PENGANTAR STATISTIK SOSIAL

Pengantar Statistika Sosial

Untuk dapat menentukan batas kelas yang sebenarnya atau tepi kelas perlu
diperhatikan ketentuan-ketentuan berikut :

1) Jika data dicatat diteliti hingga satuan maka, tepi kelas bawah sama
dengan ujung bawah dikurangi 0,5 tepi kelas atasnya didapat dari ujung
atas ditambah dengan 0,5.

2) Untuk data dicatat hingga satu decimal tepi kelas bawah sama dengan
ujung bawah dikurangi 0,05 dan tepi kelas atas sama dengan ujung atas
ditambah dengan 0,5

3) Kalau data hingga 2 desimal, tepi kelas bawah sama dengan ujung
bawah dikurangi 0,005 dan tepi kelas atas sama dengan ujung atas
ditambah 0,005 dan begitu seterusnya.

B. Disribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi : artinya berapa kali data tersebut muncul dalam perhitungan

karena itu ∑ f = (sigma) f sama sengan jumlah frekuensi. Dalam daftar frekuensi,
frekuensi dinyatakan banyaknya data yang terdapat dalam setiap kelas jadi dalam
bentuk absolut.

Frekuensi relatifadalahjika frekuensi dinyatakan dalam % maka diperoleh
frekuensi relatif. Didalam daftar dinamakan daftar distribusi frekuensi relatif.

Frekuensi kumulatifdapat dibentuk dengan jalan menjumlahkan frekuensi
demi frekuensi.

Frekuensi kumulatif ada dua macam yaitu :
1. Frekuensi kumulatif biasa yang diambil dari angka-angka absolut.
2. Frekuensi kumulatif relatif yang diambil dari angka fremuensi relatif.

Kedua jenis frekuensi kumulatif itu dapat kumulatif llebih dari dan kuarang
dari. Karena itu kita kenal 4 jenis frekuensi kumulatif yaitu :

46 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

1. Frekuensi kumulatif biasa lebih dari
2. Frekuensi kumulatif biasa kurang dari
3. Frekuensi kumulatif relatif lebih dari
4. Frekuensi kumulatif relatif kurang dari

Adapun arti kurang dari dan lebih dari, adalah kurang dari ujung bawah
kelas dan lebih dari ujung bawah kelas.
Dalam contoh data kita di muka adalah : (45, 53, 61, 69, 77, 85, dan 93).

Jadi kumulatif kurang dari menurut data tersebuut pada tabel adalah :
Kurang dari 45
Kurang dari 53
Kurang dari 61
Kurang dari 69
Kurang dari 77
Kurang dari 85
Kurang dari 93
Kurang dari 100

Sedangkan kumuulatif lebih dari adalah sebagai berikut :
45 atau lebih
53 atau lebih
61 atau lebih
69 atau lebih
77 atau lebih
85 atau lebih
93 atau lebih
101 atau lebih

47 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Kalau tabel III.1 kita lengkapi dengan frekuensi relatif dan kumulatif akan

kita peroleh bentuk daftar sepertitabeldibawah ini.

Tabel III.2. Frekuensi Modal Perusahaan dalam Jutaan Rupiah

Batas kelas Mi f f(%) f kum f kum f kum f kum
Modal obs < obs ≥ (%) (%)
< >
45 – 52 48,5 2 5 0 40
0 100,00

53 – 60 56,5 4 10 2 38 5 95,00

61 – 68 64,5 6 15 6 34 15 85,00

69 – 76 72,5 9 22,5 12 28 30 70,00

77 – 84 80,5 12 30 21 18 52,5 47,50

85 – 92 88,5 6 15 33 7 82,5 17,50

93 – 100 96,5 1 2,5 39 1 97,5 2,50

101 – 108 40 0 100 0

Jumlah 40 100

Cara membaca tabel frekuensi relatif dan kumulatif diatas :
Ada 5% perusahaan yang modalnya antara Rp 45 s/d Rp 52 juta.
Ada 30% perusahaan yang modalnya antara Rp 77 dan s/d 84 juta.
Hanya 2,5 % perusahaan yang bermodalkan antara Rp 93 s/d Rp 100 juta (lihat
kolom 4 tabel III.2).
Ada 2 perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 53 juta.
Ada 21 perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 77 juta.
Ada 39 perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 93 juta lihat kolom 5 tabel
III.2).
Tidak ada perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 45 juta

48 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Ada 5% perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 53 juta.
Ada 82,5 perusahaan yang modalnya kurang dari Rp 85 juta (lihat halaman 7)
Ada 95% perusahaan yang modalnya sama atau lebih dari Rp 53 juta.
Ada 70% perusahaan yang modalnya sama atau lebih dari Rp 69 juta dan
seterusnya. (lihat kolom 8 tabel III.2 diatas)

Tabel frekuensi kumulatif ini penting sekali sebab didalam kebijaksanaan
perkreditan misalnya, pejabat perbankan biasa ingin mengetahui berapa banyak
(barapa %) perusahaan yang mempunyai modal sama atau kurang dari yang
dipersyaratkan untuk diberikan kredit.

C. Penyajian Grafik Frekuensi
Dalam metode statistika, grafik frekuensi sering digunakan dalam analisa

statistik diantaranya yang akan diberikan disini ialah : (1). Histogram (2). Poligon,
(3). Ogive (ozaiv)
a. Histogram (bar chart)

Histogram adalah grafik dimana setiap kelas digambarkan satu bentuk
kolom sedemikian rupa sehingga luas dataran kolom tersebut sebanding dengan
frekuensi kelas tersebut.

Salah satu fungsi histogram yang terpenting ialah menggambarkan beda
antara kelas-kelas dalam sebuah distribusi.Untuk menggambarkannya digunakan
sumbu tegak dan sumbu mendatar. Sumbu tegak digunakan sebagai frekuensi
baik absolut maupun relatif. Sedangkan sumbu datar dipakai untuk menyatakan
batas-batas kelas interval. Bentuk diagramnya seperti diagram batang hanya disini
sisi-sisi batang berdekatan harus berimpitan.

Bilamana frekuensi modal perusahaan seperti yang terdapat pada tabel III.2
dimuka dibuatkan histogram maka terlebih dahulu batas-batas kelas yang ada

49 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

harus dijadikan tepi-tepi kelas, misalnya kelas pertama 45 – 52 dibuat menjadi 44,5
– 52,5, kelas kedua 53 – 60 dijadikan 52,5 – 60, 5 dan seterusnya.

Setiap batangan (bar) dicirikan pada kelas-kelas yang baru ini dengan tinggi
sebesar nilai frekuensi dari kelas yang bersangkutan.Histogram tersebut seperti
terlihat pada diagram III.1 dibawah ini
Diagram III. 1. Frekuensi Besarnya Modal di 40 Perusahaan di “Y” Tahun 1985

Dalam Jutaan Rupiah

Jum. Perusahaan Histogram
15 Polygon

10
5

0 X = Modal dalam jutaan
76,5 84,5 92,5 100,5
44,5 52,5 60,5 68,5
Sumber data Tabel III. 2

Pada diagram di atas, interval kelas dinyatakan pada sumbu X, sedangkan
frekuensi dinyatakan pada sumbu Y. Interval kelas selalu hitung dari beda antara
2 tepi kelas, karena itu angka-angka pada skla X menyatakan tepi kelas bukan
batas kelas.

b. Frekuensi Poligon
Pada sumbu datar ditentukan midpoint bagi tiap-tiap persegi panjang yang

merupakan kelas-kelas interval. Kemudian menghubungkannya dengan sebuah
garis linier atau dengan garis terputus-putus hasilnya ialah frekuensi polygon.
Perlu diingat bahwa: frekuensi polygon harus tertutup artinya kedua ujung

50 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

garisnya dimulai dan berakhir pada sumbu datar. Caranya ialah kedua ujung garis
dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval yang berhung dengan ujung
garis pada sumbu.

