estc3a1tica-de-russel-hibbeler-12va-edicic3b3n

8.7 FUERZAS DE FRICCIÓN EN CHUMACERAS LISAS 433

EJEMPLO 8.10

La polea de 100 mm de diámetro que se muestra en la figura 8-24a
cabe holgadamente en una flecha de 10 mm de diámetro cuyo coefi-
ciente de fricción estática es ␮s ϭ 0.4. Determine la tensión T mínima
necesaria en la banda para (a) elevar el bloque de 100 kg y (b) bajar
el bloque. Suponga que no ocurre deslizamiento entre la banda y la
polea e ignore el peso de la polea.

50 mm

r 5 mm

100 kg T (a)

SOLUCIÓN

Parte (a). En la figura 8-24b se muestra un diagrama de cuerpo libre s Movimiento
rf inminente
de la polea. Cuando la polea está sometida a tensiones de la banda de
P1 P2
981 N cada una, hace contacto con la flecha localizada en el punto P1.
Conforme la tensión T se incremente, el punto de contacto se moverá R T
981 N
alrededor de la flecha hasta el punto P2 antes de que el movimiento
sea inminente. Conforme a la figura, el círculo de fricción tiene un

radio rf ϭ r sen ␾s. Con la simplificación sen ␾s L tan ␾s L ␮s, entonces
rf L r␮s ϭ (5 mm)(0.4) ϭ 2 mm, por lo que al sumar momentos con
respecto a P2 se obtiene

a i-02 0; 981 N 52 mm
4 48 mm 0 8
4 1063 N 1.06 kN
Resp. 52 mm 48 mm
(b)
Si se usa un análisis más exacto, entonces ␾s ϭ tanϪ1 0.4 ϭ 21.8°.
Así, el radio del círculo de fricción sería rf ϭ r sen ␾s ϭ 5 sen s
21.8° ϭ 1.86 mm. Por lo tanto, rf

a i-02 0; P3 Movimiento
981 N 50 mm 1.86 mm
4 50 mm
1.86 mm 0 inminente

4 1057 N 1.06 kN Resp.

Parte (b). Cuando el bloque se baja, la fuerza resultante R que R T
actúa sobre la flecha pasa por el punto que se muestra en la figura 981 N
8-24c. Al sumar momentos con respecto a este punto resulta

a i-03 0; 981 N 48 mm
4 52 mm 0 Resp. 48 mm 52 mm
4 906 N (c)

NOTA: por lo tanto, la diferencia entre subir y bajar el bloque es Fig. 8-24
157 N.

434 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

W *8.8 Resistencia al rodamiento

Cuando un cilindro rígido rueda a velocidad constante a lo largo de una

r superficie rígida, la fuerza normal ejercida en el cilindro por la superficie

O actúa perpendicularmente a la tangente en el punto de contacto, como
se muestra en la figura 8-25a. Sin embargo, en la realidad no existen los

materiales perfectamente rígidos y, por lo tanto, la reacción de la super-

N ficie en el cilindro consiste en una distribución de presión normal. Por

ejemplo, considere que el cilindro está hecho de un material muy duro

y que la superficie sobre la cual rueda es relativamente suave. Debido a

Superficie rígida de contacto su peso, el cilindro comprime la superficie que está debajo de él, figura
8-25b. Cuando el cilindro rueda, el material de la superficie frente al cilin-

(a) dro retarda el movimiento ya que se deforma, en tanto que el material

en la parte posterior se restaura del estado deformado y por ello tiende
W a empujar al cilindro hacia delante. Las presiones normales que actúan

de esta manera sobre el cilindro están representadas en la figura 8-25b

mediante sus fuerzas resultantes Nd y Nr. Como la magnitud de la fuerza
de deformación, Nd, y su componente horizontal es siempre mayor
P que la de restauración, Nr, en consecuencia se debe aplicar una fuerza
impulsora horizontal P al cilindro para mantener el movimiento, figura

8-25b.*

La resistencia al rodamiento es causada principalmente por este

Nr efecto, aunque es también, en menor grado, el resultado de la adhe-
Nd sión superficial y el microdeslizamiento relativo entre las superficies

de contacto. Como la fuerza real P necesaria para vencer esos efectos

es difícil de determinar, desarrollaremos aquí un método simplificado
Superficie suave de contacto para explicar una manera en que los ingenieros han analizado este fenó-

(b) meno. Para hacer esto, consideraremos la resultante de toda la presión

normal, N ϭ Nd ϩ Nr, que actúa sobre el cilindro, figura 8-25c. Como
Nr se muestra en la figura 8-25d, esta fuerza actúa a un ángulo ␪ con la

vertical. Para mantener el cilindro en equilibrio, esto es, que ruede con

N una rapidez constante, es necesario que N sea concurrente con la fuerza
Nd impulsora P y el peso W. Al sumar momentos con respecto al punto A
se obtiene Wa ϭ P(r cos ␪). Puesto que por lo general las deformacio-
8

(c) nes son muy pequeñas en relación con el radio del cilindro, cos ␪ L 1;

por consiguiente,

W Wa L Pr

o bien,

r 0 , 7A (8-11)
P R

A . La distancia a se denomina coeficiente de resistencia al rodamiento, la
a cual tiene la dimensión de longitud. Por ejemplo, a L 0.5 mm para una
rueda que gira sobre un riel, ambos hechos de acero dulce. Para cojinetes

N

(d) *En realidad, la fuerza de deformación Nd ocasiona que se almacene energía en el
Fig. 8-25 material cuando su magnitud aumenta, mientras que la fuerza restauradora Nr, cuando
su magnitud disminuye, permite que parte de esta energía sea liberada. La energía

restante se pierde ya que se usa para calentar la superficie, y si el peso del cilindro es

muy grande, eso explica la deformación permanente de la superficie. Para compensar

esta pérdida, la fuerza horizontal P debe realizar su trabajo.

8.8 RESISTENCIA AL RODAMIENTO 435

de bolas de acero endurecido, a L 0.1 mm. Sin embargo, experimental-
mente este factor es difícil de medir, ya que depende de parámetros
como la velocidad de rotación del cilindro y las propiedades elásticas
de las superficies de contacto, así como del acabado de la superficie.
Por esta razón, a los datos para la determinación de a se les concede
poca confianza. De cualquier manera, el análisis presentado aquí indi-
ca por qué, en las mismas condiciones, una carga pesada (W) ofrece
mayor resistencia al movimiento (P) que una carga ligera. Además,
como Wa>r es generalmente muy pequeña comparada con ␮kW, la fuer-
za necesaria para hacer rodar el cilindro sobre la superficie será mucho
menor que la requerida para deslizarlo sobre la misma superficie. Por
esta razón, con frecuencia se usan los rodillos o los cojinetes de bolas
para minimizar la resistencia a la fricción entre partes móviles.

La resistencia al rodamiento de las ruedas
de ferrocarril sobre los rieles es pequeña
ya que el acero es muy rígido. Por compa-
ración, la resistencia al rodamiento de las
ruedas de un tractor en un campo mojado
es muy grande.

EJEMPLO 8.11

La rueda de acero de 10 kg que se muestra en la figura 8-26a tiene 98.1 N
un radio de 100 mm y descansa sobre un plano inclinado hecho de
madera. Si ␪ se incrementa de manera que la rueda comienza a girar
con velocidad constante cuando ␪ ϭ 1.2°, determine el coeficiente
de resistencia al rodamiento.

98.1 cos 1.2 N
1.2

98.1 sen 1.2 N

O 100 mm

100 mm

8

1.2
.a

A

(a) N
(b)
SOLUCIÓN
Fig. 8-26
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 8-26b, cuan-
do la rueda está a punto de moverse, la reacción normal N actúa en
el punto A definido por la dimensión a. Al resolver el peso en las
componentes paralela y perpendicular al plano inclinado, y sumar
momentos con respecto al punto A, se obtiene

a i-! 0;

98.1 cos 1.2° N) A (98.1 sen 1.2° N) 100 cos 1.2° mm 0

Al despejar, obtenemos Resp.
a ϭ 2.09 mm

436 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

PROBLEMAS

8-114. La chumacera de collarín soporta de manera uni- •8-117. El embrague de disco se usa en las transmisio-
forme una fuerza axial de P ϭ 800 lb. Si el coeficiente de
fricción estática es ␮s ϭ 0.3, determine el par M requerido nes manuales de los automóviles. Si se usan cuatro resortes
para vencer la fricción.
para forzar las dos placas A y B una contra la otra, deter-
8-115. La chumacera de collarín soporta de manera uni-
forme una fuerza axial de P ϭ 500 lb. Si se aplica un par de mine la fuerza en cada resorte requerida para transmitir

#torsión de M ϭ 3 lb pie a la flecha y la hace girar a veloci- #un momento de M ϭ 600 lb pie a través de las placas. El

dad constante, determine el coeficiente de fricción cinética coeficiente de fricción estática entre A y B es ␮s ϭ 0.3.
en la superficie de contacto.

AB 5 pulg M
Fs
2 pulg
M
3 pulg 2 pulg P Fs
M
Fs

Probs. 8-114/115 Prob. 8-117

*8-116. Si el resorte ejerce una fuerza de 900 lb sobre el 8-118. Si se aplica P ϭ 900 N a la manija de la manivela
bloque, determine el par de torsión requerido para girar de campana, determine el máximo par de torsión M que
la flecha. El coeficiente de fricción estática en todas las puede transmitir el embrague de cono. El coeficiente de
8 superficies de contacto es ␮s ϭ 0.3. fricción estática en la superficie de contacto es ␮s ϭ 0.3.

