T4 MODUL MATE TAMBAHAN 2021

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

124 Diberi log2 x = h and log2 y = k , ungkapkan log 2 x3 dalam sebutan h dan k. (Jwp : 3h − k )
y

[3 markah] [2011, No.8]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

125 Diberi log 2 = a dan log 3 = b , ungkapkan log10  2 − 1 dalam sebutan a dan b. (Jwp : 1 − a − b)
 3 

[3 markah] [UEC, 1999, K1 No.19]

Jawapan :

126 Diberi log 2 = a dan log 3 = b , ungkapkan log10 3 + log10 5 + log10 9 dalam sebutan a
2 4 8

dan b. (Jwp : 1 − 7a + 3b)

[4 markah] [UEC, 1997, K2 No.?]

Jawapan :

===============================================================================

4.3.4 Membuktikan loga b = logc b dan menggunakan hubungan tersebut untuk menentukan
logc a

logaritma suatu nombor.

===============================================================================

127 Lengkapkan yang berikut :

x = loga b HINT

ax = b ~ bentuk indeks loga b = k → logb a =
logc ax = logc b ~ ambil logc pada kedua-dua belah

logan b = =


if c = b

Jika a, b, c ialah positif, dan a  1, c  1

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

128 Tukarkan setiap yang berikut kepada “ asas 10 ” dan “ logaritma jati ”. Seterusnya, tentukan
nilainya.

Logaritma log9 7 log2.1 4000 1 log16 36 log 20 4
asas 10 log2 12 3
3 3

logaritmal
jati

Nilai

NOTA : logaritma jati → loge @ In

 tukar asas 1 (Jwp : −3)
1
(Jwp : − 2 )
129 Diberi a = , find 3
x3
[3 markah] [2013, No.7]
(a) log x a,
(b) 2log a x. (b)

Jawapan :
(a)

130 Diberi log k 9 = 2, cari nilai :

(a) k, (Jwp : 3)

(b) log9  1  . (Jwp : − 1 )
 k  2

[3 markah] [2014, No.7]

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 3k ) [2 markah]
131 Diberi log8 h = k, ungkapkan dalam sebutan of k :
(a) log 2 h , (Jwp : 3 ) [2 markah]
(b) log h 512 . k

Jawapan : [Ramalan]
(a) (b)

132 (a) Diberi mt = 8. Ungkapkan log2 m dalam sebutan t. (Jwp : 3 ) [3 markah]
(b) Diberi p = log5 x , ungkapkan logx 25 dalam sebutan p. t

(Jwp : 2 ) [3 markah]
p

[Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

133 (a) Jika logb x = k, ungkapkan log1 x dalam sebutan k. (Jwp : −k ) [3 markah]

b (Jwp : 2 ) [3 markah]
v
(b) Jika log b 7 = v, ungkapkan log7 b dalam sebutan v.

[Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

134 Diberi log9 15 = m, ungkapkan log5 9 dalam sebutan m. (Jwp : 2 ) [3 markah]
Jawapan : 2m−1

[Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 tukar asas 2

135 Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, permudahkan setiap yang berikut :

(a) log9 3 − 49 (Jwp : − 7 ) [3 markah] [Ramalan]
log1.4 25 4

(b) log 2 8 + log4 2 (Jwp : 6 1 ) [3 markah] [UEC, 2007, K2
4
No.3(b)]

Jawapan :

(a) (b)

136 Permudahkan setiap yang berikut : (Jwp : 5) [3 markah]
(a) log a 16 + log5 a
log a 4 log125 a

(b) log4 128 + log m + 1 1 (Jwp : 19 ) [3 markah]
3 m+1 6

[Ramalan]

Jawapan :

(a) (b)

137 (a) Permudahkan : log4 a  log25 8  log 3 a 125 (Jwp : 27 ) [3 markah]
(b) Diberi log 3 q  log p 81  log q p3q = 9, cari nilai q. 4

(Jwp : 3 ) [3 markah]

4

[Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 tukar asas 3

138 Diberi log2 b = x dan log2 c = y , ungkapkan log4  8b  dalam sebutan x dan y.
 c 

[ Jwp : 1 (3 + x − y) ] [4 markah] [2007, No.7]
2

Jawapan :

139 Diberi log2 3 = a dan log2 5 = b , ungkapkan log8 45 dalam sebutan a dan b.

[ Jwp : 1 (2a + b ) ] [3 markah] [2010, No.8]
3

Jawapan :

140 Diberi logm C = x , ungkapkan dalam sebutan x

(a) logm  1  ,
 C 

(b) log m Cm3 . (Jwp : 2x + 6)
[4 markah] [2019, No.10]

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

141 (a) Diberi r = 2m dan t = 2n, ungkapkan log8  32  dalam sebutan m dan n.
 rt 4 

(Jwp : 1 (5 − m − 4n)] [4 markah]
3

(b) Diberi 3p = 5 dan 9q = 2, ungkapkan log3 50 dalam sebutan p dan q.

