Tracker
λογισμικό ανάλυσης βίντεο
Πειράματα Φυσικής (ΙΙ)
Βασίλης Νούσης
Ηγουμενίτσα 2018
Tracker
Λογισμικό ανάλυσης βίντεο
Πειράματα Φυσικής (ΙΙ)
© Νούσης Βασίλης
Ηγουμενίτσα, Μάιος 2018
ISBN : 978-618-83502-0-5
Πρόλογος
Πολλαπλά είναι τα οφέλη από την αξιοποίηση ως διδακτικών εργαλείων Φυσικής των λογισμικών
ανάλυσης βίντεο (Τσαλακός, 2010; Νούσης, 2014), σημαντικότερος εκπρόσωπος των οποίων είναι το
ελεύθερα διανεμόμενο Tracker του Douglas Brown:
1. Η χρήση τους απλοποιεί την -σε πολλές περιπτώσεις- πολύπλοκη και χρονοβόρα διαδικασία
του «στησίματος» της πειραματικής διάταξης και της λήψης των μετρήσεων αφήνοντας περισ-
σότερο χρόνο σε δραστηριότητες σχετικές με την κατανόηση των διδασκομένων εννοιών. Βέ-
βαια το «στήσιμο» μιας πειραματικής διάταξης και η λήψη μετρήσεων αποτελούν σημαντικό
μέρος των δεξιοτήτων που πρέπει να αποκτήσουν οι μαθητές στο εργαστήριο, και συνεπώς
πρέπει να υπάρχει ισορροπημένη χρήση των παραδοσιακών εργαστηριακών τεχνικών και των
τεχνικών που σχετίζονται με την ανάλυση βίντεο.
2. Σε περιπτώσεις δισδιάστατων κινήσεων π.χ. πλάγια βολή ή κινήσεων στις οποίες συμμετέχουν
δύο ή περισσότερα σώματα π.χ. πλάγια κρούση, οι παραδοσιακές εργαστηριακές τεχνικές είναι
εξαιρετικά δύσκολο ή και αδύνατο να χρησιμοποιηθούν. Με την ανάλυση βίντεο, δεδομένα και
για τους δύο άξονες της κίνησης μπορούν να ληφθούν, αλλά και δύο ή ακόμη περισσοτέρων
σωμάτων η κίνηση μπορεί να μελετηθεί στο ίδιο πείραμα.
3. Η μέθοδος της ανάλυσης βίντεο δίνει τη δυνατότητα της ενεργού συμμετοχής των μαθητών τό-
σο στο σχεδιασμό, όσο και στην εκτέλεση του πειράματος. Μπορούν για παράδειγμα οι ίδιοι οι
μαθητές να βιντεοσκοπήσουν μια δραστηριότητά τους π.χ. το χτύπημα μιας μπάλας και να α-
ναλύσουν αργότερα το βίντεο στο εργαστήριο ή στο σπίτι τους, υπολογίζοντας χαρακτηριστικά
της κίνησης π.χ. την ταχύτητα με την οποία εκτοξεύτηκε η μπάλα μετά το χτύπημα. Έχουμε κατ’
αυτό τον τρόπο τη δυνατότητα να ενεργοποιήσουμε τους μαθητές, ώστε να ανακαλύψουν την
επιστήμη μέσα στις καθημερινές τους δραστηριότητες.
4. Η μέθοδος ανάλυσης βίντεο έχει πολύ μικρότερο οικονομικό κόστος σε σχέση με άλλα διδακτι-
κά εργαλεία, αφού αρκετά λογισμικά ανάλυσης βίντεο διατίθενται ελεύθερα από τους δημι-
ουργούς τους, ενώ στο διαδίκτυο μπορεί να βρεθεί μεγάλος αριθμός ελεύθερων για χρήση βί-
ντεο που είναι κατάλληλα για ανάλυση. Ακόμη και στην περίπτωση που αποφασιστεί να χρησι-
μοποιηθούν βίντεο φτιαγμένα από τους ίδιους τους μαθητές, δεν απαιτείται κάποιος ιδιαίτε-
ρος εξοπλισμός, αφού η λήψη -τουλάχιστον των σχετικά αργά εξελισσόμενων φαινομένων-
μπορεί να γίνει και με την κάμερα ενός κινητού τηλεφώνου. Συνεπώς, κάθε μαθητής που δια-
θέτει προσωπικό υπολογιστή μπορεί να έχει εγκατεστημένο το λογισμικό ανάλυσης βίντεο, έ-
χοντας έτσι τη δυνατότητα να μαθαίνει στο δικό του χώρο και χρόνο.
5. Κάποια λογισμικά ανάλυσης βίντεο διαθέτουν δυνατότητες μοντελοποίησης. Δηλαδή καθορί-
ζοντας τις δυνάμεις που δρουν σε κάποιο σώμα και τις αρχικές συνθήκες (δυναμικό μοντέλο) ή
καθορίζοντας απευθείας τις εξισώσεις κίνησης (αναλυτικό – κινηματικό μοντέλο), το λογισμικό
έχει τη δυνατότητα να «επισυνάψει» στα διάφορα καρέ του βίντεο το ίχνος του υλικού σημεί-
ου-μοντέλου. Έτσι δίνεται η δυνατότητα σύγκρισης της πραγματικής κατάστασης και του θεω-
ρητικού της μοντέλου σε δύο επίπεδα: Σε πρώτο επίπεδο μέσω άμεσης παρατήρησης της εξέλι-
ξης τόσο της πραγματικής κατάστασης όσο και του θεωρητικού της μοντέλου (με την καρέ-καρέ
αναπαραγωγή του βίντεο), και σε δεύτερο επίπεδο μέσω σχεδιασμού των αντίστοιχων γραφι-
κών παραστάσεων και προσδιορισμού των σχετικών εξισώσεων.
6. Η χρήση λογισμικών ανάλυσης βίντεο και ιδιαίτερα η δυνατότητα της καρέ-καρέ παρακολού-
θησης της κίνησης ενός αντικειμένου και ο ταυτόχρονος σχεδιασμός της γραφικής παράστασης
[1]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο βοηθάει τους μαθητές να δημιουργήσουν τη νοητική
σύνδεση μεταξύ κίνησης και γραφικής παράστασης. Σημαντικές παρανοήσεις των μαθητών σε
σχέση με τις γραφικές παραστάσεις, όπως ότι μια γραφική παράσταση αποτελεί μια κατά κά-
ποιο τρόπο φωτογραφική αναπαράσταση της κίνησης, ή παρανοήσεις σχετικά με τη φυσική
σημασία της κλίσης της γραφικής παράστασης είναι κατ’ αυτό τον τρόπο ευκολότερο να αντι-
μετωπιστούν. Επιπλέον η δυνατότητα πολλαπλών αναπαραστάσεων (παρακολούθηση του
πραγματικού φαινομένου, γραφικές αναπαραστάσεις διαφόρων σχετικών μεγεθών, πίνακας
τιμών, θεωρητικά μοντέλα), συμβάλλει στη διεξοδικότερη μελέτη του φαινομένου και στην α-
κριβέστερη κατανόηση των λεπτομερειών του. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο ειδικά σε φαινό-
μενα που στη φύση εξελίσσονται πολύ γρήγορα π.χ. ελεύθερη πτώση από σχετικά μικρό ύψος.
7. Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι η δυνατότητα προσδιορισμού του κέντρου μάζας ενός συστήματος α-
ποτελούμενου από δύο ή περισσότερα υλικά σημεία, δυνατότητα που πολλά από τα λογισμικά
ανάλυσης βίντεο διαθέτουν. Μάλιστα κάποια από αυτά τα λογισμικά χρησιμοποιώντας βιοκι-
νητικές μεθόδους μπορούν να προσδιορίσουν το κέντρο μάζας ενός αθλητή ή μιας αθλήτριας.
8. Με τη δυνατότητα προσδιορισμού της καμπύλης (ευθεία, παραβολή, εκθετική, κλπ.) που καλύ-
τερα προσεγγίζει τα πειραματικά δεδομένα καθίσταται εξαιρετικά απλή η διαδικασία συσχέτι-
σης και ανακάλυψης της μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα διάφορα μεγέθη που εμπλέκο-
νται στο υπό μελέτη φαινόμενο.
Το βιβλίο «Tracker λογισμικό ανάλυσης βίντεο – Πειράματα Φυσικής (II)» που κρατάτε στα χέρια
σας αποτελεί τη συνέχεια του πρώτου βιβλίου μου για το Tracker, το οποίο μέσω συγκεκριμένων πει-
ραμάτων από την ύλη Φυσικής της Α΄ Λυκείου φιλοδοξούσε να αποτελέσει έναν αναλυτικό οδηγό χρή-
σης για αρχαρίους. Έτσι κάθε άσκηση συνοδευόταν από αναλυτικές «βήμα-βήμα» οδηγίες για τη δια-
δικασία λήψης, επεξεργασίας, ανάλυσης του βίντεο και επεξεργασίας των δεδομένων, ενώ είχε κατα-
βληθεί προσπάθεια να καλυφθούν όσο το δυνατόν περισσότερα από τα διατιθέμενα εργαλεία του
Tracker. Στο παρόν βιβλίο σταδιακά απομακρυνόμαστε από τη λογική του «οδηγού χρήσης για αρχαρί-
ους». Επιμείναμε όμως ιδιαίτερα στις δυνατότητες μοντελοποίησης του Tracker, καθώς και σε εκείνες
τις δυνατότητες που δεν είχαν καλυφθεί αρκετά (ή και καθόλου) στο πρώτο βιβλίο. Αυτό το τελευταίο
έχει ιδιαίτερη σημασία, καθώς στα τέσσερα χρόνια που μεσολάβησαν από την έκδοση του πρώτου βι-
βλίου επτά τουλάχιστον νεότερες εκδόσεις του Tracker παρουσιάστηκαν, με τις οποίες νέες δυνατότη-
τες προστέθηκαν βελτιώνοντας τη λειτουργικότητα και την απόδοση του λογισμικού. Στις δεκατέσσερις
(14) διαφορετικές ενότητες του βιβλίου αναλύθηκαν περισσότερα από σαράντα (40) βίντεο-κλιπ ή στα-
τικές εικόνες, καλύπτοντας μεγάλο εύρος της διδακτέας ύλης όλων των τάξεων του Γενικού Λυκείου
και όχι μόνο. Σημαντικό μέρος των βίντεο που χρησιμοποιήσαμε προέρχονται από το διαδίκτυο
(Youtube, Direct Measurement Video, livephoto, κ.ά.), ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις δημιουργή-
σαμε τα δικά μας βίντεο για ανάλυση. Μια από τις αρχικές ιδέες σχετικά με τη δομή του βιβλίου ήταν
να δοθούν ολοκληρωμένες διδακτικές προτάσεις σε διάφορα θέματα της ύλης του Λυκείου. Σύντομα η
ιδέα εγκαταλείφθηκε, αφού σε κάποιες περιπτώσεις προτιμήθηκε η κατά τη γνώμη μου πληρότητα
στην ανάπτυξη του αντίστοιχου θέματος, χωρίς να με απασχολήσουν διάφοροι περιορισμοί της εκπαι-
δευτικής διαδικασίας (π.χ. χρονικοί, διδακτέας ύλης, χρησιμοποιούμενων τεχνικών, κ.ά.). Σε κάποια
άλλη περίπτωση μια ολόκληρη ενότητα προστέθηκε, απλά και μόνο επειδή θεώρησα εξαιρετικό κάποιο
βίντεο που μόλις είχα βρει στο διαδίκτυο, ενώ μια άλλη ενότητα αφιερώθηκε στην παρουσίαση διάφο-
ρων τεχνικών σχετικά με τη δυνατότητα του Tracker για λήψη φασματοσκοπικών δεδομένων.
Ελπίζω τα πειράματα και οι τεχνικές που παρουσιάζονται στο βιβλίο αυτό να δώσουν το ερέθισμα
στους συναδέλφους, και ίσως να αποτελέσουν και την «πρώτη ύλη» για τις δικές τους διδακτικές προ-
τάσεις βασισμένες στην ανάλυση βίντεο με το Tracker.
Νούσης Βασίλης
Ηγουμενίτσα, Μάιος 2018
[2]
Περιεχόμενα
Πρόλογος ..................................................................................................................................................... 1
Περιεχόμενα ................................................................................................................................................ 3
Ανάκλαση - Διάθλαση - Ολική ανάκλαση .................................................................................................. 7
1η δραστηριότητα - Μελέτη ανάκλασης .................................................................................................. 8
2η δραστηριότητα - Μελέτη διάθλασης................................................................................................. 11
3η δραστηριότητα - Ολική ανάκλαση..................................................................................................... 14
Νόμος του Coulomb .................................................................................................................................. 15
Θεωρητική ανάλυση .............................................................................................................................. 15
Προετοιμασία βίντεο ............................................................................................................................. 16
Λήψη και επεξεργασία μετρήσεων........................................................................................................ 17
Παρατηρήσεις ........................................................................................................................................ 19
Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων - Οριζόντια βολή............................................................................... 20
1η δραστηριότητα................................................................................................................................... 20
Πειραματική διαδικασία .................................................................................................................... 20
Συμπεράσματα ................................................................................................................................... 22
2η δραστηριότητα................................................................................................................................... 23
Πειραματική διαδικασία .................................................................................................................... 23
Συμπεράσματα ................................................................................................................................... 27
Γενικά συμπεράσματα ....................................................................................................................... 27
3η δραστηριότητα................................................................................................................................... 28
Πειραματική διαδικασία .................................................................................................................... 28
Ορμή - Αρχή διατήρησης της Ορμής......................................................................................................... 30
Εισαγωγή στο θέμα ................................................................................................................................ 30
1η δραστηριότητα................................................................................................................................... 30
α. Ανάλυση του βίντεο «Εlastic Collision» ......................................................................................... 30
β. Ανάλυση του βίντεο «m - m Inelastic» .......................................................................................... 32
2η δραστηριότητα................................................................................................................................... 33
3η δραστηριότητα................................................................................................................................... 34
4η δραστηριότητα................................................................................................................................... 35
1η δασκαλοκεντρική παρέμβαση: Ορμή - διατήρηση ορμής στην κρούση........................................... 36
5η δραστηριότητα................................................................................................................................... 36
6η δραστηριότητα................................................................................................................................... 38
[3]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
2η δασκαλοκεντρική παρέμβαση: Αρχή διατήρησης της ορμής............................................................ 39
7η δραστηριότητα................................................................................................................................... 39
Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές................................................................................................................... 42
1η δραστηριότητα................................................................................................................................... 42
1. Διερεύνηση της σχέσης μεταξύ περιόδου και πλάτους αιώρησης του εκκρεμούς ...................... 42
2. Διερεύνηση της εξάρτησης της περιόδου του εκκρεμούς από τη μάζα του σφαιριδίου ............. 44
3. Εξάρτηση της περιόδου από το μήκος του εκκρεμούς .................................................................. 47
2η δραστηριότητα................................................................................................................................... 49
Θεωρητικό υπόβαθρο ........................................................................................................................ 49
Πειραματική διαδικασία - Επεξεργασία μετρήσεων ......................................................................... 49
Διαφορετικοί τρόποι επεξεργασίας των δεδομένων - Συμπεράσματα............................................. 52
Ομαλή κυκλική κίνηση .............................................................................................................................. 56
α. Η τροχιά που διαγράφει ένα σημείο του δίσκου είναι κυκλική........................................................ 56
β. Προσδιορισμός της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς κάθε υλικού σημείου ......................................... 57
γ. Γραμμική ταχύτητα ............................................................................................................................. 58
1. Είναι σταθερού μέτρου η ταχύτητα κάθε υλικού σημείου; .......................................................... 58
2. Ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτητας ενός υλικού σημείου;.................................................... 59
3. Περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης......................................................................................... 60
δ. Ένας καλύτερος τρόπος καθορισμού της θέσης - μια «άλλη» ταχύτητα .......................................... 60
1. Γωνιακή μετατόπιση....................................................................................................................... 60
2. Γωνιακή ταχύτητα .......................................................................................................................... 61
3. Σχέση γωνιακής - γραμμικής ταχύτητας ........................................................................................ 62
4. Σχέση γωνιακής ταχύτητας περιόδου ............................................................................................ 63
ε. Η επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση......................................................................................... 63
Απλή αρμονική ταλάντωση....................................................................................................................... 64
1η δραστηριότητα................................................................................................................................... 65
2η δραστηριότητα................................................................................................................................... 67
3η δραστηριότητα................................................................................................................................... 69
4η δραστηριότητα................................................................................................................................... 71
5η δραστηριότητα................................................................................................................................... 77
6η δραστηριότητα................................................................................................................................... 79
Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση .............................................................................................................. 81
Η πειραματική διάταξη .......................................................................................................................... 81
1η δραστηριότητα................................................................................................................................... 82
2η δραστηριότητα................................................................................................................................... 83
3η δραστηριότητα................................................................................................................................... 85
4η δραστηριότητα................................................................................................................................... 86
5η δραστηριότητα................................................................................................................................... 87
[4]
Πειράματα Φυσικής (II)
Μαγνητική πέδηση.................................................................................................................................... 89
Στοιχεία θεωρίας.................................................................................................................................... 89
Πειραματική διαδικασία ........................................................................................................................ 90
Συμπεράσματα ....................................................................................................................................... 91
Οριακή ταχύτητα ....................................................................................................................................... 95
Θεωρητικά στοιχεία ............................................................................................................................... 95
Ανάλυση του βίντεο ............................................................................................................................... 95
Παρατήρηση........................................................................................................................................... 98
Συντελεστής ιξώδους................................................................................................................................. 99
α. Στοιχεία θεωρίας................................................................................................................................ 99
β. Προεργασία........................................................................................................................................ 99
γ. Ανάλυση του βίντεο ......................................................................................................................... 100
δ. Εναλλακτικό βίντεο για ανάλυση..................................................................................................... 102
Στροφική κίνηση...................................................................................................................................... 103
Προεργασία - Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ ................................................................................................... 103
1η δραστηριότητα................................................................................................................................. 104
2η δραστηριότητα................................................................................................................................. 107
3η δραστηριότητα................................................................................................................................. 108
Περίθλαση του φωτός............................................................................................................................. 110
Θεωρητικά στοιχεία ............................................................................................................................. 110
Πειραματική διαδικασία - Επεξεργασία μετρήσεων ........................................................................... 111
Φασματοσκοπία...................................................................................................................................... 115
1η δραστηριότητα................................................................................................................................. 116
2η δραστηριότητα................................................................................................................................. 118
3η δραστηριότητα................................................................................................................................. 119
4η δραστηριότητα................................................................................................................................. 122
5η δραστηριότητα................................................................................................................................. 124
6η δραστηριότητα................................................................................................................................. 128
Βιβλιογραφία .......................................................................................................................................... 131
[5]
[6]
Ανάκλαση - Διάθλαση - Ολική ανάκλαση
Από τη διεύθυνση https://www.youtube.com/watch?v=NAaHPRsveJk μεταφορτώστε στον υπολο-
γιστή σας το βίντεο «Total Internal Reflection.mp4» και αποθηκεύστε το σε φάκελο της επιλογής σας.
