x) ; a 9 (7) y = 2 cos(1 x ) ; a = 1
หน้า 59 (8) y = 2 3cos (x) ; a 0 (9) 2 y tan (x) (10) y = 2 sin (3x 1) (11) f(x) = 2 2 cos (1 x )
หน้า 60 ตัวอย่าง 7 จงหา dy dx หรือ f (x) และ f (a) ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้(expo/log) (1) f(x) = x 2 ; a = –4 (2) y = 4 x e ; a = 0 (3) f(x) = 2 log x ; a = 2 (4) y = ln x ; a = 1 (5) f(x) = x x e (6) y = (2x 1) e (7) f(x) = 2 ln x 1 (8) y = 2 ln 1 sin x
หน้า 61 ตัวอย่าง 8 ก าหนดให้ f(2) =–3, f (2) 4 , g(2) = 1 และ g (2) 5 จงหาค าตอบต่อไปนี้ (1) ถ้า h(x) = 5f(x) + f(x)g(x) จงหา h (2) (2) ถ้า y = x f(x) g(x) จงหา x 2 dy dx (3) ถ้า h(x) = 2 2x g(x) f(x) จงหา h (2) (4) ถ้า h(x) = 2 f(3x 1) 3g(x 1) จงหา h (1)
หน้า 62 ตัวอย่าง 9 จงใช้กฎลูกโซ่ค านวณหาอนุพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) 4 2 2 f(x) x 2x , g(x) x 5 จงหา (fog) (x) (2) 2 3 2 1 f(x) x , g(x) 1 x x จงหา (gof) (x) (3) 2 f(2x 3) x 5 , g(x) 2x 1 จงหา (fog) (x) ตัวอย่าง 10 จงใช้กฎลูกโซ่ค านวณหา dy dx ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) y = 3 (1 2u) และ u = 2 x x (2) y = 3 w 2w 1 , w = 2 u 1 และ u 2x 1
หน้า 63 ตัวอย่าง 11 จงหาค่าต่อไปนี้ (แนวข้อสอบต่างๆ) (1) ก าหนดให้ f(x) = x 2 – 2|x| และ g(x) = x 2 + 1 จงหาค่า (g f)'( 2) (f g)'(2) o o (2) ก าหนดให้ f(x) = 3x 1 ถ้า g เป็นฟังก์ชันซึ่ง (f g)(x) o = x 2 + 1 ทุก x ≠ จงหา f (1) + g (1)
หน้า 64 (3) ให้ f : R R , g : R R และ h : R R เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที่ h(x) = 2 x 4 , g(x) h(f(x) 1) และ f (1) g (1) 1 จงหาค่าของ f(1) (PAT1 มีนาคม 2555) (4) ถ้า 3 xf(2x 1) 4x g(x) และ f( 1) 1, f ( 1) 1, g(1) 9, g(1) 15 จงหา (f g) ( 1) o
หน้า 65 (5) ก าหนดให้ h(x) = (fog)(x) และ g(3) = 6, g(3) = 4, f (3) = 2 และ f (6) = 7 จงหา h(3) (6) ถ้า 2 (g f)(x) f(x) x 2x o , f(0) = 1 และ g (x) 1 ทุกๆ x R จงหา (f g) (1) o
หน้า 66 (7) ก าหนดให้ f, g, h มีสมบัติว่า x 6 (f g)(x) 3x 14, f x 2, h(2x 1) 6g(x) 12 3 o แล้วค่าของ h (0) เท่ากับเท่าใด (PAT1 : ธ.ค. 2554) (8) ก าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยที่ 2 (f(x)) f(x) g(x) x 2 และ g(x) 2f(x)f (x) โดยที่ f(0) = 1 จงหา (f g) (0) o
หน้า 67 ตัวอย่าง 12 (อนุพันธ์ของอินเวอร์สฟังก์ชัน) (1) ก าหนด x = 2 y 3y จงหา dy dx (2) ก าหนด 3 f(x) x x 2 และให้ g เป็นฟังก์ชันผกผันของ f จงหา g(0) (3) ถ้า f(x) = x + 1 และ g(x) = x และ F(x) = (f g)(x) o เมื่อ x 1 จงหา (F –1 ) (2)
หน้า 68 4. การหาอนุพันธ์โดยปริยาย*** ฟังก์ชันรูป y = f(x) ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันโดยชัดแจ้ง (explicit function) เช่น x 2 + y 2 = 1 ; xy = 2 ; y 2 = x ; x 2 + xy + y 2 = 0 สมการเหล่านี้ไม่ได้เขียน y ในเทอมของ x อย่างชัดแจ้ง เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันโดยปริยาย (implicit function) เราจะมีวิธีการหา dy dx ดังนี้ ก าหนดฟังก์ชัน f(x, y) = C เมื่อ C เป็นค่าคงที่ และ y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ การหา dy dx ด าเนินการดังนี้ (1) หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับตัวแปร x จะได้ d d (f(x,y)) [C] dx dx d (f(x,y)) 0 dx (2) การหา d (f(x,y)) dx มีวิธีการและใช้สูตรการหาอนุพันธ์เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว และ เนื่องจาก y เป็นฟังก์ชันของ x ดังนั้นการหาอนุพันธ์พจน์ที่เป็นตัวแปร y ต้องใช้กฏลูกโซ่ เช่น d 2 (y ) dx จะมีลักษณะเหมือนกับ d 2 (g(x) ) dx เมื่อ y = g(x) ดังนั้น d dy 2 (y ) 2y dx dx (3) เขียนสมการที่ได้จากขั้น (2) ใหม่เพื่อหา dy dx ตัวอย่าง 1 จงหา dy dx จากที่ก าหนดให้ y เป็นฟังก์ชันของ x ที่หาอนุพันธ์ได้ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ ดังต่อไปนี้ (1) x 2 + y 2 = 1 (2) xy = –2
