MATEMATIKA ITU GAMPANG

1 BAB I Pendahuluan A. Mengapa Kita Belajar Tentang Bilangan? Setiap hari kita pasti akan berhubungan dengan angka, yang merupakan lambang dari bilangan. Kita akan menemukan angka dalam setiap aktivitas keseharian kita. Kita bangun tidur pasti akan melihat angka pada jam, mau berangkat sekolah melihat jam. Kita setiap kali juga melihat angka pada kalender agar tidak kehilangan momen penting dalam hidup kita. Di jalan kita melihat plat nomer kendaraan di depan dan belakang mobil atau sepeda motor. Ketika jalanjalan di mall kita akan menjumpai label hargaharga barang dalam angka-angka. Kita pun berurusan dengan angka ketika menggunakan telepon atau handphone. Mengukur panjang benda kita menggunakan penggaris yang juga menggunakan angka-angka untuk menunjukkan ukuran panjang. Pun ketika kita menimbang berat badan, kita akan mencari satu angka yang menunjukkan berat badan kita. Bayangkan saja seandainya kita tidak memahami angka-angka itu. Apa yang akan terjadi dengan diri kita? Kita tidak tahu apa-apa, mudah ditipu daya dan tentu saja kita tidak bisa berinteraksi dengan baik dengan banyak orang. Maka mempelajari tentang bilangan menjadi hal yang penting bagi kita.

2 Bilangan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari kita. Berikut ini adalah kegunaan bilangan. ❖ Bilangan digunakan untuk menghitung Contoh: ▪ Pada awal tahun ajaran baru ini Budi membeli 18 buku tulis, 2 pensil, 3 pulpen dan 1 penggaris. ▪ Jumlah penduduk DKI Jakarta berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2010 adalah 9.607.787 ❖ Bilangan digunakan untuk mengukur Contoh: ▪ Dalam pelajaran olahraga, Andi berlari menempuh jarak 100 m dalam waktu 15 detik. ▪ Ayah menerima kiriman paket buku seberat 1,6 kg. ❖ Bilangan digunakan untuk menunjukkan sesuatu dalam sistem referensi Contoh: Situasi Jenis Sistem Referensi Suhu normal ruangan adalah 21o C Nishita lahir pada 13 Juli 2002 Saat ini pukul 9.25 WIB Skala temperature Celcius Kalender Waktu ❖ Bilangan dapat digunakan untuk membandingkan jumlah atau ukuran Contoh: ▪ Berat badan ayah dua kali berat badan Rhisang ▪ Jumlah murid perempuan di kelas VB 1,5 kali lebih banyak daripada jumlah murid laki-laki. Sumber gambar: http://imajinasikankelasm u.a2tworeasurehunt.com

3 ❖ Bilangan dapat digunakan untuk identifikasi dan sebagai kode Contoh: ▪ Nomer telepon (021) 76543210 ▪ Kode pos 55584 ▪ NISN 0020946085 ▪ Nomor KTP 3404112305750005 B. Sekilas Sejarah Bilangan Bilangan dan ilmu hitung itu sudah ada sejak jaman kuno. Boleh dikatakan sejarah berhitung itu sendiri sudah setua peradaban manusia. Sejak zaman batu tua atau paleolitikum, ketika manusia hidup sepenuhnya hanya menggantungkan pada alam dan berpindah dari satu tempat ke tempat lain, sudah mengenal berhitung. Awalnya mereka menggunakan benda-benda seperti batu kerikil, ranting pohon untuk menghitung, kemudian berkembang menggunakan jari tangan. Namun waktu itu masih sekedar membedakan satu dan banyak. Pada zaman neolitikum, ketika manusia mulai hidup menetap dan membentuk kelompok atau koloni kemampuan berhitungnyapun mulai berkembang. Konon pada zaman ini manusia mulai bercocok tanam. Cara menulis dan berhitung mulai dikenal manusia untuk kepentingan tertentu, seperti untuk mengetahui jumlah anggota kelompok, membagi hasil panen, menghitung banyaknya ternak yang dimiliki dan lain sebagainya. Koloni-koloni itu makin lama makin membesar, membentuk suku bangsa. Menurut sejarah, banyak suku bangsa-suku bangsa yang bermukim sepanjang sungaisungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, membuat irigasi untuk mengolah tanah Sumber gambar: Dokumen Pribadi

4 sepanjang sungai menjadi daerah pertanian. Oleh karena itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Perdagangan pun mulai dikenal seiring perkembangan peradaban sehingga muncul persoalan berkaitan dengan pembayaran, keuangan maupun pungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan. Persoalan-persoalan itu menuntut bilangan diberi nama dan perhitungan pun tidak hanya terdiri dari “satu” atau “banyak”. Beberapa bangsa kuno menggunakan dasar 2 untuk perhitungan, yaitu 1, 2, 2.1, 2.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.2.1, 2.2.2.2, dan seterusnya. Ada juga bangsa kuno lainnya yang menggunakan dasar 3 dalam perhitungan, yaitu 1, 2, 3, 3.1, 3.2, 3.3, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.3.3.1, 3.3.3.2, 3.3.3.3, dan seterusnya. Suku bangsa yang lebih maju menggunakan dasar 20 atau sejumlah jari tangan dan kaki untuk menghitung. Sistem bilangan dengan dasar 20 ini masih tercermin dalam kata-kata Perancis untuk 80 dan 90 sebagai “quatre.vingt” (empat.duapuluh) dan “quatre.vingt.diks” (empat.duapuluh.sepuluh). Dalam sistem mata uang Inggris 1 Pound Sterling terdiri dari 20 shiling. Bangsa Mesopotamia menggunakan sistem bilangan dengan dasar 60 atau dikenal sebagai sesagesimal. Besar kemungkinan sistem bilangan ini berasal dari kelipatan bilangan dua belas, sedangkan bilangan dua belas itu sendiri berasal dari jumlah bulan dalam setahun. Contoh sistem bilangan dengan dasar 60 ini masih kita gunakan dalam satuan waktu. 1 jam sama dengan 60 menit, 1 menit 60 detik. Contoh lain sebuah lingkaran terbagi menjadi enam kali enam puluh derajat. Ada juga para pedagang yang menggunakan kerikil ditumpuk untuk menyatakan jumlah nilai pembayarannya. Metode yang lebih maju dapat dilihat di China, dimana untuk perhitungan mereka menggunakan abacus (sempoa). Alat hitung ini pada akhirnya banyak dijumpai dari Hongkong hingga Teheran. Sumber gambar: http://budy-jazz.blogspot.com/2013/08/sempoa-kuno-kayu-swanci.html

5 Masyarakat Romawi kuno sudah mempunyai lambang bilangan sendiri yang sudah kita kenal dan hingga kini masih digunakan, seperti I, II, III, IV, V dan seterusnya. Konon di Negeri Timur, orang-orang India telah mengenal lambang bilangan yang seperti kita kenal saat ini, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lambang bilangan ini terkenal dengan nama bilangan Arab, karena yang membawa lambang bilangan ini ke dunia Barat dan akhirnya ke seluruh dunia adalah orang Arab. Setelah melalui perjalanan sejarah yang panjang dan disempurnakan dengan melengkapinya dengan satu lambang bilangan baru, yaitu “0” (nol), kini lambang bilangan ini kita kenal sebagai bilangan desimal. Cara penggabungan bilangan tidak semudah kelihatannya. Cara penggabungan bilangan ini membutuhkan waktu beberapa abad. Sebagai contoh 12 yang terdiri dari satu yang merupakan angka puluhan dan dua adalah angka satuan. Penempatan setiap angka dalam suatu deretan menetukan nilainya. Notasi bilangan seperti ini disebut notasi posisional. Dalam sistem berhitung kita saat ini, sistem notasi posisional yang digunakan adalah 10. Perkembangan teori bilangan dan sistem notasi posisional ini telah membawa suatu manfaat yang sangat besar bagi kita untuk melangkah lebih jauh ke dunia hitung yang lebih kompleks. Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Sumber gambar: http://w2- evolution.blogspot.com/2013/02 /cara-mengerjakan-bilanganromawi.html

6 Bab II Bilangan Dan Lambangnya A. Lambang Bilangan Seperti sudah disinggung di depan, bilangan digunakan untuk menyatakan banyaknya benda. Bilangan merupakan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. Sebagai contoh kumpulan ayam yang ada di halaman. Contoh : Banyaknya anggota ayam yang ada di halaman, misalkan disebut himpunan A dinyatakan dengan bilangan, yaitu “dua”. Demikian juga untuk semua himpunan lain yang memiliki anggota yang banyaknya sama dengan himpunan A, bilangannya sama, yaitu dua. Suatu bilangan dinyatakan dengan lambang bilangan. Lambang bilangan itu sering disebut juga dengan angka. Pada contoh di atas, lambang bilangan ‘dua’ adalah angka ‘2’. Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan dan lambangnya. Contoh : Nama Bilangan Lambang Bilangan Nol 0 Tiga 3 Delapan 8 Empat puluh lima 45 Seratus enam puluh dua 162 Tujuh ribu sembilan ratus dua puluh empat 7.924 Dua Ratus Delapan Ribu Sembilan Ratus Tiga Puluh Satu 208.931 A = { }

7 Sistem bilangan yang kita pergunakan adalah sistem desimal, karena menggunakan basis (dasar) sepuluh, dimana penulisan lambang bilangan didasarkan pada pengelompokan sepuluh-sepuluh. Contoh : 14 adalah 1 kelompok sepuluh dan 4 satuan 14 bisa ditulis dengan : 14 = 10 + 4 27 adalah 2 kelompok sepuluh dan 7 satuan 27 bisa ditulis dengan : 27 = (2 x 10) + 7 125 adalah 1 kelompok seratus, 2 kelompok sepuluh, dan 5 satuan. 125 dapat ditulis dengan: 125 = (1 x 100) + (2 x 10) + 5 Catatan: 100 = 10 x 10, dengan kata lain setiap10 kelompok sepuluh akan menjadi seratus 1000 = 10 x 100, dengan kata lain setiap 10 kelompok seratus menjadi seribu dan seterusnya. Contoh : Pada bilangan 2.563 ▪ Angka 2 menunjukkan 2 ribuan ▪ Angka 5 menunjukkan 1 ratusan ▪ Angka 6 menunjukkan 6 puluhan ▪ Angka 3 menunjukkan 3 satuan Sehingga 2.563 juga bisa ditulis dengan: 2.563 = 2.000 + 500 + 60 + 3 = (2 x 1000) + (5 x 100) + (6 x 10) + 3 Tahukah Kamu? Kata desimal berasal dari bahasa latin “decima” yang berarti sepuluh atau per sepeluh. Meskipun terdapat berbagai sistem dasar bilangan, namun sistem desimal yang paling dikembangkan. Hal ini karena manusia memiliki sepuluh jari tangan dan sepuluh jari kaki, sehingga suatu bilangan akan mudah di bilang dengan tangan atau kaki.

