Sección 10.3 Cantidades angulares y traslacionales 273
EJEMPLO 10.1 Rueda en rotación
Una rueda da vueltas con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2.
A) Si la rapidez angular de la rueda es 2.00 rad/s en ti 0, ¿a través de qué desplazamiento angular da vueltas la rueda en
2.00 s?
SOLUCIÓN
Conceptualizar Observe de nuevo la figura 10.1. Imagine que el disco compacto se mueve con su rapidez angular que
crece en una relación constante. El cronómetro se inicia cuando el disco en rotación a 2.00 rad/s. Esta imagen mental es
un modelo para el movimiento de la rueda en este ejemplo.
Categorizar La frase “con aceleración angular constante” dice que se use el modelo de objeto rígido bajo aceleración
constante.
Analizar Ordene la ecuación 10.7 de modo que exprese ¢u uf ui vit 21at 2
el desplazamiento angular del objeto:
Sustituya los valores conocidos para encontrar el desplaza- ¢u 12.00 rad>s2 12.00 s2 1 13.50 rad>s2 2 12.00 s 2 2
miento angular en t 2.00 s: 2
11.0 rad 111.0 rad2 157.3°>rad 2 630°
B) ¿Cuántas revoluciones dio la rueda durante este intervalo de tiempo?
SOLUCIÓN ¢u 630° a 1 rev b 1.75 rev
360°
Multiplique el desplazamiento que encontró en el inciso
A) por un factor de conversión para encontrar el número
de revoluciones:
C) ¿Cuál es la rapidez angular de la rueda en t 2.00 s?
SOLUCIÓN vf vi at 2.00 rad>s 13.50 rad>s2 2 12.00 s 2
9.00 rad>s
Use la ecuación 10.6 para encontrar la rapidez angular en
t 2.00 s:
Finalizar También se podría obtener este resultado con la ecuación 10.8 y los resultados del inciso A). (¡Inténtelo!)
¿Qué pasaría si? Suponga que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración constante de 3.50
m/s2. Si la velocidad de la partícula es 2.00 m/s en ti 0, ¿a través de qué desplazamiento se mueve la partícula en 2.00 s?
¿Cuál es la velocidad de la partícula en t 2.00 s?
Respuesta Advierta que estas preguntas son análogos traslacionales a los incisos A) y C) del problema original. La solución
matemática sigue exactamente la misma forma. Para el desplazamiento,
¢x x f x i vit 21at 2
12.00 m>s 2 12.00 s2 1 13.50 m>s2 2 12.00 s 2 2 11.0 m
2
y para la velocidad
vf vi at 2.00 m>s 13.50 m>s2 2 12.00 s 2 9.00 m>s
No hay análogo traslacional a la parte B) porque el movimiento traslacional bajo aceleración constante no es repetitivo.
10.3 Cantidades angulares y traslacionales
De esta sección se deducen algunas relaciones útiles entre la rapidez y la aceleración
angulares de un objeto rígido en rotación y la rapidez y la aceleración traslacionales de
un punto en el objeto. Para hacerlo, debe tener en mente que, cuando un objeto rígido
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274 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
y da vueltas respecto a un eje fijo, como en la figura 10.4, toda partícula del objeto se mueve
en un círculo cuyo centro está en el eje de rotación.
Ya que el punto P en la figura 10.4 se mueve en un círculo, el vector velocidad traslacio-
v nal Sv siempre es tangente a la trayectoria circular y por ende se llama velocidad tangencial.
P La magnitud de la velocidad tangencial del punto P es por definición la rapidez tangencial
v ds/dt, donde s es la distancia que recorre este punto medida a lo largo de la trayectoria
rs
circular. Al recordar que s rV (ecuación 10.1a) y notar que r es constante, se obtiene
V
x
O ds du
vr
dt dt
Figura 10.4 A medida que un Ya que dV/dt W (vea la ecuación 10.3), se sigue que (10.10)
objeto rígido da vueltas en torno v rv
al eje fijo a través de O, el punto
P tiene una velocidad tangencial Es decir, la rapidez tangencial de un punto sobre un objeto rígido en rotación es igual a
Sv que siempre es tangente a la la distancia perpendicular de dicho punto desde el eje de rotación, multiplicada por la
trayectoria circular de radio r. rapidez angular. En consecuencia, aunque cada punto sobre el objeto rígido tiene la mis-
ma rapidez angular, no todo punto tiene la misma rapidez tangencial porque r no es el
mismo para todos los puntos sobre el objeto. La ecuación 10.10 muestra que la rapidez
tangencial de un punto sobre el objeto en rotación aumenta a medida que uno se mueve
alejándose del centro de rotación, como se esperaría por intuición. Por ejemplo, el ex-
tremo exterior de un palo de golf que se balancea se mueve mucho más rápido que el
mango.
La aceleración angular del objeto rígido en rotación se puede relacionar con la acele-
ración tangencial del punto P al tomar la derivada en el tiempo de v:
dv dv
at r
dt dt
Relación entre 0 at ra (10.11)
aceleración tangencial
Es decir, la componente tangencial de la aceleración traslacional de un punto sobre un
y angular objeto rígido en rotación es igual a la distancia perpendicular del punto desde el eje de
rotación, multiplicada por la aceleración angular.
y
at En la sección 4.4 se encontró que un punto que se mueve en una trayectoria circular
P se somete a una aceleración radial ar dirigida hacia el centro de rotación y cuya magnitud
a es la de la aceleración centrípeta v 2/r (figura 10.5). Ya que v rW para un punto P en un
ar objeto en rotación, la aceleración centrípeta en dicho punto se puede expresar en térmi-
x nos de rapidez angular como
O ac v2 rv2 (10.12)
r
El vector aceleración total en el punto es Sa
Sección 10.3 Cantidades angulares y traslacionales 275
EJEMPLO 10.2 Reproductor de CD George Semple 23 mm
En un disco compacto (figura 10.6), la información de audio se almacena digital- 58 mm
mente en una serie de depresiones (pits) y áreas planas en la superficie del disco. Las
alternaciones entre depresiones y áreas planas sobre la superficie representan unos y Figura 10.6 (Ejemplo 10.2) Disco
ceros binarios a leer por el reproductor de CD y convertir de regreso en ondas sono- compacto.
ras. Las depresiones y áreas planas se detectan mediante un sistema que consiste de un
láser y lentes. La longitud de una cadena de unos y ceros que representa una porción
de información es la misma en cualquier parte del disco, ya sea que la informa-
ción esté cerca del centro del disco o cerca de su borde exterior. De modo que, para
que esta longitud de unos y ceros siempre pase por el sistema láser–lente en el mismo
intervalo de tiempo, la rapidez tangencial de la superficie del disco en la posición del
lente debe ser constante. De acuerdo con la ecuación 10.10, la rapidez angular debe
variar a medida que el sistema láser–lente se mueve radialmente a lo largo del disco.
En un reproductor de CD común, la rapidez constante de la superficie en el punto
del sistema láser–lente es 1.3 m/s.
A) Encuentre la rapidez angular del disco en revoluciones por minuto cuando la información se lee desde la primera pista
más interna (r 23 mm) y la pista final más externa (r 58 mm).
SOLUCIÓN
Conceptualizar La figura 10.6 muestra una fotografía de un disco compacto. Recorra con su dedo el círculo marcado
“23 mm” en un intervalo de tiempo de aproximadamente 3 s. Ahora recorra con su dedo el círculo marcado “58 mm” en
el mismo intervalo de tiempo. Advierta cuán rápido se mueve su dedo en relación con la página alrededor del círculo más
grande. Si su dedo representa el láser que lee el disco, se mueve sobre la superficie del disco mucho más rápido en el círculo
exterior que en el círculo interior.
Categorizar Esta parte del ejemplo se clasifica como un simple problema de sustitución. En partes posteriores, se necesitará
para identificar modelos de análisis.
Aplique la ecuación 10.10 para encontrar la rapidez vi v 1.3 m>s 57 rad>s
angular que da la rapidez tangencial requerida en la ri 2.3 10 2 m
posición de la pista interna:
157 rad> s 2 a 1 rev b a 60 s b 5.4 102 rev>min
2p rad 1 min
Haga lo mismo para la pista exterior: vf v 1.3 m>s 22 rad>s 2.1 102 rev>min
rf 5.8 10 2 m
El reproductor de CD ajusta la rapidez angular W del disco dentro de este intervalo de modo que la información se mueve
por el lente objetivo en una relación constante.
B) El máximo tiempo de reproducción de un disco de música estándar es 74 min y 33 s. ¿Cuántas revoluciones realiza el
disco durante dicho tiempo?
SOLUCIÓN
Categorizar Del inciso A), la rapidez angular disminuye a medida que el disco se reproduce. Suponga que disminuye de
manera estable, con B constante. Por lo tanto se puede usar el modelo de objeto rígido bajo aceleración angular constante.
Analizar Si t 0 es el instante cuando el disco comienza su rotación, con rapidez angular de 57 rad/s, el valor final del
tiempo t es (74 min)(60 s/min) 33 s 4 473 s. Se busca el desplazamiento angular $V durante este intervalo de tiempo.
Aplique la ecuación 10.9 para encontrar el desplaza- ¢u uf ui 1 1vi vf 2 t
miento angular del disco en t 4 473 s: 2
1 157 rad>s 22 rad>s2 14 473 s2 1.8 105 rad
2
Convierta este desplazamiento angular a revoluciones: ¢u 11.8 105 rad 2 a 1 rev b 2.8 104 rev
2p rad
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276 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
C) ¿Cuál es la aceleración angular del disco compacto sobre el intervalo de tiempo de 4 473 s?
SOLUCIÓN
Categorizar De nuevo modele el disco como un objeto rígido bajo aceleración angular constante. En este caso, la ecuación
10.6 da el valor de la aceleración angular constante. Otra aproximación es usar la ecuación 10.4 para encontrar la acele-
ración angular promedio. En este caso, no se supone que la aceleración angular sea constante. La respuesta es la misma
de ambas ecuaciones; sólo la interpretación del resultado es diferente.
Analizar Use la ecuación 10.6 para encontrar la ace- a vf vi 22 rad>s 57 rad>s 7.8 10 3 rad>s2
leración angular: t 4 473 s
Finalizar El disco experimenta una disminución muy gradual en su rapidez de rotación, como se espera del largo intervalo
de tiempo requerido para que la rapidez angular cambie del valor inicial al valor final. En realidad, la aceleración angular del
disco no es constante. El problema 20 le permite explorar el comportamiento del tiempo real de la aceleración angular.
eje z W 10.4 Energía cinética rotacional
vi mi
En el capítulo 7 se definió la energía cinética de un objeto como la energía asociada con
ri su movimiento a través del espacio. Un objeto rotatorio en torno a un eje fijo permanece
O estacionario en el espacio, así que no hay energía cinética asociada con el movimiento
traslacional. No obstante, las partículas individuales que conforman el objeto en rotación
se mueven a través del espacio; siguen trayectorias circulares. En consecuencia, con el
movimiento rotacional hay energía cinética asociada.
Considere un objeto como un conjunto de partículas y suponga que da vueltas en torno
a un eje fijo z con una rapidez angular W. La figura 10.7 muestra al objeto en rotación e
identifica una partícula sobre el objeto ubicada a una distancia ri del eje de rotación. Si la
masa de la i–ésima partícula es mi y su rapidez tangencial es vi, su energía cinética es
Figura 10.7 Un objeto rígido K i 21m iv i2
en rotación en torno al eje z con Para continuar, recuerde que aunque cada partícula en el objeto rígido tiene la misma
rapidez angular W. La energía rapidez angular W, las magnitudes de velocidad tangenciales individuales dependen de la
cinética de la partícula de masa mi distancia ri desde el eje de rotación de acuerdo con la ecuación 10.10. La energía cinética
es 21mivi2. La energía cinética total total del objeto rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de las partículas
del objeto se llama energía
individuales:
cinética rotacional.
KR Ki 21m iv i2 1 mir i2v2
2
ii i
Esta expresión se puede escribir en la forma
KR 1 a mir i2 b v2 (10.14)
2
i
donde W2 se factorizó de la suma porque es común a toda partícula. Esta expresión se
simplifica al definir la cantidad entre paréntesis como el momento de inercia I:
Momento de inercia 0 I miri2 (10.15)
Energía cinética 0 i
rotacional
De la definición de momento de inercia,2 se ve que tiene dimensiones de ML2 (kg·m2 en
unidades del SI). Con esta notación, la ecuación 10.14 se convierte
K R 21Iv2 (10.16)
Aunque comúnmente la cantidad 21IW2 se refiere como energía cinética rotacional, no es
una forma nueva de energía. Es energía cinética ordinaria porque se deduce de una suma
2 Los ingenieros civiles usan el momento de inercia para caracterizar las propiedades elásticas (rigidez) de
estructuras tales como las vigas de carga. En consecuencia, con frecuencia es útil incluso en un contexto
no rotacional.
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Sección 10.4 Energía cinética rotacional 277
sobre energías cinéticas individuales de las partículas contenidas en el objeto rígido. La PREVENCIÓN DE RIESGOS
forma matemática de la energía cinética conocida por la ecuación 10.16 es conveniente OCULTOS 10.4
cuando se trata con movimiento rotacional, siempre que se sepa cómo calcular I. No hay un solo momento de inercia
Es importante reconocer la analogía entre la energía cinética 21mv2 asociada con el mo- Existe una gran diferencia entre
vimiento traslacional y la energía cinética rotacional 21IW2. Las cantidades I y W en el movi- masa y momento de inercia. La
miento rotacional son análogas a m y v en el movimiento traslacional, respectivamente. (De masa es una propiedad inheren-
hecho, I toma el lugar de m y W toma el lugar de v cada vez que se compara una ecuación te de un objeto. El momento de
de movimiento traslacional con su contraparte rotacional.) El momento de inercia es una inercia de un objeto depende
medida de la resistencia de un objeto a cambios en su movimiento rotacional, tal como de su elección del eje de rotación.
la masa es una medida de la tendencia de un objeto a resistir cambios en su movimiento Por lo tanto, no hay un solo
traslacional. valor del momento de inercia
para un objeto. Existe un valor
mínimo del momento de inercia,
que es el calculado en torno a
un eje que pasa a través del
centro de masa del objeto.
EJEMPLO 10.3 Cuatro objetos en rotación y
Cuatro esferas pequeñas se amarran a los extremos de dos m m M
barras con masa despreciable que yacen en el plano xy (figura b ba
10.8). Se supondrá que los radios de las esferas son pequeños
en comparación con las dimensiones de las barras. M Mx O
ab
A) Si el sistema da vueltas en torno al eje y (figura 10.8a) con aa
una rapidez angular W, encuentre el momento de inercia y la b
energía cinética rotacional del sistema en torno a este eje.
m
SOLUCIÓN
Mm
Conceptualizar La figura 10.8 es una representación gráfica
que ayuda a formar ideas del sistema de esferas y cómo gira. a) b)
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución Figura 10.8 (Ejemplo 10.3) Cuatro esferas forman un bastón
porque es una aplicación directa de las definiciones analiza- inusual. a) El bastón rota en torno al eje y. b) El bastón rota en
das en esta sección. torno al eje z.
Aplique la ecuación 10.15 al sistema: Iy mi r i2 Ma2 Ma2 2Ma2
Evalúe la energía cinética rotacional con la ecuación i
10.16:
KR 21Iyv2 1 12Ma 2 2 v2 Ma 2v 2
2
Que las dos esferas de masa m no entren en este resultado tiene sentido, porque no tienen movimiento en torno al eje de
rotación; por tanto, no tienen energía cinética rotacional. Por similitud, se espera que el momento de inercia en torno al
eje x sea Ix 2mb2 con una energía cinética rotacional en torno a dicho eje de KR mb2W2.
B) Suponga que el sistema da vueltas en el plano xy en torno a un eje (el eje z) a través de O (figura 10.8b). Calcule el mo-
mento de inercia y la energía cinética rotacional en torno a este eje.
SOLUCIÓN Iz mir i2 Ma2 Ma2 mb2 mb2 2Ma2 2mb2
Aplique la ecuación 10.15 a este nuevo eje de rotación:
i
Evalúe la energía cinética rotacional con la ecuación 10.16:
KR 21Izv2 1 1 2Ma 2 2mb2 2 v2 1Ma2 mb2 2 v2
2
Al comparar los resultados de los incisos A) y B), se concluye que el momento de inercia y, por lo tanto, la energía cinética
rotacional asociada con una rapidez angular dada depende del eje de rotación. En la parte B) se espera que el resultado
incluya las cuatro esferas y distancias porque las cuatro esferas están girando en el plano xy. En función del teorema traba-
jo–energía cinética, el que la energía cinética rotacional del inciso A) sea menor que la del inciso B) indica que requeriría
menos trabajo poner el sistema en rotación en torno al eje y que en torno al eje z.
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278 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
¿Qué pasaría si? ¿Y si la masa M es mucho mayor que m? ¿Cómo se comparan las respuestas a los incisos A) y B)?
Respuesta Si M m, en tal caso m se puede despreciar y el momento de inercia y la energía cinética rotacional en el
inciso B) se vuelven
Iz 2Ma2 y K R Ma2v2
que son lo mismo que las respuestas en el inciso A). Si las masas m de las dos esferas anaranjadas en la figura 10.8 son des-
preciables, dichas esferas se pueden retirar de la figura y las rotaciones en torno a los ejes y y z son equivalentes.
10.5 Cálculo de momentos de inercia
El momento de inercia de un objeto extendido se evalúa al considerar el objeto dividido en
muchos elementos pequeños, cada uno de los cuales tiene masa $mi. Se usa la definición
I r i2¢mi y se toma el límite de esta suma a medida que $mi 3 0. En este límite, la
i
suma se convierte en una integral sobre el volumen del objeto:
Momento de inercia 0 I lím r i2¢mi r 2dm (10.17)
de un objeto rígido ¢mi S 0 i
Por lo común es más fácil calcular momentos de inercia en términos del volumen de
los elementos en lugar de su masa, y es fácil hacer dicho cambio al usar la ecuación 1.1,
TABLA 10.2
Momentos de inercia de objetos rígidos homogéneos con diferentes geometrías
Aro o cascarón Cilindro hueco
cilíndrico delgado R I CM 1 M(R 2 R 22) R1
ICM MR 2 2 1
R2
Cilindro sólido Placa rectangular
o disco R I CM 1 M(a 2 b 2)
12
I CM 1 MR 2
2
b
a
Barra larga delgada L Barra larga
con eje de rotación delgada con eje de
a través del centro rotación a través
de un extremo
ICM 112 ML2
I 1 ML 2 L
3 R
Esfera sólida Cascarón esférico
I CM 2 MR 2 delgado
5
ICM 2 MR 2
3
R
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Sección 10.5 Cálculo de momentos de inercia 279
S m/V, donde S es la densidad del objeto y V su volumen. De esta ecuación, la masa de
un pequeño elemento es dm S dV. Al sustituir este resultado en la ecuación 10.17 se
obtiene
I rr 2 dV
Si el objeto es homogéneo, S es constante y la integral se puede evaluar para una geo-
metría conocida. Si S no es constante, se debe conocer su variación con la posición para
completar la integración.
La densidad conocida por S m/V a veces se conoce como densidad de masa volumétrica
porque representa masa por unidad de volumen. Con frecuencia se usan otras formas de
expresar la densidad. Por ejemplo, cuando se trata con una hoja de grosor uniforme t, se
puede definir una densidad de masa superficial T St, que representa masa por unidad de
área. Por último, cuando la masa se distribuye a lo largo de una barra de área de sección
transversal uniforme A, a veces se usa la densidad de masas lineal M M/L SA, que es la
masa por unidad de longitud.
