T4 MODUL MATE TAMBAHAN 2021

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

39 Hafizie mempunyai sebidang tanah berbentuk segi empat tepat. Dia menanam padi dan keladi di tanah
itu pada kawasan-kawasan seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

ym

Yam 5m
xm

Paddy

15 m

Kawasan tanaman keladi berbentuk segi empat tepat. Diberi luas kawasan tanaman padi ialah 115 m2
dan perimeter kawasan keladi ialah 24 m. Carikan luas kawasan tanaman keladi itu.

(Jwp : 35 m2) [6 markah]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
40 Rajah menunjukkan sebuah prisma dengan segi tiga bersudut tegak sebagai keratan rentasnya.

x cm 5 cm

2x cm
y cm

Diberi tinggi prisma ialah 2x cm. Jika jumlah panjang sisi dan jumlah luas permukaan bagi prisma
masing-masing adalah 42 cm 84 cm2, cari

(a) nilai x dan y dengan keadaan kedua-duanya bukan nombor bulat, (Jwp : x= 2 4 , y= 4 4 )
5 5

(b) isi padu prisma itu. (Jwp : 37 79 )
Jawapan : 125

[7 markah]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

41 Sebuah kotak tertutup berbentuk kuboid mempunyai tapak berbentuk segi empat sama. Diberi
jumlah panjang sisi kotak itu ialah 76 cm dan jumlah luas permukaan kuboid itu ialah 238 cm2. Cari

panjang sisi tapak dan tinggi bagi kuboid itu.

(Jwp : x= 17 , y= 23 and x = 7, y = 5) [6 markah]
3 3

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

INDEKS, SURD &
LOGARITMA

- ONE PAGE NOTE (OPN)
- LEMBARAN KERJA

Encik Elbenjoe Wesmin
Puan Nadzrinah binti Ahmad

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH





TOPIK 4 : INDEKS, SURD DAN LOGARITMA

[ 2 – 3 soalan → 7 – 10 markah ]

========================================================================== =====
Ulangkaji → menulis semula ; permudahkan ungkapan algebra dengan menggunakan hukum indeks ;

nilaikan
===============================================================================

 menulis semula

1 Maklumat berikut adalah berkaitan dengan satu hukum indeks.

(aq )8 = a  a  a  . . .  a , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
p kali

Nyatakan nilai p dan nilai q. [2 markah] [2019, No.2]
Jawapan :

(p + q) kali q kali

( )n

Diberi bahawa (a  a ... a) (a  a ... a) = a , dengan keadaan p, q dan n ialah pemalar.
2

Ungkapkan n dalam sebutan p dan q. (Jwp : n = 2p + 4q)
Jawapan : [2 markah] [Ramalan]

MINDA :

HUKUM INDEKS

n kali am  an = am + n am  an = am = am − n ( ) ( )am n = am  n = an m
aa...a = an an

a0 = 1 , where a  0 an =  a n  a −n =  b n
bn  b   b   a 
an bn = (ab)n

1 = a−n @ 1 = an 1 11
an a−n
n a = an  a = a2 & 3a = a3

1 = a−m+n @ k = kam−n 1 = a−(m+n) @ 1 = a−(m−n)
am − n a−m + n am  an am  an

m1 ( )m 1 = na m

( )a n = am n = n am @ a n = (an )m

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

3 (a) Diberi (32) −3 = 1 [2 markah]
5 , cari nilai m dan nilai n.

m 32n

(b) Diberi 1 = n 5m , cari nilai m − n. (Jwp : −7) [2

3

54

markah]

[Mate SPM, J2010, K1, No.24 / klon Mate SPM, J2016, K1, No.20]

Jawapan :

(a) (b)

 permudahkan 1

4 Permudahkan :

(a) (pa ) b + c  (pb ) a − c  (pc ) a + b) (Jwp : 1) [2 markah] [klon UEC, 2013, K1, No.18]

(b) x( a + b) (a − b)  x(b + c) (b − c)  x( c − a) (c + a) (Jwp : 1) [2 markah] [UEC, 2004, K1, No.18]

Jawapan :

(a) (b)

( ) ( )5 (a) Permudahkan 3 x − 3 y 3 x2 + 3 xy + 3 y2

(Jwp : x − y) [3 markah] [UEC, 1990, K2, No.4(b)]

(b) Diberi a2x = 2, cari nilai ( ax + a−x )2. (Jwp : 9 ) [3 markah] [klon UEC, 2002, K1, No.17]
2

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 4x3y5)
 permudahkan 2 [2 markah] [2014, No.6]
(6x 4 y3 )2

6 Permudahkan :
9x5 y

Jawapan :

7 Permudahkan :

3 17

m4  5 m (Jwp : 10 m 20 ) [2 markah] [klon Mate SPM, 2012, No.24]

( )(a) 1 5 m2
2

 1 3
 r10  ( 4s8 )2 
(b)   (Jwp : 8r18 ) [2 markah] [klon Mate SPM, 2017, No.24]
 4 r16s24  s6



Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 16)
 permudahkan 3 [2 markah] [Ramalan]

8 (a) Diberi 27h10k 4  h x k 2 = 3h5 k y. Hitung nilai a + x + y.
ah7 k

Jawapan :

26  3x (Jwp : 9)
9 Diberi 2 y  32 = 18. Cari nilai x + y. [3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

 nilaikan (Jwp :
[3 markah] [Ramalan]
3

10 Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, cari nilai 12 2  2−1  27 .

