81 “Āากลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามที่เป็น ตัüÿ่üนน้อยกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะเป็นอย่างไร” แนüค าตอบ “Āากลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของ พĀุนามที่เป็นตัüÿ่üนน้อยกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะลู่ออก” 18. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยโจทย์ที่ครูใĀ้นักเรียนท าในข้อ 15. จากนั้นครูอธิบายเพิ่มเติม เพื่อใĀ้นักเรียนเข้าใจยิ่งขึ้น 19. นักเรียนและครูร่üมกันÿรุป ลิมิตของล าดับอนันต์ ดังนี้ ล าดับลู่เข้า (convergent sequence)คือล าดับที่n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่ÿิ้นÿุด ล าดับจะเข้าใกล้ Āรือเท่ากับค่าคงตัüจ านüนใดจ านüนĀนึ่ง ล าดับลู่ออก(divergent sequence)คือล าดับที่n มีค่ามากขึ้นไม่มีที่ÿิ้นÿุดล าดับจะไม่เข้าใกล้ Āรือเท่ากับค่าคงตัüจ านüนใดจ านüนĀนึ่ง ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามตัüที่เป็นÿ่üน มากกü่าดีกรีของพĀุนามตัüที่เป็นเýþแล้ü ลิมิตของล าดับจะเป็นýูนย์ ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามที่เป็น ตัüÿ่üนมากกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะมีลิมิตเป็นýูนย์ ถ้าลิมิตของล าดับที่พจน์ทั่üไปอยู่ในรูปของเýþÿ่üนของพĀุนาม มีดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüÿ่üน น้อยกü่าดีกรีของพĀุนามที่เป็นตัüเýþแล้ü ล าดับนั้นจะลู่ออก การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน 1. นักเรียนÿามารถอธิบาย เกี่ยüกับลิมิตของล าดับอนันต์ได้ แบบฝึกĀัด 1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ2,4,6,8,10 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,4,6,8,10 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการ Āาลิมิตของล าดับอนันต์ได้ แบบฝึกĀัด 1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,4,6,8,10 ตรüจแบบฝึกĀัด 1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,4,6,8,10 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย แบบประเมินคุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ประเมินแบบประเมิน คุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ผ่านเกณฑ์ในระดับดี ขึ้นไป
82 ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. ใบกิจกรรม เรื่อง การĀาลิมิตของล าดับโดยพิจารณาจากกราฟ 3. แบบฝึกĀัด 1.1.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 2,4,6,8,10 4. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 5. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต
83 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียน ทุกคนสามารถ อธิบาย เกี่ยวกับลิมิตของนมอนันต์ได้ ถูก ต้อง ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนสามารถ เขียนแสดงวิธีการหาลิมิตของลิงอนันต์ได้ ถูก ต๋งง ผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนมีความตั้งใจ และรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย อยู่ในราย ดีถึงดีเยี่ยม นัก เรียนสามารถคิดจะ แสดงวิธี การแก้โจทย์ที่ ศูกำหนดให้ นะสามารถอธิบาย วิธี การทํโจทย์ของตนเองได้ นักเรียนบางคนยังไม่เข้าใจเกี่ยว กับลิมิตของลํนับอนันต์และยังแก้โจทย์ได้ไง ¥ 13 มิถุนายน 2565
84
85 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 เรื่อง ลิมิตของล าดับอนันต์ ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
86 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 Gt 13 มิถุนายน 2565
87 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
88 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
89 / ใบกิจกรรม เรื่อง การĀาลิมิตของล าดับ โดยพิจารณากราฟ ค าชี้แจง : ใĀ้นักเรียนĀาค่า เมื่อก าĀนด โดยพิจารณากราฟ 1. . 2. 3. ชื่อ-ÿกุล ชั้น เลขที่
90 เฉลยใบกิจกรรม เรื่อง การĀาลิมิตของล าดับ โดยพิจารณากราฟ ค าชี้แจง : ใĀ้นักเรียนĀาค่า เมื่อก าĀนด โดยพิจารณากราฟ 1. n n lim a = 0 และเป็นล าดับลู่เข้า (convergent sequence) 2. n n lim a = 1 และเป็นล าดับลู่เข้า (convergent sequence) 3. n n lim a = ไม่มีลิมิต และเป็นล าดับลู่ออก (divergent sequence)