La tabla 10.2 proporciona los momentos de inercia para algunos objetos respecto a
ejes específicos. Los momentos de inercia de objetos rígidos con geometría simple (gran
simetría) son relativamente fáciles de calcular siempre que el eje de rotación coincida con
un eje de simetría, como en los ejemplos siguientes.
Pregunta rápida 10.4 Una sección de tubería hueca y un cilindro sólido tienen los
mismos radio, masa y longitud. Ambos dan vueltas en torno a su largo eje central con
la misma rapidez angular. ¿Cuál objeto tiene la mayor energía cinética rotacional? a) La
tubería hueca. b) El cilindro sólido. c) Tienen la misma energía cinética rotacional. d) Es
imposible de determinar.
EJEMPLO 10.4 Barra rígida uniforme y y
Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa M dx
(figura 10.9) en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa a través
de su centro de masa. x
SOLUCIÓN O
x
Conceptualizar Imagine que con sus dedos hace girar la barra de la figura 10.9 en
torno a su punto medio. Si tiene una regleta a la mano, úsela para simular el giro de L
una barra delgada.
Figura 10.9 (Ejemplo 10.4) Barra
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución, que usa la definición de rígida uniforme de longitud L. El
momento de inercia en la ecuación 10.17. Como con cualquier problema de cálculo, momento de inercia en torno al eje y
la solución supone reducir el integrando a una sola variable. es menor que en el eje y . Este último
eje se examina en el ejemplo 10.6.
El elemento de longitud sombreado dx en la figura 10.9 tiene una masa dm igual a
la masa por unidad de longitud M multiplicada por dx.
Exprese dm en términos de dx: dm ldx M dx
Sustituya esta expresión en la ecuación 10.17 con r2 = x2: L
Iy r 2 dm L>2 x 2 M dx M L>2
L>2 L
x 2 dx
L L>2
M c x 3 d L>2 112ML2
L 3 L>2
Compruebe este resultado en la tabla 10.2.
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280 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
EJEMPLO 10.5 Cilindro sólido uniforme z
dr
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R, masa M y longitud L. Calcule su momento
de inercia en torno a su eje central (el eje z en la figura 10.10). r
R
SOLUCIÓN
L
Conceptualizar Para simular esta situación, imagine que hace girar una lata de jugo
congelado en torno a su eje central. Figura 10.10 (Ejemplo 10.5)
Cálculo de I en torno al eje z para un
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución, con el uso de la definición cilindro sólido uniforme.
de momento de inercia. Como con el ejemplo 10.4, se debe reducir el integrando a
una sola variable.
Es conveniente dividir el cilindro en muchos cascarones cilíndricos, cada uno con
radio r, grosor dr y longitud L, como se muestra en la figura 10.10. La densidad del cilin-
dro es S. El volumen dV de cada cascarón es su área de sección transversal multiplicada
por su longitud: dV L dA L(2Qr) dr.
Exprese dm en términos de dr : dm rdV 2prLr dr
Sustituya esta expresión en la ecuación 10.17:
Iz r 2dm r 2 12prLr dr 2 R 21pr LR 4
2prL r 3dr
0
Use el volumen total QR2L del cilindro para expresar su r M M
densidad: V pR 2L
Sustituya este valor en la expresión para Iz: Iz 1 p a M b LR 4 21MR 2
2 pR 2L
Compruebe este resultado en la tabla 10.2.
¿Qué pasaría si? ¿Qué pasa si la longitud del cilindro en la figura 10.10 aumenta a 2L, mientras la masa M y el radio R se
mantienen fijos? ¿Cómo cambia el momento de inercia del cilindro?
Respuesta Observe que el resultado para el momento de inercia de un cilindro no depende de L, la longitud del cilindro.
Se aplica igualmente bien a un largo cilindro y a un disco plano que tengan los mismos masa M y radio R. Debido a eso, el
momento de inercia del cilindro no sería afectado por cambiar su longitud.
El cálculo de momentos de inercia de un objeto en torno a un eje arbitrario puede ser
complicado, incluso para un objeto considerablemente simétrico. Por fortuna, el uso de
un importante teorema, llamado teorema de ejes paralelos, con frecuencia simplifica el
cálculo.
Para generar el teorema de ejes paralelos, suponga que un objeto da vueltas en torno
al eje z, como se muestra en la figura 10.11. El momento de inercia no depende de cómo
se distribuye la masa a lo largo del eje z; como se encontró en el ejemplo 10.5, el momen-
to de inercia de un cilindro es independiente de su longitud. Imagine colapsar el objeto
tridimensional en un objeto plano como en la figura 10.11b. En este proceso imaginario,
toda la masa se mueve paralela al eje z hasta que se encuentra en el plano xy. Las coorde-
nadas del centro de masa del objeto ahora son xCM, yCM y zCM 0. Sea el elemento de masa
dm que tiene coordenadas (x, y, 0). Ya que este elemento está a una distancia r x2 y2
del eje z, el momento de inercia en torno al eje z es
I r 2 dm 1x2 y2 2 dm
Se pueden relacionar las coordenadas x, y del elemento de masa dm a las coordenadas de
este mismo elemento ubicadas en un sistema coordenado que tenga el centro de masa
del objeto como su origen. Si las coordenadas del centro de masa son xCM, yCM y zCM 0
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Sección 10.5 Cálculo de momentos de inercia 281
y
dm
x, y
z
y r Eje de Eje a
y rotación través de
CM xCM, yCM CM
yCM O y
O D
CM
x
x
xCM x
x
a) b)
Figura 10.11 a) Teorema de ejes paralelos. Si el momento de inercia en torno a un eje perpendicular
a la figura a través del centro de masa es ICM, el momento de inercia en torno al eje z es Iz ICM MD 2.
b) Dibujo en perspectiva que muestra el eje z (el eje de rotación) y el eje paralelo a través del centro
de masa.
en el sistema coordenado original con centro en O, se ve en la figura 10.11a que las co-
rrespondencias entre las coordenadas no primas y primas son x
282 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
F sen G 10.6 Momento de torsión
F
Imagine que intenta dar vuelta una puerta y aplica una fuerza de magnitud F, perpendicu-
r lar a la superficie de la puerta cerca de las bisagras y luego en diferentes distancias desde
G las bisagras. Usted logrará una relación de rotación más rápida para la puerta al aplicar la
fuerza cerca de la perilla que al aplicarla cerca de las bisagras.
O r G F cos G
d Línea de Cuando se ejerce una fuerza en un objeto rígido que se articula en torno a un eje, el
acción objeto tiende a dar vuelta en torno a dicho eje. La tendencia de una fuerza a dar vuelta un
objeto en torno a cierto eje se mide mediante una cantidad llamada momento de torsión
S tS (letra griega tau). El momento de torsión es un vector, pero aquí sólo se considerará su
magnitud y en el capítulo 11 se explorará su naturaleza vectorial.
Figura 10.12 La fuerza F tiene
una mayor tendencia de rotación Considere la llave de la figura 10.12 que se quiere dar vuelta en torno a un eje per-
en torno a un eje a través de S
O a medida que F aumenta y a
medida que el brazo de momento pendicular a la página y a través del centro del tornillo. La fuerza aplicada F actúa a un
d aumenta. La componente F sen ángulo G con la horizontal. La magnitud del momento de torsión asociada con la fuerza
G tiende a dar vueltas la llave en
torno a O. S
Brazo de momento 0 F se define mediante la expresión
PREVENCIÓN DE RIESGOS t r F sen f Fd (10.19)
OCULTOS 10.5
El momento de torsión depende S
de su elección del eje
Como el momento de inercia, donde r es la distancia entre el eje de rotación y el punto de aplicación de F y d es la dis-
no hay un valor único del S
momento de torsión sobre un
objeto. Su valor depende de su tancia perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de acción de F. (La línea de
elección del eje de rotación.
acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende hacia ambos extremos del
F1 S
d1 vector que representa la fuerza. La línea discontinua que se extiende desde la cola de F en
O S
d2 la figura 10.12 es parte de la línea de acción de F.) A partir del triángulo recto de la figura
F2 10.12 que tiene la llave como su hipotenusa, se ve que d r sen G. La cantidad d se llama
S
S
brazo de momento (o brazo de palanca) de F.
Figura 10.13 La fuerza F1 S
tiende a dar vuelta el objeto En la figura 10.12, la única componente de F que tiende a causar rotación de la llave en
contra las manecillas del reloj en
torno a un eje a través de O es F sen G, la componente perpendicular a la línea dibujada
S
desde el eje de rotación hacia el punto de aplicación de la fuerza. La componente horizontal
torno a un eje a través de O, y F2
tiende a dar vuelta en sentido de F cos G, dado que su línea de acción pasa a través de O, no tiene tendencia a producir rota-
las manecillas del reloj.
ción en torno a un eje que pase a través de O. De la definición de momento de torsión, la
tendencia la rotación aumenta a medida que F aumenta y a medida que d aumenta, lo que
explica por qué es más fácil dar vuelta a una puerta si se empuja por la perilla en lugar de
hacerlo en un punto cerca de las bisagras. También podemos aplicar un empujón casi per-
pendicular a la puerta, tanto como sea posible, de tal modo que G esté cerca de 90°. Empujar
de manera lateral en la perilla de la puerta (G 0) no causará que ésta dé vuelta.
Si dos o más fuerzas actúan sobre un objeto rígido, como en la figura 10.13, cada una
S
tiende a producir rotación en torno al eje en O. En este ejemplo, F2 el objeto tiende a dar
S
vuelta en sentido de las manecillas del reloj y F1 tiende a dar vuelta contra las manecillas
del reloj. Se usa la convención de que el signo del momento de torsión que resulta de
una fuerza es positivo si la tendencia a girar de la fuerza es contra las manecillas del reloj
y negativo si la tendencia a girar es en sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo,
S
en la fpigousritaiv1o0e.1i3g,ueallmao mFe1dn1t;oedl emtoomrsieónntoredseulttoarnstieóndedFe1FS, q2 uees tiene un brazo de momento
d1, es negativo e igual a F2d2. En
consecuencia, el momento de torsión neto en torno a un eje a través de O es
t t1 t2 F1d1 F2d2
No se debe confundir el momento de torsión con la fuerza. Las fuerzas pueden causar
un cambio en el movimiento traslacional, como se describió mediante la segunda ley de
Newton. Las fuerzas también pueden causar un cambio en el movimiento rotacional, pero
la efectividad de las fuerzas en causar este cambio depende tanto de las magnitudes de las
fuerzas como de los brazos de momento de las fuerzas, en la combinación que se llama
momento de torsión. El momento de torsión tiene unidades de fuerza por longitud (newton
metros en unidades del SI) y se debe reportar en estas unidades. No confunda momento
de torsión y trabajo, que tiene las mismas unidades pero son conceptos muy diferentes.
Pregunta rápida 10.5 i) Si usted intenta aflojar un obstinado tornillo de una pieza de
madera con un destornillador y fracasa, ¿debe encontrar un destornillador con un mango
a) más largo, o b) más gordo? ii) Si intenta aflojar un tornillo terco de una pieza de metal
con una llave y fracasa, ¿debe encontrar una llave con un mango a) más largo o b) más
gordo?
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Sección 10.7 Objeto rígido bajo un momento de torsión neto 283
EJEMPLO 10.7 El momento de torsión neto sobre un cilindro
A un cilindro de una pieza se le da la forma que se muestra en la figura 10.14, con una y
sección central que sobresale desde el cilindro más grande. El cilindro es libre de dar R1
R2
vuelta en torno al eje central que se muestra en el dibujo. Una soga enrollada en torno T1
S O x
al tambor, que tiene radio R1, ejerce una fuerza T1 hacia la derecha sobre el cilindro.
Una soga enrollada en torno a la parte central, que tiene radio R2, ejerce una fuerza
S
T2 hacia abajo sobre el cilindro.
A) ¿Cuál es el momento de torsión neto que actúa en el cilindro en torno al eje de
rotación (que es el eje z en la figura 10.14)?
SOLUCIÓN z
Conceptualizar Imagine que el cilindro en la figura 10.14 es un eje en una máquina. T2
La fuerza S podría aplicarse mediante una banda transportadora enrollada en torno
T2 S Figura 10.14 (Ejemplo 10.7) Un
al tambor. La fuerza T1 podría aplicarse mediante un freno de fricción a la superficie cilindro sólido articulado en torno
de la parte central. al eje z a través de O. El brazo
de momento S es R1, y el brazo de
T1
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución en el que se evalúa el mo- momento de S es R2.
T2
mento de torsión neto con el uso de la ecuación 10.19.
S
El momento de torsión debido a T1 en torno al eje de rotación es –R1T1. (El signo es negativo porque el momento de
S
torsión tiende a producir rotación en sentido de las manecillas del reloj.) El momento de torsión debido a T2 es +R2T2. (El
signo es positivo porque el momento de torsión tiende a producir rotación contra las manecillas del reloj del cilindro.)
Evalúe el momento de torsión neto en torno al eje de rotación: t t1 t2 R2T2 R1T1
Como una verificación rápida, observe que si las dos fuerzas son de igual magnitud, el momento de torsión neto es negati-
vo porque R1 R2. Si parte del reposo con ambas fuerzas de igual magnitud actuando sobre él, el cilindro daría vuelta en
S S
sentido de las manecillas del reloj porque T1 sería más efectivo para girarlo de lo que sería T2.
B) Suponga T1 5.0 N, R1 1.0 m, T2 15.0 N y R2 0.50 m. ¿Cuál es el momento de torsión neto en torno al eje de
rotación, y de qué forma da vuelta el cilindro si parte desde el reposo?
SOLUCIÓN
Sustituya los valores conocidos: t 10.50 m2 115 N2 11.0 m2 15.0 N2 2.5 N # m
Ya que este momento de torsión es positivo, el cilindro comienza a dar vuelta en la dirección contraria a las manecillas del
reloj.
10.7 Objeto rígido bajo un momento 3
284 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
y La magnitud del momento de torsión neto debida a h
Sección 10.7 Objeto rígido bajo un momento de torsión neto 285
del momento de inercia de todo el mecanismo giratorio del taladro. Cuando esta broca
más grande da vueltas a la misma rapidez angular que la primera y el taladro se apaga, el
momento de torsión friccionante permanece igual que para la situación previa. ¿Cuál es
el intervalo de tiempo para que esta segunda broca llegue al reposo? a) 4 $t, b) 2 $t,
c) $t, d) 0.5 $t, e) 0.25 $t, f) imposible de determinar.
EJEMPLO 10.8 Barra giratoria
Una barra uniforme de longitud L y masa M unida en un extremo a un pivote sin fricción es libre de dar vueltas en torno al
pivote en el plano vertical, como en la figura 10.17. La barra se libera desde el reposo L
en la posición horizontal. ¿Cuáles son la aceleración angular inicial de la barra y la
aceleración traslacional inicial de su extremo rígido?
SOLUCIÓN Pivote
Conceptualizar Piense en lo que le sucede a la barra de la figura 10.17 cuando se Mg
libera. Da vueltas en sentido de las manecillas del reloj en torno al pivote en el extremo
izquierdo. Figura 10.17 (Ejemplo 10.8) Una
barra es libre de dar vuelta en torno
Categorizar La barra se clasifica como un objeto rígido bajo un momento de torsión a un pivote en el extremo izquierdo.
neto. El momento de torsión se debe sólo a la fuerza gravitacional sobre la barra si La fuerza gravitacional sobre la barra
se elige que el eje de rotación pase a través del pivote en la figura 10.17. No se puede actúa en su centro de masa.
clasificar la barra como un objeto rígido bajo aceleración angular constante porque el
momento de torsión ejercido sobre la barra y, por lo tanto, la aceleración angular de
la barra, varían con su posición angular.
Analizar La única fuerza que contribuye al momento de torsión en torno a un eje a través del pivote es la fuerza gravi-
tacional M Sg que se ejerce sobre la barra. (La fuerza que ejerce el pivote sobre la barra tiene momento de torsión cero en
torno al pivote, porque su brazo de momento es cero.) Para calcular el momento de torsión sobre la barra, se supone que
la fuerza gravitacional actúa en el centro de masa de la barra, como se muestra en la figura 10.17.
Escriba una expresión para la magnitud del momento de t Mg a L b
torsión debida a la fuerza gravitacional en torno a un eje a 2
través del pivote:
1) a t Mg 1L>22 3g
Aplique la ecuación 10.21 para obtener la aceleración an- I 13ML2 2L
gular de la barra:
Use la ecuación 10.11 con r L para encontrar la acelera- at La 3 g
ción traslacional inicial del extremo rígido de la barra: 2
Finalizar Estos valores son los valores iniciales de las aceleraciones angular y traslacional. Una vez que la barra comienza a
dar vuelta, la fuerza gravitacional ya no es perpendicular a la barra y los valores de las dos aceleraciones disminuyen y cambian
a cero en el momento en que la barra pasa a través de la orientación vertical.
¿Qué pasaría si? ¿Y si se coloca una moneda en el extremo de la barra y después se libera la barra? ¿La moneda permane-
cería en contacto con la barra?
Respuesta El resultado para la aceleración inicial de un punto sobre el extremo de la barra muestra que at g. Una mo-
neda sin apoyo cae con aceleración g. De este modo, si se coloca una moneda en el extremo de la barra y luego se libera la
barra, ¡el extremo de la barra cae más rápido que la moneda! La moneda no permanece en contacto con la barra. (¡Intente
esto con una moneda y una regleta!)
La cuestión ahora es encontrar la ubicación sobre la barra a la que se puede colocar una moneda que permanecerá en
contacto en cuanto ambas comiencen a caer. Para encontrar la aceleración traslacional de un punto arbitrario sobre la barra
a una distancia r < L desde el punto del pivote, se combina la ecuación 1) con la ecuación 10.11:
at ra 3g
2L r
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286 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
Para que la moneda permanezca en contacto con la barra, el caso límite es que la aceleración traslacional es igual a la que
se espera de la gravedad:
3g
at g r
2L
r 23L
Debido a eso, una moneda colocada más cerca del pivote a menos de dos tercios de la longitud de la barra permanece en
contacto con la barra que cae, pero una moneda más lejos de este punto pierde contacto.
EJEMPLO CONCEPTUAL 10.9 Chimeneas que caen y bloques tambaleantes
Cuando una chimenea alta cae, con frecuencia se rompe en alguna parte a lo largo de
su longitud antes de golpear el suelo, como se muestra en la figura 10.18. ¿Por qué?
SOLUCIÓN
Cuando la chimenea da vuelta en torno a su base, cada porción más alta de la chime-
nea cae con una aceleración tangencial más grande que la porción debajo de ella, de
acuerdo con la ecuación 10.11. La aceleración angular aumenta a medida que la chi-
menea se inclina más. Al final, las porciones más altas de la chimenea experimentan
una aceleración mayor que la aceleración que podría resultar sólo de la gravedad; esta Figura 10.18 (Ejemplo conceptual
situación es similar a la que se describió en el ejemplo 10.8. Sólo puede ocurrir si dichas 10.9) Una chimenea que cae se
porciones se jalan hacia abajo por otra fuerza además de la fuerza gravitacional. La rompe en algún punto a lo largo de
fuerza que lo ocasiona es la fuerza de corte de las porciones más bajas de la chimenea. su longitud.
Al final, la fuerza de corte que proporciona esta aceleración es mayor a lo que puede
soportar la chimenea, y la chimenea se rompe. Lo mismo sucede con una torre alta
de bloques de juguete de los niños. Pida prestados algunos bloques a un niño y construya tal torre. Empújela y observe cómo
se separa en algún punto antes de golpear el suelo.