หน้า 69 ตัวอย่าง 2 จงหา P dy dx จากที่ก าหนดให้ y เป็นฟังก์ชันของ x ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งสอดคล้องกับสมการ และ P ดังต่อไปนี้ (1) 2 2 x y 3 2x ; P(0, 3 ) (2) 2 y 2y x 1 0 ; P(–1, 2) ตัวอย่าง 3 จงหา dy dx เมื่อก าหนดฟังก์ชัน x = 2y 2y 1
หน้า 70 5. อนุพันธอ ์ ันดับสูง ก าหนด y = f(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะพบว่า f (x) หรือ dy dx ที่ได้ยังเป็นฟังก์ชัน ของ x ถ้าฟังก์ชันที่ได้นี้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เรียกอนุพันธ์ที่ได้นี้ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f ซึ่ง เขียนแทนด้วย f (x) หรือ 2 2 dy dx สัญลักษณ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 อื่นๆ ได้แก่ d dy ( ) dx dx หรือ d (f (x)) dx หรือ y ในท านองเดียวกัน เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับที่มากขึ้นของ f เช่น อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f(x) เขียนแทนด้วย ………. หรือ ……….. อนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ f(x) เขียนแทนด้วย ………. หรือ ……….. อนุพันธ์อันดับที่ 5 ของ f(x) เขียนแทนด้วย ………. หรือ ……….. อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) เขียนแทนด้วย ………. หรือ ……….. และถ้าเขียนอนุพันธ์อันดับสูงของ f ตามความหมายในรูปลิมิต จะได้ดังนี้ x 0 f (x) lim x 0 f (x) lim (4) x 0 f (x) lim ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1 จงหา f (x) และ f (4)
หน้า 71 ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 5 4 3 2 x – 3x 2x – 4x – 6x 3 จงหาอนุพันธ์อันดับสูงทั้งหมดของ f ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชันแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน (1) f(x) = 2x 1 x (2) y = 2x 1
หน้า 72 ตัวอย่าง 4 ก าหนดให้ y = f(x) จงหา 234 234 dy d y d y d y dx dx dx dx (1) f(x)= sin x (2) f(x) = 2x e ตัวอย่าง 5 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 3 2 2 x 4x x จงหา h 0 f (1 h) f (1) lim h
หน้า 73 ตัวอย่าง 6 ก าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่ง g(1) = –2 , g(1) = 1 2 , g(1) = – 1 3 f (–2) = –6 และ 3 f (–2) = f (–2) จงหา (fog)(1) ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง โดยที่ f(2x+1) = 2 4x 14x จงหาค่าของ f(f (f (2553)) (PAT1 ต.ค. 2553)
หน้า 74 6. ความหมายของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิตวิเคราะห์ บทนิยาม 4. ก าหนดให้ y = f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง (1) เส้นสัมผัสเส้นโค้งของ f ที่จุด P(x, y) จะมีความชันเท่ากับ f (x) (2) ความชันของเส้นโค้งของ f ณ จุด P(x, y) คือ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดP(x, y) ดังนั้น ถ้าก าหนดเส้นโค้ง y = f(x) โดยมีจุด P(x1 , y1 ) อยู่บนเส้นโค้ง ซึ่งท าให้หาค่า f (x) ได้ แล้วเรา สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสทสี่ัมผัสเส้นโค้งทจีุ่ด P ได้ดังนี้ (1) หาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P ซึ่งเท่ากับ …………………. (2) หาสมการเส้นสัมผัสที่จุด P โดยใช้สูตร ………………………….………………….. จากความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ “เส้นตรงทตี่ั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันได้–1” เรา จะได้สมการเส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งทจีุ่ด P ดังนี้ (1) หาความชันของเส้นตั้งฉากที่จุด P ซึ่งเท่ากับ …………………… (2) หาสมการเส้นตั้งฉากที่จุด P โดยใช้สูตร ……………………………………….. ตัวอย่าง 1 ก าหนดเส้นโค้ง y = x 2 – 3x จงหา (1) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(3, 0) (2) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นโค้งที่จุด P(3, 0) y x y = f(x) P(x1 , y1 ) 0