Το βίντεο δείχνει την πρόσπτωση ακτίνας φωτός σε ημικυλινδρικό διαφανές πρίσμα (Εικόνα 1). Μετα-
βάλλοντας τη γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας στην επίπεδη πλευρά του πρίσματος, τα φαινόμενα της
ανάκλασης, της διάθλασης και της ολικής εσωτερικής ανάκλασης επιδεικνύονται.
Εικόνα 1: Η πειραματική διάταξη
Ζητούνται:
1. Να διερευνηθεί η σχέση μεταξύ της γωνίας πρόσπτωσης και της γωνίας ανάκλασης, δηλ. να ε-
πιβεβαιωθεί ο νόμος της ανάκλασης του φωτός.
2. Με βάση το νόμο του Snell να προσδιοριστεί ο δείκτης διάθλασης του υλικού του πρίσματος.
3. Να προσδιοριστεί η κρίσιμη γωνία της επαφής πρίσματος - αέρα.
[7]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
1η δραστηριότητα - Μελέτη ανάκλασης
1. Εκτελέστε το λογισμικό Tracker και ανοίξτε το αρχείο βίντεο «Total Internal Reflection.mp4».
2. Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα
αξόνων. Με συγκράτηση και σύρσιμο της λαβής στην αρχή των αξόνων, μεταφέρουμε το σύστημα συ-
ντεταγμένων ώστε η αρχή του να τοποθετηθεί σε ένα σημείο της επίπεδης πλευρικής επιφάνειας του
ημικυλινδρικού πρίσματος. Στη συνέχεια με τη λαβή συγκράτησης στον Οx ημιάξονα περιστρέφουμε το
σύστημα συντεταγμένων, ώστε ο άξονας x’x να συμπέσει με τη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-
αέρα. Εκ νέου κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων αποκρύπτει τους άξονες.
3. Για τη μελέτη της ανάκλασης, θα αναλύσουμε τα καρέ 1975 μέχρι 2775 με βήμα 100. Κάνουμε τις
κατάλληλες ρυθμίσεις στο παράθυρο «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» που εμφανίζεται με το εργαλείο
(Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ) της γραμμής εργαλείων του Tracker.
4. Θα χρειαστεί να δημιουργήσουμε και να ιχνηλατήσουμε (με αυτόματο τρόπο) τρία διαφορετικά υλι-
κά σημεία στο βίντεο-κλιπ (Εικόνα 2):
• Το υλικό σημείο «Σ» (κόκκινο ίχνος) το οποίο θα αντιστοιχεί στο σημείο πρόσπτωσης της ακτί-
νας στην επίπεδη πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.
• Το υλικό σημείο «Π» (μπλε ίχνος) σε κάποιο σημείο της προσπίπτουσας ακτίνας, η διεύθυνση
της οποίας καθορίζεται πάντα από την ευθεία ΠΣ.
• Το υλικό σημείο «Α» (μωβ ίχνος) σε κάποιο σημείο της ανακλώμενης ακτίνας, η διεύθυνση της
οποίας καθορίζεται από την ευθεία ΑΣ.
Εικόνα 2: Ρυθμίσεις υλικών σημείων για τη μελέτη της ανάκλασης
Στο παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα» και στο πεδίο «Ίχνος», επιλέγουμε «Π» και κάνουμε κλικ στο
κουμπί «Έρευνα». Μόλις ολοκληρωθεί η ιχνηλασία του υλικού σημείου «Π», επαναλαμβάνουμε τη δι-
αδικασία για τα υλικά σημεία «Α» και «Σ».
5. Στο μενού «Σύστημα συντεταγμένων/Σύστημα αναφοράς» επιλέγουμε το υλικό σημείο «Σ». Κατ’ αυ-
τό τον τρόπο η αρχή του συστήματος αξόνων προσκολλάται στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας στην
επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-αέρα (Εικόνα 3). Δηλαδή η αρχή του συστήματος αξόνων
ακολουθεί κατά τη διάρκεια του πειράματος τις όποιες μικρο-μετακινήσεις του σημείου πρόσπτωσης
[8]
Πειράματα Φυσικής (II)
της ακτίνας στην επίπεδη πλευρική επιφάνεια του πρίσματος , ενώ η διεύθυνση του y’y άξονα είναι
κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-αέρα.
Εικόνα 3: Λεπτομέρεια ιχνηλασίας
6. Στον πίνακα δεδομένων του Tracker εμφανίζονται οι συντεταγμένες θέσεις «x», «y» των ιχνηλατημέ-
νων υλικών σημείων. Καθώς η μελέτη του φαινομένου της ανάκλασης γίνεται με βάση τις γωνίες που
σχηματίζουν η προσπίπτουσα και η ανακλώμενη ακτίνα με την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης (δηλ.
με τη διεύθυνση του y’y άξονα), θα χρειαστεί να ορίσουμε και να υπολογίσουμε τις τιμές ενός νέου
μεγέθους για καθένα από τα υλικά σημεία «Π» και «Α».
• Στην περιοχή του πίνακα δεδομένων, επιλέγουμε την τροχιά «Π».
• Κάνουμε κλικ στο κουμπί «Πίνακας», και μετά στο παράθυρο «Ορατές στήλες πίνακα» κάνουμε
κλικ στο κουμπί «Ορισμός».
• Στο παράθυρο «Εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων» κάνουμε «Προσθήκη» μιας νέας συνάρ-
τησης δεδομένων με το όνομα «θπ» και μαθηματική έκφραση «abs((pi/2)+θr)».
o abs = απόλυτη τιμή
o pi = π = 3,14
o θr είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης του ιχνηλατούμενου σημείου με
τον Οx ημιάξονα.
Η συνάρτηση «θπ» αντιστοιχεί στη γωνία πρόσπτωσης.
• Κλείνουμε το «Εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων» και στο παράθυρο «Ορατές στήλες πίνα-
κα», απoεπιλέγουμε τα μεγέθη «x», «y», επιλέγουμε το μέγεθος «θπ» και κάνουμε κλικ στο
κουμπί «Κλείσιμο».
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για το υλικό σημείο «Α», δίνοντας το όνομα «θα» στο νέο
μέγεθος που αντιστοιχεί στη γωνία ανάκλασης.
7. Επιλέγουμε το υλικό σημείο «Π» και με κλικ και σύρσιμο στην κατάλληλη στήλη επιλέγουμε όλες τις
τιμές της γωνίας πρόσπτωσης (μέγεθος «θπ»). Κάνουμε δεξί κλικ στον πίνακα δεδομένων και στο ανα-
δυόμενο μενού επιλέγουμε «Αντιγραφή δεδομένων/Πλήρης ακρίβεια», ώστε να αντιγράψουμε στο
[9]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
«Πρόχειρο» τις τιμές της γωνίας πρόσπτωσης. Εν συνεχεία επικολλάμε τις τιμές αυτές σε κενό φύλλο
εργασίας του Excel. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για το υλικό σημείο «Α» και τις τιμές του με-
γέθους «θα» (γωνία ανάκλασης). Τα δεδομένα που πήραμε φαίνονται στον Πίνακα 1.
Πίνακας 1: Πειραματικά δεδομένα
θπ (°) θα (°)
42,41 42,60
46,24 46,28
49,53 49,67
54,02 54,12
58,36 59,10
62,69 62,95
66,40 67,11
72,53 72,81
79,19 79,33
Στο Excel σχεδιάζουμε τη γραφική θα = f(θπ), διαπιστώνουμε τη γραμμική σχέση που συνδέει τα μεγέθη
και προσδιορίζουμε την ευθεία που προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα.
θα (°) 90,00 θα = f(θπ)
80,00
70,00 y = 1,0049x
60,00
50,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00
40,00 θπ (°)
30,00
20,00
10,00
0,00
0,00
Εικόνα 4: Γραφική παράσταση θα = f(θπ)
Η κλίση της συνάρτησης θα = f(θπ) υπολογίζεται ως: α = 1,005 σε πάρα πολύ καλή σύμπτωση με τη θε-
ωρητική τιμή α = 1, γεγονός που επιβεβαιώνει πειραματικά το νόμο της ανάκλασης του φωτός.
Παρατήρηση : Παρότι οι μετρήσεις στο πείραμα αυτό (αλλά και στο επόμενο) θα μπορούσαν να ληφ-
θούν χειροκίνητα μέσω Tracker -μόνο με τη χρήση ενός εργαλείου τύπου «μοιρογνωμόνιο»- επιλέξαμε
τη διαδικασία της ιχνηλασίας τριών διαφορετικών υλικών σημείων, αφενός για να αυτοματοποιήσουμε
κατά το δυνατό τη διαδικασία της ιχνηλασίας, και αφετέρου γιατί μας δόθηκε η δυνατότητα επίδειξης
μιας σημαντικής λειτουργίας του Tracker: την προσκόλληση της αρχής του συστήματος συντεταγμένων
σε ένα κινούμενο υλικό σημείο.
[10]
Πειράματα Φυσικής (II)
2η δραστηριότητα - Μελέτη διάθλασης
Μπορείτε να συνεχίσετε τη μελέτη της διάθλασης στην ίδια καρτέλα που μελετήσατε και την ανά-
κλαση. Στην περίπτωση αυτή, και αφού προηγουμένως διαγράψετε τα τρία υλικά σημεία «Π», «Α» και
«Σ» που δημιουργήσατε, συνεχίστε από το βήμα 3 και μετά, αλλιώς:
1. Εκτελέστε το λογισμικό Tracker και ανοίξτε το αρχείο βίντεο «Total Internal Reflection.mp4».
2. Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα
αξόνων. Με συγκράτηση και σύρσιμο της λαβής στην αρχή των αξόνων, μεταφέρουμε το σύστημα συ-
ντεταγμένων, ώστε η αρχή του να τοποθετηθεί σε ένα σημείο της επίπεδης πλευρικής επιφάνειας του
ημικυλινδρικού πρίσματος. Στη συνέχεια με τη λαβή συγκράτησης στον Οx ημιάξονα περιστρέφουμε το
σύστημα συντεταγμένων, ώστε ο άξονας x’x να συμπέσει με τη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-
αέρα. Εκ νέου κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων αποκρύπτει τους άξονες.
3. Για τη μελέτη της διάθλασης θα αναλύσουμε τα καρέ 784 μέχρι 1684 με βήμα 75. Κάνουμε τις κα-
τάλληλες ρυθμίσεις στο παράθυρο «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ», που εμφανίζεται με το εργαλείο (Ρυθ-
μίσεις βίντεο κλιπ) της γραμμής εργαλείων του Tracker.
4. Θα χρειαστεί να δημιουργήσουμε και να ιχνηλατήσουμε (με αυτόματο τρόπο) τρία διαφορετικά υλι-
κά σημεία στο βίντεο-κλιπ:
• Το υλικό σημείο «Σ» (κόκκινο ίχνος) το οποίο θα αντιστοιχεί στο σημείο πρόσπτωσης της ακτί-
νας στην επίπεδη πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.
• Το υλικό σημείο «Π» (μπλε ίχνος) σε κάποιο σημείο της προσπίπτουσας ακτίνας, η διεύθυνση
της οποίας θα καθορίζεται από την ευθεία ΠΣ.
• Το υλικό σημείο «Δ» (μωβ ίχνος) σε κάποιο σημείο της διαθλώμενης ακτίνας, η διεύθυνση της
οποίας θα καθορίζεται από την ευθεία ΔΣ.
Στο παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα» και στο πεδίο «Ίχνος», επιλέγουμε «Π» και κάνουμε κλικ στο
κουμπί «Έρευνα». Μόλις ολοκληρωθεί η ιχνηλασία του υλικού σημείου «Π», επαναλαμβάνουμε τη δι-
αδικασία για τα υλικά σημεία «Δ» και «Σ». Συναντήσαμε αρκετά προβλήματα κατά την αυτόματη ιχνη-
λασία των υλικών σημείων, και έτσι ολοκληρώσαμε τη διαδικασία χειροκίνητα (Εικόνα 5).
Εικόνα 5: Λεπτομέρεια της ιχνηλασίας
[11]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
5. Στο μενού «Σύστημα συντεταγμένων/Σύστημα αναφοράς» επιλέγουμε το υλικό σημείο «Σ». Κατ’ αυ-
τό τον τρόπο η αρχή του συστήματος αξόνων προσκολλάται στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας στην
επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-αέρα, ενώ η διεύθυνση του y’y άξονα είναι κάθετη στη
διαχωριστική επιφάνεια.
6. Στον πίνακα δεδομένων του Tracker εμφανίζονται οι συντεταγμένες θέσεις «x», «y» των ιχνηλατημέ-
νων υλικών σημείων. Καθώς η μελέτη του φαινομένου της διάθλασης γίνεται με βάση τις γωνίες που
σχηματίζουν η προσπίπτουσα και η διαθλώμενη ακτίνα με την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης (δηλ. με
τη διεύθυνση του y’y άξονα), θα χρειαστεί να ορίσουμε και να υπολογίσουμε τις τιμές ενός νέου μεγέ-
θους για καθένα από τα υλικά σημεία «Π» και «Δ».
• Στην περιοχή του πίνακα δεδομένων, επιλέγουμε την τροχιά «Π».
• Κάνουμε κλικ στο κουμπί «Πίνακας» και μετά στο παράθυρο «Ορατές στήλες πίνακα», κάνουμε
κλικ στο κουμπί «Ορισμός».
• Στο παράθυρο «Εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων» κάνουμε «Προσθήκη» μιας νέας συνάρ-
τησης δεδομένων με το όνομα «θπ» και μαθηματική έκφραση «abs((pi/2)+θr)». Η συνάρτηση
«θπ» αντιστοιχεί στη γωνία πρόσπτωσης.
• Κλείνουμε το «Εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων» και στο παράθυρο «Ορατές στήλες πίνα-
κα», αποεπιλέγουμε τα μεγέθη «x», «y», επιλέγουμε το μέγεθος «θπ» και κάνουμε κλικ στο
κουμπί «Κλείσιμο».
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για το υλικό σημείο «Δ», δίνοντας τώρα το όνομα «θδ» στο
νέο μέγεθος που αντιστοιχεί στη γωνία διάθλασης και εισάγοντας στο κατάλληλο πλαίσιο κειμένου τη
μαθηματική έκφραση «abs((pi/2)-θr)».
6. Επιλέγουμε το υλικό σημείο «Π» και με κλικ και σύρσιμο στην κατάλληλη στήλη επιλέγουμε όλες τις
τιμές της γωνίας πρόσπτωσης (μέγεθος «θπ»). Κάνουμε δεξί κλικ στον πίνακα δεδομένων και στο ανα-
δυόμενο μενού επιλέγουμε «Αντιγραφή δεδομένων/Πλήρης ακρίβεια», ώστε να αντιγράψουμε στο
«Πρόχειρο» τις τιμές της γωνίας πρόσπτωσης. Εν συνεχεία επικολλάμε τις τιμές αυτές σε κενό φύλλο
εργασίας του Excel. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για το υλικό σημείο «Δ» και τις τιμές του με-
γέθους «θδ» (γωνία διάθλασης). Συμπληρώνουμε δύο νέες στήλες στο φύλλο εργασίας του Excel με
τίτλους «ημ(θπ)» και «ημ(θδ)» αντίστοιχα, και τιμές ίσες με τα ημίτονα των αντίστοιχων γωνιών. Τα α-
ποτελέσματα και η επεξεργασία τους φαίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 2.
Πίνακας 2 : Πειραματικά δεδομένα και επεξεργασία τους
θπ (°) θδ (°) ημ(θπ) ημ(θδ)
6,83 9,39 0,1189053 0,163206
10,41 15,01 0,1807690 0,259064
14,10 21,96 0,2435987 0,373899
17,68 26,25 0,3037636 0,442263
20,57 30,18 0,3514209 0,502694
23,77 36,85 0,4031088 0,599703
27,20 43,03 0,4570946 0,682362
30,29 48,08 0,5043087 0,744025
33,55 55,86 0,5526058 0,827670
36,83 64,13 0,5993926 0,899795
38,31 69,29 0,6199301 0,935370
39,19 73,40 0,6319315 0,958340
40,91 80,61 0,6548107 0,986587
Στο Excel σχεδιάζουμε τη γραφική: ημθδ = f(ημθπ), διαπιστώνουμε τη γραμμική σχέση που συνδέει τα
[12]
ημθδΠειράματα Φυσικής (II)
μεγέθη και προσδιορίζουμε την ευθεία που προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα (Εικόνα 6).
Με βάση το νόμο του Snell: ηµθδ = n ⋅ηµθπ , συμπεραίνουμε πως η κλίση στη γραφική παράσταση
ημθδ = f(ημθπ) ισούται με το δείκτη διάθλασης του γυάλινου πρίσματος. Η τιμή του προσδιορίστηκε
κατ’ αυτό τον τρόπο ίση με n = 1,5.
