31 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง ล าดับเลขคณิต เüลาเรียน 1 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับล าดับเลขคณิตได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาพจน์ที่ n ของล าดับเลขคณิตได้(P) 3. นักเรียนมีคüามมุมานะในการท าคüามเข้าใจปัญĀาและแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ (A) ÿาระÿ าคัญ ล าดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ล าดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการน าพจน์ที่ ลบด้üยพจน์ที่ เป็นค่าคงตัüที่เท่ากัน ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก และเรียกค่าคงตัüที่เป็นผลต่าง เĀล่านี้ü่า ผลต่างร่üม (common difference) ÿาระการเรียนรู้ 1. ล าดับเลขคณิต 2. ล าดับเรขาคณิต ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
32 กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นน า 1. ครูทบทüนเกี่ยüกับล าดับที่มีรูปแบบง่าย ๆ คือ เพิ่มขึ้นĀรือลดลงเท่า ๆ กัน ในแต่ละพจน์ และใĀ้นักเรียนบอกล าดับโดยบอกเงื่อนไข Āรือÿมบัติของล าดับที่ก าĀนด ดังนี้ 2, 7, 12, 17, 22 an คือ ล าดับที่เพิ่มขึ้นทีละ 5 โดยเริ่มต้นจาก 2 100, 90, 80, 70, 60 an คือ ล าดับที่ลดลงทีละ 10 โดยเริ่มต้นจาก 100 2. ครูอธิบายคüามĀมายของล าดับเลขคณิต พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ บทนิยาม ล าดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ล าดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการน า พจน์ที่ n + 1 ลบด้üยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัüที่เท่ากัน ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n และเรียกค่าคงตัü ที่เป็นผลต่างนี้ü่า ผลต่างร่üม (common difference) จากบทนิยามจะเĀ็นü่า ล าดับ a1, a2, a3, …, an, … จะเป็นล าดับเลขคณิต ก็ต่อเมื่อ มีค่าคงตัü d ที่ d = an + 1 - an ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n นักเรียนÿามารถเขียนแÿดง ล าดับเลขคณิต 123 n a , a , a , …, a , … โดยใช้พจน์ทั่üไปของล าดับได้ ดังนี้ ใĀ้ a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นค่าคงตัü จะได้ a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d an = an - 1 + d = [a1 + (n - 2)d)] + d = a1 + (n - 1)d ดังนั้น พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n - 1)d เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเลขคณิต d คือ ผลต่างร่üมของล าดับเลขคณิต n คือ ล าดับที่ nของล าดับเลขคณิต an คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต ตัüอย่างที่ 1 ใĀ้นักเรียนพิจารณาü่า -8, -5, -2, 1, 4, … เป็นล าดับเลขคณิตĀรือไม่ üิธีท า ล าดับที่เป็นล าดับเลขคณิตต้องมีผลต่างร่üม ซึ่งเป็นผลต่าง ของÿองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ติดกัน Āาค่า a2 - a1, a3 - a2, a4 - a3, a5 - a4 เมื่อแทนค่า a1 = -8, a2 = -5, a3 = -2, a4 = 1, a5 = 4
33 จะได้ a2 - a1 = -5 - (-8) = 3 a3 - a2 = -2 - (-5) = 3 a4 - a3 = 1 - (-2) = 3 a5 - a4 = 4 - 1 = 3 ดังนั้น ล าดับ -8, -5, -2, 1, 4, … เป็นล าดับเลขคณิต ตัüอย่างที่ 2 จงĀาü่าจ านüนนับที่มากกü่า 7 แต่น้อยกü่า 1,610 ซึ่งĀารด้üย 6 ลงตัü มี ทั้งĀมดกี่จ านüน üิธีท า จ านüนนับที่น้อยที่ÿุดที่มากกü่า 7 ซึ่งĀารด้üย 6 ลงตัü คือ 12 เนื่องจาก 1,610 Āารด้üย 6 ได้ผลĀารเป็น 268 และได้เýþเป็น 2 ดังนั้น จ านüนนับที่มาก ที่ÿุดที่น้อยกü่า 1,610 ซึ่งĀารด้üย 6 ลงตัü คือ Āรือ จะได้ü่าล าดับของจ านüนนับที่มากกü่า 7 แต่น้อยกü่า 1,610 ซึ่งĀารด้üย 6 ลงตัü เป็นล าดับ เลขคณิตที่มีพจน์แรกเป็น 12 ผลต่างร่üมเป็น 6 และพจน์ที่ เป็น จาก จะได้ ดังนั้น จ านüนนับที่มากกü่า 7 แต่น้อยกü่า 1,610 ซึ่งĀารด้üย 6 ลงตัü มีทั้งĀมด 267 จ านüน ตัüอย่างที่ 3 จงĀาพจน์ที่ n ของล าดับ üิธีท า จาก และ จะได้ และจาก จะได้ ดังนั้นพจน์ทั่üไปของล าดับนี้ คือ