4)

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

MINDA :

JADUAL BAGI NOMBOR KUASA n

ASAS 2 2−3 = 1 2−2 = 1 2−1 = 1 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32
8 4 2

ASAS 3 3−3 = 1 3−2 = 1 3−1 = 1 30 = 1 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243
8 9 3

ASAS 5 5−3 = 1 5−2 = 1 5−1 = 1 50 = 1 51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625
ASAS 6 125 25 5 60 = 1 61 = 6

6−3 = 6−2 = 1 6−1 = 1 62 = 36 63 = 216 26 = 64
36 6
1
216

ASAS 7 7−3 = 1 7−2 = 1 7−1 = 1 70 = 1 71 = 7 72 = 49 73 = 343 27 = 128
343 49 7 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 28 = 256
ASAS
10 10−3 = 10−2 = 1 10−1 = 1
100 10
1
1000

1 1 1 1 1 1

2= 42 3= 92 5 = 25 2 7 = 49 2 2 = 83 3 = 27 3

===============================================================================

4.1 Hukum Indeks

4.1.1 Mempermudahkan ungkapan algebra yang melibatkan indeks dengan menggunakan
hukum indeks.

===============================================================================

 permudahkan 1

11 Permudahkan : 9n + 2  [ 31 + n  271 − n ] (Jwp : 34n)
Jawapan : [2 markah] [Ramalan]

16  22n − 6 (Jwp : 2−4 − 2n )
12 Permudahkan : 42n +1 [2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

13 Permudahkan : 492n +1  146 − 2n (Jwp : 713  221 − 8n )
[3 markah] [Ramalan]
562n − 5

Jawapan :

 permudahkan 2

14 Diberi 3n + 2 − 3n + 10(3n − 1) = h (3n), dengan keadaan h ialah pemalar. Cari nilai h. (Jwp

: 34 )
3

[2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

15 Tunjukkan bahawa 9 ialah faktor bagi 4n + 1 + 4n − 2 (4n − 1) . [ Jwp : 9 (4n) ]
Jawapan : 2

[2 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

16 Tunjukkan bahawa (35 + 13) 53n + 28 ( n + 1) ialah suatu gandaan 8 bagi semua integer positif n.
Tunjukkan bahawa (35 + 13) 53n + 28 ( n + 1) boleh dibahagi dengan 8 bagi semua integer positif n.
[Jwp : 256(53n + 28n) ] [2 markah] [Ramalan]
Jawapan :

===============================================================================

4.1.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks.
===============================================================================

 selesai persamaan indeks 1 ~ dengan asas yang sama 1

17 Selesaikan persamaan 32 4x = 4 8x + 6. (Jwp : 3)
Jawapan : [3 markah] [2004, No.7]

18 Selesaikan persamaan 82x − 3 = 1 . (Jwp:
[3 markah] [2006, No.6]
4 x+2
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH
1)

Jawapan :

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 1 )
19 Diberi 9 (3n − 1) = 27n, cari nilai n. 2
Jawapan :
[3 markah] [2007, No.8]

20 Selesaikan persamaan : 16 2x − 3 − 84x = 0 (Jwp : −3)
Jawapan : [3 markah] [klon 2008, No.7]

21 Diberi 3n − 3  27n = 243, cari nilai n. (Jwp : 2 )
Jawapan : [3 markah] [2009, No.7]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : − 7 )
2
22 Selesaikan persamaan :
27 (32x + 4) = 1 [3 markah] [2012, No.7]

Jawapan :

23 Diberi 25h+3 = 1, ungkapkan p dalam sebutan h. (Jwp : p= 2h + 9 )
125 p−1 3

Jawapan : [3 markah] [2017, No.5]

24 Selesaikan persamaan 16 x + 2 = 4x 1 . (Jwp : −1)
 2x+1 [3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

5y (Jwp : y = 3− x )
5
25 Diberi 2x − 3 = (0.125)3 , ungkapkan y dalam sebutan x.

