51 pemisahan dapat dilakukan, maka kita perlu menambahkan 3 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) dan 3 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah) ke dalam kotak atau di atas papan peragaan. Penambahan ini bisa dilakukan karena menambah 3 potongan sedotan merah dan 3 potongan sedotan berwarna hijau sama saja dengan menambah dengan 0, sehingga tidak mempengaruhi hasilnya. 3) Pada kotak/papan peragaan akan tampak terlihat ada 7 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) dan 3 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah). Selanjutnya kita dapat memisahkan 7 potong sedotan yang bertanda positif keluar dari kotak/papan peragaan. 4) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak/papan peragaan terdapat 3 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah). Hal ini menunjukkan bahwa 4 – 7 = -3. 3. Jika bilangan yang dikurangi positif dan bilangan pengurangnya negatif, maka sebelum memisahkan potongan sedotan sejumlah bilangan pengurangnya, terlebih dulu kita harus menggabungkan sejumlah potongan sedotan yang bersifat netral ke dalam kelompok potongan sedotan bilangan yang dikurangi, dan banyaknya tergantung pada besarnya bilangan pengurangnya. Contoh : 3 – (-2) = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 3 potongan sedotan yang bertanda positif (warna hijau) ke dalam kotak/papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan positif 3). 2) Karena bilangan pengurangnya merupakan bilangan negatif, maka kita perlu menambahkan 2 potongan sedotan yang bertanda positif dan 2 potongan sedotan yang bertanda negatif ke dalam kotak/papan peragaan. 3) Pada kotak/papan peragaan akan tampak terlihat ada 5 potongan sedotan yang bertanda positif dan 2 potongan sedotan yang bertanda negatif. Selanjutnya kita dapat memisahkan 2 potong sedotan yang bertanda negatif keluar dari kotak/papan peragaan.
52 v 4) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak/papan peragaan terdapat 5 potongan sedotan yang bertanda positif. Hal ini menunjukkan bahwa 3 – (-2) = 5. 4. Jika bilangan yang dikurangi negatif dan bilangan pengurangnya positif, maka sebelum memisahkan potongan sedotan yang bertanda positif sejumlah bilangan pengurangnya dari kumpulan potongan sedotan yang bertanda negatif, terlebih dulu kita harus menggabungkan sejumlah potongan sedotan yang bersifat netral ke dalam kelompok potongan sedotan bilangan yang dikurangi, dan banyaknya tergantung pada besarnya bilangan pengurangnya. Contoh : -5 – 2 = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 5 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah) ke dalam kotak/papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan negatif 5). 2) Karena bilangan pengurangnya (2) merupakan bilangan positif sementara yang dikurangi bilangan negatif, maka kita perlu menambahkan 2 potongan sedotan yang bertanda positif dan 2 potongan sedotan yang bertanda negatif ke dalam kotak/papan peragaan. 3) Pada kotak/papan peragaan akan tampak terlihat ada 7 potongan sedotan yang bertanda negatif dan 2 potongan sedotan yang bertanda positif. Selanjutnya kita dapat memisahkan 2 potong sedotan yang bertanda positif keluar dari kotak/papan peragaan. 4) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak/papan peragaan terdapat 7 potongan sedotan yang bertanda negatif. Hal ini menunjukkan bahwa -5 – 2 = -7. 5. Jika bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya keduanya negatif dan bilangan yang dikurangi lebih besar dari bilangan pengurang, maka sebelum memisahkan potongan sedotan sejumlah bilangan pengurangnya, terlebih dulu kita harus menggabungkan sejumlah potongan sedotan yang bersifat netral ke dalam kelompok potongan sedotan bilangan yang dikurangi, dan banyaknya tergantung pada seberapa kurangnya potongan sedotan yang akan dipisahkan.
53 Contoh : -4 – (-6) = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 4 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah) ke dalam kotak/papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan negatif 4). 2) Karena bilangan pengurangnya merupakan bilangan negatif sementara bilangan yang dikurangi bilangan negatif yang lebih besar dari bilangan pengurangnya, maka kita perlu menambahkan 2 potongan sedotan yang bertanda positif dan 2 potongan sedotan yang bertanda negatif ke dalam kotak/papan peragaan. 3) Pada kotak/papan peragaan akan tampak terlihat ada 6 potongan sedotan yang bertanda negatif dan 2 potongan sedotan yang bertanda positif. Selanjutnya kita dapat memisahkan 6 potong sedotan yang bertanda negatif keluar dari kotak/papan peragaan. 4) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak/papan peragaan terdapat 2 potongan sedotan yang bertanda positif. Hal ini menunjukkan bahwa -4 – (-6) = -2. 6. Jika bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya keduanya negatif dan bilangan yang dikurangi lebih kecil dari bilangan pengurang, maka pisahkan secara langsung sejumlah potongan sedotan sebanyak bilangan pengurang keluar dari kelompok potongan sedotan bilangan yang dikurangi. Contoh : -5 – (-2) = ? Untuk menghitung pengurangan ini, lakukan langkah-langkah berikut. 1) Tempatkan 5 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah) ke dalam kotak/papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan negatif 5). 2) Pisahkan 2 potongan sedotan yang bertanda negatif (warna merah) dari kotak/papan peragaan. 3) Dari hasil pemisahan tersebut, pada kotak/papan peragaan terdapat 3 potongan sedotan berwarna merah yang menunjukkan bilangan negatif 3. Hal ini menunjukkan bahwa -5 – (-2) = -3.
54 B. Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Petak Bilangan Seperti halnya dalam penjumlahan bilangan bulat, untuk membantu memahami pengurangan pada bilangan bulat kita dapat menggunakan petak bilangan. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Untuk menggunakan petak bilangan sebagai alat bantu mengurangkan dua bilangan, ada beberapa ketentuan yang harus diperhatikan. 1. Posisi awal ketika ingin melakukan perhitungan harus dimulai dari petak 0. 2. Jika bilangan pertama bertanda positif, maka kita harus menghadap ke arah bilangan positif dan melangkah maju sesuai dengan besarnya bilangan pertama tersebut. Sebaliknya jika bilangan pertamanya negatif, maka kita harus menghadap ke arah bilangan negatif dan melangkah maju sesuai dengan besarnya bilangan pertama tersebut. 3. Jika bilangan kedua yaitu bilangan pengurangnya merupakan bilangan positif, maka kita bergerak mundur dari posisi terakhir dengan sisi muka kita menghadap ke arah bilangan positif, dan jika bilangan pengurangnya negatif, maka kita melangkah mundur dari posisi terakhir dengan sisi muka kita menghadap ke arah bilangan negatif. Agar semakin jelas, perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh : Berapakah hasil dari 3 – 5 ? Langkah 1, kita akan mulai bergerak dari petak 0. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 2, karena bilangan pertama positif maka kita menghadap ke arah bilangan positif dan melangkah maju sebanyak 3 petak dan berhenti sementara di petak 3. v v
55 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya positif, maka kita tetap menghadap ke arah yang sama yaitu ke arah bilangan positif dan kemudian mundur sebanyak 5 petak dari petak 3 dan petak terakhir dimana kita berhenti adalah petak -2 yang merupakan hasil pengurangan, yaitu 3 - 5 = -2. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Contoh : Berapakah hasil dari -2 – 4 ? Langkah 1, kita akan mulai bergerak dari petak 0. - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Langkah 2, karena bilangan pertama negatif maka Budi menghadap ke arah bilangan negatif dan melangkah maju sebanyak 2 petak dan berhenti sementara di petak -2. v v v
56 - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya positif, maka kita dari arah semula berbalik arah menghadap arah bilangan positif dan kemudian mundur sebanyak 4 petak dari petak -2 dan petak tempat terakhir dimana kita berhenti adalah petak -6 yang merupakan hasil pengurangannya, yaitu -2 - 4 = -6. - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Contoh : Berapakah hasil dari 4 – (-3) ? Langkah 1, kita akan mulai bergerak dari petak 0. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 2, karena bilangan pertama positif maka kita menghadap ke arah bilangan positif dan melangkah maju sebanyak 4 petak dan berhenti sementara di petak 4. v v v v
57 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya negatif, maka kita berbalik arah menghadap ke arah bilangan negatif dan kemudian mundur sebanyak 3 petak dari petak 4 dan petak tempat terakhir dimana kita berhenti adalah petak 7 yang merupakan hasil pengurangan, yaitu 4 – (-3) = 7. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Contoh : Berapakah hasil dari -1 – (-5) ? Langkah 1, kita akan mulai bergerak dari petak 0. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 2, karena bilangan pertama negatif maka kita menghadap ke arah bilangan negatif dan melangkah maju sebanyak 1 petak dan berhenti sementara di petak -1. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah 3, karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya negatif, maka kita menghadap ke arah bilangan negatif dan kemudian mundur sebanyak 5 petak dari petak v v v
58 -1 dan petak tempat terakhir dimana kita berhenti adalah petak 4 yang merupakan hasil pengurangannya, yaitu -1 – (-5) = 4. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C. Pengurangan Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Garis Bilangan Jika penjumlahan dapat diartikan sebagai langkah maju yang ditunjukkan oleh arah anak panah pada garis bilangan, maka pengurangan dapat diartikan sebagai langkah mundur. Agar semakin jelas bagaimana garis bilangan ini kita gunakan untuk menghitung pengurangan pada bilangan bulat, perhatikan beberapa prinsip kerja penggunaan garis bilangan berikut. 1. Setiap akan melakukan penghitungan kita akan selalu mulai dari bilangan 0 atau skala 0. 2. Jika bilangan pertama merupakan bilangan positif, maka ujung anak panah diarahkan ke bilangan positif dan bergerak maju sesuai skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama. Sebaliknya jika bilangan pertama merupakan bilangan negatif, maka ujung anak panah diarahkan ke bilangan negatif dan bergerak maju sesuai skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama tersebut. 3. Jika bilangan kedua atau bilangan pengurangnya bilangan positif, maka anak panah akan mundur dengan ujung anak panahnya menghadap ke arah bilangan positif dan dimulai dari ujung panah yang menunjukkan skala bilangan pertama. Jika bilangan pengurangnya bilangan negatif, maka anak panah akan mundur dengan ujung anak panah menghadap ke arah bilangan negatif dan dimulai dari ujung panah yang menunjukkan skala bilangan pertama. 4. Hasil pengurangan adalah skala/bilangan yang ada di bawah pangkal anak panah bilangan pengurangnya. Catatan: Ujung anak panah v
59 1. 2. Gerakan mundur dimulai dari ujung anak panah ke arah pangkal anak panah Contoh: Berapakah hasil dari 5 - 3 ? Untuk menghitung pengurangan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 5. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan positif 5. I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2. Karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya bilangan positif, maka arah anak panahnya tetap menghadap arah bilangan positif. Selanjutnya gerakan mundur anak panah sebanyak 3 langkah dari posisi skala 5. I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3. Posisi akhir dari pangkal anak panah terletak di atas skala 2. Ini menunjukkan bahwa hasil dari 5 - 3 = 2. Contoh : Berapakah hasil dari 4 - (-2) ? Untuk menghitung pengurangan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: Pangkal anak panah
60 1. Dari skala 0, gerakkan anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 4. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan positif 4. I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2. Karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya bilangan negatif, maka arah anak panahnya berbalik arah dan menghadap arah bilangan negatif. Selanjutnya gerakan mundur anak panah sebanyak 2 langkah dari posisi skala 4. I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3. Posisi akhir dari pangkal anak panah terletak di atas skala 6. Ini menunjukkan bahwa hasil dari 4 - (-2) = 6. Contoh : Berapakah hasil dari (-2) - 3 ? Untuk menghitung pengurangan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala -2. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan negatif 2. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2. Karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya bilangan positif, maka arah anak panahnya berbalik arah menghadap arah bilangan positif. Selanjutnya gerakan mundur anak panah sebanyak 3 langkah dari posisi skala -2.
