MODUL MATEMATIKA DISKRIT

i|Modul Matematika Diskrit

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin, puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT
karena atas berkah dan hidayah-Nya sehingga buku yang berjudul “Matematika Diskrit”
dapat diselesaikan dengan baik.

Penyusunan buku ini tentunya tidak luput dari bantuan berbagai pihak dalam bentuk
bimbingan, saran, dan motivasi. Oleh karena itu, selayaknya apabila dalam kesempatan ini
penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak yang telah
membantu penulis.

Penghargaan yang tinggi dan ucapan terima kasih penulis tujukan kepada keluarga yang
senantiasa mengirimkan doa kepada penulis, menjadi motivator hebat, menjadi pelita bagi
kehidupan penulis, dan yang telah mengasuh, mendidik, dan membiayai penulis agar dapat
menyelesaikan buku ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para Civitas
Akademik Universitas Muslim Maros dan sahabat-sahabat setia penulis di FKIP Universitas
Muslim Maros yang telah memberi motivasi kepada penulis dalam penyelesaian buku ini.

Buku ini dirancang agar memberikan kemudahan kepada mahasiswa dalam mempelajari
mata kuliah Matematika Diskrit. Materi yang ada dalam buku ini mencakup pengantar logika,
prinsip induksi matematika, prinsip perhitungan, relasi rekursif, fungsi pembangkit dan konsep
teori graph.

Penulis menganggap buku ini masih jauh dari kesempurnaan namun semua itu bukan
halangan karena untuk mencapai kesempurnaan diawali dengan sesuatu yang kurang
sempurna. Sehingga penulis berharap buku ini dapat memberikan manfaat yang besar kepada
para pembaca dan mendapat ilmu yang bisa ditransfer kepada para mahasiswa yang akan
menjadi penerus bangsa.

Penulis

ii | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...............................................................................................................ii
DAFTAR ISI............................................................................................................................ iii
BAB I LOGIKA PROPOSISI....................................................................................................1

1.1 PENDAHULUAN............................................................................................................1
1.2 URAIAN MATERI ..........................................................................................................3

A. LOGIKA PROPOSISI ................................................................................................3
B. PERNYATAAN MAJEMUK ...................................................................................10
C. PENYATAAN MAJEMUK BERTINGKAT ...........................................................19
D. ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN ...............................................................22
RANGKUMAN ...................................................................................................................26
LATIHAN 1 .........................................................................................................................27
REFERENSI......................................................................................................................... 32
BAB II INDUKSI MATEMATIKA........................................................................................33
2.1 PENDAHULUAN..........................................................................................................33
2.2 URAIAN MATERI ........................................................................................................35
A. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA.......................................................................35
B. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA KUAT ..........................................................38
RANGKUMAN................................................................................................................40
LATIHAN 2 .....................................................................................................................40
REFERENSI ..................................................................................................................... 41
BAB III PRINSIP PERHITUNGAN .......................................................................................42
3.1 PENDAHULUAN..........................................................................................................42
3.2 URAIAN MATERI ........................................................................................................44
A. PRINSIP DASAR PENJUMLAHAN .......................................................................44
B. PRINSIP DASAR PERKALIAN..............................................................................44
C. PERMUTASI ............................................................................................................45
D. KOMBINASI ............................................................................................................51
E. PERMUTASI DAN KOMBINASI MULTI-HIMPUNAN ......................................53
F. KOEFISIEN BINOMIAL .........................................................................................54
RANGKUMAN ...................................................................................................................58
LATIHAN 3 .........................................................................................................................58
REFERENSI......................................................................................................................... 63

iii | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

BAB IV FUNGSI PEMBANGKIT .........................................................................................64
4.1 PENDAHULUAN..........................................................................................................65
4.2 URAIAN MATERI ........................................................................................................67
A. FUNGSI PEMBANGKIT BIASA ................................................................................67
B. MENGHITUNG KOEFISIEN PADA FUNGSI PEMBANGKIT BIASA ..................70
C. FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONEN .......................................................................73
RANGKUMAN ...................................................................................................................78
Latihan 4...............................................................................................................................79
REFERENSI......................................................................................................................... 80

BAB V RELASI REKURSIF ..................................................................................................81
5.1 PENDAHULUAN..........................................................................................................81
5.2 URAIAN MATERI ........................................................................................................83
A. RELASI REKURSIF LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA................83
B. RELASI REKURSIF HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA ..........84
C. AKAR RANGKAP ...................................................................................................88
D. RELASI REKURSIF TIDAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA
89
E. MENYELESAIKAN RELASI REKURSIF DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT.94
RANGKUMAN ...................................................................................................................98
Latihan 5.............................................................................................................................100
REFERENSI....................................................................................................................... 101

iv | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

BAB I
LOGIKA PROPOSISI

1.1 PENDAHULUAN
Kita menyadari bahwa betapa pentingnya berpikir kritis dalam melakukan

pemecahan masalah, baik itu masalah matematik, maupun masalah yang
berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Dengan berpikir kritis,
seseorang dapat mengatur, menyesuaikan, mengubah, atau memperbaiki
pikirannya, sehingga ia dapat mengambil keputusan untuk bertindak lebih tepat.
Untuk dapat berpikir kritis, seseorang harus juga memiliki kemampuan penalaran.
Sedangkan jalan kunci untuk melakukan penalaran adalah dengan memahami
logika. Jadi, secara tidak langsung, untuk dapat melakukan pemecahan masalah,
syarat yang tak boleh ditinggalkan adalah memahami logika.

Pada Modul 1 ini akan dibahas dengan cukup detail mengenai logika,
khususnya logika matematika. Secara garis besar, kajian materi dalam Modul 1 ini
akan dimulai dari pengertian logika, pernyataan dan operasinya, serta argumen dan
penarikan kesilmpulan. Setiap kajian materi tersebut disuguhkan dalam bentuk
pemecahan masalah matematik.

Setelah mempelajari Modul 1 ini, secara umum mahasiswa dapat
menganalisis logika proposisi, pernyataan majemuk dan tabel kebenaran dari suatu
pemecahan masalah matematika, sedangkan lebih khusus mahasiswa diharapkan
dapat:
1. Memperoleh pengertian tentang logika.
2. Memahami tentang nilai kebenaran suatu pernyataan dan menyusun tabel

kebenarannya.
3. Menggunakan kaidah-kaidah yang ada dalam operasi uner dan biner;
4. Membuktikan validitas suatu argumen.

1|Modul Matematika Diskrit

5. Menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang berlaku dalam logika
matematika.

6. Terampil menggunakan kaidah-kaidah dalam logika untuk melakukan
pemecahan masalah matematik.
Untuk membantu Anda dalam mempelajari modul 1 ini, silakan perhatikan

beberapa petunjuk belajar berikut ini:
1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara

tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul 1 ini.
2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-

kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam
kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki.
3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar
pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda.
4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang
relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber,
termasuk dari internet.
5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui
kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan
teman sejawat.
6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang
dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui
apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan modul ini.

Selamat belajar! Tetaplah bersemangat!
Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang
Anda pikirkan!

2|Modul Matematika Diskrit

1.2 URAIAN MATERI

A. LOGIKA PROPOSISI

Secara etimologis, logika adalah istilah yang dibentuk dari kata “logikos”
yang berasal dari kata benda “logos”. Kata logos berarti sesuatu yang diutarakan,
suatu pertimbangan akal (pikiran), kata, percakapan, atau ungkapan lewat bahasa.
Kata logikos berarti mengenai sesuatu yang diutarakan, mengenai suatu
pertimbangan akal, mengenai kata, mengenai percakapan atau yang berkenaan
dengan ungkapan lewat bahasa. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa logika
adalah suatu pertimbangan akal atau pikiran yang diutarakan lewat kata dan
dinyatakan dalam bahasa.