34 ตัüอย่างที่ 4 จงĀาพจน์ทั่üไปของล าดับ โดยที่ { } üิธีท า จาก และ จะได้ และจาก จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับนี้ คือ 3. ครูถามนักเรียนเพื่อÿรุปเรื่องล าดับเลขคณิตที่เรียนในüันนี้ “ล าดับเลขคณิตมีÿูตรการĀาพจน์ทั่üไปอย่างไร” แนüค าตอบ an = a1 + (n - 1)d เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเลขคณิต d คือ ผลต่างร่üมของล าดับเลขคณิต n คือ ล าดับที่ n ของล าดับเลขคณิต an คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต และการĀาผลต่างร่üม d = an + 1 - an “ใĀ้นักเรียนยกตัüอย่างล าดับที่เป็นล าดับเลขคณิตและล าดับที่ไม่เป็นล าดับเลขคณิต พร้อมใĀ้เĀตุผลประกอบ” แนüค าตอบ ตัüอย่างล าดับเลขคณิต เช่น 8, 13, 18, 23, 28, ... เพราะมีผลต่าง ของÿองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ติดกันเท่ากัน คือ 5 ตัüอย่างล าดับที่ไม่ใช่ล าดับเลขคณิต เช่น 5, 7, 10, 14, 19, … เพราะมีผลต่างของÿองพจน์ใด ๆ ที่อยู่ติดกันไม่เท่ากัน 4. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ ลงในÿมุดโดยครูคอยÿังเกตและใĀ้ ค าแนะน ากับนักเรียน 5. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยแบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ จากนั้นครูอธิบายเพิ่มเติม เพื่อใĀ้นักเรียนเข้าใจยิ่งขึ้น
35 ขั้นÿรุป 6. นักเรียนและครูร่üมกันÿรุปเนื้อĀาที่เรียนเพื่อทบทüนคüามรู้เรื่อง ล าดับเลขคณิต ดังนี้ จากบทนิยามจะเĀ็นü่า ล าดับ a1, a2, a3, …, an, … จะเป็นล าดับเลขคณิต ก็ต่อเมื่อ มีค่าคงตัü d ที่ d = an + 1 - an ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n นักเรียนÿามารถเขียน แÿดงล าดับเลขคณิต 123 n a , a , a , …, a , … โดยใช้พจน์ทั่üไปของล าดับได้ ดังนี้ ใĀ้ a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นค่าคงตัü จะได้ a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d an = an - 1 + d = [a1 + (n - 2)d)] + d = a1 + (n - 1)d ดังนั้น พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n - 1)d เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเลขคณิต d คือ ผลต่างร่üมของล าดับเลขคณิต n คือ ล าดับที่ nของล าดับเลขคณิต an คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ ล าดับเลขคณิตได้(K) แบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀา พจน์ที่ n ของล าดับเลขคณิตได้(P) แบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 3 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามมุมานะในการท า คüามเข้าใจปัญĀาและแก้ปัญĀา ทางคณิตýาÿตร์ (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
36 ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.1.2 ล าดับเลขคณิต 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต
37 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียนทุกคนสามารถอธิบาย เกี่ยวกับ ลำดับเลขณิ๓ ได้ ถูกต้อง ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนสามารถ แสดงวิธีหาพจน์ที่ ขา ของลำดับเลขนิตได้ถูกต้องผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนมี ความมุมนในการทำความ เข้าใจและแก้โจทย์ที่ ครู กำหนดให้ นักเรียนทุกคนมีความสามารในการคิด และ แก้โจทย์ที่ ศูกำหนให้ และสามารถ อธิบายได้อาถูกต้อง นักเรียนบาง คนมีความพยายามที่จะแก้โจทย์ที่ หู กำหนให้แต่ยังมี ความ ไม่เข้าใจ ในบาง เนื้อหาอยู่บ้าง ¥ 23 พฤษภาคม 2565