91 แบบฝึกĀัด 1.2 2. จงใช้ทฤþฎีบทเกี่ยüกับลิมิตของล าดับเพื่อตรüจÿอบü่าล าดับที่มีพจน์ทั่üไปในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็น ล าดับลู่เข้าĀรือล าดับลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงĀาลิมิต 2) 4) 6) 8) 10)
92 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.2 2. เนื่องจาก | | พิจารณา จากทฤþฎีบท 4 จะได้ü่า ล าดับนี้เป็นล าดับลู่ออก 4. เนื่องจาก เนื่องจาก | | จะได้ ดังนั้น นั่นคือ ล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า และค่าของลิมิตคือ 0 6. เนื่องจาก ดังนั้น นั่นคือล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า และลิมิตของล าดับคือ 1
93 8. ดังนั้น นั่นคือล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า และลิมิตของล าดับคือ 1 10. ดังนั้น นั่นคือล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า และลิมิตของล าดับคือ
94 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง อนุกรมเลขคณิต เüลาเรียน 2 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับอนุกรมเลขคณิตได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาอนุกรมเลขคณิตได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ใĀ้ เป็นล าดับเลขคณิต ซึ่งมี เป็นผลต่างร่üมผลบüก พจน์แรก ของอนุกรมเลขคณิต คือ Āรือ ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
95 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูกล่าüทักทายนักเรียน และทบทüนคüามรู้เกี่ยüกับอนุกรม และÿัญลักþณ์ของ อนุกรม ดังนี้ ถ้า เป็นล าดับแล้ü จะเรียก ü่า อนุกรมผลบüก พจน์แรกของอนุกรม Āมายถึง ผลบüกตั้งแต่พจน์ที่ 1 ถึงพจน์ที่ n ซึ่งจะเขียนแทนด้üย ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายคüามĀมายของอนุกรมเลขคณิต และÿูตรอนุกรมเลขคณิต ดังนี้ ใĀ้ เป็นล าดับเลขคณิต ซึ่งมี เป็นผลต่างร่üมผลบüก พจน์แรก ของอนุกรมเลขคณิต คือ Āรือ 3. ครูยกตัüอย่างการĀาผลบüกอนุกรม พจน์แรก ดังนี้ ตัüอย่างที่ 1 อนุกรมเลขคณิตชุดĀนึ่งมี และ จงĀา และ üิธีท า เนื่องจาก จะได้ เนื่องจาก และจาก จะได้ ดังนั้น และ ตัüอย่างที่ 2 จงĀาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรม ... üิธีท า เนื่องจาก ... เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี และ และจาก จะได้ ดังนั้น ผลบüก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ
96 ตัüอย่างที่ 3 อนุกรมเลขคณิตชุดĀนึ่ง มีผลบüก 25 พจน์แรกเท่ากับ 1,000 และผลบüก 100 พจน์แรกเท่ากับ 15,250 จงĀาค่า และ üิธีท า จาก อนุกรมเลขคณิตชุดĀนึ่ง มีผลบüก 25 พจน์แรกเท่ากับ 1,000 และผลบüก 100 พจน์แรกเท่ากับ 15,250 และจาก จะได้ (1) และจะได้ (2) น า (2) - (1) จะได้ แทน ในÿมการ (1) จะได้ จะได้ ดังนั้น จะได้ และ 4. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับอนุกรมเลขคณิตใĀ้นักเรียนท าลงÿมุด โจทย์จงĀาผลบüกของจ านüนนับตั้งแต่ 50 ถึง 200 ที่Āารด้üย 3 ลงตัü üิธีท า จากผลบüกของจ านüนนับตั้งแต่ 50 ถึง 200 ที่Āารด้üย 3 ลงตัü จะได้ จ านüนนับจ านüนแรก คือ 51 และจ านüนนับจ านüนแรก คือ 198 ดังนั้น ผลบüกของจ านüนนับตั้งแต่ 50 ถึง 200 ที่Āารด้üย 3 ลงตัü เป็นอนุกรมเลขคณิต คือ ซึ่งเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี และ Āากจ านüนพจน์จาก - จะได้ - ( ) -
97 จาก จะได้ ดังนั้น ผลบüกของจ านüนนับตั้งแต่ 50 ถึง 200 ที่Āารด้üย 3 ลงตัü คือ 6,225 5. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยโจทย์จากข้อ 4. และÿรุปเนื้อĀาเกี่ยüกับอนุกรมเลขคณิต ใĀ้ เป็นล าดับเลขคณิต ซึ่งมี เป็นผลต่างร่üมผลบüก พจน์แรก ของอนุกรมเลขคณิต คือ Āรือ ชั่üโมงที่ 2 ขั้นน า 6. ครูและนักเรียนทบทüนเกี่ยüกับÿูตรการĀาผลบüก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ผลบüก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ Āรือ ขั้นÿอน 7. ครูยกตัüอย่างการĀาผลบüกอนุกรมเลขคณิต ดังนี้ ตัüอย่างที่ 3 พีทและริþาซ้อมüิ่งเพื่อเตรียมตัüในการแข่งขันüิ่งมาราธอน โดยüันแรกพีทüิ่ง ได้ระยะทาง 2 กิโลเมตร üันที่ÿองüิ่งได้ 4 กิโลเมตร และüันที่ÿามüิ่งได้ 6 กิโลเมตร เป็นเช่นนี้ไป เรื่อยๆ ÿ่üนริþาแรกüิ่งได้ระยะทาง 18 