Tracker: Λογισμικό Ανάλυσης Video

Πειράματα Φυσικής (II)

αιώρησης) θα έχει τιμή περίπου ίση με τη μέγιστη τιμή της γωνιακής θέσης του εκκρεμούς, ενώ η στα-
θερά Β είναι η κυκλική συχνότητα της κίνησης, και μια πρώτη εκτίμηση της τιμής της μπορεί να προκύ-
ψει από την τιμή της περιόδου που υπολογίσαμε με τον πρώτο τρόπο επεξεργασίας των πειραματικών
δεδομένων.
3. Εξάρτηση της περιόδου από το μήκος του εκκρεμούς

Ανοίγουμε το αρχείο «The Pendulum and Galileo-2.mp4» στο Tracker. Στα πρώτα καρέ του βίντεο
έχουν σημειωθεί από το δημιουργό του βίντεο τα χαρακτηριστικά των δύο εκκρεμών: μάζα 500 g και
μέγιστη γωνία εκτροπής 25˚ και για τα δύο εκκρεμή, ενώ τα μήκη τους έχουν σημειωθεί ως 80 cm και
60 cm αντίστοιχα. Στο καρέ 220 όπου φαίνονται τα δύο εκκρεμή δημιουργούμε μια ράβδο βαθμονό-
μησης της οποίας το ένα άκρο το τοποθετούμε στο σημείο ανάρτησης του εκκρεμούς με το μικρότερο
μήκος, και το άλλο άκρο στο κέντρο μάζας του αντίστοιχου σφαιριδίου, ενώ στο αντίστοιχο πλαίσιο
σημειώνουμε την τιμή του μήκους που δίνει ο δημιουργός του βίντεο, δηλ. 60 cm. Δημιουργούμε επι-
πλέον ένα όργανο μέτρησης τύπου «χάρακας» και με τη βοήθειά του μετράμε το μήκος του άλλου εκ-
κρεμούς (από το σημείο ανάρτησης μέχρι το κέντρο μάζας του αντίστοιχου σφαιριδίου). Ο χάρακας
επιστρέφει το μήκος του εκκρεμούς ως: 85,73 cm (Εικόνα 38).

Εικόνα 38: Τα μήκη των δύο εκκρεμών
Παρατηρούμε δηλ. ότι υπάρχει μια απόκλιση σε σχέση με τις τιμές που δίνει ο δημιουργός του βί-
ντεο. Για να διευκρινίσουμε ποια από τις δύο εκτιμήσεις μήκους είναι ορθή, μετράμε με τη βοήθεια
του «χάρακα» τη διάμετρο των δύο σφαιρών. Και στις δύο περιπτώσεις βρίσκουμε την ίδια τιμή περί-
που 10 cm (για την ακρίβεια 9,97 cm). Συνεπώς θεωρούμε ορθή την εκτίμηση μήκους που κάναμε με
χρήση των δυνατοτήτων του Tracker, δηλ. το μικρότερου μήκους εκκρεμές θεωρούμε πως έχει μήκος LA
= 60 cm και το άλλο LΒ = 85,7 cm. Βέβαια αυτή η εκτίμηση των μηκών βασίζεται στη μη επιβεβαιωμένη
υπόθεση πως για το μικρότερου μήκους εκκρεμές ο δημιουργός του βίντεο δίνει το ορθό μήκος. Στην
ανάλυση όμως των πειραματικών δεδομένων που θα ακολουθήσει δε θα χρειαστούμε το ακριβές μή-

[47]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

κος κάθε εκκρεμούς αλλά το λόγο των δύο μηκών, ο οποίος θα έχει την ίδια τιμή εφόσον χρησιμοποιεί-
ται ενιαίος τρόπος μέτρησης και για τα δύο μήκη. Για τη λήψη και επεξεργασία των πειραματικών δε-
δομένων ακολουθείται η διαδικασία:

α. Ρυθμίζουμε το αρχικό και τελικό καρέ του βίντεο κλιπ στις τιμές 632 και 780 αντίστοιχα. Στο τμήμα
αυτό του βίντεο περιλαμβάνονται τρεις πλήρεις ταλαντώσεις του εκκρεμούς με μήκος LA = 60 cm.

β. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Εκκρεμές Α», και με το συνδυασμό πλήκτρων «Ctrl +
Shift + κλικ» δημιουργούμε το ίχνος του στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ. Ρυθμίζουμε κατάλληλα το
πρότυπο ταύτισης για αυτό το υλικό και ολοκληρώνουμε τη διαδικασία της αυτόματης ιχνηλασίας του.
Στην οθόνη του υπολογιστή σχεδιάζεται σημείο προς σημείο η ημιτονοειδής καμπύλη που δείχνει τη
μεταβολή της θέσης του σφαιριδίου στον άξονα x’x σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ. Με τη μέθοδο που περιγράψαμε στα δύο προηγούμενα πειράματα προσδιορίζουμε την περίοδο του
εκκρεμούς. Προκύπτει:

TA = 1,590 s

ε. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για το δεύτερο εκκρεμές μήκους LB = 85,7 cm (Εκκρεμές Β), ι-
χνηλατώντας τα καρέ από 799 μέχρι 974. Η περίοδος του εκκρεμούς υπολογίζεται ως:

TB = 1,890 s

στ. Υπολογίζουμε στη συνέχεια το λόγο των περιόδων και το λόγο των μηκών των δύο εκκρεμών:

=TA 1=,590 0,841,=LA 6=0, 0 0, 700 και LA = 0,837
TB 1,890 LB 85, 7 LB

Δηλαδή με απόκλιση μικρότερη του 0,5% μπορούμε να ισχυριστούμε πως για το απλό εκκρεμές:

Τ Α = LA
Τ Β LB

Μεταξύ των καρέ 980 και 1130 καταγράφεται η ταλάντωση ενός ακόμη εκκρεμούς, του οποίου με τη
βοήθεια ενός «χάρακα» του Tracker (Εικόνα 39) μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος ως LC = 40,8 cm.

Εικόνα 39: Εκκρεμές μήκος 40,8 cm

Μετά την ιχνηλασία του τρίτου εκκρεμούς, μπορούμε να προσδιορίσουμε την περίοδό του ως:

ΤC = 1,323 s

Το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώνει (λαμβανομένου πάντα υπόψη του πειραματικού σφάλματος) πως η
περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του μήκους του εκκρεμούς, α-
φού:

[48]

Πειράματα Φυσικής (II)

=Τ Α 1=,590 1, 202 και=LΑ =60, 0 1, 213
ΤC 1,323 LC 40,8

2η δραστηριότητα

Σκοπός της δεύτερης δραστηριότητας είναι να προσδιορίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας σε
κάποιο τόπο με τη βοήθεια ενός απλού εκκρεμούς. Πρόκειται δηλ. για την επανάληψη ενός πολύ γνω-
στού πειράματος αλλά πλέον με τη βοήθεια του Tracker.

Θεωρητικό υπόβαθρο

Η εξάρτηση της περιόδου του απλού εκκρεμούς από το μήκος του και την επιτάχυνση της βαρύτη-
τας μαθηματικά εκφράζεται με την εξίσωση:

T = 2π L (5.1)
g

Η ισχύς της εξίσωσης (5.1) περιορίζεται στην περίπτωση μικρών γωνιών εκτροπής. Για μεγαλύτερες γω-
νίες εκτροπής η περίοδος υπολογίζεται (Kidd & Fogg, 2002) ως:

T=′ 2π L 1 + 1 θ 2 + 11 θ 4 + ... (5.2)
g 16 3072

Για γωνίες εκτροπής μέχρι 10˚ ( θ  0,175 rad ) η σχετική απόκλιση στην τιμή της περιόδου, όπως υπο-

λογίζεται από τις εξισώσεις (5.1) και (5.2), δεν ξεπερνά το 0,2%, ενώ μόλις που αγγίζει το 1% στην περί-
πτωση που η γωνία εκτροπής γίνει 23˚ ( θ  0, 4 rad ).

Αναδιατάσσοντας την εξ. (5.1) ως:

 4π 2 
 g 
T 2 =   L (5.3)

προκύπτει πως μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας από την κλίση της γραφικής
παράστασης Τ2 = f(L).

Πειραματική διαδικασία - Επεξεργασία μετρήσεων

Θα αναλύσουμε τμήματα του βίντεο «Motion of a pendulum: Observational experiment 1», το
οποίο μπορείτε να ανακτήσετε από τη διεύθυνση https://www.youtube.com/watch?v=PcnZKDNRjYQ.
Στο βίντεο που είναι δημιουργία του David Brookes και της Eugene Etkina καταγράφονται οι αιωρήσεις
ενός απλού εκκρεμούς σε πέντε περιπτώσεις με διαφορετικά μήκη.

α. Σε συγκεκριμένα καρέ του βίντεο (Εικόνα 40) με τη βοήθεια του χάρακα που φαίνεται δίπλα στο
σφαιρίδιο μπορούμε να καταγράψουμε το μήκος του εκκρεμούς. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον
Πίνακα 5 που ακολουθεί:

Πίνακας 5: Μήκος εκκρεμούς

α/α Καρέ Μήκος L (cm)

1 142 69,0

2 677 57,3

3 1377 44,3

4 1890 31,6

5 2370 18,7

β. Περιστρέφουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του Tracker δεξιόστροφα κατά 90˚, έτσι ώστε ο άξο-

[49]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
νας x’x να γίνει κατακόρυφος και με θετική φορά προς τα κάτω.

Εικόνα 40: Καταγραφή μήκους εκκρεμούς
γ. Ρυθμίζουμε το αρχικό και τελικό καρέ του βίντεο κλιπ στις τιμές 212 και 514 αντίστοιχα. Μεταφέ-
ρουμε την αρχή του συστήματος συντεταγμένων στο σταθερό σημείο ανάρτησης του νήματος του εκ-
κρεμούς. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο για την ιχνηλασία του σφαιριδίου του εκκρεμούς, ρυθμίζου-
με κατάλληλα το πρότυπο ταύτισης στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ και ολοκληρώνουμε την αυτόματη
ιχνηλασία (Εικόνα 41).

Εικόνα 41: Αποτελέσματα ιχνηλασίας
[50]

Πειράματα Φυσικής (II)

Από τον πίνακα μετρήσεων που αυτόματα έχει συμπληρώσει το Tracker σημειώνουμε τη μέγιστη γωνία
εκτροπής του εκκρεμούς, ενώ με το «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker (Εικόνα 42) και εφαρμόζοντας
κάποια από τις διαδικασίες που περιγράψαμε στην πρώτη δραστηριότητα προσδιορίζουμε την περίοδο
των αιωρήσεων.

Εικόνα 42: Υπολογισμός περιόδου του απλού εκκρεμούς

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις των αιωρήσεων του εκκρε-
μούς. Οι απαιτούμενες ρυθμίσεις για την ιχνηλασία, τα αποτελέσματα και η επεξεργασία των μετρή-
σεων φαίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 6:

Πίνακας 6: Ρυθμίσεις ιχνηλασίας και αποτελέσματα

α/α Αρχικό Τελικό Μήκος εκκρεμούς Πλάτος αιωρήσεων Περίοδος Τ2(s2)
καρέ καρέ L (m) ( ˚θ ) Τ(s) 2,782224

1 212 514 0,690 15,8 1,668

2 773 1036 0,573 18,9 1,528 2,334784

3 1424 1662 0,443 24,0 1,348 1,817104

4 1946 2155 0,316 24,8 1,142 1,304164

5 2403 2563 0,187 24,7 0,882 0,777924

Προσοχή πρέπει να δοθεί στην τοποθέτηση της αρχής του συστήματος συντεταγμένων: χρειάζεται η
κατάλληλη μετατόπιση σε κάθε διαφορετική περίπτωση ταλάντωσης του εκκρεμούς.

Θα σχεδιάσουμε στη συνέχεια με τη βοήθεια του Excel τη γραφική παράσταση Τ2 = f(L), καθώς και
την καλύτερη ευθεία προσέγγισης στα πειραματικά δεδομένα (Εικόνα 43), για τη σωστή χάραξη της
οποίας λάβαμε υπόψη τη θεωρητική απαίτηση ότι η ευθεία πρέπει να διέρχεται από την αρχή των αξό-
νων. Μέσω της συνάρτησης LINEST το Excel επιστρέφει την κλίση της γραφικής παράστασης, το σφάλ-
μα κατά τον υπολογισμό της κλίσης και διάφορα άλλα στατιστικά στοιχεία από τη διαδικασία προσδιο-
ρισμού της καλύτερης ευθείας προσέγγισης των πειραματικών δεδομένων. Για την κλίση προκύπτει:

=λ 4, 069 ± 0, 018 (S.I.) (5.4)

[51]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

με συντελεστή συσχέτισης (που αποτελεί και μέτρο της ποιότητας της προσέγγισης): R2 = 0,999921.T2 (s2)

Τ2 = f ( L )

3
y = 4,0688x

2,5

2

1,5
Πειραματικά δεδομένα

1 Καλύτερη ευθεία

0,5

0
0 0,2 0,4 0,6 0,8
L (m)

Εικόνα 43: Γραφική παράσταση Τ2=f(L)

Από την κλίση που υπολογίσαμε και την εξίσωση (5.3) μπορούμε τελικά να υπολογίσουμε την τιμή της
επιτάχυνσης της βαρύτητας στον τόπο που καταγράφηκε σε βίντεο το πείραμα:

g= 4π 2 ⇒ g= 9, 70 m / s2
λ

ενώ -με βάση τη θεωρία διάδοσης των σφαλμάτων- το πειραματικό σφάλμα κατά τον υπολογισμό της
επιτάχυνσης της βαρύτητας υπολογίζεται ως:

=σ g  ∂∂λg=2 σ λ2  4λπ=22 σ λ =λg σ λ 0, 04 m / s2
 


Ας σημειωθεί εδώ πως το σφάλμα αφορά μόνο στη διαδικασία προσδιορισμού της καλύτερης ευθείας
(μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων) και δε συνυπολογίζει άλλους παράγοντες όπως για παράδειγμα τη
διάδοση σφαλμάτων λόγω της αβεβαιότητας κατά τη μέτρηση του μήκους και της περιόδου. Αναμένε-
ται συνεπώς το συνολικό σφάλμα στον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας να είναι μεγαλύ-
τερο από 0,04 m/s2.

Διαφορετικοί τρόποι επεξεργασίας των δεδομένων - Συμπεράσματα

Όπως ήδη αναφέραμε, για τη σωστή χάραξη της καλύτερης ευθείας προσέγγισης στα πειραματικά
δεδομένα, λάβαμε υπόψη τη θεωρητική απαίτηση πως η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Η
συνήθης αντιμετώπιση είναι πως λόγω των πειραματικών σφαλμάτων η ευθεία γενικά δε θα διέρχεται
από την αρχή των αξόνων. Ακολουθώντας αυτή τη διαδικασία στο Excel (Εικόνα 44) η κλίση της γραφι-
κής παράστασης υπολογίζεται ως:

=λ 3,99 ± 0, 03 (S.I.)

Η αντίστοιχη τιμή για την επιτάχυνση της βαρύτητας προκύπτει:

=g (9,89 ± 0, 07) m / s2

Στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής συσχέτισης έχει ελαφρά μικρότερη τιμή R2=0,999859, ενώ το
σφάλμα στον υπολογισμό της κλίσης είναι τώρα λίγο μεγαλύτερο. Όλα αυτά σημαίνουν ότι πρέπει να
διερευνήσουμε περισσότερο την υπόθεση ότι στην περίπτωση που συζητάμε είναι ορθότερο να θεω-
ρήσουμε πως η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων στη γραφική παράσταση Τ2 = f(L) οφείλει να διέρχεται

[52]

Πειράματα Φυσικής (II)

από την αρχή των αξόνων.