38
39 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง ล าดับเลขคณิต ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
40 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก ี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 Gt 23 พฤษภาฒ 2565
41 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
42 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
43 แบบฝึกĀัด 1.1.2 3. จงĀาพจน์ที่ ของล าดับเลขคณิตต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4) 5) เมื่อ เป็นจ านüนจริง 6) เมื่อ และ เป็นจ านüนจริง
44 เฉลยละเอียดแบบฝึกĀัด 1.1.2 3. 1) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ 2) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ ( ) เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ 3) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ
45 4) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ 5) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ เมื่อ เป็นจ านüนจริง 6) จากล าดับเลขคณิต จะได้ และ เนื่องจากพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต คือ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิตนี้ คือ เมื่อ และ เป็นจ านüนจริง
46 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง ล าดับเรขาคณิต เüลาเรียน 1 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับล าดับเรขาคณิตได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาพจน์ที่ n ของล าดับเรขาคณิตได้(P) 3. นักเรียนมีคüามมุมานะในการท าคüามเข้าใจปัญĀาและแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ (A) ÿาระÿ าคัญ ล าดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ล าดับซึ่งมีอัตราÿ่üนของพจน์ที่ n + 1 ต่อ พจน์ที่ n เป็นค่าคงตัüที่เท่ากัน ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n และเรียกค่าคงตัüที่เป็นอัตราÿ่üนนี้ü่า อัตราÿ่üนร่üม (common ratio) ÿาระการเรียนรู้ 1. ล าดับเลขคณิต 2. ล าดับเรขาคณิต ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
47 กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นน า 1. ครูทบทüนคüามรู้เกี่ยüกับล าดับเลขคณิต และแÿดงใĀ้เĀ็นü่า มีล าดับชนิดอื่นที่ไม่ใช่ล าดับ เลขคณิต เช่น 2, 4, 8, 16 5, 25, 125, 625 ล าดับที่ยกตัüอย่างเป็นล าดับที่มีรูปแบบเดียüกัน 2. ครูใĀ้นักเรียนพิจารณาล าดับ แล้üใĀ้นักเรียนÿังเกตü่าล าดับนี้มี ลักþณะเป็นอย่างไร “แต่ละพจน์จะได้จากการคูณพจน์ก่อนĀน้าที่อยู่ติดกันด้üย Āรืออัตราÿ่üนของพจน์Āลังต่อ พจน์Āน้าที่อยู่ติดกันเป็นค่าคงตัüเท่ากับ เÿมอ นั่นคือจะเรียกล าดับที่มีÿมบัติเช่นนี้ü่า ล าดับ เรขาคณิต และเรียกค่าคงตัüที่เป็นอัตราÿ่üนนี้ü่า อัตราÿ่üนร่üม” 3. ครูอธิบายคüามĀมายของล าดับเรขาคณิต พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ บทนิยาม ล าดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ล าดับซึ่งมีอัตราÿ่üนของพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ ที่ n เป็นค่าคงตัüเÿมอü่า ล าดับเรขาคณิต (geometric sequence) และเรียก อัตราÿ่üนที่เป็นค่าคงตัüนั้นü่า อัตราÿ่üนร่üม (common ratio) จากบทนิยามจะเĀ็นü่า ล าดับ 123 n a , a , a , …, a , … จะเป็นล าดับเรขาคณิตก็ต่อเมื่อ มีค่า คงตัü r ที่ n + 1 n a r = a ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n นักเรียนÿามารถเขียนแÿดงล าดับ เรขาคณิต 123 n a , a , a , …, a , … โดยใช้พจน์ทั่üไปของล าดับได้ ดังนี้ ใĀ้ 1 a เป็นพจน์แรก และ r เป็นค่าคงตัü จะได้ 2 1 a = a r 32 1 a = a r = (a r)r 2 1 = a r 2 43 1 a = a r = (a r )r 3 1 = a r n n - 1 1 n - 2 a = a r = (a r )r n - 1 1 = a r