M 250 mm 15 M
2 pulg
6 pulg 300 mm
C
Prob. 8-116
200 mm A
B P

375 mm

Prob. 8-118

8.8 RESISTENCIA AL RODAMIENTO 437

8-119. Debido al desgaste en los bordes, la chumacera de •8-121. La flecha está sometida a una fuerza axial P. Si
pivote está sometida a una distribución de presión cónica la presión reactiva sobre la chumacera cónica es uniforme,
en su superficie de contacto. Determine el par de torsión determine el par M que sólo es suficiente para girar la fle-
M requerido para vencer la fricción y girar la flecha, la cha. El coeficiente de fricción estática en la superficie de
cual soporta una fuerza axial P. El coeficiente de fricción contacto es ␮s.
estática es ␮s. Para la solución, es necesario determinar la
presión pico p0 en términos de P y del radio R de la chu- P
macera.
M
P d2

M

d1
R

..

p0 Prob. 8-121
Prob. 8-119

*8-120. La chumacera de pivote está sometida a una dis- 8-122. El tractor se usa para empujar el tubo de 1500 lb. 8
tribución de presión parabólica en su superficie de contac- Para lograrlo, debe vencer las fuerzas de fricción en el
to. Si el coeficiente de fricción estática es ␮s, determine el suelo causadas por la arena. Suponga que la arena ejerce
par de torsión M requerido para vencer la fricción y girar una presión sobre el fondo del tubo como se muestra, y que
la flecha, si ésta soporta una fuerza axial P. el coeficiente de fricción estática entre el tubo y la arena
es ␮s ϭ 0.3; determine la fuerza requerida para empujar el
P tubo hacia delante. Encuentre también la presión pico p0.

M

15 pulg
.

R p0 p p0 cos .
r

p0 p p0 (1 R–r–22) 12 pies
Prob. 8-122
Prob. 8-120

438 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

8-123. La chumacera cónica está sometida a una distri- •8-125. La flecha de radio r entra holgadamente en la
bución constante de presión en su superficie de contacto. chumacera lisa. Si la flecha transmite una fuerza vertical P
Si el coeficiente de fricción estática es ␮s, determine el par a la chumacera y el coeficiente de fricción cinética entre la
de torsión M requerido para vencer la fricción si la flecha flecha y la chumacera es ␮k, determine el par de torsión M
soporta una fuerza axial P. requerido para girar la flecha con velocidad constante.

P P
M rM

R

. Prob. 8-125

Prob. 8-123

*8-124. Si se supone que la variación de presión en la 8-126. La polea está soportada por un pasador con diá-
parte baja de la chumacera de pivote se define como p ϭ metro de 25 mm. Si la polea entra holgadamente en el
p0(R2>r), determine el par de torsión M necesario para pasador, determine la fuerza P mínima requerida para
vencer la fricción si la flecha está sometida a una fuer- levantar la cubeta, cuya masa es de 20 kg y el coeficiente
za axial P. El coeficiente de fricción estática es ␮s. Para la de fricción estática entre la polea y el pasador es ␮s ϭ 0.3.
solución, es necesario determinar p0 en términos de P y las Ignore la masa de la polea y suponga que el cable no se
dimensiones de la chumacera R1 y R2. desliza sobre ella.

8P 8-127. La polea está soportada por un pasador con diá-
metro de 25 mm. Si la polea entra holgadamente en el
M pasador, determine la fuerza P máxima que puede aplicar-
se a la cuerda y aún así bajar la cubeta. La cubeta tiene una
masa de 20 kg y el coeficiente de fricción estática entre la
polea y el pasador es ␮s ϭ 0.3. Ignore la masa de la polea y
suponga que el cable no se desliza sobre ella.

R2 r
R1

75 mm 60
P
z

p0

p p0 R2
r

Prob. 8-124 Probs. 8-126/127

8.8 RESISTENCIA AL RODAMIENTO 439

*8-128. Los cilindros están suspendidos del extremo de la *8-132. La polea de 5 kg tiene un diámetro de 240 mm y
barra, la cual entra holgadamente en un pasador de 40 mm. el eje tiene un diámetro de 40 mm. Si el coeficiente de fric-
Si A tiene una masa de 10 kg, determine la masa requerida ción cinética entre el eje y la polea es ␮k ϭ 0.15, determine
B que sólo baste para evitar que la barra gire en el sentido la fuerza vertical P sobre la cuerda requerida para levantar
de las manecillas del reloj. El coeficiente de fricción está- el bloque de 80 kg a velocidad constante.
tica entre la barra y el pasador es ␮s ϭ 0.3. Ignore la masa
de la barra. •8-133. Resuelva el problema 8-132 si la fuerza P se apli-
ca horizontalmente hacia la derecha.
•8-129. Los cilindros están suspendidos del extremo de la
barra, la cual entra holgadamente en un pasador de 40 mm.
Si A tiene una masa de 10 kg, determine la masa requerida
B que sólo baste para evitar que la barra gire en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. El coeficiente de
fricción estática entre la barra y el pasador es ␮s ϭ 0.3.
Ignore la masa de la barra.

800 mm 600 mm 120 mm

A B P
Probs. 8-132/133
Probs. 8-128/129

8-130. La biela está unida al pistón mediante un pasa- 8-134. La manivela de campana entra con holgura en un 8
dor de 0.75 pulg de diámetro en B y la flecha de manivela pasador de 0.5 pulg de diámetro. Determine la fuerza P
mediante una chumacera A de 2 pulg de diámetro. Si el requerida que baste para girar la manivela de campana en
pistón se mueve hacia abajo y el coeficiente de fricción el sentido de las manecillas del reloj. El coeficiente de fric-
estática en los puntos de contacto es ␮s ϭ 0.2, determine el ción estática entre el pasador y la manivela de campana es
radio del círculo de fricción en cada conexión. ␮s ϭ 0.3.

8-131. La biela está unida al pistón mediante un pasa- 8-135. La manivela de campana entra cn holgura en un
dor de 20 mm de diámetro en B y la flecha de manivela pasador de 0.5 pulg de diámetro. Si P ϭ 41 lb, la manivela
mediante una chumacera A de 50 mm de diámetro. Si el de campana está a punto girar en sentido contrario al de
pistón se mueve hacia arriba y el coeficiente de fricción las manecillas del reloj. Determine el coeficiente de fric-
estática en los puntos de contacto es ␮s ϭ 0.3, determine el ción estática entre el pasador y la manivela de campana.
radio del círculo de fricción en cada conexión.

B

50 lb 12 pulg

45 P

A 10 pulg

Probs. 8-130/131 Probs. 8-134/135

440 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

*8-136. El vagón de mina junto con su carga pesa 150 lb. *8-140. El cilindro está sometido a una carga que tiene
Si el coeficiente de resistencia al rodamiento es a ϭ 0.03 un peso W. Si los coeficientes de resistencia al rodamiento
pulg, determine la fuerza P requerida para jalar el vagón para las superficies superior e inferior del cilindro son aA y
con velocidad constante. aB, respectivamente, demuestre que se requiere una fuerza
con magnitud P ϭ [W(aA ϩ aB)]>2r para mover la carga y
P hacer rodar el cilindro hacia delante. Ignore el peso del
cilindro.
45
W
3 pulg 3 pulg P

Prob. 8-136 A

•8-137. El rodillo de podadora tiene una masa de 80 kg. r
Si el brazo BA se mantiene en un ángulo de 30° con la B
horizontal y el coeficiente de resistencia al rodamiento del
rodillo es de 25 mm, determine la fuerza P necesaria para Prob. 8-140
empujar el rodillo con velocidad constante. Ignore la fric-
ción desarrollada en el eje y suponga que la fuerza resultan- •8-141. La viga de acero de 1.2 Mg se mueve sobre una
te P que actúa sobre la manija se aplica a lo largo de BA. superficie plana con una serie de rodillos de 30 mm de diá-
metro, para los cuales el coeficiente de resistencia al roda-
P miento es de 0.4 mm en el suelo y 0.2 mm en la superficie
B inferior de la viga. Determine la fuerza horizontal P nece-
saria para empujar la viga hacia delante a velocidad cons-
250 mm tante. Sugerencia: utilice el resultado del problema 8-140.
A 30

Prob. 8-137 P

8-138. Determine la fuerza P requerida para vencer la Prob. 8-141
8 resistencia al rodamiento y jalar el rodillo de 50 kg hacia
8-142. Determine la fuerza horizontal P mínima que
arriba sobre el plano inclinado con velocidad constante. El debe ejercerse sobre el bloque de 200 lb para moverlo
coeficiente de resistencia al rodamiento es a ϭ 15 mm. hacia delante. Cada uno de los rodillos pesa 50 lb, y el
coeficiente de resistencia al rodamiento en las superficies
8-139. Determine la fuerza P requerida para vencer la superior e inferior es a ϭ 0.2 pulg.
resistencia al rodamiento y sostener el rodillo de 50 kg si
éste rueda hacia abajo sobre el plano inclinado con veloci-
dad constante. El coeficiente de resistencia al rodamiento
es a ϭ 15 mm.