กิโลเมตร üันที่ÿองüิ่งได้ 17 กิโลเมตร และüันที่ÿามüิ่งได้ 16 กิโลเมตร เป็นเช่นนั้นไปเรื่อยๆ ถ้าทั้งÿองใช้เüลาในการซ้อมüิ่ง 10 üัน พีทจะüิ่งได้ระยะทางรüม มากĀรือน้อยกü่าริþาและเป็นจ านüนกี่กิโลเมตร üิธีท า จากโจทย์ ระยะทาง (กิโลเมตร) ที่พีทüิ่งต่อüัน คือ จะได้ ผลรüมของระยะทางที่พีทüิ่ง คือ ... เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี และ และจาก จะได้ ดังนั้น ในเüลา 10 üัน พีทจะüิ่งได้ระยะทางรüม 110 กิโลเมตร จากโจทย์ ระยะทาง (กิโลเมตร) ที่ริþาüิ่งต่อüัน คือ จะได้ ผลรüมของระยะทางที่พีทüิ่ง คือ ... เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี และ
98 และจาก ( - ) จะได้ ( - ) - ดังนั้น ในเüลา 10 üัน ริþาจะüิ่งได้ระยะทางรüม 135 กิโลเมตร นั่นคือ ในการซ้อมüิ่ง 10 üัน พีทจะüิ่งได้ระยะทางรüมน้อยกü่าริþาอยู่ 135-110=25 กิโลเมตร 8. ครูอธิบายตัüอย่าง จากĀนังÿือเรียนรายüิชาเพิ่มเติม คณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน้า 46 จากนั้นเปิดโอกาÿใĀ้นักเรียนซักถามข้อÿงÿัย 9. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับการĀาผลบüกอนุกรมเลขคณิตใĀ้นักเรียนท าลงในÿมุด โจทย์Ā้องÿอบĀ้องĀนึ่งมีรูปแบบการจัดโต๊ะที่นั่งÿอบ ดังนี้ แถüแรกมีโต๊ะนั่งÿอบ 5 ตัü แถüที่ÿองมีโต๊ะที่นั่งÿอบ 8 ตัü แถüที่ÿามมีโต๊ะที่นั่งÿอบ 11 ตัü และแถüÿุดท้ายมีโต๊ะที่นั่งÿอบ 32 ตัü โดยโต๊ะที่นั่งÿอบในแต่ละแถüจะเพิ่มขึ้นแถüละ 3 ตัü อยากทราบü่าในĀ้องนี้มีโต๊ะที่นั่งÿอบ ทั้งĀมดกี่ตัü üิธีท า จาก Ā้องÿอบĀ้องĀนึ่งมีรูปแบบการจัดโต๊ะที่นั่งÿอบ ดังนี้ แถüแรกมีโต๊ะนั่งÿอบ 5 ตัü แถüที่ÿองมีโต๊ะที่นั่งÿอบ 8 ตัü แถüที่ÿามมีโต๊ะที่นั่งÿอบ 11 ตัü และแถüÿุดท้ายมี โต๊ะที่นั่งÿอบ 32 ตัü จะได้ล าดับของโต๊ะที่นั่งÿอบในแต่ละแถüเป็นล าดับเลขคณิต คือ ที่มี และ Āากจ านüนพจน์จาก - จะได้ - ( ) - ดังนั้น Ā้องÿอบĀ้องนี้มีโต๊ะที่นั่งÿอบทั้งĀมด 10 แถü คือ จาก จะได้ ดังนั้น Ā้องÿอบĀ้องนี้มีโต๊ะที่นั่งÿอบทั้งĀมด 185 ตัü
99 ขั้นÿรุป 7. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยโจทย์เกี่ยüกับผลบüกอนุกรมเลขคณิตในข้อ 6.และใĀ้ นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.3.1 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 และข้อ 5 ใĀญ่ เป็นการบ้าน การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.3.1 อนุกรมเลขคณิต ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 และ ข้อ 5 ใĀญ่ 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ อนุกรมเลขคณิตได้(K) แบบฝึกĀัด 1.3.1 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 5 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.1 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 5 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀา อนุกรมเลขคณิตได้(P) แบบฝึกĀัด 1.3.1 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 5 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.1 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 5 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
100 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียนสามารถอธิบายที่หนอ นุชมาล้วนได้ถูกต้อง นะผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนสามารถ เขียนแสดงวิธีการหา อนุกรม เลขที่ได้ถูกต้อง ผงผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียน ทุกคนมีความตั้งใจ มารับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหายจากศูอยู่ใน ระดับดีดึงดีเยี่ยม นักเรียนมีความสามารถในการคิดมาหาวิธี การ แโจทย์ที่ สูกำหนดให้ได้ มา อธิบายวิธีทำที่ตนเอง แสดงได้ นักเรียนยัง แก้โจทย์ที่ ครู กำหนดให้ไม่ณ่งง ¥ 11 มิถุนายน 2525
101
102 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
103 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 ¥ 11 มิถุนายน 2565
104 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
105 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
