526 Capítulo 16 Sonido
Velocidad del sonido
FIGURA 16.3 U sted ve los fuegos Cuando observamos los juegos pirotécnicos del 4 de julio, vemos las explosiones de
los cohetes antes de que se oiga el sonido (figura 16.3). La razón es que la luz emitida
por las explosiones llega a nuestros ojos casi al instante, porque la rapidez de la luz es
de aproximadamente 300 000 km/s. Sin embargo, la rapidez del sonido es mucho más
lenta, así que las ondas sonoras de la explosión nos llegan algún tiempo después de
que las ondas luminosas hayan llegado.
¿Con qué rapidez se propaga el sonido? En otras palabras, ¿cuál es la rapidez del
sonido? Para una onda en una cuerda, vimos en el capítulo 15 que la rapidez de la onda
es v = T / , donde T es la tensión de la cuerda (una fuerza) y m es la densidad lineal de
la masa de la cuerda. A partir de esta ecuación se puede pensar que v sea la raíz cuadrada
de la proporción de la fuerza restauradora a la respuesta inercial. Si la onda se propaga a
través de un medio tridimensional en lugar de una cuerda unidimensional, la respuesta
inercial es originada de la densidad del medio . En el capítulo 13 analizamos la elastici-
dad de sólidos e introdujimos el módulo elástico conocido como módulo de Young, Y.
Este módulo determina el cambio fraccional en longitud de una barra delgada como fun-
ción de la fuerza por unidad de área aplicada a la barra. El análisis revela que el módulo
de Young es el término de fuerza apropiado para una onda que se propaga a lo largo de
una barra sólida delgada, así que obtenemos
artificiales antes de que se oigan los sonidos v= Y (16.1)
de los explosivos.
para la rapidez del sonido en una barra sólida delgada.
La rapidez del sonido en fluidos —tanto líquidos como gases— está relacionada de manera
semejante al módulo de compresibilidad, B, definido en el capítulo 13, para determinar el cambio
de volumen de un material en respuesta a presión externa. Por lo tanto, la rapidez del sonido en
un gas o líquido está dada por
v= B . (16.2)
Aunque estos argumentos dimensionales demuestran que la rapidez del sonido es proporcio-
nal a la raíz cuadrada del módulo dividida entre la densidad apropiada, un análisis bien funda-
mentado, como el de la deducción siguiente deja ver que las constantes proporcionales tienen un
valor de exactamente 1 en las ecuaciones 16.1 y 16.2.
DEDUCCIÓN 16.1 Rapidez del sonido
Suponga que un fluido está contenido en un cilindro con un pistón móvil en un extremo (figura
16.4). Si este pistón se mueve con la velocidad en el fluido, comprimirá el elemento de fluido
vp A vpt enfrente de él. Este elemento de fluido, a su vez, vspe moverá como resultado del cambio de presión;
v vt su borde delantero se moverá con la rapidez del sonido, v, el cual, por definición, es la rapidez de
las ondas de presión en el medio.
Si se empuja el pistón al fluido con una fuerza F, se causa un cambio de presión, p = F/A en
el fluido (vea el capítulo 13), donde A es el área de sección transversal del cilindro y también
del pistón. La fuerza ejercida sobre el elemento de fluido de masa m causa una aceleración dada
FIGURA 16.4 P istón que por v/t:
v vp vp
comprime un fluido. t t F m t
A A
F = m = m ⇒ p = = .
Puesto que la masa es la densidad del fluido multiplicada por su volumen, m = V, y el volumen
del cilindro es el área de la base A multiplicada por la longitud l, podemos encontrar la masa del
elemento de fluido:
m = V = Al ⇒ p = m vp = Al vp = lvp .
A t A t t
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16.1 Ondas longitudinales de presión 527
Puesto que este elemento de fluido responde a la compresión moviéndose con la rapidez v duran-
te el intervalo de tiempo t, la longitud del elemento de fluido que ha experimentado la onda de
presión es l = vt, lo que finalmente da la diferencia de presión:
p = lvp = (vt )vp = vvp . (i)
t t
Según la definición del módulo volumétrico (vea el capítulo 13), p = BV/V. Podemos combinar
esta expresión para la presión, y la que se obtuvo en la ecuación (i):
p = vvp =B V . (ii)
V
Nuevamente, el volumen del fluido en movimiento V, que ha experimentado la onda de presión
es proporcional a v, puesto que V = Al = Avt. Además, el cambio de volumen en el fluido cau-
rsleeansdutoeltpaaodvrope/evmn, pllaaupjearcrouepalocpiróicsnitóó(nniid)eenobleatlevcnieellimoncdoirdsoadesdelVp=istAóvnpatl.aProarpeidsteoz la proporción V/V es equiva-
del sonido. Si sustituimos este
vvp = B V = B vp ⇒
V v
v2 = B ⇒
v= B .
Como puede ver, la rapidez con la que el pistón es empujado al fluido se compensa. Por lo tanto,
no importa cuál sea la rapidez de la excitación, el sonido siempre se propaga con la misma rapi-
dez en el medio.
Las ecuaciones 16.1 y 16.2 establecen que la rapidez del sonido en un estado dado de la mate- 16.1 Ejercicio en clase
ria (gas, líquido o sólido) es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad, lo que
significa que en dos diferentes gases, la rapidez del sonido es mayor en el de la menor densidad. Usted está en el centro de una
Sin embargo, los valores del módulo de Young para sólidos son mucho más grandes que los valo- sala de conciertos con una
res del módulo volumétrico para líquidos que son más grandes que para los gases. Esta diferencia profundidad de 120.0 m. ¿Cuál
es más importante que la dependencia de la densidad. De las ecuaciones 16.1 y 16.2 obtenemos es la diferencia de tiempo entre
que para las rapideces del sonido en sólidos, líquidos y gases, la llegada del sonido direc-
tamente de la orquesta en su
vsólido > vlíquido > vgas . (16.3) posición y la llegada del sonido
que llega del fondo de la sala de
conciertos?
Valores representativos para la rapidez del sonido en diferentes materiales bajo condiciones están- a) 0.010 s d) 0.35 s
dares de presión (1 atm) y temperatura (20 °C) se encuentran en la tabla 16.1.
Lo que más nos interesa es la rapidez del sonido en el aire porque éste es el medio más impor- b) 0.056 s e) 0.77 s
tante para la propagación del sonido en la vida cotidiana. A una presión atmosférica normal y a c) 0.11 s
20 °C, esta rapidez de sonido es
vaire = 343 m/s. (16.4)
El conocimiento de la rapidez del sonido en el aire explica la regla de 5 segundos FIGURA 16.5 La regla de 5 segundos para
para las tormentas eléctricas: si pasan 5 s o menos entre el instante que vemos un rayo
(figura 16.5) y el instante que se oiga el trueno, el rayo está a una distancia de 1 mi o rayos se debe a la diferencia en la rapidez entre
menos. Puesto que el sonido viaja aproximadamente a 340 m/s, viaja 1 700 m, o de
manera aproximada 1 mi, en 5 s. La rapidez de la luz es aproximadamente 1 millón luz y sonido.
de veces mayor que la rapidez del sonido, así que la percepción visual del rayo ocurre
esencialmente sin retraso. Los países que usan el sistema métrico tienen una regla de 3
segundos. Un retraso de 3 s entre el rayo y el trueno corresponde a 1 km de distancia
del rayo (figura 16.6).
La rapidez del sonido en el aire depende (levemente) de la temperatura del aire
T. La siguiente dependencia lineal se obtiene de manera experimental:
v(T ) =(331+ 0.6T /°C) m/s. (16.5)
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528 Capítulo 16 Sonido Tabla 16.1 Rapidez del sonido en algunas sustancias comunes
x (km) 3 Sustancia Rapidez del sonido (m/s)
2
1 Gases Criptón 220
00 2 4 6 8 10 Líquidos Dióxido de carbono 260
Sólidos Aire 343
t (s) Helio 960
Hidrógeno 1 280
FIGURA 16.6 D istancia x a Metanol 1 143
Mercurio 1 451
la fuente (rayo) del sonido como Agua 1 480
función del retraso de tiempo t en Agua de mar 1 520
escuchar el sonido (trueno). Plomo 2 160
Concreto 3 200
Madera noble 4 000
Acero 5 800
Aluminio 6 400
Diamante 12 000
EJEMPLO 16.1 Vítores de fútbol
El departamento de un estudiante se ubica exactamente a 3.75 km del estadio de fútbol. Él está
viendo el juego en vivo en TV y ve cómo el equipo de casa anota un touchdown. De acuerdo con
su reloj, pasan 11.2 s después de que oye el rugido de la multitud en la televisión hasta que lo es-
cucha otra vez desde afuera.
PROBLEMA
¿Cuál es la temperatura a la hora del juego?
SOLUCIÓN
La señal de televisión se mueve con la rapidez de la luz y, por lo tanto, llega al televisor del es-
tudiante esencialmente en el mismo instante que sucede en el estadio. De este modo el retraso
en la llegada del rugido en el departamento del estudiante se puede atribuir por completo a la
rapidez finita del sonido. Encontramos esta rapidez del sonido con base en los datos dados:
v = ∆x = 3 750 m = 334.8 m/s.
∆t 11.2 s
Al usar la ecuación 16.5 encontramos la temperatura a la hora del juego:
T = v(T ) / (m/s) – 331 °C = 334.8 – 331 °C = 3.8 °C = 6.4 °C
0.6 0.6 0.6
EXPLICACIÓN
Hay que advertir lo siguiente: varias incertidumbres están inherentes en este resultado. Primero
que nada, si rehiciéramos el cálculo para un retraso de tiempo de 11.1 s, encontraríamos que la
temperatura es de 11.4 °C o 5 °C más alta de la que encontramos usando 11.2 s como retraso. En
segundo lugar, si 0.1 s hace una diferencia tan grande en la temperatura determinada, tenemos
que preguntar si la señal de televisión llega en realidad al departamento del estudiante en forma
instantánea. La respuesta es no. Si el estudiante ve televisión satelital, tarda aproximadamente 0.2 s
para la señal de llegar al satélite geoestacionario y de regreso a la antena del estudiante. Además,
breves retrasos intencionales se insertan con frecuencia en programas de televisión. De esta ma-
nera nuestro cálculo no es muy útil para objetivos prácticos.
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16.2 Intensidad de sonido 529
Reflexión del sonido FIGURA 16.7 Imagen de un feto
Usted puede medir la distancia a un objeto grande distante mediante la medición del tiempo entre producida por la reflexión de ondas
la producción de un sonido corto y fuerte y escuchar este sonido nuevamente después de que haya de ultrasonido.
viajado hacia el objeto, se refleje del objeto y regrese a usted. Por ejemplo, si usted estuviese parado
en el valle de Yosemite y gritara en la dirección de la cara plana de Half Dome a una distancia de FIGURA 16.8 Murciélago que
1.0 km, el sonido de su voz sería llevado a través del valle, se reflejaría de Half Dome y regresaría
a usted, realizando un viaje redondo de 2.0 km. La rapidez del sonido de su voz es de 343 m/s, así vuela en la oscuridad, dependiendo
que el retraso de tiempo entre el grito y escucharlo reflejado sería t = (2 000 m)/(343 m/s) = 5.8 s, de la ecolocación para la
un intervalo de tiempo que usted fácilmente podría medir con un reloj de pulsera. navegación.
Este principio se utiliza en la representación de imágenes por ultrasonido para propósitos
diagnósticos en medicina. Las ondas de ultrasonido tienen una frecuencia mucho más alta de
lo que un ser humano puede oír, entre 2 y 15 MHz. Esta frecuencia se elige para proporcionar
imágenes detalladas y para penetrar profundamente en el tejido humano. Cuando las ondas de
ultrasonido encuentran un cambio de densidad del tejido, algunas de ellas se reflejan. Midiendo
el tiempo que las ondas de ultrasonido tardan en viajar desde el emisor hasta el receptor y regis-
trando qué tanto de la emisión es reflejado así como la dirección de las ondas originales, se puede
formar una imagen. El valor medio de la velocidad de ondas de ultrasonido que se utilizan para
las imágenes de tejido humano es de 1 540 m/s. El tiempo para que estas ondas de ultrasonido
recorran 2.5 cm y regresen es t = (0.050 m)/(1 540 m/s) = 32 s, y el tiempo para recorrer 10.0 cm
y regresar es de 130 s. Por lo tanto, el dispositivo de ultrasonido tiene que ser capaz de medir con
precisión tiempos en el rango de 30 a 130 s. Una imagen normal de un feto producida por medio
de la representación de imágenes de ultrasonido se muestra en la figura 16.7.
Murciélagos y delfines navegan mediante el uso de la reflexión de sonido (figura 16.8). Ellos
emiten ondas de sonido en un rango de frecuencia desde 14 000 Hz hasta más allá de 100 000 Hz
en una dirección específica y determinan informaciones sobre su alrededor según el sonido refle-
jado. Este proceso de ecolocación permite que los murciélagos naveguen en la oscuridad.
16.2 Intensidad de sonido
En el capítulo 15 se definió la intensidad de una onda como potencia por unidad de área. Vimos que
para ondas esféricas la intensidad cae como la segunda potencia de la distancia a la fuente, I ∝ r–2,
dando la proporción
I(r1 ) = r2 2 . (16.6)
I(r2 ) r1
Esta relación también es válida para las ondas sonoras. Puesto que la intensidad es la potencia por
unidad de área, sus unidades físicas son watts por metro cuadrado (W/m2).
Ondas sonoras que pueden ser detectadas por el oído humano tienen un rango de intensidad
muy amplio, desde susurros tan bajos de 10–12 W/m2 hasta la potencia de un motor de jet o una
banda de rock a distancia cercana, que puede llegar a 1 W/m2. Las oscilaciones de presión para
incluso el sonido más fuerte en el umbral de dolor de 10 W/m2 son del orden de sólo décimas de
micropascales (Pa). La presión atmosférica normal del aire, en comparación, es de 105 Pa. Por
lo tanto, podemos ver que la presión del aire varía por sólo una parte en 10 mil millones, incluso
para los sonidos más fuertes. Y la variación es varios órdenes de magnitud menos para los sonidos
más bajos que se pueden oír. Esto nos podrá dar una nueva apreciación para las capacidades de
nuestros oídos.
Puesto que los oídos humanos pueden registrar sonidos sobre muchos órdenes de magnitud de
intensidad, se usa una escala logarítmica para medir las intensidades del sonido. La unidad de esta
escala es el bel (B), nombrado por Alexander Graham Bell, pero se usa mucho más comúnmente
el decibel (dB): 1 dB = 0.1 bel. La letra griega simboliza el nivel de sonido medido en esta escala de
decibeles y está definido como
=10log I .
I0 (16.7)
AhuqmuíaIn0o=p1u0e–d12e
W/m2, lo que corresponde aproximadamente a la intensidad mínima que un oído
oír. La notación “log” se refiere a este logaritmo base 10. (Vea el apéndice A para
hacer una recapitulación sobre logaritmos.) Por ende, una intensidad de sonido 1 000 veces la
ipnotnendseidaaudndseurseufrerroenncoiam, Iu0y, dleajos=d1e0n luoegs 1tr 0o0o0íddoB(=ta1b0la · 316d.B2)=. 30 dB. Este nivel de sonido corres-
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530 Capítulo 16 Sonido Tabla 16.2 Niveles de sonidos comunes Nivel de sonido (dB)
16.1 Oportunidad de Sonido 0
autoexamen 30
El sonido más bajo que se pueda oír 40-50
Usted oye un sonido con un nivel Sonido de fondo en una biblioteca 60-70
de 80.0 dB y se ubica a 10.0 m Campo de golf 90
de la fuente del sonido. ¿Cuál es Tráfico de la calle 110
la potencia emitida por la fuente Tren en un cruce de ferrocarril 120
de sonido? Club de baile 130-150
Martillo neumático
Jet despegando de un portaaviones
Intensidad relativa y rango dinámico
El nivel de sonido relativo es la diferencia entre dos niveles de sonido:
= 2 – 1
=10log I2 –10log I1
I0 I0
=10(log I2 – log I0 )–10(log I1 – log I0 )
=10 log I2 –10log I1
=10log I2 . (16.8)
I1
El rango dinámico es una medida de los niveles de sonido relativos de los sonidos más fuertes y
más bajos producidos por una fuente. El rango dinámico de un disco compacto es aproximada-
mente de 90 dB, mientras que el rango para los discos de vinil fue aproximadamente de 70 dB.
(Discos de vinil, 8 tracks y audiocasetes son tecnologías viejas que podrá encontrar en la casa de
sus padres o abuelos.) Los fabricantes indican el rango dinámico para todas las bocinas de gama
alta, así como para los auriculares. En general, entre más alto es el rango dinámico, mejor será la
calidad de sonido. Sin embargo, el precio normalmente aumenta con el rango dinámico.
PROBLEMA RESUELTO 16.1 N iveles de sonido relativos
en un concierto de rock
Dos amigos asisten a un concierto de rock y llevan un sonómetro. Mediante este dispositivo
uno de los amigos mide un nivel de sonido de es1ce=n1a0ri5o.,0mdiBd,emi2e=nt1ra0s8.q0udeBe.l otro, quien se
encuentra sentado 4 filas (2.8 m) más cerca del
PROBLEMA
¿A qué distancia se encuentran los dos amigos de las (altavoces) bocinas en el escenario?
SOLUCIÓN
PIENSE
Expresamos las intensidades en los dos asientos usando la ecuación 16.6 y los niveles relativos
de sonido en los dos asientos usando la ecuación 16.8. Podemos combinar estas dos ecuacio-
nes para obtener una expresión para niveles relativos de sonido
r2 I2, 2 I1, 1 en los dos asientos. Al conocer la distancia entre los dos asien-
r1 tos, podemos entonces calcular la distancia de los asientos a las
(altavoces) bocinas en el escenario.
x
FIGURA 16.9 La distancia relativa r1 y r2 de los dos amigos desde ESBOCE
La figura 16.9 muestra las posiciones relativas de los dos amigos.
las (altavoces) bocinas en un concierto.
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16.2 Intensidad de sonido 531
INVESTIGUE
Lrian2alteaedssniI(ss2ati.daltEnaaldcvinoeasicvdeeesenl)ldtbpéeorrismcmoininenairodsasoemsdeeirng2l.oraL1saaedsilonasst1ed(,naiysslttieaadlnvanocdiicvadeessel)uldssbeaoonnscodiidnnooaidlsaeoenesecrnur11are,c2syieóIls1an,yd12i6l.sa.tP6aio:nndtceeinamsdoideslaesdxepdgrueelnssdaoronliaadmsodigeonos
I1 = rr212 . (i)
I2
Luego podemos usar la ecuación 16.8 para relacionar los niveles de sonido en r1 y r2 a las intensi-
dades del sonido:
2 – 1 =10 log I2 . (ii)
I1 (iii)
La combinación de las ecuaciones (i) y (ii) nos da
2
2 – 1= = 10 log r1 = 20 log rr12.
r2
El nivel relativo de sonido, , está especificado en el problema y sabemos que
r2 = r1– 2.8 m.
Por lo tanto, podemos resolver para la distancia r1 y luego obtener r2.
SIMPLIFIQUE
Si sustituimos la relación entre las dos distancias en la ecuación (iii) obtenemos
= 20 log r1– r1 m ⇒
2.8
10/20 = r1 – r1 m ⇒
2.8
( ) ( )r1– 2.8 m 10/20 = r110/20 – 2.8 m 10/20 = r1⇒
( )r1=
2.8 m 10/20 .
10/20 –1
CALCULE
Al sustituir los valores numéricos obtenemos la distancia del primer amigo a las (altavoces)
bocinas:
r1 = (2.8 m)10(108.0 dB-105.0 dB)/20 = 9.58726 m.
10(108.0 dB-105.0 dB)/20 –1
La distancia del segundo amigo es:
r2 = (9.58726 m)–(2.8 m) = 6.78726 m.
REDONDEE
Reportamos nuestros resultados con dos cifras significativas:
r1 = 9.6 m y r2 = 6.8 m.
VUELVA A REVISAR
Para volver a revisar, sustituimos nuestros resultados para las distancias de regreso a la ecuación
(iii) para verificar que obtengamos la diferencia de los niveles de sonido especificados:
= (108.0 dB) – (105.0 dB) = 3.0 dB = 20 log 9.6 m = 3.0 dB.
6.8 m
Por lo tanto, nuestra respuesta parece ser razonable, o por lo menos consistente con lo que se
declaró originalmente en el problema.
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532 Capítulo 16 Sonido
80 10 4 Límites del oído humano
(dB) Los oídos humanos pueden detectar ondas sonoras con frecuencias entre aproximadamente
I (W) 20 y 20 000 Hz. (Los perros, por cierto, pueden detectar incluso frecuencias de sonido más altas.)
40 10 8 Como se mencionó antes, el umbral del oído humano se utilizó como soporte para la escala de
decibeles; sin embargo, la habilidad del oído humano de detectar sonidos depende mucho de la
0 10 12 frecuencia. La figura 16.10 es una gráfica de esta dependencia del umbral del oído humano con
100 1 000 10 000 respecto a la frecuencia del sonido. Además de la dependencia de la frecuencia, el umbral del oído
f (Hz) también tiene una fuerte dependencia de la edad. La curva roja en la figura 16.10 representa los
valores para un típico adolescente, y la curva azul aquellos para una persona de la edad de retiro.
FIGURA 16.10 Dependencia Los adolescentes no tienen ningún problema escuchando frecuencias de 10 000 Hz, pero la mayo-
ría de los jubilados no las pueden oír para nada. Un ejemplo de uno de estos sonidos agudos es el
del umbral del oído humano
con respecto a la frecuencia. La
curva roja representa un típico
adolescente; la curva azul representa
alguien de la edad de jubilación.
zumbido de cigarras en verano, que muchas personas mayores ya no pueden percibir.
Los sonidos que mejor oímos tienen frecuencias alrededor de 1 000 Hz. Cuando escucha-
mos música, el espectro de sonido normalmente se extiende a través del rango completo del oído
humano. Esto ocurre porque los instrumentos musicales producen una mezcla característica de
las frecuencias básicas de las notas tocadas, así como varios armónicos con frecuencias mayo-
res. Si reproducimos música en un sistema estereofónico y bajamos el volumen,
reducimos la intensidad del sonido en todos los rangos de frecuencia de manera
aproximadamente uniforme. Dependiendo de qué tanto reducimos el volumen,
se puede acercar a intensidades de sonido en las frecuencias muy altas y muy
bajas que son muy próximas o debajo de nuestro umbral de oído. Como resul-
tado, la música suena plana. A fin de compensar este estiramiento percibido del
espectro del sonido, muchos sistemas estereofónicos tienen un botón de “loud-
ness” (intensidad subjetiva sonora), que artificialmente enriquece la salida de
potencia de las frecuencias muy bajas y muy altas al resto del espectro, dándole
a la música un sonido más lleno en bajos volúmenes.