P

P

300 mm 30 1.25 pies 1.25 pies

30 Prob. 8-142
Probs. 8-138/139

REPASO DE CAPÍTULO 441

REPASO DEL CAPÍTULO W W
P
Fricción seca P
Entre dos superficies rugosas en con-
tacto existen fuerzas de fricción. Estas Superficie rugosa F
fuerzas actúan sobre un cuerpo al opo- N
nerse al movimiento o a la tendencia de
su movimiento. W
Movimiento
Una fuerza de fricción estática se aproxi-
ma a un valor máximo de Fs ϭ ␮sN, P
donde ␮s es el coeficiente de fricción está- inminente
tica. En este caso, el movimiento entre
las superficies de contacto es inminente. Fs &s N
N
Si ocurre el deslizamiento, entonces la
fuerza de fricción permanece esencial- W
mente constante e igual a Fk ϭ ␮kN.
Aquí, ␮k es el coeficiente de fricción Movimiento
cinética. P
Fk &k N
La solución de un problema que impli- N
ca fricción requiere trazar primero el
diagrama de cuerpo libre del cuerpo. Si 8
las incógnitas no pueden ser determina-
das estrictamente a partir de las ecuacio- PP W
nes de equilibrio, y existe la posibilidad W
de que ocurra el deslizamiento, entonces
la ecuación de fricción debe aplicarse en F F
los puntos de contacto apropiados para N N
completar la solución.
Deslizamiento inminente Vuelco
También es posible que objetos esbel- F ϭ msN
tos, como embalajes, se vuelquen, y esta
situación debe ser investigada.

442 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

Cuñas i&X 0 W
i&Y 0
Las cuñas son planos inclinados usados
para aumentar la aplicación de una fuer- P.
za. Las dos ecuaciones de equilibrio de
fuerzas se usan para relacionar las fuer- Momento
zas que actúan sobre la cuña. inminente

Una fuerza aplicada P debe empujar N2 W F3
sobre la cuña para moverlo hacia la F2
derecha. . N3

Si los coeficientes de fricción entre las P F2
superficies son suficientemente grandes,
entonces P puede retirarse y la cuña F1 N1 N2
será autobloqueante y permanecerá en
su lugar.

Tornillos - 7R tan . s W
Los tornillos de rosca cuadrada se usan Movimiento inminente M
para mover cargas pesadas. Representan del tornillo hacia arriba
un plano inclinado, enrollado alrededor r
de un cilindro. -€ 7R tan .
s
Movimiento inminente
El momento necesario para girar un tor- del tornillo hacia abajo
nillo depende del coeficiente de fricción
y del ángulo ␪ de paso del tornillo. .

Si el coeficiente de fricción entre las - 7R tan
.s
superficies es suficientemente grande, Movimiento del tornillo
entonces el tornillo soportará la carga sin
que tienda a girar, es decir, será auto- hacia abajo
bloqueante. S .

8

Bandas planas 42 41E& Momento o momento
42 41 inminente de la banda relativo
La fuerza necesaria para mover una a la superficie
banda plana sobre una superficie curva
rugosa depende sólo del ángulo de con- r
tacto de la banda, ␤, y del coeficiente de .
fricción.
T2

T1

REPASO DE CAPÍTULO 443

Chumaceras de collarín y discos Z
El análisis de fricción de una chumacera P
de collarín o disco requiere considerar
un elemento diferencial del área de con- M
tacto. La fuerza normal que actúa sobre R1
este elemento se determina a partir del
equilibrio de fuerzas a lo largo de la fle- R2
cha, y el momento necesario para girar
la flecha a una razón constante se deter- 2 223
231 p
mina a partir del equilibrio de momentos 3 222
221
con respecto al eje de la flecha. - &S0 2 3

Si la presión sobre la superficie de una
chumacera de collarín es uniforme,
entonces la integración da el resultado
que se muestra.

Chumaceras lisas Rotación P
A Z
Cuando se aplica un momento a una
flecha en una chumacera lisa no lubri- M ϭ Rr sen ␾k M
cada o parcialmente lubricada, la flecha
tenderá a rodar en la chumacera hasta r
que ocurra el deslizamiento. Lo anterior k
define el radio de un círculo de fricción,
y con base en éste se puede determinar el A
momento necesario para girar la flecha. FN

8

Resistencia al rodamiento 0 , 7A W
R
La resistencia de una rueda a girar sobre r
una superficie la ocasiona la deforma- P
ción de los dos materiales que entran
en contacto. Esto hace que la fuerza a
normal resultante que actúa sobre el
cuerpo rodante se incline y proporcione N
una componente que actúa en la direc-
ción opuesta a la fuerza aplicada P que
genera el movimiento. El efecto se carac-
teriza por el coeficiente de resistencia al
rodamiento, a, el cual se determina de
manera experimental.

444 CAPÍTULO 8 FRICCIÓN

PROBLEMAS DE REPASO

8-143. Una sola fuerza P se aplica a la manija del cajón. •8-145. La camioneta tiene masa de 1.25 Mg y su centro
Si no se considera la fricción en el fondo y el coeficiente de de masa en G. Determine la carga más grande que esta
fricción estática a lo largo de los lados es ␮s ϭ 0.4, deter- camioneta puede jalar si (a) tiene tracción en las ruedas
mine la separación s más grande posible entre las manijas traseras mientras que las delanteras pueden girar libre-
simétricamente colocadas de manera que el cajón no se mente, y (b) tiene tracción en las cuatro ruedas. El coefi-
trabe en las esquinas A y B cuando se aplique la fuerza P ciente de fricción estática entre las ruedas y el suelo es
a una de las manijas. ␮s ϭ 0.5, y entre el embalaje y el terreno es ␮¿s ϭ 0.4.

8-146. Resuelva el problema 8-145 si la camioneta y el
embalaje suben por un plano inclinado de 10°.

Arca 1.25 m A 800 mm
B 0.3 m
Cajón
600 mm A G B
s 1m
P 1.5 m

Prob. 8-143 Probs. 8-145/146

*8-144. El arco semicircular delgado de peso W y centro 8-147. Si el bloque A tiene una masa de 1.5 kg, determine
de gravedad en G está suspendido por la clavija peque- la masa máxima del bloque B que no genere movimien-
ña en A. Una fuerza horizontal P se aplica lentamente en to del sistema. El coeficiente de fricción estática entre los
B. Si el arco comienza a deslizarse en A cuando ␪ ϭ 30°, bloques y los planos inclinados es ␮s ϭ 0.2.
determine el coeficiente de fricción estática entre el arco
y la clavija.

8

AR A B
G. 45 60
2–)R–

P
B

Prob. 8-144 Prob. 8-147

PROBLEMAS DE REPASO 445

*8-148. El cono tiene un peso W y centro de gravedad en 8-151. Un constructor de techos, cuya masa es de 70 kg,
G. Si una fuerza horizontal P se aplica gradualmente a la
cuerda unida a su vértice, determine el coeficiente máxi- camina lentamente hacia abajo desde la posición más alta
mo de fricción estática para que ocurra el deslizamiento.
a lo largo de la superficie de un domo que tiene un radio
P de curvatura de r ϭ 20 m. Si el coeficiente de fricción está-
tica entre sus zapatos y el domo es ␮s ϭ 0.7, determine el
ángulo ␪ al cual comenzará a resbalarse.

3 h
4

G u 20 m
60Њ
1 h
4

1 h 1 h
4 4

Prob. 8-148 Prob. 8-151

•8-149. El tractor jala el tronco fijo de un árbol. Deter- *8-152. La columna D está sometida a una carga verti-
mine el par de torsión que debe aplicar el motor a las ruedas cal de 8000 lb. Está soportada sobre dos cuñas idénticas
traseras para causar su deslizamiento. Las ruedas delante- A y B para las cuales el coeficiente de fricción estática en
ras pueden girar libremente. El tractor pesa 3500 lb y tiene las superficies de contacto entre A y B y entre B y C es
un centro de gravedad en G. El coeficiente de fricción está- ␮s ϭ 0.4. Determine la fuerza P necesaria para levantar la
tica entre las ruedas posteriores y el terreno es ␮s ϭ 0.5. columna y la fuerza de equilibrio P¿ necesaria para man-
tener fija la cuña A. La superficie de contacto entre A y
8-150. El tractor jala el tronco fijo de un árbol. Si el D es lisa.
coeficiente de fricción estática entre las ruedas traseras y
el terreno es ␮s ϭ 0.6, determine si las ruedas traseras se •8-153. La columna D está sometida a una carga verti-
deslizan o las delanteras se levantan del terreno cuando cal de 8000 lb. Está soportada sobre dos cuñas idénticas
el motor proporciona un par de torsión a las ruedas tra- A y B para las cuales el coeficiente de fricción estática en
seras. ¿Cuál es el par de torsión necesario para ocasionar las superficies de contacto entre A y B y entre B y C es
el movimiento? Las ruedas delanteras pueden girar libre- ␮s ϭ 0.4. Si se retiran las fuerzas P y P¿, ¿son autoblo-
mente. El tractor pesa 2500 lb y tiene su centro de grave- queantes las cuñas? La superficie de contacto entre A y
dad en G. D es lisa.

8

8000 lb

G

2 pies
O

D

2 pies P 10 A P€
B 10
A B
5 pies 3 pies C

Probs. 8-149/150 Probs. 8-152/153

9

Cuando se diseña un tanque de agua, es importante tener la capacidad de
determinar su centro de gravedad, calcular su volumen y área superficial, y
reducir las cargas tridimensionales distribuidas, causadas por la presión del
agua a sus resultantes. Todos estos temas se analizan en el presente capítulo.

Centro de gravedad 9
y centroide

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Analizar los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y

centroide.

• Mostrar cómo se determina la ubicación del centro de gravedad

y el centroide para un sistema de partículas discretas y un cuerpo
de forma arbitraria.

• Utilizar los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar el área

superficial y el volumen de un cuerpo que tiene simetría axial.