(Jwp : 2p + 2q) [4 markah]
[Ramalan]

Jawapan :

(a) (b)

142 Diberi log2 3 = p dan log3 7 = q . Ungkapkan log3 31.5 dalam sebutan p dan q. (Jwp : 2 + q − 1 )
p

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

143 Diberi log9 p = x dan log3 q = y , ungkapkan log3  81p  dalam sebutan x dan y. (Jwp : 4 + 2x − y)
 q 
 

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 tukar asas 4

144 Diberi log p 2 = x dan log p 5 = y , ungkapkan log5 8p2 dalam sebutan x dan y. (Jwp : 3x + 2
y)

[3 markah] [2015, No.6]

Jawapan :

145 Diberi loga 7 = r , ungkapkan dalam sebutan r : (Jwp : 2r)
(a) loga 49 ,
(Jwp : 3+ 2 @ 3r + 2 )
(b) log7 343a2 . r r

Jawapan : [4 markah] [2016, No.14]
(a)
(b)

146 Diberi loga 5 = p dan loga 7 = q , ungkapkan log35 a3 dalam sebutan p dan q. (Jwp : 3 )
p+q

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

147 Diberi logc 3 = h dan logc 2 = k , ungkapkan log2 72 dalam sebutan h dan k. (Jwp : 2h + 3k )
k

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

148 Diberi logx 5 = m dan logx 7 = n . Ungkapkan log 7 25x2 dalam sebutan m dan /

atau n. (Jwp : 4m + 4 )
n

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

149 Diberi log2 3 = p and log3 7 = q . Ungkapkan log42 63 dalam sebutan p dan q. (Jwp : p (2+q) )
1+ p+ pq

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================
4.3.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum logaritma.

===============================================================================
150 Lengkapkan yang berikut :

y y = ex f(x) = ex HINT
log10 =
O x NOTA 10log x = In e =
y=x aloga x = x In = loge logaritma jati
In ex =

eIn x =
=

 selesaikan persamaan indeks ~ melibatkan logaritma (Jwp : 2.045) [3 markah]

151 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 1.269) [3 markah]
[Ramalan]
2m

(a) 9 3 = 20

(b) 23x − 1 − 7 = 0

Jawapan :

(a) (b)

152 Selesaikan persamaan 42x − 1 = 7x. (Jwp: 1.677)
Jawapan : [4 markah] [2003, No.6]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 0.152) [3 markah]

153 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 2.141) [3 markah]
(a)  4 1−x = 5x. [Ramalan]
3
(b) 42x − 1 = 3x + 2 (b)
Jawapan :
(a)

154 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 1.188) [3 markah]
(a) 32x . 4x = 7x + 1.
(Jwp : 0.862) [3 markah]
(b) 33x . 2x − 2 = 5 3 − 2x . [Ramalan]
Jawapan :
(a) (b)

155 Selesaikan persamaan 42x + 42x − 1 = 4. (Jwp : 0.420)
Jawapan : [3 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 0.585, 1)
156 Selesaikan persamaan : 2x + 1 + 3(21 − x) = 7. [4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

 selesaikan persamaan logaritma jati (Jwp : 5.727) [2 markah]
157 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 9.182, −15.182) [2 markah]

(a) In (3x − 5) = 5 . [Ramalan]

2 (b)

(b) In ( x + 3)2 = 5

Jawapan :
(a)

158 Selesaikan setiap yang berikut : ( Jwp : 0.303) [2
(a) ex + 2 = 10 (Jwp : 0.582) [2 markah]
markah]
(b) 3e2x = 9.6 [Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

MINDA :

In x = y  x = ey

159 Selesaikan persamaan : 2e2x = 7ex − 3 (Jwp : 1.099, −0.693)
[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

160 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 0.153) [4 markah]
(Jwp : −0.208) [4 markah]
(a) ex + 1 − 2e3x = 0
(b) e2x +1 − 6ex−1 = 0 [Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

 selesaikan persamaan logaritma ~ guna antilog (Jwp : 1.864) [3 markah]
161 Selesaikan setiap yang berikut :
(Jwp : 1.605) [3 markah]
(a) 6log2 x = 5 [Ramalan]
(b) logn 3 = log2 5

Jawapan :
(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 3 )
 selesaikan persamaan logaritma ~ dengan asas yang sama 2

162 Selesaikan persamaan log3 4x − log3 (2x − 1) = 1. [3 markah] [2005, No.8]
Jawapan :

163 Diberi log2 xy = 2 + 3 log2 x − log2 y, ungkapkan y dalam sebutan x. (Jwp : y = 2x)
Jawapan : [4 markah] [2006, No.7]

164 Selesaikan persamaan 2 + log3 (x − 1) = log3 x . (Jwp : 9 )
Jawapan : 8

[3 markah] [2006, No.8]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

165 Selesaikan persamaan :

1 + log 2 (x − 2) = log 2 x

(Jwp : 4) [3 markah] [2012, No.8]

Jawapan :