ημθδ = f(ημθπ)
1,2
1
y = 1,4958x
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
ημθπ
Εικόνα 6: Γραφική παράσταση ημθδ = f(ημθπ)
[13]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
3η δραστηριότητα - Ολική ανάκλαση
1. Στο Tracker ανοίγουμε το αρχείο βίντεο «Total Internal Reflection.mp4».
2. Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα
αξόνων. Με συγκράτηση και σύρσιμο της λαβής στην αρχή των αξόνων, μεταφέρουμε το σύστημα συ-
ντεταγμένων, ώστε η αρχή του να τοποθετηθεί σε ένα σημείο της επίπεδης πλευρικής επιφάνειας του
ημικυλινδρικού πρίσματος. Στη συνέχεια με τη λαβή συγκράτησης στον Οx ημιάξονα περιστρέφουμε το
σύστημα συντεταγμένων, ώστε ο άξονας x’x να συμπέσει με τη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-
αέρα. Εκ νέου κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων αποκρύπτει τους άξονες.
3. Στην περιοχή καρέ από 1700 – 1750, παρατηρούμε πως, καθώς αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης, η
διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει όλο και περισσότερο στη διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-αέρα. Η
τιμή της γωνίας πρόσπτωσης, για την οποία η γωνία διάθλασης θα γινόταν ίση με 90˚, ονομάζεται κρί-
σιμη γωνία. Για κάθε γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη από/ή και ίση με την κρίσιμη γωνία το διαθλώ-
μενο φως εξαφανίζεται, και η φωτεινή ενέργεια μετά την πρόσπτωση στη διαχωριστική επιφάνεια πρί-
σματος-αέρα επιστρέφει εξ ολοκλήρου στο πρίσμα, δηλ. ανακλάται σε ποσοστό 100% (Knight, 2013, σ.
665). Αφού εντοπίσουμε το πρώτο καρέ στο οποίο πρακτικά εξαφανίζεται η διαθλώμενη ακτίνα, μετα-
φέρουμε την αρχή του συστήματος αξόνων στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας στην επίπεδη επιφά-
νεια του πρίσματος. Δημιουργούμε από το μενού «Τροχιές/Νέο/Εργαλεία μέτρησης» ένα μοιρογνωμό-
νιο και τοποθετούμε την κορυφή του στο σημείο πρόσπτωσης (αρχή των αξόνων), παραλληλίζουμε τη
μια πλευρά του μοιρογνωμονίου προς τον άξονα y’y (δηλ. την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης) και την
άλλη πλευρά του στην προσπίπτουσα ακτίνα (Εικόνα 7).
Εικόνα 7: Μέτρηση κρίσιμης γωνίας
Η πειραματική τιμή για την κρίσιμη γωνία με τη διαδικασία αυτή προκύπτει : θκρ = 41,8°, ενώ από το
νόμο του Snell, έχουμε:
n ⋅ηµθκρ = ηµ 90° ⇒ ημθκρ = 1
n
και αφού για το πρίσμα έχουμε ήδη υπολογίσει ότι: n = 1,5, προκύπτει:
ηµθ=κρ 0,6 ⇒ θκρ = 41,8°
σε σύμπτωση με την άμεσα μετρημένη στο πείραμα.
[14]
Νόμος του Coulomb
Από την ιστοσελίδα http://livephoto.rit.edu/LPVideos/coulomb/ μπορείτε να “κατεβάσετε” στoν
υπολογιστή σας το αρχείο βίντεο «Coulomb.mov». Το βίντεο δεν είναι παρά μια σειρά εικόνων στις
οποίες αποτυπώνονται οι διαδοχικές θέσεις ισορροπίας μιας μικρής φορτισμένης σφαίρας, όταν την
προσεγγίζει μια δεύτερη όμοια και ομώνυμα φορτισμένη σφαίρα. Η πρώτη σφαίρα που έχει μάζα m =
2,93 g είναι αναρτημένη στο ελεύθερο άκρο μονωτικού νήματος μήκους L = 2 m. (Εικόνα 8).
Εικόνα 8: Ένα καρέ του βίντεο που πρόκειται να αναλυθεί
Με τη βοήθεια του βίντεο αυτού θα επιβεβαιώσουμε το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου για τις η-
λεκτροστατικές δυνάμεις.
Θεωρητική ανάλυση
Εικόνα 9: Σύστημα δύο φορτισμένων σφαιριδίων
[15]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
Στις θέσεις ισορροπίας του αναρτημένου στο νήμα φορτισμένου σφαιριδίου (Εικόνα 9) ισχύει:
ΣFx =0 ⇒ F= T ⋅ηµβ και ΣFy =0 ⇒ mg =T ⋅συνβ
Συνδυάζοντας προκύπτει: =F mg ⋅εϕβ
όπου: εϕβ = x , και τελικά παίρνουμε: F = mgx
L2 − x2 L2 − x2
Γνωρίζουμε ότι: m = 2,93 g, g = 9,81 m/s2 και L = 2 m, οπότε η τελική σχέση για την ηλεκτροστατική δύ-
ναμη μεταξύ των δύο φορτισμένων σφαιρών, παίρνει τη μορφή:
F = 0, 0287 ⋅ x (2.1)
4 − x2
Θα χρειαστεί να προσδιορίσουμε την απόσταση x του σφαιριδίου του ηλεκτρικού εκκρεμούς από την
κατακόρυφη, καθώς και την απόσταση r μεταξύ των δύο σφαιριδίων στα διάφορα καρέ του βίντεο.
Προετοιμασία βίντεο
Εκτελέστε το λογισμικό Tracker και ανοίξτε το αρχείο βίντεο «Coulomb.mov». Καθορίστε το αρχικό
και το τελικό καρέ του βίντεο κλιπ στις τιμές 1 και 17 αντίστοιχα, το μέγεθος βήματος στην τιμή 1 και
την ταχύτητα καρέ στην τιμή 2,00 /s.
Στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ, δημιουργήστε μια ράβδο βαθμονόμησης, τοποθετήστε τα άκρα
της στα άκρα του χάρακα μήκους 1 m που φαίνεται στο κάτω μέρος του καρέ και συμπληρώστε την
τιμή «1,00» στο πλαίσιο κειμένου της ράβδου βαθμονόμησης, ώστε να μετράτε τις αποστάσεις σε μέ-
τρα (δες και τις Παρατηρήσεις στο τέλος της άσκησης).
Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε στην οθόνη το εξ ορι-
σμού σύστημα συντεταγμένων. Θα μεταφέρουμε την αρχή του συστήματος συντεταγμένων σε κάποιο
σημείο του κατακόρυφου νήματος στο οποίο είναι αναρτημένη η μία φορτισμένη σφαίρα (Εικόνα 10).
Μετακίνηση ακριβείας μπορεί να γίνει με τα πλήκτρα μετακίνησης του δρομέα (πάνω - κάτω, δεξί - α-
ριστερό βέλος). Σε συνδυασμό με το πλήκτρο Shift η μετακίνηση της αρχής των αξόνων μπορεί να γίνει
με μεγαλύτερο βήμα. Φυσικά η μεγέθυνση της εικόνας βοηθάει σημαντικά στην ακριβέστερη τοποθέ-
τηση της αρχής των αξόνων.
Εικόνα 10: Σύστημα αξόνων
Στην περίπτωση που η τοποθέτηση της αρχής των αξόνων δεν είναι απολύτως ακριβής, τότε μπορούμε
να τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων ως εξής: Στη γραμμή ιδιοτήτων τροχιάς, επιλέγουμε την τρο-
χιά «άξονες» και εν συνεχεία μεταβάλλουμε κατάλληλα την τιμή της συντεταγμένης «x» στα πεδία
«Θέση εικονοστοιχείου στην Αρχή».
Δημιουργήστε δύο τροχιές τύπου «υλικό σημείο» με τα ονόματα «Σφαίρα Α» και «Σφαίρα Β» για
τη σφαίρα στο άκρο της μονωτικής ράβδου και τη σφαίρα στο άκρο του νήματος αντίστοιχα. Με τη δι-
[16]
Πειράματα Φυσικής (II)
αδικασία μεταφοράς της αρχής των αξόνων πάνω στο αρχικά κατακόρυφο νήμα, η τιμή της συντεταγ-
μένης «x» της σφαίρας Β θα είναι πάντα ίση με την οριζόντια απόκλιση της σφαίρας από την αρχική της
(κατακόρυφη) θέση ισορροπίας.
Αφού μεταφερθείτε στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ, με «Ctrl + Shift + κλικ» δημιουργήστε το ίχνος
της τροχιάς «Σφαίρα Α». Αγνοώντας προς το παρόν το παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα» που ανοί-
γει, δημιουργήστε το ίχνος και της τροχιάς «Σφαίρα Β» (Εικόνα 11).
Εικόνα 11: Τα ίχνη των δύο υλικών σημείων στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ
Ολοκληρώνουμε την αυτόματη ιχνηλασία των δύο τροχιών ως εξής: Στο παράθυρο «Αυτόματο
μαρκάρισμα» και στο πεδίο «Ίχνος», επιλέγουμε πρώτα την τροχιά «Σφαίρα Α» και κάνουμε κλικ στο
κουμπί «Έρευνα». Αφού το Tracker ολοκληρώσει την ιχνηλασία, μεταφερόμαστε ξανά στο πρώτο καρέ
του βίντεο κλιπ και με την ίδια διαδικασία ολοκληρώνουμε την ιχνηλασία και της τροχιάς «Σφαίρα Β»
(Εικόνα 12). Κλείνουμε στη συνέχεια το παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα».
Εικόνα 12: Ιχνηλασία των υλικών σημείων
Λήψη και επεξεργασία μετρήσεων
Στην περιοχή του πίνακα δεδομένων, επιλέγουμε την τροχιά «Σφαίρα Β», αν δεν είναι ήδη επιλεγ-
μένη. Με κλικ στο πρώτο κελί της δεύτερης (αυτής με τίτλο «x») στήλης του πίνακα δεδομένων και
σύρσιμο του ποντικιού, επιλέγουμε όλες τις μετρήσεις αυτής της στήλης και με δεξί κλικ στον πίνακα
δεδομένων εμφανίζουμε το αντίστοιχο αναδυόμενο μενού, στο οποίο επιλέγουμε «Αντιγραφή επιλεγ-
μένων δεδομένων/Πλήρης ακρίβεια». Τα δεδομένα της στήλης «x» αντιγράφονται κατ’ αυτό τον τρόπο
στο «Πρόχειρο - Clipboard». Στην πρώτη στήλη ενός κενού φύλλου εργασίας του Excel μεταφέρουμε με
επικόλληση τα δεδομένα που μόλις αντιγράψαμε στο «Πρόχειρο».
Καθώς το μήκος του νήματος, στο οποίο είναι αναρτημένη η σφαίρα Β, είναι αρκετά μεγάλο (2 m),
η μικρή μετατόπιση της σφαίρας Β, όταν την πλησιάζει η σφαίρα Α, είναι πρακτικά οριζόντια. Έτσι η
απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών στα διάφορα καρέ μπορεί χωρίς σημαντικό σφάλμα να θεωρείται
ίση με τη συντεταγμένη «x» της σφαίρας Β σε σύστημα αναφοράς προσαρμοσμένο στη σφαίρα Α. Μέ-
σω του μενού «Σύστημα συντεταγμένων/Σύστημα αναφοράς/Σφαίρα Α», προσαρμόζουμε το σύστημα
συντεταγμένων στη σφαίρα Α. Το Tracker υπολογίζει εκ νέου τις συντεταγμένες των δύο σφαιρών. Κά-
νουμε -όπως προηγουμένως- αντιγραφή στο πρόχειρο των τιμών της συντεταγμένης «x» της σφαίρας Β
και επικολλάμε στη συνέχεια τις τιμές αυτές στη δεύτερη στήλη του φύλλου εργασίας του Excel, ενώ
αλλάζουμε και τον τίτλο της δεύτερης στήλης από «x» σε «r». Στην τρίτη στήλη του φύλλου εργασίας
του Excel δίνουμε τον τίτλο «F» (για τη δύναμη μεταξύ των δύο σφαιριδίων) και στο κελί C2 εισάγουμε
τη συνάρτηση: «=0,0287*Α2/SQRT(4-A2^2)» (βλέπε και εξίσωση 2.1). Με αντιγραφή και επικόλληση
μεταφέρουμε τη συνάρτηση στα κελιά C3 μέχρι και C18. Το Excel συμπληρώνει έτσι τις τιμές της ηλε-
[17]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
κτρικής δύναμης μεταξύ των δύο σφαιρών για τις διάφορες τιμές της μεταξύ τους απόστασης. Τα απο-
τελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 3 που ακολουθεί.
Πίνακας 3: Τα πειραματικά δεδομένα
α/α x (m) r (m) F (N)
1 0,0029 0,5602 0,000040
2 0,0034 0,5214 0,000049
3 0,0044 0,4770 0,000063
4 0,0052 0,4394 0,000075
5 0,0063 0,3974 0,000090
6 0,0080 0,3630 0,000115
7 0,0100 0,3236 0,000144
8 0,0130 0,2895 0,000187
9 0,0169 0,2562 0,000243
10 0,0217 0,2273 0,000311
11 0,0275 0,2002 0,000395
12 0,0343 0,1755 0,000492
13 0,0435 0,1559 0,000624
14 0,0543 0,1350 0,000779
15 0,0689 0,1230 0,000988
16 0,0826 0,1140 0,001186
17 0,0919 0,1034 0,001320
Σχεδιάζουμε στη συνέχεια τη γραφική παράσταση F = f(r) καθώς και την καμπύλη προσαρμογής τύπου
«Δύναμη» με εξίσωση της μορφής: y = axb (Εικόνα 13).
F (N) 1,6E-03 y = 1E-05x-2,05
1,4E-03 R² = 0,9974
1,2E-03
1,0E-03 Πειραματικά
8,0E-04 δεδομένα
6,0E-04
4,0E-04
2,0E-04
0,0E+00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
r (m)
Εικόνα 13: Η γραφική παράσταση F = f(r)
Από την εξίσωση της καμπύλης προσαρμογής που επιστρέφει το Excel, διαπιστώνουμε πως ο εκθέτης
της απόστασης r μεταξύ των δύο σφαιρών στο νόμο που περιγράφει την ηλεκτρική τους άπωση ισούται
με -2,05, σε πολύ καλή σύμπτωση με τη θεωρητική τιμή -2.
[18]
log( F )Πειράματα Φυσικής (II)
Παρατηρήσεις
1. Στις τελευταίες εκδόσεις του Tracker (από την 5.0 και μετά) έχει αλλάξει ο τρόπος με τον οποίο δημι-
ουργούμε μια ράβδο βαθμονόμησης. Στις παλιότερες εκδόσεις επιλέγοντας «Τροχιά»-«Νέο»-
«Εργαλεία βαθμονόμησης»-«Ράβδος βαθμονόμησης» το Tracker ανταποκρινόταν σχεδιάζοντας στο
κέντρο του τρέχοντος καρέ μία προκαθορισμένου μήκους ράβδο, της οποίας στη συνέχεια έπρεπε να
μετακινήσουμε τα άκρα στις κατάλληλες θέσεις, και να εισάγουμε την τιμή του μήκους της στο σχετικό
πλαίσιο κειμένου. Τώρα μετά την επιλογή δημιουργίας ράβδου βαθμονόμησης πρέπει να δημιουργή-
σουμε με «Shift + κλικ» το ίχνος του ενός άκρου της στο τρέχον καρέ, και μετά πάλι με «Shift + κλικ» το
ίχνος του άλλου άκρου της στο ίδιο καρέ. Επιπλέον έχουμε τη δυνατότητα να επιλέξουμε τη χρησιμο-
ποιούμενη μονάδα μέτρησης (m, cm, κλπ), η οποία εμφανίζεται (αλλά μπορεί να αποκρυβεί) στο σχετι-
κό με τη ράβδο πλαίσιο κειμένου.
2. Στον Πίνακα 3 έχουμε κρατήσει περισσότερα σημαντικά ψηφία από αυτά που επιτρέπουν οι σχετικοί
κανόνες, για αποφυγή λαθών λόγω στρογγυλοποίησης στις ενδιάμεσες πράξεις (Τρικαλινός, 2014, σ.
17; Χριστοπούλου, 2005, σ. 6). Τα τελικά αποτελέσματα όμως αναγράφονται με τον ορθό αριθμό ση-
μαντικών ψηφίων (Taylor, 1997, σ. 15). Θα ακολουθήσουμε αυτό τον τρόπο επεξεργασίας-αναγραφής
των δεδομένων παντού στις ασκήσεις αυτού του βιβλίου.
3. Αντί της γραφικής παράστασης F = f(r) και επιλογή καμπύλης προσαρμογής της μορφής y = axb, μπο-
ρούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση log(F) = f(log(r)) (Εικόνα 14), για την οποία η κατάλληλη
καμπύλη προσαρμογής είναι ευθεία με κλίση ίση με τον εκθέτη της απόστασης r.
-2
y = -2,0503x - 4,8611
-2,5 R² = 0,9974
-3
-3,5 Πειραματικά δεδομένα
Καλύτερη ευθεία
-4
-4,5
-5
-1,5 -1 -0,5 0
log( r )
Εικόνα 14: Εναλλακτική επεξεργασία δεδομένων
Τα αποτελέσματα του πρώτου τρόπου ανάλυσης επιβεβαιώνονται και σ’ αυτή την περίπτωση. Ε-
πιπλέον το Excel τώρα μπορεί να επιστρέψει και το σφάλμα κατά τον υπολογισμό της κλίσης (με τη συ-
νάρτηση LINEST):
b =(−2, 05 ± 0, 03)
Στην πραγματικότητα βέβαια το σφάλμα είναι μεγαλύτερο από 0,03, αφού στο τελικό αποτέλεσμα δεν
έχουν ληφθεί υπόψη τα σφάλματα κατά τον υπολογισμό της τιμής της δύναμης και της απόστασης,
κάτι που φυσικά δε μπορεί να συζητηθεί σε επίπεδο Γενικού Λυκείου.