Un nivel de sonido arriba de 130 dB causará dolor, y niveles de sonido arriba
de 150 dB pueden fracturar un tímpano. Además, la exposición de largo plazo
a niveles de sonido arriba de 120 dB causa la pérdida de sensibilidad del oído
FIGURA 16.11 Un oficial de lanzamiento de la humano. Por esta razón es aconsejable evitar música muy fuerte que se toque
por mucho tiempo. Además, en lugares donde ruidos muy fuertes son parte del
marina se agacha debajo del ala de un F/A-18F que ámbito de trabajo, por ejemplo, en la cubierta de un portaaviones (figura 16.11),
es necesario llevar puestos protectores del oído para evitarle daños.
es lanzado del USS John C. Stennis. Se necesitan
protectores del oído en este ambiente de sonido de alta
intensidad.
E J E M P L O 16.2 Rango de longitud de onda del oído humano
16.2 Ejercicio en clase El rango de frecuencias para sonidos que el oído humano puede detectar corresponde a un
rango de longitudes de ondas.
Un adolescente está usando
un nuevo tono de llamada de PROBLEMA
su teléfono celular con una ¿Cuál es el rango de longitudes de onda para los sonidos a las cuales el oído humano es sensible?
frecuencia de 17 kHz. El umbral
de oído para un adolescente SOLUCIÓN
típico en esta frecuencia es de El rango de frecuencias que el oído puede detectar es de 20-20 000 Hz. A temperatura am-
30 dB, y el de un adulto podrá biental, la velocidad del sonido es de 343 m/s. Longitud de onda, rapidez y frecuencia están
ser de 100 dB. Por lo tanto, el relacionadas por
tono de llamada del celular del
adolescente es audible sólo v = f ⇒ = v .
para adolescentes a distancias de f
varios metros. ¿A qué cercanía
se tendrá que encontrar un Para la frecuencia más baja detectable podemos obtener
adulto del teléfono celular
para escucharlo sonar si el máx = v = 343 m/s =17 m.
adolescente está a una distancia f mín 20 Hz
de 10.0 m?
a) 0.32 cm d) 25 cm Puesto que la frecuencia más alta detectable es 1 000 veces la más baja, la longitud de onda más
b) 4.5 cm e) 3.0 m corta de sonido audible es 0.001 veces el valor que acabamos de calcular: mín = 0.017 m.
c) 8.9 cm
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16.3 Interferencia del sonido 533
16.3 Interferencia del sonido
Como todas las ondas tridimensionales, las ondas sonoras de dos o más fuentes pueden interferir
en espacio y tiempo. Vamos a considerar primero que nada la interferencia espacial de ondas
sonoras emitidas por dos fuentes coherentes; es decir, dos fuentes que producen ondas sonoras
que tienen la misma frecuencia y están en fase.
La figura 16.12 muestra dos altavoces que emiten fluctuaciones idénticas de presión sinusoi-
dal en fase. Los arcos circulares representan los máximos de las ondas sonoras en algún instante
dado en el tiempo. La línea horizontal a la derecha de cada altavoz soporta una curva sinusoidal
para mostrar que ocurre un arco dondequiera que el seno tenga un máximo. La distancia entre
arcos adyacentes emanando de una fuente es exactamente una longitud de onda . Puede ver con
claridad que los arcos de los diferentes altavoces se cruzan. Ejemplos para estas intersecciones
son los puntos A y C. Si cuenta los máximos, puede ver que tanto A como C están exactamente a
8 del altavoz inferior, mientras que A está a 5 del altavoz superior y C está a 6. Por lo tanto, la
diferencia de longitud de trayectoria, r =gern2 e–rarl1,peasraunlaminútletripfelore(nicnitaegcroanl)sternutcetriovadeenlaulnonpguitnutdo
de onda. Esta relación es una condición
espacial dado:
Δr = n , para todos n = 0, ±1, ± 2, ± 3, ... (interferencia constructiva). (16.9)
Aproximadamente a mitad del camino entre los puntos A y C en la figura 16.12 se encuentra el
punto B. Igual que para los otros dos puntos, la distancia entre B y el altavoz inferior es de 8. Sin
embargo, este punto está a 5.5 del altavoz superior. Como resultado, en el punto B el máximo de
la onda sonora del altavoz inferior cae en un mínimo de la onda sonora del altavoz superior, y se
anulan. Esto significa que en este punto ocurre una interferencia destructiva. Probablemente ya se
habrá dado cuenta de que la diferencia de longitud de trayectoria es un número impar de medias
longitudes de ondas. Ésta es la condición general para la interferencia destructiva:
Δr = (n + 1 ) , para todos n = 0, ±1, ± 2, ± 3, ... (interferencia destructiva). (16.10)
2
De hecho, todos los puntos de interferencia constructiva caen en líneas que se muestran en
color verde en la figura 16.13. Estas líneas son aproximadamente líneas rectas a distancias sufi-
cientes de las fuentes, aunque en realidad son hipérbolas. Las líneas de interferencia destructiva
se muestran en color rojo en la figura 16.13. Estas líneas de interferencia constructiva y destruc-
tiva permanecen constantes en tiempo porque la diferencia de longitud de trayectoria permanece
A
B
C
FIGURA 16.12 Interferencia de dos (juegos) conjuntos idénticos de FIGURA 16.13 Interferencia de ondas sonoras sinusoidales idénticas
ondas sonoras sinusoidales. de dos fuentes. Las líneas de interferencia constructivas aparecen en verde
y las líneas de interferencia destructiva en rojo.
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534 Capítulo 16 Sonido
igual en cualquier punto fijado. Si sus oídos fueran posicionados en cualquiera de las líneas rojas,
usted no escucharía nada del sonido emitido de ambos altavoces; las dos fuentes de sonido se
anularían (suponiendo una situación ideal donde no hay reflexiones de sonido).
¿Por qué no detectamos estas zonas muertas debido a las líneas de interferencia destructiva
en frente de nuestros altavoces estereofónicos cuando escuchamos música en casa? La respuesta
es que estas líneas de interferencia dependen de la longitud de onda y por ende de la frecuencia.
Sonidos de diferentes frecuencias se anulan y se suman en forma máxima a lo largo de diferentes
líneas. Cualquier nota tocada por algún instrumento tiene una mezcla rica de distintas frecuen-
cias; así que, aun cuando una frecuencia particular es anulada, todavía podemos oír todo o gran
parte del resto. Por lo general no detectamos lo que falta. Además, todos los objetos en una habi-
tación dispersan y reflejan el sonido emitido por (altavoces) bocinas estereofónicas hasta cierto
grado, lo que hace la detección de una zona muerta aún más improbable. Sin embargo, para tonos
puros sinusoidales, la existencia de zonas muertas la puede detectar fácilmente el oído.
Pulsaciones
También es posible tener interferencia de dos ondas en el tiempo. Para considerar este efecto,
sduopsoonngdaaqs usoenuonraosbcsoenrvlaedvoemr eesnttéeudbiisctiandtoasefnreaclugúenncpiausnytolaamrbiistmraariaomxp0leitnudel: espacio, y se emiten
y1(x0 ,t) = A sen(κ1x0 +ω 1t +φ1) = Asen (ω 1t +φ1)
y2(x0 ,t) = A sen(κ2x0 +ω 2t +φ2) = Asen (ω 2t +φ2).
Para obtener el lado derecho de cada ecuación utilizamos el hecho de que el producto del número
de ondas y la posición es una constante para un punto dado en el espacio y luego simplemente
sumamos esta constante al desfasamiento, que en este caso es también una constante. Hemos
escrito estas funciones de onda como ondas unidimensionales, pero el resultado edseeflasmeiφsm1 yoφe2n,
tres dimensiones. Para el siguiente paso simplemente ponemos las dos constantes
igual a cero porque sólo causan un desfasamiento, pero no tienen ningún papel esencial adicional.
Por lo tanto, las dos oscilaciones dependientes del tiempo que forman las ondas iniciales son
y1(x0 ,t) = A sen (ω 1t)
y2(x0 ,t) = A sen (ω 2t).
Si hacemos este experimento utilizando dos ofrsecciluaeenncivasolaunmguenlarceosmo1 yfun2c,ióqnuedseel encuentran cerca
una de la otra, podemos oír un sonido que tiempo. ¿Por qué
ocurre esto?
A fin de contestar esta pregunta sumamos las dos ondas sinusoidales. Para sumar dos funcio-
nes sinusoidales usamos un teorema de suma para funciones trigonométricas:
sen α + sen β = 2 cos 1 (α – β ) sen 1 (α + β ) .
2 2
De este modo obtenemos para las dos ondas sinusoidales
y(x0 ,t) = y1(x0 ,t)+ y2(x0 ,t)
= A sen (ω1t)+ Asen (ω 2t)
= 2 A cos 1 (ω 1 – ω 2 )t sen 1 (ω 1 + ω 2 )t .
2 2
Es más común escribir este resultado en términos de frecuencias en lugar de rapideces angulares:
y(x0 ,t ) = 2 A cos 2π 1 ( f1 – f2 )t sen 2π 1 ( f1 + f2 )t . (16.11)
2 2
El término 1 ( f1 + f2) es simplemente el promedio de las dos frecuencias individuales:
2
f = 1 ( f1 + f2 ). (16.12)
2
EcilófnacCletuonartna2ddAoe ceuolnst(aé2rfmun12i(ncfio1ódn–edf2ce)otv)saeernnioalcatiióeenncueraáucpniiódvnaal1soe6rn.1m(12ásxe12im(pfuo1e+odefm2t)oítn)micmuaraonc(od+mo1oof1u––n1af)2,aomecsupprliertequuudendñaeop.vualrsiaa--
ción: f1 – f2 es la frecuencia de pulsación:
fb = f1 – f2 . (16.13)
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16.3 Interferencia del sonido 535
FIGURA 16.14 Pulsaciones de
dos tonos sinusoidales. a) Las curvas
sinusoidales azul y roja tienen frecuencias
a) que difieren por 10%; b) suma de las dos
curvas; c) cuadrado de la suma de las
funciones.
b)
c)
de Ahora surgen dos preguntas: primero, ¿qué pasó con eflrefcaucteonrci12a en la función de coseno
la ecuación 16.11?; y segundo, ¿por qué se define la de la pulsación en tér-
minos de un valor absoluto? El uso del valor absoluto asegura que la frecuencia de pulsación
sea positiva, independientemente de cuál de las dos frecuencias sea más grande. Para la fun-
ción coseno, el uso del valor absoluto no tiene ninguna importancia, porque cos = cos =
cos(–). Para la respuesta de por cqoumé onofuhnacyióunndfaecl ttoierm12 p, eoc;heel un vistazo a la figura 16.14: el inciso
a) grafica dos tonos sinusoidales inciso b) muestra la suma de las dos
funciones, con la (cubierta) envolvente de línea interrumpida dada por m±2áxAi mcoos (d2os12 v(ef1ce–s fp2a)tr)a.
Puede ver que la amplitud de la suma de las dos funciones llega a un
una oscilación completa dada de la función coseno. Esto se hace quizá más aparente en la figura
16.14c), la gráfica del cuadrado de la función (ecuación 16.11), que es proporcional a la intensidad
del sonido. Por lo tanto, la frecuencia de pulsación, la frecuencia en la que el volumen oscila hacia
arriba y abajo, está correctamente definida como se muestra en la ecuación 16.13, omitiendo el
factoPro12r. ejemplo, el golpe de dos barras de un xilófono, una que emite en la frecuencia correcta
para la medio, 440 Hz, y otra que emite una frecuencia de 438 Hz, producirá dos oscilaciones
de volumen discernibles pypueoelrdpeseeergniuotendndodode.reElosotsocúitlsialecqiduóeenbledasealpvquoulsleuacmlaioenfnreesecssuopennocraillaoadftiaennaptrouulTsnabcin=ióstn1r/ufebms=efnb12 t=so.
440 Hz – 438 Hz = 2 Hz,
Mediante este ejemplo se
musical para distinguirlo de otro.
Cancelación activa de ruido FIGURA 16.15 Cancelación
Todos sabemos que el ruido se puede amortiguar o atenuar y que algunos materiales lo hacen activa de ruidos.
mejor que otros. Por ejemplo, si el ruido le molesta en la noche, usted podrá usar su almohada
para cubrir sus oídos. Trabajadores de la construcción u otros trabajadores que tienen que pasar
periodos largos en ambientes muy ruidosos usan auriculares de protección para los oídos. Estas
protecciones de oídos reducen la amplitud de todos los sonidos.
Si usted desea reducir el ruido de fondo mientras está escuchando música, una técnica para
lograr esto se basa en el principio de la cancelación activa de ruido, que depende de la interfe-
rencia de sonido. Una onda sonora sinusoidal externa llega a los auriculares y es grabada por un
micrófono (figura 16.15). Un procesador invierte la fase de esta onda sonora y la emite con la
misma frecuencia y amplitud, pero con fase opuesta. Las dos ondas sinusoidales se suman (prin-
cipio de superposición), interfieren destructivamente y se anulan por completo. Al mismo tiempo
(el altavoz) la bocina dentro de los auriculares emite la música que usted desea escuchar, y el
resultado es una experiencia auditiva libre de ruidos de fondo.
En la práctica, el ruido de fondo nunca consiste en una onda sonora sinusoidal pura. En vez
de esto, se mezclan muchos sonidos de diferentes frecuencias. En particular, la presencia de soni-
dos de alta frecuencia constituye un problema para la cancelación activa de ruidos. Sin embargo,
este método funciona muy bien para sonidos periódicos de baja frecuencia, tales como el ruido
de motores de aviones de pasajeros. Otra aplicación se encuentra en algunos automóviles de lujo,
donde las técnicas de cancelación activa de ruidos reducen ruidos de viento y llantas.
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536 Capítulo 16 Sonido
16.4 Efecto Doppler
Todos hemos tenido la experiencia de un tren que se acerca a un cruce de
ferrocarril. El tren suena su claxon de advertencia y luego, cuando pasa
nuestra posición, el tono del sonido cambia de una frecuencia más alta a
una más baja. Este cambio de frecuencia se llama efecto Doppler.
A fin de llegar a un entendimiento cualitativo del efecto Doppler, con-
sidere la figura 16.16. En el inciso a), la columna de la extrema izquierda,
una fuente estacionaria de sonido emite ondas esféricas que se propagan
hacia afuera. La evolución en el tiempo de estas ondas radiales se ilustra en
seis puntos de distancias iguales en el tiempo, desde arriba hacia abajo. Los
máximos de las cinco ondas sinusoidales radian hacia fuera como círculos,
representados por colores en cada cuadro de amarillo a rojo.
Cuando se mueve la fuente, las mismas ondas sonoras son emitidas
desde diferentes puntos en el espacio. Sin embargo, desde cada uno de estos
puntos, los máximos nuevamente se van hacia fuera como círculos, como
se muestra en los incisos b) y c) de la figura 16.16. La única diferencia entre
estas dos columnas es la rapidez con la que se mueve la fuente de las ondas
sonoras desde la izquierda hacia la derecha. En cada caso podemos ver
una “compresión” (amontonamiento) de las ondas sonoras frente al emi-
sor, en este contexto en su lado derecho. La compresión es mayor con una
velocidad de fuente más alta y es la clave completa para entender el efecto
Doppler. Un observador ubicado a la derecha de la fuente —es decir, con la
fuente moviéndose hacia él— experimenta más frentes de ondas por unidad
de tiempo y por ende oye una frecuencia más alta. Un observador ubicado
a la izquierda de la fuente en movimiento, con la fuente alejándose de él
experimenta menos frentes de ondas por unidad de tiempo y, por ende, oye
una frecuencia reducida.
a) b) c) d) Cuantitativamente, la frecuencia observada, fo, está dada por
FIGURA 16.16 El efecto Doppler para ondas sonoras ,
emitidas en seis puntos equidistantes en el tiempo: a) fuente fo = f vsonido
vsonido ± vfuente
estacionaria; b) fuente que se mueve hacia la derecha; (16.14)
c) fuente que se mueve más rápido hacia la derecha;
d) fuente que se mueve hacia la derecha más rápidamente que donde f es la frecuencia del sonido emitido por la fuente, y Evslonsiidgonyovsfuuepntee rsioonr
la rapidez del sonido. las rapideces del sonido y de la fuente, respectivamente.
(1) se aplica cuando la fuente se aleja del observador, y el signo inferior (2) aplica cuando la
fuente se acerca a él.
El efecto Doppler también ocurre si la fuente es estacionaria y el observador se mueve. En este
caso, la frecuencia observada está dada por
fo = f vsonido ∓ vobservador = f 1 ∓ vobservador . (16.15)
vsonido vsonido
El signo superior (2) se aplica cuando el observador se aleja de la fuente, y el signo inferior (1)
se aplica cuando el observador se acerca a la fuente.
En cada caso, el de la fuente en movimiento o el del observador en movimiento, la frecuencia
observada es más baja que la frecuencia de la fuente cuando observador y fuente se están alejando
entre sí, y es más alta que la frecuencia de fuente cuando se acercan entre sí.
DEDUCCIÓN 16.2 Desplazamiento Doppler
Vamos a empezar con un observador en reposo y una fuente de sonido que se mueve hacia el ob-
servador. Si la fuente de sonido está en reposo y emite un sonido con la frecuencia f, entonces la
Sdloionlsagciftruueesdntadtesedsouencsdeosaniveiadssocso=emmvsoounseiodvone/fhp, laeocrciqaiubeieldotaabsmspeborivréanedleoosrblcsaeodrnvisalatdaronarcpisiaedeernzedtvrufeucedentoea,sesnutcoensciveasslacrdeissttaasndcieaoenndtrae.
– vfuente
λo = v sonido f .
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16.4 Efecto Doppler 537
Utilizando la relación entre longitud de onda, frecuencia y rapidez (fija) del sonido vsonido = f,
encontramos la frecuencia del sonido detectada por el observador:
fo = vsonido = f vsonido .
λo vsonido – vfuente
Este resultado comprueba la ecuación 16.14 con el signo de menos en el denominador. El signo
de más es obtenido al invertir el signo del vector velocidad de la fuente.
Usted deberá intentar, como ejercicio, la derivación para el caso en el que el observador está
en movimiento.
16.3 Ejercicio en clase
Considere el caso de un observador estacionario y una fuente moviéndose con rapidez constante (menos que la
rapidez del sonido) y emitiendo un sonido con la frecuencia f. Si la fuente se mueve hacia el observador, la ecua-
ción 16.14 pronostica una frecuencia observada mayor, f+. Si la fuente se aleja del observador, da por resultado
una frecuencia observada más baja, f–. Vamos a llamar la diferencia entre la frecuencia más alta y la frecuencia
original ∆+ y la diferencia entre la frecuencia original y la frecuencia más baja ∆–: ∆+ = f+– f y ∆– = f – f–. ¿Cuál
de las declaraciones sobre las diferencias de frecuencia es la correcta?
a) ∆+ > ∆– c) ∆+ < ∆– e) Depende de la rapidez de la
b) ∆+ = ∆– d) Depende de la frecuencia original, f. fuente, v.
16.4 Ejercicio en clase 16.5 Ejercicio en clase
Ahora considere el caso de una fuente estacionaria emitiendo un sonido de la frecuencia f y un observador Suponga una fuente que emite
moviéndose con rapidez constante (menos que la rapidez del sonido). Si el observador se mueve hacia la fuente, un sonido con la frecuencia f
la ecuación 16.15 pronostica una mayor frecuencia observada, f+. Si el observador se aleja de la fuente, resulta moviéndose hacia la derecha
una frecuencia observada más baja, f–. Vamos a llamar la diferencia entre la frecuencia más alta y la frecuencia (en la dirección x positiva)
original ∆+ y la diferencia entre la frecuencia original y la frecuencia más baja ∆–: ∆+ = f+– f y ∆– = f – f–. ¿Cuál con una rapidez de 30 m/s. Un
de las declaraciones sobre las diferencias de frecuencia es la correcta? observador se ubica a la derecha
de la fuente y también se mueve
a) ∆+ > ∆– c) ∆+ < ∆– e) Depende de la velocidad de hacia la derecha (en el sentido x
b) ∆+ = ∆– d) Depende de la frecuencia original, f. la fuente, v. positivo) con una rapidez de
50 m/s. La frecuencia obser-
Finalmente, ¿qué pasa si tanto la fuente como el observador se mueven? La respuesta es que vada fo, será _______ la de la
las expresiones para el efecto Doppler para la fuente en movimiento y el observador en movi- frecuencia original, f.
miento simplemente se combinan, y la frecuencia observada se da por
a) más baja que c) más alta que
fo = f vsonido ∓ vobservador vsonido = f vsonido ∓ vobservador . (16.16)
vsonido vsonido ± vfuente vsonido ± vfuente b) igual que
Aquí los signos superiores en el numerador y el denominador se aplican cuando el observador o
la fuente se alejan uno del otro, y los signos inferiores se aplican cuando observador y fuente se
mueven uno hacia el otro.
16.6 Ejercicio en clase
Suponga que una fuente que emite un sonido con la frecuencia f se mueva hacia la derecha (en la dirección x
positiva) con una rapidez de 30 m/s. Un observador se ubica a la derecha de la fuente y también se mueve hacia
la derecha (en el sentido x positivo) con una rapidez de 50 m/s. ¿Cuál de las siguientes es la expresión correcta
para la frecuencia observada, fo?
a) fo = f v sonido – 50 m / s c) fo = f v sonido + 50 m / s
v sonido – 30 m / s v sonido – 30 m / s
b) fo = f v sonido – 50 m / s d) fo = f v sonido + 50 m / s
v sonido + 30 m / s v sonido + 30 m / s
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538 Capítulo 16 Sonido
El efecto Doppler en el espacio bidimensional y tridimensional
Hasta ahora, nuestra discusión del efecto Doppler ha supuesto
que la fuente (o el observador) se mueve con rapidez constante
en una línea recta que pasa directamente a través de la ubica-
ción del observador (o de la fuente). Sin embargo, si usted está
v esperando en un cruce de ferrocarril, por ejemplo, un tren no
pasa directamente a través de su ubicación, sino que tiene una
b r(t) distancia perpendicular (del acercamiento) a la posición más
cercana b, como se ve en la figura 16.17. En esta situación, lo
que usted oye no es un cambio instantáneo de la frecuencia
más alta del tren en acercamiento a la frecuencia más baja del
tren que (retrocede) se aleja, lo que la ecuación 16.14 implica,
sino en su lugar usted escucha un cambio gradual y fluido de la
FIGURA 16.17 Efecto Doppler en un espacio bidimensional: un auto en frecuencia más alta a la más baja.
un cruce de ferrocarril. Para obtener una expresión cuantitativa del efecto Doppler
para este caso, vamos a suponer que t = 0 sea el instante cuando
el tren está más cerca del auto; es decir, cuando cruza la carretera. Para t < 0, el tren se mueve
entonces hacia el observador, y para t > 0, se aleja del observador. El origen del sistema coorde-
nado espacial se elige como la ubicación del observador, o sea el conductor del auto. Entonces la
distancia del tren al origen está dada por r(t) = b2 + v2t2 , donde v es la rapidez (constante) del
tren (vea la figura 16.17). El ángulo entre el vector de rapidez del tren y la dirección de la que se
emite el sonido en relación con el auto está dado por
cos(t ) = vt ) = vt .
r(t b2 + v2t2
La velocidad de la fuente del sonido como se observa en el auto, como función del tiempo, es la
proyección del vector de rapidez del tren a la dirección radial:
v2t
vfuente (t) = v cosθ(t) = b2 + v2t2 .