• Presentar un método para encontrar la resultante de una carga

general distribuida y mostrar cómo se aplica para encontrar la
fuerza resultante de una carga de presión causada por un fluido.

9.1 Centro de gravedad, centro de

masa y el centroide de un cuerpo

En esta sección mostraremos primero cómo localizar el centro de grave-
dad para un cuerpo y después demostraremos que el centro de masa y el
centroide de un cuerpo pueden desarrollarse con este mismo método.

Centro de gravedad. Un cuerpo está compuesto de un número

infinito de partículas de tamaño diferencial, y por tal razón si el cuerpo
se ubica dentro de un campo gravitatorio, entonces cada una de estas
partículas tendrá un peso dW, figura 9-1a. Estos pesos formarán un
sistema de fuerzas aproximadamente paralelas, y la fuerza resultante
de este sistema es el peso total del cuerpo, la cual pasa a través de un
solo punto llamado el centro de gravedad, G, figura 9-1b.*

*Esto es cierto mientras se suponga que el campo de gravedad tiene la misma magnitud
y dirección en todas partes. Ese supuesto es apropiado para la mayoría de las aplica-
ciones de ingeniería, ya que la gravedad no varía apreciablemente entre, por ejemplo,
la parte inferior y la superior de un edificio.

448 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

z z z y
dW W
yz
~z G x
z
G
x ~y x~ y xy y
x W
x
(a) (b)
(c)

Fig. 9-1

Con los métodos delineados en la sección 4.8, el peso de un cuerpo es
la suma de los pesos de todas sus partículas, es decir

4 &2 i&Z; 7
D7

La ubicación del centro de gravedad, medida desde el eje y, se determi-

na al igualar el momento de W con respecto al eje y, figura 9-1b, con la

suma de los momentos de los pesos de (la Xs, p Ya, r Ztí)c,ufliagsurcaon9-r1eas,peencttoonaceesse
mismo eje. Si dW se ubica en el punto

(-2)Y i-Y; X7
XD7

De la misma manera, si se suman los momentos con respecto al eje x,

(-2)X i-X; Y7
YD7

Por último, imagine que el cuerpo está fijo dentro del sistema de coor-
denadas y este sistema se gira 90° con respecto al eje y, figura 9-1c.
Entonces la suma de los momentos con respecto al eje y es

(-2)Y i-Y; Z7
ZD7

Por lo tanto, la ubicación del centro de gravedad G con respecto a los
9 ejes x, y y z se convierte en

X D7 Y D7 Z D7 (9-1)
X ' Y ' Z '

D7 D7 D7
' ' '

Aquí

X, Y, Z son las coordenadas del centro de gravedad G, figura 9-1b.
X, y, z son las coordenadas de cada partícula en el cuerpo, figura 9-1a.

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 449

Centro de masa de un cuerpo. A fin de estudiar la respuesta z
dm Cm
dinámica o el movimiento acelerado de un cuerpo, resulta importan-

te localizar el centro de masa del cuerpo Cm, figura 9-2. Esta ubica-
ción puede determinarse al sustituir dW ϭ g dm en las ecuaciones 9-1.
Como g es constante, se cancela y entonces

X DM Y DM Z DM (9-2) z~ y
X ' Y ' Z ' x~ z

DM DM DM ~y x
' ' ' y

Centroide de un volumen. x Fig. 9-2

Si el cuerpo de la figura 9-3 está

hecho de un material homogéneo, entonces su densidad ␳ (ro) será

constante. Por lo tanto, un elemento diferencial de volumen dV tiene

una masa dm ϭ ␳ dV. Al sustituir esto en las ecuaciones 9-2 y al cance-

lar ␳, obtenemos fórmulas que localizan el centroide C o centro geomé-

trico del cuerpo; a saber

z

X D6 Y D6 Z D6 (9-3) x
X '6 Y '6 Z '6 ~x
y C
D6 D6 D6 z ~z ~y dV
'6 '6 '6
Fig. 9-3
Estas ecuaciones representan un equilibrio de los momentos del volumen

del cuerpo. Por tanto, si el volumen posee dos planos de simetría, en- y

tonces su centroide debe descansar a lo largo de la línea de intersección

de estos dos planos. Por ejemplo, el cono de la figura 9-4 tiene un cen-

troide que se encuentra sobre el eje y de modo que X Z 0. La x

ubicación Y puede encontrarse con una integración simple al elegir un

elemento diferencial representado por un disco delgado de grosor dy y

un radio r ϭenz X. Su 0v,o Ylum eYn e Zs dV ϭ ␲r2 dy ϭ ␲z2 dy y su centroide se
encuentra 0.

z 9
~y ϭ y
rϭz

x C
(0, y, 0)

y
dy

y

Fig. 9-4

450 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

y y y
x~ ϭ x
y ϭ f(x) ~x ϭ x
C 2
y
x (x, y) y ϭ f(x)
y ϭ f(x) (x, y)
(a)
y dy ~y ϭ y
x x
~y ϭ y
2 x

x

dx

(b) (c)
Fig. 9-5

Centroide de un área. Si un área se encuentra en el plano x-y

y está delimitada por la curva y ϭ f (x), como se muestra en la figura
9-5a, entonces su centroide pertenecerá a este plano y podrá determi-
narse a partir de integrales similares a las ecuaciones 9-3, a saber,

X D! Y D! (9-4)
X '! Y '!

D! D!
'! '!

Estas integrales pueden evaluarse mediante una integración simple si

usamos una franja rectangular como elemento de área diferencial. Por

ejemplo, si se usa una franja vertical, figura X9-5 b,Xeyl á Yre a del elemento
es dA ϭ y dx, y su centroide se localiza en Y 2. Si consi-

9 dceenratrmoiodseusneaufbriacnajaenh Xori zoXn t2aly, Yfig urYa. 9-5c, entonces dA ϭ x dy, y su

Para determinar la ubicación del centro de Centroide de una línea. Si un segmento de línea (o barra) per-
gravedad de este poste de gol de campo, es
necesario utilizar integración debido a la tenece al plano x-y y puede describirse mediante una curva delgada
curvatura del elemento de soporte. y ϭ f (x), figura 9-6a, entonces su centroide está determinado por

X D, Y D, (9-5)
X ', Y ',

D, D,
', ',

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 451

Aquí, la longitud del elemento diferencial está dada por el teorema de y
Pitágoras, D, DX 2 DY 2 , que también se puede escribir en
la forma dL

~x

DX 2 DY 2 xC dL dy
DX DX
D, 2 3 DX2 2 3 DX2 ~y dx

DY 2 y
DX 3 x
@ 1 2 H DX
O
(a)

o bien

D, 2 DX 3 2 2 DY 3 2
DY DY
DY2 DY2

DX 2 y y ϭ 2x2
DY
@ 2 3 1H DY

Cualquiera de estas expresiones puede usarse; sin embargo, para su ~x ϭ x
2m
aplicación debe seleccionarse aquella que implique una integración más dy
~y ϭ y dx
sencilla. Por ejemplo, considere la carga de la figura 9-6b, definida por

y ϭ 2x2, la longitud del elemento es D, 1 DY DX 2 DX y como

dy>dx ϭ 4x, entonces XD,ϭ y y 1ϭ y.(4X 2 DX. El centroide para este ele-
mento se localiza en x
x

Puntos importantes 1m
(b)
• El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo.
Fig. 9-6
Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de
gravedad sólo si el material que compone el cuerpo es unifor- 9
me u homogéneo.
y
• Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el C
x
centroide simplemente representan un balance entre la suma Fig. 9-7
de momentos de todas las partes del sistema y el momento de
la “resultante” para el sistema.

• En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del

objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está
en el centro del anillo. Además, este punto se encontrará sobre
cualquier eje de simetría del cuerpo, figura 9-7.

452 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
9
Procedimiento para el análisis

El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma, se puede
determinar mediante integraciones simples por el siguiente pro-
cedimiento.

Elemento diferencial.

• Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los

ejes coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la
integración.

• Para líneas, el elemento se representa mediante un segmento

diferencial de línea con longitud dL.

• Para áreas, por lo general el elemento es un rectángulo de área

dA, con una longitud finita y ancho diferencial.

• Para volúmenes, el elemento puede ser un disco circular de

volumen dV, con un radio finito y espesor diferencial.

• Localice el elemento de manera que toque el punto arbitrario

(x, y, z) sobre la curva que define la frontera de la forma.

Tamaño y brazos de momento.

• Exprese la longitud dL, el área dA, o el volumen dV del ele-

mento en términos de las coordenadas que describen la curva.

• Exprese los brazos de momento X, y, z para el centroide o cen-

tro de gravedad del elemento en términos de las coordenadas
que describen la curva.

Integraciones.

• Sustituya las formulaciones para X, y, z y dL, dA o dV en las

ecuaciones apropiadas (ecuaciones 9-1 a 9-5).

• Exprese la función en el integrando en términos de la misma

variable aplicada al espesor del elemento.

• Los límites de la integral se definen a partir de las dos ubicacio-

nes extremas del espesor diferencial del elemento, de manera
que cuando los elementos se “suman” o la integración se reali-
za, toda la región queda cubierta.*

*Las fórmulas de integración se dan en el apéndice A.

