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estc3a1tica-de-russel-hibbeler-12va-edicic3b3n

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-13 13:34:55

estc3a1tica-de-russel-hibbeler-12va-edicic3b3n

estc3a1tica-de-russel-hibbeler-12va-edicic3b3n

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 483

9-74. Localice el centro de masa Z del ensamble. El cilin- •9-77. Determine la distancia X al centroide del sóli-
dro y el cono están hechos de materiales que tienen densi- do que consta de un cilindro con un orificio de longitud
dades de 5 Mg>m3 y 9 Mg>m3, respectivamente. h ϭ 50 mm perforado en su base.

z 9-78. Determine la distancia h hasta la cual debe perfo-
rarse un orificio en el cilindro de manera que el centro de
masa del ensamble se localice en X ϭ 64 mm. El material
tiene una densidad de 8 Mg>m3.

y 120 mm

0.4 m 0.6 m 40 mm
20 mm
x

0.2 m 0.8 m

x y h
Prob. 9-74 Probs. 9-77/78

9-75. Localice el centro de gravedad (X, Y, Z) del ensam- 9-79. El ensamble está hecho de una semiesfera de
ble de bloques homogéneos que tienen un orificio semies- acero, ␳ac ϭ 7.80 Mg>m3 y un cilindro de aluminio ␳al ϭ
férico. 2.70 Mg>m3. Determine el centro de masa del ensamble si
la altura del cilindro es h ϭ 200 mm.
*9-76. Localice el centro de gravedad (X, Y, Z) del ensam-
ble. Los bloques triangular y rectangular están hechos de *9-80. El ensamble está hecho de una semiesfera de
materiales que tienen pesos específicos de 0.25 lb>pulg3 y acero, ␳ac ϭ 7.80 Mg>m3 y un cilindro de aluminio ␳al ϭ
0.1 lb>pulg3, respectivamente. 2.70 Mg>m3. Determine la altura h de manera que el cen-
tro de masa del ensamble se localice en Z ϭ 160 mm.

z

z 9
80 mm
3 pulg
Gh
1 pulg 1 pulg 2.25 pulg _
2.5 z
pulg 2.25 pulg 3 pulg
2.5 pulg y 160 mm
y
x
x
Probs. 9-75/76
Probs. 9-79/80

484 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

*9.3 Teoremas de Pappus y Guldinus

Los dos teoremas de Pappus y Guldinus se usan para encontrar el área
superficial y el volumen de cualquier cuerpo de revolución. Fueron
desarrollados primero por Pappus de Alejandría durante el siglo IV
a.C. y luego reformulados por el matemático suizo Paul Guldin o
Guldinus (1577-1643).

L r

dL
C

r

dA
2 pr

Fig. 9-19

La cantidad de material para techo usado Área superficial. Si giramos una curva plana alrededor de un eje

en esta construcción de almacenamiento que no interseque la curva, generaremos un área superficial de revolu-
ción. Por ejemplo, el área superficial de la figura 9-19 se forma al girar
puede estimarse con el primer teorema la curva de longitud L alrededor del eje horizontal. Para determinar
esta área superficial, consideraremos primero el elemento lineal dife-
de Pappus y Guldinus para determinar su rencial de longitud dL. Si este elemento se gira 2␲ radianes alrededor
del eje, se generará un anillo con un área superficial de dA ϭ 2␲r dL.
área superficial. Así, el área superficial de todo el cuerpo es ! 2)
R D,. Como
9
R D, R, (ecuación 9-5), entonces ! 2)R,. Si la curva se gira
sólo un ángulo de ␪ (radianes), entonces

! .R, (9-7)

donde

A ϭ área superficial de revolución
␪ ϭ ángulo de revolución medido en radianes, ␪ … 2␲
R ϭ distancia perpendicular desde el eje de revolución hasta

el centroide de la curva generatriz

L ϭ longitud de la curva generatriz

Por lo tanto, el primer teorema de Pappus y Guldinus establece que
el área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud
de la curva generatriz y la distancia viajada por el centroide de la curva
al generar el área superficial.

9.3 TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS 485

dA A
r C

r

2pr

Fig. 9-20

Volumen. Un volumen puede generarse al girar un área plana

alrededor de un eje que no interseque el área. Por ejemplo, si giramos el
área sombreada (gris oscuro) A en la figura 9-20 alrededor del eje hori-
zontal, se genera el volumen mostrado. Este volumen se puede deter-
minar si se gira primero el elemento diferencial de área dA 2␲ radianes
alrededor del eje, de manera que se genere un anillo con el volumen
dV ϭ 2␲r dA. Entonces todo el volumen es 6 2)
RD!. Sin embar-
go,
RD! R!, ecuación 9-4, de modo que 6 2)R!. Si el área sólo
se gira a través de un ángulo ␪ (radianes), entonces

6 .R! (9-8)

donde

V ϭ volumen de revolución o giro
␪ ϭ ángulo de revolución medido en radianes, ␪ … 2␲
R ϭ distancia perpendicular desde el eje de revolución hasta

el centroide de la curva generatriz

A ϭ área generatriz

Por lo tanto, el segundo teorema de Pappus y Guldinus establece
que el volumen de un cuerpo de revolución es igual al producto del área
generatriz y la distancia viajada por el centroide del área al generar el
volumen.

Formas compuestas. También podemos aplicar los dos teore- 9

mas anteriores a líneas o áreas que están integradas por una serie de
partes componentes. En este caso, el área superficial total o el volumen
generado es la suma de las áreas superficiales o volúmenes generados
por cada una de las partes componentes. Si la distancia perpendicular
dteesedse Re, leenjteondceersevolución hasta el centroide de cada parte componen-

! .i R, (9-9) El volumen de fertilizante contenido
dentro de este silo puede determinarse
y por el segundo teorema de Pappus y
Guldinus.
6 .i R! (9-10)

En los siguientes ejemplos se ilustra en forma numérica la aplicación
de los teoremas anteriores.

486 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.12 Demuestre que el área superficial de una esfera es A ϭ 4␲R2 y su

y volumen es 6 4 )23.
3

y

C 2R RC
R p

x 4R

3p
x

(a) (b)
Fig. 9-21

SOLUCIÓN

Área superficial. El área superficial de la esfera en la figura 9-21a
se genera al girar un arco semicircular alrededor del eje x. Con
la tabla de la cubierta posterior interna, se observa que el centroide
de este arco se localiza a una distancia R 22 ) del eje de revolu-
ción (eje x). Como el centroide se mueve a través de un ángulo de
␪ ϭ 2␲ rad para generar la esfera, entonces al aplicar la ecuación
9-7 tenemos

! .R,; ! 2) 2 22 3 )2 4)22 Resp.
)
9

Volumen. El volumen de la esfera se genera al girar el área semi-
circular de la figura 9-21b alrededor del eje x. Con la tabla de la
cubierta posterior interna para localizar el centroide del área, es
decir, R 42 3), y al aplicar la ecuación 9-8, tenemos

6 .R!; 6 2) 2 42 3 2 1 )22 3 4 )23 Resp.
3) 2 3

9.3 TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS 487

EJEMPLO 9.13 1 pulg
1 pulg
Determine el área superficial y el volumen del sólido completo que
se muestra en la figura 9-22a. 2 pulg

zz

1 pulg
2 pulg

2.5 pulg 1 pulg 2.5 pulg
(a) 3 pulg
3.5 pulg

(b)

Fig. 9-22

SOLUCIÓN

Área superficial. El área superficial se genera al girar 2␲ radianes
alrededor del eje z los cuatro segmentos de línea que se muestran en
la figura 9-22b. Las distancias desde el centroide de cada segmento
hasta el eje z también se muestran en la figura. Aplicando la ecua-
ción 9-7, se obtiene

! 2)iR, 2)[(2.5 pulg)(2 pulg) (3 pulg)@ (1 pulg)2 (1 pulg)2H

(3.5 pulg)(3 pulg) (3 pulg)(1 pulg)]

143 pulg2 Resp. 2
3
2.5 pulg ϩ ( )(1 pulg) ϭ 3.1667 pulg

Volumen. El volumen del sólido se genera al girar los dos segmen- z 9
tos de área que se muestran en la figura 9-22c, 2␲ radianes alrededor
del eje z. En la figura también se muestran las distancias desde el 1 pulg
centroide de cada segmento hasta el eje z. Si aplicamos la ecuación
9-10, tenemos 1 pulg

6 2)iR!

(3.1667 1 pulg) 2 pulg
2
2) pulg) 4 (1 pulg)(1 pulg)5 (3 pulg)[(2 pulg)(1 3 pulg

47.6 pulg3 Resp.