8 B. Nilai Tempat Setiap bilangan, tidak masalah seberapa besar atau kecilnya bilangan itu dapat ditulis dengan menggunakan satu atau lebih dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nah, nilai tempat digunakan untuk menunjukkan nilai masing-masing angka dalam suatu bilangan. Tempat untuk suatu angka adalah posisi angka itu dalam bilangan. Nilai dari suatu angka adalah berapa besar nilai angka itu menurut tempatnya dalam suatu bilangan. Untuk membantu memahami nilai tempat, kita bisa menggunakan potonganpotongan lidi dengan panjang yang sama. Caranya, potongan-potongan lidi itu diikat dengan tali atau karet gelang, dimana setiap ikatan terdiri dari 10 potongan lidi. Buatlah ikatan sepuluhan ini yang cukup banyak, agar bisa digunakan untuk bilangan-bilangan yang cukup besar. Selain yang diikat sepuluh-sepuluh, sisakan juga potongan-potongan lidi yang tidak diikat/lepas. Nah, potongan-potongan lidi yang lepas ini dapat dianggap mewakili angka satuan, sedangkan ikatan sepuluhan dianggap mewakili angka puluhan. Untuk angka ratusan kita dapat membentuk ikatan dari ikatan-ikatan sepuluhan sebanyak sepuluh ikatan dan mengikatnya menjadi satu. Ikatan yang terdiri dari sepuluh ikatan sepuluhan ini dianggap mewakili angka ratusan. Demikian juga kita bisa membentuk ikatan dari ikatan-katan seratusan sebanyak sepuluh ikatan dan mengikatnya menjadi satu, sehingga terbentuk ikatan seribuan yang bisa mewakili angka ribuan. Demikian seterusnya, setiap sepuluh ikatan seribuan membentuk ikatan sepuluh ribuan, setiap sepuluh ikatan sepuluh ribuan menbentuk ikatan seratus ribuan dan seterusnya. Sebagai contoh 237. Bilangan ini dapat diwakili oleh dua ikatan seratusan, tiga ikatan puluhan dan tujuh lidi lepas. Atau bisa kita nyatakan sebagai berikut: Sumber gambar: Dokumen Pribadi

9 237 = 2 ikatan seratusan + 3 ikatan sepuluhan + 7 lidi lepas Dari ilustrasi ini, maka dengan mudah kita pahami bahwa: 237 = 200 + 30 + 7 Dari sini tampak bahwa tempat atau posisi angka 2 pada bilangan 237 adalah ratusan dan nilai dari angka 2 itu adalah 200 (2 x 100). Tempat atau posisi angka 3 pada bilangan 237 adalah puluhan dan nilai dari angka 3 itu adalah 30 (3 x 10). Sedangkan tempat atau posisi angka 7 pada bilangan 237 adalah satuan dan nilainya 7 (7 x 1). Selanjutnya kita dapat menulis dan membaca suatu bilangan dengan memperhatikan nilai tempat angka-angkanya. Untuk itu, perhatikan contoh berikut ini. Contoh : Puluhan ribu Ribuan ratusan puluhan Satuan 5 3 4 2 8 Bilangan 53.428 dibaca lima puluh tiga ribu empat ratus dua puluh delapan. Lambang bilangan 53.428 terdiri dari 5 angka, dapat ditulis dalam bentuk panjang sebagai berikut: 53.428 = 50.000 + 3.000 + 400 + 20 + 8 Pada bilangan 53.428 tampak bahwa : ▪ tempat atau posisi angka 5 pada bilangan itu adalah puluhan ribu dan nilai dari angka 5 tersebut adalah 50.000 (5 x 10.000). ▪ tempat atau posisi angka 3 pada bilangan itu adalah ribuan dan nilai dari angka 3 tersebut adalah 3.000 (3 x 1.000). ▪ tempat atau posisi angka 4 pada bilangan itu adalah ratusan dan nilai dari angka 4 tersebut adalah 400 (4 x 100). ▪ tempat atau posisi angka 2 pada bilangan itu adalah puluhan dan nilai dari angka 2 tersebut adalah 20 (2 x 10). ▪ tempat atau posisi angka 8 pada bilangan itu adalah satuan dan nilai dari angka 8 tersebut adalah 8 (8 x 1). Pada bilangan yang besar bisaanya angka-angka yang membentuknya dikelompokkan setiap tiga angka dan dipisahkan dengan menggunakan tanda titik (.) Tanda titik ini membantu itu untuk mengenali ribuan, jutaan, milyaran dan trilyunan. Perhatikan contoh berikut ini.

10 Bilangan 807.265.359 dibaca 807 juta, 265 ribu, 359 (delapan ratus tujuh juta, dua ratus enam puluh lima ribu, tiga ratus lima puluh sembilan) Jutaan ribuan satuan 100 10 1 . 100 10 1 . 100 10 1 8 0 7 . 2 6 5 . 3 5 9 Contoh lain : Trilyunan Milyaran Jutaan Ribuan Satuan 100 10 1 . 100 10 1 . 100 10 1 . 100 10 1 . 100 10 1 1 2 5 . 6 0 3 . 7 8 9 . 4 2 5 . 3 0 8 Bilangan 125.603.789.425.308 dibaca 125 trilyun, 603 milyar, 789 juta, 425 ribu, 308 Catatan: Penggunaan tanda titik (.) untuk memisahkan setiap kumpulan tiga angka pada bilangan yang besar, tidak lazim digunakan oleh banyak negara lain. Banyak negara menggunakan tanda koma (,) sebagai pemisah setiap kumpulan tiga angka pada bilangan besar. Tanda titik (.) dipakai untuk bilangan pecahan. Sebaliknya di Negara kita tanda koma yang dipakai pada bilangan pecahan. Sebagai contoh enam setengah ditulis 6.5, tetapi di Indonesia ditulis 6,5. C. Lambang Bilangan Romawi Lambang bilangan Romawi atau angka Romawi merupakan sistem bilangan yang berasal dari Romawi kuno. Sistem bilangan ini menggunakan huruf Latin untuk melambangkan angka. Angka Romawi sampai sekarang ini masih sangat umum digunakan, antara lain digunakan pada jam, bab buku, penomoran sekuel film, penomoran seri kegiatan olahraga seperti Olimpiade.

11 Berikut ini beberapa simbol dasar dalam sistem bilangan Romawi : Simbol Mewakili bilangan I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Lambang bilangan lain ditulis dengan menggunakan simbol dasar tersebut dengan aturan tertentu. 1) Bila lambang sebuah bilangan ditulis dengan dua angka sedangkan angka yang disebelah kanannya mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka yang disebelah kirinya, maka arti penulisan lambang bilangan tersebut adalah jumlah. Contoh : XV mewakili bilangan 15 sebab V mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lambang bilangannya X dan V di sebelah kanan bilangan yang lambang bilangannya X. Dengan demikian XV sama dengan penjumlahan lima dengan sepuluh yang sama dengan lima belas. 2) Bila lambang sebuah bilangan ditulis dengan dua angka sedangkan angka yang di sebelah kirinya mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka yang disebelah kanannya, maka arti penulisaan lambang bilangan tersebut adalah selisih. Contoh: ▪ IV mewakili bilangan 4 sebab I mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lambang bilangannya V dan I di sebelah kiri bilangan yang lambang bilangannya V. Dengan demikian IV sama dengan selisih satu dengan lima yang sama dengan empat. Tabel 2.1 : Tabel lambang bilangan Romawi

12 ▪ XL mewakili bilangan 40 sebab X mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lambang bilangannya L dan X di sebelah kiri bilangan yang lambang bilangannya L. Dengan demikian XL sama dengan selisih sepuluh dengan lima puluh yang sama dengan empat puluh. Catatan: Pada aturan pengurangan ini, I hanya dapat dikurangkan dari V dan X, X hanya dapat dikurangkan dari L dan C, dan C hanya dapat dikurangkan dari D dan M. Dengan demikian 99 tidak dapat dituliskan sebagai 100 − 1 yaitu IC, tetapi harus ditulis sebagai 90 + 9 = (100 − 10) + (10 − 1), yaitu XCIX. 3) Bila dua angka atau lebih yang sama nilainya ditulis berdampingan, simbol penulisan tersebut berarti jumlah. Contoh: ▪ II berarti 1 + 1 = 2 ▪ XX = 10 + 10 = 20 Tetapi jangan menulis VV untuk menulis sepuluh sebab sistem bilangan Romawi menggunakan dasar sepuluh. Penulisan lambang bilangan Romawi yang ditulis secara berturut-turut, paling banyak tiga kali dan khusus untuk bilangan I, X, C, dan M. 4) Untuk memberi nama bilangan-bilangan besar digunakan prinsip perkalian. Jika suatu lambang bilangan diberikan tanda strip atau coretan di atas lambang bilangan berarti perkalian. Sebuah coretan di atas X, C, M, XX, atau yang lainnya menunjukkan seribu kali dari nilai bisaa. Contoh: ▪ artinya 1000 x 10 atau 10.000 ▪ artinya 1000 x 100 atau 100.000 ▪ artinya 1000 x 1000 atau 1.000.000 ▪ artinya 1000 x 9 atau 9.000 X C M IX