48 ดังนั้น พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเรขาคณิต คือ n - 1 n 1 a = a r เมื่อ 1 a คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเรขาคณิต r คือ อัตราÿ่üนร่üมของล าดับเรขาคณิต n คือ ล าดับที่ n ของล าดับเรขาคณิต n a คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเรขาคณิต ตัüอย่างที่ 1 จงĀาพจน์ทั่üไปของล าดับ 43.35, 136.05, 408.15, 1,224.45, 3,673.35, ... üิธีท า จากโจทย์ และ จะได้ และจาก จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่üไปของล าดับนี้ คือ ตัüอย่างที่ 2 ถ้า 6 และ 24 เป็นพจน์ÿองพจน์ของล าดับเรขาคณิตที่มีพจน์อีกĀนึ่งพจน์อยู่ ระĀü่างพจน์ทั้งÿองนี้ จงĀาพจน์ที่อยู่ระĀü่างพจน์ทั้งÿองที่เป็นไปได้ทั้งĀมด üิธีท า ใĀ้ เป็นพจน์ที่อยู่ระĀü่าง 6 และ 24 จะได้ 6, , 24 เป็นล าดับเรขาคณิต ซึ่ง จะได้ Āรือ ดังนั้น พจน์ที่อยู่ระĀü่าง 6 และ 24 คือ 12 Āรือ -12 4. ครูถามนักเรียนเพื่อÿรุปเรื่องล าดับเลขคณิตที่เรียนในüันนี้ “ล าดับเรขาคณิตมีÿูตรการĀาพจน์ทั่üไปอย่างไร” แนüค าตอบ การĀาพจน์ทั่üไป การĀาอัตราÿ่üนร่üม “ใĀ้นักเรียนยกตัüอย่างล าดับที่เป็นล าดับเรขาคณิตและล าดับที่ไม่เป็นล าดับ เลขคณิตพร้อมใĀ้เĀตุผลประกอบ” แนüค าตอบ 1, 3, 9, 27, ... เป็นล าดับเรขาคณิตเพราะมีอัตราÿ่üนร่üมเท่ากัน คือ 3 2, 4, 12, 48, 240, ... ไม่เป็นล าดับเรขาคณิตเพราะอัตราÿ่üนร่üม ไม่เท่ากัน
49 5. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.1.3 ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 และ ข้อ 12 ใĀญ่ เป็นการบ้าน ขั้นÿรุป 6. นักเรียนและครูร่üมกันÿรุปเนื้อĀาที่เรียนเพื่อทบทüนคüามรู้เรื่อง ล าดับเรขาคณิต ดังนี้ ล าดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ล าดับซึ่งมีอัตราÿ่üนของพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ ที่ n เป็นค่าคงตัüเÿมอü่า ล าดับเรขาคณิต (geometric sequence) และเรียก อัตราÿ่üนที่เป็นค่าคงตัüนั้นü่า อัตราÿ่üนร่üม (common ratio) จากบทนิยามจะเĀ็นü่า ล าดับ 123 n a , a , a , …, a , … จะเป็นล าดับเรขาคณิตก็ ต่อเมื่อ มีค่าคงตัü r ที่ n + 1 n a r = a ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก n นักเรียนÿามารถเขียนแÿดง ล าดับเรขาคณิต 123 n a , a , a , …, a , … โดยใช้พจน์ทั่üไปของล าดับได้ ดังนี้ ใĀ้ 1 a เป็นพจน์แรก และ r เป็นค่าคงตัü จะได้ 2 1 a = a r 32 1 a = a r = (a r)r 2 1 = a r 2 43 1 a = a r = (a r )r 3 1 = a r n n - 1 1 n - 2 a = a r = (a r )r n - 1 1 = a r ดังนั้น พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเรขาคณิต คือ n - 1 n 1 a = a r เมื่อ 1 a คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเรขาคณิต r คือ อัตราÿ่üนร่üมของล าดับเรขาคณิต n คือ ล าดับที่ n ของล าดับเรขาคณิต n a คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเรขาคณิต
50 การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.1.3 ล าดับเรขาคณิต ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 และ ข้อ 12 ใĀญ่ 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุดโรงเรียนอุดรพัฒนาการ 3. อินเตอร์เน็ต จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ ล าดับเรขาคณิตได้(K) แบบฝึกĀัด 1.1.3 ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 ข้อ 12 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.3 ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 ข้อ 12 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการ Āาพจน์ที่ n ของล าดับ เรขาคณิตได้(P) แบบฝึกĀัด 1.1.3 ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 ข้อ 12 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.3 ข้อ 6 ใĀญ่ ข้อ 2,4,8 ข้อ 12 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามมุมานะในการท า คüามเข้าใจปัญĀาและแก้ปัญĀา ทางคณิตýาÿตร์ (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
51 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นัก เรียนทุกคน สามารถอธิบายเกี่ยวกับลำดับ เรานได้ถูกต้อง ย่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนสามารถโยนแสดงชีการหาพจน์ที่ ทางลำดับเราโตได้ถูกต้อง ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนมีความมุมานะ ในการทำความ เข้าใจ นะ แกโจทย์ที่ ศูกำหนดให้อยู่ในระดับ ดีถึงดีเยี่ยม นักเรียนทุกคนสามารถคิด และแก้โจทย์ที่ ชูกำหนดให้นะสามารถอธิบายวิธีทำ ที่ตนเองทำได้ นักเรียนบางคนยังไม่เข้าใจ เนื้อหาที่ใช้ประกอบ การหาพจน์ที่ ทางลํนับ เราฒิ๓ En _ 24 พฤษภาน 2565
52
53 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 เรื่อง ล าดับเรขาคณิต ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีฝิ่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
54 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 E. 24 พฤษภาคม 2575
55 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
56 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
57 แบบฝึกĀัด 1.1.3 6. จงĀาพจน์ที่ ของล าดับเรขาคณิตต่อไปนี้ 2) 4) 8) เมื่อ และ เป็นจ านüนจริงที่ไม่เป็นýูนย์ 12. ถ้าÿามพจน์แรกของล าดับเรขาคณิต คือ และ จงĀา และพจน์ ทั่üไปของล าดับนี้
58 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.1.3 6. 2) จากล าดับเรขาคณิต จะได้ และ จาก จะได้ ดังนั้น พจน์ที่ ของล าดับเรขาคณิต คือ 4) จากล าดับเรขาคณิต จะได้ และ จาก จะได้ ดังนั้น พจน์ที่ ของล าดับเรขาคณิต คือ 8) จากล าดับเรขาคณิต จะได้ และ จาก จะได้ ดังนั้น พจน์ที่ ของล าดับเรขาคณิต คือ เมื่อ และ เป็นจ านüนจริงที่ไม่เป็นýูนย์
59 12. จาก จะได้ จะได้ ดังนั้น ÿามพจน์แรกของล าดับนี้ คือ
60 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง ล าดับฮาร์มอนิก เüลาเรียน 1 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับล าดับฮาร์มอนิกได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงล าดับฮาร์มอนิกได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ล าดับฮาร์มอนิก (hamornic sequence) คือ ล าดับ ซึ่งมีÿมบัติü่า ล าดับÿ่üนกลับ เป็นล าดับเลขคณิต ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นน า 1. ครูและนักเรียนทบทüนคüามรู้เกี่ยüกับล าดับเลขคณิตและล าดับเรขาคณิต โดยใĀ้นักเรียน ยกตัüอย่างล าดับที่เป็นล าดับเลขคณิตและล าดับเรขาคณิต
61 ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายคüามĀมายของล าดับฮาร์มอนิก พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ บทนิยาม ล าดับฮาร์มอนิก (hamornic sequence) คือ ล าดับ ซึ่งมีÿมบัติü่า ล าดับÿ่üน กลับ เป็นล าดับเลขคณิต ตัüอย่างที่ 1 ก าĀนด เป็นล าดับฮาร์มอนิก ซึ่ง และ จงĀา üิธีท า จะได้ จะได้ นั่นคือ ดังนั้น