Penggambaran frekuensi sangat berguna bila kita ingin melakukan
perbandingan antara dua atau beberapa distribusi frekuensi.
Contoh : Frekuensi polygon adalah lihat kembali diagram III. 1. Di atas yang
dihubungkan dengan garis.

c. Ogive (ozaiv)
Ogive (ozaiv) adalah grafik untuk distribusi frekuensi kumulatif baik yang

biasa maupun relatif.
Penyajian secara garis dari distribusi kumulatif “kurang dari” atau “lebih

dari” dapat dilakukan dengan menggambarkan poligon frekuensinya. Poligon
distribusi kumulatif diatas acap kali dinamakan Ogive. Penggambarannya
dilakukan dengan jalan menghubungkan semua titik-titik orrdinat dari tepi kelas.
Penggambaran dimulai dari titik nol yang terdapat pada tepi kelas bawah dari
interval kelas pertama. Jadi berbeda dengan cara penggambaran poligon distribusi
yang dilakukan dengan menghubungkan semua titik-titik tengah inteval kelas.

Penggambaran poligon frekuensi bagi distribusi tabel III.2 untuk frekuensi
kumulatif biasa (absolut) dapat dilihat pada diagram berikut :

51 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Diagram III. 2. Poligon Frekuensi Komulatif Lebih dari
45Y Kurang dari

40 X
35
30
25
20
15
10

5
0

44,5 52,5 60,5 68,5 76,5 84,5 92,5 100,5
Modal Dalam Jutaan Rupiah

Penggambaran kedalam frekuensi kumulatif relative atau poligan, frekuensi
kumulatif relative dapat pula dibuat, jika frekuensinya dinyatakan dalam persen.
Contoh polygon frekuensi kumulatif “kurang dari” dan “lebih dari” dapat dilihat
pada diagram ini:
Diagram III. 2. Poligon Frekuensi Komulatif

Y

120

100 100 95 97.5 100

80 85 82.5

70
60 Lebih dari

4527..55 Kurang dari
40

30

20 15 17.5

0 05 2.5 0

44,5 52,5 60,5 68,5 76,5 84,5 92,5 100,5 X

52 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

d. Kurva Frekuensi

Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah atau persegi banyak,
biasnya diratakan atau didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya
secocok mungkin dengan bentuk poligon tersebut lengkungan yang didapat
dinamakan kurva frekuensi.

Untuk poligon frekuensi dalam diagram III.1 dengan perubahan skala
misalnya, kurva frekuensinya digambarkan dengan garis tebal, dapat dilihat
dalam diagram III.4 berikut ini.

16 Kurva
14 Polygo Frekuen
12 Frekuen
10 X = Modal dlm Jutaan Rp
8
6
4
2

0

Demikian pula ozaivnya dapat dihaluskan sehingga diperoleh kurva ozair.
Umumnya pengerasan atau penghalusan sedemikian itu hanya dilakukan
terhadap distribusi frekuensi sampel.

Sebetulnya kurva frekuensi yang demikian mencerminkan secara umum ciri-
ciri Universum/populasi darimana sampel tersebut diambil.

Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri-ciri
populasi. Dalam praktek model populasi biasanya didekati atau diturunkan dari
kurva frekuensi yang diperoleh dari sampel representatif yang diambil dari
populasi itu.

53 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Berikut ini diberikan bentuk-bentuk kurva untuk model populasi yang sering

dikenal yaitu antara lain :

 Model normal, simetrik, positif, atau miring kekiri, negatif atau miring

ke kanan, bentuk J dan U. Bentuk model normal selalu
f

simetrik dan mempunyai sebuah

puncak. Kurva dengan sebuah

puncak disebut unimodel atau

mempunyai satu harga

Model normal maksimum.

f
Model simetrik, juga uni model

Simerik Model positif menggambarkan
bahwa terdapat sedikit gejala yang
+ bernilai makin besar, misalnya
Positif soal terlalu sukar. (kurva menceng
ke kiri).

54 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

f Model negatif menggambarkan
bahwa terdapat banyak gejala
- yang bernilai makin besar.
Negatif Misalnya dalam hal soal terlalu
mudah (kurva menceng ke kanan).

f f
Bentuk J Model ini banyak terdapat
dalam dunia ekonomi
industri dan fisika.

Bentuk J terbalik

f Dalam model ini mula-mula terdapat
Bentuk U banyak gejala bernilai kecil kemudian
menurun sementara gejala bernilai
besar dan akhirnya menaik lagi untuk
nilai yang makin besar.

55 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

BAB IV
UKURAN NILAI SENTRAL

Apabila data dikelompokkan dan disusun menurut besar kecilnya nilai,
maka nilai rata-ratanya cendrung terletak ditengah. Dengan kata lain mempunyai
kecendrungan memusat. Sehingga nilai rata-rata disebut (measures of central
tendensy). Dengan demikian suatu rata-rata (average) merupakan suatu nilai yang
mewakili suatu kelompok data (a set of data).

Adapun beberapa jenis rata-rata yang sering diprgunakan ialah : rata-rata
hitung (arith metic mean atau biasa disingkat mean saja). Rata-rata ukur
(geometric mean), rata-rata harmonis (harmonis mean), median dan modusyang
akan dibahas berikut ini bersama ukuran-ukuran lainnya seperti kwartil, desil dan
presentil.
56 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

A. Rata-rata atau rata-rata hitung (aritmetic mean)
Untuk menghitung rata-rata perlu dibahas caranya pada data yang belum

berkelompok dan pada data yang sudah dikelompokan.
1. Data yang belum berkelompok

Untuk data yang belum berkelompok atau belum tersusun (row data) yang
merupakan nilai variabel X, yang diperoleh dari hasil pengukuran, pengamatan
atau observasi sebanyak N, yaitu :X1, X2, .....Xi .......X N, maka rumusnya :
Rata-rata sebenarnya :

1 1
= ∑ = ( 1 + 2 + ⋯ + + ⋯ + )
=1
….Rumus IV.1

Rata-rata ini dihitung berdasarkan populasi
Keterangan :

: dibaca penjumlahan harga-harga X untuk X dari 1 sampel dengan N
: atau penjumlahan semua harga X yang berada dalam kumpulan itu
1 (dibaca sigma Xi, dari 1 sampai dengan N)
∑

=1

=

μ : dibaca : myu

Xi : harga X ke i, i = 1, 2, ...... N

i=1 : 1: tanda dibawah sigma ini menunjukan variabel terakhir yang harus

dijumlahkan

57 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Jika rata-rata hitung berdasarkan sampel sebanyak n dimana (n/N)
observasi, maka rata-rata yang diperoleh disebut rata-rata perkiraan yang diberi
simbol ̅ (dibaca X garis atau X bar), maka rumusnya adalah sebagai berikut.
Rata-rata perkiraan :

̅ = 1 = 1 ( 1 + 2 + ⋯+ + ⋯ + )

∑

=1

Karena ∑ ∶1 biasa disingkat ∑X1 maka rumus tersebut di atas biasanya

disederhanakan seperti ini :

̅ = ∑


Penggunaan rumus tersebut diatas dapat dilihat pada contoh berikut :
Sebuah perusahaan industri kerajinan tangan di daerah Sulawesi Selatan
mempunyai hasil penjualan setiap bulan dalam jutaan rupiah. Untuk tahun 1985
sebagai berikut :
X = hasil penjualan selama 12 bulan dalam jutaan rupiah
X1 = 7 (hasil penjualan bulan Januari)
X2 = 9 (hasil penjualan bulan Februari)
X3 = 8 (hasil penjualan bulan Maret)
X4 = 6 (hasil penjualan bulan April)
X5 = 5 (hasil penjualan bulan Mei)
X6 = 9 (hasil penjualan bulan Juni)
X7 = 4 (hasil penjualan bulan Juli)