(c)

488 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F9-13. Determine el área superficial y el volumen del F9-15. Determine el área superficial y el volumen del
sólido que se forma al girar el área sombreada (gris oscu- sólido que se forma al girar el área en azul 360° alrededor
ro) 360° alrededor del eje z. del eje z.

z z
1.5 m 15 pulg

2m
18 pulg

2 m 20 pulg

F9-13

30 pulg
F9-15

F9-14. Determine el área superficial y el volumen del F9-16. Determine el área superficial y el volumen del
sólido que se forma al girar el área sombreada (gris oscu- sólido que se forma al girar el área en azul 360° alrededor
ro) 360° alrededor del eje z. del eje z.

z

9

1.2 m 1.5 m

1.5 m 2m

1.5 m 0.9 m 1.5 m
F9-16
F9-14

9.3 TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS 489

PROBLEMAS

•9-81. El tanque elevado de almacenamiento de agua *9-84. Determine el área superficial del tanque desde A
tiene la tapa cónica, base semiesférica, y se fabricó con una hasta B.
placa delgada de acero. Determine cuántos pies cuadrados •9-85. Determine el volumen dentro del tanque de pared
de placa se necesitaron para fabricar el tanque. delgada desde A hasta B.
9-82. El tanque elevado de almacenamiento de agua
tiene la tapa cónica, base semiesférica, y se fabricó con una z
placa delgada de acero. Determine el volumen dentro del B
tanque.
3m
8 pies
1.5 m
6 pies

10 pies

8 pies

A
1m

Probs. 9-81/82 Probs. 9-84/85

9-83. Determine el volumen del sólido que se forma al 9-86. Determine el área superficial del techo de la es-
girar el área sombreada (gris oscuro) alrededor del eje tructura, si éste se forma al girar la parábola alrededor del
x, por el segundo teorema de Pappus-Guldinus. Primero eje y.
deben obtenerse el área y el centroide Y del área sombrea-
da mediante integración.

y y
4 pies
y ϭ 16 Ϫ (x2/16) 9
y2 ϭ 4x

16 m

4 pies

x x

16 m

Prob. 9-83 Prob. 9-86

490 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-87. Determine el área superficial del sólido que se 9-90. Determine área superficial y el volumen del sólido
forma al girar el área sombreada 360° alrededor del eje z. que se forma al girar el área sombreada 360° alrededor del
eje z.
*9-88. Determine el volumen del sólido que se forma al
girar el área sombreada 360° alrededor del eje z.

Z z
0.75 pulg

0.5 pulg 0.75 pulg

2 pulg 1 pulg
1 pulg 2 pulg

3 pulg 1 pulg

Probs. 9-87/88 Prob. 9-90

•9-89. Determine el volumen del sólido que se forma al 9-91. Determine área superficial y el volumen del sólido
girar el área sombreada 360° alrededor del eje z. que se forma al girar el área sombreada 360° alrededor del
eje z.

z z
75 mm 75 mm
50 mm
9 75 mm 75 mm
300 mm
250 mm
75 mm 400 mm

300 mm 75 mm 50 mm
Prob. 9-91
Prob. 9-89

9.3 TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS 491

*9-92. El tanque se utiliza para almacenar líquidos duran- 9-94. El tanque de pared delgada está fabricado a partir de
te un proceso de manufactura. Estime el volumen del tan- una semiesfera y un cascarón cilíndrico. Determine las reac-
que y su área superficial. El tanque tiene una tapa plana y ciones verticales que cada una de las cuatro patas colocadas
es de pared delgada. simétricamente ejerce sobre el piso si el tanque contiene
agua con 12 pies de profundidad. La gravedad específica
3m 3m del agua es de 62.4 lb>pie3. Ignore el peso del tanque.

6m 9-95. Determine la cantidad aproximada de pintura nece-
saria para cubrir la superficie exterior del tanque abierto.
Suponga que un galón de pintura cubre 400 pies2.

8 pies

4m Superf icie 6 pies
Prob. 9-92 del agua 4 pies
8 pies

•9-93. La tolva está llena hasta el borde con carbón. Probs. 9-94/95
Determine el volumen de carbón si los vacíos (espacio de
aire) constituyen el 35 por ciento del volumen de la tolva. *9-96. Determine el área superficial del tanque, el cual
consiste en un cilindro y una cubierta semiesférica.

•9-97. Determine el volumen del tanque de pared del-
gada, el cual consiste en un cilindro y una cubierta semi-
esférica.

z

1.5 m 9
4m
4m
8m
1.2 m
Probs. 9-96/97
0.2 m

Prob. 9-93

492 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-98. El tanque de almacenamiento de agua AB tiene •9-101. Determine el área de la superficie exterior del
una tapa semiesférica y está fabricado con lámina metálica tanque de almacenamiento.
delgada. Determine el volumen dentro del tanque.
9-102. Determine el volumen del tanque de almacena-
9-99. El tanque de almacenamiento de agua AB tiene miento de pared delgada.
un techo semiesférico y está fabricado con lámina metá-
lica delgada. Si un litro de pintura puede cubrir 3 m2 de la
superficie del tanque, determine cuántos litros se requie-
ren para cubrir la superficie del tanque desde A hasta B.

15 pies

B 4 pies
1.6 m 30 pies
1.5 m

1.6 m

A
0.2 m

Probs. 9-101/102

Probs. 9-98/99

*9-100. Determine el área superficial y el volumen de la 9-103. Determine hasta qué altura h debe verterse el
rueda que se forma al girar el área de sección transversal, líquido en la copa cónica para que haga contacto con la
360° alrededor del eje z. mitad del área superficial del interior de la copa.

z 100 mm
9

1 150 mm
pulg 1 pulg 1.5 pulg
h
2 4 pulg
pulg Prob. 9-103

Prob. 9-100

9.4 RESULTANTE DE UNA CARGA GENERAL DISTRIBUIDA 493

*9.4 Resultante de una carga general p
dF
distribuida p ϭ p(x, y)

En la sección 4.9 analizamos el método usado para simplificar una carga dA dV
distribuida en dos dimensiones a una sola fuerza resultante que actúa
en un punto específico. En esta sección generalizaremos este método x y xy
para incluir superficies planas que tienen una forma arbitraria y están
sometidas a una distribución de carga variable. Por ejemplo, considere (a)
la placa plana de la figura 9-23a, la cual está sometida a la carga defi- FR
nida por p ϭ p(x, y) Pa, donde 1 Pa (pascal) ϭ 1 N>m2. Conocida esta
función, podemos determinar la fuerza resultante FR que actúa sobre xy
la placa y su ubicación (X, Y), figura 9-23b.
(b)
xy Fig. 9-23

Magnitud de la fuerza resultante. La fuerza dF que actúa

sobre el área diferencial dA m2 de la placa, ubicada en el punto arbi-
trario (x, y), tiene una magnitud de dF ϭ [ p(x, y) N>m2](dA m2) ϭ
[ p(x, y) dA] N. Observe que p(x, y) dA ϭ dV, el elemento de volumen
diferencial en azul que se muestra en la figura 9-23a. La magnitud
de FR es la suma de las fuerzas diferenciales que actúan sobre toda el
área superficial A de la placa. Entonces:

&2 i&; &2 P X, Y D! D6 6 (9-11)
'! '6

Este resultado indica que la magnitud de la fuerza resultante es igual al
volumen total bajo el diagrama de carga distribuida.

Ubicación de la fuerza resultante. La ubicación (X, Y) de FR La resultante de una carga del viento 9
que está distribuida en la parte frontal
se determina al establecer los momentos de FR iguales a los momen- o en las paredes laterales de esta cons-
tos de todas las fuerzas diferenciales dF con respecto a los ejes y y x trucción, debe calcularse mediante inte-
gración, a fin de diseñar la estructura
respectivos: a partir de las figuras 9-23a y 9-23b, con la ecuación 9-11, que mantiene unido al edificio.

esto resulta en

X '! XP X,Y D! '6 X D6 Y '! YP X, Y D! '6 Y D6

(9-12)

P X, Y D! D6 P X,Y D! D6
'! '6 '! '6

Por lo tanto, la línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del
centro geométrico o centroide del volumen bajo el diagrama de carga
distribuida.

494 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

*9.5 Presión de un fluido

De acuerdo con la ley de Pascal, un fluido en reposo crea cierta pre-
sión p en un punto que es la misma en todas direcciones. La magnitud
de p, medida como una fuerza por unidad de área, depende del peso
específico ␥ o de la densidad de masa ␳ del fluido y de la profundidad z
del punto desde la superficie del fluido.* La relación se puede expresar
matemáticamente como

P Z +GZ (9-13)

donde g es la aceleración debida a la gravedad. Esta ecuación es válida
sólo para fluidos que se suponen incompresibles, como es el caso de la
mayoría de los líquidos. Los gases son fluidos compresibles puesto que
sus densidades cambian considerablemente con la presión y la tempe-
ratura; no puede utilizarse la ecuación 9-13.

Para ilustrar cómo se aplica la ecuación 9-13, considere la placa
sumergida que se muestra en la figura 9-24. Se han especificado tres
puntos sobre la placa. Como el punto B está a una profundidad z1 de
la superficie del líquido, la presión en este punto tiene una magnitud
p1 ϭ ␥z1. De la misma forma, los puntos C y D están a una profun-
didad z2; por consiguiente, p2 ϭ ␥z2. En todos los casos, la presión
actúa en forma normal con respecto al área superficial dA que se lo-
caliza en el punto especificado.

Con la ecuación 9-13 y los resultados de la sección 9.4, es posible
determinar la fuerza resultante causada por un líquido y especificar su
ubicación sobre la superficie de una placa sumergida. A continuación,
se considerarán tres formas diferentes de placas.

Superficie del líquido

y
z

9

B x
p1
p2 p2 dA z1
D

dA dA z2
b

C

Fig. 9-24.