61 I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3. Posisi akhir dari pangkal anak panah bilangan pengurangnya terletak di atas skala -5. Ini menunjukkan bahwa hasil dari (-2) - 3 = -5. Contoh : Berapakah hasil dari (-3) – (-5)? Untuk menghitung pengurangan ini dapat dikerjakan dengan cara berikut: 1. Dari skala 0, gerakkan anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala -2. Hal ini untuk menunjukkan bahwa bilangan pertamanya adalah bilangan negatif 2. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2. Karena bilangan kedua atau bilangan pengurangnya bilangan negatif, maka arah anak panahnya tetap sama menghadap ke arah bilangan negatif. Selanjutnya gerakan mundur anak panah sebanyak 5 langkah dari posisi skala -3. I I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3. Posisi akhir dari pangkal anak panah bilangan pengurangnya terletak di atas skala 2. Ini menunjukkan bahwa hasil dari (-3) – (-5) = 2. Dari contoh-contoh hasil pengurangan di atas, kita dapat mencatat beberapa hal penting dalam operasi pengurangan bilangan bulat sebagai berikut: Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka:
62 a. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka hasilnya dalah bilangan bulat positif. b. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka hasilnya adlah bilangan bulat negatif. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif maka: a. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih kecil maka hasilnya adalah bilangan bulat positif. b. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif. c. Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatif yang mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol). ▪ Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu bilangan bulat positif. ▪ Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif hasilnya selalu bilangan bulat negatif. D. Sifat-Sifat Operasi Hitung Pengurangan Pada Bilangan Bulat Pada operasi pengurangan bilangan bulat terdapat beberapa sifat penting yang perlu kita ketahui agar kita semakin memahami secara mendalam. Supaya lebih mudah dalam memahami sifat-sifat operasi pengurangan pada bilangan bulat kita akan menggunakan beberapa contoh untuk memperjelas sifat-sifat tersebut. 1. Sifat Tertutup Untuk memahami operasi pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup, perhatikan himpunan bilangan bulat B = {….,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. Misalkan kita mengambil dua buah bilangan bulat yang berbeda, sebagai contoh 5 dan 2. Jika kedua bilangan bulat ini kita kurangkan maka hasilnya adalah 5 - 2 = 3. Perhatikan bahwa hasil penjumlahan tersebut, yaitu 3 juga merupakan bilangan bulat. Contoh lain, misalkan dua bilangan bulat yang dikurangkan adalah 1 dan 6. Hasil
63 pengurangannya adalah 1 - 6 = -5. Dan ternyata -5 juga merupakan bilangan bulat, yaitu bilangan bulat negatif. Demikian juga, misalkan yang kita ambil -4 dan -7. Jika kedua bilangan itu kita kurangkan maka hasilnya adalah -4 – (-7) = 3, dimana 3 juga merupakan bilangan bulat. Dari contoh-contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa jika kita mengambil sebarang dua bilangan bulat, maka hasil pengurangan kedua bilangan itu juga merupakan bilangan bulat. Dengan kata lain, jika kita mengurangkan dua bilangan bulat, maka hasilnya pasti merupakan bilangan bulat juga. Sifat yang seperti demikian disebut sifat tertutup. Secara umum, jika a dan b merupakan bilangan bulat, maka a - b = c, dimana c merupakan bilangan bulat. 2. Tidak berlaku Sifat Pertukaran (Sifat Komutatif) Apakah 2 – 3 sama dengan 3 – 2? Perhatikan bahwa 2 – 3 = -1 dan 3 – 2 = 1. Karena -1 tidak sama dengan 1, maka 2- 3 tidak sama dengan 3 – 2. Contoh di atas menunjukkan kepada kita bahwa dalam operasi pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat pertukaran (sifat komutatif). Sehingga, untuk sebarang bilangan bulat a dan b, tidak berlaku sifat komutatif, yaitu a – b ≠ b – a.
64 3. Tidak berlaku Sifat Pengelompokan (Sifat Asosiatif) Untuk memahami mengapa sifat pengelompokan (sifat asosiatif) ini tidak berlaku dalam operasi pengurangan pada bilangan bulat, coba hitung hasil dari operasi pengurangan berikut: 1) (7 – 3) – 5 = ? 2) 7 – ( 3 – 5) = ? Hasil dari (7 – 3) – 5 = 4 – 5 = -1, sedangkan hasil dari 7 – (3 – 5) = 7 – (-2) = -9. Dari hasil perhitungan tampak bahwa (7 – 3) – 5 ≠ 7 – (3 – 5). Dari contoh di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c, maka (a – b) – c ≠ a – (b – c). 4. Sifat bilangan Nol dalam operasi pengurangan bilangan bulat Perhatikan hasil pengurangan yang melibatkan bilangan nol berikut: 2 – 0 = 2 -3 – 0 = -3 8 – 0 = 8 0 – 3 = -3 0 – 5 = -5 0 – (-1) = 1 Dari hasil penjgurangan di atas tampak bahwa suatu bilangan dikurangi dengan bilangan nol hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Dan bilangan nol dikurangi dengan suatu bilangan hasilnya adalah lawan dari bilangan tersebut. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku a – 0 = a dan 0 – a = -a. Tahukah Kamu? Orang yang pertama kali memperkenalkan simbol (+) sebagai lambing penjumlahan dan simbol (-) sebagai lambing pengurangan adalah Johann Widman. Kedua lambing bilangan ini diperkenalkan oleh Widman pada tahun 1489 dalam bukunya yang berjudul Mercantile Arithmetic. Sayang, dalam buku ini Widman tidak menjelaskan cara penggunaan kedua simbol tersebut. Baru pada tahun 1514, seorang matematikawan berkebangsaan Belanda yang bernama Vander Hoecke menjelaskan penggunaan simbol (+) dan (-) dalam operasi penjumlahan dan pengurangan.
