2.1.5AlgIntrodPrecalcIreneF

10 Axioma del Supremo y
Limites de Sucesiones

Axioma del Supremo 10.1

En el capítulo 2 hemos construido los números reales como un conjunto de objetos
que verificaban los axiomas de cuerpo, los axiomas de orden y el axioma provisorio
que nos permitía trabajar con raíces. En esta sección completaremos la construcción
introduciendo el Axioma del Supremo, también llamado Axioma de Completud. Existen
distintas versiones de este axioma, todas ellas equivalentes, nosotros enunciaremos la
que consideramos más apropiada a este texto. Para enunciar el axioma del supremo,
necesitaremos los conceptos de cota superior e inferior y de supremo e ínfimo:

Definición

Definición 10.1 Cota superior
Sea A ⊆ R y a ∈ R. a es cota superior de A ↔ ∀x ∈ A(x ≤ a).

Definición 10.2 Cota inferior
a es cota inferior de A ↔ ∀x ∈ A(a ≤ x).

Definición 10.3 Acotado superiormente
A es acotado superiormente ↔ ∃a ∈ R (a es cota superior de A).
349

350 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

Definición 10.4 Acotado inferiormente
A es acotado inferiormente ↔ ∃a ∈ R (a es cota inferior de A).

Definición 10.5 Acotado
A es acotado ↔ A es acotado superior e inferiormente.

Definición 10.6 Supremo a es cota superior de A ∧ ∀b ∈ R (b cota superior
a es supremo de A ↔
de A → a ≤ b).

Definición 10.7 Ínfimo a es cota inferior de A ∧ ∀b ∈ R (b cota inferior de
a es ínfimo de A ↔
A → b ≤ a).

Definición 10.8 Máximo
a es máximo de A ↔ a es supremo de A ∧ a ∈ A.

Definición 10.9 Mínimo
a es mínimo de A ↔ a es ínfimo de A ∧ a ∈ A.

Antes de demostrar las principales propiedades de estos conceptos veremos algunos
ejemplos sencillos.

Ejemplos

Ejemplo 10.1

Sea A = {− 1 , −1, 0}.
3

0 y 2 son cotas superiores de A en cambio −1 no lo es.

−1 y −8 son cotas inferiores de A en cambio − 1 y 0 no lo son.
2

A es acotado.

−1 es ínfimo de A y es también mínimo de A y 0 es supremo y máximo de A.

10.1. Axioma del Supremo 351

Ejemplo 10.2

R−, {1, 2, 3, 4}, {x ∈ R : x < 2} y [−2, 2] son acotados superiormente.
N, R+, {x : x2 > 2}, [−2, 2] y {0, 1, 2} son acotados inferiormente.
Z y Q no son acotados ni superior ni inferiormente.

Ejemplo 10.3

2 es supremo de {x ∈ R : x < 2}, pero no es máximo.
0 es supremo de R−, pero no es máximo.
2 es supremo de [−2, 2], de [−2, 2[ y {0, 1, 2} y es máximo de [−2, 2] y de {0, 1, 2}.
2 es ínfimo de {x ∈ R : x > 2}, pero no es mínimo.
0 es ínfimo de R+, pero no es mínimo.
3 es ínfimo y mínimo de {3, 4, 5}.

Teorema

Teorema 10.1 Sean a, b ∈ R y A ⊆ R. Si a y b son supremos de A, entonces
a = b.

Demostración

Como a es supremo de A, tenemos que ∀x ∈ R (x cota superior de A → a ≤ x) y
entonces a ≤ b.

Como b es supremo de A, tenemos que ∀x ∈ R (x cota superior de A → b ≤ x) y
entonces b ≤ a, y por lo tanto a = b.

En forma similar se demuestra la unicidad del ínfimo, máximo y mínimo de un conjun-
to, en caso de existir.

Con este teorema podemos introducir la siguiente notación:

352 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

Definición

Definición 10.10 Supremo de A
Sea A ⊆ R y a ∈ R. Sup A = a ↔ a es supremo de A.

Definición 10.11 Ínfimo de A
Inf A = a ↔ a es ínfimo de A.