*En particular, para agua ␥ ϭ 62.4 lb>pie3, o bien ␥ ϭ ␳g ϭ 9810 N>m3 puesto que
␳ ϭ 1000 kg>m3 y g ϭ 9.81 m>s2.

9.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO 495

Placa plana de ancho constante. En la figura 9-25a se mues-

tra una placa rectangular de ancho constante, que está sumergida en
un líquido con un peso específico ␥. Como la presión varía linealmente
con la profundidad, ecuación 9-13, la distribución de presión sobre la

superficie de la placa se representa mediante un volumen trapezoidal
con intensidades de p1 ϭ ␥z1 a la profundidad z1 y p2 ϭ yz2 a la profun-
didad z2. Como observamos en la sección 9.4, la magnitud de la fuerza
resultante FR es igual al volumen de este diagrama de carga y FR tiene
una línea de acción que pasa por el centroide C del volumen. Por con-

siguiente, FR no actúa en el centroide de la placa, sino en un punto P,
llamado el centro de presión.

Como la placa tiene un ancho constante, la distribución de carga tam-

bién puede ser vista en dos dimensiones, figura 9-25b. Aquí, la inten-
sidad de la carga se mide como fuerza>longitud y varía linealmente
desde w1 ϭ bp1 ϭ byz1 hasta w2 ϭ bp2 ϭ byz2. La magnitud de FR en
este caso es igual al área trapezoidal, y FR tiene una línea de acción que
pasa por el centroide C del área. Para aplicaciones numéricas, el área y

la ubicación del centroide para un trapecio están tabuladas en la cubier-

ta posterior interna de este libro.

Las paredes del tanque deben diseñarse
para soportar la carga de presión del
líquido que está contenido en él.

Superficie del líquido y Superficie del líquido

z z2 w1 ϭ bp1 z1 9
p1 ϭ gz1 FR C

y z
FR
w2 ϭ bp2 PL

C z1 x
P
p2 ϭ gz2

b L y¿
2b z2 (b)

2

(a)
Fig. 9-25

496 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

y Superficie del líquido y Superficie del líquido
z1 x
z
p1 ϭ gz1 L

FR C FR w1 ϭ bp1
p2 ϭ gz2 P B

w2 ϭ bp2 P
z
C

z2
b

D

(a) (b)
Fig. 9-26

y Superficie del líquido FAB Placa curva de ancho constante. Cuando la placa sumer-
z1
w1 ϭ bp1 A CAB gida es curva de ancho constante, la presión que actúa en forma nor-

z2 CAD CBDA Wf mal a la placa cambia su dirección de manera continua, y por tanto, el
FAD
B cálculo de la magnitud de FR y su ubicación P es más difícil que para
w1 ϭ bp2 D una placa plana. En las figuras 9-26a y 9-26b se muestran vistas en

(c) dos y tres dimensiones de la distribución de carga, respectivamente.

9 Aunque puede usarse la integración para resolver este problema, exis-

te un método más simple, el cual requiere cálculos separados de las

componentes horizontal y vertical de FR.
Por ejemplo, la carga distribuida que actúa sobre la placa puede

representarse mediante la carga equivalente de la figura 9-26c. En este
z caso la placa soporta el peso Wf del líquido contenido dentro del blo-

que BDA. Esta fuerza tiene una magnitud Wf ϭ (␥b)(áreaBDA) y actúa
a través del centroide de BDA. Además, están las distribuciones de

presión causadas por el líquido que actúa a lo largo de los lados verti-

cal y horizontal del bloque. A lo largo del lado vertical AD, la fuerza

FAD tiene una magnitud igual al área del trapecio y actúa a través del
centroide CAD de esta área. La carga distribuida a lo largo del lado hori-
zontal AB es constante ya que todos los puntos que se encuentran en

este plano tienen la misma profundidad desde la superficie del líquido.

La magnitud de FAB es simplemente el área del rectángulo. Esta fuerza
actúa a través del centroide CAB o en el punto medio del centroide CAB
del área o punto medio de AB. Sumando estas tres fuerzas resulta FR ϭ
©F ϭ FAD ϩ FAB ϩ Wf. Por último, la ubicación del centro de presión
P sobre la placa se determina con la aplicación de MR ϭ ©M, lo que
establece que el momento de la fuerza resultante con respecto a un

punto de referencia conveniente como D o B, figura 9-26b, es igual a la

suma de los momentos de las tres fuerzas mostradas en la figura 9-26c

con respecto a este mismo punto.

9.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO 497

Placa plana de ancho variable. La distribución de presión

que actúa sobre la superficie de una placa sumergida con ancho varia-
ble se muestra en la figura 9-27. Si consideramos que la fuerza dF que
actúa sobre la franja de área diferencial dA, paralela al eje x, entonces
su magnitud es dF ϭ pdA. Como la profundidad de dA es z, la presión
sobre el elemento es p ϭ ␥z. Por lo tanto, dF ϭ (␥z)dA y la fuerza
resultante toma la forma

&2
D&
Z D!

Si la profundidad hasta el centroide C¿ del área es Z, figura 9-27, enton- La fuerza resultante de la presión del
ces,
Z D! Z!. Si sustituimos, tenemos agua y su ubicación sobre la placa elíptica
trasera del tanque de este camión debe
&2 Z! determinarse por integración.

(9-14)

En otras palabras, la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre
cualquier placa plana es igual al producto del área A de la placa y la
presión P Z a la profundidad del centroide C¿ del área. Como se
explicó en la sección 9.4, esta fuerza también es equivalente al volumen
bajo la distribución de presión. Observe que su línea de acción pasa a
través del centroide C de este volumen e interseca la placa en el centro
de presión P, figura 9-27. Observe que la ubicación C¿ no coincide con
la ubicación de P.

z Superf icie x 9
y del líquido y¿

FR dF p ϭ gz

Cx dA
P C¿ z

dy¿

Fig. 9-27

498 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.14

2m Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza hidrostática re-
A sultante que actúa sobre la placa rectangular sumergida que se
muestra en la figura 9-28a. La placa tiene un ancho de 1.5 m; ␳w ϭ
3m 1000 kg>m3.

B SOLUCIÓN I
1.5 m Las presiones del agua a las profundidades A y B son

(a) P! +wGZ! 1000 kg m3 9.81 m s2 2 m 19.62 kPa
P" +wGZ" 1000 kg m3 9.81 m s2 5 m 49.05 kPa

Como la placa tiene un ancho constante, la carga de presión puede
verse en dos dimensiones como se muestra en la figura 9-28b. Las
intensidades de la carga en A y B son

wA ϭ 29.43 kN/m 2m w! BP! 1.5 m 19.62 kPa 29.43 kN m
A w" BP" 1.5 m 49.05 kPa 73.58 kN m
FR
h 3m De la tabla de la cubierta posterior interna, la magnitud de la fuerza
resultante FR creada por esta carga distribuida es
wB ϭ 73.58 kN/m B FR ϭ área de un trapezoide ϭ 21 3 29.4 73.6 154.5 kN Resp.
Esta fuerza actúa a través del centroide del área.

(b) H 1 2 29.43 73.58 1.29 m Resp.
3 2 29.43 73.58 3 3

medida hacia arriba desde B, figura 9-28b.

SOLUCIÓN II

2

A Los mismos resultados se pueden obtener al considerar dos compo-
nentes de FR, definidos por el triángulo y el rectángulo que se mues-

tran en la figura 9-28c. Cada fuerza actúa a través de su centroide
FRe 3 asociado y tiene una magnitud de

1.5 m Ft &2E 29.43 kN m 3 m 88.3 kN
1m

9 B &T 12 44.15 kN m 3 m 66.2 kN
44.15 kN/m
29.43 kN/m

Por tanto,

(c) Resp.

&2 &2E &T 88.3 66.2 154.5 kN

Fig. 9-28

La ubicación de FR se determina al sumar momentos respecto a B,
figura 9-28b y c, es decir,

c -2 " i-"; 154.5 H 88.3 1.5 66.2 1

H 1.29 m Resp.

NOTA: al usar la ecuación 9-14, la fuerza resultante puede calcularse
como &2 Z! (9810 N m3)(3.5 m)(3 m)(1.5 m) 154.5 kN.

9.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO 499

EJEMPLO 9.15 A

Determine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que ac-
túa sobre la superficie de una pared marina que tiene la forma de
una parábola, como se muestra en la figura 9-29a. La pared tiene
5 m de largo; ␳w ϭ 1020 kg>m3.

Fv
C

3m

Fh

1m wB ϭ 150.1 kN/m B
(a)
(b)

Fig. 9-29

SOLUCIÓN
Se calcularán las componentes horizontal y vertical de la fuerza
resultante, figura 9-29b. Como

P" +wGZ" 1020 kg m3 9.81 m s2 3 m 30.02 kPa

entonces
w" BP" 5 m 30.02 kPa 150.1 kN m

En consecuencia, 9

&H 12 3 m 150.1 kN m 225.1 kN

El área del sector parabólico ABC puede ser determinada con la
tabla que aparece en la cubierta posterior interna de este libro. Por
lo tanto, el peso del agua dentro de esta región es

&V +wGB área!"#

1020 kg m3 9.81 m s2 5 m 13 1 m 3 m 50.0 kN

Por consiguiente, la fuerza resultante es

&2 &2H &V2 225.1 kN 2 50.0 kN 2 Resp.
231 kN

500 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.16

Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante que
actúa sobre las placas triangulares del extremo del canal para agua
que se muestra en la figura 9-30a; ␳w ϭ 1000 kg>m3.