166 Selesaikan persamaan :

log 3 2 + log 3 (x − 4) = 1

(Jwp : 11 ) [3 markah] [2013, No.8]
2

Jawapan :

 selesaikan persamaan logaritma ~ tukar asas 1 (Jwp : T = 8 v )
167 Diberi log2 T − log4 V = 3, ungkapkan T dalam sebutan V.
[4 markah] [2003, No.5]
Jawapan :

168 Diberi log4 x = log2 3 , cari nilai x. (Jwp : 9)
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) [3 markah] [2008, No.8]
Jawapan :

169 Diberi log8 p − log2 q = 0, ungkapkan p dalam sebutan q. (Jwp : p = q3)
Jawapan : [3 markah] [2009, No.8]

170 Selesaikan persamaan : log m 324 − log m 2m = 2
Jawapan :
(Jwp : 3) [4 markah] [2017, No.6]

 selesaikan persamaan logaritma ~ tukar asas 2

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

171 (a) Diberi P = loga Q , nyatakan syarat-syarat bagi a. [1 markah]
(b)
Diberi log3 y = 2, ungkapkan y dalam sebutan x. (Jwp : y = 1 ) [3 markah]
log xy 3 x2

[2018, No.17]

Jawapan :

(a) (b)

172 Selesaikan setiap yang berikut :

log4 (4x + 5) = 11 1 ) [4 markah]
(a) + . (Jwp : 2
2 log7x 4

(b) log3 x = 5 − 6 logx 3 (Jwp : 9, 27) [4 markah]

[Ramalan]

Jawapan : (b)
(a)

173 Selesaikan persamaan : log3 x + 2 = logx 27 (Jwp : 1 , 3)
Jawapan : 27

[4 markah] [Ramalan]

===============================================================================
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

4.4 Aplikasi indeks, surd dan logaritma

4.4.1 Menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks, surd dan logaritma.
===============================================================================

174 Dalam satu eksperimen kultur, seorang saintis megambil sebilangan bakteria. Fungsi yang menunjukkan
bilangan bakteria selepas t jam diberi oleh P(t) = 50 (10)0.3t.

(a) Berapakan bilangan bakteria yang diambil pada permulaan eksperimen ?

(b) Bilakan bilangan bakteria akan mencapai satu juta ? (Jwp : 14.34)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

(a) (b)

175 Populasi penduduk di Pekan Telipok dijangka meningkat dengan kadar 3% setiap tahun. Penambahan
populasi adalah mengikut persamaan P = P0 (R)t, dengan P0 ialah populasi asal dan P ialah populasi

yang baharu selepas t tahun.

(a) Nyatakan nilai R.

(b) Cari nilai t supaya populasi menjadi dua kali ganda jumlah asal. (Jwp : 23.45)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

(a) (b)

176 Suhu sejenis cecair menyejuk daripada suhu asalnya 100°C ke x°C dalam t saat. Diberi x =

100(0.98)t , cari

(a) suhu cecair itu selepas disejukkan selama 8.5 saat, (Jwp : 84.22)
(b) masa, dalam saat, bagi suhu cecair itu turun sebanyak 60°C.
(Jwp : 45.35)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

177 (a) Mclarance melabur RM50000 di sebuah bank dan dia tidak mengeluarkan sebarang wang dari
akaunnya. Selepas n tahun, wang simpanannya menjadi 50000 ( 6 ) n. Hitungkan bilangan tahun

5
minimum untuk wang simpannya melebihi 1 juta ringgit buat kali pertama. (Jwp : 17)

[3 markah]

(b) Populasi sebuah negara boleh dianggap menggunakan model pertumbuhan P = 2400000 e0.03t

dengan t ialah bilangan tahun selepas tahun 1990. Bilakah populasi negara itu akan melebih

4.42 juta buat kali pertama ? (Jwp : 2011) [3 markah]

[Ramalan]

Jawapan :

(a) (b)

178 (a) Penyusutan harga sebuah komputer boleh ditentukan dengan menggunakan persamaan :

n log 10 1 − 2  = log 10 x − log 10 y
 m

Dalam persamaan ini, sebuah komputer dengan tempoh penggunaan m tahun dan RM y akan

menyusut kepada harga RM x selepas digunakan selama n tahun. Sebuah komputer yang

dibeli dengan harga RM 10000 mempunyai tempoh penggunaan selama 5 tahun. Jika harga

computer itu telah menyusut kepada RM 2000, cari tempoh, dalam tahun, penggunaan

komputer itu. (Jwp : 3.15) [3 markah]

(b) Dalam bidang astronomi, diameter sebuah planet, d km dihitung dengan menggunakan rumus

10log10 d = 5001− 100.2g , dengan keadaan g ialah magnitude mutlak bagi planet tersebut. Cari

diameter planet apabila diberi nilai magnitude mutlak adalah 18.48 km. (Jwp : 35.08)
Jawapan : [3 markah]
[Ramalan]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

