131 เมื่อแทน ด้üย จะได้ เมื่อแทน ด้üย จะได้ ดังนั้น นั่นคือ ( ) ( ) ( ) ( ) เนื่องจาก ดังนั้น อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบüกเท่ากับ ชั่üโมงที่ 4 ขั้นÿอน 14. ครูอธิบายตัüอย่างในĀนังÿือคณิตýาÿตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 Āน้า 66-68 เพิ่มเติม 15. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.3.3 ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 เป็นการบ้าน ขั้นÿรุป 16. ครูและนักเรียนร่üมกันÿรุปเกี่ยüกับอนุกรมอนันต์ ดังนี้ บทนิยาม 6 ก าĀนด ... เป็นอนุกรมอนันต์ ใĀ้
132 เรียก ü่า ผลบüกย่อย (partial sum) พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ เป็นจ านüนเต็มบüก เรียกล าดับอนันต์ ü่า ล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรม (sequence of partial sum) บทนิยาม 7 ก าĀนดอนุกรมอนันต์ ... ใĀ้ เป็นล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่เข้า โดย เมื่อ เป็นจ านüนจริงแล้üจะ กล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่เข้า (convergent series) และ เรียก ü่าผลบüกของอนุกรม ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่ออก จะกล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่ออก (divergent series) ทฤþฎีบท 6 ก าĀนดใĀ้อนุกรมเรขาคณิตมี เป็นพจน์แรก และ เป็นอัตราÿ่üนร่üม ถ้า แล้ü อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกชองอนุกรมเท่ากับ ถ้า แล้ü อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ อนุกรมอนันต์ได้ (K) แบบฝึกĀัด 1.3.3 ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.3 ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀา อนุกรมอนันต์ได้ (P) แบบฝึกĀัด 1.3.3 ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.3 ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
133 ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.3.3 อนุกรมอนันต์ ข้อ 1 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,3 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต
134 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียน ทุกคนสามารถอธิบายเกี่ยวกับ อนุกรมอนันต์ได้ถูกต้อง และผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนสามารถ เขียนแสดงวิธีการหาค่าของอนุกรมอนันต์ได้ ถูกต้องและผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนมีความตั้งใจ และรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมายอยู่ในระดับ ดีถึงดีเยี่ยม นักเรียนมีความ สามารถในการคิด และ แสดงวิธี การ แ โจทย์ที่ ศูกำหนให้ได้ นะสามารถอธิบายวิธีทำของตนเองได้ พักเรียนบางคนยังหาค่าของอนุกรม อนันต์ ยังไม่ ฌ่งง ia 26 มิถุนายน 2565
135
136 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 เรื่อง อนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
137 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 Ei 26 มิถุนายน 2565
138 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
139 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
140 แบบฝึกĀัด 1.3.3 1. จงĀาล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้ 2) ... 3) ... 2. จงพิจารณาü่าอนุกรมในข้อ 1 อนุกรมใดบ้างที่เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบüกของอนุกรมเป็นเท่าใด 2) ... 3) ... 3. จงĀาผลบüกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) ...