Definición 10.12 Máximo de A
Max A = a ↔ a es máximo de A.

Definición 10.13 Mínimo de A
Min A = a ↔ a es mínimo de A.

El siguiente teorema es útil para demostrar que un número real es el supremo o el
ínfimo de un conjunto.

Teorema

Teorema 10.2 Sean a ∈ R y A ⊆ R.

(I) Sup A = a ↔ ∀x ∈ A(x ≤ a) ∧ ∀ ∈ R+ ∃x ∈ A(x > a − ),
equivalentemente,
Sup A = a ↔ a es cota superior de A ∧ ∀ ∈ R+ (a − no es cota superior
de A).

(II) Inf A = a ↔ ∀x ∈ A(a ≤ x) ∧ ∀ ∈ R+ ∃x ∈ A(x < a + ),
equivalentemente,
Inf A = a ↔ a es cota inferior de A ∧ ∀ ∈ R+ (a + no es cota inferior de
A).

Demostración
Demostraremos (I) dejando (II) al lector.

10.1. Axioma del Supremo 353

(I Supongamos que Sup A = a, entonces por la definición 10.6,
∀x ∈ A (x ≤ a).

Además si ∈ R+, a − < a, y por la definición 10.6, a − no es cota superior de
A, es decir, ¬∀x ∈ A(x ≤ a − ) o equivalentemente,

∃x ∈ A(x > a − ).

Supongamos ahora que
∀x ∈ A(x ≤ a) ∧ ∀ ∈ R+∃x ∈ A(x > a − )
y sea b cota superior de A, es decir, ∀x ∈ A(x ≤ b). Si suponemos que b < a
entonces = a − b ∈ R+, luego existe x ∈ A tal que x > a − = a − (a − b) = b, es
decir, x > b lo que contradice que b sea cota superior de A.
Entonces b ≥ a y por la definición 10.6, Sup A = a.

Problema 10.1
Demostrar que el supremo de ] − ∞, 2[ es 2.

Solución

(I) 2 es cota superior de ] − ∞, 2[ porque si x ∈] − ∞, 2[, entonces x < 2.

Luego ∀x ∈] − ∞, 2[ (x ≤ 2).

(II) ∀ ∈ R+ (2 − no es cota superior de ] − ∞, 2[):

Sea ∈ R+, entonces 2 ∈ + y 2 − 2 ∈ ] − ∞, 2[ y 2−2 >2− ,

R

es decir, ∃x ∈ ] − ∞, 2[ (x > 2 − ).

Por Teorema [10.1.5(i)], 2 es supremo de ] − ∞, 2[.

Ahora podemos enunciar el último de nuestros axiomas:

354 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

Axioma del Supremo 10.1.1

Axioma del Supremo

Axioma 10.1 Todo conjunto de números reales no vacío y acotado su-
periormente tiene un supremo en R.

La propiedad análoga para conjuntos no vacíos acotados inferiormente es consecuen-
cia de este axioma.

Teorema

Teorema 10.3 Todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferior-
mente tiene un ínfimo en R.

Demostración

Sea A conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente y sea a cota inferior
de A.

Sea B = {x ∈ R : −x ∈ A}

(I) B es no vacío:
Como A es no vacío, existe x ∈ A y entonces −x ∈ B.

(II) −a es cota superior de B:
Sea x ∈ B. Entonces −x ∈ A y como a es cota inferior de A, −x ≥ a, de donde
x ≤ −a. Luego ∀x ∈ B (x ≤ −a).
Tenemos entonces que B es un conjunto de números reales no vacío y acotado
superiormente. Por axioma 10.1, B tiene un supremo. Sea b el supremo de B.
Demostraremos que −b es ínfimo de A:

(III) −b es cota inferior de A:

10.1. Axioma del Supremo 355

Sea x ∈ A. Entonces −x ∈ B y como b es cota superior de B, −x ≤ b, luego
x ≥ −b, es decir, ∀x ∈ A (x ≥ −b).

(IV) ∀c ∈ R (c cota inferior de A → −b ≥ c)
Si c es cota inferior de A entonces −c es cota superior de B y como b es la menor
cota superior de B, tenemos que −c ≥ b, de donde c ≤ −b.
Tenemos entonces que A tiene un ínfimo en R.