[3 markah] [klon UEC, 1984, K2, No.2(b)]

Jawapan :

26 Selesaikan persamaan (3x )x  272x = 2187 . (Jwp : −7, 1)
[3 markah] [Ramalan]
Jawapan :

 selesai persamaan indeks 2 ~ dengan asas yang sama 2 (Jwp : 3 )
27 Selesaikan persamaan 9 x . 22x = 216 2

Jawapan : [3 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) ( Jwp : − 2 )
3
( )28 Selesaikan persamaan 2 x . 5 x = 0.01 10x +1 4
[3 markah] [Ramalan]
Jawapan :

 selesai persamaan indeks 3 ~ dengan asas yang sama 3 (Jwp : −3)
29 Selesaikan persamaan 2x + 4 − 2x + 3 = 1. [3 markah] [2005, No.7]

Jawapan :

30 Selesaikan persamaan 3x +2 − 3x = 8 . (Jwp : −2)
9 [3 markah] [2010, No.7]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 4 )
31 Selesaikan persamaan : 23x = 8 + 23x −1 3
Jawapan :
[4 markah] [2011, No.7]

32 Diberi 2 p + 2 p = 2 k , ungkapkan p dalam sebutn k. (Jwp : p = k −1)
Jawapan : [2 markah] [2018, No.16]

 selesai persamaan indeks 4

33 Diberi 32x = k, 3y = h dan 3y + 2x = 7 + 9x. Ungkapkan k dalam sebutan h. (Jwp : k= h 7 1 )
−

[3 markah] [2015, No.7]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

34 Diberi 52x = m, 5y = n dan 5(25x ) − 1 = 52x − y . Ungkapkan m dalam sebutan n.

(Jwp : m= n 1 )
5n −

[3 markah] [klon 2015, No.7]

Jawapan :

 selesai persamaan indeks 5 ~ selesai dengan “penghapusan” atau “penggantian”

35 Selesaikan persamaan serentak : 3x × 9y − 1 = 243 dan 23x = 32 (Jwp : x = 3, y = 2)
4y [4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

36 Selesaikan persamaan serentak : 3x × 92y = 1 dan 55x × 25y = 1 (Jwp : x = − 4 , y= 1 )
25 9 9

Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) [3 markah] [Ramalan]
 selesai persamaan indeks 6

37 Diberi 3(4p) = 5(2q) dan 9(8p) = 10(4q), tunjukkan bahawa 2p + 1 = 5.
Jawapan :

38 Diberi 3p = 5q = 15r, ungkapkan r dalam sebutan p dan q. (Jwp : r= pq
Jawapan : p+q )

[3 markah] [2016, No.15]

39 Diberi 2a = 5b = 10c, , ungkapkan a dalam sebutan b dan c. (Jwp : a = bc )
Jawapan : b−c

[3 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 selesai persamaan indeks 7 ~ andaikan ax = y, bentuk persamaan kuadratik

40 Selesaikan persamaan : 3 × 9x = 2 × 3x + 1. (Jwp : 0)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

41 Selesaikan persamaan : 23 + 2x + 4 = 33 × 2x. (Jwp : −3, 2)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

 selesaikan masalah harian

42 Bilangan kerusi yang dikeluarkan oleh sebuah kilang perabot pada Januari 1990 ialah 5000 unit. Adalah
dianggapkan bahawa pengeluaran kerusi akan meningkat dengan kadar 20% setahun. Selepas t tahun,
jumlah kerusi yang dikeluarkan diberi oleh P(1 + k)t, dengan keadaan P ialah bilangan kerusi yang
dikeluarkan pada Januari 1990 dan k ialah kadar peningkatan tahunan bagi pengeluaran kerusi.

(a) Nyatkan nilai P dan nilai k. [1 markah]

(b) Cari bilangan kerusi yang dikeluarkan pada Januari 2002. Nyatakan jawapan anda dalam integer

terdekat. (Jwp : 44581) [2 markah]

[Ramalan]

Jawapan :

(a)

(b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

43 Populasi sebuah negara bertambah mengikut fungsi P = 2400000 e0.03t dengan t ialah bilangan tahun
selepas tahun 1990 dan dan e = 2.718.

(a) Apakah populasi negara itu pada tahun 1990 ?

(b) Apakah populasi negara itu pada tahun 2010 ? (Jwp : 4372813)

[2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

(a)

(b)

44 Suhu sejenis cecair menurun daripada 100°C kepada x°C mengikut persamaan x = 100(0.98)t

apabila cecair itu disejukkan selama t seconds.

(a) Nyatakan peratus perubahan suhu setiap saat. [1 markah]

(b) Cari beza suhu cecair itu di antara saat kelima dengan saat keenam, dalam darjah Celsius

terdekat. (Jwp : 2) [2 markah]

Jawapan :

(a)

(b)

45 Separuh hayat suatu sampel radioaktif ialah masa yang diambil supaya radioaktivitinya menjadi
separuh nilai asal. Separuh hayat sampel itu ialah 50 minit. Radioaktivitinya, R, bilangan per minit

diberi oleh R = 1024  1 n + 1 , dengan keadaan n ialah bilangan separuh hayat yang dialami oleh
2

sampel itu. Radioaktiviti sampel itu berkurang kepada 4n bilangan per minit pada t minit. Cari nilai t.
(Jwp : 150)

[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================

4.2 Hukum Surd
4.2.1 Membanding beza nombor nisbah dan nombor tak nisbah, dan seterusnya
menghubungkaitkan surd dengan nombor tak nisbah.