Adapun pengertian logika menurut para ahli yaitu:
 Pengertian Logika Menurut Jan Hendrik Rapar

“Suatu pertimbangan akal atau pikiran yang diatur lewat kata dan
dinyatakan dalam bahasa.”
 Pengertian Logika Menurut Aristoteles
“Ajaran tentang berpikir yang secara ilmiah membicarakan bentuk
pikiran itu sendiri dan hukum-hukum yang menguasai pikiran.”
 Pengertian Logika Menurut R. G. Soekadijo
“Suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan
menalar.”
Jadi, dari kesemuaannya dapat disimpulkan bahwa logika adalah suatu
metode yang berasal dari hasil pertimbangan akal atau pikiran manusia yang
diutarakan dalam kata-kata serta dinyatakan melalui bahasa.
Logika merupakan cabang filsafat yang mempelajari mengenai kecakapan
berpikir secara lurus, teratur, serta tepat. Konsep dasar dari logika menyatakan
kesahihan atau validitas sebuah argumen bukan ditentukan oleh isi argumen
melainkan bentuk logisnya. Hal ini berarti logika menjadi alat yang digunakan
untuk melakukan analisis argumen yakni hubungan antara kesimpulan dengan
premis atau bukti.

3|Modul Matematika Diskrit

Dari pengertian logika yang telah disebutkan di atas, adapun dasar dari
penalaran logika meliputi:

Penalaran Deduktif : merupakan penalaran yang menggunakan premis,
informasi serta peraturan umum yang berlaku, sehingga diraihlah suatu kesimpulan
yang sudah dibuktikan. Penalaran deduktif mengevaluasi argumen dan membangun
argumen serta dapat dinyatakan valid apabila kesimpulannya merupakan
konsekuensi logis atas premisnya.
Contohnya adalah sebagai berikut:

 Premis mayor: Semua makhluk hidup akan meninggal
 Premis minor: Manusia merupakan makhluk hidup
 Kesimpulan: Manusia pasti akan meninggal.
Penalaran Induktif : merupakan penalaran yang berawal dari rangkaian fakta khusus
sehingga menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.
Contohnya adalah sebagai berikut:
 Kucing Persia mempunyai jantung
 Kucing Bengal mempunyai jantung
 Kucing Angora mempunyai jantung
 Kesimpulan: Semua jenis kucing pasti mempunyai jantung.
1.2.1 Sejarah Logika

Meskipun telah diketahui pengertian dari logika itu sendiri, tentu saja
perlu juga untuk mengetahui sejarah logika. Berikut asal muasal logika.

 Pada Masa Yunani Kuno
Logika dimulai sejak filsuf Yunani pertama yakni Thales yang

meninggalkan cerita isapan jempol, dongeng, dan takhayul yang
berpaling pada akal budi untuk mencari tahu rahasia yang ada di alam
semesta.

Thales mengungkapkan jika air adalah prinsip atau asas utama
dari alam semesta. Thales lah yang mengenalkan logika induktif. Baru
pada masa Aristoteles dimana ia mengenalkan logika sebagai ilmu yang

4|Modul Matematika Diskrit

disebut dengan logica scientica. Pada mas ini, logika masih disebut
dengan analitica.
 Abad Pertengahan dan Logika Modern

Pada abad ke-9 sampai 15, buku-buku Aristoteles masih
digunakan. Namun, St. Thomas Aquinas serta kawan-kawannya
mengadakan sistematisasi logika. Selanjutnya, logika Aristoteles secara
murni diteruskan oleh Thomas Hobbes. Sedangkan Francis Bacon
mengembangkan logika induktif.

Hingga puncak kejayaan dari logika simbolik terjadi pada tahun
1910 sampai 1913 dengan terbitnya karya Principia Mathematica tiga
jilid.
 Logika sebagai Ilmu Matematika Murni

Logika masuk pada kategori matematika murni dengan alasan
matematika merupakan logika yang tersistematis. Pendekatan logika
digunakan dalam ilmu matematika dengan menerapkan metode ilmu
ukur dengan tanda serta simbol matematik.

Logika ini diperkenalkan oleh Galenus dan Sextus Empiricus
yang mengembangkan logika serta menerapkan metode geometri di
dalamnya.

1.2.2 Macam-macam Logika
Ada dua macam logika, yaitu:
 Logika Ilmiah
Logika ilmiah merupakan kinerja nalar manusia yang
mempertajam akal budi dan pikirannya. Logika ilmiah membuat akal
budi bekerja dengan teliti, lebih cepat, aman, dan mudah. Sehingga,
manusia terhindar dari kesesatan berpikir.
 Logika Alamiah
Logika alamiah merupakan proses kerja akal budi manusia yang
berpikir secara lurus dan tepat sebelum dipengaruhi oleh berbagai
kecenderungan dan keinginan yang subjektif. Logika ini dimiliki oleh

5|Modul Matematika Diskrit

manusia sejak lahir. Serta bisa dipelajari menggunakan proses belajar
serta diterapkan dalam kehidupan nyata.
1.2.3 Pengertian Proposisi

Proposisi adalah suatu pernyataan yang memiliki makna/arti yang
dimana setiap pernyataan dapat dinilai benar atau salah tetapi tidak dapat
sekaligus keduanya. Atau bisa diartikan bahwa proposisi merupakan
pernyataan yang diungkapkan oleh suatu kalimat berarti serta mempunyai
nilai benar atau nilai salah tetapi tidak boleh kedua-duanya. Banyak pemikir
modern berpikir bahwa “pernyataan” dan “propoisis” adalah sinonim, atau
paling tidak seharusnya sama.
Contoh proposisi:
1. 2 + 2 = 4
2. Bilangan bulat yang membagi habis 21 adalah 1 dan 23
3. Besi bila dipanaskan memuai

6|Modul Matematika Diskrit

Sumber: https://blog.ruangguru.com/logika-matematika
Semua pernyataan pikiran yang menggunakan keinginan dan kehendak
serta tidak dapat dinilai benar dan salahnya bukanlah proposisi.
Contohnya:
1. A + B ≤ 5
2. Silahkan ambil makanan ini
3. Ambilkan aku segelas air

Kebenaran sebuah proposisi berkorespondensi dengan fakta, sebuah
proposisi yang salah tidak berkorespondensi dengan fakta. Proposisi terdiri
atas empat unsur, dua di antaranya merupakan materi pokok proposisi,
sedangkan dua yang lain sebagai hal yang menyertainya. Empat unsur yang
dimaksudkan ialah term sebagai subjek, term sebagai predikat, kopula dan
kuantor.