141 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.3.3 1. 2) จากอนุกรม ... จะได้ พิจารณาผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมนี้ ( ) จากอนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี และ และผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ จะได้ ดังนั้น ล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมคือ ... 3) จากอนุกรม ...จะได้ พิจารณาผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมนี้ ( ) จากอนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี และ และผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ จะได้ ดังนั้น ล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมคือ ... 2. 2) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมออก
142 3) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกของอนุกรม คือ 3. 1) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกของอนุกรม คือ
143 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง ÿัญลักþณ์แÿดงการบüก เüลาเรียน 3 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาค่าจากÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ÿัญลักþณ์แÿดงการบüกเขียนแทนด้üย ∑ ÿมบัติของ 1) n i=1 c = nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัü 2) n n i i i=1 i=1 ca = c a เมื่อ c เป็นค่าคงตัü 3) n nn ii i i i=1 i=1 i=1 (a + b ) = a + b 4) n nn ii i i i=1 i=1 i=1 (a - b ) = a - b
144 ÿูตรที่ÿ าคัญ 1) n i=1 n(n + 1) i = 2 2) n 2 i=1 n(n + 1)(2n + 1) i = 6 3) n 2 3 i=1 n(n + 1) i = 2 ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูร่üมกับนักเรียนทบทüนเกี่ยüกับล าดับ โดยน าล าดับจ ากัดและล าดับอนันต์มาเขียน ในรูปการบüก จะเรียกü่า อนุกรม และยกตัüอย่างประกอบ ดังนี้ ก าĀนดใĀ้ อนุกรมของล าดับนี้ คือ ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายÿัญลักþณ์แÿดงการบüกและการใช้ÿัญลักþณ์ พร้อมยกตัüอย่างประกอบ ดังนี้ “ในการเขียนอนุกรม เพื่อคüามÿะดüกÿามารถใช้ÿัญลักþณ์อักþรกรีก เรียกü่า “ซิกม่า” เป็นÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ซึ่งแทนอนุกรมจ ากัด ด้üยÿัญลักþณ์ ∑ และเขียน ∑ แทนอนุกรมอนันต์ ... ตัüแปร i ที่ปรากฏในÿัญลักþณ์ ∑ Āรือ ∑ เรียกü่า ดัชนี ซึ่งจะก าĀนดพจน์แรกĀรือ พจน์ÿุดท้ายของอนุกรม”
145 ตัüอย่างเช่น ∑ แทน ∑ แทน ∑ แทน ... 3. ครูยกตัüอย่างอนุกรมโดยใช้ÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ดังนี้ ตัüอย่างที่1 จงแÿดงü่า ∑ üิธีท า ∑ - - - - ตัüอย่างที่2 จงแÿดงü่า ∑ ∑ ∑ üิธีท า ∑ มี 3 จ านüน 10 จ านüน ∑ ∑ 4. ครูอธิบายทฤþฎีบท 7 พร้อมน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ใĀ้นักเรียน ท าลงในÿมุด ดังนี้ ทฤþฎีบท 7 ใĀ้ แทนจ านüนเต็มบüกใดๆ จะได้ü่า 1. ∑ เมื่อ เป็นค่าคงตัü 2. ∑ ∑ เมื่อ เป็นค่าคงตัü 3. ∑ ∑ ∑ 4. ∑ ∑ ∑ โจทย์จงĀาผลบüกของอนุกรม ∑ โดยใช้ทฤþฎีบท 7 üิธีท า จากทฤþฎีบท 7 จะได้ü่า ∑ ∑ ดังนั้น ∑
146 ชั่üโมงที่ 2 ขั้นน า 5. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนทฤþฎีบท 7 ซึ่งเกี่ยüกับÿมบัติของ ขั้นÿอน 6. ครูอธิบายทฤþฎีบท 8 พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 8 ใĀ้ แทนจ านüนเต็มบüกใดๆ จะได้ü่า 1. ∑ 2. ∑ 3. ∑ ∑ ตัüอย่างที่ 3 จงĀาผลบüกของอนุกรม ∑ üิธีท า ∑ ∑ ∑ เนื่องจาก ∑ และจากทฤþฎีบท 7 และ 8 จะได้ü่า ∑ ตัüอย่างที่ 4 จงĀาผลบüก 20 พจน์แรกของอนุกรม ∑ üิธีท า ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ดังนั้น ( ) ( ) นั่นคือ ผลบüก 20 พจน์แรกของอนุกรม ∑ เท่ากับ 16,180