หน้า 75 ตัวอย่าง 2 ก าหนดเส้นโค้ง y = 2 x 2x 4 (1) ถ้า A เป็นจุดที่เส้นโค้งตัดกับเส้นตรง x = 0 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด A (2) ถ้า B เป็นจุดที่เส้นโค้งตัดกับเส้นตรง y = 3 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด B ตัวอย่าง 3 จงให้ความหมายของข้อความต่อไปนี้ (1) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) มีค่าเท่ากับ 24 ที่จุด x = 4 ………………………. (2) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด x = 6 มีค่าเท่ากับ –2 ………………………. (3) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (1, 2) มีค่าเท่ากับ 3 ..………………………. (4) ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) มีค่าเท่ากับ 5 ที่จุด (3,4) …….…………………….. (5) ความชันของเส้นโค้ง y = f(x) ที่ x = 7 เท่ากับ 12 …………………………………..…..... (6) ความชันของเส้นโค้ง y = f(x) มีค่าเท่ากับ 11 ที่ x = 3 ……………...………………..... (7) ความชันของเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (2, 5) เท่ากับ 7 .………………….….…………..... (8) ความชันของเส้นโค้ง y = f(x) มีค่าเท่ากับ 4 ที่จุด (9, 0) .………………..…….………..... (9) เส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (2, 5) คือ 2x + y = 9 ............................................... (10) เส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (–2, 1) ขนานกับเส้นตรง y = 5x + 3 …………..….…………………………………………………………………………….. (11) เส้นตรง y = 4x 5 เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (2, 3) …………..….…………………………………………………………………………….. (12) เส้นตรง 2x + y = 5 ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (3, –1) …………..….……………………………………………………………………………..
หน้า 76 ตัวอย่าง 4 ก าหนดเส้นโค้ง 3 1 y 2x x ที่จุดซึ่ง x = 1 จงหา (1) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (2) สมการของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส (PAT 1) ตัวอย่าง 5 ก าหนดเส้นโค้ง f(x) = 2 5 x จงหา (1) จุดบนเส้นโค้งที่ท าให้เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนี้ขนานกับเส้นตรง x + 2y – 1 = 0 (2) สมการของเส้นสัมผัสที่จุดที่ได้จากข้อ (1)
หน้า 77 ตัวอย่าง 6 ก าหนดเส้นโค้ง f(x) = 2 1 x จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในควอดรันต์ที่สอง ซึ่งปิดล้อมด้วยแกน x แกน y และเส้นสัมผัสเส้นโค้งของ f ณ จุด ( 1 2 , 4) ตัวอย่าง 7 จงหาสมการของเส้นสัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 1 โดยสัมผัสที่จุด P( 1 2 , 3 2 ) ตัวอย่าง 8 ก าหนดสมการเส้นโค้ง y = f(x) = 2 3x 4x 2 จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง f ที่จุด x = 1
หน้า 78 ตัวอย่าง 9 ก าหนดให้ 1 L เป็นเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 4x – 3y + 10 = 0 และ 2 L เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2 8 7 y x x 3 3 ถ้า 2 L ขนานกับ 1 L แล้ว ระยะห่างระหว่างเส้นตรง 1 L และ 2 L เท่ากับเท่าใด (PAT1)
หน้า 79 เราสามารถน าความรู้เรื่องอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้กับปญหาต่างๆ ได้ หลายลักษณะ ในที่นี้จะกล่าวถึง เพียง 6 หัวข้อ (1) การเขียนกราฟของฟังก์ชัน (2) การหาค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟังก์ชัน (3) กฎของโลปิตาล (4) การเคลื่อนที่แนวเส้นตรง (5) อัตราสัมพัทธ์ (6) การประมาณค่าด้วยค่าเชิงอนุพันธ์ 1. การเขียนกราฟของฟังก์ชัน ฟังกช์ันเพมิ่ฟังกช์ันลด เว้าขึน้และเว้าลง (Increasing and Decreasing Function and Concavity) ในหัวข้อนี้ เป็นการน าความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันมาประยุกต์ในการเขียนกราฟของฟังก์ชัน โดยใช้ตรวจสอบลักษณะของฟังก์ชัน 4 ลักษณะคือ (1) ฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) (2) ฟังก์ชันลด (decreasing function) (3) เว้าขึ้น (concave upward) (4) เว้าลง (concave downward) ฟังกช์ันเพมิ่และฟังกช์ันลด บทนิยาม 5. ก าหนดให้ A R และ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป R และ B A จะกล่าวว่า (1) f เป็นฟังกช์ันเพมิ่บน B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1 , x2 B และ x1 < x2 แล้ว f(x1 ) < f(x2 ) (2) f เป็นฟังก์ชันลดบน B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1 , x2 B และ x1 < x2 แล้ว f(x1 ) > f(x2 )