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 453

EJEMPLO 9.1 y
1m
Localice el centroide de la varilla doblada en forma de arco parabó- x ϭ y2
lico, como se muestra en la figura 9-8.
(~x, ~y) C(x, y) 1m
SOLUCIÓN dL x
Elemento diferencial. El elemento diferencial se muestra en la
figura 9-8. Se ubica sobre la curva en el punto arbitrario (x, y). ~y ϭ y

Área y brazos de momento. El elemento diferencial de longitud O
dL puede expresarse en términos de las diferenciales dx y dy con el ~x ϭ x
teorema de Pitágoras. Fig. 9-8

D, (DX 2 (DY 2 2DDXY 3 2 1 DY

Como x ϭ y2, entonces dx>dy ϭ 2y. Por lo tanto, al expresar dL en
términos de y y dy, tenemos

D, (2Y 2 1 DY

eCnom X oϭsxe,m yuϭesytr.a en la figura 9-8, el centroide del elemento se ubica

Integraciones. Al aplicar las ecuaciones 9-5 y con las fórmulas del
apéndice A para evaluar las integrales, obtenemos

X D, 1m 1m

X 4Y2 1 DY Y2 4Y2 1 DY
X ', '0 '0 1m

1m

D, 4Y2 1 DY 4Y2 1 DY
', '0 '0

0.6063 0.410 m Resp. 9
1.479

Y D, 1m 0.8484
1.479
Y 4Y2 1 DY
Y ', '0
D, 0.574 m Resp.
1m
',
'0 4Y2 1 DY

NOTA: estos resultados para C parecen razonables cuando se gra-
fican en la figura 9-8.

454 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.2

Localice el centroide del segmento circular de alambre que se mues-
tra en la figura 9-9.

y
~

C(x, y) ~ sen u
R

du

(R, u)

u x
O

Fig. 9-9

SOLUCIÓN

Para resolver este problema usaremos coordenadas polares puesto
que el arco es circular.

Elemento diferencial. Se selecciona un arco circular diferencial
como se muestra en la figura. Este elemento interseca la curva en
(R, ␪).

Longitud y brazo de momento. La longitud del Xele m2enctoosdi.fey-
d␪, y su centroide se localiza en
rYen ci2al es dL ϭ R
sen ␪.

Integraciones. Al aplicar las ecuaciones 9-5 e integrar con respec-
to a ␪, obtenemos.

X D, ) 2 ) 2

9 2 cos . 2 D. 22 cos . D. 22
X ', '0 '0 )
) 2 Resp.
) 2

D, 2 D. 2 D.
', '0 '0

Y D, ) 2 ) 2

2 sen . 2 D. 22 sen . D. 22
Y ', '0 '0 )
) 2 Resp.
) 2

D, 2 D. 2 D.
', '0 '0

NOTA: como se esperaba, las dos coordenadas son numéricamen-
te iguales debido a la simetría del alambre.

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 455

EJEMPLO 9.3

Determine la distancia Y medida desde el eje x hasta el centroide del
área del triángulo que se muestra en la figura 9-10.

yy

y ϭ h (b Ϫ x)
b (x, y)

(~x,~y)

h

x dy y

x
b

Fig. 9-10

SOLUCIÓN

Elemento diferencial. Considere un elemento rectangular que
tiene un espesor dy y que se ubica en una posición arbitraria de
manera que interseca la frontera en (x, y), figura 9-10.

Área y brazos de momento. El área del elemento es D! X DY,

B H
Y DY, y su centroide está localizado a una distancia Y Y
H

del eje x.

Integración. Al aplicar la segunda de las ecuaciones 9-4 e integrar
con respecto a y, resulta

Y D! H B H
Y DY 5 1 BH2 9
'! H 6
Y Y4
D! '0
'!
H B 1 BH
H 2
H
Y DY
'0

H Resp.
3

NOTA: este resultado es válido para cualquier forma de triángulo.
Establece que el centroide se localiza a un tercio de la altura medi-
da desde la base del triángulo.

456 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.4

Localice el centroide para el área de un cuadrante de círculo que se
muestra en la figura 9-11.

y

R R du
R3 R, u

~y ϭ 2 R sen u du
3 u

x

~x ϭ 2 R cos u
3

Fig. 9-11

SOLUCIÓN

Elemento diferencial. Se usarán coordenadas polares, ya que
la frontera es circular. Seleccionamos el elemento en forma de un
triángulo, figura 9-11. (En realidad la forma es un sector circular; sin
embargo, al ignorar las diferenciales de orden superior, el elemento se
vuelve triangular). El elemento interseca la curva en el punto (R, ␪).

Área y brazos de momento. El área del elemento es

D! 21 2 2 D. 22 D.
2

y al usar los resultados del ejemplo 9.3, el centroide del elemento
se ubica en X Y
(triangular) 2 2 cos ., 2 2 sen ␪.
3 3

Integraciones. Al aplicar las ecuaciones 9-4 e integrar con respec-
9 to a ␪, obtenemos

X D! ) 2 2 2 2 cos . 3 22 D. 2 2 23 ) 2
X '! 32 3 42
D! ) 2 22 D. cos . D. 3)
'0 '0
'! '0 2 Resp.
) 2 Resp.

D.
'0

Y D! ) 2 2 2 2 sen . 3 22 D. 2 2 23 ) 2
32 3 42
) 2 22 D. sen . D. 3)
Y '! '0 '0
D! '0 2
) 2
'!
D.
'0

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 457

EJEMPLO 9.5

Localice el centroide del área que se muestra en la figura 9-12a. y

SOLUCIÓN I

Elemento diferencial. En la figura 9-12a se muestra un elemento y ϭ x2
diferencial de espesor dx. El elemento interseca la curva en el pun-
to arbitrario (x, y), por lo que tiene una altura y. x 1m
(x, y)
Áy rsueaceynbtrroaizdoessedelomcaolimzaeennto X. El á Yre a del elemento es dA ϭ y dx, y
X, Y 2. x
(~x, ~y)

Integraciones. Al aplicar las ecuaciones 9-4 e integrar con respec- dx
to a x se obtiene 1m

X D! 1m 1m 0.250 (a)
X '! 0.333
D! XY DX X3 DX
'0 '0
'! 0.75 m Resp.
1m 1m
Resp.
Y DX '0 X2 DX
'0 y

Y D! 1m 1m 0.100
0.333
Y 2 Y DX X2 2 X2 DX
Y '! '0 1m '0 1m
0.3 m

D! Y DX X2 DX
'! '0 '0

SOLUCIÓN II y ϭ x2

Elemento diferencial. En la figura 9-12b se muestra el elemento (x, y) dy
diferencial de espesor dy. El elemento interseca la curva en el punto 1m
arbitrario (x, y), por lo que tiene una longitud (1 Ϫ x).
(x~, ~y)
Área y brazos de momento. El área del elemento es dA ϭ (1 Ϫ x)
dy, y su centroide se localiza en y

X X 21
X3 1 X, Y Y x
2 2
x (1 Ϫ x)

Integraciones. Al aplicar las ecuaciones 9-4 e integrar con respec- 1m
to a y, obtenemos (b)

X D! 1m 1 1m Fig. 9-12

X '! '0 [ 1 X 2] 1
X DY 2 '0 1
Y DY 0.250 9
0.333
1m 1m 0.75 m Resp.

D! 1
X DY 1
Y DY
'! '0 '0

Y D! 1m 1m 0.100
Y '! 0.333
D! Y 1
X DY Y
Y3 2 DY
'0 '0
'! 0.3 m Resp.
1m 1m

1
X DY 1
Y DY
'0 '0

NOTA: grafique estos resultados y observe que parezcan razo-
nables. Además, para este problema, los elementos de espesor dx
ofrecen una solución más simple.

458 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.6

Localice el centroide del área semielíptica que se muestra en la figu-
ra 9-13a.

y y
dy
~x ϭ x x2 x2 ϩ y2 ϭ 1
4 x 4
y2
ϩ ϭ 1

(Ϫx, y) y
x ~y ϭ y
1 pie y y x
2 pies 2
~y ϭ x

dx

2 pies 2 pies 2 pies

(a) (b)
Fig. 9-13

SOLUCIÓN I

Elemento diferencial. Se considerará el elemento diferencial rec-
tangular paralelo al eje y que se muestra sombreado en gris en la figu-
ra 9-13a. Este elemento tiene un espesor de dx y una altura de y.

Átroreidaeyseblroaczaoliszadeenm Xoϭmexnyto y.ϭ Así, el área es dA ϭ y dx, y su cen-
y>2.

Integración. Como el área es simétrica con respecto al eje y,

X 0 Resp.

Si aplicamos la segunda de las ecuaciones 9-4 con Y 1
X2,
tenemos 4

Y D! 2 pies Y 1 2 pies 2 1
X2 3 DX 4 3
'! (Y DX) 2 '
2 pies 4 )
Y 0.424 pie Resp.
D! '
2 pies 2 2 pies X2
'! 1
4 DX
2 pies '
2 pies

Y DX
'
2 pies

SOLUCIÓN II

9 Elemento diferencial. Se considerará el elemento diferencial rec-
tangular sombreado en gris de grosor dy y ancho 2x, paralelo al eje x,

figura 9-13b.

Área y ebnra Xzoϭs0dye ymϭomy.ento. El área es dA ϭ 2x dy, y su centroi-
de está

Integración. Si aplicamos la segunda de las ecuaciones 9-4 con

X 2 1
Y2, tenemos

Y D! 1 pie 1 pie
'!
Y(2x DY) '0 4Y 1
Y2 DY 4 3
'0 ) pie 0.424 pie Resp.
Y 1 pie
1 pie

D! 2X DY 4 1
Y2 DY
'! '0 '0

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 459

EJEMPLO 9.7

Localice el centroide Y para el paraboloide de revolución que se
muestra en la figura 9-14.

z
~y ϭ y z2 ϭ 100y

(0, y, z)

z 100 mm
y
dy r
x (0, ~y, 0)

100 mm
Fig. 9-14

SOLUCIÓN

Elemento diferencial. Se selecciona un elemento con la forma de
un disco delgado. Este elemento tiene un espesor dy e interseca la
curva generatriz en el punto arbitrario (0, y, z) por lo que su radio
es r ϭ z.