147 ตัüอย่างที่ 5 จงĀาผลบüก 10 พจน์แรกของอนุกรม ∑ üิธีท า ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ดังนั้น ∑ ( - ) - - ดังนั้น ผลบüก 10 พจน์แรกของอนุกรม ∑ เท่ากับ 1,430 7. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับÿัญลักþณ์แÿดงการบüกใĀ้นักเรียนท าลงในÿมุด โจทย์จงĀาค่าของ ∑ üิธีท า ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ดังนั้น ∑ ชั่üโมงที่ 3 ขั้นน า 8. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนทฤþฎีบทเกี่ยüกับÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ขั้นÿอน 9. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.4 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 เพื่อเป็นการตรüจÿอบคüาม เข้าใจเกี่ยüกับเนื้อĀาที่เรียน
148 ขั้นÿรุป 10. ครูและนักเรียนร่üมกันÿรุปเกี่ยüกับÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ดังนี้ ÿัญลักþณ์แÿดงการบüกเขียนแทนด้üย ∑ ÿมบัติของ 1) n i=1 c = nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัü 2) n n i i i=1 i=1 ca = c a เมื่อ c เป็นค่าคงตัü 3) n nn ii i i i=1 i=1 i=1 (a + b ) = a + b 4) n nn ii i i i=1 i=1 i=1 (a - b ) = a - b ÿูตรที่ÿ าคัญ 1) n i=1 n(n + 1) i = 2 2) n 2 i=1 n(n + 1)(2n + 1) i = 6 3) n 2 3 i=1 n(n + 1) i = 2
149 การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.4 ÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ ÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้ (K) แบบฝึกĀัด 1.4 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.4 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาค่า จากÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้ (P) แบบฝึกĀัด 1.4 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.4 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 3,5,7,9 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
150 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียนทุกคนสามารถ อธิบาย เกี่ยวกับสัญลักษณ์แสดงการบวกได้ถูกต้อง นะผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนสามรถ แสดงวิธีการหาค่าจากสัญลักษณ์แสดงการบวกได้ถูกต้อง และ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีความตั้งใจ และรับผิดชอบต่องานที่ ชูพบหมาให้อยู่ในระดับดีงดีมาก นักเรียนสามารถคิด มา แสดงวิธี การหาค่า ต่างๆได้ และ สามารถ อธิบายวิธีทำของตนเองได้ นักเรียนจำสูตรของสัญลักษณ์แสดงการบวกยังไม่แม่น ↳ใช้ สูตรยังไม่คง ¥ 4 กรกฎาฒ 2565
151
152 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10 เรื่อง ÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
153 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 ¥ 4 กรกฎาณ 2565
154 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
155 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
156 แบบฝึกĀัด 1.4 2. จงĀาผลบüกของอนุกรมต่อไปนี้ 3) ∑ 5) ∑ 7) ∑ 9) ∑
157 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.4 2. 3) ∑ ∑ ∑ ∑ 5) ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 7) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ *( ) + *( ) + *( ) + *( ) +
158 9) ∑ ∑ ∑ ∑