1.2.4 Jenis-Jenis Proposisi
Secara sederhana dapat dibedakan atas empat macam yaitu sebagai berikut:
 Proposisi Universal Afirmatif
Proposisi universal afirmatif ialah pernyataan bersifat umum
yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat,
dirumuskan “semua S ialah P”.
 Proposisi Universal Negatif
Proposisi universal negatif ialah pernyataan yang bersifat umum
yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan perdikat,
dirumuskan “semua S bukan P”.
 Proposisi Partikular Afirmatif
Proposisi partikular afirmatif ialah pernyataan bersifat khsusus
yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat,
dirumuskan “sebagian S adalah P”.
 Proposisi Partikular Negatif

7|Modul Matematika Diskrit

Proposisi partikular negatif adalah pernyataan bersifat khsusus
yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan predikat,
dirumuskan “sebagian S bukan P”.
1.2.5 Bentuk-Bentuk Proposisi

Berdasarkan dua jenis proposisi yaitu berdasarkan kualitas (positif
dan negatif) dan berdasarkan kuantitas (umum dan khusus) ditemukan
empat macam proposisi yaitu:
 Proposisi bentuk A: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan

bahwa setiap subjek adalah predikat. Misalnya: setiap makhluk hidup
adalah ciptaan Tuhan.
 Propoisisi bentuk E: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan
bahwa setiap subjek bukanlah sebuah predikat. Misal: setiap laki-laki
bukan perokok aktif.
 Proposisi bentuk I: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan
bahwa sebagian subjek adalah predikat. Misal: sebagian mahasiswa
adalah anak seorang pejabat.
 Proposisi bentuk O: merupakan proposisi yang menyatakan bahwa
sebagian subjek bukanlah predikat. Misal: sebagian mahasiswa
bukanlah anak seorang pejabat.
Contoh Proposisi
 Semarang ialah Ibukota provinsi Jawa Tengah (proposisi yang bernilai
benar karena Semarang ialah Ibukota Jawa Tengah).
 Sukarno ialah Presiden Pertama Republik Indonesia.
 5 + 7 = 10 (proposisi yang bernilai salah).
 x + 5 = 11 (bukan proposisi, karena “x” belum ditentukan).

1.2.6 Jenis-Jenis Proposisi
Proposisi terbagi atas beberapa jenis, yaitu:
1. Proposisi tunggal : merupakan proposisi yang terdiri atas satu subjek
dan predikat.
Contoh : kucing adalah hewan peliharaan.

8|Modul Matematika Diskrit

(Subjek: kucing, Predikat: hewan peliharaan)
2. Proposisi majemuk : merupakan proposisi yang terdiri atas satu subjek

dan dua predikat atau bisa juga terdiri atas dua proposisi tunggal.
Contoh : kucing adalah hewan peliharaan sekaligus hewan omnivora.
(Subjek: kucing, predikat: hewan peliharaan dan hewan omnivora)
3. Proposisi kategorial atau kategories : merupakan proposisi yang
berisi pernyataan yang membenarkan atau menyalahkan secara mutlak.
Contoh : semua makhluk hidup pasti akan mati.
4. Proposisi kondisional : merupakan proposisi yang berisi pernyataan
yang berisi pembenaran atau pengingkaran yang bersyarat atau
opsional.
Contoh : langit akan gelap jika akan terjadi hujan.
Proposisi sendiri terbagi lagi menjadi dua, yaitu:
o Hipotesis : berisi pembenaran atau pengingkaran yang berisi

sebuah syarat. Contoh : lubang jalan akan tergenang air jika waktu
hujan deras tiba.
o Disjungtif : berisi pernyataan yang berupa pilihan dan biasanya
terkandung kata atau di dalamnya.
Contoh : Melly harus memilih apakah dia akan melanjutkan
S2 atau menikah terlebih dahulu.
5. Proposisi universal : merupakan proposisi yang berisi pernyataan
suatu hal secara keseluruhan. Biasanya proposisi ini
menggunakan kata semua di dalamnya.
Contoh : semua manusia pasti mempunyai dua mata.
6. Proposisi partikular : merupakan proposisi yang menyatakan suatu
hal secara tidak menyeluruh atau sebagian saja. Proposisi ini biasanya
ditandai dengan adanya penggunaan frasa tidak semua.
Contoh : tidak semua anak laki-laki itu kurang ajar.
7. Proposisi singular : merupakan proposisi yang menyatakan suatu hal
secara khusus dan biasanya terkandung kata ini atau itu di dalamnya.
Contoh: rumah itu milik Pak Zahrawi.

9|Modul Matematika Diskrit

B. PERNYATAAN MAJEMUK
Bentuk prinsip induksi matematika yang lebih “kuat”, yang sering disebut

sebagai prinsip induksi matematika kuat, dapat dinyatakan sebagai berikut.
Untuk suatu pernyataan tertentu yang melibatkan bilangan asli n, jika kita dapat
menunjukkan bahwa:

Sumber: https://blog.ruangguru.com/logika-matematika
Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk:
1. Konjungsi (^)

Salah satu cara untuk menggabungkan pernyataan tunggal sehingga menjadi
pernyataan majemuk adalah dengan menggunakan kata “dan”., yang dikenal
dengan nama operasi konjungsi. Perhatikan kembali kalimat majemuk yang telah
dibuat sebelumnya dengan menggunakan kata penghubung “dan”, yaitu

Aufa adalah pria yang kaya dan tampan.
Pernyataan pertama : Aufa adalah pria yang kaya.
Pernyataan kedua : Aufa adalah pria yang tampan.
Pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan” hanya bernilai benar jika baik
pernyataan pertama maupun pernyataan kedua sekaligus benar. Dalam keadaan lain
adalah salah, yaitu jika salah satu atau kedua-duanya dari pernyataan tunggal adalah

10 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

salah, pernyataan majemuk adalah salah. Kata penghubung “dan” pada pernyataan
majemuk dilambangkan dengan “  ”,

Definisi 1.1

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p dan q disebut
konjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan

pq

Pernyataan p dan q masing-masing disebut konjung-konjung.

Konjungsi bernilai benar jika keduannya p dan q adalah benar, dan dalam keadaan
lain adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.

Tabel 1.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q pq

BB B

BS S

SB S

SS S

Keterangan:

p = pernyataan 1

q = pernyataan 2

p  q = pernyataan 1 dan pernyataan 2

B = Benar

S = Salah

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua

pernyataan (p dan q) benar.

Contoh 1.1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p  q berikut ini!
a. p : 100 + 500 = 800

q : 4 adalah faktor dari 12

11 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

b. p : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata
q : 625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:
a. p salah, q benar

p  q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)
Atau bisa juga ditulis:
τ (p) = S, τ (q) = B.
Jadi, τ (p  q) = S.
b. τ (p) = B, τ (q) = B.
p  q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah

bilangan kuadrat (benar).
Jadi, τ (p  q) = B.

2. Disjungsi (V)
Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang

dihubungkan dengan menggunakan kata “atau” dinamakan pernyataan disjungsi.
Kedua buah pernyataan pembentuk disjungsi ini disebut sebagai disjung-disjung.
Kata penghubung “atau” dalam keseharian dapat memiliki arti ganda. Misalnya
seorang berkata, “Pada pukul 10 malam nanti, saya akan menonton pertandingan
sepakbola world cup atau tidur”, tetapi tidak mungkin keduanya. Pernyataan
majemuk seperti ini disebut disjungsi eksklusif.
Sekarang, perhatikan disjungsi majemuk berikut:
Orang yang boleh memilih dalam pemilu adalah WNI yang berumur di atas 17
tahun atau sudah kawin.

Pernyataan ini dapat diartikan, orang yang boleh memilih dalam pemilu tidak
hanya yang berumur di atas 17 tahun dan sudah kawin. Disjungsi seperti ini disebut

12 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

disjungsi inklusif. Dalam matematika dan sains, “atau” diartikan sebagai disjungsi
inklusif, kecuali jika disebut lain.

Disjungsi pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk p atau q, ditulis p  q.

Definisi 1.2

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p atau q disebut
disjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan p  q. Disjungsi p  q bernilai
benar jika salah satu p atau q, atau keduanya adalah benar, disjungsi adalah salah
hanya jika keduanya p dan q adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan
tabel kebenaran berikut.

Tabel 2.

Tabel Kebenaran Disjungsi

pq pq

BB B

BS B

SB B

SS S

Keterangan:

p = pernyataan 1

q = pernyataan 2

p  q = pernyataan 1 atau pernyataan 2

B = Benar

S = Salah

Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p

dan q) salah.

