fc3adsica-general-schaum-

CAPÍTULO 33: GENERADORES Y MOTORES ELÉCTRICOS 285

Del capítulo 10, potencia ϭ ␶␻, donde ␻ ϭ 2␲f ϭ 2␲(1 500 × 1͞60) rad͞s

Torca ϭ potencia ϭ 9900 W ¼ 63 NÁm
rapidez angular ð2 Â 25Þ rad=s

33.11 [III] La armadura de un motor origina una torca de 100 N · m cuando consume 40 A de la línea. Encuentre la
torca desarrollada si la corriente de la armadura aumenta a 70 A y la intensidad del campo magnético se
reduce a 804% de su valor inicial.

La torca desarrollada por la armadura de un motor es proporcional a la corriente en la armadura y a la

intensidad del campo (vea el capítulo 30). En otras palabras, la razón de la torca es igual a la razón de los dos

conjuntos de valores de |INAB|. Al usar los subíndices i y f para los valores inicial y final, ␶f ͞␶i ϭ If Bf ͞Ii Bi ,

se obtiene,

f ¼ ð100 N Á mÞ 70 ð0:80Þ ¼ 0:14 kN Á m
40

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

GENERADORES ELÉCTRICOS
33.12 [I] Determine los efectos separados sobre la fem inducida de un generador si a) el flujo en cada polo se duplica

y b) la rapidez de la armadura se duplica. Resp. a) se duplica; b) se duplica.

33.13 [II] La fem inducida en la armadura de un generador en derivación es de 596 V. La resistencia de la armadura es
de 0.100 Ω. a) Calcule el voltaje en las terminales cuando la corriente en la armadura es de 460 A. b) Si la
resistencia de campo equivale a 110 Ω, determine la corriente de campo, la potencia y la corriente entregada
al circuito externo. Resp. a) 550 V; b) 5 A, 455 A, 250 kW.

33.14 [II] Una dínamo (generador) entrega 30.0 A a 120 V a un circuito externo cuando opera a 1 200 rpm. ¿Cuál es la
torca que se requiere para impulsar al generador a esta rapidez si las pérdidas totales en la potencia son de
400 W? Resp. 31.8 N · m.

33.15 [II] Un generador en derivación de 75.0 kW y 230 V tiene una fem generada de 243.5 V. Si la corriente de campo
es de 12.5 A a la salida nominal, ¿cuál es la resistencia de la armadura? Resp. 0.039 9 Ω.

33.16 [III] Un generador de 120 V es impulsado por un molino de viento que tiene aspas de 2.0 m de largo. El viento, que
se mueve a 12 m͞s, disminuye a 7.0 m͞s después de pasar por el molino de viento. La densidad del aire es de
1.29 kg͞m3. Si el sistema no tiene pérdidas, ¿cuál es la corriente más grande que puede producir el generador?
(Suegrecnia : ¿Cuánta energía por segundo pierde el viento?) Resp. 77 A.

MOTORES ELÉCTRICOS
33.17 [II] Un generador tiene una armadura con 500 vueltas, que cortan un flujo de 8.00 mWb en cada rotación. Calcule

la contrafem que desarrolla cuando trabaja como un motor a 1 500 rpm. Resp. 100 V.

33.18 [I] La longitud activa de cada conductor de la armadura de un motor es de 30 cm, y los conductores están en un
campo de 0.40 Wb͞m2. En cada conductor fluye una corriente de 15 A. Determine la fuerza que actúa sobre
cada conductor. Resp. 1.8 N.

33.19 [II] Un motor en derivación, con una resistencia en la armadura de 0.080 Ω, está conectado a la línea principal de
120 V. Con 50 A en la armadura, ¿cuáles son la contrafem y la potencia mecánica desarrolladas dentro de la
armadura? Resp. 0.12 kV, 5.8 kW.

286 FÍSICA GENERAL

33.20 [II] Un motor en derivación se conecta a una línea de 110 V. Cuando la armadura genera una contrafem de 104 V,
la corriente en la armadura es de 15 A. Calcule la resistencia de la armadura. Resp. 0.40 Ω.

33.21 [II] Una dínamo en derivación tiene una resistencia de armadura de 0.120 Ω. a) Si se conecta a una línea de 220
V y opera como un motor, ¿cuál es la contrafem inducida cuando la corriente en la armadura es de 50.0 A? b)
Si esta máquina opera como un generador, ¿cuál es la fem inducida cuando la armadura entrega 50.0 A a 220
V al campo en derivación y al circuito externo? Resp. a) 214 V; b) 226 V.

33.22 [II] Un motor en derivación tiene una frecuencia de 900 rpm cuando se conecta a una línea de 120 V y entrega 12
hp. Las pérdidas totales son de 1 048 W. Calcule la entrada de potencia, la corriente de la línea y la torca en
el motor. Resp. 10 kW, 83 A, 95 N · m.