Τ2 = f ( L )

3 y = 3,9906x + 0,0402
2,5
T2 (s2) Πειραματικά δεδομένα
2 Καλύτερη ευθεία
1,5
0,2 0,4 0,6 0,8
1 L (m)
0,5

0
0

Εικόνα 44: Όταν η καλύτερη ευθεία προσέγγισης δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων

Η ποιοτική μελέτη του φαινομένου ενισχύει αυτή την υπόθεση, αφού οι δυνάμεις αντίστασης του αέρα
που δρουν στο αιωρούμενο σφαιρίδιο του εκκρεμούς επιβραδύνουν την κίνησή του, με αποτέλεσμα η
μετρούμενη περίοδος να είναι ελαφρά μεγαλύτερη της θεωρητικής, και συνεπώς η υπολογιζόμενη επι-
τάχυνση της βαρύτητας θα πρέπει να έχει τιμή μικρότερη και όχι μεγαλύτερη από τα 9,8 m/s2 που θε-
ωρούμε ως την (περίπου) τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας στον τόπο διεξαγωγής του πειράματος.

Το ποιοτικό αυτό συμπέρασμα επιβεβαιώνεται και από μια ανεξάρτητη διαδικασία επεξεργασίας
των πειραματικών δεδομένων, η οποία έχει ως εξής: Για κάθε μία μέτρηση περιόδου (για τα διάφορου
μήκους εκκρεμή) θα υπολογίσουμε μια τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας και τελικά θα υπολογί-
σουμε τη μέση τιμή και την αβεβαιότητά της για τις πέντε συνολικά μετρήσεις.

Πίνακας 7: Ανεξάρτητος τρόπος επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων

α/α L (m) σL (m) Τ(s) σΤ (s) g (m/s2) σg (m/s2)

1 0,690 0,001 1,668 0,005 9,79 0,274

2 0,573 0,001 1,528 0,005 9,69 0,296

3 0,443 0,001 1,348 0,005 9,62 0,334

4 0,316 0,001 1,142 0,005 9,57 0,392

5 0,187 0,001 0,882 0,005 9,49 0,505

Η αβεβαιότητα σL στη μέτρηση του μήκους του εκκρεμούς θεωρήθηκε ίση με 1 mm σε όλες τις περι-
πτώσεις. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση του χρόνου θεωρήθηκε ίση με το μισό της ελάχιστης μέτρησης
που μπορεί να επιτευχθεί με τη μέθοδο, δηλ. ίση με το μισό του χρονικού διαστήματος ανάμεσα σε
δυο διαδοχικά καρέ:

=σ t 0=, 033 0, 016 s
2

Η περίοδος και η αβεβαιότητά της υπολογίστηκαν ως:

T = t2 − t1 και σT =  ∂T 2 σ2 +  ∂T 2 σ2 = 2 σ t
5  ∂t1  t1  ∂t2  t2 5
   

[53]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Τέλος η επιτάχυνση της βαρύτητας και η αβεβαιότητά της σε κάθε περίπτωση υπολογίστηκαν ως:

g = 4π 2 =L και σ g  ∂g 2 σ 2 +  ∂g 2 σ 2
T 2  ∂L  L  ∂T  T

Επειδή κάθε τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας που υπολογίσαμε έχει διαφορετική αβεβαιότητα, οι

τελικοί υπολογισμοί πρέπει να γίνουν με τη μέθοδο των σταθμισμένων μέσων τιμών (Taylor, 1997, σ.

174; Καμαράτος, 2012, σ. 44). Το στατιστικό βάρος κάθε μέτρησης, η καλύτερη τιμή της επιτάχυνσης

της βαρύτητας και η αβεβαιότητα στην τιμή της θα υπολογιστούν ως:

1 ∑Wi gi  −1 2
σ2 ∑, g = i  
Wi = ∑καισg = Wi
gi Wi
i
i

Τελικά προκύπτει:

=g (9, 67 ± 0, 03) m / s2

Το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώνει πως ο σωστός τρόπος προσδιορισμού της καλύτερης ευθείας προ-
σαρμογής στα πειραματικά δεδομένα είναι αυτός που ικανοποιεί τη θεωρητική απαίτηση να διέρχεται
η ευθεία από την αρχή των αξόνων. Ας σημειωθεί πως στην τελευταία περίπτωση το σφάλμα αναφέρε-
ται μόνο στην επίδραση της αβεβαιότητας των πρωτογενών μετρήσεων μήκους και χρόνου στην όλη
διαδικασία. Η χρήση πιο εξειδικευμένων εργαλείων, όπως π.χ. το OriginLab μας επιτρέπει αφενός να
σχεδιάσουμε την καλύτερη ευθεία προσαρμογής χρησιμοποιώντας τις μπάρες σφάλματος, και αφετέ-
ρου να εφαρμόσουμε τη θεωρία ελαχίστων τετραγώνων συνυπολογίζοντας και τις τιμές του πειραματι-
κού σφάλματος στον y’y άξονα (ή και τους δύο άξονες) (Εικόνα 45).

T2 = f (L)
3,0 Καλύτερη ευθεία

T2 (s2) 2,5

2,0

1,5

Equation y = a + b*x

1,0 Intercept 0

Slope 4,08117 ± 0,06343

Pearson's r 0,99995

0,5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0,1
L (m)

Εικόνα 45: Επεξεργασία δεδομένων με το OriginLab

Στην περίπτωση αυτή για την κλίση προκύπτει: (5.5)

=λ 4, 08 ± 0, 06 (S.I.)

και για την επιτάχυνση της βαρύτητας:

=g (9, 67 ± 0,15) m / s2

Με βάση όλα όσα αναφέραμε, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως για τα πειραματικά δεδομένα

[54]

Πειράματα Φυσικής (II)

που πήραμε η εξίσωση (5.5) δίνει την καλύτερη προσέγγιση για την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτη-

τας. Είναι φανερό πως η περιοχή στην οποία κυμαίνεται η πειραματικά υπολογισμένη τιμή της επιτά-
χυνσης της βαρύτητας (9,52 – 9,82 m/s2) οριακά προσεγγίζει τη θεωρητική τιμή αλλά με εντελώς ασύμ-

μετρο τρόπο. Η απόκλιση αυτή μπορεί να οφείλεται στην επίδραση της αντίστασης του αέρα, αλλά και

στο γεγονός ότι, όπως μαρτυρούν τα πειραματικά δεδομένα που λάβαμε, η μέγιστη γωνία εκτροπής

του εκκρεμούς δεν ικανοποιεί τον περιορισμό μικρών γωνιών. Δηλ. ενώ στην πραγματικότητα «μετρά-

με» την περίοδο T’ όπως δίνεται από την εξίσωση (5.2), για την επεξεργασία των δεδομένων χρησιμο-

ποιούμε την εξίσωση (5.1) που δίνει την περίοδο Τ στην περίπτωση της προσέγγισης μικρών γωνιών.

Θέτοντας:

κ =1 + 1 θ 2 + 11 θ 4 + ... για τις περιόδους T’ και Τ προκύπτει: T ′= κ ⋅T ή T = T′
16 3072 κ

Με βάση τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον Πίνακα 8:

Πίνακας 8: Διορθώσεις λόγω προσέγγισης μικρών γωνιών

Πλάτος Συντελεστής Μήκος Περίοδος Διορθωμένη Τ2(s2)
α/α αιωρήσεων διόρθωσης εκκρεμούς Τ‘ (s) περίοδος
Τ (s) 2,754604
( ˚θ ) κ L (m) 2,302503

1 15,8 1,005 0,69 1,668 1,6597

2 18,9 1,007 0,573 1,528 1,5174

3 24,0 1,011 0,443 1,348 1,3333 1,777689
4 24,8 1,012 0,316 1,142 1,1285 1,273512

5 24,7 1,012 0,187 0,882 0,8715 0,759512

και στη συνέχεια στο OriginLab σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση Τ2 = f(L) με βάση τις διορθωμένες
τιμές της περιόδου (Εικόνα 46).

T2 = f (L)
3,0 Καλύτερη ευθεία

T2 (s2) 2,5

2,0

1,5

Equation y = a + b*x

1,0 Intercept 0

Slope 4,01422 ± 0,06343

Pearson's r 0,99999

0,5
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

L (m)

Εικόνα 46: Γραφική παράσταση μετά τη διόρθωση μικρών γωνιών

Τα αποτελέσματα στην περίπτωση αυτή είναι:

=λ (4, 01± 0, 06) (S.I.) κα=ι g (9,84 ± 0,15) m / s2

[55]

Ομαλή κυκλική κίνηση

Το βίντεο που πρόκειται να αναλύσουμε είναι διαθέσιμο για μεταφόρτωση μέσω του συνδέσμου:
https://drive.google.com/open?id=1OdpKx-4zS1Djba6Mu_BKqUoO5FPqOS6s. Στο βίντεο έχει καταγρα-
φεί στα 50 καρέ ανά δευτερόλεπτο η περιστροφή ενός δίσκου 78 στροφών. Πάνω στο δίσκο των 78
στροφών -που έχει διάμετρο δ = 30,1 cm- έχουμε κολλήσει ένα ίδιας διαμέτρου χάρτινο δίσκο κίτρινου
χρώματος, και το σύστημα περιστρέφεται πάνω σε πικάπ στις 33 στροφές ανά λεπτό περίπου, δηλ. με
συχνότητα περιστροφής f = 0,55 Hz. Στο χάρτινο δίσκο και κατά μήκος μιας ακτίνας του έχουν σχεδια-
σθεί πέντε μικροί μαύροι κύκλοι των οποίων την κίνηση θα αναλύσουμε. Οι κύκλοι αριθμούνται ως 1,
2,…,5 από την περιφέρεια προς το κέντρο των δίσκων. Αφού ανοίξουμε στο Tracker το αποθηκευμένο
στον υπολογιστή μας αρχείο βίντεο: δημιουργούμε μια «ράβδο βαθμονόμησης», τοποθετούμε τα άκρα
της σε αντιδιαμετρικά σημεία του δίσκου, εισάγουμε στο αντίστοιχο πλαίσιο κειμένου την τιμή 30,1
και επιλέγουμε ως μονάδα μέτρησης μήκους τα εκατοστά (cm). Στη συνέχεια με το εργαλείο «Ρυθμί-
σεις βίντεο κλιπ» ορίζουμε ως αρχικό καρέ το 0 και τελικό το 92, ώστε να συμπεριλάβουμε στην ανά-
λυση κάτι παραπάνω από μια πλήρη περιστροφή. Το Tracker αυτόματα προσδιορίζει το ρυθμό εναλλα-
γής των καρέ στην ορθή τιμή των 50 καρέ ανά δευτερόλεπτο. Στη γραμμή εργαλείων του Tracker κά-
νουμε κλικ στο εικονίδιο του εργαλείου «Καθορισμός μήκους σειράς ιχνών» και τσεκάρουμε την επιλο-
γή «Όλα τα ίχνη». Τέλος μεταφέρουμε την αρχή του εξ ορισμού συστήματος αξόνων πάνω στον άξονα
περιστροφής των δύο δίσκων.

α. Η τροχιά που διαγράφει ένα σημείο του δίσκου είναι κυκλική

Θα εξετάσουμε πρώτα το είδος της τροχιάς του υπ’ αριθμόν 1 (του πιο εξωτερικού) μαύρου κύ-
κλου. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «1», και μετά σημειώνουμε το ίχνος του στο πρώτο
καρέ του βίντεο κλιπ με το συνδυασμό πλήκτρων «Ctrl+Shift+κλικ» (δηλώνοντας ταυτόχρονα την πρό-
θεσή μας για αυτόματη ιχνηλασία), ενώ ρυθμίζουμε κατάλληλα (Εικόνα 47) και το πρότυπο ταύτισης.

Εικόνα 47: Πρότυπο ταύτισης για την ιχνηλασία στο Tracker

Μετά επιλέγουμε «Έρευνα» στο ήδη ανοιχτό παράθυρο του αυτόματου ιχνηλάτη. Αν η περιοχή έρευ-
νας για το πρότυπο ταύτισης επιλεγεί πολύ μεγάλη, είναι πιθανά λάθη στην ταύτιση και ίσως χρειαστεί
σε κάποια καρέ και η χειροκίνητη ταύτιση. Τελειώνοντας η ιχνηλασία μέσω του αντίστοιχου εργαλείου
επιλέγουμε την απόκρυψη της αρίθμησης.

Αφού δημιουργήσουμε άλλα τέσσερα υλικά σημεία με ονόματα αντίστοιχα «2», «3», «4» και «5»
και διαφορετικά χρώματα, επαναλαμβάνουμε και γι’ αυτά τη διαδικασία της αυτόματης ιχνηλασίας.
Παρακολουθώντας οι μαθητές την εξέλιξη του φαινομένου (Εικόνα 48) στην οθόνη του υπολογιστή,
εύκολα μπορούν να οδηγηθούν στην υπόθεση ότι η τροχιά είναι κυκλική και επιπλέον ότι το μέτρο της
ταχύτητας είναι σταθερό, αφού τα ίχνη από καρέ σε καρέ φαίνεται να ισαπέχουν μεταξύ τους.

[56]

Πειράματα Φυσικής (II)

Εικόνα 48: Λεπτομέρεια της ιχνηλασίας

Εικόνα 49: Η τροχιά των υλικών σημείων είναι κυκλική

β. Προσδιορισμός της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς κάθε υλικού σημείου

Χρησιμοποιώντας το εργαλείο «Προσαρμογέας κύκλου» που εμφανίστηκε στις τελευταίες εκδό-
σεις του Tracker μπορούμε αφενός να επιβεβαιώσουμε ότι η τροχιά κάθε υλικού σημείου είναι κυκλική
και επιπλέον να προσδιορίσουμε την ακτίνα της. Η διαδικασία έχει ως εξής: Δημιουργούμε ένα «Προ-
σαρμογέα κύκλου» με το όνομα «c.1», χρώματος μπλε και επιλέγουμε το «Ίχνος» του ως «έντονα μικρά
σημεία». Για να δημιουργηθεί ένας κύκλος απαιτούνται τουλάχιστον τρία διαφορετικά σημεία δεδομέ-
νων. Με «Shift + κλικ» σημειώνουμε τρία διαφορετικά ίχνη του υλικού σημείου «1» και το Tracker αυ-

[57]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

τόματα δημιουργεί τον κύκλο που διέρχεται από αυτά τα σημεία, σημειώνει το κέντρο του στα καρέ
του βίντεο κλιπ, και στον πίνακα δεδομένων επιστρέφει την ακτίνα του.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για τα άλλα υλικά σημεία (Εικόνα 49) και παρατηρούμε την
πάρα πολύ καλή προσαρμογή των πέντε κύκλων στις θέσεις των αντίστοιχων υλικών σημείων, γεγονός
που δηλώνει ότι κάθε υλικό σημείο διαγράφει κυκλική τροχιά διαφορετικής ακτίνας. Τα αποτελέσματα
όσον αφορά την ακτίνα των κυκλικών τροχιών των υλικών σημείων φαίνονται στον Πίνακα 9:

Πίνακας 9: Ακτίνα των υλικών σημείων

Υλικό σημείο Ακτίνα R (cm)
«1» 14,06
«2» 12,06
«3» 9,04
«4» 6,01
«5» 3,09

γ. Γραμμική ταχύτητα

1. Είναι σταθερού μέτρου η ταχύτητα κάθε υλικού σημείου;

Κατ’ αρχάς πρέπει να δικαιολογηθεί πως ένας απλός τρόπος, για να μετρήσουμε πόσο γρήγορα κι-
νείται κάποιο υλικό σημείο επί της κυκλικής του τροχιάς, είναι μέσω του πηλίκου του τόξου που δια-
γράφει σε ορισμένο χρόνο διά το χρόνο αυτό. Μετά πρέπει να ενημερώσουμε το Tracker ώστε να υπο-
λογίζει το τόξο που διαγράφει το κάθε υλικό σημείο. Με βάση τις συντεταγμένες x, y που προέκυψαν
ως αποτέλεσμα της ιχνηλασίας, το Tracker υπολογίζει τη γωνία που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα του
υλικού σημείου με τον άξονα x΄x. Το τόξο στο οποίο αυτή η γωνία αντιστοιχεί υπολογίζεται ως:

S= R ⋅θ . Για κάθε υλικό σημείο ορίζουμε ένα νέο μέγεθος στο Tracker με όνομα «S» και συνάρτηση

υπολογισμού «0.1406*θ» π.χ. για το υλικό σημείο «1» και αντίστοιχα για τα άλλα υλικά σημεία.