===============================================================================

 penukaran bentuk perpuluhan berulang kepada bentuk pecahan

46 Ungkapkan perpuluhan jadi semula 0.969696 ….... dalam bentuk pecahan yang termudah. (Jwp : 32 )
33

[4 markah] [2004, No.12]

Jawapan :

47 Diberi h = 0.16 . . . ialah perpuluhan jadi semula dengan h dan k ialah suatu integer positif. Cari
k

nilai h + k. (Jwp : 7)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

48 Diberi p = 1.05456 ialah perpuluhan jadi semula. Ungkapkan p dalam bentuk pecahan yang termudah.

(Jwp : 35117 ) [4 markah] [Ramalan]
33300

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
 menghubungkaitkan surd dengan nombor tak nisbah ~ perpuluhan tidak berulang

49 Tandakan (  ) jika sebutan itu ialah surd, tandakan (  ) jika sebutan itu bukan surd.

(a) 8 (b) 3 120 (c) 4 4096 (d) 6 64 (e) 7 97
512 798

MINDA :

• surd → nombor dengan simbol radikal ( , 3 , . . . , n ) , mempunyai bilangan perpuluhan tak
terhingga dan tidak berulang (nombor tak nisbah ~ tidak boleh tukar kepada pecahan)

===============================================================================
4.2.2 Membuat dan mengesahkan konjektur tentang

(i) a  b (ii) a  b

dan seterusnya membuat generalisasi.
===============================================================================

50 Nyatakan nilai surd yang berikut dalam lima tempat perpuluhan :

3 5 35

 Generalisasi ~ untuk a > 0, b > 0 → a  b =

51 Nyatakan nilai surd yang berikut dalam lima tempat perpuluhan :

14  2 14  2

 Generalisasi ~ untuk a > 0, b > 0 → a  b =

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================
4.2.3 Mempermudahkan ungkapan yang melibatkan surd.

===============================================================================

 surd dalam bentuk a b , dengan keadaan a dan b ialah integer, and a ialah nilai paling

besar

52 Selesaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan saintifik kalkulator :

(a) Jika 2 = 1.41, cari nilai 32 . (Jwp : 5.64) [2 markah] [UEC, 1989, K1, No.12]

(b) Jika 60 = 7.7, cari nilai 540 . (Jwp : 23.1) [2 markah] [UEC, 1997, K1,

No.12]

Jawapan :

(a)

(b)

 penambahan dan penolakan (Jwp : 3 ) [2 markah] [UEC, 1982, K1, No.1]
53 Permudahkan ungkapan yang berikut : (Jwp : − 2 ) [2 markah] [UEC, 1992, K1, No.4]

(a) 12 − 3 (b)

(b) 32 − 50

Jawapan :
(a)

54 Permudahkan ungkapan yang berikut : (Jwp : 23 6 ) [2 markah] [UEC, 1990, K1, No.11]
(Jwp : −4 10 ) [2 markah] [UEC, 1994, K1,
(a) 5 24 + 4 54 + 6
(b)
(b) 10 − 90 − 40
No.15]

Jawapan :

(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

55 Permudahkan ungkapan yang berikut :

(a) 3 12 + 2 3 − 48 (Jwp : 4 3 ) [2 markah] [UEC, 1988, K1,
(Jwp : 4 5 ) [2 markah] [UEC, 2007, K1,
No.24]
(b)
(b) 45 + 125 − 2 20
No.39]

Jawapan :

(a)

56 Permudahkan : 2 18 + 3 8 + 3 32 − 50 (Jwp : 19 2 )

Jawapan : [2 markah] [UEC, 1996, K2, No.3(a)]

57 Permudahkan ungkapan yang berikut : 56
(a) 54 + 6 − 24
3 23 (Jwp : 6 ) [2 markah] [UEC, 1999, K2, No.4(a)]

(b) 48 − 3 27 + 243 17 3
2
(Jwp : 2 ) [2 markah] [UEC, 2008, K1, No.10]
Jawapan :
(a) (b)

58 (a) Permudahkan : 2 50 + 90 − 40 (Jwp : 10 2 + 2 10 ) [2 markah]
2

(b) Diberi 2 = 1.414, 3 = 1.732, cari 48 − 6  3 . (Jwp : 2.686) [2 markah]

Jawapan : [UEC, 2009, K2, No.5(b) / UEC, 2014, K1, No.11]
(a)
(b)
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 pendaraban

59 Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, cari

( )2 (Jwp : 14 − 4 6 ) [2 markah] [UEC, 1986, K1, No.15]

(a) 2 3 − 2 .

(b) 1 − 1 2 (Jwp : 3 − 2 ) [2 markah] [UEC, 2010, K1, No.12]
2  . 2

Jawapan : (b)
(a)

MINDA :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab (a + b)(a − b) = a2 − b2 a  a =a

60 Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, cari (Jwp : 13) [2 markah] [UEC, 1982, K1, No.2]

(a) (5 + 2 3 )(5 − 2 3 ) .

