2.1.5AlgIntrodPrecalcIreneF

230 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

es decir

Ann++11 ≥ Gnn++11, por lo tanto
An+1 ≥ Gn+1.

Teorema del Binomio 6.3

Definición

Definición 6.5 Coeficientes binomiales

Sea n ∈ N, sea k ∈ N ∪ {0}, se define el coeficiente binomial n de la siguiente
manera: k

n  n! si n≥k
k  k!(n − k)! si n < k.
= 
0

Ejemplos

Ejemplo 6.2

5 = 5! 2)! = 10.
2 2!(5 −

Ejemplo 6.3

n = n! = 1.
n n!(n − n)!

Ejemplo 6.4

n = n! 0)! = 1.
0 0!(n −

6.3. Teorema del Binomio 231

Ejemplo 6.5

n = n! 1)! = n.
1 1!(n −

Proposición

Proposición 6.4 Sean n, k ∈ N entonces:

(I) n = n (n ≥ k).
k n−k

(II) n + n = n+1
k k +1 k +1 .

Demostración

(i) n = (n − n! (n − k))! = n! = n .
n−k k) · (n − (n − k)!k! k

(ii) n + n = n! k )! + (k + n! k − 1)!
k k +1 k!(n − 1)!(n −

= n! (n 1 k) + k 1 1
k!(n − k − 1)! − +

= n! n + 1
k!(n − k − 1)! (n − k)(k + 1)

= (k (n + 1)! k )! = n+1 .
+ 1)!(n − k +1

232 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

Observaciones

1. A partir de las propiedades (I) y (II) de 6.4 y de los ejemplos 6.3, 6.4 y
6.5 podemos construir la tabla de todos los valores de (kn) para n ≥ k
conocida como triángulo de Pascal.
k
n 01 2 3 4 567

1 11
2 12 1
3 13 3 1
4 14 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1

Tabla 6.1: Triángulo de Pascal.

La primera columna la obtenemos del ejemplo 6.4.

La segunda columna la obtenemos del ejemplo 6.5.
Los últimos números de cada fila los obtenemos del ejemplo 6.3.

El resto de los números los calculamos aplicando las propiedades 6.4 (I)
y (II), por ejemplo:
3 3 3
2 = 3−2 = 1 =3

4 = 3 + 3 =3+3=6
2 1 2

4 = 4 = 4 =4
3 4−3 1

2. Antes de enunciar el Teorema del Binomio , veamos algunos casos par-
ticulares del desarrollo de (a + b)n, para a, b ∈ R.

(a + b)1 = 1 · a + 1 · b = 1 a1 + 1 1 1 a1−k bk ,
0 1 k
b1 =

k =0

(a+b)2 = a2 +2a·b +b2 = 2 a2 + 2 a1 ·b1 + 2 2 2 a2−k bk y
0 1 2 k
b2 =

k =0

6.3. Teorema del Binomio 233

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 3 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 3 b3
0 1 2 3
3
= k =0 3 a3−k bk .
k

Lo que acabamos de desarrollar para las potencia de n = 1, 2 y 3, es exactamente lo
que se generaliza para toda potencia natural n en el siguiente teorema:

Teorema Teorema del Binomio: Sea a, b ∈ R, n ∈ N, entonces
Teorema 6.3

n n an−k bk .
k
(a + b)n =

k =0

Demostración

Por inducción sobre n.
Si n = 1, ya vimos el resultado en el ejemplo anterior.
Por hipótesis de Inducción tenemos que vale para n:

n n an−k bk .
k
(a + b)n =

k =0

Probaremos el teorema para n + 1.
Efectivamente:

(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b) H=.I. (a + b) n n an−k = bk
k =0 k

= n n n n an−k bk+1 (separando en 2 sumatorias)
k =0 k k
an+1−k bk +

k =0

n n n−1 n an−k bk+1 + bn+1
k k
= an+1 + an+1−k bk +

k =1 k =0

234 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

(separando el primer término de la primera sumatoria y el último de la segunda ).

n n n n an−(k−1)bk + bn+1
k k −1
= an+1 + an+1−k bk +

k =1 k =1

(haciendo cambio de índices en la segunda sumatoria).

n n n
k k −1
= an+1 + an+1−k bk ( + ) + bn+1

k =1

(juntando ambas sumatorias)

n n+1
k
= an+1 + an+1−k bk + bn+1

k =1

(usando prop. 6.4 (II))

n n+1 an+1−k bk + bn+1
k
=

k =0

(incluyendo an+1 dentro de la sumatoria).

n+1 n+1 an+1−k bk
k
=

k =0

(incluyendo bn+1 dentro de la sumatoria).