65 E. Pengurangan Pada Bilangan Bulat Dengan Cara Bersusun Seperti halnya pada penjumlahan bilangan bulat, untuk pengurangan yang melibatkan bilangan-bilangan yang bernilai besar penggunaan alat bantu seperti potongan sedotan, petak bilangan, maupun garis bilangan memiliki keterbatasan. Oleh karena itu kita akan meninggalkan cara pengurangan secara konkrit dan semi konkret atau semi abstrak tersebut dan akan lebih banyak bekerja dalam tataran abstrak. Dalam artian, tidak lagi menggunakan alat bantu tertentu dalam menghitung pengurangan pada bilangan bulat. Sebelum lebih jauh membahas tentang pengurangan pada bilangan bulat dengan cara bersusun, terlebih dulu kita akan mencoba melihat hubungan antara operasi pengurangan dan operasi penjumlahan pada bilangan bulat. Untuk itu, cobalah hitung hasil pengurangan berikut: 1) 5 – 2 = ? 2) 5 – (-3) = ? 3) -5 – (-4) = ? Demikian juga, coba kamu hitung hasil penjumlahan berikut: 1) 5 + (-2) = ? 2) 5 + 3 = ? 3) -5 + 4 = ? Nah, jika sudah selesai mengerjakan, selanjutnya bandingkan hasil pengurangan dan penjumlahan di atas. Jika jawabanmu benar, maka kita akan memperoleh hasilnya sebagai berikut: 1) 5 – 2 = 3 ternyata hasilnya sama dengan 5 + (-2) = 3 2) 5 – (-3) = 8 hasilnya sama dengan 5 + 3 = 8 3) -5 – (-4) = -1 hasilnya sama dengan -5 + 4 = 1. Dari contoh perhitungan di atas, kita dapat mengatakan bahwa “mengurangi suatu bilangan bulat sama saja dengan menjumlahkan dengan lawan dari bilangan yang mengurangi”. Secara umum, misalkan a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b) atau a – (-b) = a + b. Sehingga dengan mudah kita bisa mengerjakan berbagai soal pengurangan, seperti contoh berikut. 3 – (-7) = 3 + 7 = 10 -2 - (-21) = -2 + 21 = 19
66 Kita perlu mencari cara agar pengurangan bilangan bulat dapat dikerjakan dengan lebih cepat. Salah satu cara pengurangan bilangan bulat adalah pengurangan dengan cara bersusun. Secara umum, pengurangan dengan cara bersusun dilakukan dengan cara meletakkan bilangan yang dikurangkan dengan bilangan pengurangnya bersusun secara vertikal atau secara menurun mulai dari bilangan pertama, kemudian di bawahnya bilangan kedua dan seterusnya. Namun yang harus diperhatikan dalam penyusunan bilangan secara bersusun menurun ini adalah letak dari angka-angka penyusun bilangan tersebut. Angka satuan pada bilangan yang dikurangi harus diletakkan dalam kolom yang sama dengan angka satuan pada bilangan pengurang, demikian juga dengan angka-angka puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Untuk lebih memperjelas, perhatikan contoh berikut. Misalkan kita akan mengurangi bilangan 76 dengan 32, maka kedua bilangan tersebut dapat dituliskan dalam pengurangan bersusun sebagai berikut. 76 32 - Pengurangan secara bersusun, secara umum dapat dilakukan dengan langkahlangkah berikut: (1) Kurangkan satuan dengan satuan (2) Kurangkan puluhan dengan puluhan (3) Kurangkan ratusan dengan ratusan (4) Kurangkan ribuan dengan ribuan Dan seterusnya. 1. Mengurangkan tanpa Teknik Meminjam Pengurangan tanpa teknik menyimpan dapat dilakukan jika masing-masing angka penyusun bilangan yang dikurangi lebih besar dari angka-angka penyusunan bilangan pengurangnya. Artinya angka satuan dari bilangan yang dikurangi lebih besar dari angka satuan dari bilangan yang mengurangi. Demikian pula dengan angka puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. puluhan satuan
67 Contoh : 253 568 5.678 41 243 3.456 – – – 212 325 2.222 Pada contoh pengurangan di atas dilakukan dengan mengurangkan angka satuan pada bilangan yang dikurangi dengan angka satuan pada bilangan yang mengurangi. Karena angka satuan bilangan yang dikurangi lebih besar dari angka satuan pada bilangan yang mengurangi, maka hasilnya bisa langsung dituliskan di bawah garis, tepat dibawah angka satuan (satu kolom dengan angka-angka satuan). Selanjutnya mengurangkan angka puluhan pada bilangan yang dikurangi dengan angka puluhan pada bilangan yang mengurangi. Karena angka puluhan bilangan yang dikurangi lebih besar dari angka puluhan pada bilangan yang mengurangi, maka hasilnya bisa langsung dituliskan di bawah garis, tepat dibawah angka puluhan (kolom angka puluhan). Hal yang sama dilakukan untuk angka-angka ratusan, ribuan dan seterusnya, dan tinggal menuliskan hasil pengurangannya di bawah kolom ratusan, kolom ribuan dan seterusnya. Catatan: Untuk menguji apakah jawaban kita benar atau salah, kita dapat menjumlahkan hasil pengurangan dengan bilangan pengurangnya (bilangan yang mengurangi). Jika hasilnya sama dengan bilangan yang dikurangi, maka jawaban kita benar, tetapi jika jawabannya tidak sama, maka jawaban kita salah. Contoh : 568 243 – 325 Uji! 325 243 + 568 Benar Sama
68 2. Mengurangkan dengan Teknik Meminjam Kita tahu bahwa hasil pengurangan dari angka-angka penyusun bilangan yang dikurangi tidak selalu lebih besar dari angka-angka penyusun bilangan pengurangnya/bilangan yang mengurangi. Bisa saja angka-angka penyusun bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka-angka penyusun bilangan pengurangnya, baik untuk angka satuan, puluhan, ratusan dan yang lainnya. Untuk itu kita memerlukan cara yang berbeda dengan cara pengurangan sebelumnya, yaitu pengurangan dengan teknik meminjam. Pengurangan dengan teknik meminjam dilakukan jika angka-angka penyusun bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka-angka penyusun bilangan pengurangnya. Dan hal ini mungkin terjadi pada angka satuan, angka puluhan, angka ratusan, angka ribuan dan seterusnya. Prinsipnya jika angka satuan pada bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka satuan pada bilangan yang mengurangi, maka kita meminjam satu puluhan dari angka puluhan di depannya, sehingga pengurangan dapat dikerjakan. Selanjutnya perhitungan pada pengurangan angka-angka puluhan dilakukan dengan cara angka puluhan pada bilangan yang dikurangi dikurangi satu karena sudah dipinjam saat penghitungan pengurangan pada angka satuan. Jika angka puluhan dari bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka puluhan pada bilangan yang mengurangi, maka kita meminjam satu ratusan dari angka ratusan pada bilangan yang dikurangi. Demikian proses ini terus dilakukan hingga proses pengurangan selesai dilakukan untuk setiap angka-angka penyusun bilangan yang dikurangi dan bilangan pengurangnya. Agar semakin jelas, perhatikan contoh berikut. a) Mengurangkan dengan Satu Kali Teknik Meminjam Contoh: Berapakah hasil dari 987 – 49 ? Untuk menghitung pengurangan ini, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: 987 = 900 + (70 + 10) + 7 = 900 + 70 + 17 49 = 40 + 9 = 40 + 9 – 900 + 30 + 8 = 938 Jadi, 987 – 49 = 938.