หน้า 80 การตรวจสอบฟังก์ชันลดและฟังกช์ันเพมิ่ ลักษณะกราฟของฟังก์ชันลดและฟังก์ชันเพิ่ม จากความรู้เรื่องความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง การตรวจสอบฟังก์ชันเพิ่มหรือลดดังนี้ ทฤษฎีบท 2. ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, b]และหาอนุพันธ์ได้บน (a, b) (1) ถ้า f (x) > 0 ส าหรับทุก x (a, b)แล้ว f จะเป็นฟังกช์ันเพมิ่บน [a, b] (2) ถ้า f (x) < 0 ส าหรับทุก x (a, b)แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบน [a, b] หมายเหตุ ข้อความใน ทฤษฎีบท 2. ยังคงเป็นจริง เมื่อเปลี่ยนช่วงเป็นช่วงอนันต์ ตัวอย่างเช่น (1) ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, )และหาอนุพันธ์ได้บน (a, ) ถ้า f (x) < 0, x (a, )แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันลดบน [a, ) (2) ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (–, a]และหาอนุพันธ์ได้บน (–, a) ถ้า f (x) > 0, x (–, a)แล้ว f จะเป็นฟังกช์ันเพมิ่บน (–, a] ตัวอย่าง 1 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = x 3 + x 2 – 5x – 5 จงหาช่วงที่ท าให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ท าให้ f เป็นฟังก์ชันลด x1 f(x1 ) f(x2 ) x2 y X 0 ฟังกช์ันเพมิ่ฟังก์ชันลด x1 f(x1 ) f(x2 ) x2 y X 0
หน้า 81 การเว้าขึน้และเว้าลง บทนิยาม 6. ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ c ได้ (1) กราฟของ f จะเป็นเว้าขึน้ ที่จุด P(c, f(c)) ก็ต่อเมื่อ มีช่วงเปิด (a, b) ซึ่ง c(a, b) และท าให้กราฟของ f บน (a, b) อยู่เหนือเส้นสัมผัสเส้น โค้งของ f ที่ P (2) กราฟของ f จะเป็นเว้าลง ที่จุด P(c, f(c)) ก็ต่อเมื่อ มีช่วงเปิด (a, b)ซึ่ง c(a, b) และท าให้กราฟของ f บน (a, b) อยู่ใต้เส้นสัมผัสเส้นโค้งของ f ที่ P *** ลักษณะของกราฟของฟังกช์ันทเี่ป็นเว้าขึน้ *** จากรูปพบว่า f (x) หรือความชันของเส้นสัมผัสมีค่าเพิ่มขึ้นขณะ x มีค่าเพิ่มขึ้น นั่นคือ f (x) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน (a, b) *** ลักษณะของกราฟของฟังกช์ันทเี่ป็นเว้าลง *** จากรูปพบว่า f (x) หรือความชันของเส้นสัมผัสมีค่าลดลงขณะ x มีค่าเพิ่มขึ้น นั่นคือ f (x) เป็นฟังก์ชันลดบน (a, b) ข้อสังเกต จากทฤษฎีบท 2. และนิยาม 6 กล่าวได้ว่า (1) ถ้าอนุพันธ์อันดับที่สอง f ของฟังก์ชัน f มีค่าเป็นบวกบนช่วงหนึ่ง แล้วอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f ของ f จะเป็นฟังก์ชันเพมิ่ ซึ่งท าให้กราฟของ f เว้าขนึ้ บนช่วงนั้น (2) ถ้าอนุพันธ์อันดับที่สอง f ของฟังก์ชัน f มีค่าเป็นลบบนช่วงหนึ่ง แล้วอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f ของ f จะเป็นฟังก์ชันลด ซึ่งท าให้กราฟของ f เว้าลงบนช่วงนั้น ท าให้ได้ข้อสรุปในการตรวจสอบเส้นโค้งว่าเป็นแบบเว้าขึ้นหรือเว้าลง ดังนี้ x y 0 a c b P(c, f(c)) x y 0 a c b P(c, f(c)) x y 0 a c b P(c, f(c)) y 0 a c b P(c, f(c))
หน้า 82 การตรวจสอบการเว้าขนึ้และเว้าลง ทฤษฎีบท 3. ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) และ c (a, b) (1) ถ้า f (c) > 0 แล้ว กราฟของ f จะเป็นแบบเว้าขึน้ ที่จุด P(c, f(c)) (2) ถ้า f (c) < 0 แล้ว กราฟของ f จะเป็นแบบเว้าลง ที่จุด P(c, f(c)) ส าหรับจุดของกราฟที่เป็นจุดเปลี่ยนจากเว้าขึ้นเป็นเว้าลง หรือเปลี่ยนจากเว้ลงเป็นเว้าขึ้น เราเรียก จุดนี้ว่า จุดเปลี่ยนความเว้าซึ่งมีนิยามดังนี้ จุดเปลี่ยนความเว้า (point of inflection) บทนิยาม 7. จุด P(c, f(c)) บนกราฟของฟังก์ชัน f จะเรียกว่าเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ก็ต่อเมื่อ มีช่วงเปิด (a, b) ซึ่ง c (a, b) และท าให้ข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง (1)f (x) > 0 เมื่อ a < x < c และ f (x) < 0 เมื่อ c < x < b ( P เป็นจุดเปลี่ยนเว้าขึ้นเป็นเว้าลง) (2) f (x) < 0 เมื่อ a < x < c และ f (x) > 0 เมื่อ c < x < b ( P เป็นจุดเปลี่ยนเว้าลงเป็นเว้าขึ้น) ลักษณะต าแหน่งของจุดเปลี่ยนความเว้า จากนิยาม เราอาจกล่าวได้ว่า ถ้า f (c) หาค่าได้ และ f เป็นต่อเนื่องที่ c และ P(c, f(c)) เป็นจุดเปลี่ยนเว้า แล้ว f (c) = 0 วิธีการหาจุดเปลี่ยนความเว้าและช่วงที่เว้าลง เว้าขึน้ของฟังก์ชัน มีขั้นตอนดังนี้ (1) หาค่า c จากการแก้สมการ f (c) = 0 (2) เขียนเส้นจ านวน แล้วจุดค่า c ที่ได้จากข้อ (1) เรียงจากน้อยไปมาก (3) ตรวจสอบค่า f (x) ว่าเปลี่ยนเครื่องหมาย ในแต่ละช่วง (ทบ.3) (4) P(c, f(c)) เป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ก็ต่อเมื่อ f (x) เปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงระหว่าง c จุดเปลี่ยนความเว้า เว้าขึ้น เว้าลง เว้าขึ้น เว้าลง เว้าขึ้น y x 0