Ahora podemos sustituir para vfuente en la ecuación 16.14 y obtenemos
fo(t) = f vsonido = f vsonido . (16.17)
vsonido + vfuente (t ) v2t
16.2 Oportunidad de vsonido + b2 + v2t2
autoexamen
Demuestre que la derivada En la ecuación 16.17, la velocidad de la fuente es negativa para t < 0, correspondiente a una fuente
en el tiempo de la función en acercamiento, mientras que la velocidad de la fuente es positiva para t > 0, correspondiente a
que determina la frecuencia una fuente en alejamiento.
observada (ecuación 16.17)
en t = 0 está dada por La fórmula de la ecuación 16.17 podrá parecer complicada, pero en realidad es una función de
variación suave, como se muestra en la figura 16.18. Suponga que el tren en movimiento emite un
dfo = – b f v2 . sonido de frecuencia f = 440 Hz y que la rapidez del sonido sea de 343 m/s. La figura 16.18a) mues-
dt v sonido tra tres gráficas de la frecuencia observada por un observador estacionario en un auto a 10 m del
t = 0 cruce de ferrocarril cuando pasa un tren que se mueve a 20, 30 y 40 m/s. La figura 16.18b) muestra
gráficas de las frecuencias observadas por tres observadores estacionarios en autos estacionados en
distancias de 10, 40 y 70 m del cruce de ferrocarril cuando el tren pasa con una rapidez de 40 m/s.
FIGURA 16.18 Dependencia con
el tiempo de la frecuencia observada
por un observador estacionario:
a) rapideces de fuente de 20 m/s,
30 m/s y 40 m/s, y distancia (del
acercamiento) de la posición más
cercana de 10 m; b) rapidez de
fuente de 40 m/s y distancias (del
acercamiento) de la posición más
cercana de 10 m, 40 m y 70 m.
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16.4 Efecto Doppler 539
f (Hz)2 500 (dB)
2 000 100
1 500 90
1 000 80
70
500 60
00 1 2 50
t (s)
FIGURA 16.19 D emostración del efecto Doppler.
Estas tres curvas convergen hacia las frecuencias asintóticas de f = 498 Hz para el tren que se acerca 16.3 Oportunidad de
y f = 394 Hz para el tren que se aleja, que son los valores pronosticados por la ecuación 16.14. Sin autoexamen
embargo, entre más cerca se encuentra el observador del cruce del ferrocarril, más repentina se vol-
verá la transición de la frecuencia de la más alta a la más baja. Derive una fórmula similar
Es bastante fácil montar una demostración del efecto Doppler. Simplemente maneje con a la ecuación 16.17 para un
rapidez constante a lo largo de una carretera tocando su claxon, mientras que un amigo filma observador que se mueve en
un video de usted. Luego puede analizar el video por medio de un analizador de frecuencia pa- una línea recta y pasa una
ra ver cómo las frecuencias del claxon del auto cambian cuando usted pasa frente a la cámara. fuente estacionaria (a una
En la figura 16.19, el auto pasó a lo largo de una carretera con una rapidez de 26.5 m/s y pasó distancia) en la posición más
frente a la cámara (una distancia) en la posición más cercana a 14.0 m. Las seis frecuencias domi- cercana que no sea cero.
nantes del claxon del auto, dadas por f = n(441 Hz), n = 1, 2, ... , 6, son claramente visibles en esta
figura como las bandas angostas rojas que representan valores de decibeles altos, y usted puede ver
el cambio de frecuencia conforme pasa el auto. Las líneas interrumpidas (superimpuestas) sobre-
puestas de color gris son los resultados del cálculo usando la ecuación 16.17 con una distancia (del
acercamiento) de la posición cmoámspcleertcoaancauber=do14co.0nmlasymuendaicriaopnideeszexdpeefruimenetnetvaflueesn.te = 26.5 m/s.
Usted puede ver que están en
Aplicaciones del efecto Doppler FIGURA 16.20 Imagen Doppler
En la sección 16.1 examinamos la aplicación de ondas de ultrasonido para imágenes de tejido de ultrasonido de sangre que fluye
humano. El efecto Doppler para ondas de ultrasonido se puede usar para medir la rapidez de la
sangre que fluye en una arteria, lo cual puede ser un instrumento de diagnóstico importante para en la arteria carótida. Los colores
enfermedades cardiacas. Un ejemplo de la medición del flujo de sangre en la arteria carótida se
muestra en la figura 16.20. Este tipo de medición se realiza mediante la transmisión de ondas de rojo y azul indican la rapidez del
ultrasonido hacia el flujo de sangre. Las ondas de ultrasonido se reflejan en las células de la sangre
en movimiento de regreso al dispositivo de ultrasonido donde son detectadas. flujo de la sangre.
E J E M P L O 16.3 M edición del flujo de sangre mediante
el ultrasonido Doppler
PROBLEMA
¿Cuál es el típico cambio de frecuencia para ondas de ultrasonido que se reflejan en la sangre
que fluye en una arteria?
SOLUCIÓN
Las ondas de ultrasonido tienen una frecuencia típica de f = 2.0 MHz. En una arteria, la sangre fluye
con una rapidez de = 1.0 m/s. La rapidez de las ondas de ultrasonido en el tejido humano es
vsonido = 1 540 m/s. vsangre
(continúa)
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540 Capítulo 16 Sonido
(continuación)
Las células de la sangre se pueden concebir como observadores en movimiento para las ondas
de ultrasonido. De este modo, si una célula de sangre se está moviendo hacia la fuente del ul-
trasonido, la frecuencia observada por la célula de la sangre está dada por la ecuación 16.15
con un signo de más f1 = f1 (i)
f 1+ vsangre .
vsonido
ELal sdiosnpdoassitidveouelsttraacsioonniadroioredfeleujaltdraassocnoindloaDfroepcupelenrcoiabsf1ercvoanrsátietunytoenncuens alafsuoenndteasendemuoltvriamsoiennidtoo.
Doppler con una frecuencia f2 dada por la ecuación 16.14 con un signo de menos
1 .
f2 = f vsonido (ii)
vsonido – vsangre
Por tal motivo, la frecuencia observada por el dispositivo de ultrasonido Doppler se obtiene por
la combinación de las ecuaciones (i) y (ii)
f 2 = f 1+ vsangre vsonido .
vsonido vsonido – vsangre
Observe que esta ecuación es simplemente un caso especial de la ecuación 16.16, la expresión
para el efecto Doppler con una fuente en movimiento y un observador en movimiento, aquí la
rapidez del observador y la de la fuente son las de la célula de la sangre. Si (insertamos) sustitui-
mos los (números) valores, obtenemos
f2 = (2.0 MHz)1+ 1.0 m/s 1 1 540 m/s m/s = 2.0026 MHz.
1 540 m/s 540 m/s –1.0
La diferencia de frecuencia f, es entonces
f = f2 – f = 2.6 kHz.
Este cambio de frecuencia es el máximo observado cuando la sangre está fluyendo como re-
sultado de un pulso del corazón. Entre pulsos del corazón la sangre desacelera y casi para. La
combinación de las ondas originales de ultrasonido con la frecuencia f y las ondas de ultrasoni-
do reflejadas con la frecuencia fp2unlosas edlacuornaazófrne.cEuestnacsiafrdeceupeunlcsiaacsiópnuefpduelsnacisóenr=pef2rc–ibf,idqausepvoarríeal
desde 2.6 kHz a cero conforme
oído humano, lo que significa que la frecuencia de pulsación simplemente se puede amplificar
y escuchar como un monitor de pulsos. Este efecto Doppler de ultrasonido es la base de las
exploraciones de corazón en fetos.
Observe que en este ejemplo se supone que la sangre está fluyendo directamente hacia
el dispositivo de ultrasonido Doppler. En general existe un ángulo entre la dirección de las
ondas de ultrasonido transmitidas y la dirección del flujo de la sangre, que reduce el cambio
de frecuencia. Los dispositivos de ultrasonido Doppler toman este ángulo en cuenta, usando
informaciones sobre la orientación de la arteria.
El radar Doppler que escucha mencionar en reportes de clima en la televisión usa el efecto
Doppler para ondas electromagnéticas. Gotas de lluvia en movimiento cambian las ondas de
radar reflejadas a diferentes frecuencias y, por lo tanto, son detectadas por el radar Doppler. (Sin
embargo, el cambio Doppler para ondas electromagnéticas como el radar lo rige una fórmula
diferente de la que se usa para el sonido.) El radar Doppler también se usa para detectar la rotación
(y posibles tornados) en una tormenta eléctrica, buscando regiones con movimientos tanto acer-
cándose como alejándose del observador. Otro uso común del efecto Doppler son los detectores
de rapidez por radar que emplean las fuerzas policiacas en todo el mundo. Y técnicas similares son
utilizadas por astrónomos para medir (cambios) el corrimiento al rojo de galaxias.
El cono de Mach
Aún nos queda examinar la figura 16.16d). En esta columna, la rapidez de la fuente excede la
rapidez del sonido. Como puede ver, en este caso el origen de una cresta de onda subsiguiente se
encuentra fuera del círculo formado por la cresta de onda previa.
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16.4 Efecto Doppler 541
La figura 16.21a) muestra las crestas de ondas sucesivas emitidas por una fuente cuya rapidez
es mayor que la rapidez del sonido, llamada fuente supersónica. Usted puede ver que todos estos
círculos tienen una tangente común que hace un ángulo EMst,allaacmumaduolaácniógnuldoe de Mach, con la
dirección del vector velocidad (en este caso, la horizontal). frentes de ondas
produce una onda grande, abrupta y de forma cónica llamada onda expansiva o cono de Mach.
El ángulo de Mach del cono está dado por
θM = sen–1 vsonido . (16.18)
vfuente
Esta fórmula es válida solamente para rapideces de fuente que exceden la rapidez del sonido, y en
el límite donde la rapidez de la fuente es igual a la rapidez edleálnsgounliodod,eMM asceha.cerca a los 90°. Entre
más grande sea la rapidez de la fuente, más pequeño será
DEDUCCIÓN 16.3 Ángulo de Mach
La derivación de la ecuación 16.18 es bastante sencilla si examinamos la figura 16.21b), que
muestra el círculo de la cresta de onda que fue formada en algún tiempo inicial t = 0, pero que
ahora, algún tiempo después, es t. El radio de este círculo en el momento t ceosnvsloanildíonetaydeestlaá
indicado por la línea recta azul. Observe que el radio hace un ángulo de 90° FIGURA 16.21 a ) El cono
tangente, indicado en negro. Sin embargo, durante el mismo tiempo, t, la fuente se ha movido
una dyisnteagnrcoiaevnfuleantfeigtu,rqaufeoremstáaninudnictardiáanpgourlolarelícnteáangroujlao.eLnuleagfoi,guproar. Las líneas de color rojo, de Mach u onda expansiva.
azul definición de la función b) Geometría para la deducción 16.3.
sinusoidal, el seno del ángulo de Mach, M, es
sen θM = v sonido ∆t .
v fuente ∆t
Al anular el factor común t y tomando el seno inverso en ambos lados de esta ecuación nos da
la ecuación 16.18, como se quería.
Es interesante que las ondas expansivas puedan ser detectadas en todo tipo de siste-
mas físicos involucrados en todo tipo de ondas. Por ejemplo, olas superficiales en aguas
de poca profundidad tienen rapideces de onda relativamente bajas, como hemos discu-
tido en el capítulo 15. Por lo tanto, lanchas motoras pueden crear olas expansivas con
relativa facilidad, moviéndose a través de la superficie del agua con alta rapidez. A partir
de estas olas frontales usted puede determinar la rapidez de las olas superficiales en un
lago, si conoce la rapidez de la lancha.
La rapidez del sonido en núcleos atómicos es aproximadamente un tercio de la rapi-
dez de la luz. Puesto que aceleradores de partículas pueden colisionar núcleos con rapi-
deces muy cercanas a la rapidez de la luz, ondas expansivas se deberán crear incluso en
este ambiente. Algunas simulaciones por computadora han demostrado que este efecto
está presente en colisiones de núcleos atómicos con energías muy altas, pero la eviden-
cia experimental definitiva ha sido muy difícil de obtener. Varios laboratorios de física
nuclear alrededor del mundo están activamente investigando este fenómeno.
Finalmente parecería improbable que ondas expansivas que involucran a la luz pue-
dan ser observadas, ya que la rapidez de la luz en el vacío es la máxima rapidez posible
en la naturaleza y, por lo tanto, la rapidez de la fuente no puede exceder la rapidez de
la luz en el vacío. Cuando el físico ruso Pavel Cherenkov (también a veces se escribe
Čerenkov) propuso en la década de 1960 que este efecto ocurrió, fue desmentido como FIGURA 16.22 Radiación Cherenkov
algo improbable o imposible. Sin embargo, la llamada radiación Cherenkov (figura (resplandor azulado) desde el núcleo de un
16.22) se puede emitir cuando una fuente tal como un protón de alta energía movién- reactor nuclear.
dose con una rapidez cerca de la rapidez de la luz entra en un medio, como el agua,
donde la rapidez de la luz es significativamente más baja. Luego la fuente se mueve más rápido que
la rapidez de la luz en este medio, y se puede formar un cono de Mach. Detectores de partículas
modernos hacen uso de esta radiación Cherenkov; la medición del ángulo de emisión permite el
cálculo de la rapidez de la partícula que emitió la radiación.
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542 Capítulo 16 Sonido
EJEMPLO 16.4 El Concorde
La rapidez de un avión supersónico frecuentemente se indica como un número Mach, M. Una
rapidez Mach 1 (M = 1) significa que el avión esté viajando con la rapidez del sonido. Una ra-
pidez Mach 2 (M = 2) significa que el avión esté viajando al doble de la rapidez del sonido. El
jet supersónico Concorde (figura 16.23) navegaba a 60 000 pies, donde la rapidez del sonido
es de 295 m/s (661 mph). La máxima rapidez de navegación del Concorde fue de Mach 2.04
(M = 2.04).
PROBLEMA
A esta rapidez, ¿cuál era el ángulo del cono de Mach producido por el Concorde?
FIGURA 16.23 D espegue del SOLUCIÓN
El ángulo del cono de Mach está dado por la ecuación 16.18:
jet comercial supersónico Concorde.
El servicio comercial regular del θ M = sen–1 vsonido .
Concorde empezó en 1976 y terminó vfuente
en 2003.
La rapidez de la fuente en este caso es la del Concorde que está viajando con una rapidez de
16.7 Ejercicio en clase
vfuente = Mvsonido = 2.04vsonido .
¿Cuál es la máxima rapidez
de navegación del Concorde a De este modo, podemos escribir el ángulo de Mach como
60 000 pies de altura?
θ M = sen–1 vsonido = sen–1 1 .
a) 665 mph d) 2 130 mph Mvsonido M
b) 834 mph e) 3 450 mph Para el Concorde tenemos entonces
c) 1 350 mph θ M = sen–1 1 = 0.512 rad = 29.4°.
2.04
16.5 Resonancia y música
Básicamente todos los instrumentos musicales cuentan con la excitación de resonancias para
generar ondas sonoras de frecuencias discretas, reproducibles y predeterminadas. Ninguna discu-
sión del sonido posiblemente podría ser completa sin una discusión de los tonos musicales.
Tonos
¿Qué frecuencias corresponden a qué tonos musicales? La respuesta a esta pregunta no es sencilla
y ha cambiado con el paso del tiempo. La actual escala tonal se remonta a 1722, el año de publi-
cación de la obra de Johann Sebastian Bach, Das wohltemperierte Klavier (El teclado bien tempe-
rado). Vamos a revisar estos valores aceptados.
Los tonos asociados con las teclas blancas del piano se llaman la, si, do, re, mi, fa y sol. El do
más cercano al extremo izquierdo del teclado se denomina do1. La nota debajo de él, curiosa-
mente, es si0. De esta manera la secuencia de tonos para las teclas blancas, de izquierda a derecha,
en un piano es la0, si0, do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1, si1, do2, re2, … la7, si7, do8. La escala está sus-
tentada con el la medio (la4) con precisamente 440 Hz. El la siguiente más alto (la5) es una octava
más alto, lo que significa que tiene exactamente dos veces la frecuencia, u 880 Hz.
Entre estos las se encuentran 11 semitonos: la sostenido/si bemol, si, do, do sostenido/re bemol,
re, re sostenido/mi bemol, mi, fa, fa sostenido/sol bemol, sol y sol sostenido/la bemol. Ya desde la
obra de J. S. Bach, estos 11 semitonos dividen la octava en exactamente 12 intervalos iguales, los
cuales difieren todos por el mismo factor que da el número 2 cuando se multiplica por sí mismo
12 veces. Este factor es: 21/12 = 1.0595. Las frecuencias de todos los tonos se pueden encontrar por
medio de la multiplicación sucesiva por este factor. Por ejemplo, re (re 5) es 5 pasos arriba de la
medio: (1.05955)(440 Hz) = 587.4 Hz. Frecuencias de notas en otras octavas se encuentran mediante
la multiplicación o división por un factor de 2. Por ejemplo, el re más alto (re6) tiene una frecuencia
de 2(587.4 Hz) = 1 174.9 Hz.
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16.5 Resonancia y música 543
Tabla 16.3 Rangos (tangos) de frecuencia para clasificaciones de cantantes humanos
Clasificación Nota más baja Nota más alta
Bajo Mi2 (82 Hz) Sol4 (392 Hz)
Barítono La2 (110 Hz) La4 (440 Hz)
Tenor Re3 (147 Hz) Si4 (494 Hz)
Contralto Sol3 (196 Hz) Fa5 (698 Hz)
Soprano Do4 (262 Hz) Do6 (1 046 Hz)
Las voces humanas se clasifican con base en los rangos medios que se 697778H059zH24zH1 zHz14173713H260zH9zHz
muestran en la tabla 16.3. Por lo tanto, básicamente todas las canciones can-
tadas por seres humanos demuestran un rango de frecuencias de un orden de FIGURA 16.24 Las frecuencias generadas por las
magnitud, entre 100 y 1 000 Hz. Ninguna voz humana y prácticamente ningún
instrumento musical genera un tono puro de frecuencia sencilla. Para los ins- teclas de un teléfono de touch-tone.
trumentos de cuerda, el cuerpo hueco de madera del instrumento, que sirve
para amplificar el sonido de las cuerdas, influye en este componente.
Los teléfonos de touch-tone (llamada por tono) que han reemplazado casi
por completo a los teléfonos de disco en Estados Unidos, cuentan con sonidos
de frecuencias preasignadas. Para cada tecla que se presiona en el teléfono, se
generan dos tonos relativamente puros. La figura 16.24 muestra la disposición
de estos tonos. Cada tecla en una hilera dada activa el tono que se encuentra a
su derecha, y cada tecla en una columna activa el tono que se encuentra debajo
de ella. Si se presiona la tecla 2, por ejemplo, se producen las frecuencias de 697
Hz y de 1 336 Hz.
Tubos semiabiertos y abiertos
Hemos hablado de ondas estacionarias en cuerdas en el capítulo 15. Estas ondas forman la base
para los sonidos producidos por todos los instrumentos de cuerda. Es importante recordar que
ondas estacionarias se pueden excitar en cuerdas sólo con frecuencias de resonancia discretas. La
mayoría de los instrumentos de percusión, como los tambores, también funcionan con el prin-
cipio de excitar resonancias discretas. Sin embargo, las formas de ondas producidas por estos
instrumentos son normalmente bidimensionales y son mucho más complicadas que las que se
producen en cuerdas.
Los instrumentos de viento utilizan tubos semiabiertos o abiertos para generar sonidos. Un
tubo semiabierto es un tubo que está abierto sólo en un extremo y cerrado en el otro (por ejemplo,
un clarinete o una trompeta); un tubo abierto tiene aberturas en ambos extremos (por ejemplo, una
flauta). Usted sabe que puede generar un sonido soplando aire a través de la boquilla de una botella,
como se muestra en la figura 16.25. Quizá recuerda que el tono del sonido es más alto si la botella
está más llena. También, una botella vacía de un litro produce un sonido más bajo que una bote-
lla vacía de medio litro, como la que se usa en la figura 16.25. Una botella sólo es una aproximación
(debido a su forma no cilíndrica) de un tubo semiabierto. Las moléculas de aire en el fondo de este
tipo de tubo están en contacto con la pared y por lo tanto no vibran. Por ende, el extremo cerrado FIGURA 16.25 Excitación
del tubo establece un nodo en la onda sonora. El otro extremo del tubo está abierto, y las moléculas
de aire pueden vibrar libremente. Soplar aire a través del extremo del tubo crea una onda sonora de un sonido resonante de
resonante que tiene un antinodo en el extremo abierto del tubo y un nodo en el extremo cerrado.
una aproximación de un tubo
semiabierto.
La figura 16.26a) muestra algunas de las ondas estacionarias posibles en un tubo semiabierto.
En el tubo superior está la onda estacionaria con la longitud de onda más larga, para el cual el pri-
mer antinodo coincide con la longitud del tubo. Puesto que la distancia entre un nodo y el primer
antinodo es una cuarta parte de la longitud de onda, esta condición de resonancia corresponde a
Lon=da14 se, sdtoancidoenLareiasslacolonnlgointugdituddeel studbeoo.nLdoas tubos medianos e inferiores en la figura 16.26a) tienen
posibles más pequeñas, para lo cual el segundo o tercer
antinodo cae en (aperturas) el extremo abierto de los tubos, L =un43 tubyoLs=em54 ia,brieesrptoecetsivpaomrelonttea.nEtno
general, la condición para una onda estacionaria resonante en
2n –1
L = 4 , para n =1,2,3, ... .
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544 Capítulo 16 Sonido
a) b)
FIGURA 16.26 a ) Ondas estacionarias en un tubo semiabierto; b) ondas estacionarias en un tubo abierto. Las
líneas rojas representan la amplitud de sonido en varios momentos.
Al resolver esta ecuación para las posibles longitudes de onda resulta en
16.4 Oportunidad de n = 4 L , para n =1,2,3, ... . (16.19)
autoexamen 2n –1
Estime la frecuencia funda- Al usar v = f, obtenemos las frecuencias posibles:
mental del sonido resonante
inducido por soplar en el fn = (2n −1) v , para n =1,2,3, ... , (16.20)
extremo abierto de una botella 4L
de medio litro, como se ilustra
en la figura 16.25. donde n corresponde al número de nodos.