69 Bisa juga dilakukan dengan proses penghitungan sebagai berikut: 9 8 7 9 8 7 9 8 7 4 9 – 4 9 – 4 9 – 8 3 8 ( + 7) – 9 = (7 – 4) = (9 – 0) = Jadi, 987 – 49 = 938. Contoh : Berapakah hasil dari 586 – 349 ? Untuk menghitung pengurangan ini, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: 586 = 500 + (70 + 10) + 6= 500 + 70 + 16 349 = 300 + 40 + 9 = 300 + 40 + 9 – 200 + 30 + 7 = 237 Jadi, 586 – 349 = 237. Bisa juga dilakukan dengan proses penghitungan sebagai berikut: 5 8 6 5 8 6 5 8 7 3 4 9 – 3 4 9 – 3 4 9 – 7 3 7 ( + 6) – 9 = (7 – 4) = (5 – 3) = Jadi, 586 – 349 = 237. 2) Mengurangkan dengan Dua Kali Teknik Meminjam Contoh: Berapakah hasil dari 435 – 59? 7 7 3 8 3 9 9 10 10 8 7 3 7 3 2 2 10 10 7 7
70 Untuk menghitung pengurangan ini, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: 4 3 5 4 3 5 4 3 5 5 9 – 5 9 – 5 9 – 6 7 6 ( + 5) – 9 = ( + 2) – 5) = (3 – 0) = Jadi, 435 – 59 = 376. Contoh: Berapakah hasil dari 646 – 459? Untuk menghitung pengurangan ini, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: 6 4 6 6 4 6 6 4 6 4 5 9 – 4 5 9 – 4 5 9 – 7 8 7 ( + 6) – 9 = ( + 3) – 5) = (5 – 4) = Jadi, 646 – 449 = 187. F. Beberapa Cara Menghitung Cepat Pengurangan Agar tidak terlalu banyak menghabiskan waktu, kita membutuhkan ketrampilan untuk menghitung pengurangan secara cepat dan tepat. Berikut adalah beberapa cara cepat menghitung pengurangan. 2 3 7 6 7 3 3 10 10 6 8 7 8 1 1 10 10 7 10 10 10 10 3 2 3 3 5 5
71 1. Mengubah Bilangan Pengurang Menjadi 10 atau Kelipatannya Salah satu cara untuk memudahkan kita dalam menghitung pengurangan adalah dengan mengubah bilangan pengurangnya menjadi 10 atau kelipatan 10. Bagaimana caranya? Perhatikan contoh berikut. Misalkan kita akan menghitung 63 – 9. Pertama-tama kita ubah dulu bilangan pengurangnya, yaitu 9 menjadi bilangan 10 atau kelipatannya. Caranya, dengan menambah 9 dengan 1, sehingga menjadi 10. Karena penguranganya ditambah dengan 1, maka bilangan yang dikurangi, yaitu 63 juga ditambah dengan 1, sehingga menjadi 64. Selajutnya pengurangan akan menjadi 64 – 10 = 54. Jadi hasil pengurangan dari 63 – 9 = 54. Bagaimana mudah bukan? Baiklah, kita aka coba dengan pengurangan yang lain. Berapakah hasil dari 97 – 29? Menyelesaikan soal ini sama saja dengan menghitung 98 – 30 = 68. Bagaimana jika 41 – 8? Caranya ubah 8 menjadi 10, yaitu dengan menambahkan dengan 2. Demikian juga kita harus menambahkan 41 dengan 2, sehingga menjadi 43. Selanjutnya hitung 43 – 10 = 33. Jadi hasil dari 41 – 8 = 33. Bagaimana dengan 85 – 47? Mudah saja, tambah bilangan pengurangnya dengan 3, sehingga diperoleh 50. Demikian juga dengan bilangan yang dikurangi ditambah dengan 3, sehingga menjadi 88. Selanjutnya kurangi 88 dengan 50 dan dengan mudah diperoleh 38. Berapakah hasil dari 376 – 92? Nah, dalam hal ini karena satuan bilangan yang mengurangi untuk menjadi nol lebih dekat dikurangi dengan 2 daripada ditambah dengan 8, maka bilangan pengurangnya kita kurangi dengan 2. Karena bilangan pengurang dikurangi 2, maka bilangan yang dikurangi juga dikurangi 2, sehingga soal pemngurangan tersebut menjadi 374 – 90. Tentu bentuk pengurangan ini lebih mudah dicari hasilnya, yaitu 284. 2. Mengurangi Dengan Cara Menjumlahkan Selisih Bilangan yang dikurangi dan Bilangan yang mengurangi dengan 100 Salah satu cara agar pengurangan dapat dilakukan dengan lebih cepat adalah dengan cara menjumlahkan selisih masing-masing bilangan yang dikurangi dan bilangan yang mengurangi dengan 100. Sebagai contoh, berapakah hasil dari 127 – 89? Pertama-tama kita cari terlebih dulu selisih antara 127 dan 100 diperoleh 27. Selanjutnya mencari selisih antara 89 dan 100 adalah 11. Selanjutnya jumlahkan kedua
72 selisih tersebut, diperoleh 27 + 11 = 38. Jadi, hasil dari 127 – 89 = 27 + 11 = 38. Mudah bukan? Contoh lain, hitunglah nilai dari 176 – 93! Selisih 176 dengan 100 adalah 76. Selisih antara 93 dan 100 adalah 3. Hasil pengurangan dari 176 – 93 = 76 + 7 = 83. Namun kita perlu berhati-hati, karena tidak sembarang bilangan bisa dikerjakan dengan cara ini. Cara seperti di atas hanya dapat digunakan untuk pengurangan yang melibatkan bilangan lebih dari 100 tetapi kurang dari 200 dan bilangan kurang dari 100. Apakah ini berarti kita tidak bisa mengurangkan bilangan yang lain? Jangan khawatir! Kita bisa mengembangkan cara di atas untuk pengurangan yang melibatkan antara dua ratus hingga tiga ratus dan seratus hingga dua ratus. Misalkan, 284 – 197. Bagaimana caranya? Serupa dengan cara di atas hanya sekarang dicari selisih antara kedua bilangan itu dengan 200, kemudian menjumlahkan hasilnya. Kita cari selisih 284 dengan 200, yaitu 84. Selisih 197 dengan 200 adalah 3. Selanjutnya jumlahkan kedua selisih tersebut, yaitu 84 + 3 = 87. Jadi hasil dari 284 – 198 = 87. Tentu saja, kita bisa mengembangkan cara ini untuk mengerjakan pengurangan antara dua bilangan ratusan yang berdekatan yang lain. 3. Mengurangi Tanpa Meminjam Sebenarnya salah satu alasan mengapa pengurangan dianggap lebih sulit dibandingkan dengan penjumlahan adalah karena adanya konsep meminjam dalam pengurangan. Seperti sudah dibahas pada bagian sebelumnya, dalam proses menghitung pengurangan pada bilangan bulat seringkali kita harus meminjam dari angka sebelah kirinya (puluhan) jika angka satuan dari bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka satuan pada bilangan pengurang. Demikian pula jika angka puluhan pada bilangan yang dikurangi lebih kecil dari angka puluhan pada bilangan pengurang, maka kita harus meminjam dari angka sebelah kirinya lagi (ratusan). Demikian seterusnya. Semakin banyak proses meminjam yang dilakukan, kemungkinan melakukan kesalahan semakin besar. Inilah yang kerap terjadi dan harus diwaspadai dalam pengurangan. Salah satu cara untuk memudahkan menghitung pengurangan dan mengurangi kemungkinan salah dalam operasi pengurangan bilangan bulat adalah dengan cara mengurangi tanpa meminjam. Konsep dasar cara ini adalah mengubah bilangan yang dikurangi menjadi bilangan yang memuat bentuk sembilan. Ingat bahwa sembilan adalah angka satuan terbesar. Sehingga jika angka yang hendak dikurangi adalah
73 Sembilan, maka proses meminjam dari angka sebelah kirinya tidak perlu dilakukan, karena tidak mungkin ada angka yang lebih besar dari sembilan. Misalkan kita ingin menghitung a – b. Bilangan yang dikurangi yaitu a kita ubah dulu ke bentuk sembilan. Jika a puluhan, maka: a – b = 99 + 1 – 100 + a – b = 99 – b + a + 1 – 100 Contoh : Berapakah hasil dari 84 – 37? Untuk menghitung pengurangan ini, kita dapat melakukan langkah-langkah berikut: Langkah 1 : Kurangi 99 dengan bilangan pengurang. 99 37 - 62 Langkah 2 : Jumlahkan hasil pengurangan pada langkah 1 dengan bilangan yang dikurangi 51 84 + 135 Langkah 3 : Hilangkan angka 1 di depan, dan tambah angka satuan dengan 1 Hasilnya : 35 + 1 = 36 Jika kita perhatikan cara di atas malah tampak lebih rumit dibandingkan dengan cara bisaa. Namun untuk bilangan yang sangat besar dan dalam perhitungan membutuhkan proses meminjam yang cukup banyak, maka cara ini akan lebih mudah dan efektif. Mari kita lihat untuk bilangan yang lebih besar. Jika a ratusan, maka: a – b = 999 + 1 – 1000 + a – b = 999 – b + a + 1 – 1000 Jika a ribuan, maka : a – b = 9999 + 1 – 10000 + a – b = 9999 – b + a + 1 – 10000 Dari rumus di atas, kita bisa mengembangkan rumusnya sendiri sesuai dengan bilangan yang dikurangi.
74 Contoh : Berapakah hasil dari 3456 – 789? Langkah 1 : 9999 789 - - 9210 Langkah 2 : 9210 3456 + 12666 Langkah 3 : Hilangkan angka 1 di depan dan tambah 1 pada angka satuan, diperoleh : 2666 + 1 = 2667 Jadi, 3456 – 789 = 2667 Contoh : Berapakah hasil dari 518347 – 39689? Secara ringkas soal di atas dapat dikerjakan sebagai berikut: 999999 39689 - 960310 407236 + 1367546 Hasilnya : 367546 + 1 = 367547
75 Bab VI Operasi Perkalian Pada Bilangan Bulat Sebelum kita membahas tentang perkalian bilangan bulat, mari kita ingat kembali tentang pengertian perkalian pada bilangan cacah yang pernah kita pelajari di kelas IV. Pada operasi perkalian bilangan cacah, kita telah mempelajari bahwa “ 3 x 2” (dibaca 3 kali duaan) diartikan sebagai “ 2 + 2 + 2” sedangkan “2 x 3” (dibaca dua kali tigaan) diartikan sebagai “3 + 3”. Dengan kata lain, perkalian pada suatu bilangan dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang. Secara umum, jika a dan b bilangan cacah, maka a x b = . Jadi, untuk mencari hasil kali a x b sama halnya dengan cara menghitung hasil penjumlahan b + b + b + …. + b sebanyak a kali. Contoh: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15 7 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 Berdasarkan prinsip di atas kita akan mencoba memahami operasi perkalian pada bilangan bulat dengan bantuan petak bilangan. A. Perkalian Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Petak Bilangan Sejauh ini setiap kali menggunakan petak bilangan dalam operasi penjumlahan maupun operasi pengurangan kita hanya melompat satu kali di setiap kotak/petak yang kita lewati. Bagaimana seandainya kita melewati dua kotak setiap kali kita melompat? Berapa banyak kotak yang kita lewati ketika kita melompat tiga kali? Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dari ilustrasi di atas tampak bahwa jika kita melompat tiga kali dan setiap kali melompat kita melewati dua petak, maka banyak petak yang kita lewati adalah enam sebanyak a suku b+ b+ b+ b+...+ b Melewati 2 petak Melewati 2 petak Melewati 2 petak
76 petak. Dalam perkalian, hal demikian bisa dituliskan sebagai 3 x 2 dan hasilnya adalah 6 ( 3 x 2 = 6) yaitu diperoleh dari 2 + 2 + 2 sebanyak 3 kali. Berapa banyak petak yang kita lewati jika kita melompat sebanyak dua kali dan setiap kali melompat kita melewati tiga petak? Silakan kamu mencobanya sendiri. 1. Perkalian dua bilangan bulat positif (a, b bilangan bulat, a > 0 dan b > 0) Untuk memahami perkalian pada bilangan bulat dengan menggunakan petak bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a) Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari petak 0 dan menghadap ke arah bilangan positif. b) Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b > 0, dari petak 0 kita melompat maju sebanyak a kali dan setiap kali melompat melewati sebanyak b petak. c) Petak terakhir dimana kita berhenti menunjukkan hasil perkalian a x b. Contoh : Berapakah hasil dari 5 x 2 = ? Kita mulai dari petak 0 dan menghadap arah bilangan positif. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Selanjutnya, kita melompat maju sebanyak 5 kali dan setiap kali melompat melewati 2 petak. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tampak bahwa petak terakhir dimana kita berhenti adalah petak 10. Ini berarti 5 x 2 = 10. 2. Perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a > 0 dan b < 0 Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a > 0 dan b < 0 dengan menggunakan petak bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut.