33.23 [II] Un motor en derivación tiene una resistencia de armadura de 0.20 Ω y una resistencia de campo de 150 Ω;
además consume 30 A cuando se conecta a una línea de alimentación de 120 V. Determine la corriente de
campo, la corriente en la armadura, la contrafem, la potencia mecánica desarrollada dentro de la armadura y
la eficiencia eléctrica de la máquina. Resp. 0.80 A, 29 A, 0.11 kV, 3.3 kW, 934%.

33.24 [II] Un motor en derivación desarrolla una torca de 80 N · m cuando la densidad de flujo en la abertura de aire es
de 1.0 Wb͞m2 y la corriente en la armadura es de 15 A. ¿Cuál es la torca cuando la densidad de flujo es de 1.3
Wb͞m2 y la corriente en la armadura es de 18 A? Resp. 0.13 kN · m.

33.25 [II] Un motor en derivación tiene una resistencia de campo de 200 Ω y una resistencia de armadura de 0.50 Ω
y está conectado a una línea de 120 V. El motor consume una corriente de 4.6 A cuando opera a su rapidez
máxima. ¿Qué corriente consumirá el motor si su rapidez se reduce a 904% de la rapidez máxima al aplicarle
una carga? Resp. 28 A.

CINODNUSCTATANNTCESIAD;E 34CAPÍTULO 34: INDUCTANCIA; CONSTANTES DE TIEMPO R-C Y R-L 287

TIEMPO R-C Y R-L

AUTOINDUCTANCIA (L): Una bobina puede inducir una fem en sí misma. Si la corriente en una bobina cambia,

el flujo a través de ella debido a la corriente también se modifica. Así, como resultado del cambio de la corriente en

la bobina se induce una fem en la misma bobina.
Ya que la fem inducida e es proporcional a ∆⌽M ͞∆t y puesto que ∆⌽M es proporcional a ∆i, donde i es la co-

rriente que produce el flujo,

e ¼ À (constante) Ái
Át

Donde i es la corriente a través de la misma bobina en la cual se induce e. (Una corriente que varía en el tiempo se
denotará con i, en lugar de I.) El signo negativo indica que la fem autoinducida e es una contrafem que se opone al
cambio de la corriente.

La constante de proporcionalidad depende de la geometría de la bobina. Se representará por L y se denominará
autoinductancia de la bobina. Entonces

e ¼ ÀL Ái
Át

Para e en unidades de V, i en unidades A y t en s, L está en henrys (H).

INDUCTANCIA MUTUA (M): Cuando el flujo de una bobina penetra a través de una segunda bobina, se puede

inducir una fem en cada una por el efecto de la otra. La bobina que tiene la fuente de potencia se llama bobina

primaria. La otra bobina, en la que se induce la fem debido al cambio de corriente en la primaria, se conoce como

bobina secundaria. La fem e inducida en la secundaria es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente en la
s
primaria, ∆ip͞∆t:
Áip
es ¼ M Át

donde M es una constante llamada inductancia mutua del sistema de dos bobinas.

ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR: Debido a su contrafem autoinducida, se debe efectuar un
trabajo para incrementar la corriente a través del inductor desde 0 hasta I. La energía suministrada a la bobina en el
proceso se almacena en ella y se puede recuperar conforme la corriente de la bobina disminuye nuevamente a cero.
Si una corriente I fluye en un inductor de autoinductancia L, entonces la energía almacenada en él es

Energía almacenada ϭ 1 LI 2
2

Para L en unidades de H e I en unidades de A, la energía está en J.

CONSTANTE DE TIEMPO R-C: Considere el circuito R-C que se ve en la figura 34-1a. El capacitor está des-

cargado inicialmente. Si el interruptor se cierra, la corriente i en el circuito y la carga q en el capacitor varían como

se muestra en la figura 34-1b. Si se llama yc a la d.p. en el capacitor, al escribir la regla de la malla para este circuito se
obtiene

ÀiR À vc þ e ¼ 0 o i ¼ e À vc
R

En el primer instante después de que se cerró el interruptor, yc ϭ 0 e i ϭ e͞R. Conforme pasa el tiempo, yc
aumenta mientras que i disminuye. El tiempo, en segundos, que toma a la corriente caer hasta 1͞2.718 o 0.368 de su
valor inicial es RC, que se llama constante de tiempo del circuito R-C.

287

288 FÍSICA GENERAL

Interruptor

Figura 34-1

En la figura 34-1b también se muestra la variación con el tiempo de q, la carga en el capacitor. En t ϭ RC, q
alcanza 0.632 de su valor final.

Cuando un capacitor C cargado con una carga inicial q0 se descarga a través de un resistor R, la corriente de
descarga sigue la misma curva que la del proceso de carga. La carga q en el capacitor sigue una curva similar a la
de la corriente de descarga. Al tiempo RC, i ϭ 0.368i0 y q ϭ 0.368q0 durante la descarga.

