estc3a1tica-de-russel-hibbeler-12va-edicic3b3n

REPASO DEL CAPÍTULO 323

REPASO DEL CAPÍTULO Armadura de techo

Armadura simple
Una armadura simple consiste en ele-
mentos triangulares conectados entre sí
mediante nodos de pasador. Las fuerzas
dentro de sus elementos pueden deter-
minarse al suponer que todos son de dos
fuerzas, conectados concurrentemente
en cada nodo. Los elementos están en
tensión o en compresión, o no soportan
ninguna fuerza.

Método de nodos ©Fx ϭ 0 B
©Fy ϭ 0 500 N
El método de nodos establece que si una
armadura está en equilibrio, entonces 45Њ
cada uno de sus nodos también está en
equilibrio. Para una armadura plana, el 45Њ
sistema de fuerzas concurrentes en cada A C6
nodo debe satisfacer el equilibrio de
fuerzas. B
500 N
Para obtener una solución numérica para
las fuerzas en los elementos, seleccione FBA (tensión) 45Њ FBC (compresión)
un nodo que tenga un diagrama de cuer-
po libre con cuando mucho dos fuerzas
desconocidas y una fuerza conocida.
(Esto puede requerir encontrar primero
las reacciones en los soportes).

Una vez determinada una fuerza del
elemento, use su valor y aplíquelo a un
nodo adyacente.

Recuerde que las fuerzas que jalan el
nodo están en tensión, y aquellas que lo
empujan están en compresión.

Para evitar una solución simultánea de
dos ecuaciones, establezca uno de los
ejes coordenados a lo largo de la línea
de acción de una de las fuerzas desco-
nocidas y sume fuerzas en una dirección
perpendicular a este eje. Esto permitirá
obtener una solución directa para la otra
incógnita.

El análisis se puede simplificar más aún,
al identificar primero todos los elemen-
tos de fuerza cero.

324 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Método de secciones Ba C D
2m
El método de secciones establece que si
una armadura está en equilibrio, enton- A Ga F E
ces cada una de sus secciones también 2m
está en equilibrio. Pase una sección a 2m 2m
través del elemento cuya fuerza debe ser 1000 N
determinada. Después trace el diagrama
de cuerpo libre de la parte seccionada
que tenga el menor número de fuerzas
sobre ella.

2m C
FBC

2m FGC

Los elementos seccionados sometidos 45
a un jalón están en tensión y aquellos
sometidos a un empujón están en com- G FGF
presión.
2m
1000N

6 Se dispone de tres ecuaciones de equili- i&X 0
brio para determinar las incógnitas. i&Y 0
i-/ 0
Si es posible, sume las fuerzas en una
dirección que sea perpendicular a dos C i&Y 0
de las tres fuerzas desconocidas. Esto
1000 N &'# sen 45° 0
dará una solución directa para la tercera
fuerza. &'# 1.41 kN T

Sume momentos con respecto a un punto a i-# 0
donde las líneas de acción de dos de las 1000 N 4 m
&'& (2 m) 0
tres fuerzas desconocidas se intersequen,
de manera que la tercera fuerza desco- &'& 2 kN C
nocida pueda determinarse en forma
directa.

REPASO DEL CAPÍTULO 325

Armadura espacial P

Una armadura espacial es una estructura
tridimensional construida a partir de ele-
mentos tetraédricos, y se analiza con los
mismos métodos que para las armaduras
planas. Se supone que las uniones son
conexiones de rótula esférica.

Bastidores y máquinas 2000 N

Los bastidores y máquinas son estructuras C
que contienen uno o más elementos de
varias fuerzas, es decir, elementos que tie- B
nen tres o más fuerzas o pares que actúan
sobre ellos. Los bastidores están diseña- Elemento de
dos para soportar cargas, y las máquinas
transmiten y modifican el efecto de las Elemento de varias fuerzas 6
fuerzas. dos fuerzas
A

Las fuerzas que actúan en las uniones de 2000 N Cx
un bastidor o de una máquina pueden B Cy
determinarse al trazar los diagramas de
cuerpo libre de cada uno de sus elementos FAB FAB
o partes. El principio de acción-reacción Acción-reacción
debe cumplirse cuidadosamente al trazar
esas fuerzas sobre cada elemento o pasa- FAB
dor adyacente. Para un sistema coplanar
de fuerzas, hay tres ecuaciones de equili-
brio disponibles para cada elemento.