Εικόνα 50: Γραφική παράσταση S = f(t) για το υλικό σημείο «1»
[58]

Πειράματα Φυσικής (II)

Τελικά ανοίγουμε στο «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker τη γραφική παράσταση S = f(t) για το υ-
λικό σημείο «1» (Εικόνα 50), και διαπιστώνουμε τη γραμμικότητα της σχέσης που συνδέει τα πειραμα-
τικά δεδομένα. Συνεπώς η ταχύτητα της κίνησης του υλικού σημείου έχει σταθερό μέτρο και ίσο με την
κλίση της γραφικής παράστασης S = f(t). Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για τα υπόλοιπα υλικά
σημεία και καταγράφουμε τα αποτελέσματα στον Πίνακα 10:

Πίνακας 10: Μέτρο ταχύτητας υλικών σημείων

Υλικό σημείο Μέτρο ταχύτητας (m/s)
«1» 0,481
«2» 0,412
«3» 0,309
«4» 0,206
«5» 0,105

Το συμπέρασμα είναι πως η ταχύτητα κάθε υλικού σημείου έχει σταθερό μέτρο, αλλά τα σημεία
που απέχουν λιγότερο από το κέντρο του δίσκου έχουν ταχύτητα μικρότερου μέτρου. Στο σημείο αυτό
καλούμε τους μαθητές να προτείνουν μια εξήγηση για αυτή την εξάρτηση της ταχύτητας από την ακτί-
να της κυκλικής τροχιάς.

2. Ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτητας ενός υλικού σημείου;

Στην Εικόνα 51-(α) έχουν σχεδιαστεί:

• Τα διανύσματα θέσης του υλικού σημείου «1» στο 28ο και το 38ο καρέ του βίντεο κλιπ με μπλε

• χρώμα. τους (δηλ. η αντίστοιχη μετατόπιση) ∆r = r38 − r28 με κίτρινο χρώμα.
Η διαφορά

( )Το διάνυσμα της υµ σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα έχει τη φορά του αντίστοι-

χου διανύσματος ) , αφού
μέσης ταχύτητας εξ ορισμού: υµ = ∆r .
∆t
μετατόπισης (∆r

Διατηρώντας σταθερό το αρχικό διάνυσμα r28 μεταβάλλουμε το τελικό διάνυσμα, ώστε να αντιστοιχεί

δσιεάχνρυοσνμιακέεςίνσατιιγτμοέςr3ό3λ,οενκώαισπτληηνσΕιέικσότνεαρα51π-ρ(γο)ςετίηναν ιατροχιrκ3ή0 χρονική στιγμή. Στην Εικόνα 51-(β) το τελικό
. Είναι φανερό πως όσο μικραίνει το χρονικό

διάστημα στο οποίο σχεδιάζουμε το διάνυσμα της μετατόπισης, τόσο περισσότερο το διάνυσμα της

μετατόπισης (άρα και της αντίστοιχης ταχύτητας) προσεγγίζει τη διεύθυνση της εφαπτομένης στην

τροχιά του υλικού σημείου.

Εικόνα 51: Τα διανύσματα στιγμιαίας ταχύτητας

Συνεπώς στο όριο ∆t → 0 το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης

της τροχιάς.
[59]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

3. Περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης
Παρατηρώντας κάπως λεπτομερειακά (Εικόνα 52) τα ίχνη του υλικού σημείου «1» στο τέλος της

ιχνηλασίας διαπιστώνουμε πως:

• Το καρέ 91 που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t1 = 1,820 s είναι το τελευταίο καρέ, προτού

ολοκληρωθεί μια πλήρης περιστροφή.

• Στο αμέσως επόμενο καρέ 92 που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t1 = 1,840 s , μόλις έχει ολο-

κληρωθεί μια πλήρης περιστροφή.
Συνεπώς ο χρόνος μέσα στον οποίο τα υλικά σημεία ολοκληρώνουν μια πλήρη περιστροφή (περίοδος
της κίνησης) μπορεί να εκτιμηθεί σε κάτι λιγότερο από 1,840 s.

Εικόνα 52: Λεπτομέρεια ιχνηλασίας

Αλλά η περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης μπορεί να υπολογιστεί και μέσω της γραμμικής τα-

χύτητας, αφού σε χρόνο μιας περιόδου κάθε υλικό σημείο έχει διαγράψει τόξο S = 2π R και συνεπώς:
υ= 2π R ⇒ T= 2π R
Tυ

Για τα διάφορα υλικά σημεία παίρνουμε τα αποτελέσματα που φαίνονται στον Πίνακα 11:

Πίνακας 11: Υπολογισμός περιόδου

Υλικό σημείο Ακτίνα R (cm) Μέτρο ταχύτητας (m/s) Περίοδος (s)
«1» 14,06 0,481 1,837
«2» 12,06 0,412 1,839
«3» 9,04 0,309 1,838
«4» 6,01 0,206 1,833
«5» 3,09 0,105 1,849

Τελικά προκύπτει πως η περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης των υλικών σημείων παρουσιάζει μικρή
διακύμανση (τυπική απόκλιση 0,006 s)περί τη μέση τιμή: Τ = 1,839 s.

δ. Ένας καλύτερος τρόπος καθορισμού της θέσης - μια «άλλη» ταχύτητα

1. Γωνιακή μετατόπιση
Χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο μέτρησης τύπου «μοιρογνωμόνιο» στο Tracker (Εικόνα 53) εύκολα

μπορούμε να επιβεβαιώσουμε πως, παρότι τα διάφορα υλικά σημεία του δίσκου διαγράφουν σε ορι-
σμένο χρόνο διαφορετικά τόξα, στον ίδιο χρόνο οι αντίστοιχες επιβατικές ακτίνες διαγράφουν ίσες γω-
νίες.

[60]

Πειράματα Φυσικής (II)

Εικόνα 53: Γραμμική και γωνιακή μετατόπιση
Με παρατηρήσεις σαν κι αυτή οι μαθητές οδηγούνται στο συμπέρασμα πως είναι «βολικότερη» η
μέτρηση της μετατόπισης (και αντίστοιχα ο καθορισμός της θέσης) ενός σημείου που εκτελεί κυκλική
κίνηση με βάση τη γωνία περιστροφής της επιβατικής του ακτίνας. Άμεση συνέπεια θα είναι ο ορισμός
με διαφορετικό τρόπο της ταχύτητας της κυκλικής κίνησης (γωνιακή ταχύτητα).
2. Γωνιακή ταχύτητα
Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης αποτελεί το μέτρο της «γωνιακής» ταχύτητας του υλικού
σημείου (ή γενικότερα του στερεού στο οποίο το υλικό σημείο ανήκει), και συνεπώς μπορούμε να υπο-
λογίσουμε την τιμή της με τη «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker ως την κλίση στη γραφική παράσταση
θ = f(t) (Εικόνα 54).

Εικόνα 54: Υπολογισμός γωνιακής ταχύτητας
Η γραμμικότητα της σχέσης θ = f(t) δηλώνει τη σταθερότητα της γωνιακής ταχύτητας κάθε υλικού ση-

[61]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

μείου στη συγκεκριμένη (ομαλή) κυκλική κίνηση. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας για το υλικό σημείο
«1» προέκυψε ίσο με 3,420 rad/s, ενώ τα συνολικά αποτελέσματα για όλα τα υλικά σημεία φαίνονται
στον Πίνακα 12.

Πίνακας 12: Γωνιακή ταχύτητα των υλικών σημείων

Υλικό σημείο Μέτρο γωνιακής ταχύτητας (rad/s)
«1» 3,420
«2» 3,417
«3» 3,417
«4» 3,421
«5» 3,411

Παρατηρούμε πως για τα πέντε υλικά σημεία η γωνιακή ταχύτητα παρουσιάζει μια μικρή διακύμανση
(τυπική απόκλιση 0,004 rad/s) περί τη μέση τιμή των 3,417 rad/s. Η μεγαλύτερη απόκλιση παρουσιάζε-
ται για το υλικό σημείο «5», δηλαδή αυτό με τη μικρότερη ακτίνα περιστροφής. Τα αποτελέσματα αυτά
επιβεβαιώνουν πως όλα τα υλικά σημεία του δίσκου κινούνται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.

3. Σχέση γωνιακής - γραμμικής ταχύτητας

Θεωρητικά εύκολα αποδεικνύεται πως η γραμμική και η γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού σημείου

σε ομαλή κυκλική κίνηση συνδέονται μεταξύ τους με μια γραμμική σχέση: υ= R ⋅ω . Η γραμμική αυτή

σχέση επιβεβαιώνεται από τα πειραματικά δεδομένα που έχουμε ήδη συλλέξει και έχουν καταγραφεί
στον Πίνακα 11. Με τη βοήθεια του Excel σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση υ = f(R), και αφού διαπι-
στώσουμε τη γραμμικότητα της σχέσης που συνδέει τα πειραματικά δεδομένα σχεδιάζουμε και την
ευθεία που προσεγγίζει τα δεδομένα αυτά με τον καλύτερο τρόπο (Εικόνα 55).

Για το σωστό σχεδιασμό της γραφικής παράστασης λάβαμε υπόψη τη θεωρητική απαίτηση πως για R =
0 είναι και υ = 0. Το Excel προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της καλύτερης ευθείας προ-
σέγγισης που με βάση τη θεωρία είναι η γωνιακή ταχύτητα των υλικών σημείων. Προκύπτει:

ω = 3, 420 rad / s

σε απόκλιση μόλις 0,08% με την προηγουμένως υπολογισμένη τιμή της γωνιακής ταχύτητας.

υ (m/s) 0,6 y = 3,4196x
0,5 R² = 1
0,4
0,3 υ = f (R)
0,2 Καλύτερη ευθεία
0,1
0,05 R (m) 0,1 0,15
0
0

Εικόνα 55: Γραφική παράσταση υ = f(R)
[62]

Πειράματα Φυσικής (II)

4. Σχέση γωνιακής ταχύτητας περιόδου

Θεωρητικά, αφού ω = ∆θ , προκύπτει: =ω 2=π 2π f . Η σχέση μπορεί να επιβεβαιωθεί με τα
∆t T

ήδη συλλεχθέντα πειραματικά δεδομένα (Πίνακες 11 και 12). Η μέση τιμή του γινομένου ω ⋅T προκύ-

πτει ίση με 6,288, σε απόκλιση μόλις 0,3% από τη θεωρητική τιμή 2π.

ε. Η επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση

Τα διανύσματα της στιγμιαίας ταχύτητας του υλικού σημείου σε κάθε καρέ του βίντεο κλιπ μπο-
ρούν να εμφανιστούν στην οθόνη του υπολογιστή με το εργαλείο «Εμφάνιση ή απόκρυψη διανυσμά-
των ταχύτητας». Χρησιμοποιώντας αυτή τη δυνατότητα του Tracker εύκολα καταλήγουμε στο συμπέ-
ρασμα πως η ομαλή κυκλική κίνηση είναι κίνηση επιταχυνόμενη. Με τη βοήθεια του Tracker θα διε-
ρευνήσουμε το θέμα της κατεύθυνσης της επιτάχυνσης στην ομαλή κυκλική κίνηση:

Αφού αφήσουμε ορατά μόνο τα ίχνη του υλικού σημείου «2», επιλέγουμε την εμφάνιση σε κάθε

καρέ των διανυσμάτων ταχύτητας. Επιλέγουμε δύο διανύσματα ταχύτητας που απέχουν χρονικά μετα-

ξύ τους κατά ένα περίπου τέταρτο της περιόδου (π.χ. τα υ24 και υ46) τα οποία μετακινούμε παράλληλα

προς τον εαυτό τους, ώστε να αποκτήσουν κοινή αρχή, και το τέλος (μύτη του βέλους) του διανύσματος

υ24 να ακουμπάει στον y’y άξονα (Εικόνα 56-α). Σχεδιάζοντας ένα νέο διάνυσμα που έχει την αρχή του

αστνοτιστέτολοιχςείτοσυτηδδιαιανύφσομραάττοοςυυς2(4∆κυα=ι το τέλος του στο τέλος του υ46, δημιουργούμε το διάνυσμα που
υ 46 −υ 24 ) . Διατηρώντας το τελικό διάνυσμα σταθερό (υ46), επι-

λέγουμε ως αρχικό ένα άλλο διάνυσμα χρονικά πιο κοντινό του σε σχέση με το υ24 (π.χ. το υ36) και

δημιουργούμε και πάλι τη διαφορά τους (Εικόνα 56-β).

Εικόνα 56: Το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας κατά την περιστροφή
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και για το διάνυσμα υ46 και το πιο κοντινό του χρονικά υ44 (Ει-
κόνα 56-γ). Είναι φανερό (Εικόνες 56-α,β,γ) πως όσο πιο μικρή είναι η χρονική διαφορά των διανυσμά-
των ταχύτητας, τόσο πιο πολύ το διάνυσμα μεταβολής της ταχύτητας (και συνεπώς και της επιτάχυν-
σης) προσεγγίζει την ακτινική και προς το εσωτερικό της κυκλικής τροχιάς κατεύθυνση, γεγονός που

σημαίνει ότι στο όριο ∆t → 0 η στιγμιαία επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση κατευθύνεται προς

το κέντρο της κυκλικής τροχιάς, γι’ αυτό και ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση.

[63]

Απλή αρμονική ταλάντωση

Τι θέλουμε να κατανοήσουν οι μαθητές όταν διδάσκουμε την απλή αρμονική ταλάντωση (Ιωάννου,
Ντάνος, Πήττας, & Ράπτης, 2012, σσ. 9-13);

1. Ότι πρόκειται για περιοδική κίνηση, της οποίας η περίοδος T είναι ανεξάρτητη από το πλάτος
της ταλάντωσης, εξαρτάται όμως από τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήμα-
τος. Ειδικότερα στην περίπτωση συστήματος σώματος – ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του
σώματος και τη σταθερά του ελατηρίου, σύμφωνα με τη σχέση : Τ = 2π m .
k

2. Σε σύστημα αναφοράς που έχει την αρχή των αξόνων στο κέντρο της τροχιάς του ταλαντούμε-
νου συστήματος το κινηματικό μοντέλο της απλής αρμονικής ταλάντωσης περιγράφεται από
σύνολο εξισώσεων της μορφής:

x = Aημ(ωt + φ)
υ = ωΑσυν(ωt + φ)
α = -ω2 Αημ(ωt + φ)

3. Το δυναμικό μοντέλο της απλής αρμονικής ταλάντωσης περιγράφεται από την εξίσωση:
ΣF =-mω2 x

4. Η μηχανική ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος διατηρείται σταθερή και ίση με:
E = 1 mω2 A2
2

Με μια σειρά βίντεο που θα αναλύσουμε με το Tracker θα υποστηρίξουμε πειραματικά αυτούς
τους διδακτικούς στόχους. Τα προς ανάλυση βίντεο μπορούν να μεταφορτωθούν μέσω του συνδέσμου
https://drive.google.com/open?id=0B1U6xae1_2pvNThFalVFUldRNmc ως ένα συμπιεσμένο αρχείο (τύ-
που rar), το οποίο πρέπει να αποσυμπιεστεί στον υπολογιστή σας και σε φάκελο της αρεσκείας σας. Τα
βίντεο έχουν ληφθεί στα 50 καρέ/sec, με αποτέλεσμα να δίνουν κατά την ανάλυση εξαιρετικής ποιότη-
τας γραφήματα θέσης-χρόνου αλλά με το μειονέκτημα της αυξημένης χρονικής διάρκειας της ανάλυ-
σης. Πολύ καλά αποτελέσματα παίρνουμε και στην περίπτωση που θέσουμε την τιμή 2 στο βήμα της
ιχνηλασίας, οπότε ουσιαστικά αντιμετωπίζουμε το βίντεο σαν να έχει ληφθεί στα 25 καρέ/sec.