[19]
Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων - Οριζόντια βολή
1η δραστηριότητα
Κύριος στόχος της συγκεκριμένης δραστηριότητας είναι η επαλήθευση ή διάψευση της υπόθεσης:
«Όταν ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, τότε η κίνηση στον οριζόντιο άξονα δεν επηρεάζεται - μετα-
βάλλεται εξαιτίας της κίνησής του στον κατακόρυφο άξονα». Επιπρόσθετα οι μαθητές μπορούν να κα-
ταλήξουν σε συμπεράσματα για το είδος της κίνησης στον οριζόντιο άξονα για ένα σώμα που εκτελεί
οριζόντια βολή.
Πειραματική διαδικασία
1. Από τη διαδικτυακή διεύθυνση https://www.youtube.com/watch?v=_-iD--tc2pA μεταφορτώστε και
αποθηκεύστε στον υπολογιστή σας με το όνομα «Ball drop from moving horizontal cart.mp4» το προς
ανάλυση βίντεο. Στο βίντεο καταγράφεται η κίνηση μιας μικρής μπάλας που αφήνεται κάποια στιγμή
ελεύθερη από ένα όχημα που κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα.
2. Εκτελέστε το λογισμικό Tracker και ανοίξτε το αρχείο «Ball drop from moving horizontal cart.mp4».
3. Στο παράθυρο «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» που ενεργοποιείται με κλικ στο κουμπί της γραμμής ερ-
γαλείων, ορίστε:
Αρχικό καρέ : 141
Βήμα : 10
Τελικό καρέ : 331
4. Η αρχική υπόθεση μπορεί να ελεγχθεί, με απλή σύγκριση της οριζόντιας ταχύτητας της μπάλας πριν
και μετά την απελευθέρωση. Ισότητα των ταχυτήτων επαληθεύει την υπόθεση, η οποία διαψεύδεται
σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση. Αρκεί λοιπόν ο ποιοτικός έλεγχος και όχι ο ακριβής προσδιορισμός
της ταχύτητας πριν και μετά την απελευθέρωση της μπάλας. Έτσι δεν είναι απαραίτητη η βαθμονόμηση
του βίντεο.
5. Στο μενού «Τροχιές/Νέο» επιλέγουμε «Υλικό σημείο» ή κάνουμε κλικ στο κουμπί της
γραμμής εργαλείων του Tracker και επιλέγουμε «Υλικό σημείο». Το «Παράθυρο ελέγχου τροχιών» α-
νοίγει εμφανίζοντας το κουμπί ελέγχου του υλικού σημείου (με τίτλο «Σώμα Α») που μόλις δημιουργή-
σαμε. Κάνοντας κλικ στο κουμπί ελέγχου μπορούμε να αλλάξουμε τις ιδιότητες του υλικού σημείου,
π.χ. ας του δώσουμε το όνομα «Μπαλάκι».
6. Με το πλήκτρο του αναπαραγωγέα βίντεο (video player) μεταφε-
ρόμαστε στην αρχή του βίντεο κλιπ. Με περιστροφή της ροδέλας του
ποντικιού μεγεθύνουμε την εικόνα γύρω από το μπαλάκι. Στη δεύτερη
ζώνη της γραμμής εργαλείων (γραμμή ενεργού αντικειμένου) κάνουμε
κλικ στο κουμπί «Επιλογή μιας υπάρχουσας τροχιάς» (που έχει τη μορ-
φή του προς τα κάτω βέλους) και επιλέγουμε το αντικείμενο («τροχιά»
στην ορολογία του Tracker) «Μπαλάκι». Στη συνέχεια με το συνδυασμό
«Ctrl + Shift» και ενώ ο δρομέας έχει μετατραπεί σε κύκλο με σταυρό-
νημα, κάνουμε κλικ στο κέντρο της μπάλας. Η θέση του υλικού σημείου
σημειώνεται («μαρκάρεται») με σταυρό που περιβάλλεται από κύκλο
ιδίου χρώματος και αυτός με τη σειρά του από ίδιου χρώματος στικτό
τετράγωνο (Εικόνα 15), ενώ ταυτόχρονα ανοίγει το παράθυρο με τίτλο Εικόνα 15: Πρότυπο ταύτισης
«Αυτόματο μαρκάρισμα». Ο κύκλος που περιβάλλει το υλικό σημείο
καθορίζει το πρότυπο με βάση το οποίο θα γίνεται η ταύτιση της θέσης του υλικού σημείου στα επόμε-
να καρέ. Με τη συμπαγούς χρώματος λαβή συγκράτησης κάτω δεξιά του κύκλου μπορούμε να μετα-
[20]
Πειράματα Φυσικής (II)
βάλλουμε τις διαστάσεις του. Στην περίπτωσή μας προσπαθώντας να διατηρήσουμε κατά το δυνατό το
κυκλικό του σχήμα το μεγεθύνουμε, ώστε να περικλείσει ολόκληρο το μπαλάκι. Το στικτό τετράγωνο
που περιβάλλει το ίχνος του υλικού σημείου σχετίζεται με τον τρόπο με τον οποίο το λογισμικό ταυτο-
ποιεί το πρότυπο στα επόμενα καρέ και σ’ αυτή την περίπτωση δεν το αλλάζουμε.
Στη συνέχεια στο παράθυρο αυτόματου μαρκαρίσματος κάνουμε κλικ στο κουμπί «Έρευνα» και το λο-
γισμικό αυτόματα δημιουργεί το ίχνος του υλικού σημείου «Μπαλάκι» σε όλα τα καρέ του βίντεο κλιπ.
Αν σε κάποιο καρέ το ποσοστό ταυτοποίησης του επιλεγμένου προτύπου δεν είναι ικανοποιητικό το
λογισμικό θα ζητήσει τη χειροκίνητη ταυτοποίηση (με «Shift + κλικ»), και μετά θα συνεχίσει στα υπό-
λοιπα καρέ. Με το τέλος της ιχνηλασίας επιλέγουμε «Κλείσιμο» για να κλείσει το παράθυρο αυτόματου
μαρκαρίσματος και επιστρέφουμε στο βασικό παράθυρο του Tracker με συμπληρωμένο τον πίνακα
τιμών με τα δεδομένα της ιχνηλασίας (Εικόνα 16). Επίσης αυτόματα το Tracker έχει σχεδιάσει -στο επά-
νω δεξιά μέρος του κεντρικού του παραθύρου- τη γραφική παράσταση θέσης - χρόνου για το μπαλάκι.
7. Στην περιοχή προβολής του βίντεο κλιπ, εμφανίζονται ως μικροί αριθμημένοι ρόμβοι τα ίχνη του υ-
λικού σημείου «Μπαλάκι» στα τελευταία καρέ. Κάνουμε κλικ στο κουμπί της γραμμής εργαλείων
και επιλέγουμε «Όλα τα ίχνη», ώστε να εμφανιστούν όλα τα ίχνη του υλικού σημείου.
8. Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του
Tracker. Με κλικ στην αρχή των αξόνων, εμφανίζουμε την αντίστοιχη λαβή συγκράτησης με σύρσιμο
της οποίας μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο ίχνος του υλικού σημείου στο πρώτο καρέ του βί-
ντεο κλιπ (είναι το υπ’ αριθμό 0 ίχνος).
Εικόνα 16: Ιχνηλασία υλικού σημείου
Στη συνέχεια κάνουμε κλικ σε ένα σημείο του ημιάξονα Οx, εμφανίζεται μια δεύτερη λαβή συγκράτη-
σης με σύρσιμο της οποίας περιστρέφουμε το σύστημα αξόνων, ώστε ο θετικός προσανατολισμός του
άξονα x΄x να είναι προς τα αριστερά, ενώ ο κατακόρυφος άξονας να παραλληλιστεί με τις κατακόρυφες
γραμμές του πλέγματος που εμφανίζεται στο βίντεο.
[21]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
9. Στο επάνω δεξιό τμήμα του κεντρικού παραθύρου του Tracker έχει ήδη σχεδιαστεί για το μπαλάκι η
γραφική παράσταση της συντεταγμένης του στον άξονα x΄x, τόσο πριν όσο και μετά την απελευθέρωσή
του. Παρότι τα συμπεράσματα για το είδος της κίνησης στον x΄x άξονα μπορούν να εξαχθούν και από
αυτή τη γραφική παράσταση, μπορούμε με διπλό κλικ στη γραφική παράσταση, να ανοίξουμε το πα-
ράθυρο «Εργαλείο δεδομένων», όπου εμφανίζεται και πάλι η ίδια γραφική παράσταση x-t (Εικόνα 17)
αλλά έχουμε επίσης τη δυνατότητα (μέσω του μενού «Ανάλυση/Καμπύλες προσέγγισης») να σχεδιά-
σουμε και την καμπύλη που προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα.
Εικόνα 17: Ανάλυση δεδομένων
Συμπεράσματα
Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν στα εξής ερωτήματα:
α. Τι ταχύτητα έχει κατά την οριζόντια διεύθυνση το μπαλάκι μετά την απελευθέρωσή του; Ίδια, μικρό-
τερη ή μεγαλύτερη από αυτή που είχε πριν την απελευθέρωση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
β. Επιβεβαιώνεται η αρχική υπόθεση, ότι δηλαδή η κίνηση της μπάλας στον κατακόρυφο άξονα δεν
επηρεάζει-μεταβάλλει την κίνησή της στον οριζόντιο άξονα;
γ. Περιγράψτε το είδος της κίνησης που εκτελεί το μπαλάκι στην οριζόντια διεύθυνση μετά την απε-
λευθέρωσή του.
Όλα τα ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν από τη μελέτη της γραφικής παράστασης της Εικόνας 17.
[22]
Πειράματα Φυσικής (II)
2η δραστηριότητα
Κύριος στόχος της συγκεκριμένης δραστηριότητας είναι η επαλήθευση ή διάψευση της υπόθεσης:
«Όταν ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, τότε η κίνηση στον κατακόρυφο άξονα δεν επηρεάζεται - με-
ταβάλλεται εξαιτίας της κίνησής του στον οριζόντιο άξονα». Επιπρόσθετα οι μαθητές μπορούν να κατα-
λήξουν σε συμπεράσματα για το είδος της κίνησης στον κατακόρυφο άξονα για ένα σώμα που εκτελεί
οριζόντια βολή.
Πειραματική διαδικασία
1. Από τη διαδικτυακή διεύθυνση http://www.youtube.com/watch?v=Y4jgJK35Gf0 μεταφορτώστε στον
υπολογιστή σας και αποθηκεύστε σε φάκελο της επιλογής σας με το όνομα «The Classic Bullet
Projectile Motion Experiment.mp4» το προς ανάλυση βίντεο. Στο βίντεο φαίνεται μια μικρή μπάλα που
εκτοξεύεται οριζόντια, ενώ ταυτόχρονα μια δεύτερη όμοια μπάλα αφήνεται ελεύθερη από το ίδιο ύ-
ψος. Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να παρατηρήσουν την ταυτόχρονη κίνηση σε κανονική ταχύτητα
προβολής, αλλά και σε αργή κίνηση. Στην πραγματικότητα πρόκειται για δύο διαφορετικά βίντεο που
έχουν συνδυαστεί (μονταριστεί), ώστε να δίνεται η εντύπωση της ταυτόχρονης κίνησης. Παρότι στο
διαδίκτυο κυκλοφορούν αρκετά βίντεο με πραγματικά ταυτόχρονες κινήσεις (οριζόντια βολή και ελεύ-
θερη πτώση) προτιμήσαμε αυτό εδώ το βίντεο για την ευκολία με την οποία μπορεί να πραγματοποιη-
θεί η όλη διαδικασία από τους μαθητές. Ο στόχος της άσκησης θα μπορούσε ποιοτικά να επιτευχθεί
και με απλή παρακολούθηση του βίντεο, όμως η ανάλυσή του με το λογισμικό Tracker δίνει τη δυνατό-
τητα να αντιμετωπιστεί το θέμα και ποσοτικά.
2. Εκτελέστε το λογισμικό Tracker και ανοίξτε το αρχείο βίντεο «The Classic Bullet Projectile Motion Ex-
periment.mp4».
3. Στο παράθυρο «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» που ενεργοποιείται με κλικ στο κουμπί της γραμμής ερ-
γαλείων, ορίστε:
Αρχικό καρέ : 727
Βήμα : 50
Τελικό καρέ : 1977
Ταχύτητα καρέ : 2997 /s
Η «περίεργη» τιμή της ταχύτητας καρέ προέκυψε με βάση την αναφορά στο βίντεο ότι η αναπαραγωγή
γίνεται με ταχύτητα ίση με το 1% της κανονικής (29,97 καρέ/s).
4. Στο βίντεο έχει επισυναφθεί οριζόντια και κατακόρυφη κλίμακα, γεγο-
νός που μας εξυπηρετεί για τη βαθμονόμησή του. Δημιουργήστε μια ρά-
βδο βαθμονόμησης από το μενού «Τροχιές/Νέο/Εργαλεία βαθμονόμη-
σης» ή από το εργαλείο της γραμμής εργαλείων του Tracker και το-
ποθετήστε τα άκρα της στις οριζόντιες γραμμές που ορίζουν τα 0 cm και
τα -100 cm της κλίμακας στον κατακόρυφο άξονα. Προσέξτε ώστε η ρά-
βδος βαθμονόμησης να είναι κατακόρυφη (δηλαδή στο πεδίο «γωνία με
τον y άξονα» στη γραμμή ενεργού αντικειμένου να αναγράφεται η τιμή -
90,0°), και γράψτε την τιμή «100» στο πλαίσιο κειμένου της (Εικόνα 18).
Έτσι θα μετράτε τις αποστάσεις σε εκατοστά (όπως έχει ήδη αναφερθεί
στις νεότερες εκδόσεις του Tracker, υπάρχει η δυνατότητα να ορίσουμε
τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε). Κάνοντας εκ νέου κλικ στο
εργαλείο της γραμμής εργαλείων του Tracker, η ράβδος βαθμονό-
μησης αποκρύπτεται (ή επανεμφανίζεται αν προηγουμένως έχει απο- Εικόνα 18: Βαθμονόμηση
κρυφθεί).
5. Στο μενού «Τροχιές/Νέο» επιλέγουμε «Υλικό σημείο» ή κάνουμε κλικ στο κουμπί της
γραμμής εργαλείων του Tracker και επιλέγουμε «Υλικό σημείο». Το «Παράθυρο ελέγχου τροχιών» α-
νοίγει εμφανίζοντας το κουμπί ελέγχου του υλικού σημείου (με τίτλο «Σώμα Α») που μόλις δημιουργή-
σαμε. Με το πλήκτρο του αναπαραγωγέα βίντεο μεταφερόμαστε στην αρχή του βίντεο κλιπ. Με πε-
[23]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
ριστροφή της ροδέλας του ποντικιού μεγεθύνουμε την εικόνα γύρω από τη μπάλα που βρίσκεται πάνω
στο τραπέζι. Στη δεύτερη ζώνη της γραμμής εργαλείων (γραμμή ενεργού αντικειμένου) κάνουμε κλικ
στο κουμπί «Επιλογή μιας υπάρχουσας τροχιάς» (που έχει τη μορφή του προς τα κάτω βέλους) και επι-
λέγουμε το αντικείμενο («τροχιά» στην ορολογία του Tracker) «Σώμα Α».
Στη συνέχεια κρατώντας πατημένο το πλήκτρο Shift και ενώ ο δρομέας έχει μετατραπεί σε τετράγωνο
με σταυρόνημα, κάνουμε κλικ στο επιλεγμένο σημείο της μπά-
λας (αυτής που βρίσκεται πάνω στο τραπέζι), όπως φαίνεται
και στο διπλανό σχήμα. Η θέση του υλικού σημείου σημειώνε-
ται («μαρκάρεται») στο πρώτο καρέ (Εικόνα 19) και αυτόματα
προωθούμαστε στο επόμενο καρέ του βίντεο κλιπ. Προτιμήσα-
με τη διαδικασία της χειροκίνητης ιχνηλασίας, καθώς λόγω του
πλέγματος κλίμακας που έχει επισυναφθεί στο βίντεο η αυτό-
ματη ιχνηλασία αποτυγχάνει σε μεγάλο αριθμό καρέ. Με το
τέλος της ιχνηλασίας (Εικόνα 20) στο βασικό παράθυρο του
Tracker έχει συμπληρωθεί ο πίνακας τιμών με τα δεδομένα θέ-
σης-χρόνου για τη μπάλα που εκτελεί οριζόντια βολή. Κάνοντας Εικόνα 19: Ίχνος στο πρώτο καρέ
κλικ στο κουμπί «Πίνακας» στην περιοχή του πίνακα δεδομέ-
νων, στο παράθυρο «Ορατές στήλες πίνακα» επιλέγουμε εμφάνιση μόνο των στηλών «y» και «vy». Το
Tracker έχει επίσης σχεδιάσει -στο επάνω δεξιά μέρος του κεντρικού του παραθύρου- τη γραφική πα-
ράσταση θέσης - χρόνου για τη μπάλα. Εξ ορισμού το Tracker σχεδιάζει τη γραφική παράσταση x - t. Με
κλικ στην ετικέτα «x» του κατακόρυφου άξονα στη γραφική παράσταση, επιλέγουμε «vy» στο αναδυό-
μενο μενού και το Tracker ανταποκρίνεται σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση υy = f(t) για τη μπάλα.
Εικόνα 20: Ιχνηλασία της μπάλας που εκτελεί οριζόντια βολή
Κάνοντας διπλό κλικ στη γραφική παράσταση ανοίγει το παράθυρο «Εργαλείο δεδομένων», ενημερω-
μένο με τα δεδομένα της ιχνηλασίας για το «Σώμα Α» και με σχεδιασμένη την αντίστοιχη γραφική πα-
ράσταση υy = f(t). Προς το παρόν κλείνουμε το «Εργαλείο δεδομένων».
[24]
Πειράματα Φυσικής (II)
7. Αφού επαναφέρουμε το βίντεο κλιπ στο πρώτο καρέ, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία του προη-
γούμενου βήματος 6 και για τη μπάλα που αφήνεται ελεύθερη (αυτή που φαίνεται στο αριστερό τμήμα
του βίντεο).