CONSTANTE DE TIEMPO R-L: Considere el circuito de la figura 34-2a. El símbolo representa una bo-

bina que tiene una autoinductancia de L henrys. Cuando el interruptor en el circuito se cierra, la corriente se eleva

como se muestra en la figura 34-2b. La corriente no salta a su valor final porque el cambio de flujo a través de la

bobina induce una contrafem en la bobina, la cual se opone a la elevación de la corriente. Después de transcurridos

L͞R segundos, la corriente se ha elevado a 0.632 de su valor final iϱ. Esta vez t ϭ L͞R se llama constante de tiempo
del circuito R-L. Luego de un tiempo prolongado, la corriente cambia tan lentamente que la contrafem en el inductor,

L(∆i͞∆t), es despreciable. Entonces i ϭ iϱ ϭ e͞R.

Figura 34-2

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES se utilizan del modo siguiente para describir las curvas de las figuras 34-1

y 34-2:

i ϭ i0e–t͞RC carga y descarga de capacitor

q ϭ qϱ(1 Ϫ eϪt͞RC) carga de capacitor

q ϭ qϱeϪt͞RC descarga de capacitor

i ϭ iϱ(1 Ϫ e )Ϫt͞(L͞R) acumulación de corriente en inductor

donde e ϭ 2.718 es la base de los logaritmos naturales.

CAPÍTULO 34: INDUCTANCIA; CONSTANTES DE TIEMPO R-C Y R-L 289

Cuando t es igual a la constante de tiempo, las relaciones para el capacitor dan i ϭ 0.368i0 y q ϭ 0.632qϱ para la
carga, y q ϭ 0.368qϱ para la descarga. La ecuación para la corriente en el inductor da i ϭ 0.632iϱ cuando t es igual
a la constante de tiempo.

La ecuación para i en el circuito capacitor (así como para q en el caso de descarga del capacitor) tiene la siguien-
te propiedad: después de transcurridas n constantes de tiempo,

i ϭ i0(0.368)n y q ϭ qϱ(0.368)n
Por ejemplo, después de transcurridas cuatro constantes de tiempo,

i ϭ i0(0.368)4 ϭ 0.0183i0

PROBLEMAS RESUELTOS

34.1 [II] Una corriente constante de 2 A en una bobina de 400 vueltas causa un flujo de 10Ϫ4 Wb para enlazar (pasar

a través de) las espiras de la bobina. Calcule a) la contrafem promedio inducida en la bobina si la corriente

se interrumpe en 0.08 s, b) la inductancia de la bobina y c) la energía almacenada en la bobina.

a) jej ¼ N ÁÁÈtM ¼ 400 ð10À4 À 0Þ Wb ¼ 0:5 V
0:08 s
jej ¼ L ÁÁti eÁÁit
b) o L ¼ ¼ ð0:5 VÞð0:08 sÞ ¼ 0:02 H
ð2 À 0Þ A

c) Energía ϭ 1 LI 2 ϭ 1 ð0:02 HÞð2 AÞ2 ¼ 0:04 J
2 2

34.2 [III] Un solenoide largo con núcleo de aire tiene un área de sección transversal A y N vueltas de alambre en su
longitud d. a) Encuentre su autoinductancia. b) ¿Cuál es su inductancia si la permeabilidad del material de
su núcleo es ␮?

a) Se puede escribir jej ¼ N ÁÁÈtM y jej ¼ L ÁÁti

Igualar estas dos expresiones para e produce
L ¼ N ÁÁÈiM

Si la corriente cambia de cero a I, entonces el flujo cambia de cero a ⌽M. Por tanto, ∆i ϭ I y ∆⌽M ϭ ⌽M
en este caso. La autoinductancia, considerada constante para todos los casos, es entonces

L ¼ N ÈM ¼ N BA
II

Pero, para un solenoide con núcleo de aire, B ϭ ␮0nI ϭ ␮0(N͞d)I. Al sustituir se obtiene L ϭ ␮0N 2A͞d.

b) Si el material del núcleo tiene permeabilidad ␮ en lugar de ␮0 entonces B, y por tanto L, aumentarán por
un factor ␮͞␮0. En este caso, L ϭ ␮N 2A͞d. Un solenoide con núcleo de hierro tiene una autoinductancia
mucho mayor que la que tiene un solenoide con núcleo de aire.

34.3 [II] Un solenoide de 30 cm de longitud está fabricado con 2 000 vueltas de alambre devanadas en torno a
una barra de hierro con un área en su sección transversal de 1.5 cm2. Si la permeabilidad relativa del
hierro es de 600, ¿cuál es la autoinductancia del solenoide? ¿Qué fem promedio se induce en el solenoide
cuando la corriente en él disminuye de 0.60 A a 0.10 A en un tiempo de 0.030 s? Consulte nuevamente
el problema 34.2.

Del problema 34.2b, con kM ϭ ␮͞␮0,

L ¼ km 0 N 2 A ¼ ð600Þð4 Â 10À7 T Á m=AÞ(ð22000Þ)2ð1:5 Â 10À4 m2Þ ¼ 1:51 H
d 0:30 m