13 5) Dua coretan di atas V, X, C, atau yang lainnya menunjukkan perkalian dengan sejuta. Contoh: ▪ artinya 1.000.000 x 10 atau 10.000.000 ▪ artinya 1.000.000 x 100 atau 100.000.000 ▪ artinya 1.000.000 x 1000 atau 1.000.000.000 ▪ artinya 1.000.000 x 9 atau 9.000.000. Contoh 1. Untuk mengubah bilangan 128 dalam lambang bilangan Romawi dapat dilakukan sebagai berikut: 128 = 100 + 20 + 8 = 100 + 10 + 10 + 5 + 3 Dalam lambang bilangan Romawi ditulis : CXXVIII 2. Untuk mengetahui XLIX merupakan lambang bilangan berapa, dapat dilakukan dengan cara berikut: XLIX = XL + IX = L - X + X – I = 50 – 10 + 10 – 1 = 40 + 9 = 49 D. Jenis-Jenis Bilangan Bilangan dapat dikelompokkan ke dalam beberapa jenis bilangan. Kiranya baik jika kita terlebih dahulu mengenal jenis-jenis bilangan tersebut, agar kita memiliki gambaran dan pemahaman secara utuh tentang bilangan, sebelum nantinya secara khusus kita membicarakan tentang bilangan bulat yang menjadi pokok bahasan buku ini. Nah, jenisjenis bilangan tersebut adalah sebagai berikut: 1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang anggota-anggotanya terdiri dari bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif. Ditulis: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 2. Bilangan Cacah Bilangan cacah adalah bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif dan nol. Ditulis: C = {0,1,2,3,4,5,6,....} X C M IX

14 3. Bilangan Asli Bilangan asli adalah bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. Ditulis: N = {1,2,3,4,5,6,......} 4. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari satu yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan bilangan satu. Ditulis: P = {2,3,5,7,11,13,....} 5. Bilangan Komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor. Ditulis: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, …} 6. Bilangan Rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk Q = dengan m dan n bilangan bulat. Contoh: , , 0.25, 4, -5 Bilangan rasional dapat juga dinyatakan bilangan desimal terbatas atau desimal berulang tidak terbatas. Contoh: = -0.5 adalah desimal terbatas = 0.66666… adalah desimal berulang tak terbatas 7. Bilangan Irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dari bilangan bulat dengan bilangan asli. Contoh: , , . 8. Bilangan Real. Bilangan real adalah gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional. Contoh: , 2, log 2. 9. Bilangan Imajiner Bilangan imajiner atau bilangan tidak nyata dilambangkan dengan i. Bilangan imajiner i didefinisikan sebagai , sehingga i² = -1. Contoh: i, 4i, 5i n m 2 1 − 3 2 2 1 − 3 2 2 3 2 2 1 −1

15 10. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan real dan bilangan imajiner. Bilangan kompleks secara umum dinyatakan sebagai (a + bi) dimana a, b R, i² = -1, dengan a bagian riil dan bi bagian imajiner. Contoh: 2-3i, 8+2i E. Skema Bilangan Dari jenis-jenis bilangan di atas dapat dibuat skema bilangan sebagai berikut. Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Bulat Negatif Bilangan Cacah Bilangan Nol Bilangan Asli Bilangan Prima Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Komposit

16 Dari skema bilangan di atas, kita dapat mengetahui hubungan antara jenis suatu bilangan dengan jenis bilangan yang lain. Sebagai contoh, dari skema di atas tampak bahwa bilangan asli merupakan bagian dari bilangan cacah. Artinya setiap anggota bilangan asli pasti merupakan anggota bilangan cacah. Hubungan ini ditunjukkan oleh tanda anak panah, bahwa bilangan cacah terbagi menjadi dua, yaitu bilangan nol dan bilangan asli. Demikian juga tampak bahwa bilangan cacah merupakan bagian dari bilangan bulat, sehingga kita bisa mengatakan bahwa setiap anggota bilangan cacah adalah anggota bilangan bulat. Dengan cara serupa kamu bisa melihat hubungan antara bilangan-bilangan lainnya. Bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional. Bilangan rasional merupakan bagian bilangan real, dan bilangan real sendiri merupakan bagian dari bilangan kompleks. Dari skema di atas tampak bahwa bilangan kompleks terletak di bagan paling atas, ini artinya jenis bilangan yang paling luas cakupannya adalah bilangan kompleks. Di dalam buku ini kita akan membatasi pembahasan hanya mengenai bilangan bulat saja. Namun demikian untuk sampai pada pembahasan tentang bilangan bulat kita sesekali masih akan menyinggung tentang bilangan cacah maupun bilangan asli untuk membantu memudahkan kita memahami bilangan bulat. Bilangan asli dan bilangan cacah sudah pernah dipelajari di kelas-kelas sebelumnya, yaitu di kelas satu hingga kelas empat. Sehingga ketika menyinggung hal yang berkaitan dengan bilangan asli ataupun bilangan cacah diandaikan kamu sudah menguasai materi tentang bilangan tersebut dengan baik.

17 BAB III Bilangan Bulat A. Bagaimana Bilangan Bulat Terbentuk? Masih ingatkah kamu saat pertama kali belajar berhitung? Oleh orangtua kita diajari berhitung dengan menggunakan jari-jari tangan. Kita diminta mengepalkan tangan dan kemudian diminta membuka jari-jari tangan kita satu persatu dan menyebutkan ‘satu’ jika jari tangan yang terbuka satu, ‘dua’ jika jari tangan yang terbuka dua, ‘tiga’ jika jari tangan yang terbuka tiga dan seterusnya. Atau kadang kakak kita membantu berhitung dengan menggunakan kelereng yang ditaruh di kaleng dan kita diminta mengeluarkan kelerang itu satu bersatu sambil membilang ‘satu’, ‘dua’, ‘tiga’ dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya itu disebut bilangan asli. Bilangan itu seolah terjadi begitu saja dengan sendirinya atau terjadi secara alamiah, sehingga bilangan asli dikenal juga sebagai natural numbers. Bilangan asli juga disebut counting numbers, yaitu bilangan yang digunakan untuk menghitung sesuatu. Simbol atau lambang himpunan bilangan asli adalah huruf N. Pada bilangan asli, jika kita menjumlahkan dua bilangan asli, hasilnya akan berupa bilangan asli juga. Sebagai contoh 2 + 3 = 5. 2 dan 3 adalah bilangan asli, hasil penjumlahannya 5 adalah bilangan asli juga. Persoalannya, bagaimana jika 2 – 5? Apakah hasilnya bilangan asli juga? Ternyata hasilnya bukan bilangan asli. Tampak bahwa kita butuh bilangan yang lain selain bilangan asli. Kita tentu sudah mengenal bilangan cacah, yaitu bilangan 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Bilangan cacah ini jika disajikan dalam garis bilangan dapat dilihat seperti gambar berikut ini. I I I I I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pada garis bilangan di atas, jika kita melangkah ‘maju’ ke kanan satu langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat kita mulai ‘ditambah’ satu. Sebagai contoh, jika kita maju satu langkah ke kanan dari bilangan 3, maka kita akan sampai

18 pada bilangan 3 + 1 = 4. Dari bilangan 5 jika kita maju dua langkah ke kanan, maka kita akan sampai pada bilangan 5 + 2 = 7. Untuk semakin memperjelas, perhatikan gambar berikut: I I I I I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I I I I I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebaliknya jika kita ‘mundur’ ke arah kiri satu langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat kita mulai ‘dikurangi’ 1. Sebagai contoh, jika kita melangkah mundur satu langkah ke kiri dari bilangan 3, maka kita akan sampai pada bilangan 3 – 1 = 2. Dari bilangan 6 jika kita mundur ke kiri tiga langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 6 – 3 = 3. I I I I I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I I I I I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Catatan: Setiap ada tanda atau berarti anak panah yang ada dibawahnya bergerak mundur sesuai dengan arah dua anak panah di atasnya. Gerakan mundur ini jika diperagakan munculnya mulai dari ujung anak panah dan berakhirnya di pangkal anak panah.

19 Dengan prinsip di atas, jika kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak satu langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 1 (0 – 1). Jika kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak dua langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 2 (0 – 2). Jika kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak tiga langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 3 (0 – 3), dan seterusnya. I I I I I I I I I I I (0 - 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 I I I I I I I I I I I (0 – 2) (0 - 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 Untuk memudahkan penulisan pada garis bilangan, para ahli matematika sepakat untuk menuliskan 0 – 1, 0 – 2, 0 – 3 dan seterusnya sebagai negatif 1, negatif 2, negatif 3 dan seterusnya atau ditulis -1, -2, -3, …. Dengan demikian kita memperoleh bilanganbilangan baru yang merupakan perluasan dari bilangan asli, yaitu -1, -2, -3, -4, -5,….. Bilangan baru ini jika digabung dengan bilangan 0 dan bilangan asli, maka diperoleh bentuk garis bilangan baru sebagai berikut: I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Catatan: Tanda panah di ujung kedua garis bilangan di atas menunjukkan bahwa untuk arah ke kanan masih terdapat bilangan-bilangan positif lainnya (6, 7, 8,…) dan untuk ke arah kiri masih terdapat bilangan-bilangan negatif lainnya (-6, -7, -8, ….).