KERTAS 2

 Bahagian A → 6 – 8 markah

179 (a) Permudahkan : log2 (2x +1) − 5log4 x2 + 4 log2 x ( )(Jwp : log2
2x+1 ) [4 markah]
x

(b) Seterusnya, selesaikan persamaaan : log2 (2x +1) − 5log4 x2 + 4 log2 x = 3 (Jwp : 1 )
6

[2 markah] [2011, No.2]

Jawapan :

(a) (b)

180 Diberi bahawa p = 2x dan q = 2y.

(a) Ungkapkan 8 x + y dalam sebutan p dan q. (Jwp : pq3) [3 markah]
4x

(b) Cari log4 4 p2 dalam sebutan x dan y. [ Jwp : 1 (2 + 2x − y) ] [5 markah]
q 2

[2014, No.4]

Jawapan : (b)
(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

181 Ungkapkan 2n + 2 − 2n + 1 + 2n − 1 dalam bentuk p (2n −1) , dengan keadaan p ialah pemalar.

Seterusnya, selesaikan persamaan 8 ( 2n + 2 − 2n + 1 + 2n − 1 ) = 5(2n2 ) . (Jwp : p = 5 ; n = −1,
2)

[6 markah] [2019, No.2]

Jawapan :

 RAMALAN

182 Dua eksperimen yang dijalankan oleh seorang pakar sains memperolehi dua persamaan berikut :
log x (y + 7) = 2 − log x 3

81
9x + 1 = 3 y

Cari nilai x dan y yang memuaskan kedua-dua hasil eksperimen itu. (Jwp : x = 3, y = −4)
Jawapan : [6 markah]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : logx 2 = 2 p− q , logx 5 = 3q − p )
183 Diberi logx 40 = p dan logx 50 = q . 5 5
Ungkapkan logx 2 dan logx 5 dalam sebutan p dan q.
[6 markah]
Jawapan :

184 Diberi log4 x = a dan log2 y = b . (Jwp : a = 2 1 , b = 2 1 )
x 4 2

Jika xy = 128 dan = 4. Cari nilai a dan nilai b. [6 markah]
y

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : m + 2n )
14
185 Diberi logb xy3 = m dan logb x3 y2 = n .
Cari logb xy dalam sebutan m dan n. [6 markah]

Jawapan :

LATIHAN LANJUTAN

186 Cari nilai yang memuaskan persamaan 2 + 2 + 8 = 5x . (Jwp : 2)
logx xy log y xy

[4 markahj] [klon SBP 2020, No.15]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 2, 1 )
187 Selesaikan persamaan logx2 64 = 2 + log2 x . 8
Jawapan :
[4 markah] [klon Johor 2020, No.17]

188 Diberi log5 4 = x dan log8 80 = y . Ungkapkan x dalam sebutan y. (Jwp : x = 2 )
3y−4

[4 marks] [klon YIK 2020, No.10]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

JANJANG
- ONE PAGE NOTE (OPN)

- LEMBARAN KERJA

Encik Adry Colodius

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH





TOPIK 5 : JANJANG

[ 2 – 4 soalan → 7 – 11 markah ]

===============================================================================
5.1 Janjang Aritmetik

5.1.1 Mengenal pasti suatu jujukan ialah janjang aritmetik dan memberi justifikasi.
===============================================================================

 syarat → mempunyai beza sepunya, d & d  0
1 (a) Tentukan sama ada jujukan berikut merupakan suatu janjang aritmetik.

2 , 8 , 18 , 32 , . . .

(b) Beri sebab untuk jawapan di (a). [2 markah] [Ramalan]
Jawapan :
(a) (b)

2 Diberi x, y dan z adalah tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang aritmetik. Ungkapkan y dalam
sebutan x dan z.
[2 markah] [Ramalan]
Jawapan :

3 Lengkapkan jaringan nombor yang berikut, dengan hubungan bagi setiap jaringan ialah sebutan
berturutan dalam janjang aritmetik.
[2 markah] [Ramalan]
Jawapan :

(a) (b) (c)
14k

lg p 26k

13 21 3lg p5 44k

9 lg p
4

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
MINDA :

• Janjang Aritmetik

→ Progression satu pemalar kepada
suatu jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan

sebutan sebelumnya.

→ mempunyai sepunya, d = Tn − Tn−1, dengan d  ;n> @n .

• Min Aritmetik → Tn−1 + Tn+1 = , dengan n ialah integer positif dan n  .
2
Mean

===============================================================================
5.1.2 Menerbitkan rumus sebutan ke-n, Tn, bagi janjang aritmetik, dan seterusnya
menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.
5.1.3 Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi janjang aritmetik, dan
seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.