( ) ( )2 2 (Jwp : − 24 2 ) [2 markah] [UEC, 2010, K2,

(b) 2 2 − 3 − 2 2 + 3 .

No.4(a)]

Jawapan :

(a) (b)

61 Diberi a = 3 + 2 , b = 3 − 2 , cari nilai a2b − ab2. (Jwp : 14 2

) [3 markah] [UEC, 2014, K1, No.18]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================
4.2.4 Mempermudahkan ungkapan yang melibatkan surd dengan menisbahkan penyebut.

===============================================================================
 pembahagian 1

62 Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, permudahkan setiap yang berikut :

(a) 28 (Jwp : 2) [2 markah] [UEC, 1987, K1, No.19]
7

(b) 20 + 10 2 (Jwp : 2 10 + 2 5 ) [2 markah] [UEC, 1984, K1, No.9]
10

Jawapan : (b)
(a)

63 Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, permudahkan : 1 1  2 3 . (Jwp : 3 2 )
2

[2 markah] [UEC, 2002, K1, No.7]

Jawapan :

 pembahagian 2 ~ p a − q b surd konjugat p a +q b

64 Permudahkan setiap yang berikut :

(a) 1 ( )(Jwp1
5− 2 : 3 5+ 2 ) [2 markah] [klon UEC, 1985, K1, No.5]

(b) 1 (Jwp : 2 − 3 ) [2 markah] [UEC, 1995, K1, No.15]
3 +2

Jawapan : (b)
(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

65 Permudahkan setiap yang berikut :

(a) 2 (Jwp : 6 − 2 ) [2 markah] [UEC, 2006, K1,
No.3(a)] 6 +2 (Jwp : 10 + 6 ) [2 markah] [UEC, 2011, K1, No.10]

(b) 8 (b)
5− 3

Jawapan :
(a)

66 Diberi 2 = 1.414, 3 = 1.732, cari nilai 4. (Jwp : 12.584)
3− 2 [3 markah] [UEC, 2010, K1, No.8]

Jawapan :

 pembahagian 3 (Jwp : 3 + 2 2 ) [2 markah] [UEC, 1976, K1, No.10]
(Jwp : 3 − 2 2 ) [2 markah] [UEC, 1988, K1, No.25]
67 Permudahkan setiap yang berikut :
(a) 2 + 1 (b)
2 −1

(b) 2 − 1
2 +1

Jawapan :

(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

68 Permudahkan : 3+ 2 (Jwp : 5 + 2 6 )
3− 2
[2 markah] [UEC, 1998, K1, No.16]

Jawapan :

 pembahagian 4

69 Permudahkan setiap yang berikut : (Jwp : −2) [3 markah] [UEC, 2001, K2, No.3(b)]
(a) 8 + 2 (Jwp : 3) [3 markah] [UEC, 2013, K2,
1− 2
(b)
(b) 6+ 3− 8
No.2(a)] 6− 3

Jawapan :

(a)

2 1

(a) Permudahkan : 1 − 2 −
( )70 2 −1 (Jwp : 2 − 3 2 )

[3 markah] [UEC, 1995, K2, No.4(a)]

(b) Jika 3 = 1.732, cari nilai 1 + 3 + 2 . (Jwp : −12.928)

3−2

[4 markah] [UEC, 2003, K2, No.5(a)]

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 pembahagian 5

71 Permudahkan setiap yang berikut :

(a) 1 − 1 (Jwp : 3 2 +2 3
3 ) [3 markah] [UEC, 2000, K2, No.5(a)]
3− 2 3

(b) 1 − 1 (Jwp : 2) [3 markah] [UEC, 2008, K2, No.4(a)]
6−2 6 +2

Jawapan : (b)
(a)

72 Permudahkan setiap yang berikut :

(a) 1 − 1 (Jwp : 2 2 ) [3 markah] [UEC, 1993, K1, No.18]
3− 2 3+ 2 (Jwp : − 3 ) [3 markah] [UEC, 2012, K1, No.9]

(b) 1 − 1 (b)
5+ 3 5− 3

Jawapan :
(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 pembahagian 6

73 (a) Permudahkan : 5− 3 5+ 3 (Jwp : 8) [3 markah]
+
5+ 3 5− 3

(b) Ungkapkan 1 + 2 + 1 − 2 dalam sebutan a 5 + b 6 . (Jwp : 5 − 6 )

5+ 3 5− 3

[3 markah] [UEC, 2002, K2, No.5(b) / UEC, 1976, K2, No.3(b)]

Jawapan :

(a) (b)

74 Permudahkan : 3 − 2 + 4 + 3 65 − 16 2 + 11 3
5+ 2 7− 3 (Jwp : 46 )

Jawapan : [2 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

75 Diberi 3 = 1.732, cari nilai 3 + 1 − 1 dan betul kepada dua tempat perpuluhan.

3 −1 3 +1
(Jwp : 3.37) [4 markah] [UEC, 2009, K2, No.5(a)]