62 ขั้นÿรุป 4. นักเรียนและครูร่üมกันÿรุปเนื้อĀาที่เรียนเพื่อทบทüนคüามรู้เรื่อง ล าดับเลขคณิต ล าดับ เรขาคณิตและล าดับฮาร์มอนิก โดยใช้กิจกรรมตอบค าถามผ่าน www.kahoot.it การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ ล าดับฮาร์มอนิกได้ แบบฝึกĀัด 1.1.4 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.4 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 2. นักเรียนÿามารถแÿดง ล าดับฮาร์มอนิกได้ แบบฝึกĀัด 1.1.4 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.1.4 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย แบบประเมินคุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ประเมินแบบประเมิน คุณลักþณะอันพึง ประÿงค์ ผ่านเกณฑ์ในระดับดี ขึ้นไป
63 ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.1.4 ล าดับฮาร์มอนิก 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต
64 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียนทุกคนสามารถ อธิบาย เกี่ยวกับลำดับฮารีมาได้ ถูก ตั้งผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคน สามรถเขียนแสดงวิธีการหาล้านอาร์มนิกได้ ถูกตัวผ่าน เกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนมี ความตั้งใจ จะรับผิดชอบต่องานที่ ศู ได้มอบหมายให้อยู่ในระดับ ดีถึงดีเยี่ยม นักเรียนสามารถคิด และ แสดงวิธีการแก้โจทย์ที่ ครู กำหนให้ได้นะสามารถอธิบาย วิธีทำของตนเองได้ นักเรียนบางคนยังไม่เข้าใจการนับเศษส่วนเพื่อหาลัดมนโกย 3 มิถุนายน 2565
65
66 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 เรื่อง ล าดับฮาร์มอนิก ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีฝิ่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
67 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 ¥ 3 มิถุนายน 2565
68 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
69 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
70 แบบฝึกĀัด 1.1.4 1. ใĀ้ เป็นล าดับฮาร์มอนิกซึ่ง และ จงĀา
71 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.1.4 1. ก าĀนด จะได้ü่า เป็นล าดับเลขคณิต จาก และ จะได้ จะได้ และ ดังนั้นจะได้ และ เพราะฉะนั้น
72 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง ลิมิตของล าดับอนันต์ เüลาเรียน 4 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับลิมิตของล าดับอนันต์ได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาลิมิตของล าดับอนันต์ได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ใĀ้ เป็นล าดับอนันต์ ถ้า มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุดแล้ü เข้าใกล้ Āรือเท่ากับจ านüนจริง เพียงจ านüนเดียüเท่านั้น จะเขียน (อ่านü่า ลิมิตของ ล าดับ เมื่อ มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุด เท่ากับ ) และจะเรียกü่า ü่า ลิมิตของล าดับ (limit of a sequence) และกล่าüü่าล าดับนี้มีลิมิตเท่ากับ เรียกล าดับอนันต์ที่มีลิมิตü่า ล าดับลู่เข้า (convergent sequence) และเรียกล าดับอนันต์ที่ไม่ใช่ลู่เข้าü่า ล าดับลู่ออก (divergent sequence) ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