E

1m
1m

(a)

O B SOLUCIÓN
0.5 m z
La distribución de presión que actúa sobre la placa E del extremo
2x se muestra en la figura 9-30b. La magnitud de la fuerza resultante
es igual al volumen de esta distribución de carga. Resolveremos el
problema por integración. Si seleccionamos el elemento diferencial
de volumen mostrado en la figura, tenemos

y dz x D& D6 P D! +wGZ 2X DZ 19 620ZX DZ
dF A
z La ecuación de la línea AB es
9
(b) 1m

Fig. 9-30 x ϭ 0.5(1 Ϫ z)

Por lo tanto, al sustituir e integrar con respecto a z desde z ϭ 0 hasta
z ϭ 1 m resulta

1m

& 6 D6 19 620 Z[0.5 1
Z ] DZ
'6 '0

1m Resp.

9810 Z
Z2 DZ 1635 N 1.64 kN
'0

Esta resultante pasa a través del centroide del volumen. Por simetría,

Z X 0 Resp.
de volumen,
Como Z para el elemento entonces

Z '6 Z D6 '0 1m 1m

Z 19 620 Z[0.5 1
Z ] DZ 9810 Z2
Z3 DZ
'0
1635 1635
D6
'6

0.5 m Resp.

NOTA: también podemos determinar la fuerza resultante al aplicar
la ecuación 9-14, &2 Z! (9810 N m3)(13)(1 m)[12(1 m)(1 m)] ϭ

1.64 kN.

9.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO 501

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F9-17. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática F9-20. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática

por metro de longitud que actúa sobre la pared. El agua que actúa sobre la compuerta AB, la cual tiene un ancho
tiene una densidad de ␳ ϭ 1 Mg>m3. de 2 m. El agua tiene una densidad de ␳ ϭ 1 Mg>m3.

6m 3m
A
F9-17
F9-18. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática 2m
que actúa sobre la compuerta AB, la cual tiene un ancho B
de 4 pies. El peso específico del agua es ␥ ϭ 62.4 lb>pie3.
F9-20

4 pies F9-21. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática

AB que actúa sobre la compuerta AB, la cual tiene un ancho
3 pies de 2 pies. El peso específico del agua es ␥ ϭ 62.4 lb>pie3.

F9-18 9

F9-19. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática 6 pies
que actúa sobre la compuerta AB, la cual tiene un ancho A
de 1.5 m. El agua tiene una densidad de ␳ ϭ 1 Mg>m3.
4 pies
A B

2m 3 pies

B F9-21
1.5 m
F9-19

502 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

PROBLEMAS

*9-104. El tanque se usa para almacenar un líquido que 9-106. La presa simétrica de “gravedad” hecha de con-
tiene un peso específico de 80 lb>pie3. Si está lleno hasta
creto se mantiene en su lugar por su propio peso. Si la
el tope, determine la magnitud de la fuerza que ejerce el densidad del concreto es ␳c ϭ 2.5 Mg>m3, y el agua tiene
una densidad de ␳a ϭ 1.0 Mg>m3, determine la distancia d
líquido sobre cada uno de sus dos lados ABDC y BDFE. más pequeña en su base que impedirá que la presa se vol-

tee con respecto a su extremo A. La presa tiene un ancho

de 8 m.

1.5 m

A C
4 pies D

F 9m
12 pies
8 pies B

6 pies A

6 pies E

Prob. 9-104 d
Prob. 9-106

•9-105. La presa de “gravedad” de concreto se mantie- 9-107. El tanque se usa para almacenar un líquido que
tiene un peso específico de 60 lb>pie3. Si el tanque está
ne en su lugar por su propio peso. Si la densidad del con-
creto es ␳c ϭ 2.5 Mg>m3, y el agua tiene una densidad de lleno, determine la magnitud de la fuerza hidrostática
␳a ϭ 1.0 Mg>m3, determine la dimensión d más pequeña que
impedirá que la presa se voltee con respecto a su extremo A. sobre las placas CDEF y ABDC.

z

9
E

6m D
FB
A
d C 2 pies
5 pies
1.5 pies A
2 pies
1.5 pies
y
x 1.5 pies

1.5 pies

Prob. 9-105 Prob. 9-107

9.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO 503

*9-108. La placa circular A de acero se usa para sellar la *9-112. Determine la magnitud de la fuerza hidrostáti-
abertura en el tanque de almacenamiento de agua. Deter-
mine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que ca que actúa por cada pie de longitud de la pared marina,
actúa sobre ella. La densidad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3. ␥a ϭ 62.4 lb>pie3.
•9-109. La placa elíptica B de acero se usa para sellar la
abertura en el tanque de almacenamiento de agua. Deter- y
mine la magnitud de la fuerza hidrostática resultante que
actúa sobre ella. La densidad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3. x

2m y ϭ Ϫ2x2

8 pies

45Њ 2 pies
1m
Prob. 9-112
A 1m
•9-113. Si el segmento AB de la compuerta ABC es lo
1m suficientemente largo, la compuerta estará a punto de
abrirse. Determine la longitud L del segmento para que
B esto ocurra. La compuerta está articulada en B y tiene un
0.5 m ancho de 1 m. La densidad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3.
9-114. Si L ϭ 2 m, determine la fuerza que ejerce la com-
0.5 m puerta ABC sobre el tope liso en C. La compuerta está
articulada en B, libre en A y tiene 1 m de ancho. La densi-
Probs. 9-108/109 dad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3.

9-110. Determine la magnitud de la fuerza hidrostática
que actúa sobre la ventana de cristal si ésta es circular, A.
El peso específico del agua de mar es ␥a ϭ 63.6 lb>pie3.
9-111. Determine la magnitud y la ubicación de la fuerza
hidrostática resultante que actúa sobre la ventana de cris-
tal si ésta es elíptica, B. El peso específico del agua de mar
es ␥a ϭ 63.6 lb>pie3.

9

4 pies B L 4m
0.5 pie A B

1 pie 0.5 pie 2m
A

1 pie 1 pie

C

Probs. 9-110/111 Probs. 9-113/114

504 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-115. Determine la masa del contrapeso A si la com- 9-118. La presa de gravedad de concreto está diseñada
puerta de 1 m de ancho está a punto de abrirse cuando el de modo que se mantiene en su lugar por su propio peso.
agua está en el nivel mostrado. La compuerta está articu- Determine la dimensión x mínima para que el factor de
lada en B y se sostiene mediante el tope liso en C. La den- seguridad contra el volteo respecto del punto A tenga un
sidad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3. valor de 2. El factor de seguridad está definido como la
razón del momento de estabilización dividido entre el mo-
*9-116. Si la masa del contrapeso en A es de 6500 kg, mento de volteo. Las densidades del concreto y del agua
determine la fuerza que ejerce la compuerta sobre el tope son ␳conc ϭ 2.40 Mg>m3 y ␳a ϭ 1 Mg>m3, respectivamente.
liso en C. La compuerta está articulada en B y tiene 1 m Suponga que la presa no se desliza.
de ancho. La densidad del agua es ␳a ϭ 1 Mg>m3.

2m y x
45Њ y ϭ Ϫ –32– x2 6m

1m A
B

C 2m

A

Probs. 9-115/116 2m x
Prob. 9-118
•9-117. La presa de gravedad de concreto está diseñada
de modo que se mantiene en su lugar por su propio peso. 9-119. El túnel submarino de un centro acuático se fabri-
Determine el factor de seguridad contra el volteo respecto ca a partir de un material transparente de policarbonato
del punto A si x ϭ 2 m. El factor de seguridad está defini- que tiene la forma de una parábola. Determine la magni-
do como la razón del momento de estabilización dividido tud de la fuerza hidrostática que actúa por cada metro de
entre el momento de volteo. Las densidades del concreto y longitud a lo largo de la superficie AB del túnel. La densi-
del agua son ␳conc ϭ 2.40 Mg>m3 y ␳a ϭ 1 Mg>m3, respecti- dad del agua es ␳a ϭ 1000 kg>m3.
vamente. Suponga que la presa no se desliza.

y y
9x

y ϭ Ϫ –23– x2 y ϭ 4 Ϫ x2 A 2m
4m
6m

B x
2m 2m
A
2m x Prob. 9-119
Prob. 9-117

REPASO DEL CAPÍTULO 505

REPASO DEL CAPÍTULO

Centro de gravedad y centroide X D7 z y
X ' 9
El centro de gravedad G representa dV G
un punto donde el peso del cuerpo D7 dW
puede considerarse concentrado. La '
distancia desde un eje a este punto W
puede ser determinada a partir del Y D7 ~z
equilibrio por momentos. Esto re- Y '
quiere que el momento del peso de ~x z
todas las partículas del cuerpo con D7 ~y x
respecto a algún punto deba ser igual '
al momento de todo el peso del cuer- y
po con respecto al eje. Z D7 x
Z '

D7
'

El centro de masa coincidirá con el X D, Y D, Z D,
centro de gravedad siempre que la X ', Y ', Z ',
aceleración de la gravedad sea cons-
tante. D, D, D,
', ', ',

X D! Y D! Z D!
X '! Y '! Z '!