Και στις δύο περιπτώσεις η προσεκτική επιλογή του σημείου της μπάλας προς ιχνηλασία (Εικόνα 21)
και η ακόμη προσεκτικότερη διαδικασία ιχνηλασίας μπορούν να δώσουν, όπως θα φανεί και στη συνέ-
χεια, εξαιρετικά αποτελέσματα. Ακόμη όμως και στην περίπτωση βιαστικής ιχνηλασίας, τα αποτελέ-
σματα είναι πάρα πολύ καλά.
Εικόνα 21: Το ίχνος στο πρώτο καρέ της μπάλας που πέφτει ελεύθερα
8. Ανοίγοντας και πάλι το «Εργαλείο δεδομένων» (για παράδειγμα με διπλό κλικ στην περιοχή γραφι-
κών παραστάσεων, σε δύο διαφορετικές καρτέλες με τίτλους «Σώμα_Α» και «Σώμα_Β» έχουν σχεδια-
στεί οι γραφικές ταχύτητας υy - t για τις δύο μπάλες. Για την καλύτερη σύγκριση των κατακόρυφων τα-
χυτήτων των δύο σωμάτων, θα σχεδιάσουμε τις δύο γραφικές παραστάσεις σε κοινό σύστημα αξόνων
(Εικόνα 22).
Εικόνα 22: Σύγκριση ταχυτήτων στον y άξονα για τις δύο μπάλες
Αρχικά επιλέγουμε την καρτέλα «Σώμα_Β» και στον πίνακα δεδομένων του «Εργαλείου δεδομένων» με
κλικ και σύρσιμο επιλέγουμε όλες τις τιμές της στήλης «vy». Μετά κάνουμε δεξί κλικ στα επιλεγμένα
κελιά και στο αναδυόμενο μενού επιλέγουμε «Αντιγραφή περιεχομένων». Επιλέγουμε την καρτέλα
«Σώμα_Α» και στο μενού «Επεξεργασία/Επικόλληση», επιλέγουμε «Νέες στήλες». Τα δεδομένα ταχύ-
[25]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
τητας για τη δεύτερη μπάλα έχουν τώρα μεταφερθεί σε νέα στήλη δίπλα στα δεδομένα για την πρώτη
μπάλα και η αντίστοιχη γραφική παράσταση έχει σχεδιαστεί σε κοινό σύστημα αξόνων με τα δεδομένα
ταχύτητας για την πρώτη μπάλα.
Στο σημείο αυτό διαπιστώνεται η εξαιρετική σύμπτωση των πειραματικών δεδομένων για την ταχύτητα
των δύο σωμάτων στον κατακόρυφο άξονα.
9. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε και την τιμή της κατακόρυφης επιτάχυνσης για τα δύο σώματα. Κά-
νουμε κλικ στο κουμπί «Ανάλυση» στο «Εργαλείο δεδομένων» και τσεκάρουμε την επιλογή «Καμπύλες
προσέγγισης». Στο πεδίο «Όνομα συνάρτησης προσέγγισης» επιλέγουμε «Ευθεία» και το λογισμικό
ανταποκρίνεται σχεδιάζοντας την ευθεία που προσαρμόζεται καλύτερα στα πειραματικά δεδομένα
που εμφανίζονται στις δύο πρώτες στήλες του πίνακα δεδομένων (στην περίπτωσή μας είναι τα δεδο-
μένα ταχύτητας - χρόνου για τη μπάλα που εκτελούσε την οριζόντια βολή). Ταυτόχρονα το λογισμικό
προσδιορίζει και την εξίσωση της καλύτερης ευθείας (Εικόνα 23), από την κλίση της οποίας μπορούμε
να προσδιορίσουμε την αντίστοιχη τιμή της επιτάχυνσης.
Εικόνα 23: Ανάλυση δεδομένων για τη μπάλα που εκτελεί οριζόντια βολή
Μεταφέροντας -με κλικ και σύρσιμο του κελιού τίτλου- τη στήλη «vy1» δίπλα στη στήλη «t», το λογι-
σμικό ανταποκρίνεται σχεδιάζοντας την καλύτερη ευθεία προσαρμογής στα πειραματικά δεδομένα
ταχύτητας υy - χρόνου για τη δεύτερη μπάλα που εκτελούσε ελεύθερη πτώση. Με τον τρόπο αυτό υπο-
λογίζονται οι επιταχύνσεις (Πίνακας 4) των δύο σωμάτων στον κατακόρυφο άξονα.
Πίνακας 4: Αποτελέσματα υπολογισμού επιτάχυνσης
Κίνηση Επιτάχυνση (m/s2)
Οριζόντια βολή 10,18
Ελεύθερη πτώση 10,13
Προφανώς, και λόγω της αντίστασης του αέρα, θα περιμέναμε μια επιτάχυνση μικρότερη από την τυ-
πική τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας (9,81 m/s2). Εδώ πιθανώς υπάρχει κάποιο συστηματικό
σφάλμα που σχετίζεται είτε με σφάλματα στη βαθμονόμηση του βίντεο με τη βοήθεια του πλέγματος
που έχει επισυναφθεί, είτε σε μη ακριβή ρύθμιση του ρυθμού εναλλαγής των καρέ.
[26]
Πειράματα Φυσικής (II)
10. Μέσω του μενού «Αρχείο/Αποθήκευση καρτέλας ως», αποθηκεύουμε την καρτέλα της πειραματι-
κής δραστηριότητας σε φάκελο της επιλογής μας με το όνομα «The Classic Bullet Projectile Motion
Experiment.trk».
Συμπεράσματα
Με βάση τις γραφικές παραστάσεις στις Εικόνες 22 και 23 οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν
στα εξής ερωτήματα:
α. Τι συμπεραίνετε για την κίνηση στον κατακόρυφο άξονα της μπάλας που εκτελεί οριζόντια βολή, σε
σχέση με την αντίστοιχη κίνηση της άλλης μπάλας; Για την απάντησή σας να λάβετε υπόψη τόσο τις
πληροφορίες από τη σύγκριση των ταχυτήτων των δύο σωμάτων, όσο και τις πληροφορίες από την επι-
τάχυνσή τους όπως υπολογίστηκε παραπάνω.
β. Επιβεβαιώνεται η αρχική υπόθεση, ότι δηλαδή η κίνηση της μπάλας στον οριζόντιο άξονα δεν επη-
ρεάζει-μεταβάλλει την κίνησή της στον κατακόρυφο άξονα;
γ. Περιγράψτε το είδος της κίνησης που εκτελεί η μπάλα στην κατακόρυφη διεύθυνση μετά την απε-
λευθέρωσή της.
Γενικά συμπεράσματα
Με το πέρας των δύο πρώτων δραστηριοτήτων οι μαθητές μπορούν να απαντήσουν στις ακόλου-
θες ερωτήσεις:
1. Με βάση τα συμπεράσματά σας από τις δύο πρώτες δραστηριότητες, η επόμενη πρόταση είναι σω-
στή ή λανθασμένη;
«Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε μια από αυτές εκτελείται ανε-
ξάρτητα από τις υπόλοιπες.»
2. Η οριζόντια βολή είναι μια σύνθετη κίνηση, είναι δηλαδή το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλού-
στερων κινήσεων, ως εξής:
• Στον οριζόντιο άξονα η κίνηση είναι ……………………………………………………. .
• Στον κατακόρυφο άξονα η κίνηση είναι ………………………………………………… .
3. Με βάση τα παραπάνω, μπορείτε να γράψετε τις εξισώσεις για τις επιμέρους κινήσεις της οριζόντιας
βολής;
[27]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
3η δραστηριότητα
Ζητούμενο είναι να δειχθεί πειραματικά ότι η εξίσωση τροχιάς στην οριζόντια βολή είναι παραβο-
λή της μορφής y = ax2 (Giambattista, McCarthy Richardson, & Richardson, 2010, σ. 127), και να υπολο-
γιστεί με βάση αυτό η οριζόντια ταχύτητα εκτόξευσης της μπάλας.
Πειραματική διαδικασία
1. Θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο βίντεο που χρησιμοποιήσαμε και στη δεύτερη δραστηριότητα. Εκτε-
λούμε το λογισμικό Tracker και ανοίγουμε το αρχείο «The Classic Bullet Projectile Motion Experi-
ment.trk».
2. Με κλικ στο εργαλείο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε τη ράβδο βαθμονόμη-
σης και στο πλαίσιο κειμένου της γράφουμε την τιμή «1», ώστε να μετράμε τις αποστάσεις σε μέτρα.
Εκ νέου κλικ στο εργαλείο έχει ως αποτέλεσμα την απόκρυψη της ράβδου βαθμονόμησης.
3. Με κλικ στο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων του Tracker εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα
αξόνων. Κάνοντας κλικ στην αρχή των αξόνων εμφανίζεται η αντίστοιχη λαβή συγκράτησης, με σύρσιμο
της οποίας μετακινούμε το σύστημα αξόνων και τοποθετούμε την αρχή του στο ίχνος της μπάλας στο
πρώτο καρέ. Μεγεθύνετε την εικόνα για ακριβέστερη τοποθέτηση. Με τους άξονες να είναι η επιλεγ-
μένη «τροχιά» μπορούμε να κάνουμε μικρορυθμίσεις στην τοποθέτηση της αρχής των αξόνων:
• Με χρήση των πλήκτρων μετακίνησης του δρομέα, η δράση των οποίων ενισχύεται με χρήση
του πλήκτρου Shift.
• Εισάγοντας τις κατάλληλες τιμές στα πλαίσια κειμένου δίπλα από την ετικέτα «Θέση εικονο-
στοιχείου στην Αρχή» στη γραμμή ενεργού αντικειμένου.
Στη συνέχεια (και διατηρώντας τους άξονες ως το ενεργό αντικείμενο) εισάγουμε την τιμή «180» στο
πλαίσιο κειμένου δίπλα από την ετικέτα «γωνία με την οριζόντια διεύθυνση», στη γραμμή ενεργού α-
ντικειμένου. Έτσι ο άξονας «y΄y» αποκτά θετικό προσανατολισμό προς τα κάτω (δεν υπάρχει η δυνατό-
τητα ανεξάρτητου ορισμού του θετικού προσανατολισμού και για τον «x΄x» άξονα).
4. Στο «κουτί» επιλογής τροχιάς του πίνακα δεδομένων του Tracker επιλέγουμε την τροχιά «Σώμα Α»
δηλαδή τη μπάλα που εκτελεί οριζόντια βολή. Κάνουμε κλικ στο κουμπί «Πίνακας» και στο παράθυρο
«Ορατές στήλες πίνακα» που ανοίγει, κάνουμε κλικ στο «Ορισμός». Στο παράθυρο «Εργαλείο επεξερ-
γασίας δεδομένων»:
• Επιλέγουμε ως πηγή δεδομένων το «Σώμα Α».
• Κάνουμε «Προσθήκη» μιας νέας συνάρτησης δεδομένων με όνομα «xsqr» και μαθηματική έκ-
φραση «x^2».
Κλείνουμε το «Εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων», και προτού κλείσουμε και το παράθυρο «Ορατές
στήλες πίνακα», τσεκάρουμε την επιλογή «xsqr», ώστε στον πίνακα δεδομένων να εμφανιστεί μια επι-
πλέον στήλη με τις τιμές του τετραγώνου της συντεταγμένης «x» στα διάφορα καρέ.
5. Στο «κουτί» επιλογής τροχιάς στην περιοχή γραφικών παραστάσεων του Tracker επιλέγουμε «Σώμα
Α». Με κλικ στην ετικέτα του κατακόρυφου άξονα, επιλέγουμε «y» και αντίστοιχα στον οριζόντιο άξονα
επιλέγουμε «xsqr». Το Tracker ανταποκρίνεται σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση y = f(x2).
Το σημείο αυτό είναι κατάλληλο, ώστε να γίνει η θεωρητική μελέτη του ζητήματος της εξίσωσης τρο-
χιάς. Ο διδάσκων είτε ο ίδιος αποδεικνύει είτε καθοδηγεί τους μαθητές να αποδείξουν την εξίσωση
τροχιάς για ένα σώμα που εκτελεί οριζόντια βολή:
y = g x2 (3.1)
2υο2
Μετά οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν στα ερωτήματα:
α. Με βάση τη θεωρητική σχέση για την εξίσωση τροχιάς, τι μορφή αναμένετε να έχει η γραφική παρά-
σταση y = f(x2);
[28]
Πειράματα Φυσικής (II)
β. Επιβεβαιώνεται η θεωρητική πρόβλεψη από τα πειραματικά δεδομένα και τη γραφική παράσταση
που έχει ήδη σχεδιάσει το λογισμικό;
γ. Με τι ισούται η κλίση στη γραφική παράσταση y = f(x2);
6. Κάνοντας διπλό κλικ στην περιοχή γραφικών παραστάσεων του Tracker, ανοίγει το παράθυρο «Ερ-
γαλείο δεδομένων» όπου εμφανίζεται η γραφική παράσταση y = f(x2) για τη μπάλα που εκτελεί οριζό-
ντια βολή. Κάνουμε κλικ στο κουμπί «Ανάλυση» στο «Εργαλείο δεδομένων» και τσεκάρουμε την επιλο-
γή «Καμπύλες προσέγγισης». Στο πεδίο «Όνομα συνάρτησης προσέγγισης» επιλέγουμε «Ευθεία» και
το λογισμικό ανταποκρίνεται σχεδιάζοντας την ευθεία που προσαρμόζεται καλύτερα στα πειραματικά
δεδομένα, ενώ ταυτόχρονα προσδιορίζει και την εξίσωση της καλύτερης ευθείας (Εικόνα 24) από την
κλίση της οποίας μπορούμε να προσδιορίσουμε τιμή της αρχικής ταχύτητας της μπάλας.
Εικόνα 24: Γραφική παράσταση y = f(x2)
( )Η πολύ μικρή τιμή του σταθερού όρου 5, 9 ⋅10−3 στην εξίσωση της ευθείας προσαρμογής επιβεβαιώ-
νει τη θεωρητική πρόβλεψη για τη μορφή της καμπύλης y = f(x2), ενώ από την κλίση της γραφικής πα-
ράστασης λ = g υπολογίζεται η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης της μπάλας. Στην περίπτωσή μας
2υο2
προκύπτει:
υο = 2, 6 m / s
[29]
Ορμή - Αρχή διατήρησης της Ορμής
Εισαγωγή στο θέμα
Αφού γίνει αναπαραγωγή του βίντεο «V1.mp4» στην τάξη, οι μαθητές καλούνται να απαντή-
σουν στο ερώτημα: «Στο βίντεο παρακολουθήσατε μια σειρά φαινομένων, τα οποία στη Φυσική χαρα-
κτηρίζονται ως κρούσεις. Μπορείτε με όρους χρόνου και δύναμης να δώσετε μια γενική ποιοτική περι-
γραφή για τα φαινόμενα αυτά;»
Στο βίντεο «V2.mp4» έχουν συνδυαστεί 6 διαφορετικά βίντεο κλιπ, τα οποία δείχνουν διάφορες
περιπτώσεις κρούσεων. Αμέσως μετά ζητείται από τους μαθητές να απαντήσουν στο ερώτημα: «Με
βάση τη διεύθυνση των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση, να ταξινομήσετε τα φαινόμενα αυτά σε
δύο γενικές κατηγορίες, για τις οποίες να δώσετε μια κατά το δυνατό αυστηρή ποιοτική περιγραφή.
Ποια από τις δυο κατηγορίες θα χαρακτηρίζατε ως μετωπική και ποια ως πλάγια κρούση;»
Τα δύο βίντεο «V1.mp4» και «V2.mp4» μπορείτε να τα μεταφορτώσετε στον υπολογιστή σας μέ-
σω του συνδέσμου «https://drive.google.com/open?id=1U0SZXyG26oFja0v008eO4aO88FSa6S7C».
1η δραστηριότητα
Σκοπός της 1ης δραστηριότητας είναι να δοθεί από τους μαθητές απάντηση στο ερώτημα: «Υπάρ-
χει και ποια σχέση μεταξύ των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση;»
Για το σκοπό αυτό με τη βοήθεια του λογισμικού ανάλυσης βίντεο Tracker θα αναλυθούν δύο βίντεο:
α. Το βίντεο «Elastic Collision» που πρέπει να μεταφορτωθεί στον υπολογιστή σας από τη διεύθυνση:
https://www.youtube.com/watch?v=vobfBzjQzEo.
β. Το βίντεο «m-m Inelastic» που πρέπει να μεταφορτωθεί στον υπολογιστή σας από τη διεύθυνση:
https://www.youtube.com/watch?v=EJm7ZhkSxqs.
Τόσο για την εν λόγω δραστηριότητα, όσο και για όλες τις υπόλοιπες δραστηριότητες της ενότη-
τας, θα θεωρήσουμε αμελητέες τις αποκλίσεις της τάξης του 3% ή και λίγο μεγαλύτερες (και πάντως όχι
μεγαλύτερες του 5%). Για παράδειγμα στο βίντεο «Εlastic Collision» φαίνεται η κρούση δύο αμαξιδίων
με μάζες –σύμφωνα με τον κατασκευαστή του βίντεο- 253,5 g και 254,5 g αντίστοιχα. Η σχετική από-
κλιση των δύο μαζών είναι:
=σ % 2=54,5 − 253,5100 0, 4%
254, 5
και συνεπώς στα όρια των αποδεκτών αποκλίσεων οι δύο μάζες θα μπορούν να θεωρούνται ίσες.
α. Ανάλυση του βίντεο «Εlastic Collision»
α. Μεταφορτώνουμε το συγκεκριμένο βίντεο στον υπολογιστή μας και ανοίγουμε το σχετικό αρχείο
στο Tracker. Στο βίντεο καταγράφεται η κρούση δύο αμαξιδίων (το ένα κόκκινου και το άλλο μπλε χρώ-
ματος), που έχουν πρακτικά την ίδια μάζα.