Para simplificar el análisis, asegúrese de
reconocer todos los elementos de dos fuer-
zas. Éstos tienen fuerzas colineales iguales
pero opuestas en sus extremos.

326 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

PROBLEMAS DE REPASO

6-127. Determine la fuerza de apriete ejercida sobre el •6-129. Determine la fuerza en cada elemento de la ar-
tubo liso en B si se aplica una fuerza de 20 lb a los mangos madura y establezca si los elementos están en tensión o en
de las pinzas. Las pinzas están articuladas en A. compresión.

20 lb ED C
0.1 m

10 pulg 40Њ
1.5 pulg

B 3m
A B

0.5 pulg A 8 kN
3m 3m
20 lb

Prob. 6-127 Prob. 6-129

*6-128. Determine las fuerzas que ejercen los pasadores 6-130. La armadura espacial está soportada por una
unión de rótula esférica en D y eslabones cortos en C y E.
ubicados en A y B sobre el bastidor de dos elementos que Determine la fuerza en cada elemento y establezca si los
elementos están en tensión o en compresión. Considere
sostiene a la caja de 100 kg. F1 ϭ {Ϫ500k} lb y F2 ϭ {400j} lb.
6
6-131. La armadura espacial está soportada por una
unión de rótula esférica en D y eslabones cortos en C y E.
Determine la fuerza en cada elemento y establezca si los
elementos están en tensión o en compresión. Considere
F1 ϭ {200i ϩ 300j Ϫ500k} lb y F2 ϭ {400j} lb.

0.8 m 0.6 m z
C C
0.6 m
A 0.4 m D
B

F

D

3 pies

E B F2
x 4 pies
A 3 pies
y

Prob. 6-128 F1
Probs. 6-130/131

PROBLEMAS DE REPASO 327

*6-132. Determine las componentes horizontal y vertical 6-135. Determine las componentes horizontal y vertical
de la reacción que ejercen los pasadores A y B sobre el bas- de la reacción en los soportes de pasador A y E del ensam-
tidor de dos elementos. Considere F ϭ 0. ble de vigas compuestas.

*6-133. Determine las componentes horizontal y vertical
de la reacción que ejercen los pasadores A y B sobre el bas-
tidor de dos elementos. Considere F ϭ 500 N.

1m F C 2 kip/pie
C 1m E
A
1 pie 2 pies

1.5 m BD

3 pies 2 pies 6 pies
1 pie

B

60Њ Prob. 6-135
400 N/m A

Probs. 6-132/133

6

6-134. El mecanismo de dos barras consiste en un brazo *6-136. Determine la fuerza en los elementos AB, AD y
de palanca AB y un eslabón liso CD, el cual tiene un colla- AC de la armadura espacial y establezca si los elementos
rín fijo en su extremo C y un rodillo en el otro extremo D. están en tensión o en compresión.
Determine la fuerza P necesaria para mantener la palanca
en la posición ␪. El resorte tiene rigidez k y su longitud no
estirada es de 2L. El rodillo entra en contacto con la por-
ción superior o inferior de la guía horizontal.

P z
B
1.5 pies
2L C 1.5 pies

D
2 pies

C

L xB 8 pies A
D y
uk
A F ϭ {Ϫ600k} lb

Prob. 6-134 Prob. 6-136

Estas varillas reforzadas se encajonarán en concreto a fin de crear una columna
de construcción. Las cargas internas desarrolladas dentro del material resisten
la carga externa que se colocará sobre la columna.

Fuerzas internas 7

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Mostrar cómo se usa el método de secciones para determinar las

cargas internas en un elemento.

• Generalizar este procedimiento por medio de la formulación de

ecuaciones que puedan graficarse, de modo que describan el
corte y el momento internos a través de un elemento.

• Analizar las fuerzas y estudiar la geometría de los cables que sos-

tienen una carga.