EJEMPLO 10.10 Aceleración angular de una rueda M
O
Una rueda de radio R, masa M y momento de inercia I se monta sobre un eje horizontal
sin fricción, como en la figura 10.10. Una cuerda ligera enrollada alrededor de la rueda
sostiene un objeto de masa m. Calcule la aceleración angular de la rueda, la aceleración
lineal del objeto y la tensión en la cuerda.
SOLUCIÓN R
Conceptualizar Imagine que el objeto es una cubeta en un antiguo pozo de los deseos. T
Está amarrada a una cuerda que pasa alrededor de un cilindro equipado con una ma- T
nivela para elevar la cubeta. Después de elevar la cubeta, el sistema se libera y la cubeta
acelera hacia abajo mientras la cuerda se desenrolla del cilindro.
Categorizar El objeto se modela como una partícula bajo una fuerza neta. La rueda m
se modela como un objeto rígido bajo un momento de torsión neto.
Analizar La magnitud del momento de torsión que actúa sobre la rueda en torno a mg
su eje de rotación es U TR, donde T es la fuerza que ejerce la cuerda sobre el borde
de la rueda. (La fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre la rueda y la fuerza Figura 10.19 (Ejemplo 10.10)
normal que ejerce el eje sobre la rueda, ambas, pasan a través del eje de rotación y no Un objeto cuelga de una cuerda
producen momento de torsión.) enrollada alrededor de una rueda.
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Sección 10.8 Consideraciones energéticas en el movimiento rotacional 287
Escriba la ecuación 10.21: t Ia
Resuelva para B y sustituya el momento de torsión neto: 12 a t TR
Aplique la segunda ley de Newton al movimiento del objeto
y considere la dirección hacia abajo como positiva: II
Resuelva para la aceleración a: Fy mg T ma
2) a mg T
m
Las ecuaciones 1) y 2) tienen tres incógnitas: B, a y T. Ya que el objeto y la rueda están conectados mediante una cuerda
que no desliza, la aceleración traslacional del objeto suspendido es igual a la aceleración tangencial de un punto sobre el
borde de la rueda. Debido a eso, la aceleración angular B de la rueda y la aceleración traslacional del objeto se relacionan
mediante a = RB.
Use este hecho junto con las ecuaciones 1) y 2): 3) a Ra TR 2 mg T
I m
Resuelva para la tensión T: 4) T mg
1 1mR2>I 2
Sustituya la ecuación 4) en la ecuación 2) y resuelva para a: 5) a g
1 1I>mR2 2
Use a RB y la ecuación 5) para resolver para B: aa g
R R 1I>mR 2
Finalizar Este problema se concluye al imaginar el comportamiento del sistema en algunos límites extremos.
¿Qué pasaría si? ¿Y si la rueda se volviese tan pesada que I se volviera muy grande? ¿Qué sucede con la aceleración a del
objeto y la tensión T?
Respuesta Si la rueda se vuelve infinitamente pesada, se puede imaginar que el objeto de masa m simplemente colgará de
la cuerda sin causar el giro de la rueda.
Esto se puede demostrar matemáticamente al tomar el límite I 3 @. Entonces la ecuación 5) se convierte en
g
a 1 1I>mR2 2 S 0
lo que concuerda con la conclusión conceptual de que el objeto colgará en reposo. Además, la ecuación 4) se convierte en
mg mg
T 1 1mR2>I 2 S 1 0 mg
que es consistente porque el objeto simplemente cuelga en reposo en equilibrio entre la fuerza gravitacional y la tensión
en la cuerda.
10.8 Consideraciones energéticas
en el movimiento rotacional
Hasta este punto de la explicación del movimiento rotacional en este capítulo, el enfoque
fundamental ha sido sobre un planteamiento que involucra fuerza, lo que conduce a una
descripción del momento de torsión sobre un objeto rígido. En la sección 10.4 se explicó
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288 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
F la energía cinética rotacional de un objeto rígido. Ahora se extiende la explicación de
G
dicha energía inicial y se verá cómo una aproximación energética es útil para resolver
ds
P problemas rotacionales.
dV r Comience por considerar la correspondencia entre el momento de torsión que actúa en
O
Figura 10.20 Un objeto rígido un objeto rígido y su movimiento rotacional resultante a fin de generar expresiones para
rota en torno a un eje a través de
O bajo la acción de una fuerza la potencia y un análogo rotacional con el teorema trabajo–energía cinética. Observe el
S
S
objeto rígido articulado en O en la figura 10.20. Suponga que una sola fuerza externa F se
externa F aplicada a P. S
Potencia entregada a un 0 aplica en P, donde F yace en el plano de la página. El trabajo consumido en el objeto por
objeto rígido en rotación
S
Teorema trabajo–energía 0
cinética para movimiento F a medida que su punto de aplicación da vueltas a través de una distancia infinitesimal
rotacional ds r dV es
#dW S dSs 1F sen f2r du
F
donde F sen G es la componente tangencial de S o, en otras palabras, la componente de
S
F
la fuerza a lo largo del desplazamiento. Note que el vector componente radial de F no
realiza trabajo sobre el objeto porque es perpendicular al desplazamiento del punto de
S
aplicación de F.
S
Ya que la magnitud del momento de torsión debida a F en torno a un eje a través de
O es definida como rF sen G, por la ecuación 10.19, el trabajo consumido por la rotación
infinitesimal se puede escribir como
dW t du (10.22)
S
La rapidez a la que F realiza trabajo a medida que el objeto rota en torno al eje fijo a través
del ángulo dV en un intervalo de tiempo dt es
dW t du
dt dt
Ya que dW/dt es la potencia instantánea (vea la sección 8.5) entregada por la fuerza y
dV/dt = W, esta expresión se reduce a
dW tv (10.23)
dt
Esta ecuación es análoga a
Sección 10.8 Consideraciones energéticas en el movimiento rotacional 289
TABLA 10.3
Ecuaciones útiles en movimiento rotacional y traslacional
Movimiento rotacional en torno a un eje fijo Movimiento traslacional
Rapidez angular v du/dt Rapidez traslacional v dx/dt
Aceleración angular a dv/dt Aceleración traslacional a dv/dt
Momento de torsión neto © t Ia Fuerza neta © F ma
Si vf vi at Si vf vi at
a constante uf ui vit 1 at 2 a constante xf xi vi t 1 at 2
2 2
vf2 vi2 2a(uf ui) vf2 vi2 2a(xf xi)
uf xf
Trabajo W t du Trabajo W F xdx
ui xi
Energía cinética rotacional KR 1 Iv2 Energía cinética K 1 mv 2
2 2
Potencia tv Potencia Fv
Cantidad de movimiento angular L Iv Cantidad de movimiento lineal p mv
Momento de torsión neto t dL/dt Fuerza neta ©F dp/dt
En general, es posible combinar este teorema con la forma traslacional del teorema
trabajo–energía cinética del capítulo 7. Por lo tanto, el trabajo neto invertido por fuerzas
externas sobre un objeto es el cambio en su energía cinética total, que es la suma de las
energías cinética traslacional y rotacional. Por ejemplo, cuando un pitcher lanza una pe-
lota de beisbol, el trabajo invertido por la mano del pitcher aparece como energía cinética
asociada con la pelota móvil a través del espacio, así como energía cinética rotacional
asociada con el giro de la bola.
Además del teorema trabajo–energía cinética, también se aplican otros principios de
energía a situaciones rotacionales. Por ejemplo, si un sistema que involucra objetos ro-
tativos se aísla y dentro del sistema no actúan fuerzas no conservativas, se pueden usar
el modelo de sistema aislado y el principio de conservación de la energía mecánica para
analizar el sistema como en el ejemplo 10.11 siguiente.
Por último, en algunas situaciones una aproximación energética no proporciona sufi-
ciente información para resolver el problema y se debe combinar con un planteamiento
de cantidad de movimiento. Tal caso se ilustra en el ejemplo 10.14 de la sección 10.9.
La tabla 10.3 menciona las diversas ecuaciones que explican características del movi-
miento rotacional con las expresiones análogas para movimiento traslacional. Las últimas
dos ecuaciones de la tabla 10.3, que involucran cantidad de movimiento angular L, se
explican en el capítulo 11 y se incluyen sólo por motivo de integridad.
EJEMPLO 10.11 Un nuevo vistazo a la barra giratoria O Ei U MgL/2
L/2
Una barra uniforme de longitud L y masa M tiene libertad de dar vuelta sobre un
pivote sin fricción que pasa a través de un extremo (figura 10.21). La barra se libera CM
desde el reposo en la posición horizontal.
Ef KR 12 IW2
A) ¿Cuál es su rapidez angular cuando la barra llega a su posición más baja?
Figura 10.21 (Ejemplo 10.11) Una
SOLUCIÓN barra rígida uniforme con centro
de giro en O da vueltas en un plano
Conceptualizar Considere la figura 10.21 e imagine que la barra giratoria hacia abajo vertical bajo la acción de la fuerza
a través de un cuarto de vuelta en torno al pivote en el extremo izquierdo. También gravitacional.
regresa a ver el ejemplo 10.8. Esta situación física es la misma.
Categorizar Como se mencionó en el ejemplo 10.8, la aceleración angular de la
barra no es constante. Por lo tanto, las ecuaciones cinemáticas para rotación (sección
10.2) no se pueden usar para resolver este ejemplo. El sistema de la barra y la Tierra
se clasifica como un sistema aislado sin fuerzas no conservativas actuantes y usa el
principio de conservación de energía mecánica.
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290 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
Analizar Elija la configuración en que la barra cuelga recta hacia abajo, como la configuración de referencia para energía
potencial gravitacional y asigne un valor de cero para esta configuración. Cuando la barra está en la posición horizontal,
no tiene energía cinética rotacional. La energía potencial del sistema en esta configuración respecto a la configuración de
referencia es MgL/2 porque el centro de masa de la barra está a una altura L/2 más alto que su posición en la configuración
de referencia. Cuando la barra llega a su posición más baja, la energía del sistema es enteramente energía rotacional 21IW2,
donde I es el momento de inercia de la barra en torno a un eje que pasa a través del pivote.
Escriba una ecuación de conservación de energía mecánica Kf Uf Ki Ui
para el sistema: 12Iv2 0 0 12MgL
Sustituya para cada una de las energías:
Resuelva para W y use I 13ML2 (vea la tabla 10.2) para la MgL MgL 3g
barra: v L
I 31ML2
B) Determine la rapidez tangencial del centro de masa y la rapidez tangencial del punto más bajo en la barra cuando esté
en su posición vertical.
SOLUCIÓN vCM rv Lv 1 3gL
Use la ecuación 10.10 y el resultado del inciso A): 2 2
Ya que r para el punto más bajo en la barra es el doble de v 2vCM 3gL
lo que es para el centro de masa, el punto más bajo tiene
rapidez tangencial que el centro de masa:
Finalizar La configuración inicial en este ejemplo es la misma que en el ejemplo 10.8. Sin embargo, en el ejemplo 10.8,
sólo se podría encontrar la aceleración angular inicial de la barra. Una aplicación energética en el ejemplo actual permite
encontrar información adicional, la rapidez angular de la barra en otro instante de tiempo.
EJEMPLO 10.12 Energía y la máquina de Atwood R
Dos cilindros que tienen masas diferentes m1 y m2 están conectados por una cuerda m2
que pasa sobre una polea, como se muestra en la figura 10.22. La polea tiene un radio h
R y momento de inercia I en torno a su eje de rotación. La cuerda no se desliza sobre
la polea y el sistema se libera desde el reposo. Encuentre las magnitudes de velocidad h
traslacionales de los cilindros después de que el cilindro 2 desciende una distancia h, y m1
encuentre la rapidez angular de la polea en este momento.
Figura 10.22 (Ejemplo 10.12)
SOLUCIÓN Una máquina de Atwood con una
polea pesada.
Conceptualizar Ya se vieron ejemplos que involucran la máquina de Atwood, así que
el movimiento de los objetos en la figura 10.22 debe ser fácil de visualizar.
Categorizar Ya que la cuerda no se desliza, la polea da vueltas en torno al eje. Se
puede despreciar la fricción en el eje porque el radio del eje es pequeño en relación
con el de la polea. Por tanto, el momento de torsión friccionante es mucho menor que
el momento de torsión neto aplicado por los dos cilindros siempre que sus masas sean
significativamente diferentes. En consecuencia, el sistema que consiste en los dos cilin-
dros, la polea y la Tierra es un sistema aislado sin fuerzas no conservativas en acción;
debido a eso, la energía mecánica del sistema se conserva.
Analizar La configuración cero para energía potencial gravitacional se define como
la que existe cuando el sistema se libera desde el reposo. De la figura 10.22 se ve que el
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Sección 10.9 Movimiento de rodamiento de un objeto rígido 291
descenso del cilindro 2 se asocia con una disminución en la energía potencial del sistema y que la elevación del cilindro 1
representa un aumento en energía potencial.
Escriba una ecuación de conservación de energía para el sistema: Kf Uf Ki Ui
Sustituya para cada una de las energías: 121m1v f2 21m2v f2 21Ivf2 2 1m1gh m2gh 2 0 0
Use vf RWf para sustituir por Wf:
12m 1v f2 21m 2v f2 1 I vf2 m 2gh m 1gh
2 R2 m 2gh m 1gh
1 a m 1 m2 I b v f 2
2 R2
2 1m2 m1 2 gh 1>2
m1 m2 I> R 2
Resuelva para vf: 1) vf c d
vf 1 2 1m2 m1 2 gh 1>2
R R m1 m2 I> R 2
Use vf RWf para resolver para Wf: vf c d
Finalizar Cada uno de los cilindros se modela como una partícula bajo aceleración constante porque experimenta una
fuerza neta constante. Piense qué necesitaría hacer para usar la ecuación 1) para encontrar la aceleración de uno de los cilin-
dros y reducir el resultado de modo que coincida con el resultado del ejemplo 5.9. ¡En tal caso hágalo y vea si funciona!
10.9 Movimiento de rodamiento
de un objeto rígido
En esta sección se trata el movimiento de un objeto rígido que rueda a lo largo de una
superficie plana. En general, tal movimiento es complejo. Por ejemplo, suponga que un
cilindro rueda sobre una trayectoria recta tal que el eje de rotación permanece paralelo
a su orientación inicial en el espacio. Como exhibe la figura 10.23, un punto sobre el
borde del cilindro se mueve en una trayectoria compleja llamada cicloide. Sin embargo, se
pueden simplificar el tema al concentrarse en el centro de la masa en lugar de hacerlo en
un punto en el borde del objeto rodante. Como se muestra en la figura 10.23, el centro
de masa se mueve en línea recta. Si un objeto como un cilindro rueda sin deslizarse sobre
la superficie (llamado movimiento de rodamiento puro), existe una correspondencia simple
entre sus movimientos rotacional y traslacional.
Considere un cilindro uniforme de radio R que rueda sin deslizarse sobre una super-
ficie horizontal (figura 10.24). Conforme el cilindro da vueltas a través de un ángulo V,
RV s
Henry Leap and Jim Lehman s R V
Figura 10.23 Una fuente de luz en el centro de un cilindro en rodamiento y otra en un punto en el Figura 10.24 Para movimiento
borde ilustran las diferentes trayectorias que toman estos dos puntos. El centro se mueve en una línea de rodamiento puro, a medida
recta (línea verde), mientras que el punto en el borde se mueve en la trayectoria llamada cicloide (curva que el cilindro da vueltas a través
roja). de un ángulo V, su centro se
traslada una distancia lineal
www.elsolucionario.net s = RV.
292 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
PREVENCIÓN DE RIESGOS su centro de masa se mueve una distancia lineal s RV (vea la ecuación 10.1a). Por lo
OCULTOS 10.6 tanto, la rapidez traslacional del centro de masa para movimiento de rodamiento puro
La ecuación 10.25 parece familiar se conoce por
La ecuación 10.25 parece muy
similar a la ecuación 10.10, así vCM ds du Rv (10.25)
que asegúrese de ser claro con dt R
la diferencia. La ecuación 10.10
da la rapidez tangencial de un dt
punto en un objeto giratorio
ubicado a una distancia r de donde W es la rapidez angular del cilindro. La ecuación 10.25 se cumple siempre que un
un eje de rotación fijo si el cilindro o esfera rueda sin deslizarse y es la condición para movimiento de rodamiento
objeto está girando con rapidez puro. La magnitud de la aceleración lineal del centro de masa para movimiento de roda-
angular W. La ecuación 10.25 miento puro es
da la rapidez traslacional del
centro de masa de un objeto en a CM dvCM dv Ra (10.26)
rodamiento de radio R rodando dt R
con rapidez angular W.
dt
Energía cinética total de 0
un objeto en rodamiento donde B es la aceleración angular del cilindro.
Imagine que está móvil junto con un objeto que rueda con rapidez vCM, y permanece
en un marco de referencia en reposo respecto al centro de masa del objeto. Mientras ob-
serva el objeto, lo verá en rotación pura alrededor de su centro de masa. La figura 10.25a
muestra las velocidades de puntos a la cabeza, en el centro y en la parte baja del objeto
según lo observa. Además de estas velocidades, cada punto sobre el objeto se mueve en
la misma dirección con rapidez vCM respecto a la superficie sobre la que rueda. La figura
10.25b muestra estas velocidades para un objeto que no gira. En el marco de referencia en
reposo respecto de la superficie, la velocidad de un punto determinado sobre el objeto es
la suma de las velocidades que se muestran en las figuras 10.25a y 10.25b. La figura 10.25c
muestra los resultados de sumar estas velocidades.
Observe que el punto de contacto entre la superficie y el cilindro en la figura 10.25c
tiene una rapidez traslacional cero. En este instante, el objeto que rueda es móvil en exac-
tamente la misma forma que si la superficie se retirara y el objeto fuera articulado en el
punto P y girara en torno a un eje que pasa a través de P. La energía cinética total de este
objeto que se piensa que está girando se expresa como
K 12IP v2 (10.27)
donde IP es el momento de inercia en torno a un eje de rotación a través de P.
Ya que el movimiento objeto que se piensa que está girando es el mismo en este instante
que el del verdadero objeto en rodamiento, la ecuación 10.27 también da la energía ciné-
tica del objeto en rodamiento. Al aplicar el teorema de ejes paralelos, se puede sustituir
IP ICM MR 2 en la ecuación 10.27 para obtener
K 21ICMv2 12MR 2v2
Al usar vCM RW, esta ecuación se puede expresar como
K 21ICMv2 21Mv 2 (10.28)
CM
El término 12ICM W2 representa la energía cinética rotacional del cilindro en torno a su cen-
tro de masa, y el término 12MVCM2 representa la energía cinética que tendría el cilindro si
P v RW P P v v CM R W 2v CM
v CM
CM v 0 CM v CM CM v v CM
v RW P v CM v 0
P P
a) Rotación pura b) Traslación pura
c) Combinación de
traslación y rotación
Figura 10.25 El movimiento de un objeto que rueda se puede modelar como una combinación de
traslación pura y rotación pura.
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Sección 10.9 Movimiento de rodamiento de un objeto rígido 293
sólo se trasladara a través del espacio sin girar. En consecuencia, la energía cinética total M W
de un objeto en rodamiento es la suma de la energía cinética rotacional en torno al cen- R vCM
tro de masa y la energía cinética traslacional del centro de masa. Este enunciado es
consistente con la situación que se ilustra en la figura 10.25, que muestra que la velocidad x
de un punto en el objeto es la suma de la velocidad del centro de masa y la veloci- h
dad tangencial en torno al centro de masa.