Volumen y brazo cdeentmrooidme eensttáou. bicEaldvooelunm yeϭn del elemento es
dV ϭ (␲z2) dy, y su y.
9

Integración. Al aplicar la segunda de las ecuaciones 9-3, e integrar
con respecto a y resulta

Y D6 100 mm 100 mm

Y )Z2 DY 100) Y2 DY
Y '6 '0 '0
66.7 mm Resp.
100 mm 100 mm

D6 '0 )Z2 DY 100) Y DY
'6 '0

460 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.8

Determine la ubicación del centro de masa del cilindro que se mues-

tra en la figura 9-15 si su densidad varía directamente con la distancia
desde su base, es decir, ␳ ϭ 200z kg>m3.

z

0.5 1
00z dz
z

y

x
Fig. 9-15

SOLUCIÓN Resp.
Por razones de simetría del material,

X Y 0

Elemento diferencial. Para realizar la integración se elige un ele-
mento en forma de disco, con radio de 0.5 m y espesor dz, figura
9-15, ya que la densidad de todo el elemento es constante para un
valor dado de z. El elemento se localiza a lo largo del eje z en el
punto arbitrario (0, 0, z).

VdVolϭum␲e(0n.5y)2bdrza,zyosudceenmtroomideensteol.ocaElilzavoelnum z eϭnzd. el elemento es

Integraciones. Con una ecuación similar a la tercera de las ecua-
9 ciones 9-2 e integrar con respecto a z, observamos que ␳ ϭ 200z, y

tenemos

Z '6 Z+ D6 1m

Z 200Z ) 0.5 2 DZ
'0 1 m

+ D6 200Z ) 0.5 2 DZ
'6 '0

1m

Z2 DZ
'0
0.667 m Resp.
1m

Z DZ
'0

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 461

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F9-1. Determine el centroide (X, Y) del área sombreada. F9-4. Localice el centro de masa X de la barra recta
y
si su masa por unidad de longitud está dada por m ϭ
m0(1 ϩ x2>L2).

y

1m x

y ϭ x3 L
F9-4
x

1m F9-5. Localice el centroide Y del sólido homogéneo que
F9-1 se forma al girar el área sombreada (gris claro) con respec-
F9-2. Determine el centroide (X, Y) del área sombreada. to al eje y.

y

z z2 ϭ 1 y
4

y ϭ x3 0.5 m
1m y

x x

1m 1m
F9-2
F9-5

F9-3. Determine el centroide Y del área sombreada. F9-6. Localice el centroide Z del sólido homogéneo que

se forma al girar el área sombreada en azul con respecto 9

al eje z.

y Z

2 m y ϭ 2x2 2 pies Z –13– (12 8y)
2 pies
x y
x
1m 1m 1.5 pies
F9-3 F9-6

462 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

PROBLEMAS

•9-1. Determine la masa y la ubicación del centro de ma- 9-3. Determine la distancia X hasta el centro de masa
sa (X, Y) de la barra uniforme con forma parabólica. La masa de la barra homogénea doblada en la forma que se mues-
por unidad de longitud de la barra es 2 kg>m. tra. Si la barra tiene una masa por unidad de longitud de
0.5 kg>m, determine las reacciones en el soporte fijo O.

y x y
y2 ϭ 4x 1m

4m 1m
y2 ϭ x3
4m O
Prob. 9-1
x

Prob. 9-3

9-2. La barra uniforme está doblada en forma de una *9-4. Determine la masa y localice el centro de masa (X, Y)
parábola y tiene un peso por unidad de longitud de 6 lb>pie. de la barra uniforme. La masa por unidad de longitud de la
Determine las reacciones en el soporte fijo A. barra es 3 kg>m.

y y
9 y ϭ 4 Ϫ x2

y2 ϭ 3x 4m
3 pies
x x
A
3 pies 2m
Prob. 9-4
Prob. 9-2

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 463

•9-5. Determine la masa y la ubicación del centro de *9-8. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.
masa X de la barra si su masa por unidad de longitud es y
m ϭ m0(1 ϩ x>L).

y

x 4 m y2 ϭ 4x
L
Prob. 9-5 x
9-6. Determine la ubicación (X, Y) del centroide del
cable. 4m
y Prob. 9-8

2 pies •9-9. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.

y

4 pies

y ϭ x2 1 m y2 ϭ x3

x x
Prob. 9-6
9-7. Localice el centroide X de la barra circular. Expre- 1m
se la respuesta en términos del radio r y el ángulo ␣ del Prob. 9-9
medio arco.
9-10. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.
y

y9

r x
a
C 3 pies y ϭ –19– x3
a
x
r
3 pies
–x Prob. 9-10
Prob. 9-7

464 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-11. Determine el área y el centroide (X, Y) del área. 9-14. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.

y y

xy ϭ c2 x

y2 ϭ 4ax a
b
2 ab
Prob. 9-14

x

9-15. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.

b

y

Prob. 9-11

*½9-12. Localice el centroide X del área. h y ϭ –ah–2 x2 x
•½9-13. Localice el centroide Y del área.
a
Prob. 9-15

*9-16. Localice el centroide (X, Y) del área.

y
9

y ϭ x1/2 ϩ 2x5/3 x y
2 pies
y ϭ 1 – 14– x2
1m

x
2m

Probs. 9-12/13 Prob. 9-16

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 465

•9-17. Determine el área y el centroide (X, Y) del área. *9-20. La placa tiene un espesor de 0.5 pulg y está hecha
y de acero que tiene un peso específico de 490 lb>pie3. Deter-

mine las componentes horizontal y vertical de la reacción

en el pasador A y la fuerza en la cuerda en B.

h y
y ϭ –ah–2 x2 B

x 3 pies y ϭ –x3–2 x
a A 3 pies

Prob. 9-17 Prob. 9-20

9-18. La placa está hecha de acero que tiene una densi-
dad de 7850 kg>m3. Si el espesor de la placa es de 10 mm,
determine las componentes horizontal y vertical de la
reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC.

y

C

y3 ϭ 2x B
x
2m •9-21. Localice el centroide X del área sombreada.
A

4m y 9
Prob. 9-18 y ϭ 2k(x Ϫ 2—xa2 )
ka
9-19. Determine la ubicación X del centroide C de la por- a x
ción superior del cardioide, r ϭ a(1 Ϫ cos ␪).

r ϭ a (1 Ϫ cos u)
y

C r x
_ u
x

Prob. 9-19 Prob. 9-21

466 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-22. Localice el centroide X del área. •9-25. Determine el área y el centroide (X, Y) del área.
9-23. Localice el centroide Y del área.

y y
0.5 pulg

2 pulg 1 3 pies yϭx
x
y ϭ y ϭ –x9–3
3 pies
0.5 pulg Prob. 9-25 x
x

2 pulg

Probs. 9-22/23

*9-24. Localice el centroide (X, Y) del área. 9-26. Localice el centroide X del área.
9-27. Localice el centroide Y del área.

y y
9

y ϭ 9 Ϫ x2

9 pies y2 ϭ x
1m

y ϭ x2

1m x

x

3 pies Probs. 9-26/27
Prob. 9-24

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 467

*9-28. Localice el centroide X del área. 9-31. Localice el centroide del área. Sugerencia: elija ele-
•9-29. Localice el centroide Y del área. mentos de espesor dy y longitud [(2 Ϫ y) Ϫ y2].

y
y

y ϭ –ah–n xn y2 ϭ x yϩxϭ2
1m
h

x x

a 1m 1m
Probs. 9-28/29 Prob. 9-31

9-30. La placa de acero tiene un espesor de 0.3 m y una *9-32. Localice el centroide X del área.
densidad de 7850 kg>m3. Determine la ubicación de su •9-33. Localice el centroide Y del área.
centro de masa. También determine las reacciones hori-
zontal y vertical en el pasador y la reacción en el soporte
de rodillo. Sugerencia: la fuerza normal en B es perpen-
dicular a la tangente en B, que se encuentra a partir de
tan ␪ ϭ dy>dx.

y

y
y2 ϭ 2x

2m y2 ϭ 4x 9

A 2 pies

x

y ϭ 2x

2m

x

B 1 pie
2m
Probs. 9-32/33
Prob. 9-30

468 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-34. Si la densidad en cualquier punto de la placa rec- •9-37. Localice el centroide Y del sólido homogéneo que
tangular está definida por ␳ ϭ ␳0(1 ϩ x>a), donde ␳0 es una se forma al girar el área sombreada alrededor del eje y.
constante, determine la masa y localice el centro de masa
X de la placa. La placa tiene un espesor t.

y

–b2– z 2m
x z2 ϭ 1–1–6 y3 y

–b2– x
4m
a
Prob. 9-34 Prob. 9-37

9-35. Localice el centroide Y del sólido homogéneo que
se forma al girar el área sombreada alrededor del eje y.

z
y2 ϩ (z Ϫ a)2 ϭ a2

a 9-38. Localice el centroide Z del paraboloide truncado
x sólido homogéneo que se forma al girar el área sombreada
y alrededor del eje z.