หน้า 83 ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = x 3 + x 2 – 5x – 5 (โจทย์ตัวอย่าง 1) (1) จงหาช่วงที่ท าให้ f เป็นเว้าขึ้นบนช่วงนั้น และ ช่วงที่ท าให้ f เป็นเว้าลงบนช่วงนั้น (2) จงหาจุดเปลี่ยนความเว้า (3) จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน ข้อควรระวัง กราฟของ f ไม่จ าเป็นต้องมีจุด P(c, f(c)) เป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ถึงแม้ว่า f (c) = 0 ก็ตาม เช่น ถ้าก าหนดให้ f(x) = x 4 (มีกราฟดังรูป) x y (0, 0)
หน้า 84 ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 2 (x 1) (1) จงหาช่วงที่ท าให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด (2) จงหาช่วงที่ท าให้ f เป็นแบบเว้าขึ้น และเป็นแบบเว้าลง (3) จงหาจุดเปลี่ยนความเว้า (4) จงเขียนกราฟของ f
หน้า 85 ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 5 3 x 5x จงวาดกราฟของ f(x)
หน้า 86 2. ค่าสูงสุดและค่าต่า สุด ของฟังก์ชัน (Maximum and Minimum Value) 2.1 ค่าสูงสุดสัมพัทธแ์ละค่าต่า สุดสัมพัทธ์(Relative Maxima and Minima) บทนิยาม 8. ก าหนดให้ c เป็นจ านวนจริงที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน f (1) f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ ์ของ f ถ้ามีช่วงเปิด (a, b) ซึ่ง c (a, b) ที่ท าให้ f(c) f(x), x (a, b) และเรียก (c, f(c)) ว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ (2) f(c) เป็นค่าต่า สุดสัมพัทธ ์ของ f ถ้ามีช่วงเปิด (a, b) ซึ่ง c (a, b) ที่ท าให้ f(c) f(x), x (a, b) และเรียก (c, f(c)) ว่าเป็นจุดต่า สุดสัมพัทธ์ ลักษณะของตา แหน่งของจุดทเี่ป็นจุดสูงสุดสัมพัทธแ์ละจุดต่า สุดสัมพัทธ์ A(a, f(a)) เป็นจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ B(b, f(b)) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ C(c, f(c)) เป็นจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ D(d, f(d)) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ E(e, f(e)) เป็นจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ ทฤษฎีบท 4. ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ c แล้ว f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไม่ได้ จากทฤษฎีบท 4. จะได้ว่า (1) “ถ้า f (c) หาค่าได้ และ f (c) 0 แล้ว f (c) จะไม่เป็นทั้งค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต ่าสุดสัมพัทธ์” (2) เส้นสัมผัสของเส้นโค้ง ณ จุด c ที่เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือต ่าสุดสัมพัทธ์ จะมีความชันเท่ากับ 0 ซึ่งท าให้เส้นสัมผัสนั้นขนานกับแกน x หรืออาจจะไม่สามารถหาความชันได้ (3) จ านวนจริง c ที่ f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไม่ได้ เรียกว่าเป็น ค่าวิกฤต ของ f ดังนิยาม ค่าวิกฤต (Critical Number) บทนิยาม 9. จ านวนจริง c ที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน f จะเรียกว่าเป็น ค่าวิกฤต ของ f ถ้า f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไม่ได้ ถ้า c เป็นค่าวิกฤตของ f แล้วจะเรียกจุด (c, f(c)) ว่าเป็น จุดวิกฤต ของ f หมายเหตุ จุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ทุกจุดเป็นจุดวิกฤต แต่จุดวิกฤตทุกจุดไม่จ าเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ x A B C E D y 0 a b c d e