20 Himpunan dari semua bilangan pada garis bilangan pada gambar di atas disebut himpunan bilangan bulat, yang ditulis sebagai Z = {...., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}. Dengan demikian, bilangan bulat terdiri dari: 1. Bilangan bulat negatif (-1, -2, -3, -4, -5, ….) 2. Bilangan nol (0) 3. Bilangan bulat positif (1, 2, 3, 4, 5….) Dengan adanya bilangan bulat ini, maka persoalan menentukan hasil dari 2 – 5 dapat dengan mudah dilakukan. Dengan menggunakan garis bilangan persoalan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. ▪ Mula-mula dari 0 kita melangkah maju 2 langkah dan berhenti pada bilangan 2. Hal ini untuk menunjukkan bilangan positif 2. ▪ Kemudian dari bilangan 2 kita melangkah mundur sebanyak 5 langkah dan berhenti pada bilangan -3 dengan ujung anak panah tetap mengarah pada bilangan positif. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ▪ Jadi bilangan -3 inilah yang merupakan hasil dari 2 – 5. Dengan demikian, 2 – 5 = -3. Tentu saja bilangan bulat negatif tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan perhitungan seperti di atas. Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali menjumpai bagaimana bilangan bulat negatif ini digunakan, seperti misalnya suhu udara 3 derajat di bawah nol yang dinyatakan sebagai -3 o , hutang Rp 5000 dinyatakan dengan -5000, 300 m di bawah permukaan laut ditulis dengan -300 m, rugi 2 juta rupiah dinyatakan dengan -2.000.000 dan sebagainya.

21 Tahukah Kamu? Bilangan Nol Bilangan nol ditemukan oleh Abu Ja’far Muhammad bin Musa al-Khawarizmi, atau sering dikenal Al-Khawarizmi. Ia lahir di Khawarizmi, Uzbeikistan pada tahun 194 H/780 M. Dibanding bilangan-bilangan yang lain bilangan nol relatif muncul belakangan. Meskipun sebenarnya konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia dan Yunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Kata nol sendiri berasal dari bahasa latin zephirum yang berarti kosong atau hampa. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu. Bhrahmagupta seorang matematikawan dari India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Simbol (0) berasal dari India yang ditemukan dalam sebuah kitab India Kuno Lokavibhaga. Bilangan Negatif Menurut sejarah, pengembangan bilangan negatif relatif lebih lambat dibandingkan dengan bilangan positif. Namun demikian ada petunjuk bahwa bilangan negatif sudah dikenal sejak 200 SM oleh bangsa China. Mereka menandai bilangan negatif ini dengan tanda merah. Pada abad ke 7 Masehi, Bhrahmagupta telah mempunyai aturan dalam pengerjaan bilangan positif dan bilangan negatif. Untuk bilangan negatif ditandai dengan membubuhi lingkaran kecil atau noktah di atas angka yang dinegatifkan. Pada akhir abad ke 16 orang-orang Eropa sudah menyebutkan bilangan tertentu misalnya dengan penulisan 0 – 1. Pada tahun 1545, Cardan (1501 – 1566), seorang ahli matematika berkebangsaan Italia, menjelaskan sifat dasar bilangan negatif yaitu dengan menyebutkan bilangan positif dengan istilah bilangan yang sebenarnya (true number), dan menyebutkan bilangan negatif dengan istilah bilangan yang fiktif (fictitious number). Setelah masa Cardan, bangsa Eropa dapat menerima kehadiran bilangan negatif, dan bilangan inilah yang membulatkan bilangan yang telah ada, sehingga menjadi bilangan bulat (integer/number with integrity).

22 Contoh Sebuah perusahaan ekspor ikan mempunyai ruang pendingin. Suhu di dalam ruangan tersebut –12oC. Saat ikan akan dikirim suhu dinaikan 8oC. Jika suhu di luar ruangan 26oC, selisih suhu di luar ruangan dan di dalam ruangan pendingin setelah dinaikkan adalah .... Pembahasan: Suhu di dalam ruang pendingin setelah dinaikkan = -12oC + 8oC = -4 oC Suhu di luar ruangan = 26oC Selisih suhu = 26oC – (-4 oC) = 30oC B. Membandingkan Dua Bilangan Apabila dua bilangan dibandingkan, maka ada dua kemungkinan hasil, yaitu kedua bilangan itu sama atau kedua bilangan tersebut berbeda atau tidak sama, karena salah satu bilangan lebih besar dari bilangan yang lain. Berikut adalah tanda yang digunakan untuk menunjukkan bahwa dua bilangan sama atau tidak sama. ▪ Untuk menunjukkan bahwa dua bilangan sama digunakan tanda sama dengan (=) ▪ Untuk menunjukkan bahwa dua bilangan tidak sama digunakan tanda ketidaksamaan (≠) ▪ Untuk menunjukkan bahwa dua bilangan tidak sama dan menunjukkan bahwa yang satu lebih besar dari yang lain digunakan tanda lebih besar dari (>) atau tanda lebih kecil dari (<). Contoh : Simbol = ≠ > < Arti Sama Tidak sama Lebih besar dari Lebih kecil dari 2 + 1 = 3 5 – 7 = -2 2 ≠ 3 3 2≠ 6 9 > 4 7 – 6 > 0 1 < 8 -6 < -2

23 Membandingkan dua bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan. Perhatikan garis bilangan berikut ini. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dari garis bilangan di atas tampak bahwa: ▪ Semakin ke kanan, bilangan semakin besar ▪ Semakin ke kiri, bilangan semakin kecil Contoh : ✓ Bilangan 1 terletak disebelah kiri bilangan 4. Ini berarti bilangan 1 lebih kecil dari bilangan 4 dan ditulis 1 < 4 ✓ Bilangan 8 terletak di sebelah kanan bilangan 5. Ini berarti bilangan 8 lebih besar dari bilangan 5 atau ditulis 8 > 5 Contoh Dari pernyataan berikut yang benar adalah… a) -5 > 4 b) -7 < -2 c) 0 < -1 Pembahasan: I I I I I I I I I I I I -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Perhatikan garis bilangan di atas. -5 terletak di sebelah kiri 4, sehingga -5 < 4 -7 terletak di sebelah kiri -2, sehingga -7 < -2 0 terletak di sebelah kanan -1, sehingga 0 > -1 Jadi, pernyataan yang benar adalah -7 < -2.

24 BAB IV Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Bulat Operasi penjumlahan pada dasarnya mudah dipahami. Hanya saja sebagian siswa pada awalnya agak kesulitan dalam memahami operasi penjumlahan pada bilangan bulat, khususnya penjumlahan yang melibatkan salah satu bilangan atau kedua bilangan yang dijumlahkan merupakan bilangan negatif. Kesulitan terutama terletak pada bagaimana operasi penjumlahan tersebut dipahami secara konkret. Bagi kita mungkin mudah memahami 3 + 4 = 7 dan secara konkret hal ini bisa dilakukan dengan bantuan benda seperti apel misalnya, yaitu dengan mengambil tiga buah apel dan empat buah apel yang lain kemudian menggabungkannya, sehingga diperoleh banyaknya gabungan apel adalah tujuh buah apel. Tapi bagaimana dengan -3 + 4 secara konkret bisa dipahami? Pada bab ini akan dibahas konsep operasi penjumlahan pada bilangan bulat mulai dari tahap pengenalan konsep secara konkret, tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak hingga tahap pengenalan konsep secara abstrak. Selain itu, akan dibahas bagaimana menghitung penjumlahan secara cepat yang mungkin jarang dipelajari di sekolah. A. Penjumlahan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Sedotan Untuk memudahkan memahami penjumlahan bilangan bulat secara konkret kita dapat menggunakan berbagai macam alat bantu, salah satunya dengan potongan sedotan. Alat peraga sedotan yang kita gunakan ini sebenarnya merupakan pendekatan penjumlahan dengan menggunakan konsep himpunan. Seperti kita ketahui bahwa pada himpunan kita

25 bisa menggabungkan dua himpunan, dalam hal ini himpunan tersebut anggotanya adalah potongan sedotan. Bagaimana caranya? Pertama-tama kita siapkan sejumlah sedotan yang terdiri dari dua warna yang berbeda. Selanjutnya, potonglah setiap sedotan menjadi dua bagian yang sama panjang. Misalkan warna sedotan yang dipilih merah dan hijau (tentu saja boleh dua warna berbeda lainnya). Warna ini berguna untuk menandakan bilangan positif dan bilangan negatif. Misalnya warna merah dipakai untuk mennadakan bilangan negatif dan warna hijau digunakan untuk menandai bilangan positif. Sementara itu, bilangan nol diwakili oleh dua buah potongan sedotan yang berbeda warna (merah dan hijau) yang digabungkan menjadi satu. Jadi setiap dua buah sedotan yang berbeda warna yang digabungkan berarti mewakili bilangan nol (netral). Bentuk netral ini digunakan saat kita melakukan operasi penjumlahan yang melibatkan salah satu bilangan yang dijumlahkan adalah bilangan negatif. Dalam operasi hitung, proses penggabungan ini dapat diartikan sebagai penjumlahan. Sehingga jika kita menggabungkan sejumlah potongan sedotan dengan sejumlah potongan sedotan yang lain sama halnya dengan melakukan penjumlahan. Namun demikian, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan proses penjumlahan. 1. Jika kedua bilangan yang dijumlahkan bertanda sama (keduanya positif atau keduanya negatif), maka gabungkanlah sejumlah potongan sedotan ke dalam kelompok potongan sedotan lain yang berwarna sama. Contoh: Berapakah hasil dari 2 + 3? Karena bilangan yang dijumlahkan keduanya bilangan positif maka kita ambil potongan sedotan yang berwarna hijau. Kelompok pertama terdiri dari dua potongan sedotan hijau, dan kelompok kedua terdiri dari tiga potongan sedotan hijau, selanjutnya gabungkan kedua kelompok tersebut, sehingga diperoleh kelompok baru yang terdiri dari 5 potongan sedotan hijau yang merupakan hasil penjumlahan. Jadi, 2 + 3 = 5. positif positif positif