159 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 11 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง การประยุกต์ของล าดับและอนุกรม เüลาเรียน 3 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. ประยุกต์ใช้คüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ในการแก้ปัญĀาที่ก าĀนดใĀ้ได้(K) 2. เขียนแÿดงขั้นตอนการน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ในการแก้ปัญĀาที่ ก าĀนดใĀ้ได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ดอกเบี้ยทบต้น คือ ดอกเบี้ยที่ก าĀนดใĀ้มีการน าเอาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นแต่ละครั้งที่มีการคิด ดอกเบี้ยไปรüมกับเงินต้น เพื่อน ามาเป็นเงินต้นของงüดถัดไป ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ทุกปี (ปีละครั้ง) แล้üเมื่อÿิ้นปีที่ จะได้ เงินรüม บาท เมื่อ ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง แล้üเมื่อฝากเงินครบ ปี จะได้ เงินรüม ( ) บาท เมื่อ ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
160 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูเกริ่นน ากับนักเรียนเกี่ยüกับการน าคüามรู้เรื่องล าดับและอนุกรมไปใช้ในชีüิตจริง ดังนี้ “ล าดับและอนุกรมมีคüามเกี่ยüข้องกับชีüิตประจ าüันในเรื่องของเงิน ไม่ü่าเป็นเรื่อง ของดอกเบี้ยทบต้น มูลค่าของปัจจุบันและอนาคต รüมถึงค่างüดต่างๆ ล้üน เกี่ยüข้องกับล าดับและอนุกรมทั้งÿิ้น” ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายเกี่ยüกับดอกเบี้ยทบต้น พร้อมยกตัüอย่างดังนี้ ดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) คือ ดอกเบี้ยที่ก าĀนดใĀ้ มีการน าเอาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นในแต่ละครั้งที่มีการคิดดอกเบี้ยไป รüมกับเงินต้น เพื่อน ามาเป็นเงินต้นของงüดถัดไป จึงกล่าüได้ü่า เงินต้นในงüดถัดไปเป็นเงินรüมเมื่อ ÿิ้นÿุดการคิดดอกเบี้ยในแต่ละครั้ง ในกรณีทั่üไป ÿามารถเขียนรูปแบบของเงินรüมในแต่ละงüดเมื่อ คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นได้ ตัüอย่างที่ 1 ฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารซึ่งใĀ้อัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงĀา 1) เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 1 ปี 2) เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 2 ปี üิธีท า 1) เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 1 ปี Āาได้จาก จ านüนเงินต้นรüมกับดอกเบี้ยของเงินต้น ดังนั้น เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 1 ปี คือ บาท 2) เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 2 ปี Āาได้จาก เงินรüมของปีแรกรüมกับดอกเบี้ยที่ได้รับ ในปีที่ÿอง ดังนั้น เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 2 ปี คือ บาท 3. ครูอธิบายทฤþฎีบท 9 เกี่ยüกับการคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกปี (ปีละครั้ง) พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 9 ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี (ปีละครั้ง) แล้üเมื่อÿิ้นปีที่ จะได้ เงินรüม บาท เมื่อ
161 ตัüอย่างที่ 2 ฝากเงิน 50,000 บาท กับÿถาบันการเงินที่ใĀ้อัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกÿามเดือน เมื่อเüลาผ่านไป 5 ปี จะมีเงินรüมเท่าใด โดยที่ไม่มีการฝากและถอน เงินในระĀü่างนี้ üิธีท า จากโจทย์ จะได้ อัตราดอกเบี้ยต่องüด คือ Āรือ จ านüนงüดทั้งĀมดเท่ากับ งüด ใĀ้ แทนเงินรüมเมื่อÿิ้นงüดที่ จะได้ ดังนั้น เงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 5 ปีคือ บาท 4. ครูอธิบายทฤþฎีบท 10 เกี่ยüกับการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ ครั้ง พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 10 ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง แล้üเมื่อฝากเงินครบ ปี จะได้ เงินรüม ( ) บาท เมื่อ ตัüอย่างที่ 3 ฝากเงิน 10,000 บาท กับธนาคารแĀ่งĀนึ่งที่ใĀ้อัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละครั้ง จงĀาเงินรüมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี โดยที่ไม่มีการฝากและถอนเงิน ในระĀü่างนี้ üิธีท า ในที่นี้ และ จากทฤþฎีบท 10 จ านüนเงินรüม คือ บาท ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 10 ปี จะมีเงินรüมประมาณ บาท ขั้นÿรุป 5. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนทฤþฎีบทเกี่ยüกับดอกเบี้ยทบต้น ดังนี้ ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ทุกปี (ปีละครั้ง) แล้üเมื่อÿิ้นปีที่ จะได้ เงินรüม บาท เมื่อ
162 ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง แล้üเมื่อฝากเงินครบ ปี จะได้ เงินรüม ( ) บาท เมื่อ 6. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับดอกเบี้ยทบต้นใĀ้นักเรียนท าใÿ่ÿมุดเป็นการบ้าน โจทย์ÿมมติü่าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นแบบทุกปี จงĀาจ านüนเงินเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี เมื่อไม่มีการฝากและการถอน ในระĀü่าง 10 ปีนี้ üิธีท า จากไม่มีการฝากและถอนระĀü่าง 10 ปี ใĀ้ และ จะได้ü่า จากทฤþฎีบท 9 จะได้จ านüนเงินเมื่อฝากเงินครบ 10 ปีคือ Āรือประมาณ บาท ชั่üโมงที่ 2 ขั้นน า 7. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนการĀาอัตราดอกเบี้ยทบต้น ดังนี้ ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ทุกปี (ปีละครั้ง) แล้üเมื่อÿิ้นปีที่ จะได้ เงินรüม บาท เมื่อ ถ้าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง แล้üเมื่อฝากเงินครบ ปี จะได้ เงินรüม ( ) บาท เมื่อ ขั้นÿอน 8. ครูอธิบายการĀามูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ซึ่งเป็นการประยุกต์เรื่องล าดับและ อนุกรมในชีüิตประจ าüันพร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ถ้าลงทุน บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง ก าĀนดใĀ้ แล้üเมื่อครบ ปี เงินรüมที่ได้ คือ ( ) เรียก ü่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น ในทางกลับกัน จะเรียก ü่า มูลค่าปัจจุบันของเงิน รüม ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน ของเงินรüม คือ ( )
163 ตัüอย่างที่3 บอลต้องการฝากเงินกับธนาคารแĀ่งĀนึ่งซึ่งก าĀนดอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดย คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน ถ้าบอลต้องการใĀ้มีเงินในบัญชีประมาณ 10,000 บาท เมื่อÿิ้นÿุดปีที่ 3 เขาต้องฝากเงินต้นไü้อย่างน้อยเท่าใด üิธีท า ในที่นี้ จะได้ มูลค่าปัจจุบันของเงินรüม 10,000 บาท คือ ( ) บาท ดังนั้น บอลคüรน าเงินไปฝากอย่างน้อย บาท ตัüอย่างที่4 เบÿได้รับมรดกเป็นเงิน 94,349.42 บาท จากคุณพ่อซึ่งฝากเงินจ านüนĀนึ่งไü้กับ ธนาคารเมื่อ 15 ปีที่แล้ü โดยไม่มีการฝากและถอนเงินในระĀü่างนี้ ถ้าธนาคารคงอัตราดอกเบี้ย ต่อปีดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน จงĀาเงินต้นที่คุณพ่อของเบÿฝากไü้เมื่อ 15 ปีก่อน üิธีท า ในที่นี้ จะได้ มูลค่าปัจจุบันของเงินรüม 94,349.42 บาท คือ ( ) บาท ดังนั้น บอลคüรน าเงินไปฝากอย่างน้อย บาท ขั้นÿรุป 10. ครูใĀ้นักเรียนท าโจทย์เกี่ยüกับมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคตลงในÿมุด โจทย์ บอÿกู้เงินจากบีม โดยมีก าĀนดช าระĀนี้ทั้งĀมดในอีก 2 ปีข้างĀน้า เป็นเงิน 45,656 บาท ถ้าบีมก าĀนดอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงĀาจ านüน เงินที่บอÿกู้จากบีม üิธีท า ใĀ้ เป็นมูลค่าของĀนี้ปัจจุบัน ในที่นี้ จะได้ มูลค่าปัจจุบันของเงินรüม 46,656 บาท คือ ( ) บาท ดังนั้น บอลคüรน าเงินไปฝากอย่างน้อย บาท