β. Δημιουργούμε μια ράβδο βαθμονόμησης μήκους 1 m, και τοποθετούμε τα άκρα της στα άκρα του
ξύλινου χάρακα που φαίνεται στο βίντεο ακριβώς κάτω από τα αμαξίδια.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 289, τελικό
το καρέ 330 και μέγεθος βήματος 1.
δ. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Κόκκινο» για την ιχνηλασία του κόκκινου αμαξιδίου.
Με «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το ίχνος του υλικού σημείου στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ως
[30]
Πειράματα Φυσικής (II)
πρότυπο ταύτισης ορίζουμε ένα κυκλικό τμήμα που περιλαμβάνει την κίτρινη ετικέτα στο κέντρο του
κόκκινου αμαξιδίου (Εικόνα 25). Στο παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα» επιλέγουμε «Έρευνα» και το
Tracker ολοκληρώνει την αυτόματη ιχνηλασία του κόκκινου αμαξιδίου.
ε. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε δεύτερο υλικό σημείο με το όνομα «Μπλε» και ολοκληρώνουμε
την ιχνηλασία του μπλε αμαξιδίου.
στ. Εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του Tracker και παραλληλίζουμε τον άξονα x΄x με τη
διεύθυνση κίνησης των αμαξιδίων.
Εικόνα 25: Τα δύο υλικά σημεία για την ιχνηλασία των αμαξιδίων
ζ. Με διπλό κλικ στην περιοχή γραφικών παραστάσεων ανοίγουμε το «Εργαλείο δεδομένων» στο οποίο
απεικονίζεται η γραφική παράσταση x - t για το μπλε αμαξίδιο. Επιλέγουμε μικρό αριθμό (π.χ. 5) ση-
μείων της γραφικής παράστασης αμέσως μετά τη στιγμή της κρούσης και σχεδιάζουμε την καλύτερη
ευθεία προσαρμογής στα δεδομένα (επιλέγοντας «Καμπύλες προσέγγισης» στο μενού «Ανάλυση» και
εν συνεχεία «Ευθεία» στο «Όνομα συνάρτησης προσέγγισης»). Το Tracker προσδιορίζει την εξίσωση
της καλύτερης ευθείας, η κλίση της οποίας δίνει την ταχύτητα του μπλε αμαξιδίου μετά την κρούση.
Προκύπτει:
υ2′ = −0,974 m / s
ενώ η ταχύτητα του ίδιου αμαξιδίου πριν την κρούση ήταν προφανώς:
υ2 = 0
Οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν πόσο μεταβλήθηκε η ταχύτητα του μπλε αμαξιδίου κατά την
κρούση:
∆υ2 =υ2′ −υ2 =−0,974 m / s
Επιλέγοντας στην περιοχή γραφικών παραστάσεων του κεντρικού παραθύρου του Tracker το «Κόκκι-
νο» υλικό σημείο και με αντίστοιχη διαδικασία, υπολογίζουμε την ταχύτητα του κόκκινου αμαξιδίου
πριν την κρούση:
υ1 = −0,971 m / s
ενώ η ταχύτητα του ίδιου αμαξιδίου μετά την κρούση είναι:
υ1′ = 0
Οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν πόσο μεταβλήθηκε η ταχύτητα του κόκκινου αμαξιδίου κατά
την κρούση:
∆υ1 =υ1′ −υ1 =−0,971 m / s
και τελικά μέσα στα όρια ανοχής που έχουμε αποδεχθεί, να προσδιορίσουν τη σχέση που συνδέει τις
μεταβολές των ταχυτήτων των δύο αμαξιδίων κατά τη συγκεκριμένη κρούση, ότι δηλαδή ισχύει:
∆υ1 = −∆υ2
Το αποτέλεσμα αυτό οι μαθητές θα επιβεβαιώσουν με την ανάλυση ενός δεύτερου βίντεο και σε μια
διαφορετική περίπτωση κρούσης.
[31]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
β. Ανάλυση του βίντεο «m - m Inelastic»
α. Μεταφορτώνουμε το αρχείο βίντεο στον υπολογιστή μας και το ανοίγουμε στο Tracker. Στο βίντεο
καταγράφεται η κρούση δύο όμοιων αμαξιδίων (το ένα κόκκινου και το άλλο μπλε χρώματος). Το μπλε
αμαξίδιο πριν την κρούση ήταν ακίνητο, ενώ μετά την κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα.
β. Καθώς το βίντεο δεν περιλαμβάνει κάποιο σώμα γνωστών διαστάσεων, οι υπολογισμοί των ταχυτή-
των θα γίνουν σε αυθαίρετες μονάδες.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 53, τελικό
το καρέ 105 και μέγεθος βήματος 1.
δ. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Κόκκινο» για την ιχνηλασία του κόκκινου αμαξιδίου.
Με «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το ίχνος του υλικού σημείου στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ως
πρότυπο ταύτισης ορίζουμε ένα κυκλικό τμήμα που περιλαμβάνει τη λευκή ετικέτα στο κέντρο του
κόκκινου αμαξιδίου. Ολοκληρώνουμε τη διαδικασία της αυτόματης ιχνηλασίας. Δεν είναι απαραίτητη
η ιχνηλασία του μπλε αμαξιδίου, αφού αυτό πριν την κρούση είναι ακίνητο, ενώ μετά την κρούση δη-
μιουργείται συσσωμάτωμα, δηλ. τα δύο αμαξίδια κινούνται με την ίδια ταχύτητα.
ε. Εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του Tracker και παραλληλίζουμε τον άξονα x΄x με τη
διεύθυνση κίνησης των αμαξιδίων.
στ. Με διπλό κλικ στην περιοχή γραφικών παραστάσεων (πάνω δεξιό μέρος του κεντρικού παραθύρου
του Tracker) ανοίγουμε το «Εργαλείο δεδομένων», στο οποίο απεικονίζεται η γραφική παράσταση x - t
για το κόκκινο αμαξίδιο (Εικόνα 26). Επιλέγουμε μικρό αριθμό (π.χ. 5) σημείων της γραφικής παράστα-
σης πριν τη στιγμή της κρούσης και σχεδιάζουμε την καλύτερη ευθεία προσαρμογής στα δεδομένα (ε-
πιλέγοντας «Καμπύλες προσέγγισης» στο μενού «Ανάλυση» και εν συνεχεία «Ευθεία» στο «Όνομα συ-
νάρτησης προσέγγισης»). Το Tracker προσδιορίζει την εξίσωση της καλύτερης ευθείας, η κλίση της ο-
ποίας δίνει την ταχύτητα του κόκκινου αμαξιδίου πριν την κρούση. Προκύπτει:
υ1 = 644,8 μονάδες ταχύτητας
ενώ η ταχύτητα του ίδιου αμαξιδίου μετά την κρούση, υπολογίζεται:
υ1′ = 321, 0 μονάδες ταχύτητας
Εικόνα 26: Ανάλυση πειραματικών δεδομένων
[32]
Πειράματα Φυσικής (II)
Η μεταβολή της ταχύτητας του κόκκινου αμαξιδίου κατά την κρούση υπολογίζεται ως:
∆υ1 =υ1′ −υ1 =−323,8 μονάδες ταχύτητας
Αντίστοιχα για το μπλε αμαξίδιο πριν την κρούση, έχουμε:
υ2 = 0
ενώ η ταχύτητα του ίδιου αμαξιδίου μετά την κρούση είναι:
υ2′ = 321, 0 μονάδες ταχύτητας
Η μεταβολή της ταχύτητας του μπλε αμαξιδίου κατά την κρούση υπολογίζεται ως:
∆υ2 = υ2′ −υ2 = 321, 0 μονάδες ταχύτητας
Οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν τη σχετική απόκλιση των απολύτων τιμών των μεταβολών των
ταχυτήτων των δύο αμαξιδίων κατά την κρούση:
=σ % 323,8 − 321, 0100 ≈ 0,9%
323, 8
και τελικά να διαπιστώσουν πως μέσα στα όρια ανοχής που έχουμε αποδεχθεί, και σ’ αυτή την περί-
πτωση κρούσης ισχύει:
∆υ1 = −∆υ2
2η δραστηριότητα
Σκοπός της 2ης δραστηριότητας είναι να δοθεί από τους μαθητές απάντηση στο ερώτημα: «Μήπως
η σχέση ∆υ1 = −∆υ2 , στην οποία καταλήξαμε στις προηγούμενες δραστηριότητες, ισχύει μόνο επειδή
το ένα σώμα ήταν αρχικά ακίνητο;»
Για το σκοπό αυτό με τη βοήθεια του λογισμικού ανάλυσης βίντεο Tracker θα αναλυθεί το βίντεο
«Elastic or Inelastic Cart Collision?» που μπορείτε να ανακτήσετε από τo youtube στη διεύθυνση
https://www.youtube.com/watch?v=akqeKHsKeC4, και στο οποίο καταγράφεται η σύγκρουση δύο κι-
νούμενων αμαξιδίων ίσης μάζας.
α. Μεταφορτώνουμε το αρχείο βίντεο στον υπολογιστή μας και το ανοίγουμε στο Tracker.
β. Καθώς το βίντεο δεν περιλαμβάνει κάποιο σώμα γνωστών διαστάσεων, οι υπολογισμοί των ταχυτή-
των θα γίνουν σε αυθαίρετες μονάδες.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 90, τελικό
το καρέ 115 και μέγεθος βήματος 1.
δ. Προσανατολίζουμε τον άξονα x΄x του συστήματος συντεταγμένων παράλληλα στη διεύθυνση κίνη-
σης των αμαξιδίων.
ε. Θα δημιουργήσουμε όπως και στις προηγούμενες δραστηριότητες δύο υλικά σημεία με ονόματα
«Αμαξίδιο 1» και «Αμαξίδιο 2» για την ιχνηλασία του αριστερού και του δεξιού αμαξιδίου αντίστοιχα.
Με την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας μπορούμε από την κλίση των γραφικών παραστάσεων x - t να
προσδιορίσουμε σε αυθαίρετες μονάδες τις ταχύτητες των δύο αμαξιδίων πριν και μετά την κρούση.
Τα ενδεικτικά αποτελέσματα ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τέσσερα μόνο σημεία πριν ή μετά την
κρούση για τον προσδιορισμό της κλίσης της ευθείας προσαρμογής (Εικόνα 27).
Για το «Αμαξίδιο 1» παίρνουμε:
υ1 = 104, 6 α.μ.τ., υ1′ = −213,9 α.μ.τ. και ∆υ1 =−318,5 α.μ.τ.
Ομοίως για το «Αμαξίδιο 2»:
υ2 = 318, 5 α.μ.τ., υ2′ = 0 α.μ.τ. και ∆υ2 =318,5 α.μ.τ.
[33]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
Εικόνα 27: Προσδιορισμός καλύτερης ευθείας προσαρμογής
Συνεπώς το συμπέρασμα των προηγουμένων δραστηριοτήτων, ότι δηλ. ∆υ1 = −∆υ2 , επιβεβαιώνεται
και στη συγκεκριμένη περίπτωση.
3η δραστηριότητα
Στις μέχρι τώρα δραστηριότητες μελετήθηκαν περιπτώσεις κρούσης σωμάτων ίσης μάζας. Σκοπός
της 3ης δραστηριότητας είναι να δοθεί από τους μαθητές απάντηση στο ερώτημα: «Ισχύει άραγε η
σχέση ∆υ1 = −∆υ2 και στις περιπτώσεις κρούσης σωμάτων διαφορετικής μάζας;»
Με τη βοήθεια του Tracker θα αναλυθεί το βίντεο «m - 3m Inelastic» που μπορεί να ανακτηθεί
από τη διεύθυνση https://www.youtube.com/watch?v=5xW2aR_cbgo. Στο βίντεο φαίνεται η κρούση
δύο σωμάτων: ενός κινούμενου που έχει μάζα m και ενός δεύτερου, αρχικά ακίνητου, με τριπλάσια
μάζα. Μετά την κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα («πλαστική» κρούση).
α. Μεταφορτώνουμε το συγκεκριμένο βίντεο στον υπολογιστή μας και ανοίγουμε το σχετικό αρχείο
στο Tracker.
β. Καθώς το βίντεο δεν περιλαμβάνει κάποιο σώμα γνωστών διαστάσεων, οι υπολογισμοί των ταχυτή-
των θα γίνουν σε αυθαίρετες μονάδες.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 32, τελικό
το καρέ 66, και μέγεθος βήματος 1.
δ. Προσανατολίζουμε τον άξονα x΄x του συστήματος συντεταγμένων παράλληλα στη διεύθυνση κίνη-
σης των αμαξιδίων.
ε. Θα δημιουργήσουμε ένα υλικό σημείο με όνομα «Αμαξίδιο 1» για την ιχνηλασία του αριστερού αμα-
ξιδίου. Με την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας μπορούμε από την κλίση των γραφικών παραστάσεων θέ-
σης – χρόνου να προσδιορίσουμε σε αυθαίρετες μονάδες τις ταχύτητες του αμαξιδίου πριν και μετά
την κρούση (Εικόνα 28).
Εικόνα 28: Προσδιορισμός καλύτερης ευθείας προσαρμογής
Τα ενδεικτικά αποτελέσματα που ακολουθούν ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τέσσερα μόνο σημεία πριν
ή μετά την κρούση για τον προσδιορισμό της κλίσης της ευθείας προσαρμογής.
• Για το «Αμαξίδιο 1» παίρνουμε:
υ1 = 1022 α.μ.τ., υ1′ = 256, 6 α.μ.τ. και ∆υ1 =765, 4 α.μ.τ.
Δεν είναι απαραίτητη η ιχνηλασία του άλλου αμαξιδίου, αφού αυτό πριν την κρούση είναι ακίνητο, ενώ
μετά την κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα, δηλ. τα δύο αμαξίδια κινούνται με την ίδια ταχύτητα.
[34]
Πειράματα Φυσικής (II)
• Συνεπώς για το «Αμαξίδιο 2»:
υ2 = 0 α.μ.τ., υ2′ = 256, 6 α.μ.τ. και ∆υ2 =−256, 6 α.μ.τ.
Προφανώς οι μαθητές συμπεραίνουν πως το αρχικό μοντέλο για την περιγραφή των κρούσεων, ότι
δηλ. ∆υ1 = −∆υ2 , είναι λανθασμένο, και συνεπώς πρέπει να καθοδηγηθούν για να αναπροσαρμόσουν
το μοντέλο τους, ώστε να λαμβάνει υπόψη τα νέα δεδομένα.
Καλούμε αρχικά τους μαθητές να προσδιορίσουν το λόγο των μεταβολών ταχύτητας των αμαξιδίων:
∆υ1 =− 765, 4 =−2,98
∆υ2 256, 6
Καθώς αιτία της διαφοροποίησης των αποτελεσμάτων είναι η διαφορετική μάζα των δύο συγκρουόμε-
νων σωμάτων, τους καλούμε στη συνέχεια να υπολογίσουν το λόγο των μαζών των δύο αμαξιδίων:
m=1 m= 1 ή m2 = 3
m2 3m 3 m1
Εύκολα τώρα, οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν πως μέσα στα όρια ανοχής αποκλίσεων, που έ-
χουμε αποδεχθεί, ισχύει:
∆υ1 = − m2
∆υ2 m1
και να αναπροσαρμόσουν το μοντέλο της κρούσης, ως εξής:
m1 ⋅ ∆υ1 = −m2 ⋅ ∆υ2
Εύκολα οι μαθητές επιβεβαιώνουν πως το τροποποιημένο μοντέλο ικανοποιεί και όλες τις περιπτώσεις
κρούσης σωμάτων ίσης μάζας, που μελέτησαν στις προηγούμενες δραστηριότητες.
4η δραστηριότητα
Στο σημείο αυτό, και πριν το τελικό βήμα για τη διατύπωση της αρχής διατήρησης της ορμής, ο δι-
δάσκων μπορεί να κρίνει απαραίτητη την ανάλυση ενός ακόμη βίντεο προς επιβεβαίωση του μοντέλου.
Στην περίπτωση αυτή, μπορεί να επιλέξει κάποιο από τα δύο προτεινόμενα βίντεο:
1. Το βίντεο «Cart1Mass.mov»
2. Το βίντεο «Cart2Mass.mov»
Τα βίντεο, στα οποία καταγράφεται η κρούση δύο διαφορετικής μάζας αμαξιδίων, μπορούν να α-
νακτηθούν από την ιστοσελίδα http://physicsoflearning.com/edblog/conservation-of-momentum/, ενώ
ο δημιουργός τους δίνει επιπλέον τα εξής στοιχεία:
• Το αμαξίδιο με το σύστημα εκτόξευσης έχει μάζα 0,811 kg.
• Το άλλο αμαξίδιο έχει μάζα 0,822 kg.
• Το βάρος που τοποθετείται πάνω στο ένα αμαξίδιο έχει μάζα 1 kg.
Εικόνα 29: Προσδιορισμός καλύτερης ευθείας προσαρμογής
Τα αποτελέσματα της ανάλυσης των καρέ 80-160 για το βίντεο «Cart1Mass.mov» (Εικόνα 29) έχουν ως
εξής:
[35]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
• Για το αριστερό αμαξίδιο συνολικής μάζας 1,811 kg, βρέθηκε:
υ1 = 0,5864 m/s, υ1′ = 0, 2729 m/s και m1∆υ1 =−0,568 kg m/s
• Για το δεξιό αμαξίδιο:
υ2 = 0 m/s, υ2′ = 0, 6718 m/s και m2∆υ2 =0,552 kg m/s
Η σχετική απόκλιση των απολύτων τιμών των ποσοτήτων m1∆υ1 και m2∆υ2 είναι:
=σ % 0,568 − 0,552100 ≈ 2,8%
0, 568
Συνεπώς και μέσα στα αποδεκτά όρια ανοχής, μπορούμε να πούμε πως επιβεβαιώνεται και για αυτή
την περίπτωση κρούσης, ότι:
m1 ⋅ ∆υ1 = −m2 ⋅ ∆υ2
1η δασκαλοκεντρική παρέμβαση: Ορμή - διατήρηση ορμής στην κρούση
Ακολουθεί σε δασκαλοκεντρικό στυλ μια πρώτη σύνοψη των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων, διατύ-
πωση ορισμών και αυστηρότερη διατύπωση των συμπερασμάτων.