La figura 16.26b) muestra las posibles ondas estacionarias en un tubo abierto. En este caso
16.8 Ejercicio en clase
hay antinodos en ambos extremos del tubo, y la condición para una onda estacionaria resonante
La botella de medio litro de es
la figura 16.25 contiene aire
encima del líquido. ¿Cómo L = n , n =1,2,3, ... .
cambiaría la frecuencia si 2
el aire en la botella fuese
reemplazado por gas criptón? Esta relación produce longitudes de ondas y frecuencias de
(Pista: La tabla 16.1 puede
ayudar.) n = 2L , n =1,2,3, ... . (16.21)
n
a) Sería más bajo.
fn = n v , n =1,2,3, ... . (16.22)
b) Quedaría igual. 2L
c) Sería más alto. donde nuevamente n es el número de nodos.
Tanto para tubos semiabiertos como abiertos, la frecuencia fundamental se obtiene mediante
n = 1. Para un tubo semiabierto, el primer armónico (n = 2) es tres veces más alto que la frecuencia
fundamental. Sin embargo, para un tubo abierto el primer armónico (n = 2) es dos veces más alto
que la frecuencia fundamental, o una octava más alto.
EJEMPLO 16.5 Un órgano tubular
Los órganos de iglesia funcionan con base en el FIGURA 16.27 Tubos de un órgano de
principio de crear ondas estacionarias en tubos. Si
ha estado en una vieja catedral, muy probablemente iglesia.
habrá visto una colección impresionante de tubos de
órgano (figura 16.27).
PROBLEMA
Si quisiera construir un órgano cuyas frecuencias
fundamentales cubrieran el rango de frecuencias de
un piano, de la0 a do8, ¿cuál es el rango de longitu-
des de los tubos que tendría que usar?
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Términos clave 545
SOLUCIÓN
1L6a.s2f0reyc1u6e.n2c2i,alsaps afrreaclua0enycdiaos8fusonndaflma0e=n2ta7l.e5s Hpazr, afduo8n=tu4b 1o8s6eHmzia. bDieeratcouyerudnotcuobno las ecuaciones
abierto son
f1,semiabierto = v y f1,abierto = v .
4L 2L
Esto significa que los tubos abiertos tienen que ser dos veces más largos que los correspondien-
tes tubos semiabiertos para la misma frecuencia. Las longitudes de los tubos semiabiertos que
se necesitan para las frecuencias más altas y más bajas son
L semiabierto,do8 = 4 v = 343 m/s = 0.0205 m
f do8 16 744 Hz
v 343 m/s
Lsemiabierto,la0 = 4 f la0 = 110 Hz = 3.118 m.
COMENTARIO
Los tubos de órganos reales en efecto pueden tener una longitud de hasta 10 pies. La parte que
produce la onda estacionaria puede ser tan corta como 0.5 pulgadas; sin embargo, la base de un
tubo es de aproximadamente 0.5 pies de largo, así que los tubos más cortos que normalmente se
observan en un órgano de iglesia tienen por lo menos esta longitud.
LO QUE HEMOS APRENDIDO | GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■■ El sonido es una onda de presión longitudinal que ■■ Como resultado del efecto Doppler, la frecuencia del
requiere un medio en el que se puede propagar. sonido de una fuente en movimiento percibida por un
■■ La rapidez del sonido en el aire con presión y observador estacionario es fo = f vsonido ,
donde f es la frecuencia del sonido vesmoniitdiod±o pvofurenltae fuente
temperatura normal (1 atm, 20 °C) es de 343 m/s. ryevsspoenicdtoivyavmfueenntetes.oEnllsaisgrnaopisduepceersiodrel(1so)nsideoapyldicealcaufuanendtoe,
■■ En general, la rapidez del sonido en un sólido está dada
por v = Y/ , y la rapidez en un líquido o gas está dada por
■■ v = B/ . la fuente se aleja del observador, y el signo inferior (2) se
Una escala logarítmica se usa para medir intensidades aplica cuando la fuente se mueve hacia el observador.
de sonido. La unidad de esta escala es el decibel (dB). La fuente del sonido puede ser estacionaria
El nivel de sonido, , en esta escala de decibeles está ■■
mientras se mueva el observador. En este caso la
definido como = 10 log I , donde I es la intensidad de frecuencia observada del sonido está dada por
I0
alapsroonxidmasadsoanmoernasteeaI0la=m1í0n–i1m2 Wa i/nmte2n, sqiudeadcoqrureesupnonodídeo fo = f vsonido ∓ vobservador =f 1 ∓ vobservador . Aquí el
vsonido vsonido
signo superior (2) se aplica cuando el observador se
humano puede oír. aleja de la fuente, y el signo inferior (1) se aplica cuando
el observador se mueve hacia la fuente.
■■ Ondas sonoras emitidas por dos fuentes coherentes ■■ El ángulo de Mach de la onda expansiva formada
interfieren en forma constructiva si la diferencia de
longitud de trayectoria es r = n; para todos los por una fuente de sonido que se mueve con rapidez
n = 0, ±1, ±2, ±3, ... e interferirán en forma destructiva .
si la diferencia de trayectoria es = (n 1 ); para supersónica es θM = sen–1 vsonido
todos los n = 0, ±1, ±2, ±3, ... . r + 2 vfuente
■■ Dos ondas sinusoidales con amplitudes iguales y ■■ La relación entre la longitud de un tubo semiabierto y las
levemente diferentes frecuencias producen pulsaciones
con una frecuencia de pulsación de fb = f1 – f2 . aleosbntiáegnrittodused,neltsardoreeeloascnLidó=ans2edns4e–Lp1=osn2i,bpleapsraaornnad=nas=1e,1s2t,,a2.c..i,o;..np. aa. rriaastuqbuoes
TÉRMINOS CLAVE
sonido, p. 525 pulsación, p. 534 efecto Doppler, p. 536 onda expansiva (o cono
decibel, p. 529 cancelación activa de fuente supersónica, p. 541 de Mach), p. 541
fuentes coherentes, p. 533 ángulo de Mach, p. 541
ruido, p. 535
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546 Capítulo 16 Sonido
NUEVOS SÍMBOLOS Y ECUACIONES
vsonido, rapidez del sonido vfuente, rapidez con la que se mueve la fuente de sonido
=10log I , nivel de sonido en decibeles vobservador, rapidez con la que se mueve el observador
I0
fo, frecuencia de sonido detectada por el observador
fb = f1 – f2 , frecuencia de pulsación ,
θM = sen–1 vsonido ángulo de Mach de la onda expansiva
vfuente
RESPUESTAS A LAS OPORTUNIDADES DE AUTOEXAMEN
( )16.1 v2t
=10log I ⇒ I = I0 10/10 16.3 vobservador (t) = b2 + v2t2
I0
( ) ( )( )P = IA = I 4r2 = I0 10/10 4r2
fo(t) = f vsonido ∓ vobservador (t )
vsonido
( ) ( )P = 4 10–12 W/m2 10(80 dB)/10 10.0 m 2 = 0.126 W.
vsonido – v2t
vsonido b2 + v2t2
16.2 fo(t) = f v2t fo(t) = f .
b2 + v2t2 vsonido
vsonido +
= – fvsonido – t2v4 + v2 16.4 fn = (2n –1) v
b2 + v2t2 + v2t2 4L
( )dfo(t) 3/2 b2 343 m/s
v 4(0.215 m)
dt 2 f1 = 4L = = 399 Hz
vsonido +
v2t2 400 Hz estimada.
b2 + v2t2
=– fvsonido v2 =– f v2 .
dfo(t ) b2 bvsonido
dt t =0 (vsonido )2
PRÁCTICA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Lineamientos de problemas resueltos miento del observador. A menudo un bosquejo es útil para
1. Asegúrese de estar familiarizado con las propiedades de identificar qué expresión para el efecto Doppler pertenece a
logaritmos para resolver problemas que involucran la inten- qué parte de la situación.
sidad del sonido. En particular, recuerde que log (A/B) = log 3. N o necesita memorizar fórmulas para las frecuencias ar-
A – log B y que log xn = n log x. mónicas de tubos abiertos o tubos semiabiertos. En vez de eso,
2. S ituaciones que involucran el efecto Doppler pueden ser recuerde que el extremo cerrado de un tubo es la ubicación de
delicadas. A veces se requiere romper la trayectoria del sonido un nodo y el extremo abierto de un tubo es la ubicación de un
en segmentos y tratar cada segmento por separado, depen- antinodo. Entonces podrá reconstruir las ondas estacionarias
diendo de si ocurre un movimiento de la fuente o un movi- a partir de este punto.
PROBLEMA RESUELTO 16.2 Desplazamiento Doppler para
un observador en movimiento
PROBLEMA
Una persona en un auto estacionado suena su claxon. La frecuencia del sonido del claxon es de
290.0 Hz. El conductor de un auto que se aproxima mide la frecuencia del sonido que proviene
del auto estacionado que es de 316.0 Hz. ¿Cuál es la rapidez del auto que se aproxima?
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Práctica para resolución de problemas 547
SOLUCIÓN
PIENSE
La frecuencia del sonido medido en el auto que se aproxima ha sufrido un desplazamiento
Doppler. Al conocer la frecuencia emitida, f, la frecuencia observada, fo, y la rapidez del sonido,
vsonido, podemos calcular la rapidez del auto que se aproxima.
ESBOCE
La figura 16.28 muestra el vehículo con el observador que se mueve hacia el vehículo estacio-
nario que emite el sonido.
fo vobservador f
FIGURA 16.28 Un vehículo aproximándose a otro que está sonando su claxon.
INVESTIGUE
La frecuencia ems eedmiditaidpoopr ournuonbasefurveandteoresetnacmioonvairmiaieensttáo,dfao,dqaupeorresulta de un sonido de la fre-
cuencia f que
fo = f 1+ vobservador , (i)
vsonido
ddoo,nydevsvoonbidsoerevasdolar ersaplaidreapziddeelzscoonnidloa que el observador se aproxima a la fuente que emite el soni-
en el aire.
SIMPLIFIQUE
Podemos reordenar la ecuación (i) para obtener
fo –1 = vobservador .
f vsonido
Mediante esta ecuación podemos despejar la rapidez del observador en movimiento:
vobservador = vsonido fo –1.
f
CALCULE
Si sustituimos los valores numéricos, obtenemos
vobservador =(343 m/s) 316.0 Hz – 1 = 30.7517 m/s.
290.0 Hz
REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas:
vobservador = 30.8 m/s.
VUELVA A REVISAR
Una primera verificación útil es aquella que demuestre que las unidades funcionan correcta-
mente. Unidades de metros por segundo, que hemos obtenido para nuestra respuesta, cierta-
mente son apropiadas para una rapidez. Ahora podemos verificar el orden de magnitud. Una
rapidez de 30.8 m/s (68.9 mph) es razonable para un automóvil.
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548 Capítulo 16 Sonido
PROBLEMA RESUELTO 16.3 Onda estacionaria en un tubo
PROBLEMA
Una onda sonora estacionaria en un tubo con una longitud de 0.410 m (figura 16.29) que con-
tiene aire con presión y temperatura normales. ¿Cuál es la frecuencia de este sonido?
FIGURA 16.29 Una onda sonora estacionaria en un tubo.
SOLUCIÓN
PIENSE
Primero reconocemos que la onda sonora estacionaria ilustrada en la figura 16.29 corresponde
a una onda sonora estacionaria en un tubo que está cerrado en el extremo izquierdo y abierto
en el extremo derecho. De este modo estamos tratando con una onda estacionaria en un tubo
semiabierto. Cuatro nodos son visibles. Al combinar estas observaciones y al conocer la rapidez
del sonido podemos calcular la frecuencia de la onda estacionaria.
ESBOCE
La onda estacionaria con el tubo incluido y los nodos marcados se muestra en la figura 16.30.
L 0.410 m
Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4
FIGURA 16.30 U na onda sonora estacionaria con cuatro nodos en un tubo semiabierto.
INVESTIGUE
La frecuencia de esta onda estacionaria en un tubo semiabierto está dada por
fn = (2n –1) v , (i)
4L
donde n = 4 es el número de nodos. La rapidez del sonido en el aire es v = 343 m/s, y la longitud
del tubo es L = 0.410 m.
SIMPLIFIQUE
Para n = 4 podemos escribir la ecuación (i) para la frecuencia de la onda estacionaria como
f4 = (2(4) – 1) v = 7v .
4L 4L
CALCULE
Al colocar los valores numéricos obtenemos
f = 7(343 m/s) =1 464.02 Hz.
4(0.410 m)
REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas:
f =1 460 Hz.
VUELVA A REVISAR
La frecuencia está dentro del rango del oído humano y apenas arriba del rango de frecuencias
producidas por la voz humana. Por lo tanto, nuestra respuesta parece razonable.
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Práctica para resolución de problemas 549
PROBLEMA RESUELTO 16.4 Desplazamiento Doppler de una sirena
de ambulancia reflejada
PROBLEMA
Una ambulancia ha recogido un alpinista lastimado y se está alejando directamente de la pared
del cañón (donde se lastimó el alpinista) con una rapidez de 31.3 m/s (70 mph). La sirena de la
ambulancia tiene una frecuencia de 400.0 Hz. Después de que la ambulancia apaga su sirena, el
alpinista lesionado puede escuchar el sonido reflejado de la pared del cañón durante unos se-
gundos. La velocidad del sonido en el aire es lvasoensidcou=ch3a4e3l m/s. ¿Cuál es la frecuencia del sonido
de la sirena de la ambulancia reflejado como alpinista lastimado en la ambulancia?
SOLUCIÓN
PIENSE
slLeaemaspaiiturmieeenbdnauedldocaeanulcrcneiuagsloraseernsipuodusoaaendcladoenoacmollaanbfvsurieldelacoenurccaeiidrnaaccedoinamdfme.olLousavonifnmariefdicueouneenvtnostoe.cniEieadnlo,.afm1Ll,paodinvpeiiaslmarteaisdeienrndetnoellaaccaoeamnnñóbluanunplaraaenrrfaeclpediajiadfpieejuazlesdvdoaeemnl biccduoaloañnnócsdiinae-,
derarse como un observador en movimiento del sonido reflejado de la sirena. La combinación
de los dos desplazamientos Doppler nos da la frecuencia de la sirena reflejada como se escu-
cha en la ambulancia en movimiento. f2
ESBOCE
La figura 16.31 muestra a la ambulancia que se aleja de la pa-
red del dcaeñsóunsicroennauncoanraupnidaefzredceuevnamcbiualafn.cia mientras emite el
sonido
INVESTIGUE medido por un observador es- f
tLaacifornecaurieoncpiaar,afd1,odjuelnstoonaidlao pared del cañón que resulta del vambulancia
sonido de la frecuencia f emitido por la sirena de la ambulan-
cia moviéndose con una velocidad se define por la FIGURA 16.31 U na ambulancia se aleja de una pared del cañón con la
ecuación 16.14: vambulancia
sirena funcionando.
f1 = f vsonido vsonido ,
+ vambulancia (i)
donde el signo de más es aplicable porque la ambulancia se está alejando del observador estacio-
nario. El sonido es reflejado por la pared del cañón hasta la ambulancia en movimiento. Ahora
el alpinista lesionado en la ambulancia es un observador en movimiento. Podemos calcular la
frecuencia observada por el alpinista, f2, usando la ecuación 16.15:
f2 = f11 – vambulancia , (ii)
vsonido
donde se usa el signo de menos porque el observador se está alejando de la fuente.
SIMPLIFIQUE
Podemos combinar las ecuaciones (i) y (ii) para obtener
f2 = f vsonido vsonido 1 – vambulancia .
+ vambulancia vsonido
Usted puede ver que este resultado es un caso especial de la ecuación 16.16, donde las rapideces
del observador y la fuente son la rapidez de la ambulancia, y tanto el observador como la fuente
se están alejando uno del otro.
CALCULE
Al colocar los valores numéricos obtenemos
f2 = (400 Hz) 343 343 m/s m/s 1 – 31.3 m/s = 333.1018 Hz.
m/s + 31.3 343 m/s
(continúa)
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550 Capítulo 16 Sonido
(continuación)
REDONDEE
Reportamos el resultado con tres cifras significativas:
f2 = 333 Hz.
VUELVA A REVISAR
La frecuencia del sonido reflejado observado por el alpinista lesionado es aproximadamente
20% más baja que la frecuencia original de la sirena de la ambulancia. La rapidez de la ambulan-
cia es aproximadamente 10% de la rapidez del sonido. Los dos desplazamientos Doppler, uno
para el sonido emitido por la ambulancia en movimiento y otro para el sonido reflejado obser-
vado en la ambulancia en movimiento deberán desplazar cada uno la frecuencia por aproxima-
damente 10%, así que la frecuencia observada parece ser razonable.
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
16.1 U sted está parado en la acera esperando para cruzar la ca- hay cambio abrupto en la frecuencia percibida. Esto ocurre
lle. De repente escucha el sonido del claxon de un auto que se porque
acerca con rapidez constante. Usted escucha una frecuencia de
80 Hz. Después de que pasa el auto, escucha una frecuencia a) el tono del sonido del claxon cambia en forma continua;
de 72 Hz. ¿Con qué rapidez se estaba moviendo el auto? b) la intensidad del sonido observado cambia en forma con-
tinua;
a) 17 m/s c) 19 m/s c) usted no está parado directamente en la trayectoria del auto
b) 18 m/s d) 20 m/s en movimiento;
d) todas las razones mencionadas antes son ciertas.
16.2 Un nivel de sonido de 50 decibeles es
16.6 Un sonómetro ubicado a 3 m de un altavoz registra un
a) 2.5 veces más intenso que un sonido de 20 decibeles. nivel de sonido de 80 dB. Si el volumen del altavoz en este
b) 6.25 veces más intenso que un sonido de 20 decibeles. momento se baja de tal modo que la potencia se reduce por
c) 10 veces más intenso que un sonido de 20 decibeles. un factor de 25, ¿qué medirá el sonómetro?
d) 100 veces más intenso que un sonido de 20 decibeles.
e) 1 000 veces más intenso que un sonido de 20 decibeles. a) 3.2 dB c) 32 dB e) 66 dB
b) 11 dB d) 55 dB
16.3 U na patrulla de policía se está moviendo hacia usted,
acelerando constantemente, con la sirena sonando. Conforme 16.7 ¿Qué tiene el mayor efecto sobre la rapidez del sonido en
se acerca, el sonido que usted escucha el aire?
a) mantiene la misma fre- c) aumenta la frecuencia. a) La temperatura del aire. d) La presión de la atmós-
cuencia. d) se necesita más informa- b) La frecuencia del sonido. fera.
b) baja de frecuencia. ción. c) La longitud de onda del
sonido.
16.4 U sted está creando una onda sonora al sacudir un remo
en un medio líquido. ¿Cómo podrá aumentar la rapidez de la 16.8 Una conductora está sentada en su auto en un cruce de
onda sonora resultante? ferrocarril. Tres trenes pasan con diferentes rapideces (cons-
tantes), cada uno emitiendo el mismo sonido. Aburrida, la
a) Usted sacude el remo más duro para darle al medio más conductora graba los sonidos. Más tarde, en su casa, grafica la
energía cinética. frecuencia como función del tiempo en su computadora, con
b) Usted hace vibrar el remo más rápidamente para aumentar el resultado de la gráfica que se muestra en la figura. ¿Cuál de
la frecuencia de la onda. los tres trenes tuvo la rapidez más alta?
c) Usted crea una resonancia con una onda de mayor movi-
miento en el aire. a) El que está representado por
d) Todas estas cosas funcionarán. la línea sólida.
e) Ninguna de estas cosas funcionará.
f) Sólo a) y b) funcionarán. b) El que está representado por f
g) Sólo a) y c) funcionarán. la línea interrumpida.
h) Sólo b) y c) funcionarán.
c) El que está representado por t
16.5 P arado en la acera, usted escucha el claxon de un auto la línea punteada.
que pasa. Cuando el auto termina de pasar, la frecuencia del d) No se puede determinar.
sonido cambia de alta a baja de manera continua; es decir, no
16.9 T res miembros de la facultad de Física están sentados en
tres autos diferentes en un cruce de ferrocarril. Tres trenes pa-
san con distintas rapideces (constantes), cada uno emitiendo
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Problemas 551
el mismo sonido. Cada miem- b) El que está representado por la línea interrumpida.
bro de la facultad utiliza un c) El que está representado por la línea punteada.
teléfono celular para grabar f d) No se puede determinar.
el sonido de un tren diferen- 16.10 E n la pregunta 16.9, ¿cuál de los docentes estuvo más
te. Al día siguiente, durante cerca de los rieles del ferrocarril?
una reunión de docentes, ellos a) El que grabó el sonido representado por la línea sólida.
grafican la frecuencia como t b) El que grabó el sonido representado por la línea interrum-
pida.
función de tiempo en una computadora, con el resultado de c) El que grabó el sonido representado por la línea punteada.
la gráfica que se muestra en la figura. ¿Cuál de los tres trenes d) No se puede determinar.
tuvo la rapidez más alta?
a) El que está representado por la línea sólida.
PREGUNTAS
16.11 Una forma (algo riesgosa) de decir si se acerca un tren 16.15 E n un día de mucho viento, un niño parado afuera es-
que no se puede ver ni oír es colocar su oreja en un riel. Expli- cucha la campana de la escuela. Si el viento sopla hacia el niño
que por qué funciona esto. desde la dirección de la escuela, ¿alterará la frecuencia, la lon-
16.12 U na demostración clásica de la física de los sonidos es gitud de onda o la velocidad del sonido que escucha el niño?
la colocación de un despertador en una campana de vacío. La 16.16 Una sirena de la policía contiene por lo menos dos
demostración empieza con aire en la campana de vacío con pre- frecuencias que producen un sonido oscilante (pulsaciones).
sión atmosférica normal. Luego la campana se evacua a presio- Explique cómo cambia el sonido de la sirena cuando una pa-
nes cada vez más bajas. Describa el resultado esperado. trulla de policía se acerca, se pasa y se aleja de un peatón.