V
Se pueden usar métodos energéticos para tratar una clase de problemas concernien-
tes con el movimiento de rodamiento de un objeto sobre un plano inclinado rugoso. Figura 10.26 Una esfera rueda
Por ejemplo, considere la figura 10.26, que muestra una esfera que rueda sin deslizarse por un plano inclinado. La
después de liberarla desde el reposo en la parte superior del plano. El movimiento de ro- energía mecánica del sistema
damiento acelerado sólo es posible si una fuerza de fricción está presente entre la esfera y esfera–Tierra se conserva si no se
el plano para producir un momento de torsión neto en torno al centro de masa. A pesar presenta deslizamiento.
de la presencia de fricción, no se presenta pérdida de energía mecánica, porque el punto de
contacto está en reposo en relación con la superficie en cualquier instante. (Por otra parte,
si la esfera se deslizara, la energía mecánica del sistema esfera–plano inclinado–Tierra se
perdería debido a la fuerza no conservativa de la fricción cinética.)
En realidad, la fricción de rodamiento hace que la energía mecánica se transforme en
energía interna. La fricción de rodamiento se debe a deformaciones de la superficie y el
objeto que rueda. Por ejemplo, las llantas de los automóviles se flexionan conforme ruedan
sobre una autopista, lo que representa una transformación de energía mecánica en ener-
gía interna. La autopista también se deforma una pequeña cantidad, lo que representa una
fricción de rodamiento adicional. En los modelos de resolución de problemas se ignora
la fricción de rodamiento a menos que se establezca de otro modo.
Al usar vCM RW para movimiento de rodamiento puro, la ecuación 10.28 se puede
expresar como
vCM 2
R
K 12ICM a b 21Mv 2
CM
K 1 a ICM M b v 2 (10.29)
2 R2 CM
Para el sistema esfera–Tierra, la configuración cero de energía potencial gravitacional se
define cuando la esfera está en la parte baja del plano inclinado. Por lo tanto, la conser-
vación de energía mecánica produce
K f Uf K i Ui
1 a ICM M b v 2 0 0 Mgh
2 R2 CM
c 2gh 1>2
vCM 1 1ICM>MR2 2 d (10.30)
Pregunta rápida 10.7 Una bola rueda sin deslizarse por un plano inclinado A, partiendo
del reposo. Al mismo tiempo, una caja parte del reposo y se desliza por el plano inclinado
B, que es idéntico al plano A excepto que no tiene fricción. ¿Cuál llega primero al fondo?
a) La bola. b) La caja. c) Ambas. d) Imposible de determinar.
EJEMPLO 10.13 Esfera que rueda hacia abajo por un plano inclinado
Para la esfera sólida que se muestra en la figura 10.26, calcule la rapidez traslacional del centro de masa en la parte baja del
plano y la magnitud de la aceleración traslacional del centro de masa.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine que rueda la esfera por el plano inclinado. En su mente compárela con un libro que se desliza
hacia abajo por un plano inclinado sin fricción. Quizá ha experimentado con objetos rodando hacia abajo por planos y es
posible que esté tentado a pensar que la esfera se movería más rápido en el plano que el libro. No obstante, ¡no ha experi-
mentado con objetos que se deslizan hacia abajo por planos inclinados sin fricción! Así que, ¿cuál objeto llegará primero a
la parte baja? (Vea la pregunta rápida 10.7.)
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294 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
Categorizar La esfera y la Tierra se modelan como un sistema aislado sin fuerzas no conservativas en acción. Este modelo
es el que condujo a la ecuación 10.30, así que se puede usar dicho resultado.
2gh 1>2 1 2170gh 1>2
Analizar Evalúe la rapidez del centro de masa de la esfera 1) vCM c 1 25MR2>MR22 d
a partir de la ecuación 10.30: 1
Este resultado es menor que 2gh , que es la rapidez que tendría un objeto si simplemente se deslizara por el plano sin
girar. (Elimine la rotación al hacer ICM 0 en la ecuación 10.30.)
Para calcular la aceleración traslacional del centro de masa, note que el desplazamiento vertical de la esfera se relaciona
con la distancia x que se mueve a lo largo del plano mediante la correspondencia h x sen V.
Aplique esta relación para escribir la ecuación 1): vCM2 170gx sen u
Escriba la ecuación 2.17 para un objeto que parte del repo- v 2 2a CMx
so y se mueve una distancia x: CM
Iguale las dos expresiones anteriores para encontrar aCM: aCM 57g sen u
Finalizar Tanto la rapidez como la aceleración del centro de masa son independientes de la masa y el radio de la esfera. Es
decir: todas las esferas homogéneas sólidas experimentan la misma rapidez y aceleración en un plano inclinado determi-
nado. Intente verificar esta afirmación experimentalmente con bolas de diferentes tamaños, como una canica y una bola
de croquet.
Si tuviera que repetir el cálculo de la aceleración para una esfera hueca, un cilindro sólido o un aro, obtendría resultados
similares que sólo diferirían en el factor enfrente de g sen V. Los factores constantes que aparecen en las expresiones para
vCM y aCM sólo dependen del momento de inercia en torno al centro de masa para el objeto específico. En todos los casos,
la aceleración del centro de masa es menor que g sen V, el valor que tendría la aceleración si el plano no tuviera fricción y
no ocurriera rodamiento.
EJEMPLO 10.14 Jalar un carrete3 L T
R
Un carrete simétrico de masa m y radio R está en reposo sobre una mesa horizontal
con fricción (figura 10.27). Con su mano en una cuerda sin masa enrollada alrededor r
del eje de radio r, jala del carrete con una fuerza horizontal constante de magnitud T
hacia la derecha. Como resultado, el carrete rueda sin deslizarse una distancia L a lo
largo de la mesa sin fricción de rodamiento.
A) Encuentre la rapidez traslacional final del centro de masa del carrete. Figura 10.27 (Ejemplo 10.14)
Un carrete en reposo sobre una
SOLUCIÓN mesa horizontal. Una cuerda está
Conceptualizar Use la figura 10.27 para visualizar el movimiento del carrete cuando enrollada alrededor del eje y una
jala la cuerda. Para que el carrete ruede una distancia L, note que su mano en la cuerda mano lo jala hacia la derecha.
debe jalar una distancia diferente de L.
Categorizar El carrete es un objeto rígido bajo un momento de torsión neto, pero el momento de torsión incluye la
fuerza de fricción, acerca de la que no sabe nada. Por lo tanto, un planteamiento en función del modelo de objeto rígido
bajo momento de torsión neto no será exitoso. Su mano realiza trabajo en el carrete y la cuerda, que forman un sistema no
aislado. Vea si una aproximación respecto al modelo de sistema no aislado es fructífero.
3 El ejemplo 10.14 lo inspiró en parte C. E. Mungan, “A primer on work–energy relationships for introductory physics”, The Physics Teacher, 43,
p. 10, 2005.
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Sección 10.9 Movimiento de rodamiento de un objeto rígido 295
Analizar El único tipo de energía que cambia en el sistema es la energía cinética del carrete. No hay fricción de roda-
miento, de modo que no hay cambio en la energía interna. La única forma en que la energía cruza la frontera del sistema
es mediante el trabajo realizado por su mano en la cuerda. La fuerza de fricción estática no invierte trabajo en la parte baja
del carrete porque el punto de aplicación de la fuerza se mueve a través de ningún desplazamiento.
Escriba la reducción apropiada de la ecuación de con- 1) W ¢K ¢Ktrans ¢Krot
servación de la energía, ecuación 8.2:
donde W es el trabajo invertido en la cuerda por su mano. Para hallar este trabajo, necesita encontrar el desplazamiento de
su mano durante el proceso.
Primero encuentre la longitud de la cuerda que se desenrolla del carrete. Si el carrete rueda una distancia L, el ángulo
total que da vuelta es V L/R. El eje también da vueltas a través de este ángulo.
Use la ecuación 10.1a para encontrar la longitud de arco / ru r
total que gira el eje: L
R
Este resultado también da la longitud de la cuerda que se jala del eje. Su mano se moverá esta distancia más la distancia L
a través de la que se mueve el carrete. Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza
aplicada por su mano es
296 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo 5) ¢t L 2L
vCM, prom vCM
Use la ecuación 2.2 para encontrar el intervalo de tiempo
para el centro de masa del carrete para mover una distancia 1T f 2 2L mvCM
L desde el reposo a una rapidez final vCM: vCM
Sustituya la ecuación 5) en la ecuación 4):
Resuelva para la fuerza de fricción f : f T mvCM2
2L
Sustituya vCM de la ecuación 3): f T m c 2TL 11 r>R 2 d
2L m 11 I>mR2 2
11 r>R 2 T c1 11 r>R2
T T 11 I>mR 2 2 11 I>mR 2 2 d
Finalizar ¡Note que podría usar el teorema impulso–cantidad de movimiento para el movimiento traslacional del carrete
mientras ignora que el carrete está girando! Este hecho demuestra el poder de la creciente lista de planteamientos para
resolver problemas.
Resumen
DEFINICIONES
La posición angular de un objeto rígido se define como el ángulo El momento de inercia de un sistema de
V entre una línea de referencia unida al objeto y una línea de partículas se define como
referencia fija en el espacio. El desplazamiento angular de una
partícula móvil en una trayectoria circular o un objeto rígido I mir i2 (10.15)
girando en torno a un eje fijo es %V Vf Vi.
i
La rapidez angular instantánea de una partícula móvil en una
trayectoria circular o de un objeto rígido girando en torno a un donde mi es la masa de la i–ésima partícula y ri
eje fijo es es su distancia desde el eje de rotación.
v du (10.3) La magnitud del momento de torsión
dt S
asociado con una fuerza F que actúa sobre
un objeto a un distancia r desde el eje de
rotación es
La aceleración angular instantánea de una partícula móvil en t r F sen f Fd (10.19)
una trayectoria circular o de un objeto rígido girando en torno a
un eje fijo es donde G es el ángulo entre el vector de po-
sición del punto de aplicación de la fuerza y
a dv (10.5) el vector fuerza, y d es el brazo de momento
dt de la fuerza, que es la distancia perpendicular
desde el eje de rotación a la línea de acción de
Cuando un objeto rígido da vueltas en torno a un eje fijo, la fuerza.
cada parte del objeto tiene la misma rapidez angular y la misma
aceleración angular.
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Resumen 297
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS
Cuando un objeto rígido da vueltas en Si un objeto rígido da vueltas en torno a un eje fijo con rapidez
angular W, su energía cinética rotacional se puede escribir
torno a un eje fijo, la posición angular, la
rapidez angular y la aceleración angular K R 21Iv2 (10.16)
se relacionan con la posición, la rapidez y
la aceleración traslacionales mediante las donde I es el momento de inercia en torno al eje de rotación.
relaciones
s rV (10.1a)
s rW (10.10) El momento de inercia de un objeto rígido es
s rB (10.11) I r 2 dm (10.17)
donde r es la distancia desde el elemento de masa dm hasta el eje de
rotación.
La rapidez a la que una fuerza externa realiza trabajo para girar un objeto rígido en torno a un eje fijo, o la potencia
entregada, es
tv (10.23)
Si sobre un objeto rígido se consume trabajo y el único resultado del trabajo es rotación en torno a un eje fijo, el
trabajo neto consumido por las fuerzas externas para girar el objeto es igual al cambio en la energía cinética rotacional
del objeto:
W 12Ivf2 21Ivi2 (10.24)
La energía cinética total de un objeto rígido que rueda sobre una superficie rugosa sin deslizamiento es igual a la
energía cinética rotacional en torno a su centro de masa más la energía cinética traslacional del centro de masa:
K 12ICMv2 21Mv 2 (10.28)
CM
MODELO DE ANÁLISIS PARA RESOLVER PROBLEMAS
B
298 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
Preguntas
O indica pregunta complementaria.
1. ¿Cuál es la rapidez angular del segundero de un reloj? ¿Cuál es b) velocidad angular, c) aceleración angular, d) momento de
la dirección de vS cuando ve un reloj que cuelga de una pared inercia, e) energía cinética, f) ubicación del centro de masa.
vertical? ¿Cuál es la magnitud del vector aceleración angular
aS del segundero? 10. Con los resultados del ejemplo 10.10, ¿cómo calcularía la ra-
pidez angular de la rueda y la rapidez lineal del contrapeso
2. Una hoja de un par de tijeras da vueltas contra las manecillas suspendido en t 2 s, si supone que el sistema se libera desde
del reloj en el plano xy. ¿Cuál es la dirección de vS ? ¿Cuál es el reposo en t 0? ¿La expresión v RW es válida en esta
la dirección de aS si la magnitud de la velocidad angular dismi- situación?
nuye con el tiempo?
11. Si una pequeña esfera de masa M se coloca al final de la barra
3. O Una rueda se mueve con aceleración angular constante de 3 en la figura 10.21, ¿el resultado para W sería mayor, menor o
rad/s2. En diferentes momentos su rapidez angular es 2 rad/s, igual que el valor obtenido en el ejemplo 10.11?
0 y 2 rad/s. En estos momentos, analice la magnitud de la
componente tangencial de la aceleración y la magnitud de 12. O Una esfera sólida de aluminio de radio R tiene momento
la componente radial de aceleración para un punto sobre el de inercia I en torno a un eje a través de su centro. ¿Cuál es el
borde de la rueda. Clasifique los siguientes seis elementos de momento de inercia en torno a un eje central de una esfera
mayor a menor: a)
Problemas 299
21. O Un balón de basquetbol rueda sobre un suelo sin deslizarse, el reposo en la misma elevación y ruedan sin deslizarse. ¿Cuál
y su centro de masa móvil a cierta velocidad. Un bloque de objeto llega primero a la parte baja? ¿Cuál llega al último?
hielo de la misma masa se pone a deslizarse a través del suelo Intente este experimento en casa y observe que el resultado
con la misma rapidez a lo largo de una línea paralela. i) ¿Cómo es independiente de las masas y los radios de los objetos.
se comparan sus energías? a) El balón tiene más energía ciné-
tica. b) El hielo tiene más energía cinética. c) Tienen energías 24. La figura P10.24 muestra una vista lateral de un triciclo infantil
cinéticas iguales. ii) ¿Cómo se comparan sus cantidades de mo- con llantas de caucho sobre una acera horizontal de concreto.
vimiento? a) El balón tiene más cantidad de movimiento. b) Si una cuerda se une al pedal superior del extremo lejano y
El hielo tiene más cantidad de movimiento. c) Tienen iguales se jala hacia adelante horizontalmente, el triciclo rueda hacia
cantidades de movimiento. d) Sus cantidades de movimiento adelante. En vez de ello, suponga que una cuerda se une al
tienen iguales magnitudes pero son vectores diferentes. iii) Los pedal inferior en el lado cercano y se jala hacia adelante ho-
dos objetos encuentran una rampa que se eleva hacia arriba. a) rizontalmente, como se muestra en A. ¿El triciclo comienza
El balón viajará a mayor distancia sobre la rampa. b) El hielo a rodar? Si es así, ¿en qué dirección? Responda las mismas
viajará a mayor distancia sobre la rampa. c) Ambos viajarán preguntas si a) la cuerda se jala hacia adelante y arriba como
igualmente muy arriba sobre la rampa. se muestra en B, b) la cuerda se jala recto hacia abajo como
se muestra en C, y c) la cuerda se jala hacia adelante y abajo
22. Suponga que pone su libro de texto a deslizar sobre el suelo como se muestra en D. d) ¿Qué pasaría si? La cuerda se amarra
de un gimnasio con cierta rapidez inicial. Rápidamente al borde de la rueda frontal y se jala arriba y atrás, como se
deja de moverse debido a una fuerza de fricción que el suelo muestra en E? e) Explique un patrón de razonamiento, con
ejerce sobre él. A continuación, pone a rodar un balón de base en el diagrama, que facilite el responder estas preguntas.
basquetbol con la misma rapidez inicial. Sigue rodando de un ¿Qué cantidad física debe evaluar?
extremo del gimnasio al otro. ¿Por qué el balón rueda tanto?
¿La fricción afecta significativamente su movimiento? E
23. Tres objetos de densidad uniforme (una esfera sólida, un ci- B
lindro sólido y un cilindro hueco) se colocan en lo alto de
un plano inclinado (figura P10.23). Todos se liberan desde
A
D
C
Figura P10.24
Figura P10.23
Problemas
4FDDJwO 1PTJDJwO
WFMPDJEBE Z BDFMFSBDJwO BOHVMBS 4FDDJwO $JOFNgUJDB SPUBDJPOBM 0CKFUP SrHJEP CBKP
BDFMFSBDJwO BOHVMBS DPOTUBOUF
1. Durante cierto periodo, la posición angular de una puerta que
se balancea se describe mediante V 5.00 10.0t 2.00t2, 3. Una rueda parte del reposo y da vueltas con aceleración angu-
donde V está en radianes y t en segundos. Determine la posi- lar constante para alcanzar una rapidez angular de 12.0 rad/s
ción, rapidez y aceleración angulares de la puerta en a) a t en 3.00 s. Encuentre a) la magnitud de la aceleración angular
0 y b) a t 3.00 s. de la rueda y b) el ángulo en radianes que da vueltas en este
intervalo de tiempo.
2. Una barra en una bisagra parte del reposo y da vueltas con
una aceleración angular B (10 6t) rad/s2, donde t está 4. Una centrífuga en un laboratorio médico da vueltas a una ra-
en segundos. Determine el ángulo en radianes que recorre la pidez angular de 3 600 rev/min. Cuando se apaga da vueltas
barra en los primeros 4.00 s. a 50.0 revoluciones antes de llegar al reposo. Encuentre la
aceleración angular constante de la centrífuga.
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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300 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
5. Un motor eléctrico que hace girar una rueda de molino a Manivela
100 rev/min se apaga. Después la rueda se mueve con acele- Piñón
ración angular negativa constante de 2.00 rad/s2 de magnitud. Cadena
a) ¿Durante qué intervalo de tiempo la rueda llega al reposo? Figura P10.12
b) ¿Cuántos radianes gira mientras va frenando?
13. Una rueda de 2.00 m de diámetro se encuentra en un plano
6. Una rueda giratoria requiere 3.00 s para dar vueltas 37.0 re- vertical y da vueltas con una aceleración angular constante
voluciones. Su rapidez angular al final del intervalo de 3.00 s de 4.00 rad/s2. La rueda parte del reposo en t 0 y el vector
es 98.0 rad/s. ¿Cuál es la aceleración angular constante de la radio de cierto punto P sobre el borde forma un ángulo de
rueda? 57.3° con la horizontal en este tiempo. En t 2.00 s, encuentre
a) la rapidez angular de la rueda, b) la rapidez tangencial y
7. a) Encuentre la rapidez angular de la rotación de la Tierra la aceleración total del punto P y c) la posición angular del
sobre su eje. Mientras la Tierra gira hacia el este, se ve el cielo punto P.
girar hacia el oeste a esta misma rapidez.
14. Un lanzador de disco (figura P10.14) acelera un disco desde el
b) Las lluviosas Pléyades occidentales reposo a una rapidez de 25.0 m/s al girarlo 1.25 rev. Suponga
Y buscan más allá del mar que el disco se mueve en el arco de un círculo de 1.00 m de
La cabeza con la que soñaré radio. a) Calcule la rapidez angular final del disco. b) Determi-
Que no soñará conmigo. ne la magnitud de la aceleración angular del disco, si supone
que es constante. c) Calcule el intervalo de tiempo requerido
A.E. Housman para que el disco acelere desde el reposo a 25.0 m/s.