77 a) Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari petak 0 dan menghadap ke arah bilangan negatif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b < 0, dari petak 0 kita melompat maju sebanyak a kali dan setiap kali melompat melewati sebanyak b petak. c) Petak terakhir dimana kita berhenti menunjukkan hasil perkalian a x b. Contoh : Berapakah hasil dari 3 x (-2) ? Kita mulai dari petak 0 dan menghadap ke arah bilangan negatif -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Selanjutnya, kita melompat maju sebanyak 3 kali dan setiap kali melompat melewati 2 petak. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Tampak bahwa petak terakhir dimana kita berhenti adalah petak -6. Ini berarti 3 x (-2) = 10. 3. Perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a < 0 dan b > 0 Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a < 0 dan b > 0 dengan menggunakan petak bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari petak 0 dan menghadap ke arah bilangan positif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b < 0, dari petak 0 kita melangkah mundur sebanyak a kali dan setiap kali melangkah melewati sebanyak b petak. c) Petak terakhir dimana kita berhenti menunjukkan hasil perkalian a x b. Contoh : Berapkah hasil dari (-2) x 3 ?
78 Kita mulai dari petak 0 dan menghadap arah bilangan positif. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dari petak 0 kita melangkah mundur sebanyak 2 kali dan setiap kali melangkah melewati sebanyak 3 petak. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Tampak bahwa petak terakhir dimana kita berhenti adalah petak -6. Ini berarti (-2) x 3 = -6. 4. Perkalian dua bilangan bulat 78egative (a, b bilangan bulat, a < 0 dan b < 0) Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat 78egative dengan menggunakan petak bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari petak 0 dan menghadap 78egativ bilangan 78egative. b). Untuk menghitung a x b, dimana a < 0 dan b < 0, dari petak 0 kita melompat mundur sebanyak a kali dan setiap kali melompat melewati sebanyak b petak. d) Petak terakhir dimana kita berhenti menunjukkan hasil perkalian a x b. Contoh : Berapakah hasil dari -5 x -2 ? Kita mulai dari petak 0 dan menghadap ke arah bilangan negatif -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dari petak 0 kita melompat mundur sebanyak 5 kali dan setiap kali melompat melewati sebanyak 2 petak.
79 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tampak bahwa petak terakhir dimana kita berhenti adalah petak 10. Ini berarti -5 x -2 = 10. B. Perkalian Bilangan Bulat Dengan Menggunakan Garis Bilangan Pada dasarnya perkalian bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan prinsipnya sama dengan perkalian bilangan bulat dengan petak bilangan. Perkalian a x b dapat dipahami dengan garis bilangan sebagai banyaknya skala yang dilewati jika kita melangkah a kali dan setiap langkah kita melewati sebanyak b skala. Sebagai contoh, berapakah hasil dari 2 x 3? Dan bagaimana perkalian tersebut dijelaskan dengan menggunakan garis bilangan? Kita tahu bahwa 2 x 3 = 3 + 3. Ini berarti bahwa untuk menghitung 2 x 3 dapat dilakukan dengan cara menghitung 3 + 3. Dan pada bagian sebelumnya kita sudah membahas tentang penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan, yaitu sebagai berikut: I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tampak bahwa hasil dari 2 x 3 = 3 + 3 = 6. Sekarang bandingkan dengan cara berikut: I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Untuk menghitung 2 x 3, dari skala 0 kita melangkah maju sebanyak dua kali dan setiap kali melangkah kita melewati tiga skala. Skala terakhir yang ditunjuk oleh ujung anak panah merupakan hasil perkaliannya, yaitu skala 6. Jadi, 2 x 3 = 6. Melewati 3 skala Melewati 3 skala
80 1. Perkalian dua bilangan bulat positif (a, b bilangan bulat, a > 0 dan b > 0) Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat positif dengan menggunakan garis bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari skala 0 dan menghadap ke arah bilangan positif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b > 0, dari skala 0 kita melangkah maju sebanyak a kali dan setiap langkah sebanyak b skala. c). Skala terakhir yang ditunjuk oleh ujung anak panah merupakan hasil perkalian dari a x b. Contoh : Berapakah hasil dari 3 x 2? I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dari skala 0 melangkah maju sebanyak tiga kali dan setiap langkah sebanyak dua skala. Ujung anak panah terakhir menunjuk skala 6. Ini berarti 3 x 2 = 6. 2. Perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a > 0 dan b < 0 Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a > 0 dan b < 0 dengan menggunakan garis bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari skala 0 dan menghadap ke arah bilangan negatif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b < 0, dari skala 0 kita melangkah maju sebanyak a kali dan setiap langkah sebanyak b skala. c) Skala terakhir yang ditunjuk oleh ujung anak panah merupakan hasil perkalian dari a x b. Contoh : Berapakah hasil dari 3 x (-2) =? I I I I I I I I I I I -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
81 Dari skala 0 melangkah maju sebanyak tiga kali ke arah bilangan negatif dan setiap langkah sebanyak dua skala. Ujung anak panah terakhir menunjuk skala -6. Ini berarti 3 x (-2) = -6. 3. Perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a < 0 dan b > 0 Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat a dan b, dimana a < 0 dan b > 0 dengan menggunakan garis bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari skala 0 dan menghadap ke arah bilangan positif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a > 0 dan b < 0, dari petak 0 kita melangkah mundur sebanyak a kali dan setiap langkah sebanyak b skala. c) Skala terakhir yang ditunjuk oleh ujung anak panah merupakan hasil perkalian dari a x b. Contoh : Berapakah hasil dari (-2) x 3? I I I I I I I I I I I -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Dari skala 0 melangkah mundur sebanyak dua kali dan setiap langkah sebanyak tiga kali. Ujung anak panah terakhir menunjuk skala -6. Ini berarti -2 x 3 = -6. 4. Perkalian dua bilangan bulat negatif (a, b bilangan bulat, a < 0 dan b < 0) Untuk memahami perkalian dua bilangan bulat negatif dengan menggunakan garis bilangan, kita harus memperhatikan beberapa ketentuan berikut. a). Setiap kali akan memulai perhitungan kita harus mulai dari skala 0 dan menghadap ke arah bilangan negatif. b). Untuk menghitung a x b, dimana a < 0 dan b < 0, dari skala 0 kita melangkah mundur sebanyak a kali dan setiap langkah sebanyak b skala. c). Skala terakhir yang ditunjuk oleh ujung anak panah merupakan hasil perkalian dari a x b. Contoh : Berapakah hasil dari (-3) x (-2)?