16.13 U sted está sentado cerca de la parte trasera de un avión 16.17 La Luna no tiene atmósfera. ¿Es posible generar ondas
bimotor comercial que tiene los motores montados en el fuse- sonoras en ella?
laje cerca de la cola. La rapidez de la rotación nominal para el 16.18 C uando dos tonos puros con frecuencias parecidas se
turboventilador en cada motor es de 5 200 revoluciones por combinan para producir pulsaciones, el resultado es un tren
minuto, lo que es también la frecuencia del sonido dominan- de paquetes de ondas. Esto quiere decir que las ondas sinusoi-
te emitido por la máquina. ¿Qué pista auditiva podría sugerir dales de igual amplitud A, moviéndose en la misma dirección,
que los motores no están perfectamente sincronizados y que el tienen los números de onda y + y las frecuencias angu-
turboventilador en uno de ellos está rotando aproximadamente lares y + , respectivamente. Suponga que x sea la lon-
1% más rápido que en el otro? ¿Cómo podría medir este efecto gitud del paquete de ondas, o sea la distancia entre dos nodos
si tuviera solamente su reloj de pulsera (podría medir los inter- de la cubierta de las funciones de senos combinados. ¿Cuál es
valos de tiempo sólo en segundos)? Para escuchar este efecto, el valor del producto x?
vaya a http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/beats. 16.19 C uando camina por la calle, un auto convertible (des-
shtml. Esta simulación funciona mejor con frecuencias natura- capotable) pasa al otro lado de la calle. Usted escucha cómo
les enteras, así que redondee sus frecuencias. las bocinas (altavoces) de bajos profundos emiten un ritmo
16.14 Usted determina la dirección de donde proviene un so- atractivo pero irritantemente fuerte. Estime la intensidad del
nido juzgando subconscientemente la diferencia de tiempo que sonido que percibe, y luego calcule la intensidad mínima a la
tarda en llegar al oído derecho e izquierdo. Un sonido directa- que se sujetan los pobres oídos del conductor y pasajero del
mente frente a (o atrás de) usted llega a ambos oídos al mismo convertible (descapotable).
tiempo; un sonido desde su izquierda llega a su oído izquierdo 16.20 Si usted sopla aire a través de la boca de una botella de
antes que a su oído derecho. ¿Qué pasa con esta habilidad para refresco vacía, escucha un sonido. ¿Por qué será que si pone
determinar la ubicación de un sonido si usted está bajo el agua? agua en la botella, el tono aumenta?
¿Parecerá que los sonidos estén ubicados más en frente o más al
lado de donde se encuentren realmente?
PROBLEMAS
Una • y dos •• indican un nivel creciente de dificultad del 16.22 D os granjeros están parados en lados opuestos de un
problema. campo vacío muy grande que tiene 510 m de ancho. Uno de los
granjeros grita unas instrucciones y pasan 1.5 segundos hasta que
Sección 16.1 el sonido llega al otro granjero. ¿Cuál es la temperatura del aire?
16.21 P arado en la acera, usted se da cuenta que se encuen- 16.23 L a densidad de una muestra de aire es de 1.205 kg/m3,
y el módulo de compresibilidad es de 1.42 · 105 N/m2.
tra a mitad del camino entre una torre de reloj y un edificio
grande. Cuando el reloj marca la hora, usted escucha un eco a) Encuentre la rapidez del sonido en la muestra de aire.
de la campana 0.500 s después de escucharla directamente de b) Encuentre la temperatura de la muestra de aire.
la torre. ¿Qué distancia hay entre la torre de reloj y el edificio?
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552 Capítulo 16 Sonido
•16.24 Usted tira una piedra en un pozo que tiene 9.50 m de en el punto de observación? Si d = 10.0 m y la rapidez del so-
profundidad. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que escucha el ruido nido es de 340 m/s, ¿cuál es la frecuencia del sonido emitido?
del agua? La rapidez del sonido en el aire es de 343 m/s.
16.25 La radiación electromagnética (luz) consiste en ondas. 16.33 U na estudiante universitaria está en un concierto y
Hace más de un siglo, los científicos pensaban que la luz, igual realmente quiere escuchar la música, así que se sienta entre dos
que otras ondas, requería un medio (llamado el éter) para so- bocinas en fase que se encuentran a una distancia de 50.0 m.
portar su transmisión. El vidrio, que tiene una densidad de Las bocinas emiten un sonido con una frecuencia de 490 Hz.
masa típica de = 2 500 kg/m3, también soporta la transmisión En el punto medio entre las bocinas habrá interferencia cons-
de la luz. ¿Cuál tendría que ser el módulo de elasticidad del tructiva, y la música estará en su punto más fuerte. ¿A qué dis-
vidrio para soportar la transmisión de ondas de luz con una ra- tancia más cercana al punto medio podría también sentarse
pidez de v = 2.0 · 108 m/s? Compare esto con el verdadero mó- para experimentar el sonido más fuerte?
dulo de elasticidad del vidrio común, que es de 5 · 1010 N/m2.
16.34 La cuerda de un violín produce 2 pulsos por segundo
Sección 16.2 cuando suena junto con un diapasón con la frecuencia de 400
Hz. La frecuencia de los pulsos aumenta cuando se tensa la
16.26 Compare la intensidad del sonido en el umbral de do- cuerda.
lor, que es de 120 dB con la del nivel de susurro, 20 dB.
a) ¿Cuál era la frecuencia del violín al principio?
16.27 El nivel de sonido en decibeles se expresa normalmente b) ¿Qué se deberá hacer para afinar el violín?
cdoemporesió=n1, 0e llongi v(eI/lId0)e, pero puesto que el sonido es una onda •16.35 Usted está para-
sonido se puede expresar en términos do junto a una pared al
de una diferencia de presión. La intensidad depende de la am- lado opuesto de dos bo- 3.00 m
dprpulooiintrdudeodletoaiPíeld0ncoeeu:suaPlnd0ar=nadid2ivfo.ee0,lr0eda n·se 1ícs0iqoa–un5dePidealoa.pUrdeeexnspi1cór1oen0ns.imcódineBárs.teEopsnedqceuu=reeonñ2cta0kr eladoplegar me(aPcmui/acPpbh0lli)oe-, cinas que están separa-
das por 3.00 m, tal como
lo muestra la figura. Las 120. m
dos bocinas empiezan a emitir un tono de 343 Hz en fase. ¿En
tud de la onda de presión generada por ese concierto. qué parte a lo largo de la pared se debería parar para que el
sonido de las bocinas sea lo más suave posible? Sea específico:
16.28 En un juego de fútbol de campeonato intercolegial, la ¿a qué distancia de un punto central entre las bocinas estará
intensidad del grito de una sola persona en las gradas del cen- usted? La pared opuesta está a 120. m de la pared con las boci-
tro del campo es de aproximadamente 50 dB. ¿Cuál sería el nas. (Suponga que las paredes sean buenas absorbedoras y por
nivel de intensidad en el centro del campo si los 10 000 faná- lo tanto la contribución de reflexiones del sonido percibido
ticos en el juego gritaran aproximadamente desde la misma sea insignificante.)
distancia desde este punto central?
•16.36 Usted está tocando una nota que tiene una frecuen-
•16.29 D os personas están platicando a una distancia de 3.0 cia fundamental de 400. Hz en la cuerda de una guitarra de
m de donde está usted, y usted está midiendo la intensidad del una longitud de 50.0 cm. Al mismo tiempo, su amigo toca una
sonido como 1.1 · 10–7 W/m2. Otro estudiante se encuentra a nota fundamental en un tubo de órgano abierto, y se escuchan
una distancia de 4.0 m de los que hablan. ¿Qué intensidad de 4 pulsos por segundo. La masa por unidad de longitud de la
sonido mide el otro estudiante? cuerda es de 2.00 g/m. Suponga que la velocidad del sonido
sea de 343 m/s.
•16.30 U n niño entusiasmado en un campamento pega un
grito. Su padre, a 1.2 m de distancia, lo escucha como un soni- a) ¿Cuáles son las posibles frecuencias del tubo abierto del
do de 90.0 dB. Un alpinista está sentado a 850 m del niño, en órgano?
lo alto de una montaña cercana. ¿Qué tan fuerte le parecerá el b) Cuando se tensa la cuerda de la guitarra, se reduce la fre-
grito al alpinista? cuencia de pulsos. Encuentre la tensión original de la cuerda.
c) ¿Cuál es la longitud del tubo del órgano?
•16.31 A unque sean agradables, los conciertos de rock pue-
den dañar el oído de la gente. En la primera fila de un con- •16.37 Dos bocinas de 100.0 W, A y B, están separadas por
cierto de rock, a 5.00 m del sistema de sonido, la intensidad de una distancia D = 3.6 m. Las bocinas emiten ondas sono-
sonido es de 145.0 dB. ¿Qué tan lejos debería usted sentarse ras en fase con una frecuencia f = 10 000.0 Hz. El punto P1
para que la intensidad de sonido baje al nivel seguro recomen-
dado de 90.0 dB? y
Sección 16.3 Bocina A yA 1.8 m
16.32 Dos fuentes, A y B, emiten un sonido de una determi- D 3.6 m P1
nada longitud de onda. El sonido emitido de ambas fuentes se P2
detecta en un punto alejado de ellas. El sonido de la fuente A y x
está a una distancia d del punto de observación, mientras que
el sonido de la fuente B tiene que recorrer una distancia de 3. Bocina B yB 1.8 m 4.50 m
¿Cuál es el valor más grande de la longitud de onda, en térmi- L
nos de d, para que se detecte la máxima intensidad de sonido
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Problemas 553
xsblae2idiu=onbt4ieac.n5alsa0iedbnmaodxcy1iInA=ya12 4.50 m yDye1sp=re0ciman;deol plaunbtoociPn2a se ubica en a) ¿Cuál es el ángulo de Mach?
= –y. B, ¿cuál es b) ¿Cuál es la altitud del avión?
(en W/m2), del sonido en edlepluanbtoocPin1 adees-
A? Suponga que el sonido •16.44 Usted viaja en un auto hacia una colina con una rapi-
emitido de manera uniforme en todas las direcciones. ¿Cuál dez de 40.0 mph. El claxon del auto emite ondas sonoras de
es la intensidad en términos de decibeles (nivel de sonido una frecuencia de 250 Hz, que se mueven con una rapidez de
cLlmvuueAeome1gn)eoo?tnsrsyCaehsyuPuavas2cquniduiaedneelotPvPeDe2n1s,?saee;idsometaansdaeycxie,ainsiel,motn¿ecqdnqoizuemusanéierdbealiaesendmnpaadbeyPlraa?c2mss.aUn¿eibsAtznteoaecPsdquii1numpn.aéuCpsmed,luidifíhaseninctaiasaydmunropcoueionlnaúnáonselsmgeriecmáqeboxunoriyae--- 340 m/s.
a1/2 b
usando a ± b ≈ ± 2a1/2 cuando a b. a) Determine la frecuencia con la que las ondas sonoras refle-
jadas impactan en la colina.
Sección 16.4 b) ¿Cuál es la frecuencia de las ondas sonoras reflejadas que
usted escucha?
16.38 Un policía con un muy buen oído y un buen enten- c) ¿Cuál es la frecuencia de pulsos producida por los sonidos
dimiento del efecto Doppler está parado al borde de una directos y reflejados en sus oídos?
autopista apoyando a un equipo que trabaja en una zona de
40 mph. Él observa un auto que se acerca tocando su claxon. •16.45 Un auto está estacionado en un cruce de ferrocarril.
Cuando el auto se aproxima, el policía escucha el sonido del Un tren pasa, y el conductor graba la dependencia del tiempo
claxon con un claro tono B4 (494 Hz). En el instante que pasa de la frecuencia del sonido emitido por el tren, como se mues-
el auto, el policía escucha el sonido como un claro tono A4 tra en la figura.
(440 Hz). Él sube inmediatamente a su moto, para el auto y le
levanta al automovilista una infracción por exceso de veloci- fo (Hz) 950
dad. Explique su razonamiento. 900
850
16.39 Un meteorito impacta en la superficie del mar con una 210 1 2 3
rapidez de 8 800 m/s. ¿Cuáles son los ángulos de la onda de t (s)
choque que produce a) en el aire justo antes de impactar en
la superficie del océano y b) en el océano justo después de a) ¿Cuál es la frecuencia que escucha alguien que viaja en el tren?
entrar? Suponga que la rapidez del sonido en aire y agua sea
de 343 m/s y 1 560 m/s, respectivamente. b) ¿A qué rapidez se mueve el tren?
c) ¿A qué distancia de los rieles se encuentra el conductor del
Pista: f v2 .
16.40 El silbato de un tren emite un sonido con una frecuen- auto? dfo =– b vsonido
cia f = 3 000. Hz cuando permanece estacionado. Usted está dt
parado cerca de los rieles cuando pasa el tren con una rapidez t =0
v = 30.0 m/s. ¿Cuál es la magnitud del cambio de la frecuencia
(|f |) del silbato cuando pasa el tren? (Suponga que la rapidez ••16.46 Muchos poblados tienen sirenas de tornado, que son
del sonido sea v = 343 m/s.) sirenas grandes elevadas para avisar a los habitantes sobre tor-
nados inminentes. En un pequeño poblado, una sirena está
elevada a 100. m arriba del suelo. Un auto se aleja a 100. km/h
directamente de esta sirena mientras emite un sonido de 440.
•16.41 U sted maneja en una carretera con una velocidad de Hz. ¿Cuál es la frecuencia del sonido que escucha el conductor
30.0 m/s cuando escucha una sirena. Usted mira en el espejo y como función de la distancia de la sirena en la que empieza?
ve cómo se acerca una patrulla de policía desde atrás con una Grafique esta frecuencia como función de la posición del auto
rapidez constante. La frecuencia de la sirena que usted escucha hasta 1 000. m. Explique esta gráfica en términos del efecto
es de 1 300 Hz. Inmediatamente después de que pasa la patru- Doppler.
lla, la frecuencia de la sirena que usted escucha es de 1 280 Hz.
Sección 16.5
a) ¿Con qué rapidez se movía la patrulla?
b) Usted está tan nervioso después de que pasa la patrulla que 16.47 U na onda estacionaria en un tubo con ambos extremos
se arrima al lado de la carretera y para su auto. Luego escucha abiertos tiene una frecuencia de 440 Hz. El próximo armónico
otra sirena, esta vez de una ambulancia que se acerca desde más alto tiene una frecuencia de 660 Hz.
atrás. La frecuencia de la sirena que escucha es de 1 400 Hz.
Cuando pasa, la frecuencia es 1 200 Hz. ¿Cuál es la frecuencia a) Determine la frecuencia fundamental.
real de la sirena de la ambulancia? b) ¿Qué longitud tiene el tubo?
•16.42 U n murciélago que vuela hacia una pared con una ra- 16.48 U n clarín puede ser representado por un tubo cilíndri-
pidez de 7.0 m/s emite una onda de ultrasonido con una fre- co con una longitud L = 1.35 m. Puesto que los extremos están
cuencia de 30.0 kHz. ¿Qué frecuencia tiene la onda reflejada abiertos, las ondas estacionarias que se producen en el clarín
cuando alcanza al murciélago en vuelo?
Desenvuelto L 1.35 m
•16.43 Un avión vuela a Mach 1.30, y su onda de choque llega a un 0x
hombre 50.0 s después de que el avión pasa directamente encima.
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554 Capítulo 16 Sonido Nota Frecuencia (Hz) Longitud (m)
Sol4 392
tienen antinodos en los extremos abiertos, donde las molécu-
las de aire tienen más movimiento de ida y vuelta. Calcule las La4 440
tres longitudes de ondas más largas de las ondas estacionarias
dentro del clarín. También calcule las tres frecuencias más ba- Si4 494
jas y las tres longitudes de onda más largas del sonido que se
produce en el aire alrededor del clarín. Fa5 698
16.49 Una soprano canta la nota do6 (1 046 Hz) a través de la
boca de una botella de refresco. Para producir una frecuencia Do6 1 046
fundamental en la botella de refresco igual a esta nota, descri-
ba qué tanto la parte superior del líquido debe estar debajo de Calcule la longitud para cada uno de los cinco tubos a fin de
la parte superior de la botella. lograr la frecuencia deseada, y complete la tabla.
16.50 U na barra delgada de aluminio con una longitud L =
2.00 m está sujetada en su centro. La rapidez del sonido en el 16.58 Dos trenes están viajando uno hacia el otro en aire in-
aluminio es de 5 000. m/s. Encuentre la frecuencia de reso- móvil a 25.0 m/s con respecto al suelo. Un tren toca un silbato
nancia más baja para vibraciones en esta barra. a 300 Hz. La rapidez del sonido es de 343 m/s.
•16.51 E ncuentre la frecuencia de resonancia del canal audi-
tivo. Trátelo como un tubo semiabierto con un diámetro de a) ¿Qué frecuencia escucha un hombre parado en el suelo de
8.0 mm y una longitud de 25 mm. Suponga que la temperatu- frente al tren que toca el silbato?
ra dentro del canal auditivo sea la de la temperatura corporal b) ¿Qué frecuencia escucha un hombre en el otro tren?
(37 °C).
•16.52 S e construye un tubo semiabierto para producir una •16.59 A una distancia de 20.0 m de una fuente de sonido, la
frecuencia fundamental de 262 Hz cuando la temperatura intensidad del sonido es de 60.0 dB. ¿Cuál es la intensidad (en
del aire es de 22 °C. Se utiliza en un edificio con exceso de dB) en un punto a 2.00 m de la fuente? Suponga que el soni-
temperatura cuando la temperatura es de 35 °C. Despre- do esté radiando de manera uniforme en todas las direcciones
ciando la expansión térmica en el tubo, ¿qué frecuencia se desde la fuente.
escuchará?
•16.60 Dos vehículos equipados con bocinas que producen
Problemas adicionales un tono de frecuencia de 1 000 Hz se mueven directamente
16.53 El claxon de un auto emite un sonido con una frecuen- uno hacia el otro. El vehículo A se mueve a 10.00 m/s, y el
vehículo B se mueve a 20.00 m/s. Suponga que la rapidez del
cia de 400.0 Hz. El auto se mueve con una velocidad de 20.0 sonido en el aire sea de 343.0 m/s. Encuentre las frecuencias
m/s hacia un peatón estacionario cuando el conductor toca el que escucha el conductor de cada vehículo.
claxon. ¿Qué frecuencia escucha el peatón?
16.54 Un observador está parado entre dos fuentes de soni- •16.61 U sted está parado entre dos bocinas que están separa-
do. La fuente A se aleja del observador, y la fuente B se mue- das por 80.0 m. Ambas bocinas están tocando un tono puro
ve hacia él. Ambas fuentes emiten un sonido de la misma de 286 Hz. Usted empieza a correr directamente hacia una de
frecuencia. Si ambas fuentes se mueven con una velocidad las bocinas y mide una frecuencia de pulsos de 10.0 Hz. ¿Qué
pvsoornideol/o2b, s¿ecruváaldeosr?la proporción de las frecuencias detectadas tan rápido está usted corriendo?
16.55 U n caza F16 despega de la cubierta de un portaaviones.
Un buzo a 1.00 km del buque está flotando en el agua con una •16.62 E n un experimento de interferencia de sonido, se co-
oreja debajo de la superficie y la otra arriba de ella. ¿Cuánto locan dos bocinas idénticas a una distancia de 4.00 m, de cara
tiempo pasa entre el momento cuando escuchó inicialmente a una dirección perpendicular a la línea que los conecta. Un
los motores del caza en un oído y el momento que los escucha micrófono sujetado a un desvío de rieles capta el sonido de
inicialmente en el otro? las bocinas a una distancia de 400. m, como se muestra en la
16.56 U n tren tiene un claxon que produce un sonido con figura. Las dos bocinas son accionadas en fase por el mismo
una frecuencia de 311 Hz. Suponga que usted está parado generador de señales con una frecuencia de 3 400. Hz. Supon-
junto a la vía férrea cuando el tren, con el claxon sonando, ga que la rapidez del sonido en el aire sea de 340. m/s.
se acerca con una rapidez de 22.3 m/s. ¿Cuánto cambiará
la frecuencia del sonido que usted escucha cuando el tren a) ¿En qué punto(s) del riel se deberá colocar el micrófono
pase? para que el sonido que llega a él tenga la máxima intensidad?
16.57 Usted se ha enfrascado en construir un móvil de cam- b) ¿En qué punto(s) del riel se deberá colocar el micrófono
panillas de 5 tubos. Las notas que ha seleccionado para sus para que el sonido que llega a él sea de cero?
tubos abiertos se presentan en la tabla. c) ¿Cuál es la separación entre dos puntos de máxima inten-
sidad?
d) ¿Cuál es la separación entre dos puntos de intensidad cero?
e) ¿Cómo cambiarían las cosas si las dos bocinas produjeran
sonidos de la misma frecuencia, pero de diferentes intensida-
des?
4.00 m
400. m
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Problemas 555
•16.63 U n auto que viaja a 25 m/s toca su claxon cuando se b) ¿Cuál es la frecuencia detectada por el submarino X para la
acerca directamente al lado de un edificio grande. El claxon onda de sonar reflejada del submarino Y?
pErlosdouncideounreabnootataelnareglaeydisfoicsitoenaildcaodnedufcretocruednecl iaauft0o=. L2a30onHdza.
sonora de la nota original y la que se refleja del edificio se c) Suponga que los submarinos apenas se esquivan y se em-
combinan para crear una frecuencia de pulsos. ¿Cuál es la fre- piezan a alejar uno del otro. ¿Qué frecuencia detecta el sub-
cuencia de pulsos que escucha el conductor (lo que le indica marino Y de los sonidos agudos enviados por X? ¿Cuánto es el
que más vale pisar el freno)? desplazamiento Doppler?
vauto � 25 m/s ••16.67 C onsidere una onda sonora (es decir, una onda de
fo � 230 Hz desplazamiento longitudinal) en un medio elástico con el
módulo de Young Y (sólido) o el módulo de compresibilidad
•16.64 Dos tubos idénticos semiabiertos tienen cada uno una B (fluido) dyeslacrditeanpsiodradlaifmupnecriótunrbdaedoand0a. Suponga que esta
frecuencia fundamental de 500. Hz. ¿Qué cambio en porcen- onda esté x(x,t), donde x
taje en la longitud de uno de los tubos causará una frecuencia denota el desplazamiento de un punto en medio desde su po-
de pulsos de 10.0 Hz cuando se tocan en forma simultánea? sición de equilibrio, x es la posición a lo largo de la ruta de la
•16.65 U na fuente de sonido que viaja hacia la derecha con onda y t es el tiempo. La onda también se puede considerar
una rapidez de 10.00 m/s emite una onda sonora con una fre- como una onda de presión, descrita por la función de onda
cuencia de 100.0 Hz. La onda sonora rebota de un reflector p(x,t), donde p denota el cambio de presión en el medio
que viaja hacia la izquierda con una rapidez de 5.00 m/s. ¿Cuál desde su valor de equilibrio.
es la frecuencia de la onda sonora reflejada que detecta un
observador en la fuente? a) Encuentre la relación entre p(x,t) y x(x,t), en general.
•16.66 E n una película de suspenso, dos submarinos, X y Y, se b) Si la onda de desplazamiento es una función sinusoidal
acercan uno al otro, viajando a 10.0 m/s y 15.0 m/s, respectiva- pura con la amplitud A, el número de onda , y la frecuencia
mente. El submarino X manda sonidos agudos al submarino angular , dada por x(x,t) = A cos (x – t), ¿cuál es la co-
Y, que transmite una onda de sonar a la frecuencia de 2 000.0 rrespondiente función de onda de presión p(x,t)? ¿Cuál es la
Hz. Suponga que el sonido viaja a 1500.0 m/s debajo del agua. amplitud de la onda de presión?
a) Determine la frecuencia de la onda de sonar detectada por
el submarino Y. ••16.68 C onsidere la onda sonora del problema 16.67.
a) Encuentre la intensidad, I, de la onda general en términos
de las funciones de onda x(x,t) y p(x,t).
b) Encuentre la intensidad de la onda sinusoidal del inciso
c) en términos de desplazamiento y amplitud de la onda de
presión.