===============================================================================
4 Lengkapkan jadual yang berikut, untuk menerbitkan rumus sebutan ke-n, Tn, bagi janjang aritmetik :

Suatu janjang aritmetik dengan sebutan pertama, a dan beza sepunya, d
T1 a
T2 a + d
T3
T4
T5

Tn

5 Lengkapkan jadual yang berikut, untuk menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi
janjang aritmetik :

Hasil tambah

T1 Tn = a + a + (n − 1)d = 2a + (n − 1)d

T2 Tn − 1 = =

T3 Tn − 2 = =

T4 Tn − 3 = =

T5 Tn − 4 = =

Tn − 1 T2 = =
Tn T1 = =
Sn =
Hasil tambah
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

Hasil tambah n sebutan pertama, Sn Sn =
Sn =

dengan



n ialah integer ,

n> @ n

MINDA :

T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 + T9 + T10 + T11 + T12 + T13 + T14 + T15 T1 = S1 = a
T2 = S2 − S1
T3 = S3 − S2



Tn =

 diberi tiga @ lebih sebutan berturutan → konsep d, Tn, Sn / min aritmetik 1

6 Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah k − 3, k + 3, 2k + 2. Carikan

(a) nilai k, (Jwp: 7)

(b) hasil tambah 9 sebutan pertama bagi janjang itu. (Jwp : 252)
Jawapan : [3 markah] [2003, No.7]

(a) (b)

7 Tiga sebutan berturut-turut bagi suatu janjang aritmetik ialah 5 − x, 8, 2x. Cari beza sepunya

janjang itu. (Jwp : 14)

[3 markah] [2007, No.10]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : k = 2h + 1)

8 Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah 3h, k, h + 2. (Jwp : 9 − 6h)
(a) Ungkapkan k dalam sebutan h. [4 markah] [2010, No.11]
(b) Cari sebutan ke-10 bagi janjang itu dalam sebutan h.
Jawapan :
(a) (b)

9 Diberi x, 5, 8, …, 41, … ialah satu janjang aritmetik. [3 markah] [2011, No.9]
(a) Nyatakan nilai x.
(b) Tulis tiga sebutan berturutan selepas 41.

Jawapan :

(a) (b)

10 Diberi bahawa 11, y + 4 dan 3y − x ialah tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang aritmetik.

(a) Ungkapkan y dalam sebutan x. (Jwp : y = x −3)

(b) Cari beza sepunya jika x = 8. (Jwp : −2)
Jawapan : [4 markah] [2012, No.10]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

11 (a) Nyatakan syarat-syarat bagi suatu jujukan merupakan janjang aritmetik. **
(b) Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah h, 8 and k. Cari nilai h + k. (Jwp : 16)
[2 markah] [2013, No.9]
Jawapan :

(a) (b)

 min aritmetik 2

12 Jika 25 sebutan ditambah antara 4 dan 82 untuk membentuk satu janjang aritmetik, cari hasil tambah

25 sebutan yang ditambah itu. (Jwp : 1075)

[2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

13 Diberi suatu janjang aritmetik, p, 6 2 , . . . , 13 3 , q. Hasil tambah kesemua sebutan itu adalah 270.
55

Cari bilangan sebutan dalam janjang itu. (Jwp : 27)

[2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 konsep, rumus 1

14 Pada hari pertama, isi padu air dalam sebuah tangki ialah 450 liter. Setiap hari berikutnya, air dalam

tangki itu ditambah sebanyak 10 liter. Hitungkan isi padu, dalam liter,air dalam tangki itu pada akhir

hari ke-7. (Jwp : 510)

[2 markah] [2004, No.11]

Jawapan :

15 Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah 5, 9, 13. Carikan (Jwp : 4)
(a) beza sepunya janjang itu,
(b) hasil tambah 20 sebutan pertama selepas sebutan ke-3. (Jwp : 1100)
[4 markah] [2005, No.11]
Jawapan :

(a) (b)

16 Rajah menunjukkan tiga keping kad berbentuk segiempat sama.

7 cm

3 cm 5 cm

Perimeter kad-kad itu membentuk suatu janjang aritmetik. Sebutan-sebutan janjang itu adalah secara
menaik.

(a) Tulis tiga sebutan pertama janjang itu,

(b) Cari beza sepunya janjang itu. [3 markah] [2009, No.10]
Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 konsep, rumus 2 [ diberi 3 nilai sebutan berturutan → selesai persamaan ]

17 Diberi suatu janjang aritmetik −7, −3, 1, …………., nyatakan tiga sebutan berturut-turut dalam

janjang itu yang jumlahnya ialah 75. (Jwp : 21, 25, 29)

[3 markah] [2004, No.10]

Jawapan :

18 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 46, 43 dan 40. Sebutan ke-n janjang ini adalah

negatif. Cari nilai n yang terkecil. (Jwp : 17 )

[3 markah] [2008, No.10]

Jawapan :

 konsep, rumus 3 [ selesai 1 persamaan ]

19 Dalam suatu janjang aritmetik, beza sepunya ialah −5. Diberi hasil tambah 10 sebutan pertama janjang
itu ialah 45, cari

(a) sebutan pertama janjang itu, (Jwp : 27)

(b) sebutan kesepuluh janjang itu.. (Jwp : −18)
Jawapan : [4 markah] [2013, No.10]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

20 Sebutan ketiga bagi suatu janjang aritmetik ialah 4 dan sebutan keempat ialah 7.

(a) Nyatakan beza sepunya janjang itu.