Contoh 1.2:
Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan !
a. p : 3 + 4 = 12

q : Dua meter sama dengan 200 cm

13 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

b. p : 29 adalah bilangan prima
q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat

c. p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong

q : 23 adalah bilangan cacah.
Jawaban:
a. τ (p) = S, τ (q) = B. Jadi, τ (p  q) = B.

p  q : 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).
b. τ (p) = B, τ (q) = B. Jadi, τ (p  q) = B.

p  q : 29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi
Jawa barat (benar).

c. τ (p) = S, τ (q) = S. Jadi, τ (p  q) = S.

3. Implikasi ( )
Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan

berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu
nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan.
Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak
Gusrayani nonton.
Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani
tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan
dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang
sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya
Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan
tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja
Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak
menepati janjinya.

14 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Misalkan, p : Sore tidak hujan.

q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani
nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p
q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi.

Definisi 1.3

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah
suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan
p q.

Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari
implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga
yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p
bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar.
Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel 3.

Tabel Kebenaran Implikasi

p q pq

BB B

BS S

SB B

SS B

Keterangan:

p = pernyataan 1

q = pernyataan 2

p  q = Jika pernyataan 1 maka pernyataan 2

B = Benar

S = Salah

Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar,

dan konsekuen (q) salah.

15 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam
logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah
memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada
contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan
mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika,
pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan
konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh 4.3.7.
Contoh 1.3:
Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.
Jawab :
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.
c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.
Contoh:
p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di
mana saja (pernyataan bernilai benar)

4. Biimplikasi (  )
Perhatikanlah pernyataan berikut:

16 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah.

Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan oleh hujan? Tentu saja tidak selalu
begitu, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal
lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi.

Sekarang, perhatikan pernyataan berikut:

Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas.

Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup?
Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal.
Pernyataan yang demikian disenut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat
ganda.

Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “  ” yang berarti “jika dan hanya
jika” disingkat “jhj” atau “jikka”. Biimplikasi “p  q” ekuivalen dengan “jika p
maka q dan jika q maka p”, dinotasikan sebagai: (p  q)  (q  p). Adapun
definisi tentang biimplikasi adalah sebagai berikut.

Definisi 1.4

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan
majemuk dengan bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan p  q.
Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika
keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi adalah salah.
Perhatikan Tabel 4 berikut ini.

Tabel 4.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q pq

BB B

BS S

SB B

SS B

Keterangan:
p = pernyataan 1

17 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

q = pernyataan 2
p  q = pernyataan 1 jika dan hanya jika pernyataan 2
B = Benar
S = Salah

Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai
benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-
sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh 1.4:
Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah ini!
a. 20 + 7 = 27 jika dan hanya jika 27 bukan bilangan prima.

BB
τ (p) = B, τ (q) = B. Jadi, τ (p  q) = B.

b. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap.
τ (p) = B, τ (q) = S. Jadi, τ (p  q) = S.

c. tan2 45° + cos 2 45° = 2 jika dan hanya jika tan2 45° = 2
τ (p) = S, τ (q) = S. Jadi, τ (p  q) = B.

Contoh 1.5:
p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p  q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai
salah).

18 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

C. PENYATAAN MAJEMUK BERTINGKAT

Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang menggunakan negasi (~),
konjungsi (  ), disjungsi (  ), implikasi ( ) dan biimplikasi (  ) seperti pada:
~p, ~q, p  q, p  q, p q dan p  q. Pada kenyataannya, suatu pernyataan
majemuk bersusun dapat dibentuk oleh lebih dari dua pernyataan tunggal serta
beberapa pernyataan majemuk. Berikut ini disajikan beberapa contoh agar Anda
bisa lebih menangkap maksudnya..

~ (p  q)

(p  q)  p

(p  q)  (p  q)

~ (p  ~q)  (p  q)

p  q  r ~ p  ~ q ~ r

Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk Bertingkat

Anda telah menguasai cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk
dengan menggunakan tabel kebenaran untuk operasi konjungsi, disjungsi,
implikasi, dan biimplikasi, seperti pada Tabel 1, Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4. Dari
tabel-tabel tersebut, dapat diketahui bahwa untuk dua pernyataan tunggal yang
berbeda terdapat 4 kemungkinan komposisi atau 22 komposisi. Apabila pernyataan
tunggal ada 3 buah (misalnya (p  q)  r), maka akan terdapat 22 = 8 kemungkinan
komposisi sehingga anda harus menyusun tabel dengan jumlah baris sebanyak 8
baris seperti pada Tabel 5 berikut ini.

Tabel 5. r
Nilai Kebenaran (p  q)  r B
(p  q)  S
BBBB B
BBBB S
BSSB
BSSS

19 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

S SBBB
SSBSS
S S SBB
SSSSS
Adapun langkah-langkah membuat tabel kebenaran, yang memuat n buah
pernyataan tunggal adalah sebagai berikut:

Langkah 1 : Istilah kolom pertama dengan huruf B sebanyak 2n1 buah, mulai dari
baris pertama berurut ke bawah. Kemudian, diikuti dengan huruf S sebanyak 2n1
berturut-turut pula ke bawah.

Langkah 2 : Isilah kolom kedua mulai dari baris pertama dengan huruf B sebanyak
2n2 berturut-turut, diikuti dengan huruf S sebanyak 2n2 pula. Untuk baris
tsetelahnya yang masih kosong diisi dengan pola huruf B dan S yang telahada
sebelumnya, sampai semua baris terisi.

Langkah 3 : Isilah kolom ketiga mulai baris pertama dengan huruf B sebanyak 2n3
buah, dilanjutkan dengan huruf S sebanyak 2n3 pula. Demikian seterusnya untuk
baris-baris setelahnya, diisi sama dengan pola B dan S yang telah ada sebelumnya.

1.4.1 TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Di antara berbagai pernyataan majemuk, ada yang disebut sebagai tautologi dan ada
pula kontradiksi. Tautologi merupakan pernyataan yang semua nilai kebenarannya
Benar (B), tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya.
Sedangkan yang dimaksud dengan kontradiksi adalah pernyataan yang semua nilai
kebenarannya Salah (S), tanpa memandang nilai kebenaran komponen-
komponennya. Perhatikan tabel-tabel di bawah ini:

Tabel 6. Tabel 7.
Contoh Tautologi Contoh Kontradiksi

p  ~p p  ~p

BBS BS S
S BB SSB

20 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1.4.2. ARGUMEN DAN PENARIKAN KESIMPULAN

Argumen

Argumen merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai
ungkapan pernyataan inferensi (penarikan kesimpulan). Dalam argumen terdapat
kata: jadi, sehingga, oleh karena itu, dan sebagainya. Pernyataan-pernyataan yang
terletak sebelum kata jadi disebut premis, sedangkan pernyataan yang terletak
setelah kata jadi disebut konklusi.

Tabel 8.
Dua Kelompok Pernyataan dalam Argumen

Premis 1 Jika kehidupan penuh kerja keras, maka kehidupan
merupakan saat kerja yang mengesankan.

2 Jika kehidupan adalah harapan indah, maka kehidupan
merupakan suatu kebahagiaan.

3 Kehidupan adalah kerja keras atau harapan indah.

Konklusi Jadi, kehidupan merupakan saat kerja yang mengesankan
atau merupakan suatu kebahagiaan.

Validitas Argumen

Suatu argumen dikatakan valid (syah) jika konklusinya merupakan akibat logis dari

premis-premisnya, tanpa memandang kebenaran atau kesalahan pernyataan-

pernyataan pembentuknya. Untuk lebih memperdalam pemahaman mengenai

validitas argumen ini, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.6: →B
P1 : Indonesia lebih terkenal daripada Sumedang. →B
P2 : Ada bintang film yang senang kawin-cerai. →B
K : Jadi, Iwan Fals adalah penyanyi legendaris.