164 11. ครูและนักเรียนร่üมกันÿรุปเกี่ยüกับมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ดังนี้ “ถ้าลงทุน บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง ก าĀนดใĀ้ แล้üเมื่อครบ ปี เงินรüมที่ได้ คือ ( ) เรียก ü่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น ในทางกลับกัน จะเรียก ü่า มูลค่าปัจจุบันของเงินรüม ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน ของเงินรüม คือ ( ) ” ชั่üโมงที่3 ขั้นน า 12. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนเกี่ยüกับมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ดังนี้ “ถ้าลงทุน บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ปีละ ครั้ง ก าĀนดใĀ้ แล้üเมื่อครบ ปี เงินรüมที่ได้ คือ ( ) เรียก ü่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น ในทางกลับกัน จะเรียก ü่า มูลค่าปัจจุบันของเงินรüม ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน ของเงินรüม คือ ( ) ” ขั้นÿอน 13. ครูอธิบายเกี่ยüกับค่างüด ซึ่งเป็นเรื่องในชีüิตประจ าüันของนักเรียนพร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ “ในชีüิตประจ าüัน นักเรียนคงได้พบเĀ็นการรับĀรือจ่ายเงินเป็นงüดๆ เช่น การฝากเงินใน ธนาคารเป็นประจ าทุกเดือน การซื้อของแบบผ่อนÿ่ง การจ่ายค่าเช่าบ้านรายเดือน การจ่ายเบี้ย ประกันรายปี การรับเงินเดือนทุกเดือน ซึ่งจะเรียกการรับĀรือจ่ายเงินลักþณะนี้ü่า การรับĀรือ จ่ายค่างüด ซึ่งการรับĀรือการจ่ายค่างüด มีลักþณะ 3 ประการ ดังนี้ 1. รับĀรือจ่ายเท่ากันทุกงüด 2. รับĀรือจ่ายติดต่อกันทุกงüด 3. รับĀรือจ่ายตอนต้นงüดĀรือÿิ้นงüด ตัüอย่างเช่น การน าเงินไปฝากธนาคารทุกต้นปี ปีละ 20,000 บาท เป็นเüลา 6 ปี Āรือการ ซื้อรถยนต์แบบผ่อนÿ่ง โดยท าÿัญญากับผู้จ าĀน่ายรถยนต์ü่าจะผ่อนช าระทุกÿิ้นเดือน เดือนละ 9,000 บาท เป็นเüลา 4 ปี”
165 “การĀาเงินรüมของค่างüดทั้งĀมด เมื่อมีการรับĀรือจ่ายค่างüดติดต่อกันเป็นระยะเüลาĀนึ่ง โดยก าĀนดอัตราดอกเบี้ยคงที่ตลอดระยะเüลาดังกล่าü เมื่อÿิ้นÿุดระยะเüลาที่ก าĀนด เงินรüมของค่า งüดทั้งĀมดจะเท่ากับผลบüกของมูลค่าอนาคตของค่างüดแต่ละงüด การค านüณĀาเงินรüมทั้งĀมดจะ แบ่งเป็น 2 กรณี คือ ค่างüดที่รับĀรือจ่ายตอนต้นงüด และค่างüดที่รับĀรือจ่ายตอนÿิ้นงüด” ค่างüดที่รับĀรือจ่ายตอนต้นงüด พิจารณาการรับĀรือจ่ายเงินแต่ละงüด โดยที่แต่ละงüดเป็น เงิน บาท ซึ่งเริ่มรับĀรือจ่ายเงินตอนต้นรüมทั้งĀมด งüด และอัตราดอกเบี้ยต่องüดเป็น ใĀ้ จะได้ แผนภาพแÿดงค่างüดแต่ละงüด ดังนี้ จะได้ เงินรüมเมื่อÿิ้นงüดที่ คือ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี พจน์ โดยพจน์แรก คือ และอัตราÿ่üนร่üม คือ จะได้ เงินรüมเมื่อÿิ้นงüดที่ คือ Āรือ