(b) Cari hasil tambah 25 sebutan pertama janjang itu. (Jwp : 850)
Jawapan : [4 markah] [2019, No.6]

(a) (b)

 konsep, rumus 4 [ selesai 2 persamaan ]

21 Sebutan ke-9 suatu janjang aritmetik ialah 4 + 5p, dan hasil tambah empat sebutan pertama janjang itu

ialah 7p − 10, dengan keadaan p ialah pamalar. Diberi beza sepunya janjang aritmetik itu ialah 5,

carikan nilai p. (Jwp : 8)

[3 markah] [2006, No.9]

Jawapan :

22 Sebutan kedua suatu janjang aritmetik ialah −3 dan sebutan keenam ialah 13. Cari sebutan pertama dan

beza sepunya bagi janjang itu. (Jwp : a = −7, d = 4)

[3 markah] [2011, No.10]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

23 Dalam suatu janjang aritmetik, hasil tambah empat sebutan pertama ialah 14 dan sebutan keenam ialah

−7. Cari sebutan pertama dan beza sepunya janjang itu. (Jwp : a = 8, d = −3)

[3 markah] [2015, No.9]

Jawapan :

24 Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan ketujuh ialah 12, dan sebutan kesepuluhan melebihi sebutan

kedua sebanyak 8. Cari sebutan pertama dan beza sepunya janjang itu. (Jwp : a = 6, d = 1)

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

25 Hasil tambah sebutan pertama dan sebutan ketujuh suatu janjang aritmetik ialah 6, dan sebutan

kesembilan janjang itu adalah dua kali sebutan keenam. Cari sebutan pertama dan beza sepunya

janjang itu. (Jwp : a = −6, d = 3)

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

26 Suatu janjang aritmetik mempunyai 14 sebutan. Hasil tambah sebutan-sebutan ganjil ialah 140,

manakala hasil tambah sebutan-sebutan genap ialah 161. Cari sebutan pertama dan beza sepunya

janjang itu. (Jwp : a = 2, d = 3)

[4markah] [Ramalan]

Jawapan :

 diberi rumus Tn (Jwp : −3)
27 Sebutan ke- n bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Tn = 11 − 3n. Cari
(Jwp : −65)
(a) beza sepunya, [3 markah] [Ramalan]
(b) hasil tambah lima sebutan yang kedua.

Jawapan : (b)
(a)

28 Sebutan ke-n, Tn, bagi suatu janjang diberi oleh 4n − 7. (Jwp : 4n − 11)
(a) Tunjukkan bahawa janjang ini ialah suatu janjang aritmetik. [4 markah] [Ramalan]
(b) Ungkapkan Tn − 1 dalam sebutan n.

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 diberi rumus Sn
29 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n (3n +1) . Cari

2

(a) hasil tambah 5 sebutan pertama, (Jwp : 40)

(b) sebutan ke-5. (Jwp : 14)
Jawapan : [4 markah] [2010, No.9]

(a) (b)

30 Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sn = n [ 13 − 3n ].
2

Cari sebutan ke-n. (Jwp : 8 − 3n)

[3 markah] [2017, No.8]

Jawapan :

31 Diberi bahawa hasil tambah m sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sm = k +1
(a + 7),
2

dengan keadaan k ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 7 ialah sebutan terakhir.

(a) Ungkapkan k dalam sebutan m. (Jwp : k = m − 1)

(b) Nyatakan julat nilai k. (Jwp : k > 0 @ k  1)
Jawapan : [2 markah] [2019, No.5]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================
5.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang aritmetik.

===============================================================================

 masalah harian

32 Suatu gerai menjual teh tarik memberikan pilihan kepada pelanggan-pelanggannya sama ada

menggunakan susu pekat atau susu cair di dalam minuman mereka. Pada suatu hari tertentu gerai

tersebut mempunyai 70 tin susu pekat dan 48 tin susu cair. Gerai itu menggunakan 5 tin susu pekat

dan 3 tin susu cair dalam sehari. Selepas berapa harikah, bilangan baki tin bagi kedua-dua jenis susu

adalah sama banyak ? (Jwp : 11)

[3 markah] [2016, No.21]

Jawapan :

33 Seorang murid mempunyai seutas dawai dengan panjang 13.16 m. Murid itu membahagikan dawai itu
kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi empat sama. Rajah menunjukkan
tiga buah segi empat sama yang pertama yang dibentuk oleh murid itu.