Argumen ini invalid, meskipun semua premis dan konklusinya merupakan

pernyataan yang benar, tetapi konklusinya bukan akibat logis dari premis-

premisnya.

21 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Contoh 1.7: →S
P1 : Semua bidadari adalah orang Sunda. →S
P2 : Diah adalah bidadari. →S
K : Jadi, Diah adalah orang Sunda.

Argumen ini valid, meskipun semua premis dan konklusinya merupakan pernytaan

yang salah, tetapi konklusinya merupakan akibat logis dari premis-premisnya.

D. ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

Suatu argumen yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal, jika
pembuktiannya dikerjakan dengan tabel kebenaran, maka prosesnya mungkin akan
sangat panjang dan membosankan. Untuk itu, pada bagian ini kita akan membahas
mengenai cara singkat, langsung, dan tepat yang dapat kita gunakan, yaitu dengan
“menurunkan” konklusi argumennya. Maksudnya adalah menurunkan konklusi
dari premis-premisnya dengan menggunakan rangkaian argumen dasar yang sudah
diketahui valid.
1.5.1. Modus Ponen
Berikut adalah suatu ilustrasi mengenai penalaran kondisional.

Jika saya lapar, maka saya makan.
Ternyata saya lapar.
Jadi, saya makan.
Penalaran kondisional menjelaskan hubungan antara dua buah kondisi, dalam
ilustrasi di atas adalah kondisi lapar dan makan. Hubungan tersebut dapat
dinyatakan sebagai:

pq
p
q

Rumusan di atas merupakan bentuk argumen valid yang dikenal dengan nama
Modus Ponen.

22 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1.5.2. Modus Tollen
Dengan konteks yang sama, sekarang kita lihat bahwa suatu pernyataan kondisional
atau pernyataan implikasi yang benar dengan konsekuen yang salah harus
mempunyai anteseden yang salah. Argumen ini dinamakan Modus Tollen, dengan
bentuk:

pq
~q
~ p

1.5.3. Silogisme Hipotetik
Beranjak pada argumen lain yang disebut sebagai Silogisme Hipotetik dengan
bentuk sebagai berikut:

pq
qr
p  r

1.5.4. Silogisme Disjungtif
Argumen berbentuk Silogisme Disjungtif ini mengandung pernyataan yang berupa
disjungsi, misalnya:

Saya berada di Bandung atau di Garut.
Saya tidak berada di Bandung.
Jadi, saya berada di Garut.

Jika kita buat simbolnya, maka dapat kita tulis:
AB
~A
B

Jika A  B benar dan ternyata A salah, maka dengan sendirinya B benar, sesuai
dengan aturan yang berlaku untuk operasi disjungsi.

23 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1.5.5. Addisi
Addisi merupakan prinsip penarikan kesimpulan yang sangat ringkas. Aturan ini
hanya memuat satu buah premis tunggal. Dalam addisi kita dapat menggabungkan
suatu pernyataan dengan pernyataan lain menggunakan disjungsi. Secara simbolik,
addisi dinyatakan dengan:

A
A B

1.5.6. Simplifikasi
Salah satu cara untuk melakukan penarikan kesimpulan adalah dengan menambah
beberapa bentuk valid sederhana yang lain untuk membantu pemeriksaan bukti
formal suatu argumen. Perhatikan contoh berikut ini:

Jika Avilla datang, Firsya pun ikut.
Avilla dan Syahda datang.
Jadi, Firsya pun ikut datang.

Secara simbolik, argumen di atas ditulis:

1. P Q Premis

2. P  R Premis / Q

3. P 2, Simplifikasi

4. Q 1,3, Modus Ponen

Bentuk umum simbol simplifikasi adalah sebagai berikut:
AB
A

1.5.7 Aturan Penukaran (Rule of Replacement)
Aturan-aturan baru yang menunjang aturan penarikan kesimpulan yang akan

kita diskusikan pada bagian ini, yaitu aturan penukaran. Dengan dasar ekuivalensi,
kita tahu bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika memiliki nilai kebenaran

24 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

yang sama. Dengan demikian, jika sebagian atau keseluruhan dari pernyataan
majemuk ditukar dengan pernyataan lain yang ekuivalen logis, maka nilai
kebenaran pernyataan majemuk yang baru adalah sama dengan nilai kebenaran
pernyataan majemuk semula.
Aturan-aturan yang terdapat dalam aturan penukaran antara lain:
1. Teorema de Morgan

~ (p  q) ≡ ~ p  ~ q
~ (p  q) ≡ ~ p  ~ q
2. Komutasi
pq≡qp
pq≡ qp
3. Assosiasi
[(p  q)  r)] ≡ [p  (q  r)]
[(p  q)  r)] ≡ [p  (q  r)]
4. Distribusi
[(p  q)  r)] ≡ [(p  r)  (q  r)]
[(p  q)  r)] ≡ [(p  r)  (q  r)]
5. Negasi Rangkap
p≡~~p
6. Transposisi
(p  q) ≡ (~ q  ~ p)
7. Implikasi Material
(p  q) ≡ (~ p  q)
8. Ekuivalensi Material
(p  q) ≡ [(p  q)  (q  p)]
(p  q) ≡ [(p  q)  (~ p  ~ q)]
9. Eksportasi
[(p  q)  r)] ≡ [p  (q  r)]
10. Tautologi
p ≡ (p  p)

25 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

p ≡ (p  p)

RANGKUMAN
1. Logika merupakan suatu metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan

secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.
2. Tokoh yang dikenal sebagai pelopor logika adalah Aristoteles (348–322 SM).
3. Pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Pernyataan diartikan sebagai

kalimat matematika tertutup yang benar saja, atau salah saja, tetapi tidak kedua-
duanya dalam waktu yang bersamaan. Biasanya pernyataan dinotasikan dengan
huruf kecil, seperti: p, q, r, s, dan sebagainya.
4. Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan disebut Nilai Kebenaran dari
pernyataan tersebut. Nilai kebenaran suatu pernyataan p ditulis τ (p). Jika benar,
maka nilai kebenarannya B, dan jika salah nilai kebenarannya S.
5. Dalam logika matematika terdapat dua jenis operasi, yaitu operasi uner dan
biner. Operasi uner hanya melibatkan satu unsur, sedangkan pperasi biner
adalah operasi yang melibatkan dua unsur. Contoh operasi uner adalah negasi,
dan contoh operasi biner antara lain: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi.
6. Tautologi merupakan pernyataan yang semua nilai kebenarannya Benar (B),
sedangkan yang dimaksud dengan kontradiksi adalah pernyataan yang semua
nilai kebenarannya Salah (S), tanpa memandang nilai kebenaran komponen-
komponennya.
7. Argumen merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai
ungkapan pernyataan inferensi (penarikan kesimpulan).
8. Suatu argumen dikatakan valid (syah) jika konklusinya merupakan akibat logis
dari premis-premisnya, tanpa memandang kebenaran atau kesalahan
pernyataan-pernyataan pembentuknya.
9. Beberapa aturan penarikan kesimpulan yang sering digunakan adalah: modus
ponen, modus tollen, silogisme hipotetik, dilogisme disjungtif, addisi,
simplifikasi, dan sepuluh aturan penukaran.