Prob. 9-35 z
9 *9-36. Localice el centroide Z del sólido.
z ϭ h– (a2 Ϫ y2) h–2
z a2

a zϭ 1 (a Ϫ y)2
a

y h2–
a y

x a
Prob. 9-36 x

Prob. 9-38

9.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y EL CENTROIDE DE UN CUERPO 469

9-39. Localice el centroide Y del sólido homogéneo que •9-41. Determine la masa y localice el centro de masa
se forma al girar el área sombreada (gris claro) alrededor Y de la semiesfera que se forma al girar el área en azul
del eje y. alrededor del eje y. La densidad en cualquier punto de la
semiesfera se define mediante ␳ ϭ ␳0(1 ϩ y>a), donde ␳0 es
z una constante.

5 pies z
z2 ϭ y2 Ϫ 9
y2 ϩ z2 ϭ a2
3 pies 4 pies
y y
x

x Prob. 9-41
Prob. 9-39 9-42. Determine el volumen y localice el centroide (Y, Z)
de la cuña cónica homogénea.

z

*9-40. Localice el centro de masa Y del cono circular que x h
se forma al girar el área sombreada alrededor del eje y. La z ϭ –ha–y
densidad en cualquier punto del cono se define mediante a
␳ ϭ (␳0>h)y, donde ␳0 es una constante.

y

Prob. 9-42

z 9-43. La semiesfera de radio r está hecha con una pila 9
a de placas tan delgadas que la densidad varía con la altura,
h ␳ ϭ kz, donde k es una constante. Determine su masa y la
z ϭ Ϫ –ha– y ϩ a distancia Z al centro de masa G.

z

y

x

Prob. 9-40 _
z

x
Prob. 9-43

470 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9.2 Cuerpos compuestos

Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos “más simples”
conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicircu-
lares, etcétera. Un cuerpo de este tipo a menudo puede ser seccionado
o dividido en sus partes componentes y, si se conocen el peso y la ubi-
cación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de
la integración para determinar el centro de gravedad de todo el cuerpo.
El método para hacer esto sigue el mismo procedimiento delineado en
la sección 9.1. Se obtienen fórmulas análogas a las ecuaciones 9-1; sin
embargo, en vez de tomar un número infinito de pesos diferenciales,
tenemos un número finito de pesos. Por lo tanto,

X i X7 Y i Y7 Z i Z7 (9-6)
i7 i7 i7

Aquí

X, Y, Z representan las coordenadas del centro de gravedad G del
X, y, z cuerpo compuesto.
©W
representan las coordenadas del centro de gravedad de cada
parte componente del cuerpo.
es la suma de los pesos de todas las partes componentes del
cuerpo, o simplemente el peso total del cuerpo.

Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el cen-
tro de gravedad coincide con el centroide del cuerpo. El centroide para
líneas, áreas y volúmenes compuestos puede encontrarse con relaciones
análogas a las ecuaciones 9-6; sin embargo, a las W las reemplazan las
L¿, A¿ y V¿, respectivamente. Los centroides para formas comunes de
líneas, áreas, cascarones y volúmenes, que a menudo constituyen un
cuerpo compuesto, están dados en la tabla que se muestra en la cubierta
posterior interna de este libro.

9
G

A fin de determinar la fuerza requerida
para voltear esta barrera de concreto, es
necesario encontrar primero la ubicación
de su centro de gravedad G. Por la sime-
tría, G descansará en el eje de simetría
vertical.

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 471

Procedimiento para el análisis

La ubicación del centro de gravedad de un cuerpo o el centroide
de un objeto geométrico compuesto representado por una línea,
área o un volumen, puede ser determinada por el siguiente pro-
cedimiento.

Partes compuestas.

• Mediante un croquis, divida el cuerpo u objeto en un número

finito de partes componentes que tengan formas más simples.

• Si una parte componente tiene un agujero, o una región geomé-

trica que no contenga material, entonces considérela sin el agu-
jero y a éste como una parte componente adicional con peso o
tamaño negativos.

Brazos de momento.

• Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine

las coordenadas X, y, z del centro de gravedad o centroide de
cada parte.

Sumatorias.

• Determine X, Y, Z por la aplicación de las ecuaciones del centro

de gravedad, las ecuaciones 9-6, o las ecuaciones análogas del
centroide.

• Si un objeto es simétrico con respecto a un eje, su centroide se

encuentra sobre este eje.
Si se desea, los cálculos pueden arreglarse en forma tabular, como
se indica en los siguientes tres ejemplos.

9

El centro de gravedad de este tanque de
agua puede determinarse al dividirlo en
partes componentes para después aplicar
las ecuaciones 9-6.

472 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.9

Localice el centroide del alambre que se muestra en la figura
9-16a.

SOLUCIÓN
Partes componentes. El alambre está dividido en tres segmentos
como se muestra en la figura 9-16b.
Brazos de momento. La ubicación del centroide para cada seg-
mento se determina e indica en la figura. En particular, el centroide

~del segmento 1 está determinado por integración o por la tabla que

aparece en la cubierta posterior interna.
Sumatorias. Por conveniencia, los cálculos pueden tabularse de
la siguiente manera:

Segmento , (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) X, (mm2) Y, (mm2) Z, (mm2)
) 60 188.5
1 60
38.2 0 11 310
7200 0
2 40 0 20 0 0 800
3 20 0 40
10 0 800 0

200
i, 248.5 i X, 11 310 i Y,
5600 i Z,
200

Por consiguiente,

X i X, 11 310 45.5 mm Resp.
i, 248.5 Resp.
Resp.
Y i Y,
5600
22.5 mm
i, 248.5

Z i Z,
200
0.805 mm
i, 248.5

9 zz

20 mm

40 mm (—2)—p(6—0) ϭ 38.2 mm 20 mm
60 mm
60 mm 1 2

y 10 mm y
3
20 mm

x x
(a) (b)

Fig. 9-16

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 473

EJEMPLO 9.10

Localice el centroide del área de la placa que se muestra en la figura
9-17a.

y

2 pies

1 pie

x

2 pies 3 pies
1 pie

(a)

Fig. 9-17

SOLUCIÓN y

Partes compuestas. La placa está dividida en tres segmentos como

se muestra en la figura 9-17b. Aquí el área del rectángulo peque-

~ño 3 se considera “negativa”, puesto que se debe restar del rectán- 2
~gulo más grande 2 . 1

Brazos de momento. enEllacfeingutrroai.dOe bdseercvaedaquseeglmasecnotoorsdeenloacdaalsiz Xa 1.5 pies 1 pie
del modo que se indica x

~ ~de 2 y 3 son negativas. 1.5 pies 1 pie 9
x
Sumatorias. Con los datos de la figura 9-17b, los cálculos se tabu-

lan de la siguiente manera:

Segmento ! (pie2) X (pie) Y (pie) X! (pie3) Y! (pie3)
1
2 21 3 3 4.5 11 4.5 4.5 y
3 3 9 13.5 2.5 pies

1.5 1.5
13.5
4 3
i Y! 14
3
2 1
2
2.5 2 5 2 pies
i X!
4 (b)
i! 11.5

Por consiguiente,

X i X!
4
0.348 pie Resp.
i! 11.5 Resp.

Y i Y! 14 1.22 pies
i! 11.5

NOTA: si estos resultados se grafican en la figura 9-17, la ubicación
del punto C parece razonable.

474 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

EJEMPLO 9.11 Localice el centro de masa del ensamble que se muestra en la figura
9-18a. La densidad del cono truncado es ␳c ϭ 8 Mg>m3, y la de la
z semiesfera es ␳h ϭ 4 Mg>m3. En el centro del cono truncado hay un

agujero cilíndrico de radio igual a 25 mm.

25 mm SOLUCIÓN

100 mm Partes compuestas. Puede considerarse que el ensamble que se
muestra consiste en cuatro segmentos como se indica en la figura
50 mm y
x ~ ~9-18b. Para los cálculos, 3 y 4 deben considerarse como volúme-
50 mm
nes “negativos” para que los cuatro segmentos, al sumarse, resulten
en la forma total compuesta que se aprecia en la figura 9-18a.

(a) Brazo de momento. cCenotnroliadtea bzldaedcealdaacpuibeizeartsae posterior inter-
Fig. 9-18 na, los cálculos para el muestran en la

figura.

Sumatorias. Debido a la simetría, observe que

X Y 0 Resp.

Como W ϭ mg, y gie ZsMc oinsMta.nLtea,mlaastaerdceercaaddae las ecuaciones 9-6
toma la forma Z pieza puede calcu-

larse a partir de m ϭ ␳V y usarse en los cálculos. Además, 1 Mg>m3 ϭ

10Ϫ6 kg>mm3, de manera que

Segmento M (kg) Z(mm) ZM (kg mm)
1 50
2 8 10
6 1 ) 50 2 200 4.189
18.75 209.440
3 3 100 25 125
19.635
4 50
65.450
4 10
6 2 ) 50 3 1.047
78.540
3 i ZM 45.815


8 10
6 1 ) 25 2 100
0.524
3


8 10
6 ) 25 2 100
1.571

iM 3.142

Entonces, Z i ZM 45.815 14.6 mm Resp.
iM 3.142

9

3 25 mm
100 mm

100 mm ϭ 25 mm
4
200 mm 1
50 mm
4

200 mm ϭ 50 mm 25 mm 100 mm
4 50 mm

3 (50) ϭ 18.75 mm
8

50 mm 2

(b)

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 475

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F9-7. Localice el centroide (X, Y, Z) del alambre que se F9-10. Localice el centroide (X, Y) del área de sección
dobla en la forma que se muestra. transversal.

z y
0.5 pulg
300 mm

x 600 mm y 4 pulg x
400 mm C
y

0.5 pulg x

3 pulg

F9-7 F9-10
F9-8. Localice el centroide Y del área de sección trans-
versal de la viga. F9-11. Localice el centro de masa (X, Y, Z) del bloque
sólido homogéneo.
y
150 mm 150 mm z

50 mm

300 mm 6 pies

x 3 pies 2 pies y
25 mm 25 mm x 2 pies 5 pies 4 pies

F9-8 F9-11
F9-9. Localice el centroide Y del área de sección trans-
versal de la viga. F9-12. Localice el centro de masa (X, Y, Z) del bloque 9

400 mm sólido homogéneo.