4 cm 7 cm 10 cm
4 cm 7 cm 10 cm

Berapa buah segi empat sama yang boleh dibentuk oleh murid itu ? (Jwp : 14)
Jawapan : [3 markah] [2018, No.15]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

34 Cari bilangan nombor integer yang terletak antara 100 dan 200 yang merupakan gandaan 9.
(Jwp : 11) [3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

35 Diberi 52 . 54 . 56 . 58 . . . . . 52n = (0.04)−28. Cari nilai n. (Jwp : 7)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

36 Dalam satu permainan membina piramid dengan menggunakan kuboid kayu, Julita diberi 130 kuboid.
Dia dikehendaki menyusun sebuah kuboid pada baris pertama, tiga buah kuboid pada baris kedua, lima
buah kuboid pada baris ketiga, dan seterusnya. Berapa baki kuboid yang tidak digunakan ?
(Jwp : 9) [4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
37 Seutas dawai digunakan untuk membina 20 bulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

...

Jejari bulatan itu membentuk satu janjang aritmetik. Diberi jejari bulatan terkecil ialah 10 m dan panjang

lilitan bulatan terbesar ialah 96  m. Cari jejari, dalam m, untuk bulatan yang kedua. (Jwp : 12)

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

38 Seutas tali dipotong kepada 30 bahagian dengan keadaan potongan itu membentuk satu janjang aritmetik.

Diberi panjang bagi bahagian yang terpanjang ialah 99 cm dan hasil tambah 3 potongan terpendek ialah

45 cm. Cari panjang, dalam cm, bagi bahagian terpendek. (Jwp : 12)

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

39 Dua zarah dilancarkan secara serentak ke arah satu sama lain daripada hujung bertentangan dalam
sebatang tiub lurus yang panjangnya 14.3 m. Satu daripada zarah-zarah itu bergerak 51 cm dalam
saat pertama, 49 cm dalam saat kedua, 47 cm dalam saat ketiga dan seterusnya. Zarah yang lain
bergerak sejauh 30 cm dalam saat pertama, 31 cm dalam saat kedua, 32 cm dalam saat ketiga dan
seterusnya. Berapa lamakah masa, dalam saat, yang diambil sebelum kedua-dua zarah itu bertemu ?
(Jwp : 20) [4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================
5.2 Janjang Geometri

5.2.1 Mengenal pasti suatu jujukan ialah janjang geometri dan memberi justifikasi.
===============================================================================

 syarat → mempunyai nisbah sepunya, r & r  1
40 (a) Tentukan sama ada jujukan berikut merupakan suatu janjang aritmetik atau janjang geometri.

16x, 8x, 4x, ……….

(b) Beri sebab untuk jawapan di (a). [2 markah] [2007, No.9]
Jawapan :

(a) (b)

41 Diberi x, y dan z adalah tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri. Ungkapkan y dalam
sebutan x dan z.
[2 markah] [Ramalan]
Jawapan :

42 Lengkapkan jaringan nombor yang berikut, dengan hubungan bagi setiap jaringan ialah sebutan
berturutan dalam janjang geometri.
[2 markah] [Ramalan]
Jawapan :

1
3

1 1 1
12 4

3
4

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
MINDA :

• Janjang Geometri

→ Progression suatu pemalar dengan
suatu jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan

with the previous term.
sebutan sebelumnya.

→ mempunyai sepunya, r = Tn , dengan r ;n> @n .
Tn−1

• Min Geometri →  (Tn−1 )(Tn+1 ) = , dengan n ialah positif integer dan n  .

==============================================================================
5.2.2 Menerbitkan rumus sebutan ke-n, Tn, bagi janjang geometri, dan seterusnya
menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.
5.2.3 Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi janjang geometri, dan
seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.

===============================================================================

43 Lengkapkan jadual yang berikut, untuk menerbitkan rumus sebutan ke-n, Tn, bagi janjang geometri :

Suatu janjang geometri dengan sebutan pertama, a dan nisbah sepunya, r
T1 a
T2 ar
T3
T4
T5

Tn

44 Lengkapkan jadual yang berikut, untuk menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi
janjang geometri :

sebutan ke-n r  sebutan ke-n
T1 = a rT1 = ar
T2 = ar rT2 =
T3 = rT3 =
T4 =
rTn−2 =
Tn−1 = rTn−1 =
Tn = rTn =

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

Hasil tambah Sn (1) (2)

Hasil tambah n sebutan pertama, Sn (1) − (2) (2) − (1)


dengan

n ialah integer ,

n> @ n biasanya digunakan apabila biasanya digunakan apabila
| r | < 1 → −1 < r < 1 | r | > 1 → r < −1, r > 1

MINDA :

T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 + T9 + T10 + T11 + T12 + T13 + T14 + T15 T1 = S1 = a
T2 = S2 − S1
T3 = S3 − S2



Tn =

 diberi tiga @ lebih sebutan berturutan → konsep r, Tn, Sn / min geometri

45 Diberi suatu janjang geometri y, 2, 4 , p, ……., ungkapkan p dalam sebutan y. (Jwp : p= 8 )
y y2

[2 markah] [2004, No.9]

Jawapan :

46 Tiga sebutan pertama suatu jujukan ialah 2, x, 8. Carikan nilai positif x supaya jujukan itu merupakan
suatu

(a) janjang aritmetik, (Jwp : 5)