26 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

LATIHAN 1
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk [(p  q)  (p  r)] !
2. Buktikan validitas argumen berikut:

(1) p  q
(2) q  r
(3) p

r
3. Buktikan validitas argumen berikut:

(1) A  B
(2) B  C
(3) ~ A  D
(4) ~ C

D
4. Tentukan validitas argumen berikut ini:

(1) (A  B)  (C  D)
(2) ~ C

~ B

Kunci Jawaban Latihan 1:
1. Pada pernyataan majemuk [(p  q)  (p  r)], terdapat 3 pernyataan tunggal,

yaitu p, q, dan r, maka perlu dibuat 8 baris pada tabel kebenaran. Nilai-nilai
yang dimasukkan pada kolom p adalah: BBBBSSSS, pada kolom q adalah:
BBSSBBSS, dan pada kolom r adalah: BSBSBSBS.
Perhatikan tabel berikut ini!

Tabel Nilai Kebenaran [(p  q)  (p  r)]
[( p  q )  ( p  r )]
BBBBBBB
BBBSBS S
BBSBBBB
BBS SBS S
SBBBSBB
S BBB S B S

27 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

S SSSSBB
SSSSSBS

2. Pembuktikan validitas argumen:

(1) p  q

(2) q  r

(3) p

r

Bukti:

1. p  q premis

2. q  r premis

3. p premis / r

4. q Modus Ponen dari 1 dan 3

5. r Modus Ponen dari 2 dan 4

Pada langkah terakhir terbukti bahwa konklusinya adalah r. Jadi, argumen ini
terbukti valid.

3. Pembuktikan validitas argumen:

(1) A  B

(2) B  C

(3) ~ A  D

(4) ~ C

D

Bukti:

1. A  B premis

2. B  C premis

3. ~ A  D premis

4. ~ C premis / D

5. ~ B Modus Tollen dari 2 dan 4

6. ~ A Modus Tollen dari 1 dan 5

28 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

7. D Modus Ponen dari 3 dan 6.

Jadi, argumen di atas adalah valid.

4. Pembuktian validitas argumen:

(1) (A  B)  (C  D)

(2) ~ C

~ B

Bukti:

1. (A  B)  (C  D) premis

2. ~ C premis / ~ B

3. ~ C    ~ D 2, Addisi

4. ~ (C    D) 3, deMorgan

5. ~ (A    B) 1,4, Modus Tollen

6. ~ A    ~ B 5, deMorgan

7. ~ B    ~ A 6, Komutasi

8. ~ B 7, Simplifikasi

TES FORMATIF 1
1. Manakah implikasi berikut ini yang bernilai benar?

A. Jika persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 mempunyai akar-akar yang sama,
maka b2  4ac  0 .

B. Jika persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 mempunyai akar-akar yang sama,
maka b2  4ac  0 .

C. Jika persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 mempunyai akar-akar yang sama,
maka b2  4ac  0 .

D. Jika persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 mempunyai akar-akar yang
berlainan, maka b2  4ac  0 .

E. Jika persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 tidak mempunyai akar-akar yang
real, maka b2  4ac  0 .

29 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

2. Bagaimana pendapat Anda mengenai validitas argumen berikut:
 Jika semakin banyak anak yang menjadi pengamen atau semakin banyak
yang menjadi pengemis, maka jika pihak pemerintah tak mau peduli, akan
semakin banyak orang yang bodoh.
 Ternyata pihak pemerintah tak mau peduli.
 Jika semakin banyak anak yang menjadi pengemis, berarti masyarakat
sudah kehilangan kasih sayangnya.
 Jika masyarakat sudah kehilangan kasih sayangnya, maka semakin banyak
anak yang menjadi pengamen atau semakin banyak anak yang menjadi
pengemis.
 Ternyata semakin banyak anak yang menjadi pengemis.
 Jadi, semakin banyak orang yang bodoh.
A. Argumen tersebut memiliki beberapa premis yang salah.
B. Argumen tersebut seluruh premisnya benar, tetapi konklusinya salah.
C. Argumen tersebut seluruh premis dan konklusinya benar, tetapi tidak
valid.
D. Argumen tersebut seluruh premis dan konklusinya benar, serta merupakan
argumen yang valid.
E. Argumen tersebut tidak valid.

3. Argumen manakah yang merupakan argumen valid?
A. Jika saya lapar, maka saya akan makan.
Saya makan.
Jadi, saya lapar.
B. Semua manusia adalah makhluk hidup.
Semua buaya adalah makhluk hidup.
Jadi, semua manusia adalah buaya.
C. Semua bilangan asli termasuk bilangan bulat.
Semua bilangan prima termasuk bilangan asli.
Jadi, semua bilangan prima termasuk bilangan bulat.
D. Beberapa orang pria adalah guru.
Beberapa orang guru adalah wanita.

30 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Jadi, beberapa orang pria adalah wanita.
E. Jika saya lapar, maka saya akan makan.

Saya tidak lapar.
Jadi, saya tidak makan.
4. Jika 5 ekor sapi memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan sepakbola
dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor sapi untuk memakan dan
menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan sepakbola?
A. 6 hari.
B. 5 hari.
C. 4 hari.
D. 3 hari.
E. 2 hari.
5. Diberikan sebuah pernyataan:
X : Jika saya lapar, maka saya akan makan jika laukpauknya tersedia.
Manakah diantara pernyataan-pernyataan berikut ini yang ekuivalen dengan
pernyataan X ?
A. Saya lapar dan akan makan, jika laukpauknya tersedia.
B. Jika saya lapar atau lauk pauknya tersedia, maka saya akan makan.
C. Jika saya lapar, maka saya akan makan jika dan hanya jika laukpauknya
tersedia.
D. Jika saya lapar dan laukpauknya tersedia, maka saya akan makan.
E. Saya lapar, kemudian laukpauknya tersedia, kemudian saya akan makan.
6. Tentukan pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang sama dengan
pernyataan berikut ini:
Jika suatu benda adalah persegi, maka benda tersebut adalah persegipanjang.
A. Jika suatu benda bukan persegi, maka benda tersebut bukan persegipanjang.
B. Jika suatu benda adalah persegi, maka benda tersebut bukan persegipanjang.
C. Jika suatu benda bukan persegi, maka benda tersebut adalah persegipanjang.
D. Jika suatu benda adalah persegipanjang, maka benda tersebut adalah
persegi.
E. Jika suatu benda bukan persegipanjang, maka benda tersebut bukan persegi.

31 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

REFERENSI
1. Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. IKIP Malang: UM Press
2. Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung
3. Cabrera, G.A. (1992). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical

Thinking. Education 113 (1) 59-63.
4. Copi, I.M. (1972). Introduction to Logic. New York: Macmillan.
5. Durbin, J.R. (1979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons.
6. Gerhard, M. (1971). Effective Teaching Strategies With the Behavioral

Outcomes Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc.
7. Naga, D.S. (1980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT.

Gramedia.
8. Purcell, E.J. dan Varberg, D. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta:

Erlangga.
9. Ruseffendi, E.T. (1984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru.

Bandung: Tarsito.
10. Ruseffendi, E.T. (1991). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan

Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA.
Bandung: Tarsito.
11. Wheeler, R.E. (1992). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth.

32 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

BAB II
INDUKSI
MATEMATIKA

2.1 PENDAHULUAN

Matematika diskrit (discrete mathematics atau finite mathematics) adalah

cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan

kata diskrit (discrete) ? Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah

berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan.

Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Sedangkan

himpunan bilangan riil (real) dipandang sebagai objek kontinu. Fungsi diskrit

digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi kontinu

digambarkan sebagai kurva.