(© Robert E. Symons)
Figura P10.14
Cambridge, Inglaterra, está a una longitud 0°, y Saskatoon, Bruce Ayers/Stone/Getty
Saskatchewan, Canadá, está a una longitud 107° oeste. ¿Cuán- 15. Un objeto pequeño con 4.00 kg de masa se mueve contra las
to tiempo transcurre después de que las Pléyades se ponen en manecillas del reloj con rapidez constante de 4.50 m/s en un
Cambridge hasta que dichas estrellas caen bajo el horizonte círculo de 3.00 m de radio con centro en el origen. Comienza
occidental en Saskatoon? en el punto con vector de posición (3.00ˆi 0ˆj ). Después se
8. Un carrusel está estable. Un perro corre sobre el suelo justo somete a un desplazamiento angular de 9.00 rad. a) ¿Cuál es
afuera de la circunferencia del carrusel, y se mueve con una su vector de posición? Use notación de vector unitario para
rapidez angular constante de 0.750 rad/s. El perro no cambia todas las respuestas vectoriales. b) ¿En qué cuadrante se ubica
su ritmo cuando ve lo que ha estado buscando: un hueso que la partícula y qué ángulo forma su vector de posición con el
descansa en el borde del carrusel a un tercio de revolución eje positivo x? c) ¿Cuál es su velocidad? d) ¿En qué dirección se
enfrente de él. En el instante en que el perro ve el hueso (t mueve? Bosqueje sus vectores de posición, velocidad y acelera-
0), el carrusel comienza a moverse en la dirección en que ción. e) ¿Cuál es su aceleración? f) ¿Qué fuerza total se ejerce
corre el animal, con una aceleración angular constante igual a sobre el objeto?
0.015 0 rad/s2. a) ¿En qué tiempo el perro alcanzará el hueso?
b) El confundido perro sigue corriendo y pasa el hueso. ¿Cuán- 16. Un automóvil acelera uniformemente desde el reposo y alcan-
to tiempo después de que el carrusel comienza a girar el perro za un rapidez de 22.0 m/s en 9.00 s. Las llantas tienen 58.0 cm
y el hueso se emparejan por segunda vez? de diámetro y no se deslizan sobre el pavimento. a) Encuentre
9. La tina de una lavadora comienza su ciclo de giro, parte del re-
poso y gana rapidez angular de manera estable durante 8.00 s,
momento en que gira a 5.00 rev/s. En este punto, la persona
que lava abre la tapa y un interruptor de seguridad apaga la
máquina. La tina frena lentamente hasta el reposo en 12.0 s.
¿Cuántas revoluciones realiza la tina mientras está en movi-
miento?
4FDDJwO $BOUJEBEFT BOHVMBSFT Z USBTMBDJPOBMFT
10. Un automóvil de carreras viaja en una pista circular de 250 m
de radio. Si supone que el automóvil se mueve con una rapidez
constante de 45.0 m/s, encuentre a) su rapidez angular y b) la
magnitud y dirección de su aceleración.
11. Haga una estimación de un orden de magnitud del número de
revoluciones que da en un año la llanta de un automóvil común.
Establezca las cantidades que mida o estime y sus valores.
12. ;hLa figura P10.12 muestra el mecanismo conductor de una
bicicleta que tiene ruedas de 67.3 cm de diámetro y manivela
de pedal de 17.5 cm de largo. El ciclista pedalea a una caden-
cia estable de 76.0 rev/min. La cadena se engancha con un
piñón frontal de 15.2 cm de diámetro y una cuerda de cadena
trasera de 7.00 cm de diámetro. a) Calcule la rapidez de un
eslabón de la cadena en relación con el cuadro de la bicicleta.
b) Calcule la rapidez angular de las ruedas de la bicicleta. c)
Calcule la rapidez de la bicicleta en relación con el camino.
d) ¿Qué parte de la información, si alguna, no es necesaria
para los cálculos?
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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Problemas 301
el número de revoluciones que hace cada llanta durante este y
movimiento. b) ¿Cuál es la rapidez angular final de una llanta 3.00 kg 2.00 kg
en revoluciones por segundo?
17. Un disco de 8.00 cm de radio da vueltas con una rapidez cons- 4.00 m O 6.00 m
tante de 1 200 rev/min en torno a su eje central. Determine: x
a) su rapidez angular, b) la rapidez tangencial en un punto
a 3.00 cm de su centro, c) la aceleración radial de un punto 2.00 kg 4.00 kg
sobre el borde y d) la distancia total que recorre en 2.00 s un Figura P10.21
punto en el borde.
18. ; Una escalera recta se apoya contra la pared de una casa. rad/s. Encuentre a) el momento de inercia en torno al eje x y
La escalera tiene rieles de 4.90 m de largo, unidos mediante la energía cinética rotacional total evaluada a partir de 21Iw2 y
peldaños de 0.410 m de largo. Su extremo inferior está sobre b) la rapidez tangencial de cada partícula y la energía cinética
suelo sólido pero inclinado de modo que la parte superior de total evaluada a partir h
302 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
25. ; Una war–wolf o trebuchet (catapulta) es un dispositivo que de grosor uniforme de 0.635 cm y una pared de huella de 2.50
se usó durante la edad media para lanzar rocas a los castillos, cm de grosor uniforme y 20.0 cm de ancho. Suponga que el
y ahora a veces se usa para arrojar grandes vegetales y pianos caucho tiene densidad uniforme igual a 1.10 103 kg/m3.
como deporte. En la figura P10.25 se muestra un trebuchet sim- Encuentre su momento de inercia en torno a un eje a través
ple. Modélelo como una barra rígida de masa despreciable de su centro.
de 3.00 m de largo que une partículas de 60.0 kg y 0.120 kg 28. ; Una puerta delgada sólida uniforme tiene 2.20 m de altura,
de masa en sus extremos. Puede dar vuelta sobre un eje hori- 0.870 m de ancho y 23.0 kg de masa. Encuentre su momento
zontal sin fricción perpendicular a la barra y a 14.0 cm de la de inercia para rotación en sus bisagras. ¿Alguna parte de la
partícula con mayor masa. La barra se libera desde el reposo información es innecesaria?
en una orientación horizontal. a) Encuentre la rapidez máxi- 29. ¡Atención! ¡Giro de 180°! Calcule una estimación de un orden de
ma que logra el objeto de 0.120 kg. b) Mientras el objeto de magnitud para el momento de inercia de su cuerpo mientras
0.120 kg gana rapidez, ¿se mueve con aceleración constante? está de pie y da vuelta en torno a un eje vertical a través de lo
¿Se mueve con aceleración tangencial constante? ¿El trebuchet alto de su cabeza y el punto a la mitad entre sus tobillos. En
se mueve con aceleración angular constante? ¿Tiene cantidad su solución, establezca las cantidades que mida o estime y sus
de movimiento constante? ¿El sistema trebuchet–Tierra tiene valores.
energía mecánica constante? 30. Muchas máquinas emplean levas para varios propósitos como
abrir y cerrar válvulas. En la figura P10.30, la leva es un disco
Figura P10.25 circular giratorio sobre un eje que no pasa a través del centro
del disco. En la fabricación de la leva, primero se elabora un
4FDDJwO $gMDVMP EF NPNFOUPT EF JOFSDJB cilindro sólido uniforme de radio R. Luego se taladra un agu-
26. Tres delgadas barras idénticas, cada una de longitud L y masa jero fuera del centro, de radio R/2, paralelo al eje del cilindro
y con centro en un punto a una distancia R/2 desde el centro
m, se sueldan mutuamente perpendiculares, como se muestra del cilindro. Después la leva, de masa M, se desliza sobre la fle-
en la figura P10.26. El ensamble da vueltas en torno a un eje cha circular y se suelda en su lugar. ¿Cuál es la energía cinética
que pasa por el extremo de una barra y es paralelo a la otra. de la leva cuando gira con rapidez angular W en torno al eje del
Determine el momento de inercia de esta estructura. árbol?
R
z 2R
Figura P10.30
y 31. Con el procedimiento del ejemplo 10.4, pruebe que el mo-
mento de inercia en torno al eje y de la barra rígida en la
Eje de x figura 10.9 es 31ML2.
rotación
4FDDJwO .PNFOUP EF UPSTJwO
Figura P10.26
32. La caña de pescar en la figura P10.32 forma un ángulo de 20.0°
con la horizontal. ¿Cuál es el momento de torsión que ejerce
el pez en torno a un eje perpendicular a la página y que pasa
a través de las manos del pescador?
27. La figura P10.27 muestra una vista lateral de la llanta de un
automóvil. Haga un modelo que tenga dos paredes laterales
Pared lateral 2.00 m 20.0
20.0 37.0
33.0 cm
100 N
16.5 cm
30.5 cm Figura P10.32
Huella 33. Encuentre el momento de torsión neto sobre la rueda de la
figura P10.33 en torno al eje a través de O, considerando a
Problemas 303
10.0 N 39. Un motor eléctrico hace girar un volante mediante una banda
transportadora que acopla una polea en el motor y una polea
30.0 a que está rígidamente unida al volante, como se muestra en la
12.0 N O figura P10.39. El volante es un disco sólido con una masa de
80.0 kg y un diámetro de 1.25 m. Da vuelta sobre un eje sin
b fricción. Su polea tiene masa mucho más pequeña y un radio
de 0.230 m. La tensión en el segmento superior (tenso) de la
9.00 N banda es 135 N, y el volante tiene una aceleración angular en
sentido de las manecillas del reloj de 1.67 rad/s2. Encuentre
la tensión en el segmento inferior (flojo) de la banda.
Figura P10.33
4FDDJwO 0CKFUP SrHJEP CBKP VO NPNFOUP EF UPSTJwO OFUP Figura P10.39
34. Una rueda de molino tiene la forma de un disco sólido unifor- 40. ; Un disco que tiene 100 kg·m2 de momento de inercia es
me de 7.00 cm de radio y 2.00 kg de masa. Parte del reposo y libre de dar vuelta sin fricción, partiendo del reposo, en torno
acelera uniformemente bajo la acción del momento de torsión a un eje fijo a través de su centro, como se muestra en la parte
constante de 0.600 N·m que el motor ejerce sobre la rueda. a) superior de la figura 10.19. Una fuerza tangencial cuya mag-
¿Cuánto tarda la rueda en alcanzar su rapidez operativa final de nitud puede variar de T 0 a T 50.0 N se aplica a cualquier
1 200 rev/min? b) ¿Cuántas revoluciones da mientras acelera? distancia que varíe de R 0 a R 3.00 m del eje de rotación.
Encuentre un par de valores de T y R que hagan que el disco
35. Un avión a escala con 0.750 kg de masa está amarrado con complete 2.00 revoluciones en 10.0 s. ¿Existe una respuesta,
un alambre de modo que vuela en un círculo de 30.0 m de o no hay respuesta, o hay dos respuestas, o más de dos, o mu-
radio. El motor del avión proporciona un empuje neto chas, o un número infinito?
de 0.800 N perpendicular al alambre de unión. a) Encuentre
el momento de torsión que produce el empuje neto en torno 4FDDJwO $POTJEFSBDJPOFT FOFSHnUJDBT FO FM NPWJNJFOUP
al centro del círculo. b) Encuentre la aceleración angular del SPUBDJPOBM
avión cuando está en vuelo a nivel. c) Encuentre la aceleración
traslacional del avión tangente a su trayectoria de vuelo. 41. En una ciudad con un problema de contaminación de aire, un
autobús no tiene motor de combustión. Corre con la energía
36. La combinación de una fuerza aplicada y una fuerza de fric- que extrae de un gran volante que gira rápidamente bajo el
ción produce un momento de torsión total constante de 36.0 suelo del autobús. En la terminal de autobuses, el volante se
N · m sobre una rueda giratoria en torno a un eje fijo. La fuerza pone a girar a su máxima rapidez de rotación de 4 000 rev/min
aplicada actúa durante 6.00 s. Durante este tiempo, la rapidez mediante un motor eléctrico. Cada vez que el autobús aumenta
angular de la rueda aumenta de 0 a 10.0 rad/s. Después se rapidez, el volante frena ligeramente. El autobús está equipado
retira la fuerza aplicada y la rueda llega al reposo en 60.0 s. con frenos regenerativos de modo que el volante aumenta ra-
Encuentre a) el momento de inercia de la rueda, b) la magni- pidez cuando el autobús frena. El volante es un cilindro sólido
tud del momento de torsión friccionante y c) el número total uniforme con 1 600 kg de masa y 0.650 m de radio. El cuerpo
de revoluciones de la rueda. del autobús realiza trabajo contra la resistencia del aire y la
resistencia de rodamiento a la relación promedio de 18.0 hp
37. Un bloque de masa m1 2.00 kg y un bloque de masa m2 mientras viaja con una rapidez promedio de 40.0 km/h. ¿Cuán-
6.00 kg están conectados mediante una cuerda sin masa sobre to puede viajar el autobús antes de que el volante tenga que
una polea en la forma de un disco sólido que tiene radio R ponerse a girar para aumentar la rapidez de nuevo?
0.250 m y masa M 10.0 kg. A estos bloques se les permite mo-
verse sobre una cuña fija de ángulo V 30.0°, como se mues- 42. El Big Ben, el reloj de la torre del Parlamento en Londres,
tra en la figura P10.37. El coeficiente de fricción cinética es tiene una manecilla horaria de 2.70 m de largo con una masa
0.360 para ambos bloques. Dibuje diagramas de cuerpo libre
de ambos bloques y de la polea. Determine a) la aceleración de
los dos bloques y b) las tensiones en la cuerda en ambos lados
de la polea.
m1 I, R
m2
V
Figura P10.37 John Lawrence/Getty
38. Una rueda de alfarero (un disco de piedra grueso de 0.500 m Figura P10.42 Problemas 42 y 76.
de radio y 100 kg de masa) gira libremente a 50.0 rev/min.
El alfarero puede detener la rueda en 6.00 s al presionar un
trapo húmedo contra el borde y ejercer una fuerza radialmen-
te hacia adentro de 70.0 N. Encuentre el coeficiente efectivo
de fricción cinética entre la rueda y el trapo.
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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304 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
de 60.0 kg y un minutero de 4.50 m de largo con una masa de Figura P10.45
100 kg (figura P10.42). Calcule la energía cinética rotacional
total de las dos manecillas en torno al eje de rotación. (Modele 46. Una barra cilíndrica de 24.0 cm de largo con 1.20 kg de masa
las manecillas como largas barras delgadas.) y 1.50 cm de radio, tiene una bola de 8.00 cm de diámetro y
43. El trompo de la figura P10.43 tiene un momento de inercia 2.00 kg de masa unida a un extremo. El arreglo originalmente
igual a 4.00 10 4 kg · m2 e inicialmente está en reposo. Es es vertical y estable, con la bola en lo alto. El sistema es libre de
libre de dar vueltas en torno al eje estable AA. Una cuerda, girar en torno al extremo inferior de la barra después de darle
enrollada alrededor de una espiga a lo largo del eje del trom- un ligero codazo. a) Después de que la barra da vuelta 90°,
po, se jala en tal forma que mantiene una tensión constante ¿cuál es su energía cinética rotacional? b) ¿Cuál es la rapidez
de 5.57 N. Si la cuerda no se desliza mientras se desenrolla de angular de la barra y la bola? c) ¿Cuál es la rapidez lineal de
la espiga, ¿cuál es la rapidez angular del trompo después la bola? d) ¿Cómo se compara esta rapidez con la rapidez si la
de jalar 80.0 cm de cuerda de la espiga? bola cae libremente la misma distancia de 28 cm?
A 47. Un objeto con un peso de 50.0 N se une al extremo libre de
una cuerda ligera enrollada alrededor de un carrete de 0.250
F m de radio y 3.00 kg de masa. El carrete es un disco sólido,
libre de dar vueltas en un plano vertical en torno al eje hori-
A zontal que pasa a través de su centro. El objeto suspendido
se libera 6.00 m sobre el suelo. a) Determine la tensión en
Figura P10.43 la cuerda, la aceleración del objeto y la rapidez con la que el
objeto golpea el suelo. b) Verifique su última respuesta con el
44. ; Considere el sistema que se muestra en la figura P10.44 con uso del principio de conservación de la energía para encontrar
m1 20.0 kg, m2
Problemas 305
50. La cabeza de una cortadora de pasto tiene 100 g de cuerda de- preciable. Después el cubo se mueve sobre un plano inclinado
vanados en un carrete cilíndrico ligero con diámetro interior uniforme que forma un ángulo V con la horizontal. Un cilin-
de 3.00 cm y diámetro exterior de 18.0 cm, como se mues- dro de masa m y radio r rueda sin deslizarse con su centro de
tra en la figura P10.50. La cuerda tiene una densidad lineal masa móvil con rapidez v y encuentra un plano inclinado del
de 10.0 g/m. Una sola hebra de la cuerda se extiende 16.0 mismo ángulo de inclinación pero con suficiente fricción que
cm desde el borde exterior del carrete. a) Cuando se encien el cilindro continúa rodando sin deslizarse. a) ¿Cuál objeto
de, la cortadora aumenta su velocidad de 0 a 2 500 rev/min recorrerá mayor distancia arriba del plano? b) Encuentre la
en 0.215 s. a) ¿Qué potencia promedio entrega el motor de la diferencia entre las distancias máximas que los objetos viajan
cortadora a la cabeza mientras acelera? b) Cuando la cortado- por el plano. c) ¿Cuál es la explicación para esta diferencia en
ra corta pasto, gira a 2 000 rev/min y el pasto ejerce una fuerza las distancias recorridas?
tangencial promedio de 7.65 N sobre el extremo exterior de 55. a) Determine la aceleración del centro de masa de un disco
la cuerda, que todavía está a una distancia radial de 16.0 cm sólido uniforme que rueda hacia abajo por un plano inclinado
desde el borde exterior del carrete, ¿cuál es la potencia entre- que forma un ángulo V con la horizontal. Compare esta acele-
gada a la cabeza bajo carga? ración con la de un aro uniforme. b) ¿Cuál es el coeficiente de
fricción mínimo que se requiere para mantener movimiento
16.0 cm de rodamiento puro para el disco?
56. Un disco sólido uniforme y un aro uniforme se colocan lado a
3.0 cm lado en lo alto de un plano inclinado de altura h. Si se liberan
desde el reposo al mismo tiempo y rueda sin deslizarse, ¿cuál
18.0 cm objeto alcanza primero la parte baja? Verifique su respuesta al
calcular sus magnitudes de velocidad cuando llegan a la parte
Figura P10.45 baja en término de h.
57. ; Una lata metálica que contiene sopa de hongos condensada
51. a) Un disco sólido uniforme de radio R y masa M es libre de tiene 215 g de masa, 10.8 cm de alto y 6.38 cm de diámetro. Se
dar vuelta sobre un pivote sin fricción a través de un punto coloca en reposo sobre su lado en lo alto de un plano inclina-
sobre su borde (figura P10.51). Si el disco se libera desde el do de 3.00 m de largo que está a 25.0° con la horizontal y luego
reposo en la posición que se muestra por el círculo azul, ¿cuál se libera para rodar recto hacia abajo. Llega a la parte baja del
es la rapidez de su centro de masa cuando el disco llega a la plano después de 1.50 s. Si supone conservación de energía
posición indicada por el círculo a rayas? b) ¿Cuál es la rapidez mecánica, calcule el momento de inercia de la lata. ¿Qué parte
del punto más bajo en el disco en la posición a rayas? c) ¿Qué de la información, si alguna, es innecesaria para calcular la
pasaría si? Repita el inciso a) con un aro uniforme. solución?