106 แบบฝึกĀัด 1.3.1 2. จงĀาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต เมื่อก าĀนดใĀ้ 1) และล าดับเลขคณิต คือ 2) และล าดับเลขคณิต คือ 3. จงĀาผลบüกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้ 1) 2) 5. ทับทิมเริ่มออมเงินüันแรก 1 บาท üันที่ÿอง 2 บาท üันที่ÿาม 3 บาท ถ้าทับทิมออมเงินเช่นนี้ไป เรื่อยๆจนครบ 30 üัน ทับทิมจะมีเงินออมทั้งĀมดเท่าใด
107 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.3.1 2. 1) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จาก จาก จะได้ ( ) ดังนั้น ผลบüก 50 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 2,700 2) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จาก จาก จะได้ ( ) ดังนั้น ผลบüก 50 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 870 3. 1) จาก อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จะได้ จาก จะได้ ดังนั้น ผลบüกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 1,680
108 2) จาก อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จะได้ จาก จะได้ ดังนั้น ผลบüกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ -2,030 5. จากที่ก าĀนดใĀ้ จะได้ü่า ทับทิมออมเงินüันละ 1 บาท ออมเงินüันที่ÿอง บาท ออมเงินüันที่ÿาม บาท ในท านองเดียüกัน จะได้ü่า ทับทิมออมเงินในüันที่ เท่ากับ บาท จะได้ เงินที่ทับทิมออมในüันที่ คือ ซึ่งเป็นล าดับเลขคณิต ที่มีพจน์แรกเป็น 1 และผลต่างร่üมเป็น 1 ใĀ้ แทนจ านüนเงินออมทั้งĀมดของทับทิม เมื่อออมครบ üัน ดังนั้น จ านüนเงินออมทั้งĀมดของทับทิม เมื่อออมครบ 30 üัน คือ จาก จะได้ ( ) ดังนั้น ถ้าทับทิมออมเงินจนครบ 30 üัน ทับทิมจะมีเงินออมทั้งĀมด 465 บาท
109 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต เüลาเรียน 2 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับอนุกรมเรขาคณิตได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาอนุกรมเรขาคณิตได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ใĀ้ เป็นล าดับเรขาคณิต ซึ่งมี เป็นอัตราÿ่üนร่üมผลบüก พจน์ แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ เมื่อ ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
110 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูกล่าüทักทายนักเรียน และใช้ค าถามกระตุ้นคüามคิด ดังนี้ “นักเรียนคิดü่า ในการĀาอนุกรมเรขาคณิตก็จะมีÿูตรการĀา “เĀมือน” Āรือ “ต่างกัน” เพราะเĀตุใด” แนüค าตอบ ต่างกัน เพราะล าดับเลขคณิต จะมีผลต่างร่üม คือ d แต่ล าดับเรขาคณิต จะมีอัตราร่üม คือ r ขั้นÿอน 2. ครูอธิบายอนุกรมเรขาคณิต พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ใĀ้ เป็นล าดับเรขาคณิต ซึ่งมี เป็นอัตราÿ่üนร่üมผลบüก พจน์ แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ เมื่อ ตัüอย่างที่ 1 จงĀาผลบüก พจน์แรกของอนุกรม ... üิธีท า เนื่องจาก ... เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี และ และจาก จะได้ ดังนั้น ผลบüก พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ ตัüอย่างที่ 2 จงĀาผลบüกของอนุกรม üิธีท า เนื่องจาก เป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี และ Āาจ านüนพจน์จาก Āาผลบüก 10 พจน์แรกจาก จะได้ ( ) ( ) ดังนั้น ผลบüกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ
111 3. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับอนุกรมเรขาคณิตใĀ้นักเรียนท าลงÿมุด โจทย์ถ้าผลบüก 5 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตĀนึ่งมีค่าเท่ากับ และพจน์ที่ 5 มีค่า เป็น เท่าของพจน์ที่ 3 ใĀ้Āา üิธีท า จาก และ จะได้ และจากผลบüก 5 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตĀนึ่งมีค่าเท่ากับ ถ้า จะได้ จาก และ จะได้
112 ดังนั้น ถ้า แล้ü ถ้า จะได้ จาก และ จะได้ ดังนั้น ถ้า แล้ü ขั้นÿรุป 4. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยโจทย์จากข้อ 3. และÿรุปเนื้อĀาเกี่ยüกับอนุกรมเรขาคณิต ใĀ้ เป็นล าดับเรขาคณิต ซึ่งมี เป็นอัตราÿ่üนร่üมผลบüก พจน์ แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ เมื่อ