Didalam matematika, sebuah proposisi atau pernyataan tidak hanya sekedar

ditulis. Kita juga harus mengerti apa yang menyebabkan proposisi tersebut benar,

yaitu bukti (proof). Pada BAB 2 ini kita akan belajar tentang pembuktian proposisi
yang menyangkut himpunan bulat. Misalnya pembuktian pernyataan “Jumlah n

buah bilangan bulat positif pertama adalah ( +1)”. Metode pembuktian untuk

2

proposisi perihal bilangan bulat adalah induksi matematika.

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam

matematika. Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah

pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan

kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Setelah mempelajari modul 2

ini, mahasiswa dapat menganalisis prinsip induksi matematika sederhana dan

prinsip induksi matematika kuat.

Untuk membantu Anda dalam mempelajari modul 2 ini, silakan perhatikan

beberapa petunjuk belajar berikut ini:

33 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara
tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul 2 ini.

2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-
kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam
kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki.

3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar
pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda.

4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang
relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber,
termasuk dari internet.

5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui
kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau
dengan teman sejawat.

6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang
dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui
apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan modul ini.

Selamat belajar! Tetaplah bersemangat!
Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang
Anda pikirkan!

34 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

2.2 URAIAN MATERI

A. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Sebuah cara pembuktian yang sering dipakai, simple, dan sangat ampuh

dalam matematika kombinatorial dan ilmu komputer, dikenal dengan prinsip
induksi matematika. Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk
proposisi bilangan bulat.

Untuk suatu pernyataan tertentu yang melibatkan sebuah bilangan asli n,
jika kita dapat menunjukkan bahwa :

1. Pernyataan itu benar untuk n = n0 , dan
2. Pernyataan itu benar untuk n = k+1, dengan mengasumsikan bahwa

pernyataan itu benar untuk n = k, (k ≥ n0),
maka kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan itu benar untuk semua bilangan
asli n ≥ n0.
Langkah (1) dinamakan basis induksi, sedangkan langkah (2) dinamakan langkah
induksi. Di samping itu, asumsi bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k di
dalam langkah (2) biasanya dinamakan hipotesis induksi.

Contoh 2.1:
Buktikan bahwa 1  2  3    n  n(n  1) , untuk semua n ≥1.

2
Solusi:
Misalkan P(n) menyatakan 1  2  3    n  n(n  1) , untuk semua n ≥1.

2
1.) Basis induksi.

Akan dibuktikan P(1) benar untuk n = 1.
Perhatikan bahwa:

35 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1  1(1  1)
2

 1(2)
2

2
2

 1.

Jadi, basis induksi benar.
2.) Langkah induksi.

Misalkan P(k) benar, yaitu 1  2  3    k  k(k  1) ,
2

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar yaitu
1  2  3    k  (k  1)  (k  1)((k  1)  1) .
2

Perhatikan bahwa:
1  2  3    k  (k  1)  (1  2  3    k)  (k  1)
 k(k  1)  (k  1)
2
 (k 2  k)  2(k  1)
2
 k 2  3k  2
2
 (k  1)(k  2)
2

 k 1k  1 1 ,untuk semuak  1.

2
Karena (1) dan (2) benar, maka terbukti bahwa 1  2  3    n  n(n  1) untuk

2
semua n ≥1, juga benar.

Contoh 2.2:
Buktikan bahwa 2n  n  20, untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5.

Solusi:
Misalkan P(n) menyatakan 2n  n  20, untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5.

36 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

1.) Basis induksi.
Akan dibuktikan P(5) benar untuk n = 5.
Perhatikan bahwa:
25  5  20
32  25
Jadi, basis benar.

2.) Langkah induksi.
Misalkan P(k) benar, yaitu 2k  k  20 ,
Akan dibuktikan P(k+1) juga benar yaitu
2k1  (k 1)  20.
Perhatikan bahwa:
2k1  2.2k  2(k  20)  2k  40  (k 1)  20,untuk setiap k  5.

Karena (1) dan (2) benar, maka terbukti bahwa 2n  n  20, untuk setiap bilangan
bulat n ≥ 5, juga benar.

Contoh 2.3:
Buktikan bahwa 22n 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Solusi:
Misalkan P(n) menyatakan 22n 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥

1.

1.) Basis induksi.

Akan dibuktikan P(1) benar untuk n = 1.

Perhatikan bahwa:

22.1 1  22 1 benar habis dibagi3
 41
3

Jadi, basis benar.

2.) Langkah induksi.

Misalkan P(k) benar, yaitu 22k 1 habis dibagi 3

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar yaitu

37 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

22(k1) 1 habis dibagi 3
Perhatikan bahwa:

22(k 1)  1  22k 2  1
 22k.22  1
 22k.4  1
 4.22k  1
 (3.22k  22k )  1
 (3.22k )  (22k  1)

Habis dibagi 3 Habis dibagi 3

Karena (1) dan (2) benar, maka terbukti bahwa 22n 1 habis dibagi 3 untuk semua
bilangan bulat n ≥ 1, juga benar.

B. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA KUAT
Bentuk prinsip induksi matematika yang lebih “kuat”, yang sering disebut

sebagai prinsip induksi matematika kuat, dapat dinyatakan sebagai berikut.
Untuk suatu pernyataan tertentu yang melibatkan bilangan asli n, jika kita dapat
menunjukkan bahwa:

1’. Pernyataan itu benar untuk n = n0, dan
2’. Pernyataan itu benar untuk n = k + 1, dengan mengasumsikan bahwa

pernyataan itu benar untuk n0 ≤ n ≤ k,
maka kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan itu benar untuk semua bilangan
asli n ≥ n0.

Bentuk ini lebih kuat dari prinsip induksi matematika yang disajikan di atas.
Tegasnya, di dalam langkah induksi, untuk membuktikan bahwa pernyataan yang
bersangkutan benar untuk n = k + 1, kita dibolehkan membuat asumsi yang lebih
kuat di dalam langkah (2’) daripada di dalam langkah (2) di atas. Dengan kata lain,
prinsip induksi matematika kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang
sama meskipun memberlakukan asumsi yang lebih banyak.

38 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Contoh 2.4:

Buktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n yang lebih besar atau sama dengan

2 merupakan bilangan prima atau hasilkali beberapa bilangan prima.

Solusi:

Misalkan P(n) adalah proposisi bahwa setiap bilangan bulat positif n yang lebih

besar atau sama dengan 2 merupakan bilangan prima atau hasilkali beberapa

bilangan prima.

1.) Basis induksi.

Untuk n = 2, karena 2 adalah bilangan prima, maka pernyataan tersebut

benar.

2.) Langkah induksi

Misalkan P(k) benar, yaitu asumsikan bahwa 2,3,…,k dapat dinyatakan

sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima (hipotesis induksi), akan

ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar, yaitu n+1 juga dapat dinyatakan

sebagai perkalian bilangan prima.

Ada 2 kasus:

1. Jika k+1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai

perkalian satu atau lebih bilangan prima.

2. Jika k+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a

yang habis membagi k+1 tanpa sisa. Dengan kata lain ,

(k  1)  b ,atau (k 1)  ab
a

Yang dalam hal ini, 2 ≤ a ≤ b ≤ k. Menurut hipotesis induksi, a dan b

dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan

prima. Ini berarti, k+1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan

prima, karena k+1 = ab.
Karena (1) dan (2) benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥

2) dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

39 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

RANGKUMAN

1. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam
matematika. Induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan
yang khusus menyangkut bilangan-bilangan asli.

2. Prinsip induksi matematika kuat mirip dengan induksi matematika biasa, kecuali
bahwa pada langkah (2) kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat. Pada
langkah (2) kita mengambil hipotesis yang lebih kuat bahwa semua pernyataan
benar untuk = 0, = 0 + 1, = 0 + 2, … , = , sedangkan pada
langkah (2) pernyataan tersebut benar untuk n = k. Dengan kata lain, prinsip
induksi matematika kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang sama
meskipun memberlakukan asumsi yang lebih banyak.