58 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

X8 = 8 (hasil penjualan bulan Agustus)
X9 = 9 (hasil penjualan bulan September)
X10 = 10 (hasil penjualan bulan Oktober)
X11 = 9 (hasil penjualan bulan November)
X12 = 8 (hasil penjualan bulan Desember)
Pertanyaan :

a) Hitung rata-rata hasil penjualan sebenarnya
b) Ambil sampel sebanyak 5 (n=5), untuk mrnghitung rata-rata hasil penjualan

perbulan.
Pemecahan soal :

a. Rata-rata sebenarnya :

µ = ∑ = 1 = 11 ∑ 1 :21 = 1
12 12(X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10+ X11+ X12)

µ= 1 (7+9+8+6+5+9+4+8+9+10+9+8)
12

µ= 1 (92)

12

Jadi rata-rata hasil penjualan perbulan = 7,66 juta rupiah
b. Setelah diambil sampel sebanyak n=5 maka diperoleh
X1, X3,.X7, X10, &X12 dan ini diurut kembali sbb:
X1 = 7
X3 = 8
X4 = 4
X10 = 10
X12 = 8

59 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Jadi rata-rata perkiraan : ̅ = 1 ∑ =1 = 1 ∑ 5 =1
5

̅ = 1 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5)
5

̅ = 1 (37) = 7,4
5

Jadi rata-rata perkiraan hasil penjualan perbulan = 7, 4 juta/mendekati rata-
rata sebenarnya, ̅ merupakan perkiraan μ.
Dalam pengumpulan yang sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi
misalnya ada 5 perusahaan modal 50 juta rupiah 2 perusahaan mempunyai modal
25 juta rupiah dan 15 mempunyai modal 10 juta rupiah, dari data ini ditulis
sebagai berikut :

fi Fi xi Xi : menyatakan modal dalam jutaan rupiah
10 fi : frekuensi nilai Xi yang bersangkutan.
25 15 150 Untuk data yang demikian menambah kolom
30 11 275 fi Xi
50 7 210
60 5 250
2 120
Jumlah
40 1005

Untuk data yang demikian, rumus rata-ratanya adalah :

RUMUS IV.2 ∑
∑
̅ =

ialah jumlah hasil kali antara frekuensi dan nilai data di bagai oleh
jumlahfrekuensi.

60 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Pada tabel diatas fi = 40 dan fiXi = 1005

Jadi : ̅ = ∑ 1005 = 25, 125
∑ = 40

Dengan demikian rata-rata modal untuk ke 40 perusahaan itu adalah Rp. 25,125
juta

Rumus diatas sama kalau ditulis :

̅ = ∑ :1 = 1 1+ 2 2+⋯ 1 1+⋯
∑ :1 1+ 2+⋯+ 1+⋯

Contoh lain:
X = nilai ujian statistik mahasiswa Administrasi Negara
f = banyaknya mahasiswa yang mendapa nilai X

X 50 60 65 70 75
f 34 9 54

̅ = ∑ = 3(50)+4(60)+9(65)+5(70)+4(75)
∑ 3+4+9+5+4

= 1625 = 65

25

Rata-rata Gabungan dari beberapa kelompok observasi :

Rata-rata hitung dari sekelompok nilai-nilai observasi sejumlah n yang terdiri dari

sub-set sebanyak k dan yang jumlah frekuensinya dalam sub-set yang ke i ialah ni
atau dapat digambarkan seperti berikut ini :

Sub set 1 = berukuran n1 dengan rata-rata ̅ 1
Sub set 2 = berukuran n2 dengan rata-rata ̅ 2
Sub set K = berukuran nk dengan rata-rata ̅ k

61 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Maka rata-rata gabungan dari sub set itu menghitung dengan

∑ …..Rumus. IV. 3.
̅ = ∑

Contoh : Tiga sub sampel masing-masing berukuran 15, 10 dan 14 sedangkan rata-

ratanya masing-masing adalah 250, 305 dan 375.

Penyelesaian : ̅ = 15(250)+10(305)+14(375)
15+10+14

Adalah salah jika rata-rata gabungan dihitung dengan rumus IV. 1

Yaitu ̅ = ∑ = 250+305+375 = 930 = 310
3 3

Catatan : Hasil rata-rata seluruh observasi yang dihitung dari sejumlah rata-rata

kelompokny sama seperti hasil rata-rata bila dihitung langsung dari nilai-

nilai seluruh observasi itu.

Rata-rata tertimbang (Weightet arithmetic mean)
Sering kali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai nilai

timbangan tertentu, misalnya X1 dengan timbangan W1, Wn, maka rata-rata yang
menggunakan timbangan tersebut disebut rata-rata tertimbang (Weightet arith
metic mean) dengan rumusnya sebagai berikut:

̅ = ∑ = 1 1+ 2 2+⋯+ 1 +⋯+ …..Rumus. IV. 4
∑ 1 1+ 2+⋯ +⋯

Perhatikan bahwa dalam rumusan n2 timbangannya berupa frekuensi (Wi = fi).

62 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Contoh : Pemberian nilai-nilai mata kuliah yang disertai dengan kredit (sks).

Misalnya untuk statistik skalnya 4, Administrasi Publik 2, Kewirausahaan 2,

Pengantar Komputer 2, Adm. Perbekalan 2, Manajemen Perkantoran 3, Metode

Penelitian 3. Seorang mahasiswa dalam ujian semester memperoleh nilai-nilai dari

mata kuliah tersebut di atas berturut-turut sebagai berikut : 70,65,55,75,65,80,70.

maka diminta menghitung rata-rata nilai semester mahasiswa yang bersangkutan.

X1 = 70, X2=65, X3=55, X4=75, X5=65, X6=80, X7=70

W1=4, W2=2, W3=2, W4=2, W5=2, W6= 2, W7= 3, W7=3

̅ =4(70)+2(65)+24(+525+)+2+2(27+52)++(36+53)+3(80)+3(70)

̅ = 1252 = 69,4
18

Jadi rata-rata nilai ujian semester mahasiswa yang bersangkutan = 69,4

Contoh soal : seorang pengecer beras telah membeli beras sebagai berikut :

1. Pembelian I 150 kg @ Rp 250,-

2. Pembelian II 350 kg @ Rp 215,-

3. Pembelian III 500 kg @ Rp 200,-

4. Pembelian IV 125 kg @ Rp 375,-

Hitung rata-rata harga beras perkiraan yang telah dibelikan oleh pengecer beras

tersebut.

̅ = 150(250)+350(215)+500(200)+125(375)
150+350+500+125

̅ = 259,625 = 230,78

1125

63 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

2. Data Berkelompok
Data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya

dapat dihitung dengan mempergunakan rumus :

̅ = ∑ =1 = 1 1 + 2 2 + ⋯ . + ⋯ +
∑ =1 1 + 2 + ⋯ . + + ⋯ +
Rumus. IV.5

Dimana :

M = Nilai tengah kelas Interval ke – i (untuk data berkelompok) tanda kelas.

f = Frekuensi yang sesuai dengan mid point = frekuensi kelas

k = Jumlah kelas

Rumus yang sama dapat dituliskan sebagai berikut :
dimana n = Jumlah observasi
1
Contoh : ∑

:1

Untuk mengoperasikan rumus di atas diberikan data berkelompok tentang

golongan umur karyawan perusahaan “X” yang dilengkapi dengan work sheet

untuk menghitung rata-rata umur karyawan tersebut.

Dalam work sheet tersebut dilengkapi pula kolom 5 dan 6 untuk

mengoperasikan rumus berikutnya.

Gol. Umur Mi Fi Mifi Ci fiCi
Kary.
17 18 306 -3 -57
Perusahaan 22 26 572 -2 -52
X 27 42 1134 -1 -42
32 55 1760 00
15 – 19 37 51 1887 1 51
20 – 24 42 51 2142 2 102
25 – 29 47 32 1504 3 96
52 13 675 4 52
30 – 34 57 6 342 5 30
35 – 39 62 5 310 6 30
40 – 44 395 299 10.633 - 213
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64

Jumlah

64 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Dari tabel di atas didapat ∑f = 299 dan ∑Mi Xi = 10.633

Rumus IV.5 memberikan : ̅ = 10.633 = 35,56

299

Cara kedua untuk menghitung ̅ dari data-data berkelompok dipakai rumus
sebagai berikut :

̅ = X0 + P(∑∑ ) ….RUMUS IV.6

Cara ini disebut juga cara singkat atau cara coding.