Otras consecuencias importantes del axioma del supremo son las siguientes:

Teorema

Teorema 10.4 (I) Propiedad arquimediana:

∀x ∈ R+ ∀y ∈ R+ ∃n ∈ N (nx > y ) .

(II) N no es acotado superiormente:

∀x ∈ R ∃n ∈ N (n > x).

(III) ∀x ∈ R+ ∃n ∈ N 1 < x .
n

(IV) ∀x ∈ R ∃p ∈ Z ∃q ∈ Z (p < x < q).

(V) ∀x ∈ R ∃!p ∈ Z (p ≤ x < p + 1).

(VI) Q es denso en R:
∀x ∈ R ∀y ∈ R (x < y → ∃q ∈ Q (x < q < y )).

Demostración

(I) Supongamos que no se cumple ∀x ∈ R+ ∀y ∈ R+ ∃n ∈ N(nx > y ),
y sean x ∈ R+ e y ∈ R+ tales que ∀n ∈ N (nx ≤ y ).
Sea A = {nx : n ∈ N}.
A = φ pues x ∈ A e y es cota superior de A pues ∀n ∈ N (nx ≤ y).
Entonces por axioma 10.1, A tiene un supremo a.
Como a−x no es cota superior de A, ∃n ∈ N (a−x ≤ nx), pero entonces a ≤ (n+1)x
y (n + 1)x ∈ A lo que contradice que a es cota superior de A.

356 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

(II) Si x ∈ R+, como caso particular de I, tenemos que:
∃n ∈ N (n · 1 > x),

de donde ∃n ∈ N (n > x).
Si x ∈ R− ∪ {0} es claro que n > x para todo n ∈ N.

(III) Como caso particular de I tenemos:

∀x ∈ R+ ∃n ∈ N n · 1 > 1 , de donde ∀x ∈ R+∃n ∈ N 1 < x .
x n

(IV) Por (II) ∃n ∈ N (n > x) y ∃m ∈ N (m > −x) lo cual equivale a −m < x < n, y
(−m) ∈ Z y n ∈ Z.

(V) Por (IV) tenemos p < x < q con p, q ∈ Z. Sea n = q − p entonces p < x < p + n de
donde
x ∈ ]p, p + n[ = ]p, p + 1[ ∪ [p + 1, p + 2[... ∪ [p + n − 1, p + n[.

como ]p, p + 1[⊆ [p, p + 1[, entonces ∃r ∈ Z (x ∈ [r , r + 1[) es decir
∃r ∈ Z (r ≤ x < r + 1).
Para ver la unicidad, supongamos que también existe s ∈ Z tal que

s ≤ x < s + 1,

entonces tenemos:
si r < s entonces r + 1 ≤ s de donde r ≤ x < r + 1 ≤ s ≤ x lo cual implica x < x
que es una contradicción.
Análogamente si suponemos que s < r , llegamos a una contradicción.
Por lo tanto, r = s.

(VI) Si x < y entonces y −x ∈ R+, y por (III) existe n ∈ N tal que 1 < y − x. Tenemos
entonces n

x + 1 < y → xn + 1 < y,
n n

pero por (v) ∃!p ∈ Z, p ≤ xn + 1 < p + 1 y dividiendo por n,

p ≤ xn + 1 < p+ 1
n n n .

Sea q = p ∈ Q.
n

10.1. Axioma del Supremo 357

Por un lado, xn + 1
n
q ≤ < y y por otro,
es decir x < q.
p − 1 ≤ x < q ,
n n

Entonces x < q < y.

Otra aplicación importante del axioma del Supremo, es la existencia de raíces cua-
dradas, es decir, el Axioma Provisorio del Capítulo2 es una consecuencia del Axioma del
Supremo.

Primero veremos, desarrollando algunos ejemplos un caso particular y luego lo gene-
ralizaremos para demostrar la existencia de raíces arbitrarias.

Ejemplos

Ejemplo 10.4

Sea a ∈ R, entonces: (a > 0 ∧ a2 < 2) → ∃x ∈ R+((a + x)2 < 2).