•16.69 C on los resultados de los problemas 16.67 y 16.68, de-
termine el desplazamiento y la amplitud de la onda de presión
correspondientes a un tono puro de la frecuencia f = 1.000
kHz en el aire (densidad = 1.20 kg/m3, rapidez del sonido =
343. m/s) en el umbral del oído ( = 0.00 dB) y en el umbral
de dolor ( = 120 dB).
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17 PARTE 4 FÍSICA TÉRMICA
Temperatura
LO QUE APRENDEREMOS 557
17.1 Definición de temperatura 557
Escalas de temperatura 558
559
17.2 Rangos de temperatura 561
Ejemplo 17.1 Temperatura ambiente
561
Investigación en la frontera de las
bajas temperaturas 562
563
Investigación en la frontera de las 563
altas temperaturas 564
17.3 Medición de la temperatura 564
17.4 Expansión térmica 565
567
Expansión lineal
567
Ejemplo 17.2 E xpansión térmica del 569
puente Mackinac 570
571
Problema resuelto 17.1 Tira bimetálica
Expansión superficial 572
573
Problema resuelto 17.2 E xpansión de una
placa con un agujero
Expansión volumétrica
Ejemplo 17.3 Expansión térmica de la
gasolina
17.5 Temperatura superficial de la Tierra
Ejemplo 17.4 Subida del nivel del mar
debido a la expansión térmica del agua
17.6 Temperatura del universo
LO QUE HEMOS APRENDIDO/ 574
GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
Práctica para resolución de problemas 575 FIGURA 17.1 E l cúmulo estelar conocido como las Pléyades o las Siete Hermanas.
Problema resuelto 17.3 E xpansión lineal
575
de una barra de acero y una 576
576
barra de latón 577
Preguntas de opción múltiple
Preguntas
Problemas
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17.1 Definición de temperatura 557
LO QUE APRENDEREMOS
■■ La temperatura se mide usando varias y diferentes ■■ Calentar una barra larga y delgada de metal causa
propiedades de ciertos materiales. que su longitud se incremente linealmente con la
■■ La escala de temperatura Fahrenheit establece la temperatura, medida en K.
temperatura del punto de congelación del agua en ■■ Calentar un líquido por lo general causa que
32 °F y el punto de ebullición del agua en 212 °F. su volumen se incremente linealmente con la
■■ La escala de temperatura Celsius establece la temperatura, medida en K.
temperatura del punto de congelación del agua en ■■ La temperatura superficial promedio de la Tierra era
0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C. de 14.4 °C en 2005 y se incrementó en 1 °C en los 155
■■ La escala de temperatura Kelvin se define en términos años anteriores.
de una temperatura del cero absoluto o la menor ■■ El análisis de la radiación cósmica de fondo en
temperatura a la cual cualquier objeto podría existir. microondas muestra que la temperatura del universo
En la escala de temperaturas Kelvin, el punto de es de 2.725 K.
congelación del agua es de 273.15 K y el punto de
ebullición del agua es de 373.15 K.
El cúmulo estelar de las Pléyades, mostrado en la figura 17.1, puede verse a simple vista y ya era
conocido por los antiguos griegos. Lo que ellos no sabían es que estas estrellas muestran algunas
de las mayores temperaturas que ocurren en la naturaleza. La temperatura superficial de estas
estrellas varía de 4 000 a 10 000 °C, dependiendo del tamaño y otros factores. Sin embargo, las
temperaturas interiores pueden alcanzar más de 10 millones de °C, suficientemente calientes
como para vaporizar cualquier sustancia. En el otro extremo del rango de temperaturas, el espacio
mismo, lejos de cualquier estrella, registra una temperatura de unos –270 °C.
Este capítulo comienza nuestro estudio de la termodinámica, incluyendo los conceptos de
temperatura, calor y entropía. En el sentido más amplio, la termodinámica es el estudio de la ener-
gía y la transferencia de la energía: cómo se almacena la energía, cómo se transforma de un tipo
en otro y cómo se puede hacer que esté disponible para hacer trabajo. Examinaremos la energía a
un nivel atómico y molecular, lo mismo que el nivel macroscópico de los motores y las máquinas.
Este capítulo le da un vistazo a la temperatura: cómo se define y se mide y cómo los cambios
en la temperatura pueden afectar a los objetos. Consideraremos varias escalas con las cuales cuan-
tificar la temperatura, lo mismo que los rangos de temperaturas observados en la naturaleza y el
laboratorio.
En términos prácticos, es casi imposible describir la temperatura sin también discutir acerca
del calor, el cual es sujeto del capítulo 18. Asegúrese de tener presente las diferencias entre estos
conceptos cuando estudie los siguientes capítulos.
17.1 Definición de temperatura
La temperatura es un concepto que todos entendemos a partir de la experiencia. Escuchamos
los pronósticos del clima que nos dicen que hoy la temperatura será de 72 °F. Escuchamos a los
doctores que la temperatura de nuestro cuerpo es de 98.6 °F. Cuando tocamos un objeto, pode-
mos decir si está caliente o frío. Si ponemos un objeto caliente en contacto con uno frío, el objeto
caliente se enfriará y el objeto frío se calentará. Si medimos las temperaturas de estos dos objetos
después de que ha pasado algún tiempo, éstas serán iguales. Los dos objetos estarán entonces en
equilibrio térmico.
El calor es la transferencia de un tipo de energía. Esta energía, llamada en ocasiones energía
térmica, se encuentra en la forma de movimiento aleatorio de los átomos y moléculas que compo-
nen a la materia estudiada. El capítulo 18 cuantificará el concepto de calor como energía térmica
que se transfiere debido a una diferencia de temperatura.
La temperatura de un objeto está relacionada con la tendencia de un objeto a transferir calor
desde o hacia sus alrededores. El calor se transferirá de un objeto a sus alrededores si la tempera-
tura del objeto es mayor que la de sus alrededores. El calor se transferirá al objeto si su tempera-
tura es menor que sus alrededores. Note que el frío es simplemente la ausencia de calor; no hay
nada como la transferencia de “frialdad” entre un objeto y sus alrededores. Si un objeto se siente
frío al tacto, es simplemente una consecuencia de que el calor se está transfiriendo de sus dedos al
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558 Capítulo 17 Temperatura
.3 .4 .5 objeto. (Ésta es la definición macroscópica de la temperatura, veremos en el capítulo 19 que en un
.2 nivel microscópico, la temperatura es proporcional a la energía cinética del movimiento aleatorio
P .6 de las partículas.)
.1 .7
0 Medir la temperatura depende del hecho de que si dos objetos están en equilibrio térmico
con un tercer objeto, están en equilibrio térmico uno con el otro. Este tercer objeto podría ser un
Agua con hielo termómetro, el cual mide la temperatura. Esta idea, a menudo llamada la ley cero de la termodi-
0 °C námica, define el concepto de temperatura y subyace a la habilidad de medir la temperatura. Esto
a) es, con objeto de encontrar si dos objetos tienen la misma temperatura, usted no necesita ponerlos
en contacto térmico y monitorear si la energía térmica se transfiere (lo cual podría ser difícil o
.3 .4 .5 incluso imposible en algunos casos). En lugar de esto, puede usar un termómetro y medir la tem-
.2 peratura de cada objeto por separado; si sus lecturas son las mismas, usted sabe que los objetos
P .6 tienen la misma temperatura.
.1 .7
0 Las mediciones de la temperatura pueden tomarse usando cualquiera de varias escalas comu-
nes. Examinemos éstas.
Agua hirviente
100 °C Escalas de temperatura
Escala Fahrenheit
b)
Se han propuesto y usado varios sistemas para cuantificar la temperatura; los más ampliamente
FIGURA 17.2 Una esfera de usados son las escalas Fahrenheit, Celsius y Kelvin. La escala de temperatura Fahrenheit fue pro-
puesta en 1724 por Gabriel Fahrenheit, científico nacido en Alemania que vivía en Amsterdam.
aluminio hueca se embona con Fahrenheit también inventó el termómetro de expansión de mercurio. La escala Fahrenheit ha
un manómetro y se llena con pasado a través de varias iteraciones. Fahrenheit finalmente definió la unidad de la escala Fahr-
nitrógeno gaseoso. a) El recipiente enheit (°F), al fijar 0 °F para la temperatura de un baño de agua con sal, 32 °F para el punto de
se mantiene a 0 °C, colocándolo en congelación del agua y 96 °F para la temperatura del cuerpo humano, medida bajo el brazo. Más
agua con hielo. b) El recipiente se tarde, otros científicos definieron el punto de ebullición del agua como de 212 °F. Esta escala de
mantiene a 100 °C, colocándolo en temperatura se usa ampliamente en Estados Unidos.
agua hirviente.
Escala Celsius
Anders Celsius, astrónomo sueco, propuso la escala de temperatura Celsius, a menudo llamada
la escala centígrada, en 1742. Varias iteraciones de esta escala dieron por resultado la unidad de
la escala Celsius (°C) determinada al establecer el punto de congelamiento del agua en 0 °C y el
punto de ebullición del agua en 100 °C (a presión atmosférica normal). Esta escala de temperatura
se usa en todo el mundo, excepto en Estados Unidos.
Escala Kelvin
En 1848, William Thomson (Lord Kelvin), físico inglés, propuso otra escala de temperatura, la
cual se llama ahora la escala de temperatura Kelvin. Esta escala está basada en la existencia del
cero absoluto, la temperatura mínima posible.
Se estudió el comportamiento de la presión de los gases a un volumen fijo como función de la
temperatura, y el comportamiento observado se extrapoló a presión cero para establecer esta tem-
peratura de cero absoluto. Para ver cómo funciona esto, suponga que tiene un volumen fijo de nitró-
geno gaseoso en un recipiente de aluminio esférico hueco conectado a un manómetro (figura 17.2).
Hay suficiente nitrógeno gaseoso en el recipiente de manera que cuando el recipiente se sumerge en
un baño de agua con hielo, el manómetro marca 0.200 atm. Entonces ponemos el recipiente en agua
hirviente. El manómetro marca ahora 0.273 atm. Por lo tanto, la presión se ha incrementado mien-
tras el volumen ha permanecido constante. Suponga que repetimos el procedimiento con distintas
presiones iniciales. La figura 17.3 resume estos resultados, con las cuatro líneas sólidas represen-
tando las diferentes presiones iniciales. Usted puede ver que la presión del gas baja conforme la tem-
peratura decrece. A la inversa, bajar la presión de un gas debe bajar su temperatura. Teóricamente,
la menor temperatura de un gas puede determinarse extrapolando el comportamiento medido hasta
que la presión se hace cero. Las líneas punteadas en la figura 17.3 muestran las extrapolaciones.
Las relaciones entre presión, volumen y temperatura de un gas es el tema central del capítulo
19. Sin embargo, por lo pronto, usted sólo necesita entender la siguiente observación: los datos de
los cuatro conjuntos de observaciones comenzando a diferentes presiones iniciales se extrapolan
a la misma temperatura a la presión cero. Esta temperatura se llama cero absoluto y corresponde a
−273.15 °C. Cuando los investigadores intentan disminuir la temperatura del nitrógeno gaseoso
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17.2 Rangos de temperatura 559
FIGURA 17.3 Líneas sólidas:
presiones de un gas medidas
a volumen fijo y diferentes
temperaturas. Cada línea representa
un experimento comenzando a
distintas presiones iniciales. Líneas
punteadas: extrapolación de la
presión de nitrógeno gaseoso en un
volumen fijo conforme disminuye la
temperatura.
real a temperaturas muy bajas, la relación lineal se interrumpe debido a que el nitrógeno gaseoso 17.1 Ejercicio en clase
se licua, trayendo consigo las interacciones entre las moléculas de nitrógeno. Además, los diferen-
tes gases muestran un comportamiento un poco diferente a temperaturas muy bajas. Sin embargo, ¿Cuál de las siguientes
para presiones bajas y temperaturas relativamente altas, este resultado general se mantiene. temperaturas es la más fría?
El cero absoluto es la menor temperatura a la cual la materia podría existir en teoría. (Expe- a) 10 °C c) 10 K
rimentalmente, es imposible alcanzar el cero absoluto, de la misma forma en que es imposible
construir una máquina de movimiento perpetuo.) Veremos en el capítulo 19 que la temperatura b) 10 °F
corresponde al movimiento a escala atómica y molecular, así es que hacer que un objeto alcance el
cero absoluto implicaría que todo el movimiento de los átomos y moléculas del objeto cesara. Sin 17.2 Ejercicio en clase
embargo, se requiere algún movimiento de este tipo según la mecánica cuántica. Ésta se llama en
ocasiones la tercera ley de la termodinámica y significa que nunca se puede lograr en realidad ¿Cuál de las siguientes
el cero absoluto. temperaturas es la más caliente?
Kelvin usó el tamaño del grado Celsius (°C) como el tamaño de la unidad de su escala de a) 300 °C c) 300 K
temperatura, llamado ahora el kelvin (K). En la escala Kelvin, el punto de congelación del agua
es de 273.15 K y el punto de ebullición del agua es de 373.15 K. Esta escala de temperatura se b) 300 °F
usa en muchos cálculos científicos, como veremos en los próximos capítulos. Debido a estas
consideraciones, el kelvin es la unidad normal para la temperatura en el SI. Para conseguir una
mayor consistencia, los científicos han propuesto definir al kelvin en términos de otras cons-
tantes fundamentales, en lugar de en términos de las propiedades del agua. Está programado
que estas nuevas definiciones tengan efecto para el año 2011.
17.2 Rangos de temperatura
Las mediciones de temperatura abarcan un amplio rango (mostrado en la figura 17.4, usando
una escala logarítmica), desde las mayores temperaturas medidas (2 · 1012 K), observadas en las
colisiones de iones pesados relativistas (RHIC), a las menores temperaturas medidas (1 · 10–10 K),
observadas en sistemas de espín en los átomos de rodio. Se estima que la temperatura en el cen-
tro del Sol es de 15 · 106 K, y se ha medido en la superficie del Sol como de 5 780 K. La menor
temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 183.9 K (−89.2 °C) en la Antártida;
la mayor temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 330.8 K (57.7 °C) en el
desierto de Sahara en Libia. Usted puede ver en la figura 17.4 que el rango de temperatura
observada en la superficie terrestre cubre sólo una pequeña fracción del rango de temperatu-
ras observadas. La radiación cósmica de fondo en microondas dejada atrás por el Big Bang de
hace 13.7 mil millones de años tiene una temperatura de 2.73 K (la cual es la temperatura del
espacio intergaláctico “vacío”), una observación que se explicará con más detalle en capítulos
posteriores. En la figura 17.4, usted puede ver que las temperaturas logradas en las colisiones
de iones pesados relativistas son 300 millones de veces mayores que la temperatura superficial
del Sol y que las temperaturas de los átomos medidas en las trampas de iones son más de mil
millones de veces inferiores que la temperatura del espacio intergaláctico.
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560 Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.4 R ango de las temperaturas observadas, graficadas en una escala logarítmica.
FIGURA 17.5 Temperaturas representativas, expresadas en tres escalas de temperatura comunes.
La figura 17.5 muestra algunas temperaturas representativas sobre el cero absoluto y bajo
400 K, expresados en las escalas Fahrenheit, Celsius y Kelvin. El rango de temperaturas se muestra
en una escala lineal.
En las siguientes fórmulas de conversión entre las diversas escalas de temperatura, la tempe-
ratura Fahrenheit meseTdFi,dma eendiKda. en °F; la temperatura Celsius es TC, medida en °C , y la tempera-
tura Kelvin es TK,
Fahrenheit a Celsius: TC = 5 (TF – 32 °F). (17.1)
9 (17.2)
17.1 O portunidad de Celsius a Fahrenheit: TF = 9 TC + 32 °C.
autoexamen 5
¿A qué temperatura tienen el Celsius a Kelvin: TK =TC + 273.15 °C. (17.3)
mismo valor numérico las esca-
las Fahrenheit y Celsius?
Kelvin a Celsius: TC =TK – 273.15 K. (17.4)
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17.2 Rangos de temperatura 561
La temperatura media del cuerpo humano tomada oralmente es de 36.8 °C, la cual corresponde FIGURA 17.6 Un termómetro
a 98.2°F. La temperatura oral media comúnmente citada es de 98.6 °F y corresponde a la medición
del siglo xix de 37 °C. Esta temperatura se resalta en el termómetro oral de mercurio en la figura oral, de expansión de mercurio.
17.6. La diferencia entre 98.6 °F y 98.2 °F corresponde así al error debido a redondear las mediciones
en la escala Celsius de las temperaturas del cuerpo humano con dos dígitos. La tabla 17.1 lista las
temperaturas del cuerpo humano y otras temperaturas representativas, expresadas en tres escalas
de temperatura.
EJEMPLO 17.1 Temperatura ambiente
A menudo se menciona la temperatura ambiente como de 72.0 °F.
PROBLEMA
¿Cuál es la temperatura ambiente en las escalas Celsius y Kelvin?
SOLUCIÓN
Usando la ecuación 17.1, podemos convertir la temperatura ambiente de grados Fahrenheit a
grados Celsius:
TC = 5 (72 °F – 32 °F) = 22.2 °C.
9
Usando la ecuación 17.3, podemos expresar la temperatura ambiente en kelvin como
TK = 22 °C + 273.15 °C = 295. K.
Investigación en la frontera de las bajas temperaturas
¿Cómo se logran temperaturas muy bajas en el laboratorio? Los investigadores comienzan por
tomar ventaja de los gases relacionadas como su presión, volumen y temperatura (de nuevo,
el capítulo 19 se adentrará en estas propiedades con mucha mayor profundidad). Además, los
cambios de fase (discutidos en el capítulo 18) de líquido a gas y de nuevo a líquido son crucia-
les para producir temperaturas bajas en el laboratorio. Por lo pronto, todo lo que necesita saber
Tabla 17.1 Varias temperaturas, expresadas en las tres escalas de temperatura más comúnmente usadas
Fahrenheit (°F) Celsius (°C) Kelvin (K)
Cero absoluto –459.67 –273.15 0
Punto de congelación del agua 32 0 273.15
Punto de ebullición del agua 212 373.15
Temperatura típica del cuerpo humano 98.2 100 310
Mínima temperatura del aire medida 36.8 184
Máxima temperatura del aire medida –129 –89.2 331
Menor temperatura jamás medida en el laboratorio 136 57.8 1.0 · 10–10
Mayor temperatura jamás medida en el laboratorio –273.15 2 · 1012
Radiación del fondo cósmico de microondas –459.67 2 · 10 12
Punto de ebullición del nitrógeno líquido 3.6 · 1012 –270.42 2.73
Punto de ebullición del helio líquido –454.76 –196 77.3
Temperatura en la superficie del Sol –321 –269 4.2
Temperatura en el centro del Sol –452 6 000 6 300
Temperatura promedio en la superficie terrestre 11 000 15 · 106 15 · 106
Temperatura en el centro de la Tierra 27 · 106 15 288
6 700 7 000
59
12 000
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562 Capítulo 17 Temperatura
Modelo JDR-100 es que cuando un líquido se evapora, la energía requerida para cambiar el líquido a gas es tomada
a) del líquido; por lo tanto, el líquido se enfría. Por ejemplo, el aire se licua mediante un proceso de
múltiples etapas en el cual el aire se comprime y se enfría removiendo el calor producido por la
Extrac- etapa de compresión. Entonces, el hecho de que distintos gases tienen diferentes temperaturas a
ción las cuales se licuan permite separar al nitrógeno líquido y el oxígeno líquido. A presión atmos-
de 3He férica normal, el nitrógeno líquido tiene un punto de ebullición de 77 K, en tanto que el oxígeno
Mezcla líquido tiene un punto de ebullición de 90 K. El nitrógeno líquido tiene muchas aplicaciones, entre
de 3He/4He las cuales se encuentran las importantes demostraciones en el salón de clases.
Modelo JDR-100 Etapa de dilución Temperaturas incluso menores se logran usando el proceso de compresión, con el nitrógeno
b) líquido extrayendo el calor conforme se comprime el helio. El helio líquido hierve a 4.2 K. Comen-
zando con helio líquido y reduciendo la presión de manera que se evapore, los investigadores
FIGURA 17.7 a) Un refrigerador pueden enfriar el líquido restante hasta más o menos 1.2 K. Para el isótopo helio-3 (3He), se puede
alcanzar una temperatura tan baja como 0.3 K con la técnica de enfriamiento por evaporación.
de dilución comercial. b) Interior de
un refrigerador de dilución con el Para alcanzar temperaturas aún menores, los investigadores usan un aparato llamado refrige-
recipiente de 3He/4He (mezclador) rador de dilución (vea la figura 17.7). Un refrigerador de dilución usa dos isótopos de helio: 3He
y el recipiente de extracción de 3He (dos protones y un neutrón) y 4He (dos protones y dos neutrones). Cuando la temperatura de una
(alambique). mezcla de 3He líquido y 4He líquido se reduce a menos que 0.7 K, los dos gases se separan en
una fase deficiente en 3He y en una fase deficiente en 4He. Se requiere energía para mover los
átomos de 3He hacia la fase deficiente en 3He. Si se puede forzar a los átomos a cruzar la frontera
entre las dos fases, la mezcla se puede enfriar de manera semejante al enfriamiento evaporativo.
Un refrigerador de dilución puede enfriar hasta temperaturas alrededor de 10 mK y los mejores
modelos comerciales pueden alcanzar 2 mK.
Temperaturas incluso menores se pueden lograr con un gas de átomos confinados en una
trampa. Para alcanzar estas temperaturas, los investigadores usan técnicas tales como enfria-
miento con láser. El enfriamiento con láser saca ventaja de la estructura electrónica de ciertos
átomos. Las transiciones entre los niveles de energía electrónicos específicos en un átomo pue-
den hacer que se emitan fotones con una longitud de onda cercana a la luz visible. También
puede ocurrir el proceso inverso, en el cual los átomos absorben fotones. Para enfriar átomos
usando el enfriamiento por láser, los investigadores usan un láser que emite luz con una longi-
tud de onda muy específica, que es mayor que la longitud de onda de la luz emitida durante una
transición atómica. De esta forma, cualquier átomo que se mueve acercándose al láser experi-
menta una longitud de onda ligeramente menor debido al efecto Doppler (vea el capítulo 16),
en tanto que cualquier átomo que se mueve alejándose del láser experimenta una longitud de
onda mayor. Los átomos que se mueven hacia el láser absorben fotones, pero los átomos que se
mueven alejándose del láser no son afectados. Los átomos que absorben fotones los reemiten en
direcciones aleatorias, enfriando efectivamente a los átomos. Se han logrado temperaturas que
se aproximan a los 10–9 K usando este método (figura 17.8). Se le otorgó el Premio Nobel de
Física 1997 a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji y William D. Phillips por su trabajo con el
enfriamiento con láser.