D! D! D!
'! '! '!

El centroide es la ubicación del cen- X D6 Y D6 Z D6
tro geométrico del cuerpo. Se deter- X '6 Y '6 Z '6
mina de una manera parecida, por
un balance de momentos de elemen- D6 D6 D6
tos geométricos como segmentos de '6 '6 '6
líneas, áreas o volúmenes. Para cuer-
pos que tienen una forma continua, y
los momentos se suman (integran)
mediante elementos diferenciales.

C
x

El centro de masa coincidirá con el
centroide siempre que el material sea
homogéneo, es decir, que la densi-
dad sea la misma en todo el material.
El centroide siempre se encontrará
en un eje de simetría.

506 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Cuerpo compuesto X i X7 z
i7 x
Si el cuerpo está compuesto de varias
formas, cada una con ubicación conoci- i Y7
da de su centro de gravedad o centroide, Y i7
entonces la ubicación se determina con
una suma discreta a partir de sus partes Z i Z7
componentes. i7

y

Teoremas de Pappus y Guldinus

Los teoremas de Pappus y Guldinus se
pueden usar para determinar el área
superficial y el volumen de un cuerpo de
revolución.

El área superficial es igual al produc- ! .R,
to de la longitud de la curva generatriz
y la distancia recorrida por el centroide
de la curva para generar el área.

El volumen del cuerpo es igual al pro-

ducto del área generatriz y la distancia 6 .R!

9 recorrida por el centroide de esta área
para generar el volumen.

REPASO DEL CAPÍTULO 507

Carga general distribuida &2 P X, Y D! D6 p
'! '6 dF
La magnitud de la fuerza resultante es p ϭ p(x, y)
igual al volumen total bajo el diagra-
ma de carga distribuida. La línea de X D6 dA dV
acción de la fuerza resultante pasa a tra- X '6
vés del centro geométrico o centroide xy
de este volumen. D6
'6
xy
Y D6
Y '6

D6
'6

Presión de fluidos

La presión desarrollada por un líquido
en un punto sobre una superficie su-
mergida depende de la profundidad del
punto y de la densidad del líquido de
acuerdo con la ley de Pascal, ␳ ϭ ␳gh ϭ
␥h. Esta presión creará una distribución
lineal de carga sobre una superficie ver-
tical o inclinada.

Si la superficie es horizontal, entonces
la carga será uniforme.

En todo caso, las resultantes de estas Superficie 9
cargas se pueden determinar si se del líquido
encuentra el volumen o área bajo la cur- FR
va de carga o por medio de FR ϭ ␥ZA,
donde Z es la profundidad hasta el cen- P
troide del área de la placa. La línea de
acción de la fuerza resultante pasa por
el centroide del volumen del diagrama
de carga y actúa en un punto P sobre la
placa, llamado el centro de presión.

508 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

PROBLEMAS DE REPASO

*9-120. Localice el centroide X del área sombreada. 9-123. Localice el centroide Z del sólido.
•9-121. Localice el centroide Y del área sombreada.

y z
y2 ϭ a a – –2z
y ϭ x2 2a
x a
4 pulg y

1 pulg Prob. 9-123

x

1 pulg 1 pulg

Probs. 9-120/121

9-122. Localice el centroide Y del área de la sección trans- *9-124. La placa de acero tiene 0.3 m de espesor y una
versal de la viga. densidad de 7850 kg>m3. Determine la ubicación de su

centro de masa. Además calcule las reacciones en el pasa-

dor y en el soporte de rodillo.

9 y y
50 mm y2 ϭ 2x

25 mm 75 mm 75 mm 50 mm 2m

x
A

100 mm C 2m

y y ϭ Ϫx
x B

25 mm 25 mm

2m

Prob. 9-122 Prob. 9-124

PROBLEMAS DE REPASO 509

•9-125. Localice el centroide (X, Y) del área. *9-128. La carga sobre la placa varía linealmente a lo largo
y
de los lados de la placa, de manera que P 2 [X(4
Y)] kPa.
3

Determine la fuerza resultante y su posición (X, Y) sobre la

placa.

3 pulg 1 pulg
6 pulg
3 pulg x p
4m
Prob. 9-125 8 kPa y
x 3m
9-126. Determine la ubicación (X, Y) del centroide para
el perfil estructural. Desprecie el espesor del elemento.

y

Prob. 9-128

3 pulg

x •9-129. La carga de presión sobre la placa se descri-
1.5 pulg 1.5 pulg 1 pulg 1 pulg 1.5 pulg 1.5 pulg be mediante la función p ϭ {Ϫ240>(x ϩ 1) ϩ 340} Pa.
Determine la magnitud de la fuerza resultante y las coor-
Prob. 9-126 denadas del punto donde la línea de acción de la fuerza
interseca la placa.
9-127. Localice el centroide Y del área sombreada.

y

y

p 300 Pa 9

aa x 100 Pa
5m
a 6m
—2a —a2 x

Prob. 9-127 Prob. 9-129

El diseño de un elemento estructural, como una viga o una columna, requiere
el cálculo del momento de inercia de su sección transversal. En este capítulo
estudiaremos cómo se realiza ese cálculo.

Momentos de inercia 10

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Desarrollar un método para determinar el momento de inercia

para un área.

• Introducir el producto de inercia y mostrar cómo se determinan

los momentos de inercia máximo y mínimo para un área.

• Analizar el momento de inercia de masa.

10.1 Definición de momentos de inercia p ϭ gy y z
dA
para áreas dF x
y
Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un
área y que su intensidad varía linealmente, el cálculo del momento de Fig. 10-1
la distribución de carga con respecto a un eje implicará una cantidad
llamada el momento de inercia del área. Por ejemplo, considere la placa
de la figura 10-1, la cual está sometida a una presión p del fluido. Como
se analizó en la sección 9.5, esta presión p varía en forma lineal con la
profundidad, de tal manera que p ϭ ␥y, donde ␥ es el peso específico
del fluido. Así, la fuerza que actúa sobre el área diferencial dA de la
placa es dF ϭ pdA ϭ (␥y)dA. Por tanto, el momento de esta fuerza con
respecto al eje x es dM ϭ ydF ϭ ␥y2dA, y al integrar dM sobre toda el
área de la placa resulta M ϭ ␥ 1 y2dA. La integral 1 y2dA se denomina
el momento de inercia Ix del área con respecto al eje x. Las integrales
de esta forma aparecen con frecuencia en las fórmulas que se utilizan
en mecánica de fluidos, mecánica de materiales, mecánica estructural y
diseño mecánico, por lo que los ingenieros necesitan conocer los méto-
dos empleados para su cálculo.

512 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

Momento de inercia. Por definición, los momentos de inercia

de un área diferencial dA con respecto a los ejes x y y son dIx ϭ y2 dA
y dIy ϭ x2 dA, respectivamente, figura 10-2. Los momentos de inercia

se determinan por integración para toda el área; es decir,

)X Y2 D!
'!
(10-1)

y )Y X2 D!
'!

A También podemos formular esta cantidad para dA con respecto al
“polo” O o eje z, figura 10-2. A éste se le llama momento de inercia
polar. Se define como dJO ϭ r2 dA, donde r es la distancia perpen-

x dicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área, el
dA momento de inercia polar es

ry */ R2 D! )X )Y (10-2)
'!
O
Fig. 10-2 x

Esta relación entre JO e Ix, Iy es posible puesto que r2 ϭ x2 ϩ y2, figura
10-2.

A partir de las formulaciones anteriores se ve que Ix, Iy y JO siempre
serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado

y un área. Además, las unidades para el momento de inercia implican
la longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo, m4, mm4 o pie4,
pulg4.

10.2 Teorema de los ejes paralelos

para un área

y yЈ y¿ El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momen-
10 x¿ x¿ to de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a
dA un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momen-
O x to de inercia. Para desarrollar este teorema, consideraremos determinar
dx C el momento de inercia del área sombreada que se muestra en la figura
d dy 10-3 con respecto al eje x. Para iniciar, elegimos un elemento diferencial
dA que está ubicado a una distancia arbitraria y¿ del eje centroidal x¿.
Fig. 10-3 Si la distancia entre los ejes paralelos x y x¿ se define como dy, entonces
el momento de inercia de dA con respecto al eje x es dIx ϭ (y¿ ϩ dy)2
dA. Para toda el área,

)X Y€ DY 2 D!
'!

Y€2 D! 2DY Y€ D! D2Y D!
'! '! '!

10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 513

La primera integral representa el momento de inercia del área con res-
pecto al eje centroidal )X€. La segunda integral es cero ya que el eje x¿
pasa a través del centroide C del área; es decir,
Y€ D! Y€
D! 0
puesto que Y€ 0. Observamos que como la tercera integral representa
el área total A, el resultado final es, por tanto,

)X )X€ !DY2 (10-3)

Para Iy, se puede escribir una expresión similar; es decir, (10-4)
)Y )Y€ !D2X

Y por último, para el momento de inercia polar, como *# )X€ )Y€
y D2 D2X DY2, tenemos

*/ *# !D2 (10-5) Para predecir la resistencia y la deflexión
de esta viga, es necesario calcular el mo-
La forma de cada una de estas tres ecuaciones establece que el momen- mento de inercia del área de su sección
to de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de transversal.
inercia del área con respecto a un eje paralelo que pase a través del cen-
troide del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia
perpendicular entre los ejes.