82 I I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dari skala 0 melangkah mundur sebanyak tiga kali dan setiap langkah sebanyak dua kali. Ujung anak panah terakhir menunjuk skala 6. Ini berarti -3 x -2 = 6. Catatan: Perhatikan bahwa bilangan kedua menentukan arah kemana menghadap. Jika bilangan kedua positif dari skala 0 kita menghadap ke arah bilangan positif. Sebaliknya jika bilangan kedua negatif dari skala 0 kita menghadap ke arah bilangan negatif. Sementara bilangan pertama menetukan apakah kita melangkah maju atau mundur. Jika bilangan pertama positif maka kita melangkah maju, sedangkan jika negatif kita melangkah mundur. C. Perkalian Bilangan Bulat Secara Abstrak Jika kita perhatikan kembali perkalian pada bilangan cacah, dimana a x b = b + b + b +… + b sebanyak a kali, maka dengan mudah kita bisa menghitung hasil perkalian yang melibatkan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, seperti berikut. a. 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 b. 6 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 Dari hasil di atas tampak bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. Demikian juga jika kita mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, ketentuan perkalian sebagai penjumlahan berulang masih mudah kita pahami. Sebagai contoh: a. 3 x (-6) = (-6) + (-6) + (-6) = -18 b. 5 x (-8) = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8) = -40 Dari hasil di atas tampak bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
83 Persoalannya bagaimana jika bilangan bulat negatif yang merupakan bilangan pertama yang dikalikan? Dengan kata lain bagaimana menghitung perkalian jika posisi bilangan bulat negatif letaknya pada bilangan pertama? Tentu saja, konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang tidak bisa diterapkan dalam hal demikian. Lalu bagaimana cara menentukannya? Perhatikan bentuk perkalian-perkalian berikut ini. 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9 2 x 3 = 3 + 3 = 6 1 x 3 = 3 0 x 3 = 0 -1 x 3 = …. -2 x 3 = ….. -3 x 3 = …. -4 x 3 = …. -5 x 3 = ….. Pada bentuk perkalian di atas konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang hanya bisa kita pakai hingga 0 x 3. Untuk -1 x 3 dan seterusnya hasilnya dapat kita tentukan dengan cara berikut. Perhatikan bahwa bilangan pengali (bilangan pertama) dari urutan teratas hingga urutan dibawahnya selalu berkurang 1 (dari 5 ke 4 berkurang 1, dari 4 ke 3 berkurang 1, dari 3 ke 2 berkurang 1, dari 2 ke 1 berkurang 1, dari 1 ke 0 berkurang 1, dari 0 ke -1 berkurang 1, dan seterusnya). Sedangkan bilangan yang dikali tetap, yaitu 3. Perhatikan juga bahwa hasil-hasil perkalian dari urutan teratas ke urutan berikutnya selalu berkurang 3 (dari 15 berkurang 3 menjadi 12, dari 12 berkurang 3 menjadi 9, dari 9 berkurang 3 menjadi 6, dari 6 berkurang 3 menjadi 3, dari 3 berkurang 3 menjadi 0, dari 0 berkurang 3 menjadi -3, dari -3 berkurang 3 menjadi -6, dan seterusnya). Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola berikut.
84 5 x 3 = 15 berkurang 1 berkurang 3 4 x 3 = 12 berkurang 1 berkurang 3 3 x 3 = 9 berkurang 1 berkurang 3 2 x 3 = 6 berkurang 1 berkurang 3 1 x 3 = 3 berkurang 1 berkurang 3 0 x 3 = 0 berkurang 1 berkurang 3 -1 x 3 = … berkurang 1 berkurang 3 -2 x 3 = … berkurang 1 berkurang 3 -3 x 3 = …. berkurang 1 berkurang 3 -4 x 3 = …. berkurang 1 berkurang 3 -5 x 3 = …. Berdasarkan pola perkalian di atas, maka kita dapat mengisi titik-titik yang merupakan hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan 3, yaitu sebagai berikut. (-1) x 3 = -3 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi 3 (0 – 3 = -3) (-2) x 3 = -6 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi 3 (-3 – 3 = -6) (-3) x 3 = -9 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi 3 (-6 – 3 = -9) (-4) x 3 = -12 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi 3 (9 – 3 = -6) Dari hasil ini, tampak bahwa hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif. Dengan cara serupa, kita dapat dengan mudah memahami perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Perhatikan bentuk perkalian-perkalian berikut ini. 4 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8 3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6 2 x (-2) = (-2) + (-2) = -4 1 x (-2) = (-2) = -2 0 x (-2) = 0 -1 x (-2) = …. -2 x (-2) = …..
85 -3 x (-2) = …. -4 x (-2) = …. Pada bentuk perkalian di atas konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang hanya bisa kita pakai hingga 0 x (-2). Untuk -1 x (-2) dan seterusnya hasilnya dapat kita tentukan dengan cara berikut. Perhatikan bahwa bilangan pengali (bilangan pertama) dari urutan teratas hingga urutan dibawahnya selalu berkurang 1 (dari 4 ke 3 berkurang 1, dari 3 ke 2 berkurang 1, dari 2 ke 1 berkurang 1, dari 1 ke 0 berkurang 1, dari 0 ke -1 berkurang 1, dan seterusnya). Sedangkan bilangan yang dikali tetap, yaitu -2. Perhatikan juga bahwa hasil-hasil perkalian dari urutan teratas ke urutan berikutnya selalu berkurang -2 atau beratambah 2 (dari -8 berkurang -2 (bertambah 2) menjadi -6, dari -6 berkurang -2 (bertambah 2) menjadi -4, dan seterusnya). Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola berikut. 4 x (-2) = -8 berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) 3 x (-2) = -6 berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) 2 x (-2) = -4 berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) 1 x (-2) = -2 berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) 0 x (-2) = 0 berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) -1 x (-2) = … berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) -2 x (-2) = … berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) -3 x (-2) = …. berkurang 1 berkurang -2 (bertambah 2) -4 x (-2) = …. Berdasarkan pola perkalian di atas, maka kita dapat mengisi titik-titik yang merupakan hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan (-2), yaitu sebagai berikut. (-1) x (-2) = 2 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi -2 (ditambah 2), yaitu 0 – (-2) = 0 + 2 = 2. (-2) x (-2) = 4 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi -2 (ditambah 2), yaitu 2 – (-2) = 2 + 2 = 4.
86 (-3) x (-2) = 6 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi -2 (ditambah 2), yaitu 4 – (-2) = 4 + 2 = 6. (-4) x (-2) = 8 diperoleh dari hasil kali bilangan di atasnya dikurangi -2 (ditambah 2), yaitu 6 – (-2) = 6 + 2 = 8. Dari hasil ini, tampak bahwa hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. D. Sifat-Sifat Perkalian Untuk memudahkan memahami sifat-sifat perkalian bilangan bulat, lengkapilah tabel perkalian berikut! x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 25 0 -25 -4 4 -4 -3 6 -6 -2 -1 0 0 0 1 -2 2 2 -6 6 3 4 -20 20 5 -20 20 Setelah selesai melengkapi tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1. Apakah hasil perkalian tersebut semuanya merupakan bilangan bulat? 2. Bagaimanakah hasil kali setiap bilangan dengan 0? 3. Bagaimanakah hasil kali setiap bilangan dengan 1? 4. Coba kamu perhatikan bilangan yang terletak di atas diagonal utama (garis putus-putus berwarna merah) dan bilangan yang terletak di bawah diagonal utama, apakah semuanya sama? Mengapa bisa begitu? Coba berikan penjelasannya! Tabel 6.1; Tabel Perkalian
87 Selanjutnya lengkapi pula tabel-tabel di bawah ini. Tabel 6.2 a b C (a x b) (b x c) (a x b) x c a x (b x c) 2 5 4 10 20 40 40 3 -1 6 -4 7 -8 -5 -2 -9 Tabel 6.3 a b C (b + c) a x (b + c) (a x b) (a x c) (a x b) + (a x c) 3 2 5 4 -3 -6 -5 -2 8 -7 9 -5 Tabel 6.4 a b C (b - c) a x (b - c) (a x b) (a x c) (a x b) - (a x c) 5 8 2 3 -5 -4 -5 -6 7 -2 9 -1 Dari tabel 6.2, apakah hasil dari a x (b x c) = (a x b) x c? Dari tabel 6.3, apakah hasil dari a x ( b + c) = (a x b) + (a x c)? Dari tabel 6.4, apakah hasil dari a x (b – c) = (a x b) – (a x c)? Dari jawaban-jawabanmu di atas, maka kita dapat mengetahui sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat sebagai berikut. 1) Bersifat tertutup Jika dua bilangan bulat dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. Secara umum a x b = c; a, b, c, bilangan bulat. Contoh: 5 x 7 = 35.