26 Contoh: Berapakah hasil dari -2 + -5? Karena bilangan yang dijumlahkan keduanya bilangan negatif maka kita ambil potongan sedotan yang berwarna merah. Kelompok pertama terdiri dari dua potongan sedotan merah, dan kelompok kedua terdiri dari lima potongan sedotan merah. Selanjutnya gabungkan kedua kelompok tersebut, sehingga diperoleh kelompok baru yang terdiri dari tujuh potongan sedotan merah yang merupakan hasil penjumlahan. Ingat bahwa sedotan berwarna merah menandakan bahwa bilangan tersebut bilangan negatif. Jadi, hasil penjumlahan tersebut bernilai negatif 7, sehingga -2 + -5 = -7. 2. Jika kedua bilangan bertanda berbeda (salah satu bilangan positif dan yang lain bilangan negatif), maka gabungkanlah sejumlah potongan sedotan yang mewakili bilangan positif (warna hijau) ke dalam kelompok potongan sedotan yang mewakili bilangan negatif (warna merah). Selanjutnya, pasangkan setiap satu potongan sedotan berwarna hijau dan setiap satu potongan sedotan berwarna merah menjadi satu pasangan. Hal ini dilakukan untuk mencari sebanyak-banyaknya kelompok potongan sedotan yang bernilai nol. Setelah 2 3 5 negatif negatif negatif -2 -5 -7

27 proses ini akan menyisakan potongan sedotan dengan warna tertentu yang tidak berpasangan. Potongan sedotan yang tidak berpasangan inilah yang merupakan hasil penjumlahannya. Contoh: Berapakah hasil dari 4 + (-7)? Untuk menghitung penjumlahan ini, lakukan langkah-langkah berikut: 1. Ambil potongan sedotan berwarna hijau sebanyak 4 buah. Ini untuk menunjukkan bilangan positif 4. 2. Ambil potongan sedotan berwarna merah sebanyak 7 buah. Ini untuk menunjukkan bilangan negatif 7. 3. Gabungkan kedua kelompok potongan sedotan warna hijau dan kelompok potongan sedotan berwarna merah. 4. Pasangkan setiap satu potongan sedotan berwarna hijau dan setiap satu potongan sedotan berwarna merah menjadi satu pasangan, untuk mencari sebanyak-banyaknya bilangan yang bersifat netral (bernilai nol). positif negatif Positif negatif

28 5. 6. 5. Dari hasil langkah 4, tampak bahwa ada 4 pasangan sedotan berwarna hijau dan merah yang bersifat netral. Jika pasangan ini diambil, maka akan tersisa 3 buah potongan sedotan yang berwarna merah (bernilai negatif 3) yang merupakan hasil penjumlahan. Jadi hasil dari 4 + (-7) = -3. B. Penjumlahan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Petak Bilangan Apakah kamu pernah bermain engkling? Engkling adalah salah satu dolanan tradisional yang sering dimainkan oleh anak-anak. Permainan ini sangat sederhana dan tidak membutuhkan peralatan yang harus membeli. Kita hanya perlu gachuk yang terbuat dari pecahan genting (bisa juga pecahan keramik), dan kapur atau ranting untuk menggambar petak-petak permainan di atas tanah. Sebelum permainan dimulai harus dibuat petak-petak yang terdiri dari 7 kotak yang berukuran sama yang digambar di atas tanah atau di atas lantai, seperti gambar berikut: negatif netral negatif netral netralnetral Sumber Gambar: Dokumen Pribadi

29 Cara bermain engkling ini, pertama-tama setiap pemain mulai dari luar kotak melemparkan gachuknya di petak 1, kemudian melompati petak dimana gachuknya berada dan berjalan dengan satu kaki melewati petak 2, petak 3. Selanjutnya melompat dimana satu kaki menginjak di petak 4 dan satu kaki di petak 7, kemudian kembali lagi ke petak 4 dengan satu kaki. Melompat lagi dimana satu kaki menginjak di petak 5 dan kaki yang lain di petak 7, kemudian kembali lagi ke petak 5 dengan satu kaki. Kembali melompat dimana satu kaki menginjak di petak 6 dan kaki yang lain di petak 7, kemudian kembali lagi ke petak 6 dengan satu kaki. Selanjutnya melompat ke petak 7 dan berhenti sementara dengan menginjakkan kedua kaki di petak 7. Permainan dilanjutkan dengan melompat dengan satu kaki ke petak 3, dan ke petak 2. Di petak 2 pemain berhenti mengambil gachuk yang tadi ada di petak 1, kemudian melompat melewati petak 1 dan keluar dari petak permainan. Pemain kemudian melemparkan gachuknya lagi di petak 2, kemudian mulai melompat dari petak 1 dengan satu kaki. Dia harus melompati petak kedua karena gachuknya ada di petak 2, sehingga dari petak 1 langsung melompat ke petak 3. Selanjutnya sama persis seperti langkah-langkah sebelumnya. Demikian seterusnya, gachuk dilempar ke petak 3, 4, 5, 6, 7 kemudian kembali lagi ke petak 3, 2, 1, dan diikuti dengan gerakan melompat dari satu petak ke petak lain dengan aturan seperti di atas. Setelah pemain menyelesaikan satu putaran dari petak 1 kembali lagi ke petak 1, maka saatnya pemain tersebut mencari ‘sawah’. Caranya, gachuk dilempar dan ditangkap dengan punggung tangan. Kemudian pemain berjalan melompati setiap petak mulai dari petak 1 dan kembali lagi dan harus mempertahankan agar gachuk tidak jatuh. Setelah sampai diluar petak, dengan membelakangi petak permainan, pemain melemparkan gachuknya. Jika gachuknya jatuh di dalam petak, maka petak itu akan 1 2 3 4 5 6 7

30 menjadi ‘sawah’ dari pemain tersebut. Dan pemain lain, ketika bermain harus melewati ‘sawah’ tersebut dengan cara melompatinya. Sebaliknya, pemain yang punya sawah ketika meliwati sawahnya, dia bisa berhenti menginjakkan kedua kakinya. Namun, jika gachuknya jatuh di luar petak, maka dia harus mengulangi lagi. Tapi untuk mengulanginya harus menunggu permainan dari pemain lain, hingga semua pemain lain mati. Pemain dikatakan mati, jika dia melakukan kesalahan, seperti menginjak garis saat melompat atau melompat diluar garis, melemparkan gachuk diluar petak, gachuk yang dilempar tepat di garis, atau melempar gachuk tidak pada petak yang seharusnya. Pemain yang menang adalah pemain yang memiliki sawah terbanyak. Nah, kita akan memanfaatkan petak-petak pada permainan engkling untuk membantu kita memahami penjumlahan dua bilangan, tentu saja dengan sedikit perubahan bentuk petak-petaknya. Kita hanya membutuhkan petak-petak yang lurus saja dan banyaknya petak bisa kita buat sesuai dengan kebutuhan kita. Pada petak-petak tersebut ambil salah satu petak yang terletak di tengah sebagai skala 0 dan tandai petak itu dengan angka 0. Selanjutnya tandai petak berikutnya dengan angka 1, 2, 3, 4 dan seterusnya dan pada sisi yang berlawanan mulai dari sebelah angka 0 tandai mulai dari angka -1, -2, -3, -4, -5 dan seterusnya. Seperti diperlihatkan pada gambar berikut. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Selanjutnya petak-petak yang ditandai dengan angka-angka seperti di atas kita sebut sebagai petak bilangan. Petak bilangan adalah contoh lain cara memahami konsep penjumlahan pada bilangan bulat dengan pendekatan konkret. Untuk menggunakan petak bilangan sebagai alat bantu menjumlahkan dua bilangan, ada beberapa ketentuan yang harus diperhatikan. 1. Posisi awal ketika ingin melakukan perhitungan harus dimulai dari petak 0. 2. Jika bilangan pertama bertanda positif, maka kita harus menghadap ke arah bilangan positif dan melangkah maju sesuai dengan besarnya bilangan pertama tersebut. Sebaliknya jika bilangan pertamanya negatif, maka kita harus

31 menghadap ke arah bilangan negatifdan melangkah maju sesuai dengan besarnya bilangan pertama tersebut. Melangkah maju diartikan sebagai tambah (+). 3. Jika bilangan kedua yaitu bilangan penambahnya merupakan bilangan positif, maka kita bergerak maju dari posisi terakhir kita kea rah bilangan positif, dan jika bilangan penambahnya negatif, maka kita melangkah maju ke arah bilangan negatif. Permainan ini dapat dilakukan oleh beberapa orang secara bergantian. Bisa juga seorang yang sudah menyelesaikan sekali permainan bisa memberikan pertanyaan untuk dimainkan oleh teman yang akan main berikutnya. Sebagai contoh, misalkan Anto bermain untuk yang pertama kali dan dia diminta untuk menghitung 3 + 4. Langkah 1, Anto akan mulai bergerak dari petak 0. -3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 2, karena bilangan pertama positif maka Anto menghadap ke arah bilangan positif dan melangkah maju sebanyak 3 petak dan berhenti sementara di petak 3. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan penambahnya postif, maka Anto tetap menghadap arah yang sama yaitu arah bilangan positif dan kemudian maju sebanyak 4 petak dari petak 3 dan petak tempat terakhir dimana Anto berhenti adalah petak 7 yang merupakan hasil penjumlahan, yaitu 3 + 4 = 7.