Demostración

Supongamos a2 < 2, entonces 2 − a2 > 0 y por teorema III existe n ∈ N tal que
2a + 1
1 2 − a2
n < 2a + 1 .

Sea x = 1 , entonces x ∈ R+ y
n

(a + x)2 = a2 + 2ax + x2 = a2 + 2a + 1 ≤ a2 + 2a + 1 < a2 + (2 − a2) = 2,
n n2 n

es decir, (a + x)2 < 2.

Ejemplo 10.5

Sea a ∈ R, entonces (a > 0 ∧ a2 > 2) → ∃x ∈ R+((a − x)2 > 2).

Demostración

Sea (a > 0 ∧ a2 > 2) entonces a2 − 2 > 0 y por lo tanto (a2 − 2) > 0.
(2a + 1)

358 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

luego 1 (a2 − 2)
n (2a + 1)
∃n ∈ N < (∗)

Sea x = 1 ,entonces
n

(a − x )2 = a2 − 2ax + x2 = a2 − 2a + 1 ≥ a2 − 2a − 1 = a2 − 2a + 1 .
n n2 n n n

Aplicando (∗) tenemos que :

2a + 1 < a2 − 2,
n

por lo tanto: 2a + 1
n
(a − x )2 ≥ a2 − > a2 − (a2 − 2) = 2.

Ejemplo 10.6

∃x ∈ R+(x2 = 2).

Demostración
Sea A = {x ∈ R : x2 < 2}.

(I) A = φ :
1 ∈ A.

(II) 2 es cota superior de A:
si x ≥ 2, entonces x2 ≥ 4, y por lo tanto, x ∈ A, es decir, si x ∈ A entonces x < 2.
Por lo tanto, A tiene supremo, sea a = Sup A.

(III) a > 0:
1 ∈ A luego 1 ≤ a, de donde 0 < 1 ≤ a.

(IV) a2 = 2.
Si a2 < 2, por el ejemplo 10.4, existe x ∈ R+ tal que (a + x)2 < 2, y por lo tanto,
a + x ∈ A; pero, a + x > a, lo que contradice que a es supremo de A.
Si a2 > 2, por el ejemplo 10.4existe x ∈ R+ tal que (a − x)2 > 2.
Dado que a > 0 y que si achicamos x, la desigualdad se sigue cumpliendo, podemos
escoger x de modo que (a − x) > 0.
Además, a − x no es cota superior de A y por lo tanto, existe y ∈ A tal que a − x < y,
luego (a − x)2 < y 2 < 2, lo que es una contradicción.
Por lo tanto, a2 = 2.

Este ejemplo se puede generalizar para todo real positivo.

10.1. Axioma del Supremo 359

Teorema

Teorema 10.5 ∀a ∈ R+ ∀n ∈ N+ ∃!x ∈ R+(xn = a).

(Todo real positivo admite una raíz n-ésima).

Demostración
La existencia de raíces cuadradas es un caso particular de este teorema para n = 2.

Sea A = {x ∈ R+ : xn < a}. Entonces:

(I) A = φ : a
+
Sea x = 1 a , es claro que 0 < x < 1 y que x < a. Por lo tanto x ∈ A .

(II) A es acotado superiormente: Sea x = a + 1 entonces, (x > 1 ∧ x > a), luego
xn > x > a. Por lo tanto, si y ∈ A entonces y n < a < x , luego x es cota superior de
A.
Luego por Axioma 10.1 A tiene supremo.

(III) Sea b = Sup A. Demostraremos por contradicción que bn = a.

a) Supongamos que bn < a. Sea un número entre 0 y 1 tal que

< (b a − bn bn . (∗)
+ 1)n −

Entonces aplicando el Teorema del Binomio, tenemos:

n n bn−k k = bn + n n bn−k k−1.
k k =1 k
(b + )n =

k =0

Dado que 0 < < 1 obtenemos:

(b + )n < bn + n n bn−k = bn + ((b + 1)n − bn).
k =1 k

Utilizando (∗) se tiene que:

(b + )n < bn + (b a − bn bn ((b + 1)n − bn) = a.
+ 1)n −

360 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

Luego b + ∈ A, lo que contradice el hecho que b = Sup A.
b) En forma similar, se demuestra que si suponemos que bn > a entonces llega-

mos a una contradicción.
Por lo tanto hemos demostrado que bn = a.