73 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูและนักเรียนทบทüนเรื่องล าดับเลขคณิต ล าดับเรขาคณิตและล าดับฮาร์มอนิก โดยถาม นักเรียน ดังนี้ “ล าดับเลขคณิตมีÿูตรการĀาพจน์ทั่üไปอย่างไร” แนüค าตอบ an = a1 + (n - 1)d เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของล าดับเลขคณิต d คือ ผลต่างร่üมของล าดับเลขคณิต n คือ ล าดับที่ n ของล าดับเลขคณิต an คือ พจน์ที่ n Āรือพจน์ทั่üไปของล าดับเลขคณิต และการĀาผลต่างร่üม d = an + 1 - an “ล าดับเรขาคณิตมีÿูตรการĀาพจน์ทั่üไปอย่างไร” แนüค าตอบ การĀาพจน์ทั่üไป การĀาอัตราÿ่üนร่üม “เราจะพิจารณาล าดับฮาร์มอนิกได้อย่างไร” แนüค าตอบ พิจารณาผ่านÿ่üนกลับของล าดับเลขคณิต 2. ครูใĀ้นักเรียนÿังเกตและพิจารณากราฟของล าดับในĀนังÿือเรียนĀน้า 26-28 ขั้นÿอน 3. ครูอธิบายเกี่ยüกับลิมิตของล าดับ พร้อมยกตังอย่าง ดังนี้ บทนิยาม ใĀ้ เป็นล าดับอนันต์ ถ้า มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุดแล้ü เข้าใกล้Āรือเท่ากับจ านüนจริง เพียงจ านüนเดียüเท่านั้น จะเขียน (อ่านü่า ลิมิตของล าดับ เมื่อ มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุด เท่ากับ ) และจะเรียกü่า ü่า ลิมิตของล าดับ (limit of a sequence) และกล่าüü่าล าดับนี้มีลิมิตเท่ากับ เรียกล าดับอนันต์ที่มีลิมิตü่า ล าดับลู่เข้า (convergent sequence) และเรียกล าดับอนันต์ที่ไม่ใช่ลู่เข้าü่า ล าดับลู่ออก (divergent sequence)
74 ตัüอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟเพื่อตรüจÿอบü่า เป็นล าดับลู่เข้าĀรือล าดับลู่ออก üิธีท า 1 2 3 4 5 6 7 ... 2 4 8 16 32 64 128 ... จากกราฟจะเĀ็นü่า เมื่อ มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุดแล้ü ไม่เข้าใกล้จ านüนจริงใด จะกล่าüü่าลิมิตของล าดับ ไม่มีค่า ดังนั้น จึงเป็นล าดับลู่ออก 4. ครูอธิบายทฤþฎีบท 1 ในĀนังÿือĀน้า 31 พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 1 ใĀ้ เป็นจ านüนจริงบüก จะได้ü่า และ ไม่มีค่า ตัüอย่างที่ 2 จงĀาลิมิตของล าดับ เมื่อ üิธีท า จาก เขียนล าดับได้เป็น จะเĀ็นü่า เมื่อ มากขึ้นโดยไม่มีที่ÿิ้นÿุด พจน์ที่ ของล าดับจะลดลงและเข้า ใกล้ 0 จากทฤþฎีบท 1 จะได้ü่า 5. ครูใĀ้นักเรียนท าใบกิจกรรม เรื่อง การĀาลิมิตของล าดับโดยพิจารณาจากกราฟเป็น การบ้าน
75 ชั่üโมงที่ 2 ขั้นน า 6. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยใบกิจกรรม เรื่อง ลิมิตของล าดับโดยพิจารณาจากกราฟ พร้อมทบทüนเรื่องล าดับลู่เข้าและล าดับลู่ออก 7. ครูใĀ้นักเรียนพิจารณาลิมิตของล าดับ โดยครูแÿดงตัüอย่างการĀาลิมิตของล าดับ ดังนี้ ตัüอย่างที่ 2 จงĀาลิมิตของล าดับ เมื่อ üิธีท า จาก เขียนล าดับได้เป็น เขียนกราฟของล าดับได้ดังนี้ จากกราฟ จะได้ü่า ขั้นÿอน 8. ครูอธิบายü่า “ยังมีทฤþฎีบทเกี่ยüกับการĀาลิมิตของล าดับ” พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 2 ใĀ้ เป็นจ านüนจริง จะได้ü่า 1. แล้ü 2. แล้ü ไม่มีค่า ตัüอย่างที่ 3 จงĀาลิมิตของล าดับ üิธีท า จาก เขียนเป็นล าดับได้เป็น พิจารณา โดยแบ่งเป็น 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ เป็นจ านüนคู่บüก จะได้ü่า เมื่อ มีค่ามากขึ้นไม่มีที่ÿิ้นÿุด
76 ค่าของพจน์ จะมากขึ้นไม่มีที่ÿิ้นÿุดและไม่เข้าใกล้จ านüนใดจ านüนĀนึ่ง ดังนั้น Āาค่าไม่ได้ กรณีที่ เป็นจ านüนคี่บüก จะได้ü่า เมื่อ มีค่ามากขึ้นไม่มีที่ÿิ้นÿุด ค่าของพจน์ จะลดลงไม่มีที่ÿิ้นÿุดและไม่เข้าใกล้จ านüนใดจ านüนĀนึ่ง ดังนั้น Āาค่าไม่ได้ เพราะฉะนั้น จากทั้งÿองกรณีนี้ จะเĀ็นü่า Āาค่าไม่ได้ 9. ครูอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยüกับทฤþฎีบท 2 ดังนี้ “จากตัüอย่างที่ 2และตัüอย่างที่ 3 จะเĀ็นได้ü่าÿามารถใช้ทฤþฎีบท 2 ในการ พิจารณาĀาลิมิตของล าดับนั้นๆได้” ทฤþฎีบท 3 ใĀ้ เป็นล าดับของจ านüนจริง เป็นจ านüนจริง และ เป็น ค่าคงตัüใดๆ โดยที่ และ จะได้ü่า 1. ถ้า ทุกจ านüนจริงบüก แล้ü 2. 3. 4. 5. 6. ถ้า ทุกจ านüนเต็มบüก และ แล้ü ( ) ตัüอย่างที่ 4 จงĀาลิมิตของล าดับ üิธีท า จาก จะได้
