MODUL MATEMATIKA DISKRIT

∞∞

∑ 4 −1 = ∑ 4 −1 −1

=2 =2

∞

= (∑(4 ) −1 − 1)

=2

1
= (1 − 4 − 1)


= 1 − 4 −

Sehingga persamaan di atas menjadi

( ) − 1 − 3 = 2 ( ) − 2 + 1 −
− 4

yang ekuivalen dengan

1 − 3
( ) = (1 − 4 )(1 − 2 )

Karena

(1 − 1 − 3 2 ) = 1 1⁄2 + 1 1⁄2
4 )(1 − − 4 − 2

maka diperoleh

( ) = 1 (1 1 + 1 1 = ∞ 1 (4 + 2 )
2 − 4 − 2 ) 2
∑

=0

Dengan demikian, solusi yang dimaksud adalah = 1 (4 + 2 ).
2

97 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

RANGKUMAN

1. Bagi suatu fungsi numerik ( 0, 1, 2, … , , … ) dan sembarang r, suatu
persamaan yang mengaitkan dengan satu atau lebih , < , dinamakan
relasi rekursif (recurrence relation). Relasi rekursif juga dinamakan persamaan

beda (difference equation).

2. Bentuk umum bagian rekursif dari suatu relasi rekursif linear berderajat k

adalah sebagai berikut:

( ) = 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + −
dimana sebagai konstanta dan ( ) adalah fungsi dalam n dan 0 ≠ 0.
3. Jika ( ) = 0 maka relasi rekursifnya disebut homogeny; jika tidak demikian,

nonhomogen. Selanjutnya, jika untuk setiap ∈ {1, 2, 3, … , }, sebagai
konstanta, maka relasi rekursifnya disebut relasi rekursif dengan koefisien

konstanta.

4. Bnetuk umum dari relasi rekursif linear homogeny dengan koefisien konstanta

adalah sebagai berikut:

+ 1 −1 + ⋯ + − = 0; ≠ 0
dengan k kondisi awal (syarat batas), dan untuk 1 ≤ ≤ , = konstanta.
5. Solusi homogeny bagi suatu relasi rekursif linear dengan koefisien-koefisien
konstanta mempunyai bentuk 1 ; dalam hal ini 1 dinamakan akar
karakteristik.

persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + = 0
yang dinamakan persamaan karakteristik bagi relasi rekursif bersangkutan.

6. Jika persamaan karakteristik dari relasi rekursif + 1 −1 + ⋯ + − =

0; ≠ 0 mempunyai sebuah akar, 1 katakan, rangkap ≤ , maka solusi

umum dari

+ 1 −1 + ⋯ + − = 0; ≠ 0 yang melibatkan 1 mempunyai
bentuk

0 1 + 1 1 + 2 2 1 + ⋯ + −1 −1 1
7. Bentuk umum dari relasi rekursif linear tidak homogeny dengan koefisien

konstanta adalah sebagai berikut:

98 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

+ 1 −1 + ⋯ + − = ( ); ≠ 0, ( ) ≠ 0
dengan k kondisi awal (syarat batas), dan untuk 1 ≤ ≤ , = konstanta.
8. Bila ( ) ,erupakan suatu polinom berderajat t di dalam n yaitu

1 + 2 −1 + ⋯ + + +1
maka bentuk umum solusi khususnya

1 + 2 −1 + ⋯ + + +1
9. Bila ( ) berbentuk 1, maka solusi khususnya akan berbentuk umum 1,

dengan syarat bukan akar krakteristik relasi rekursif tersebut.
10. Bila ( ) berbentuk perkalian antara polinom dengan fungsi eksponen, maka

solusi khususnya akan berbentuk perkalian antara kasus 1 dengan kasus 2.
Yaitu, bila ( ) berbentuk
( 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1)
maka bentuk umum solusi khususnya
( 1 + 2 −1 + ⋯ + + +1)
11. Solusi (total) bagi suatu relasi rekursif linear tidak homogeny dengan koefisien-
koefisien konstanta merupakan jumlah dua bagian, solusi homogeny (khusus)
yang memenuhi relasi rekursif itu bila ruas kanannya disamakan dengan 0, dan
solusi khusus yang memenuhi relasi rekursif itu dengan ( ) di tuas kanan.
12. Prosedur umum untuk menentukan fungsi pembangkit bagi fungsi numeric a
dari relasi rekursif 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − = ( ) yang
berlaku untuk ≥ , dalam hal ini ≥ . Dengan mengalikan kedua ruas
persamaan ini dengan dan kemudian menjumlahkan hasilnya dari n = a ke n
= ∞, kita memperoleh

∞∞

∑( 0 + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + − ) = ∑ ( )

= =

99 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

Latihan 5
1. Selesaikan relasi rekursif berikut dengan metode akar karateristik.

a) 1 = 2 = 1 ; = −1 + −2 , ≥ 3
b) 0 = 0 ; 1 = −1 ; = 7 −1 − 12 −2 , ≥ 2
c) 0 = 1 = 1 ; = 2 −1 + 3 −2 , ≥ 2
d) 1 = 2, 2 = 6 ; − 4 −1 + 4 −2 = 0 , ≥ 3
e) 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2 ; = 9 −1 − 15 −2 + 7 −3 , ≥ 3
f) 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3; + 2 −2 + −4 = 0 , ≥ 4
g) 0 = 1 = 2 = 0, 3 = 5; = 10 −1 − 37 −2 + 60 −3 −

36 −4 , ≥ 4
2. Sebuah tangga memiliki n buah anak tangga. Anda diminta menaiki tangga

tersebut dengan aturan sebagai berikut:
Setiap kali melangkah, Anda diperbolehkan “melangkah” satu atau dua anak
tangga sekaligus.
a) Jika menyatakan banyaknya cara yang berbeda Anda dapat menaiki

tangga dengan n anak tangga tersebut, tulis relasi rekursif untuk
b) Selesaikan relasi rekursif pada soal (a)
3. Tentukan solusi khusus bagi persamaan beda

a) − 3 −1 + 2 −2 = 2
b) − 4 −1 + 4 −2 = 2
4. Selesaikan relasi rekursif berikut dengan fungsi pembangkit
a) 1 = 3 ; −1 = 2 + 4 , ≥ 0
b) 0 = 0 ; +1 = + + 7, ≥ 0
c) 0 = 2 ; 1 = 1 ; +2 − 2 +1 + = 2 , ≥ 2
d) 0 = 1 ; +1 = 2 . + 2 + 2, ≥ 0
e) 0 = 2 ; = 2 . −1 + , ≥ 1
f) 0 = 0 ; = −1 + 2 , ≥ 1
g) 0 = 2 ; = −1 + ( − 1), ≥ 1.

100 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t

REFERENSI
1. Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. IKIP Malang: UM Press
2. Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung
3. K.H. Rosen. 2012. Discrete Mathematics and Applications 7th Edition.

McGraw-Hill: New York.
4. Lipschutz, S. (1981). Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series.

Singapore: McGraw Hill International Book Company.
5. Purcell, E.J. dan Varberg, D. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta:

Erlangga.
6. Thomas, D.A. (2002). Modern Geometry. California, USA: Pacific Grove.
7. Wheeler, R.E. (1992). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth.

101 | M o d u l M a t e m a t i k a D i s k r i t