113 ชั่üโมงที่ 2 ขั้นน า 5. ครูและนักเรียนร่üมกันทบทüนเกี่ยüกับอนุกรมเรขาคณิต ดังนี้ ใĀ้ เป็นล าดับเรขาคณิต ซึ่งมี เป็นอัตราÿ่üนร่üมผลบüก พจน์ แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ เมื่อ ขั้นÿอน 6. ครูอธิบายตัüอย่างเพิ่มเติม จากĀนังÿือเรียนรายüิชาเพิ่มเติม คณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน้า 52-53 จากนั้น เปิดโอกาÿใĀ้นักเรียนซักถามข้อÿงÿัย 7. ครูยกตัüอย่างเพิ่มเติมเกี่ยüกับโจทย์ปัญĀาของอนุกรมเรขาคณิต ตัüอย่างที่ 3 เก่งซ้อมüิ่งที่ÿüนÿาธารณะเพื่อไปแข่งüิ่งมาราธอน üันแรกüิ่งได้ 2 กิโลเมตร üันที่ÿองüิ่งได้ 3 กิโลเมตร üันที่ÿามüิ่งได้ 4.5 กิโลเมตร และüันต่อๆไป เก่งüิ่งได้ระยะทางเพิ่มขึ้น 1.5 เท่าของüันก่อนĀน้า ถ้าเก่งมีเüลาซ้อมüิ่งก่อนüันจริง 7 üัน จงĀาระยะทางทั้งĀมดที่เก่งฝึกüิ่งได้ üิธีท า จาก เก่งซ้อมüิ่งที่ÿüนÿาธารณะเพื่อไปแข่งüิ่งมาราธอน üันแรกüิ่งได้ 2 กิโลเมตร üันที่ÿองüิ่งได้ 3 กิโลเมตร üันที่ÿามüิ่งได้ 4.5 กิโลเมตร และüันต่อๆไป เก่งüิ่งได้ ระยะทางเพิ่มขึ้น 1.5 เท่าของüันก่อนĀน้า จะได้ระยะทางที่เก่งüิ่งได้เป็นอนุกรม เรขาคณิตที่มี และ ซึ่งเก่งมีเüลาซ้อมก่อนüันจริง 7 üัน จะได้ และจาก จะได้ ดังนั้น ในเüลา 7 üัน เก่งฝึกüิ่งได้ระยะทางประมาณ กิโลเมตร 6. ครูใĀ้นักเรียนท าแบบฝึกĀัด 1.3.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 และ ข้อ 4 ใĀญ่ เป็นการบ้าน
114 การüัดและประเมินผลการเรียนรู้ ÿื่อ/แĀล่งการเรียนรู้ ÿื่อการเรียนรู้ 1. Āนังÿือรายüิชาเพิ่มเติมคณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล าดับและ อนุกรม 2. แบบฝึกĀัด 1.3.2 อนุกรมเลขคณิต ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 และ ข้อ 4 ใĀญ่ 3. üิดีโอการÿอน เรื่อง ล าดับอนุกรม จาก https://proj14.ipst.ac.th 4. Power Point การÿอน เรื่อง ล าดับและอนุกรม แĀล่งการเรียนรู้ 1. Ā้องเรียน 2. Ā้องÿมุด 3. อินเตอร์เน็ต จุดประÿงค์การเรียนรู้ เครื่องมือ üิธีการประเมิน เกณฑ์การประเมิน นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับ อนุกรมเรขาคณิตได้ (K) แบบฝึกĀัด 1.3.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 4 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 4 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀา อนุกรมเรขาคณิตได้ (P) แบบฝึกĀัด 1.3.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 4 ใĀญ่ ตรüจแบบฝึกĀัด 1.3.2 ข้อ 2 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 3 ใĀญ่ ข้อ 1,2 ข้อ 4 ใĀญ่ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 75 นักเรียนมีคüามตั้งใจและ รับผิดชอบต่องานที่ได้รับ มอบĀมาย (A) แบบÿังเกตพฤติกรรม ÿังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์ การประเมิน ทั้ง 2 รายการ
115 บันทึกĀลังการÿอน ด้านคüามรู้ (K) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… . ด้านทักþะกระบüนการ (P) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… คุณลักþณะอันพึงประÿงค์/เจตคติ (A) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÿมรรถนะÿ าคัญผู้เรียน (C) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ปัญĀาอุปÿรรค/ข้อเÿนอแนะอื่นๆ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ ……………………………………(ผู้ÿอน) (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่ …………………………………… นักเรียน ทุกคนสามารถ อธิบาย เกี่ยวกับ อนุกรมเราโตได้ถูกต้อง และผ่านเกณฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนทุกคนสามารถเขียนแสดงวิธีการหา0 นุชม เราโตได้ ถูกตั้งและฝ่านานฑ์ ร้อยละ 75 นักเรียนมีความตั้งใจ มารับผิดชอบต่องานที่ ชูมอบหมายให้อยู่ในระดับ ดีถึงดีเยี่ยม นักเรียนสามารถคิดและ ลดงวิธีการแก้โจทย์ที่ ชูคำหนให้ได้ และสามารถอธิบาย วิธีทำนาตนเองได้ถูกต้อง นัก เรียนบางคนยังไม่สามารถแสดงวิธีการหาอนุกรม เราณิได้อย่างน่องหล่อ En _ _ 16 มิถุนายน 255
116
117 แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรู้ ด้านคüามรู้ ทักþะกระบüนการ และคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 8 เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา ี 2 ด 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดี มาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่น 3 ดีมาก 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 1 พอใช้ 2 ดี 2 ดี 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 3 2 ดี 3 ดีเยี่ยม ดีมาก ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมา 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก
118 เลขที่ ชื่อ - ÿกุล ของผู้รับการประเมิน คüามรู้ ทักþะกระบüนการ คุณลักþณะ อันพึงประÿงค์ ĀมายเĀตุ 2 ระดับ 3 ระดับ 3 ระดับ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 รüม เฉลี่ย จ านüนนักเรียนที่ผ่าน ร้อยละนักเรียนที่ผ่าน ลงชื่อ.................................................................................ผู้ประเมิน (นายธีรเทพ ชูýรีโÿม) üันที่.......................เดือน......................................พ.ý..................... 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดี เยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 2 ดี 3 ดีเยี่ยม 3 ดีมาก 1 พใช้ 2 ดี 2 ดี 73 112 1.48 2.8ๆ "2 2.87 39 39 39 160 100 100 ¥ 1 เ มิถุนายน 2565
119 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคüามรู้ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบค าถามใน Ā้องเรียน 2 : ดี 1 : พอใช้ 0 : ปรับปรุง นักเรียนมีคüามรู้คüาม เข้าใจÿามารถตอบค าถาม ที่ครูถามได้ถูกต้อง นักเรียนมีคüามพยายามตอบ ค าถามที่ครูถามได้ถูกต้อง บางÿ่üน นักเรียนไม่ตอบค าถามใน Ā้องเรียน ĀมายเĀตุ ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้เฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป ไม่ผ่าน Āมายถึง นักเรียนท าคะแนนได้ต่ ากü่าเฉลี่ยร้อยละ 70 ขึ้นไป เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านทักþะ/กระบüนการทางคณิตýาÿตร์ ทักþะ/กระบüนการคüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ คะแนน:ระดับคุณภาพ คüามÿามารถในการแก้ปัญĀาในการเรียนคณิตýาÿตร์ได้ 3 : ดีเยี่ยม ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องครบถ้üน 2 : ดี ÿามารถแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ได้ถูกต้องบางÿ่üน 1 : พอใช้ มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ 0 : ปรับปรุง ไม่มีคüามพยายามในการแก้ปัญĀาทางคณิตýาÿตร์ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
120 เกณฑ์การใĀ้คะแนนด้านคุณลักþณะอันพึงประÿงค์ ตังบ่งชี้ ระดับคุณภาพ/ระดับคะแนน การตอบ ค าถามใน Ā้องเรียน 3 : ดีมาก 2 : ดี 1 : ก าลังพัฒนา 0 : ต้องปรับปรุง มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ มีคüามอดทนและไม่ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้ÿามารถแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ÿ าเร็จ มีคüามตั้งใจและพยายาม ในการแก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเล็กน้อย มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ แต่ไม่มีคüามอดทนและ ท้อแท้ต่ออุปÿรรคจนท า ใĀ้แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ก าĀนดใĀ้ ได้ไม่ÿ าเร็จเป็นÿ่üน ใĀญ่ ไม่มีคüามตั้งใจและ พยายามในการ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ ไม่มีคüาม อดทนและท้อแท้ต่อ อุปÿรรคจนท าใĀ้ แก้ปัญĀาทาง คณิตýาÿตร์ที่ ก าĀนดใĀ้ได้ไม่ ÿ าเร็จ เกณฑ์การประเมิน อยู่ในระดับ ดี ถือü่า ผ่าน
121 แบบฝึกĀัด 1.3.2 2. จงĀาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต เมื่อก าĀนดใĀ้ 1) และล าดับเรขาคณิต คือ 2) และล าดับเรขาคณิต คือ 3. จงĀาผลบüกของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ 1) 2) 4. มังกรตั้งใจจะออมเงินเพื่อซื้อĀนังÿือ โดยüันแรกจะออมเงิน 1 บาท üันที่ÿอง 2 บาท üันที่ÿาม 4 บาท üันที่ÿี่ 8 บาท เช่นนี้ไปเรื่อยๆ เมื่อครบ 15 üัน มังกรจะออมเงินทั้งĀมดเท่าใด
122 เฉลยแบบฝึกĀัด 1.3.2 2. 1) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จาก จาก จะได้ ดังนั้น ผลบüก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ 19,682 2) อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จาก จาก จะได้ ดังนั้น ผลบüก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ คือ 3. 1) จาก อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จะได้ นั่นคือ แทน ใน จะได้ ดังนั้น ผลบüกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 1,089