58. ; Una pelota de tenis es una esfera hueca con una pared
Pivote R delgada. Se pone a rodar sin deslizarse a 4.03 m/s sobre una
g sección horizontal de una pista, como se muestra en la figura
P10.58. Rueda alrededor del interior de un bucle circular ver-
tical de 90.0 cm de diámetro y finalmente deja la pista en un
punto 20.0 cm abajo de la sección horizontal. a) Encuentre
la rapidez de la pelota en lo alto del bucle. Demuestre que
no caerá de la pista. b) Encuentre su rapidez mientras deja la
pista. ¿Qué pasaría si? c) Suponga que la fricción estática entre
la pelota y la pista es despreciable, de modo que la pelota se
desliza en lugar de rodar. ¿Su rapidez por lo tanto sería mayor,
menor o igual en lo alto del bucle? Explique.
Figura P10.51
4FDDJwO .PWJNJFOUP EF SPEBNJFOUP EF VO PCKFUP SrHJEP Figura P10.58
52. ;hUna esfera sólida se libera de una altura h desde lo alto de 1SPCMFNBT BEJDJPOBMFT
un plano inclinado que forma un ángulo V con la horizontal.
Calcule la rapidez de la esfera cuando llega a la parte baja del 59. Como se muestra en la figura P10.59, las chimeneas que se de-
plano inclinado a) en el caso en que rueda sin deslizarse y b) rrumban con frecuencia se rompen a la mitad de la caída por-
en el caso que se desliza sin fricción sin rodar. c) Compare los que el mortero entre los ladrillos no puede soportar mucho
intervalos de tiempo requeridos para llegar al fondo en los esfuerzo de corte. Conforme la chimenea comienza a caer, las
casos a) y b). fuerzas de corte deben actuar sobre las secciones superiores
para acelerarlas tangencialmente de modo que puedan mante-
53. Un cilindro de 10.0 kg de masa rueda sin deslizarse sobre una ner la rotación de la parte más baja de la pila. Por simplicidad,
superficie horizontal. En cierto instante su centro de masa modele la chimenea como una barra uniforme de longitud
tiene una rapidez de 10.0 m/s. Determine a) la energía cinéti-
ca traslacional de su centro de masa, b) la energía cinética
rotacional en torno a su centro de masa y c) su energía total.
54. ; Un cubo uniforme de masa m y longitud de lado r se desliza
con rapidez v sobre una superficie horizontal con fricción des-
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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306 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
articulada en el extremo inferior. La barra parte del reposo en Jerry Wachter/Photo Researchers, Inc pesado. a) Determine la distancia d que el carro se desliza
una posición vertical (con el eje sin fricción en la parte baja) hacia arriba como función de n. Evalúe la distancia para b)
y cae bajo la influencia de la gravedad. ¿Qué fracción de la n 2, c) n 12 y d) n 0. e) ¿La expresión en el inciso a)
longitud de la barra tiene una aceleración tangencial mayor se aplica a todos los valores enteros de n o sólo para qué valo-
que g sen V, donde V es el ángulo que la chimenea forma con res? Explique. f) Describa la forma de una gráfica de d con n.
el eje vertical? g) ¿Algunos datos son innecesarios para la solución? Explique.
h) Contraste el significado de la conservación de energía que
Figura P10.59 Un sitio de demolición de edificio en Baltimore, se usó en el enunciado de este problema y como se usó en
Maryland. A la izquierda está una chimenea, la mayor parte oculta por el capítulo 8. i) Encuentre la magnitud de la aceleración del
el edificio, que se rompió en su camino hacia abajo. Compare con la carro del elevador que se desliza, dependiente de n.
figura 10.18. 63. ; La figura P10.63 es una fotografía de un aspersor. Su rotor
consiste en tres tubos metálicos que se llenan con agua cuando
60. Problema de repaso. Una batidora consiste en tres delgadas una manguera se conecta a la base. A medida que el agua rocía
barras, cada una de 10.0 cm de longitud. Las barras divergen desde los hoyos en los extremos de los brazos y el hoyo cerca
de un eje central, separadas unas de otras en 120°, y todas del centro de cada brazo, el ensamble con los tres brazos da
giran en el mismo plano. Una bola se une al final de cada vueltas. Para analizar esta situación, haga las siguientes suposi-
barra. Cada bola tiene área de sección transversal de 4.00 cm2 ciones: 1) Los brazos se modelan como delgadas barras rectas,
y está tan moldeada que tiene un coeficiente de arrastre de cada una de longitud L. 2) El agua que viene del hoyo a la
0.600. Calcule la potencia de entrada que se requiere para distancia desde el centro rocía horizontalmente, paralelo al
girar la batidora a 1 000 rev/min a) en aire y b) en agua. suelo y perpendicular al brazo. 3) El agua emitida de los hoyos
en los extremos de los brazos rocía radialmente hacia afuera
61. Una cuerda de nailon ligero de 4.00 m de largo se devana desde el centro del rotor. Cuando está lleno con agua, cada
alrededor de un carrete cilíndrico uniforme de 0.500 m de brazo tiene masa m. El centro del ensamble no tiene masa. El
radio y 1.00 kg de masa. El carrete se monta sobre un eje sin agua expulsada de un hoyo a la distancia desde el centro
fricción e inicialmente está en reposo. La cuerda se jala del causa una fuerza de empuje F sobre el brazo que contiene el
carrete con una aceleración constante de 2.50 m/s2 de magni- hoyo. El montaje para el ensamble del rotor de tres brazos
tud. a) ¿Cuánto trabajo se consumió en el carrete cuando éste ejerce un momento de torsión friccionante que se describe
llega a una rapidez angular de 8.00 rad/s? b) Si supone que mediante U bW, donde W es la rapidez angular del ensam-
hay suficiente cuerda en el carrete, ¿cuánto tarda el carrete en ble. a) Imagine que el aspersor está en operación. Encuentre
llegar a esta rapidez angular? c) ¿Hay suficiente cuerda en el una expresión para la rapidez angular constante con la que
carrete? da vueltas el ensamble después de completar un periodo inicial
de aceleración angular. Su expresión debe estar en términos de
62. ; Un sistema de elevador en un edificio alto consiste en un F,
Problemas 307
64. Un eje gira a 65.0 rad/s en el tiempo t 0. De ahí en adelante, y observa que gotas de agua vuelan tangencialmente. Ella mide
su aceleración angular se conoce por la altura que alcanzan las gotas que se mueven verticalmente
(figura P10.67). Una gota que salta de la llanta en una vuelta
B 10.0 rad/s2 5.00t rad/s2 se eleva una distancia h1 sobre el punto tangente. Una gota
que sale en la siguiente vuelta se eleva una distancia h2 h1
donde t es el tiempo transcurrido. a) Encuentre su rapidez sobre el punto tangente. La altura a la que se elevan las gotas
angular en t 3.00 s. b) ¿Cuánto ha girado en estos 3 s? disminuye debido a que disminuye la rapidez angular de la
65. Una barra larga uniforme de longitud L y masa M se articula rueda. A partir de esta información, determine la magnitud
en torno a un eje horizontal sin fricción a través de un extre- de la aceleración angular promedio de la rueda.
mo. La barra se libera, casi del reposo en una posición vertical, 69. Un carrete uniforme hueco tiene radio interior R/2, radio
como se muestra en la figura P10.65. En el instante cuando la exterior R y masa M (figura P10.69). Está montado de modo
barra está horizontal, encuentre: a) su rapidez angular, b) la que da vueltas sobre un eje horizontal fijo. Un contrapeso de
magnitud de su aceleración angular, c) las componentes x y y masa m se conecta al extremo de una cuerda enrollada alrede-
de la aceleración de su centro de masa y d) las componen- dor del carrete. El contrapeso cae desde el reposo en t 0 a
tes de la fuerza de reacción en el eje. una posición y en el tiempo t. Demuestre que el momento de
torsión debido a las fuerzas de fricción entre carrete y eje es
y
2y 5y
L tf R c m a g t 2 b M 4t 2 d
Pivote x M
Figura P10.65
66. Un cordón se enrolla alrededor de una polea de masa m y R/2 m
radio r. El extremo libre del cordón está conectado a un blo- R/2 y
que de masa M. El bloque parte del reposo y luego se desliza
por un plano inclinado que forma un ángulo V con la horizon- Figura P10.69
tal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano
es N. a) Use métodos energéticos para mostrar que la rapidez 70. a) ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la Tierra en torno
del bloque como función de la posición d por el plano es a su eje de giro? Modele la Tierra como una esfera uniforme
y use datos de los forros del texto. b) La energía cinética ro-
4gdM 1senu m cos u2 tacional de la Tierra disminuye de manera estable debido a
v la fricción de las mareas. Encuentre el cambio en un día, si
supone que el periodo rotacional aumenta 10.0 Ns cada año.
m 2M
71. Dos bloques, como se muestra en la figura P10.71, están co-
b) Encuentre la magnitud de la aceleración del bloque en tér- nectados mediante una cuerda de masa despreciable que pasa
minos de N, m, M, g y V. sobre una polea de 0.250 m de radio y momento de inercia I.
67. Una bicicleta se pone de cabeza mientras su propietario repara El bloque sobre el plano inclinado sin fricción se mueve hacia
una llanta ponchada. Una amiga gira la otra rueda, de 0.381 m arriba con una aceleración constante de 2.00 m/s2. a) Deter-
de radio, y observa que gotas de agua vuelan tangencialmente. mine T1 y T2, las tensiones en las dos partes de la cuerda. b)
Ella mide la altura que alcanzan las gotas que se mueven ver- Encuentre el momento de inercia de la polea.
ticalmente (figura P10.67). Una gota que salta de la llanta en
una vuelta alcanza h 54.0 cm sobre el punto tangente. Una
gota que sale en la siguiente vuelta se eleva 51.0 cm sobre el
punto tangente. La altura a la que se elevan las gotas disminu-
ye debido a que disminuye la rapidez angular de la rueda. A
partir de esta información, determine la magnitud de la ace-
leración angular promedio de la rueda.
2.00 m/s2
h T1 T2
m 2 20.0 kg
15.0 kg
m1
37.0
Figura P10.71
Figura P10.67 Problemas 67 y 68. 72. El carrete que se muestra en la figura P10.72 tiene radio R y
momento de inercia I. Un extremo del bloque de masa m se
68. Una bicicleta se pone de cabeza mientras su propietario repara conecta a un resorte con constante de fuerza k, y el otro extre-
una llanta ponchada. Una amiga gira la otra rueda, de radio R, mo se amarra a una cuerda enrollada alrededor del carrete.
El eje del carrete y el plano inclinado no tienen fricción. El
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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308 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
carrete se enrolla contra las manecillas del reloj de modo que aterrizará el objeto? Exprese su respuesta en términos de h, g
el resorte se estira una distancia d desde su posición no estira- y la rapidez angular W de la Tierra. Ignore la resistencia del
da y luego el carrete se libera desde el reposo. a) Encuentre la aire y suponga que la aceleración en caída libre es constante
rapidez angular del carrete cuando el resorte nuevamente está en este intervalo de alturas. b) Evalúe el desplazamiento hacia
en su posición normal (no estirada). b) Evalúe numéricamen- el este para h = 50.0 m. c) A su juicio, ¿está justificado ignorar
te la rapidez angular en este punto, considere I
Problemas 309
sobre la parte baja del bucle de radio R, mucho mayor que r. c) Si el cilindro parte del reposo y rueda sin deslizarse, ¿cuál
a) ¿Cuál es el valor mínimo de h (en términos de R) tal que la es la rapidez de su centro de masa después de que rodó una
esfera completa el bucle? b) ¿Cuáles son las componentes de distancia d ?
la fuerza neta sobre la esfera en el punto P si h 3R? 84. Un tablón con masa M 6.00 kg monta sobre lo alto de dos
rodillos cilíndricos sólidos idénticos que tienen R 5.00 cm y
m m 2.00 kg (figura P10.84). Al tablón lo jala una fuerza hori-
hR S
P
zontal constante F de 6.00 N de magnitud aplicada al extremo
del tablón y perpendicular a los ejes de los cilindros (que son
paralelos). Los cilindros ruedan sin deslizarse sobre una super-
ficie plana. Tampoco hay deslizamiento entre los cilindros y el
tablón. a) Encuentre la aceleración del tablón y de los rodillos.
b) ¿Qué fuerzas de fricción actúan?
Figura P10.79 MF
mR mR
80. Una barra delgada de 0.630 kg de masa y 1.24 m de longitud Figura P10.84
está en reposo, colgando verticalmente de una bisagra fuerte
fija en su extremo superior. Súbitamente se le aplica una fuer- 85. Un carrete de hilo consiste en un cilindro de radio R1 con
za impulsiva horizontal (14.7ˆi) N. a) Suponga que la fuerza tapas laterales de radio R2, como se muestra en la vista lateral
actúa en el extremo inferior de la barra. Encuentre la acelera- que se ilustra en la figura P10.85. La masa del carrete, incluido
ción de su centro de masa y la fuerza horizontal que ejerce la el hilo, es m, y su momento de inercia en torno a un eje a través
bisagra. b) Suponga que la fuerza actúa en el punto medio de de su centro es I. El carrete se coloca sobre una superficie ho-
la barra. Encuentre la aceleración de este punto y la reacción rizontal rugosa de modo que rueda sin deslizarse cuando una
horizontal de la bisagra. c) ¿Dónde se puede aplicar el impulso
de modo que la bisagra no ejerza fuerza horizontal? Este punto S
se llama centro de percusión.
fuerza T que actúa hacia la derecha se aplica al extremo libre
81. a) Una delgada barra de longitud h y masa M se mantiene del hilo. Demuestre que la magnitud de la fuerza de fricción
verticalmente con su extremo inferior descansando sobre que ejerce la superficie sobre el carrete se conoce por
una superficie horizontal sin fricción. Luego la barra se libera
para caer libremente. Determine la rapidez de su centro de f aI mR1R2 b T
masa justo antes de golpear la superficie horizontal. b) ¿Qué I mR22
pasaría si? Ahora suponga que la barra tiene un eje fijo en su
extremo inferior. Determine la rapidez del centro de masa de Determine la dirección de la fuerza de fricción.
la barra justo antes de golpear la superficie.
R2
82. Después de la cena de acción de gracias, su tío cae en un pro- R1
fundo sueño, sentado justo frente al aparato de televisión. Un
travieso nieto equilibra una pequeña uva esférica en lo alto T
de su cabeza calva, que en sí tiene la forma de una esfera.
Después de que todos los niños han tenido tiempo de reír Figura P10.85
nerviosamente, la uva parte del reposo y rueda sin deslizarse.
La uva pierde contacto con la calva de su tío cuando la línea
radial que la une con el centro de curvatura forma ¿qué án-
gulo con la vertical?
83. Un carrete de alambre de masa M y radio R se desenrolla bajo
S
una fuerza constante F(figura P10.83). Si supone que el carre-
te es un cilindro sólido uniforme que no se desliza, demuestre
S
que a) la aceleración del centro de masa es 4F/3M y b) la
fuerza de fricción es hacia la derecha e igual en magnitud a F/3.
F 86. ; Un gran rollo de papel higiénico, de radio inicial R, yace
sobre una larga superficie horizontal con el extremo exterior
M del papel clavado a la superficie. Al rollo se le da un pequeño
R empujón (vi y
310 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
Respuestas a las preguntas rápidas
10.1 i), c). Para una rotación de más de 180°, el desplazamiento 10.5 i), b). El mango más gordo del destornillador le da un brazo
angular debe ser mayor que Q 3.14 rad. Los desplazamien- de momento más grande y aumenta el momento de torsión
tos angulares en las tres opciones son a) 6 rad 3 rad que puede aplicar con una cierta fuerza de su mano. ii),
3 rad, b) 1 rad ( 1) rad 2 rad y c) 5 rad 1 rad a). El mango más largo de la llave le da un brazo de momen-
4 rad. ii), b). Ya que todos los desplazamientos angulares to más grande y aumenta el momento de torsión que puede
se presentan en el mismo intervalo de tiempo, el desplaza- aplicar con una cierta fuerza de su mano.
miento con el valor más bajo estará asociado con la rapidez
angular promedio más baja. 10.6 b). Con el doble de momento de inercia y el mismo mo-
mento de torsión friccionante, hay la mitad de aceleración
10.2 b). En la ecuación 10.8, las magnitudes de velocidad inicial y angular. Con la mitad de la aceleración angular, requerirá el
final son iguales en los tres casos. Como resultado, la acelera- doble de largo para cambiar la rapidez a cero.
ción angular es inversamente proporcional al desplazamien-
to angular. En consecuencia, la mayor aceleración angular 10.7 b). Toda la energía potencial gravitacional del sistema caja–
se asocia con el menor desplazamiento angular. Tierra se transforma en energía cinética de traslación. Para
la bola, parte de la energía potencial gravitacional del siste-
10.3 i), b). El sistema de la plataforma, Alex, y Brian es un objeto ma bola–Tierra se transforma en energía cinética rotacional,
rígido, así que todos los puntos en el objeto rígido tienen lo que deja menos para energía cinética traslacional, de
la misma rapidez angular. ii), a). La rapidez tangencial es modo que la bola se mueve colina abajo más lentamente
proporcional a la distancia radial desde el eje de rotación. que la caja.
10.4 a). Casi toda la masa de la tubería está a la misma distancia
del eje de rotación, de modo que tiene un momento de iner-
cia más grande que el cilindro sólido.
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
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11.1 Producto vectorial y momento de torsión
11.2 Cantidad de movimiento angular: el sistema no aislado
11.3 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido
giratorio
11.4 El sistema aislado: conservación de cantidad
de movimiento angular
11.5 El movimiento de giroscopios y trompos
Una clavadista competitiva experimenta una rotación durante un
clavado. Ella logra girar a una rapidez más alta cuando dobla su cuerpo
y forma con él un paquete más pequeño, esto se debe al principio de
conservación de cantidad de movimiento angular, como se explica en
este capítulo. (The Image Bank/Getty Images)
11 Cantidad de movimiento
angular
El tema central de este capítulo es la cantidad de movimiento angular, una cantidad que z
tiene un papel clave en la dinámica rotacional. En analogía con el principio de conserva-
ción de cantidad de movimiento lineal para un sistema aislado, la cantidad de movimiento
angular de un sistema se conserva si sobre el sistema no actúan momentos de torsión exter-
nos. Como la ley de conservación de cantidad de movimiento lineal, la ley de conservación
de cantidad de movimiento angular es una ley fundamental de la física, igualmente válida
para sistemas relativistas y cuánticos.
tϭ r ؋F
11.1 Producto vectorial y momento de torsión
Una importante consideración al definir la cantidad de movimiento angular es el proceso O y
r
de multiplicar dos vectores mediante la operación llamada producto vectorial. El producto
vectorial se introducirá al considerar la naturaleza vectorial del momento de torsión.
S
Considere una fuerza que actúa sobre un objeto rígido en la posición vectorial Sr (fi- P
F xf
gura 11.1). Como se vio en la sección 10.6, la magnitud del momento de torsión debido a F
esta fuerza en torno a un eje a través del origen es rF sen f, donde f es el ángulo entre Sr y
SS
F. El eje en torno al que F tiende a producir rotación es perpendicular al plano formado
S
por Sr y S
F.
F.