Σε κάθε περίπτωση στη μελέτη που ακολουθεί, αποκλίσεις θεωρητικών και πειραματικών τιμών
της τάξης του 1-2% θα θεωρούνται εντός του πειραματικού σφάλματος.

[64]

Πειράματα Φυσικής (II)

1η δραστηριότητα

Θα αναλύσουμε τα βίντεο «shm_1.mp4» και «shm_3.mp4». Στα δύο βίντεο έχει καταγραφεί η κα-
τακόρυφη ταλάντωση του ίδιου κυλίνδρου από κερί, αναρτημένου στο ίδιο ελατήριο και για δύο δια-
φορετικά πλάτη ταλάντωσης. Ο κύλινδρος ζυγίστηκε και η μάζα του βρέθηκε m = 24,6 g.

Στο Tracker ανοίγουμε πρώτα το βίντεο «shm_1.mp4». Καθώς θέλουμε μόνο να υπολογίσουμε την
περίοδο της ταλάντωσης του κέρινου κυλίνδρου, δε χρειάζεται βαθμονόμηση του βίντεο. Δημιουργού-
με μια τροχιά τύπου «υλικό σημείο» και με το συνδυασμό «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το ίχνος
του στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ, και ταυτόχρονα ενημερώνουμε το λογισμικό για την πρόθεσή μας
να προχωρήσουμε με αυτόματη ιχνηλασία. Έχουμε πάρει τα καλύτερα αποτελέσματα δημιουργώντας
το ίχνος του υλικού σημείου στην πάνω δεξιά άκρη του κυλίνδρου, και ρυθμίζοντας το πρότυπο ταύτι-
σης όπως φαίνεται και στην Εικόνα 57.

Εικόνα 57: Ρύθμιση του προτύπου ταύτισης
Ενεργοποιούμε την αυτόματη ιχνηλασία του βίντεο κλιπ (πιέζοντας το πλήκτρο «Έρευνα» στο πα-
ράθυρο του αυτόματου ιχνηλάτη) και την απενεργοποιούμε (με το πλήκτρο «Παύση»), αφού ολοκλη-
ρωθούν τουλάχιστον πέντε πλήρεις ταλαντώσεις. Στην περιοχή εμφάνισης των γραφικών παραστάσεων
του κεντρικού παραθύρου του Tracker επιλέγουμε εμφάνιση της γραφικής παράστασης y = f (t), δηλ.
της συντεταγμένης θέσης του υλικού σημείου στον άξονα της κίνησης.
Με τη βοήθεια του μοχλού σάρωσης βίντεο και των πλήκτρων «Βήμα Μπροστά» και «Βήμα Πίσω»
μεταφερόμαστε στο καρέ 25 (ευκολότερα η μεταφορά στο καρέ μπορεί να γίνει μέσω της επιλογής
«Μετάβαση στο…», που βρίσκεται στο μενού που αναδύεται με πίεση του πλήκτρου «Αριθμός καρέ»).
Το αντίστοιχο σημείο και τα σχετικά πειραματικά δεδομένα αυτόματα επιλέγονται στη γραφική παρά-
σταση y = f(t) και στον πίνακα με τα δεδομένα της ιχνηλασίας. Διαπιστώνουμε (Εικόνα 58) πως στο κα-
ρέ αυτό το σώμα βρίσκεται για πρώτη φορά στο κατώτερο σημείο της κατακόρυφης τροχιάς του και

πως η αντίστοιχη χρονική στιγμή είναι η: t1 = 0,50 s .

Αντίστοιχα μεταφερόμαστε στο καρέ 269, διαπιστώνουμε πως το σώμα βρίσκεται για 6η φορά στο
κατώτερο σημείο της τροχιάς του, και συνεπώς μεταξύ του καρέ 25 και του καρέ 269 έχουν μεσολαβή-

σει ακριβώς 5 πλήρεις ταλαντώσεις. Η αντίστοιχη χρονική στιγμή είναι η: t2 = 5,38 s . Το χρονικό διά-
στημα =∆t t2 -=t1 5,38 - 0=,5 4,88 s αντιστοιχεί σε πέντε πλήρεις ταλαντώσεις, δηλαδή:

[65]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

∆t = 5T ⇒ Τ = ∆t ⇒ T = 0,976 s
5

Εικόνα 58: Μετά την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας

Με ανάλογο τρόπο αναλύουμε και το βίντεο «shm_3.mp4». Στο καρέ 23 που αντιστοιχεί στη χρο-

νική στιγμή t1 = 0,48 s το σώμα βρίσκεται για πρώτη φορά στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του, ενώ

στο καρέ 219 που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t2 = 4,38 s το σώμα βρίσκεται για πέμπτη φορά στο

κατώτερο σημείο της τροχιάς του. Συνεπώς:

∆t = t2 − t1 = 4T ⇒Τ = ∆t ⇒T = 0,975 s
4

Η απόκλιση των δύο υπολογισμένων τιμών για την περίοδο ταλάντωσης είναι της τάξης του 0,1%
και συνεπώς μπορούμε να πούμε πως στα όρια του πειραματικού σφάλματος που έχουμε αποδεχθεί, η
περίοδος της ταλάντωσης του συστήματος σώμα-ελατήριο στις δύο περιπτώσεις διαφορετικού πλά-
τους που εξετάσαμε δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης.

Διδακτικά ενδείκνυται και ο χειροκίνητος υπολογισμός της περιόδου του συστήματος. Παρακο-
λουθώντας στον υπολογιστή μας το βίντεο χρονομετρούμε (π.χ. με το χρονόμετρο του κινητού τηλεφώ-

νου) το χρόνο που απαιτείται για N = 10 πλήρεις ταλαντώσεις και υπολογίζουμε την περίοδο ως:
Τ = ∆t . Στην τάξη μπορούμε να ζητήσουμε από τους μαθητές να χρονομετρήσει ο καθένας την κίνη-

N
ση και, αφού συλλέξουμε το σύνολο των μετρήσεων και υπάρχει το απαραίτητο χρονικό περιθώριο, να
μιλήσουμε για θέματα όπως διασπορά μετρήσεων, αποδυνάμωση του ρόλου των εσφαλμένων μετρή-
σεων μέσω υπολογισμού μέσης τιμής, σφάλμα μέσης τιμής, κ.ά.

[66]

Πειράματα Φυσικής (II)

2η δραστηριότητα

Θα αναλύσουμε έξι βίντεο (από «shm_4.mp4» μέχρι και το «shm_9.mp4»). Στα βίντεο έχουν κα-
ταγραφεί οι ταλαντώσεις έξι σωμάτων διαφορετικής μάζας που αναρτώνται διαδοχικά από το ίδιο ελα-
τήριο. Στον Πίνακα 13 καταγράφονται οι μάζες των σωμάτων σε κάθε βίντεο.

Πίνακας 13: Μάζα σωμάτων ανά βίντεο

α/α Βίντεο Μάζα (g)

1 shm_4.mp4 10,2
2 shm_5.mp4 20,2
3 shm_6.mp4 30,4
4 shm_7.mp4 40,5
5 shm_8.mp4 50,6
6 Shm_9.mp4 60,5

Με τη διαδικασία που περιγράψαμε στην πρώτη δραστηριότητα υπολογίζουμε την περίοδο ταλά-
ντωσης του συστήματος σώμα-ελατήριο σε κάθε βίντεο. Στην Εικόνα 59 δείχνεται το πρότυπο ταύτισης
για το βίντεο «shm_4.mp4». Αντίστοιχα ρυθμίζεται το πρότυπο ταύτισης και στα υπόλοιπα βίντεο που
θα αναλύσουμε.

Εικόνα 59: Ρύθμιση προτύπου ταύτισης στο βίντεο shm_4.mp4

Οι μετρήσεις και τα αποτελέσματα της επεξεργασίας τους για τα έξι διαφορετικά βίντεο-
πειράματα φαίνονται στον Πίνακα 14.

Πίνακας 14: Τα αποτελέσματα των μετρήσεων

α/α Μάζα Αρχή Τέλος Δt (s) Ν Περίοδος
(kg) 3,40 Αριθμός πλήρων (s)
Καρέ t1 (s) Καρέ t2 (s)
1 0,0102 17 0,34 187 3,74 ταλαντώσεων 0,680

5

2 0,0202 22 0,44 248 4,96 4,52 5 0,904

3 0,0304 27 0,54 295 5,90 5,36 5 1,072

4 0,0405 30 0,60 334 6,68 6,08 5 1,216

5 0,0506 34 0,68 370 7,40 6,72 5 1,344

6 0,0605 37 0,74 406 8,12 7,38 5 1,476

[67]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Με τη βοήθεια του Excel σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση του τετραγώνου της περιόδου σε

συνάρτηση με τη μάζα του σώματος που κάθε φορά αναρτάται από το ελατήριο: T 2 = f (m).

Γράφημα T2 = f(m)

2,5
y = 33,664x + 0,1237
R² = 0,9995

2
T2 (s)

1,5

1

0,5

0
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

m (kg)

Εικόνα 60: Γραφική παράσταση Τ2=f(m)

Από το θεωρητικό μοντέλο έχουμε: =Τ 2π m ⇒ T=2 4π2 m , δηλ. η σχέση T 2 = f (m) είναι
kk

γραμμική με κλίση λ = 4π2 . Η παρατηρούμενη γραμμικότητα της σχέσης T 2 = f (m) στο σχετικό
k

γράφημα (Εικόνα 60) επιβεβαιώνει αυτή την πρόβλεψη του θεωρητικού μοντέλου. Συνεπώς από την
κλίση της καλύτερης ευθείας όπως την υπολογίζει το Excel, μπορούμε τελικά να υπολογίσουμε τη στα-
θερά του ελατηρίου ως:

k= 4π2 ⇒ k= 1,17 N / m
λ

Η πειραματική ευθεία δεν επιβεβαιώνει τη θεωρητική πρόβλεψη ότι η ευθεία T 2 = f (m) διέρχε-

ται από την αρχή των αξόνων. Αυτό κατά κύριο λόγο οφείλεται στο γεγονός ότι το θεωρητικό μοντέλο
αναφέρεται στο ιδανικό και συνεπώς άμαζο ελατήριο. Όμως το ελατήριο που χρησιμοποιήσαμε είχε
μάζα 11,5g συγκρίσιμη (ή και μεγαλύτερη) σε σχέση με τις μάζες που χρησιμοποιήσαμε στα πειράματά

μας. Συνεπώς η σωστή σχέση για τον υπολογισμό της περιόδου θα έχει τη μορφή: Τ = 2π m+ meff ,
k

όπου meff είναι η ενεργός μάζα του ελατηρίου, η οποία θεωρητικά αποδεικνύεται πως είναι ίση με το
ένα τρίτο της ολικής μάζας του ελατηρίου (Galloni & Kohen, 1979). Συνεπώς η σχέση T 2 = f (m) θα

έχει τη μορφή:

T 2 = 4π 2 m + 4π 2meff
kk

Φυσικά μέσω του σταθερού όρου της καλύτερης ευθείας που προσδιορίσαμε με το Excel μπορούμε να
υπολογίσουμε την ενεργό μάζα του ελατηρίου, η οποία για τη σειρά των πειραμάτων μας προέκυψε
ίση με 3,7 g, σε απόκλιση περίπου 3,5% από τη θεωρητική τιμή.

[68]

Πειράματα Φυσικής (II)

3η δραστηριότητα

Σκοπός της 3ης δραστηριότητας είναι η πειραματική επιβεβαίωση της εξάρτησης της περιόδου της
ταλάντωσης από τη σταθερά του ελατηρίου. Για το σκοπό αυτό θα αναλύσουμε τα δύο διαφορετικά
βίντεο: «shm_10.mp4» και «shm_11.mp4».

Στο πρώτο βίντεο («shm_10.mp4») καταγράφεται η ταλάντωση ενός μεταλλικού κυλίνδρου με μά-
ζα ονομαστικής τιμής 50 g και πειραματικά μετρημένης 48,3 g, που έχει αναρτηθεί στο ελεύθερο άκρο
κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 1,15 N/m (πειραματικά μετρημένης). Στο δεύτερο βίντεο
(«shm_11.mp4») το ίδιο σώμα έχει αναρτηθεί από δύο παράλληλα συνδεδεμένα παρόμοια ελατήρια.
Οι πειραματικά μετρημένες τιμές των σταθερών των δύο ελατηρίων ήταν 1,15 Ν/m και 1,17 Ν/m, και
συνεπώς το παράλληλα συνδεδεμένο σύστημά τους ισοδυναμεί με ένα ελατήριο σταθεράς 2,32 Ν/m,
αλλά και περίπου διπλάσιας ενεργού μάζας. Ας σημειωθεί πως η μάζα κάθε ελατηρίου μετρήθηκε και
βρέθηκε ίση με 11,5 g, οπότε και η ενεργός μάζα καθενός κατά την ταλάντωση είναι ίση με περίπου
3,80 g (σύμφωνα με το μοντέλο που αναφέρθηκε στην προηγούμενη δραστηριότητα).

Εικόνα 61: Μετά την ιχνηλασία του βίντεο «shm_10.mp4»

Από την ανάλυση του βίντεο (Εικόνα 61) η περίοδος της ταλάντωσης προσδιορίστηκε ίση με:

Τ1 = 1,32 s . Αν είχαμε ένα μη ιδανικό ελατήριο με διπλάσια ενεργό μάζα (δηλ. me′ff = 7,60 g έναντι
meff = 3,80 g ) αλλά της ίδιας σταθεράς, τότε σύμφωνα με τα συμπεράσματα της 2ης δραστηριότητας

για την περίοδο ταλαντώσεων του ίδιου σώματος θα ίσχυε:

=Τ1′ m + me′ff =⇒ Τ1′ 1,37 s
Τ1 m + meff

θα παρουσίαζε δηλαδή μια σχετική αύξηση της τάξης του 3,8%.

Ας έρθουμε τώρα στην ανάλυση του δεύτερου βίντεο («shm_11.mp4») (Εικόνα 62) στο οποίο έχει

[69]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

καταγραφεί η ταλάντωση του ίδιου σώματος αναρτημένου σε σύστημα δύο παράλληλα συνδεδεμένων
ελατηρίων (συνολικής σταθεράς 2,32 Ν/m και συνολικής ενεργού μάζας 7,60 g).