หน้า 87 ขั้นตอนในการหาจุดสูงสุดสัมพัทธห์รือต่า สุดสัมพัทธ์ ขั้นที่ 1 หาค่าวิกฤต ซึ่งหาจาก ค่า c ที่ท าให้ f (c) = 0 หรือ f (c) หาค่าไม่ได้ ขั้นที่ 2 น าค่าวิกฤต c ที่ได้จากขั้นที่ 1 ไปตรวจสอบว่า f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต ่าสุดสัมพัทธ์ วิธีที่ 1 การตรวจสอบโดยใช้อนุพันธอ์ ันดับหนึ่ง ( ดูเครื่องหมายของความชันของเส้นสัมผัส ) (1) ถ้าความชันเปลี่ยนจากบวกไปเป็นลบ จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ ์ดังรูป (2) ถ้าความชันเปลี่ยนจากลบไปเป็นบวก จุดดังกล่าวเป็นจุดต่า สุดสัมพัทธ ์ ดังรูป วิธีที่ 2 ตรวจสอบโดยใช้อนุพันธอ์ ันดับทสี่อง (ดูจากเครื่องหมายของ f (x) ) วิธีท าก็คือ หาค่า f (x) แล้วน าค่า c ที่เป็นจุดวิกฤตไปแทนค่า ถ้า (1) f (x) < 0 จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ (2) f (x) > 0 จุดดังกล่าวเป็นจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ (3) f (x) = 0 สรุปไม่ได้*** ต้องใช้วิธีการตรวจโดยวิธีที่ 1 หมายเหตุ วิธีที่ 2 นี้ จะใช้ตรวจสอบเฉพาะค่าวิกฤต c ซึ่ง f (c) = 0 เท่านั้น จุดวิกฤต f (c) > 0 y x a c b f (c) = 0 ค่าวิกฤต 0 จุดวิกฤต y x a c b f (c) = 0 ค่าวิกฤต 0 (c) < 0 จุดวิกฤต y x b f (c) = 0 ค่าวิกฤต เครื่องหมายของ f (x) 0 จุดวิกฤต y x b f (c) หาค่าไม่ได้ ค่าวิกฤต เครื่องหมายของ f (x) 0 จุดวิกฤต y x f (c) = 0 ค่าวิกฤต เครื่องหมายของ f (x) 0 จุดวิกฤต y x b f (c) หาค่าไม่ได้ ค่าวิกฤต เครื่องหมายของ f (x) 0 a a a b a c c c c
หน้า 88 ตัวอย่าง 1 ก าหนดให้ฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหา ค่าวิกฤต จุดวิกฤต จุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุด ต ่าสุดสัมพัทธ์ พร้อมทั้งวาดกราฟของฟังก์ชัน (1) 3 2 f(x) x 3x – 9x – 10 (2) 4 2 f(x) x – 8x
หน้า 89 ตัวอย่าง 2 ก าหนดให้ y = f(x) แต่ละข้อเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุก x จงให้ความหมายของข้อความต่อไปนี้ (1) x = 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) ……………………………………………….. (2) ฟังก์ชัน y = f(x) มี x = 1,และ x = 1 เป็นค่าวิกฤต …………………………………….. (3) ฟังก์ชัน y = f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 3 …………………………………………….. (4) ฟังก์ชัน y = f(x) มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 4 ……………………………………………… (5) ฟังก์ชัน y = f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 5 แต่มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 ………………… (6) จุด (2, 4) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ y = f(x) …………………………………………….. (7) จุด (1, 1) เป็นจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ของ y = f(x) …………………………………………… (8) ให้y = f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 5 ที่จุด x = 1……………………………………….. (9) ให้y = f(x) มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 1 ที่จุด x = 5 ………………………………..……… (10) ให้y = f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 9 ที่จุด x = 3 และกราฟของฟังก์ชันผ่านจุด (2, 3) ……………………………………………………………………………………………. ตัวอย่าง 3 ให้ f(x) = 3x – 10 และ F(x) = (f g)(x) o = ax 2 + bx + c ถ้า F(0) = 1 และ F มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = –2 เท่ากับ 5 จงหาค่าของ g(1)
หน้า 90 ตัวอย่าง 4 ก าหนดให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งมีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 3 ที่จุด x = 2 และมีเส้นตรง 3x + y – 7 = 0 เป็นเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (1, 4) ถ้า g(x) = 2 x f(x) จงหาค่า g(2) g(1) ตัวอย่าง 5 ให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนามก าลังสาม ซึ่งมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับสามเท่าของค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ และ f(0) = 2 ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = – 1 และมีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 จงหาf(4)