7.1 Fuerzas internas desarrolladas

en elementos estructurales

Para diseñar un elemento estructural o mecánico es necesario conocer
la carga que actúa dentro de él para asegurarnos de que el material
puede resistir esta carga. Las cargas internas pueden determinarse por
el método de secciones. Para ilustrar este método, considere la viga
en voladizo que se muestra en la figura 7-1a. Si se deben determinar
las cargas internas que actúan en la sección transversal en el punto B,
entonces se debe pasar por la viga una sección imaginaria a-a, perpen-
dicular al eje de la viga a través del punto B, que separa la viga en dos
segmentos. Las cargas internas que actúan en B quedarán expuestas
y se volverán externas en el diagrama de cuerpo libre de cada segmento,
figura 7-1b.

P1 P1 P2
a
P2 Ay MB MB
AB
a Ax B NB B
(a) MA VB NB

VB

(b)

Fig. 7-1

330 CAPÍTULO 7 FUERZAS INTERNAS

P1 P2

Ay MB MB

Ax B NB B
MA VB NB

VB

(b)

Fig. 7-1

En cada caso, el eslabón de la retroex- La componente de fuerza NB que actúa en perpendicular a la sección
transversal se denomina fuerza normal. La componente de fuerza VB que
cavadora es un elemento de dos fuerzas. es tangente a la sección transversal se llama fuerza cortante y el momento

En la fotografía de arriba está sometido de par MB se conoce como momento flexionante. Las componentes de
fuerza evitan la traslación relativa entre los dos segmentos, y el momento
7 a flexión y a carga axial en su centro.
Al colocar el elemento en posición recta, de par evita la rotación relativa. De acuerdo con la tercera ley de Newton,

como en la fotografía inferior, en él sólo estas cargas pueden actuar en direcciones opuestas sobre cada segmento,

actúa una fuerza axial. como se muestra en la figura 7-1b. Éstas pueden determinarse al aplicar

las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de cualquier seg-

mento. Sin embargo, en este caso el segmento derecho es la mejor opción

debido a que no involucra las reacciones de soporte desconocidas en A.
Una solución directa para NB se obtiene al aplicar ©Fx ϭ 0, VB se obtie-
ne de ©Fy ϭ 0 y MB se puede obtener al aplicar ©MB ϭ 0, ya que los
momentos de NB y VB con respecto a B son iguales a cero.

En dos dimensiones hemos demostrado que existen tres cargas resultan-

tes internas, figura 7-2a; sin embargo, en tres dimensiones actuarán una

fuerza interna general y un momento de par resultante en la sección. Las

componentes x, y, z de estas cargas se muestran en la figura 7-2b. Aquí Ny
es la fuerza normal, y Vx y Vz son componentes de fuerza cortante. My es
un momento de torsión o de giro y Mx y Mz son componentes de momento
flexionante. Para la mayoría de las aplicaciones, estas cargas resultantes

actuarán en el centro geométrico o centroide (C) del área de la sección

transversal. Aunque por lo general la magnitud para cada carga será dife-

rente en los distintos puntos a lo largo del eje del elemento, puede usarse

siempre el método de secciones para determinar sus valores.

Fuerza normal z

Componentes de
momento flexionante Mz

CN Fuerza normal

Fuerza cortante M Vz Ny Momento de torsión
V Momento flexionante C My

y

(a) Vx
Mx
Componentes de fuerza cortante

x (b)
Fig. 7-2

7.1 FUERZAS INTERNAS DESARROLLADAS EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 331

Convención de signos. Los ingenieros suelen usar una conven- NN

ción de signos para expresar las tres cargas internas N, V y M. Aunque Fuerza normal positiva
esta convención de signos puede asignarse de manera arbitraria, aquí
se usará la de más amplia aceptación, figura 7-3. Se dice que la fuerza V
normal es positiva si crea tensión, una fuerza cortante positiva ocasio- V
nará que el segmento de viga sobre el que actúa gire en el sentido de
las manecillas del reloj, y un momento flexionante positivo tenderá V
a doblar el segmento sobre el que actúa de una forma cóncava hacia V
arriba. Las cargas opuestas a las descritas anteriormente se consideran
negativas. Fuerza cortante positiva

Si el elemento está sometido a cargas externas tridimensionales, MM
entonces las cargas internas suelen expresarse como positivas o negati-
vas, de acuerdo con un sistema establecido de coordenadas x, y, z como
el que se muestra en la figura 7-2.