Untuk ini ambil salah satu tanda kelas (Mid Poin), namakan Xo harga Xo ini

diberi nilai C=0 (lihat tabel kerja work sheet) di atas.

Tanda kelas yang lebih kecil Xo verturut-turut diberi harga C= -1, C= -2, C= -3, dan

seterusnya. Tanda kelas yang lebih besar dari Xo juga berturut-turut diberi harga

C= +1, C= +2, C= +3, dan seterusnya, pajang kelas interval.

Untuk pengoperasian rumus tersebut di atas lihat tabel di atas terutama kolom

2,3,5, dan 6.

Dari tabel diperoleh = ∑fiCi = 213, ∑fi = 299, X0 = 32 dan P = 5

Jadi ̅ = 0 + (∑∑ )= 32 + (213) = 35,56

299

B. Median (rata-rata Letak)

Kalau ada sekelompok nilai sebanyak n kemuidan diuritkan mulai dari yang

terkecil X1 samapi dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada di tengah-tengah

disebut median (Med).

1. Median untuk data tidak berkelompok

Rumus untuk n Ganjil

Kalau k suatu bilangan konstan dan n ganjil maka selalu dapat di tulis n = 2k + 1

Ambil saja misalnya n = 7 → 7 = 2k + 1

2k = 7 -1 = 6 k = 6 = 3

2

65 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Jadi 7 = 2 (5) + 1 = 6 + 1
N = 9 → 9 = 2k + 1 → 2k = 9 – 1 = 8 → k = 8 = 4

6

Kelompok nilai X1, X2, …Xk – 1, Xk + 1, … Xn

Terkecil Terbesar

Rumus IV. 7.
Median = Xk + 1, nilai yang ke (k + 1)

Contoh Soal :
Nilai-nilai ujian semester dari Amir sebagai berikut :
5 6 7 8 9 tentukan mediannya.

Pemecahan :
Pertama urutkan dahulu terkecil ke besar.
X1 = 5, X2 = 6, X3 = 7, X4 = 8, X5 = 9
Tentukan nilai k → 5 = 2k + 1 → k = 2
Median Med = Xk + 1 = X3 = 7
Perhatikan, bahwa X3 merupakan nilai yang ditengah-tengah setelah diurutkan
mulai yang terkecil sampai yang terbesar.
X1 , X2 X3 X4 , X5
Med

Rumus untuk n genap.

Kalau k bilangan konstan dan n genap, maka n = 2k.

Ambil n = 8 8 = 2k k=4

n = 10 10 = 2k k=5

Rumus IV. 8 Median = 1 ( + + 1)
2

66 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Merupakan nilai rata-rata dan dua nilai yang ada ditengah.

Contoh soal : Misalnya ada 8 karyawan dan upayahnya dalam ribuan sebagai

berikut : 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90. Berapa mediannya ?.

Pemecahan :

X1 = 20, X2 = 80, X3=75, X4=60, X5=50, X6=85, X7=45, X8=90

Urutannya nilai terkecil ke terbesar :

20, 45, 50, 60, 75, 80, 85, 90

Nilai k n = 4 maka k = 8 = 4

2

Jadi Mediannya Med = 1 ( 4 + 5) = 1 (60 + 75)= 67,5
2 2

2. Median untuk data berkelompok
untuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi (berkelompok).
Mediannya dihitung dengan rumus.

Med = b + p (12 − ) ….RUMUS IV.9



Dengan :

b = tepi bawah kelas median ialah kelas dimana Median akan terletak.
p = panjang kelas median
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

67 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Contoh : cari median dari data tersebut di bawah ini :

Kelas f Pemecahan :
4
30 – 39 tentukan 50% : 1 dari jumlah observasi (n) = 50 = 25.
40 – 49 6
50 – 59 22
60 – 69 8
70 – 79 12 f1 + f2 + f3 = 4 + 6 + 8 = 18. Untuk mencapai 25 masih
80 – 89
90 – 99 9 kurang 7, perlu ditambah dengan frekuensi kelas ke 4,
7
Jumlah 4 jadi median terletak pada kelas 4 → 60 – 69.

50 Batas kelas sebenarnya dari kelas median 59,5 – 69,5

p = 10.

Med = b + p (12 − ) = 59,5 + 10 (25−18)

12

Med = 59,5 + 10 x 7 = 59,5 + 5,83 = 65,33

12

C. Modus
Modus dari suatu kelompok nilai ialah nilai dari kelompok tersebut yang

mempunyai frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak di dalam suatu
kelompok nilai. Untuk selanjutnya disingkat M0.

Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai modus (semuanya mempunyai
frekuensi yang sama), mungkin mempunyai 2 modus atau lebih distribusi disebut
Unimodal kalau mempunyai. Satu Modus, Bimodal kalau mempunyai dua modus
atau multi modal.
Contoh soal :

Dari data berikut apakah ada modusnya, kalau ada tentukan nilainya.
a. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
b. 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 9

68 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Pemecahan : f

XF 03 8 10 12 15 16
31
51 Distribusi ini tidak mempunyai Modus, karena semua
81 nilai mempunayi f yang sama.
10 1
12 1 3
15 1 2
16 1 1

Xf 2 3 4 5 79
21
31
43
52
73
91

Di dalam bidang pemasaran ukuran Modus ini juga sering digunakan untuk

mengetahui barang apa yang paling disenangi pembeli dengan perkataan lain apa

yang menjadi mode. Jadi barang yang paling laku merupakan mode.

untuk data berkelompok, untuk mencari modusnya digunakan rumus sebagai

berikut:

Rumus. IV. 10. Mo = b + p ( 1 )

1+ 2

Dengan :

b: tepi bawah kelas modal, ialah kelas interval dari pada frekuensi terbanyak.
F: panjang kelas
b1 : f kelas modal dikurangi f kelas interval terdekat sebelumnya.
b2 : f kelas modal-frekuensi kelas interval terdekat berikutnya.

Contoh soal :

69 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Kelas f Kelas Pemecahan :
30 – 39 4 b = 59,5
40 – 49 6 Memuat p = 10
50 – 59 8 modus b1 = (12-8)
60 – 69 12 b2 = (12-9)
70 – 79 9
80 – 89 7 Mod : 59,5 + 10 ((12−81)2+−(812−9)) = 65,214
90 – 99 4

Perbandingan antara rata-rata Median dan Modus
1. bila distribusi frekuensi mempunyai kurva yang simestris dengan satu
ujung atau satu puncak maka letak rata-rata ̅ , mediam dan Modus sama
yaitu sebagai berikut :

̅ = Mod = Med

̅ =Mo = Me

2. Kalau kurang menceng ke kanan akan nilai rata-rata paling kecil diikuti
median, kemudian modus seperti gambar berikut:

̅ < < →

̅ Me Mo

70 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

3. Kurva menceng kekiri, nilai rata-rata paling besar diikuti median kemudian
modus. Seperti gambar dibawah ini :

̅ > Med > Mo Kurva Positif

Mo Me ̅

D. Rata-rata Ukur

Rata-rata ukur (geometric mean) adalah akar pangkat n dari hasil perkalian n

variable.

1. Rata-rata ukur untuk data tidak berkelompok

Untuk menghitung rata-rata ukur Ru dari data yang belum dikelompokkan

dipakai rumus.

Rumus IV.11. Ru = √ 1, 2. 4 …

Contoh rata-rata ukuran untuk data X1 = 3, X2 = 5, X3 = 9

Adalah :

Ru = 3√3 5 9 = 5,13
Jika data dinyatakan dalam bilangan besar, maka rumus di atas sulit

digunakan, karena itu untuk mempermudah penyelesaiannya kita agnti

dengan nilai logaritma sehingga dapat digunakan rumus sebagai berikut :

Rumus. IV.12. Log Ru = ∑ log Ru = antilog ∑ log


71 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Contoh :

Rata-rata ukur untuk data, X1 = 240, X2 = 312, X3 = 375, X4 = 425, dan X5 = 500
Pemecahan :

Log Ru = log 240+log 312+ 375 +log 425+log 500
5

Atau Log Ru2,3802 +2,4942+2,5740+2,6284+2,6989 = 12,7757 log = = 2,5551
5 5

Ru = antilog 2,5551 = 359. Jadi rata-rata ukur = 359.

2. Rata-Rata ukur untuk data berkelompok

Untuk data yang sudah dikelompokan rata-rata ukurnya dapat hitung dengan

rumus : Log Ru = ∑( log )
Rumus IV.13. ∑

Dengan Mi : tanda kelas, fi : frekuensi yang sesuai dengan Mi dan harga rata-

rata ukur Ru dicari kembali dari log Ru.

Contoh : Misalkan nilai ujian mata kuliah Statistik 55 orang mahasiswa program

Studi Administrasi Negara, telah disusun dalam daftar frekuensi serta telah

dilengkapi dengan work sheet untuk menghitung rata-rata ukurannya sebagai

berikut:

Nilai Ujian Fi Mi Log Mi Fi log Mi

10 – 22 5 16 1,20412 6,0206

23 – 35 3 29 1,46239 4,3872

36 – 48 8 42 1,62325 12,9860

49 – 61 4 55 1,74036 6,9296

62 – 74 22 58 1,83251 40,3152

75 – 87 11 81 1,90848 20,9933

88 – 100 2 94 1,97312 3,9462

95,60995

Berdasarkan work sheet di atas ∑ (log Mi) = 95,60995 dan ∑fi = 55

72 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Log Ru : 95,60995 = 1,7383
55

Dan antilog dari pada : 1,7383 didapat Ru = 54,739

Kebaikan Rata-rata ukur

Terutama dalam perhitungan data, yang berkembang secara kontinyu

misalnya perkembangan penduduk, bunga bersusun, kanaikan harga,

perkembangan bakteri dan lain-lain. Contoh soal berikut dapat memberikan

penjelasan kelebihan rata-rata ukur dibandingkan dengan rata-rata hitung.

Misalnya : Amir menabung Rp 100.000,- sesudah 8 tahun ia menerima kembali

uang Rp 124.000,- berapa persen rata-rata bunga dari modal yang

ditabungnya itu ?

Jawab : Dengan menggunakan rata-rata hitung secara otomatis dapat dijawab :

24.000 x 100% = 24 % 24%= = 3 %.
100.00 8

Jawaban yang demikian ternyata tidak tepat karena penggunaan rata-rata

ukur menunjukkan bahwa bunga rata-rata sebenarnya 2,72 % setahun

(menggunakan rumus bunga bersusun atau bunga majemuk).

Untuk mengukur rata-rata tinggkat pertumbuhan (rate of grewth) di gunakan

rumus berikut:

Rumus.IV. 14. Pn = p (1+r)n

Dengan :
Po = keadaan awal
Pn = keadaan akhir
r = rata-rata persentase tingkat perubahan tiap satuan waktu
n = banyaknya waktu

Rumus diatas sebenarnya sama dengan rumus bunga berbunga dimana Po =
jumlah pokok yang diperbungakan pada priode permulaan to, r = tingkat bunga, n
= jumlah priode uang diperbungakan dengan Pn jumlah uang akhir n – periode.

73 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Untuk menghitung nilai r dapat digunakan persamaan rumus di atas yaitu :
Rumus. IV. 15.

(1+r)n = atau r = √ − 1



Contoh :

1. Misalnya Po = Rp 100.000,- n = 10 sedangkan r = 3 maka pada akhir 10
100

tahun jumlah uang yang diperbungakan menjadi.

P10 = Rp 100.000,- (1+0,03)10

= Rp 134.391,61

2. Untuk Po = Rp 100.000,- n = Pn = 124000 maka rata-rata tingkat bunganya

adalah :

r=8√124.000 - 1

100.000

= 1,0272 - 1

= 0,02725

Jadi rata-rata tingkat bunganya = 2,72 %

E. Rata-rata Harmonis (Harmonic mean)
Rata-rata harmonis dari sejumlah data adalah kebalikan dari rata-rata hitung

atas kebalikan data tersebut.

1. Rata-rata Harmonis Untuk Data yang belum dikelompokkan

Untuk data yang belum dikelompokkan digunakan rumus sebagai berikut :

Rumus. IV.16

Rh=
∑ =1 1

74 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Atau lengkapnya : Rh=
11+ 12+⋯+ 1

Kebaikan Rata-Rata Harmonis :

Rh penting artinya kalau kita perlu mengambil rata-rata dari perbandingan-
perbandingan seperti antara lain :

a. Jumlah satuan waktu dan jumlah satuan jarak yang ditempuh.

b. Jumlah pembelian dan jumlah mana yang diberikan.

Contoh soal berikut ini menjelaskan hal tersebut.

1. Dimisalkan A sejauh 20 Km pergi pulang. Ketika pergi 10 km/jam. Dan

kecapatan katika pulang 20 km/jam berapa kecapatan rata-rata perjam di

perjalanan secara otomatis bisa dijawab : 1 (10 + 20) km = 15 /jam.

2

Tentunya jawaban tersebut tidak tepat karena 10 km waktu ditempuh si A

dalam 2 jam, dan 20 Km waktu pulangnya ditempuh dalam waktu 1 jam.

Jadi jumlah waktu yang digunakan 3 jam untuk 40 Km.

Dengan demikian jawaban yang benar adalah 1 40 Km = 131 m dan hasil itu

33

tidak lain dari rata-rata harmonis, yaitu

Rh110+2 210 = 2 = 40 = 13 1=

3 3 3
20

2. Contoh lain, A tiap minggu mengeluarkan uang Rp 1200 untuk membeli

minyak tanah.

Minggu pertama diperoleh 12 liter a Rp 100,-

Minggu kedua diperoleh 10 liter a Rp 120,-

Minggu ketiga diperoleh 8 liter a Rp 150,-

Minggu ke empat diperoleh 6 liter a Rp 200,-

Jawaban otomatis dengan menggunakan rata-rata hitung

75 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

=100+120+150+200 = 570 = 142,5/

44

Jawaban tersebut tidak tepat. Dan hanya rata-rata harmonis yang bisa

memberikan hasil yang besar yaitu :

Rh1100+1120+4 1150+2100= 4 = 4 = 133,3

36 0,03

1200

2. Rata-rata Harmonis Untuk Data berkelompok

Untuk data yang berkelompok gunakan rumus rata-rata harmonis sebagai

berikut :

Rh = ∑ …RUMUS IV.17
∑( / )

Dengan M1 = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda
kelas M1.
Contoh. Jika untuk nilai dari ke 55 mahasiswa yang dicontohkan dimuka dhitung
rata-rata harmonisnya, maka diperlukan work sheet sebagai berikut:

Nilai Ujian Fi Mi Fi/Mi
10 – 22 5 16 0,3125
23 – 35 3 29 0,1034
36 – 48 8 42 0,1905
49 – 61 4 54 0,0741
62 – 74 22 68 0,3235
75 – 87 11 81 0,1358
88 – 100 2 99 0,0213
Jumlah 55
1,1611

76 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Dari tabel di atas didapat ∑ (fi/Mi) = 1,1611 dan ∑ f = 55, sehingga dengan

rumus di atas diperoleh:

Rh = 55 = 47,37
1,1611

Rata-rata harmonis untuk nilai tentamen itu = 47,37

Kelemahan rata-rata harmonis

1. Kurang dikenal umum

2. Sangat dipengaruhi oleh angka-angka kecil

3. Perhitungan lebih sulit dari rata-rata hitung apalagi jika terdapat angka 0.

Hubungan antara rata-rata hitung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis dapat

secara umum dapat dikembangkan sebagai berikut :

̅ > > ℎ

59,96 54,67 47,37

F. Kuartil, Desil dan Persentil
1. Kuartil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 4, maka tentukan 3 nilai Q1, Q2, Q3 yang
membagikelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama. Maksudnya setiap
bagian memuat data yang sama atau jumlah observasinya sama. Nilai tersebut
dimana kuartil I, II, dan III. Pembagian itu sedemikian rupa sehingga 25 % data
observasi nilainya sama atau lebih kecil dari Q1, 50% data / observasi sama tau
lebih kecil dari Q2, data/observasi sama atau lebih kecil dari Q3.

77 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

25%
!-----------!-----------!------------!------------! → Q2 = Median

75%

a. Kuartil untuk Data Tidak Berkelompok
kalau suatu data nilainya sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai

terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1, Q2, dan Q3 harus digunakan rumus
berikut:

Rumus. IV.18 Qi = Nilai yang ke ( +1)
4
i = 1, 2, 3

Contoh soal :
Berikut ada upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30,
50, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 65, 85, 95, 100, n = 13. Cari Q1, Q2, dan Q3.
Pemecahan :
1) Diurutkan dahulu : X1 = 30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55

X7 = 60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100

2) Menentukan Letak :

Q1 = data ke 1(13+1) = 14 = 3 1 - nilai yang ke 31, berarti antara data ke 3 dan ke
4 4 2
2

4, 1 jauh dari data ke 3 atau nilai yang ke 31 =rata-rata dari X3 dan X4.
2
2

3) Menentukan Nilai Kuartil :

Nilai Q1 = data ke 3 + 1 (data ke 4 – data ke 3)
2

Q1 = 40 + 1 (45 - 40) = 40 + 2,5 = 42,5
2

Atau Q1 = 1 (X3 + X4) = 1 (40+45) = 42,5
2 2

78 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Q2 = nilai ke 2 (13+1) = 28 = 7. Nilai ke 7 = 60
1 7

Q3 = nilai ke 3 (13+1) = 42 = 10,1 → Nilai ke 10 + 1 (X11 – X10)
4 4 2
2

= 80 + 1 (85-80) = 82,5 atau

2

Q3 = 1 ( 10 + 11) = 1 (80+85) = 82,5
2 2

Ini berarti ada 75 % karyawan mempunyai gaji paling tinggi 82,5 ribu rupiah,

sedangkan 25 % lagi mendapat upah/gaji paling rendah 82,5

b. Kuartil untuk Data Berkelompok

Untuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensinya. Kuartil Q1
(i = 1,2,3) dihuting dengan rumus

Rumus. IV.19 Qi = b + p ( 4 − )Dengan I = 12,3

Dengan :

b = tepi bawah kelas Q1
p = panjang kelas Q1
F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas Q1
f = f kelas Q1
contoh : Hasil ujian 80 mahasiswa seperti dalam tabel berikut ini, tentukan Q1.

Nilai Ujian fi Penyelesaian :

31 – 40 1 Q1 = 1 x 80 = 20 dengan demikian Q1 terletak dalam
41 – 50 2 4
51 – 60 5
61 – 70 15 interval ke 4, dan dari kelas ini didapat b = 60,5 p =
71 – 80 25
81 – 90 20 10, f= 15. F = 1 + 2 + 5 = 8, dengan i = 1 dan n = 80.
91 – 100 12
Q1=60,5 + 10(840−8) = 68,5
Jumlah 80 15

79 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Arti dari nilai Q1=68,5 ialah seperempat dari semua nilai-nilai observasi
merupakan nilai yang lebih kecil dari 68,5 dan 3 dan nilai merupakan nilai yang

4

lebih besar dari Q1 = 68,5.

2. Desil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 10, tetukan nilai yang membagi kelompok

data tersebut menjadi 10 bagian yang sama misalnya D1, D2 … D9 artinya setiap

bagian mempunyai jumlah observasi yang sama sedemikian rupa sehingga 10 %

observasi lainnya sama atau lebih kecil dari D2 dan seterusnya. Nilai-nilai tersebut

dinamakan Desil pertama, kedua dan ketiga dan seterusnya.

a. Desil untuk data tidak berkelompok

Rumus desil jika data telah diurutkan sebagai berikut

RUMUS. IV. 20. Di = nilai yang ke ( +1) , = 1, 2, … 3
10

Untuk contoh soal pada halaman 80.

D1 = nilai ke 1(13+1) = 14 = 14
10 10
10

= nilai ke 14 berarti X1 + 4 (X2 – X1).
10
10

= 30 + 4 (35-30) = 30 + 2 = 32

10

D2 = nilai ke 2 (13+1) = 28 = 2, 8
10 10
10

= nilai ke 2 + 8 (X3 –X2) = 35 + 8 (40 - 35) = 39
10 10

D3 = nilai ke 9(13+1) = 126 = 12,6
10 10

= nilai ke 12 + 6 (X13 - 12) = 95 + 6 (100 - 95) = 98
10 10

80 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

b. Desil untuk Data Berkelompok

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekluensi nilai D1 (i =

1,2,…9) rumusnya.

Rumus. 21. ( 4 − )

Di = b + p

Dengan :

b = tepi bawah kelas
p = panjang kelas

F = jumlah frekuensi sebelum kelas Di
f = frekuensi kelas Di

contoh :

untuk data dimuka yang ber – n = 80 pada halaman 82, hitung D5.

Pemecahan :

Menentukan kelas D5 = 5 x 80 = 40, ini berarti bahwa kals D5 tertentu pada kelas
10

interval 5 yaitu 71 → 80, karenya b = 70,5 =10, F = 23 dan f = 25.

D5 = 70,5 + 10 (51 08205−23) = 70,5 + 10 (17) = 77,3

25

3. Persentil
Untuk kelompok data dimana n ≥ 100 tentukan 99 nilai F1, ….F9, yang disebut
persentil pertama, kedua dank e 99 dengan membagi kelompok data menjadi
10 bagian, masing-masing bagian dengan jumlah observasi yang sama
sedemikian rupa sehingga observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih
kecil dari F1. Observbasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil F2 dan
seterusnya.
Apabila data sudah tersusun mulai dari yang terkecil (= X1) sampai dengan
terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut:

81 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial ( −1) i = 1,2, …99
100
Rumus. IV. 22.

Pi = nilai yang ke

Untuk data yang telah tersusun dalam distribusi frekuensi rumusnya sebagai

berikut :

Rumus. IV. 23. (1 0 0− ) i = 1,2, …99

Pi = b + p

Dengan
b = tepi bawah kelas Pi ,

p = panjang kelas Pi,
F = jumlah frekuensi sebelum kelas PI dan

f = frekuensi kelas Pi.

82 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

BAB V
UKURAN VARIASI, MENCENG DAN

RUNCINGNYA KURVA

A. Arti Ukuran Variasi atau dispersi
Dalam kehidupan sehari-hari nilai rata-rata sering diambil sebagai ukuran, misalnya

nilai rata-rata ujian si A = 8. Rata-rata upah bulanan karyawan “PT. Antara” Rp 50.000,-
dan sebagainya. Kalau kita mendengan kata rata-rata maka secara otomatis kita akan
membayangkan sekelompok nilai disekitar rata-rata tersebut.

 Ada yang sama dengan rata-ratanya
 Ada yang lebih kecil atau lebih besar dengan rata-rata tersebut.
Dengan kata lain ada variasi atau dispersi (hamburan) dari pada nilai-nilai tersebut baik
terhadap nilai lainnya maupun terhadap rata-ratanya (terhadap rata = hitung, median atau
modus). Kalau seluruh nilai dari suatu kelompok nilai sama satu sama lain dikatakan

83 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

kelompok nilai homogin (tidak bervariasi) apabila perbedaannya satu sama lain sangat
besar disebut sangat heterogin (sangat bervariasi).

Perhatikan 3 kelompok data berikut :
1) 50 50 50 50 50 rata-rata hitung = 50
2) 50 40 30 60 70 rata-rata hitung = 50
3) 100 40 80 20 10 rata-rata hitung = 50
Walaupun rata-rata hitung dari masing-masing kelompok sama akan tetapi kelompok
(1) rata-ratanya dapat mewakili data dengan baik (sempurna0. Kelompok (2) cukup baik
dan kelompok (3) rata-ratanya tak dapat mewakili dengan baik. Kelompok (1) disebut
homogen (tidak bervariasi), kelompok (2) relatif homogen dan kelompok (3) sangat
heterogin.
Perbedaan tingkat variasi dapat dilihat dari gambar grafik berikut:

100 00 X1
90 90
80 80 100
70 90
60 X1 X2 X3 X4 X5 X5 80 X3
50 70
40 X1 X4 60
30 50
20 X2 Di X2
10
0 30 X3 20 X4
20 10
Kelompok 1 10
0 X5

Kelompok 2 0

Kelompok 3

84 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Ada beberap variasi atau dispersi, diantaranya yang akan dikemukakan beriut adalah :
1) Rata-rata simpangan (mean deviation)
2) Simpangan baku (standar deviation)
3) Koefisien korelasi (coefficien of variation)

Dan diantara ukuran variasi tersebut simpangan baku yang sering dipergunakan khususnya
untuk keperluan analisa data.

a. Rata-rata simpangan (X2 - ̅ ) , …. (Xi - ̅ ) , …. (Xn - ̅ )
Data X1, X2, ..... Xi...... Xn
Simpangannya : (X1 - ̅ )

Rumus V.1 R.S = 1 ∑| − ̅ |

Simpangan diambil harga mutlak = selalu tanda positif.

Contoh = Untuk data berikut rata-rata simpangannya = Rs

X1= 5, X2= 6, X3 = 7, X4 = 98 X5 = 9. Hitung Rs nya !

Pemecahan :

Untuk penyelesaian soal tersebut diperlukan work sheet berikut :

Xi Xi - ̅ | − ̅ |

5 -2 2

6 -1 1

70 0

81 1

92 2

Juml 0 6

Symbol | − ̅ | adalah nila mutlak dari Xi - ̅ , artinya jika (-) akan diangggap (+)
6 115
Dengan n= 5, Maka Rs = 5 = = 1,2

85 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

b. Simpangan baku (Deviasi Standar)
Ukuran simpangan (variasi) yang paling banyak digunakan adalah : simpangan baku

atau deviasi standar. Sebabnya karena mempunyai sifat-sifat matematis yang sangat penting
dan berguna sekali untuk pembahasan teori ddan analisa.

Apabila simpangan baku ini dipangkat duakan dinamakan variasi. Dalam hubungan
ini perlu diketahui simbol-simbol sebagai berikut.

S (huruf kecil) = simpangan baku untuk sampel
σ(baca sigma) = simpangan baku untuk populasi
S2 = varians untuk sampel
2 = Varians untuk populasi

Rumus IV. 25 S = √∑( − ̅ )2

−1

Untuk menghitung s berdasarkan rumus tersebut diatas perlu dilakukan langkah-langkah
sebagai berikut
1) Hitung rata-rata = X
2) Tentukan selisih Xi - ̅ , X2 - ̅ , …., Xn - ̅
3) Tentukan kuadrat selisih tersebut, yakni (Xi - ̅ )2, (X2 - ̅ )2….
4) Kuiadrat-kuadrat tesebut dijumlahkan
5) Jumlah tersbut dibagi oleh (n-1)
6) Lalu diambil akarnya yang positif

86 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Contoh : Dari sampel dimuka = 5, 6, 7, 8 dan 9 tentukan S nya.

Pemecahan ;

Pertama-tama dibuatkan lembaran kerja (work sheet) sebagai berikut :

Xi (Xi - ̅ ) (Xi - ̅ ) Rata-rata ̅ =7

5 -2 4 ∑ (Xi - ̅ )2 = 10 IV.25,

6 -1 1
7 0 0 Dengan menggunakan rumus

8 1 1 didapat: S √10 = √10 = √2,5 = 1,58
9 2 4
21 4

Bentuk lain dari rumus tersebut adalah rumus Varians, yaitu

S =Rumus V.3. 2 ∑ 2( )2

( −1)

Dengan data yang sama di atas dapat dicari variannya dengan lebih dahulu dibuat tabel

sebagai berikut :

Xi 2

5 25 Dihasilkan :

6 36 ∑ Xi = 35 dan ∑ 2 = 255 dan n = 5

7 49
Dengan rumus IV.26, didapat:

8 64

9 81 S2 = 5 255− (35)2 = 50 = 2,5. S = √2,5 = 1,58
5 4 20

35 255

Untuk data yang telah tersusun dalam daftar distribusi Frekuensi, S2 dapat dicari dengan
rumus sebagai berikut:

87 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Rumus V.4 terlebih dahulu dibuatkan work sheet sebagai berikut :

S2 = ∑ ( − ̅ )2
−1

atau rumus seperti berikut :

Rumus V. 5

S2 = ∑ 2−(∑ )2
( −1)

Dengan : Mi = mid point (tanda kelas)
fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas
n = ∑ fi

Rumus pertama menggunakan rata-rata ̅sedangkan yang kedua hanya menggunakan nilai-

nilai data.
Contoh : untuk menghitung S2 dari data dalam tabel III.2 tentukan model 40 perusahaan

dengan rumus V.4 terlebih dahulu dibuatkan work sheet sebagai berikut:

Batas Kelas Fi Mi Mi - X (Mi – X)2 Fi (Mi – X)2

Modal

45 – 52 2 48,5 -25,4 645,16 1290,32
302,76 1211,04
53 – 60 4 56,5 -17,4 88,36 530,16
1,96 17,64
61 – 68 6 64,5 -9,4 43,56 522,72
213,16 1278,96
69 – 76 9 72,5 -1,4 510,76 510,76

77 – 84 12 80,5 6,6

85 – 92 6 88,5 14,6

93 – 100 1 96,5 22,6

Jumlah 40 -12 1725,36 5361,6

Rata-ratanya telah dicari ̅ = 73,9
Dari tabel tersebut diatas didapat harga-harga n = ∑ fi = 40 dan ∑ fi (Mi – ̅)2 = 5361,6

88 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Sehingga dengan rumus V. 4 didapat varians

S2= 5361,6 =137,47
39 =

Simpangan baku S = √137,47 = 11,724

Untuk menggunakan rumus V. 5 diperlukan lembaran kerja (work sheet) sebagai berikut :

Batas Kelas fi Mi Mi2 fi Mi fi Mi2

modal 2 48,5 2352,25 97 4.704,5
45 – 52 4
53 – 60 6 56,5 3192,25 226 12.769
61 – 68 9
69 – 76 12 64,5 4160,25 387 24.961,5
77 – 84 6
85 – 92 1 72,5 5256,25 652,5 47.306,25
93 – 100
80,5 6480,25 966 77.763

88,5 7832,25 531 46.993,5

96,5 9312,25 96,5 9.312,25

Jumlah 40 -- -- 2.956 223.810,25

Rata-ratanya telah dicari ̅ = 73,9

Dari tabel diatas didapat :
n = 40, ∑ fi Mi = 2.956 dan ∑ fi Mi2 = 223.810,25

dengan rumus IV.28 diperoleh variansnya sebagai berikut :

40 223.810,25−(2.953)2 = 8.952.410−8.737.936=
S2 40 (40−1)
1560

214.747
1560 = 137.48

S = √137,48 = 11.725

89 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Cara Coding dapat pula digunakan untuk mencari varians dengan rumus sebagai berikut.

Rumus V.6 S2 p2( ∑ 2 −(∑ )2)

= ( −1)

Dengan p = panjang kelas interval
Ci = nilai Coding, dan n = ∑ fi

Untuk data diatas, jika dipakai rumus V.6 ini, maka diperlukan tabel berikut :

Batas Kelas fi Mi Ci 2 Fi Ci Fi 2

Modal 2 48,5 -3 9 -6 18
45 – 52 4
53 – 60 6 56,5 -2 4 -8 16
61 – 68 9
69 – 76 12 64,5 -1 1 -6 6
77 – 84 6
85 – 92 1 72,5 00 0 0
93 – 100
80,5 1 1 12 12

88,5 2 4 12 24

96,5 39 3 9

Jumlah 40 -- -- -- 7 85

Dari tabel di atas ; p = 8, n = ∑ fi = 40

∑ fi Ci = 7 dan ∑ fi 2 = 85 sehingga dapat dicari variansnya dengan rumus tersebut sebagai

berikut :

S2 = (8) (40 (8450−−(17))2)2 = 64 (3351) = 137,47

40 1560

Sehingga S = √137,47 = 11,724

90 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Untuk sempangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus

Rumus IV. 7 ∑( −1) 2
∑ −
S2 =

Atau lengkapnya :

S2= ( −1) 2 +( 2−1) 22 + …
1+ 2+ … −

Dengan S2 berarti varians gabungan.

Contoh :

hasil pengamatan pertama terhadap 10 obyek memberikan S = 2,5, sedangkan pengamatan

berikutnya terhadap 20 obyek menghasilkan S = 2,90.

Penyelesaian :

n1 = 10, S1= 2,5

n2=20. S2 = 2,9

k=2
S2(10−1)(2,150)2++2|0(−202−1)(2,9)2 = 7,72

S = √7,72 = 2,77

Sehingga sempangan baku gabungan S = 2,77

c. Koefisien Variasi
Bila kita hendak membandingkan tingkat dispersi dari dua kelompok data, maka

ukuran disperse yang telah diuraikan dimuka tidak tepat digunakan, karena merupakan
disperse absolute. Disperse absolute sebetulnya hanya dapat digunakan untuk
penggambaran disperse nilai-nilai observai sebuah distribusi secara definitive.

91 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Untuk keperluan memandingkan dua kelompok nilai dipergunakan koefisien
variasi, yaitu suatu metode pengukuran disperse relative yang bebas dari suatu data asli,
dengan tumus sebagai berikut :

Rumus : V. 8 KV = x 100 % untuk populasi


KV = x 100 %, untuk sampel
̅

Bila mana dua kelompok data dengan KV1 dan KV2, kalau KV1> KV2 maka kelompok
pertama bervariasi atau lebih heterogen dari pada kelompok ke dua.

Contoh soal :

Hasil ujian Pengantar Statistik mahasiswa program studi Administrasi Negara

Angaktan 2010 dan angkatan 2011 sebagai berikut :
 Untuk angkatan 2010 mempunyai rata-rata U = 6,4 dan simpangan bakunya = 1,52
 Untuk angaktan 2011 rata-rata … = 6,9 dengan simpangan baku = 1,8

Hitung mana yang lebih bervariasi (heterogen)

Penyelesaian :

KV (angkatan 2010) = 1,52 x 100 % = 23,75 %
6,4

KV (angkatan 2011) = 1,8 x 100 % = 26,08 %
6,9

Karena KV11> KV10, ini berarti nilai jumlah ujian pengantar statistikangkatan

2011 lebih bervariasi (heterogen) dari pada nilai ujian pengantar statistik angkatan 2010.

B. Ukuran Kemencengan dan Runcingnya Kurva
 Ukuran Kemencengan
Pada bab III telah disinggung tentang kurva, ada yang modelnya positif, negative
dan simetrik. Sebagai tambahan disini ialah diberikan tanda-tanda kurva positif,
negative dan simetrik agar lebih dipahami model-model kurva tersebut. Model
positifterjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang kesebelah kanan,

92 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

atau dengan perkataan lain Kurva positif bila nilai-nilai observasi distribusi yang
berfrekuensi rendah lebih banyak : ber “berkonsentrasi” disini kanan rata-ratanya.

Model negative terjadi bila kurva mempunyai ekor memanjang kesebelah kiri, atau

kurva negative bila nilai-nilai observai yang berfrekuensi rendah lebih banyak
“berkonsentrasi” disisi kiri rata-ratanya.

Sedang Kurva model simetrik letak modus, median dan rata-rata hitungnya sama

pada satu titik atau dengan perkataan lain distribusinya simetrik sekitar rata-ratanya
dan ̅ = Mo = Me.

Dua buah distribusi mungkin mempunyai rata-rata hitung serta deviasi standar

yang sama, namun berbeda bentuk kurva frekuensinya karena tingkat

kemencengannya berbeda.

Sebuah contoh berikut ini disajikan guna menjelaskan persoalan itu.

Work sheet berikut membantu pencarian rata-rata hitung dan deviasi standar

dari distribusi nilai-nilai observasi sebesar M1 = N = 100

Distribusi n1 Distribusi n2

̅ fi Ci fiCi fi 2 Mi fi Ci fiCi fi 2

4,5 5 -2 -10 20 4,5 5 -2 -10 20

14,5 20 -1 -20 20 14,5 15 -1 -20 20

24,5 15 0 0 0 24,5 30 0 0 0

34,5 45 1 45 45 34,5 30 1 30 30

44,5 10 2 20 40 44,5 15 2 30 60

54,5 5 3 15 45 54,5 5 3 15 45

100 50 170 100 50 170

Distribusi :

n1= 100

̅ = 24,5 + 10 ( 50 ) = 29,5 (rumus IV.6)

100

93 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

S2 = (10)2(10100 0 1(7100−0(−510))2) = 146 (rumus V.6)

S = √146 = 12,08

Disribusi :

n2= 100

̅ = 24,5 + 10 ( 50 ) = 29,5

100

S2 = (10)2 (100 170− (50)2) = 146

100 (100−1)

S = √146 = 12,08

Distribusi di atas mempunyai rata-rata hitung dan deviasi yang sama, namun

keduanya mempunyai bentuk kurva frekuensi berbeda. Untuk jelasnya dilihat

gambar sebagai berikut.
Frekuensi distribusi n1 = 100 dengan ̅ = 29,5 dan S = 12,08 n2 = 100 dengan ̅ =
29,5 dan S = 12,08

0 4,5 24,5 44,5 4,5 ,5 44,5

14,5 Diag 55,5 5154, , 34,5 55,5

n1 = 10 n2 0

Kedua kurva itu berbeda disebabkan karena tingkat kemencengan yang berbeda dari kedua

distribusi tersebut.

Distribusi n1 kurang simetrik atau menceng sekitar rata-ratanya sedangakn distribusi n2
semetrik sekitra rata-ratanya.

94 | P a g e

Pengantar Statistika Sosial

Untuk mengetahui tingkat kemencengan (skeweness) sebuah distribusi atau dengan

kata lain untuk mengetahui derajat tak simetrik sebuah model digunakan ukuran

kemencengan yang ditentukan oleh rumus sebagai berikut :

Rumus V.9 TK = ̅ − 0



Dengan : TK = Tingakat kemecengan
̅ = Rata-rata hitung

Mo = Modus

S = Simpangan baku

Atau dengan rumus : 3 ( ̅ −

TK =

Mo = Median secara empiris dapat ditunjukkan bahwa ̅ - Mo = 3 (X - Med).
Rumus. V. 9 dan V.10 di atas dinamakan koefisien kemencengan persamaan macam
pertama dan macam kedua.
Dikatakan model positif jika kemencengan positif, negative jika kemiringan negative dan
simetrik jika kemencengan = 0.

Kalau kita mengukur tingkat kemencengan kedua distribusi di atas yaitu n1 dan n2
dengan menggunakan rumus V.9 maka akan diperoleh tingkat kemencengan bagi
keduadistribusi n1 dan n2 sebagai berikut :

Distribusi n1 :

TK = ̅ − 0



TK = (29,5 – 34,5)/12,08
= -0,4139 atau -0,14

Distribusi n2 :
TK = (29,5-29,5)/12,08 = 0

95 | P a g e