50 mm z
0.5 m

1.5 m

y C 200 mm 1.8 m
50 mm x y
50 mm
F9-9 x 0.5 m 2 m 1.5 m

F9-12

476 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

PROBLEMAS

*9-44. Localice el centroide (X, Y) del alambre uniforme 9-46. Localice el centroide (X, Y, Z) del alambre.
que se dobla en la forma que se muestra.

y z
100 mm 6 pulg

20 mm

150 mm 4 pulg
xy
x
Prob. 9-46
50 mm
Prob. 9-44 9-47. Localice el centroide (X, Y, Z) del alambre que se
dobla en la forma que se muestra.
•9-45. Localice el centroide (X, Y, Z) del alambre.

z

z

9

2 pulg

400 mm 200 mm
x
y 2 pulg

4 pulg

Prob. 9-45 xy
Prob. 9-47

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 477

*9-48. La armadura está hecha de siete elementos, cada 9-50. Cada uno de los tres elementos del bastidor tiene una
uno de los cuales tiene una masa por unidad de longitud masa por unidad de longitud de 6 kg>m. Localice la posición
de 6 kg>m. Localice la posición (X, Y) del centro de masa. (X, Y) del centro de masa. Ignore el tamaño de los pasa-
Desprecie la masa de las placas de refuerzo en los nodos. dores en los nodos y el espesor de los elementos. Además,
calcule las reacciones en el pasador A y el rodillo E.

y y 4m
ED 4m

C D E
6m

3m B x B
A 3m 3m C 7m

A x

Prob. 9-48 Prob. 9-50

•9-49. Localice el centroide (X, Y) del alambre. Si el 9-51. Localice el centroide (X, Y) del área de la sección
alambre está suspendido de A, determine el ángulo que transversal del canal.
forma el segmento AB con la vertical cuando el alambre se
encuentra en equilibrio.

yy

9
A

1 pulg

60Њ x 22 pulg
B
C
200 mm 200 mm

x

1 pulg 9 pulg 1 pulg
Prob. 9-51
Prob. 9-49

478 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

*9-52. Localice el centroide Y del área de sección trans- 9-54. Localice el centroide Y del área de sección trans-
versal de la viga de concreto. versal del canal.

y 2 pulg 12 pulg 2 pulg
12 pulg 12 pulg C y
3 pulg 2 pulg
4 pulg
27 pulg
x
6 pulg
3 pulg 3 pulg Prob. 9-54
Prob. 9-52

•9-53. Localice el centroide Y del área de sección trans- 9-55. Localice la distancia Y al centroide del área de sec-
versal de la viga compuesta. ción transversal del elemento.

y

y
0.5 pulg 0.5 pulg

9 1 pulg
6 pulg

1 pulg 6 pulg

6 pulg

x 1.5 pulg
1 pulg
3 pulg 3 pulg x
3 pulg
1 pulg 1 pulg 3 pulg

Prob. 9-53 Prob. 9-55

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 479

*9-56. Localice el centroide Y del área de sección trans- 9-58. Localice el centroide X del área compuesta.
versal de la viga compuesta.

y y
r0
1.5 pulg 4 pulg 4 pulg 1.5 pulg
ri
x

1.5 pulg

3.5 pulg

11.5 pulg x Prob. 9-58
1.5 pulg 9-59. Localice el centroide (X, Y) del área compuesta.

Prob. 9-56

y

3 pulg 4 pulg

•9-57. El muro de contención a gravedad está hecho 3 pulg
de concreto. Determine la ubicación (X, Y) del centro de
masa G para el muro.

3 pulg x
Prob. 9-59
y
1.2 m

*9-60. Localice el centroide (X, Y) del área compuesta. 9

_ 3m y
x 0.4 m

G

_
y

x 3 pies 3 pies

1.5 pies

2.4 m

0.6 m 0.6 m

1 pie x
Prob. 9-60
Prob. 9-57

480 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

•9-61. Divida la placa en partes, y con la cuadrícula como 9-63. Localice el centroide Y del área de sección trans-
herramienta para medir, determine aproximadamente la versal de la viga compuesta.
ubicación (X, Y) del centroide de la placa.

y

y 150 mm 150 mm 20 mm
200 mm 450 mm 200 mm

200 mm

x x

Prob. 9-61 20 mm
Prob. 9-63

9-62. Para determinar la ubicación del centro de grave- *9-64. Localice el centroide Y del área de sección trans-
dad del automóvil, éste se coloca primero en una posición versal de la viga compuesta.
nivelada, con las dos ruedas de un lado descansando sobre
la báscula de plataforma P. En esta posición, la báscula y
registra una lectura de W1. Después, un lado se eleva has-
ta una altura c conveniente como se muestra en la figura.
La nueva lectura en la báscula es W2. Si el automóvil tiene
un peso total de W, determine la ubicación de su centro de
gravedad G(X, Y).

9 200 mm 200 mm

y– G 20 mm
50 mm
c
x– 150 mm
b
P 10 mm 10 mm
W2 300 mm 20 mm 20 mm

x

Prob. 9-62 Prob. 9-64

9.2 CUERPOS COMPUESTOS 481

•9-65. La placa compuesta está hecha de segmentos de 9-67. Bloques uniformes que tienen una longitud L y una
acero (A) y de latón (B). Determine la masa y la ubica- masa m se apilan uno sobre otro, y cada bloque sobresale
ción (X, Y, Z) de su centro de masa G. Considere ␳ac ϭ una distancia d del anterior, como se muestra en la figu-
7.85 Mg>m3 y ␳lt ϭ 8.74 Mg>m3. ra. Si los bloques se pegan, de manera que no se caigan,
determine la ubicación X del centro de masa de una pila
z de n bloques.

A *9-68. Bloques uniformes que tienen una longitud L y una
G masa m se apilan uno sobre otro, y cada bloque sobresale
una distancia d del anterior, como se muestra en la figura.
Demuestre que la máxima cantidad de bloques que puede
apilarse de esta manera es n 6 L>d.

225 mm

150 mm y y
B 2d

150 mm d

30 mm

x
Prob. 9-65

x

9-66. El automóvil descansa sobre cuatro básculas y, en L
esta posición las lecturas de las básculas de las ruedas trase- Probs. 9-67/68
ras y las delanteras son FA y FB. Cuando las ruedas traseras
se elevan a una altura de 3 pies por encima de las báscu- •9-69. Localice el centro de gravedad (X, Z) de la ménsula
las delanteras, se registran las nuevas lecturas de las ruedas de lámina metálica, si el material es homogéneo y tiene un
delanteras. Utilice estos datos para calcular la ubicación espesor constante. Si la ménsula descansa sobre el plano
X y Y del centro de gravedad G del automóvil. Cada una de horizontal x-y mostrado, determine el ángulo máximo de
las ruedas tiene un diámetro de 1.98 pies. inclinación ␪ que puede tener antes de caer, es decir, antes
de comenzar a girar con respecto al eje y.

G z 20 mm
_ 60 mm
y
60 mm Agujeros de 10 mm 9
BA de diám.
20 mm
_ y
x

9.40 pies

FA ϭ 1129 lb ϩ 1168 lb ϭ 2297 lb
FB ϭ 975 lb ϩ 984 lb ϭ 1959 lb

20 mm

80 mm

3.0 piesB G 20 mm u
x
A
60 mm
FA ϭ 1269 lb ϩ 1307 lb ϭ 2576 lb
Prob. 9-66 Prob. 9-69

482 CAPÍTULO 9 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

9-70. Localice el centro de masa para el ensamble del *9-72. Localice el centro de masa (X, Y, Z) del ensamble
compresor. Las ubicaciones de los centros de masa de los de bloques homogéneos.
diferentes componentes y sus masas se indican y tabulan
en la figura. ¿Cuáles son las reacciones verticales en los
bloques A y B que se requieren para sostener la plata-
forma?

y z
2

4 4.83 m 3 250 mm
5 200 mm

1 3.68 m 3.26 m
3.15 m Bx
x
1.20 m 100 mm 150 mm 150 mm

A 150 mm y

1.80 m

2.30 m 2.42 m 1.19 m 2.87 m 1.64 m Prob. 9-72

1 Panel de instrumentos 230 kg
2 Sistema de filtro 183 kg
3 Ensamble de tubería 120 kg
4 Almacenamiento líquido
5 Marco estructural 85 kg
468 kg

Prob. 9-70

9-71. Las cargas más importantes en el piso de un taller •9-73. Localice el centro de masa Z del ensamble. La
son causadas por los pesos de los objetos mostrados. Cada
fuerza actúa a través de su respectivo centro de gravedad semiesfera y el cono están hechos de materiales que tienen
G. Localice el centro de gravedad (X, Y) de todos estos densidades de 8 Mg>m3 y 4 Mg>m3, respectivamente.
componentes.

z

z y
9

450 lb

1500 lb
G1 G2

9 pies 280 lb
G4
6 pies 7 pies 600 lb 100 mm 300 mm
12 pies G3 5 pies x y
3 pies
8 pies
4 pies x

Prob. 9-71 Prob. 9-73