LATIHAN 2

1. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan pernyataan
berikut adalah benar.
a. 12  22  32    n2  n(n  1)(2n  1) , untuk semua bilangan bulat n
6
≥ 1.
b. n  2n , untuk setiap bilangan bulat positif n.
c. 23n 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
d. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + …+ n(n!) = (n + 1)! - 1 , untuk semua bilangan
bulat n ≥ 1.
e. 20  21  22    2n  2n1 1, untuk semua bilangan bulat tak negatif
n.
f. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

2. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya
hanya sekali saja. Buktikan dengan induksi matematika bahwa jika ada n
orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n 1) .
2

40 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

REFERENSI
1. Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. IKIP Malang: UM Press
2. Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
3. Cabrera, G.A. (1992). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical

Thinking. Education 113 (1) 59-63.
4. Copi, I.M. (1972). Introduction to Logic. New York: Macmillan.
5. Gerhard, M. (1971). Effective Teaching Strategies With the Behavioral

Outcomes Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc.
6. Naga, D.S. (1980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT.

Gramedia.

7. Ruseffendi, E.T. (1984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru.

Bandung: Tarsito.

41 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

BAB III
PRINSIP
PERHITUNGAN

3.1 PENDAHULUAN
Membilang bukan sekedar aritmatika biasa karena sasaran yang dipelajari

memasuki berbagai bagian matematika, antara lain probabilitas, statistika,
algoritma, dan aljabar. Kejadian akan kasus-kasu tertentu dicacah (dihitung)
berdasarkan cara-cara khusus untuk menyelesaikan masalah yang beragam.

Beberapa masalah yang terkait dalam enumerasi atau membilang antara lain
permutasi, kombinasi, binomial, dan multinomial. Dalam banyak hal, masalah
enumerasi memerlukan prinsip-prinsip khusus untuk membantu pengembangan
teori-teorinya, antara lain adalah, prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.
Setelah mempelajari materi dalam modul ini, Anda diharapkan dapat:
1. Memahami dan dapat menggunakan permutusi dalam menyelesaikan persoalan

terkait;
2. Memahami dan dapat menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan persoalan

terkait;
Untuk membantu Anda dalam mempelajari modul 3 ini, silakan perhatikan

beberapa petunjuk belajar berikut ini:

1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara
tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul 3 ini.

2. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-
kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam
kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki.

3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar
pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda.

42 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang
relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber,
termasuk dari internet.

5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui
kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan
teman sejawat.

6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang
dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui
apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan modul ini.

Selamat belajar! Tetaplah bersemangat!
Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang
Anda pikirkan!

43 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

3.2 URAIAN MATERI

A. PRINSIP DASAR PENJUMLAHAN
Jika suatu pekerjaan pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, suatu pekerjaan kedua
dapat dilakukan dalam n2 cara, dan kedua pekerjaan tidak dapat terjadi dalam waktu
yang bersamaan, maka seluruh pekerjaan dapat dilakukan dalam (n1 + n2) cara.

Definisi 3.2.1
Jika sebuah himpunan objek-objek S dipartisi menjadi himpunan bagian S1, S2, ... ,
Sn maka banyaknya objek di S akan sama dengan jumlah banyaknya objek di S1,
S2, ... , Sn.
Jika sebuah himpunan S dipartisi menjadi himpunan-himpunan bagian S1, S2, ... ,
Sn maka itu berarti tidak ada dua himpunan diantara S1, S2, ... , Sn yang beririsan.
Dengan kata lain, setiap objek di S pasti merupakan anggota dari salah satu
himpunan S1, S2, ... , Sn. Dengan demikian maka himpunan S1, S2, ... , Sn merupakan
partisi dari himpunan S
Contoh 3.2.1:
Siswa diminta mengambil salah satu kursus matematika atau biologi, tetapi tidak
mengambil keduanya. Jika ada 4 macam kursus matematika dan 3 macam kursus
biologi untuk dipilih siswa, maka siswa dapat memilih sebanyak 4 + 3 = 7 macam
pilihan.

B. PRINSIP DASAR PERKALIAN
Jika himpunan A terdiri atas p objek dan himpunan B terdiri atas q objek, maka
banyaknya pasangan terurut (a, b) dengan a anggota himpunan A dan b anggota
himpunan B adalah p x q buah.

Jika objek pertama dapat dipilih dalam p cara, dan objek kedua dapat dipilih
dalam q cara, maka banyaknya pilihan satu objek pertama dan satu objek kedua
ada sebanyak p x q cara.

44 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Contoh 3.2.2
Siswa harus mengambil dua macam kursus. Yang pertama harus memilih salah
satu diantara 3 jam di pagi hari, dan yang kedua memilih diantara 4 jam di sore
hari. Banyaknya jadwal yang dapat dipilih oleh siswa adalah 3 x 4 = 12 pilihan.
C. PERMUTASI
Pernahkah Anda tersesat di jalanan?
Apakah Anda bingung, ada berapa banyak jalan terpendek dari A ke B ? (lihat
Gambar 3.2.1).
Atau, pernahkah Anda terlibat dalam kepanitiaan suatu kejuaraan di lingkungan
sekitar Anda? Mungkin kejuaraan sepakbola, basket, volley, atau lainnya?


Gambar 3.2.1

Seringkali kita temui dalam kehidupan sehari-hari, berbagai persoalan yang
menuntut kita untuk menyusun atau mengurutkan benda-benda. Seperti pada
Gambar 3.2.1 di atas, seringkali kita kebingungan menentukan jalan mana yang
harus ditempuh untuk segera sampai ke tempat tujuan karena begitu banyaknya
pilihan jalan yang harus ditempuh. Atau andaikan saja Anda ditunjuk untuk menjadi
panitia pertandingan volley pada peringatan HUT RI, yang lebih dikenal dengan
istilah “Agustusan”.

45 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Andaikan saja dalam 1 kelurahan terdapat 8 RW, dan masing-masing RW
mengirimkan 1 tim volley yang siap berlaga. Ini berarti terdaftar 8 tim yang akan
segera dipertandingkan. Setiap 2 tim akan berhadapan 2 kali, sekali main kandang,
dan sekali main tandang. Suatu persoalan yang muncul dan harus dijawab adalah,
“Berapa kali pertandingan dalam kejuaraan ini?”

Untuk lebih memudahkan, 8 tim itu kita beri inisial: A, B, C, D. E, F, G, dan H.
Sedangkan pasangan terurut AB berarti pertandingan antara A dan B dikandang A,
dan BA berarti pertandingan antara A dan B dikandang B. Sehingga banyaknya
pertandingan sama dengan banyaknya pasangan terurut kedelapan unsur (tim) tadi.
Untuk menyelesaikan persoalan terakhir ini kita tetapkan lebih dahulu unsur
pertama pasangan terurut itu. Dalam hal ini kita mempunyai 8 kemungkinan.
Kemudian setelah unsur pertama kita tetapkan (dipilih) maka ada 7 unsur yang bisa
kita ambil sebagai unsur kedua pasangan terurut itu. Jadi seluruhnya kita akan
memperolch (8 × 7) = 56 pasangan terurut, sehingga terdapat 56 perlandingan
dalam kejuaran tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram pada Gambar
3.2.2 di bawah ini.

Unsur pertama Unsur kedua Pasangan terurut Banyak pasangan

A B AB 7

C AC

D AD

E AE

F AF

G AG

H AH

46 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t