Εικόνα 62: Μετά την ιχνηλασία του βίντεο «shm_11.mp4»

H περίοδος της ταλάντωσης προσδιορίστηκε τώρα ίση με: Τ2 = 0,960 s . Παρουσιάζει δηλαδή σε

σχέση με την πρώτη περίπτωση μια σχετική μείωση περίπου 27%. Λόγω αύξησης της ενεργού μάζας
περιμέναμε αύξηση της περιόδου κατά 3,8%. Παρατηρούμε όμως μείωση, η οποία προφανώς οφείλε-
ται στην μεταβολή της σταθεράς ταλάντωσης μεταξύ των δύο πειραμάτων. Η επιχειρηματολογία αυτή
επιβεβαιώνει ποιοτικά την εξάρτηση της περιόδου από τη σταθερά του ελατηρίου. Για την ποσοτική
επιβεβαίωση πρέπει να βασιστούμε στο τροποποιημένο μοντέλο για την περίοδο των ταλαντώσεων
που λαμβάνει υπόψη και την επίδραση της ενεργού μάζας του ελατηρίου. Είναι:

2π m + meff ( 48,3 + 3,80 )

 Τ 1  = k1 ⇒  Τ1  =  Τ1  = 1,17 ⇒  Τ 1  ≈ 1,36
 Τ 2  m + me′ff  Τ2   Τ2   Τ 2 
 θ 2π  θ  θ ( 48,3 +7,60 )  θ

k1 + k2 2, 32

Η πειραματική τιμή του λόγου των περιόδων προκύπτει ίση με:

 Τ=Τ21 π 1,320 ≈ 1,38
 0,960


Η απόκλιση θεωρητικής και πειραματικής τιμής είναι περίπου 1,5%, και συνεπώς μέσα στα όρια σφάλ-
ματος που έχουμε αποδεχθεί μπορούμε να πούμε πως το τροποποιημένο θεωρητικό μοντέλο για την
περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης επιβεβαιώνεται.

[70]

Πειράματα Φυσικής (II)

4η δραστηριότητα

Σκοπός της 4ης δραστηριότητας είναι η πειραματική επιβεβαίωση του κινηματικού μοντέλου της
απλής αρμονικής ταλάντωσης. Για το σκοπό αυτό θα αναλύσουμε ένα τμήμα από το βίντεο
«shm_2.mp4», στο οποίο έχει καταγραφεί η κίνηση ενός κυλίνδρου από κερί μάζας m = 24,6 g αναρτη-
μένου από ελατήριο σταθεράς k = 1,15 N/m (πειραματικά μετρημένης).
α. Αφού ανοίξουμε το βίντεο «shm_2.mp4» στο Tracker, ρυθμίζουμε το αρχικό και το τελικό καρέ του
βίντεο κλιπ που θα αναλύσουμε στις τιμές 133 και 303 αντίστοιχα. Δημιουργούμε μια ράβδο βαθμονό-
μησης, και προσέχοντας να διατηρείται κατακόρυφη τοποθετούμε τα άκρα της σε δύο σημεία του εν-
σωματωμένου στο βίντεο μεταλλικού χάρακα που απέχουν μεταξύ τους 10 cm. Σημειώνουμε στο αντί-
στοιχο πλαίσιο κειμένου της ράβδου βαθμονόμησης την τιμή 10,0 και επιλέγουμε ως μονάδα μέτρησης
αποστάσεων τα εκατοστά (cm).
β. Δημιουργούμε ένα υλικό σημείο με το όνομα «Σώμα Α», με «Ctrl + Shift + κλικ» σημειώνουμε το ί-
χνος του στο πρώτο καρέ του βίντεο κλιπ, ρυθμίζουμε το πρότυπο ταύτισης όπως φαίνεται στην Εικόνα
57, και ολοκληρώνουμε την αυτόματη ιχνηλασία της κίνησης του κέρινου κυλίνδρου (Εικόνα 63).

Εικόνα 63: Ιχνηλασία του κυλίνδρου
γ. Στον πίνακα τιμών που έχει συμπληρώσει το Tracker εμφανίζουμε το μέγεθος «pixely» με τη βοήθεια
του οποίου εντοπίζουμε τα εικονοστοιχεία (pixels) στα οποία εντοπίζεται η ανώτερη (pixely.min) και η
κατώτερη (pixely.max) θέση του υλικού σημείου «Σώμα Α». Στη συνέχεια μεταφέρουμε την αρχή του εξ
ορισμού συστήματος αξόνων του Tracker στο σημείο με συντεταγμένες (σε pixels):

x = 180
=y pixely.min+ pixely.max− pixely.min

2

ώστε κατά τον y’y άξονα η αρχή του συστήματος αξόνων να συμπέσει με το μέσο ανάμεσα στις δύο
[71]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

ακραίες θέσεις της κίνησης του κυλίνδρου. Μπορούμε στη συνέχεια να απενεργοποιήσουμε την εμφά-
νιση του μεγέθους «pixely».

δ. Με τη βοήθεια του πίνακα τιμών εντοπίζουμε την ανώτερη (y.max) και την κατώτερη (y.min) θέση
του κυλίνδρου στον πραγματικό κόσμο:

y.max = 3, 795 cm και y.min = −3, 792 cm

και στη συνέχεια υπολογίζουμε τη μέγιστη απομάκρυνση του κυλίνδρου από την αρχή των αξόνων
(πλάτος της ταλάντωσης):

A = y.max− y.min  3, 794 cm
2

ε. Θα υπολογίσουμε στη συνέχεια την περίοδο της κίνησης του κυλίνδρου, ως εξής: Με τα πλήκτρα
«Βήμα μπροστά» ή «Βήμα πίσω» μεταφερόμαστε στο καρέ 145 που αντιστοιχεί στο πρώτο μέγιστο της
γραφικής παράστασης y = f(t) για τον κύλινδρο, και σημειώνουμε την αντίστοιχη χρονική στιγμή: t1 =
0,240 s. Μετά μεταφερόμαστε στο καρέ 291 που αντιστοιχεί στο 4ο μέγιστο της καμπύλης, και η αντί-
στοιχη χρονική στιγμή προκύπτει: t2 = 3,160 s. Συνεπώς η περίοδος της κίνησης του κυλίνδρου και η
αντίστοιχη κυκλική συχνότητα είναι:

T = ∆t = t2 − t1 = 3,160 − 0, 240 ⇒ T = 0,973 s και =ω 2=π 6, 455 rad / s
N3 3 T

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία μεταξύ 1ου και 3ου μεγίστου η αντίστοιχη περίοδος και η αντίστοιχη

κυκλική συχνότητα βρίσκονται:

T = 0,970 s και ω = 6, 477 rad / s

Μια καλύτερη προσέγγιση της περιόδου και της κυκλικής συχνότητας προκύπτει από τους αντίστοιχους
μέσους όρους των ανωτέρω τιμών:

T = 0,9716 s και ω = 6, 466 rad / s

Επιπρόσθετα παρατηρούμε ότι η κίνηση του κυλίνδρου αρχίζει με απομάκρυνση ίση με μηδέν (από τη
θέση ισορροπίας) και με θετική αρχική ταχύτητα, οπότε στο κινηματικό μοντέλο της απλής αρμονικής
ταλάντωσης η αρχική φάση φ θα είναι ίση με μηδέν. Μετά από αυτά το κινηματικό μοντέλο για τον
κύλινδρο διαμορφώνεται ως:

=x A=ημ(ωt + φ)   x 3, 794ημ(6,466t) (cm)
=υ ωΑσυν(ωt + φ)= ⇒  υ 24,53συν (6,466t) (cm / s)
  α = −158, 6ημ(6,466t)
α = -ω2 Αημ(ωt + φ)  (cm / s2 )

στ. Θα αξιοποιήσουμε τη δυνατότητα δημιουργίας αναλυτικού μοντέλου της κίνησης που διαθέτει το
Tracker, ώστε να επιβεβαιώσουμε το κινηματικό μοντέλο της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Μέσω του
μενού «Τροχιές» - «Νέο» - «Αναλυτικό μοντέλο Σωματιδίου» ανοίγουμε το εργαλείο δημιουργίας κι-
νηματικού μοντέλου. Στο «Μοντέλο Α» που δημιουργήθηκε προσθέτουμε τρεις νέες παραμέτρους:

• Α (πλάτος ταλάντωσης) με τιμή 3,794
• w (κυκλική συχνότητα) με τιμή 6,466
• phi (αρχική φάση) με τιμή 0

Μετά εισάγουμε τη συνάρτηση θέσης:
• y : A*sin(w*t+phi)

και κλείνουμε το εργαλείο δημιουργίας μοντέλων. Κάνοντας αναπαραγωγή του βίντεο κλιπ το Tracker
επισυνάπτει στα διάφορα καρέ το ίχνος του μοντέλου και συμπληρώνει τον σχετικό πίνακα τιμών. Τέ-
λος με το εργαλείο επεξεργασίας δεδομένων και, αφού προσθέσουμε και εδώ τις ίδιες παραμέτρους A,
w, phi όπως προηγουμένως, ορίζουμε δύο νέα φυσικά μεγέθη για το μοντέλο του κυλίνδρου, ως εξής:

• speed : w*A*cos(w*t+phi), για την ταχύτητα

[72]

Πειράματα Φυσικής (II)

• accel : -w^2*A*sin(w*t+phi), για την επιτάχυνση
Εν τέλει μπορούμε να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις για τα διάφορα φυσικά μεγέθη που
αφορούν το κινηματικό μοντέλο του κυλίνδρου («Μοντέλο Α»).
ζ. Στο «Εργαλείο Δεδομένων» του Tracker ανοίγουμε τη γραφική παράσταση θέσης (y) – χρόνου (t) για
το κινηματικό μοντέλο του κυλίνδρου («Μοντέλο Α») και αντιγράφουμε τη στήλη με τα δεδομένα θέ-
σης (y), την οποία εν συνεχεία επικολλάμε στην αντίστοιχη γραφική παράσταση για το υλικό σημείο
«Σώμα Α» που χρησιμοποιήσαμε για την ιχνηλασία του κυλίνδρου. Μπορούμε κατ’ αυτό τον τρόπο να
εμφανίσουμε σε κοινό σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις y = f(t), τόσο για την πραγματική
κίνηση του κυλίνδρου (πειραματικά δεδομένα) όσο και για το θεωρητικό μοντέλο της κίνησης του κυ-
λίνδρου (Εικόνα 64).

Εικόνα 64: Σύγκριση συνάρτησης θέσης στην α.α.τ με το αντίστοιχο θεωρητικό μοντέλο
Με τους κόκκινους κύκλους στην Εικόνα 63 εμφανίζονται τα πειραματικά σημεία, ενώ με τα μπλε τε-
τράγωνα τα αντίστοιχα σημεία για το θεωρητικό μοντέλο. Είναι φανερή η εξαιρετική σύμπτωση των
δύο γραφικών παραστάσεων, ενώ οι όποιες μικροδιαφορές κάνουν την εμφάνισή τους στις ακραίες
θέσεις της κίνησης και μάλιστα προς το τέλος της γραφικής παράστασης, γεγονός αναμενόμενο αφού η
πραγματική κίνηση του κυλίνδρου είναι φθίνουσα ταλάντωση με πολύ αργά μειούμενο πλάτος.

Ποσοτικά μπορεί να επιβεβαιωθεί η σύμπτωση της εξίσωσης θέσης-χρόνου του θεωρητικού μο-
ντέλου με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα ως εξής: Με τη διαδικασία αντιγραφής και επικόλλη-
σης στην καρτέλα «Σώμα Α» του Εργαλείου δεδομένων επικολλάμε στον πίνακα δεδομένων τη στήλη
που περιέχει τα δεδομένα θέσης του θεωρητικού μοντέλου (δηλ. τα δεδομένα από τη στήλη y στην
καρτέλα «μοντέλο Α»). Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα στην καρτέλα «Σώμα Α» να σχεδιά-
σουμε τη γραφική παράσταση y = f(y1) (Εικόνα 65), όπου «y» είναι τα πειραματικά δεδομένα θέσης
για τον ταλαντούμενο κύλινδρο και «y1» τα αντίστοιχα δεδομένα θέσης, όπως προκύπτουν με βάση το
θεωρητικό μοντέλο της κίνησης. Αν το μοντέλο περιγράφει ικανοποιητικά την κίνηση του κυλίνδρου,
τότε η γραφική παράσταση y = f(y1) θα είναι ευθεία γραμμή που ιδανικά θα έχει κλίση ίση με 1, και θα
διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Επιλέγοντας στο «Εργαλείο δεδομένων» να σχεδιάσουμε εκτός
της γραφικής παράστασης y = f(y1) και την καλύτερη ευθεία προσαρμογής στα δεδομένα, διαπιστώ-
νουμε ότι η κλίση της καλύτερης ευθείας (λ = 0,999) προσεγγίζει την τιμή 1 με απόκλιση μόλις 0,13%,

[73]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
ενώ ο σταθερός της όρος (μ = 1,21.10-3) επίσης προσεγγίζει ικανοποιητικά τη θεωρητική τιμή μηδέν.

Εικόνα 65: Σύγκριση δεδομένων θέσης κυλίνδρου - θεωρητικού μοντέλου
Με την ίδια διαδικασία μπορούμε να σχεδιάσουμε σε κοινά συστήματα αξόνων της γραφικές πα-
ραστάσεις της ταχύτητας (vy) του κυλίνδρου και της ταχύτητας (speed) του κινηματικού του μοντέλου
σε συνάρτηση με το χρόνο (Εικόνα 66), καθώς και τις γραφικές παραστάσεις των αντίστοιχων επιτα-
χύνσεων-χρόνου (Εικόνα 67).

Εικόνα 66: Σύγκριση της ταχύτητας στην α.α.τ με το αντίστοιχο θεωρητικό μοντέλο
[74]

Πειράματα Φυσικής (II)

Εικόνα 67: Σύγκριση της επιτάχυνσης στην α.α.τ με το αντίστοιχο θεωρητικό μοντέλο
Ποσοτικά η σύμπτωση πειραματικών δεδομένων – θεωρητικού μοντέλου και στις περιπτώσεις τα-
χύτητας και επιτάχυνσης θα επιβεβαιωθεί με χρήση των γραφικών παραστάσεων vy = f(speed) (Εικόνα
68) και ay = f(accel) (Εικόνα 69) όπου vy, ay η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπως προκύπτουν από τα πει-
ραματικά δεδομένα για τον κύλινδρο, και speed, accel τα αντίστοιχα μεγέθη όπως υπολογίζονται με
βάση το θεωρητικό μοντέλο.

Εικόνα 68: Σύγκριση δεδομένων ταχύτητας κυλίνδρου - θεωρητικού μοντέλου
[75]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Εικόνα 69: Σύγκριση δεδομένων επιτάχυνσης κυλίνδρου - θεωρητικού μοντέλου
Η κλίση και των δύο γραφικών παραστάσεων vy = f(speed) και ay = f(accel) προσεγγίζει τη θεωρητική
τιμή 1 με απόκλιση 0,4% και 0,7% αντίστοιχα, γεγονός που μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλμα-
τος επιβεβαιώνει το θεωρητικό μοντέλο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Ας παρατηρήσουμε ότι:
α. Στην περίπτωση των γρ. παραστάσεων ταχύτητας – χρόνου (Εικόνα 66) είναι φανερό ότι οι μεγαλύ-
τερες αποκλίσεις πειραματικών τιμών – θεωρητικού μοντέλου εμφανίζονται στις θέσεις γύρω από την
τιμή vy = 0, δηλ. όταν ο κύλινδρος περνάει από τις ακραίες θέσεις της κίνησής του. Στο ίδιο συμπέρα-
σμα οδηγηθήκαμε και στην περίπτωση των γραφικών παραστάσεων θέσης – χρόνου.
β. Γενικά τα αποτελέσματα δείχνουν μια αύξηση των αποκλίσεων από τα δεδομένα θέσης (0,1%) στα
δεδομένα ταχύτητας (0,4%) και τέλος στα δεδομένα επιτάχυνσης (0,7%). Ο λόγος είναι πως τα δεδομέ-
να ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι δευτερογενή πειραματικά δεδομένα που παίρνουμε με απλή και
διπλή αριθμητική παραγώγιση των δεδομένων θέσης-χρόνου. Όμως η αριθμητική παραγώγιση είναι
μια διαδικασία εγγενώς ευαίσθητη σε διαφόρων τύπων σφάλματα (αποκοπής, στρογγυλοποίησης, ει-
σόδου, κ.ά.). Επιπλέον κατά την εφαρμογή των σχετικών αλγορίθμων τα σφάλματα στα δεδομένα ει-
σόδου πολλαπλασιάζονται (Γαλάνης, 2010, σσ. 113,114), γεγονός που είναι φανερό στις γραφικές πα-
ραστάσεις της Εικόνας 67, και γι’ αυτό οι μεγαλύτερες αποκλίσεις εμφανίζονται στην περίπτωση της
επιτάχυνσης.
γ. Τα πειραματικά δεδομένα της ιχνηλασίας του βίντεο είναι απαραίτητα και για τις επόμενες δύο δρα-
στηριότητες, γι’ αυτό τελειώνοντας τη δραστηριότητα αποθηκεύουμε όλα τα στοιχεία της καρτέλας
«shm_2.trk».