• Σε όλες τις περιπτώσεις κρούσεων που μελετήσαμε αναδείχθηκε θεμελιώδους σημασίας η πο-
σότητα mυ, καθώς οι μεταβολές της για τα δύο συγκρουόμενα σώματα είναι αντίθετες. Το γε-
γονός πως στον υπολογισμό της μεταβολής της ποσότητας mυ χρησιμοποιήθηκαν οι αλγεβρι-
κές τιμές των ταχυτήτων των σωμάτων, οδηγεί στο συμπέρασμα πως πρόκειται για διανυσμα-
• τική ποσότητα. p ενός σώματος μάζας m, που κινείται με ταχύτητα υ , το διανυσματικό
Ονομάζουμε ορμή
εκείνο μέγεθος που ορίζεται ως: p = mυ
και έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της ταχύτητας του σώματος και μέτρο p = mυ.
• Κατά την κρούση δύο σωμάτων ισχύει:
m1∆υ1 =−m2∆υ2 ⇒
∆p1 = −∆p2 ⇒
p1′ − p1 =− ( p2′ − p2 ) ⇒
poλ ,πριν = poλ ,µετ ά p1 + p2 = p1′ + p2′ ⇒ poλ,πριν = poλ,µετ ά
ή σε διανυσματική μορφή
Δηλαδή στις κρούσεις η ορμή διατηρείται.
5η δραστηριότητα
Στις προηγούμενες δραστηριότητες μελετήθηκαν μόνο περιπτώσεις μετωπικής κρούσης. Ο διανυ-
σματικός χαρακτήρας της ορμής οδήγησε στη διατύπωση του βασικού μοντέλου για τις κρούσεις σε
διανυσματική μορφή. Με την παρούσα δραστηριότητα οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν στο ερώ-
τημα: «Διατηρείται πράγματι η ορμή και στις πλάγιες κρούσεις;»
Με τη βοήθεια του Tracker θα αναλυθεί το βίντεο «2 d Collision.mp4» που μπορεί να ανακτηθεί
από την ιστοσελίδα «https://www.youtube.com/watch?v=ZpSMRAxl7qc».
α. Μεταφορτώνουμε το συγκεκριμένο βίντεο στον υπολογιστή μας και ανοίγουμε το σχετικό αρχείο
στο Tracker. Στο βίντεο καταγράφεται η πλάγια κρούση δύο μικρών δίσκων που έχουν μάζες m1 = 38,1
g και m2 = 55,7 g αντίστοιχα (Εικόνα 30).
[36]
Πειράματα Φυσικής (II)
Εικόνα 30: Πλάγια κρούση δίσκων
β. Δημιουργούμε μια ράβδο βαθμονόμησης μήκους 20 cm, και τοποθετούμε τα άκρα της στα άκρα του
ενσωματωμένου στο βίντεο χάρακα. Μετά τη δημιουργία της, μπορούμε να αποκρύψουμε τη ράβδο
βαθμονόμησης.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 137, τελικό
το καρέ 167, μέγεθος βήματος 1 και ταχύτητα καρέ 240.
δ. Θα δημιουργήσουμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Δίσκος Α» για την ιχνηλασία του μικρότερου
δίσκου. Στη «γραμμή ενεργού αντικειμένου» επιλέγουμε την τροχιά «Δίσκος Α» και στο πεδίο «m» ει-
σάγουμε την τιμή της μάζας του μικρότερου δίσκου 0,0381 kg. Με «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το
ίχνος του υλικού σημείου στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ως πρότυπο ταύτισης ορίζουμε ένα κυκλικό
τμήμα περί το κέντρο του δίσκου. Στο παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα» επιλέγουμε «Έρευνα» και το
Tracker ολοκληρώνει την αυτόματη ιχνηλασία. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε δεύτερο υλικό σημείο
με το όνομα «Δίσκος Β» και ολοκληρώνουμε την ιχνηλασία του μεγαλύτερου και αρχικά ακίνητου δί-
σκου μάζας 0,0557 kg.
Εικόνα 31: Τα διανύσματα ορμής για το υλικό σημείο «Δίσκος Α»
[37]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
ε. Με το εργαλείο «Εμφάνιση ή απόκρυψη των διανυσμάτων ταχύτητας» εμφανίζουμε σε κάθε καρέ τα
διανύσματα ταχύτητας και στη συνέχεια με το εργαλείο «Πολλαπλασιασμός των διανυσμάτων με τη
μάζα» μετατρέπουμε τα διανύσματα ταχύτητας σε διανύσματα ορμής. Με το «Μοχλό σάρωσης του
βίντεο» μεταφερόμαστε σε κάποιο καρέ (π.χ. 153) λίγο μετά την ολοκλήρωση της κρούσης (Εικόνα 31).
Είναι φανερό πως το διάνυσμα p11 αντιστοιχεί στην ορμή του «Δίσκου Α» πριν την κρούση και το διά-
νυσμα p13 αντιστοιχεί στην ορμή του αμέσως μετά την κρούση. Το αντίστοιχο διάνυσμα p13 του υλι-
κού σημείου «Δίσκος Β» θα χρησιμοποιηθεί ως το διάνυσμα ορμής του εν λόγω υλικού σημείου μετά
την κρούση, ενώ η ορμή του πριν την κρούση είναι προφανώς μηδέν. Κάνοντας κλικ σε οποιοδήποτε
διάνυσμα, στη «Γραμμή επιλογής και ιδιοτήτων τροχιάς» εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά (μέτρο και
διεύθυνση) του αντίστοιχου διανύσματος. Με αυτό τον τρόπο παίρνουμε:
• Για το «Δίσκο Α»:
o Ορμή πριν την κρο=ύση: p1 3, 403 kg ⋅ cm / s και θ1 = 0, 2
o Ορμή μετά την κρο=ύση: p1′ 2,122 kg ⋅ cm / s και θ1′ = 38,1
• Για το «Δίσκο Β»:
o Ορμή πριν την κρούση: p2 = 0
στ. o Ορμή μετά την κρο=ύση: p2′ 2, 214 kg ⋅ cm / s και pθ2′1′ = −35, 4 σύστημα των δύο δί-
Διανυσματικά η διατήρηση p1′ + =p1 για το
της ορμής παίρνει τη μορφή:
σκων. Μέσω του Tracker μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τη διανυσματική αυτή εξίσωση, ως εξής: Δημι-
ουργούμε ένα διάνυσμα με το όνομα «P1-μ» με μέτρο ίσο με 2,122 cm και κατεύθυνση θ=38,1° (αριθ-
μητικά ίσο δηλ. με την ορμή του «Δίσκου Α» μετά την κρούση). Δημιουργούμε στη συνέχεια δεύτερο
διάνυσμα με όνομα «P2-μ» με μέτρο 2,214 cm και κατεύθυνση θ=-35,4° (αριθμητικά ίσο δηλ. με την
ορμή του «Δίσκου Β» μετά την κρούση). Τέλος δημιουργούμε ένα αντικείμενο τύπου «Άθροισμα δια-
νυσμάτων» με το όνομα «P-μ» ως το άθροισμα των διανυσμάτων «P1-μ» και «P2-μ». Τα στοιχεία που
επιστρέφει το Tracker για το άθροισμα των διανυσμάτων, δηλ. για το διάνυσμα της συνολικής ορμής
μετά την κρούση, είναι:
o Μέτρο: 3,475 μονάδες
o Κατεύθυνση: 0,4°
ττοουμσέυτρσοτήτμηαςτοολςικπήρςινορτημνήςκρμοεύτάσητηνpκορλο,πρύινση=αpπ1ο+κλpίν2ε=ι μpό1νο, κατά 2% από
Συμπεραίνουμε λοιπόν πως ενώ η κατεύ-
( )το μέτρο της ολικής ορμής
θυνση του διανύσματος της ολικής ορμής μετά την κρούση αποκλίνει μόλις κατά 0,2° από την κατεύ-
θυνση της ολικής ορμής πριν την κρούση. Δηλαδή, μέσα στα όρια του σφάλματος που έχουμε αποδε-
χθεί, η διατήρηση της ορμής ισχύει και στην περίπτωση της πλάγιας κρούσης.
6η δραστηριότητα
Στη μέχρι τώρα μελέτη των κρούσεων δεν ασχοληθήκαμε με το θέμα ενεργειακά. Με την παρούσα
δραστηριότητα οι μαθητές θα απαντήσουν στο ερώτημα: «Διατηρείται ή όχι η ενέργεια στις κρούσεις;»
Θα χρησιμοποιηθούν τα αποτελέσματα των δύο πειραμάτων της πρώτης δραστηριότητας. Από την
ανάλυση του βίντεο «Elastic Collision» έχουμε τα εξής στοιχεία:
• Για το κόκκινο αμαξίδιο μάζας 253,5 g :
υ1 = −0,9714 m / s και υ1′ = 0 , και συνεπώς: Κ1 = 0,1196 J και Κ1′ = 0
• Για το μπλε αμαξίδιο μάζας 254,5 g :
υ2 = 0 και υ2′ = −0,9737 m / s , και συνεπώς: Κ 2 = 0 και Κ 2′ = 0,1206 J
Συνεπώς η ολική κινητική ενέργεια:
• Πριν την κρούση είναι: Koλ,πριν = K1 + K2 = 0,120 J
[38]
Πειράματα Φυσικής (II)
• Μετά την κρούση είναι: Koλ,µετά = K1′ + K2′ = 0,121 J
Η σχετική απόκλιση των δύο τιμών της ολικής κινητικής ενέργειας (πριν και μετά) είναι περίπου 0,8%
και συνεπώς μπορούμε να συμπεράνουμε πως σε αυτή την περίπτωση κρούσης η κινητική ενέργεια
διατηρείται σταθερή.
Όμως το ανωτέρω συμπέρασμα δεν επιβεβαιώνεται στην περίπτωση της δεύτερης κρούσης της
πρώτης δραστηριότητας. Πράγματι από την ανάλυση του βίντεο «m – m Inelastic»:
• Πριν την κρούση είναι :
υ1 = 644,8 α.μ.τ. και υ2 = 0 , οπότε Κολ,πριν = 207884m α.μ.ε.
• Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει:
υκ = 321 α.μ.τ., και συνεπώς: Κολ,µετά = 103041m α.μ.ε.
Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση κρούσης η κινητική ενέργεια δε διατηρείται σταθερή. Ανάλογα αν δια-
τηρείται σταθερή ή όχι η κινητική ενέργεια σε μια κρούση, αυτή χαρακτηρίζεται ως ελαστική ή ανελα-
στική.
2η δασκαλοκεντρική παρέμβαση: Αρχή διατήρησης της ορμής
Έστω δύο σώματα Α και Βπου αλληλεπιδρούν μεταξύ τους για κάποιο μικρό χρονικό διάστημα Δt,
ασκώντας το Α στο Β δύναμη FAB και δύναμη FBA το Β στο Α. Προφανώς λόγω του 3ου νόμου του Νεύ-
τωνα, ισχύει:
FAB = −FBA
Θεωρώντας το σύστημα μονωμένο, στα σώματα δε δρουν εξωτερικές δυνάμεις ή, αν δρουν, αλλη-
λοεξουδετερώνονται. Ας υποθέσουμε επίσης, απλουστεύοντας τα πράγματα, ότι κατά τη διάρκεια της
αλληλεπίδρασης οι δυνάμεις που ασκούν τα σmώAμ∆α∆τυαtΑμ=ετ−αmξύBτ∆ο∆υυtςBε⇒ίναmι σAτ∆αυθεΑρ=ές−. ΤmόBτ∆ε:υB
FAB =− FBA ⇒ =−mB ⇒ ⇒
mAaA aB
( )∆p A =−∆pΒ ⇒ p′A − p A =− pB′ − pB ⇒ p′A + pB′ =p A + pB ⇒ poλ,αρχική =poλ,τελική
Συνεπώς: «Αν σε ένα σύστημα σωμάτων δε δρουν εξωτερικές δυνάμεις ή, αν δρουν, έχουν συνισταμένη
μηδέν, τότε η συνολική ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή».
7η δραστηριότητα
Με τη συγκεκριμένη δραστηριότητα καλούνται οι μαθητές να επιβεβαιώσουν πως εκτός της κρού-
σης υπάρχουν και άλλα φαινόμενα στα οποία η ορμή διατηρείται, αρκεί η συνισταμένη των εξωτερι-
κών δυνάμεων στα εμπλεκόμενα στο φαινόμενο σώματα να ισούται με μηδέν.
Θα αναλυθεί το βίντεο «Explosion1.mp4» το οποίο μπορεί να ανακτηθεί από τo youtube στη
διεύθυνση: https://www.youtube.com/watch?v=OUpq5UAF6Ag. Στο βίντεο καταγράφεται η διάσπαση
(μέσω ενσωματωμένης διάταξης εκτόξευσης) ενός συστήματος δύο αμαξιδίων. Τα δύο αμαξίδια που
έχουν την ίδια μάζα των 500 g ήταν αρχικά ακίνητα και σε επαφή.
α. Μεταφορτώνουμε το βίντεο στον υπολογιστή. Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση του βίντεο, κα-
λούμε τους μαθητές να παρακολουθήσουν το βίντεο (από χρόνο 0:44 m:s μέχρι 1:22 m:s) και να απα-
ντήσουν στις εξής ερωτήσεις:
1. Ποιες δυνάμεις δρουν σε κάθε αμαξίδιο κατά τη διεύθυνση του άξονα y΄y;
2. Τι ισχύει για τη συνισταμένη των δυνάμεων στον y΄y άξονα και γιατί;
[39]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
3. Αντίστοιχα, τι ισχύει για τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται κατά τον x΄x άξονα;
β. Ανοίγουμε το αρχείο του βίντεο στο Tracker. Θα χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετες μονάδες μέτρησης
των αποστάσεων, των ταχυτήτων της και των ορμών και συνεπώς δε θα βαθμονομήσουμε το βίντεο.
γ. Με τη βοήθεια του εργαλείου «Ρυθμίσεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το καρέ 2037, τελικό
το καρέ 2060, και μέγεθος βήματος 1.
Εικόνα 32: Για την ιχνηλασία των αμαξιδίων
δ. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Σώμα Α» για την ιχνηλασία του αριστερού αμαξιδίου.
Με «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το ίχνος του υλικού σημείου στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ο-
ρίζουμε το πρότυπο ταύτισης όπως φαίνεται στην Εικόνα 32. Στο παράθυρο «Αυτόματο μαρκάρισμα»
επιλέγουμε «Έρευνα» και το Tracker ολοκληρώνει την αυτόματη ιχνηλασία του αριστερού αμαξιδίου.
ε. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε δεύτερο υλικό σημείο με το όνομα «Σώμα Β» και ολοκληρώνουμε
την ιχνηλασία και του δεξιού αμαξιδίου.
στ. Εμφανίζουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του Tracker και παραλληλίζουμε τον άξονα x΄x με τη
διεύθυνση κίνησης των αμαξιδίων.
ζ. Στο βίντεο δίνεται πως τα δύο αμαξίδια έχουν ίσες μάζες. Συνεπώς αν η ορμή κατά τη διάσπαση (έ-
κρηξη) διατηρείται, θα πρέπει μετά τη διάσπαση τα δύο αμαξίδια να έχουν ταχύτητες ίσου μέτρου και
με αντίθετες φορές. Λόγω του τρόπου με τον οποίο κινούνται τα αμαξίδια, οι αντίθετες φορές των τα-
χυτήτων μετά την κρούση είναι εξασφαλισμένες. Με το «Εργαλείο δεδομένων» θα προσδιορίσουμε τις
δύο ταχύτητες μετά την κρούση.
Εικόνα 33: Υπολογισμός ταχύτητας του αριστερού αμαξιδίου
[40]
Πειράματα Φυσικής (II)
Στη γραφική παράσταση x - t για το «Σώμα Α» θα επιλέξουμε ένα μικρό αριθμό σημείων (π.χ. 5) αμέ-
σως μετά τη διάσπαση και θα σχεδιάσουμε την ευθεία που προσεγγίζει καλύτερα τα σημεία αυτά (Ει-
κόνα 33). Από την κλίση της ευθείας αυτής προσδιορίζουμε την ταχύτητα του αμαξιδίου «Σώμα Α» με-
τά τη διάσπαση: υA = 113,1 a.µ.τ .
Με ανάλογο τρόπο υπολογίζεται και το μέυτρBο=τη1ς1τ3α, χ4ύτηaτ.αµς.ττ.ου δεύτερου αμαξιδίου. Προκύπτει:
Συνεπώς οι δυο ταχύτητες αποκλίνουν μόλις κατά 0,3%, γεγονός που επιβεβαιώνει την αρχή δια-
τήρησης της ορμής στο φαινόμενο. Στο ίδιο βίντεο και μεταξύ των καρέ 4500 – 4528 φαίνεται η διά-
σπαση ενός συστήματος αμαξιδίων διαφορετικής μάζας (1 kg το αριστερό και 0,5 kg το δεξιό). Θα μπο-
ρούσε να χρησιμοποιηθεί και αυτό το βίντεο κλιπ για ανάλυση και περαιτέρω επιβεβαίωση της ισχύος
της αρχής διατήρησης της ορμής.