10.3 Radio de giro de un área

El radio de giro de un área con respecto a un eje tiene unidades de lon-
gitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecánica estructural
para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de
inercia, los radios de giro se determinan a partir de las fórmulas

KX )X
!

)Y (10-6) 10
KY !

K/ */
!

La forma de estas ecuaciones es fácil de recordar, ya que es semejante

a la que se usa para encontrar el momento de inercia para un área
diferencial con respecto a un eje. Por ejemplo, )X KX2!; mientras que
para un área diferencial dIx ϭ y2 dA.

514 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA
10
y y
x
y ϭ f(x) (x, y)
y y ϭ f(x)
dA (x, y)
dy dA

xy

x x
(a)
dx

(b)

Fig. 10-4

Procedimiento para el análisis

En la mayoría de los casos, el momento de inercia puede deter-
minarse con una integración simple. El siguiente procedimiento
muestra dos formas en las que se puede hacer esto.

• Si la curva que define la frontera del área se expresa como

y ϭ f(x), entonces seleccione un elemento diferencial rectangular
de modo que tenga una longitud finita y un ancho diferencial.

• El elemento debe estar ubicado de manera que interseque la

curva en el punto arbitrario (x, y).

Caso 1

• Oriente el elemento de forma que su longitud sea paralela al

eje con respecto al cual se calcula el momento de inercia. Esta
situación ocurre cuando el elemento rectangular que se mues-
tra en la figura 10-4a se usa para determinar Ix del área. Aquí,
todo el elemento está a una distancia y del eje x puesto que
tiene un espesor dy. Así, Ix ϭ 1 y2 dA. Para determinar Iy, el
elemento se orienta de la manera que se muestra en la figura
10-4b. Este elemento se encuentra a la misma distancia x del
eje y de manera que Iy ϭ 1 x2 dA.

Caso 2

• La longitud del elemento puede estar orientada de manera per-

pendicular al eje con respecto al cual se calcula el momento de
inercia; sin embargo, la ecuación 10-1 no es aplicable ya que
todos los puntos del elemento no se encuentran a la misma dis-
tancia del brazo de momento desde el eje. Por ejemplo, si el
elemento rectangular de la figura 10-4a se usa para determinar
Iy, primero será necesario calcular el momento de inercia del
elemento con respecto a un eje paralelo al eje y que pase por
el centroide del elemento, y luego determinar el momento de
inercia del elemento con respecto al eje y por el teorema de los
ejes paralelos. Mediante la integración de este resultado se obten-
drá Iy. Vea los ejemplos 10.2 y 10.3.

10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 515

EJEMPLO 10.1

Determine el momento de inercia del área rectangular de la figura h y¿
10-5 con respecto a (a) el eje centroidal x¿, (b) el eje xb, que pasa por 2
la base del rectángulo y (c) el polo o eje z¿ perpendicular al plano dy¿
x¿-y¿ y que pasa a través del centroide C. y¿

SOLUCIÓN (CASO 1) x¿
C
Parte (a). Para la integración se elige el elemento diferencial que
se muestra en la figura 10-5. Debido a su ubicación y orientación, h
todo el elemento está a una distancia y¿ del eje x¿. Aquí es necesario 2
integrar desde y¿ ϭ Ϫh>2 a y¿ ϭ h>2. Como dA ϭ b dy¿, entonces

xb

H 2 H 2 bb
22
)X€ Y€2 D! Y€2 B DY€ B Y€2 DY€
'! '
H 2 '
H 2 Fig. 10-5

)X€ 1 BH3 Resp.
12

Parte (b). El momento de inercia con respecto a un eje que pase
por la base del rectángulo se puede obtener usando el resultado de
la parte (a) y aplicando el teorema de los ejes paralelos, ecuación
10-3.

)XB )X€ !DY2 Resp.
1 BH3 BH 2 H 3 2 1 BH3
12 2 3

Parte (c). Para obtener el momento de inercia polar con respecto
al punto C, debemos obtener primero )Y€, la cual puede determinar-
se al intercambiar las dimensiones b y h en el resultado de la parte

(a), es decir,

)Y€ 1 HB3 10
12

Con la ecuación 10-2, el momento de inercia polar con respecto a C
es, por tanto,

*# )X€ )Y€ 1 BH H2 B2 Resp.
12

516 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

EJEMPLO 10.2 Determine el momento de inercia del área sombreada en gris de la
figura 10-6a, con respecto al eje x.
y
y2 ϭ 400x

x (100 – x) dy SOLUCIÓN I (CASO 1)
200 mm
y x Para la integración se elige un elemento diferencial de área que sea
paralelo al eje x, como se muestra en la figura 10-6a. Como este ele-
100 mm mento tiene un espesor dy e interseca la curva en el punto arbitrario
(a) (x, y), su área es dA ϭ (100 Ϫ x) dy. Además, el elemento se encuen-
tra a la misma distancia x desde el eje. Por consiguiente, al integrar
con respecto a y, desde y ϭ 0 hasta y ϭ 200 mm, se obtiene

200 mm

)X Y2 D! '0 Y2 100
X DY
'!

200 mm Y2 200 mm Y4
3 DY 3 DY
Y2 2 100
2 100Y2

'0 400 '0 400

107 106 mm4 Resp.

SOLUCIÓN II (CASO 2)

Para la integración, se elige un elemento diferencial paralelo al

y eje y, como se muestra en la figura 10-6b. El elemento interseca la
y2 ϭ 400x
curva en el punto arbitrario (x, y). En este caso, no todos los puntos

del elemento se encuentran a la misma distancia del eje x, y por lo

tanto debe usarse el teorema de los ejes paralelos para determinar el

momento de inercia del elemento con respecto a este eje. Para un rec-

tángulo con base b y altura h, el momento de inercia con respecto a

200 mm su eje centroidal ya fue determinado en la parte (a) del ejemplo 10.1.

y x¿ eSelneceleannfctiorgonuitrdraeó1dq0eu-l6eebl),eXbm€ ϭe ndt11o2xBeyHst3há. Pϭeanyra Y, ye leenYlte om2ndeceensstdoDed)eiXfl€ee rjeen11x2c,DiaeXll mostrado
y~ ϭ –2y– x Y3. Como

x dx momento
100 mm
de inercia del elemento con respecto a este eje es

D)X D)X€ D! Y2 1 DX Y3 Y2 1 Y3 DX
12 Y DX2 3 3

2

10 (b) (Este resultado también puede obtenerse a partir de la parte (b) del
Fig. 10-6 ejemplo 10.1). Al integrar con respecto a x, desde x ϭ 0 hasta x ϭ
100 mm, resulta

)X 'D)X 100 mm 1 Y3 DX 100 mm 1 400X 3 2 DX
'0 3 '0 3

107 106 mm4 Resp.

10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 517

EJEMPLO 10.3

Determine el momento de inercia con respecto al eje x del área
circular que se muestra en la figura 10-7a.

y
Ϫx x

(Ϫx, y) (x, y)
dy
y
O x
a

x2 ϩ y2 ϭ a2
(a)

SOLUCIÓN I (CASO 1)

Si usamos el elemento diferencial que se muestra en la figura 10-7a,
como dA ϭ 2x dy, tenemos

)X Y2 D! Y2 2X DY
'! '!

A
Y2 DY )A4 Resp.
4
Y2 2 A2

'
A

SOLUCIÓN II (CASO 2)

Cuando se elige el elemento diferencial que se muestra en la figura

10-7b, el centroide del elemento se encuentra en el eje x, y como

)X€ 1 BH3 para un rectángulo, tenemos
12
y

D)X 1 DX 2Y 3 x2 ϩ y2 ϭ a2 (x, y)
12

2 Y3 DX y
3

Integrar con respecto a x resulta (x~, y~) x 10
O Ϫy
a

)X A 2 A2
X2 3 2 DX )A4 Resp.
'
A 3 4

NOTA: por comparación, la solución I requiere la realización de (x, Ϫy)
menos cálculos. Por tanto, si una integral que utiliza un elemento dx
particular parece difícil de evaluar, trate de resolver el problema
con un elemento orientado en la otra dirección. (b)

Fig. 10-7

518 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F10-1. Determine el momento de inercia del área som- F10-3. Determine el momento de inercia del área som-
breada con respecto al eje x. breada con respecto al eje y.

y x y x
y3 ϭ x2 y3 ϭ x2

1m 1m

1m 1m
F10-1 F10-3

F10-2. Determine el momento de inercia del área som- F10-4. Determine el momento de inercia del área som-
breada con respecto al eje x. breada con respecto al eje y.

y y

10 1 m y3 ϭ x2 1 m y3 ϭ x2 x
x 1m

1m F10-4

F10-2

10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 519

PROBLEMAS

•10-1. Determine el momento de inercia del área con •10-5. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje x. respecto al eje x.