77 ตัüอย่างที่ 5 จงĀาลิมิตของล าดับ üิธีท า จาก จะได้ 10. ครูใĀ้ข้อÿังเกตกับนักเรียนเพิ่มเติม ดังนี้ “ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามตัüที่เป็น ÿ่üนมากกü่าดีกรีของพĀุนามตัüที่เป็นเýþแล้ü ลิมิตของล าดับจะเป็นýูนย์” ชั่üโมงที่ 3 ขั้นÿอน 11. ครูใĀ้ข้อÿังเกตนักเรียนเพิ่มเติม โดยการยกตัüอย่าง ดังนี้ ตัüอย่างที่ 6 จงĀาลิมิตของล าดับ üิธีท า จาก จะได้ ข้อÿังเกต “ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüเýþเท่ากับดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนแล้ü ล าดับนั้นจะเป็นล าดับลู่เข้าที่มีลิมิต ไม่เป็นýูนย์” 12. ครูอธิบายü่า “การแÿดงü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้นั้นเป็นล าดับลู่ออก นอกจากจะแÿดงโดย กราฟแล้ü ยังมีทฤþฎีบทที่ÿามารถใช้แÿดงการลู่ออกได้” พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้
78 ทฤþฎีบท 4 ใĀ้ เป็นล าดับซึ่ง ÿ าĀรับทุกจ านüนเต็มบüก ถ้า แล้ü ล าดับ จะลู่ออก ตัüอย่างที่ 7 จงแÿดงü่าล าดับ เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก üิธีท า เนื่องจาก จากทฤþฎีบท 4 จะได้ü่า ลู่ออก 13. ครูใĀ้ข้อÿังเกตกับนักเรียนเพิ่มเติม ดังนี้ “จากตัüอย่างที่ 7 จะÿังเกตได้ü่า ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของ เýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนน้อยกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับจะลู่ออก” 14. ครูอธิบายทฤþฎีบท 5 พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 5 ใĀ้ เป็นล าดับของจ านüนจริงที่มากกü่าĀรือเท่ากับýูนย์ เป็นจ านüนจริง และ เป็นจ านüนเต็มที่มากกü่าĀรือเท่ากับÿอง จะได้ü่า ถ้า แล้ü √ √ √ ตัüอย่างที่ 8 จงĀาลิมิตของล าดับ √ üิธีท า เนื่องจาก √ และ Āาค่าไม่ได้ จึงไม่ÿามารถใช้ทฤþฎีบท 3 และ ทฤþฎีบท 4 เพื่อĀาลิมิตได้ จะต้องจัดรูป ก่อนĀาลิมิต จาก √ √ √
79 √ √ จะได้ √ √ √ √ √ √ ดังนั้น √ √ ชั่üโมงที่ 4 15. ครูใĀ้นักเรียนýึกþาด้üยตนเอง โดยครูก าĀนดโจทย์การĀาลิมิตของล าดับใĀ้ แล้üใĀ้ นักเรียนท าลงในÿมุด ดังนี้ “ใĀ้นักเรียนĀาลิมิตของ √ √ ” üิธีท า เนื่องจาก √ และ √ Āาค่าไม่ได้ จึงไม่ÿามารถใช้ทฤþฎีบท 4 ได้ จะต้องจัดรูป ก่อนĀาลิมิต โดยน า √ √ ซึ่งเป็นÿังยุคของ √ √ คูณทั้งเýþและÿ่üน จะได้ü่า √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
80 √ √ √ √ ดังนั้น √ √ √ √ √ √ นั่นคือ √ √ ขั้นÿรุป 16. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,4,6,8,10 เป็นการบ้าน 17. ครูถามนักเรียนตรüจÿอบคüามเข้าใจของนักเรียนเกี่ยüกับลิมิตของล าดับอนันต์ “Āากลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüเýþเท่ากับดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนแล้ü ล าดับนั้นจะเป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก” แนüค าตอบ “ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüเýþเท่ากับดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนแล้ü ล าดับนั้นจะเป็นล าดับลู่เข้าที่มีลิมิตไม่ เป็นýูนย์” “Āากลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนมากกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะเป็นอย่างไร” แนüค าตอบ “ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนมากกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะมีลิมิตเป็นýูนย์”