หน้า 91 ตัวอย่าง 6 ก าหนดให้ A, B ,B 0 และ 2 Ax 9 ; x 1 f(x) Bx Ax 5 ; x 1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆ x และมีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 จงหาค่าของ A + B ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้กราฟของ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เป็นดังรูป จากรูป (1) จงหาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันลด ................................................................................. (2) จงหาช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม................................................................................ (3) f มีจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ที่จุดซึ่ง x มีค่าเท่าใด .................................................................. (4) f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุดซึ่ง x มีค่าเท่าใด.................................................................... (5) จงหาช่วงที่ f มีกราฟเป็นส่วนของเส้นตรง.................................................................. (6) จงหาช่วงที่ f มีกราฟขนานกับแกน X...................................................................... (7) จงหาค่า x ที่เป็นค่าวิกฤต....................................................................................... (8) จงหาค่า x ของจุดที่เป็นจุดเปลี่ยนเว้า......................................................................... Y X 0 2 2 1 2 3 4 5 6 y f (x) (4,2) (2, 2) 7
หน้า 92 2.2 ค่าสูงสุดสัมบูรณแ์ละค่าต่า สุดสัมบูรณ ์(Absolute Maxima and Minima) จากรูป จะพบว่า f(c) และ f(e) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แต่มี f(c) เป็นค่าสูงสุดของ f(x) เมื่อ x [a, b] ในขณะที่มี f(d) เป็นค่าต ่าสุดสัมพัทธ์แต่ไม่เป็นค่า ต ่าสุดของ f(x) เมื่อ x [a, b] ค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของ f บน [a, b] ดังกล่าวเราเรียกว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ ซึ่งมีนิยามดังนี้ บทนิยาม 10. ก าหนดฟังก์ชัน f ซึ่งมีโดเมนเท่ากับ D และ c D (1) f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ c เมื่อ f(x) f(c) ส าหรับทุก x D (2) f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ c เมื่อ f(x) f(c) ส าหรับทุก x D จากความรู้เรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เราจะได้ว่า ทฤษฎีบท 5. ก าหนด f เป็นฟังกช์ันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] แล้ว จะมี c, d [a, b] ซึ่งท าให้ f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และ f(d) เป็นค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ ของ f หมายเหตุ 1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (a, b) หรือช่วงครึ่งเปิด (a, b] , [a, b) แล้ว อาจจะหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรืต ่าสุดสัมบูรณ์ของ f ไม่ได้ เช่น ตัวอย่างกราฟต่อไปนี้ จากรูป f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) จากรูป f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) จะไดว้า่คา่ต่า สดุสมับูรณข์อง f คือ f(c) แตไ่ม่สามารถหาคา่สูงสดุสมับูรณแ์ละต่า สดุสมับูรณ์ แตไ่ม่สามารถหาคา่สูงสดุสมับูรณข์อง f ได้ ของ f ได้ 2. ถ้า f ไม่ต่อเนื่องบน [a, b] ก็อาจจะไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือต ่าสุดสัมบูรณ์ของ f ดังตัวอย่างเช่น จะพบว่า โดเมนของ f คือ [–2, 2] แต่ f ไม่ต่อเนื่องที่ 0 กราฟของ f จะเป็นดังรูป จากรูปจะพบวา่ ไม่สามารถหาคา่สูงสดุสมับูรณแ์ละคา่ต่า สดุสมับูรณข์อง f ได้ x y 0 a c d e b x y 0 c f a b x y 0 f b a 1 ; 2 x 2 x 0 f(x) x 0 ; x 0 x y 0 2 –2
หน้า 93 ขั้นตอนการหาค่าสูงสุดสัมบูรณแ์ละต่า สุดสัมบรูณ์ ก าหนดฟังก์ชันต่อเนื่อง f บน [a, b] ด าเนินการหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และต ่าสุดสัมบูรณ์ ดังนี้ (1) หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต ่าสุดสัมพัทธ์ของ f ทุกค่า (2) หาค่า f(a) และ f(b) (3) ค่าที่มากที่สุดระหว่างค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ f(a), f(b) จะเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (4) ค่าที่น้อยที่สุดระหว่างค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ และ f(a), f(b) จะเป็นค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ ตัวอย่าง 7 ก าหนดฟังก์ชัน y =f(x) = 1 1 3 2 x x 2x 3 2 เมื่อ x [–3, 4] จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต ่าสุดสัมบูรณ์