[76]

Πειράματα Φυσικής (II)

5η δραστηριότητα

Θα επιβεβαιώσουμε το δυναμικό μοντέλο της απλής αρμονικής ταλάντωσης, ότι δηλαδή στην
α.α.τ. είναι:

∑ F =−D ⋅ y με D= m ⋅ω2

Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τα πειραματικά δεδομένα της κίνησης του κέρινου κυλίνδρου
μάζας m = 24,6 g, την ιχνηλασία του οποίου πραγματοποιήσαμε στην προηγούμενη (4η) δραστηριότη-
τα, οπότε ανοίγουμε το αποθηκευμένο στον υπολογιστή μας αρχείο «shm_2.trk».

α. Στο μενού «Τροχιές»-«Νέο» επιλέγουμε τη δημιουργία του Καρτεσιανού δυναμικού μοντέλου της
κίνησης. Στο παράθυρο «Εργαλείο δημιουργίας μοντέλου» που ανοίγει:

• Επιλέγουμε ως «Εναρκτήρα» το υλικό σημείο «Σώμα Α» δηλ. το υλικό σημείο με το οποίο ιχνη-
λατήσαμε την κίνηση του κέρινου κυλίνδρου. Κατ’ αυτό τον τρόπο το Tracker συμπληρώνει αυ-
τόματα τις τιμές των μεγεθών στην περιοχή «Αρχικές τιμές».

• Εισάγουμε την τιμή «0,0246» στην εξ ορισμού παράμετρο «m» που αντιστοιχεί στη μάζα του
κυλίνδρου.

• Προσθέτουμε μία νέα παράμετρο «w» με τιμή «6.466» που αντιστοιχεί στην κυκλική συχνότη-
τα της κίνησης του κυλίνδρου.

• Στην περιοχή «Αρχικές τιμές» διορθώνουμε την τιμή της παραμέτρου «x» εισάγοντας στο σχε-
τικό πλαίσιο την τιμή 1 (ώστε τα ίχνη του δυναμικού μοντέλου στην οριζόντια διεύθυνση να
μην επικαλύπτουν τα ίχνη του κυλίνδρου). Επιπλέον στην παράμετρο «vy» (αρχική ταχύτητα
της κίνησης) εισάγουμε την τιμή «24.532» ίση με τη μέγιστη ταχύτητα (όπως την υπολογίσαμε
στην 4η δραστηριότητα), αφού τη χρονική στιγμή t=0 ο κύλινδρος βρίσκεται στη θέση ισορρο-
πίας.

• Τέλος στην περιοχή «Συναρτήσεις δύναμης» και στην παράμετρο «fy» εισάγουμε τη συνάρτηση
«-m*w^2*y», η οποία αντιστοιχεί στη συνισταμένη των δυνάμεων, που σύμφωνα με το θεωρη-
τικό μοντέλο ασκούνται στον κύλινδρο κατά τη διεύθυνση της κίνησης. Στην παράμετρο «fx»
αφήνουμε την τιμή «0».

β. Κλείνοντας το παράθυρο «εργαλείο δημιουργίας μοντέλου» το Tracker επισυνάπτει στο τρέχον καρέ
το ίχνος του δυναμικού μοντέλου («μοντέλο Β») που μόλις δημιουργήσαμε. Αναπαράγοντας το βίντεο
κλιπ από την αρχή και μέχρι το τέλος του, τα ίχνη του μοντέλου επισυνάπτονται σε όλα τα καρέ, και το
Tracker αυτόματα συμπληρώνει το σχετικό πίνακα τιμών (Εικόνα 70). Θεωρώ εξαιρετικής διδακτικής
αξίας την παρακολούθηση της διαδικασίας επισύναψης των ιχνών του μοντέλου στα διάφορα καρέ του
βίντεο κλιπ, καθώς οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να βλέπουν δίπλα-δίπλα το ίχνος της πραγματικής
κίνησης του κυλίνδρου, το ίχνος του αναλυτικού (κινηματικού) μοντέλου αλλά και το ίχνος του δυναμι-
κού μοντέλου της κίνησης. Η κατά τον άξονα της κίνησης ταύτιση των τριών ιχνών είναι εξαιρετική.

γ. Ποσοτικά το θεωρητικό δυναμικό μοντέλο μπορεί να επιβεβαιωθεί προσδιορίζοντας την κλίση της
γραφικής παράστασης ΣF = f(y) τόσο για την πραγματική κίνηση του κυλίνδρου, όσο και για το θεωρη-
τικό μοντέλο. Για το σκοπό αυτό ορίζουμε και για το υλικό σημείο «Σώμα Α» (δηλ. τον κύλινδρο) και για
το δυναμικό του μοντέλο («μοντέλο Β») ένα νέο μέγεθος με όνομα «ΣF» και συνάρτηση «-m*w^2*y»,
όπου «m» είναι η παράμετρος μάζα του κυλίνδρου με τιμή «0.0246» και «w» η παράμετρος κυκλική
συχνότητα με τιμή «6.466». Στη συνέχεια στο «Εργαλείο δεδομένων» επιλέγουμε να εμφανιστεί η
γραφική παράσταση ΣF = f(y), και να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί η καλύτερη ευθεία προσαρμογής
στα δεδομένα. Στην Εικόνα 71 φαίνονται οι σχετικές γραφικές παραστάσεις στην περίπτωση του κυλίν-
δρου (υλικό σημείο «Σώμα Α»). Η κλίση της καλύτερης ευθείας που επιστρέφει το Εργαλείο δεδομένων
του Tracker είναι:

λ = 1, 03 N / m

ενώ ο σταθερός της όρος είναι ασήμαντος (πρακτικά μηδέν). Στην περίπτωση του ιδανικού ελατηρίου

αναμένουμε λ = k (k = 1,15 Ν/m η σταθερά του ελατηρίου). Απλή τροποποίηση του μοντέλου κατα-

δεικνύει πως οι μεγάλες αποκλίσεις εδώ (της τάξης του 10%) οφείλονται στο ότι κατά τον υπολογισμό

[77]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
του μεγέθους «ΣF» δε λάβαμε υπόψη την ενεργό μάζα του μη ιδανικού ελατηρίου.

Εικόνα 70: Δημιουργία δυναμικού μοντέλου

Εικόνα 71: Γραφική παράσταση ΣF=f(y)
[78]

Πειράματα Φυσικής (II)

6η δραστηριότητα

Με την τελευταία αυτή δραστηριότητα θα διερευνήσουμε ενεργειακά την ταλάντωση του κυλίν-
δρου. Αφού ανοίξουμε το αρχείο «shm_2.trk», θα δημιουργήσουμε δύο νέα φυσικά μεγέθη για τον
κύλινδρο (υλικό σημείο «Σώμα Α»).

• Το μέγεθος με όνομα «U» και συνάρτηση «0.5*m*w^2*y^2» που αντιστοιχεί στη δυναμική ε-

νέργεια της ταλάντωσης του κυλίνδρου: U = 1 mω2 y2 .
2

• Ένα μέγεθος με το όνομα «Ε» και συνάρτηση «Κ+U» που αντιστοιχεί στην ολική ενέργεια του
κυλίνδρου (Κ είναι η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου).

Στο «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker εμφανίζουμε ταυτόχρονα τις γραφικές παραστάσεις της
κινητικής, δυναμικής και ολικής ενέργειας της ταλάντωσης του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο,
καθώς και την καλύτερη ευθεία προσαρμογής στα δεδομένα της ολικής ενέργειας (Εικόνα 72).
Προσοχή: Οι τιμές που παίρνουμε για την ενέργεια δεν είναι σε μονάδες S.I. ( Joule), γιατί οι μονάδες
ταχύτητας είναι cm/s και οι μονάδες απομάκρυνσης είναι cm. Το γεγονός αυτό δεν επηρεάζει την ορ-
θότητα των συμπερασμάτων μας. Για τη μετατροπή των τιμών ενέργειας σε Joule αρκεί τις τιμές που
παίρνουμε από τις γραφικές παραστάσεις να τις πολλαπλασιάζουμε με το σταθερό συντελεστή 10-4.

Εικόνα 72: Ενεργειακή μελέτη της ταλάντωσης του κυλίνδρου
Από τη μελέτη των γραφικών παραστάσεων γίνεται φανερό πως η ολική ενέργεια του κυλίνδρου
με αρχική τιμή 7,5.10-4 J παρουσιάζει με το χρόνο μια μικρή μείωση. Η καλύτερη πειραματική ευθεία
για τα δεδομένα της ολικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο έχει τη μορφή:

=Ε 10−4 ⋅(7,51− 0, 08⋅t ) (J)

που σημαίνει ότι στο χρόνο μελέτης της κίνησης (Δt = 3,40 s) παρουσίασε μια μείωση κατά:

∆=E Eτελ − Εα=ρχ 0, 272 ⋅10−4 (J)

ή σε ποσοστό περίπου 3,6%. Η μείωση της ενέργειας είναι αναμενόμενη, αφού λόγω της αντίστασης
[79]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
του αέρα η πραγματική κίνηση του κυλίνδρου είναι φθίνουσα αρμονική ταλάντωση. Πάντως για χρονι-
κό διάστημα σχεδόν δύο περιόδων η σχετική μείωση της ενέργειας της ταλάντωσης είναι μικρότερη
από 2%, και συνεπώς στα όρια του αποδεκτού σφάλματος μπορούμε για τόσο μικρά χρονικά διαστή-
ματα να θεωρούμε σταθερή την ολική ενέργεια της ταλάντωσης του κυλίνδρου.

[80]

Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση

Θα διερευνήσουμε τα ποιοτικά και ποσοτικά χαρακτηριστικά στις φθίνουσες μηχανικές ταλαντώ-
σεις ενός συστήματος, στο οποίο η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση έχει μέτρο ανάλογο της ταχύ-
τητας (Ιωάννου, Ντάνος, Πήττας, & Ράπτης, 2012, σ. 19), όταν δηλαδή ισχύει Fα =−b ⋅υ :

1. Η περίοδος για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη
από το πλάτος.

2. Όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα
και η περίοδος παρουσιάζει μικρή αύξηση.

3. Σε ακραίες περιπτώσεις στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η κί-
νηση γίνεται απεριοδική.

4. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, δηλαδή: =A Ao ⋅ e−Λt . Η σταθερά Λ
εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος.

Τα βίντεο που πρόκειται να αναλύσουμε μπορούν να μεταφορτωθούν στον υπολογιστή σας μέσω
του συνδέσμου: https://drive.google.com/open?id=1GVUmPIyeER2VO0i93WhnHycVF9JwRhOK, με τη
μορφή ενός συμπιεσμένου (τύπου rar) αρχείου. Θα χρειαστεί να αποσυμπιέσετε τα αρχεία και να τα
αποθηκεύσετε σε κάποιο φάκελο στον υπολογιστή σας. Τα βίντεο έχουν ληφθεί στα 50 καρέ/sec με
αποτέλεσμα να δίνουν κατά την ανάλυση εξαιρετικής ποιότητας γραφήματα θέσης-χρόνου, αλλά με το
μειονέκτημα της αυξημένης χρονικής διάρκειας της ιχνηλασίας. Παρότι μπορούμε μέσω του Tracker να
αναλύσουμε μικρότερο αριθμό καρέ αυξάνοντας το βήμα της ιχνηλασίας, στη συγκεκριμένη περίπτωση
θα αποφύγουμε αυτή τη διαδικασία για λόγους που σχετίζονται με την ακρίβεια στη μέτρηση του χρό-
νου, αφού σε ένα βίντεο των 50 καρέ/sec το σφάλμα στη μέτρηση του χρόνου έχει τη μισή τιμή σε σχέ-
ση με ένα βίντεο των 25 καρέ/sec.

Η πειραματική διάταξη

Δύο μεταλλικοί κύλινδροι με μάζες M = 500 g και m = 142 g αντίστοιχα συνδέονται μεταξύ τους με
χοντρό χάλκινο σύρμα, ώστε να μπορούν να κινούνται ως συσσωμάτωμα. Το σύστημα των δύο κυλίν-
δρων συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα
στερεωμένο. Το σύστημα μπορεί να ταλαντώνεται κατακόρυφα είτε ευρισκόμενο εξ ολοκλήρου στον
αέρα, είτε με τον κατώτερο κύλινδρο βυθισμένο σε κάποιο ρευστό (Εικόνα 73), ώστε να μεταβάλλονται
οι δυνάμεις απόσβεσης.

Εικόνα 73: Η πειραματική διάταξη
[81]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

1η δραστηριότητα

Στο βίντεο «dhm_2(480p).mp4» το σύστημα της πειραματικής διάταξης ταλαντώνεται στον αέρα.
Λόγω των πολύ μικρών αποσβέσεων και της σχετικά μεγάλης αδράνειας του συστήματος οι ταλαντώ-
σεις φθίνουν με πάρα πολύ αργό ρυθμό, καθιστώντας μη πρακτική τη χρήση του βίντεο για τη μελέτη
των φθινουσών ταλαντώσεων. Αντίθετα και για ένα αριθμό 10-15 πλήρων ταλαντώσεων το συγκεκρι-
μένο βίντεο μπορεί να χρησιμεύσει ως πολύ καλή προσέγγιση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Θα
χρησιμοποιήσουμε λοιπόν αυτό το βίντεο, για να εκτιμήσουμε την ιδιοπερίοδο του συστήματος. Για το
σκοπό αυτό θα αναλύσουμε ένα τμήμα του από το καρέ 0 μέχρι και το καρέ 528. Αφού δημιουργήσου-
με ένα υλικό σημείο («Σώμα Α») για την ιχνηλασία της ταλάντωσης του συστήματος, δημιουργούμε το
ίχνος του στο πρώτο καρέ και ρυθμίζουμε το πρότυπο ταύτισης. Διαπιστώσαμε ότι παίρνουμε τα καλύ-
τερα αποτελέσματα με το ίχνος και το πρότυπο ταύτισης όπως στην Εικόνα 74.