El vector momento de torsión tS se relaciona con los dos vectores Sr y Es posible esta- Figura 11.1 El vector momento
S de torsión tS se encuentra en una
blecer una correspondencia matemática entre tS, Sr y al usar una operación matemática
F dirección perpendicular al plano
llamada producto vectorial o producto cruz: formado por el vector de posición
tS Sr S (11.1) Sr y el vector fuerza aplicada S
F F.
www.elsolucionario.net 311
312 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
PREVENCIÓN DE RIESGOS Ahora se dará una definición formal del producto vectorial. Dados dos vectores cuales-
OCULTOS 11.1 S S S S S
El producto cruz es un vector quiera y el producto vectorial 3 se define como un tercer vector , que tiene una
Recuerde que el resultado de A B, A B S S S C
tomar un producto cruz entre
dos vectores es un tercer vector. magnitud de AB sen u, donde u es el ángulo entre A y B. Es decir, si C se conoce por
La ecuación 11.3 sólo da la
magnitud de este vector. SS S (11.2)
CA B
Propiedades del ᮣ
producto vectorial su magnitud es
Productos cruz de ᮣ C ϭ AB sen u (11.3)
vectores unitarios
La cantidad AB sen u es igual al área del paralelogramo formado por S y S como se
A B,
S SS
muestra en la figura 11.2. La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y B,
y la mejor forma de determinar esta dirección es usar la regla de la mano derecha, que
se ilustra en la figura 11.2. Los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de
S S
y luego “se enrollan” hacia a través del ángulo u. La dirección del pulgar recto hacia
A S B S S
S S
arriba es la dirección de A 3 5 C. Debido a la notación, A 3 con frecuencia se lee “
SS B B
A cruz B”, por esto el término producto cruz.
Algunas propiedades del producto vectorial que se siguen de su definición son:
1. A diferencia del producto escalar, el producto vectorial no es conmutativo. En vez
de ello, el orden en que los dos vectores se multiplican en un producto cruz es im-
portante:
SS SS (11.4)
AB BA
Por lo tanto, si cambia el orden de los vectores en un producto cruz, debe cambiar el
signo. Esta correspondencia se verifica fácilmente con la regla de la mano derecha.
S S S S
2. Si es paralelo a (u ϭ 0 o 180°), en tal caso 3 ϭ 0; en consecuencia, se sigue
A S S B A B
que A 3 A ϭ 0.
S S S BS 0 ϭ AB.
3. Si es perpendicular a tal caso 0 3
A B, en A
4. El producto vectorial obedece la ley distributiva:
S SS S SS S (11.5)
A 1B C2 A B A C
5. La derivada del producto cruz respecto de alguna variable como t es
SS
d dA dB
1 S S 2 S S (11.6)
A B B A
dt dt dt
donde es importante mantener el orden multiplicativo de los términos en el lado
derecho a la vista de la ecuación 11.4.
Se deja como ejercicio (problema 10) demostrar a partir de las ecuaciones 11.3 y 11.4,
y de la definición de vectores unitarios, que los productos cruz de los vectores unitarios ˆi,
ˆj y ˆk obedecen las siguientes reglas:
ˆi ˆi ˆj ˆj ˆk ˆk 0 (11.7a)
ˆi ˆj ˆj ˆi ˆk (11.7b)
Regla de la mano derecha
C؍A؋B
A
u
B
؊C ؍B ؋ A
Figura 11.2 El producto vectorial S 3 S es un tercer vector S que tiene una magnitud AB sen u igual
A B C
SS
al área del paralelogramo que se muestra. La dirección de C es perpendicular al plano formado por A y
S
B y esta dirección está determinada por la regla de la mano derecha.
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Sección 11.1 Producto vectorial y momento de torsión 313
ˆj ˆk ˆk ˆj ˆi (11.7c)
ˆk ˆi ˆi ˆk ˆj (11.7d)
Los signos son intercambiables en los productos cruz. Por ejemplo, S 3(ϪBS ) ϭ Ϫ S 3 S
A A B
o ˆi 3 (Ϫ ˆj) ϭ Ϫ ˆi 3 ˆj.
SS
El producto cruz de dos vectores cualesquiera A y B se expresa en la forma de deter-
minantes siguiente:
ˆi ˆj ˆk ` Ay Az ` ˆi ` Az Ax ` ˆj ` Ax Ay ` ˆk
By Bz Bz Bx Bx By
S S † Ax Ay Az †
A B
Bx By Bz
Expandir estos determinantes da como resultado
S S 1AyBz AzBy 2 ˆi 1AzBx AxBz 2 ˆj 1AxBy AyBx 2 ˆk (11.8)
A B
Conocida la definición del producto cruz, ahora se puede asignar una dirección al vector
momento de torsión. Si la fuerza se encuentra en el plano xy, como en la figura 11.1,
el momento de torsión tS se representa mediante un vector paralelo al eje z. La fuerza en
la figura 11.1 crea un momento de torsión que tiende a dar vuelta al objeto contra las
manecillas del reloj en torno al eje z; la dirección de tS es hacia z creciente, y por lo tanto
S
tS está en la dirección z positiva. Si en la figura 11.1 se invierte la dirección de tS estaría
F,
en la dirección z negativa.
Pregunta rápida 11.1 ¿Cuál de los siguientes enunciados acerca de la correspondencia
entre la magnitud del producto cruz de dos vectores y el producto de las magnitudes
S S S S
de los vectores es verdadero? a) 0 3 0 es mayor que AB. b) 0 3 0 es menor que AB.
S S A B A B
c) 0 A 3 B 0 podría ser mayor o menor que AB, dependiendo del ángulo entre los vectores.
S S
d) 0 3 0 podría ser igual a AB.
A B
EJEMPLO 11.1 El producto vectorial
Dos vectores que se encuentran en el plano xy se conocen por las ecuaciones S ϭ 2ˆi ϩ 3ˆj y S ϭ Ϫˆi ϩ 2ˆj. Encuen-
S S S S ϪBS S
A B
A B A B A.
tre 3 y verifique que 3 ϭ 3
SOLUCIÓN
Conceptualizar Conocidas las notaciones en vectores unitarios de los vectores, piense en qué direcciones apuntan los
vectores en el espacio. Imagine el paralelogramo que se muestra en la figura 11.2 para estos vectores.
Categorizar Ya que se usa la definición del producto cruz explicada en esta sección, este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
Escriba el producto cruz de los dos vectores: S S 12ˆi 3ˆj 2 1 ˆi 2ˆj 2
A B
Realice la multiplicación: S S 2ˆi 1 ˆi 2 2ˆi 2ˆj 3ˆj 1 ˆi 2 3ˆj 2ˆj
A B
Aplique las ecuaciones de la 11.7a a la 11.7d para eva- S S 0 4ˆk 3ˆk 0 7ˆk
luar los diversos términos:
A B
Para verificar que S 3 S ϭ ϪBS 3 S evalúe S 3 S SS 1 ˆi 2ˆj 2 12ˆi 3ˆj 2
A B A, B A: BA
Realice la multiplicación: SS 1 ˆi 2 2ˆi 1 ˆi 2 3ˆj 2ˆj 2ˆi 2ˆj 3ˆj
BA
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314 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
Aplique las ecuaciones de la 11.7a a la 11.7d para evaluar S S 0 3ˆk 4ˆk 0 7ˆk
los diversos términos:
B A
Por lo tanto, S 3 S ϭ ϪBS 3 S Como un método alternativo para encontrar S 3 S podría usar la ecuación 11.8. ¡Inténtelo!
A B A. A B,
EJEMPLO 11.2 El vector momento de torsión
Una fuerza de S ϭ (2.00ˆi ϩ 3.00ˆj) N se aplica a un objeto que es articulada en torno a un eje fijo alineado a lo largo del eje co-
F
ordenado z. La fuerza se aplica a un punto ubicado en Sr ϭ (4.00ˆi ϩ 5.00ˆj) m. Encuentre el vector momento de torsión tS.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Conocidas las notaciones en vectores unitarios, piense en las direcciones de los vectores fuerza y de posi-
ción. Si esta fuerza se aplicara en esta posición, ¿en qué dirección giraría un objeto con eje en el origen?
Categorizar Ya que se usa la definición del producto cruz explicado en esta sección, este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
Configure el vector momento de torsión con la ecua- tS Sr S 3 14.00ˆi 5.00ˆj 2 m 4 3 12.00ˆi 3.00ˆj 2 N4
ción 11.1:
F
Realice la multiplicación: tS 3 14.00 2 12.00 2 ˆi ˆi 14.00 2 13.00 2 ˆi ˆj
15.002 12.002ˆj ˆi 15.002 13.002ˆj ˆj 4 N # m
Use las ecuaciones de la 11.7a a la 11.7d para evaluar los tS 3 0 12.0ˆk 10.0ˆk 0 4 N # m 2.0ˆk N # m
diversos términos:
Note que tanto Sr como S están en el plano xy. Como se esperaba, el vector momento de torsión es perpendicular a este
F
plano, y tiene sólo una componente z. Se siguieron las reglas para cifras significativas que se explicaron en la sección 1.6,
lo que condujo a una respuesta con dos cifras significativas. Se perdió algo de precisión porque se terminó por restar dos
números cercanos.
11.2 Cantidad de movimiento angular:
el sistema no aislado
Imagine un poste recto, rígido y vertical a través del hielo en un lago helado (figura 11.3).
Una patinadora se desliza rápidamente hacia el poste, sin chocar con él. Conforme se acer-
ca al poste, estira su mano y lo sujeta, una acción que la hace moverse en una trayectoria
circular alrededor del poste. Así como la idea de la cantidad de movimiento lineal ayuda
a analizar el movimiento traslacional, un análogo rotacional, la cantidad de movimiento an-
gular, ayuda a analizar el movimiento de esta patinadora y otros objetos que experimentan
movimiento rotacional.
En el capítulo 9 se desarrolló la forma matemática de la cantidad de movimiento lineal
y después se procedió a mostrar cómo esta nueva cantidad era valiosa en la resolución de
problemas. Para la cantidad de movimiento angular se seguirá un procedimiento similar.
Considere una partícula de masa m ubicada en la posición vectorial Sr y móvil con can-
tidad de movimiento lineal Sp como en la figura 11.4. Al describir el movimiento traslacio-
nal se encontró que la fuerza neta en la partícula es igual a la relación de cambio en el
S
tiempo de su cantidad de movimiento lineal, © ϭ d Sp/dt (véase la ecuación 9.3). Tome
F
Figura 11.3 Mientras la el producto cruz de cada lado de la ecuación 9.3 con Sr , lo que da el momento de torsión
patinadora pasa al lado del poste,
se sujeta de él, lo que la hace girar neto en la partícula en el lado izquierdo de la ecuación:
rápidamente alrededor del poste
en una trayectoria circular. Sr S tS Sr d pS
dt
F
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Sección 11.2 Cantidad de movimiento angular: el sistema no aislado 315
Ahora agregue al lado derecho el término (d Sr /dt 3 Sp), que es cero porque d Sr /dt ϭ Sv y
Sv y Sp son paralelos. En consecuencia
tS Sr dpS dSr pS
dt dt
El lado derecho de esta ecuación se reconoce como la derivada de Sr 3 Sp (véase la ecuación
11.6). Por lo tanto,
tS d 1Sr pS 2 (11.9)
dt
que es muy similar en forma a la ecuación 9.3, © S ϭ dSp/dt. Este resultado sugiere que la
F
combinación Sr 3 Sp participa en la misma disertación, en el movimiento rotacional, así
como Sp en el movimiento traslacional. A esta combinación se le conoce como cantidad de
movimiento angular de la partícula:
S ᮤ Cantidad de movimiento
angular de una partícula
La cantidad de movimiento angular instantánea L de una partícula en relación con
un eje a través del origen O se define mediante el producto cruz del vector de
posición instantáneo de la partícula Sr y su cantidad de movimiento lineal instantá-
nea Sp:
S Sr pS (11.10)
L
Ahora la ecuación 11.9 se puede escribir como z
L ؍r؋ p
S (11.11)
tS d L
dt
O y
r mp
que es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton © S ϭ d Sp/dt. El momento de
S
F
torsión hace que la cantidad de movimiento angular L cambie, tal como la fuerza hace que f
x
cambie la cantidad de movimiento lineal Sp. La ecuación 11.11 afirma que el momento de
torsión que actúa sobre una partícula es igual a la relación de cambio en el tiempo de la Figura 11.4 La cantidad de
S
cantidad de movimiento angular de la partícula. S
movimiento angular L de una
L
Note que la ecuación 11.11 sólo es válida si © tS y se miden en torno al mismo eje. partícula con cantidad de
Además, la expresión es válida para cualquier eje fijo en un marco inercial. movimiento lineal Sp ubicada
en la posición vectorial Sr es un
La unidad del SI de la cantidad de movimiento angular es kg и m2/s. Note también que S Sr Sp.
S vector conocido por ϭ 3
tanto la magnitud como la dirección de L dependen de la elección del eje. Al seguir la L
S
S
regla de la mano derecha, se ve que la dirección de L es perpendicular al plano que for- El valor de L depende del eje en
man Sr y Sp. En la figura 11.4, Sr y Sp están en el plano xy, así que S apunta en la dirección z. torno al que se mida y es un vector
S perpendicular tanto a Sr como a Sp.
L
L
Ya que Sp ϭ m Sv, la magnitud de es
L ϭ mvr sen f (11.12)
donde f es el ángulo entre Sr y Sp. Se sigue que L es cero cuando Sr es paralelo a Sp (f ϭ 0 PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 11.2
o 180°). En otras palabras, cuando la velocidad traslacional de la partícula es a lo largo de ¿La rotación es necesaria para la
cantidad de movimiento angular?
una línea que pasa a través del eje, la partícula tiene cantidad de movimiento angular cero
respecto al eje. Por otra parte, si Sr es perpendicular a Sp (f ϭ 90°), en tal caso L ϭ mvr. En Se puede definir cantidad de
movimiento angular incluso si
dicho instante, la partícula se mueve exactamente como si estuviera en el borde de una la partícula no se mueve en una
rueda giratoria en torno al eje en un plano definido por Sr y Sp. trayectoria circular. Aun cuando
una partícula se mueva en una
Pregunta rápida 11.2 Recuerde a la patinadora descrita al principio de esta sección. línea recta tiene cantidad de
Considere que su masa es m. i) ¿Cuál sería su cantidad de movimiento angular en rela- movimiento angular en torno a
ción con el poste en el instante en que está a una distancia d del poste si ella patinara cualquier eje desplazado de la
directamente hacia él con rapidez v? a) cero, b) mvd, c) imposible de determinar. ii) trayectoria de la partícula.
¿Cuál sería su cantidad de movimiento angular en relación con el poste en el instante en
que está a una distancia d del poste si patinara con rapidez v a lo largo de una trayectoria
recta que está a una distancia perpendicular a desde el poste? a) cero, b) mvd, c) mva,
d) imposible de determinar.
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316 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
EJEMPLO 11.3 Cantidad de movimiento angular de una partícula en movimiento circular
Una partícula se mueve en el plano xy en una trayectoria circular de radio r, como se y
v
muestra en la figura 11.5. Encuentre la magnitud y dirección de su cantidad de mo-
vimiento angular en relación con un eje a través de O cuando su velocidad es Sv.
SOLUCIÓN m
r
Conceptualizar La cantidad de movimiento lineal de la partícula cambia en
dirección (pero no en magnitud). Por lo tanto, debe estar tentado a concluir que x
la cantidad de movimiento angular de la partícula siempre cambia. Sin embargo, O
en esta situación, este no es el caso. Vea por qué.
Figura 11.5 (Ejemplo 11.3) Una partícula
Categorizar Use la definición de la cantidad de movimiento angular de una
partícula explicada en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un móvil en un círculo de radio r tiene una
problema de sustitución.
cantidad de movimiento angular en torno
a un eje a través de O que tiene magnitud
S
Aplique la ecuación 11.12 para evaluar la magnitud L mvr sen 90° mvr mvr. El vector ϭ Sr 3 Sp apunta hacia
S L
de L: afuera de la página.
S
Este valor de L es constante porque los tres factores a la derecha son constantes. La dirección de L también es constante, aun
cuando la dirección de Sp ϭ mSv siga cambiando. Para verificar esta afirmación, aplique la regla de la mano derecha para encon-
S
trar la dirección de ϭSr 3 Sp ϭ m Sr 3 Sv en la figura 11.5. Su pulgar apunta hacia arriba y se aleja de la página, así que esta es
S L S
(mvr)ˆk.
la dirección de L. En consecuencia, se puede escribir la expresión vectorial L ϭ Si la partícula se moviera en sentido de
S S
las manecillas del reloj, apuntaría hacia abajo y adentro de la página y ϭ Ϫ (mvr)ˆk. Una partícula en movimiento circular
L L
uniforme tiene una cantidad de movimiento angular constante en torno a un eje a través del centro de su trayectoria.
Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas
En la sección 9.6 se mostró que la segunda ley de Newton para una partícula se podía
extender a un sistema de partículas, lo que resulta en
S d pStot
dt
Fext
Dicha ecuación establece que la fuerza externa neta sobre un sistema de partículas es igual
a la rapidez de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento lineal total del sistema.
Vea si es posible hacer un enunciado similar para movimiento rotacional. La cantidad de
movimiento angular total de un sistema de partículas en torno a algún eje se define como la
suma vectorial de las cantidades de movimiento angulares de las partículas individuales:
S SS p S S
Ltot L1 L2 Ln Li
i
donde la suma vectorial es sobre las n partículas del sistema.
La derivación de esta ecuación respecto al tiempo produce
S S tSi
d Ltot d Li i
dt i dt
donde se usó la ecuación 11.11 para sustituir la rapidez de cambio en el tiempo de la
cantidad de movimiento angular de cada partícula con el momento de torsión neto en
la partícula.
Los momentos de torsión que actúan sobre las partículas del sistema son aquellos aso-
ciados con fuerzas internas entre las partículas y aquellos asociados con fuerzas externas.
Sin embargo, el momento de torsión neto asociado con todas las fuerzas internas es cero.
Recuerde que la tercera ley de Newton dice que las fuerzas internas entre las partículas
del sistema son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Si supone que estas fuer-
zas se encuentran a lo largo de la línea de separación de cada par de partículas, el momen-
to de torsión total alrededor de algún eje que pasa a través de un origen O debido a cada
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Sección 11.2 Cantidad de movimiento angular: el sistema no aislado 317
par de fuerza acción–reacción es cero (es decir: el brazo de momento d, desde O hasta la
línea de acción de las fuerzas, es igual para ambas partículas y las fuerzas están en direc-
ciones opuestas). Por lo tanto, en la suma el momento de torsión interno neto es cero. Se
concluye que la cantidad de movimiento angular total de un sistema varía con el tiempo
sólo si un momento de torsión externo neto actúa sobre el sistema:
S
dLtot
tSext dt (11.13) ᮤ El momento de torsión
externo neto sobre un
De hecho esta ecuación es el análogo rotacional de © S ϭ dSptot/dt para un sistema de sistema es igual a la
rapidez de cambio en el
Fext tiempo de la cantidad de
movimiento angular del
partículas. La ecuación 11.13 es la representación matemática de la versión de cantidad sistema
de movimiento angular del modelo de sistema no aislado. Si un sistema no es aislado en
el sentido que existe un momento de torsión neto sobre él, el momento de torsión es igual
a la rapidez de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento angular.
Aunque no se comprueba en este caso, este enunciado es verdadero sin importar el
movimiento del centro de masa. Incluso se aplica si el centro de masa acelera, siempre
que el momento de torsión y la cantidad de movimiento angular se evalúen en relación
con un eje a través del centro de masa.
EJEMPLO 11.4 Un sistema de objetos v
Una esfera de masa m1 y un bloque de masa m2 están conectados mediante una m2
cuerda ligera que pasa sobre una polea, como se muestra en la figura 11.6. El radio R
de la polea es R, y la masa del borde delgado es M. Los rayos de la polea tienen
masa despreciable. El bloque se desliza sobre una superficie horizontal sin fric- v m1
ción. Encuentre una expresión para la aceleración lineal de los dos objetos, con
los conceptos de cantidad de movimiento angular y momento de torsión. Figura 11.6 (Ejemplo 11.4)
Cuando el sistema se libera, la esfera
SOLUCIÓN se mueve hacia abajo y el bloque se
mueve hacia la izquierda.