Jawapan :

 pembahagian 7

76 Permudahkan setiap yang berikut

(a) 6 + 1 − 3 1 (Jwp : 2 − 3 ) [3 markah] [UEC, 2004, K2, No.5(a)]
3
12 3 + 2

(b) 1+ 2− 3 (Jwp : 1− 3 ) [3 markah] [UEC, 2007, K2, No.4(a)]
2 −1 5 + 3 5 − 2

Jawapan : (b)
(a)

77 Permudahkan : 1 +1−2 (Jwp : 0)
2 + 3 1+ 2 1+ 3 [3 markah] [UEC, 2015, K2, No.4(a)]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================

4.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan surd.
===============================================================================

 selesaikan masalah 1 ~ masalah harian

( )78 Panjang dan lebar bagi sebuah segi empat tepat masing-masing ialah
5 + 2 cm dan

( )2 5 − 2 cm. Cari luas, dalam cm2, segi empat tepat itu dalam bentuk a + b 10 .

(Jwp : 8 + 10 ) [2 markah] [Ramalan]

Jawapan :

79 Rajah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak PQR. (Jwp : 5 − 3 2 )
R (Jwp : 86

P ( 5 + 3 2 ) cm Q [4 markah] [Ramalan]
Diberi bahawa luas segi tiga PQR ialah 7 cm2. Cari

2

(a) tinggi, dalam cm, segi tiga itu dalam bentuk a + b 2 ,

(b) panjang, dalam cm, PR.
)

Jawapan :
(a)

(b)
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 selesaikan masalah 2 ~ selesaikan persamaan 1

80 Selesaikan persamaan 3 + 2 y = 4 5 + 1, ungkapkan jawapan anda dalam bentuk a + b 5 ,

dengan keadaaan a dan b ialah nombor nisbah. (Jwp : 21− 4 5 )
Jawapan :
[3 markah] [Ramalan]

5 x = x + 8 , cari nilai x dalam bentuk a 10 + 2
81 Jika . (Jwp : 2)
b

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)
82 Rajah menunjukkan tiga bulatan.

P
Q

MN

Bulatan dengan pusat P berjejari 2 cm, dan bulatan dengan pusat Q berjejari 1 cm. MN ialah tangent
sepunya dan semua bulatan adalah bersentuhan antara satu sama lain. Cari jejari, dalam cm, bulatan

yang paling kecil dalam bentuk a + b 2 . (Jwp : 6 − 4 2 )

[4 markah] [Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : 4)
 selesaikan masalah 3 ~ selesaikan persamaan 2 [4 markah] [Ramalan]

83 Selesaikan persamaan : x = 10 − 3 x

Jawapan :

84 Selesaikan persamaan : 2x + 2 − 7x = 0 (Jwp : −2)
[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

85 Selesaikan persamaan : 3 + 5x2 − 19 = 2x (Jwp : 2)
Jawapan : [4 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (Jwp : − 3 , 1 )
4 4
86 Selesaikan persamaan : 4x + 3 + 1 − 4x = 2
[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

87 Selesaikan persamaan : 3 1 − x − 3x − 2 = 1 (Jwp : 3
4
)
[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

88 Selesaikan persamaan : x − 3 + x + 5 = 2x + 8 (Jwp : 4)
[4 markah] [Ramalan]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================

4.3 Hukum Logaritma

4.3.1 Menghubungkaitkan persamaan dalam bentuk indeks dengan bentuk logaritma, dan
seterusnya menentukan nilai logaritma sesuatu nombor.

===============================================================================
89 Lengkapkan yang berikut :

y = ax y y = ax f(x) = ax

=x O x
y=x
a > & a
y>

ao = 1  HINT loga ax =
a1 = a  aloga x = log10 a =

90 Tukarkan bentuk indeks yang berikut kepada bentuk logaritma dan sebaliknya :

Asasa 2 Asas 3 Asas 5

Indeks Logaritma Indeks Logaritma Indeks Logaritma

2−4 = 1 −4 = log3 1 5−4 = 1
16 81 625

2−2 = 1 −3 = log2 1 3−3 = 1 5−2 = 1 −3 = log5 1
4 8 27 25 125

3−1 = 1 −2 = log3 1
3 9

−1 = log 2 1 −1 = log5 1
2 5

20 = 1 0 = log3 1 50 = 1

1 = log2 2 31 = 3 1 = log5 5

22 = 4 2 = log3 9 52 = 25

3 = log2 8 33 = 27 3 = log5 125

24 = 16 4 = log3 81 54 = 625

5 = log2 32 35 = 243 5 = log5 3125

26 = 64 6 = log3 729

7 = log2 128 37 = 2187 3 = logx x3

28 = 256 8 = log3 6561 2 = logx x2

9 = log2 512 1 = logx x

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

210 = 1024 −2 = −1 = 0 = logx x0

logx x−2 logx x−1

91 Nilaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan saintifik kalkulator :

(a) log2 1  log5 1 (Jwp : 9) [2 markah] [UEC, 2015, K1, No.19]
8 125

(b) 1 − log3 3 (Jwp : 1 ) [2 markah] [UEC, 1998, K1, No.18]
log5125 + log2 4 2

Jawapan :