หน้า 94 ตัวอย่าง 8 ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) = 2/3 1 x เมื่อ x [–1, 8] จงหา (1) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ (2) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต ่าสุดสัมบูรณ์
หน้า 95 2.3 โจทยป์ระยุกตเ์กยี่วกับค่าสูงสุดและค่าต่า สุด เราสามารถน าความรู้เกี่ยวกับการหารค่าสูงสุดสัมบูรณ์และต ่าสุดสัมบูรณ์มาแก้โจทย์ปัญหาที่ เกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดได้ ซึ่งมีแนวทางในการแก้ปัญหาดังนี้ 1. พจิารณาวา่ โจทยป์ ัญหานตี้อ้งการใหห้าคา่สูงสดุหรือต่า สดุใหก้า หนดส่งินนั้เป็นตวัแปรตวัทหี่น่งึ เช่น สมมติให้เป็น y 2. พิจารณาต่อไปว่า ค่า y ขนึ้อยู่กบัคา่อะไร และคา่เหล่านคี้งตวัหรือไม่ถา้ไม่คงตวัเราจะต้อง สมมตติวัแปรสา หรบัคา่เหล่านี้เช่นสมมตุใิหเ้ป็น x ค่าของ y จะขนึ้อยู่กบัคา่ของ x นน่ัเอง 3. เขียนสมการ แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง y กับ x โดยการเขียนค่า y ในรูปของ x ดงันนั้ใน ขนั้นเี้ราจะได้ y = f(x) 4. หาคา่สูงสดุของ y หรือคา่ต่า สดุของ y โดยใชก้ระบวนการการหาคา่สูงสดุสมับูรณห์รือคา่ต่า สดุ สมับูรณข์อง f ตัวอย่าง 1 กล่องรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่งไม่มีฝาปิดด้านบน และก้นเป็นรูปสี่หลี่ยมมุมฉาก ท า จากกระดาษแข็งสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 16 เซนติเมตร และยาว 21 เซนติเมตร โดยการ ตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วพับขึ้นไปเป็นกล่อง จงหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสที่ตัดออกไป ซึ่งท าให้กล่องที่ได้ มีปริมาตรมากที่สุด
หน้า 96 ตัวอย่าง 2 จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของรูปทรงกระบอกฐานกลม ซึ่งสามารถบรรจุอยู่ภายในกรวยกลมที่ มีความสูงตรงยาว 12 เซนติเมตร และรัศมีของฐานยาว 4 เซนติเมตร ถ้าแกนของกรวย กลมและทรงกระบอกอยู่ในแนวเดียวกัน ตัวอย่าง 3 พ่อค้าตลาดนัด ทราบว่าถ้าเขาตั้งราคาถุงเท้าราคาคู่ละ 20 บาท ในหนึ่งเดือน เขาจะขาย ได้ 1,000 คู่ ถ้าเขาลดราคู่ละ 1 บาท เขาจะขายได้เพิ่มขึ้นเดือนละ 100 คู่ ถ้าเขาลด ราคาคู่ละ 2 บาท เขาจะขายได้เพิ่มขึ้นเดือนละ 200 คู่ เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป อยากทราบว่า เขาควรจะตั้งราคาถุงเท้าคู่ละเท่าไรจึงจะได้เงินจากการขายมากที่สุดในหนึ่งเดือน
หน้า 97 ตัวอย่าง 4 ชายคนหนึ่งพายเรือในทะเลแห่งหนึ่ง ซึ่งมีชายหาดเป็นแนวเส้นตรง เขาอยู่ห่างจากจุด B ซึ่งเป็นจุดชายฝั่งที่อยู่ใกล้เขามากที่สุดเป็นระยะทาง 2 กิโลเมตร และเขาต้องการเดินทางไป ให้ถึงจุด C ซึ่งเป็นจุดบนชายฝั่ง ระดับเดียวกับ B 6 กิโลเมตร ถ้าชายคนนี้พายเรือด้วย อัตราเร็ว 3 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และวิ่งด้วยความเร็ว 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่าเขาควร พายเรือไปขึ้นฝั่ง ณ จุดใดแล้ววิ่งต่อไปให้ถึง C ซึ่งท าให้ใช้เวลาน้อยที่สุด
หน้า 98 3. กฎของโลปิ ตาล (LHospital’s Rule) การหาอนุพันธ์สามารถใช้ค านวณหาลิมิตของฟังก์ที่อยู่ในรูปแบบที่ไม่ก าหนด(Indeterminate Forms) ต่างๆ ดังนี้ หมายเหตุ (1) ถ้า f (x) g(x) ยังอยู่ในรูปที่ไม่ก าหนดอีก เราสามารถใช้กฎโลปิตาลซ ้าต่ไปเรื่อยๆ กล่าวคือ (n) x a x a x a x a (n) f(x) f (x) f (x) f (x) lim lim lim ... lim g(x) g(x) g (x) g (x) (2) ถ้าฟังก์ชันเมื่อแทนค่าลิมิตแล้วอยู่ในรูป 0 , – , 0 0 , 0 หรือ 1 ต้องท าให้อยู่ในรูปของ 0 0 หรือ แล้วจึงใช้กฎของโลปิตาล ตัวอย่าง 1 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ (1) 5 x 2 4 x 32 lim x 2x 12 (2) 100 x 1 x 1 lim 1 x (3) 5 x 2 3 x x 30 lim x 8 (4) x 1 5 x 1 lim x 1 กฎของโลปิ ตาล ถ้า f(x) และ g(x) ต่างก็มีค่าเป็นศูนย์ หรือไม่นิยามที่จุด x = a นั่นคือ อยู่ในรูปของ หรือ แล้ว เมื่อ หาค่าได้