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Para el caso general cuando f Z 0, podemos relacionar las constantes A y f con
los valores iniciales de x, v y a haciendo t ϭ 0 en las ecuaciones 14-4, 14-8 y 14-9:

x0 = x(0) = A cos f

v0 = v(0) = – vA sen f = – vmáx sen f
a0 = a(0) = – v2A cos f = – amáx cos f.

EJEMPLO 14–3 ESTIMACIÓN Un piso que vibra. En una fábrica un motor FÍSICA APLICADA
grande provoca que el piso vibre con una frecuencia de 10 Hz. La amplitud del movi- Vibraciones no deseadas en el piso
miento del piso cerca del motor es de aproximadamente 3.0 mm. Estime la acelera-
ción máxima del piso cerca del motor.

PLANTEAMIENTO Suponiendo que el movimiento del piso es aproximadamente
MAS, podemos estimar para la aceleración máxima usando la ecuación 14-9b.
SOLUCIÓN Dado v = 2pf = (2p)A10 s–1B = 62.8 rad͞s, entonces la ecuación 14-9b
proporciona

amáx = v2A = (62.8 rad͞s)2(0.0030 m) = 12 m͞s2.

NOTA La aceleración máxima es un poco mayor que g, de manera que cuando el pi-
so acelera hacia abajo, los objetos colocados en el piso realmente pierden contacto en
un instante, lo que causará ruido y desgaste importante.

EJEMPLO 14–4 Altavoz. El cono de un altavoz (figura 14-9) vibra con MAS a FIGURA 14–9 Ejemplo 14-4.
una frecuencia de 262 Hz (“do medio”). La amplitud en el centro del cono es A ϭ 1.5 Un cono de un altavoz.
ϫ 10Ϫ4 m, y en t ϭ 0, x ϭ A. a) ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento en el
centro del cono? b) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración como función del tiem- CUIDADO
po? c) ¿Cuál es la posición del cono en t ϭ 1.00 ms (ϭ 1.00 ϫ 10Ϫ3 s)? Asegúrese siempre de que su
PLANTEAMIENTO El movimiento comienza (t ϭ 0) con el cono en su máximo desplaza- calculadora esté en el modo
miento (x ϭ A en t ϭ 0), por lo que usamos la función coseno, x ϭ A cos vt, con f ϭ 0. correcto para ángulos
SOLUCIÓN a) La amplitud A ϭ 1.5 ϫ 10Ϫ4 m y

v = 2pf = (6.28 rad)A262 s–1B = 1650 rad͞s.

El movimiento se describe como

x = A cos vt = A1.5 * 10–4 mB cos(1650t),

donde t está en segundos.
b) A partir de la ecuación 14-9a, la velocidad máxima es

vmáx = vA = (1650 rad͞s)A1.5 * 10–4 mB = 0.25 m͞s,

Por lo que

v = –(0.25 m͞s) sen(1650t).

De la ecuación 14-9b la aceleración máxima es amáx = v2A ϭ (1650 rad/s)2(1.5 ϫ
10Ϫ4 m) ϭ 410 m/s2, que es más de 40 g. Entonces,

a = – A410 m͞s2B cos(1650t).

c) En t = 1.00 * 10–3 s,

x = A cos vt = A1.5 * 10–4 mB cos C (1650 rad͞s)A1.00 * 10–3 sB D

= A1.5 * 10–4 mB cos(1.65 rad) = – 1.2 * 10–5 m.

NOTA Asegúrese de que su calculadora esté en modo RAD, y no en modo DEG, pa-
ra estos cálculos de cos vt.

SECCIÓN 14–2 Movimiento armónico simple 375

EJEMPLO 14–5 Cálculos en un resorte. Un resorte se estira 0.150 m cuando se
cuelga suavemente de él una masa de 0.300 kg, como en la figura 14-3b. Luego el re-

sorte se coloca horizontalmente con la masa de 0.300 kg descansando sobre una mesa

sin fricción, como en la figura 14-2. La masa se empuja de manera que el resorte se

comprime 0.100 m del punto de equilibrio, y se libera a partir del reposo. Determine:
a) la constante de rigidez del resorte k y la frecuencia angular v; b) la amplitud de la

oscilación horizontal A; c) la magnitud de la velocidad máxima, vmáx; d) la magnitud
de la aceleración máxima de la masa, amáx; e) el periodo T y la frecuencia f; f ) el des-
plazamiento x en función del tiempo; y g) la velocidad en t ϭ 0.150 s.

PLANTEAMIENTO Cuando la masa de 0.300 kg cuelga en reposo del resorte, como en
la figura 14-3b, aplicamos la segunda ley de Newton para las fuerzas verticales: ©F =
0 = mg – kx0, de modo que k ϭ mg/x0. Para las oscilaciones horizontales, se da la am-
plitud, y las otras cantidades se encuentran a partir de las ecuaciones 14-4, 14-5, 14-7
y 14-9. Elegimos x positiva a la derecha.

SOLUCIÓN a) El resorte se estira 0.150 m cuando se cuelgan de él una carga de 0.300
kg, por lo que

F mg (0.300 kg)A9.80 m͞s2B = 19.6 N͞m.
k = x0 = x0 =
0.150 m

De la ecuación 14-5,

v = k = 19.6 N͞m = 8.08 s–1.
B m B 0.300 kg

b) Como el resorte está ahora de forma horizontal (sobre una mesa). Se comprime
0.100 desde el equilibrio y no se le da rapidez inicial, por lo que A ϭ 0.100 m.

c) De la ecuación 14-9a, la velocidad máxima es

vmáx = vA = A8.08 s–1B(0.100 m) = 0.808 m͞s.

d) Como F ϭ ma, la aceleración máxima ocurre donde la fuerza también es máxima,
es decir, cuando x ϭ ϮA ϭ Ϯ0.100 m. Así su magnitud es

amáx = F = kA = (19.6 N͞m)(0.100 m) = 6.53 m͞s2.
m m 0.300 kg

[Este resultado también podría haberse obtenido directamente de la ecuación 14-9b,
pero en general es útil regresar a los fundamentos como lo hicimos aquí].

e) Las ecuaciones 14-7b y 14-2 dan

T = 2p A m = 0.300 kg = 0.777 s
k 2p B 19.6 N͞m

f = 1 = 1.29 Hz.
T

f) El movimiento empieza en un punto de compresión máxima. Si tomamos x positi-

va hacia la derecha en la figura 14-2, entonces en t ϭ 0, x ϭ ϪA ϭ Ϫ0.100 m. Por lo

tanto, necesitamos una curva senoidal que tenga su valor máximo negativo en t ϭ 0;

ésta es justamente un coseno negativo:

x = –A cos vt.

Para escribir esto en la forma de la ecuación 14-4 (sin signo menos), recuerde que cos
u ϭ Ϫcos (u Ϫ p); entonces, con valores numéricos, y recordando Ϫcos u ϭ cos(p Ϫ u)
ϭ cos(u Ϫ p), tenemos

x = –(0.100 m) cos 8.08t
= (0.100 m) cos(8.08t - p),

donde t está en segundos y x en metros. Note que el ángulo de fase (ecuación 14-4) es
f ϭ Ϫp o Ϫ180°.

g) La velocidad en cualquier tiempo t es dx/dt (véase también el inciso c):

v = dx = vA sen vt = (0.808 m͞s) sen 8.08t.
dt

En t ϭ 0.150 s, v ϭ (0.808 m/s) sen (1.21 rad) ϭ 0.756 m/s, y es hacia la derecha (ϩ).

376 CAPÍTULO 14 Oscilaciones