32 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Misalkan setelah selesai melakukan perhitungan ini Anto meminta Budi yang akan bermain berikutnya untuk menghitung -5 + 8. Langkah 1, Budi akan mulai bergerak dari petak 0. - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Langkah 2, karena bilangan pertama negatif maka Budi menghadap ke arah bilangan negatif dan melangkah maju sebanyak 5 petak dan berhenti sementara di petak -5. - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan penambahnya positif, maka Anto dari arah semula berbalik arah menghadap arah bilangan positif dan kemudian maju sebanyak 7 petak dari petak -5 dan petak tempat terakhir dimana Anto berhenti adalah petak 2 yang merupakan hasil penjumlahannya, yaitu -5 + 7 = 2. - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Catatan: Kita juga dapat membuat petak bilangan dengan ukuran yang lebih kecil. Kita bisa memanfaatkan ubin atau membuat sendiri di lantai dengan menggunakan kapur atau membuatnya di tanah. Pun petak bilangan ini bisa dibuat di atas papan kayu atau kertas. Nah, karena ukuran petak bilangannya kecil, maka kita bisa menggunakan boneka

33 sebagai model yang dijalankan di atas petak bilangan tersebut untuk membantu memahami penjumlahan pada bilangan bulat. C. Penjumlahan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Garis Bilangan Pada bab III kita sudah sedikit membahas bagaimana garis bilangan digunakan untuk membantu menghitung penjumlahan secara sederhana. Penggunaan garis bilangan untuk membantu menghitung penjumlahan merupakan salah satu contoh tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak. Pada prinsipnya, cara kerja pada garis bilangan sama dengan cara kerja pada petak bilangan. Penjumlahan dapat diartikan sebagai langkah maju yang ditunjukkan oleh arah anak panah pada garis bilangan. Agar semakin jelas, perhatikan beberapa ketentuan dalam penggunaan garis bilangan berikut. 1. Setiap akan melakukan penghitungan kita akan selalu mulai dari bilangan 0 atau skala 0. 2. Jika bilangan pertama merupakan bilangan positif, maka ujung anak panah diarahkan ke bilangan positif dan bergerak maju sesuai skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama. Sebaliknya jika bilangan pertama merupakan bilangan negatif, maka ujung anak panah diarahkan ke bilangan negatif dan bergerak maju sesuai skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama tersebut. 3. Jika bilangan kedua atau bilangan penambahnya bilangan positif, maka gerakan maju anak panah harus kea rah bilangan positif dan dimulai dari ujung panah yang menunjukkan skala bilangan pertama. Jika bilangan penambahnya bilangan negatif, maka gerakan maju anak panah harus kea rah bilangan negatif dan dimulai dari ujung panah yang menunjukkan skala bilangan pertama. Contoh: Berapakah hasil dari 5 + 3? Untuk menghitung penjumlahan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan maju anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 5. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan positif 5.

34 I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2. Karena bilangan kedua atau bilangan penambahnya bilangan positif, maka arah anak panahnya tetap menghadap arah bilangan positif. Selanjutnya gerakan maju anak panah sebanyak 3 langkah dari posisi skala 5. I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3. Posisi akhir dari ujung anak panah terletak di atas skala 8. Ini menunjukkan bahwa hasil dari 5 + 3 = 8. Contoh : Berapakah hasil dari 4 + (-7)? Untuk menghitung penjumlahan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan maju anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 4. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan positif 4. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2. Karena bilangan kedua atau bilangan penambahnya bilangan negatif, maka arah anak panahnya berbalik arah dan menghadap arah bilangan negatif. Selanjutnya gerakan maju anak panah sebanyak 7 langkah dari posisi skala 4. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

35 3. Posisi akhir dari ujung anak panah terletak di atas skala -3. Ini menunjukkan bahwa hasil dari 4 + (-7) = -3. Contoh : Berapakah hasil dari (-2) + (-3) = ? Untuk menghitung penjumlahan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan maju anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala -2. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan negatif 2. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2. Karena bilangan kedua atau bilangan penambahnya bilangan negatif, maka arah anak panahnya tetap sama menghadap arah bilangan negatif. Selanjutnya gerakan maju anak panah sebanyak 3 langkah dari posisi skala -2. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3. Posisi akhir dari ujung anak panah terletak di atas skala -5. Ini menunjukkan bahwa hasil dari (-2) + (-3) = -5. D. Sifat-Sifat Operasi Hitung Penjumlahan Pada Bilangan Bulat Pada operasi penjumlahan bilangan bulat terdapat beberapa sifat penting yang perlu kita ketahui. Agar lebih mudah memahami sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat kita akan menggunakan beberapa contoh sebagai ilustrasi dari sifat-sifat tersebut. 1. Sifat Tertutup Untuk memahami operasi penjumlahan bersifat tertutup, perhatikan himpunan bilangan bulat B = {….,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. Misalkan kita

36 mengambil dua buah bilangan bulat yang berbeda, sebagai contoh -2 dan 3. Jika kedua bilangan bulat ini kita jumlahkan maka hasilnya adalah -2 + 3 = 1. Dan jika kita perhatikan hasil penjumlahan tersebut, yaitu 1 juga merupakan bilangan bulat juga. Contoh lain, misalkan dua bilangan bulat yang dijumlahkan adalah 2 dan 6. Hasil penjumlahannya adalah 2 + 6 = 8. Dan ternyata 8 juga merupakan bilangan bulat. Demikian juga, misalkan yang kita ambil -3 dan -4. Jika kedua bilangan itu kita jumlahkan maka hasilnya adalah -3 + -4 = -7, dimana -7 juga merupakan bilangan bulat. Dari contoh-contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa jika kita mengambil sebarang dua bilangan bulat, maka jumlah kedua bilangan itu juga merupakan bilangan bulat. Dengan kata lain, jika kita menjumlahkan dua bilangan bulat, maka hasilnya merupakan bilangan bulat juga. Sifat yang seperti demikian disebut sifat tertutup. Secara umum, jika a dan b merupakan bilangan bulat, maka a + b = c, dimana c merupakan bilangan bulat. 2. Sifat Pertukaran (Komutatif) Untuk memahami sifat pertukaran atau sifat komutatif operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Perhatikan tabel berikut ini. A b a + b b + a 3 5 3 + 5 = 8 5 + 3 = 8 -2 7 -2 + 7 = 5 7 + (-2) = 5 4 -9 4 + (-9) = -5 (-9) + 4 = -5 -5 -1 (-5) + (-1) = -6 (-1) + (-5) = -6 Pada tabel 4.1 di atas tampak bahwa hasil penjumlahan bilangan pada kolom pertama dan bilangan pada kolom kedua yang terdapat pada kolom ketiga sama dengan hasil penjumlahan bilangan yang terdapat pada kolom keempat. 3 + 5 = 5 + 3 = 8, -2 + 7 = 7 + (-2) = 5, 4 + (-9) = (-9) + 4 = -5, dan (-5) + (-1) = (-1) + (-5) = -6. Jadi, hasil penjumlahan dua buah bilangan bulat akan tetap sama, meskipun letak kedua bilangan dipertukarkan. Secara umum, untuk sebarang dua bilangan Tabel 4.1

37 bulat a dan b berlaku a + b = b + a. Sifat operasi penjumlahan sepeti ini disebut sifat komutatif pada penjumlahan. 3. Sifat Pengelompokan (Asosiatif) Untuk memahami sifat pengelompokan atau sifat asosiatif operasi penjumlahan pada bilangan bulat, perhatikan tabel berikut. a b c (a + b) (a + b) + c (b + c) a + (b + c) 2 3 5 2 + 3 = 5 5 + 5 = 10 3 + 5 = 8 2 + 8 = 10 -4 7 1 (-4) + 7 = 3 3 + 1 = 4 7 + 1 = 8 (-4) + 8 = 4 -1 6 -9 (-1) + (6) = 5 5 + (-9) = -4 6 + (-9) = -3 (-1) + (-3) = -4 -3 -8 -5 (-3) + (-8) = -11 -11 + (-5) = -16 (-8) + (-5) = -13 -3 + (-13) = -16 Pada tabel 4.2 di atas tampak bahwa kolom keempat merupakan hasil penjumlahan ketiga bilangan pada kolom pertama, kedua dan ketiga dengan cara bilangan pada kolom pertama dan kedua dijumlahkan terlebih dulu, setelah itu hasilnya dijumlahkan dengan bilangan pada kolom ketiga. Sedangkan kolom keenam merupakan hasil penjumlahan bilangan pada kolom pertama, kedua dan ketiga dengan cara bilangan pada kolom kedua dan ketiga dijumlahkan terlebih dulu secara terpisah, setelah itu hasilnya ditambahkan pada bilangan pada kolom pertama. Tampak bahwa hasil penjumlahan pada kolom keempat dan keenam sama. Jadi, penjumlahan sebarang tiga buah bilangan bulat dapat dilakukan dengan cara mengelompokan dua bilangan terlebih dulu kemudian hasilnya dijumlahkan dengan satu bilangan yang lain. Pengelompokan dapat dilakukan pada bilangan pertama dan kedua atau bilangan kedua dan ketiga, karena hasilnya akan tetap sama. Sifat demikian disebut sifat pengelompokan atau sifat asosiatif pada bilangan bulat. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: (a + b) + c = a + (b + c). 4. Terdapat unsur identitas penjumlah yaitu bilangan Nol Perhatikan hasil penjumlahan sejumlah bilangan bulat berikut dengan nol. 2 + 0 = 2; 0 + 2 = 2 Tabel 4.2

38 -3 + 0 = -3 ; 0 + (-3) = -3 8 + 0 = 8 ; 0 + 8 = 8. Dari hasil penjumlahan di atas tampak bahwa sebarang bilangan ditambah dengan bilangan nol hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Karena sifatnya yang demikian maka bilangan nol disebut sebagai unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat. Secara matematis, pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a + 0 = 0 + a = a. 5. Terdapat Unsur Invers Penjumlahan (lawan suatu bilangan) Untuk memahami sifat ini, perhatikan penjelasan berikut. 2 2 1 1 I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Pada garis bilangan di atas tampak bahwa jarak 1 ke 0 dan -1 ke 0 sama, yaitu 1 satuan. Jarak antara 2 ke 0 dan -2 ke 0 juga sama, yaitu 2 satuan. Demikian juga jarak antara 3 ke 0 dan -3 ke 0, 4 ke 0 dan -4 ke 0, 5 ke 0 dan -5 ke 0, dan seterusnya. Perhatikan bahwa bilangan yang bertanda positif dan bertanda negatif letaknya berseberangan terhadap 0. Dengan kata lain, bilangan bertanda positif 1 berlawanan letaknya terhadap 0 dengan bilangan bertanda -1, 2 berlawanan letaknya terhadap 0 dengan -2 dan seterusnya. Ternyata jika dua bilangan yang berlawanan letaknya terhadap 0 tersebut dijumlahkan, maka hasil penjumlahannya sama, yaitu 0. Misalnya 1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0 dan seterusnya. Dari hal ini bisa disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat bukan nol dapat dipasangkan dengan bilangan bulat yang lain sedemikian sehingga jumlah pasangan bilangan itu sama dengan 0. Setiap anggota pasangan bilangan itu disebut “lawan” atau “invers aditif” (invers penjumlahan) dari anggota yang lain dalam pasangannya. Sebagai contoh: ❖ Lawan dari 1 adalah -1 atau -1 lawannya adalah 1. ❖ Lawan dari 2 adalah -2 atau -2 lawannya adalah 2 ❖ Lawan dari 3 adalah -3 atau -3 lawannya adalah 3