(a) (b)

92 Nilaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan saintifik kalkulator :

( )(a) log 10 10 − log2 0.25 (Jwp : 7 )
2

[2 markah] [UEC, 1992, K1, No.5 / UEC, 2001, K1, No.15]

(b) 2 log27 3 − log2  1 3 (Jwp : 11 ) [2 markah] [klon UEC, 2011, K1, No.19]
 2  3

Jawapan :

(a) (b)

93 Nilaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan saintifik kalkulator :

(a) log25 5 + log5 25 − log25 1 (Jwp : 3) [2 markah] [UEC, 1993, K1, No.21]
5

(b) 1 log81 9 + 3log16 2 + log9 1 (Jwp : 0) [2 markah] [UEC, 2014, K1, No.19]
2 9

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

94 Selesaikan setiap yang berikut :

(a) log 343 x = 1 (b) lg x = −2 (c) log x 7776 = 5 (d) log x 1 = −4
3 (0.01) (6) 81

(7) (3)

95 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 81) [2 markah]
(Jwp : 2) [2 markah]
(a) log3 k = 2
(b) logn2 16 = 2 [Ramalan]
(b)
Jawapan :
(a) (Jwp : 1) [3 markah]
(Jwp : 625) [2
96 Selesaikan setiap yang berikut : [Ramalan]

(b) log27 3y2 = 1 (b)
3

(a) log5 (log5 x) = log5 4

markah]

Jawapan :

(a)

97 Selesaikan setiap yang berikut : (Jwp : 1000) [3 markah] [UEC, 1987, K1, No.18]
(a) 3log10 x = 27 (Jwp : 4) [3 markah] [Ramalan]

(b) log 1+t 10 = 10. (b)
JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH
5

Jawapan :

(a)

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) ( Jwp :
[2 markah] [Ramalan]
98 Selesaikan persamaan lg x = 10lg 3 .
1000)
Jawapan :

99 (a) Diberi log10 a = −2b, ungkapkan 100b dalam sebutan a. (Jwp : 1 )
a

[3 markah] [UEC, 2012, K1, No.11]

( )x (Jwp : 2) [3 markah] [Ramalan]

(b) Diberi x = log5 4 . Cari nilai 5 .

Jawapan : (b)
(a)

100 Diberi log2 x = 0.66 and log2 y = 1.68, cari nilai x2y. (Jwp :
8) [3 markah] [UEC, 2007, K1, No.29]

Jawapan :

101 Diberi log3 log2 (2x − 1) = log2 4 , cari nilai x. (Jwp : 256 1 )
2
Jawapan :
[3 markah] [Ramalan]

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

102 Diberi log 3 (m + 3) = n dan log2 (m − 4) = n −1. Tunjukkan bahawa m2 − m − 12 = 1 × 6n.
2

[3 markah] [Ramalan]
Jawapan :

103 Dengan menggunakan saintifik kalkulator, lengkapkan setiap yang berikut :
y = log10 x

x 300 3 0.003

y 3.477 1.477 −0.523 −1.523

===============================================================================
4.3.2 Membuktikan hukum logaritma.

===============================================================================
104 Lengkapkan yang berikut :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

x = ap y = aq

~ bentuk logaritma

xy = ( ) ( ) x= xn = ( )n
xy = a y xn =
x =a
y

( Hukum hasil darab ) ( Hukm hasil bahagi ) ( Hukum kuasa )

Jika a, x, y ialah positif dan a  1 (Jwp : 16) [2 markah]
 guna hukum ~ bentuk 1 (Jwp : 3) [3 markah]

105 (a) Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, cari nilai 5 2log5 4 . [Ramalan]
(b) Selesaikan persamaan 27 = 8 log2x .

Jawapan :

(a) (b)

106 Permudahkan setiap yang berikut : (Jwp : −3) [2 markah] [UEC, 2004, K1, No.17]
(a) log x3  log 1 (Jwp : 2 log 5 ) [2 markah] [UEC, 1988, K1,
x
(b) log 5 + log125 (b)
2 JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH
No.20]

Jawapan :

(a)

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

 guna hukum ~ bentuk 2

107 Diberi log 2 = 0.301 dan log 7 = 0.845, cari nilai bagi logaritma yang berikut :

(a) log 2000 (Jwp : 3.301) [2 markah]

(b) log 0.07 (Jwp : −1.155) [2 markah]
Jawapan : [Ramalan]

(a) (b)

108 Diberi log5 2 = 0.43 dan log5 7 = 1.21, cari nilai bagi logaritma yang berikut :

(a) log5 70 (Jwp : 2.64) [3 markah]

(b) log5 1.6 (Jwp : 0.29) [3 markah]
Jawapan : [Ramalan]

(a) (b)