10-2. Determine el momento de inercia del área con res- 10-6. Determine el momento de inercia del área con res-
pecto al eje y. pecto al eje y.

y
y

2 m y ϭ 0.25 x3 x y2 ϭ 2x x
2m 2m

Probs. 10-1/2 2m
Probs. 10-5/6

10-3. Determine el momento de inercia del área con res- 10-7. Determine el momento de inercia del área con res-
pecto al eje x. pecto al eje x.
*10-4. Determine el momento de inercia del área con *10-8. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje y. respecto al eje y.
•10-9. Determine el momento de inercia polar del área
y con respecto al eje z que pasa a través del punto O.

y

1 m y2 ϭ x3 10
1m
2 m y ϭ 2x4

x

O x
1m
Probs. 10-3/4
Probs. 10-7/8/9

520 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

10-10. Determine el momento de inercia del área con 10-14. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje x. respecto al eje x. Con elementos rectangulares diferencia-
les, resuelva el problema de dos maneras: (a) con espesor
10-11. Determine el momento de inercia del área con dx, y (b) con espesor dy.
respecto al eje y.
10-15. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje y. Con elementos rectangulares diferencia-
les, resuelva el problema de dos maneras: (a) con espesor
dx, y (b) con espesor dy.

ϭx y
y ϭ 4 – 4x2
8l

4 pulg

x

2l x

Probs. 10-10/11 1 pulg 1 pulg
Probs. 10-14/15

*10-12. Determine el momento de inercia del área con *10-16. Determine el momento de inercia del área trian-
respecto al eje x. gular con respecto al eje x.

•10-13. Determine el momento de inercia del área con •10-17. Determine el momento de inercia del área trian-
respecto al eje y. gular con respecto al eje y.

y y

y ϭ –h– (b Ϫ x)
b
y ϭ 2 – 2x3
10 2 pulg h

x x
b
1 pulg
Probs. 10-16/17
Probs. 10-12/13

10.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA 521

10-18. Determine el momento de inercia del área con 10-22. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje x. respecto al eje x.

10-19. Determine el momento de inercia del área con 10-23. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje y. respecto al eje y.

y

y

h y ϭ 2 cos (–π8–x) 2 pulg
4 pulg x
y ϭ —bh2 x2
b 4 pulg

x

Probs. 10-18/19 Probs. 10-22/23

*10-20. Determine el momento de inercia del área con *10-24. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje x. respecto al eje x.

•10-21. Determine el momento de inercia del área con •10-25. Determine el momento de inercia del área con
respecto al eje y. respecto al eje y.

10-26. Determine el momento de inercia polar del área
con respecto al eje z que pasa a través del punto O.

y

y3 ϭ x x2 ϩ y2 ϭ r02 10

2 pulg r0
x

x

8 pulg

Probs. 10-20/21 Probs. 10-24/25/26

522 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

10.4 Momentos de inercia para áreas

compuestas

Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más
simples” conectadas, como rectángulos, triángulos y círculos. Siempre
que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o
puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momen-
to de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los
momentos de inercia de todas sus partes.

Procedimiento para el análisis

El momento de inercia para un área compuesta con respecto a
un eje de referencia puede determinarse por el siguiente proce-
dimiento.

Partes compuestas.

• Con un croquis, divida el área en sus partes componentes e

indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada
parte hasta el eje de referencia.

Teorema de los ejes paralelos.

• Si el eje centroidal para cada parte no coincide con el eje de

referencia, deberá usarse el teorema de los ejes paralelos,
) ) !D2, para determinar el momento de inercia de la
parte con respecto al eje de referencia. Para el cálculo de ) use
la tabla que aparece en la cubierta posterior interna del libro.

Suma.

• El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de

referencia se determina por la suma de los resultados de sus
partes componentes con respecto a este eje.

• Si una parte componente tiene un “agujero”, su momento de

inercia se encuentra al “restar” el momento de inercia del aguje-
ro del momento de inercia de toda la parte, incluido el agujero.

10

Para efectuar el diseño o análisis de
esta viga en forma de T, los ingenieros
deben ser capaces de localizar el cen-
troide del área de su sección transver-
sal, y después encontrar el momento de
inercia de esta área con respecto al eje
centroidal.

10.4 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS 523
10
EJEMPLO 10.4

Determine el momento de inercia del área que se muestra en la
figura 10-8a con respecto al eje x.

100 mm 100 mm

25 mm 75 mm 75 mm 25 mm

75 mm 75 mm –

x x
(a) (b)

Fig. 10-8

SOLUCIÓN

Partes compuestas. El área puede obtenerse al restar el círculo
del rectángulo de la figura 10-8b. El centroide de cada área está
ubicado en la figura.

Teorema de los ejes paralelos. Los momentos de inercia con
respecto al eje x se determinan con el teorema de los ejes paralelos y
los datos proporcionados en la tabla de la cubierta posterior interna
de este libro.

Círculo

)X )X€ !DY2
1 ) 25 4 ) 25 2 75 2 11.4 106 mm4
4

Rectángulo

)X )X€ !D2Y
1 100 150 3 100 150 75 2 112.5 106 mm4
12

Suma. Entonces, el momento de inercia del área compuesta es

)X
11.4 106 112.5 106 Resp.
101 106 mm4

524 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

EJEMPLO 10.5 Determine los momentos de inercia para el área de la sección trans-
versal del elemento que se muestra en la figura 10-9a con respecto a
100 los ejes centroidales x y y.

400

x SOLUCIÓN

100 400 Partes compuestas. La sección transversal puede subdividirse en
las tres áreas rectangulares A, B y D que se muestran en la figura
100 10-9b. Para efectuar el cálculo, el centroide de cada uno de esos
00 rectángulos está localizado en la figura.

Teorema de los ejes paralelos. Con base en la tabla de la cubier-

ta posterior interna de este libro, o en el ejemplo 10.1, el momen-

to de inercia de un rectángulo con respecto a su eje centroidal es
1
y ) 12 BH3. Por lo tanto, con el teorema de los ejes paralelos para los

100 mm rectángulos A y D, los cálculos son como sigue:

200 mm Rectángulos A y D

A 250 mm
300 mm

B x )X )X€ !D2Y 1 100 300 3 100 300 200 2
12

250 mm 300 mm 1.425 109 mm4

200 mm D 1 300 100 3
12
100 mm )Y )Y€ !D2X 100 300 250 2

(b) 1.90 109 mm4

Fig. 10-9

Rectángulo B

)X 1 600 100 3 0.05 109 mm4
12

)Y 1 100 600 3 1.80 109 mm4
12

Suma. Entonces, los momentos de inercia para toda la sección
10 transversal son

)X 2[1.425 109 ] 0.05 109 Resp.
2.90 109 mm4 Resp.

)Y 2[1.90 109 ] 1.80 109
5.60 109 mm4

10.4 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS 525

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F10-5. Determine el momento de inercia del área de la F10-7. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto a los ejes cen- sección transversal del canal con respecto al eje y.
troidales x y y.

y x y

200 mm 50 mm x
50 mm 50 mm

200 mm 300 mm

150 mm 150 mm 50 mm
50 mm
200 mm
F10-5 F10-7

F10-6. Determine el momento de inercia del área de la F10-8. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto a los ejes cen- sección transversal de la viga en forma de T, con respecto
troidales x y y. al eje x¿ que pasa por el centroide de la sección transver-
sal.

y

30 mm

200 mm 30 mm 10
x

30 mm 150 mm x¿
y
300 mm
30 mm
30 mm 30 mm

150 mm

F10-6 F10-8

526 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

PROBLEMAS

10-27. Determine la distancia Y al centroide del área *10-32. Determine el momento de inercia del área com-
de la sección transversal de la viga; después determine el puesta con respecto al eje x.
momento de inercia con respecto al eje x¿.
•10-33. Determine el momento de inercia del área com-
*10-28. Determine el momento de inercia del área de la puesta con respecto al eje y.
sección transversal de la viga con respecto al eje x.

•10-29. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto al eje y.

y y
6 pulg
150 mm 150 mm

x

y 2 pulg 100 mm
C
x¿ 100 mm
4 pulg
x

300 mm 75 mm

1 pulg 1 pulg

Probs. 10-27/28/29 Probs. 10-32/33

10-30. Determine el momento de inercia del área de la 10-34. Determine la distancia Y al centroide del área de
sección transversal de la viga con respecto al eje x. la sección transversal de la viga; determine el momento
de inercia con respecto al eje x¿.
10-31. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto al eje y. 10-35. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto al eje y.

y y

15 mm 60 mm 60 mm 25 mm 25 mm
15 mm

100 mm 15 mm C 100 mm
10 x¿

50 mm x _ 25 mm
50 mm y x

100 mm 15 mm 50 mm 75 mm 75 mm 50 mm
100 mm
Probs. 10-30/31
25 mm
Probs. 10-34/35

10.4 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS 527

*10-36. Localice el centroide Y del área compuesta, des- •10-41. Determine el momento de inercia del área de la
pués determine el momento de inercia de esta área con sección transversal de la viga con respecto al eje x.
respecto al eje centroidal x¿.
10-42. Determine el momento de inercia del área de la
•10-37. Determine el momento de inercia del área com- sección transversal de la viga con respecto al eje y.
puesta con respecto al eje y.

y

y

1 pulg 1 pulg 15 mm
115 mm
5 pulg x
7.5 mm
2 pulg C x¿
3 pulg 3 pulg y 115 mm
15 mm
x
50 mm 50 mm
Probs. 10-36/37
Probs. 10-41/42

10-38. Determine la distancia Y al centroide del área 10-43. Localice el centroide Y del área de la sección
de la sección transversal de la viga; después encuentre el transversal del ángulo; después, encuentre el momento de
momento de inercia con respecto al eje x¿. inercia Ix¿ con respecto al eje centroidal x¿.