39 Perhatikan bahwa lawan -2 adalah 2, padahal lawan dari -2 dapat dituliskan sebagai - (-2), maka dapat ditentukan bahwa – (-2) = 2. Secara umum dapat dinyatakan untuk setiap bilangan bulat a, berlaku – (-a) = a. Secara matematis kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat a mempunyai invers penjumlahan yaitu –a, sedemikian hingga berlaku : a + (-a) = (-a) + a = 0. Perhatikan kembali tabel 4.1 A b a + b b + a 3 5 3 + 5 = 8 5 + 3 = 8 -2 7 -2 + 7 = 5 7 + (-2) = 5 4 -9 4 + (-9) = -5 (-9) + 4 = -5 -5 -1 (-5) + (-1) = -6 (-1) + (-5) = -6 Dari tabel di atas kita dapat menyimpulkan bahwa: Dalam operasi penjumlahan ada beberapa hal yang harus diperhatikan: a. Penjumlahan antara dua bilangan bulat positif hasilnya adalah bilangan bulat positif juga. b. Penjumlahan antara dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif juga. c. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif atau sebaliknya, hasilnya, jika angka bilangan bulat positif lebih kecil dari bilangan bulat negatif maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Jika angka bilangan bulat positif lebih besar dari bilangan bulat negatif maka hasilnya adalah bilangan bulat positif, dan jika bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif yang nilainya sama maka hasilnya adalah 0 (nol). E. Penjumlahan Bilangan Bulat Dengan Cara Bersusun Penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan, tentu tidak cukup efektif jika dikenakan pada dua bilangan bulat positif maupun bulat negatif yang besar. Oleh karena itu, kita perlu mencari cara agar penjumlahan bilangan bulat dapat

40 dikerjakan dengan lebih cepat. Salah satu cara menjumlahkan bilangan bulat adalah penjumlahan dengan cara bersusun. Secara umum, penjumlahan dengan cara bersusun dilakukan dengan cara meletakkan bilangan-bilangan yang dijumlahkan bersusun secara vertikal atau secara menurun mulai dari bilangan pertama, kemudian di bawahnya bilangan kedua dan seterusnya. Namun yang harus diperhatikan dalam penyusunan bilangan secara bersusun menurun ini adalah letak dari angka-angka penyusun bilangan tersebut. Angka-angka satuan pada bilangan yang dijumlahkan harus diletakkan dalam kolom yang sama, demikian juga dengan angka-angka puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Untuk lebih memperjelas, perhatikan contoh berikut. Misalkan kita akan menjumlahkan bilangan 23 dan 45, maka kedua bilangan tersebut dalam penjumlahan secara bersusun dapat dituliskan sebagai berikut. 2 3 4 5 + Penjumlahan secara bersusun, secara umum dapat dilakukan dengan langkahlangkah berikut: (1) Jumlahkan satuan dengan satuan (2) Jumlahkan puluhan dengan puluhan (3) Jumlahkan ratusan dengan ratusan (4) Jumlahkan ribuan dengan ribuan dan seterusnya. Dari langkah-langkah di atas tampak bahwa penting bagi kita untuk memahami secara mendalam tentang nilai tempat suatu bilangan, sehingga memudahkan kita dalam melakukan operasi penjumlahan pada bilangan bulat. 1. Penjumlahan Tanpa Teknik Menyimpan Penjumlahan tanpa teknik menyimpan dapat dilakukan pada penjumlahan bilangan-bilangan bulat dimana hasil penjumlahan masing-masing angka penyusun bilangan-bilangan tersebut tidak lebih dari 9. Artinya jumlah angka satuan dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan tidak lebih besar dari 9, puluhan satuan

41 jumlah angka puluhan dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan tidak lebih besar dari 9, jumlah angka ratusan dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan tidak lebih besar dari 9, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. 42 454 2.314 27 323 6.473 + + + 69 777 8.787 Pada contoh penjumlahan di atas dilakukan dengan menjumlahkan angka-angka satuannya, karena hasilnya tidak lebih besar dari 9, maka langsung dituliskan di bawah garis, tepat dibawah angka satuan (satu kolom dengan angka-angka satuan). Selanjutnya menjumlahkan angka-angka puluhan dan menuliskannya di bawah garis, tepat di bawah angka-angka puluhan (kolom angka puluhan). Hal yang sama dilakukan untuk angka-angka ratusan, ribuan dan seterusnya, dan tinggal menuliskan hasil penjumlahannya di bawah kolom ratusan, kolom ribuan dan seterusnya. 2. Penjumlahan Dengan Teknik Menyimpan Kita tahu bahwa hasil penjumlahan dari angka-angka penyusun bilanganbilangan yang dijumlahkan tidak selalu lebih kecil atau sama dengan 9. Bisa saja hasil penjumlahan angka-angka penyusun bilangan-bilangan itu, baik untuk satuan, puluhan, ratusan dan yang lainnya dapat lebih besar dari 9. Untuk itu kita memerlukan cara yang berbeda dengan cara penjumlahan sebelumnya, yaitu penjumlahan dengan teknik menyimpan. Sekali lagi penjumlahan dengan teknik menyimpan dilakukan jika hasil penjumlahan dari angka-angka penyusun bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan lebih besar dari 9. Dan hal ini mungkin terjadi pada penjumlahan angka-angka satuannya, angka-angka puluhannya, angka-angka ratusan, angkaangka ribuan dan seterusnya. Prinsipnya angka satuan ditambahkan dengan angka satuan jika hasilnya lebih besar dari 9, maka hasil penjumlahan itu berupa puluhan atau terdiri dari dua angka. Nah, dalam teknik menyimpan nanti angka yang dituliskan adalah angka satuannya, sementara angka puluhan disimpan dan diikutkan dalam penjumlahan angka puluhannya. Jika penjumlahan angka

42 puluhan ini hasilnya lebih besar dari 9, maka disimpan lagi untuk diikutkan dalam penjumlahan angka ratusan, demikian seterusnya. Agar semakin jelas, perhatikan contoh berikut. a. Menjumlahkan dengan Satu Kali Teknik Menyimpan Contoh: Berapakah hasil dari 937 + 59 ? Untuk menyelesaikan dapat dilakukan dengan cara berikut: Ratusan puluhan satuan 8 2 9 0 5 8 + 0 7 7 + 8 8 7 Cara penyelesaian di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: (1) satuan + satuan 9 + 8 = 17; lalu ditulis dan disimpan (2) puluhan + puluhan + simpanan 2 + 5 + 1 = (3) ratusan + ratusan 8 + 0 = Jadi, 829 + 58 = 887. Perhatikan dalam menjumlahkan kedua bilangan di atas, karena bilangan kedua puluhan (terdiri dari dua angka) dan bilangan pertama ratusan (terdiri dari tiga angka), maka pada bilangan kedua kita menambahkan 0 di depan bilangan tersebut, yaitu menjadi 058, untuk memudahkan dalam menjumlahkan. Ini boleh dilakukan karena 058 nilai tetap sama dengan 58 dan ini hanya untuk menunjukkan bahwa ratusan bilangan 58 adalah 0. Contoh: Berapakah hasil dari 546 + 325? Penyelesaian: Ratusan puluhan satuan Simpanan + 1 7 8 8 1 829 58 + 887 Simpanan + 1 1 546 325 + 871 1

43 5 4 6 3 2 5 + 8 6 1 + 8 7 1 Cara penyelesaian di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: (1) satuan + satuan 6 + 5 = 11; lalu ditulis dan disimpan 1 (2) puluhan + puluhan + simpanan 4 + 2 + 1 = (3) ratusan + ratusan 5 + 3 = Jadi, 546 + 325 = 871. b. Menjumlahkan dengan Dua Kali Teknik Penyimpanan Contoh: Berapakah hasil dari 586 + 57? Penyelesaian: Ratusan puluhan satuan 5 8 6 0 5 7 + 5 13 3 1 1 + 6 4 3 Cara penyelesaian di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: (1) satuan + satuan 6 + 7 = 13, lalu ditulis disimpan 1 (2) puluhan + puluhan + simpanan 8 + 5 + 1 = 14; lalu ditulis dan disimpan 1 (3) ratusan + ratusan + simpanan 5 + 0 + 1 = 1 7 8 Simpanan + 1 3 4 6 11 586 57 + 643 Simpanan + 1

44 Jadi, 586 + 57 = 643. Contoh: Berapakah hasil dari 456 + 365? Penyelesaian: Ratusan puluhan satuan 4 5 6 3 6 5 + 7 11 1 1 1 + 8 2 1 Cara penyelesaian di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: (1) satuan + satuan 6 + 5 = 11; lalu ditulis dan disimpan 1 (2) puluhan + puluhan + simpanan 5 + 6 + 1 = 12, lalu ditulis dan disimpan 1 (3) ratusan + ratusan + simpanan 4 + 3 + 1 = Jadi, 546 + 325 = 871. F. Beberapa Cara Menghitung Cepat Penjumlahan Agar tidak terlalu banyak menghabiskan waktu, kita membutuhkan ketrampilan untuk menghitung penjumlahan secara cepat dan tepat. Berikut adalah beberapa cara penjumlahan yang bisa membantu kita mempercepat dalam menghitung penjumlahan. 1. Menjumlah Tanpa Menyimpan Berapakah hasil dari 45 + 58 + 76 + 94? Bisaanya kita akan melakukan penjumlahan di atas dengan cara menyimpan sebagai berikut. Untuk menghitung penjumlahan di atas yang dilakukan adalah menjumlahkan semua satuan, hasilnya 23. Angka satuan (3) dituliskan dibawah satuan, sementara angka puluhan (2) disimpan dan dituliskan di Simpanan + 1 1 2 8 11 456 365 + 821 Simpanan + 1 2 45 58 76 94 + 273