166 ค่างüดที่รับĀรือจ่ายตอนÿิ้นงüด พิจารณาการรับĀรือจ่ายเงินแต่ละงüด โดยที่แต่ละงüดเป็นเงิน บาท ซึ่งเริ่มรับĀรือจ่ายเงินตอนÿิ้นงüดรüมทั้งĀมด งüด และอัตราดอกเบี้ยต่องüดเป็น ใĀ้ จะได้ แผนภาพแÿดงค่างüดแต่ละงüด ดังนี้ จะได้ เงินรüมเมื่อÿิ้นงüดที่ คือ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี พจน์ โดยพจน์แรก คือ และอัตราÿ่üนร่üม คือ จะได้ เงินรüมเมื่อÿิ้นงüดที่ คือ Āรือ ตัüอย่างที่5 พิชญ์ฝากเงิน 100 บาท เข้าบัญชีทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อÿิ้นปีที่ 2 พิชญ์จะได้เงินรüมเท่าใด üิธีท า พิชญ์ฝากเงินĀรือจ่ายเงินค่างüดตอนต้นงüดทุกเดือนเป็นเüลา 2 ปี ในที่นี้ ดังนั้น เมื่อÿิ้นปีที่ 2 เงินรüมของพิชญ์ คือ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 24 พจน์ โดยพจน์แรก คือ และอัตราÿ่üนร่üม คือ จะได้เงินรüม คือ Āรือประมาณ 2,555.91 บาท ดังนั้น เมื่อÿิ้นปีที่ 2 พิชญ์จะได้เงินรüมประมาณ 2,555.91 บาท
167 ตัüอย่างที่6 พายุฝากเงิน 100 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกÿิ้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อÿิ้นปีที่ 2 พายุจะได้เงินรüมเท่าใด üิธีท า พายุฝากเงินĀรือจ่ายค่างüดตอนÿิ้นงüดทุกเดือนเป็นเüลา 2 ปี ในที่นี้ ดังนั้น เมื่อÿิ้นปีที่ 2 เงินรüมของพิชญ์ คือ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 24 พจน์ โดยพจน์แรก คือ และอัตราÿ่üนร่üม คือ จะได้เงินรüม คือ Āรือประมาณ 2,543.20 บาท ดังนั้น เมื่อÿิ้นปีที่ 2 พิชญ์จะได้เงินรüมประมาณ 2,543.20 บาท ขั้นÿรุป 14. ครูและนักเรียนร่üมกันÿรุปคüามรู้เกี่ยüกับการประยุกต์ล าดับและอนุกรมใน ชีüิตประจ าüัน 15. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.5 ข้อ 1, 2, 5, 8 เป็นการบ้านเพื่อเป็นการทบทüน บทเรียน การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ ÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้ (K) แบบฝึกĀัด 1.5 ข้อ 1,2,5,8 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.5 ข้อ 1,2,5,8 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาค่า จากÿัญลักþณ์แÿดงการบüกได้ (P) แบบฝึกĀัด 1.5 ข้อ 1,2,5,8 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.5 ข้อ 1,2,5,8 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
168 ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.4 ÿัญลักþณ์แÿดงการบüก ข้อ 1,2,5,8 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต
169 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความ| เกี่ยว กับ ลํทับมาอนุกรม ไปใช้ในการแก้โจทย์ ปัญหาที่ ญูกำหนดให้ได้ถูกต้อง มาผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนสามรถเขียนนคงขั้นตอนการน้าความรู้ที่ยทับลํทับและอนุกรมไปใช้ในการแก้ โจทย์ปัญหาที่ ครูกำหนดให้ได้ถูกต้อง และในเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนมีความตั้งใจ และรับผิดชอบต่องานที่ ศูมอบหมายให้อยู่ในระดับดีดึดีมาก นักเรียนมีความสามารในการคิด มาแสดงวิธีการ แกโจทย์ปัญหาที่ ครู กำหนดให้ และสานคอชินยวิธีทำของตนเองได้ นักเรียนบางคนยังไม่สามารถตีโจทย์ปัญหาให้แตกหรือ ยัง แสดงวิธีการแก้ โจทย์ใ หา ยังไม่ณ่os ¥ 10 กรกฎาคม 2565
170
171 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 11 เรื่อง การประยุกต์ของล าดับและอนุกรม ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
172 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก ี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 Ei 10 กรกฎาน 2565
173 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
174 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