Las temperaturas más frías logradas en el laboratorio se han conseguido usando una técnica
llamada desmagnetización nuclear adiabática. La muestra, típicamente una pieza de rodio metá-
lico, se enfría primero usando un refrigerador de dilución. Entonces, se aplica un fuerte campo
magnético. Se produce una pequeña cantidad de calor en el rodio metálico, el cual es removido
por el refrigerador de dilución. Entonces, el campo magnético se apaga lentamente. Conforme
se reduce el campo magnético, el rodio metálico se enfría aún más, alcanzando temperaturas tan
bajas como 10–10 K.
FIGURA 17.8 D ispositivo de Investigación en la frontera de las altas temperaturas
enfriamiento por láser para enfriar ¿Cómo se logran altas temperaturas en el laboratorio? Los métodos más comunes son quemando
combustibles o creando explosiones. Por ejemplo, la parte amarilla de la llama de una vela tiene
átomos de sodio atrapados. una temperatura de 1 470 K.
El reactor de fusión ITER, que será construido para 2016 en Cadarache, Francia (figura 17.9)
está diseñado para fusionar los isótopos de hidrógeno, deuterio (2H) y tritio (3H) para producir
helio (4He) más un neutrón, liberando energía. Este proceso de fusión nuclear es semejante al
proceso que usa el Sol para fusionar el hidrógeno en helio y por consiguiente producir energía. En
el Sol, la enorme fuerza gravitatoria comprime y calienta los núcleos de hidrógeno para producir
fusión. En el ITER, el confinamiento magnético se usará para sujetar al hidrógeno ionizado en
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17.4 Expansión térmica 563
la forma de plasma. Un plasma es un estado de la materia en FIGURA 17.9 Dibujo en sección
el cual los electrones y los núcleos se mueven por separado.
Un plasma no puede contenerse en un recipiente físico, por- del núcleo central de ITER, el
que está tan caliente que cualquier contacto con éste vaporiza- reactor de fusión de plasma que será
ría al recipiente. En el reactor de fusión, el plasma se calienta construido en Francia para el año
haciendo fluir una corriente a través de éste. Adicionalmente, 2016. Con el propósito de comparar
se comprime el plasma y se calienta aún más por el campo el tamaño, se muestra una persona
magnético aplicado. A altas temperaturas, hasta 9.9 · 107 K, y parada en la base.
altas densidades, ITER producirá energía útil a partir de la
fusión de hidrógeno en helio.
Es posible conseguir temperaturas incluso más altas en los aceleradores de partículas. Las
mayores temperaturas se han alcanzado haciendo colisionar núcleos de oro acelerados en el
Colisionador de Iones Pesados en el Laboratorio Nacional de Brookhaven y el Gran Colisiona-
dor de Hadrones en el laboratorio europeo CERN. Cuando colisionan dos núcleos de oro, se
crea un sistema muy caliente con una temperatura de 2 · 1012 K; este sistema es también muy
pequeño (~10–14 m) y existe por periodos muy cortos (~10–22 s).
17.3 Medición de la temperatura 17.2 Oportunidad de
autoexamen
¿Cómo se miden las temperaturas? Un dispositivo que mide la temperatura se llama termómetro.
Cualquier termómetro que puede calibrarse directamente usando una propiedad física se llama Usted tiene un termómetro sin
termómetro primario. Un termómetro primario no necesita calibración con temperaturas estándar calibrar, el cual está indicado
externas. Un ejemplo de un termómetro primario es uno basado en la velocidad del sonido en un para usarse para medir la
gas. Un termómetro secundario es aquel que requiere una calibración externa con referencias de tem- temperatura del aire. ¿Cómo
peratura estándar. A menudo, los termómetros secundarios son más sensibles que los termómetros calibraría el termómetro?
primarios.
Un termómetro común es el termómetro de expansión de mercurio, el cual es un termó-
metro secundario. Este tipo de termómetro saca provecho de la expansión térmica del mercurio
(discutida en la sección 17.4). Otros tipos de termómetros incluyen los termómetros bimetáli-
cos, termopares, quimoluminiscencia y termistores. También es posible medir la temperatura
de un sistema estudiando la distribución de las velocidades de las moléculas dentro del material
constituyente.
Para medir la temperatura de un objeto o un sistema usando un termómetro, éste debe colo-
carse en contacto térmico con el objeto o el sistema. (El contacto térmico es el contacto físico que
permite una transferencia de calor relativamente rápida.) El calor se transferirá entonces desde o
hacia el objeto o sistema hacia o desde el termómetro, hasta que tengan la misma temperatura. Un
buen termómetro debería requerir tan poca energía térmica como fuese posible para alcanzar el
equilibrio térmico, de tal manera que no se cambie significativamente la temperatura del objeto.
Un termómetro también debería calibrarse con facilidad, de tal suerte que cualquiera que esté
tomando las mediciones obtenga la misma temperatura.
Calibrar un termómetro requiere condiciones reproducibles. Es difícil reproducir el punto de
congelación del agua exactamente, así que los científicos usan una condición llamada el punto triple
del agua. El hielo sólido, el agua líquida y el vapor de agua gaseoso pueden coexistir sólo en una
temperatura y presión. Por acuerdo internacional, la temperatura del punto triple del agua ha sido
asignado a una temperatura de 273.16 K (y una presión de 611.73 Pa) para la calibración de los
termómetros.
17.4 Expansión térmica
La mayoría está familiarizada de alguna forma con la expansión térmica (también llamada dila-
tación térmica). Quizás usted sepa que puede aflojar la tapa metálica de un frasco calentando
la tapa. Usted puede haber visto que los tramos de un puente tienen espacios en la calzada para
permitir la expansión de las secciones del puente en tiempos calurosos. O puede haber observado
que las líneas de transmisión de energía se pandean en tiempos calurosos.
La expansión térmica de los líquidos y los sólidos puede ponerse en uso práctico. Las tiras bime-
tálicas, las cuales se usan a menudo en los termostatos de las habitaciones, termómetros para carne y
dispositivos de protección térmica en el equipo eléctrico, sacan provecho de la expansión térmica
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564 Capítulo 17 Temperatura
Tabla 17.2 L os coeficien- FIGURA 17.10 La expansión térmica de una barra con una longitud inicial L. (La barra expandida térmicamente
tes de expansión lineal de
algunos materiales comunes en la parte inferior se ha desplazado de tal manera que los bordes de la izquierda coincidan.)
Material a(10–6 °C–1) lineal. (Una tira bimetálica consiste en dos tiras largas y delgadas de metales diferentes, las cuales
están soldadas una con la otra.) Un termómetro de mercurio usa la expansión volumétrica para
Aluminio 22 proporcionar mediciones precisas de la temperatura. La expansión térmica también puede ocurrir
Latón 19 como una expansión lineal, expansión superficial o expansión volumétrica; las tres clasificaciones
Concreto 15 describen el mismo fenómeno.
Cobre 17
Diamante 1 Expansión lineal
Oro 14
Plomo 29 Consideremos una barra metálica con una longitud L (figura 17.10). Si elevamos la temperatura de
Vidrio 9 la barra por T = Tfinal – Tinicial, la longitud de la barra se incrementa por la cantidad L = Lfinal –
plano Linicial, dado por
Hule 77 L = LT , (17.5)
Acero 13
Tungsteno 4.5 donde es el coeficiente de expansión lineal del metal del cual está construida la barra y la
diferencia de temperatura se expresa en grados Celsius o en kelvins. El coeficiente de expansión
lineal (también llamado coeficiente de dilatación lineal) es una constante para un material dado
dentro de los rangos de temperatura normales. Algunos coeficientes de expansión lineal típicos
se listan en la tabla 17.2.
E J E M P L O 17.2 Expansión térmica del puente Mackinac
El tramo principal del puente Mackinac (figura 17.11) tiene una longitud de 1 158 m. El puen-
te está construido de acero. Suponga que la menor temperatura posible experimentada por el
puente es de −50 °C y la mayor temperatura posible es de 50 °C.
PROBLEMA
¿Cuánto espacio debe estar disponible para la expansión térmica del tramo central del puente
Mackinac?
SOLUCIÓN
El coeficiente de expansión lineal del acero es = 13 · 10–6 °C–1. De esta manera, la expansión
FIGURA 17.11 El puente lineal total del tramo central del puente que debe permitirse para dar holgura está dado por
Mackinac a través de los estrechos ( ) [ ]∆L = L∆T = 13⋅10–6 °C–1 (1 158 m) 50 °C –(–50 °C) =1.5 m.
de Mackinac en Michigan es el tercer
puente más largo de suspensión en
Estados Unidos. EXPLICACIÓN
Un cambio de longitud de 1.5 m es bastante grande. ¿Cómo se puede acomodar este cambio de
longitud en la práctica? (Obviamente, no podemos dejar espacios en la superficie de la calle.)
La respuesta yace en las junturas de expansión, las cuales
son conectores metálicos entre los segmentos cuyas par-
tes se pueden mover una con relación a la otra. Un tipo
popular de juntura de expansión es la juntura con forma
de dedos (vea la figura 17.12). El puente de Mackinac
tiene dos grandes junturas de dedos en las torres para
acomodar la expansión de las partes suspendidas de la
calzada y once junturas de dedo más pequeñas y cinco
a) b) junturas de deslizamiento a través del tramo principal
del puente.
FIGURA 17.12 J unturas de dedo entre los segmentos de la calle:
a) abiertas y b) cerradas.
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17.4 Expansión térmica 565
Usted puede ver en la tabla 17.2 que los diversos materiales, tales como el latón y el acero, 17.3 Ejercicio en clase
tienen diferentes coeficientes de expansión lineal. Esto les hace útiles en las tiras bimetálicas. El
siguiente problema resuelto considera el resultado de calentar una tira bimetálica. Una sección de concreto de
un puente tiene una longitud
PROBLEMA RESUELTO 17.1 Tira bimetálica de 10.0 m a 10.0 °C. ¿Cuánto
se incrementa la longitud de
Una tira bimetálica recta consiste en una tira de acero y una tira de latón, cada una de 1.25 cm la sección de concreto si la
de ancho y 30.5 cm de longitud, soldadas una con la otra [vea la figura 17.13a)]. Cada tira tiene temperatura aumenta a 40.0 °C?
un espesor t = 0.500 mm. La tira bimetálica se calienta uniformemente a lo largo de su longitud,
como se muestra en la figura 17.13c). (No importa si la llama está a la derecha; el calentamiento a) 0.025 cm d) 0.22 cm
es uniforme por toda la tira. Si la llama estuviese a la izquierda, ¡la tira se doblaría en la misma
dirección!) La tira se curva de tal forma que su radio de curvatura es R = 36.9 cm. b) 0.051 cm e) 0.45 cm
c) 0.075 cm
FIGURA 17.13 U na tira
bimetálica. a) La tira bimetálica a
temperatura ambiente. b) La tira
bimetálica conforme comienza a ser
calentada por un soplete de gas (en
el borde derecho del cuadro).
c) La tira bimetálica calentada a una
temperatura uniforme por toda su
longitud.
a) b) c)
PROBLEMA
¿Cuál es la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse?
SOLUCIÓN r1
PIENSE
La tira bimetálica está construida de dos materiales, acero y latón, los cuales tie-
nen distintos coeficientes de expansión lineal, listados en la tabla 17.2. Conforme
la temperatura de la tira bimetálica se incrementa, el latón se expande más que el
acero, así es que la tira se curva hacia el lado del acero. Cuando la tira bimetálica
se calienta uniformemente, tanto la tira de acero como la de latón yacen a lo largo
del arco de una circunferencia, con la tira de latón en la cara exterior y la tira de
acero en la cara interior. Los extremos de la tira bimetálica subtienden el mismo
ángulo, medido desde el centro de la circunferencia. La longitud del arco de cada
tira metálica entonces es igual a la longitud de la tira bimetálica a la temperatura
ambiente más la longitud debida a la expansión térmica lineal. Igualar el ángulo
subtendido por la tira de acero con el ángulo subtendido por la tira de latón per-
mitirá que se calcule la temperatura.
ESBOCE
La figura 17.14 muestra la tira bimetálica después de haber sido calentada. El ángulo
subtendido por los dos extremos de la tira es , y el radio de la tira einntelaritoirraescur1r.vUa.na
porción de la circunferencia con radio r1 = 36.9 cm se superpone FIGURA 17.14 La tira bimetálica después de
INVESTIGUE ser calentada que muestra el ángulo subtendido
por los dos extremos de la tira.
Llaacliorncugnitfuedrednecliaaracolo, sl1a,rdgeoldaetilraa de acero calentado aecsesr1o=yr1e, sdeolnádnegru1loesseulbrtaednidoiddoe
cual yace la tira de
por la tira de acero. También, la longitud del arco, s2, de la tira de latón es s2 = r2,
(continúa)
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566 Capítulo 17 Temperatura
(continuación)
donde r2 es el radio de la circunferencia a lo largo de la cual yace la tira de latón y es el mismo
ángulo que el que subtiende la tira de acero. Los dos radios difieren por el espesor, t, de la tira
de acero:
r2 = r1+t ⇔ t = r2 – r1. (i)
Podemos igualar las expresiones que son iguales al ángulo subtendido por las dos tiras:
= s1 = s2 . (ii)
r1 r2
La longitud del arco, s1, de la tira de acero después de calentarse está dada por
s1 = s + s1 = s +1sT = s(1+1T ),
donde s es la longitud original de la tira bimetálica. El factor 1 es el coeficiente de expansión li-
neal del acero en la tabla 17.2 y T es la diferencia de temperatura entre la temperatura ambien-
te y la temperatura final de la tira bimetálica. De manera correspondiente, el arco de longitud,
s2, de la tira de latón después de calentarse está dada por
s2 = s + s2 = s +2sT = s(1+2T ),
donde 2 es el coeficiente de expansión lineal del latón dado en la tabla 17.2.
SIMPLIFIQUE
Podemos sustituir las expresiones para las longitudes de los arcos de las dos tiras después de
calentarse, s1 y s2, en la ecuación (ii) para obtener
s(1+1T ) = s(1+2T ).
r1 r2
Al dividir ambos lados de la ecuación entre el factor común s y multiplicando por r1r2 nos da
r2+ r21T = r1+ r12T .
Podemos reordenar esta ecuación y recolectar los términos comunes para obtener
r2 – r1= r12T – r21T.
Al resolver esta ecuación para la diferencia de temperaturas brinda
=r1r22––
T r1 .
r21
Usar la relación entre los dos radios de la ecuación (i) conduce a
T = r1(2 – t – t1 . (iii)
1)
CALCULE
dDeeelxaptaanbslaió1n7l.i2n,eeallcpoaerfaiceiel nlatteódneeesxp2a=ns1ió9n · 1l0in–6ea°Cl d–1e.lAacl esruosteitsuir1l=os1v3a ·l 1o0re–6s °C–1, y el coeficiente
numéricos nos da
T = 0.500⋅10−3 m = 226.5 °C.
19⋅10–6 °C–1 –13⋅10–6 °C–1 – 0.500⋅10–3 m
( ) ( )( )( )
0.369 m 13⋅10–6 °C–1
REDONDEE
Tomando la temperatura como 20 °C y reportando nuestro resultado con dos cifras significati-
vas nos da la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse:
T = 20 °C + T = 250 °C.
VUELVA A REVISAR
Primero, verificamos que la magnitud de la temperatura calculada es razonable. Nuestra res-
puesta de 250 °C está bastante por debajo de los puntos de fusión del latón (900 °C) y del acero
(1 450 °C), lo cual es importante debido a que la figura 17.13c) muestra que la tira no se funde.
Nuestra respuesta también se encuentra significativamente sobre la temperatura ambiente, lo
cual es importante debido a que la figura 17.13a) muestra que la tira bimetálica está derecha a
la temperatura ambiente.
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17.4 Expansión térmica 567
También podemos verificar que las tiras de acero y latón subtienden el mismo ángulo. El
ángulo subtendido por la tira de acero es
( )
1 = s1 = 30.5 cm +(30.5 cm) 13⋅10–6 °C–1 (226.5 °C) 17.4 Ejercicio en clase
r1
36.9 cm = 0.829 rads ≡ 47.5°. Suponga que la tira bimetálica en
la figura 17.13 estuviese hecha
El ángulo subtendido por la tira de latón es de aluminio en el lado derecho y
cobre en el lado izquierdo. ¿Hacia
( ) qué lado se doblaría la tira si
2 = s2 30.5 cm +(30.5 cm) 19⋅10−6 °C–1 (226.5 °C) se calentara en la misma forma
r2 = que la mostrada en la figura?
36.9 cm + 0.05 cm = 0.829 rads ≡ 47.5°. (Consulte la tabla 17.2 para los
coeficientes de expansión lineal
Note que, debido a que el espesor de las tiras es pequeño comparado con el radio de la circun- de los dos metales.)
ferencia, podemos escribir la ecuación (iii) como
a) Se doblaría hacia la derecha.
t = 0.500⋅10–3 m = 226 °C,
2 – 1 19⋅10–6 °C–1 –13⋅10–6 °C–1 b) Se quedaría recta.
( ) ≈
( ) ( )T r1 c) Se doblaría hacia la
0.369 m izquierda.
la cual está de acuerdo dentro del error de redondeo con nuestro resultado calculado. De esta
forma, nuestra respuesta parece razonable.
Expansión superficial
El efecto de un cambio en la temperatura sobre un área de un objeto es análogo a usar una copia-
dora para ampliar o reducir una fotografía. Cada dimensión del objeto cambiará linealmente con
el cambio de temperatura. Cuantitativamente, para un objeto cuadrado con lado L (figura 17.15),
el área está dada por A = L2. Sacando la diferencial de ambos lados de esta ecuación, obtenemos dA
= 2LdL. Si hacemos la aproximación de que A = dA y L = dL, podemos escribir A = 2LL. Al
usar la ecuación 17.5, obtenemos entonces
A = 2L(LT)= 2AT. (17.6)
A pesar de que se usó un cuadrado para derivar la ecuación 17.6, se sostiene para un cambio de cual-
quier forma.
FIGURA 17.15 Expansión térmica de una placa cuadrada con lado L.
PROBLEMA RESUELTO 17.2 Expansión de una placa con un agujero
Una placa de latón tiene un agujero [figura 17.16a)] con un diámetro d = 2.54 cm. El agujero es
demasiado pequeño como para que una esfera de latón pase a través de éste [figura 17.6b)]. Sin
embargo, cuando la placa se calienta de 20.0 °C a 220.0 °C, la esfera de latón pasa a través del
agujero en la placa.
(continúa)
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568 Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.16 a) La placa (continuación)
antes de calentarse. b) Una esfera de
latón no pasará a través del agujero
en la placa sin calentar. c) Se
calienta la placa. d) La misma esfera
de latón pasa a través del agujero en
la placa de latón calentada.
a) b) c) d)
PROBLEMA
¿Cuánto se incrementa el área del agujero en la placa de latón como resultado del calenta-
miento?
SOLUCIÓN
PIENSE
El área de la placa de latón se incrementa conforme la temperatura de la placa aumenta. Co-
rrespondientemente, el área del agujero en la placa también se incrementa. Podemos calcular el
incremento en el área del agujero usando la ecuación 17.6.
ESBOCE
La figura 17.17a) muestra la placa de latón antes de calentarse y la figura 17.17b) muestra la
placa después de calentarse.
FIGURA 17.17 L a expansión térmica de una placa con un agujero: a) antes de calentarse; b) después de
calentarse.
INVESTIGUE
La superficie de la placa aumenta conforme la temperatura se incrementa, como lo dice la ecua-
ción 17.6. El área del agujero se incrementará de manera proporcional. Este incremento en el
área del agujero puede parecer sorprendente. Sin embargo, usted mismo puede convencerse que
el área del agujero se incrementará cuando la placa experimenta expansión térmica mirando la
figura 17.17. La placa con un agujero a T = 20 °C se muestra en el inciso a). La misma placa a
una escala 5% mayor en todas sus dimensiones se muestra en el inciso b). El círculo punteado en
el agujero de la placa en b) es del mismo tamaño que el agujero en la placa original. Claramente,
el agujero en b) es mayor que el agujero en a). El área del agujero a T = 20.0 °C es A = R2. La
ecuación 17.6 brinda el cambio en el área del agujero:
A = 2AT ,
donde es el coeficiente de expansión lineal para el latón y ΔT es el cambio en la temperatura
de la placa de latón.
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17.4 Expansión térmica 569
SIMPLIFIQUE
Al usar A = R2 en la ecuación 17.6, tenemos el cambio en el área del agujero
( ) A = 2 R2 T.
Al recordar que R = d/2, obtenemos 2 d2T
A = 2 2
( ) 1 d T = .
2
CALCULE
De la tabla 17.2, el coeficiente de expansión lineal del latón es = 19 · 10–6 °C–1. De esta manera,
el cambio en el área del agujero es
( )
19 ⋅10–6 °C–1 (0.0254 m)2 (220.0 °C – 20.0 °C) = 3.85098 ⋅10–6 m2 .
A =
2
REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con dos cifras significativas:
A = 3.9⋅10–6 m2 .
VUELVA A REVISAR
De la experiencia diaria con objetos que se calientan o enfrían, sabemos que los cambios relativos
en el área no son muy grandes. Dado que el área original del agujero es A = d2/4 = (0.0254 m)2/
4 = 5.07 · 10–4 m2, obtenemos para el cambio fraccional A/A = (3.9 · 10–6 m2)/(5.07 · 10–4 m2) =
7.7 · 10–3, o menos que 0.8%. Así, la magnitud de nuestra respuesta parece estar alineada con la
intuición física.
El cambio en el radio del agujero conforme la temperatura se incrementa está dado por
( ) 0.0254 m (200 °C)= 4.83⋅10–5
R = RT = 19 ⋅10–6 °C–1 2 m.
Para ese cambio en el radio, el incremento en el área del agujero es
( ) ( ) 0.0254 m = 3.85⋅10–6 m2 ,
A = R2 = 2RR = 2 2 4.8 ⋅10–5 m
lo cual coincide con el error de redondeo de nuestro resultado. Así, nuestra solución parece
razonable.
Expansión volumétrica TTaabbllae 1177..33 Coeficientes
de expansión volumétrica
Ahora, consideremos el cambio en el volumen de un objeto con un cambio en la temperatura. Para para algunos líquidos
un cubo con arista L, el volumen está dado por V = L3. Sacando la derivada de ambos lados de esta comunes
ecuación, obtenemos dV = 3L2dL. Haciendo la aproximación que V = dV y L = dL, podemos
escribir V = 3L2L. Entonces, usando la ecuación 17.5, obtenemos Material (10–6 °C–1)
V = 3L2 (LT)= 3VT. (17.7) Mercurio 181
Gasolina 950
Debido a que el cambio en volumen con el cambio en la temperatura a menudo es de interés, es Keroseno 990
conveniente definir el coeficiente de expansión volumétrica (también llamado coeficiente de Alcohol etílico 1 120
dilatación volumétrica): Agua (1 °C) –47.8
= 3. Agua (4 °C)
(17.8) Agua (7 °C) 0
Agua (10 °C) 45.3
De esta forma, podemos reescribir la ecuación 17.7 como Agua (15 °C) 87.5
151
V = VT. (17.9)
A pesar de que se usó el cubo para derivar la ecuación 17.9, se puede aplicar generalmente a un cam-
bio en el volumen de cualquier otra forma. Algunos coeficientes de expansión volumétrica típicos
se listan en la tabla 17.3.