[41]
Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές
1η δραστηριότητα
Σκοπός της πρώτης δραστηριότητας είναι να δείξουμε πως για αιωρήσεις μικρού πλάτους η περί-
οδος του απλού εκκρεμούς είναι σταθερή, ανεξάρτητη του πλάτους των αιωρήσεων και της μάζας του
σφαιριδίου του, ενώ εξαρτάται από το μήκος του. Θα αναλύσουμε διαφορετικά τμήματα από τα βίντεο
«The Pendulum and Galileo» και «The Pendulum Equation», που με τα κατάλληλα διαδικτυακά εργα-
λεία μπορείτε να μεταφορτώσετε από τις διευθύνσεις: https://www.youtube.com/watch?v=MpzaCCbX-
z4 και https://www.youtube.com/watch?v=bjbSO1cU4wU αντίστοιχα. Καθώς και τα δύο βίντεο είναι
σημαντικού μεγέθους, γεγονός που καθιστά εξαιρετικά δύσχρηστη τη διαχείρισή τους με το Tracker, θα
αποκόψουμε τα τμήματά τους που θέλουμε να αναλύσουμε και θα τα αποθηκεύσουμε ως ανεξάρτητα
βίντεο κλιπ. Για τη διαδικασία αυτή θα χρησιμοποιήσουμε το ελεύθερο λογισμικό Avidemux.
Τα τμήματα που θα αποκοπούν, είναι τα εξής:
• Από το βίντεο «The Pendulum and Galileo» από χρόνο 02:13.634 μέχρι χρόνο 02:50.003 (m:s)
• Από το βίντεο «The Pendulum Equation» από χρόνο 01:29.089 μέχρι χρόνο 01:47.847 (m:s)
• Από το βίντεο «The Pendulum and Galileo» από χρόνο 04:17.058 μέχρι χρόνο 05:16.450 (m:s)
ενώ τα αντίστοιχα βίντεο κλιπ αποθηκεύονται με τα ονόματα: «The Pendulum and Galileo-1.mp4»,
«The Pendulum Equation-1.mp4» και «The Pendulum and Galileo-2.mp4».
Στο πρώτο βίντεο κλιπ καταγράφονται οι αιωρήσεις δύο εκκρεμών ίδιου μήκους, ίδιας μάζας, αλλά δι-
αφορετικού πλάτους αιώρησης. Στο δεύτερο βίντεο κλιπ καταγράφονται οι ίδιου πλάτους αιωρήσεις
δύο εκκρεμών ίδιου μήκους αλλά διαφορετικής μάζας, και τέλος στο τρίτο βίντεο κλιπ καταγράφονται
οι αιωρήσεις τριών εκκρεμών ίδιας μάζας αλλά διαφορετικού μήκους.
Τα τρία βίντεο κλιπ μπορούν να αξιοποιηθούν και χωρίς χρήση του Tracker. Για παράδειγμα οι εκπαι-
δευτικοί στόχοι μπορούν ποιοτικά να επιβεβαιωθούν με απλή παρακολούθηση των συγκεκριμένων
βίντεο κλιπ, αλλά και ποσοτικά με την επιπλέον χρήση ενός χρονομέτρου. Η χρήση του Tracker προ-
σφέρει κάποια επιπλέον πλεονεκτήματα, όπως:
• Πολλαπλές αναπαραστάσεις, αφού μπορεί κάποιος να βλέπει την εξέλιξη του φαινομένου στην
οθόνη του υπολογιστή του και ταυτόχρονα να σχηματίζεται και η γραφική παράσταση της θέ-
σης του σφαιριδίου του εκκρεμούς σε συνάρτηση με το χρόνο.
• Εξοικείωση με τα περιοδικά φαινόμενα καθώς και με τα χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενα
φυσικά μεγέθη.
• Εξοικείωση με τη χρήση και τα εξελιγμένα χαρακτηριστικά του λογισμικού Tracker.
1. Διερεύνηση της σχέσης μεταξύ περιόδου και πλάτους αιώρησης του εκκρεμούς
α. Ανοίγουμε το αρχείο «The Pendulum and Galileo-1.mp4» στο Tracker.
β. Στα πρώτα καρέ του βίντεο έχουν σημειωθεί τα χαρακτηριστικά των δύο εκκρεμών (μήκος 60 cm και
μάζα 500 g και για τα δύο), καθώς και η μέγιστη γωνία εκτροπής από τη θέση ισορροπίας (25˚ για το
πρώτο-εκκρεμές Α και 10˚ για το δεύτερο-εκκρεμές Β).
γ. Ρυθμίζουμε το αρχικό και τελικό καρέ του βίντεο κλιπ στις τιμές 392 και 692 αντίστοιχα.
δ. Μεταφέρουμε την αρχή του εξ ορισμού συστήματος αξόνων του Tracker στο σταθερό σημείο ανάρ-
τησης του νήματος του πρώτου εκκρεμούς.
ε. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Εκκρεμές Α», και με το συνδυασμό πλήκτρων «Ctrl +
Shift + κλικ» δημιουργούμε το ίχνος του στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ρυθμίζουμε κατάλληλα το
πρότυπο ταύτισης για αυτό το υλικό σημείο (Εικόνα 34) και ολοκληρώνουμε τη διαδικασία της αυτόμα-
[42]
Πειράματα Φυσικής (II)
της ιχνηλασίας του. Στην οθόνη του υπολογιστή μας παρατηρούμε την πραγματική κίνηση του εκκρε-
μούς Α και ταυτόχρονα το σχηματισμό της ημιτονοειδούς καμπύλης που δείχνει τη μεταβολή της θέσης
του σφαιριδίου στον άξονα x’x σε συνάρτηση με το χρόνο.
Εικόνα 34: Ρύθμιση του προτύπου ταύτισης
στ. Μετά την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας, ανοίγουμε το «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker, όπου α-
πεικονίζεται η γραφική παράσταση της χρονικής μεταβολής της οριζόντιας ( x ) συντεταγμένης θέσης
του σφαιριδίου του εκκρεμούς Α. Μπορούμε βέβαια να αλλάξουμε το μέγεθος που θα εμφανίζεται στη
γραφική παράσταση, και π.χ. να εμφανίσουμε τη γωνία θr που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης του υλι-
κού σημείου με τον άξονα x’x (Εικόνα 35). Στην περίπτωση αυτή θα ήταν χρήσιμο να περιστρέψουμε το
σύστημα αξόνων, ώστε ο άξονας x’x να είναι κατακόρυφος και με θετικό προσανατολισμό προς τα κά-
τω. Στο μενού «Μέτρηση» του Εργαλείου δεδομένων τσεκάρουμε την επιλογή «Συντεταγμένες», έτσι
ώστε το λογισμικό να επιστρέφει τις συντεταγμένες των σημείων από τα οποία περνάει ο δρομέας
(σταυρόνημα), καθώς με τη βοήθεια του ποντικιού μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση στην
οθόνη του υπολογιστή.
Εικόνα 35: Το Εργαλείο δεδομένων (1η δραστηριότητα)
Τοποθετώντας το δρομέα στο πρώτο και έπειτα στο έκτο ελάχιστο της γραφικής παράστασης σημειώ-
[43]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
νουμε τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές:
t1 = 0, 73 s και t2 = 8, 71 s
και τελικά προσδιορίζουμε την περίοδο του εκκρεμούς (Taylor, 1997, σ. 68) ως:
=Τ Α t=2 − t1 1,596 s
5
Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε επιλέγοντας το δεύτερο και το έβδομο μέγιστο της καμπύλης.
ζ. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα (δ)-(στ) και για το δεύτερο εκκρεμές (υλικό σημείο «Εκκρεμές Β») που
έχει ίδιο μήκος με το πρώτο αλλά μικρότερη γωνία εκτροπής, και με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε την
περίοδό του:
ΤΒ = 1,588 s
Στο σημείο αυτό πρέπει να διερευνήσουμε αν η μικρή διαφορά στις τιμές των δύο περιόδων (ΔΤ=0,008
s) που υπολογίσαμε είναι στατιστικά σημαντική ή όχι. Το ελάχιστο χρονικό διάστημα που με τη μέθοδο
που περιγράψαμε μπορεί να μετρηθεί στο συγκεκριμένο βίντεο είναι ίσο με το χρονικό διάστημα μετα-
ξύ δύο διαδοχικών καρέ, δηλ. 0,033 s, αφού το εν λόγω βίντεο έχει ληφθεί με ρυθμό 29,97 καρέ ανά
δευτερόλεπτο. Συνεπώς το σφάλμα στη μέτρηση του χρόνου είναι ίσο με το μισό του ελάχιστου μετρή-
σιμου χρονικού διαστήματος:
σt = 0, 0167 s
Με βάση τη θεωρία διάδοσης των σφαλμάτων (Τρικαλινός, 2014, σ. 19), το σφάλμα στον υπολογισμό
της περιόδου είναι:
σΤ = ∂Τ 2 σ 2 + ∂Τ 2 σ 2 = 0, 005 s
∂t1 t ∂t2 t
Αυτό σημαίνει πως σε ποσοστό 68% η περίοδος του εκκρεμούς Α θα κυμαίνεται στην περιοχή: 1,591 s –
1,601 s, ενώ η περίοδος του εκκρεμούς Β θα κυμαίνεται στην περιοχή: 1,583 s – 1,593 s. Οριακά οι δύο
περιοχές επικαλύπτονται, γεγονός που μας επιτρέπει στα όρια του πειραματικού σφάλματος να
θεωρούμε πως τα δύο εκκρεμή έχουν την ίδια πρακτικά περίοδο. Βέβαια το γεγονός ότι επικαλύπτεται
το ανώτερο τμήμα της περιόδου ΤΒ με το κατώτερο τμήμα της ΤΑ υποκρύπτει το γεγονός της εξάρτησης
της περιόδου του απλού εκκρεμούς από το πλάτος της αιώρησης για μεγάλες γωνίες εκτροπής (όπως
είναι η μέγιστη γωνία εκτροπής του πρώτου εκκρεμούς στο συγκεκριμένο βίντεο). Με το συγκεκριμένο
βίντεο αυτή η εξάρτηση δε μπορεί να διερευνηθεί, αφού απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια στη μέτρηση
του χρόνου, δηλ. βίντεο που έχει ληφθεί με μεγαλύτερο ρυθμό καρέ ανά δευτερόλεπτο.
Είναι φανερό πως για τις ανάγκες διδασκαλίας στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση η παραπάνω δια-
δικασία δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Θα ήταν αρκετό στην περίπτωση αυτή να δώσουμε εξ αρχής
στους μαθητές ένα περιθώριο απόκλισης τιμών κάτω από το οποίο δύο οποιαδήποτε συγκρινόμενα
μεγέθη θα θεωρούνται ίσα. Για το συγκεκριμένο πείραμα αποκλίσεις στις τιμές των περιόδων μικρότε-
ρες του 1% μπορούμε να θεωρούμε πως σημαίνει ισότητα των συγκρινόμενων περιόδων.
2. Διερεύνηση της εξάρτησης της περιόδου του εκκρεμούς από τη μάζα του σφαιριδίου
α. Ανοίγουμε το αρχείο «The Pendulum Equation-1.mp4» στο Tracker.
β. Ρυθμίζουμε το αρχικό και τελικό καρέ του βίντεο κλιπ στις τιμές 235 και 560 αντίστοιχα.
γ. Μεταφέρουμε την αρχή του εξ ορισμού συστήματος αξόνων του Tracker στο σταθερό σημείο ανάρ-
τησης του νήματος του πρώτου εκκρεμούς και το περιστρέφουμε δεξιόστροφα κατά 90˚, ώστε ο άξονας
x’x να είναι κατακόρυφος και με θετικό προσανατολισμό προς τα κάτω.
δ. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Εκκρεμές Α» που αντιστοιχεί στο μικρότερης μάζας
εκκρεμές, και με το συνδυασμό πλήκτρων «Ctrl + Shift + κλικ» δημιουργούμε το ίχνος του στο πρώτο
καρέ του βίντεο κλιπ. Ρυθμίζουμε κατάλληλα το πρότυπο ταύτισης για αυτό το υλικό σημείο και ολο-
κληρώνουμε τη διαδικασία της αυτόματης ιχνηλασίας του. Στην οθόνη του υπολογιστή σχεδιάζεται ση-
[44]
Πειράματα Φυσικής (II)
μείο προς σημείο η ημιτονοειδής καμπύλη που δείχνει τη μεταβολή της θέσης του σφαιριδίου στον
άξονα x’x σε συνάρτηση με το χρόνο.
ε. Μετά την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας, στην περιοχή γραφικών παραστάσεων του Tracker επιλέγου-
με εμφάνιση της γωνίας θr που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου με τον άξονα x’x και
ανοίγουμε το «Εργαλείο δεδομένων»r, όπου απεικονίζεται η ίδια γραφική παράσταση, αλλά μας προ-
σφέρει επιπλέον δυνατότητες ανάλυσης. Στο μενού «Μέτρηση» του Εργαλείου δεδομένων τσεκάρουμε
την επιλογή «Συντεταγμένες», έτσι ώστε το λογισμικό να επιστρέφει τις συντεταγμένες των σημείων
από τα οποία περνάει ο δρομέας (σταυρόνημα), καθώς με τη βοήθεια του ποντικιού μετακινείται πάνω
στη γραφική παράσταση στην οθόνη του υπολογιστή. Τοποθετώντας το δρομέα στο πρώτο και έπειτα
στο έκτο ελάχιστο της γραφικής παράστασης σημειώνουμε τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές:
t1 = 0, 70 s και t2 = 9, 64 s
και τελικά προσδιορίζουμε την περίοδο του εκκρεμούς ως:
=Τ Α t=2 − t1 1, 788 s
5
στ. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα (γ) – (ε) και για το δεύτερο εκκρεμές (αυτό με τη μεγαλύτερη μάζα)
και υπολογίζουμε την περίοδο για το «Εκκρεμές Β»:
ΤΒ = 1, 796 s
Με βάση όσα αναφέρθηκαν και στο προηγούμενο πείραμα της δραστηριότητας είναι φανερό πως οι
αποκλίσεις στις δύο περιόδους είναι εντός των ορίων του πειραματικού σφάλματος, γεγονός που μας
επιτρέπει να τις θεωρούμε πρακτικά ίσες, δηλ. μπορούμε να πούμε πως η περίοδος του απλού εκκρε-
μούς είναι ανεξάρτητη της μάζας του σφαιριδίου. Η ακρίβεια της μεθόδου επηρεάζεται βέβαια και
από τις όποιες μικροδιαφορές στο μήκος των δύο εκκρεμών.
Προεκτάσεις
1. Στην Εικόνα 36 έχουν σχεδιαστεί στο «Εργαλείο δεδομένων» και ίδιο σύστημα αξόνων οι γραφικές
παραστάσεις της γωνιακής θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο για τα δύο εκκρεμή.
Εικόνα 36: Γραφικές παραστάσεις θ - t για τα δύο εκκρεμή
[45]
Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
Με τους κόκκινους κύκλους σχεδιάστηκε η γραφική παράσταση για το «Εκκρεμές Α» (αυτό με τη μικρό-
τερη μάζα), ενώ τα μπλε τετράγωνα αντιστοιχούν στη γραφική παράσταση για το «Εκκρεμές Β» (αυτό
με τη μεγαλύτερη μάζα). Η σύμπτωση των δύο γραφικών παραστάσεων επιβεβαιώνει την ισότητα των
περιόδων. Επιπλέον μπορούμε να παρατηρήσουμε λεπτομερέστερα πώς μεταβάλλεται το πλάτος των
αιωρήσεων των δύο εκκρεμών, και να υπολογίσουμε τη σχετική μείωση του πλάτους μεταξύ του πρώ-
του και του έβδομου μεγίστου κάθε γραφικής παράστασης. Θα χρησιμοποιήσουμε για το σκοπό αυτό
τη δυνατότητα απεικόνισης των συντεταγμένων κάθε σημείου της γραφικής παράστασης που μέσω
του μενού «Μετρήσεις – Συντεταγμένες» διαθέτει το «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker. Προκύπτει
πως για το εκκρεμές μικρότερης μάζας το πλάτος των αιωρήσεων μειώθηκε κατά περίπου 11% μεταξύ
του 1ου και 7ου μεγίστου ή μεταξύ των χρονικών στιγμών 1,6 s και 10,5 s. Στο ίδιο χρονικό διάστημα η
αντίστοιχη μείωση του πλάτους των αιωρήσεων του εκκρεμούς με τη μεγαλύτερη μάζα ήταν περίπου
7,4%. Η μικρότερη μάζα (συνεπώς και αδράνεια) που έχει το εκκρεμές Α σημαίνει πως μπορεί να υπο-
στεί μεγαλύτερες μεταβολές στην ταχύτητά του (άρα και στο πλάτος των αιωρήσεων) σε σχέση με το
μεγαλύτερης μάζας εκκρεμές Β, παρότι του ασκούνται μικρότερες δυνάμεις απόσβεσης.
2. Στον Εικόνα 37 στο «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker φαίνεται η γραφική παράσταση της γωνιακής
θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το εκκρεμές Β. Επιπλέον έχει σχεδιαστεί η καλύτερη ημιτονοειδής
καμπύλη προσέγγισης των πειραματικών δεδομένων.
Εικόνα 37: Καλύτερη καμπύλη προσέγγισης
Αυτό μας προσφέρει έναν επιπλέον τρόπο υπολογισμού της περιόδου της κίνησης του εκκρεμούς, α-
φού η σταθερά Β στη συνάρτηση «Α*sin(B*t+C)» της καμπύλης προσέγγισης είναι η κυκλική συχνότητα
ω της κίνησης. Οπότε:
ω = 3,502 rad / s ⇒ T = 2π = 2π s ⇒ T = 1, 794 s
ω 3,502
σε πολύ καλή συμφωνία με την τιμή που έχουμε ήδη υπολογίσει.
Να σημειώσουμε πως ο προσδιορισμός της καλύτερης ημιτονοειδούς καμπύλης προσέγγισης α-
παιτεί να δοθούν σε δύο τουλάχιστον από τρεις μεταβλητές Α, Β και C κάποιες αρχικές τιμές εκκίνη-
σης, ώστε στη συνέχεια ο σχετικός αλγόριθμος να προσδιορίσει τις ακριβείς τους τιμές. Ευτυχώς η ίδια
η γραφική παράσταση μας προσφέρει τις τιμές εκκίνησης. Για παράδειγμα η σταθερά Α (πλάτος της
[46]
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Πειράματα Φυσικής με χρήση του λογιμικού Tracker, απο τον Βασίλη Νούση
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search