175 แบบฝึกĀัด 1.5 1. ÿมมติü่าเริ่มฝากเงินด้üยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย แบบทบต้นทุกปี จงĀา 1) จ านüนเงินเมื่อฝากครบ 10 ปี 2) จ านüนปีที่จะท าใĀ้มีเงินเพิ่มขึ้นเป็นอย่างน้อยÿามเท่าของเงินต้น 2. ฝากเงินกับธนาคารจ านüน 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี จงĀาจ านüนเงินในบัญชี เมื่อครบปีที่ เมื่อ 1) ธนาคารคิดดอกเบี้ยใĀ้ครั้งÿุดท้ายครั้งเดียü 2) ธนาคารน าดอกเบี้ยเข้าบัญชีเงินฝากทุกปี 5. เมื่อต้นปีปัญญาฝากเงิน 100,000 บาท กับธนาคารแĀ่งĀนึ่ง และฝากเงินเพิ่มอีก 100,000 บาท ทุกต้นปี โดยธนาคารก าĀนดอัตราดอกเบี้ย ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงĀาเงินรüม เมื่อฝากเงินครบ 15 ปี 8. ÿุดาฝากเงิน 2,000 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อÿิ้นÿุดปีที่ 5 ÿุดาจะได้เงินรüมเท่าใด
176 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.5 1. 1) ในที่นี้ไม่มีการฝากและถอนในระĀü่าง 10 ปีนี้ จากไม่มีการฝากและถอนระĀü่าง 10 ปี ใĀ้ และ จะได้ü่า จากทฤþฎีบท 9 จะได้จ านüนเงินเมื่อฝากเงินครบ 10 ปีคือ Āรือประมาณ บาท 2) จากเงินต้น 100,000 บาท จะได้ü่า จ านüนเงินรüมเพิ่มขึ้นเป็น 3 เท่าของเงินต้น คือ จ านüนเงินรüม 300,000 บาท ใĀ้ แทนจ านüนปีที่จะท าใĀ้มีเงินเพิ่มขึ้น เป็น 3 เท่าของเงินต้น จากทฤþฎีบท 9 จะได้ü่า จะได้ü่า ดังนั้น ต้องฝากเงินครบ 29 ปีจะท าใĀ้มีเงินเพิ่มขึ้นเป็นÿามเท่าของเงินต้น 2. 1) ดอกเบี้ยจากการฝากเงินต้น บาท โดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย ต่อปีและคิด ดอกเบี้ยใĀ้ครั้งÿุดท้ายครั้งเดียüเมื่อฝากเงินครบ ปี เท่ากับ ( ) บาท จาก และ ดังนั้นดอกเบี้ยที่ได้จากการฝากเงินนี้เป็นเüลา ปีเท่ากับ ( ) บาท จะได้ü่า จ านüนเงินในบัญชีเมื่อครบปีที่ เมื่อธนาคารคิดดอกเบี้ยใĀ้ครั้งÿุดท้ายครั้งเดียüเท่ากับ บาท 2) ใĀ้ และ จะได้ü่า จากทฤþฎีบท 9 จะได้จ านüนเงินเมื่อฝากเงินครบ ปี คือ บาท
177 5. เมื่อต้นปีปัญญาฝากเงิน 100,000 บาท กับธนาคารแĀ่งĀนึ่ง และฝากเงินเพิ่มอีก 100,000 บาททุกต้นปี โดยธนาคารก าĀนดอัตราดอกเบี้ย และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ทุกปี เขียนแผนภาพแÿดงการฝากเงินและมูลค่าของเงินเมื่อฝากเงินครบ 15 ปี ดังนี้ จากแผนภาพ เมื่อฝากเงินครบ 15 ปี เงินฝากเมื่อต้นปีที่ 1 จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นปีที่ 2 จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นปีที่ 3 จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นปีที่ 15 จะมีมูลค่า บาท ดังนั้นเมื่อฝากเงินครบ 15 ปีจะได้รับเงินรüม บาท Āรือ บาท เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 15 พจน์ พจน์แรกคือ และอัตราÿ่üนร่üมคือ จะได้ผลบüก 15 พจน์แรกของอนุกรมนี้ คือ Āรือประมาณ 1,915,688.13 บาท ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 15 ปี จะมีเงินรüมประมาณ 1,915,688.13 บาท
178 8. ÿุดาฝากเงิน 2,000 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย ต่อปี (Āรืออัตราดอกเบี้ยต่อเดือน คือ ) จะได้ü่า เขียนแผนภาพแÿดงการฝากเงินและมูลค่าของเงินเมื่อÿิ้นปีที่ 5 (ÿิ้นเดือนที่ 60) ได้ดังนี้ จากแผนภาพจะได้ü่าเมื่อÿิ้นปีที่ 5 เงินฝากเมื่อต้นเดือนที่ 1 จ านüน 2,000 บาท จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นเดือนที่ 2 จ านüน 2,000 บาท จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นเดือนที่ 3 จ านüน 2,000 บาท จะมีมูลค่า บาท เงินฝากเมื่อต้นเดือนที่ 15 จ านüน 2,000 บาท จะมีมูลค่า บาท นั่นคือ เมื่อÿิ้นปีที่ 5 ÿุดาจะได้เงินรüม บาท Āรือ บาท เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 60 พจน์ พจน์แรกคือ และอัตราÿ่üนร่üมคือ จะได้ ผลบüก 60 พจน์แรกของอนุกรมนี้ คือ Āรือประมาณ 129,616.66 บาท ดังนั้น เมื่อÿิ้นÿุดปีที่ 5 ÿุดาจะได้เงินรüมประมาณ 129,616.66 บาท