Procedimiento para el análisis Momento positivo 7
MM
El método de secciones puede usarse para determinar las car-
gas internas en una ubicación específica de un elemento, por el Fig. 7-3
siguiente procedimiento.
El diseñador de esta grúa de taller
Reacciones en los soportes. se dio cuenta de la necesidad de
poner un refuerzo extra alrede-
• Antes de seccionar el elemento, puede ser necesario determi- dor de la unión a fin de evitar una
flexión interna grave en ésta cuando
nar primero las reacciones en sus soportes, de manera que las se suspenda una carga grande de la
ecuaciones de equilibrio se usen para resolver las cargas inter- cadena del malacate.
nas sólo después de que el elemento esté seccionado.

Diagrama de cuerpo libre.

• Mantenga todas las cargas distribuidas, momentos de par y

fuerzas que actúan sobre el elemento en sus ubicaciones exac-
tas, luego pase una sección imaginaria por el elemento, perpen-
dicular a su eje en el punto en que debe determinarse la carga
interna.

• Una vez hecha la sección, trace un diagrama de cuerpo libre

del segmento que tenga el menor número de cargas, e indique
las componentes de la fuerza y el momento de par resultantes
en la sección transversal que actúan en sus direcciones positi-
vas de acuerdo con la convención de signos establecida.

Ecuaciones de equilibrio.

• Hay que sumar los momentos en la sección. De esta manera se

eliminan las fuerzas normal y cortante en la sección y se puede
obtener una solución directa para el momento.

• Si la solución de las ecuaciones de equilibrio resulta en un esca-

lar negativo, el sentido supuesto de la cantidad es contrario al
del diagrama de cuerpo libre.

332 CAPÍTULO 7 FUERZAS INTERNAS

EJEMPLO 7.1

Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flexio-
nante que actúan justo a la izquierda, punto B, y justo a la derecha,
punto C, de la fuerza de 6 kN aplicada sobre la viga de la figura 7-4a.

6 kN

A 9 kN и m
D

BC 6m
3m

(a)

A 6 kN 9 kN и m SOLUCIÓN
D
3m 6m Reacciones en los soportes. En la figura 7-4b se muestra el diagra-
Ay (b) Dy ma de cuerpo libre de la viga. Al determinar las reacciones externas,

observe que el momento de par de 9 kN # m es un vector libre, y por

lo tanto se le puede colocar en cualquier parte del diagrama de cuer-
po libre de la viga completa. Aquí determinaremos sólo Ay, ya que
los segmentos de la izquierda se usarán para el análisis.

a i-$ 0; 9 kN m 6 kN 6 m
!Y 9 m 0

!Y 5 kN

Diagramas de cuerpo libre. En las figuras 7-4c y 7-4d se mues-
MB tran los diagramas de cuerpo libre de los segmentos izquierdos AB

#7 A B NB y AC de la viga. En este caso, el momento de par de 9 kN m no se

3m VB incluye en esos diagramas ya que debe mantenerse en su posición
5 kN original hasta después de que se haga la sección y se aísle el segmento

(c) apropiado.

Ecuaciones de equilibrio.

Segmento AB

i&X 0; ." 0 Resp.

6 kN C i&Y 0; 5 kN
6" 0 6" 5 kN Resp.

MC a i-" 0;
5 kN 3 m -" 0 -" 15 kN m Resp.

A C NC

3m VC Segmento AC
5 kN
i&X 0; .# 0 Resp.
6#
1 kN Resp.
(d) C i&Y 0; 5 kN
6 kN
6# 0
-# 15 kN m Resp.
Fig. 7-4 a i-# 0;
5 kN 3 m -# 0

NOTA: el signo negativo indica que VC actúa en sentido opuesto al
del diagrama de cuerpo libre. Además, el brazo de momento para

la fuerza de 5 kN en ambos casos es aproximadamente de 3 m ya

que B y C son “casi” coincidentes.