88 Perhatikan bahwa 5 dan 7 adalah bilangan bulat dan hasil perkalian tersebut, yaitu 35 juga merupakan bilangan bulat. 2) Semua bilangan bulat jika dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0. Untuk setiap bilangan a, maka a x 0 = 0 x a = 0 Contoh : 3 x 0 = 0 x 3 = 0 3) Unsur identitas perkalian Terdapat unsur identitas perkalian, yaitu 1 sedemikian hingga setiap bilangan bulat jika dikalikan 1 hasilnya bilangan itu sendiri. Secara umum untuk setiap bilangan bulat a, maka a x 1 = 1 x a = a. Contoh : 5 x 1 = 1 x 5 = 5 4) Sifat komutatif Perubahan urutan bilangan pengali dan bilangan yang dikali tidak berpengaruh pada hasil perkalian bilangan bulat. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat a dan b, maka a x b = b x a Contoh : 3 x 5 = 5 x 3 5) Sifat Asosiatif Perubahan pada pengelompokkan bilangan tidak berpengaruh pada hasil perkalian bilangan bulat. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c, maka (a x b) x c = a x (b x c) Contoh : (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) 6) Sifat distributif sifat pendistribusian bilangan yang ada di luar kurung ke setiap komponen bilangan di dalam kurung. a) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) b) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Catatan: Perhatikan bahwa: a x (b x c) (a x b) x (a x c) Contoh: 4 x (7 x 8) (4 x 7) x (4 x 8)
89 E. Perkalian Dengan Cara Mendatar Dan Cara Bersusun Dalam melakukan operasi perkalian dapat dilakukan dengan cara mendatar maupun dengan cara bersusun. 1. Perkalian Dengan Cara mendatar a) Pekalian dua bilangan dengan satu angka. Contoh: 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 b) Pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan dua angka. Contoh: Berapakah hasil dari 4 x 12? Puluhan dan satuan dipisahkan, yaitu: 5 x 13 = 5 x (10 + 3) = (5 x 10) + (5 x 3 ) = 50 + 15 = 65 c) Perkalian antara dua bilangan dengan dua angka. Contoh: 34 x 12 = 34 x (10 + 2) = (34 x 10) + (34 x 2) = 340 + (30 + 4) x 2 = 340 + 60 + 8 = 408 d) Perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan ,…) Untuk menghitung perkalian yang melibatkan bilangan kelipatan sepuluh dapat dilakukan dengan cara cukup mengalikan bilangan yang bukan nol. Hasilnya kemudian ditambah dengan banyaknya angka nolnya dan ditulis di belakang hasilnya. Contoh: 70 x 50 = (7 x 5) x 100 = 3.500 400 x 6.000 = (4 x 6) x 100.000 = 2.400.000
90 2. Perkalian Dengan Cara bersusun Perkalian dengan cara bersusun pada dasarnya prinsipnya sama dengan perkalian dengan cara mendatar. Perkalian dilakukan antara satuan bilangan yang dikali dengan satuan bilangan pengali, kemudian dilanjutkan perkalian antara satuan bilangan yang dikali dengan puluhan yang dikali dan seterusnya hingga semua angka pada bilangan pengali dikalikan dengan satuan bilangan yang dikali. Selanjutnya angka puluhan bilangan yang dikali dikalikan dengan setiap angka pada bilangan pengali. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Hanya saja penyusunan angka-angkanya dilakukan secara bersusun atau menurun. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut! Contoh: Hitunglah hasil dari 12 x 63? Cara penyelesaiannya, yaitu: 12 63 x 36 (3 x 2) = 6 satuan x satuan (3 x 1) = 3 satuan x puluhan 720 (6 x 2) = 12, lalu ditulis 2 dibawah angka 3 puluhan x satuan bergeser 1 kolom ke kiri dan disimpan 1 (6 x 1) = 6 puluhan x puluhan + 756 (36 + 720) = 756 Contoh: Berapakah hasil dari 56 x 97? 56 97 x 392 5040 + 5432
91 Tahukah Kamu? Orang yang mengenalkan simbol (x) sebagai lambang operasi perkalian adalah William Oughtert. Dia menuliskan simbol tersebut di dalam bukunya yang berjudul Clavis Mathematicae. Namun penggunaan simbol (x) untuk perkalian ditentang oleh Gottfried Wilhelm Liebniz, seorang matematikawan asal Jerman. Liebniz mengkhawatirkan kesamaan simbol (x) ini dengan huruf x. Dia kemudian menciptakan simbol ( ) untuk perkalian. Sekarang simbol ini dipergunakan sebagai simbol operasi irisan pada himpunan. Selain tanda ( ) untuk perkalian, Liebniz juga memperkenalkan simbol perkalian yang lain yaitu tanda titik (.) E. Beberapa Cara Menghitung Perkalian Bilangan Bulat Ada banyak cara mengalikan. Bahkan sejak jaman suku maya sudah dikenal perkalian. Berikut adalah beberapa cara menghitung perkalian yang mungkin jarang kita temui dalam pelajaran matematika di kelas. 1. Perkalian Jarimatika Jarimatika adalah kependekan dari jari dan aritmetika. Maksudnya adalah bagaimana jari-jari kita digunakan untuk mempermudah perhitungan aritmetika. Sebenarnya cara menghitung dengan menggunakan jari-jari tangan sudah kita kenal sejak awal kita belajar matematika. Ketika masih anak-anak dulu dalam belajar berhitung kita menggunakan jari-jari tangan kita, khususnya untuk menjumlahkan dan mengurangkan. Namun hanya terbatas untuk bilangan yang kecil saja. Pun tidak dikembangkan untuk operasi hitung yang lain seperti perkalian misalnya. Berikut ini adalah beberapa contoh bagaimana menggunakan jari-jari kita untuk melakukan operasi hitung perkalian. a. Perkalian dua bilangan bulat a dan b, dengan 5 < a < 10 dan 5 < b < 10. Perkalian antara bilangan bulat a dan b, dimana kedua bilangan itu merupakan bilangan antara 5 dan 10, dapat dilakukan dengan menggunakan jari-jari tangan kiri dan jari-jari tangan kanan.
92 Misalkan kita akan menghitung 6 x 6. Untuk menghitung perkalian ini dilakukan dengan cara sebagai berikut: Membilang dari 1, dengan melipat 1 jari tangan kiri lalu mengucapkan “satu”. Artinya 1 jari yang dilipat mewakili bilangan satu, kemudian dua berarti jari yang dilipat di tangan kiri adalah 2, demikian seterusnya. Untuk bilangan di atas 5 diulangi, sehingga bilangan 6 diwakili oleh satu jari dilipat. Sisa jari yang tidak dilipat ada 4. Dengan cara serupa pada jari di tangan kanan, bilangan 6 diwakili dengan satu jari dilipat, sehingga ada 4 jari yang tidak dilipat. Langkah selanjutnya banyak jari yang dilipat pada tangan kiri (1) dijumlahkan dengan banyak jari yang dilipat pada tangan kanan (1), sehingga jumlahnya 1 + 1 = 2. Selanjutnya kalikan dengan 10, diperoleh hasilnya : 2 x 10 = 20. Kemudian banyak jari yang tidak dilipat pada tangan kiri (4) dikalikan dengan banyak jari yang tidak dilipat pada tangan kanan (4), sehingga hasil kalinya 4 x 4 = 16. Langkah selanjutnya, jumlahkan kedua hasil tersebut, diperoleh: 20 + 16 = 36. Jadi, 6 x 6 = 36 Contoh : Berapakah hasil dari 8 x 9? Langkah 1 : Bilangan 8 diwakili oleh 3 jari dilipat pada tangan kiri, sehingga sisa jari yang tidak dilipat adalah 2.
93 Langkah 2 : Bilangan 9 diwakili oleh 4 jari yang dilipat pada tangan kanan, sehingga sisa jari yang tidak dilipat adalah 1. Langkah 3 : Jumlahkan jari yang dilipat pada tangan kiri dan tangan kanan = 3 + 4 = 7 (jari yang dilipat menempati digit puluhan) Langkah 4 : Kalikan jari yang tidak dilipat pada tangan kiri dan tangan kanan = 2 x 1 = 2 (menempati digit satuan). Langkah 5 : Hasilnya adalah gabungkan hasil langkah 3 dan langkah 4, yaitu 72 Salah satu yang menarik dalam perhitungan dengan jari tangan adalah perkalian suatu bilangan dengan 9. Misalkan 2 x 9. Untuk menghitung 2 x 9, gabungkan jari tangan kiri dan tangan kanan (10 jari). Tekuk jari ke-2 dari kiri. Hasil perkalian tersebut dapat dibaca dengan cara memperhatikan banyaknya jari di sebelah kiri dan disebelah kanan jari yang ditekuk. Banyaknya jari di sebelah kiri jari yang ditekuk adalah 1 dan banyaknya jari di sebelah kanan jari yang ditekuk adalah 8. Hasil perkalian: 2 x 9 = 18 Contoh : Berapakah hasil dari 5 x 9? Gabungkan jari tangan kiri dan tangan kanan (10 jari). Tekuk jari ke-5 dari kiri.
94 Banyaknya jari di sebelah kiri jari yang ditekuk ada 4 dan banyaknya jari di sebelah kanan jari yang ditekuk ada 5. Jadi hasilnya: 45 Jari tangan juga dapat digunakan untuk menghitung perkalian bilangan dua digit dengan 9, dengan catatan digit satuan lebih besar dari digit puluhannya. Sebagai contoh: 24 x 9 = 216 Untuk menghitung 24 x 9, terlebih dulu gabungkan jari tangan kiri dan tangan kanan (10 jari). Kemudian renggangkan antara jari kedua dan jari ketiga dari kiri. Selanjutnya tekuk jari ke 4 dari kiri. Hasilnya adalah sebuah bilangan yang terbentuk dari angkaangka banyak jari dari setiap kelompok secara berurutan dari kiri. Perhatikan bahwa kumpulan sepuluh jari itu terbagi menjadi tiga bagian dengan pemisah adalah renggangan antara jari kedua dan ketiga dan jari yang ditekuk. Banyaknya jari pada bagian paling kiri (sebelah kiri renggangan) ada 2 Banyaknya jari pada bagian tengah (jari yang terletak antara renggangan dan jari yang ditekuk) ada 1 Banyaknya jari pada bagian paling kanan (sebelah kanan jari yang ditekuk) ada 6 Sehingga hasil perkalian 24 x 9 = 216 Contoh : Berapakah hasil dari 47 x 9 ? Untuk menghitung 47 x 9, terlebih dulu gabungkan jari tangan kiri dan tangan kanan (10 jari). Kemudian renggangkan antara jari ke 4 dan jari kelima dari kiri. Selanjutnya tekuk jari ke 7 dari kiri. Hasilnya adalah sebuah bilangan yang terbentuk dari angkaangka banyak jari dari setiap kelompok jari yang dipisahkan renggangan dan tekukan jari secara berurutan dari kiri.