123 2) จาก อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ และ จะได้ นั่นคือ แทน ใน จะได้ ดังนั้น ผลบüกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 4. จากที่ก าĀนดใĀ้ จะได้ü่า มังกรออมเงินüันละ 1 บาท ออมเงินüันที่ÿอง บาท ออมเงินüันที่ÿาม บาท ออมเงินüันที่ÿี่ บาท ในท านองเดียüกัน จะได้ü่า มังกรออมเงินในüันที่ เท่ากับ บาท จะได้ เงินที่มังกรออมในüันที่ คือ ซึ่งเป็นล าดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเป็น 1 และอัตราÿ่üนร่üมเป็น 2 ใĀ้ แทนจ านüนเงินออมทั้งĀมดของมังกร เมื่อออมครบ üัน ดังนั้น จ านüนเงินออมทั้งĀมดของมังกร เมื่อออมครบ 15 üัน คือ
124 จาก จะได้ ดังนั้น ถ้ามังกรออมเงินจนครบ 15 üัน มังกรจะมีเงินออมทั้งĀมด 32,767 บาท
125 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9 รายüิชาเÿริมทักþะคณิตýาÿตร์รĀัÿüิชา ค33201 ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 6 Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ล าดับและอนุกรม ภาคเรียนที่ 1/2565 เรื่อง อนุกรมอนันต์ เüลาเรียน 4 ชั่üโมง ผู้ÿอน นายธีรเทพ ชูýรีโÿม โรงเรียนอุดรพัฒนาการ ผลการเรียนรู้ 1. ระบุได้ü่าล าดับที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับลู่เข้าĀรือลู่ออก 2. Āาผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 3. Āาผลบüกอนุกรมอนันต์ 4. เข้าใจและน าคüามรู้เกี่ยüกับล าดับและอนุกรมไปใช้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนÿามารถอธิบายเกี่ยüกับอนุกรมอนันต์ได้(K) 2. นักเรียนÿามารถแÿดงüิธีการĀาค่าของอนุกรมอนันต์ได้(P) 3. นักเรียนมีคüามตั้งใจและรับผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบĀมาย (A) ÿาระÿ าคัญ ถ้า เป็นล าดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแÿดงการบüกในรูป ... ü่า อนุกรมอนันต์ (infinite series) เรียก ü่า พจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก ü่า พจน์ที่ 2 ของอนุกรม เรียก ü่า พจน์ที่ 3 ของอนุกรม เรียก ü่า พจน์ที่ ของอนุกรม ÿมรรถนะÿ าคัญของผู้เรียน 1. คüามÿามารถในการคิด 2. คüามÿามารถในการÿื่อÿาร 3. คüามÿามารถในการแก้ปัญĀา
126 กิจกรรมการเรียนรู้ ชั่üโมงที่ 1 ขั้นน า 1. ครูกล่าüทักทายนักเรียน และร่üมกันทบทüนคüามรู้เกี่ยüกับการผลบüก n พจน์แรกของ อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต ดังนี้ ผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตมีÿูตรการĀา คือ Āรือ ผลบüก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตมีÿูตรการĀา คือ เมื่อ 2. ครูอธิบายล าดับจ ากัด อนุกรมจ ากัด และอนุกรมอนันต์ ดังนี้ ถ้า เป็นล าดับจ ากัด ที่มี พจน์ จะเรียกการเขียนแÿดงผลบüกของพจน์ ทุกพจน์ของล าดับในรูป ü่า อนุกรมจ ากัด (finite Series) ถ้า เป็นล าดับอนันต์ จะเ รียกก ารเขียนแÿดงผลบüกใน รูป ... ü่า อนุกรมอนันต์ (Infinite Series) เรียก ü่า พจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก ü่า พจน์ที่ 2 ของอนุกรม เรียก ü่า พจน์ที่ ของอนุกรม 3. ครูยกตัüอย่างอนุกรมอนันต์ ดังนี้ ... เป็นอนุกรมอนันต์ที่ได้จากล าดับอนันต์ ... เป็นอนุกรมอนันต์ที่ได้จากล าดับอนันต์ ขั้นÿอน 4. ครูอธิบายเกี่ยüกับการĀาผลบüกอนุกรมอนันต์ “การĀาผลบüกของอนุกรมอนันต์โดยการ บüกโดยตรงจนครบทุกพจน์เป็นไปไม่ได้ เพราะอนุกรมอนันต์มีจ านüนพจน์ไม่จ ากัด” จากการ ยกตัüอย่างจากĀนังÿือเรียนคณิตýาÿตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 Āน้า 55-56
127 5. ครูอธิบายบทนิยาม 6 พร้อมยกตัüอย่างในĀนังÿือคณิตýาÿตร์เพิ่มเติม คณิตýาÿตร์ ม.6 เล่ม 1 Āน้า 57-58 ดังนี้ บทนิยาม 6 ก าĀนด ... เป็นอนุกรมอนันต์ ใĀ้ เรียก ü่า ผลบüกย่อย (partial sum) พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ เป็นจ านüนเต็มบüก เรียกล าดับอนันต์ ü่า ล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรม (sequence of partial sum) 6. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมแล้üใĀ้นักเรียนท าลงÿมุด โจทย์จงĀาล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรม ... üิธีท า จากอนุกรม ... จะได้ พิจารณาผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมนี้ ( ) จากอนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี และ และผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ จะได้ ดังนั้น ล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมคือ ... ขั้นÿรุป 7. ครูและนักเรียนร่üมกันเฉลยโจทย์เกี่ยüกับล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรม
128 ชั่üโมงที่ 2 ขั้นÿอน 8. ครูอธิบายบทนิยาม 7 พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ บทนิยาม 7 ก าĀนดอนุกรมอนันต์ ... ใĀ้ เป็นล าดับของผลบüกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่เข้า โดย เมื่อ เป็นจ านüนจริงแล้üจะ กล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่เข้า (convergent series) และ เรียก ü่าผลบüกของอนุกรม ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่ออก จะกล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่ออก (divergent series) ตัüอย่างที่ 1 จงพิจารณาü่าอนุกรม ... เป็นอนุกรม ลู่เข้าĀรือลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงĀาผลบüกของอนุกรม üิธีท า อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ได้จากล าดับเรขาคณิต . . . ซึ่งมี และ Āาผลบüกย่อย พจน์แรกของอนุกรมจากÿูตร ได้ดังนี้ จากทฤþฎีบท 2 และ 3 จะได้ ( ) ดังนั้น อนุกรมอนันต์ที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบüกเท่ากับ 9. ครูอธิบายทฤþฎีบท 6 พร้อมยกตัüอย่าง ดังนี้ ทฤþฎีบท 6 ก าĀนดใĀ้อนุกรมเรขาคณิตมี เป็นพจน์แรก และ เป็นอัตราÿ่üนร่üม ถ้า แล้ü อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกชองอนุกรมเท่ากับ ถ้า แล้ü อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก ตัüอย่างที่ 2 จงพิจารณาü่าอนุกรม ... เป็นอนุกรม ลู่เข้าĀรือลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงĀาผลบüกของอนุกรม üิธีท า อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกของอนุกรม คือ
129 10. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับอนุกรมอนันต์ใĀ้นักเรียนท าลงในÿมุด โจทย์1 จงพิจารณาü่าอนุกรม ... เป็นอนุกรมลู่เข้า Āรือลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงĀาผลบüกของอนุกรม üิธีท า อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ได้จากล าดับเรขาคณิต ... ซึ่งมี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก โจทย์2 จงพิจารณาü่าอนุกรม ... เป็นอนุกรมลู่เข้า Āรือลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงĀาผลบüกของอนุกรม üิธีท า อนุกรมที่ก าĀนดใĀ้ได้จากล าดับเรขาคณิต ... ซึ่งมี และ เนื่องจาก ดังนั้น จากทฤþฎีบท 6 จะได้ü่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าและผลบüกของอนุกรม คือ ชั่üโมงที่ 3 ขั้นน า 11. ครูกล่าüทักทายนักเรียน และร่üมกันทบทüนคüามรู้เกี่ยüกับคüามĀมายของอนุกรม อนันต์ อนุกรมลู่เข้า และอนุกรมลู่ออก ดังนี้ ก าĀนดอนุกรมอนันต์ ... ใĀ้ เป็นล าดับ ของผลบüกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่เข้า โดย เมื่อ เป็นจ านüนจริงแล้üจะ กล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่เข้า (convergent series) และ เรียก ü่าผลบüกของอนุกรม ถ้าล าดับ เป็นล าดับลู่ออก จะกล่าüü่าอนุกรม ... เป็น อนุกรมลู่ออก (divergent series)
130 12. ครูยกตัüอย่างอนุกรมอนันต์ที่ไม่ใช่อนุกรมเลขคณิตĀรืออนุกรมเรขาคณิต ดังนี้ ตัüอย่างที่ 3 อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า Āรือลู่ออก üิธีท า พิจารณา จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) เนื่องจาก ( ) ดังนั้น อนุกรมอนันต์ที่ก าĀนดใĀ้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบüกเท่ากับ 1 13. ครูน าเÿนอโจทย์เกี่ยüกับอนุกรมที่ไม่ใช่อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตใĀ้นักเรียน ท าลงÿมุด ดังนี้ โจทย์อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า Āรือลู่ออก üิธีท า เนื่องจาก เป็นพจน์ทั่üไปซึ่งอยู่ในรูปเýþÿ่üนที่มีตัüÿ่üนอยู่ในรูปการ คูณของจ านüนÿองจ านüน จึงเขียนในรูปการบüกของเýþÿ่üน 2 เýþÿ่üน ดังนี้ ก าĀนด เมื่อ A และ B เป็นค่าคงตัü เมื่อคูณ ทั้งÿองข้างของÿมการ จะได้ Āาค่าของ A และ B โดยเลือกแทนค่าของ ที่ท าใĀ้ A Āรือ B จ านüนใดจ านüน Āนึ่งเท่ากับ 0