Εικόνα 74: Ρύθμιση του προτύπου ταύτισης

Μετά την ολοκλήρωση της αυτόματης ιχνηλασίας και με τη δυνατότητα μέτρησης των συντεταγ-
μένων που διαθέτει το «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker, προσδιορίζουμε τις χρονικές στιγμές που
αντιστοιχούν στο πρώτο και στο 11ο μέγιστο της γραφικής παράστασης απομάκρυνσης (y) – χρόνου (t)
της ταλάντωσης του συστήματος. Είναι:

t1 = 0, 48 s και t11 = 10, 06 s

Το αντίστοιχο χρονικό διάστημα αντιστοιχεί σε 10 πλήρεις ταλαντώσεις, οπότε:

T = ∆t = t11 − t1 = 10, 06 − 0, 48 ⇒ T = 0,958 s
NN 10

Το ελάχιστο χρονικό διάστημα που μπορεί να μετρηθεί στο συγκεκριμένο βίντεο είναι ίσο με το χρονικό
διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών καρέ, δηλ. 0,02 s, αφού το εν λόγω βίντεο έχει ληφθεί με ρυθμό 50
καρέ ανά δευτερόλεπτο. Συνεπώς το σφάλμα στη μέτρηση του χρόνου είναι ίσο με το μισό του ελάχι-
στου μετρήσιμου χρονικού διαστήματος:

σt = 0, 01 s

Με βάση τη θεωρία διάδοσης των σφαλμάτων, το σφάλμα στον υπολογισμό της περιόδου είναι:

σT =  ∂T 2 σ 2  ∂T 2 σ 2 = σt 2 (8.1)
 ∂t1  t + ∂t2  t N
  


οπότε:

=σ T σ=t 2 0, 0=1 2 0, 0014 s
N 10

Συνεπώς μια πολύ καλή εκτίμηση της ιδιοπεριόδου της ταλάντωσης του συστήματος είναι:

=Tο (0,958 ± 0, 001) s

[82]

Πειράματα Φυσικής (II)

2η δραστηριότητα

Με την παρούσα δραστηριότητα θα διερευνήσουμε την ισχύ της πρότασης «η περίοδος μιας φθί-
νουσας ταλάντωσης, για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b, διατηρείται σταθερή και ανεξάρ-
τητη από το πλάτος».

Θα αναλύσουμε το βίντεο «dhm_1(480p).mp4» στο οποίο έχει καταγραφεί η φθίνουσα ταλάντω-
ση του συστήματος της πειραματικής διάταξης με τον κατώτερο κύλινδρο πλήρως βυθισμένο σε δοχείο
που περιέχει νερό. Στο βίντεο καταγράφεται το φαινόμενο σε ολόκληρη τη διάρκειά του, δηλ. από την
έναρξη των ταλαντώσεων μέχρι και την πλήρη ακινητοποίηση του συστήματος. Καθώς η ανάλυση ολό-
κληρου του βίντεο είναι αρκετά χρονοβόρα, θα αρκεστούμε στην ανάλυση ενός μικρότερου χρονικού
διαστήματος της κίνησης από το καρέ 1 μέχρι και το καρέ 1250, στο οποίο περιλαμβάνονται 25 πλήρεις
ταλαντώσεις του συστήματος. Η ακριβής βαθμονόμηση του βίντεο δεν κρίνεται απαραίτητη για τους
στόχους της δραστηριότητας, και συνεπώς θα αποδεχτούμε την εξ ορισμού σε αυθαίρετες μονάδες
βαθμονόμηση του βίντεο από το Tracker. Αφού δημιουργήσουμε ένα υλικό σημείο («Σώμα Α») για την
ιχνηλασία της ταλάντωσης του συστήματος, σημειώνουμε το ίχνος του στο πρώτο καρέ, ρυθμίζουμε
κατάλληλα το πρότυπο ταύτισης, και ολοκληρώνουμε την αυτόματη ιχνηλασία του. Περιστρέφουμε το
εξ ορισμού σύστημα αξόνων κατά 180˚, ώστε η θετική φορά στον άξονα y’y να είναι προς τα κάτω, και
τέλος αποθηκεύουμε την καρτέλα με τα αποτελέσματα της ιχνηλασίας με το όνομα «dhm_1(480p).trk».
Γνωρίζουμε ότι μετά την ολοκλήρωση των φθινουσών ταλαντώσεών του το σύστημα ακινητοποιείται
στη θέση ισορροπίας του, στην οποία θα πρέπει να τοποθετηθεί η αρχή των αξόνων. Μετακινούμε με
«συγκράτηση και σύρσιμο (drag and drop)» ή με τη βοήθεια των πλήκτρων κίνησης του δρομέα την
αρχή του συστήματος αξόνων, προσέχοντας ταυτόχρονα τις τιμές απομάκρυνσης στον πίνακα τιμών
που έχει ήδη συμπληρώσει το Tracker. Θα πρέπει να μεταφέρουμε το σύστημα αξόνων σε τέτοια θέση,
ώστε οι τιμές απομάκρυνσης για το τελευταίο μέγιστο και το τελευταίο ελάχιστο της απομάκρυνσης να
έχουν περίπου την ίδια απόλυτη τιμή. Στην περίπτωση της δικής μας ιχνηλασίας αυτό σήμαινε τοποθέ-
τηση της αρχής του συστήματος αξόνων κατακόρυφα στη θέση y = 254,9 pixels. Μετά μπορούμε να
εμφανίσουμε στο «Εργαλείο δεδομένων» του Tracker τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης (y) σε
συνάρτηση με το χρόνο (t) για την ταλάντωση του συστήματος (Εικόνα 75).

Εικόνα 75: Η χρονική μεταβολή της απομάκρυνσης όταν ο κατώτερος κύλινδρος είναι βυθισμένος σε νερό
[83]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Με τη δυνατότητα μέτρησης των συντεταγμένων που διαθέτει το «Εργαλείο δεδομένων» θα με-
τρήσουμε σε διάφορες θέσεις το χρόνο που απαιτείται, για να ολοκληρωθούν πέντε πλήρεις ταλαντώ-
σεις. Μεγέθυνση της γραφικής παράστασης βοηθάει σημαντικά στον ακριβέστερο προσδιορισμό των
καταλλήλων θέσεων π.χ. μέγιστα ή ελάχιστα της καμπύλης (Εικόνα 76). Τα αποτελέσματα που πήραμε
φαίνονται στον Πίνακα 15. Στο σημείο αυτό πρέπει να πούμε πως το Tracker με τη μέθοδο μέτρησης
των συντεταγμένων δεν επιστρέφει τα πειραματικά δεδομένα με πλήρη ακρίβεια, αλλά τα αναγράφει
σε επιστημονική μορφή και πάντα με δύο δεκαδικά ψηφία. Ως πρακτική λύση μπορούμε, αφού κάνου-
με κλικ στη γραφική παράσταση και πάνω στο σημείο του οποίου ζητάμε τις συντεταγμένες, να αναζη-
τήσουμε στη συνέχεια την ακριβή τιμή των συντεταγμένων στο πίνακα τιμών που ενσωματώνει το «Ερ-
γαλείο δεδομένων.

Πίνακας 15: Πειραματικά δεδομένα

Αρχή Τέλος Αριθμός Χρόνος
Χρόνος t1 (s) Χρόνος t2 (s) ταλαντώσεων Δt = t2-t1 (s)

0,00 4,90 5 4,90

4,90 9,80 5 4,90

9,80 14,70 5 4,90

14,70 19,62 5 4,92

19,62 24,52 5 4,90

Εικόνα 76: Λεπτομέρεια μέτρησης συντεταγμένων
Από τα αποτελέσματα του Πίνακα 15 γίνεται φανερό πως ο χρόνος που απαιτείται για πέντε πλή-
ρεις ταλαντώσεις είναι πρακτικά σταθερός (Δt = 4,90 s) ανεξαρτήτως της χρονικής θέσης κατά τη διάρ-
κεια της ταλάντωσης στην οποία γίνεται η μέτρηση. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως η περίοδος
της φθίνουσας ταλάντωσης του συστήματος είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους της κίνησης.

[84]

Πειράματα Φυσικής (II)

3η δραστηριότητα

Σκοπός της δραστηριότητας είναι να επιβεβαιώσουμε ότι «όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώ-
νει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και η περίοδος παρουσιάζει μικρή αύξηση».

Αρχικά χρησιμοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα από την ιχνηλασία της δεύτερης δραστηριότη-
τας θα προσδιορίσουμε την περίοδο της ταλάντωσης του συστήματος, όταν ο κατώτερος κύλινδρος
είναι πλήρως βυθισμένος μέσα σε νερό (που έχει σχετικά μικρή σταθερά απόσβεσης). Παρατηρούμε
ότι το πρώτο μέγιστο της καμπύλης y – t αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t1 = 0,0 s, και το 11ο μέγιστο
στη χρονική στιγμή t2 = 9,8 s. Οπότε η περίοδος προκύπτει:

T1 = ∆t = t2 − t1 = 9,8 − 0 ⇒ T = 0,980 s
N N 10

Το αντίστοιχο σφάλμα θα υπολογιστεί με βάση την εξίσωση (8.1):

=σ T1 σ=t 2 0, 0=1 2 0, 001 s
N 10

Ας σημειώσουμε πως η περίοδος με τον κατώτερο κύλινδρο βυθισμένο στο νερό διαφέρει κατά
2,3% περίπου, σε σχέση με την εκτίμηση της ιδιοπεριόδου που κάναμε στην 1η δραστηριότητα. Αυτή η
διαφορά στην περίπτωσή μας είναι σημαντική, αφού η εκτίμηση της ιδιοπεριόδου μας έδωσε μια πε-
ριοχή διακύμανσής της από 0,957 s μέχρι 0,959 s, ενώ η αντίστοιχη περιοχή για την περίοδο, όταν ο
μικρότερος κύλινδρος είναι βυθισμένος στο νερό, είναι από 0,979 s μέχρι 0,981 s. Καθώς οι δύο περιο-
χές δεν επικαλύπτονται συμπεραίνουμε πως στην περίπτωση μεγαλύτερων αποσβέσεων η περίοδος
παρουσιάζει μικρή αύξηση.

Εικόνα 77: Αποτελέσματα ιχνηλασίας στην περίπτωση μεγαλύτερων αποσβέσεων

Θα επιβεβαιώσουμε το συμπέρασμά μας και στην περίπτωση που ο κατώτερος κύλινδρος ταλα-
ντώνεται πλήρως βυθισμένος μέσα σε ελαιόλαδο και συνεπώς η σταθερά απόσβεσης έχει ακόμη μεγα-
λύτερη τιμή. Θα αναλύσουμε τα καρέ 3 μέχρι και 589 από το βίντεο «dhm_3(480p).mp4» και θα απο-

[85]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
θηκεύσουμε τα αποτελέσματα στο αρχείο «dhm_3(480p).trk». Στην Εικόνα 77 φαίνονται τα αποτελέ-
σματα της ιχνηλασίας στο «Εργαλείο δεδομένων».
Η αντίστοιχη τιμή της περιόδου με βάση τη διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως (αλλά για 6
μόνο πλήρεις ταλαντώσεις), προκύπτει:

=T2 (1, 003 ± 0, 002) s

Για τους ίδιους λόγους όπως και προηγουμένως, το αποτέλεσμα δείχνει πως με την αύξηση της σταθε-
ράς απόσβεσης αυξάνεται και η περίοδος των φθινουσών ταλαντώσεων. Βεβαίως στην περίπτωση αυ-
τή η απόκλιση της περιόδου από την εκτίμηση της ιδιοπεριόδου προσεγγίζει το 5%.

Η σύγκριση των αποτελεσμάτων της ιχνηλασίας (Εικόνες 75 & 77) δείχνει επιπλέον ότι το πλάτος
μειώνεται πιο γρήγορα στην περίπτωση των μεγαλύτερων αποσβέσεων.

4η δραστηριότητα

Σκοπός της δραστηριότητας είναι να επιβεβαιώσουμε ότι για πολύ μεγάλες τιμές της σταθεράς
απόσβεσης η κίνηση γίνεται απεριοδική. Στο βίντεο «dhm_4(480p).mp4» καταγράφεται η κίνηση του
συστήματος με τον κατώτερο κύλινδρο πλήρως βυθισμένο σε παχύρευστο υγρό απορρυπαντικό πιά-
των. Αναλύσαμε τα καρέ 1 μέχρι και 85, και από τα αποτελέσματα της ιχνηλασίας (Εικόνα 78) είναι φα-
νερό πως η κίνηση είναι απεριοδική.

Εικόνα 78: Η γραφική παράσταση y = f(t) στην περίπτωση πολύ μεγάλων αποσβέσεων

[86]

Πειράματα Φυσικής (II)

5η δραστηριότητα

Θα επιβεβαιώσουμε ότι στην περίπτωση αντιστάσεων με μέτρο ανάλογο της ταχύτητας το πλάτος
των φθινουσών ταλαντώσεων μειώνεται εκθετικά με το χρόνο (περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης).
Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα ιχνηλασίας που έχουμε πάρει κατά την ανάλυση
των δύο βίντεο «dhm_1(480p).mp4» και «dhm_3(480p).mp4».

Ανοίγουμε το αρχείο «dhm_1(480p).trk» και στο «Εργαλείο δεδομένων» εμφανίζουμε τα δεδομέ-
να απομάκρυνσης (σε αυθαίρετες μονάδες) – χρόνου (σε sec) (Εικόνα 75). Με τη διαδικασία μέτρησης
συντεταγμένων παίρνουμε τις τιμές που φαίνονται στον Πίνακα 16. Στην τρίτη στήλη φαίνονται οι με-
τρήσεις πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης και στη δεύτερη οι αντίστοιχες χρονικές στιγμές.

Πίνακας 16: Πειραματικά δεδομένα από dhm_1(480p).trk

α/α Χρόνος t (s) Πλάτος Α (α.μ.)

1 0,00 68,595

2 0,98 62,765

3 1,96 57,626

4 2,94 52,613

5 3,92 48,718

6 4,9 45,569

7 5,88 42,548

8 6,86 39,694

9 7,84 36,683

10 8,82 34,664

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε στο Excel τη γραφική παράσταση πλάτους Α - χρόνου t καθώς και
την καμπύλη εκθετικής μείωσης που προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα (Εικόνα 79).

A (α.μ.) 80

70 y = 67,159e-0,077x
R² = 0,9965

60

50

40 Α = f(t)
30 Προσαρμογή

20

10

0
0 2 4 6 8 10
t (s)

Εικόνα 79: Η γραφική παράσταση A = f(t)
όταν ο κατώτερος κύλινδρος ταλαντώνεται πλήρως βυθισμένος σε νερό

[87]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Είναι φανερή η καλή προσαρμογή (R2=0,9965) της εκθετικής καμπύλης μορφής A = Aoe−Λt στα πειρα-
ματικά δεδομένα, ενώ από την εξίσωση καλύτερης καμπύλης που προσδιορίζει το Excel προκύπτει:

Ao = 67, 2 (α.µ.) και Λ = 0, 077 s−1

Τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα για την ταλάντωση με τον κατώτερο κύλινδρο πλήρως βυθι-
σμένο σε ελαιόλαδο (από το αρχείο «dhm_3(480p).trk») καταγράφονται στον Πίνακα 17 και η αντίστοι-
χη γραφική παράσταση φαίνεται στην Εικόνα 80.

Πίνακας 17: Πειραματικά δεδομένα από dhm_3(480p).trk

α/α Χρόνος t (s) Πλάτος Α (α.μ.)

1 0,00 62,983
2 1,02 38,483

3 2,02 26,038

4 3,02 17,060

5 4,00 11,005
6 5,02 6,993

70
y = 61,98e-0,433x

60 R² = 0,9994

50

A (α.μ.) 40

30

20 Α = f(t)
Προσαρμογή
10

0
0123456
t (s)

Εικόνα 80: Η γραφική παράσταση A = f(t)
όταν ο κατώτερος κύλινδρος ταλαντώνεται πλήρως βυθισμένος σε ελαιόλαδο

Είναι και πάλι φανερή η καλή προσαρμογή (R2 = 0,9994) της εκθετικής καμπύλης μορφής A = Aoe−Λt
στα πειραματικά δεδομένα, ενώ από την εξίσωση καλύτερης καμπύλης που προσδιορίζει το Excel προ-
κύπτει:

Ao = 62, 0 (α.µ.) και Λ = 0, 433 s−1

Η μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς Λ στην περίπτωση της κίνησης μέσα στο ελαιόλαδο οφείλεται στη
μεγαλύτερη σταθερά απόσβεσης.

[88]

Μαγνητική πέδηση

Στοιχεία θεωρίας

Τα δινορεύματα (eddy currents) -που επίσης καλούνται και ρεύματα Foucault- είναι βρόχοι ηλε-
κτρικού ρεύματος, που σύμφωνα με το νόμο του Faraday επάγονται σε συμπαγείς μάζες μεταλλικών
αγωγών, όταν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από αυτούς. Τα δινορεύματα επάγονται σε
μεταλλικές επιφάνειες που κινούνται εντός μαγνητικού πεδίου ή σε ακίνητες μεταλλικές επιφάνειες
που βρίσκονται εντός χρονικά μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου, και έχουν σύμφωνα με τον κανόνα
του Lenz φορά τέτοια, ώστε να αντιτίθενται στο αίτιο της εμφάνισής τους. Δηλαδή αν αίτιο της εμφάνι-
σης των δινορευμάτων είναι η κίνηση μιας μεταλλικής επιφάνειας εντός μαγνητικού πεδίου ή η κίνηση
ενός μαγνήτη κοντά σε μια μεταλλική επιφάνεια, τότε λόγω των δημιουργούμενων δινορευμάτων και
με βάση τον κανόνα Lenz στο κινούμενο σώμα ασκούνται μαγνητικές δυνάμεις με φορά αντίθετη της
κίνησής του, με αποτέλεσμα την επιβράδυνσή του (μαγνητική πέδηση). Στην περίπτωση που το κινού-
μενο σώμα ταλαντώνεται το αποτέλεσμα είναι μια φθίνουσα ταλάντωση, όπως ακριβώς συμβαίνει και
στην περίπτωση μιας αλουμινένιας ή χάλκινης πλάκας η οποία με τη μορφή φυσικού εκκρεμούς ταλα-
ντώνεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο (Εικόνα 81).

Εικόνα 81: Μαγνητική πέδηση

Τρία βασικά μαθηματικά μοντέλα έχουν αναπτυχθεί για τη μελέτη της επίδρασης των δινορευμά-

των σε ένα κινούμενο αγωγό (Qian & Kachroo, 1997). Το μοντέλο του Smythe (1942) περιγράφει τα α-

ποτελέσματα στην περίπτωση ενός μεταλλικού δίσκου περιστρεφόμενου με μικρή σχετικά ταχύτητα

εντός μαγνητικού πεδίου. Το μοντέλο του Schieber (1974) επεκτείνει το μοντέλο Smythe και στην περί-

πτωση μιας γραμμικά κινούμενης μεταλλικής ταινίας, ενώ το μοντέλο του Wouterse (1991) λαμβάνο-

ντας υπόψη τις εργασίες των Smythe και Schieber επιβεβαιώνει τα συμπεράσματά τους στην περιοχή

των χαμηλών ταχυτήτων και επεκτείνει το μοντέλο στην περιοχή των υψηλών ταχυτήτων. Το βασικό

συμπέρασμα είναι πως στην περιοχή των χαμηλών ταχυτήτων που μας ενδιαφέρουν οι μαγνητικές δυ-

νάμεις απόσβεσης έχουν μέτρο ανάλογο της ταχύτητας του κινούμενου αγωγού, και ανάλογο του τε-

τραγώνου της έντασης του μαγνητικού πFεδα ίο= υ−σbτυο οποίο βρίσκεται ή κινείται ο αγωγός. Δηλαδή:
με b ∝ B2

Δηλαδή τα βασικά ποιοτικά και ποσοτικά συμπεράσματα που διατυπώσαμε στην περίπτωση της
φθίνουσας μηχανικής ταλάντωσης, ισχύουν και στην περίπτωση της ταλάντωσης ενός αγωγού υπό την
επίδραση δινορευμάτων.

[89]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Πειραματική διαδικασία

Για τη μελέτη του φαινομένου θα αναλύσουμε το βίντεο «Critical Damping -- xmdemo 068.mp4»
το οποίο μπορεί να μεταφορτωθεί και να αποθηκευτεί στον υπολογιστή σας μέσω του συνδέσμου
«https://www.youtube.com/watch?v=99ZE2RGwqSM». Καθώς πρόκειται για αρχείο υψηλής ανάλυσης
και αρκετά μεγάλου μεγέθους, είναι προτιμότερο να αποθηκευθεί σε ανάλυση 480p, ώστε να μειωθεί
κάπως το μέγεθός του. Στο βίντεο καταγράφονται οι ταλαντώσεις ενός φυσικού εκκρεμούς το οποίο
αποτελείται από ένα χάρακα αναρτημένο από το ένα άκρο του σε σταθερό σημείο, ενώ στο άλλο άκρο
του δυο μαγνητικοί δίσκοι νεοδυμίου συγκρατούνται ακίνητοι στις θέσεις τους και στις αντίθετες όψεις
του χάρακα λόγω των αμοιβαίων έλξεων (Εικόνα 82). Το σύστημα μπορεί να ταλαντώνεται σε κατακό-
ρυφο επίπεδο, έτσι ώστε το κατώτερο άκρο του χάρακα με τους δύο μαγνήτες να βρίσκεται συνεχώς
απέναντι από μια κατακόρυφη πλάκα αλουμινίου. Τα δινορεύματα που δημιουργούνται στη μεταλλική
πλάκα λόγω της ταλάντωσης των μαγνητών έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση μαγνητικών δυνάμεων
απόσβεσης στο χάρακα. Καθώς η κατακόρυφη μεταλλική πλάκα μπορεί να μετακινείται πλησιάζοντας ή
απομακρυνόμενη από τους μαγνήτες και συνεπώς ευρισκόμενη μέσα σε ισχυρότερο ή ασθενέστερο
μαγνητικό πεδίο, η σταθερά απόσβεσης στο σύστημα μπορεί να μεταβάλλεται.

Εικόνα 82: Η πειραματική διάταξη
Για την ανάλυση του βίντεο θα δημιουργήσουμε ένα υλικό σημείο και θα ρυθμίσουμε το πρότυπο
ταύτισης όπως φαίνεται στην Εικόνα 83.

Εικόνα 83: Ρύθμιση του προτύπου ταύτισης
Τα τμήματα του βίντεο που θα αναλύσουμε έχουν ως εξής:

[90]

Πειράματα Φυσικής (II)

• Τρία τμήματα μεταξύ των καρέ 662-1360, 1512-1749 και 2298-2395 που περιλαμβάνουν τρεις
διαφορετικές περιπτώσεις φθίνουσας ταλάντωσης με υποκρίσιμη απόσβεση και με αυξανόμε-
νη σταθερά απόσβεσης. Η αύξηση της σταθεράς απόσβεσης επιτυγχάνεται με τοποθέτηση της
μεταλλικής πλάκας πλησιέστερα προς τους μαγνήτες, οπότε η πλάκα βρίσκεται μέσα σε ισχυ-
ρότερο μαγνητικό πεδίο.

• Ένα τμήμα μεταξύ των καρέ 3102-3168 που περιλαμβάνει την περίπτωση κρίσιμης απόσβεσης
(απεριοδική κίνηση).

• Ένα τμήμα μεταξύ των καρέ 3902-4020 που περιλαμβάνει μια περίπτωση υπερκρίσιμης από-
σβεσης (απεριοδική κίνηση).

Συμπεράσματα

α. Η εξάρτηση της περιόδου από τη σταθερά απόσβεσης στην περίπτωση της υποκρίσιμης απόσβεσης
επιβεβαιώνεται, αφού στην πρώτη περίπτωση (Εικόνα 84) η περίοδος προκύπτει:

=T1 (1,303 ± 0, 002) s

ενώ στη δεύτερη περίπτωση (Εικόνα 85):

=T2 (1, 292 ± 0, 006) s

Η σχετική απόκλιση μεταξύ των δύο περιπτώσεων είναι περίπου 0,84%. Στην τρίτη περίπτωση (Εικόνα
86) λόγω πολύ μεγαλύτερου σφάλματος (αφού μόνο 2 πλήρεις ταλαντώσεις πραγματοποιούνται μέχρι
την ολοκλήρωση του φαινομένου) η εξάρτηση της περιόδου από τη σταθερά απόσβεσης δεν επιβε-
βαιώνεται.
β. Στις Εικόνες 87 και 88 καλύπτονται οι περιπτώσεις απεριοδικής κίνησης, όταν η σταθερά απόσβεσης
γίνει πολύ μεγάλη. Στην περίπτωση κρίσιμης απόσβεσης (Εικόνα 87) μπορούμε να επιβεβαιώσουμε
πως ο χρόνος που απαιτείται, για να υποδιπλασιαστεί το αρχικό πλάτος, είναι περίπου 0,37 s. Ο αντί-
στοιχος χρόνος στην περίπτωση της υπερκρίσιμης απόσβεσης (Εικόνα 88) είναι περίπου 0,53 s, δηλαδή
το σώμα επιστρέφει προς την τελική θέση ισορροπίας του με πιο αργό ρυθμό.

Εικόνα 84: Γρ. παράσταση y = f (t) για την 1η περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης ( b1 )
[91]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker

Εικόνα 85: Γρ. παράσταση y = f (t) για την 2η περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης ( b2 > b1 )

Εικόνα 86: Γρ. παράσταση y = f (t) για την 3η περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης ( b3 > b2 > b1 )
[92]

Πειράματα Φυσικής (II)

Εικόνα 87: Γρ. παράσταση y = f (t) για την περίπτωση κρίσιμης απόσβεσης

Εικόνα 88: Γρ. παράσταση y = f (t) για την περίπτωση υπερκρίσιμης απόσβεσης
[93]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
γ. Τα πειραματικά δεδομένα για το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης στις διάφορες περιπτώσεις υ-
ποκρίσιμης απόσβεσης προσεγγίζονται ικανοποιητικά από μια συνάρτηση εκθετικής μείωσης της μορ-
φής A = yo + Ao ⋅ e−Λt (Εικόνα 89), γεγονός που εν μέρει επιβεβαιώνει τη βασική υπόθεση πως το μέ-
τρο των μαγνητικών δυνάμεων λόγω δινορευμάτων μεταβάλλονται γραμμικά σε σχέση με το μέτρο της
ταχύτητας.

Εικόνα 89: Γραφική παράσταση A = f(t) για την 1η περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης

[94]

Οριακή ταχύτητα

Μία γυάλινη μπίλια διαμέτρου δ=16 mm αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα μέσα σε διαφανές πλα-
στικό δοχείο που περιέχει παχύρευστο υγρό απορρυπαντικό πιάτων. Σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα η
μπίλια αποκτά σταθερή (οριακή) ταχύτητα. Το φαινόμενο έχει καταγραφεί με ρυθμό 50 fps στο βίντεο
«drop10.mp4», το οποίο μπορείτε να μεταφορτώσετε στον υπολογιστή σας μέσω του συνδέσμου
«https://drive.google.com/open?id=1PiW31bsvycdzwqidDrtYqG4N8BO2Ov4a».

Θεωρητικά στοιχεία

Στη μπίλια δρουν το βάρος της W, η άνωση A και η αντίσταση FD από το υγρό (Εικόνα 90).

Εικόνα 90: Οι δυνάμεις που δρουν στη μπίλια

Η αντίσταση του υγρού για στρωτή ροή και μικρές ταχύτητες έχει σύμφωνα με το νόμο του Stokes μέ-

τρο ανάλογο της ταχύτητας: FD = kυ . Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την κίνηση της μπίλιας δίνει:

F= ma ⇒ mg − FD − A = m dυ και τελικά:
dt

dυ + kυ −  g − A  =0 (10.1)
dt m  m 

H λύση της διαφορικής εξίσωσης (10.1), δίνει (Young & Freedman, 2012, σ. 153):

=υ υορ  −kt  (10.2)
1− 
em



όπου υορ είναι η σταθερή (οριακή) ταχύτητα που αποκτά η μπίλια όταν dυ =0 (θεωρητικά μετά από
dt

άπειρο χρόνο), και η οποία εύκολα μέσω της εξίσωσης (10.1) αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

υορ = ( ρ′ − ρ ) gV (10.3)

k

όπου ρ′ είναι η πυκνότητα της μπίλιας και ρ η πυκνότητα του υγρού.

Με την ανάλυση του βίντεο «drop10.mp4» θα επιβεβαιώσουμε αυτή τη θεωρητική πρόβλεψη

(εκθετική αύξηση της ταχύτητας) και θα προσδιορίσουμε την οριακή τιμή που αποκτά η μπίλια.

Ανάλυση του βίντεο

Θα αναλύσουμε τα καρέ 0 έως 80 από το βίντεο. Στο πλαστικό δοχείο έχουμε χαράξει δύο μικρές
οριζόντιες μαύρες γραμμές σε απόσταση 10 cm μεταξύ τους και θα τις χρησιμοποιήσουμε για τη βαθ-

[95]

Το λογισμικό ανάλυσης βίντεο Tracker
μονόμηση του βίντεο. Επιπρόσθετα περιστρέφουμε το εξ ορισμού σύστημα αξόνων του Tracker δεξιό-
στροφα κατά 90˚, ώστε ο άξονας y’y να γίνει κατακόρυφος και με τη θετική φορά προς τα κάτω, ενώ
μεταφέρουμε και την αρχή των αξόνων σε ένα σημείο λίγο πάνω από τη θέση της μπίλιας στο πρώτο
καρέ. Δημιουργούμε το ίχνος της μπίλιας στο πρώτο καρέ και ολοκληρώνουμε την αυτόματη ιχνηλασία.

Εικόνα 91: Μετά την ολοκλήρωση της ιχνηλασίας
Στην περιοχή εμφάνισης των γραφικών παραστάσεων επιλέγουμε εμφάνιση της γρ. παράστασης
vy = f(t) και επιπλέον στον πίνακα τιμών επιλέγουμε να εμφανιστούν οι τιμές της ταχύτητας vy (Εικόνα
91). Στον πίνακα δεδομένων επιλέγουμε όλα τα πειραματικά δεδομένα χρόνου (t) και ταχύτητας (vy), τα
αντιγράφουμε με πλήρη ακρίβεια στο πρόχειρο (με δεξί κλικ στον πίνακα δεδομένων και επιλέγοντας
«Αντιγραφή επιλεγμένων δεδομένων»-«Πλήρης ακρίβεια»), και μετά τα επικολλάμε στην εφαρμογή
OriginLab, όπου επιλέγουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική τους παράσταση καθώς και την καμπύλη εκ-
θετικής αύξησης που προσαρμόζεται καλύτερα στα πειραματικά δεδομένα (Εικόνα 92). Με συντελεστή
συσχέτισης R2=0,977 τα πειραματικά δεδομένα προσεγγίζονται από καμπύλη της μορφής:

( )=vy a 1− e−bt μ=ε α (7, 74 ± 0, 03) cm / s κα=ι b (7, 4 ± 0, 2) s−1

και συνεπώς η οριακή ταχύτητα που αποκτά η μπίλια κατά την κίνησή της είναι:

=vορ (7, 74 ± 0, 03) cm / s

Η σχετικά μειωμένη τιμή του συντελεστή συσχέτισης ήταν λίγο – ως πολύ αναμενόμενη, αφού τα πει-
ραματικά δεδομένα ταχύτητας – χρόνου προέκυψαν από τα δεδομένα θέσης – χρόνου με αριθμητική
παραγώγιση, μια διαδικασία πολλαπλασιασμού των σφαλμάτων (Γαλάνης, 2010, σσ. 113,114).

Με τη βοήθεια του OriginLab μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
y=f(t), (Εικόνα 93) η οποία θεωρητικά έχει τη μορφή:

∫y = vy (t ) dt ⇒ y = y o +at + abe−bt

[96]