Corolario

Corolario 6.1

n n (−1)k an−k bk .
k
(I) (a − b)n =

k =0

n n = 2n.
k
(II)

k =0

n n = 0.
k
(III) (−1)k

k =0

6.3. Teorema del Binomio 235

Demostración

(i)

(a − b)n = (a + (−b))n = n n an−k (−b)k
k =0 k

= n n (−1)k an−k bk .
k =0 k

(ii)

(1 + 1)n = n n 1n−k 1k , luego
k =0 k

2n = n n .
k =0 k

n n n n .
k k
(iii) 0 = (1 − 1)n = (−1)k 1n−k 1k = (−1)k

k =0 k =0

Problemas

Problema 6.15 y2 + 1 6.
Escribir el desarrollo de y

Solución

Utilizando el teorema del binomio tenemos que:

y2 1 6 6 6 y 2 6−k 1 k6 6 y 12−2k y −k
y k =0 k y k
+ = =

k =0

= 6 6 y 12−3k = y 12 + 6y 9 + 15y 6 + 20y 4 + 15y 0 + 6y −3 + y −5
k =0 k

= y 12 + 6y 9 + 15y 6 + 20y 4 + 15 + 6 1 + 1
y3 y5.

236 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

Problema 6.16
Encontrar el coeficiente de xn en (1 + x)2n.

Solución

Usando el teorema del binomio tenemos que

2n 2n 2n 2n xk.
k k
(1 + x )2n = 12n−k x k =

k =0 k =0

Por lo tanto xn aparecerá en el desarrollo solamente cuando k = n y dado que n es
uno de los valores que está en el rango de variación de la sumatoria

(k = 0, 1, ... n, n + 1, ... , 2n) tenemos entonces que el coeficiente de xn será 2n ,
n
es decir
(2n)!
(n!)2 .

Problema 6.17

Determine el coeficiente de 1 en el desarrollo de x − 1 + 1 20
x 31 x2
.

Solución

1 20 1 x3 − x2 20 1 20 20 x3 − x2 k
x2 x 40 x 40 k=0 k
x − 1 + = +1 =

20 20 k k 20 k 20 k (−1)j x 3k−j
k j =0 j k j
= (−1)j x 3 k−j x 2 j =

k =0 k=0 j=0

Por lo tanto, el coeficiente de 1 en este desarrollo, se encuentra cuando:
x 31

3k − j − 40 = −31, con 0 ≤ k ≤ 20 y 0 ≤ j ≤ k

Esto se cumple cuando k = 3 y j = 0 y también cuando k = 4 y j = 3.

6.3. Teorema del Binomio 237

Por lo tanto el coeficiente de 1 es:
x 31

20 −4 20 .
4
3

Problema 6.18

Use la identidad (1 + x)2n = (1 + x)n(1 + x)n para demostrar que

n 2 n 2 n 2 (2n)!
0 1 n (n!)2 .
+ +···+ =

Demostración

En el ejercicio 6.16 demostramos que el coeficiente de xn en el desarrollo de (1+x)2n
2n!
es (n!)2 , y dado que (1 + x )2n = (1 + x)n(1 + x )n, buscaremos el coeficiente de xn en

el desarrollo de (1 + x)n(1 + x )n sabiendo que debe ser igual a 2n! .
(n!)2

(1 + x)n(1 + x)n = n n n n 1n−j x j
= i =0 i j
= 1n−i x i ·

j =0

n n n n xj
i =0 i j
xi ·

j =0

nn n n x i+j
i=0 j=0 i j

Por lo tanto, xn aparecerá en este desarrollo cuando i + j = n. Dado que i varía
desde 0 hasta n y j también, las posibilidades de que i + j = n son las siguientes:

ij

0n
1 n−1
2 n−2
... ...
n−1 1
n0

238 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

Luego xn aparece con el siguiente coeficiente:

n n + n n + n n +···+ n n + n n
0 n 1 n−1 2 n−2 n−1 1 n 0.

Usando la propiedad que n = n , nos queda el coeficiente de xn de la
k n−k
siguiente manera:

n n + n n + n n +···+ n n
0 0 1 1 2 2 n n

y como ya sabíamos que este coeficiente era igual a 2n! , hemos demostrado
(n!)2
entonces que:

n 2 n 2 n 2 2n!
0 1 n (n!)2
+ +···+ = .

Problema 6.19
Calcular

n
nk
k=0 k + 1 .

Solución

Aprovechando las propiedades de estos coeficientes, obtenemos

n

k k 1 = k !(n − n! + 1) = (k + n! = 1 1) (k (n + 1)! k )!)
+ k )!(k 1)!(n − k )! (n + + 1)!(n −

= n 1 n+1 .
+1 k +1

Luego

6.3. Teorema del Binomio 239

nn = n 1 n+1 = n 1 1 n n+1
k k=0 n + 1 k + 1 + k =0 k +1

k=0 k + 1

= 1 n+1 n+1 , (haciendo cambio de índices)
n+1 k =1 k

= 1 n+1 n+1 − n+1 ,
n+1 k =0 k 0

(sumando y restando el término para k = 0).