(IV) Veamos la unicidad: supongamos que x1n = a ∧ x2n = a ∧ x1 ∈ R+ ∧ x2 ∈ R+. Entonces
x1n = x2n de donde es claro que x1 = x2.

El siguiente teorema enfatiza las diferencias ya mencionadas entre R y Q.

Teorema

Teorema 10.6 (I) R = Q

(II) Existe un conjunto de números reales A tal que A = φ ∧ A ⊆ Q ∧ A es acotado
superiormente en Q y A no tiene supremo en Q. (Q no cumple el axioma del
Supremo).

Demostración

(I) Del ejemplo 10.6 tenemos que √2 ∈ R y en 2.1 demostramos que
√2 ∈ Q.

(II) A = {x ∈ Q : x2 < 2} cumple las condiciones pedidas.

El siguiente teorema dice que todo número real es supremo de algún conjunto de
números racionales.

10.1. Axioma del Supremo 361

Teorema
Teorema 10.7 Si a ∈ R entonces Sup {x ∈ R : x ∈ Q ∧ x < a} = a

Demostración

Sea A = {x ∈ R : x ∈ Q ∧ x < a}. < x < a;

Es claro que a es cota superior de A.

Sea ∈ R+. Entonces a − < a y por teorema VI existe x ∈ Q tal que a −
es decir, a − no es cota superior de A.

Definición

Definición 10.14 Exponenciación real de a
Sean a, x ∈ R con a > 0 Se define la exponenciación real de a como sigue:


 Sup {ar : r ≤ x ∧ r ∈ Q} si a > 1.
ax =
 1 si a = 1.
Inf {ar : r ≤ x ∧ r ∈ Q} si a < 1.

Observación

Esta definición se basa en el hecho que el conjunto {ar : r ≤ x ∧ r ∈ Q} es acotado
superiormente cuando a > 1 y es acotado inferiormente cuando 0 < a < 1. También
es importante hacer notar que si x ∈ Q entonces esta definición de ax coincide con
la que se dio previamente en el capítulo 2.

362 Capítulo 10. Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones

Limites de Sucesiones 10.2

La definición central de esta sección es la de convergencia de una sucesión. La idea
intuitiva que queremos formalizar es la siguiente:
Supongamos que tenemos la sucesión 1 }n∈N, sabemos que es de la forma :
{ n

1, 1 , 1 , · · · , 1 , ···
2 3 n

Por lo tanto, vemos que si n es un natural muy grande, el término n-ésimo de la sucesión
es muy chico, de hecho, a medida que n es más y más grande, an está cada vez más
cercano al cero, es decir, a partir de un punto en adelante, el valor de los términos de la
1
sucesión se aproximan a cero tanto como se quiera. En este caso decimos que n n∈N
converge a cero.

Tomemos ahora la sucesión {n}n∈N, en este caso vemos que si n es grande, el término
n-ésimo de la sucesión también es grande, de hecho, a medida que avanzamos en el or-
den de los términos de la sucesión, sus valores crecen indefinidamente, es decir, no se
aproximan a ningún valor real. En este caso decimos que la sucesión {n}n∈N diverge a ∞.

También vemos que si consideramos la sucesión {(−1)n}n∈N, no podemos saber si
el término n-ésimo de ella es 1 ó −1, y a medida que avanzamos en los términos de la
sucesión continúa la dualidad, es decir, no nos acercamos a un único valor fijo, por lo
tanto, esta sucesión también diverge.

Definición

Definición 10.15 Convergencia al número a

Sea {an}n∈N sucesión, a ∈ R,decimos que {an}n∈N converge al número a, en

símbolos: l´ım an = a si y sólo si:

n→∞

∀ > 0 ∃n0 ∈ N (∀n > n0)(|an − a| < ).

Si una sucesión no converge, decimos que diverge.