45 atas angka puluhan. Selanjutnya, semua angka puluhan dijumlahkan, hasilnya 27 dan dituliskan di sebelah kiri angka satuan. Sehingga diperoleh hasil 273. Jadi, hasil penjumlahan tersebut adalah 273. Sekarang bandingkan dengan cara berikut. Cara di samping merupakan cara penjumlahan tanpa menyimpan. Jadi semua angka satuan dijumlahkan, kemudian dituliskan hasilnya. Selanjutnya semua angka puluhan juga dijumlahkan, kemudian hasilnya dituliskan dengan menggeser satu kolom ke kiri atau angka terakhir dituliskan di bawah kolom puluhan. Selanjutnya jumlahkan angka-angka tersebut sesuai dengan kolomnya untuk mendapatkan jawaban akhirnya. Bagaimana mudahkan?! Cara di atas juga bisa digunakan untuk menghitung penjumlahan angka ratusan. Sebagai contoh: 325 + 847 + 531 + 923. Penjumlahan dengan cara tanpa menyimpan dapat dilakukan sebagai berikut. 325 847 531 923 + 16 11 25 + 2626 2. Menjumlah Dari Kiri Ke Kanan Penjumlahan yang biasa dilakukan umumnya dengan cara menghitung dari kanan ke kiri. Artinya menghitung jumlah satuan terlebih dulu, kemudian menjumlahkan puluhan, dilanjutkan menjumlahkan ratusan dan seterusnya. Cara ini kita lakukan pada saat menjumlah dengan tanpa menyimpan pada bagian sebelumnya. Konsep menjumlah dari kiri ke kanan sebenarnya mirip, hanya saja dilakukan dari kiri ke kanan dari angka dengan nilai tempat paling besar, dilanjutkan sebelah kanannya dan seterusnya hingga angka dengan nilai tempat satuan. Pada dasarnya cara menjumlah dengan menyimpan di pikiran dilakukan dengan prinsip ini. Jika kita 45 58 76 94 + 23 25 + 273

46 perhatikan, pertama yang dijumlahkan adalah angka puluhan, selanjutnya ditambah dengan jumlah angka satuan. Cara berikut prinsipnya sama, hanya saja jauh lebih mudah. Tidak percaya? Mari kita buktikan! Sebagai contoh, berapakah hasil dari 695 + 738? Untuk menghitung ini dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Langkah 1 : Jumlahkan angka ratusan 6 + 7 = 13 (nilai sebenarnya 600 + 700 = 1300) Langkah 2 : Jumlahkan angka puluhan 9 + 3 = 12 (nilai sebenarnya 90 + 30 = 120) Langkah 3 : Jumlahkan angka satuan 5 + 8 = 13 Langkah 4 : Selanjutnya jumlahkan 1 3 1 2 1 3 + 1 4 3 3 Jadi, hasil dari 695 + 738 = 1433 Contoh : Berapakah hasil dari 472 + 659 + 813 + 746? Penjumlahan ini dapat dilakukan dengan cepat sebagai berikut: 4 + 6 + 8 + 7 = 25 2 5 7 + 5 + 1 + 4 = 17 1 7 2 + 9 + 3 + 6 = 20 2 0 + 2 6 9 0 Jadi, hasil dari 472 + 659 + 813 + 746 = 2690. 3. Menjumlah Dengan Cara Mengubah Bilangan Pada bagian sebelumnya kita sudah membahas sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Pada operasi penjumlahan bilangan bulat terdapat unsur identitas penjumlahan yaitu 0, sedemikian hingga setiap bilangan jika ditambah dengan 0

47 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Selain itu, untuk setiap bilangan a terdapat invers atau lawan bilangan tersebut yaitu bilangan –a, sedemikian hinga a + (-a) = 0. Dua sifat di atas dapat membantu kita menjumlahkan dua bilangan dengan cara mengubah bilangan tersebut terlebih dulu. Misalkan dua bilangan yang dijumlahkan a dan b, maka : a + b = a + b + 0 = a + b + (c – c) = (a + c) + (b – c) Sebagai contoh, untuk menghitung 68 + 75 dapat dilakukan sebagai berikut: 68 + 75 = (68 + 2) + (75 – 2) = 70 + 73 = 143 Perhatikan pada contoh di atas, Untuk menghitung 68 + 75 dilakukan dengan cara mengubah 68 menjadi 70 yaitu dengan menambah dengan 2. Karena bilangan pertama ditambah dengan 2, agar hasil penjumlahan kedua bilangan tidak berubah, maka kita harus mengurangi bilangan kedua dengan 2, sehingga 75 dikurangi 2 menjadi 73. Sehingga menjumlahkan 68 dan 75 sama saja dengan menjumlahakan 70 dan 73. Tentu saja menjumlahkan 70 dengan 73 akan lebih mudah dihitung dibandingkan menjumlahkan 68 dengan 75, karena salah satu bilangan merupakan kelipatan dari 10. Contoh : Berapakah hasil dari 59 + 34? Langkah 1 : Tambahkan 1 pada angka 59, sehingga diperoleh : 59 + 1 = 60 Langkah 2 : Kurangkan 1 pada angka 34, sehingga diperoleh : 34 – 1 = 33 Langkah 3 : Jumlahkan 60 dan 33, sehingga diperoleh : 60 + 33 = 93 Contoh: Berapakah hasil dari 84 + 131? 84 + 131 = (84 + 1) + (131 – 1) = 85 + 130 = 215 Jika kita perhatikan pada contoh-contoh di atas, tampak bahwa kita mengubah satuan pada salah satu bilangan sehingga menjadi bilangan kelipatan 10 dengan cara menambah atau mengurangi salah satu bilangan dengan suatu bilangan tertentu dan mengurangi atau menambah bilangan yang lain dengan bilangan yang sama. Hal ini kita lakukan karena penjumlahan akan lebih mudah dilakukan pada bilangan 10 atau kelipatannya. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk melakukan penjumlahan jika mengubah bilangan yang akan dijumlahkan menjadi bilangan kelipatan 10.

48

49 BAB V Operasi Pengurangan Pada Bilangan Bulat Pada bagian sebelumnya kita sudah membahas tentang penjumlahan bilangan bulat secara menyeluruh. Pada bagian ini kita akan membahas tentang operasi pengurangan pada bilangan bulat. Operasi pengurangan pada bilangan bulat dapat dipahami secara sederhana sebagai kebalikan dari operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Namun demikian, sebagian besar siswa menganggap pengurangan jauh lebih sulit dibandingkan dengan operasi penjumlahan. Kita akan membahas operasi pengurangan pada bilangan bulat mulai dari tahap konkrit, semi abstrak dan abstrak seperti halnya saat kita membahas tentang penjumlahan bilangan bulat. Kita juga akan memanfaatkan sedotan sebagai alat bantu pengurangan bilangan bulat, menggunakan petak bilangan maupun garis bilangan untuk memahami operasi pengurangan pada bilangan bulat. A. Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Sedotan Jika dalam operasi penjumlahan bilangan bulat kita menggunakan konsep himpunan, yaitu dengan menggabungkan dua himpunan dimana himpunan tersebut anggotanya berupa potongan sedotan. Konsep operasi pengurangan pada bilangan bulat dapat dipahami sebaliknya, yaitu memisahkan sejumlah potongan sedotan dari kelompok potongan-potongan sedotan. Dengan kata lain, menggabungkan merupakan proses penjumlahan, sedangkan memisahkan merupakan proses pengurangan. Kita bisa menggunakan potongan-potongan sedotan yang sama dengan yang kita gunakan dalam operasi penjumlahan. Misalnya potongan sedotan warna merah dipakai untuk menandakan bilangan negatif dan potongan sedotan warna hijau digunakan untuk menandai bilangan positif. Sementara itu, bilangan nol diwakili oleh dua buah potongan sedotan yang berbeda warna yang digabungkan menjadi satu. Jadi setiap dua buah sedotan yang berbeda warna yang digabungkan berarti mewakili bilangan nol (netral). Untuk menghitung pengurangan pada bilangan bulat dengan alat bantu sedotan dapat dilakukan sebagai berikut.

50 1. Jika bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya keduanya positif dan bilangan yang dikurangi lebih besar dari bilangan pengurang, maka pisahkan secara langsung potongan sedotan berwarna hijau sejumlah bilangan pengurang dari kelompok potongan sedotan berwarna hijau yang berjumlah sebanyak bilangan yang dikurangi. Contoh : 8 – 3 = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 8 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) ke dalam kotak, bisa juga di atas kertas atau di atas papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan positif 8). 2) Pisahkan 3 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) dari dalam kotak atau dari atas kertas/papan peragaan. 3) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak atau papan peragaan terdapat 5 potongan sedotan berwarna hijau yang menunjukkan bilangan positif 5. Hal ini menunjukkan bahwa 8 – 3 = 5. 2. Jika bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya keduanya positif dan bilangan yang dikurangi lebih kecil dari bilangan pengurang, maka sebelum memisahkan potongan sedotan sejumlah bilangan pengurangnya, terlebih dulu kita harus menggabungkan sejumlah potongan sedotan yang bersifat netral ke dalam kelompok potongan sedotan bilangan yang dikurangi, dan banyaknya tergantung pada seberapa kurangnya potongan sedotan yang akan dipisahkan. Contoh : 4 - 7 = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 4 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) ke dalam kotak atau di atas papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan positif 4). 2) Karena bilangan pengurangnya (7) lebih besar dari bilangan yang dikurangi (4), maka kita tidak bisa langsung memisahkan potongan sedotan yang bertanda positif sebanyak 7 dari dalam kotak atau dari atas papan peragaan tersebut. Agar