Ahora nos queda la suma de (n + 1) coeficientes binomiales, y esta sumatoria la
conocemos (Corolario 6.1), por lo tanto:

n n
k =0
k k 1 = n 1 1 2n+1 − 1 .
+ +

240 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

Ejercicios Propuestos 6.4

1. Encuentre el término general an en cada 6. Calcule:
una de las siguientes sucesiones y calcu-
n i3 + i2 + 1
n i(i + 1) .
(a)
le ai
i =1
i =1
(b) 12 · 3 + 22 · 4 + 32 · 5 + · · · hasta n
(a) 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, 4 · 5, ... términos .
(b) 12, 32, 52, 72, ...
(c) 1 · 22, 2 · 32, 3 · 42, 4 · 52, ... (c) 1 + 1 2) +
n(n + 1)(n
2. Calcule: 1) (n + +
1
n (n + 2)(n + 3) +· · · hasta n términos .

(a) i(i + 1)(i + 3)

i =1 (d) 1·n2 +2(n −1)2 +3(n −2)2 +· · · hasta
n términos .
(b) n1
i=1 i(i + 1)
(e) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · hasta n térmi-
2n nos cuando n es par y cuando n es
impar.
(c) (−1)i i2

i =0 (f) n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+· · ·
n hasta n términos.

(d) (m + k )2

i =0

n 7. Demuestre por inducción

3. Sea {an} sucesión. Si ai = 2n2 + 3n (a) n 1 1 = n 1.
k =1 4k 2 − 2n +
i =1
n
para cada n ∈ N, determine el término
(b) (k 2 + 1) · k ! = n(n + 1)!.
2p

general ak y calcule ak .

k =p

4. Determine el valor de n de modo que se k =1
cumpla

2n n (c) n k · 2k = 1 − 2n+1
k =1 (k + 2)! (n + 2)! .
(i2 − 48i) = 2 (i2 − 48i).

i=1 i=1

5. Calcule: 8. Calcule:

(a) S = 12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + · · · (a) n k +2
k=1 k (k + 1)2k .
hasta n términos.
tSér=m1in1·o3s.+ 1 1
(b) 3·5 + 5·7 +··· hasta n (b) nk
k=1 (k + 1)! .

6.4. Ejercicios Propuestos 241

(c) n k (k 2k − 1 2) . 18. Sea {an}n∈N una sucesión de números
k =1 + 1)(k + que satisface

(d) n k 2 + 3k + 6 n
k=1 k (k + 1)(k + 2)(k + 3) .
ak = 2n + 3n2

k =1

9. Calcule la suma de 2n términos de Demuestre que es una P.A. y encuentre
una expresión para an en términos de n.

12 + 23 + 32 + 43 + 52 + 63 + · · · . 19. Dados a1, ... , an números en P.A. cu-
ya suma es Sn, se interpolan m me-
10. A partir de ar = r 2(r − 1)2(2r − 1), r ∈ N, dios aritméticos entre cada par de térmi-
simplifique ar+1 − ar y calcule
nos consecutivos. Demuestre que la su-
n
ma de todos los números interpolados es
r 4. m(n − 1)
S = n Sn.
r =1
20. Sea n ∈ N, demuestre que
11. Encuentre la suma de n términos de
(a) 1 + 1 n 1 + n 1 1 n+1
1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · · . n +
< .

12. Calcule: (b) (n + 1)n+1 < 2n+1nn, si n > 1.

ni 2j (c) n! < n+1 n
i=1 j=1 3i . 2
, si n > 1.

13. Calcule: (d) 2n+4 > (n + 4)2.

10 20 (e) nn > 1 · 3 · 5 · ... (2n − 1).
(f) 2n > 1 + n√2n−1.
2j −1 .

i=1 j=1

14. Calcule la suma de todos los múltiplos de (g) (n!)3 < nn n+1 2n
7 que están comprendidos entre 100 y 2
400. .

15. Se canceló una deuda de modo que el (h) 1 (n + 1) <
primer pago fue de $ 50.000 y cada pa- 2
go siguiente aumentó en $ 15.000. El úl- 2 1
timo pago fue de $ 230.000 ¿Cuál era la (11 · 22 · 33 ... nn) n2 +n < 3 (2n + 1).
deuda y en cuantos pagos se canceló?.
21. Demuestre:

16. La suma de cuatro números en P.A. es 24 (a) (2n)! = 2n 1 · 3 · 5 ... (2n − 1) .
y la suma de sus cuadrados es 164. En- n!
cuentre los números.
n n−1
17. Demuestre que la suma de un número im- (b) r r =n r −1 .
par de términos consecutivos de una P.A.
es igual al término central multiplicada por (c) n = n−r n .
el número de términos. r +1 r +1 r