10-39. Determine el momento de inercia del área de la *10-44. Localice el centroide X del área de la sección
sección transversal de la viga con respecto al eje x. transversal del ángulo; después, encuentre el momento de
inercia Iy¿ con respecto al eje centroidal y¿.
*10-40. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal de la viga con respecto al eje y.

y y y¿
50 mm 50 mm x–

6 pulg 10

300 mm C x¿
C x¿ x
2 pulg y–

y 6 pulg
100 mm 2 pulg

x

200 mm

Probs. 10-38/39/40 Probs. 10-43/44

528 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

•10-45. Determine el momento de inercia del área com- •10-49. Determine el momento de inercia Ix¿ de la sec-
puesta con respecto al eje x. ción. El origen de coordenadas está en el centroide C.

10-46. Determine el momento de inercia del área com- 10-50. Determine el momento de inercia Iy¿ de la sección.
puesta con respecto al eje y. El origen de coordenadas está en el centroide C.

y y¿

150 mm 200 mm
x
C x¿
150 mm 600 mm 200 mm

20 mm 20 mm

20 mm

150 mm 150 mm

Probs. 10-45/46 Probs. 10-49/50

10-47. Determine el momento de inercia del área com- 10-51. Determine el momento de inercia Ix de la viga con
puesta con respecto al eje centroidal y. respecto al eje centroidal x.

*10-48. Localice el centroide Y del área compuesta, des- *10-52. Determine el momento de inercia Iy de la viga
pués determine el momento de inercia de esta área con con respecto al eje centroidal y.
respecto al eje x¿.

y

240 mm y
15 mm
50 mm
15 mm
10
400 mm C x¿ 50 mm C 10 mm x
50 mm 50 mm
y

100 mm 100 mm

x

150 mm 150 mm 50 mm

Probs. 10-47/48 Probs. 10-51/52

10.4 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS 529

•10-53. Localice el centroide Y del área de la sección •10-57. Determine el momento de inercia del área de la
transversal del canal, después determine el momento de sección transversal de la viga con respecto al eje x.
inercia de esta área con respecto al eje centroidal x¿.
10-58. Determine el momento de inercia del área de la
10-54. Determine el momento de inercia del área del sección transversal de la viga con respecto al eje y.
canal con respecto al eje y.

y y

0.5 pulg 125 mm 125 mm
12 mm
12 mm
100 mm 12 mm

6 pulg C x¿ 25 mm 75 mm x
y 75 mm
12 mm
x

6.5 pulg 6.5 pulg

0.5 pulg 0.5 pulg

Probs. 10-53/54 Probs. 10-57/58

10-55. Determine el momento de inercia del área de la 10-59. Determine el momento de inercia del área de la
sección transversal con respecto al eje x. sección transversal de la viga con respecto al eje x¿ que
pasa a través del centroide C de la sección transversal.
*10-56. Localice el centroide X del área de la sección Y ϭ 104.3 mm.
transversal de la viga, y después determine el momento de
inercia de esta área con respecto al eje centroidal y¿.

y y¿ 35 mm
A
10 mm x

150 mm

C x¿

180 mm x 10
100 mm
C 15 mm

10 mm y– B
10 mm 100 mm 50 mm

Probs. 10-55/56 Prob. 10-59

530 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

y *10.5 Producto de inercia para un área
x
En la siguiente sección se mostrará que la propiedad de un área, llama-
da el producto de inercia, es necesaria a fin de determinar los momen-
tos de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximo y
mínimo son propiedades importantes necesarias para diseñar elemen-
tos estructurales y mecánicos como vigas, columnas y flechas.

El producto de inercia del área de la figura 10-10 con respecto a los
ejes x y y se define como

A )XY XY D! (10-7)
dA '!

y

x Si el elemento de área elegido tiene un tamaño diferencial en dos direc-
ciones, como se muestra en la figura 10-10, para evaluar Ixy debe reali-
Fig. 10-10 zarse una integración doble. Sin embargo, con frecuencia es más fácil
elegir un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo
La efectividad de esta viga para resistir una dirección, en cuyo caso la evaluación requiere sólo una integración
la flexión puede determinarse una vez simple (vea el ejemplo 10.6).
que se conozcan sus momentos de iner-
cia y su producto de inercia. Igual que el momento de inercia, el producto de inercia tiene uni-
dades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo, m4, mm4 o pies4,
pulg4. Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas, el
producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo
de la ubicación y orientación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el
producto de inercia Ixy para área será cero si el eje x, o el eje y, es un eje
de simetría para el área, como en la figura 10-11. Aquí, cada elemento
dA localizado en el punto (x, y) tiene un elemento dA correspondiente
en (x, Ϫy). Como los productos de inercia para esos elementos son,
respectivamente, xy dA y Ϫxy dA, la suma algebraica o integración
de todos los elementos que se elijan de esta manera se cancelarán uno
a uno. En consecuencia, el producto de inercia para el área total se
convierte en cero. De la definición también se infiere que el “signo”
de esta cantidad depende del cuadrante donde se ubique el área.
Como se muestra en la figura 10-12, si el área se gira de un cuadrante
a otro, el signo de Ixy cambiará.

y

10 x

dA y x
Ϫy

dA

Fig. 10-11

10.5 PRODUCTO DE INERCIA PARA UN ÁREA 531

y

Ixy ϭ Ϫ xy dA Ϫx x Ixy ϭ xy dA

yy
x

Ϫy Ϫy

Ixy ϭ xy dA Ϫx x Ixy ϭ Ϫ xy dA

Fig. 10-12

Teorema de los ejes paralelos. Considere el área sombreada y y¿
x¿
que se muestra en la figura 10-13, donde x¿ y y¿ representan un conjunto
de ejes que pasan a través del centroide del área, y x y y representan un

conjunto correspondiente de ejes paralelos. Como el producto de iner-
cia de dA con respecto a los ejes x y y es D)XY X€ DX Y€ DY D!,
entonces para toda el área,

)XY X€ DX Y€ DY D!
'!
dA y¿
C x¿

X€Y€ D! DX Y€ D! DY X€ D! DXDY D! dy
'! '! '! '!

El primer término del lado derecho representa el producto de iner- x
cia del área con respecto al eje centroidal, )X€Y€. Las integrales en los dx
términos segundo y tercero son cero, ya que los momentos del área se
toman con respecto al eje centroidal. Al observar que la cuarta integral Fig. 10-13
representa el área total A, el teorema de los ejes paralelos para el pro-
ducto de inercia se convierte en

10

)XY )X€Y€ !DXDY (10-8)

Es importante que los signos algebraicos para dx y dy se mantengan
al aplicar esta ecuación.

532 CAPÍTULO 10 MOMENTOS DE INERCIA

EJEMPLO 10.6 Determine el producto de inercia Ixy del triángulo que se muestra
en la figura 10-14a.
y

h SOLUCIÓN I
x
Un elemento diferencial con espesor dx, como se muestra en la figu-
ra 10-14b, tiene un área dA ϭ y dx. El producto de inercia de este
elemento con respecto a los ejes x y y se determina con el teorema
de los ejes paralelos,

b D)XY D)X€Y€ D! X Y
(a)

donde X y y ubican el centroide del elemento o el origen de los ejes

xX¿,ϭy¿x. ,(V y eϭa la figura 10-13). Como D)X€Y€ 0, debido a la simetría, y
y>2, entonces

D)XY 0 Y 2 H X DX 3 X 2 H X 3
Y DX X2 3 B 2B
y
2

y ϭ h x H2 X3 DX
b 2B2

(x, y) Al integrar con respecto a x desde x ϭ 0 hasta x ϭ b se obtiene

y (~x, ~y) h
x
dx )XY H2 B B2H2 Resp.
b 2B2 8
X3 DX
(b) '0

SOLUCIÓN II

También puede usarse el elemento diferencial que tiene un espesor

dEyylϭ,cceyon,mtproooirsdeleomsqeuueleoscteralalpiezranodelanufceitgloupdruaen1itn0oe-1 Xr4cϭica. Su área es dA ϭ (b Ϫ x) dy.
x ϩ (b Ϫ x)>2 ϭ (b ϩ x)>2,
del elemento se vuelve

y D)XY D)X€Y€ D! X Y

y ϭ h x 0 B
X DY2 B X 3 Y
b 2

10 x (x~, ~y) dy h 2B
B Y3 B B H Y 1 Y 2 B2
B2 Y2 3 DY
H DY 4 5Y 2 H2
(x, y)
2

(b Ϫ x) y
x

b Al integrar con respecto a y desde y ϭ 0 hasta y ϭ h resulta

(c) 1 H B2 B2H2
2 H2 8
)XY Y 2 B2
Y2 3 DY Resp.
'0
Fig. 10-14


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