Conceptualizar Cuando el sistema se libera, el bloque se desliza hacia la izquier-
da, la esfera cae hacia abajo y la polea de vueltas contra las manecillas del reloj.
Esta situación es similar a problemas que se han resuelto con anterioridad, excepto
que ahora se quiere usar un planteamiento de cantidad de movimiento angular.
Categorizar El bloque, la polea y la esfera se identifican como un sistema no ais-
lado, sujeto al momento de torsión externo debido a la fuerza gravitacional en la esfera. Calcule la cantidad de movimiento
angular en torno a un eje que coincida con el eje de la polea. La cantidad de movimiento angular del sistema incluye la de
dos objetos (la esfera y el bloque)con movimiento traslacional y un objeto (la polea) que se somete a rotación pura.
Analizar En cualquier instante de tiempo, la esfera y el bloque tienen una rapidez común v, así que la cantidad de movi-
miento angular de la esfera es m1vR y la del bloque es m2vR. Al mismo instante, todos los puntos sobre el borde de la polea
también se mueven con rapidez v, de modo que la cantidad de movimiento angular de la polea es MvR.
Ahora aborde el momento de torsión externo total que actúa sobre el sistema en torno al eje de la polea. Ya que tiene un
brazo de momento cero, la fuerza que ejerce el eje sobre la polea no contribuye al momento de torsión. Además, la fuerza
normal que actúa sobre el bloque se equilibra mediante la fuerza gravitacional m2Sg, así que dichas fuerzas no contribuyen
al momento de torsión. La fuerza gravitacional m1Sg que actúa sobre la esfera produce un momento de torsión en torno al
eje, igual en magnitud a m1gR, donde R es el brazo de momento de la fuerza en torno al eje. Este resultado es el momento
de torsión externo total en torno al eje de la polea; esto es, ©text = m1gR.
Escriba una expresión para la cantidad de movimiento an- 1) L m1vR m2vR MvR 1m1 m2 M 2 vR
gular total del sistema:
Sustituya esta expresión y el momento de torsión externo text dL
total en la ecuación 11.13: dt
www.elsolucionario.net m1gR d 3 1m1 m2 M2 vR4
dt
2) m1gR 1m1 m2 M2 R dv
dt
318 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
Al reconocer que dv/dt ϭ a, resuelva la ecuación 2) para a: a m1g
m1 m2 M
Finalizar Al evaluar el momento de torsión neto en torno al eje, no se incluyeron las fuerzas que la cuerda ejerce en los
objetos porque dichas fuerzas son internas al sistema en consideración. En vez de ello, el sistema se analizó como un todo.
Sólo los momentos de torsión externos contribuyen al cambio en la cantidad de movimiento angular del sistema.
z 11.3 Cantidad de movimiento angular
v de un objeto rígido giratorio
L En el ejemplo 11.4 se consideró la cantidad de movimiento angular de un sistema de-
formable. Ahora la atención se restringe a un sistema no deformable, un objeto rígido.
Considere un objeto rígido giratorio en torno a un eje fijo que coincide con el eje z de un
sistema coordenado, como se muestra en la figura 11.7. Determine la cantidad de movi-
r y miento angular de este objeto. Cada partícula del objeto da vueltas en el plano xy en torno
mi vi al eje z con una rapidez angular v. La magnitud de la cantidad de movimiento angular
de una partícula de masa mi en torno al eje z es miviri. Ya que vi ϭ riv (ecuación 10.10), la
x
magnitud de la cantidad de movimiento angular de esta partícula se expresa como
Figura 11.7 Cuando un objeto Li mi ri2v
rígido da vueltas en torno a un El vector S se dirige a lo largo del eje z, como el vector vS .
eje, la cantidad de movimiento Li
S
Ahora se puede encontrar la cantidad de movimiento angular (que en esta situación
angular L está en la misma
sólo tiene una componente z) de todo el objeto al tomar la suma de Li sobre todas las
dirección que la velocidad angular partículas:
vS , de acuerdo con la expresión
S ϭ I vS . Lz Li m i ri 2v a m i ri 2 b v
L
ii i
Lz Iv (11.14)
donde miri 2 es el momento de inercia I del objeto en torno al eje z (ecuación 10.15).
i
Ahora derive la ecuación 11.14 respecto al tiempo, y note que I es constante para un
objeto rígido:
dLz dv Ia (11.15)
I
dt dt
donde a es la aceleración angular relativa al eje de rotación. Ya que dLz/dt es igual al
momento de torsión externo neto (véase la ecuación 11.13), la ecuación 11.15 se expresa
como
Forma rotacional de la ᮣ text Ia (11.16)
segunda ley de Newton
Esto es, el momento de torsión externo neto que actúa sobre un objeto rígido giratorio
en torno a un eje fijo es igual al momento de inercia en torno al eje de rotación multipli-
cado por la aceleración angular del objeto en relación con dicho eje. Este resultado es el
mismo que en la ecuación 10.21, que fue deducido con el uso de un planteamiento de
fuerza, pero la ecuación 11.16 se dedujo mediante el concepto de cantidad de movimiento
angular. Esta ecuación también es válida para un objeto rígido giratorio en torno a un eje
móvil siempre que el eje en movimiento 1) pase a través del centro de masa y 2) sea un
eje de simetría.
Si un objeto simétrico da vueltas en torno a un eje fijo que pasa a través de su centro
S S
de masa, puede escribir la ecuación 11.14 en forma vectorial como ϭ IvS , donde es la
L L
cantidad de movimiento angular total del objeto medida respecto al eje de rotación. Ade-
S
más, la expresión es válida para cualquier objeto, sin importar su simetría, si L representa
la componente de cantidad de movimiento angular a lo largo del eje de rotación.1
1 En general, la expresión S ϭ I vS no siempre es válida. Si un objeto rígido da vueltas en torno a un eje
S L
arbitrario, por lo tanto L y vS puede apuntar en diferentes direcciones. En este caso, el momento de inercia
no se trata como un escalar. En un sentido estricto, S ϭ I vS sólo se aplica a objetos rígidos de cualquier
L
forma que dan vueltas en torno a uno de tres ejes mutuamente perpendiculares (llamados ejes principales)
a través del centro de masa. Este concepto se explica en textos de mecánica más avanzados.
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Sección 11.3 Cantidad de movimiento angular de un objeto rígido giratorio 319
Pregunta rápida 11.3 Una esfera sólida y una esfera hueca tienen la misma masa y radio.
Ambas giran con la misma rapidez angular. ¿Cuál tiene la mayor cantidad de movimiento
angular? a) la esfera sólida, b) la esfera hueca, c) ambas tienen la misma cantidad de
movimiento angular, d) imposible de determinar.
EJEMPLO 11.5 Bola de boliche z
L
Estime la magnitud de la cantidad de movimiento angular de una bola de boliche que gira
a 10 rev/s, como se muestra en la figura 11.8. y
SOLUCIÓN x
Figura 11.8 (Ejemplo 11.5) Una
Conceptualizar Imagine girar una bola de boliche sobre el suelo uniforme de un boliche. bola de boliche que da vueltas en
Ya que una bola de boliche es relativamente pesada, la cantidad de movimiento angular torno al eje z en la dirección que
debe ser relativamente grande. se muestra tiene una cantidad
Categorizar La cantidad de movimiento angular se evalúa con la ecuación 11.14, de S
modo que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución.
de movimiento angular L en la
Comience por hacer algunas estimaciones de los parámetros físicos relevantes y modele dirección z positiva. Si la dirección
la bola como una esfera sólida uniforme. Una bola de boliche representativa puede tener
una masa de 7.0 kg y un radio de 12 cm. S
de rotación se invierte, L apunta
en la dirección z negativa.
Evalúe el momento de inercia de la bola en torno a I 52MR 2 2 17.0 kg 2 10.12 m 2 2 0.040 kg # m2
un eje a través de su centro, a partir de la tabla 10.2: 5
Evalúe la magnitud de la cantidad de movimiento Lz Iv 10.040 kg # m2 2 110 rev>s 2 12p rad>rev 2 2.53 kg # m2>s
angular de la ecuación 11.14:
Debido a lo burdo de las estimaciones, sólo se debe conservar una cifra significativa, así que Lz ϭ 3 kg и m2/s
EJEMPLO 11.6 El sube y baja
Un padre de masa mf y su hija de masa md se sientan en extremos opuestos de un sube y baja y
a iguales distancias desde el eje en el centro (figura 11.9). El sube y baja se modela como
una barra rígida de masa M y longitud ᐉ y se articula sin fricción. En cierto momento, la ᐉ
combinación da vueltas en un plano vertical con una rapidez angular v.
Ou x
A) Encuentre una expresión para la magnitud de la cantidad de movimiento angular del
sistema. mdg
SOLUCIÓN mf g
Conceptualizar Imagine un eje de rotación que pasa a través del eje en O en la figura Figura 11.9 (Ejemplo 11.6) Un
11.9. El sistema giratorio tiene cantidad de movimiento angular en torno a dicho eje. padre y su hija demuestran la
cantidad de movimiento angular
Categorizar Ignore cualquier movimiento de los brazos o piernas del padre y la hija y sobre un sube y baja.
represéntelos como partículas. Por lo tanto, el sistema se modela como un objeto rígido.
Esta primera parte del ejemplo se clasifica como un problema de sustitución.
El momento de inercia del sistema es igual a la suma de los momentos de inercia de las tres componentes: el sube y baja
y los dos individuos. Se puede remitir a la tabla 10.2 para obtener la expresión para el momento de inercia de la barra y usar
la expresión de partícula I ϭ mr2 para cada persona.
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320 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
/ 2 / 2 /2 a M
2 2 43
Encuentre el momento de inercia total del sistema en I 1 M/2 mf a b m d a b mf md b
torno al eje z a través de O : 12
Encuentre la magnitud de la cantidad de movimiento L Iv /2 a M mf md b v
angular del sistema: 43
B) Encuentre una expresión para la magnitud de la aceleración angular del sistema cuando el sube y baja forma un ángulo
u con la horizontal.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Por lo general, los padres son más pesados que las hijas, así que el sistema no está en equilibrio y tiene
una aceleración angular. Se espera que la aceleración angular sea positiva en la figura 11.9.
Categorizar El sistema se identifica como no aislado debido al momento de torsión externo asociado con la fuerza gravi-
tacional. De nuevo se identifica un eje de rotación que pasa a través del pivote en O en la figura 11.9.
Analizar Para encontrar la aceleración angular del sistema en cualquier ángulo u, primero calcule el momento de torsión
neto sobre el sistema y luego use © text ϭ Ia para obtener una expresión para a.
Evalúe el momento de torsión debido a la fuerza gravita- tf mf g / cos u 1tSf afuera de la página2
cional sobre el padre: 2
Evalúe el momento de torsión debido a la fuerza gravita- td mdg / cos u 1tSd hacia la página2
cional sobre la hija: 2
Evalúe el momento de torsión neto ejercido sobre el sis- text tf td 1 1 m f md 2 g / cos u
tema: 2
Use la ecuación 11.16 e I del inciso A) para encontrar a: a text 2 1mf md 2 g cos u
I / 3 1M>3 2 mf md 4
Finalizar Para un padre más pesado que su hija, la aceleración angular es positiva, como se esperaba. Si el sube y baja
comienza con una orientación horizontal (u ϭ 0) y se libera, la rotación es contra las manecillas del reloj en la figura 11.9
y el extremo del padre del sube y baja cae, lo que es consistente con la experiencia cotidiana.
¿Qué pasaría si? Imagine que el padre se mueve hacia adentro del sube y baja a una distancia d desde el eje para intentar
equilibrar los dos lados. ¿Cuál es la aceleración angular del sistema en este caso, cuando se libera desde un ángulo arbitra-
rio u ?
Respuesta La aceleración angular del sistema debe disminuir si el sistema está más equilibrado.
/ 2 /2 a M
2 43
Encuentre el momento de inercia total en torno al eje z a I 1 M/2 mf d2 m d a b md b mf d2
través de O para el sistema modificado: 12
Encuentre el momento de torsión neto ejercido sobre el text tf td mf gd cos u 12md g / cos u
sistema en torno a un eje a través de O : a text mf gd cos u 12md g / cos u
Encuentre la nueva aceleración angular del sistema: I 1/2>4 2 3 1M>3 2 md 4 mf d 2
El sube y baja se equilibra cuando la aceleración angular es cero. En esta situación, tanto padre como hija pueden empujar
desde el suelo y elevarse al punto más alto posible.
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Sección 11.4 El sistema aislado: conservación de cantidad de movimiento angular 321
Encuentre la posición requerida del padre al hacer a ϭ 0: a mf gd cos u 12mdg / cos u 0
1/2>4 2 3 1M>3 2 md 4 mf d 2
mf gd cos u 12md g / cos u 0Sd a md b 1 /
mf 2
En el raro caso en que el padre y la hija tengan la misma masa, el padre se ubica el final del sube y baja, d ϭ ᐉ/2.
11.4 El sistema aislado: conservación
de cantidad de movimiento angular
En el capítulo 9 se encontró que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema
de partículas permanece constante si el sistema está aislado; es decir, si la fuerza externa
neta que actúa sobre el sistema es cero. Se tiene una ley de conservación análoga en el
movimiento rotacional:
La cantidad de movimiento angular total de un sistema es constante tanto en mag- ᮤ Conservación de
nitud como en dirección si el momento de torsión externo neto que actúa sobre el cantidad de movimiento
sistema es cero, es decir, si el sistema está aislado. angular
Este enunciado es el principio de conservación de cantidad de movimiento angular y es la
base de la versión de cantidad de movimiento angular del modelo de sistema aislado. Este
principio se sigue directamente de la ecuación 11.13, que indica que si
S
d Ltot
tSext dt 0 (11.17) ᎯStuart Franklin/Getty Images
por lo tanto
S SS (11.18)
Ltot constante o Li Lf
Para un sistema aislado que consiste en algunas partículas, esta ley de conservación se
S S
ϭ © ϭ constante, donde el índice n denota la n–ésima partícula en
escribe como Ltot Ln
el sistema.
Si un sistema giratorio aislado es deformable, de modo que su masa se somete a redis-
tribución en alguna forma, el momento de inercia del sistema cambia. Ya que la magnitud
de la cantidad de movimiento angular del sistema es L = Iv (ecuación 11.14), la conserva-
ción de la cantidad de movimiento angular requiere que el producto de I y v permanezca ᎯStuart Franklin/Getty Images
constante. Por lo tanto, un cambio en I para un sistema aislado requiere un cambio en v.
En este caso, el principio de conservación de cantidad de movimiento angular se expresa
como
Ii vi ϭ If vf ϭ constante (11.19)
Esta expresión es válida tanto para rotación en torno a un eje fijo, como para rotación Figura 11.10 La cantidad de
en torno a un eje a través del centro de masa de un sistema móvil en tanto dicho eje per- movimiento angular se conserva
manezca fijo en la dirección. Sólo se requiere que el momento de torsión externo neto mientras el patinador artístico
sea cero. ruso, Evgeni Plushenko, participa
durante los Campeonatos
Muchos ejemplos demuestran conservación de cantidad de movimiento angular para Mundiales de Patinaje Artístico
un sistema deformable. Usted ha observado a un patinador artístico girar al final de un 2004. Cuando sus brazos y piernas
programa (figura 11.10). La rapidez angular del patinador es grande cuando sus manos están cerca de su cuerpo, su
y pies están cerca del tronco de su cuerpo. Si se ignora la fricción entre el patinador y el momento de inercia es pequeño y
hielo, no existen momentos de torsión externos sobre el patinador. El momento de inercia su rapidez angular es grande. Para
de su cuerpo aumenta mientras sus manos y pies se mueven alejándose de su cuerpo al frenar al final de su giro, mueve
final del giro. De acuerdo con el principio de conservación de la cantidad de movimiento brazos y piernas hacia afuera, lo
angular, su rapidez angular debe disminuir. En forma similar, cuando los clavadistas o que aumenta su momento de
acróbatas quieren hacer piruetas, jalan manos y pies cerca de su cuerpo para que dé vuelta inercia.
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322 Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular
a una rapidez mayor, como en la fotografía de apertura de este capítulo. En estos casos,
la fuerza externa debida a la gravedad actúa a través del centro de masa y, por tanto, no
ejerce momento de torsión en torno a un eje a través de este punto. En consecuencia, las
cantidades de momento angular en torno al centro de masa debe conservarse; es decir,
Ii vi ϭ If vf . Por ejemplo, cuando los clavadistas quieren duplicar su rapidez angular, deben
reducir su momento de inercia a la mitad de su valor inicial.
En la ecuación 11.18 se tiene una tercera versión del modelo de sistema aislado. Ahora
se puede afirmar que la energía, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movi-
miento angular de un sistema aislado se conservan.
Ei Ef 1si no hay transferencia de energía2
Para un sistema aislado • pSi
pSf 1si la fuerza externa neta es cero2
S S
1si el momento de torsión externo neto es cero2
Li Lf
Pregunta rápida 11.4 Una clavadista salta del trampolín y cae hacia el agua con el
cuerpo recto y en rotación lenta. Jala sus brazos y piernas hacia una apretada posición
plegada. i) ¿Qué le ocurre a su rapidez angular? a) Aumenta. b) Disminuye. c) Permanece
igual. d) Es imposible determinar. ii) De la misma lista de opciones, ¿qué le sucede a la
energía cinética rotacional de su cuerpo?
EJEMPLO 11.7 Formación de una estrella de neutrones
Una estrella da vueltas con un periodo de 30 días en torno a un eje a través de su centro. Después de que la estrella expe-
rimenta una explosión supernova, el núcleo estelar, que tiene un radio de 1.0 ϫ 104 km, colapsa en una estrella de neutrones
de 3.0 km de radio. Determine el periodo de rotación de la estrella de neutrones.
SOLUCIÓN
Conceptualizar El cambio en el movimiento de la estrella de neutrones es similar al del patinador descrito anteriormente,
pero en dirección inversa. Conforme la masa de la estrella se acerca al eje de rotación, se espera que la estrella gire más
rápido.
Categorizar Suponga que durante el colapso del núcleo estelar, 1) no actúa momento de torsión externo sobre él,
2) permanece esférico con la misma distribución de masa relativa y 3) su masa permanece constante. La estrella se clasifica
como un sistema aislado. No se conoce la distribución de masa de la estrella, pero se supuso que la distribución es simétrica,
así que el momento de inercia se expresa como kMR 2, donde k es alguna constante numérica. (De la tabla 10.2, por ejemplo,
2
se ve que k ϭ 5 para una esfera sólida y k ϭ 2 para un cascarón esférico.)
3
Analizar Use el símbolo T para el periodo, con Ti como el periodo inicial de la estrella y Tf como el periodo de la estrella
de neutrones. El periodo es el intervalo de tiempo que se requiere para que un punto sobre el ecuador de la estrella dé una
revolución completa alrededor del eje de rotación. La rapidez angular de la estrella se conoce por v ϭ 2p/T.
Escriba la ecuación 11.19 para la estrella: Ii vi If vf
Use v ϭ 2p/T para reescribir esta ecuación en términos de Ii a 2p b If a 2p b
los periodos inicial y final: Ti Tf
Sustituya los momentos de inercia en la ecuación prece- kMRi 2 a 2p b kMRf 2 a 2p b
dente: Ti Tf
Resuelva para el periodo final de la estrella: Tf a Rf b 2
Ri
Ti
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