109 Diberi log 2 = 0.3010 dan log 3 = 0.4771, cari nilai bagi logaritma yang berikut :

(a) log 15 (Jwp : 1.1761) [3 markah]

(b) log 0.4444 . . . (Jwp : −0.3522) [4 markah]
Jawapan : [UEC, 2015, K2, No.3(a) / Ramalan]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

110 Diberi log 2 = 0.301 dan log 3 = 0.477, cari nilai bagi logaritma yang berikut :

(a) log 12 − log 1.5 (Jwp : 0.903) [3 markah] [UEC, 2003, K2, No.5(b)(i)]

(b) log 2 + 1 log 64 (Jwp : 0.426) [4 markah] [UEC, 2012, K2, No.3(b)]
33

Jawapan :

(a) (b)

111 Permudahkan : log 400 − (400 25)0 (Jwp : log 2)
log5 25 [3 markah] [UEC, 2008, K1, No.15]

Jawapan :

 guna hukum ~ bentuk 3

112 Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, permudahkan setiap yang berikut :

log 9 + log 25 (Jwp : 2) [3 markah] [UEC, 2000, K2 No.5(b)]
(a)

log15

(b) log3(2 7 + 1) + log3(2 7 − 1) . (Jwp : 3) [3 markah] [UEC, 1996, K1

No.19]

Jawapan :

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

113 Permudahkan setiap yang berikut : (Jwp : 2) [3 markah] [UEC, 1997, K1 No.23]
(a) log2 x2 + log2 y2 (Jwp : 3) [3 markah] [Ramalan]
log2 xy
(b) log m 8 − 6 log m 3 . (b)
log m 2 − log m 9

Jawapan :

(a)

114 Nilaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan saintifik kalkulator :

(a) 3 log3 81 − log3 361.5 + 1 log3 64 (Jwp : 0) [4 markah] [UEC, 2008, K2, No.4(c)]
4 2

(b) log3 324 − 3log3 2 + 1 log3 4 (Jwp : 2) [3 markah] [UEC, 2010, K2, No.3(b)]
2 81

Jawapan :

(a) (b)

 guna hukum ~ KBAT (Jwp : 1)
[3 markah] [UEC, 2006, K2, No.1(c)]
115 Cari nilai (log 5)2 + (log 2) (log 50) .

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

116 Jika a2 + b2 = 6ab, buktikan bahawa log  a − b  = 1 (log a + log b) .
 2 
2

[4 markah] [UEC, 1979, K2, No.6(c)]

Jawapan :

117 (a) Diberi 23x = 9(32x). Buktikan bahawa x log p 8 = log p 9 . [4 markah]
(b) 9
[4 markah]
Diberi 3m = 12n. Tunjukkan bahawa log2 3 = 2n . [Ramalan]
m−n

Jawapan :

(a) (b)

118 (a) Diberi log5 3 = k . Jika 52λ − 1 = 15, ungkapkan λ dalam sebutan k. (Jwp : λ = k + 2 )

2

[3 markah]

(b) Diberi log3 5 = 1.465. Tanpa menggunakan saintifik kalkulator, selesaikan persamaan
5 (3x − 2) = 5 .
(Jwp : 1.2675) [3 markah]
Jawapan : [Ramalan]

(a) (b)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472)

===============================================================================

4.3.3 Mempermudah ungkapan algebra dengan menggunakan hukum logaritma.
===============================================================================

 permudahkan 1

119 Permudahkan setiap yang berikut : (Jwp : log10  p3  ) [3 markah]
(a) 3log10 p − 2  100 
(b) 2 log2 x − 9log2 3 x + log2 (2x + 1)
Jawapan : ( )(Jwp : log2
2x+1 ) [3 markah]
x

[Ramalan]

(a) (b)

120 Permudahkan setiap yang berikut :

(a) log9 x − 2 log9 y + 1 (Jwp : log9  3x  ) [3 markah]
2  y2 

(b) 3 + log 2 x + 1 log 2 y − 2 log 2 (x − y) [ Jwp : log2 ( 8x y )] [3 markah]
2 (x − y)2

[Ramalan]

Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH

MODUL TINGKATAN 4 MATEMATIK TAMBAHAN (3472) (b)
(a)

 permudahkan 2

121 (a) Jika log10 2 = a, ungkapkan log10 25 dalam sebutan a. [Jwp : 2(1 − a)]
(b)
[3 markah] [UEC, 1987, K1 No.20]

Diberi log10 25 = p, ungkapkan log10 50 dalam sebutan p. (Jwp : 1 p +1
) 2

[3 markah] [Ramalan]

Jawapan :

(a) (b)

122 Diberi log5 2 = m and log5 7 = p , ungkapkan log5 4.9 dalam sebutn m dan p. (Jwp : 2p − m − 1)
[4 markah] [2004, No.8]

Jawapan :

123 Diberi logm 2 = p and logm 3 = r , ungkapkan log m  27m  dalam sebutan p dan r. (Jwp : 3r −
 4 

2p + 1). [4 markah] [2005, No.9]
Jawapan :

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI SABAH