(b) janjang geometri. (Jwp : 4)
Jawapan : [2 markah] [2005, No.10]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

47 Diberi bahawa empat sebutan pertama suatu janjang geometri ialah 3, −6, 12 dan x. Cari

nilai x. (Jwp : −24)

[2 markah] [2008, No.9]

Jawapan :

48 Tiga sebutan pertama suatu janjang geometri ialah x, 6, 12. Cari (Jwp : 3)
(a) nilai x,
(b) hasil tambah dari sebutan keempat hingga sebutan kesembilan. (Jwp : 1512)
[4 markah] [2009, No.11]
Jawapan :

(a) (b)

49 Tiga sebutan pertama yang positif bagi suatu janjang geometri ialah 2, p dan 18. Cari nilai p dan

nisbah sepunya bagi janjang itu. (Jwp : p = 6, r = 3)

[3 markah] [2012, No.9]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

50 Diberi bahawa (x + 1), (2x − 7) dan  x +1 ialah tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri
4

dengan nisbah sepunya 1 . Cari
2

(a) nilai x, (Jwp : 5)

(b) sebutan pertama jika (x + 1) ialah sebutan ke-12 janjang itu. (Jwp : 12288)
Jawapan : [4 markah] [2016, No.22]

(a) (b)

51 Diberi 3 nombor f, g, dan h berada dalam nisbah 1 : 3 : 7. Jika setiap nombor itu ditambah dengan 2,
nombor-nombor yang terhasil membentuk suatu janjang geometri. Cari nilai f + g + h. (Jwp : 22)
[3 markah] [Ramalan]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 konsep, rumus 1 [ diberi 3 nilai sebutan berturutan → selesai persamaan ]

52 Hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang geometri 8, 24, 72, . . . ialah 8744. Carikan

(a) nisbah sepunyai janjang itu, (Jwp : 3)

(b) nilai n. (Jwp: 7)
Jawapan : [4 markah] [2005, No.12]

(a) (b)

 konsep, rumus 2 [ selesai 1 persamaan ]

53 Dalam suatu janjang geometri, sebutan pertama ialah a dan nisbah sepunya ialah r. Diberi sebutan

ketiga melebihi sebutan kedua sebanyak 12a, cari nilai-nilai r. (Jwp : −3, 4)

[3 markah] [2012, No.11]

Jawapan :

54 Semua sebutan dalam suatu janjang geometri bernilai positif. Diberi sebutan keenam adalah 4 kali ganda
sebutan keempat dan sebutan ketiga ialah 1, cari

(a) nisbah sepunya, (Jwp : 2)

(b) sebutan pertama. (Jwp : 1 )
Jawapan : 4

[3 markah] [Ramalan]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

55 Nisbah sepunya suatu janjang geometri ialah 1 . Hasil tambah empat sebutan pertama selepas sebutan
2

ketiga ialah 15. Cari sebutan pertama janjang itu. (Jwp : 64)

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

56 Satu janjang geometri dan satu janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama yang sama, iaitu 3.
Nisbah sepunya dan beza sepunya kedua-dua janjang itu juga adalah sama. Sebutan kelima janjang
geometri ialah 48, dan hasil tambah n sebutan janjang aritmetik adalah sama dengan sebutan keempat
janjang geometri. Cari

(a) nisbah sepunya, (Jwp : 2)

(b) nilai n. (Jwp : 4)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

(a) (b)

57 Nisbah hasil tambah dua sebutan pertama suatu janjang geometri kepada hasil tambah sebutan pertama

dan sebutan ketiga janjang itu ialah 2 : 5. Cari nilai-nilai nisbah sepunya yang mungkin. (Jwp : − 1 , 3)
2

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

58 Hasil tambah enam sebutan pertama suatu janjang geometri adalah 28 kali hasil tambah tiga sebutan

pertamanya. Cari nisbah sepunya janjang itu. (Jwp : 3)

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

 konsep, rumus 3 [ selesai 2 persamaan ~ 1 ]

59 Dalam suatu janjang geometri, sebutan ketiga dan sebutan keenam masing-masing −3 dan 24. Cari

hasil tambah sebelas sebutan pertama. (Jwp : −512 1 )
4

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

60 Hasil tambah sebutan pertama dan sebutan ketiga suatu janjang geometri ialah 20, manakala hasil

tambah sebutan keempat dan sebutan keenam ialah 540. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya

janjang itu. (Jwp : a = 2, r = 3)

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

61 Sebutan ketiga satu janjang geometri melebihi sebutan kedua sebanyak 4 dan sebutan keempat melebihi

sebutan ketiga sebanyak 3. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.

(Jwp : a= − 64 , r= 3 ) [4 markah] [Ramalan]
3 4

Jawapan :

62 Hasil tambah 3 sebutan pertama satu janjang geometri ialah 21 dan hasil tambah 3 sebutan berikutnya

ialah 168. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu. (Jwp : a

= 3, r = 2)

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH