2.1.5AlgIntrodPrecalcIreneF

Álgebra e
Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg

Álgebra e Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg



Álgebra e Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile

2 de enero de 2013

II

Prólogo XVII

1 Lenguaje Matemático 1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Las Leyes de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Verdad lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Equivalencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.6 Verdades lógicas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Negación de una proposición dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Demostraciones por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 Demostraciones por contraposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Autoevaluación 1 36

2 Los Números Reales 37

2.1 Sistemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Operaciones Básicas en los Números Reales:
Suma y Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Orden de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Conjuntos de Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III

2.5 Completud de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.1 Ecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.2 La ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.3 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.4 Inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.5 Inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.6 Inecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Autoevaluación 2 74

3 Relaciones y 75
Funciones

3.1 Pares Ordenados y Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 Noción intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Gráfico de Relaciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.1 Ecuación e inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 Concepto de Función y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 Gráficos de las Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6 Estudio de una Función Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Autoevaluación 3 130

4 Trigonometría 133

4.1 Las Razones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.2.1 Estudio de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2.2 La función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2.3 Las otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

IV

4.3 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4 Resolución de Ecuaciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4.1 Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4.2 Función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.3 Función tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.5 Funciones Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.1 Función inversa del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.2 Función inversa del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.5.3 Función inversa del tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.6 Resolución de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.1 Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.2 Teorema del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6.3 Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6.4 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Autoevaluación 4 177

5 Números Naturales 179

5.1 Propiedades Básicas de los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.2 Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.3 Definiciones Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.4 La Exponenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Autoevaluación 5 208

6 Aplicaciones de 209
Inducción

6.1 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.2 Una Desigualdad Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.3 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

V

Autoevaluación 6 244

7 Polinomios y Números Complejos 245

7.1 Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.1.2 El sistema de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.2 Forma Polar de un Número Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.2.1 Gráfico de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.2.2 Teorema de DeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.3.1 División de un polinomio por un polinomio de grado uno . . . . . . . 268

7.3.2 Teorema Fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Autoevaluación 7 283

8 Logaritmo y 285
Exponencial

8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.2 La Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.2.1 Ejemplos de modelamiento con la
función exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.3 La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8.3.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Autoevaluación 8 299

9 Geometría Analítica 301

9.1 La Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.1.1 Pendiente e inclinación de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.1.2 Ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.2 Distancia de un Punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

9.3 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

VI

9.3.1 Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.4 La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.4.1 Ecuación de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.4.2 Elementos de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.4.3 Translación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.5 La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.5.1 La ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.5.2 Los elementos de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.6 La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.6.1 La ecuación de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.6.2 Elementos de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.7 Ecuación General de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.7.1 Rotación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Autoevaluación 9 348

10 Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones 349

10.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

10.1.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.2 Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

10.2.1 Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

10.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Autoevaluación 10 387

Autoevaluación 11 389

A Respuestas a Algunos Ejercicios 397

A.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

A.2 Autoevaluación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.3 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.4 Autoevaluación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

A.5 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

VII

A.6 Autoevaluación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
A.7 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
A.8 Autoevaluación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
A.9 Autoevaluación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
A.10 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.11 Autoevaluación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
A.12 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
A.13 Autoevaluación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
A.14 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
A.15 Autoevaluación 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
A.16 Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
A.17 Autoevaluación 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
A.18 Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
A.19 Autoevaluación 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
A.20 Autoevaluación Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

B BIBLIOGRAFÍA 463

B.1 TEXTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

B.2 VIDEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

VIII

1.1 Verdades lógicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Ejemplo de una proposición que no es verdad lógica. . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Contradicción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Proposiciones no lógicamente equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Consecuencia lógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Tabla de verdad de la proposición ((α → β) ∧ α) ↔ β. . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Valores para el seno y coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 grados. . . . . . . . . . 136
6.1 Triángulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

IX

X

1.1 Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A. . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Modificación de la figura 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Objeto a que pertenece a R y Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Diagrama de Venn para la proposición “Hay números naturales pares que

son racionales”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Recta con origen O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Semirecta positiva y semirecta negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Trazo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Número 0 en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Número 1 a una distancia unitaria del origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Posición del número n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Posición del número −n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Posición del racional positivo m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Posición del racional negativo −m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10 Ejemplo de asignaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 Cuadrado de lado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Trazo de largo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Rectángulo de lados r y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.14 Volumen del paralelepípedo de arista r , 1 y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.15 Suma de dos reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.16 Producto de dos números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.17 Conjunto solución del problema 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Gráfico de las rectas 1 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Gráfico de Px , Py , los puntos asignados a x y a y . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Gráfico del rectángulo OPx P(x, y )Py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 Gráfico de S0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Gráfico de S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6 Gráfico de S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Gráfico de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

XI

3.8 Gráfico de la ecuación 5x + 3y − 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.9 Gráfico de la inecuación 5x + 3y − 1 < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.10 Gráfico de la ecuación 2x − 1 = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.11 Gráfico de la inecuación y − 5 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.12 Gráfico de S = {(x, y ) ∈ R × R : 2x − 1 = y ∧ y − 5 < 1}. . . . . . . . . . . 85

3.13 Gráfico de F (x) = −2x + 5, x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.14 Gráfico de F (x) = 2x2 + 6x − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.15 Gráfico de f (x) = |x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.16 Gráfico de f (x)en cada región. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.17 Gráfico de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.18 Gráfico de f (x) = √1 − x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.19 Gráfico de f (x) = −3x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.20 Simetría de funciones pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.21 Simetría de funciones impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.22 Gráfico de la función periódica del Ejemplo 3.36. . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.23 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para el intervalo [0, 2]. . . . . . . . . 111

3.24 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para el intervalo [−2, 2]. . . . . . . . 112

3.25 Gráfico de la función del Ejemplo 3.38 para todo R. . . . . . . . . . . . . . . 112
3.26 Gráfico de la función f (x) = x2 para [0, ∞[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.27 Gráfico de la función f (x) = x2 para R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.28 Gráfico de la función inversa restringida f −1(x) = √x, x ≥ 0. . . . . . . . . 113

3.29 Gráfico de la función f (x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.30 Gráfico de la función inversa f −1(x) = √3 x, x ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.31 Gráfico de f (x) = 1 en [0, ∞[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
x
1
3.32 Gráfico de f (x) = x en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.33 Gráfico de f (x) = 1 en [0, ∞[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
x2
1
3.34 Gráfico de f (x) = x2 en todo R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.35 Gráfico de la función parte entera de x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.36 Gráfico de las funciones f (x) = 2x + 5 y (−f )(x) = −2x − 5. . . . . . . . . . 119

3.37 Gráfico de f y de f + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

XII

3.38 Gráfico de f (x) = √1 − x2 y (4f )(x) = 4√1 − x2. . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.39 Gráfico de f (x) = 2x y |f |(x) = 2|x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.40 Gráfico de f (x) = x2 y f (x − 2) = (x − 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.41 Gráfico de f (x) = √1 − x2 y g(x) = f (2x) = √1 − 4x2. . . . . . . . . . . . . . 122

3.42 Gráfico de f (x) = 2x + 5 y f (−x) = −2x + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.43 Gráfico de f (x) = 2x − 3 y f −1(x ) = x + 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2

4.1 Triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Triángulo equilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.3 Triángulo rectángulo isósceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.4 Diagrama para calcular el seno de la suma de dos ángulos. . . . . . . . . . 137

4.5 Punto P(ax , bx ) definido por el ángulo que mide x radianes en la circunfe-
rencia de centro en el origen y radio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.6 Gráfico de la función seno en [0, 2π[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.7 Gráfico de la función seno en [−2π, 2π[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.8 Gráfico de la función coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.9 Gráfico de la función tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.10 Gráfico de la función cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.11 Gráfico de la función cosecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.12 Gráfico de la función secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
π
4.13 Gráfico de la función g(x) = 2 sen 3 x + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.14 Gráfico de la función f (x) = 2 sen(3x + π) + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.15 Gráficos de las funciones del problema 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.16 Gráfico de una función de la forma f (x) = A sen (Bx + C), Problema 4.4. . . 147

4.17 Desplazamiento de una masa atada a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.18 Gráfico del desplazamiento de la masa en función del tiempo. . . . . . . . . 149

4.19 Gráfico de la variación de la presión en función del tiempo. . . . . . . . . . 150

4.20 Soluciones a la ecuación sen(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.21 Soluciones a la ecuación cos(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.22 Gráfico de la función arc sen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.23 Gráfico de la función arc cos (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.24 Gráfico de la función arctan(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

XIII