La ecuación 17.9 se aplica a la expansión térmica de la mayoría de los sólidos y líquidos. Sin Agua (20 °C) 207
embargo, no describe la expansión térmica del agua. Entre 0 °C y alrededor de 4 °C, el agua se
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570 Capítulo 17 Temperatura
17.5 E jercicio en clase FIGURA 17.18 La dependencia del volumen de 1 kg de agua con la temperatura.
Usted tiene un cubo metálico, contrae conforme la temperatura crece (figura 17.18). El agua con una temperatura sobre los 4 °C
el cual calienta. Después de es más densa que el agua con una temperatura justo por debajo de los 4 °C. Esta propiedad del
calentarlo, el área de una de agua tiene un efecto impresionante en la forma que los lagos se congelan en el invierno. Conforme
las superficies del cubo se ha la temperatura del aire baja entre el cálido verano y el frío invierno, el agua en el lago se enfría
incrementado por 0.02%. ¿Qué desde abajo de la superficie. El agua más fría y más densa se hunde al fondo del lago. Sin embargo,
afirmación acerca del volumen conforme la temperatura en la superficie del agua cae por debajo de los 4 °C, este movimiento
del cubo después de calentado descendente cesa y el agua más fría permanece en la superficie del lago, con el agua más densa y
es correcta? tibia debajo. La capa superior a la larga se enfría hasta los 0 °C y entonces se congela. El hielo es
menos denso que el agua, así que el hielo flota sobre el agua. Esta capa de hielo recién formada
a) Ha decrecido por 0.02%. actúa como un aislante, el cual reduce la rapidez de congelación del resto del agua en el lago. Si
el agua tuviese las mismas propiedades de expansión térmica que otros materiales comunes, en
b) Ha crecido por 0.02%. lugar de congelarse de arriba abajo, el lago se congelaría del fondo hacia arriba, con el agua más
tibia permaneciendo en la superficie del lago y el agua más fría hundiéndose hasta el fondo. Esto
c) Ha crecido por 0.01%. significaría que los lagos se congelarían del todo más a menudo y cualquier forma de vida en éstos
que no pudiese existir en el hielo no sobreviviría al invierno.
d) Ha crecido por 0.03%.
Además, usted puede ver en la figura 17.18 que el volumen de una determinada cantidad
e) No se da suficiente de agua nunca depende linealmente de la temperatura. Sin embargo, la dependencia lineal del
información para determinar volumen de agua con la temperatura puede aproximarse considerando un pequeño intervalo
el cambio de volumen. de temperatura. La pendiente de la curva volumen/temperatura es V/T, así es que podemos
extraer un coeficiente de expansión volumétrica efectivo para cambios de temperatura pequeños.
Por ejemplo, el coeficiente de expansión volumétrica para el agua a seis distintas temperaturas se
muestra en la tabla 17.3; note que a 1 °C, = –47.8 · 10–6 °C–1, lo cual significa que el volumen del
agua decrecerá conforme la temperatura aumenta.
E J E M P L O 17.3 Expansión térmica de la gasolina
Usted mete su coche a la estación de servicio en un caluroso día de verano, cuando la tempera-
tura del aire es de 40 °C. Llena su tanque vacío de 55 L con gasolina que proviene del tanque de
almacenamiento subterráneo a 12 °C. Después de pagar la gasolina, decide caminar al restau-
rante de al lado y comer su almuerzo. Dos horas más tarde, regresa a su coche y descubre que la
gasolina se ha derramado de su tanque al suelo.
PROBLEMA
¿Cuánta gasolina se ha derramado?
SOLUCIÓN
Sabemos lo siguiente: la temperatura de la gasolina que usted puso en su tanque comienza a los
12 °C. La gasolina se calienta hasta llegar a la temperatura exterior de 40 °C. El coeficiente de
expansión volumétrica de la gasolina es de 950 · 10–6 °C–1.
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17.5 Temperatura superficial de la Tierra 571
Mientras usted se ausentaba, la temperatura de la gasolina cambió de 12 °C a 40 °C. Usando
la ecuación 17.9, podemos encontrar el cambio en el volumen de la gasolina cuando aumenta la
temperatura:
( ) V = VT = 950⋅10–6 °C–1 (55 L)(40 °C –12 °C)=1.5 L.
De esta manera, el volumen de la gasolina se incrementó en 1.5 litros cuando la temperatura de
la gasolina subió de 12 °C a 40 °C. El tanque de gasolina estaba lleno cuando la temperatura de la
gasolina era de 12 °C, así es que este exceso se derramó del tanque al suelo.
17.5 Temperatura superficial de la Tierra
El reporte de las temperaturas superficiales diarias es parte de todos los reportes del clima en
los periódicos y las noticias de la TV y la radio. Es claro que comúnmente hace más frío en la
noche que durante el día, más frío en invierno que en verano y es más caluroso cerca del Ecuador
que cerca de los polos. Un tema actual de intensa discusión es si la temperatura de la Tierra está
subiendo. Una respuesta concluyente a esta pregunta requiere datos que brinden los promedios
apropiados. El primer promedio que resulta útil es a lo largo del tiempo. La figura 17.19 es una
gráfica de la temperatura superficial de la Tierra, promediada en el tiempo en el curso de un mes
(junio de 1992).
Los valores promediados en el tiempo de la temperatura sobre la superficie entera de la Tierra
se obtienen tomando la temperatura sistemáticamente por toda la superficie terrestre, incluidos los
océanos. Estas mediciones se corrigen entonces por cualesquiera sesgos sistemáticos, tales como el
hecho de que muchas estaciones de medición de la temperatura están ubicadas en zonas pobladas
y muchas áreas escasamente pobladas tienen pocas mediciones de temperatura. Una vez que se
han tomado en cuenta todas las correcciones, el resultado es la temperatura superficial promedio
de la Tierra en un año determinado. La temperatura superficial promedio de la Tierra actual es
aproximadamente de 287.5 K (14.4 °C). En la figura 17.20, esta temperatura global promedio se
grafica para los años entre 1880 y 2005. Usted puede ver que desde más o menos 1900, la tempera-
tura parece estar aumentando con el tiempo, lo que indica un calentamiento global. La línea hori-
zontal azul en la gráfica representa la temperatura global promedio para todo el siglo xx, 13.9 °C.
Varios modelos predicen que la temperatura superficial global promedio de la Tierra conti-
nuará aumentando. A pesar de que la magnitud del incremento en la temperatura global prome-
dio en el curso de los últimos 155 años es de alrededor de 1 °C, lo cual no parece ser un aumento
muy grande, combinado con incrementos futuros predichos, es suficiente para causar efectos
observables, tales como la subida de los niveles del agua oceánica, la desaparición de la cubierta
de hielo ártica en los veranos, cambios de clima y un incremento en la severidad de las tormentas
y las sequías por todo el mundo.
La figura 17.21 muestra un registro de la diferencia entre la temperatura super-
ficial anual promedio en la Antártida y la temperatura superficial anual prome-
dio en los últimos 420 000 años, la cual se determinó a partir de núcleos de hielo. 14.4
Note que las temperaturas del pasado se evaluaron de las mediciones del dióxido
de carbono en los núcleos de hielo, que sus valores dependen hasta cierto punto 14.2
del modelo y que las diferencias de temperaturas resultantes podían ser signifi-
14
13.8
13.6
FIGURA 17.19 Temperatura superficial de la Tierra promediada en el tiempo en 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
Año
junio de 1992. Los colores representan un rango de temperaturas de –63 °C a +37 °C.
FIGURA 17.20 Temperatura superficial global promedio anual
desde 1880 hasta 2005, medida por termómetros en la tierra y en
el océano (histograma rojo). La línea horizontal azul representa la
temperatura global promedio para el siglo xx, 13.9 °C.
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572 Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.21 Temperatura cativamente mayores que las correspondientes a las diferencias de temperatura globales. Varios
periodos diferentes son aparentes en la figura 17.21. Un intervalo de tiempo cuando la diferencia
superficial anual promedio de la de la temperatura es alrededor de −7 °C corresponde a un periodo en el cual las capas de hielo
Antártida en el pasado, extraída cubrieron partes de Norteamérica y Europa y el llamado periodo glaciar. El último periodo glaciar
de los contenidos de dióxido de terminó hace unos 10 000 años. Los periodos más calurosos entre los periodos glaciares, llamados
carbono en los núcleos de hielo, en periodos interglaciares, corresponden a diferencias de temperatura alrededor de cero. En la figura
relación con el valor actual. 17.21 son visibles cuatro periodos glaciares, remontándose hasta 400 000 años. Se han hecho
intentos de relacionar estas diferencias de temperatura con diferencias en el calor recibido del
17.3 O portunidad de Sol debidas a las variaciones de la órbita terrestre y la orientación de su eje de rotación, conocida
autoexamen como la Hipótesis de Milankovitch. Sin embargo, estas variaciones no pueden dar cuenta de todas
las diferencias de temperatura observadas.
Identifique los años que
corresponden a los periodos El caluroso periodo interglaciar actual comenzó hace unos 10 000 años y parece un poco
glaciares e interglaciares en la más fresco que los periodos interglaciares. Los periodos interglaciares previos han durado desde
figura 17.21. 10 000 hasta 25 000 años. Sin embargo, las actividades humanas, tales como la quema de los com-
bustibles fósiles y el efecto invernadero resultante (más de esto en el capítulo 18), están influyendo
en la temperatura global promedio. Los modelos predicen que el efecto de estas actividades será el
calentar la Tierra, al menos durante los próximos varios cientos de años.
Un efecto del calentamiento en la superficie terrestre, es la subida en el nivel del mar. El nivel
del mar ha subido 120 m desde el pico del último periodo glaciar, hace unos 20 000 años, como
resultado del derretimiento de los glaciares que cubrían grandes áreas de la tierra. El derreti-
miento de grandes cantidades de hielo que reposa sobre el suelo sólido es la mayor contribución
potencial para una subida ulterior en el nivel del mar. Por ejemplo, si todo el hielo en la Antártida
se derritiese, el nivel del mar subiría 61 m. Si todo el hielo en Groenlandia se derritiese, la subida
en el nivel del mar sería de 7 m. Sin embargo, tomaría varios siglos para que estos grandes depó-
sitos de hielo se derritiesen por completo, incluso si las predicciones pesimistas de los modelos
climáticos son correctas. La subida del nivel del mar debida a la expansión térmica es pequeña
comparada con la debida al derretimiento de los grandes glaciares. La tasa actual de la subida en
el nivel del mar es de 2.8 mm/año, medidas por el satélite TOPEX/Poseidón.
24 E J E M P L O 17.4 S ubida del nivel del mar debido a la
Temperatura del agua T ( C) expansión térmica del agua
20
La subida en el nivel de los océanos de la Tierra es de preocupación actual. Los océanos cu-
16 bren 3.6 · 108 km2, un poco más de 70% del área superficial de la Tierra. La profundidad del
océano promedio es de 3 700 m. La temperatura superficial del océano varía ampliamente,
12 entre 35 °C en verano en el golfo Pérsico y –2 °C en las regiones árticas y antárticas. Sin embar-
8 go, incluso si la temperatura superficial del océano supera los 20 °C, la temperatura del agua cae
rápidamente como función de la profundidad y alcanza 4 °C a una profundidad de
4 1 000 m (figura 17.22). La temperatura promedio global de toda el agua del mar es
00 1 2 3 4 aproximadamente de 3 °C. La tabla 17.3 lista un coeficiente de expansión de cero
para el agua a una temperatura de 4 °C. De esta manera, es seguro suponer que el
Profundidad del agua d (km) volumen del agua oceánica cambia muy poco a una profundidad mayor a 1 000 m.
Para los 1 000 m de la parte superior del agua oceánica, supongamos que la tempe-
FIGURA 17.22 Temperatura promedio del ratura promedio global es de 10.0 °C y calculemos el efecto de la expansión térmica.
océano como función de la profundidad bajo la
superficie.
PROBLEMA
¿Cuánto cambiaría el nivel del mar, sólo como resultado de la expansión térmica del agua, si la
temperatura del agua de todos los océanos se incrementara por T = 1.0 °C?
SOLUCIÓN
El coeficiente de expansión térmica del agua a 10.0 °C es = 87.5 · 10–6 °C–1 (de la tabla 17.3), y el
cambio en el volumen de los océanos está dado por la ecuación 17.9, V = VT, o
V = T. (i)
V
Podemos expresar el área superficial total de los océanos como A = (0.7)4R2, donde R es el
radio de la Tierra y el factor 0.7 refleja el hecho de que más o menos 70% de la superficie de esta
esfera está cubierta de agua. Suponemos que el área superficial de los océanos se incrementa
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17.6 Temperatura del universo 573
sólo en una minúscula proporción por el agua que se está moviendo hacia arriba en las costas
y despreciamos el cambio en el área superficial debido a este efecto. Entonces, esencialmente
todo el cambio en el volumen de los océanos dará por resultado el cambio en la profundidad y
podemos escribir
V = d ⋅ A = d . (ii)
V d⋅A d
Al combinar las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos una expresión para el cambio en la profundidad:
d = T ⇒ d = dT .
d
Al sustituir los valores numéricos, d = 1 000 m, T = 1.0 °C y = 87.5 · 10–6 °C–1, obtenemos
∆d = (1 000 m)(87.5⋅10–6 °C–1 )(1.0 °C) = 9 cm.
Así, por cada incremento de la temperatura promedio del océano de 1 °C, el nivel del mar subirá
9 cm (casi 4 pulgadas). Esta subida es menor que la subida anticipada, debido al derretimiento
de la cubierta de hielo en Groenlandia o la Antártida, pero contribuirá al problema de la inun-
dación de las costas.
17.6 Temperatura del universo
En 1965, cuando estaban trabajando en un radio telescopio primitivo, Arno Penzias y Robert Wilson
descubrieron la radiación del fondo cósmico de microondas. Ellos detectaron “ruido” o “estática”,
que parecía venir de todas las direcciones del cielo. Penzias y Wilson encontraron lo que estaba pro-
duciendo este ruido (lo cual les mereció el Premio Nobel de 1978): era radiación electromagnética
que quedó del Big Bang, el cual ocurrió hace 13.7 mil millones de años. Es asombroso darse cuenta
de que un “eco” del Big Bang todavía reverbera en el espacio intergaláctico “vacío” después de tan
largo tiempo. La longitud de onda de la radiación cósmica de fondo es semejante a la longitud de
onda de la radiación electromagnética usada en un horno de microondas. Un análisis de la distribu-
ción de longitudes de onda de esta radiación condujo a la deducción de que la temperatura de fondo
del universo es de 2.725 K. George Gamov ya había predicho la temperatura de la radiación cósmica
de fondo en 2.7 K en 1948, cuando todavía no estaba claro que el Big Bang fuese un hecho científico
establecido.
En 2001, el satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) midió las variaciones
en la temperatura de fondo del universo. Esta misión siguió al exitoso satélite Cosmic Background
Explorer (COBE), lanzado en 1989, el cual dio por resultado que se le otorgara el Premio Nobel de
2006 a los físicos John Mather y George Smoot. Las misiones COBE y WMAP encontraron que
la radiación cósmica de fondo en microondas era muy uniforme en todas las direcciones, pero
pequeñas diferencias en la temperatura estaban superpuestas en el fondo uniforme. Los resultados
de la WMAP para la temperatura de fondo en todas las direcciones se muestran en la figura 17.23.
Los efectos de la Vía Láctea se han sustraído. Usted puede ver que la variación en la temperatura
de fondo del universo es muy pequeña, dado que ±200 K/2.725 K = ±7.3 · 10–5. A partir de la
interpretación de estos resultados y otras observaciones, los científicos dedujeron que la edad del
universo es de 13.7 mil millones de años, con un margen de error menor de menos de 1%. Adi-
FIGURA 17.23 La temperatura
de la radiación cósmica de fondo
en microondas en todas partes del
universo. Los colores representan
un rango de temperaturas de
200 µK por debajo a 200 µK por
encima de la temperatura promedio
de la radiación cósmica de fondo
en microondas, la cual tiene una
temperatura promedio de 2.725 K.
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574 Capítulo 17 Temperatura
cionalmente, los científicos fueron capaces de deducir que el universo está compuesto de 4% de
materia ordinaria, 23% de materia oscura y 73% de energía oscura. La materia oscura es materia
que ejerce un tirón gravitatorio observable, pero parece ser invisible, como se discute en el capí-
tulo 12. La energía oscura parece estar causando que la expansión del universo se acelere. Tanto la
materia oscura como la energía oscura se encuentran bajo intensa investigación actualmente y la
comprensión de éstas debería mejorar en la próxima década.
LO QUE HEMOS APRENDIDO | GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■■ Las tres escalas de temperatura comúnmente usadas ■■ La conversión de °C a °F está dada por
son: Fahrenheit, Celsius y Kelvin. c=on59 TveCrs+ió3n2 °C.
■■ La escala Fahrenheit se usa sólo en Estados Unidos y ■■ TLaF de °C a K está dada por
determina el punto de congelación del agua en 32 °F y c=oTnvCe+rs2ió7n3.d1e5 °C.
el punto de ebullición del agua en 212 °F. ■■ TLaK Ka °C está dada por
■■ La escala Celsius define el punto de congelación del TC = TK – 273.15 K.
agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en ■■ El cambio en la longitud, L, de un objeto de longitud L
100 °C. conforme cambia la temperatura por T está dada por L
■■ La escala Kelvin define 0 K como el cero absoluto y = LT, donde es el coeficiente de expansión lineal.
el punto de congelación del agua como 273.15 K. El ■■ El cambio en volumen, V, de un objeto con volumen V
tamaño del kelvin y el grado Celsius es el mismo. conforme cambia la temperatura por T está dado por
■■ La conversión de °F a °C está dada por V = VT, donde es el coeficiente de expansión
= 5 (TF – 32 °F). volumétrica.
TC 9
TÉRMINOS CLAVE
equilibrio térmico, p. 557 escala de temperatura tercera ley de la coeficiente de expansión
calor, p. 557 Fahrenheit, p. 558 termodinámica, p. 559 volumétrica, p. 569
energía térmica, p. 557
temperatura, p. 557 escala de temperatura Celsius, kelvin, p. 559 radiación del fondo cósmico
termómetro, p. 558 p. 558 expansión térmica, de microondas, p. 573
ley cero de la
escala de temperatura Kelvin, p. 563
termodinámica, p. 558 p. 558 coeficiente de expansión
cero absoluto, p. 558 lineal, p. 564
NUEVOS SÍMBOLOS
T, temperatura , coeficiente de expansión lineal , coeficiente de expansión volumétrica
RESPUESTAS A LAS OPORTUNIDADES DE AUTOEXAMEN
17.1 Haga T =TF =TC , y resuelva T : 17.3 Los periodos glaciares están en años atrás:
12 000 a 120 000
T = 9 T + 32 150 000 a 230 000
5 250 000 a 310 000
330 000 a 400 000.
– 4 T = 32 Los periodos interglaciares están en años atrás:
5 0 a 12 000
110 000 a 130 000
T = – 40 °C o °F. 230 000 a 250 000
17.2 U se una mezcla de hielo y agua, la cual se encuentra a 310 000 a 330 000
0 °C y agua hirviente, la cual está a 100 °C. Tome las medicio- 400 000 a 410 000.
nes y marque las posiciones correspondientes sobre el termó-
metro sin calibrar.
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Práctica para resolución de problemas 575
PRÁCTICA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Lineamientos de problemas resueltos 2. La expansión térmica tiene un efecto semejante a ampliar
1. S ea consistente en el uso de las temperaturas Celsius, Kelvin una fotografía: todas las partes de la fotografía se expanden en
o Fahrenheit. Para calcular un cambio de temperatura, un grado la misma proporción. Recuerde que un agujero en un obje-
Celsius es igual a un kelvin. Sin embargo, si necesita encontrar to se expande con el incremento de temperatura de la misma
un valor de temperatura, recuerde qué escala de temperatura se forma que el mismo objeto lo hace. En ocasiones usted puede
le pide. simplificar un problema que involucra la expansión volumé-
trica a una dimensión y entonces usar coeficientes de expan-
sión lineal. Esté alerta para este tipo de situaciones.
PROBLEMA RESUELTO 17.3 E xpansión lineal de una barra de
acero y una barra de latón
A 20.0 °C, una barra de acero tiene una longitud de 3.0000 m y una barra de latón tiene una
longitud de 2.9970 m.
PROBLEMA
¿A qué temperatura tendrán ambas barras la misma longitud?
SOLUCIÓN
PIENSE
El coeficiente de expansión lineal del acero es menor al coeficiente de expansión del latón. De esta
forma, conforme se calientan las dos barras, la barra de latón se expandirá más. Para obtener la
temperatura en la cual ambas barras tienen la misma longitud, igualamos las expresiones para las
longitudes finales de las barras, dados en términos de las longitudes iniciales, los coeficientes de
expansión y el incremento de temperaturas.
ESBOCE
La figura 17.24 muestra a las dos barras antes y después de calentarse.
coefLicaielnotnegditeudexdpealnasbióanrrlaindeeaal cdeerloaacnertoesedsecsa=len13ta ·r 1s0e–e6s°LCs–,1s.uLcaalmonbgioitudde longitud es deLsl,aytóenl
antes edsecbal=en1t9a r· s1e0–e6s°LCb–,1s.uEcl acmambiboioddeelotnemgiptuedraetus raLebs, de la barra
latón y el coeficiente de expansión lineal del
T.
INVESTIGUE
El cambio en la longitud de la barra de acero está dada por
Ls = sLsT . FIGURA 17.24 U na barra de
El cambio en la longitud de la barra de latón está dada por
acero y una barra de latón:
Lb = bLbT .
a) antes de calentarse; b) después
de calentarse.
Cuando las dos barras tienen la misma longitud,
Ls + Ls = Lb + Lb.
SIMPLIFIQUE
Podemos combinar las tres ecuaciones anteriores para obtener
Ls +sLsT = Lb +bLbT .
Reacomodando y resolviendo para la diferencia de temperatura, tenemos
sLsT – bLbT = Lb – Ls ⇒
CALCULE
T = s Lb – Ls .
Ls – bLb
Al sustituir los valores numéricos nos da
T = (2.9970 m)–(3.0000 m)
(3.0000 m)– 19⋅10–6 °C–1
( ) ( ) °C–1 (2.9970 m) =167.1961 °C.
13⋅10–6 (continúa)
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Física para ingeniería y ciencias. Vol. 1 - Wolfgang Bauer-FREELIBROS.ORG
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