95 Perhatikan bahwa kumpulan sepuluh jari itu terbagi menjadi tiga bagian dengan pemisah adalah renggangan antara jari ke 4 dan ke 5 dan jari yang ditekuk (jari ke 7). Banyaknya jari pada bagian paling kiri (sebelah kiri renggangan) ada 4 Banyaknya jari pada bagian tengah (jari yang terletak antara renggangan dan jari yang ditekuk) ada 2 Banyaknya jari pada bagian paling kanan (sebelah kanan jari yang ditekuk) ada 3 Sehingga hasil perkalian 47 x 9 = 423 2. Perkalian Ala Suku Maya Peradaban Maya merupakan sebuah peradaban yang muncul di Mesoamerika. Peradaban Maya bermula pada periode pra-klasik, yang berkembang pada Periode Klasik (sekitar 250 M sampai 900 M), dan berlanjut sampai periode Pos-Klasik sampai kedatangan bangsa Spanyol di Yucatan. Pada zaman keemasannya, negeri Maya adalah salah satu negeri terpadat dan berbudaya paling dinamis di dunia. Suku Maya terkenal akan aksara tertulisnya yang berasal dari masa Pra-Columbus, juga terkenal akan kebudayaannya yang spektakuler, arsitektur, serta sistem matematika dan astronominya yang unik. Salah satu peninggalan suku Maya dalam matematika yang terkenal adalah cara menghitung perkalian dengan menggunakan garis-garis yang saling berpotongan. Sebagai contoh 3 x 2 dapat dihitung dengan proses berikut:
96 Langkah 1 : Buat 3 garis miring dari kiri atas ke kanan bawah Langkah 2 : Buat 2 garis miring dari kiri bawah ke kanan atas yang berpotongan dengan garis yang dibuat pada langkah 1. Langkah 3 : Jumlah titik potong garis-garis tersebut adalah hasil perkaliannya. Perhatikan bahwa jumlah titik potongnya adalah 6, sehingga hasil kali : 2 x 3 = 6. Bagaimanakah cara menentukan hasil perkalian jika kedua bilangan yang dikalikan cukup besar? Jangan khawatir, mudah saja! Perhatikan contoh berikut: Berapakah hasil kali 12 x 23. Jawab: (1 x 2) (2 x 2) + (1 x 3) (2 x 3) 2 7 6 Jadi, hasil kali 14 x 32 = 448 Langkah 1 : Buat 1 garis miring dari kiri atas ke kanan bawah (1 di sini mewakili 10), dan 2 garis miring dari kiri atas ke kanan bawah yang sejajar garis yang 1 2 2 3
97 pertama kali dibuat (2 di sini mewakili 2 satuan) dan pisahkan kedua kelompok garis tersebut. Langkah 2 : Buat 2 garis miring dari kanan atas ke kiri bawah memotong garis-garis yang telah dibuat pada langkah 1 (2 mewakili 20) dan 3 garis miring yang sejajar 2 garis yang dibuat sebelumnya (3 mewakili 3 satuan) dan pisahkan dua kelompok garis tersebut dengan membuat jarak yang cukup berjauhan antara kedua kelompok garis. Langkah 3 : Hitunglah jumlah titik potong setiap kelompok garis. Jumlah titik potong kelompok garis pertama adalah (1 x 2 = 2), jumlah titik potong kelompok garis kedua adalah (2 x 2 = 4), jumlah titik potong kelompok garis ketiga adalah (1 x 3 = 3) dan jumlah titik potong kelompok garis keempat adalah (2 x 3 = 6). Langkah 4 : Untuk menghitung hasil perkalian lakukan dengan cara menyusun jumlah titik potong pada setiap kelompok secara mendatar, sebagai berikut: (1 x 2) (2 x 2) + (1 x 3) (2 x 3) 2 4 + 3 6 2 7 6 Perhatikan sebenarnya 1 x 2 itu adalah perkalian angka puluhan masing-masing bilangan yaitu 10 x 20 = 200. Jadi, 2 sebenarnya mewakili 200). 2 x 2 sebenarnya perkalian antara satuan bilangan pertama dengan angka puluhan bilangan kedua (2 x 20 = 40) dan 1 x 3 adalah perkalian angka puluhan bilangan pertama dengan angka satuan bilangan kedua (10 x 3 = 30) ,sehingga jika dijumlahkan hasilnya (3 + 4 = 7) atau nilai sebenarnya adalah 70. Sedangkan 2 x 3 adalah perkalian antar satuan dari kedua bilangan. Jadi hasil perkalian 12 x 23 = 200 + 70 + 6 = 276. Berapakah hasil kali 304 x 53? Untuk perkalian bilangan yang memuat angka nol, angka nol bisa digambarkan sebagai garis putus-putus. Setiap garis yang berpotongan dengan garis putus-putus jumlah titik potongnya tidak dihitung, tetapi langsung ditulis sebab semua bilangan dikalikan nol hasilnya adalah nol. Pada perkalian di atas, banyaknya digit kedua bilangan tidak sama, untuk memudahkan perhitungan digit kedua bilangan dibuat sama, yaitu dengan
98 3 n e g a t i f 4 n e g a t i f 0 n e g a t i f 0 n e g a t i f 5 n e g a t i f 3 n e g a ti f menambahkan angka nol didepan angka 53 sehingga menjadi 053. Jadi sekarang kita mencari hasil dari 304 x 053. (3x0) (3x5) + (0x0) (3x3) + (0x4) + (0x5) (4x5) + (3x0) (4x3) 0 15 + 0 9 + 0 + 0 20 + 0 12 0 15 9 20 + 1 2 0 15 9 + 2 1 2 0 15 11 1 2 0 15 +1 1 1 2 0 16 1 1 2 1 6 1 1 2 Jadi, hasil kali 304 x 53 = 16112 3. Perkalian dengan Rabdologia Rabdologia merupakan alat hitung yang ditemukan oleh John Napier, seorang tuan tanah Skotlandia yang dikenal sebagai matematikawan, fisikawan, astronom dan astrolog. Alat hitung ini juga disebut Napier’s Bones. Berikut adalah langkah-langkah menghitung perkalian dengan menggunakan Rabdologia. Langkah 1: Buatlah sejumlah kotak sesuai dengan banyaknya angka-angka yang akan dikalikan. Kemudian buat garis diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Sebagai contoh misalkan kita akan mengalikan 43 x 52. Perhatikan banyaknya angka ada 4, sehingga jumlah kotak yang perlu kita buat adalah 4, seperti berikut.
99 Langkah 2 : Isikan hasil perkalian masing-masing angka pada kotak sesuai dengan baris dan kolomnya. Angka puluhan ditulis di atas garis diagonal, sedangkan angka satuan ditulis di bawah garis diagonal. Pada kotak baris pertama dan kolom pertama diisi hasil perkalian 4 x 5 = 20. 2 ditulis di atas garis diagonal, 0 ditulis di bawah garis diagonal. Pada kotak baris pertama kolom kedua diisi hasil perkalian 3 x 5 = 15. 1 ditulis di atas garis diagonal dan 5 di bawah garis diagonal. Pada kotak baris kedua kolom pertama diisi hasil perkalian 4 x 2 = 8. 8 bisa ditulis sebagai 08, sehingga 0 ditulis di atas garis diagonal dan 8 di bawah garis diagonal. Pada kotak baris kedua kolom kedua diisi hasil perkalian 3 x 2 = 6 atau 06. 0 ditulis di atas garis diagonal dan 6 di bawah garis diagonal. 4 3 5 2 4 3 5 2 2 0 1 5 0 8 0 6 2 1 13 6
100 Langkah 3: Jumlahkan angka-angka yang terletak diantara dua garis diagonal yang sama. Tuliskan hasilnya di luar kotak pada bagian kiri dan bagian bawah kotak. Sebagai contoh 1 + 0 + 0 = 1. Tuliskan 1 di luar kotak bagian kiri bawah. 5 + 0 + 8 = 13, tuliskan angka 13 di luar kotak bagian bawah depan. Demikian seterusnya. Langkah 4: Tuliskan angka di luar kotak mulai dari bagian kiri atas, kiri bawah, bawah depan dan bawah belakang secara mendatar, seperti berikut: 2 1 13 6 2 2 3 6 Angka-angka inilah yang merupakan hasil perkalian, yaitu 43 x 52 = 2236. Catatan: Hasil penjumlahan pada angka-angka yang terletak diantara dua garis diagonal yang sama jika terdiri lebih dari satu angka, angka puluhannya dipindahkan (dijumlahkan) ke angka di depannya. Sebagai contoh pada perhitungan di atas ada hasil penjumlahannya 13 (pada bagian bawah tabel depan), 1 dipindahkan ke angka di depannya menjadi 1 + 1 = 2. Contoh: Berapakah hasil kali dari 523 x 76? 3 9 7 4 8 Jadi, 523 x 76 = 39748 5 n e g a t i f 3 n e g a t i f 3 n e g a t i f 2 n e g a t i f 2 n e g a t i f 7 n e g a t i f 6 n e g a t i f 5 n e g a t i f 1 n e g a t i f 4 n e g a t i f 1 n e g a t i f 0 n e g a t i f 3 n e g a t i f 1 n e g a t i f 2 n e g a t i f 1 n e g a t i f 8 n e g a t i f 3 n e g a t i f 9 n e g a t i f 7 8 n e g a t i f 4 n e g a t i f